representações em situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau ... · 2018....
TRANSCRIPT
Universidade de Lisboa
Representações em situações problemáticas que envolvem
inequações do 1.º grau a uma incógnita: Um estudo com
alunos do 9.º ano de escolaridade
Elisabete Barata Fernandes
Relatório da Prática de Ensino Supervisionada
Mestrado em Ensino da Matemática
2013
Universidade de Lisboa
Representações em situações problemáticas que envolvem
inequações do 1.º grau a uma incógnita: Um estudo com
alunos do 9.º ano de escolaridade
Elisabete Barata Fernandes
Relatório da Prática de Ensino Supervisionada orientado pela Professora
Doutora Leonor Santos e coorientado pela Professora
Doutora Suzana Nápoles
Mestrado em Ensino da Matemática
2013
i
Resumo
O objetivo deste trabalho é perceber se alunos do 9.º ano compreendem e sabem
usar os diferentes tipos de representações na resolução de situações problemáticas
integradas no estudo de inequações. Para tal, formulei as seguintes questões: Quais são
os principais tipos de representações usados pelos alunos na resolução de situações
problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau? Quais são os principais erros e
dificuldades que os alunos revelam na conversão e no tratamento de representações de
situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau?
A investigação decorreu no âmbito da minha prática letiva supervisionada
durante o 3.º período do ano letivo de 2012/2013 numa turma do 9.º ano de uma escola,
em Lisboa, tendo abordado o tema Álgebra, o tópico Inequações e o subtópico
Inequações do 1.º Grau a uma Incógnita.
A metodologia de investigação de natureza interpretativa, recorre a dados
quantitativos e qualitativos. Participaram todos os alunos da turma, tendo selecionado
dois deles para aprofundamento do estudo. Na recolha dos dados utilizei os seguintes
instrumentos: a observação de aulas, alguns documentos da escola, um diário de bordo,
as produções escritas de todos os alunos da turma e uma entrevista semiestruturada,
gravada em áudio, aos dois alunos da turma, já mencionados, que obtiveram o melhor
desempenho escolar na disciplina de Matemática no 1.º período do referido ano letivo.
Os resultados do estudo revelam que os alunos passaram progressivamente do
uso predominante da representação numérica para a representação algébrica. Na maioria
das situações problemáticas, os alunos apresentaram dificuldades na conversão da
linguagem natural para a linguagem algébrica, principalmente na escolha do sinal de
desigualdade apropriado para cada caso. No tratamento das inequações, os alunos
cometeram erros essencialmente na aplicação do 2.º princípio de equivalência e na
construção do intervalo que represente adequadamente o respetivo conjunto-solução. As
conclusões inferidas pela análise das produções escritas e da entrevista realizada aos
dois alunos selecionados estão de acordo às já proferidas para toda a turma.
Palavras-chave: Situações problemáticas, inequações do 1.º grau, 9.º ano,
representações, conversão e tratamento de representações, erros e dificuldades.
ii
iii
Abstract
The aim of the present investigation is to study whether the 9th year students
understand and know how to use the different types of representations in solving
problematic situations involving inequalities. Thus, I have formulated the following
questions: Which are the main types of representations used by students in solving
problematic situations involving inequalities of first degree? Which are the main
mistakes and difficulties that students exhibit in the conversion and treatment of
representations of problematic situations involving inequalities of first degree?
The research occurred in the my teaching practice supervised during the third
.period of the school year 2012/2013 in school in Lisbon, having discussed the theme
Algebra, the topic Inequalities and the subtopic Inequalities of first degree. In data
collection used the following instruments: classroom observation, some documents
from the school, written work produced by all students during classes, and a semi-
structured interview, recorded on audio, given by two students who obtained the best
mathematical performance on in the first third period of the school year.
The results of the study reveal that students were passing progressively from the
predominant use of the numerical representation for the algebraic representation. Most
of the problematic situations, students presented difficulties in the conversion of the
natural language to the algebraic language, especially in the choice of appropriate
inequality sign for each case. In the treatment of inequalities, the students made
mistakes in the application of the 2nd equivalence principle and construction of the
interval that adequately represents the respective solution set. The conclusions inferred
by analyzing the written productions and interview the two students are according to
those already referred to the whole class.
Keywords: Problematic situations, inequalities of first degree, 9th year, representations,
conversion and processing of representations, errors and difficulties.
iv
v
Agradecimentos
À Professora Doutora Leonor Santos pelas sugestões, conselhos, paciência e orientação.
À professora Doutora Suzana Nápoles pela orientação nos conceitos matemáticos
prestada neste trabalho.
À professora Helena Fonseca pela forma como me ajudou na concretização deste estudo
e, especialmente pelo carinho, amizade, apoio, incentivo e partilha de conhecimentos e
experiência.
À direção da escola pela disponibilidade.
Aos alunos envolvidos neste trabalho pela disponibilidade e pelo entusiasmo com que
realizaram as tarefas.
À minha família, a quem tive de dedicar menos tempo e atenção, pelo incentivo, apoio e
inspiração em todos os momentos.
vi
vii
Abreviaturas e Acrónimos
C.S. – Conjunto-Solução
DGIDC – Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento Curricular
Ex. – Exercício
eq. – equação
i.e. – isto é
ineq. – inequação
ineq.´s – inequações
NCTM – National Council of Teachers of Mathematics
PE – Princípio de equivalência
probl. – problema
TPC – Trabalho de Casa
viii
ix
Índice Geral
Capítulo 1 – Introdução .................................................................................................. 1
1.1. Motivações ...................................................................................................... 3
1.2. Objetivo e Questões do Estudo ....................................................................... 4
1.3. Organização do Estudo ................................................................................... 4
Capítulo 2 – Enquadramento da Problemática ............................................................ 7
2.1. Situações Problemáticas em Matemática ........................................................ 7
2.2. Representações Matemáticas ........................................................................ 14
2.3. Situações Problemáticas e Representações nas Orientações Curriculares em
Matemática .......................................................................................................... 30
Capítulo 3 – Unidade de Ensino ................................................................................... 33
3.1. Caracterização da Turma .............................................................................. 33
3.2. Ancoragem da Unidade no Programa de Matemática .................................. 38
3.3. Conceitos Matemáticos Relativos à Unidade ............................................... 43
3.4. Estratégias de Ensino .................................................................................... 52
3.5. Sequência e Planos de Aulas ........................................................................ 54
3.6. Tarefas e Recursos ........................................................................................ 56
3.7. Descrição Sumária das Aulas Lecionadas .................................................... 59
Capítulo 4 – Métodos e Procedimentos de Recolha e Análise de Dados ................... 85
4.1. Opções Metodológicas .................................................................................. 85
4.2. Participantes .................................................................................................. 86
4.3. Instrumentos de Recolha de Dados ............................................................... 87
4.4. Métodos de Análise de Dados ...................................................................... 89
Capítulo 5 – Apresentação e Análise de Dados ........................................................... 91
5.1. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho n.º 1 ................. 91
5.2. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho n.º 4 ................. 97
5.3. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho n.º 6 ............... 122
5.4. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho Complementar131
x
5.5. Síntese dos Resultados ................................................................................ 136
Capítulo 6 – Conclusão ............................................................................................... 151
6.1. Principais Resultados .................................................................................. 152
6.2. Reflexão Final ............................................................................................. 160
Referências Bibliográficas .......................................................................................... 163
Anexos ........................................................................................................................... 173
xi
Índice de Anexos
Anexo 1: Autorização da Direção da Escola................................................................. 175
Anexo 2: Autorização dos Encarregados de Educação ................................................. 177
Anexo 3: Plano de Aula n.º 1 ........................................................................................ 179
Anexo 4: Plano de Aula n.º 2 ........................................................................................ 197
Anexo 5: Plano de Aula n.º 3 ........................................................................................ 213
Anexo 6: Plano de Aula n.º 4 ........................................................................................ 221
Anexo 7: Plano de Aula n.º 5 ........................................................................................ 239
Anexo 8: Plano de Aula n.º 6 ........................................................................................ 253
Anexo 9: Plano de Aula n.º 7 ........................................................................................ 263
Anexo 10: Ficha de Trabalho n.º 1 ................................................................................ 271
Anexo 11: Ficha de Trabalho n.º 2 ................................................................................ 277
Anexo 12: Ficha com os Princípios de Equivalência .................................................... 281
Anexo 13: Ficha de Trabalho n.º 3 ................................................................................ 283
Anexo 14: Ficha de Trabalho n.º 4 ................................................................................ 285
Anexo 15: Ficha de Trabalho n.º 5 ................................................................................ 291
Anexo 16: Ficha de Trabalho n.º 6 ................................................................................ 295
Anexo 17: Guião da Entrevista ..................................................................................... 299
Anexo 18: Ficha de Trabalho Complementar ............................................................... 301
Anexo 19: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 1 .................................... 305
Anexo 20: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 2 .................................... 309
Anexo 21: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 3 .................................... 313
Anexo 22: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 4 .................................... 317
Anexo 23: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 5 .................................... 327
Anexo 24: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 6 .................................... 331
xii
xiii
Índice de Figuras
Figura 1: Idades dos alunos da turma no início do ano letivo de 2012/2013 ................. 34
Figura 2: Nacionalidade de ambos os pais dos alunos da turma .................................... 34
Figura 3: Parentesco dos Encarregados de Educação com os alunos da turma.............. 34
Figura 4: Anos de entrada dos alunos na turma ............................................................. 35
Figura 5: Classificações atribuídas aos alunos da turma na disciplina de Matemática no
final do 1.º período do ano letivo de 2012/2013 .............................................................. 36
Figura 6: Percentagem de positivas no 9.º ano do Departamento de Matemática e
Ciências Experimentais da escola no final do 1.º período do ano letivo de 2012/2013 .. 36
Figura 7: Avaliação dos alunos da turma no domínio dos conhecimentos e atitudes na
disciplina de Matemática no final do 1.º período do ano letivo de 2012/2013 ............... 37
Figura 8: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 2 da Ficha de
Trabalho n.º 1 .................................................................................................................. 92
Figura 9: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 2 da Ficha
de Trabalho n.º 1 .............................................................................................................. 93
Figura 10: Exemplos ilustrativos de resoluções de três alunos à alínea b) da Tarefa 2 da
Ficha de Trabalho n.º 1 .................................................................................................... 94
Figura 11: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à Tarefa 2 da Ficha de
Trabalho n.º 1 .................................................................................................................. 96
Figura 12: Resolução correta de um aluno que usou a representação algébrica na alínea
b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1........................................................................ 97
Figura 13: Exemplos ilustrativos de resoluções de três alunos à alínea a) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4 .................................................................................................... 98
Figura 14: Resoluções do José (em cima) e do Luís (em baixo) às alíneas a), b), c) e d)
da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 .......................................................................... 100
Figura 15: Resolução incorreta de um aluno à alínea a) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 100
Figura 16: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos à alínea b) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4 .................................................................................................. 101
Figura 17: Resoluções incorretas de dois alunos à alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 103
xiv
Figura 18: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos à alínea c) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4 .................................................................................................. 104
Figura 19: Resoluções incorretas de dois alunos à alínea c) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 105
Figura 20: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno à alínea d) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4 .................................................................................................. 106
Figura 21: Resolução incorreta de um aluno à alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 107
Figura 22: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos à alínea e) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4 .................................................................................................. 108
Figura 23: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à alínea e) da Tarefa 1
da Ficha de Trabalho n.º 4 ............................................................................................. 109
Figura 24: Resolução incorreta de um aluno à alínea e) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 110
Figura 25: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 13 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 110
Figura 26: Erros de dois alunos na tradução da inequação do Exercício 13 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 112
Figura 27: Erro de um aluno na indicação da solução do Exercício 13 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 112
Figura 28: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 13 da
Ficha de Trabalho n.º 4 .................................................................................................. 113
Figura 29: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos ao Exercício 12 da Ficha
de Trabalho n.º 4 ............................................................................................................ 114
Figura 30: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 12 da
Ficha de Trabalho n.º 4 .................................................................................................. 116
Figura 31: Erros de dois alunos na tradução da inequação do Exercício 12 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 116
Figura 32: Erros de três alunos no Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4 ............... 117
Figura 33: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 41 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 118
Figura 34: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 41 da
Ficha de Trabalho n.º 4 .................................................................................................. 120
xv
Figura 35: Erro de um aluno na tradução da inequação do Exercício 41 da Ficha de
Trabalho n.º 4 ................................................................................................................ 120
Figura 36: Erro de um aluno no Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4 ................... 121
Figura 37: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 14 da Ficha de
Trabalho n.º 6 ................................................................................................................ 122
Figura 38: Resoluções do José (em cima) e do Luís (em baixo) ao Exercício 14 da
Ficha de Trabalho n.º 6 .................................................................................................. 124
Figura 39: Erros de dois alunos na tradução da 2.ª inequação da conjunção de
inequações do Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6 ................................................ 125
Figura 40: Erro de um aluno na resolução da conjunção de inequações do Exercício 14
da Ficha de Trabalho n.º 6 ............................................................................................. 126
Figura 41: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 24 da Ficha de
Trabalho n.º 6 ................................................................................................................ 127
Figura 42: Erro de um aluno na resolução da 1.ª inequação da conjunção de inequações
do Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6 ................................................................... 129
Figura 43: Resolução do José (em cima) e do Luís (em baixo) ao Exercício 24 da Ficha
de Trabalho n.º 6 ............................................................................................................ 130
Figura 44: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho Complementar ................................................................................................ 132
Figura 45: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à Tarefa 2 da Ficha de
Trabalho Complementar ................................................................................................ 134
Figura 46: Percentagem de alunos que usaram os três tipos de representação:
linguagem natural, numérica e algébrica em cinco alíneas de tarefas das fichas de
trabalho .......................................................................................................................... 136
Figura 47: Percentagem de alunos que cometeram erros em cinco alíneas de tarefas das
fichas de trabalho, tendo usado um dos três tipos de representação: linguagem natural,
numérica e algébrica ...................................................................................................... 138
Figura 48: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados
para resolver situações problemáticas envolvendo inequações num exercício e em cinco
alíneas das tarefas das fichas de trabalho ...................................................................... 139
Figura 49: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados
para resolver situações problemáticas envolvendo inequações em cinco exercícios das
fichas de trabalho ........................................................................................................... 140
xvi
Figura 50: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados
para resolver onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de
trabalho .......................................................................................................................... 141
Figura 51: Percentagem de alunos que cometeram erros na tradução de onze situações
problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho....................................... 142
Figura 52: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de onze situações
problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho....................................... 143
Figura 53: Percentagem de alunos que cometeram erros na formulação das conclusões
de onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho .......... 143
Figura 54: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de inequações e
nos respetivos conjuntos-solução numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de
trabalho ........................................................................................................................ l145
Figura 55: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de inequações
numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de trabalho ........................................... 146
Figura 56: Percentagem de alunos que cometeram erros nos intervalos de inequações
numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de trabalho ........................................... 147
xvii
Índice de Quadros
Quadro 1: Número de alunos da turma com retenções em anos anteriores ................... 35
Quadro 2:Temas e objetivos das aulas concretizadas .................................................... 54
Quadro 3: Natureza e fonte das tarefas propostas nas aulas lecionadas......................... 58
Quadro 4: Natureza e fonte das tarefas propostas para trabalho de casa ....................... 58
Quadro 5: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 1 .............. 60
Quadro 6: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 2 .............. 66
Quadro 7: Objetivos de aprendizagem das tarefas propostas para trabalho de casa ...... 69
Quadro 8: Objetivos de aprendizagem do Exercício 4 da Ficha de Trabalho n.º 3 ....... 72
Quadro 9: Objetivos de aprendizagem das tarefas do Ficha de Trabalho n.º 4 .............. 73
Quadro 10: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 5 ............ 78
Quadro 11: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 6 ............ 80
Quadro 12: Erros dos alunos no Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1 ....................... 93
Quadro 13: Análise das resoluções do item b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho nº 1 . 95
Quadro 14: Análise das resoluções do item a) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº4 .. 99
Quadro 15: Análise das resoluções do item b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº 4 102
Quadro 16: Análise das resoluções do item c) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº 4 105
Quadro 17: Análise das resoluções do item d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº 4 107
Quadro 18: Análise das resoluções do item e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho nº 4 109
Quadro 19: Análise das resoluções do Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 4 ......... 111
Quadro 20: Análise das resoluções do Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4 ......... 115
Quadro 21: Análise das resoluções do Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4 ......... 119
Quadro 22: Análise das resoluções do Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6 ......... 123
Quadro 23: Análise das resoluções do Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6 ......... 128
Quadro 24: Resumo dos resultados do José e do Luís na resolução de situações
problemáticas ................................................................................................................. 144
Quadro 25: Resumo dos resultados do José e do Luís na resolução de inequações e na
determinação dos respetivos intervalos ......................................................................... 148
1
Capítulo 1
Introdução
Ao longo deste trabalho, apresento um estudo de cariz investigativo realizado no
âmbito da minha prática letiva supervisionada, do Mestrado em Ensino da Matemática,
que decorreu durante o 3.º período do ano letivo de 2012/2013 numa turma do 9.º ano
de escolaridade, de uma escola situada em Lisboa.
O assunto abordado centra-se nas representações utilizadas por alunos do 9.º ano
na resolução de situações problemáticas integradas no estudo de inequações do 1.º grau
a uma incógnita. Tendo por base o Programa de Matemática do Ensino Básico (DGIDC,
2007), este subtópico faz parte do tema Álgebra, em particular do tópico de Inequações,
abordado pela primeira vez no referido ano letivo.
A Álgebra constitui um dos grandes ramos da Matemática, ao lado da Geometria
e da Análise Infinitesimal. As orientações curriculares e didáticas para o ensino da
Álgebra têm mudado profundamente nos últimos anos. No passado, a Álgebra era
encarada como uma simples manipulação de símbolos e aplicação de fórmulas.
Progressivamente, esta perspetiva tem vindo a ser modificada, como refere o National
Council of Teachers of Mathematics ou NCTM (2007, p. 39) “os professores poderão
ajudar os alunos a construir uma base sólida baseada na compreensão e nas suas
experiências como preparação para um trabalho algébrico mais aprofundado”.
Também as representações têm vindo a merecer um especial destaque nas
orientações curriculares para o ensino da Matemática. De facto, um dos objetivos gerais
do Programa de Matemática do Ensino Básico consiste na necessidade dos alunos
compreenderem e saberem usar diferentes tipos de representações (DGIDC, 2007). Este
programa destaca igualmente que “as representações matemáticas desempenham um
papel importante em toda a aprendizagem desta disciplina [Matemática], e o trabalho
com os conceitos matemáticos mais importantes deve envolver, sempre que possível,
mais do que uma forma de representação” (DGIDC, 2007, p. 9). Além disso, como
refere o NCTM (2007, p. 76), somente “ao observar as suas representações [dos alunos],
os professores poderão conseguir compreender os modos de interpretação e de
raciocínio dos alunos”. No entanto, se para comunicar raciocínios são necessárias
2
representações, para desenvolver o raciocínio matemático é também necessário enfatizar
essas representações em todo o processo de ensino e aprendizagem da Matemática.
Consequentemente, a aprendizagem das representações por parte dos alunos tem
merecido uma crescente atenção de investigadores, de que destaco Duval (2003).
Segundo este autor, uma representação de um objeto é algo que substitui esse objeto
(Duval, 2006). No entanto, para Duval (2006), os objetos matemáticos não devem ser
confundidos com a sua representação, sendo este um dos problemas cruciais da
compreensão matemática, na medida em que, não é possível aceder a um objeto
matemático sem as representações, o que torna ambígua a distinção entre o objeto
representado e a representação usada (Duval, 2006).
Duval (1993) considera dois tipos de representações, as representações internas e
as representações externas (ou semióticas). Nas primeiras, encontram-se as imagens
mentais que correspondem às formulações internas construídas pelo indivíduo sobre
uma dada realidade. As segundas são organizações simbólicas externas (símbolos,
figuras, diagramas, gráficos, etc.) cujo objetivo é representar ou codificar uma
determinada “realidade matemática” (Dufour-Janvier, Bednarz & Belanger, 1987).
Além disso, Duval (2004; 2006) distingue duas transformações de
representações externas: os tratamentos e as conversões,
Os primeiros são transformações de representação que ocorrem dentro de um
mesmo registo e que revelam o papel intrínseco dos registos semióticos de
representação na atividade matemática. São exemplos de tratamentos,
resolver inequações ou sistemas de inequações.
Os segundos são transformações de representação que consistem em
mudanças de registo semiótico de representação. São exemplos de
conversões, a passagem de uma inequação (expressão algébrica) para a sua
representação gráfica ou a passagem de uma constatação sobre uma relação
em linguagem natural para a sua notação utilizando simbologia matemática.
Apesar da passagem de um registo para outro nem sempre ser simples, é
muitas vezes necessária para uma melhor compreensão do objeto em
questão.
Para Duval (2004), as aprendizagens fundamentais relativas ao raciocínio
requerem diversificação dos registos semióticos de representação, diferenciação entre
representante e representado e ainda a coordenação entre os diferentes registos. O
3
NCTM (2007, p. 77) refere esta ideia ao indicar que “representações distintas focam,
geralmente, aspetos diferentes de relações e conceitos complexos” pelo que, para se
tornarem conhecedores de conceitos matemáticos, “os alunos necessitam de uma
diversidade de representações que suportem a sua compreensão” (NCTM, 2007, p. 77).
Vários são os contextos matemáticos que favorecem o uso diversificado de
representações. Por exemplo, a resolução de problemas pode ser utilizada para estimular
o uso de diversas representações. Possibilita, ainda, o estabelecimento de conexões entre
diferentes tipos de representações e a passagem de uns para outros, podendo contribuir
para aumentar o conhecimento matemático dos alunos (Dufour-Janvier, Bednarz &
Bélanger, 1987). Neste contexto, torna-se relevante, como pretendi com este estudo,
compreender de que modo os alunos lidam com as representações quando resolvem
situações problemáticas envolvendo inequações no 9.º ano de escolaridade.
1.1. Motivações
A minha observação e acompanhamento das atividades letivas teve início no
mês de Janeiro de 2013, no princípio do 2.º período. Nessa altura, restavam três temas
para serem trabalhados na turma do 9.º ano: Circunferência e Polígonos; Números Reais
e Inequações; e Trigonometria no Triângulo Retângulo. Como não tinha tido ainda
qualquer contato com a turma, não optei pelo primeiro tema; e a minha escolha também
não recaiu no terceiro, por limitações de tempo devido ao meu desejo de finalizar o
presente relatório no final do ano letivo de 2012/2013.
Assim, em concordância com a professora orientadora cooperante, decidi estudar
as Inequações englobadas no tema dos Números Reais e Inequações. Esta escolha
deveu-se ao facto desse tema ser muito abrangente e o número de aulas previstas para a
lecionação das Inequações se ajustar ao número de horas planeadas para a minha
intervenção letiva.
A seguir, após a leitura de alguns artigos científicos e teses, constatei que o tema
Inequações tem, até ao momento, sido pouco explorado ao contrário do tema das
Equações. Verifiquei também, como já foi referido na secção anterior, que o Programa
de Matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007) salienta a importância que as
representações têm no ensino e aprendizagem da Matemática e incentiva à utilização de
vários tipos de representações. Além disso, uma das capacidades transversais que
4
importa desenvolver, segundo este programa, consiste na resolução de problemas.
Assim, tendo presente todos os factos, mencionados atrás, escolhi estudar tipos de
representações usadas pelos alunos para solucionarem situações problemáticas
suscetíveis de serem resolvidas recorrendo a inequações do 1.º grau a uma incógnita.
Por fim, importa salientar que era meu desejo utilizar vários tipos de
representações, tais como a linguagem natural, as expressões numéricas, as expressões
algébricas e também as representações gráficas. No entanto, não foi possível abordar
estas últimas, pois não existem computadores disponíveis na escola para a sua utilização
em sala de aula e esse assunto não faz parte do currículo de Matemática para o Ensino
Básico. Um futuro desenvolvimento deste trabalho poderia consistir em verificar se as
representações gráficas contribuem para facilitar a aprendizagem dos alunos
relativamente às inequações no Ensino Secundário.
1.2. Objetivo e Questões do Estudo
O objetivo deste estudo é perceber se os alunos compreendem e sabem usar os
diferentes tipos de representações na resolução de situações problemáticas envolvendo
inequações do 1.º grau a uma incógnita. Tendo em conta este objetivo, formulei as
seguintes questões que nortearam este estudo:
Quais são os principais tipos de representações usados pelos alunos na
resolução de situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau?
Quais são os principais erros e dificuldades que os alunos revelam na
conversão de representações de situações problemáticas que envolvem
inequações do 1.º grau?
Quais são os principais erros e dificuldades que os alunos revelam no
tratamento de representações de situações problemáticas que envolvem
inequações do 1.º grau?
1.3. Organização do Estudo
Este trabalho está organizado em seis capítulos. Neste primeiro capítulo refiro o
tema, as motivações, o objetivo e as questões de investigação do estudo. O segundo
capítulo engloba alguma literatura de referência e as orientações curriculares relativas às
5
representações matemáticas e às situações problemáticas suscetíveis de serem resolvidas
recorrendo a inequações. No capítulo seguinte, apresento a unidade didática da Álgebra,
sendo descritas as principais características da turma sobre a qual incide o estudo, as
orientações curriculares vigentes, as estratégias de ensino, as tarefas propostas e os
recursos utilizados, os planos das aulas lecionadas por mim e a descrição sumária das
mesmas. O quarto capítulo incide sobre os métodos e procedimentos da recolha de
dados, e nas principais características dos participantes e nas razões para a sua escolha.
No capítulo cinco, analiso os dados recolhidos tendo em conta a problemática definida.
Por fim, no capítulo seis, indico as principais conclusões e teço algumas considerações
finais.
6
7
Capítulo 2
Enquadramento da Problemática
Ao longo deste capítulo procedo ao enquadramento teórico e curricular da
problemática, recorrendo a trabalhos nacionais e internacionais sobre o tema em estudo
e ao Programa Nacional do Ensino Básico em vigor aquando da realização deste
relatório (DGIDC, 2007).
2.1. Situações Problemáticas em Matemática
No campo do ensino da Matemática, não existe uma definição de problema que
seja consensual entre investigadores e professores, mas sim diversas perspetivas. Por
exemplo, Kantowski (1977), com base na definição de Pólya (1975), considera que “um
indivíduo está perante um problema quando se confronta com uma questão a que não
pode dar resposta ou com uma situação que não sabe resolver, usando os conhecimentos
imediatamente disponíveis” (p. 163).
Lester (1980) também concorda com esta definição, e acrescenta ainda que o
interesse para encontrar uma solução é um fator importante para que uma situação seja
considerada um problema por parte do indivíduo:
Um problema é uma situação na qual um indivíduo ou grupo é chamado
a realizar uma tarefa para a qual não há um algoritmo imediatamente
disponível que determine completamente o método de solução (...).
Deve acrescentar-se que se supõe um desejo por parte do indivíduo ou
do grupo para realizar a tarefa. (Lester, 1980, p. 287)
Nesta perspetiva, a noção de problema refere-se às pessoas envolvidas. Uma
dada tarefa pode implicar esforços significativos a alguns indivíduos, enquanto que para
outros pode ser um mero exercício de rotina, bastando-lhes recordar factos já aprendi-
dos para a resolver. A mesma tarefa pode ainda ser interpretada e sentida de modo
diferente consoante o resolvedor de cada momento e, também, consoante o momento de
cada resolvedor. É neste sentido que Dumas-Carré, Caillot, Torregrossa e Gil (1989, p.
140) definem situação problemática como sendo:
8
Uma situação ambígua que levanta algumas dificuldades na procura de
um caminho a seguir, embora essa ambiguidade e essas dificuldades
não sejam algo intrínseco à situação, mas sim uma característica da
interação entre a situação e aquele que a resolve. Um problema não é
um objeto tendo uma existência autónoma é uma interação entre uma
situação e um indivíduo em determinado momento.
Assim, uma dada questão poderá ser um problema ou um exercício para um
dado indivíduo, consoante este disponha, ou não, de um processo que lhe permita
resolver rapidamente essa questão. Por isso, num dado momento, uma certa questão
pode constituir um problema para um certo indivíduo, mas, em outro momento, ser um
simples exercício.
No presente trabalho, assumo esta perspetiva, e devido a esse facto, na maior
parte do texto deste relatório, a palavra “problema” é substituída pela expressão
“situação problemática”.
Outros autores, como por exemplo Blum e Niss (1991), referem que um
problema é “uma situação que acarreta consigo certas questões abertas que desafiam
intelectualmente quem não está na posse imediata de métodos diretos, procedimentos ou
algoritmos suficientes para responder às questões” (p. 37).
Do mesmo modo que existem várias perspetivas sobre o que é um problema,
também a expressão ‘resolução de problemas’ encontra-se associada a diferentes
significados consoante os autores. Para alguns, trata-se de um processo para dar resposta
à situação problemática:
Resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum caminho
é conhecido de imediato, é encontrar um caminho para sair de uma
dificuldade, é encontrar um caminho em torno de um obstáculo, é
atingir um objetivo desejado que não é imediatamente acessível, e fazê-
lo com os meios apropriados. (Pólya, 1980, p. 1)
As características do contexto, da tarefa e do indivíduo são elementos referidos
na literatura quando se aborda o que significa resolver problemas. Se enfatizarmos as
características da tarefa estamos a medir o seu grau de dificuldade, o tipo de
conhecimento que requer e o contexto a que se refere. Por exemplo, Agre (1982)
salienta o grau de dificuldade de um problema: “Para qualificar como problema o
processo de resolução ou de definição tem que se crer que possui ao menos um pouco
de dificuldade” (p. 130).
9
Ao contrário do autor anterior, Nunokawa (2005) citado em Henriques (2010),
valoriza sobretudo os processos do indivíduo ao assumir que a resolução de problemas é
um processo de pensamento no qual o resolvedor tenta dar sentido à situação
problemática usando o conhecimento matemático que tem e tenta obter nova
informação sobre essa situação até que a consiga resolver.
De forma geral, concordo com Henriques (2010) quando esta afirma que “um
problema é uma situação para a qual um indivíduo está interessado em obter uma
solução mas que não dispõe, à partida, de um procedimento de resolução. A resolução
de problemas consiste num processo natural de exploração, onde o indivíduo tem que
reunir determinadas condições iniciais (conhecimentos e compromisso) que lhe
permitam superar as dificuldades que vão surgindo à medida que atinge os objetivos
pretendidos, proporcionando uma alteração substancial na situação de partida” (p. 50).
Tipos de problemas matemáticos
Na literatura existem várias tipologias usadas para identificar o tipo de problema
e de resolução que permite fazer face a uma determinada situação, pois este aspeto
constitui um fator decisivo no ensino da resolução de problemas. Por exemplo, Pólya
(1981, Vol. 2, p. 139) diferencia os problemas entre: (i) os que se resolvem
mecanicamente aplicando uma regra que acaba de se conhecer; (ii) os que se podem
resolver aplicando algo que se deu antes e em que o resolvedor tem que tomar alguma
decisão; (iii) os que requerem combinar duas ou mais regras ou exemplos dados na aula;
e (iv) os que também requerem combinar duas ou mais regras, mas que contêm
ramificações e requerem alto grau de raciocínio pessoal. Para o autor, a ordem
determina o grau de dificuldade e o valor educativo. Assim, na perspetiva pedagógica
de Pólya (1981), os problemas com verdadeiro interesse são os dos níveis (iii) e (iv).
Por sua vez, Ponte (1992) considera uma outra classificação, que diz respeito à
distinção entre os problemas puramente matemáticos e os da vida real, uma vez que a
sua resolução envolve processos de raciocínio muito diferentes. Os problemas da vida
real podem ainda ser de diversos tipos, de acordo com a natureza das atividades que
proporcionam. De acordo com Ponte (1991, 1992) citado por Henriques (2010), os
problemas escolares podem ser classificados em três grandes grupos:
Os problemas de tipo 1 são situações do mundo real, relativamente curtas,
contêm toda a informação necessária para a sua resolução, e usualmente
10
colocam uma questão que tem solução simples. Estes problemas podem ser
usados quando os alunos já têm os conhecimentos necessários para os
resolver.
Os problemas de tipo 2 são situações do mundo real, normalmente
suscetíveis de serem exploradas de várias maneiras. Segundo o autor, a
resolução destes problemas tende a ser dirigida pelo professor, mas há
usualmente oportunidades para explicações divergentes. O objetivo é utilizar
a Matemática sobretudo como um recurso para compreender melhor uma
situação real.
Os problemas de tipo 3 são investigações abertas cuja exploração pode
seguir um de muitos caminhos. Atendendo à sua natureza, podem representar
atividades e experiências de aprendizagem muito diversas, suscitando por
isso muito interesse em temos pedagógico.
A tipologia de problemas apresentada por Ernest (1992) centra-se no papel do
professor e do aluno. Assim, os problemas são apresentados pelo professor e dirigidos
para um objetivo ou solução, e o aluno segue um conjunto de orientações. Na
abordagem que designa por “resolução de problemas”, o professor divulga o problema e
facilita a resolução e o aluno procura resolvê-lo. Por último, na “formulação de
problemas”, o professor cria um contexto favorável para os alunos formularem os seus
próprios problemas.
Pehkonen (1991), pelo seu lado, valoriza a distinção entre os problemas abertos
e fechados. Esta distinção refere-se ao nível da exatidão da descrição do enunciado do
problema e objetivos. Assim, num problema fechado, tanto o enunciado como os
objetivos são fechados, isto é, é dada uma indicação mais ou menos explícita do que é
dado e do que é pedido. Se o enunciado e/ou os objetivos são abertos, então temos o
problema designado por aberto, desempenhando o aluno um papel importante na sua
definição. Na opinião do autor, a maioria dos problemas que são usualmente
encontrados na Matemática escolar são problemas fechados. Note-se que, segundo
Ponte (2005), um problema é uma tarefa fechada. Logo, estes dois autores atribuem
significados distintos a um problema, no que respeita ao grau de definição do seu
enunciado/do que é pedido.
11
Em adição ao conceito de resolução de problemas também surge o termo
‘investigação’ que forma um subgrupo dos problemas abertos. Por exemplo Evans
(1987) explica a diferença entre estes dois conceitos da seguinte forma:
A resolução de problemas é uma ação convergente onde os alunos têm que
encontrar uma solução para um certo problema.
A investigação é mais divergente do que um problema, e aqui os alunos são
encorajados a pensar em estratégias alternativas, a considerar o que irá
acontecer se um certo caminho for seguido ou a verificar quando é que
diferentes abordagens irão produzir diferentes resultados.
No entanto, a fronteira entre resolução de problemas e investigações não está
bem definida. A maior parte dos problemas tornam-se investigações se as condições da
tarefa forem alteradas. No decorrer da resolução de muitas investigações,
independentemente do grau de dificuldade inicial, os alunos obtêm um problema
quando formulam uma dada questão que não sabem como resolver.
Por fim, importa salientar que além dos problemas e investigações, Ponte (2005)
também identifica outros tipos de tarefas matemáticas que considera distintas: os
exercícios, os projetos e as tarefas de modelação. Segundo este autor, um exercício e um
projeto distinguem-se pela duração da sua execução. O primeiro tem uma curta duração,
enquanto o segundo uma longa duração. Para além do tempo de realização, Ponte
(2005) considera também importantes outras dimensões, como por exemplo o contexto.
De acordo com este autor, as tarefas de modelação são tarefas que se apresentam num
contexto de realidade, enquanto que os exercícios, os problemas e as investigações tanto
podem surgir em contextos de realidade, como de semi-realidade ou de matemática pura
(Ponte, 2005).
O ensino da resolução de problemas
Na literatura existe um número significativo de resultados sugerindo que há
vários aspetos da resolução de problemas que podem e devem ser ensinados (Charles &
Lester, 1984; Fernandes, 1992). Tal assunção levou ao desenvolvimento de diversas
abordagens para ensinar a resolver problemas.
Para Pólya (1945), o objetivo fundamental da educação é ensinar os mais novos
a pensar, constituindo a resolução de problemas uma arte prática que todos os alunos
12
podem aprender. O modelo de resolução de problemas concebido por este matemático
envolve quatro fases:
(i) Compreender o problema. Nesta fase interpreta-se a informação fornecida de
forma que esta possa fazer sentido para o aluno, envolvendo a compreensão
verbal e a identificação das partes principais do problema: as incógnitas, os
dados e as condicionantes.
(ii) Idealizar um plano. Estabelecer um plano é formular, pelo menos de uma
forma geral, qual o caminho a seguir para obter a solução do problema.
Nesta fase é importante conseguir selecionar ou inventar uma estratégia de
resolução do problema. O estabelecimento do plano pode ainda ter que
passar alterações, com base “na experiência passada e em conhecimentos
previamente adquiridos” (Pólya, 1975, p. 6).
(iii) Executar o plano. O plano é apenas um roteiro geral. Executar o plano é
efetuar todo o trabalho identificado na fase anterior. É ao longo da sua
execução que surge a formulação de conjeturas e o seu teste, seguindo-se-lhe
muitas vezes um processo cíclico.
(iv) Avaliar o que foi feito (olhar para trás para o trabalho realizado). A
avaliação ou análise retrospetiva do processo de resolução do problema
permite identificar até que ponto este está resolvido e se a estratégia seguida
foi ou não adequada. Assim, em primeiro lugar, deve testar-se a solução
encontrada e caso esta não verifique o problema, ensaia-se uma nova
abordagem. Mas mesmo que a solução encontrada seja correta é sempre
possível aumentar a compreensão do problema procurando, por exemplo,
generalizações ou verificando se alterações nas condições iniciais do
problema afetam a solução.
O modelo de quatro fases acima descrito deve ser ensinado aos alunos e constituí
um conjunto de instrumentos que o indivíduo passa a ter ao seu dispor para resolver
problemas. Este modelo tem servido de base à maior parte do trabalho realizado com
vista a melhorar as capacidades dos alunos na resolução de problemas (Schoenfeld,
1980). No entanto, Schoenfeld (1985a) defende que, para se aplicar com sucesso uma
estratégia não a basta conhecer, é preciso igualmente ser capaz de tomar boas decisões e
ter capacidade para a executar.
13
Ponte (1992), por sua vez, realça a importância dos requisitos a nível de
conteúdos, e sublinha a necessidade da existência de uma boa base de conhecimentos
para se desenvolver a capacidade de resolução de problemas. Constata-se, contudo, que
para se ter êxito na resolução de problemas não basta ter muitos conhecimentos
matemáticos ou conhecer estratégias de resolução, pois muitos alunos apesar de os
possuírem, não têm sucesso quando resolvem problemas. Algumas dificuldades na
resolução de problemas estão associadas às fracas capacidades metacognitivas em geral,
ou à falta de processos de controlo, em particular, que são considerados essenciais para
se obter sucesso na resolução de problemas (Lester, 1985; Schoenfeld, 1985b, 1992;
Silver, 1985; Vale, 1993, citados por Henriques, 2010).
Os processos metacognitivos têm a ver com o pensamento acerca do próprio
pensamento e podem-se identificar duas vertentes. Por um lado, o conhecimento dos
conhecimentos, respeitando ao que a pessoa sabe acerca das suas próprias capacidades e
recursos, assim como das suas conceções sobre a Matemática. Por outro lado, a gestão
ou controlo dos conhecimentos diz respeito à forma como toma decisões para selecionar
e gerir estratégias e ações práticas com vista à resolução de um problema (Fernandes,
1989).
Lester (1985) considera, por exemplo, que a investigação em metacognição tem
claras implicações na educação matemática, pois o seu ensino leva a que os alunos
discutam e pensem sobre o processo que utilizaram para resolver problemas, tendo em
vista fazê-los tomar consciência de que muitos problemas podem ter vários processos de
resolução. Também Ponte (1992) considera que estimular o aluno, a desenvolver as suas
capacidades no que respeita aos processos metacognitivos constitui uma possibilidade
de melhorar a sua capacidade de resolução de problemas.
Em suma, as dimensões para uma boa prática na atividade de resolução de
problemas incluem: (i) o conhecimento matemático; (ii) o domínio de estratégias e (iii)
o controlo sobre o processo de trabalhar um problema.
Por fim, importa referir que no próximo capítulo apresento os passos abordados
nas aulas e aplicados pelos alunos na resolução das situações problemáticas propostas.
Estes passos baseiam-se no modelo de resolução de problemas de Pólya (1945) referido
anteriormente (ver secção 3.3).
14
2.2. Representações Matemáticas
A importância das representações matemáticas tem vindo a ser salientada por
muitos investigadores e professores nas últimas décadas. Por exemplo, Vergnaud (1998)
realça a necessidade do estudo das representações e apresenta duas razões distintas:
A primeira é que todos experimentamos representações como imagens
internas, gestos e palavras. A segunda é que as palavras e símbolos que
usamos para comunicar uns com os outros não se referem diretamente à
realidade mas a entidades representadas: objetos, propriedades,
relações, processos, ações e constructos acerca das quais não existe
acordo automático entre duas pessoas. (p. 167)
Greeno e Hall (1997) também sublinham a importância das representações, que
definem como “ferramentas essenciais para a comunicação e o raciocínio sobre
conceitos e informação em Matemática, Ciência e outros domínios” (p. 362). Além
disso, de acordo com Goldin (2002), as representações dos alunos podem desempenhar,
ainda, um outro papel importante na aprendizagem da Matemática: “O seu estudo
permite, pelo menos potencialmente, descrever com algum detalhe, o desenvolvimento
matemático dos alunos em interação com os ambientes escolares e a criação de
métodos de ensino capazes de desenvolver poder matemático” (p. 198).
No entanto, como afirma Vergnaud (1998, p. 167) a “representação é um
conceito difícil” porque a noção de representação no âmbito do ensino, aprendizagem e
desenvolvimento da Matemática, pode ter diferentes interpretações (Goldin, 2002). Por
exemplo, para Duval (2006), uma representação de um objeto, tomando a palavra objeto
em sentido lato, por forma a incluir entidades abstratas como as que se encontram em
Matemática, é algo que substitui esse objeto.
Outros autores, como, por exemplo, Goldin (2002) e Greeno e Hall (1997)
referem-se às representações como objetos (nomes) e ações (verbos). Assim, segundo
Goldin (2008), uma representação é uma configuração que poderá, de alguma forma,
“atuar no lugar de, ser interpretado como, corresponder a, denotar, descrever, encarnar,
codificar, invocar, categorizar, ligar com, mediar, produzir, referir a, assemelhar, servir
como metáfora para, significar, substituir por, sugerir ou simbolizar o que está a ser
representado” (p. 181). De acordo com este autor, a relação entre a representação e o
objeto representado é mais complexa do que o que se poderia pensar. Assim, uma
15
palavra pode representar vários objetos diferentes e um dado numeral pode representar
os elementos de um conjunto ou um ponto numa reta numérica (Goldin, 2008).
A definição de Goldin (2008) é consistente com o indicado pelo NCTM (2000):
“O termo representação refere-se simultaneamente a processo e a produto, por outras
palavras, ao ato de capturar um conceito ou relação matemática através de uma
determinada forma e à forma em si mesma” (p. 67). Para o NCTM (2000), o termo
representação refere-se, também, “a processos e a produtos que são observáveis
externamente bem como àqueles que ocorrem internamente na mente das pessoas que
fazem Matemática” (p. 67). A dicotomia interna/externa merece, então, ser analisada
com maior detalhe.
Representações internas e externas
Goldin (1998, 2002), tal como muitos outros autores, distingue entre
representações “internas” e “externas”, isto é:
As representações internas estão ligadas a possíveis configurações mentais
dos indivíduos (aprendentes ou resolvedores de problemas) e são construídas
por eles a partir da observação de comportamentos (Goldin & Kaput, 1996).
Estas representações não podem ser comunicadas a outras pessoas, apenas
podem ser inferidas a partir da produção de representações externas pelo
próprio indivíduo.
As representações externas referem-se a configurações observáveis e físicas
que têm como objetivo representar uma certa realidade (Dufour-Janvier,
Bednarz & Belanger, 1987). Deste modo, as representações externas são
facilmente acessíveis através da observação, por qualquer indivíduo com
conhecimento adequado, e podem ser exibidas ou comunicadas a outras
pessoas. Exemplos destas representações externas são as representações
verbais, gráficas, algébricas ou simbólicas, pictóricas (diagramas ou
desenhos), tabelares e outras.
Duval (1993) também considera os dois tipos de representações: as
representações internas (ou mentais) e as representações externas (ou semióticas).
Geralmente, a linguagem natural é o primeiro registo de representação externa, e a partir
daí, constroem-se e desenvolvem-se novos sistemas semióticos.
16
De acordo com Duval (2006), o acesso aos objetos matemáticos só é possível
por meio de símbolos ou representações externas desses objetos. Por essa razão, as
atividades sobre o objeto matemático ocorrem sempre pela sua representação semiótica,
sendo essa representação, portanto, essencial à atividade cognitiva. De facto, certas
representações são muito associadas ao conceito que é difícil imaginar como é que o
conceito pode ser concebido sem elas.
Para este autor não é possível separar os diversos registos de representação da
função cognitiva do pensamento humano. Este designa de “sémiosis” “a produção de
uma representação semiótica” e de “noésis” “a compreensão do conceito de um objeto.”
(Duval, 1993, p. 40). No entanto, para Duval (1999), os objetos matemáticos (números,
funções, retas, etc.) não podem, nem devem, ser confundidos com as suas representações
(escrita decimal ou fracionária, gráficos, traçados de figuras, etc.), uma vez que um
mesmo objeto matemático pode ser apresentado através de representações muito
diferentes.
Estas considerações podem ser exemplificadas da seguinte forma, abordada por
Traldi Júnior (2002): considere-se um sistema de inequações do 1.º grau e os seus
diferentes registos de representação:
Representação algébrica: 0 y e 4 x 0 | y)(x,
Representação geométrica (ou gráfica):
Representação em linguagem natural: conjunto dos pares ordenados (x, y),
sendo que “x” pertence ao intervalo [0, 4] e “y” é um número real igual ou
superior a zero.
Portanto, neste exemplo, tem-se um sistema de inequações do 1.º grau
representado de três formas diferentes: algebricamente, graficamente e em linguagem
natural. O facto de um aluno saber resolver um exercício que está representado na forma
algébrica ou em qualquer outra forma isoladamente (“sémiosis”), não significa que este
compreenda o conceito do objeto sistema de inequações do 1º grau (“noésis”).
Apesar desta distinção entre as representações internas e externas, diversos
autores sublinham e justificam, nas suas teorias, a importância de uma relação mais ou
17
menos direta entre ambas. Goldin (2002) salienta a importância do acesso às
representações externas para descrever o que os alunos, professores ou matemáticos
fazem internamente, uma vez que só é possível fazer inferências sobre as representações
internas dos alunos através da produção de representações externas: “As representações
internas encontram-se codificadas fisicamente e a sua descrição a nível cerebral ainda
não é conhecida em detalhe” (p. 210).
É ainda de destacar a abordagem bidireccional das representações, feita por
Goldin (2002). Para o autor, não é só o externo que representa o interno, por exemplo,
quando um aluno expressa o que tem em mente ao desenhar um gráfico, mas também o
interno representa o externo, ou seja, o aluno visualiza o que é descrito por um gráfico
ou por uma fórmula algébrica. Além disso, o seu estudo sobre representações indica que
através da interação entre sistemas de representação externa, desenvolvem-se sistemas
de representação internos para os alunos poderem produzir novas representações
externas. Assim, de acordo com Goldin (2002), um objetivo fundamental da educação
matemática é o desenvolvimento, pelos alunos, de sistemas internos de representação
eficientes que correspondam de maneira coerente, e interatuem adequadamente com os
sistemas externos da Matemática, convencionalmente estabelecidos.
Parece, pois, inquestionável, a existência de uma relação estreita entre
representações internas e externas, ambas essenciais na aprendizagem da Matemática.
De facto, é esta interação de dois caminhos, entre representações internas e externas,
que ajuda a promover a compreensão e o desenvolvimento de conceitos matemáticos
(Zhang, 1997).
Neste estudo, interpreto o termo “representação” sob a perspetiva de Greeno e
Hall (1997) como uma ferramenta usada para raciocinar, construir compreensão e
representar ideias matemáticas. Assim, quando uso, no texto deste relatório, o termo
“representação” sem referência a “externo” ou “interno”, é porque me refiro a uma
representação externa.
O papel das representações externas
Na opinião de Zhang (1997), as representações externas desempenham funções
muito mais importantes do que meros auxiliares de memória: “[As representações
externas] são tão intrínsecas a tantas tarefas cognitivas que conduzem, limitam e até
determinam o comportamento cognitivo” (p. 180). Acrescenta, ainda, que a forma de
18
uma representação pode influenciar a resolução de problemas: “A forma de uma
representação determina qual a informação que vai ser percebida, quais os processos
que vão ser ativados e quais as estruturas que podem ser descobertas a partir de uma
representação específica” (p. 179).
Ao longo das últimas décadas, muitos autores têm investigado os efeitos das
representações externas na aprendizagem da Matemática. Por exemplo, Greeno e Hall
(1997), como já referido, afirmam que as representações são ferramentas úteis para
raciocinar, construir compreensão e para comunicar informações. Sublinham, ainda, a
importância dos alunos se empenharem na escolha e na construção das suas próprias
representações para resolver um problema matemático.
De igual modo, Cox (1999) salienta que o processo de construção de uma
representação ajuda os alunos a melhorar o seu conhecimento. Para o autor, a
construção de representações pode ter diferentes objetivos. Por exemplo, para os alunos
com pouco ou nenhum domínio do conhecimento pode ajudar a construir esse
conhecimento. Para os alunos com níveis avançados de domínio de conhecimento, a
construção da representação pode ajudar a aceder à informação armazenada na memória
de longo prazo e como sumário do seu processamento, o que diminui a carga do
trabalho de memória e os ajuda a concentrar-se no raciocínio (Henriques, 2010).
Tipos de representações externas
Na literatura existem muitas tipologias de classificação de representações
externas, dependendo do domínio de conhecimento que se considere (semiótica,
ciências cognitivas, etc.). Por exemplo, Bruner (1966) refere as representações inativas,
icónicas e simbólicas e associa-as a estádios de desenvolvimento das crianças. As
representações inativas estão associadas à ação (justificando o recurso a materiais
manipuláveis para criar modelos favoráveis à construção de conceitos), as
representações icónicas assentam no uso de figuras, imagens, esquemas, tabelas ou
desenhos, pelo que também são referidas como representações visuais. As
representações simbólicas são as mais complexas, pois apelam ao uso de linguagens
simbólicas.
Como sistemas de representação externos, Goldin e Shteingold (2001) indicam
dois tipos: (i) notacionais e formais – que incluem o sistema de numeração, a forma de
escrever e manipular expressões algébricas e equações, as convenções para denotar
19
funções, derivadas e cálculo de integrais e as linguagens informáticas; e (ii) relações
visuais e espaciais – incluindo retas numéricas, gráficos (cartesianos, polares ou outros
sistemas de coordenadas), tabelas e diagramas geométricos. Acrescentam, ainda, que
palavras e frases, faladas e escritas, também são representações externas pois podem
descrever objetos materiais, propriedades físicas, ações e relações ou coisas mais
abstratas.
No que respeito em particular a Álgebra, Friedland e Tabach (2001) apresentam
quatro modos de representação essenciais ao ensino da Matemática: representação
verbal, representação numérica, representação gráfica e representação algébrica. Estes
autores apresentam as vantagens e desvantagens associadas a cada uma das formas de
representação que identificam:
Representação verbal – está normalmente associada à apresentação do
problema e à interpretação final dos resultados obtidos, dá ênfase à conexão
da Matemática com outras áreas do conhecimento e entre a Matemática e o
quotidiano. Esta forma de representação pode tornar-se um obstáculo para a
comunicação matemática, uma vez que não é universal e a sua utilização
pode ser feita de forma ambígua ou conduzir a associações incorretas.
Representação numérica – é uma representação natural para os alunos que se
encontram a iniciar o estudo da álgebra e, normalmente, precede qualquer
outro tipo de representação. Este tipo de representação é importante na
compreensão inicial de um problema e na investigação de casos particulares,
no entanto, não é generalizável, sendo por isso uma ferramenta, em alguns
casos, limitada.
Representação gráfica – proporciona uma imagem clara de uma função de
variável real. É uma forma de representação intuitiva e apelativa para os
alunos que gostam de uma análise visual. No entanto, a representação gráfica
é muito influenciada por fatores externos (por exemplo, escalas) e apresenta
frequentemente só uma parte do domínio do problema. A sua utilidade como
ferramenta matemática varia de acordo com a tarefa em causa.
Representação algébrica – esta é concisa, geral e efetiva na apresentação de
padrões e modelos matemáticos, por vezes é o único método de justificar ou
efetuar generalizações. Contudo, esta forma de representação, que usa
20
exclusivamente símbolos algébricos pode ocultar o significado matemático
ou a natureza do objeto e causar dificuldades de interpretação de resultados.
Na resolução de problemas, Preston e Garner (2003) distinguem os seguintes
modos de representação: (i) linguagem natural escrita para explicar o raciocínio e as
estratégias, como complemento de outros modos de representação; (ii) pictórico, com
recurso a desenhos ou imagens para apresentar, conjugar e sintetizar a informação; (iii)
aritmético, por vezes, através de estratégias de tentativa e erro, de desfazer ou do uso de
tabelas; (iv) gráfico, com recurso a gráficos de variáveis contínuas ou discretas com o
objetivo de mostrar o seu comportamento; e (v) algébrico, correspondendo à utilização
de linguagem simbólica para generalizar. Brown e Mehilos (2010) fazem referência a
uma outra forma de representação, a tabular.
Transformações das representações externas: a conversão e o tratamento
A característica que sobressai da atividade matemática é a mobilização
simultânea de, pelo menos, dois registos de representação ou a possibilidade de mudar,
em qualquer momento, de um registo para outro (Duval, 2006). De acordo com Duval
(2004; 2006), a atividade matemática pode ser analisada considerando dois tipos de
transformações de representações semióticas: os tratamentos e as conversões.
Os primeiros são transformações que ocorrem dentro de uma mesma
representação; e os segundos são transformações de um tipo de representação noutro
tipo (diferente) de representação em relação ao mesmo objeto matemático. De forma a
exemplificar a diferença entre estas duas transformações considere-se o seguinte
problema utilizado por Traldi Júnior (2002):
Qual é o conjunto-solução que satisfaz a condição: o dobro de um número mais 3 é
maior que 4?
Resolução:
2x + 3 > 4 (Conversão: transformação do registo linguagem natural para o registo
algébrico).
2x > 1 => x > 1/2 (Tratamento: transformações de representações dentro de um mesmo
registo algébrico).
21
Assim, a conversão é uma atividade cognitiva diferente e independente da
atividade do tratamento. Por exemplo, um aluno pode saber adicionar dois números
escritos na forma decimal e também dois números escritos na forma fracionária, mas não
consegue proceder à conversão de um número fracionário em decimal. Outro exemplo,
um aluno consegue resolver um sistema de inequações representado na forma algébrica
aplicando os princípios de equivalência e sabe interpretar os dados de um gráfico e
encontrar as soluções, porém não sabe fazer a conversão entre os dois registos de
representação.
De acordo com Duval (2003), a conversão, principalmente nos seus dois
sentidos, é que é relevante para a aprendizagem em Matemática, sendo assim importante
utilizá-la nas atividades de ensino. O mesmo autor refere que a conversão deve ser
privilegiada comparativamente ao tratamento, devido ao facto de esta não ser tão
evidente e espontânea para a maioria dos alunos (Duval, 2009).
Por sua vez, o uso de diversos registos de representação no processo de ensino
aprendizagem permite efetuar o tratamento de uma forma mais económica e rápida, e
proceder à complementaridade dos registos de representação, pois, segundo Duval
(2009), todos os registos de representação são parciais. A coordenação entre diferentes
registos de representação também é importante, pois a conceitualização implica essa
coordenação. No entanto, não parece ser possível realizá-la no âmbito de um ensino que
seja determinado principalmente por conceitos, podendo ocorrer uma divisão entre os
diferentes registos de representação por parte dos alunos. Neste caso, os alunos não
reconhecem o mesmo objeto através de diferentes representações que lhes são dadas em
diferentes sistemas semióticos. Por exemplo: a escrita algébrica de uma relação e a sua
representação gráfica, a escrita numérica de uma relação e sua relação geométrica numa
reta ou num plano, o enunciado de uma fórmula em linguagem natural e sob a forma
literal, a descrição de uma situação e sua conversão numa equação.
São muitas as explicações que justificam a separação entre os registos de
representação e, portanto, a não coordenação entre eles. Uma delas é a da “não-
congruência” entre eles, pois quando há congruência entre os registos, a conversão
torna-se trivial e pode ser considerada intuitivamente como um simples processo de
codificação, mas, quando não há congruência, a conversão torna-se onerosa em termos
de tratamento. Como afirma Duval (1993, p. 63), “(…) não pode ocorrer uma
verdadeira aprendizagem quando as situações e tarefas propostas não levam em conta a
22
necessidade de diversos registos de representação, para o funcionamento cognitivo do
pensamento, e o caráter central de conversão”.
A noção de congruência e não-congruência semântica no contexto da
Matemática, apresentada por Duval (1988a), é um fenómeno característico da atividade
de conversão, assim como também é a heterogeneidade dos dois sentidos da conversão.
A substituição de uma expressão por outra é uma característica muito importante do
funcionamento cognitivo do pensamento matemático e uma propriedade intrínseca aos
registos de representação semióticos. Os fenómenos de congruência e não-congruência
são importantes para esta substituição (Duval, 1988b).
Para que ocorra o fenómeno da congruência na conversão de um registro de
representação para outro, são necessários três critérios: correspondência semântica entre
unidades significantes que constituem os registos de representação; a mesma ordem
possível de compreensão destas unidades, nos dois registos de representação; e a
conversão de uma unidade significante do registo representação de partida a uma só
unidade significante no registro de representação de chegada (Duval, 2009). As
dificuldades associadas à não-congruência semântica podem estar associadas a situações
que impõem ou não um operador (conceito); bem como às situações em que não
impõem um operador ou ainda podem depender do desconhecimento das representações
semióticas (Duval, 1988b; 2009).
Duval (1993), no intuito de elucidar a relevância do fenómeno de não-
congruência na aprendizagem dos conceitos matemáticos, analisou algumas situações.
Por exemplo, o seguinte problema diz respeito à compreensão do enunciado de um
problema de proporcionalidade:
Eu paguei 51 francos por 6 kg de laranjas [...]
1. Que quantidade de laranjas terei com 85 francos?
2. Quanto deverei pagar por 4 kg de laranjas? (Duval, 1993, p. 9)
A primeira questão deste problema permite utilizar diretamente o operador
“função” – “a (kg) custam b (francos)”, a questão então é congruente ao enunciado. A
segunda questão implica uma inversão do operador “função”, a questão não é
congruente ao enunciado. No estudo de Duval (1993), refere-se que os alunos, que
realizaram esta tarefa, obtiveram sucesso na primeira questão, mas não na segunda
questão. Consequentemente, Duval (2003) sugere que, na escolha das tarefas a lecionar,
se deve ter em conta duas condições: tarefas que abordem os dois sentidos da conversão
23
e cada sentido da conversão deve incluir casos de congruência e casos mais ou menos
complexos de não-congruência.
Erros e dificuldades dos alunos na conversão e tratamento de representações
Como já referi anteriormente, de acordo com Duval (2009): “a conversão das
representações semióticas constitui a atividade cognitiva menos espontânea e mais
difícil de adquirir para a maioria dos alunos.” (p. 63). Tal facto significa que o aluno
não reconhece o objeto nos diferentes registos de representação. Assim, apesar da
passagem de um registo para outro nem sempre ser simples, é muitas vezes necessária
para uma melhor compreensão do objeto em questão.
Por seu lado, às vezes, os alunos conseguem fazer a conversão, mas revelam
erros no tratamento, o que pode dever-se a dificuldades na aplicação de regras básicas
da Matemática. Por exemplo, Ponte, Branco e Matos (2009) referem que as dificuldades
mais comuns de um aluno na resolução de inequações são: “(i) não compreender o que é
uma inequação e qual a natureza do seu conjunto-solução; (ii) aplicar indevidamente as
regras de resolução das inequações, multiplicando ambos os membros de uma
inequação por um número negativo sem inverter o sentido da desigualdade; e (iii)
estabelecer incorretamente a intersecção e reunião de conjuntos-solução em situações de
conjunção e disjunção de condições” (Ponte, Branco & Matos, 2009, p. 167).
Existem alguns estudos que abordam os erros e as dificuldades evidenciadas por
alunos na conversão e no tratamento de registos de representação semiótica. Por
exemplo, Traldi Júnior (2002) identifica erros e dificuldades apresentadas por alunos da
3.ª série do Ensino Médio (do Brasil) na resolução de sistemas de inequações do 1.º
grau envolvendo problemas de programação linear, recorrendo à representação gráfica
e/ou algébrica. Os erros são detetados principalmente na conversão da linguagem
natural para expressões algébricas; e na conversão de expressões algébricas para a
representação gráfica, e vice-versa. No entanto, o tratamento das representações
também suscita alguns problemas aos alunos, nomeadamente na leitura e interpretação
de gráficos e na resolução de sistemas de inequações.
Por seu lado, alguns alunos do ensino superior participaram no estudo de
Bianchini e Puga (2006), tendo estes autores constatado que, embora o ensino das
funções ocupe grande parte do currículo escolar do seu país, o Brasil, os estudantes
chegam ao ensino superior sem compreender os conceitos básicos de funções, e
24
reconhecem apenas gráficos de funções polinomiais dos 1.º e 2.º graus (retas e
parábolas). Bianchini e Puga (2006) também verificam que os alunos que resolvem as
questões propostas recorrendo a dois ou mais registos de representação semiótica têm
maior sucesso na resolução dos problemas propostos, comparativamente aos que
utilizam apenas um registo. Este facto também é apontado por Traldi Júnior (2002).
Os alvos do estudo de Giusti (2008) são professores de Matemática em exercício
e futuros professores de Matemática (alunos de licenciatura), tendo o autor proposto a
estes uma abordagem funcional gráfica genérica para a resolução de inequações e/ou
equações utilizando uma sequência de atividades, com o intuito de verificar se essa
abordagem pode contribuir para melhorar o ensino e a aprendizagem da resolução
algébrica de inequações a uma incógnita real. Giusti (2008) concluí que, embora os
participantes tenham conseguido realizar as conversões necessárias para resolver
graficamente uma dada inequação, não conseguem relacionar tal resolução com a
respetiva resolução algébrica, evidenciando, assim, que os próprios professores têm
dificuldade na resolução de inequações.
Conceição Júnior (2011) estuda se a resolução de inequações por meio de uma
abordagem funcional gráfica utilizando atividades que possibilitam o tratamento e a
conversão de registos de representação semiótica, pode contribuir para aumentar a
compreensão desse tema em relação às abordagens que privilegiam apenas os
tratamentos no registo algébrico. O autor analisa também se a coordenação entre os dois
registos de representação, gráfico e algébrico, pode ser vantajoso no ensino das
inequações. Neste estudo, alguns alunos da 2.ª série do Ensino Médio de uma escola
brasileira participaram em duas sessões para a resolução das mesmas atividades, tendo
na primeira utilizado o programa Geogebra e na segunda não. A maioria dos alunos
utilizou na primeira sessão a representação gráfica recorrendo ao Geogebra, e na
segunda sessão usou a representação algébrica e a relação entre este registo e a
representação gráfica usada na primeira sessão. Consequentemente, estes resultados
evidenciam que este tipo de abordagem (i.e., o uso de dois tipos de representações) pode
ser satisfatório na resolução de inequações, pois os alunos mostraram ter maior
conhecimento matemático sobre este tema da primeira sessão para a segunda, e
evidenciaram coordenação entre os dois registos semióticos: gráfico e algébrico.
As dificuldades encontradas por este autor são similares aos estudos de Traldi
Júnior (2002), Bianchini e Puga (2006) e Giusti (2008), mais precisamente: dificuldades
na conversão do registo da linguagem natural para o registo algébrico referido por
25
Traldi Júnior (2002); dificuldades na interpretação de gráficos que não são nem retas
nem parábolas, como apontado por Bianchino e Puga (2006); e dificuldades na
coordenação entre a resolução gráfica e a resolução algébrica, um dos resultados de
Giusti (2008).
Além disso, alguns autores defendem que as dificuldades e erros evidenciados
pelos alunos devem-se aos próprios manuais. Por exemplo, Silva (2007) investiga as
estratégias utilizadas por alguns autores de livros didáticos quando abordam o conceito
de função, a relação discreto/contínuo na construção de gráficos, os sentidos da
conversão entre o registro gráfico e algébrico. Segundo o investigador, na maioria
desses livros, no tratamento gráfico a passagem do discreto ao contínuo é automática e
insuficiente; conversões da representação algébrica para a gráfica são privilegiadas em
detrimento das conversões da representação gráfica para a algébrica e; variáveis visuais
pertinentes ao registro gráfico não são consideradas nestas conversões.
Por último, importa referir que na maioria dos artigos que consideram a teoria de
representação semiótica de Duval e abordam o conceito de função, o foco principal são
os alunos em detrimento dos professores. Além disso, os registos de representação
semiótica gráfico e algébrico são os mais estudados pelos investigadores; talvez devido
ao facto de Duval enfocar principalmente estes dois registos nos seus artigos.
O papel das representações múltiplas
Um dos aspetos que as tipologias de classificação das representações atrás
descritas permitem sublinhar é a diversidade de formas que pode assumir a
representação de ideias matemáticas. É a diversidade de representações que dá sentido a
um objeto matemático, uma vez que cada representação é de diferente natureza, tem
capacidade de representação limitada e descreve diferentes aspetos do objeto que
representa (Duval, 2006). O NCTM (2000) reforça esta ideia, ao referir que são estes
diferentes tipos de representações que “frequentemente iluminam diferentes aspetos de
um conceito complexo ou relação” (p. 68), pois cada uma tem as suas características
próprias, e as suas vantagens e limitações.
A Matemática é composta por conceitos que estão relacionados através de várias
relações. Usar diferentes representações é como examinar o conceito através de uma
variedade de lentes, cada uma das quais fornece uma perspetiva que torna o conceito
26
mais rico e profundo (Tripathi, 2008). À medida que o número de perspetivas aumenta,
desenvolvemos melhor a compreensão do conceito.
Vários autores, como é o caso de Ainsworth (2006) e Gagatsis & Shiakalli
(2004), defendem que estas diferentes representações não devem ser consideradas
alternativas nem independentes entre si e sublinham a importância de se estabelecerem
conexões entre vários tipos de representações (Henriques, 2010).
A tradução é um termo relacionado com a ideia de representações múltiplas e
refere-se ao processo de passar de uma forma de representação para outra, por exemplo,
passar de uma inequação para um gráfico e vice-versa (Janvier, 1987). Assim, uma
tradução envolve sempre duas formas de representação: a fonte (a representação inicial)
e o alvo (a representação final) (Henriques, 2010).
A capacidade de estabelecer ligações significativas entre diferentes
representações e de traduzir de um modo de representação para outro é definida, em
Kertil e Aydin (2009) como “fluência representacional”. No mesmo sentido, Sfard e
Linchevski (1994) defendem que é a flexibilidade que determina a competência
algébrica dos alunos e que esta flexibilidade é função de dois parâmetros: versatilidade
e adaptabilidade. A versatilidade diz respeito ao conjunto de ferramentas que um aluno
tem disponível para resolver um problema e à capacidade para as usar (por exemplo, o
aluno é capaz de representar e resolver problemas, tanto simbólica, como graficamente).
Por seu lado, a adaptabilidade consiste na capacidade de selecionar e usar as
ferramentas mais adequadas ao trabalho a realizar (por exemplo, o aluno é capaz de
manipular símbolos, no entanto escolhe o raciocínio gráfico para resolver um problema
particular porque o serve melhor) (Henriques, 2010). Para os autores, a análise destes
dois parâmetros é fundamental para a avaliação da flexibilidade de um aluno na
resolução de problemas. O NCTM (1991) também enfatiza os benefícios da
versatilidade dos alunos e recomenda que estes devem ser capazes de “representar e
analisar relações usando tabelas, regras verbais, equações e gráficos” e “traduzir entre
representações tabelares, simbólicas e gráficas” (p. 154).
Assim, além da importância atribuída a cada um dos diversos tipos de sistemas
representacionais, a capacidade de tradução entre os diversos tipos de registos de
representações parece ser um dos desafios inerentes à compreensão dos conceitos e
procedimentos matemáticos. A literatura indica que a capacidade de traduzir dentro e
entre diferentes representações de conceitos matemáticos é essencial no
desenvolvimento de competências matemáticas e de resolução de problemas de um
27
indivíduo (Elia, Panaoura, Eracleous & Gagatsis, 2007; Even, 1998; Greeno & Hall,
1997; Hitt, 1998a; Janvier, 1987; citados por Henriques, 2010).
Representações múltiplas na aprendizagem da Matemática e na resolução de
problemas
A prática de expor os alunos a uma única representação de conceitos e relações
matemáticas não os ajuda, necessariamente, a compreender esses conceitos. De acordo
com Niemi (1996), o facto dos alunos serem capazes de usar uma única representação
em problemas envolvendo determinado conceito não significa que o tenham
compreendido. De igual modo, quando os alunos respondem corretamente a um
determinado tipo de problema matemático, da forma como aprendem a fazê-lo, não
significa que tenham construído uma base de compreensão que conduza à aprendizagem
de novos conceitos. Não podemos obter informação sobre a compreensão dos alunos “se
olharmos apenas para a facilidade, ou mesmo a qualidade com que lidam com cada uma
das representações em separado” (Hitt, 1998b, p. 95).
Assim, os alunos têm que se familiarizar com uma diversidade de representações
e devem ser capazes de as usar, de forma flexível, na resolução de problemas em várias
áreas do conhecimento e, em particular na Matemática. De facto, o uso de diferentes
representações depende da familiaridade dos alunos com cada uma dessas
representações. Primeiro, os alunos necessitam de compreender a forma da
representação, como codifica a informação e como se relaciona com o domínio que
representa. Depois, com o aumento da sua compreensão, tornam-se menos dependentes
do tipo de representação e tornam-se mais capazes de moverem-se entre diferentes tipos
de representações (Ainsworth, 2006).
A compreensão das relações existentes entre as várias representações de um
mesmo conceito e a identificação das suas semelhanças e diferenças contribui para uma
melhor compreensão do conceito por parte dos alunos (Goldin & Shteingold, 2001).
Assim, quando interatuam com representações múltiplas, os alunos devem compreender
também a relação entre as representações, mas alguns estudos têm mostrado que tendem
a tratar as representações de forma isolada e encontrar dificuldades para integrar a
informação vinda de mais de uma fonte. Assim, é fundamental que os professores
promovam, nas salas de aula, o uso flexível de representações múltiplas. Desta forma,
os alunos estarão expostos a diferentes representações dos conceitos matemáticos e
28
como resultado, ganham capacidade para: (i) traduzir dentro e entre as diferentes
representações; (ii) selecionar as mais adequadas para a resolução de situações
específicas; e (iii) usarem-nas como meio facilitador da sua compreensão matemática e
capacidade de resolução de problemas (Hiebert & Carpenter, 1992; NCTM, 2000).
Existem muitas vantagens no uso de representações múltiplas, claramente
identificadas pelos inúmeros trabalhos desenvolvidos nessa área. A existência de uma
relação próxima entre a capacidade de resolução de problemas e a capacidade de
tradução entre diferentes representações de uma ideia matemática é evidenciada por
Gagatsis e Shiakalli (2004). Os autores investigam a capacidade de tradução de alunos
universitários, no que diz respeito ao conceito de função. Os resultados mostram que a
capacidade de tradução entre representações está associada ao sucesso na resolução de
problemas. Mostram, ainda, que as percentagens de sucesso nas tarefas de tradução
direta são mais baixas quando uma representação gráfica está envolvida na tarefa de
tradução. Os autores atribuem este resultado à natureza holística das representações
gráficas e ao modo como o conceito de função é ensinado nas escolas secundárias.
Cai (2000) desenvolve um estudo com alunos (americanos e chineses) do 6.º
ano, com tarefas que envolvem o algoritmo da média aritmética, para determinar se o
seu sucesso durante a resolução de problemas é dependente do tipo de representações
que usam. O autor observa que a maioria dos alunos chineses usa representações
algébricas (simbólicas) na resolução das tarefas dadas enquanto os americanos, com
uma taxa de insucesso superior, preferem as representações verbais ou pictóricas.
Verifica ainda que os alunos que usam representações algébricas na resolução das
tarefas dadas têm um desempenho significativamente melhor do que os que usam
representações pictóricas ou verbais. Deste modo, o investigador atribui este sucesso à
competência na seleção e uso de representações apropriadas para resolver as tarefas
dadas e conclui que a capacidade para selecionar uma representação apropriada para
resolver um problema é essencial ao sucesso durante a sua resolução.
O estudo de Knuth (2000) analisa a compreensão dos alunos sobre funções,
baseado na ligação que estabelecem entre representações algébricas e gráficas do
conceito. Os participantes são alunos de uma escola secundária a quem é pedido para
resolver dez problemas sobre funções (cada problema é apresentado em dois formatos:
uma representação algébrica e uma representação gráfica). Os resultados indicam que os
alunos confiam mais nas representações algébricas. Para a maioria dos alunos, o gráfico
parece ser desnecessário ou mesmo irrelevante para encontrar soluções. Assim, Knuth
29
(2000) atribui as dificuldades dos alunos à sua (grande) confiança nas representações
algébricas e à falta de ligação entre equações e gráficos de funções e advoga que para
um aluno desenvolver uma compreensão robusta da noção de função não chega
conhecer uma representação para usar durante a resolução de problemas, é necessário,
também, ser capaz de se mover de forma flexível entre diferentes representações de
funções.
Tom e Russell (2001) também investigam se a escolha feita pelos alunos das
representações que usam na resolução de problemas depende da sua complexidade.
Durante três anos, os alunos do 6.º ano que participam no estudo são solicitados a
resolver vinte problemas matemáticos (classificados como fáceis ou difíceis) e a indicar
os métodos que usam para resolver cada um desses problemas. As respostas são
classificadas como visuais, se o método de solução usado envolve uma representação
pictórica ou gráfica ou como não visuais, caso contrário (por exemplo, representação
simbólica). Os resultados do estudo indicam que os alunos preferem usar métodos
visuais para completar os problemas difíceis e que os métodos não visuais são usados
em situações problemáticas de menor dificuldade, indiciando uma relação entre a
dificuldade da tarefa e a escolha da representação. Os autores defendem que os alunos
devem ser expostos a diferentes representações, tanto visuais, como não visuais, dos
conceitos e relações matemáticas.
No estudo de Velaz e Ponte (2012), o facto dos alunos utilizarem representações
de natureza muito diversa, revelando assim terem potencialidades distintas para
resolverem problemas, mostra a importância do papel do professor. Estes autores
sugerem como um possível tema para futuras investigações o estudo do modo como os
professores podem apoiar os seus alunos na aprendizagem de representações
progressivamente mais sofisticadas, e no aumento da capacidade de usá-las como
ferramentas intelectuais poderosas para a resolução de problemas.
Por fim, ressalto, a importância dos problemas envolvendo inequações que são
propostos em linguagem natural, e permitem, além do tratamento de alguns registos de
representação, a conversão e a coordenação desses. A observação do tipo de
representações que os alunos utilizam, e dos erros e dificulades que evidenciam no
tratamento e conversão entre representações, é um tema recorrente da investigação em
educação matemática. No presente trabalho trato particularmente das representações em
linguagem natural, numérica e algébrica, por parte dos alunos.
30
2.3. Situações Problemáticas e Representações nas Orientações
Curriculares em Matemática
As representações têm vindo a assumir um especial destaque nas orientações
curriculares para o ensino da Matemática. O NCTM (2007) considera que as
representações são centrais no estudo da Matemática, na medida em que “os alunos
podem desenvolver e aprofundar os seus conhecimentos sobre conceitos e relações
matemáticas, à medida que criam, comparam e utilizam representações diversas” (p.
332). É ainda salientado pelo NCTM (2007) que “quando os alunos conseguem aceder
às representações Matemáticas e às ideias que elas expressam, ficam com um conjunto
de ferramentas que aumentam significativamente a sua capacidade de pensar
matematicamente” (p. 75).
Este documento dedica uma norma específica à representação matemática,
considerando como objetivos para os alunos, desde o pré-escolar até ao 12.º ano:
Criar e usar representações para organizar, registar e comunicar
ideias matemáticas;
Selecionar, aplicar e traduzir representações matemáticas para
resolver problemas;
Usar as representações para modelar e interpretar fenómenos
físicos, sociais e matemáticos. (NCTM, 2007, p. 160)
Um dos objetivos gerais do Programa de Matemática do Ensino Básico expõe a
mesma ideia, ou seja, a necessidade dos alunos conhecerem e compreenderem
diferentes tipos de representações, sabendo utilizá-las em diferentes situações (DGIDC,
2007). Neste documento é apresentado como objetivo geral do ensino da Matemática:
Os alunos devem ser capazes de lidar com ideias matemáticas em
diversas representações. Isto é, devem ser capazes de:
ler e interpretar representações simbólicas, pictóricas, tabelas e
gráficos, e apresentar adequadamente informação em qualquer
destas formas de representação;
traduzir informação apresentada numa forma de representação para
outra, em particular traduzir para termos matemáticos informação
apresentada em linguagem natural;
elaborar e usar representações para registar, organizar e comunicar
ideias matemáticas;
usar representações para modelar, interpretar e analisar situações
matemáticas e não matemáticas, incluindo fenómenos naturais ou
sociais. (DGIDC, 2007, pp. 4-5)
31
Este programa destaca igualmente que “as representações Matemáticas
desempenham um papel importante em toda a aprendizagem desta disciplina
(Matemática), e o trabalho com os conceitos matemáticos mais importantes deve
envolver, sempre que possível, mais do que uma forma de representação” (DGIDC,
2007, p. 9).
O NCTM (2007) refere que “representações distintas focam, geralmente, aspetos
diferentes de relações e conceitos complexos” pelo que, para se tornarem conhecedores
de conceitos matemáticos, “os alunos necessitam de uma diversidade de representações
que suportem a sua compreensão” (p. 77). Assim, para o NCTM (2007), os professores
podem compreender o raciocínio dos seus alunos a partir das representações por eles
utilizadas. As representações surgem assim como um importante objeto de estudo tendo
em vista interpretar o raciocínio matemático dos alunos durante a realização de tarefas.
Neste contexto, sabe-se que as representações escritas produzidas pelos alunos,
em particular na resolução de problemas, são poderosas ferramentas que devem ser
desenvolvidas por constituírem uma componente essencial da aprendizagem,
possibilitando a organização e a comunicação de ideias. Em particular, constituem um
meio para a aprendizagem progressiva de métodos formais algébricos, que são umas das
componentes importantes do trabalho em Álgebra. Neste estudo, procuro identificar as
dificuldades e erros dos alunos na resolução de problemas suscetíveis de serem
resolvidos através de inequações.
A resolução de problemas constitui a primeira capacidade transversal do
Programa de Matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007), sendo recomendada nos
objetivos gerais do ensino da Matemática. Assim, os alunos devem ser capazes de
“compreender problemas em contextos matemáticos e não matemáticos e de os resolver
utilizando estratégias apropriadas; apreciar a plausibilidade dos resultados obtidos e a
adequação ao contexto das soluções a que chegam; monitorizar o seu trabalho e refletir
sobre a adequação das suas estratégias, reconhecendo situações em que podem ser
utilizadas estratégias diferentes; e formular problemas.” (DGIDC, 2007, p. 5).
Consequentemente, a resolução de problemas assume um papel fundamental em
todos os ciclos. Assim, no 1.º ciclo, os alunos resolvem problemas de diversos tipos,
sobretudo do quotidiano, identificando a informação relevante sobre o problema e o seu
objetivo. No 2.º ciclo, estes aprendem novas estratégias de resolução de problemas,
aprofundam a análise da plausibilidade dos resultados obtidos e a adequação dos
32
processos utilizados. No 3.º ciclo, os alunos desenvolvem a sua capacidade de analisar
as consequências para a solução de um problema resultantes da alteração dos dados e
das condições iniciais. Além disso, formulam também novos problemas em contextos
matemáticos e não matemáticos. É de notar que a natureza dos problemas a propor aos
alunos evolui de ciclo para ciclo, principalmente no nível de formalização dos
enunciados (DGIDC, 2007).
O Programa de Matemática do Ensino Básico em vigor quando do
desenvolvimento do presente estudo, em comparação com os anteriores, procura
caracterizar de modo mais preciso a natureza dos problemas a propor em cada ciclo e
exemplifica estratégias que podem surgir na sua resolução. O programa indica, também,
que os problemas, tanto podem servir como contexto de aplicação de conhecimentos e
técnicas já aprendidos anteriormente, como podem servir para o desenvolvimento de
novas aprendizagens, tal como ocorre no presente trabalho. Além disso, o estudo das
inequações pode facilitar a resolução de um vasto conjunto de problemas (Ponte,
Branco & Matos, 2009).
Portanto, é muito importante que os alunos adquiram maleabilidade na utilização
de representações diferentes para os conceitos matemáticos. Para isso é necessário
expor, desde o início, os alunos a representações diferentes, enfatizar as ligações entre
representações distintas, fazendo constantemente a conversão entre essas
representações. As novas tecnologias, designadamente a calculadora gráfica e o
computador, com diversos programas, proporcionam formas muito interessantes de
tratar e relacionar diferentes representações.
33
Capítulo 3
Unidade de Ensino
O presente estudo tem por base a minha prática letiva, inserida no tópico das
Inequações, numa turma de 9.º ano da Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão do
Agrupamento de Escolas Nuno Gonçalves, situada em Lisboa. A minha intervenção
decorreu no 3.º período escolar durante cinco blocos, de 100 minutos cada, nos dias 15,
16, 22, 23 e 29 de Abril de 2013, e em meio bloco, de 50 minutos, no dia 18 de Abril do
presente ano. Além disso, existia desde o início a hipótese de lecionar mais meio bloco,
de 50 minutos, se tal fosse necessário para terminar alguma das tarefas previstas, tal
como se veio a verificar, tendo esta última aula decorrido no dia 30 de Abril de 2013.
No presente capítulo apresento a unidade de ensino sobre a qual incide o estudo,
sendo explicitadas e justificadas as opções tomadas à luz do Programa de Matemática
do Ensino Básico (DGIDC, 2007) e das características da turma alvo da investigação.
Além disso, abordo os conceitos matemáticos mais relevantes para a unidade em estudo.
Faço um levantamento das estratégias a aplicar, tendo em conta as características da
turma. Indico, também, todas as planificações das aulas lecionadas, as tarefas propostas
e os objetivos de cada uma. Para finalizar, descrevo de forma sumária as sete
intervenções letivas realizadas no âmbito deste trabalho.
3.1. Caraterização da Turma
A turma participante é constituída por 21 alunos, sendo que catorze são rapazes
e sete são raparigas. Um desses rapazes transitou para esta turma, vindo da mesma
escola, no 2.º período, por motivos de comportamento. Devido a esse facto, a
caracterização da turma que se segue diz respeito apenas aos restantes vinte alunos, pois
não foi possível aceder a dados relativos a esse aluno.
Assim, no início do ano letivo de 2012/2013, a faixa etária dos vinte alunos da
turma situava-se entre os treze e os dezassete anos de idade, como é indicado na Figura
1.
34
Figura 1: Idades dos alunos da turma no início do ano letivo de 2012/2013
Em relação à nacionalidade, dezanove alunos são portugueses e um é brasileiro.
Quanto aos pais, todos são portugueses, com exceção de dois casos, um casal
proveniente do Brasil e o outro em que um dos progenitores nasceu em Cabo Verde e o
outro é do Senegal (Figura 2). Além disso, as mães são maioritariamente os
Encarregados de Educação, mas em quatro casos é o pai e, para dois alunos, é a tia ou a
madrinha, respetivamente (Figura 3).
Figura 2: Nacionalidade de ambos os pais
dos alunos da turma
Figura 3: Parentesco dos Encarregados de
Educação com os alunos da turma
Quanto à atividade profissional dos Encarregados de Educação, dezassete estão
empregados, um está desempregado, um é reformado e um é doméstico. Em relação às
habilitações literárias dos Encarregados de Educação, estas são desconhecidas. No
entanto, penso que seria interessante conhecê-las, pois estas não determinam o
35
desempenho dos respetivos alunos, mas provavelmente podem influenciar o nível de
apoio extraescolar que os alunos têm.
Para além disso, a maioria dos alunos da turma, mais propriamente onze (55%),
são provenientes da mesma turma desde o 7.º ano e alunos da professora orientadora
cooperante, dos restantes, nove (40%) entraram para a turma no 9.º ano e um (5%) dos
alunos no 8.º ano (Figura 4).
Figura 4: Anos de entrada dos alunos na turma
Além disso, dez alunos (50%) já tiveram pelo menos uma retenção em anos
anteriores e sete destes (35%) frequentam o 9.º ano pela segunda vez. Observando o
Quadro 1, verifica-se que cinco alunos tiveram apenas uma retenção em anos letivos
anteriores (mais precisamente no 1.º, 2.º ou 9.º); seis alunos estiveram retidos em dois
anos (i.e., 2.º/9.º, 5.º/7.º ou 8.º/9.º); e um aluno teve retenção em quatro anos (duas
vezes no 5.º e uma vez nos 7.º e 9.º).
Quadro 1: Número de alunos da turma com retenções em anos anteriores
Anos de escolaridade
onde existiu retenção
N.º de alunos
1.º 1
2.º 2
9.º 2
2.º/9.º 1
5.º /7.º 2
7.º/9.º 2
8.º/9.º 1
5.º (2 vezes) e 7.º/9.º 1
36
As classificações obtidas pelos alunos na disciplina de Matemática no 1.º
período do presente ano letivo são apresentadas na Figura 5. Para efeitos de
comparação, considera-se também a Figura 6, que inclui a percentagem de
classificações positivas em quatro disciplinas, incluindo a Matemática (denotada por
MAT), nas várias turmas do 9.º ano do Departamento de Matemática e Ciências
Experimentais da escola.
Figura 5: Classificações atribuídas aos alunos da turma na disciplina de Matemática no
final do 1.º período do ano letivo de 2012/2013
Figura 6: Percentagem de positivas no 9.º ano do Departamento de Matemática e
Ciências Experimentais da escola no final do 1.º período do ano letivo de 2012/2013
Como se pode observar pela Figura 5, 70% da turma obteve nível 3 ou 4 no final
do 1.º período do presente ano letivo. Consequentemente, a turma apresentou a maior
37
percentagem de classificações positivas relativamente à disciplina de Matemática
comparativamente às restantes turmas do 9.º ano da escola no final do 1.º período, sendo
designada por Turma 2 na Figura 6. Ainda assim, foram propostos para apoio cinco
alunos desta turma que obtiveram nível 2 e alguns, nível 3. Além disso, existem dois
alunos com necessidades educativas especiais, estando os dois integrados num
Programa Educativo Individual, pelo que a sua avaliação é adequada às suas
caraterísticas.
Para além disso, no final do 1.º período, o Conselho de Turma avaliou os alunos
da turma no domínio dos conhecimentos e atitudes, tendo atribuído as seguintes
classificações: suficiente para conhecimentos e capacidades, e participação e frequência;
e bom para empenho e autonomia, comportamento e competências socias (incluindo
respeito, responsabilidade e cooperação) na disciplina de Matemática (Figura 7).
Figura 7: Avaliação dos alunos da turma no domínio dos conhecimentos e atitudes na
disciplina de Matemática no final do 1.º período do ano letivo de 2012/2013
Segundo a professora da turma, embora exista um envolvimento muito diverso
dos alunos no trabalho na sala de aula de Matemática, no geral, todos evidenciam falta
de autonomia:
Na turma há um conjunto de alunos que acompanha de modo
satisfatório a matéria lecionada, outro conjunto que, embora com
dificuldades, faz um esforço por acompanhar a matéria e, por fim, há
um pequeno conjunto que não mostra qualquer empenho no trabalho,
38
quer em aula, quer fora dela. No entanto, todos os alunos apresentam
uma grande falta de autonomia na realização dos exercícios em aula.
(retirado de um documento da escola intitulado Dados para a
elaboração do Plano de Atividades)
3.2. Ancoragem da Unidade no Programa de Matemática
O Programa Nacional de Matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007) em
vigor quando da minha intervenção pedagógica está organizado por temas e não por
anos. Assim, no 9.º ano de escolaridade, por decisão do Departamento de Matemática e
Ciências Experimentais da escola, são abordados seis tópicos: Probabilidades; Funções;
Equações; Circunferência; Números Reais e Inequações; e Trigonometria no Triângulo
Retângulo. O tema de ensino abrangido neste trabalho denomina-se Inequações do 1.º
Grau a uma Incógnita e é um subtópico que se insere no quinto tópico, dos Números
Reais e Inequações e na unidade de ensino de Álgebra. Os autores do Programa de
Matemática optaram por associar o estudo dos Números Reais e das Inequações, devido
à estreita ligação existente entre as propriedades das relações de ordem em |R e a
resolução de inequações (DGIDC, 2007).
O principal propósito do estudo da Álgebra nos ensinos básico e secundário,
previsto pelo Programa de Matemática, consiste em desenvolver o pensamento
algébrico dos alunos. Kieran (2007) refere que, num nível mais avançado, este
pensamento se manifesta no uso de expressões simbólicas e de equações em vez de
números e operações. No entanto, para os alunos que ainda não aprenderam as notações
algébricas, as formas de pensamento mais geral sobre números, operações e notações,
como o sinal de igual, podem efetivamente ser consideradas algébricas. Esta
investigadora afirma que: “O pensamento algébrico pode ser interpretado como uma
abordagem às situações quantitativas, que evidencia os aspetos relacionais das mesmas,
com recurso a ferramentas que não são necessariamente letras usadas como símbolos e
que podem ser utilizadas como suporte cognitivo para a introdução e sustentação do
discurso mais característico da Álgebra escolar” (Kieran, 1996, pp. 274-275).
Pensar algebricamente abrange conhecer várias formas de representação,
nomeadamente as simbólicas. Implica flexibilidade na mudança entre modos de
representação, bem como a capacidade de operar com símbolos, em contexto e quando
adequado (Schoenfeld, 2008). Este pensamento inclui a capacidade de lidar com
relações e estruturas matemáticas, como por exemplo expressões algébricas, equações,
39
inequações, sistemas de equações e de inequações e funções; e usá-las na interpretação e
resolução de problemas matemáticos ou de outros domínios (Ponte, Branco & Matos,
2009).
O trabalho envolvendo relações tem início no 1.º ciclo, no tema Números e
Operações. Estabelecem-se relações numéricas e promove-se a compreensão das
operações, das suas propriedades e das relações entre diferentes operações. Neste ciclo,
os alunos devem descrever e representar as relações que identificam usando a
linguagem natural e, progressivamente, usando também alguns símbolos matemáticos,
como o sinal de igualdade (=) e os sinais de desigualdade menor e maior (< e >)
(DGIDC, 2007).
No 2.º ciclo, procura-se que os alunos desenvolvam a capacidade de identificar
relações e de as representar recorrendo à linguagem simbólica, contribuindo, assim, para
o desenvolvimento do seu pensamento algébrico, e consequentemente, preparando-os
para a compreensão da linguagem algébrica. Neste ciclo, as relações de igualdade e de
ordem (menor e maior) desempenham um papel importante na aprendizagem da
comparação e ordenação no tópico Números Racionais Não Negativos (DGIDC, 2007).
No 3.º ciclo, trabalha-se com relações matemáticas mais complexas como
funções e condições envolvendo expressões algébricas (equações, inequações, sistemas
de equações e inequações) (Ponte, Branco & Matos, 2009). Neste ciclo, pretende-se que
os alunos sejam capazes de simplificar essas expressões algébricas, em simultâneo com
a aprendizagem das sequências, das funções, das equações e das inequações,
procurando-se assim que estas façam sentido para os alunos (DGIDC, 2007). No
entanto, o trabalho com expressões algébricas implica uma atenção específica, de modo
a que os alunos percebam com que objeto estão a trabalhar, que operações podem
efetuar e que equivalências podem obter.
Na preparação das aulas a lecionar, no âmbito da minha intervenção letiva, tive
em consideração o principal propósito de ensino e os objetivos gerais de aprendizagem
de Álgebra (DGIDC, 2007), respeitantes ao 3.º ciclo do ensino básico, com as devidas
adaptações ao tópico de Inequações. Assim, de acordo com o Programa Nacional de
Matemática do Ensino Básico, a unidade de ensino de Álgebra tem como propósito
principal:
Desenvolver nos alunos a linguagem e o pensamento algébrico, bem
como a capacidade de interpretar, representar e resolver problemas
usando procedimentos algébricos e de utilizar estes conhecimentos e
40
capacidades na exploração e modelação de situações em contextos
diversos. (DGIDC, 2007, p. 55)
Adicionalmente, segundo este programa, ao longo de toda a unidade, os alunos
devem ter oportunidade de interpretar e representar situações em contextos diversos,
usando linguagem e procedimentos algébricos; resolver problemas, comunicar,
raciocinar e modelar situações recorrendo a conceitos e procedimentos algébricos;
justificar os raciocínios que elaboram e as conclusões a que chegam.
Consequentemente, estes objetivos gerais de aprendizagem da Álgebra foram então
trabalhados ao longo da sequência das tarefas propostas aparecendo uns de forma mais
evidente do que outros nas várias atividades.
O Programa de Matemática refere ainda que: “No 3.º ciclo, institucionaliza-se o
uso da linguagem algébrica, trabalha-se com expressões, equações, inequações e
funções, procurando desenvolver no aluno a capacidade de lidar com diversos tipos de
relações matemáticas e estudar situações de variação em contextos significativos.”
(DGIDC, 2007, p. 7).
O subtópico de Inequações do 1.º grau é abordado pela primeira vez no 9.º ano,
devendo ter-se presente os conhecimentos previamente adquiridos, em particular no que
respeita ao tópico Equações e ao tópico Números Reais. Assim, com base nos objetivos
específicos do Programa de Matemática, as aulas lecionadas no âmbito deste estudo
foram planeadas na perspetiva de, após o conjunto das aulas, os alunos fossem capazes
de:
Compreender a noção de inequação e a sua terminologia:
Os alunos devem ter presente que o estudo das inequações baseia-se, não na
noção de igualdade como as equações, mas sim na noção de desigualdade.
Além disso, para evitar uma mecanização de procedimentos na resolução de
inequações, propus numa primeira fase aos alunos experiências informais
simples antes da resolução algébrica formal. Essas experiências são
essenciais para a compreensão dos conceitos e do fundamento dos
procedimentos a seguir.
Resolver inequações do 1.º grau utilizando as regras de resolução:
A resolução formal de inequações surgiu, numa segunda fase, como o
processo adequado para lidar com situações de maior complexidade.
41
Introduzi progressivamente a formalização de questões para ajudar os alunos
a fazer uma transição progressiva da linguagem natural para a linguagem
matemática.
Além disso, “É importante verificar em que casos as regras para a resolução
de inequações não mudam em relação às regras conhecidas para as equações
(transposição de termos e multiplicação de ambos os membros por um
mesmo número positivo) e em que casos são diferentes (multiplicação de
ambos os membros por um mesmo número negativo).” (DGIDC, 2007, p.
156). A razão de ser desta diferença foi analisada, tendo por base
desigualdades numéricas.
Compreender a noção de solução de uma inequação:
Na resolução das tarefas evidenciei o facto de uma inequação poder ter
infinitas soluções, ao contrário de uma equação. Adicionalmente, incentivei
os alunos a analisar se todas as soluções de uma inequação são solução de
um dado problema salientando que essa escolha depende do objetivo da
questão e/ou contexto da situação.
Compreender qual a natureza do conjunto-solução de uma inequação; e
representar o conjunto-solução graficamente, em compreensão e na forma de
intervalos de números reais:
Para resolver inequações, os alunos necessitam de conhecer bem o conjunto
dos números reais. É fundamental que os alunos compreendam os intervalos
como subconjuntos de |R, representem e interpretem intervalos de números
reais (Ponte, Branco & Matos, 2009). Este tema foi estudado no tópico dos
Números Reais na turma. Tendo presente esse facto, enfatizei a diferença
entre os sinais de desigualdade (≤, ≥, < e >) e o tipo de intervalo
correspondente (aberto ou fechado). Além disso, salientei a importância de
elaborar a respetiva representação na reta real, uma vez que esta facilita a
identificação do conjunto-solução. O uso de representações gráficas
desempenha um papel positivo na aprendizagem dos alunos, uma vez que os
ajuda a compreender melhor o que é uma inequação e a natureza do seu
conjunto-solução (Tsamir, Almog & Tirosh, 1998).
42
Compreender as noções de disjunção e de conjunção de inequações (ou
sistemas de inequações):
Os alunos devem estabelecer corretamente a reunião e a intersecção de
conjuntos em situações de disjunção e conjunção de condições.
Conceber e pôr em prática estratégias de resolução de situações
problemáticas envolvendo inequações, disjunção e conjunção de inequações,
e verificar a adequação dos resultados obtidos:
O estudo das inequações proporciona aos alunos um amplo conjunto de
ferramentas para a modelação de situações da realidade. A resolução de
problemas, como já referido no Capítulo 2, constitui a primeira capacidade
transversal do Programa de Matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007), e
estabelece uma ligação entre o conhecimento matemático e a realidade.
Assim, durante as aulas, propus situações problemáticas envolvendo
inequações, para que os alunos pudessem aplicar os conhecimentos
adquiridos no âmbito deste tema e desenvolver novas aprendizagens.
Salientei igualmente a importância de verificar se a solução resultante da
resolução das inequações é adequada ao contexto do problema. Além disso,
abordei a formulação de novos problemas.
Estabelecer conexões com outros temas da Matemática:
Para proporcionar uma maior riqueza de significados aos objetos e
procedimentos algébricos, explorei, na sala de aulas, o estabelecimento de
conexões entre o estudo das inequações com outros temas da Matemática,
nomeadamente Geometria e Probabilidades.
Quanto às capacidades transversais, pretendia que o estudo das inequações
contribuísse para o aluno desenvolver:
O raciocínio matemático: formulação e verificação de conjeturas.
O estudo das inequações baseia-se na noção de desigualdade, o que
proporciona aos alunos um tipo de raciocínio muito diferente do que se usa
na resolução de equações e sistemas de equações. As tarefas exploratórias
propostas exigiram que os alunos compreendessem e praticassem a resolução
43
de inequações, e comparassem com a resolução de equações. Além disso, os
alunos tiveram que enfrentar situações problemáticas ligadas à realidade, e
raciocinar sobre o que aprenderam sobre inequações para os resolver.
A comunicação matemática oral e escrita, recorrendo à linguagem natural e à
linguagem matemática, interpretando, representando, expressando e
discutindo resultados, processos e ideias matemáticos:
Os alunos tiveram que participar oralmente, utilizando uma linguagem
matemática e um raciocínio matemático apropriados, nas discussões que se
seguiram às atividades exploratórias, exercícios e situações
problemáticas/problemas. Tiveram também que justificar por escrito as suas
opções na resolução de situações problemáticas.
A resolução de exercícios e problemas: compreensão; conceção, aplicação e
justificação de estratégias.
A resolução de problemas é essencial. Como já foi referido anteriormente, a
resolução de problemas é um dos principais objetivos da aprendizagem em
Matemática, e permite a ligação entre o conhecimento matemático e a
realidade.
3.3. Conceitos Matemáticos Relativos à Unidade
As definições e conceitos matemáticos cumprem, hoje, um papel fundamental no
processo de ensino e de aprendizagem. Para saber Matemática é indispensável conhecer
as suas definições e saber utilizá-las adequadamente. Tendo por base o trabalho de
Ponte, Branco e Matos (2009), nesta secção apresento os conceitos relevantes do tópico
Inequações. Esses conceitos são abordados de forma mais detalhada nos planos das
aulas onde foram abordados (Anexos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).
Definição de inequação do 1.º grau a uma incógnita
Uma desigualdade é uma condição em que aparece um dos símbolos: <, >, ≤ ou ≥,
sendo estes denominados de símbolos ou sinais de desigualdade.
44
Símbolos de desigualdade Significado
> Maior
< Menor
≥ Maior ou igual
≤ Menor ou igual
Uma inequação é uma desigualdade entre duas expressões onde figura, numa das
expressões ou em ambas, pelo menos uma letra (x).
A letra x designa-se de incógnita ou variável, e representa um valor desconhecido.
Uma letra pode ter vários significados e representar quantidades diferentes.
Uma expressão matemática onde, além de números e operações, aparecem letras,
designa-se por expressão algébrica. Por exemplo: x + 1 (não é uma inequação).
Exemplos de inequações Exemplos de não inequações
x < 2
-4 -8 > 3 - x
2(x - 2 ) ≥ 5
4x – 2 = 8 e 4x – 1 = 9x+3 (não são desigualdades)
9 – 1 > 6+1 e π – 3 ≤ 8 (não têm variáveis) (são
proposições, enquanto inequações são condições
ou expressões proposicionais)
Terminologia das inequações do 1.º grau a uma incógnita
A terminologia usada nas equações mantém-se para as inequações, nomeadamente as
noções de membro, termo e incógnita.
Assim, uma inequação tem sempre duas partes separadas por um dos sinais de
desigualdade. Cada uma dessas partes diz-se membro da inequação: a que fica à
esquerda do sinal de desigualdade é o 1.º membro e a que fica à direita é o 2.º
membro. Cada membro é composto por termos.
45
Considere-se a seguinte inequação,
então
1.º membro da inequação: x + 20;
2.º membro da inequação: 100;
Termos do 1.º membro: x e 20 (dois termos);
Termos do 2.º membro: 100 (um termo);
Incógnita: x;
Termos com incógnita: x;
Termos independentes: 20 e 100.
Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal (termos com incógnita
ou termos independentes).
Tal como já acontecia com as equações, para simplificar os membros de uma
inequação, podemos adicionar os termos semelhantes. Por exemplo, a inequação
2x > 11 + 7 tem termos semelhantes (11 e 7), então temos 2x > 11 + 7 2x > 18.
Solução de uma inequação
Diz-se que um número é solução de uma inequação quando, ao substituir a variável
(ou a incógnita) por esse número, se obtém uma proposição verdadeira.
Uma inequação pode ter uma única solução, muitas soluções, infinitas soluções ou
nenhuma solução (por exemplo: x2 + 1 < 0). Neste último caso, o respetivo conjunto-
solução é igual ao conjunto vazio, representado por {} ou .
46
A verificação da solução de uma inequação faz-se por um método semelhante ao
utilizado nas equações.
Por exemplo, na inequação 2x + 14 < 32, substituindo a incógnita, x, por 9, obtém-se:
2×9 + 14 < 32 18 + 24 < 32 32 < 32
Como 32 < 32 é uma proposição falsa, 9 não é solução da inequação.
O conjunto de todas as soluções de uma inequação denomina-se conjunto-solução
(C.S.). Resolver uma inequação consiste em determinar o seu conjunto-solução.
O conjunto-solução da inequação 2x + 14 < 32, fora do contexto do problema, pode ser
representado de três formas (como acontece com qualquer conjunto de números reais):
Representação por uma condição (ou em compreensão): C.S. = {x|R: x < 9}.
Representação geométrica ou gráfica (ou na reta real):
-∞ +∞
Representação na forma de um intervalo de números reais: C.S. = ]-∞, 9[. Neste
caso, o intervalo é ilimitado à esquerda (ou seja ilimitado inferiormente).
Duas inequações dizem-se equivalentes quando têm o mesmo conjunto-solução.
Exemplos de inequações equivalentes:
As duas inequações x < 1 +1 e x < 2 são equivalentes, sendo o conjunto-solução de
ambas: C.S. = ]-∞; 2[.
47
Resolução de inequações
Resolver uma inequação consiste em encontrar o seu conjunto-solução.
Como resolver a inequação x – 2 < 5?
Tal como nas equações, pretende-se isolar o x.
Regra da adição em desigualdades numéricas (estudada no subtópico de Operações e
Relações de Ordem em |R):
Se adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade a ambos os membros de uma
desigualdade, então o sentido da desigualdade mantém-se. Exemplo, 6<8 6+3<8 +3.
a < b a + c < b + c (com a, b, c |R)
Nota: Esta propriedade é válida para todos os tipos de desigualdades (<, ≤, > e ≥).
1º Princípio de equivalência (na folha dada aos alunos no Anexo 12):
Quando somamos ou subtraímos o mesmo número a ambos os membros de uma
inequação obtemos uma inequação equivalente à primeira.
Deste princípio de equivalência surge a seguinte regra prática:
Numa inequação podemos mudar um termo de um membro para o outro, trocando-lhe
o sinal, sendo a inequação obtida equivalente à primeira.
Então, para resolver a inequação x – 2 < 5, adiciona-se 2 a cada um dos membros da
inequação, e obtém-se:
x – 2 < 5 x – 2 + 2 < 5 + 2 x < 7,
sendo o conjunto-solução, C.S. = ]-∞; 7[.
48
Como resolver a inequação 3x < 6?
Tal como na inequação anterior, quer-se isolar o x.
Regras da multiplicação em desigualdades numéricas:
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma desigualdade por um
número positivo, o sentido da desigualdade mantém-se. Por exemplo, tem-se
2 < 10 2 × 2 <10 × 2 4 < 20.
a < b a × c < b × c (com a, b|R e c > 0)
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma desigualdade por um
número negativo, o sentido da desigualdade inverte-se. Por exemplo, tem-se
2 < 10 2 × (-2) > 10 × (-2) -4 > -20.
a < b a × c > b × c (com a, b|R e c < 0)
2º Princípio de equivalência (na folha dada aos alunos no Anexo 12):
Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma inequação pelo mesmo
número diferente de zero, obtemos uma inequação equivalente, mantendo-se o sentido
da desigualdade se o número for positivo e invertendo o sentido da desigualdade se o
número for negativo.
Deste princípio de equivalência surge a seguinte regra prática:
Numa inequação,
- se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma inequação por um
número negativo inverte-se o sentido da desigualdade,
- se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros da inequação por um número
positivo mantém-se o sentido da desigualdade.
49
Para isolar a incógnita, x, na inequação 3x < 6, divide-se ambos os membros da
inequação pelo coeficiente de x, neste caso, 3 (coeficiente positivo); e obtém-se:
3x < 6 3
3x<
3
6 x < 2,
C.S. = ]-∞; 2[.
Como resolver a inequação -3x < 6?
Como o coeficiente de x é negativo (-3), divide-se ambos os membros da inequação
por -3, invertendo o sentido da desigualdade. Na inequação anterior pode-se utilizar
outra estratégia de resolução alternativa que consiste em multiplicar ambos os
membros da inequação por -1, invertendo o sentido da desigualdade, e posteriormente
dividir ambos os membros por 3.
Duas resoluções alternativas para a inequação -3x < 6:
-3x < 6 3
3
x>
3
6
x > -2
C.S. = ]-2; +∞ [
-3x < 6 -3x×(-1) > 6×(-1)
3x > -6 3
3x>
3
6
x > -2
C.S. = ]-2; +∞ [
Resolução de inequações com parênteses e denominadores
Se uma inequação tiver parênteses e denominadores, procede-se como para as equações
com parênteses e denominadores.
50
Passos a seguir na resolução de inequações (com parênteses e denominadores)
Considere-se a inequação:
2 – x5
7 ≥
2
3(x – 3).
1.º Passo: Desembaraçar de parênteses.
2 – x5
7 ≥
2
3(x – 3) 2 – x
5
7 ≥
2
3x –
2
9
2.º Passo: Reduzir ao mesmo denominador.
101
2
–
x
25
7
≥
52
3
x –
52
9
10
20 – x
10
14 ≥
10
15x –
10
45
3.º Passo: Desembaraçar de denominadores multiplicando ambos os membros da
inequação por 10.
20 – 14x ≥ 15x – 45
4.º Passo: Agrupar os termos semelhantes.
– 14x – 15x ≥ –45 – 20
5.º Passo: Reduzir os termos semelhantes.
– 29x ≥ –65
6.º Passo: Usar as regras de multiplicação.
29x ≤ 65 x ≤ 29
65 (Multiplicou-se por -1 e inverteu-se o sinal da desigualdade.)
7.º Passo: Apresentar o conjunto-solução.
C.S. =
29
65;
Nota:
A resolução de inequações não implica executar estes passos na ordem apresentada.
Em todos os casos, deve-se escolher o caminho mais adequado, conforme a
situação específica.
51
Resolução de situações problemáticas usando inequações
Passos a seguir para resolver situações problemáticas envolvendo inequações
1.º Passo: Identificar a incógnita.
2.º Passo: Traduzir cada uma das informações da situação problemática por meio de
uma inequação.
3.º Passo: Resolver a inequação.
4.º Passo: Representar o conjunto-solução da inequação.
5.º Passo: Caso se trate de uma conjunção ou de uma disjunção, determinar o seu
conjunto-solução.
6.º Passo: Verificar se todas as soluções encontradas são soluções da situação
problemática.
Disjunção e conjunção de inequações
A condição x – 2 < 4 2x – 3 ≤ x é uma disjunção de inequações.
Resolve-se separadamente cada uma das inequações:
x – 2 < 4 2x – 3 ≤ x x < 6 2x – x ≤ 3 x < 6 x ≤ 3.
Nota: O símbolo significa disjunção e lê-se “ou”.
O conjunto-solução é a reunião dos conjuntos-solução das duas inequações.
C.S. = 6,3,6, .
Nota: À disjunção de condições ( ) corresponde a reunião de conjuntos ( ).
A condição 5x – 1 ≥ 4x x – 3 < 1 é uma conjunção de inequações.
52
Resolvemos separadamente cada uma das inequações:
5x – 1 ≥ 4x x – 3 < 1 5x – 4x ≥ 1 x < 1 + 3 x ≥ 1 x < 4.
Nota: O símbolo significa conjunção e lê-se “e”.
O conjunto-solução é a interseção dos conjuntos-solução das duas inequações.
C.S. = 4,14,,1
Nota: À conjunção de condições ( ) corresponde a interseção de conjuntos ( ).
Resolver um sistema de inequações é similar a resolver uma conjunção de inequações.
Representação de uma conjunção de inequações por um sistema de inequações:
3x – 12 ≤ 0 –2x < –16
8
4
162
0123
x
x
x
x.
Representação de uma dupla desigualdade por uma conjunção de inequações:
2< x + 2 < 3 x + 2 < 3 x + 2 > 2.
3.4. Estratégias de Ensino
Nas aulas lecionadas assumi duas funções: professora e investigadora. Enquanto
professora, considerei em cada aula vários momentos distintos: a introdução dos
conceitos, a descrição das tarefas propostas, a sua realização pelos alunos aos pares e a
respetiva discussão englobando toda a turma.
No momento da exposição de novos conceitos e revisão de outros procedi à sua
comunicação oralmente e por escrito no quadro, solicitando frequentemente exemplos
53
aos alunos com o intuito de estimular a sua participação e facilitar a aprendizagem dos
conteúdos algébricos.
Posteriormente, antes de solicitar a resolução de uma dada tarefa para colocar
em prática os conteúdos abordados no momento anterior, seguia-se a leitura do
enunciado por um aluno, escolhido por mim com o intuito de esclarecer eventuais
dúvidas que pudessem surgir à turma e facilitar a compreensão do que era pedido nessa
tarefas proposta.
Na resolução de todas as tarefas propostas, os alunos trabalharam a pares, pois
este é o método de trabalho habitualmente utilizado nas aulas desta turma, e é propício à
troca de ideias e de processos. Poderia ter optado por uma metodologia de pequenos
grupos, mas o tipo de tarefas proposto não tinha como principal objetivo desenvolver a
comunicação e a argumentação, daí não haver a necessidade de aplicar esta estratégia.
Além disso, o trabalho em grupo proporciona uma maior dispersão de conversa e mais
desequilíbrio no trabalho que cada elemento realiza. A argumentação acabou por ser
trabalhada nas discussões coletivas que se seguiram sempre à realização das tarefas.
Os momentos de discussão, após a resolução de cada tarefa, desempenham um
papel fundamental para a validação, formalização e síntese dos resultados, uma vez que
permitem ao aluno refletir sobre a sua atividade, contribuindo assim para a sua
aprendizagem (Ponte, 2005). Ao mesmo tempo, dado que a discussão possibilita que os
alunos comparem as suas ideias com as dos seus colegas, pode contribuir para o
desenvolvimento da argumentação e da comunicação matemática do aluno (Ponte,
2005). As formas de comunicação devem privilegiar: o envolvimento do aluno e do
professor (este último procurando compreender as ideias dos alunos e ajudá-los a
progredir); uma comunicação que não seja apenas unidirecional (do professor para os
alunos), mas reflexiva e instrutiva (Brendefur & Frykholm, 2000); e tempo suficiente
para que os alunos possam pensar e responder às questões que lhes são feitas. Assim, no
momento de discussão, procurei estimular a participação e a comunicação, de forma
ordenada, entre os alunos e entre o aluno e o professor. Além disso, enquanto
professora, fui observando os alunos enquanto eles trabalhavam aos pares, e assim pude
preparar-me para o momento da discussão, ou seja, tentei identificar os erros e as
dificuldades que foram surgindo no momento da resolução e decidir que tipo de
interrogações iria fazer na discussão com toda a turma.
A maioria dos exercícios propostos foi corrigida no quadro pelos alunos após
estes finalizarem a respetiva resolução, sendo escolhidos por mim com o intuito de (i)
54
incentivar a participação de todos os alunos, nomeadamente daqueles que ainda não
tinham realizado até ao momento nenhum exercício no quadro durante as aulas; (ii)
reforçar positivamente o interesse manifestado pelos alunos relativamente à exposição
das suas resoluções no quadro; e/ou (iii) explorar várias estratégias de resolução
utilizadas pelos alunos. Posteriormente, como já referido anteriormente, ocorreram os
momentos de discussão com toda a turma sobre cada exercício proposto quando a
respetiva correção se encontrava no quadro.
Por motivos de gestão de tempo e do quadro, dois ou três alunos realizaram no
quadro exercícios diferentes em simultâneo, ocupando espaços do quadro previamente
criados por mim.
Para verificar se os alunos tinham alguma dúvida sobre a matéria lecionada nas
aulas anteriores procedi, por vezes, à correção de algumas questões do trabalho de casa
e propus aos alunos tarefas de aplicação direta dessa matéria.
Para além das estratégias de ensino tomei outras opções tendo em conta os
objetivos pretendidos para cada a aula, nomeadamente a seleção das tarefas que são
abordadas na Secção 3.6.
3.5. Sequência e Planos de Aulas
Como já referido anteriormente, esteve ao meu cuidado a lecionação de um
conjunto de aulas. Os planos de aulas foram alterados no desenrolar das respetivas
intervenções, dada a necessidade de ajustar os temas previstos e não abordados na aula
anterior. Um resumo dos vários planos concretizados encontra-se a seguir, dividido por
temas e objetivos, incluindo todas as aulas referentes ao tema das inequações. As
últimas versões destas planificações a curto prazo encontram-se nos Anexos 3, 4, 5, 6,
7, 8 e 9.
Quadro 2: Temas e objetivos das aulas concretizadas Aulas Temas Objetivos específicos
Aulas n.º 120 e 121
15/04/2013
100 minutos
Definição de inequação,
solução de uma inequação e
conjunto solução de uma
inequação.
Compreender a noção de inequação do 1.º
grau a uma incógnita, e a sua terminologia.
Compreender a noção de solução de uma
inequação. Verificar se um dado número é
solução de uma inequação.
Compreender a noção de conjunto solução
de uma inequação. Constatar que uma
inequação pode ter várias soluções.
Representar o conjunto-solução de uma
55
inequação graficamente, na forma de um
intervalo de números reais e em
compreensão.
Resolver inequações simples sem utilizar as
regras de resolução.
Aulas n.º 122 e 123
16/04/2013
100 minutos
Identificação de inequações
equivalentes. Perceber a noção de inequações
equivalentes.
Princípios de equivalência e
regras de resolução de
inequações do 1.º grau a
uma incógnita.
Resolver inequações do 1.º grau simples
utilizando os princípios de equivalência e as
regras de resolução.
Aulas n.º 124
18/04/2013
100 minutos
Inequações do 1.º grau com
parênteses e denominadores.
Resolver inequações do 1.º grau com
parênteses e denominadores utilizando as
regras de resolução.
Aulas n.º 125 e 126
22/04/2013
100 minutos
Passos para a resolver
situações problemáticas
usando inequações do 1.º
grau.
Traduzir uma situação problemática por
meio de uma inequação
Resolver inequações envolvendo situações
problemáticas.
Estabelecer conexão entre temas do
programa, como a Álgebra e a Geometria.
Verificar a necessidade de escolher soluções
de uma inequação tendo em conta o
contexto da situação.
Formulação de situações
problemáticas usando
inequações.
Formular situações problemáticas usando
inequações
Aulas n.º 127 e 128
23/04/2013
100 minutos
Resolução de situações
problemáticas usando
inequações do 1.º grau.
Consolidar a aprendizagem dos passos para
resolver situações problemáticas usando
inequações do 1.º grau.
Estabelecer conexão entre temas do
programa: Álgebra e Probabilidades.
Disjunção de inequações do
1.º grau. Compreender o conceito de disjunção de
inequações do 1.º grau.
Resolver a disjunção de inequações.
Associar a disjunção de condições à reunião
de conjuntos-solução.
Aulas n.º 129 e 130
29/04/2013
100 minutos
Conjunção de inequações do
1.º grau.
Compreender o conceito de conjunção de
inequações do 1.º grau.
Resolver a conjunção de inequações.
Associar a conjunção de condições à
interseção de conjuntos-solução.
Passos para resolver
situações problemáticas
usando a disjunção ou a
conjunção de inequações do
1.º grau.
Traduzir uma situação problemática por
meio de uma disjunção/conjunção de
inequações.
Resolver a disjunção e a conjunção de
inequações do 1.º grau.
Verificar a necessidade de escolher soluções
de uma disjunção ou conjunção de
inequação tendo em conta o contexto da
situação.
Aulas n.º 131
30/04/2013
50 minutos
Resolução de situações
problemáticas usando a
disjunção ou a conjunção de
inequações do 1.º grau.
Consolidar a aprendizagem dos passos para
resolver situações problemáticas usando
disjunção ou a conjunção de inequações do
1.º grau.
56
A planificação das sete aulas teve em conta os objetivos já enunciados na secção
anterior baseado no Programa de Matemática (DGIDC, 2007), mas também a
problemática abordada neste trabalho, estando esta centrada nas representações
utilizadas por alunos do 9.º ano na resolução de situações problemáticas integradas no
estudo de inequações do 1.º grau a uma incógnita.
Os planos de aulas foram construídos com antecedência de forma a poder
discuti-los, alterá-los e interiorizá-los. A estrutura destes planos engloba diversos
momentos: Organização; Exposição de Temas; Resolução de Tarefas/Exercícios;
Exposição e Discussão das Tarefas/Exercícios e Indicação do Trabalho de Casa. Na
planificação de cada aula é indicada a duração prevista para cada momento. Além disso,
a estrutura dos planos é bastante detalhada, pois estes incluem: os temas a abordar e os
objetivos específicos de cada aula resumidos no Quadro 2; as possíveis questões a
colocar e as observações a fazer; os conceitos e conteúdos a expor no quadro; as
tarefas/exercícios a propor com os respetivos objetivos de aprendizagem e resolução dos
diversos itens.
Importa referir que a construção e alteração da sequência de aulas foi uma
experiência enriquecedora e tornou-se um momento de aprendizagem, pois tive a
oportunidade de adaptar cada plano de aula ao ritmo de trabalho da turma. Além disso,
com a construção dos planos consegui evidenciar potencialidades das tarefas, antecipar
dificuldades dos alunos e controlar algumas das minhas fragilidades, nomeadamente no
que diz respeito à gestão do tempo.
3.6. Tarefas e Recursos
A aprendizagem dos alunos depende da atividade que estes realizam (Ponte,
2005), podendo esta atividade ser suscitada pelo professor através de tarefas adequadas.
Segundo Ponte (2005, p. 23) “contemplando diversos tipos de tarefa e momentos
próprios para exploração, reflexão e discussão, o professor dá um passo importante para
criar oportunidades que favoreçam a aprendizagem dos alunos”. No entanto, de acordo
com Ponte (2005), não basta selecionar boas tarefas, é preciso ter atenção ao modo de as
propor e de conduzir a sua realização na sala de aula.
57
Tendo presente estas ideias, nas aulas apresentei um conjunto diversificado de
tarefas matemáticas com o intuito de introduzir conceitos, consolidar a aprendizagem de
temas e resolver situações problemáticas. Assim, procurei que os conceitos em estudo
fossem introduzidos através de “novas” tarefas de carácter exploratório, adaptadas às
características da turma, e inseridas num contexto real e de interesse para os alunos. Na
construção das “novas” tarefas, considerei questões acessíveis e abertas para que todos
os alunos pudessem desenvolver a resposta e as situações propostas foram sequenciadas
de acordo com o seu crescente grau de complexidade.
A maioria das tarefas matemáticas propostas foram selecionadas a partir do
manual adotado, Manual PI 9, pois estas encontram-se de acordo com o indicado no
Programa de Matemática do Ensino Básico (DGIDC, 2007). Em relação à natureza
destas tarefas, algumas são exercícios e outras são situações problemáticas/problemas
(Capítulo 2). O propósito das do primeiro tipo é consolidar a aprendizagem de temas;
com a realização das segundas procura-se motivar a introdução de novos conceitos ou a
sua aplicação a novas situações. Segundo Boavida (1992), um problema pode ter as
seguintes perspetivas no processo ensino-aprendizagem, entre outras: como motivação
(para estimular o interesse dos alunos para o ensino de determinados conteúdos
matemáticos); como veículo (para introduzir novos conceitos).
As situações problemáticas propostas são baseadas nas recomendações de Duval
para o processo ensino-aprendizagem, ou seja, pretende-se que estas permitam a
conversão entre registos de representação: por exemplo, da linguagem natural para
expressões algébricas e vice-versa; e o seu tratamento. Além disso, não basta saber-se
aplicar as fórmulas na resolução de situações problemáticas, é necessário saber-se
interpretar os resultados obtidos.
O Quadro 3 inclui a natureza e a fonte/origem das várias tarefas propostas; e na
próxima secção, indicam-se os seus propósitos incluídos também nos planos de aulas
nos Anexos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Note-se que no Quadro 3, existem tarefas designadas por
Exercício, mas são problemas. Optou-se, assim, por usar o nome atribuído a cada uma
dessas tarefas pelo Manual PI 9 (Magro, Fidalgo & Louçano, 2012), para facilitar a sua
localização nesse livro. No final de algumas aulas lecionadas, indiquei para trabalho de
casa os exercícios incluídos no Quadro 4.
Quanto aos recursos utilizados, recorri ao Manual PI 9 (Magro, Fidalgo &
Louçano, 2012) adotado pela escola, ao Manual Projeto Desafios de Matemática 9.º
58
Ano (Marques & Ferreira, 2012) e às várias fichas de trabalho distribuídas aos alunos
que incluem todos os exercícios.
Em suma, ao longo da minha prática letiva, procurei que os alunos construíssem
o seu próprio conhecimento, organizassem ideias e, com a minha orientação, chegassem
às definições matemáticas necessárias à compreensão do tópico das inequações.
Quadro 3: Natureza e fonte das tarefas propostas nas aulas lecionadas
Fichas Tarefas Natureza Fonte/Origem
Ficha de Trabalho
n.º 1
Tarefa 1 Exploratória Adaptado de Fernandes
(2011)
Exercício 2 Exercício
Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 116
Tarefa 2 Problema
Adaptado do Manual
Projeto Desafios (2012)
Ficha de Trabalho
n.º 2
Tarefa 1 Exploratória
Adaptado da Tarefa 4 do
Manual PI 9 (2012)
Exercício 1 Exercício
Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 116
Ficha de Trabalho
n.º 3
Exercício 4 Exercício
Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 117
Ficha de Trabalho
n.º 4
Tarefa 1 Problema Adaptado do trabalho de
Traldi Júnior (2002)
Exercício 13 Problema Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 123 Exercício 12 Problema
Exercício 41 Problema Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 127
Ficha de Trabalho
n.º 5
Exercício 1 Exercício Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 120 Exercício 2 Exercício
Ficha de Trabalho
n.º 6
Exercício 14 Problema Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 123
Exercício 24 Problema Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 125
Quadro 4: Natureza e fonte das tarefas propostas para trabalho de casa
Aulas Tarefas Natureza Fonte/Origem
Aulas n.º 122 e 123
16/04/2013
Exercício 1
(itens 1.5 e 1.7)
Exercício Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 116
Aulas n.º 124
18/04/2013
Exercício 6
(itens 6.2 e 6.3)
Exploratória
Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 117
Exercício 8 Exploratória
Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 123
Aulas n.º 127 e 128
23/04/2013
Exercício 1
(itens 1.2 e 1.4)
Exercício Retirado do Manual PI 9
(2012), pág. 120
59
3.7. Descrição Sumária das Aulas Lecionadas
1.ª Aula – 15 de Abril de 2013 – Segunda-feira – 100 minutos
Na minha primeira aula, optei por distribuir a Ficha de Trabalho n.º 1 (Anexo
10) antes do toque de início. Ao refletir sobre esta estratégia, verifico que esta poderia
ter conduzido os alunos à leitura da ficha entregue e consequentemente à sua dispersão.
Felizmente, tal não aconteceu. Consegui ter a atenção dos alunos, quando a seguir ditei
o sumário como é habitual na turma.
A seguir, li as notas que estão incluídas na Ficha de Trabalho n.º 1 e salientei
que pretendia que os alunos resolvessem todas as tarefas e exercícios nessa ficha a lápis,
no respetivo espaço em branco, e, posteriormente, corrigissem possíveis erros a uma cor
diferente durante os momentos de discussão. Posteriormente, justifiquei que esta minha
pretensão tinha como intuito analisar as suas produções escritas com vista à realização
de um estudo de cariz investigativo.
Os alunos resolveram, aos pares, a Tarefa 1 desta ficha, cujos objetivos estão no
Quadro 5 e o respetivo enunciado é apresentado a seguir:
Tarefa 1
A Rita e o Rui foram comprar gomas. Na loja existe uma balança com pesos e cada
um dos dois amigos pesou o seu saco de gomas.
A balança ficou em equilíbrio quando a Rita colocou o seu saco de gomas juntamente
com um peso de 20g num dos pratos da balança, e um peso de 100g no outro prato,
como podes ver na Figura 1. O Rui procedeu como a Rita, mas a balança não ficou
em equilíbrio como mostra a Figura 2.
Figura 1: Pesagem do saco de gomas da
Rita.
Figura 2: Pesagem do saco de gomas do
Rui.
(Adaptado de Fernandes, 2011)
60
a) Explica porque razão a balança da Figura 2 está em desequilíbrio ao contrário da
balança da Figura 1.
b) Quanto pesa o saco de gomas da Rita?
c) Traduz a situação da balança da Figura 1 por meio de uma equação.
d) Indica um valor possível para o peso do saco de gomas do Rui. Existirá apenas
uma possibilidade para esse valor?
e) Utiliza a letra x para representar o peso do saco de gomas do Rui. Escreve uma
expressão que traduza a situação representada na balança da Figura 2.
No início do momento de resolução da atividade proposta, li o enunciado da
Tarefa 1 e interpretei a situação problemática subjacente. Os alunos mostraram interesse
em resolver a tarefa e realizaram com facilidade todos os itens, inclusivamente alguns
alunos deduziram a inequação que traduz a situação problemática subjacente, antes do
tema de inequações ser abordado na aula (como verifiquei quando circulei pela sala)
(ver Capítulo 5).
Quadro 5: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 1
Ficha de Trabalho n.º 1
Tarefas Objetivos de aprendizagem
Tarefa 1
Compreender a noção de inequação. Diferenciar o
conceito de equilíbrio na balança/equação da noção de
desequilíbrio na balança/inequação [com a alínea a)].
Rever e determinar o conjunto-solução de uma equação
[com a alínea b)].
Relembrar e traduzir por uma equação uma situação
problemática com uma balança [com a alínea c)].
Investigar se um dado número é solução de uma
inequação sem utilizar as regras de resolução. Constatar
que uma inequação pode ter várias soluções [com a alínea
d)].
Traduzir por meio de uma inequação uma situação
problemática com uma balança [com a alínea e)].
Exercício 2
Escrever uma inequação (linguagem algébrica) que
traduza uma situação problemática apresentada em
linguagem natural.
Tarefa 2
Relembrar a tradução de uma situação problemática por
uma equação e a sua resolução usando as regras [com a
alínea a)].
Interpretar e traduzir por uma inequação uma situação
problemática apresentada em linguagem natural [com a
alínea b)].
61
No início do momento da discussão, questionei os alunos sobre a alínea a) da
Tarefa 1. Um dos alunos respondeu que o saco de gomas do Rui deveria ter um peso
inferior a 100 gramas, e justificou, de forma correta, a sua resposta. Em relação às
alíneas b) e c) da mesma tarefa, todos os alunos responderam corretamente, ou seja, 80
gramas e determinaram uma equação, respetivamente.
Nesta altura, aproveitei para relembrar a noção de equação e incógnita ou
variável, mas deveria ter referido que estas duas últimas palavras são utilizadas para
definir o mesmo conceito, pois alguns alunos ficaram com dúvidas se uma incógnita
seria também uma variável, dado que no meu discurso utilizei às vezes a palavra
“incógnita” e noutras usei a palavra “variável” quando fiz referência à letra x.
Na discussão das restantes alíneas, d) e e), introduzi o conceito de inequação,
nomeadamente ditei uma possível definição, e solicitei exemplos. Os alunos mostram-se
muito participativos, e referiram vários exemplos de inequações, tais como: x < 2; 3 < x
e 1+x < 2, tendo eu aproveitado para salientar que as expressões x+1 e x+1 = 4 não são
inequações.
Ainda em relação à Tarefa 1, em geral, os objetivos pretendidos (Quadro 5)
foram alcançados. No entanto, penso que no enunciado da alínea e) poderia ter utilizado
outra letra para a incógnita, diferente do habitual x. Durante a correção no quadro
utilizou-se a letra x para representar duas variáveis diferentes, o que poderia ter
conduzido a dúvidas por parte dos alunos.
A seguir, propus aos alunos que resolvessem, aos pares, o Exercício 2 da Ficha
de Trabalho n.º 1, cujos objetivos estão incluídos no Quadro 5 e o respetivo enunciado é
o seguinte:
Exercício 2
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 116)
62
Os alunos trabalharam durante cerca de 5 minutos. Quando circulei pela sala,
verifiquei que alguns alunos já tinham começado, por iniciativa própria, a realização
deste exercício.
Um aluno apresentou no quadro a resolução correta da alínea 2.1, ou seja,
escreveu: z < 1. Felizmente, neste caso, usou-se a letra z para identificar a incógnita. Os
alunos puderam, então, constatar que outras letras, diferentes do habitual x, podem ser
utilizadas para representar uma incógnita. Posteriormente, quatro alunos resolveram no
quadro as restantes quatro alíneas do Exercício 2, respetivamente. Na discussão que se
seguiu, salientei a diferença entre as expressões: “no mínimo”, “no máximo”, “pelo
menos”, como planeado (ver Plano de Aula n.º 1 no Anexo 3).
Posteriormente, os alunos resolveram a Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1, com
os objetivos expostos no Quadro 5, e tendo o seguinte enunciado:
Tarefa 2
O retângulo da figura abaixo tem dois lados que medem 7 cm, mas a medida dos outros
dois lados é desconhecida:
a) Qual deverá ser a medida desconhecida de dois dos lados do retângulo, de modo
que o perímetro seja igual a 32 cm?
b) Qual deverá a medida desconhecida de dois dos lados do retângulo, de modo que o
perímetro seja inferior a 32cm?
(Adaptado do Manual Projeto Desafios, 2012, pág. 86)
63
Na resolução da alínea a) da Tarefa 2, a maioria dos alunos deduziu, de forma
correta, a equação subjacente: x = 9, mas não representou o respetivo conjunto-solução.
Tal facto deveu-se, provavelmente, a um esquecimento, pois quando circulei pela sala e
questionei alguns alunos sobre o conjunto, estes não tiveram qualquer dificuldade em
responder.
No momento da exposição, um aluno apresentou, de forma correta, no quadro a
resolução da alínea a) da Tarefa 2. Posteriormente, solicitei a outro aluno para realizar
no quadro a alínea b) dessa tarefa. Este aluno referiu que não sabia resolver esse item, o
que era natural visto englobar a noção de inequação ainda não abordada. No entanto,
pedi-lhe que fizesse o paralelismo no quadro entre este item e a alínea anterior, e
verificasse que os enunciados são idênticos com exceção das palavras sublinhadas:
“igual” na alínea a) e “inferior” na alínea b). Consequentemente, após comparar os
enunciados das duas alíneas, o aluno conseguiu deduzir com sucesso a inequação
pretendida.
Posteriormente, perguntei à turma se o número 9 é solução da inequação, e
mostrei no quadro como se verifica se um dado número é solução de uma inequação,
fazendo referência que tal método é similar ao utilizado para as equações. No final da
discussão, os alunos chegaram à conclusão que o conjunto-solução da inequação é dado
por C.S. = ]-∞, 9[. Nesta altura, aproveitei para relembrar que um conjunto de números
reais pode ser representado de três formas diferentes: em compreensão, por um intervalo
de números reais e graficamente. Questionei também se todas as soluções da inequação
são também soluções do problema, e, após algumas impressões, os alunos chegaram à
conclusão que como a letra x representava, nesse caso, uma medida só poderia tomar
um valor positivo.
Quando terminei a aula, fiquei com a sensação de ter proporcionado uma aula
“cheia” de conteúdos e do dever cumprido. No geral, os principais objetivos desta aula
foram alcançados, nomeadamente consegui estabelecer discussões interessantes com os
alunos, levando-os a “chegar” aos resultados pretendidos com algumas orientações
pedagógicas. Além disso, fiquei surpreendida positivamente com o empenho
demonstrado pela generalidade dos alunos. Alguns resolverem por iniciativa própria
exercícios ainda não propostos e solicitaram a exposição no quadro das suas resoluções.
A minha maior dificuldade prendeu-se com a gestão do tempo, pois terminei 5
minutos antes do toque após ter recolhido a Ficha de Trabalho n.º 1 resolvida na aula,
para posteriormente a analisar no âmbito do presente estudo. Nos minutos finais da aula,
64
poderia ter aproveitado para abordar com maior detalhe os conceitos de inequações
equivalentes e termos semelhantes, e/ou a terminologia de uma inequação como estava
previsto, pois apenas fiz uma breve referência a estes temas no decorrer da aula. Tal
“esquecimento” momentâneo deve-se ao facto de não ter olhado para a planificação
durante a aula (apesar de ter o plano comigo), pois estava muito nervosa, empenhada e
“absorvida” por tudo o que acontecia na sala de aula.
Por fim, importa referir que no Plano da Aula n.º 1 (Anexo 3) estão apresentadas
todas as tarefas/exercícios referidos acima, incluindo os objetivos e a respetiva
resolução. No Capítulo 5, são analisadas as produções escritas dos alunos realizadas na
Ficha de Trabalho n.º 1 durante esta aula.
2.ª Aula – 16 de Abril de 2013 – Terça-feira – 100 minutos
No início da segunda aula, ao contrário da aula anterior, ditei o sumário após o
toque, antes de distribuir qualquer ficha de trabalho. A seguir, procedi à exposição dos
conceitos planeados e não abordados na aula anterior, mais precisamente o de
inequações equivalentes e termos semelhantes, e a terminologia associada a uma
inequação.
Neste contexto, comecei por relembrar o conceito de equações equivalentes,
dando um exemplo, e a seguir introduzi a definição de inequações equivalentes também
com um exemplo, escrevendo no quadro: x < 1+1 é equivalente a x < 2. De forma
idêntica, relembrei o que são termos semelhantes, e salientei que a terminologia de uma
inequação é idêntica à utilizada no que diz respeito às equações.
Posteriormente, distribuí uma ficha que inclui os dois princípios de equivalência
e as regras práticas que são utilizadas para resolver inequações (Anexo 12), e solicitei, a
um dos alunos, a leitura do 1.º princípio de equivalência. A seguir, relembrei a regra da
adição, já abordada na turma pela professora cooperante no âmbito da lecionação das
relações de ordem em |R, e referi que o 1.º princípio de equivalência deriva desta regra.
Para exemplificar, resolvi no quadro a seguinte inequação: x-2 < 5 usando este
princípio, ou seja, x-2 < 5 x-2+2 < 5+2.
No momento seguinte, um aluno leu o 2.º princípio de equivalência que também
consta da ficha entregue aos alunos. Tal como anteriormente, para demonstrar a
aplicabilidade deste princípio, recorri a exemplos: 3x < 6 e -3x < 6. No entanto, não
referi, como previsto (Plano de Aula n.º 2), que o 2.º princípio de equivalência deriva da
65
regra da multiplicação, também já abordada pela professora orientadora cooperante em
aulas anteriores. Além disso, na resolução da segunda inequação, -3x < 6, salientei que
para isolarmos o x podemos dividir ambos os membros por -3, e como este número é
negativo temos que inverter o sentido da desigualdade, mas poderia ter introduzido,
como previsto no plano desta aula, uma outra forma alternativa de resolver uma
inequação com coeficiente negativo, que corresponde a multiplicar ou dividir ambos os
membros por -1. Além disso, para explicar o 2.º princípio de equivalência poderia ter
recorrido à reta real.
Ainda durante a exposição dos dois princípios de equivalência, salientei que
resolver uma inequação consiste em determinar o seu conjunto-solução; e aproveitei
também para relembrar a diferença entre um intervalo aberto e um intervalo fechado.
Posteriormente, distribui a Ficha de Trabalho n.º 2 (Anexo 11), e propus aos
alunos a resolução, aos pares, da Tarefa 1, cujos objetivos estão indicados na Quadro 6 e
o enunciado é apresentado a seguir:
Tarefa1
A seguir, apresentam-se as resoluções de várias inequações. Completa-as.
a) x – 4 < 10 x – 4 + __ < 10 + __
x < __
C.S. = ] __ , __ [
b) x + 2 ≥ 1 x + 2 – __ ≥ 1 – __
x ≥ __
C.S. = [ __ , __ [
c) 2x < 10 _
2x <
_
10
x < __
C.S. = ] __ , __ [
d) -8x < 24 __× (-8x) > __× 24
_
8x >
_
24
x > __
C.S. = ] __ , __ [
e) 2x – 7 > 11 2x > 11 +__
2x > __
_
2x >
_
18
x > __
C.S. = ] __ , __ [
f) –4x – 2 ≥ –x –4x ≥ –x + __
__
__
x ≤ __
C.S. = ] __ , __ ]
(Adaptado da Tarefa 4 do Manual PI 9, 2012)
66
Quando circulei pela sala, esclareci algumas dúvidas e constatei muito interesse
e empenho por parte dos alunos na realização da Tarefa 1. Após realizarem a referida
tarefa, muitos alunos solicitaram a exposição da sua resolução no quadro. Optei por
escolher alunos que ainda não tinham resolvido no quadro qualquer exercício durante a
minha intervenção. Assim, dois alunos, selecionados segundo este critério, resolverem
no quadro as alíneas a) e b) da Tarefa 1, respetivamente.
Quadro 6: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 2
Ficha de Trabalho n.º 2
Tarefas Objetivos de aprendizagem
Tarefa 1
Recordar a regra da adição e as regras da multiplicação já
estudadas em desigualdades numéricas no âmbito do
tópico dos Números Reais [com todas as alíneas].
Conhecer os princípios de equivalência e as regras práticas
usadas para resolver inequações do 1.º grau [com todas as
alíneas].
Verificar que as regras de resolução de inequações não
mudam em relação às regras das equações na transposição
de termos [com as alíneas a) e b)] e na multiplicação de
ambos os membros por um mesmo número positivo [com
as alíneas c) e e)]; e são diferentes na multiplicação de
ambos os membros por um mesmo número negativo [com
as alíneas d) e f)].
Resolver inequações simples do 1.º grau recorrendo às
regras de resolução [com todas as alíneas].
Exercício 1
Resolver inequações do 1.º grau a uma incógnita
utilizando as regras de resolução [com todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma inequação na
forma de um intervalo de números reais [com todas as
alíneas].
A seguir, perguntei se a turma concordava com as duas resoluções expostas no
quadro. Inicialmente, todos os alunos responderam que sim, mas após alguma
insistência da minha parte, uma aluna indicou um erro, que correspondia à
representação incorreta do conjunto-solução da alínea b), mais precisamente {-1; +∞},
justificando, de forma correta, a sua afirmação. Aproveitei para relembrar que os dois
conjuntos {1,2} e [1,2] são diferentes. Refletindo sobre este momento, penso que
utilizei a estratégia adequada, pois não “caí” na “tentação” de indicar o erro, e, assim, os
alunos tiveram oportunidade de o detetar de forma autónoma.
No momento seguinte, quatro alunos resolveram no quadro, em simultâneo, as
alíneas c), d), e) e f), respetivamente. Durante a discussão, verifiquei que um dos alunos
67
representou de forma incorreta o intervalo da alínea e): ]9, ∞+[, mais precisamente
trocou o símbolo de mais infinito por ∞+. Além disso, constatei que o aluno que
resolveu a alínea f) aplicou de forma incorreta o 2.º princípio de equivalência.
Consequentemente, comecei por explicar a resolução apresentada relativa à alínea f)
antes de discutir as restantes alíneas, pois este foi o item que suscitou mais dúvidas por
parte dos alunos.
Entretanto, como faltavam poucos minutos para o toque final, não foi possível
realizar algumas alíneas do Exercício 1 da página 116 do manual como estava previsto
no Plano de Aula n.º 2. Aproveitei para indicar outras duas alíneas (1.5 e 1.7) desse
exercício para trabalho de casa de forma a consolidar o tema desta aula, mais
precisamente: “Resolução de inequações utilizando os dois princípios de equivalência”.
Os objetivos do Exercício 1 estão expostos no Quadro 6 e o respetivo enunciado é o
seguinte:
Exercício 1
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 116)
A aula terminou após recolher a Ficha de Trabalho n.º 2 e entregar a Ficha de
Trabalho n.º 1 recolhida na aula anterior.
Fazendo um balanço, posso dizer que esta aula foi bem conseguida, com base
nas seguintes ideias: (i) consegui motivar os alunos quando solicitei a leitura em turma
dos dois princípios de equivalência, (ii) introduzi os princípios de equivalência de forma
“clara” recorrendo a exemplos simples, (iii) esclareci todas as dúvidas, (iv) fomentei a
deteção de erros por parte dos alunos de forma autónoma, e (v) os alunos conseguiram
no geral resolver com sucesso a Tarefa 1. No entanto, tive alguma dificuldade na gestão
do quadro, e sobretudo na gestão do tempo, tendo a discussão da Tarefa 1 decorrido
durante mais de 30 minutos. Além disso, repeti, por vezes, a mesma ideia.
3.ª Aula – 18 de Abril de 2013 – Quinta-feira – 50 minutos
68
No início da aula, como habitualmente, ditei o sumário. A seguir, distribui a
Ficha de Trabalho n.º 2, recolhida na aula anterior, e solicitei à turma a realização de
algumas alíneas do Exercício 1, mais precisamente os itens 1.1, 1.3, 1.4 e 1.5, da página
116 do manual.
Os alunos resolveram, aos pares, os referidos itens. Posteriormente, solicitei a
quatro alunos a resolução no quadro, em simultâneo, das quatro alíneas do Exercício 1,
respetivamente.
No momento da discussão, um aluno referiu ter usado um método de resolução
diferente do apresentado para a alínea 1.3. Assim, a resolução exposta no quadro era a
seguinte: 11-j ≤ -3 -j ≤ -3-11 j ≥ 14, mas esse aluno resolveu da seguinte forma:
11-j ≤ -3 11+3 ≤ j j ≥ 14. Para efeitos de comparação, escrevi no quadro esta
segunda opção de resolução do item 1.3 e aproveitei para reforçar a ideia que poderão
existir várias formas de resolver uma dada inequação. Ainda durante a discussão, uma
aluna corrigiu o conjunto-solução da inequação da alínea 1.1, salientando que o
intervalo correto é ]3, +∞[ ao contrário do apresentado no quadro: [3, +∞[. Quando
questionada por mim, esta aluna justificou a sua observação.
A seguir, introduzi o tema desta aula: “Resolução de inequações do 1.º grau com
parênteses e denominadores”, recorrendo ao seguinte exemplo de uma inequação com
parênteses e denominadores: 2 – x5
7 ≥
2
3(x – 3), como previsto no Plano de Aula n.º 3
(Anexo 13). Durante a resolução da inequação, referi e escrevi no quadro os vários
passos utilizados, chamando a atenção para que a sua ordem não é rígida e pode ser
alterada dependendo de cada caso.
Como faltava pouco tempo para a aula terminar, não foi possível aplicar na
prática o tema abordado nesta aula. Assim, indiquei o trabalho de casa, mais
precisamente o Exercício 6 (alíneas 6.2. e 6.3.) da página 117 e o Exercício 8 da página
123, ambos do manual, pois estes englobam temas já lecionados nas duas aulas
anteriores.
69
Os objetivos destes dois exercícios estão incluídos no Quadro 7 e os respetivos
enunciados são apresentados a seguir:
Exercício 6
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 117)
Exercício 8
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Quadro 7: Objetivos de aprendizagem das tarefas propostas para trabalho de casa
Tarefas Objetivos de aprendizagem
Exercício 6 Investigar se um dado número é solução de uma
inequação sem utilizar as regras de resolução [com todas
as alíneas].
Exercício 8
Investigar os erros cometidos na resolução de uma
inequação usando as regras de resolução [com a alínea
8.1].
Corrigir a resolução de uma inequação [com a alínea 8.2].
No entanto, além dos dois exercícios mencionados acima, poderia também ter
proposto para trabalho de casa a resolução de uma inequação com parênteses e
denominadores para os alunos aplicarem na prática o tema desta aula.
70
Por último, também por limitações de tempo, não corrigi o trabalho de casa
indicado na aula anterior (de 16 de Abril de 2013), nem propus a realização da Ficha de
Trabalho n.º 3 (Anexo 13), como estava previsto para esta aula. No final da aula, recolhi
a Ficha de trabalho n.º 2 para posteriormente analisar as resoluções dos alunos no
âmbito do estudo de investigação
Em suma, esta aula serviu para consolidar a resolução de inequações simples e
exemplificar a resolução de inequações mais complexas, nomeadamente inequações
com parênteses e denominadores. A gestão do tempo continuou a ser a minha principal
dificuldade, principalmente no que diz respeito à duração dos momentos de discussão
que é muito superior à prevista. Tal aconteceu, provavelmente, pela minha inexperiência
em gerir estes momentos e pela preocupação em esclarecer todas as dúvidas e corrigir
todos os erros que foram surgindo, e alguns dos quais não estavam previstos.
4.ª Aula – 22 de Abril de 2013 – Segunda-feira – 100 minutos
Após o toque de entrada, ditei o sumário. A seguir, com o intuito de gerir o
quadro, dividi-o em cinco partes e propus a exposição simultânea dos cinco itens
indicados para trabalho de casa nas duas últimas aulas anteriores, mais precisamente o
Exercício (alíneas 1.5 e 1.7) da página 116, o Exercício 6 (alíneas 6.2 e 6.3) da página
117 e o Exercício 8 da página 123, todos do manual (Anexo 5).
Quando questionei a turma sobre a realização do trabalho de casa, a maioria dos
alunos respondeu positivamente, nomeadamente quatro alunos propuseram, por
iniciativa própria, expor no quadro a resolução dos itens 1.5, 1.7, 6.2 e 8,
respetivamente. No entanto, nenhum aluno mostrou interesse em realizar no quadro a
alínea 6.3, dado que ninguém tinha realizado em casa esta alínea. Com a resolução do
Exercício 6 pretende-se investigar se um dado número é solução de uma inequação sem
utilizar as regras de resolução (ver Plano de Aula n.º 3 no Anexo 5).
Optei, então, por escolher um aluno para realizar no quadro a referida alínea.
Este manifestou muitas dúvidas na adição de números fracionários. Assim, apesar de tal
não estar previsto no Plano de Aula n.º 4 (Anexo 6), aproveitei para rever, com toda a
turma, a adição, o produto e a divisão de números fracionários, recorrendo a alguns
exemplos. Expliquei, então, que para calcularmos o valor da expressão 2+1/2 temos
necessariamente que reduzir ao mesmo denominador, o que não ocorre quando
71
determinarmos o valor de 2×1/2. Em relação à divisão, expliquei que geralmente se
processa da seguinte forma 2:1/2 = 2×2/1 = 4.
Foi importante conseguir dar resposta e esclarecer uma dúvida não prevista
manifesta por um aluno para toda a turma. No entanto, poderia ter apresentado
exemplos mais variados e similares ao exercício que o aluno estava a resolver. Tal não
aconteceu, sobretudo porque, como já referido, esse momento não foi planeado.
Com o intuito de gerir o quadro, escrevi as palavras “À parte” num dos cantos
do quadro, e só depois procedi à explicação anteriormente mencionada. Após a revisão
mencionada anteriormente, o aluno terminou a sua resolução no quadro.
Seguiu-se a discussão coletiva das restantes alíneas também expostas no quadro.
Neste momento referi que a inequação da alínea 1.5 poderia ser realizada de outra
forma, e escrevi a resolução alternativa. Além disso, fiz algumas observações, na
tentativa de esclarecer dúvidas e corrigir erros detetados por mim em aulas anteriores
quando circulei pela sala e observei as resoluções dos alunos. Assim, fiz referência ao
facto de 2 < x x > 2 ou 1 ≥ x x ≤ 1. Aproveitei também salientar que o símbolo de
mais infinito representa-se por +∞ e não ∞+. Por fim, referi o facto da seguinte
representação {+∞, 2} não corresponder a um conjunto.
A seguir, distribui a Ficha de Trabalho n.º 3 e entreguei a Ficha de Trabalho n.º 2
recolhida na aula anterior. Os alunos resolveram, aos pares, as alíneas 4.1. e 4.2 da
página 117 do manual, estando os objetivos do Exercício 4 no Quadro 8 e o enunciado é
dado por:
Exercício 4
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 117)
72
Quadro 8: Objetivos de aprendizagem do Exercício 4 da Ficha de Trabalho n.º 3
Ficha de Trabalho n.º 3
Tarefa Objetivos de aprendizagem
Exercício 4
Resolver inequações do 1.º grau a uma incógnita, com
parênteses e denominadores, utilizando as regras de
resolução [com todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma inequação com
parênteses e denominadores na forma de intervalo de
números reais [com todas as alíneas].
Durante este momento, circulei pela sala e esclareci algumas dúvidas, num
período de tempo superior ao previsto.
Dado que existia alguma confusão na sala, escolhi os dois alunos mais
“barulhentos” para irem ao quadro resolver os exercícios 4.1 e 4.2, respetivamente, com
o intuito de ter a sua atenção. Durante a discussão, constatou-se a existência de um erro
na resolução da alínea 4.1, mais precisamente no sinal de um número fracionário, i.e.,
em vez da seguinte inequação: x < -78/11 deveria ter-se x < 78/11. Por um lado, como
verifiquei que existiam dúvidas, expliquei que os seguintes números são iguais: -78/-11
= 78/11 e -78/11 = - (78/11) = 78/-11. Por outro lado, o aluno que resolveu no quadro a
alínea 4.2 aplicou, de forma incorreta, a propriedade distributiva, e consequentemente
obteve soluções incorretas. Por último, este aluno não representou o conjunto-solução,
tendo posteriormente um dos restantes alunos indicado oralmente o respetivo intervalo.
A seguir, distribui a Ficha de Trabalho n.º 4, e solicitei a realização da Tarefa 1
(Anexo 14) cujos objetivos estão indicados no Quadro 9 e o respetivo enunciado é o
seguinte:
Tarefa 1
a) Que valores pode ter k para que k + 5 seja superior a 5?
b) Pensei num número. De seguida subtrai-lhe 10 e depois multipliquei por 5. Obtive
um número menor que 25. Que número pensei inicialmente?
c) Pensei num número, multipliquei-o por 2 e depois somei-lhe 7. Obtive um número
superior a 35. Escreve uma expressão que traduza esta situação.
d) Inventa um enunciado de um problema que corresponda à seguinte inequação:
7+b > 40
e) Considera a seguinte tabela com 7 palavras e o respetivo número de letras de cada
73
palavra:
Palavra Número de letras
Lápis 5
Segundo 7
Sim 3
Calcular 8
Boneca 6
Pé 2
Casa 4
Utiliza a letra x para representar o número de letras dessas palavras. Determina a
palavra escolhida a partir das seguintes informações: o dobro do número de letras dessa
palavra adicionado a um é inferior ao número de letras da palavra “segundo”. Escreve
uma expressão que traduza essa situação. Qual é essa palavra?
(Adaptado de Traldi Júnior, 2002)
Quadro 9: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 4
Ficha de Trabalho n.º 4
Tarefas Objetivos de aprendizagem
Tarefa 1
Traduzir por meio de uma inequação uma situação
problemática apresentada por uma expressão algébrica
[com a alínea a)].
Resolver uma inequação do 1.º grau [com as alíneas a) e
b)].
Traduzir uma situação problemática apresentada em
linguagem natural por uma inequação [com a alínea b), c)
e e)].
Formular uma situação problemática na linguagem natural
descrita por meio de uma inequação [com a alínea d)].
Exercício 13
Compreender e aplicar os passos utilizados para resolver
uma situação problemática (apresentada em linguagem
natural com recurso a uma balança) usando inequações.
Exercício 12
Compreender e aplicar os passos utilizados para resolver
uma situação problemática (apresentada em linguagem
natural) usando inequações.
Exercício 41
Estabelecer conexão entre temas do Programa de
Matemática em vigor, mais precisamente a Álgebra e as
Probabilidades.
Resolver uma situação problemática (apresentada em
linguagem natural) usando uma inequação do 1.º grau.
Nota: O grau de dificuldade deste exercício é elevado.
74
Tal como anteriormente, a duração do momento da resolução dessa tarefa foi
superior ao previsto, pois tentei dar oportunidade a que todos os alunos resolvessem a
tarefa. Finalmente, um aluno expôs a alínea a) no quadro, mas não deduziu a inequação
subjacente ao problema, tendo apenas apresentado o seu conjunto-solução: ]0, +∞[. Este
aluno quando questionado sobre a sua resolução explicou corretamente que para k+5
ser superior a 5, k tem que ser superior a 0. Nesta altura, um aluno revelou ter uma
resposta diferente da apresentada no quadro, e como verifiquei que este tinha deduzido
uma inequação (tal como era pretendido), pedi para este expor a sua resolução no
quadro. O aluno deduziu corretamente a inequação subjacente à situação problemática,
mas aplicou de forma incorreta o 1.º princípio de equivalência, i.e., k+5 > 5 k > 5/5
k > 1. No final da aula recolhi as Fichas de Trabalho n.º 3 e 4, para analisar as
dificuldades e erros cometidos pelos alunos de forma a abordá-los na próxima aula.
Esta aula foi proveitosa, porque esclareci dúvidas e corrigi erros detetados em
aulas anteriores, e que continuavam a ser cometidos por alguns alunos. Além disso,
relembrei conceitos e indiquei exemplos que não estavam planeados, dando assim
resposta a dificuldades detetadas durante a aula. Melhorei, ainda, na gestão do quadro.
A minha maior dificuldade continuou a ser a gestão do tempo.
5.ª Aula – 23 de Abril de 2013 – Terça-feira – 100 minutos
No início da aula, ditei o sumário, tendo nele incluído, por solicitação da
professora cooperante, a entrega do teste intermédio e da respetiva correção.
Após distribuir a Ficha de Trabalho n.º 4 recolhida na aula anterior, resolvi no
quadro a alínea b) da Tarefa 1, uma vez que a alínea a) já tinha sido corrigida na aula
anterior. Posteriormente, pedi a três alunos para colocarem no quadro as suas resoluções
relativamente às alíneas c), d) e e), respetivamente.
A seguir, avancei para a discussão em turma destas resoluções. O aluno que
realizou a alínea c), considerou a seguinte igualdade numérica: 60×2+7 = 127, ou seja,
não deduziu uma inequação, como estava previsto no Plano de Aula n.º 5 (Anexo 7).
Consequentemente, perguntei à turma se concordava com esta resolução, e
alguns alunos discordaram, justificando que o objetivo da alínea c) não tinha sido
alcançado, pois pretendia-se deduzir uma inequação e não um valor como foi obtido.
Então, o aluno que estava no quadro, escreveu a seguinte condição: x(2+7) > 35, e não a
75
inequação que traduzia a situação descrita na alínea c), ou seja, 2x+7 > 35. No entanto,
após algumas indicações minhas e observações dos colegas, o aluno substituiu a
primeira inequação pela segunda, tendo eu salientado que as duas expressões são
diferentes.
O aluno que resolveu a alínea d), formulou, como esperado, o enunciado de um
problema a partir da inequação dada: 7+b > 0, escrevendo no quadro a seguinte frase:
“O Capitolino pensou no número sete, somou um número secreto o qual depois deu um
resultado superior a zero”. No entanto, como se verifica, este não colocou qualquer
pergunta que deveria ser respondida mediante a resolução do problema. Após a minha
observação sobre este facto, o aluno completou a sua resolução, acrescentando
“Determina esse número secreto.”
Quanto à alínea e), a resolução apresentada no quadro estava correta. Verifiquei,
no entanto, que alguns alunos deduziram e resolveram corretamente a inequação, como
pretendido, mas não indicaram a solução correta do problema dado. De facto, depois de
alguns cálculos, esses alunos obtiveram a seguinte inequação: x < 3, o que está correto,
mas não tiveram em conta que 3 não é o maior número inteiro solução da inequação,
mas sim 2, pois x < 3 x ≤ 2 considerando que x representa um número inteiro (ver
Ficha de Trabalho n.º 4 no Anexo 14).
Posteriormente, escrevi no canto do quadro, os passos que são utilizados na
resolução de situações problemáticas envolvendo inequações, já apresentados na aula
anterior. Realizei tal tarefa com o intuito de relembrar e ajudar os alunos na resolução
dos exercícios que seriam propostos a seguir. Neste contexto, pedi aos alunos para
resolverem os restantes três exercícios da Ficha de Trabalho n.º 4 durante 15 minutos
(Anexo 14). Os objetivos destes exercícios estão no Quadro 9 e os enunciados são
apresentados a seguir:
Exercício 13
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
76
Exercício 12
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Exercício 41
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 127)
A maioria dos alunos conseguiu resolver com facilidade as situações
problemáticas descritas nesta ficha, mas o tempo de resolução previsto não foi
cumprido.
No momento da exposição, três alunos escreveram, simultaneamente, no quadro
a resolução dos três últimos exercícios da Ficha de Trabalho n.º 4, respetivamente.
Nesta altura, tive a preocupação de dividir o quadro em três partes, de forma a mantê-lo
organizado. A seguir, realizou-se a discussão coletiva das três situações problemáticas.
No geral, as resoluções estavam corretas, mas dois dos alunos não definiram a respetiva
incógnita, nem escreveram a resposta do problema. Assim, reforcei a ideia que a
solução de um problema pode não ser igual à solução da respetiva inequação e deve-se,
necessariamente, escrever a resposta ao problema indicado.
Nos restantes 10 minutos do término da aula, introduzi o conceito de disjunção
de inequações, utilizando o exemplo indicado no Plano de Aula n.º 5 (Anexo 7). A
seguir, indiquei para trabalho de casa as alíneas 1.2 e 1.4 do Exercício 1 da página 120
do manual, pois pretendia que os alunos praticassem o tema: “disjunção de inequações”,
abordado nesta aula. Não indiquei algumas alíneas do Exercício 2 da página 120 do
manual como previsto no plano desta aula, pois, por limitações de tempo, não lecionei a
conjunção de inequações, sendo este o tema tratado nestes itens.
77
No final da aula, a professora cooperante entregou os testes intermédios e a
respetiva correção, e eu recolhi a Ficha de Trabalho n.º 4 de forma a analisar a resolução
dos alunos.
Refletindo sobre esta aula, posso dizer que o principal objetivo foi alcançado, ou
seja, os alunos conseguiram traduzir por meio de uma inequação uma dada situação
problemática apresentada em linguagem natural. Além disso, os alunos demonstraram
facilidade em resolver inequações e representar o respetivo conjunto-solução. O maior
“dilema”, como já era esperado, prendeu-se com a escolha da solução de cada uma das
situações problemáticas apresentadas. Tendo presente estas dúvidas, salientei a
importância da compreensão e interpretação do enunciado de um dado problema, pois o
sucesso desse passo inicial orienta e contribui positivamente de forma decisiva para
encontrar a resposta correta à questão do problema. Além disso, a introdução do tema
“disjunção de inequações” não suscitou dúvidas nos alunos.
6.ª Aula – 29 de Abril de 2013 – Segunda-feira – 100 minutos
Como usualmente, comecei por ditar o sumário. A seguir, introduzi o conceito
de conjunção de inequações através do exemplo planeado e incluído no Plano de Aula
n.º 6 (Anexo 8). Durante este momento de exposição, aproveitei o exemplo dado para
relembrar a noção de disjunção de inequações, já lecionada na aula anterior. Tal opção
revelou-se uma boa estratégia. No entanto, penso que poderia ter também apresentado
um exemplo em linguagem corrente para distinguir os dois conceitos: disjunção e
conjunção.
Após distribuir a Ficha de Trabalho n.º 4 (recolhida na aula anterior para análise
das resoluções) e a Ficha de Trabalho n.º 5 (que inclui os exercícios a propor nesta
aula), solicitei aos alunos a realização de duas alíneas (1.1 e 1.3) do Exercício 1 e duas
alíneas (2.2 e 2.4) do Exercício 2, ambos da página 120 do manual e que constam da
última ficha durante 15 minutos. Os objetivos de ambos os exercícios estão no Quadro
10 e os enunciados são indicados a seguir:
78
Exercício 1
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 120)
Exercício 2
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 120)
Quadro 10: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 5
Durante a resolução do Exercício 1 e do Exercício 2, foram surgindo algumas
dúvidas, principalmente na aplicação do 2.º princípio de equivalência e na representação
do conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais; sendo a análise a estas
resoluções processada com detalhe no Capítulo 5.
No momento seguinte, pedi a três alunos para realizarem no quadro as alíneas
1.1, 1.2 e 1.3 do Exercício 1 (com os objetivos na Quadro 9), respetivamente, tendo o
Ficha de Trabalho n.º 5
Tarefas Objetivos de aprendizagem
Exercício 1
Resolver a disjunção de inequações do 1.º grau [com
todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma disjunção de
inequações do 1.º grau na forma de um intervalo de
números reais [com todas as alíneas].
Exercício 2
Resolver uma conjunção de inequações do 1.º grau [com
todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma conjunção de
inequações do 1.º grau na forma de um intervalo de
números reais [com todas as alíneas].
79
segundo item ficado para trabalho de casa na aula anterior. Posteriormente, procedeu-se
à discussão em turma destas três alíneas.
Um aluno detetou um erro na resolução exposta no quadro relativa à alínea 1.1,
mais precisamente em vez de um intervalo fechado à esquerda indicado: [10, +∞[
deveria ter-se um intervalo aberto à esquerda: ]10, +∞[. Além disso, a resolução deste
exercício ainda não estava completa, pois no quadro constava apenas o respetivo
conjunto-solução de cada uma das duas inequações da disjunção, e não o conjunto
reunião como se pretende no âmbito da resolução de qualquer disjunção de inequações.
Após referir este facto, representei primeiro graficamente cada um dos dois conjuntos e
a seguir obtive o respetivo conjunto reunião na forma de um intervalo de números reais,
salientando que esta ordem facilita a determinação do intervalo reunião.
Tal como na alínea anterior, a resolução do item 1.2 estava incompleta, ou seja,
desta não constava o conjunto-solução da disjunção, mas apenas o conjunto-solução de
cada uma das duas inequações que constituem a condição.
O aluno que realizou o item 1.3 aplicou, de forma incorreta, o 2.º princípio de
equivalência, mais precisamente não inverteu o sentido da desigualdade quando dividiu
ambos os membros da inequação por um número negativo, tendo invertido o sinal “≥”
apenas no passo seguinte, i.e. -3x ≥ -6 -3x/-3 ≥ -6/-3 x ≤ 2. Consequentemente,
apesar do aluno ter chegado à solução correta, a sua resolução apresentava um erro num
passo intermédio. Adicionalmente, este estudante representou bem o conjunto-solução.
Posteriormente, três alunos colocaram as suas resoluções no quadro
relativamente às alíneas 1.4, 2.2 e 2.4 (Anexo 15), respetivamente, estando a primeira
incluída no trabalho de casa indicado na aula anterior.
O aluno que realizou o item 1.4, representou incorretamente o símbolo de
infinito, colocando ∞+, tendo este erro sido observado por um colega no momento da
discussão. Além disso, numa primeira tentativa, não escreveu a inequação correta tal
como estava no enunciado, mas, após as respetivas alterações, resolveu de forma correta
o referido exercício no quadro.
O aluno que resolveu a alínea 2.2, representou corretamente o conjunto-solução
da conjunção, mas não verificou que se tratava do conjunto vazio, sendo esta
observação realizada por uma colega.
Quanto à alínea 2.4, a resolução exposta no quadro apresentava um erro na
aplicação da propriedade distributiva, i.e. a expressão -3(x-6) transformou-se em -3x+6.
No entanto, o aluno, que realizou esta alínea, detetou este erro e, assim, alterou a sua
80
resolução no quadro, mas demorou muito tempo no processo. Ao refletir sobre este
momento, penso que poderia ter tomado outra decisão, com o intuito de tornar a aula
mais dinâmica, ou seja, enquanto o aluno alterava a sua resolução no quadro, eu poderia
ter avançado para a discussão com a restante turma.
Nos quinze minutos finais da aula, distribui a Ficha de Trabalho n.º 6 (Anexo
16), e pedi aos alunos que resolvessem o seguinte Exercício 14 dessa ficha, estando os
objetivos na Quadro 11:
Exercício 14
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Quadro 11: Objetivos de aprendizagem das tarefas da Ficha de Trabalho n.º 6
Ficha de Trabalho n.º 6
Tarefas Objetivos de aprendizagem
Exercício 14
Estabelecer conexão entre temas do Programa de
Matemática em vigor, mais precisamente a Álgebra e a
Geometria.
Resolver situações problemáticas usando a conjunção de
inequações do 1.º grau a uma incógnita.
Verificar se todas as soluções encontradas são soluções da
situação problemática.
Nota: O grau de dificuldade deste exercício é reduzido.
Exercício 24
Resolver situações problemáticas usando a conjunção de
inequações do 1.º grau a uma incógnita.
Verificar se todas as soluções encontradas são soluções da
situação problemática.
Nota: O grau de dificuldade deste exercício é moderado.
A realização do Exercício 14 exige a fórmula da área do trapézio, mas a maioria
dos alunos não se lembrava da referida fórmula. Para fomentar o trabalho autónomo dos
alunos, optei por não escrever a fórmula do trapézio no quadro, relembrando que esta
faz parte do formulário do teste intermédio. Nessa altura, referi também oralmente os
81
passos que os alunos deveriam seguir para resolver situações problemáticas envolvendo
disjunções ou conjunções de inequações, como previsto no plano desta aula. A seguir,
recolhi as Fichas de Trabalho n.º 5 e 6, tendo terminado a aula.
A minha principal dificuldade consistiu em cumprir o plano, pois “gastei” muito
tempo nos momentos de discussão e “esperei” por todos os alunos antes do seu início,
quando poderia ter começado a discussão mais cedo, mesmo quando ainda está algum
dos alunos a expor no quadro a sua resolução. Tal estratégia poderia ter proporcionado
uma maior dinâmica e evitado algum ruído que tentei controlar. Por fim, refletindo
sobre as tarefas realizadas, verifico que teria sido mais proveitoso realizar as alíneas
propostas usando uma ordem diferente. De facto, apesar de ter seguido a indicação do
manual, ou seja, primeiro, os alunos realizaram o Exercício 1 sobre disjunções e a
seguir resolveram o Exercício 2 que aborda conjunções, poderia ter “baralhado” as
disjunções com as conjunções.
Como aspetos positivos da minha intervenção nesta aula, quero salientar os
seguintes: a organização do quadro; a solicitação da exposição simultânea no quadro de
várias resoluções, que se revelou uma boa estratégia, pois permitiu “poupar” algum
tempo; a fomentação do trabalho autónomo dos alunos, evidenciada quando não
escrevei no quadro a fórmula da área do trapézio; e o facto de ter primeiro lecionado o
tema da aula “conjunção de inequações”, e só depois ter corrigido o trabalho de casa
juntamente com as restantes alíneas que entretanto os alunos resolveram em aula. Em
geral, ocorreram momentos de discussão interessantes e esclarecedores, e na maioria
dos casos foram os alunos que detetaram os erros que foram ocorrendo nas várias
resoluções apresentadas pelos colegas.
7.ª Aula – 30 de Abril de 2013 – Terça-feira – 50 minutos
No início da aula, ditei o sumário e procedi à distribuição da Ficha de Trabalho
n.º 6, recolhida na aula anterior. Desta ficha, constava a resolução dos alunos relativa ao
Exercício 14 realizada na aula anterior, mas ainda não corrigida.
Para expor no quadro a resolução do Exercício 14, decidi utilizar uma estratégia
diferente comparativamente às usadas nas seis aulas já lecionadas, mais precisamente
realizei o referido exercício no quadro, tentando estimular a turma a participar. Assim,
solicitei a um dos alunos a leitura do enunciado do exercício, e depois questionei a
turma sobre a variável em estudo. Um dos alunos respondeu corretamente a essa
82
questão, dizendo que “x é a medida de um dos lados do trapézio”. Posteriormente,
perguntei quais seriam as inequações da conjunção subjacente à situação em análise
(Ficha de Trabalho n.º 6). Um dos alunos referiu corretamente e com facilidade as duas
inequações, e como todos os colegas concordaram, procedi à escrita das mesmas no
quadro. Neste momento, salientei que é indiferente a ordem das inequações que
compõem a respetiva conjunção.
Um dos alunos, que é pouco participativo, mostrou interesse em resolver no
quadro a conjunção de inequações. Assim, pedi a este aluno para proceder à referida
resolução. No entanto, o aluno cometeu um erro numa das inequações, mais
precisamente: . Apontei esse
erro, relembrando a diferença entre as duas expressões: (x - 3) + (x - 1) e (x - 3) × (x -
1). Após corrigir esse erro, o aluno resolveu corretamente a conjunção de inequações,
mas não representou o respetivo conjunto-solução.
Aproveitei para consolidar os conhecimentos já adquiridos pelos alunos no que
diz respeito à interseção de dois conjuntos. Com esse intuito, representei, graficamente e
na forma de intervalo, o conjunto-solução de cada uma das duas inequações. E como
verifiquei que existiam dúvidas quanto à noção do conjunto interseção, revi esse
conceito. Para tal, escrevi num canto do quadro as palavras: “À parte” e considerei o
seguinte exemplo: A = {1, 2}, B = {2, 3} e, então, A B = {2}.
Conclui o Exercício 14, indicando o conjunto-solução para a situação
problemática, salientando que, neste caso, este é também o conjunto-solução da
conjunção de inequações, mas tal poderia não acontecer.
No momento seguinte, os alunos resolveram aos pares o Exercício 24, cujos
objetivos estão no Quadro 11 e o respetivo enunciado é apresentado a seguir:
Exercício 24
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 125)
83
Quando circulei pela sala, constatei que a maioria dos alunos resolveu com
facilidade o Exercício 24. Consequentemente, seguiu-se a correção do mesmo por uma
aluna. No final da aula, procedi à recolha da Ficha de Trabalho n.º 6.
Como balanço final sobre a minha intervenção letiva, apraz-me referir que foi
uma experiência profissional muito enriquecedora no sentido que consegui colocar em
prática alguns dos conhecimentos adquiridos durante o meu percurso escolar e corrigir
alguns aspetos menos positivos, nomeadamente na gestão do quadro e na promoção de
discussões interessantes e produtivas em turma. Além disso, confrontei-me com duas
das minhas principais dificuldades: a gestão do tempo e da indisciplina. No futuro,
tentarei ultrapassar essas e outras dificuldades que entretanto surjam, tendo presente a
noção que cada turma é única, com todas as suas especificidades, mas é também um
novo e “bom” desafio.
84
85
Capítulo 4
Métodos e Procedimentos de Recolha e Análise de Dados
O presente estudo tem um carácter investigativo e, portanto, foi conduzido com
o intuito de responder às questões de investigação mencionadas no Capítulo 1. Além
disso, a problemática influencia a escolha da metodologia a utilizar, por isso, e tendo em
conta a natureza do estudo, tomei determinadas opções metodológicas que são, neste
capítulo, apresentadas, bem como os participantes selecionados, os instrumentos
utilizados na recolha dos dados e os procedimentos na sua análise.
4.1. Opções Metodológicas
Segundo Patton (1980), as características do objeto de estudo determinam a
escolha do paradigma de investigação. Assim, com o objetivo de não interferir sobre a
situação, mas descrevê-la tal como ocorre no momento do estudo e com a pretensão de
obter um produto final também interpretativo, relativamente aos fenómenos construídos
pelos intervenientes, optei por um paradigma descritivo e interpretativo seguindo uma
abordagem qualitativa e quantitativa.
Para Leal (1992, p. 141) “o paradigma interpretativo valoriza a compreensão e a
explicação” e, portanto, reconhece a importância dos significados que os indivíduos
atribuem à realidade e da linguagem para o processo de aprendizagem. Visualiza o
mundo real como uma construção de atores sociais que constroem o significado social
dos acontecimentos e fenómenos para desenvolver e aprofundar o conhecimento de uma
dada situação num dado contexto (Lessard - Hébert, Goyette & Boutin, 1994).
Ainda, de acordo com Bodgan & Biklen (1994), na investigação qualitativa, as
questões formuladas pretendem orientar o estudo com o intuito de estudar o fenómeno
em toda a sua complexidade. Estes autores indicam cinco características neste tipo de
investigação: (i) os dados são recolhidos no ambiente natural e o investigador é o
instrumento principal de recolha de dados; (ii) os dados recolhidos são de natureza
descritiva; (iii) os processos, mais do que os resultados ou produtos, são a principal
fonte de interesse do investigador; (iv) a análise dos dados é feita de forma indutiva; e
(v) é dada especial importância ao ponto de vista dos participantes.
86
Estas características coadunam-se com o objetivo desta investigação. Os
participantes da investigação são os alunos de uma turma de 9.º ano e os dados,
recolhidos na escola, enquadram-se num esquema descritivo. Além disso, estes foram
analisados por mim enquanto investigadora, constituindo a minha interpretação o
instrumento chave de análise. Os dados forneceram as necessárias citações para ilustrar
e substanciar a apresentação dos resultados, na linha do que indicam Bogdan & Biklen
(1994, p. 49), “A palavra escrita assume particular importância na abordagem
qualitativa, tanto para o registo dos dados como para a disseminação dos resultados”.
Os dados analisados são sobretudo de natureza qualitativa, mas existe também
uma componente quantitativa. Não que a quantidade seja determinística na análise dos
dados, mas considerei importante a contagem dos alunos que utilizaram uma
determinada abordagem na resolução das situações problemáticas propostas. Deste
modo, a análise quantitativa permitiu obter uma imagem, ainda que superficial, do que
realmente ocorreu durante as aulas. Por sua vez, a análise qualitativa permitiu perceber
mais detalhadamente o significado das intervenções de dois alunos selecionados, sendo
a sua caracterização realizada na próxima secção.
Em suma, neste estudo, tentei fazer com que as duas tipologias de análise de
dados, qualitativa e quantitativa, se complementassem e juntas contribuíssem para o
enriquecimento da fase de análise e, consequentemente, para a obtenção de uma
descrição fidedigna do estudo e interpretação dos vários momentos.
4.2. Participantes
Os participantes do estudo são os vinte e um alunos de uma turma do 9.º ano.
Além disso, foram estudados com maior profundidade dois alunos da turma
selecionados de acordo com os seguintes critérios: (i) terem as duas notas mais elevadas
na disciplina de Matemática no 1.º período do presente ano letivo; (ii) evidenciarem
facilidade em comunicar os seus raciocínios; (iii) não apresentarem qualquer falta
durante o período em que decorreu o estudo; e (iv) revelarem disponibilidade para
participar no estudo. Os nomes que lhes foram atribuídos, José e Luís, são fictícios, para
manter o anonimato dos alunos.
Utilizei estes critérios com o intuito de aumentar a probabilidade de obter
produções escritas de dois alunos para todas as situações problemáticas propostas. Além
87
disso, para efeitos de comparação, tive também em consideração as produções escritas
dos restantes alunos da turma.
A seguir, procedo à apresentação dos dois alunos selecionados:
O José tem 14 anos, e nunca repetiu de ano. Vê-se como um bom aluno, mas
reconhece que é um pouco distraído. Gosta muito de Matemática, sendo esta
uma das suas disciplinas preferidas. Nas aulas, é um dos alunos mais
participativos, estando sempre disponível para expor no quadro as suas
resoluções. No primeiro período, o José obteve nível 4 à disciplina de
Matemática, mas no 2.º período a sua classificação desceu para o nível 3.
Tal como o José, o Luís tem 14 anos e nunca repetiu de ano, mas mudou
duas vezes de escola, estando no atual estabelecimento de ensino desde o 7.º
ano e sempre como aluno da professora orientadora cooperante. Diz gostar
muito de Matemática, sendo esta a sua disciplina preferida. Considera-se um
bom aluno em todas as disciplinas. É, juntamente com o José, o aluno mais
participativo da turma e com o melhor desempenho, mas ao contrário do
primeiro é mais atento e isso reflete-se no seu aproveitamento escolar. O
Luís foi um aluno de nível 4 ao longo dos dois primeiros períodos letivos.
4.3. Instrumentos de Recolha de Dados
No meu papel de investigadora, tentei encontrar respostas para as questões
formuladas usando alguns métodos de recolha de dados, e consequentemente, estudar a
minha problemática.
A observação é usada, pelos investigadores, como o principal método de recolha
de dados e desempenha um papel muito importante nas abordagens qualitativas. Tendo
em conta esta perspetiva, alguns dos dados recolhidos resultam das observações que
efetuei, durante as aulas, da turma do 9.º ano. Estas observações foram realizadas
sobretudo durante a minha intervenção letiva, mas também fiz algumas observações,
que me pareceram relevantes para o presente estudo, em aulas lecionadas pela
professora orientadora cooperante.
Com esta minha experiência comprovei que é difícil fazer observações enquanto
se leciona, porque é necessário estar concentrado no ato de ensinar em si mesmo. No
entanto, após cada aula, tive o cuidado de registar por escrito, num diário de bordo, o
88
que observei nessa aula e escrevi também algumas reflexões. Estes registos escritos
contêm uma descrição da evolução de cada aula, das interações com os diferentes
alunos, durante o seu trabalho autónomo e nos momentos de discussão. Incluem
também observações sobre as estratégias utilizadas pelos alunos e as dificuldades
evidenciadas. Contêm, em último lugar, um registo das atitudes e do comportamento
dos alunos. A descrição das minhas aulas, que fiz no capítulo anterior, baseia-se em
grande parte nestes registos.
Utilizei ainda a recolha documental, que incluiu as produções escritas de todos
os alunos, elaboradas durante a realização das tarefas propostas, dentro da sala de aula.
No início de cada aula, distribuí uma ficha de trabalho com todas as tarefas e exercícios
(do manual) a propor nessa aula e os respetivos espaços em branco para a resolução dos
vários itens. Posteriormente, no final de cada aula, recolhi a resolução das fichas de
trabalho de cada um dos alunos e depois fotocopiei todos esses apontamentos. Devolvi
sempre as fichas aos alunos no início da aula seguinte. Evidentemente que estes registos
foram imprescindíveis para conhecer as estratégias e as dificuldades dos alunos.
Consequentemente, antes da realização das tarefas solicitei aos alunos que
sempre que se enganassem não apagassem o erro, e no momento da discussão, não
apagassem o que tinham feito anteriormente e o que acrescentassem ou modificassem
nesse momento, deveria ser escrito noutra cor. Assim, consegui recolher não só a
produção final, mas também alguns dos caminhos seguidos pelos alunos. No entanto,
nem todos colaboraram, pois muitos não realizaram o que foi pedido, e escreveram a
resolução e a respetiva correção da mesma cor, provavelmente com receio de revelarem
que tinham errado nas respostas; e outros não entregaram as fichas. Na primeira aula,
como já tive ocasião de referir no capítulo anterior, os alunos foram também elucidados
que a análise das suas resoluções seria de carácter sigiloso e usada para um trabalho de
cariz investigativo. Pedi a autorização à Direção da Escola (Anexo 1) e aos
Encarregados de Educação dos alunos (Anexo 2), mas resolvi, como já mencionado
atrás, apresentar nomes fictícios para cada um dos dois alunos já caracterizados na
Secção 4.2. Na minha descrição das aulas, no capítulo anterior, optei por não apresentar
os nomes dos alunos envolvidos.
Por último, realizei uma entrevista em simultâneo ao José e ao Luís, após a
minha intervenção da prática de ensino. A entrevista foi semiestruturada, pois permite
adaptar as questões a colocar às respostas que os alunos vão dando. O guião desta
entrevista encontra-se no Anexo 17. A entrevista decorreu na sala de aula habitual, mas
89
num horário em que não havia qualquer aula a decorrer. Teve a duração de cerca de 30
minutos, apenas com a presença destes dois alunos.
Assim, numa primeira fase, com a duração de dez minutos, os dois alunos
realizaram individualmente duas situações problemáticas sobre inequações por escrito
na Ficha de Trabalho Complementar (Anexo 18). A primeira situação problemática é
apresentada com recurso a uma expressão algébrica. A segunda situação problemática é
apresentada usando a linguagem natural. Nesse momento os alunos não podiam trocar
ideias entre si ou comigo.
No segundo momento, com o intuito de captar aspetos que podiam ter passado
despercebidos nas aulas, os alunos explicaram em conjunto, oralmente, a sua resolução
e as dificuldades que tinham sentido durante cerca de vinte minutos. Esse momento foi
gravado em áudio e posteriormente transcrito na íntegra. Utilizei este método para
perceber se os alunos compreendem e sabem resolver situações problemáticas
envolvendo inequações, quando a inequação relevante não é dada (no enunciado) e
portanto tem que ser determinada, a partir de uma expressão algébrica (Tarefa 1) ou a
partir da linguagem natural (Tarefa 2). Além disso, este método permitiu que os dois
alunos comparassem as suas resoluções, identificando erros e aprendendo com eles.
4.4. Métodos de Análise de Dados
A análise dos dados incidiu sobre as produções dos alunos elaboradas durante a
realização das tarefas propostas e sobre as discussões concretizadas no final de cada
tarefa. Os dados recolhidos através da entrevista forma analisados não só considerando
as resoluções mas também o discurso dos dois alunos. Desta forma, pude conhecer
aquilo que leva os alunos a realizar determinados procedimentos e a fazer determinadas
opções relativamente à utilização ou não da linguagem algébrica.
Com vista a efetuar uma sistematização dos dados, comecei por organizar as
respostas dadas por todos os alunos a cada uma das tarefas propostas (Anexos 19, 20,
21, 22, 23 e 24). Posteriormente, iniciei um processo de identificação e clarificação dos
diferentes tipos de dados tendo em conta os objetivos do estudo e, portanto, as questões
de investigação.
Na análise de dados abordei as representações utilizadas pelos alunos
considerando as seguintes categorias: (i) representações utilizadas na resolução de
situações problemáticas: linguagem natural, numérica e algébrica; e (ii) erros e
90
dificuldades na conversão e/ou tratamento de registos de representação; particularmente
na resolução de inequações e na determinação do respetivo conjunto-solução.
91
Capítulo 5
Apresentação e Análise de Dados
Neste capítulo, tendo em conta as questões de investigação, apresento e analiso
os dados recolhidos. Procuro, assim, analisar de uma forma geral o desempenho da
turma recorrendo às produções escritas de todos os alunos que realizaram as situações
problemáticas propostas nas aulas, e incluídas nas fichas de trabalho (Anexos 10, 11,
13, 14, 15 e 16). Além disso, na tentativa de compreender raciocínios com base na
explicação dos alunos sobre os seus procedimentos, considero, também, os dados
resultantes da realização das duas situações problemáticas da ficha de trabalho
complementar (Anexo 18) e de uma entrevista aos dois alunos da turma, designados
neste trabalho por José e Luís (ver Capítulo 4).
Cada situação problemática é analisada de acordo com as seguintes categorias: i)
representações usadas; e ii) erros e dificuldades na conversão e/ou no tratamento das
representações. Encontram-se em anexo quadros que incluem a análise detalhada das
dificuldades e erros revelados pelos alunos nas suas produções (Anexos 19, 20, 21, 22,
23 e 24).
5.1. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho n.º 1
Na Ficha de Trabalho n.º 1 são abordados vários conceitos, nomeadamente o de
inequação, solução de uma inequação e conjunto-solução de uma inequação.
Tendo presente estas noções, a análise que se segue diz respeito aos vinte e um
alunos da turma que realizaram duas situações problemáticas incluídas na Ficha de
Trabalho n.º 1, mais precisamente o Exercício 2 e a alínea b) da Tarefa 2 (Anexo 10).
No entanto, como será verificado mais à frente, nem todos os alunos resolveram todos
os exercícios desta ficha.
Note-se que neste trabalho não são analisadas a Tarefa 1 e a alínea a) da Tarefa
2, pois na primeira as respetivas alíneas relativas às inequações foram realizadas com
toda a turma e a segunda diz respeito ao tema já abordado das equações.
92
Exercício 2
Representações usadas
Em relação ao Exercício 2, como era pedido, os alunos traduziram por meio de
uma inequação uma situação problemática apresentada em linguagem natural. Assim,
estes realizaram apenas a conversão entre estes dois registos de representação, i.e. a
passagem de uma relação apresentada em linguagem natural para uma inequação. A
Figura 8 contém um exemplo ilustrativo da produção escrita de um aluno que realizou
corretamente o Exercício 2.
Tipo de representação Exemplo ilustrativo
Algébrica
Figura 8: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 2 da Ficha de
Trabalho n.º 1
Erros e dificuldades na conversão das representações
A generalidade dos alunos, entre os vinte que realizaram este exercício, não
apresentou erros em todas as alíneas, mas existem as seguintes exceções incluídas no
Quadro 12:
Três alunos utilizaram o sinal de desigualdade incorreto na dedução da
inequação em 2.3. Este erro revela dificuldades em interpretar o significado
da expressão: “não é maior do que”.
Um aluno representou uma inequação de duas formas em 2.4, sendo a
segunda (indicada no Quadro 12) incorreta demonstrando, assim,
dificuldades em compreender o significado dos sinais de desigualdade.
93
Três alunos deduziram uma inequação incorreta em 2.5, tendo revelado
dúvidas no significado de quociente entre dois números, sendo um deles o
José (Figura 9).
Quadro 12: Erros dos alunos no Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1
Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1
Alínea Resolução correta Resolução incorreta N.º de alunos
2.3 15 - 2x ≤ 30 15 - 2x < 30 2
15 - 2x > 30 1
2.4 6x ≤ 400 6x ≥ 400 1
2.5 > 18 > 18 3
Como já referido, o José cometeu um erro na alínea 2.5, mas o Luís resolveu
corretamente todos as alíneas do Exercício 2 como é visível na Figura 9.
Figura 9: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 2 da Ficha
de Trabalho n.º 1
Em suma, cerca de 65% dos alunos não revelaram dificuldades em qualquer das
cinco alíneas do Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1, demonstrando, assim, saber
converter situações problemáticas apresentadas em linguagem natural para a linguagem
algébrica.
94
Tarefa 2 b)
Representações usadas
Na alínea b) da Tarefa 2, quatro alunos utilizaram apenas a linguagem natural e
um resolveu esta alínea de forma numérica. No entanto, treze alunos traduziram e
resolveram uma situação problemática usando uma inequação antes do estudo dos
princípios de equivalência, estando o José e o Luís incluídos neste grupo.
Na Figura 10 encontram-se as produções de três alunos que resolveram, de
forma incorreta, esta alínea, tendo o primeiro optado pela linguagem natural, o segundo
escolheu a representação numérica e o terceiro usou a representação algébrica.
Tipo de representação Exemplo ilustrativo
Linguagem natural
Numérica
Algébrica
Figura 10: Exemplos ilustrativos de resoluções de três alunos à alínea b) da Tarefa 2 da
Ficha de Trabalho n.º 1
95
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
Analisando o Quadro 13, entre os dezoito alunos que realizaram a alínea b) da
Tarefa 2, constato o seguinte:
Os quatro alunos que utilizaram a linguagem natural indicaram respostas
incorretas, pois não constataram que uma medida não pode tomar um valor
negativo (ver Figura 10).
O aluno que resolveu de forma numérica, apresentou uma resposta incorreta
(ver Figura 10).
Entre os alunos que resolveram algebricamente esta alínea, ou seja,
deduziram uma inequação, dez determinaram o respetivo conjunto-solução
correto, na forma de um intervalo de números reais i.e., ]-∞, 9[. No entanto,
apenas dois entre estes dez estudantes verificaram que a solução da situação
problemática é qualquer número real que pertence ao intervalo: ]0, 9[, dado
que uma medida só pode tomar valores positivos. Assim, como já referido, é
incorreta a resolução do aluno que usou a representação algébrica incluída na
Figura 10, pois este indicou o intervalo [0, 9[ como solução da situação
problemática em análise.
Quadro 13: Análise das resoluções do item b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1
Alínea b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1
Tipo de representação Resposta N.º de alunos (%)
Linguagem natural Correta -
Incorreta 4 (22,2%)
Numérica Correta
Incorreta
-
1 (5,6%)
Algébrica
(Tradução correta da
inequação)
Representação do
conjunto-solução
Realizou Correta 10 (55,5%)
Incorreta -
Não realizou 3 (16,7%)
Indicação da
solução da
situação
problemática
Realizou Correta 2 (11,1%)
Incorreta 2 (11,1%)
Não realizou 9 (50,0%)
96
Como já referido anteriormente, o José e o Luís traduziram bem a inequação na
alínea b) da Tarefa 2, mas o primeiro não representou o conjunto-solução da inequação
e não indicou a solução da situação problemática (Figura 11). Pelo contrário, o Luís
representou esse conjunto de três formas diferentes (apesar de ter usado uma letra
minúscula para o designar); e indicou a solução da situação problemática em análise, ou
seja, [0, 9[, mas esqueceu-se que não faz sentido a medida de um lado de um retângulo
tomar o valor 0 (Figura 11). Um dos alunos referidos na Figura 10 cometeu o mesmo
erro, correspondendo esse e o Luís aos dois alunos, apontados no Quadro 13, que
apresentaram uma solução incorreta como resposta à situação problemática proposta.
Figura 11: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à Tarefa 2 da Ficha de
Trabalho n.º 1
Ainda em relação à alínea b) da Tarefa 2, é importante destacar que um aluno
resolveu a inequação recorrendo aos princípios de equivalência e às regras de resolução
antes da sua lecionação (Figura 12).
97
Figura 12: Resolução correta de um aluno que usou a representação algébrica na alínea
b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1
Resumindo, a maioria dos alunos resolveu algebricamente a alínea b) da Tarefa
2 da Ficha de Trabalho n.º 1 incluindo o José e o Luís, mas apenas dois indicaram a
solução adequada à situação problemática.
5.2. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho n.º 4
O tema abordado na Ficha de Trabalho n.º 4 consiste na resolução de situações
problemáticas usando inequações. Assim, com a realização desta ficha pretendia
verificar se os alunos seguiram os passos que são usados para resolver situações
problemáticas, abordados nas aulas (Secção 3.3). Com esse intuito, considero a seguir,
as produções dos dezoito alunos que entregaram a Ficha de Trabalho n.º 4.
Tarefa 1 a)
Representações usadas
Na alínea a) da Tarefa 1, os alunos depararam-se com uma situação problemática
envolvendo uma expressão algébrica. Para resolver esta situação problemática, cinco
alunos recorreram à linguagem natural, onze alunos tentaram usar a representação
numérica e dois alunos usaram a representação algébrica. O José e o Luís fazem parte
do grupo dos alunos que utilizaram a linguagem natural para dar resposta a esta alínea.
98
Na Figura 13 encontram-se exemplos ilustrativos de resoluções de três alunos à
alínea a) da Tarefa 1, tendo cada um deles optado por uma representação diferente entre
si, entre as três referidas atrás: linguagem natural, representação numérica ou
representação algébrica. Nessa figura, o aluno que optou pela linguagem algébrica
apresentou uma resolução incorreta, mas os restantes dois alunos acertaram.
Tipo de
representação
Exemplo ilustrativo
Linguagem natural
Numérica
Algébrica
Figura 13: Exemplos ilustrativos de resoluções de três alunos à alínea a) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
Quanto aos erros e dificuldades evidenciadas na resolução da alínea a) da Tarefa
1, observando o Quadro 14, constato o seguinte:
Dois dos cinco alunos que recorreram à linguagem natural, não acertaram,
tendo inclusivamente ambos dado a mesma resposta incorreta: “infinitos”. A
resposta correta “todos os números reais positivos” foi dada pelos outros três
alunos, sendo dois deles o José e o Luís. A Figura 14 inclui a resposta do
José: “Todos os nºs maiores que 0” e a resposta do Luís: “Todos os nºs
positivos”. A produção do terceiro aluno que usou a linguagem natural e
acertou na alínea a) da Tarefa 1 está incluída na Figura 13, tendo este
respondido: “Qualquer n.º superior a 0”.
Todos os onze alunos que tentaram usar a representação numérica indicaram
apenas um intervalo de números reais, mas somente sete deles determinaram
99
o intervalo correto: ]0, +∞[, estando a produção de um desses alunos na
Figura 13.
Os dois alunos que resolveram algebricamente o item a) traduziram a
situação problemática por meio de uma inequação incorreta: k + 5 ≥ 5 e
depois não a resolveram como é possível verificar pela resolução de um
deles incluída na Figura 13 e a produção do outro contida na Figura 15.
Quadro 14: Análise das resoluções do item a) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Alínea a) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Tipo de representação Resposta N.º de alunos (%)
Linguagem natural Correta 3 (16,7%)
Incorreta 2 (11,1%)
Numérica Correta
Incorreta
7 (38,9%)
4 (22,2%)
Algébrica Correta -
Incorreta 2 (11,1%)
100
Figura 14: Resoluções do José (em cima) e do Luís (em baixo) às alíneas a), b), c) e d)
da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Resolução correta Resolução incorreta
k + 5 > 5
k > 0
C.S. = ]0, +∞[
Figura 15: Resolução incorreta de um aluno à alínea a) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4
Em suma, a maioria dos alunos escolheu a representação numérica para dar
resposta à alínea a) da Tarefa 1, mas o José e o Luís optaram pela linguagem natural. No
entanto, importa realçar que a análise do Quadro 14 permite concluir que não existe
qualquer relação entre o tipo de representação escolhida por um dado aluno e o facto da
sua produção escrita estar correta ou incorreta, uma vez que em cada tipo de
representação existem alunos cujas respetivas resoluções estão corretas e outros que
resolveram incorretamente este item, com exceção da representação algébrica utilizada
incorretamente apenas por dois alunos.
101
Tarefa 1 b)
Representações usadas
Tal como na alínea a), os alunos foram novamente confrontados com uma
situação problemática no item b) da Tarefa 1, mas agora apresentada apenas em
linguagem natural.
Entre os dezoito alunos que resolveram esta alínea, dez utilizaram a
representação numérica e os restantes usaram a representação algébrica, sendo este
último caso o do José e do Luís.
A Figura 16 inclui exemplos ilustrativos das produções escritas de dois alunos
que realizaram a alínea b) da Tarefa 1, tendo um deles optado pela representação
numérica e o outro pela representação algébrica. Além disso, o primeiro apresentou uma
resposta incompleta, e o segundo indicou uma resposta incorreta.
Tipo de
representação
Exemplo ilustrativo
Numérica
Algébrica
Figura 16: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos à alínea b) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
O Quadro 15 resume a informação resultante da análise das produções escritas
dos alunos que realizaram a alínea b) da Tarefa 1:
102
Entre os dez alunos que utilizaram a representação numérica, quatro
indicaram apenas um número como é o caso de um dos exemplos
apresentados na Figura 16; e seis determinaram um intervalo incorreto.
Dos oito alunos que resolveram algebricamente a situação problemática,
nenhum deles realizou com sucesso todos os passos que são usados para
resolver este tipo de situações problemáticas (Seção 3.3). Por exemplo, um
dos alunos referidos na Figura 16 traduziu incorretamente a inequação
pretendida, não indicou o conjunto-solução dessa condição e nem apresentou
a solução da situação problemática.
Quadro 15: Análise das resoluções do item b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Tipo de representação Resposta N.º de alunos (%)
Numérica Incompleta 4 (22,2%)
Incorreta 6 (33,3%)
Algébrica Tradução incorreta e não resolveu 2 (11,1%)
Tradução e
resolução
incorretas
Não representou
o conjunto
solução
2 (11,1%)
Tradução e
resolução
corretas
1 (5,6%)
Tradução
incorreta e
resolução
correta
1 (5,6%)
Tradução
incorreta e
resolução
correta
Representou o
conjunto
solução correto
2 (11,1%)
A Figura 17 contém as resoluções de outros dois alunos que recorreram à
representação algébrica, onde a primeira diz respeito a um aluno que traduziu e
resolveu, de forma incorreta, uma inequação (mais propriamente errou na aplicação da
103
propriedade distributiva); e a segunda resolução refere-se a um estudante que traduziu
uma inequação incorreta, mas resolveu e determinou corretamente o respetivo conjunto-
solução tendo em conta a sua resolução.
O José procedeu como este segundo aluno (Figura 14). Já o Luís é um dos
alunos, apontados no Quadro 15, que traduziram e resolveram incorretamente a
inequação, e não representaram o respetivo conjunto-solução (Figura 14).
Resolução
correta
Resoluções incorretas
x – representa o
número em que
pensei.
(x –10) × 5 < 25
5x – 50 < 25
x < 75/5
x < 15
C.S. = ]-∞, 15[
Pensei num
número menor
que 15.
Figura 17: Resoluções incorretas de dois alunos à alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4
Resumindo, no que diz respeito à alínea b) da Tarefa 1, a maioria dos alunos
optou pela representação numérica, e os restantes usaram a representação algébrica,
incluindo o José e o Luís. Além disso, independentemente da representação escolhida,
nenhum dos alunos resolveu corretamente esta alínea.
104
Tarefa 1 c)
Representações usadas
Na alínea c), pretendia que os alunos traduzissem uma situação problemática
apresentada em linguagem natural por meio de uma inequação, tendo apenas catorze
deles realizado este item. Na Figura 18 indico exemplos ilustrativos das resoluções de
dois alunos em resposta ao item c), tendo o primeiro indicado uma resposta não
pretendida e o segundo apresentou a inequação correta.
Tipo de representação Exemplo ilustrativo
Numérica
Algébrica
Figura 18: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos à alínea c) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4
Erros e dificuldades na conversão das representações
Analisando o Quadro 16, apraz-me retirar as seguintes dilações no que diz
respeito ao item c) da Tarefa 1:
Doze alunos usaram a representação algébrica no item c) da Tarefa 1. Entre
esses, oito alunos traduziram de forma correta a inequação, sendo dois deles
o José e o Luís (Figura 14). Além disso, os restantes quatro alunos indicaram
uma resposta incorreta, tendo um deles deduzido uma expressão que não é
uma desigualdade; e os outros três traduziram incorretamente a inequação. A
Figura 19 inclui a resolução de dois destes três últimos alunos referidos,
tendo o primeiro trocado o sinal de desigualdade correto “>” por “≥”; e o
segundo obteve uma expressão algébrica errada num dos membros da
inequação, mais precisamente usou 2(x + 7) em vez de 2x + 7.
105
Dois alunos não traduziram qualquer inequação e optaram pela representação
numérica, mais precisamente um deles indicou um número e o outro
considerou um intervalo (Figura 18).
Quadro 16: Análise das resoluções do item c) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Alínea c) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Tipo de representação Resposta N.º de alunos (%)
Numérica Incorreta 2 (14,3%)
Algébrica Correta 8 (57,1%)
Incorreta 4 (28,6%)
Resolução correta Resoluções incorretas
2x + 7 > 35
Figura 19: Resoluções incorretas de dois alunos à alínea c) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4
Em suma, a maioria dos alunos utilizou a linguagem algébrica na resposta à
alínea c) da Tarefa 1, incluindo o José e o Luís, como pretendia. De facto, qualquer
aluno que optasse por uma representação diferente da algébrica apresentaria uma
resposta errada (ver Quadro 16), como ocorreu com dois alunos que escolheram
erradamente a representação numérica (ver Quadro 16).
106
Tarefa 1 d)
Representações usadas
Na alínea d) da Tarefa 1, os alunos formularam em linguagem natural uma
situação problemática descrita por meio de uma inequação, tendo apenas treze deles
realizado este item. A Figura 20 contém um exemplo ilustrativo da resolução de um
aluno que realizou corretamente a alínea d), tendo este formulado o seguinte enunciado
de uma situação problemática: “Ao número 7 adicionei um número secreto. Dessa soma
obtive um número maior que 40. Qual é o número secreto?”.
Tipo de
representação
Exemplo ilustrativo
Linguagem
natural
Figura 20: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno à alínea d) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
Observando o Quadro 17, verifico o seguinte em relação ao item d) da Tarefa 1:
Três alunos formularam de forma correta uma situação problemática, como é
o caso do aluno que realizou a produção escrita incluída na Figura 20.
Dez alunos tentaram inventar o enunciado de uma situação problemática,
mas nove não colocaram qualquer questão como é o caso do Luís (Figura
14); e um escreveu “inferior” quando deveria ser “superior”, sendo este
aluno o José (Figura 14). A Figura 21 contém uma das dez resoluções
incorretas.
107
Quadro 17: Análise das resoluções do item d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Tipo de representação Resposta N.º de alunos (%)
Linguagem natural Correta 3 (23,1%)
Incorreta 10 (76,9%)
Resolução correta Resolução incorreta
Pensei num número
adicionei-lhe 7 e
obtive um número
superior a 40. Em que
número pensei?
Figura 21: Resolução incorreta de um aluno à alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4
Ainda em relação à alínea d) da Tarefa 1, observo que apenas treze alunos
formularam a situação problemática proposta, tendo todos usando a linguagem natural
como era pedido. No entanto, mais de metade desses alunos (76,9%) cometeram erros
na resposta a esse item.
Tarefa 1 e)
Representações usadas
A alínea e) tem como propósito traduzir uma situação problemática apresentada
em linguagem natural por meio de uma inequação e resolver essa desigualdade
apresentando uma resposta à questão colocada.
Dos dezoito alunos que entregaram a Ficha de Trabalho n.º 4, apenas doze
realizaram a alínea e), tendo todos utilizado a representação algébrica, com exceção de
108
um que usou a representação numérica. A Figura 22 inclui exemplos ilustrativos das
resoluções, incorretas, de dois alunos ao item e), tendo o primeiro optado pela
representação numérica e o segundo pela representação algébrica.
Tipo de
representação
Exemplo ilustrativo
Numérica
Algébrica
Figura 22: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos à alínea e) da Tarefa 1 da
Ficha de Trabalho n.º 4
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
O Quadro 18 diz respeito apenas aos doze alunos que efetuaram a alínea c) da
Tarefa 1, e a partir dele posso retirar as seguintes dilações:
Um aluno utilizou a representação numérica, mas de forma incorreta, mais
precisamente considerou, 2 + 1 = 3 e 2 + 1 < 7, e concluiu que a resposta
pretendida é “Sim”, como pode ser visualizado na Figura 22 que contém a
sua produção escrita.
Um aluno traduziu uma inequação incorreta: x < 7, não a resolveu, e portanto
não indicou qualquer solução.
Dez alunos traduziram e resolveram corretamente a inequação pretendida,
i.e., 2x + 1 < 7, mas apenas sete deles indicaram a solução adequada ao
contexto, ou seja, “pé”, estando o José e o Luís incluídos neste grupo (Figura
23). A Figura 24 contém a resolução de um aluno que indicou a solução
incorreta, ou seja, escreveu “sim”, pois não verificou que 3 não é solução, e
109
portanto o número de letras da palavra escolhida é inferior ou igual a 2, logo
a palavra é “pé”. Este erro foi igualmente cometido pelo aluno referido na
Figura 22.
Quadro 18: Análise das resoluções do item e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Alínea e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4
Tipo de representação Resposta N.º de alunos (%)
Numérica Correta -
Incorreta 1 (8,3%)
Algébrica Tradução incorreta e não resolveu 1 (8,3%)
Tradução e
resolução
corretas
Solução correta 7 (58,4%)
Solução incorreta 3 (25,0%)
Figura 23: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à alínea e) da Tarefa 1
da Ficha de Trabalho n.º 4
110
Resolução correta Resolução incorreta
x – representa o número de
letras da palavra escolhida.
2x + 1 < 7 x < 3
C.S. = ]-∞, 3[
A palavra escolhida é Pé.
Figura 24: Resolução incorreta de um aluno à alínea e) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4
Resumindo, todos os alunos que resolveram a alínea e) da Tarefa 1 escolheram a
representação algébrica, com exceção de um que optou pela representação numérica.
Além disso, mais de metade (58,4%) desses alunos traduziram e resolveram a inequação
adequada à situação problemática subjacente e indicaram a solução correta, fazendo
parte deste grupo o José e o Luís.
Exercício 13
Representações usadas
No Exercício 13, apenas quinze alunos resolveram a situação problemática
apresentada em linguagem natural com recurso a uma balança, tendo todos recorrido à
representação algébrica. A Figura 25 contém um exemplo ilustrativo da produção
escrita de um aluno que efetuou este exercício.
Tipo de representação Exemplo ilustrativo
Algébrica
Figura 25: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 13 da Ficha de
Trabalho n.º 4
111
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
Pela observação do Quadro 19, constato que apenas dois alunos definiram a
variável. Além disso, a maioria (86,7%) traduziu e resolveu corretamente a inequação,
como foi o caso do aluno cuja resolução está exposta na Figura 25. A Figura 26 inclui a
resolução dos dois únicos alunos que erram na tradução, tendo um deles obtido uma
expressão algébrica em vez de uma desigualdade e o outro, talvez por lapso, errou num
dos termos da inequação.
Quadro 19: Análise das resoluções do Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 4
Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 4
Passos para resolver situações problemáticas
envolvendo uma inequação
Resposta N.º de alunos (%)
Definição da variável
Correta 2 (13,3%)
Incorreta -
Não realizou 13 (86,7%)
Tradução da inequação
Correta 13 (86,7%)
Incorreta 2 (13,3%)
Não realizou -
Resolução da inequação
Correta 13 (86,7%)
Incorreta -
Não realizou 2 (13,3%)
Representação do conjunto-solução
Correta 5 (33,3%)
Incorreta -
Não realizou 10 (66,7%)
Indicação da solução da situação problemática
Correta 8 (53,3%)
Incorreta 1 (6,7%)
Não realizou 6 (40,0%)
112
Tradução correta Tradução incorreta
3x < x + 6
Figura 26: Erros de dois alunos na tradução da inequação do Exercício 13 da Ficha de
Trabalho n.º 4
Mais de metade dos alunos (66,7%) não representaram o respetivo conjunto-
solução; e apenas 33,3% dos alunos determinaram o conjunto-solução correto (Quadro
19). Note-se que alguns alunos não apresentaram o conjunto-solução, mas indicaram
uma solução para a situação problemática, sendo a produção escrita incluída na Figura
25 um exemplo desse procedimento. De facto, 60% (i.e., 53,3% + 6,7% = 60%) dos
alunos realizaram o último passo: indicação da solução da situação problemática, sendo
a única resposta incorreta ilustrada na Figura 27.
Solução correta Solução incorreta
2 é o maior
número inteiro
que x pode
representar
Figura 27: Erro de um aluno na indicação da solução do Exercício 13 da Ficha de
Trabalho n.º 4
113
O José e o Luís realizaram a maioria dos passos utilizados para resolver
situações problemáticas usando inequações, mas ambos não definiram a variável; e o
Luís também não representou o conjunto-solução da inequação (Figura 28).
Figura 28: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 13 da
Ficha de Trabalho n.º 4
Em suma, entre os alunos que realizaram o Exercício 13, todos escolheram a
representação algébrica. Além disso, a maioria dos alunos traduziu e resolveu
corretamente a inequação subjacente à situação problemática proposta, mas não
apresentou o respetivo conjunto-solução e não definiu a variável, e apenas 53,3% dos
alunos indicaram a solução correta. As resoluções do José e do Luís revelam erros
similares comparativamente às produções escritas dos restantes alunos da turma.
114
Exercício 12
Representações usadas
No Exercício 12, os alunos também resolveram uma situação problemática, mas
o contexto, apresentado em linguagem natural, é mais elaborado comparativamente aos
exercícios anteriores. Entre os quinze alunos que realizaram este exercício, catorze
utilizaram a representação algébrica, incluindo o José e o Luís (Figura 30). Este último
também utilizou a representação numérica e outro aluno escolheu a linguagem natural.
A Figura 29 contém, um exemplo ilustrativo das resoluções de dois alunos na resposta
ao Exercício 12, correspondendo o primeiro ao estudante que usou a linguagem natural
e o segundo optou pela representação algébrica; mas ambas são incorretas.
Tipo de representação Exemplo ilustrativo
Linguagem natural
Algébrica
Figura 29: Exemplos ilustrativos de resoluções de dois alunos ao Exercício 12 da Ficha
de Trabalho n.º 4
115
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
O Quadro 20, apresentado a seguir, refere-se aos catorze alunos que utilizaram a
representação algébrica para resolver o Exercício 12.
Como mencionado anteriormente, o Luís também utilizou, de forma correta, a
representação numérica (Figura 30); e o aluno que usou apenas a linguagem natural,
forneceu uma resposta errada, como pode ser comprovado observando a sua produção
na Figura 29.
Quadro 20: Análise das resoluções do Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4
Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4
Passos para resolver situações problemáticas
envolvendo uma inequação
Resposta N.º de alunos (%)
Definição da variável
Correta 3 (21,4%)
Incorreta -
Não realizou 11 (78,6%)
Tradução da inequação
Correta 10 (71,4%)
Incorreta 4 (28,6%)
Não realizou -
Resolução da inequação
Correta 14 (100%)
Incorreta -
Não realizou -
Representação do conjunto-solução
Correta 7 (50,0%)
Incorreta -
Não realizou 7 (50,0%)
Indicação da solução da situação problemática
Correta 6 (42,9%)
Incorreta 3 (21,4%)
Não realizou 5 (35,7%)
116
Figura 30: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 12 da
Ficha de Trabalho n.º 4
Analisando o Quadro 20, verifico que apenas três alunos definiram a variável,
sendo um deles o José (Figura 30). Além disso, entre os quatro alunos que traduziram
de forma incorreta a inequação, um deles apresentou uma desigualdade incorreta
(Figura 31), e os outros três trocaram o sinal de desigualdade correto “>” pelo sinal “≥”.
As produções escritas de dois destes três últimos alunos referidos encontram-se
incluídas na Figura 29 e na Figura 31, respetivamente.
Tradução correta Tradução incorreta
2x > 370
Figura 31: Erros de dois alunos na tradução da inequação do Exercício 12 da Ficha de
Trabalho n.º 4
É de assinalar que todos os alunos resolveram corretamente a inequação
encontrada, mesmo quando esta não traduzia a situação problemática em análise.
117
Adicionalmente, 50% dos alunos não representaram o conjunto-solução da
inequação, como ocorreu com o José e com o Luís (Figura 30), e também com o aluno
referido na Figura 29. E 42,9% dos estudantes indicaram a solução correta: “Devem ir
ao baile no mínimo 186 estudantes”, mas três apresentaram a resposta errada: “185
estudantes”, sendo um deles o José apesar de ter traduzido e representado corretamente
a inequação (Figura 30).
A Figura 32 engloba a resolução incorreta de dois alunos ao Exercício 12, tendo
ambos traduzido mal e resolvido bem a inequação, mas apenas o primeiro indicou a
resposta correta tendo em conta a desigualdade obtida.
Resolução correta Resolução incorreta
x – representa o n.º de
estudantes que devem
ir ao baile
2x > 370 x > 185
C.S. = ]185, +∞[
Resposta: No mínimo
devem ir ao baile 186
alunos.
Figura 32: Erros de três alunos no Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4
Por fim, importa salientar que o Luís resolveu numericamente de forma correta
este exercício, e também aplicou a representação algébrica, mas não definiu a variável e
não apresentou o conjunto-solução. Por outro lado, o José usou apenas a representação
algébrica, mas não determinou o conjunto-solução da inequação e apresentou uma
resposta errada tendo em conta a situação problemática.
Em resumo, importa salientar que treze alunos utilizaram apenas a representação
algébrica no Exercício 12, um aluno (o Luís) utilizou duas representações: a algébrica e
a numérica e outro optou pela linguagem natural.
118
Ainda em relação ao Exercício 12, constato que a maioria dos alunos traduziu
corretamente a inequação, todos resolveram bem a inequação que deduziram; mas a
maioria não definiu a variável, metade não apresentou o respetivo conjunto-solução e
menos de metade indicou uma resposta correta para a situação problemática em análise.
As resoluções do José e do Luís revelam erros similares comparativamente às
produções escritas dos restantes alunos da turma.
Exercício 41
Representações usadas
No Exercício 41, os alunos tiveram que relembrar o conceito estatístico de média
de uma amostra para resolverem a situação problemática subjacente. Todos os dezasseis
alunos que realizaram este exercício recorreram à representação algébrica, incluindo o
José e o Luís (Figura 34). A Figura 33 contém um exemplo ilustrativo da resolução de
um aluno que executou o Exercício 41.
Tipo de representação Exemplo ilustrativo
Algébrica
Figura 33: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 41 da Ficha de
Trabalho n.º 4
119
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
O Quadro 21 contém alguma informação relativa à resolução dos alunos que
realizaram o Exercício 41.
Quadro 21: Análise das resoluções do Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4
Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4
Passos para resolver situações problemáticas
envolvendo uma inequação
Resposta N.º de alunos (%)
Definição da variável
Correta -
Incorreta -
Não realizou 16 (100%)
Tradução da inequação
Correta 15 (93,8%)
Incorreta 1 (6,2%)
Não realizou -
Resolução da inequação
Correta 15 (93,8%)
Incorreta 1 (6,2%)
Não realizou -
Representação do conjunto-solução
Correta 7 (43,8%)
Incorreta -
Não realizou 9 (56,2%)
Indicação da solução da situação problemática
Correta 5 (31,2%)
Incorreta -
Não realizou 11 (68,8%)
120
Figura 34: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) ao Exercício 41 da
Ficha de Trabalho n.º 4
Neste contexto, nenhum aluno definiu a variável, um exemplo é dado na Figura
33. Além disso, quinze alunos traduziram de forma correta a inequação pretendida,
incluindo o José e o Luís (Figura 34); mas um aluno trocou o sinal de desigualdade
correto “≥” pelo sinal “>” (Figura 35).
Tradução correta Tradução incorreta
(50+90+78+72+x)/5 ≥ 70
Figura 35: Erro de um aluno na tradução da inequação do Exercício 41 da Ficha de
Trabalho n.º 4
Da mesma forma, quinze alunos resolveram corretamente a inequação, incluindo
o aluno que deduziu uma inequação incorreta, mas um aluno que traduziu bem a
inequação, posteriormente, apresentou uma resolução incorreta da mesma (Figura 36).
121
Resolução correta Resolução incorreta
x – representa a nota da
Catarina na quinta ficha
(290+x)/5 ≥ 70
x ≥ 60
C.S. = [60, +∞[
Resposta: A
classificação da
Catarina deve ser igual
ou superior a 60%.
Figura 36: Erro de um aluno no Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4
Tal como o José e o aluno referido na Figura 33, a maioria dos alunos (56,2%),
não representou o conjunto-solução da inequação, mas todos os alunos que realizaram
este passo procederam de forma correta. Além disso, 68,8% dos alunos não indicaram a
solução da situação problemática, incluindo o José e o aluno cuja produção escrita está
contida na Figura 33, mas os restantes alunos responderam corretamente.
Em suma, o Luís realizou todos os passos usados neste tipo de tarefa, com
exceção do 1.º passo: definição da variável (Figura 34). Ao contrário, o José não
realizou o 1.º passo: definição da variável, 4.º passo: construção do conjunto-solução e o
5.º passo: indicação da solução (Figura 34).
Notei que apesar de todos os alunos resolverem algebricamente este exercício,
dois deles tentaram usar primeiro a representação numérica, tendo calculado a média
das quatro classificações conhecidas: (50 + 90 + 78 + 72)/4 = 72,5.
Em suma, em relação ao Exercício 41, verifico que todos os alunos optaram pela
representação algébrica. Neste contexto, nenhum aluno definiu a variável, todos
traduziram e resolveram bem a inequação, com exceção de dois deles, tendo um
traduzido bem e resolvido mal e outro traduzido mal e resolvido bem. Além disso, mais
de metade dos alunos não apresentou o conjunto-solução, e também a maioria deles não
indicou a solução da situação problemática em estudo. A resolução do José está de
acordo com o trabalho desenvolvido pelos restantes alunos da turma, mas o Luís
122
determinou o conjunto-solução da inequação e indicou a solução da situação
problemática ao contrário da maioria da turma.
Por fim, importa reforçar a ideia que a maioria dos alunos optou pela
representação algébrica para dar resposta às várias situações problemáticas propostas da
Ficha de Trabalho n.º 4, tendo essa tendência aumentado do primeiro exercício
executado para o último.
5.3. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho n.º 6
O tema da Ficha de Trabalho n.º 6 consiste na resolução de situações
problemáticas usando a disjunção e a conjunção de inequações. A seguir, analiso os
resultados obtidos nos dois exercícios desta ficha.
Exercício 14
Representações usadas
Com a realização do Exercício 14, dezanove alunos resolveram uma situação
problemática usando uma conjunção de inequações, tendo todos utilizado a
representação algébrica. A Figura 37 contém um exemplo ilustrativo da resolução de
um aluno que efetuou este exercício.
Tipo de representação Exemplo ilustrativo
Algébrica
Figura 37: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 14 da Ficha de
Trabalho n.º 6
123
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
Os dados incluídos no Quadro 22 dizem respeito aos dezanove alunos que
realizaram o Exercício 14.
Quadro 22: Análise das resoluções do Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6
Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6
Passos para resolver situações
problemáticas envolvendo uma
conjunção de inequações
Resposta N.º de alunos (%)
Definição da variável
Correta 8 (42,1%)
Incorreta -
Não realizou 11 (57,9%)
Tradução da conjunção de inequações
Correta Completa 15 (78,9%)
1 (5,3%) Incompleta
Incorreta 3 (15,8%)
Não realizou -
Resolução da conjunção de inequações
Correta Completa 12 (63,2%)
Incompleta 4 (21,1%)
Incorreta 1 (5,3%)
Não realizou 2 (10,5%)
Representação do conjunto-solução
Correta Completa 5 (26,3%)
Incompleta 2 (10,5%)
Incorreta -
Não realizou 12 (63,2%)
Indicação da solução da situação
problemática
Correta 4 (21,1%)
Incorreta -
Não realizou 15 (78,9%)
124
Figura 38: Resoluções do José (em cima) e do Luís (em baixo) ao Exercício 14 da
Ficha de Trabalho n.º 6
Da leitura do Quadro 22 posso afirmar que oito alunos (42,1%) definiram de
forma correta a variável, mas os restantes onze alunos não identificaram a incógnita,
incluindo o José e o Luís (Figura 38), bem como o aluno cuja respetiva produção escrita
está incluída na Figura 37.
125
Em relação à tradução da conjunção de inequações, 78,9% dos alunos
traduziram corretamente ambas as inequações da conjunção, incluindo o aluno referido
na Figura 37, e o José e o Luís (Figura 38), e um aluno traduziu, de forma correta, a 1.ª
inequação, mas não traduziu a 2.ª inequação. Os restantes três alunos traduziram bem a
1.ª inequação, mas traduziram mal a 2.ª inequação da conjunção, mais precisamente
utilizaram a fórmula incorreta da área do trapézio. A Figura 39 engloba os erros de dois
desses alunos.
Tradução correta de uma
inequação da conjunção de
inequações
Tradução incorreta de uma inequação da
conjunção de inequações
Figura 39: Erros de dois alunos na tradução da 2.ª inequação da conjunção de
inequações do Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6
A maioria dos alunos (63,2%) resolveu corretamente a conjunção de inequações,
incluindo o Luís (Figura 38) e o aluno referido na Figura 37. No entanto, quatro alunos
não finalizaram a resolução da conjunção de inequações, sendo o José um deles (Figura
38). Além disso, dois alunos não resolveram qualquer das inequações. Tal deveu-se,
provavelmente, ao facto do momento da resolução do Exercício 14 ter ocorrido nos
últimos minutos da aula onde foi proposto.
Adicionalmente, um aluno resolveu de forma incorreta a conjunção de
inequações (Figura 40), mais precisamente resolveu mal a 1.ª inequação (i.e., trocou o
sinal de um número) e não resolveu a 2.ª inequação, pois este corresponde ao aluno que
não traduziu a 2.ª inequação, ou seja, realizou uma tradução incompleta (Quadro 22).
126
Resolução correta de uma
inequação da conjunção de
inequações
Resolução incorreta de uma inequação da
conjunção de inequações
(x – 3) + 3 + (x – 1) + x < 60
x – 3 + 3 + x – 1+ x < 60
3x – 1 < 60
x < 3
61
Figura 40: Erro de um aluno na resolução da conjunção de inequações do Exercício 14
da Ficha de Trabalho n.º 6
A maioria dos alunos (63,2%) não representou o conjunto-solução de cada uma
das duas inequações da conjunção, nem o respetivo conjunto interseção. O aluno que
resolveu de forma incorreta a conjunção (Figura 40) pertence a esse grupo, o mesmo
acontece com o José (Figura 38).
Entre os cinco alunos que representaram o conjunto interseção: dois alunos
utilizaram duas representações, gráfica e por intervalo; e três alunos usaram apenas a
representação por intervalo, sendo o Luís um deles (Figura 38) e outro corresponde ao
aluno referido na Figura 37. Além disso, dois alunos representaram o conjunto-solução
de cada uma das duas inequações na forma de intervalo, mas não representaram o
respetivo conjunto interseção. Apenas quatro alunos indicaram a solução correta para a
situação, tendo todos eles determinado o conjunto interseção, como é o caso do Luís.
Por fim, importa referir que o José traduziu corretamente as duas inequações da
condição e resolveu a primeira, mas não definiu a variável, e também não indicou
qualquer conjunto ou solução para a situação problemática. Ao contrário, o Luís
realizou todos os passos que são geralmente utilizados para resolver situações
problemáticas envolvendo inequações, com exceção do primeiro, ou seja, não
identificou a incógnita (Figura 38).
Resumindo, observo que os resultados obtidos para o Exercício 14 da Ficha de
Trabalho n.º 6, são similares aos obtidos em relação aos três últimos exercícios
abordados da Ficha de Trabalho n.º 4. Assim, todos os alunos que realizaram o
127
Exercício 14 escolheram a representação algébrica, a maioria traduziu e resolveu bem a
inequação deduzida, mas mais de metade deles não apresentou o conjunto solução e/ou
indicou a solução da situação problemática. No entanto, ao contrário dos exercícios
anteriormente analisados, quase metade dos alunos, mais precisamente 42,1%,
definiram corretamente a variável. A resolução do José, embora incompleta, está de
acordo com as produções escritas dos restantes alunos da turma, mas o Luís construiu o
conjunto-solução da conjunção de inequações e indicou a solução da situação
problemática ao contrário da maioria dos estudantes.
Exercício 24
Representações usadas
Tal como no exercício anterior, os alunos resolveram mais uma situação
problemática no Exercício 24, mas com um maior grau de dificuldade. Todos os
dezassete alunos que realizaram este exercício recorreram à representação algébrica,
como é o caso do aluno que executou o Exercício 24, estando a sua resolução incluída
na Figura 41.
Tipo de
representação
Exemplo ilustrativo
Algébrica
Figura 41: Exemplo ilustrativo da resolução de um aluno ao Exercício 24 da Ficha de
Trabalho n.º 6
128
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
O Quadro 23 engloba a análise das produções escritas dos dezassete alunos que
realizaram o Exercício 24.
Quadro 23: Análise das resoluções do Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6
Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6
Passos para resolver situações
problemáticas envolvendo uma
conjunção de inequações
Resposta N.º de alunos (%)
Definição da variável
Correta 2 (11,8%)
Incorreta -
Não realizou 15 (88,2%)
Tradução da conjunção de inequações
Correta Completa 17 (100%)
- Incompleta
Incorreta -
Não realizou -
Resolução da conjunção de
inequações
Correta Completa 16 (88,2%)
Incompleta -
Incorreta 2 (11,8%)
Não realizou -
Representação do conjunto-solução
da conjunção de inequações
Correta Completa 12 (70,6%)
Incompleta 2 (11,8%)
Incorreta 1 (5,9%)
Não realizou 2 (11,8%)
Indicação da solução da situação
problemática
Correta 8 (47,1%)
Incorreta -
Não realizou 9 (52,9%)
Analisando o Quadro 23, constato que apenas dois alunos definiram a variável, e
ambos de forma correta. Todos os indivíduos traduziram corretamente as duas
inequações da conjunção, como é o caso do aluno que apresentou a resolução contida na
Figura 41. De forma similar, todos os estudantes resolveram bem a conjunção, com
129
exceção de dois alunos: um deles resolveu de forma incorreta a 1.ª inequação (i.e. não
aplicou bem o 2.º princípio de equivalência), mas resolveram bem a 2.ª inequação
(Figura 42); e o outro é o Luís. Este último, como é possível verificar pela Figura 43,
também aplicou incorretamente o 2.º princípio de equivalência na 1.ª inequação e
resolveu bem a 2.ª inequação.
Resolução correta de uma
inequação da conjunção de
inequações
Resolução incorreta de uma inequação
da conjunção de inequações
-2(x – 4) < -4
-2x + 8 < -4
-2x < -12
x >
x > 6
Figura 42: Erro de um aluno na resolução da 1.ª inequação da conjunção de inequações
do Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6
Doze alunos determinaram o conjunto interseção (Quadro 23), e entre estes
quatro determinaram apenas o intervalo e oito obtiveram o intervalo e o gráfico, como o
José (Figura 43). No entanto, dois alunos representaram corretamente os intervalos das
duas inequações, mas não indicaram o conjunto interseção; e dois alunos não
determinaram qualquer conjunto-solução. Note-se que o Luís apesar de ter cometido
erros na resolução da conjunção representou corretamente os intervalos tendo em conta
os seus resultados (Figura 43).
Existiu um único aluno que cometeu erros em algum dos intervalos (Figura 42),
mais precisamente representou, incorretamente, o intervalo da 1.ª inequação
incorretamente obtida e da 2.ª inequação da conjunção (i.e., intervalo fechado em vez do
correto intervalo aberto para a 1.ª inequação: [-6, +∞[, em vez de ]6, +∞[; e intervalo
aberto em vez do correto intervalo fechado para a 2.ª inequação: ]-∞, 8[ em vez de ]-∞,
8]); e não determinou o conjunto interseção.
130
Em relação à solução, entre os doze alunos que resolveram corretamente a
conjunção de inequações, oito indicaram a solução correta para a situação problemática
apresentada, e os restantes não realizaram este passo (Quadro 23).
Figura 43: Resolução do José (em cima) e do Luís (em baixo) ao Exercício 24 da Ficha
de Trabalho n.º 6
Resumindo, o José resolveu corretamente o Exercício 24, apenas não definiu a
variável. Além disso, representou, graficamente e na forma de um intervalo, o conjunto
solução da conjunção (Figura 43). O Luís não definiu a variável, traduziu corretamente
e resolveu incorretamente a conjunção, mas representou o conjunto-solução correto na
forma de um intervalo e não indicou a solução (Figura 43).
131
Em suma, em relação ao Exercício 24, a maioria dos alunos não definiram a
variável, mas todos traduziram corretamente e resolveram corretamente a conjunção das
duas inequações obtidas, com exceção de dois alunos que cometeram erros no
tratamento de uma das inequações, sendo um deles o Luís. No entanto, a maioria dos
alunos representou, de forma, correta o conjunto-solução da conjunção de inequações,
mas também 52,9% dos alunos não indicaram a solução da situação problemática. Os
resultados do José e do Luís são similares aos referidos para a restante turma. No
entanto, em relação a ambos existe uma exceção, pois o José indicou a solução da
situação problemática em análise e o Luís não resolveu corretamente a conjunção de
inequações ao contrário da maioria da turma.
5.4. Análise das Situações Problemáticas da Ficha de Trabalho
Complementar
A Ficha de Trabalho Complementar (Anexo 18) decorreu no âmbito de uma
entrevista que realizei, em simultâneo, ao José e ao Luís.
Tarefa 1
Na execução da Tarefa 1, os alunos aplicaram os passos utilizados para resolver
uma situação problemática apresentada por uma expressão algébrica usando inequações,
sendo o enunciado apresentado o seguinte:
Tarefa 1
Qual é o maior valor inteiro que s pode assumir, de modo que a expressão -4(s-4)-3
represente um número do intervalo ]-3, +∞[?
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 127)
132
Representações usadas
Como é visível na Figura 44, o José e o Luís recorreram à representação
algébrica para realizar a Tarefa 1 da Ficha de Trabalho Complementar.
Figura 44: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho Complementar
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
O José e o Luís deduziram corretamente a inequação, tal como ilustra a Figura
44, mas ambos cometeram erros na sua resolução. Os dois alunos não aplicaram
corretamente o 2.º princípio de equivalência, mas cometeram erros diferentes. O José
não inverteu o sentido da desigualdade quando transpôs o termo -4 para o 2.º membro
da inequação. Ao contrário, o Luís não inverteu o sentido da desigualdade quando
dividiu ambos os membros da inequação por -4, mas realizou essa atividade,
erradamente, na inequação que obteve no passo a seguir (s <-4). Além disso, o Luís
também não aplicou corretamente o 1.º princípio de equivalência, mais precisamente
manteve o sinal positivo do termo 16 quando o trocou de membro.
Contudo, ambos foram capazes de enunciar os princípios de equivalência, mas o
Luís revelou dúvidas na aplicação do 2.º princípio de equivalência:
133
Professora: Aplicaram algum dos dois princípios de equivalência na
resolução da inequação?
Luís: Sim, apliquei aquele princípio, não me lembro do nome, mas
mudei o sinal “>” para o sinal “<” quando dividi por -4.
José: Eu deveria ter mudado o sinal, foi esquecimento.
(...)
Luís: Eu passei o 16 e o -3 para o segundo membro, mas esqueci-me de
mudar o sinal ao 16.
Além disso, ambos não representaram o conjunto-solução da inequação obtida,
mas quando questionados sobre esse facto, ambos souberam determinar corretamente o
respetivo intervalo e explicar como procederam:
Professora: Quando resolvemos uma inequação qual é o objetivo?
Luís: Devemos determinar o conjunto-solução. Neste caso, é fácil, é
]-∞, 4[.
Professora: Concordas José?
José: Sim, está certo.
Professora: Então, porque é parêntese reto com concavidade voltada
para fora?
José: Porque o 4 já não está no intervalo.
Considerando a sua inequação final s > 4, o José indicou uma resposta errada
para a situação problemática. Durante a entrevista, quando questionado sobre a resposta
à situação problemática, o aluno conseguiu detetar e corrigir o seu erro:
Professora: O 4 é maior número inteiro que transforma a inequação
numa proposição positiva?
Luís: Não, como deveríamos ter s < 4, então é o 3.
José: Sim, como me enganei na inequação depois errei também no
número.
Professora: Ok, mas e se estivesse bem, s > 4, qual era o menor número
inteiro?
José: Era o 5.
Note-se que o José revelou algumas dúvidas na resolução da Tarefa 1 no início,
inclusivamente na Figura 44 é visível que começou por resolver uma equação, e só
depois riscou e considerou corretamente a inequação.
Tarefa 2
Com a Tarefa 2, pretendia perceber se os alunos sabem resolver uma situação
problemática (apresentada em linguagem natural) que pode ser solucionada usando
134
inequações. Neste caso, como sugere Ponte, Branco e Matos (2009), os alunos podem
começar por formular a inequação: 60 + 16t > 180 considerando que t é o número de
semanas após o aniversário do Hélio; e após a sua resolução chegam à conclusão que
passaram pelo menos 8 semanas. O enunciado da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho
Complementar (Anexo 18) é o seguinte:
Tarefa 2
Hélio recebeu 60 euros dos avós no seu aniversário. Ele ganha 16 euros por semana a
distribuir propaganda comercial. Desde o seu aniversário ele já recebeu mais do que
os 180 euros necessários para fazer uma viagem a Paris. Há quantas semanas foi o
seu aniversário?
(Retirado de Ponte, Branco & Matos, 2009, pág. 181)
Representações usadas
Analisando a Figura 45, verifica-se que o José usou a linguagem algébrica para
resolver a Tarefa 2 da Ficha de Trabalho Complementar, mas o Luís utilizou uma
representação numérica para dar resposta à mesma tarefa.
Figura 45: Resolução do José (à esquerda) e do Luís (à direita) à Tarefa 2 da Ficha de
Trabalho Complementar
135
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
O José traduziu e resolveu corretamente a inequação, tendo inclusivamente
aplicado de forma correta os dois princípios de equivalência. No entanto, não
representou o conjunto-solução da inequação. Na resposta à situação problemática em
causa, teve em conta que a variável que representa o número de semanas tem que
necessariamente tomar um número positivo, mas esqueceu-se de verificar que qualquer
número inteiro superior ou igual a 8 é solução, excluindo este número. Durante a
entrevista, o aluno conseguiu chegar à solução correta:
Professora: O aniversário do Hélio não pode ter acontecido há 9
semanas?
José: Sim, pode.
Professora: Porquê?
José: Porque x > 7,5, ou seja o 9 é superior a 7,5.
Professora: Então?
José: O aniversário foi há mais de 8 semanas.
Professora: Tens a certeza?
José: Hum, enganei-me. É 8 ou mais ….
Como é ilustrado na Figura 33, o Luís resolveu numericamente a Tarefa 2. Este
explicou como procedeu na entrevista:
Luís: Eu resolvi de forma diferente.
Professora: Como pensaste?
Luís: Eu verifiquei que 180 – 60 = 120. Então somei
60+16+16+16+16+16+16+16 = 112+60;
e portanto ainda não dá porque 112 < 120, mas 16 × 8 = 128 > 120.
Então, 128 + 60 = 188 > 180. A resposta é 8.
Professora: 8 é a única solução
Luís: Não, é 8 ou mais.
Ao contrário do que seria de esperar, os alunos resolveram mais facilmente a
Tarefa 2 comparativamente à Tarefa 1, aplicando métodos de resolução diferentes. A
única dificuldade foi sentida na escolha das soluções à situação problemática. Ao
contrário, na resolução da Tarefa 1, ambos cometeram erros na resolução da inequação,
nomeadamente nos princípios de equivalência e na indicação da solução.
136
5.5. Síntese dos Resultados
Nesta secção, apresento de forma sucinta as principais conclusões inferidas a
partir das produções escritas dos alunos às várias tarefas analisadas anteriormente
Representações usadas
Os alunos recorreram a três tipos de representações diferentes: linguagem
natural, numérica e algébrica para resolver cinco das primeiras situações problemáticas
propostas, estando estas incluídas na alínea b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1; e
nas alíneas a), b), c) e e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4, respetivamente. Na
Figura 46 apresento a percentagem de alunos que utilizaram cada uma destas três
representações nas referidas alíneas.
Note-se que na Figura 46 não é indicada a alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4, pois neste caso todos os alunos utilizaram a linguagem natural para dar
resposta a este item. Tal opção não é surpreendente, dado que nesta alínea pede-se aos
alunos que formulem em linguagem natural o enunciado de uma situação problemática
descrita por meio de uma inequação.
Por uma razão similar, a Figura 46 também não engloba o Exercício 2 da Ficha
de Trabalho n.º 1, dado que neste caso todos os alunos usaram a linguagem algébrica
como é solicitado no respetivo enunciado.
Figura 46: Percentagem de alunos que usaram os três tipos de representação:
linguagem natural, numérica e algébrica em cinco alíneas de tarefas das fichas de
trabalho
137
Analisando a Figura 46, verifico que na primeira alínea, como foi realizada no
âmbito da introdução da noção de inequação e em larga medida em turma, a maioria dos
alunos utilizou a representação algébrica. No entanto, nas duas alíneas que se seguiram,
prevaleceu a representação numérica. Tal opção deveu-se, provavelmente, ao facto dos
alunos estarem “familiarizados” com este tipo de registo no momento em que
resolveram estas alíneas. Nas duas últimas alíneas consideradas nesta figura, voltou a
destacar-se a representação algébrica. Além disso, note-se que nenhum aluno usou a
linguagem natural para dar resposta às três últimas alíneas consideradas nessa figura.
Esta escolha pode ser explicada se tivermos em conta que a sua resolução ocorreu após
a resolução em turma de outras alíneas envolvendo inequações onde prevaleceu a
representação algébrica.
O José e o Luís utilizaram a representação algébrica em todas as alíneas da
Figura 46, com exceção do item a) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4, em que
ambos usaram a linguagem natural.
Nas situações problemáticas propostas a seguir às cinco que indiquei na Figura
46, os alunos utilizaram apenas a representação algébrica. No entanto, existem algumas
exceções, nomeadamente em duas resoluções do Luís, a primeira no Exercício 13 da
Ficha de Trabalho n.º 5 (Anexo 15), onde este aluno utilizou corretamente duas
abordagens: a numérica e a algébrica; e a segunda na Ficha de Trabalho Complementar
(Anexo 18) realizada no âmbito da entrevista, onde o aluno usou de forma correta
apenas a representação numérica.
Em suma, pode dizer-se que os alunos, no início, utilizaram sobretudo a
representação numérica, mas a seguir passaram a usar quase exclusivamente a
representação algébrica o que induz desenvolvimento do pensamento algébrico.
Erros e dificuldades na conversão e no tratamento das representações
As tarefas propostas em aula envolvem situações problemáticas suscetíveis de
serem resolvidas recorrendo a inequações, sendo apresentadas em linguagem natural,
com exceção da alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 (Anexo 14) enunciada
por uma inequação.
Assim, para resolvê-las a maioria dos alunos procedeu à conversão de uma
determinada situação problemática por meio de uma inequação. No entanto, como
138
referido na questão anterior, alguns alunos usaram a linguagem natural ou a
representação numérica para resolver as cinco alíneas indicadas na Figura 46.
Consequentemente, para efeitos de comparação, na Figura 47 apresento a
percentagem de alunos que cometeram erros nessas cinco alíneas em que usaram uma
das três representações referenciadas em cima.
Figura 47: Percentagem de alunos que cometeram erros em cinco alíneas de tarefas das
fichas de trabalho, tendo usado um dos três tipos de representação: linguagem natural,
numérica e algébrica
Assim, considerando os alunos que não efetuaram qualquer conversão nas duas
primeiras alíneas e portanto responderam em linguagem natural, verifiquei que todos
erraram na alínea b) da Tarefa 2 e 40% dos estudantes erraram na alínea a) da Tarefa 1.
Note-se que estes alunos deram apenas uma resposta errada e não justificaram.
Todos os alunos que efetuaram a conversão da linguagem natural para a
representação numérica apresentaram respostas erradas em quatro dessas alíneas, e 36%
apresentou erros na alínea a) da Tarefa 1. Estes erros referem-se essencialmente à
apresentação de apenas números ou intervalos incorretos, ou seja, a maioria não
apresenta uma desigualdade numérica ou estratégia.
Entre os alunos que optaram por recorrer à conversão da linguagem natural para
a representação algébrica, 11% dos alunos erraram na alínea b) da Tarefa 2 da Ficha de
trabalho n.º 1, todos os alunos erraram nas alíneas a) e b) da Tarefa 1; e 29% e 30% dos
estudantes erraram nas alíneas c) e e) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4,
respetivamente.
139
Para resolver algebricamente as várias situações problemáticas propostas, com
exceção da alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 pela razão já apontada, além
da conversão ou tradução por meio de inequações, os alunos aplicaram os restantes
quatro passos abordados nas aulas lecionadas, nomeadamente: definição da variável,
resolução da inequação ou da disjunção/conjunção de inequações, determinação do
conjunto-solução e indicação da solução ou resposta à situação problemática.
A Figura 48 contém os resultados obtidos no que diz respeito ao número de
alunos que usaram a representação algébrica e cometeram erros na resposta a cada uma
das cinco situações problemáticas incluídas na Figura 46 e ao Exercício 2 da Ficha de
Trabalho n.º 1. Note-se que na Figura 48 e nas posteriores figuras, não se considera o
primeiro passo: definição da variável, dado que os pouco alunos que o realizaram não
apresentaram erros na sua execução.
Figura 48: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados
para resolver situações problemáticas envolvendo inequações num exercício e em cinco
alíneas das tarefas das fichas de trabalho
Da Figura 48 verifico que os alunos cometeram maior número de erros na
tradução ou conversão de situações problemáticas por meio de inequações, com exceção
da alínea b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1. Apenas dois alunos resolveram de
forma incorreta a alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4; um aluno esqueceu-
se de verificar que uma medida não pode assumir um valor negativo na resposta à alínea
140
b) da Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1; e três alunos esqueceram-se que o número 3
não é solução da inequação x < 3 e portanto indicaram uma resposta errada à alínea e)
da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4.
Em relação à alínea d) da Tarefa 1, não indicada na Figura 48 pela razão referida
em cima, 77% dos alunos formularam incorretamente uma situação problemática, sendo
o erro mais flagrante a não inclusão de uma questão.
Figura 49: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados
para resolver situações problemáticas envolvendo inequações em cinco exercícios das
fichas de trabalho
Posteriormente, os alunos resolveram outras cinco situações problemáticas. Pela
Figura 49, observo que nas três primeiras situações problemáticas, que envolvem apenas
uma inequação (e não uma condição de inequações), as principais dificuldades
verificaram-se na tradução ou conversão, principalmente no Exercício 12.
Adicionalmente, também neste exercício, três alunos manifestaram dificuldades em
verificar se todos os elementos do conjunto-solução da inequação obtida são também
solução da situação problemática. Aliás esta dificuldade, esteve também presente na
resolução de um aluno no Exercício 13.
No Exercício 41 proposto a seguir, tornou-se mais fácil a tradução
comparativamente aos outros dois. No entanto, ao contrário dos anteriores, no Exercício
41, um aluno cometeu erros na resolução da inequação.
141
Nos outros dois exercícios realizados nas últimas aulas, 14 e 24, os principais
problemas ocorreram na tradução e resolução, respetivamente. Tal facto não é
surpreendente dado que estes dois exercícios envolvem a conjunção de inequações, e
portanto o seu grau de dificuldade é maior.
No Exercício 14, a tradução foi problemática, devido principalmente ao
esquecimento da fórmula da área de um trapézio. Ao contrário, no Exercício 24, foi a
resolução conjunta das duas inequações e a determinação do conjunto-solução
interseção que suscitou mais dúvidas por parte dos alunos.
A evolução do número de alunos que cometeram erros em todas estas situações
problemáticas propostas pode ser visualizada na Figura 50, resultando o respetivo
gráfico da junção dos dois gráficos das Figuras 48 e 49. Consequentemente, é reforçado
a ideia que foi na tradução que ocorreram mais erros, e não existiram dificuldades na
determinação dos intervalos, com exceção do Exercício 24 onde existiu um aluno que
cometeu erros na representação do conjunto-solução da conjunção de inequações.
Figura 50: Número de alunos que cometeram erros nos quatro últimos passos usados
para resolver onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de
trabalho
142
A seguir, apresento os erros revelados e evidenciados nas figuras anteriores, na
tradução, na resolução e na indicação da solução correta em todas as situações
problemáticas propostas durante as aulas.
Note-se que não é apresentado qualquer gráfico para a representação do
conjunto-solução, pois, como já referido, apenas um aluno representou de forma
incorreta o conjunto interseção do Exercício 24, mais propriamente errou no tipo do
intervalo (considerou um dos intervalos aberto quando deveria ser fechado e o outro
intervalo fechado quando deveria ser aberto).
Assim, quanto à tradução, o principal problema ocorreu no uso incorreto do sinal
de desigualdade, ou seja, 49% dos alunos deduziram corretamente as expressões de
ambos os membros das inequações, mas usaram, de forma incorreta, os sinais de
desigualdade (Figura 51). Tal facto, mostra que os alunos têm dificuldades em traduzir
expressões do tipo “não é menor do que”, “no mínimo”, etc. O segundo erro mais
saliente foi cometido nas expressões, que constituem as inequações. Os outros três erros
consistem em lapsos no sinal de números, na fórmula do trapézio no Exercício 24 ou na
dedução de uma expressão algébrica e não de uma desigualdade.
Figura 51: Percentagem de alunos que cometeram erros na tradução de onze situações
problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho
Em relação à resolução, pela Figura 52, verifico que o erro de maior destaque
corresponde a lapsos de números, e cada um dos outros quatro erros foram cometidos
apenas por um aluno e são: a aplicação incorreta do 2.º princípio de equivalência, a
143
redução incorreta de termos, a aplicação incorreta da propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição e a redução incorreta ao mesmo denominador.
Figura 52: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de onze situações
problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho
Na formulação da conclusão às situações problemáticas, 88% dos alunos tiveram
dificuldades em constatar que um determinado número não é solução da situação
problemática dado que o sinal de desigualdade é “>” ou “<”, por exemplo se x < 3,
então 3 não é o maior número inteiro, solução da situação problemática da alínea e) da
Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 (Figura 53). O outro erro refere-se ao facto de dois
alunos não verificarem que uma medida não pode tomar um número negativo (Figura
53).
Figura 53: Percentagem de alunos que cometeram erros na formulação das conclusões
de onze situações problemáticas envolvendo inequações das fichas de trabalho
144
O Quadro 24 engloba a síntese dos resultados obtidos pelos dois alunos, o José e
o Luís, na realização de todas as situações problemáticas consideradas neste trabalho.
Assim, o José e o Luís cometeram, tal como os restantes alunos da turma, mais
erros nos exercícios/tarefas propostos nas primeiras aulas lecionadas. O José deduziu,
de forma incorreta, uma inequação do Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1; e ambos
cometeram esse erro na alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4. Outro dos
erros, ocorreu na alínea d) desta última ficha., mas neste caso os alunos realizaram a
conversão da representação algébrica para a representação em linguagem natural. Além
disso, o Luís revelou erros na resolução da inequação da alínea b) da Tarefa 1.
Quadro 24: Resumo dos resultados do José e do Luís na resolução de situações
problemáticas
Variável Tradução Resolução Intervalo Solução
Ficha
n.º 1 Ex. 2 José Não
pedido
Não
pedido
Não
pedido
Não
pedido Luís
Tarefa 2 b) José - - -
Luís -
Ficha
n.º 4
Tarefa 1 a) José Resolveu corretamente
em linguagem natural Luís
Tarefa 1 b) José - Não
pedido Luís - -
Tarefa 1 c) José - Não
pedido Não
pedido
Não
pedido Luís -
Tarefa 1 d) José Inventou o enunciado, mas não colocou qualquer questão
Luís Inventou o enunciado, mas escreveu “inferior”
Tarefa 1 e) José - - Luís - -
Ex. 13 José -
Luís - -
Ex. 12 José -
Luís - -
Ex. 41 José - - -
Luís -
Ficha
n.º 6 Ex. 14 José - Incomple-
to - -
Luís -
Ex. 24 José -
Luís - -
Detetei apenas dois erros nos exercícios propostos nas últimas aulas (Figura 50).
Consequentemente, o José deu uma resposta errada no Exercício 12; e o Luís revelou
145
dificuldade na resolução da conjunção de inequações subjacente à situação problemática
do Exercício 24.
Resumindo, verifico que a análise dos resultados obtidos pelos dois alunos
selecionados, o José e o Luís, estão de acordo com as conclusões inferidas para toda a
turma. De facto, em alguns exercícios propostos no início, os alunos usaram três
abordagens: linguagem natural, numérica e algébrica; e em todas elas a maioria dos
alunos cometeu erros. Nos exercícios que se seguiram, a representação algébrica tornou-
se a escolha exclusiva dos alunos, tendo a conversão continuado a suscitar muitas
dúvidas, principalmente em relação ao uso do sinal de desigualdade. Nos últimos
exercícios, o principal problema processou-se na tradução, e também na resolução e
indicação da solução correta.
Para completar este estudo, no que diz respeito ao tratamento, também propus
nas aulas cinco exercícios onde as inequações já eram dadas e portanto os alunos tinham
apenas que realizar o terceiro e o quarto passo, ou seja, o tratamento de várias
desigualdades. A Figura 54 refere-se aos erros cometidos pelos alunos na resolução
dessas inequações e na determinação do respetivo conjunto-solução na forma de um
intervalo de números reais.
Figura 54: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de inequações e
nos respetivos conjuntos-solução numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de
trabalho
Assim, em relação à resolução de inequações, o maior número de erros ocorreu
no Exercício 1 da Ficha de Trabalho n.º 2 (69%) e no Exercício 4 da Ficha de Trabalho
146
n.º 3 (74%). Tal é possível explicar pelo facto do Exercício 1 ter sido realizado no início
do cálculo das inequações após a introdução dos princípios de equivalência e o
Exercício 4 seguiu-se ao anterior, tendo um grau de dificuldade superior dado que
envolve inequações mais complexas, com parênteses e denominadores. Além disso, o
Exercício 1 e o Exercício 2, ambos da Ficha de Trabalho n.º 5, apesar de envolverem
disjunções e conjunções de inequações, respetivamente, foram realizados nas últimas
aulas lecionadas; e a Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 2 tem um grau de dificuldade
reduzido.
Quanto aos intervalos das inequações, verifico, que o maior número de erros
processou-se também nos mesmos exercícios apontados para as inequações, ou seja, no
Exercício 1 (39%) e no Exercício 4 (42%). Note-se que muitos alunos apresentaram
erros na resolução das inequações, mas posteriormente determinaram corretamente o
respetivo intervalo tendo em conta a sua resolução. Assim, o número de erros cometidos
nos intervalos é menor que o número de erros cometidos nas inequações.
Nas próximas figuras, Figura 55 e Figura 56, encontram-se os erros cometidos
nas inequações e nos intervalos, respetivamente.
Figura 55: Percentagem de alunos que cometeram erros na resolução de inequações
numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de trabalho
147
Observando a Figura 55, é possível constar que os alunos da turma do 9.º ano
cometeram os seguintes erros na resolução das inequações:
Aplicação incorreta do 2.º princípio de equivalência (PE) (71%);
Lapsos em números ou no seu sinal (13%);
Aplicação incorreta da propriedade distributiva da multiplicação em relação
à adição (7%);
Uso incorreto dos sinais de desigualdade (5%);
Aplicação incorreta do 1.º princípio de equivalência (2%);
Redução incorreta de termos (2%);
Figura 56: Percentagem de alunos que cometeram erros nos intervalos de inequações
numa tarefa e em quatro exercícios das fichas de trabalho
Em relação aos intervalos, os respetivos erros identificados fazem parte da
Figura 56, e são os seguintes:
Construção de um intervalo ilimitado inferiormente quando deveríamos ter
um intervalo ilimitado superiormente, e vice-versa (31%);
Lapsos em números ou no seu sinal (22%);
Determinação de um intervalo aberto quando deveria ter-se um intervalo
fechado, e vice-versa (19%);
Lapsos na representação do símbolo de infinito (11%);
Posição incorreta do símbolo de infinito no intervalo, ou seja, o símbolo de
mais (menos) infinito no lado esquerdo (direito) do intervalo (8%);
148
Uso incorreto do parêntese reto com concavidade voltada para dentro nos
símbolos de infinito, +∞ e -∞ (6%);
Representação incorreta do conjunto vazio (3%).
Considerando as dezasseis inequações resolvidas pelos alunos no âmbito da
realização da Tarefa 1 e dos quatro exercícios referidos acima, constato que o José e o
Luís cometeram erros em duas e três inequações, respetivamente. No entanto, quanto
aos intervalos, o José não cometeu qualquer erro, mas o Luís apresentou três intervalos
incorretos. O Quadro 25 contém a descrição destes erros cometidos por cada um dos
dois estudantes no tratamento de inequações.
Quadro 25: Resumo dos resultados do José e do Luís na resolução de inequações e na
determinação dos respetivos intervalos
Inequações Intervalos
José Luís José Luís
Ficha
n.º 2
Tarefa 1
6 Itens
Sinal de
desigualdade em f)
Ex. 1
4 Itens
Aplicação do
2.º PE em 1.3
Sinal de um
n.º em 1.3
Ficha
n.º 3
Ex. 4
2 Itens
Aplicação do 2.º
PE e sinal de
desigualdade em
4.2
Aplicação do
2.º PE em 4.1 e
4.2
Ilimitado
superiormente
em vez de
inferiormente,
e vice-versa,
em 4.1 e 4.2
Ficha
n.º 5
Ex. 1
2 Itens
Ex. 2
2 Itens
Assim, o José errou no sinal de desigualdade da inequação da alínea f) da Tarefa
1 da Ficha de Trabalho n.º 2; e o mesmo aluno aplicou incorretamente o 2.º princípio de
equivalência e usou o sinal de desigualdade incorreto na inequação do item 4.2 do
Exercício 4 da Ficha de Trabalho n.º 3.
149
O Luís aplicou, de forma incorreta, o 2.º princípio de equivalência na inequação
da alínea 1.3 do Exercício 1 da Ficha de Trabalho n.º 2; e nas duas inequações dos itens
4.1 e 4.2 do Exercício 4 da Ficha de Trabalho n.º 3.
Quanto aos intervalos, ao contrário do José que não cometeu qualquer erro, o
Luís trocou o sinal de um número no intervalo do item 1.3 do Exercício 1; e indicou um
intervalo ilimitado superiormente em vez um intervalo ilimitado inferiormente na alínea
4.1 e apresentou um intervalo ilimitado inferiormente quando deveria ser um intervalo
ilimitado superiormente na alínea 4.2, ambas do Exercício 4.
Note-se que nos dois exercícios da Ficha de Trabalho n.º 5, o José e o Luís não
revelaram qualquer dificuldade.
150
151
Capítulo 6
Conclusão
Este estudo teve como principal objetivo perceber se os alunos compreendem e
sabem usar diferentes tipos de representações na resolução de situações problemáticas
envolvendo inequações do 1.º grau a uma incógnita. Para atingir este objetivo, formulei
as seguintes questões:
Quais são os principais tipos de representações usados pelos alunos na
resolução de situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau?
Quais são os principais erros e dificuldades que os alunos revelam na
conversão de representações de situações problemáticas que envolvem
inequações do 1.º grau?
Quais são os principais erros e dificuldades que os alunos revelam no
tratamento de representações de situações problemáticas que envolvem
inequações do 1.º grau?
A investigação processou-se no âmbito da minha prática letiva a uma turma do
9.º ano que decorreu no 3.º período do ano letivo de 2012/2013 numa escola em Lisboa.
O tema abordado nas aulas foi inequações do 1.º grau a uma incógnita, incluído na
unidade didática da Álgebra e no tema dos Números Reais e Inequações.
A recolha dos dados baseou-se na observação de aulas com recurso a um diário
de bordo; nas produções escritas de todos os alunos da turma, e em particular no
trabalho desenvolvido por dois alunos selecionados de acordo os seguintes critérios:
melhor desempenho escolar na disciplina de Matemática no 1.º período; capacidade de
comunicação; inexistência de faltas durante o período em decorreu a minha intervenção
e disponibilidade para participar no estudo. Para completar este trabalho, considerei
igualmente dados resultantes de uma entrevista a estes dois alunos escolhidos.
A seguir, apresento os principais resultados obtidos, procurando dar resposta às
questões inicialmente colocadas por mim para atingir o objetivo desta investigação.
Finalizo este trabalho, com considerações pessoais, refletindo sobre o passado e
perspetivando o futuro.
152
6.1. Principais Resultados
As questões de investigação, que norteiam este estudo, estão interligadas. Por
exemplo verifiquei, durante as primeiras aulas lecionadas e também na entrevista, que
alguns alunos tendem a utilizar estratégias numéricas ou a linguagem natural para
resolver situações problemáticas envolvendo inequações, quando a inequação relevante
não é dada (no enunciado) e portanto tem que ser determinada. Isso significa que os
alunos revelam dificuldades com a determinação das inequações relevantes para estas
situações problemáticas, ou seja, com o pensamento algébrico; e consequentemente com
o tratamento e a conversão de inequações. No entanto, apesar da interligação entre as
questões, tentarei, nesta secção, dar resposta a cada uma delas.
Representações usadas pelos alunos na resolução de situações problemáticas
que envolvem inequações do 1.º grau
Nas aulas lecionadas, os alunos realizaram doze tarefas matemáticas propostas.
Entre essas tarefas, onze envolvem situações problemáticas suscetíveis de serem
resolvidas recorrendo a inequações, sendo todas apresentadas em linguagem natural.
Assim, pretendia verificar que tipo de representação cada aluno utilizaria para resolver
cada uma das onze tarefas, tendo as seguintes possibilidades em mente: a linguagem
natural, a linguagem numérica e/ou a linguagem algébrica. No entanto, numa dessas
tarefas – Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1 (Anexo 10), pretendia exclusivamente o
uso da linguagem algébrica, pois nesse caso pedia explicitamente a dedução de
inequações.
Por sua vez, uma das doze tarefas propostas - alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de
Trabalho n.º 4 (Anexo 14) - permite a elaboração do enunciado de uma dada situação
problemática apresentada por meio de uma inequação, ou seja, a passagem da
linguagem algébrica para a linguagem natural. E portanto, nesta tarefa pretendia o uso
exclusivo da linguagem natural.
Tendo presente todos os fatos mencionados anteriormente, constatei que a
linguagem natural foi apenas aplicada em duas das primeiras situações problemáticas
realizadas (Figura 46), e em ambos os casos foi a menos escolhida. Além disso, foi
também usada, como era pedido, na alínea d) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4.
153
A representação numérica foi utilizada por alguns alunos para dar resposta a
uma das primeiras situações problemáticas abordadas, ou seja, à alínea b) da Tarefa 2 da
Ficha de Trabalho n.º 1. Posteriormente, este registo tornou-se na opção da maioria dos
alunos nas duas situações problemáticas realizadas a seguir; e alguns alunos utilizaram
também esta representação na resolução das duas situações problemáticas que se
seguiram (Figura 46).
Por sua vez, a representação algébrica foi a principal escolha dos alunos na
resolução das duas primeiras situações problemáticas propostas - Exercício 2 e alínea b)
da Tarefa 2, ambos da Ficha de Trabalho n.º 1. Tal pode ser explicado pelo facto da
realização destas duas situações problemáticas terem ocorrido no âmbito da introdução
da noção de inequação e em larga medida em turma. Além disso, como já referido, na
no Exercício 2 pede-se explicitamente a dedução de inequações, mais precisamente a
passagem da linguagem natural para a linguagem algébrica. Para resolver as duas
situações problemáticas que se seguiram, apenas alguns alunos recorreram à
representação algébrica. Entretanto, este registo “recuperou” a preferência dos alunos na
resolução da situação problemática analisada a seguir, e a maioria manteve essa opção
nas restantes tarefas que executaram (Figura 46).
No entanto, existem algumas exceções, nomeadamente em duas resoluções do
Luís, na primeira o aluno utilizou corretamente duas abordagens: a numérica e a
algébrica; e na segunda na Ficha de Trabalho Complementar (Anexo 18) realizada no
âmbito da entrevista que teve lugar no final da minha prática letiva, o aluno usou de
forma correta apenas a representação numérica. Além disso, o José e o Luís usaram a
linguagem natural numa das primeiras situações problemáticas realizadas – alínea a) da
Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4, mas nas restantes situações problemáticas optaram
pela linguagem algébrica, excluindo os casos referidos atrás. Assim, os resultados
apresentados por estes dois alunos, sugerindo a preferência de ambos pela linguagem
algébrica, vão ao encontro das conclusões proferidas atrás para a restante turma.
Aliás a opção generalizada pela representação algébrica não é “surpreendente”.
Note-se que a resolução das várias situações problemáticas propostas decorreu durante a
lecionação do tema das inequações. Além disso, nos momentos de resolução, os alunos
trabalharam aos pares, o que proporcionou troca de impressões entre eles, e pode, assim,
ter influenciado a sua escolha em relação ao tipo de representação a usar em cada caso.
Também os conhecimentos previamente obtidos pelos alunos do 9.º ano em Álgebra, e
154
particularmente no tema das equações, favorecem essa opção. No entanto, esperava uma
maior “resistência” em relação à aplicação da abordagem algébrica por parte dos alunos,
pois muitos autores apontam esse aspeto; nomeadamente Ponte (2009) considerando
alunos do 7.º ano e Nunes (2012) em relação a alunos do 10.º ano.
Em suma, o registo algébrico foi o principal tipo de representação utilizado pelos
alunos na resolução das situações problemáticas propostas que envolvem inequações do
1.º grau. Por sua vez, em cinco das primeiras situações problemáticas realizadas, alguns
alunos recorreram à representação numérica; e outros (em número reduzido) optaram
por utilizar apenas a linguagem natural na resolução de duas das primeiras situações
problemáticas abordadas. Posso dizer que os alunos, no início, utilizaram sobretudo a
representação numérica, mas a seguir optaram por usar quase exclusivamente a
representação algébrica o que induz o desenvolvimento do seu pensamento algébrico
(Kieran, 2007).
Por último, defendo, como o NCTM () e Knuth (2000) entre muitos outros
autores, que para um aluno desenvolver a compreensão “robusta” de um conceito, em
particular da noção de inequação, não chega conhecer uma representação e usá-la
durante a resolução de situações problemáticas, é necessário, também, ser capaz de se
mover de forma flexível entre diferentes registos, incluindo a representação gráfica (não
abordada neste trabalho pelas razões apontadas no Capítulo 1).
Assim, é importante que os alunos saibam usar diversas representações e
selecionar as mais adequadas ao trabalho a realizar. Esta ideia é consentânea com os
resultados de alguns autores, como é o caso de Tom e Russell (2001) que constataram
que os alunos devem ser expostos a diferentes representações, tanto visuais como não
visuais, dos conceitos e relações matemáticas; e Cai (2000) que concluiu que a
capacidade para selecionar uma representação apropriada para resolver um problema é
essencial ao sucesso durante a sua resolução. Consequentemente, a coordenação entre
diferentes registos de representação também é importante, pois a conceitualização
implica essa coordenação (Duval, 2009).
Principais erros e dificuldades na conversão de representações de situações
problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau
As tarefas propostas em aula envolvem onze situações problemáticas que
proporcionam a conversão entre a linguagem natural e a linguagem algébrica; e uma
155
situação problemática que permite a conversão inversa (i.e., da linguagem algébrica
para a linguagem natural), pois esta é apresentada por meio de uma inequação.
Como referido na questão anterior, alguns alunos não efetuaram qualquer
conversão em duas das primeiras alíneas e portanto utilizaram a linguagem natural,
tendo todos errado na primeira situação problemática e a quase metade desses
estudantes também errou na segunda situação problemática. Note-se que estes alunos
deram apenas uma resposta errada e não a justificaram.
Da mesma forma, alguns alunos optaram por realizar a conversão entre a
linguagem natural e a representação numérica em cinco das primeiras situações
problemáticas propostas. Neste caso, todos os alunos apresentaram respostas erradas em
quatro dessas alíneas, e mais de um terço dos estudantes apresentou erros no outro item
(Figura 47). Os erros referem-se essencialmente à indicação de números ou intervalos
incorretos, pois a maioria dos alunos não apresentou qualquer desigualdade numérica ou
estratégia.
Por sua vez, a maioria dos alunos resolveu algebricamente as várias situações
problemáticas propostas, utilizando os seguintes passos abordados nas aulas: definição
da variável, tradução da situação problemática por meio de uma inequação ou da
disjunção/conjunção de inequações, a resolução da(s) desigualdade(s), determinação do
conjunto-solução e indicação da solução ou resposta à situação problemática.
Em relação à definição da variável, pouco alunos realizaram este passo e os que
o fizeram não apresentaram erros na sua execução. Quanto ao segundo passo, em todas
as situações problemáticas, detetei erros na conversão da linguagem natural para a
linguagem algébrica por meio de uma inequação ou disjunção/conjunção de inequações,
com exceção da segunda – alínea b) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 1 (Figura 48)
e da última situação problemática abordada – Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6
(Figura 49).
No entanto, verifiquei uma diminuição no número de alunos que erraram na
conversão entre os dois registos à medida que as várias situações problemáticas foram
sendo realizadas. Tal resultado infere um aumento da compreensão da linguagem
algébrica por parte dos alunos, e em particular do conceito de inequação, como referido
por Duval (2009).
Em relação ao José e o Luís, ambos cometeram mais erros na conversão da
linguagem natural para a linguagem algébrica nas primeiras situações problemáticas
realizadas, mais precisamente na primeira, segunda e quarta (Quadro 24). Na terceira
156
situação problemática proposta – Tarefa a) da Ficha de Trabalho n.º 4, os dois alunos
optaram por não realizar qualquer conversão, e portanto usaram a linguagem natural e
não apresentaram qualquer erro. Assim, os resultados provenientes da análise das
produções escritas do José e do Luís estão em concordância com as conclusões inferidas
para a restante turma, ou seja, verifica-se um progresso muito positivo na compreensão
da linguagem algébrica por parte dos dois alunos.
Além disso, identificaram-se na turma as seguintes “categorias” de erros na
conversão da linguagem natural para a algébrica: uso incorreto do sinal de desigualdade;
erros nas expressões que constituem as inequações; lapsos no sinal de números; erros na
fórmula do trapézio numa das situações problemáticas e dedução incorreta de uma
expressão algébrica e não de uma desigualdade como pretendido. A ordem destas
“classes” é diretamente proporcional à respetiva frequência observada. Assim, a maioria
dos alunos deduziu corretamente as expressões de ambos os membros das inequações,
mas usou, de forma incorreta, os sinais de desigualdade. Tal facto mostra que os alunos
têm dificuldades em traduzir expressões do tipo “não é menor do que”, “no mínimo”,
etc.
Quanto à situação problemática que permite a conversão da linguagem algébrica
para a linguagem natural, mais de metade dos alunos formularam incorretamente uma
situação problemática, sendo o erro mais frequente a não inclusão de uma questão. O
José é um dos alunos que cometeu esse erro, e o Luís errou também nesta situação
problemática ao indicar “inferior” em vez de “superior”.
Em suma, a conversão da situação problemática por meio de uma inequação
suscitou muitas dificuldades por parte dos alunos, o que já era esperado tendo em conta
a afirmação de Duval (2009, p. 63) “a conversão das representações semióticas constitui
a atividade cognitiva menos espontânea e mais difícil de adquirir para a maioria dos
alunos.”. Além disso, Traldi Júnior (2002) e Conceição Júnior (2011) também salientam
que a conversão da linguagem natural para expressões algébricas é uma das principais
dificuldades dos alunos na resolução de situações problemáticas.
Por fim, importa referir que Gagatsis e Shiakalli (2004) mostram que a
capacidade de tradução entre representações está associada ao sucesso na resolução de
situações problemáticas. Assim, no geral, a turma carece de um maior aprofundamento
da conversão, estando assim em concordância com Duval (2009) quando este afirma
que esta transformação deve ser tomada em conta no ensino da Matemática e
privilegiada comparativamente à outra transformação incluída na teoria das
157
representações semióticas de Duval (2004, 2006), ou seja, o tratamento, sendo este
abordado na resposta e respetiva justificação à próxima questão.
Resumindo, nesta investigação, a maioria dos alunos revelou dificuldades
sobretudo na conversão da linguagem natural para a linguagem algébrica, sendo a
escolha incorreta do sinal de desigualdade da inequação o principal erro cometido pelos
estudantes. Este resultado mostra que os alunos têm dificuldades em traduzir expressões
do tipo “não é menor do que”, “no mínimo”, etc. Além disso, alguns alunos não
efetuaram qualquer conversão para resolver algumas situações problemáticas, e portanto
utilizaram a linguagem natural, tendo a maioria deles se limitado a apresentar uma
resposta errada, sem a justificar. Algo idêntico, ocorreu em relação aos alunos que
procederam à conversão da linguagem natural para a representação numérica em quatro
situações problemáticas, tendo, neste caso, a maioria dos estudantes indicado apenas um
número/intervalo incorreto.
Principais erros e dificuldades no tratamento de representações de situações
problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau
Como referido nas duas questões anteriores, onze das tarefas propostas em aula
envolvem situações problemáticas suscetíveis de serem resolvidas recorrendo a
inequações, sendo apresentadas em linguagem natural. Consequentemente, para cada
situação problemática, alguns alunos efetuaram a conversão da linguagem natural para a
linguagem algébrica, e obtiveram uma inequação ou uma disjunção/conjunção de
inequações consoante os casos. Além disso, entre estas situações problemáticas, em
duas delas foi pedido apenas a realização da tradução – Exercício 2 da Ficha de
Trabalho n.º 1 e alínea c) da Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4 (Anexo 14). Assim, os
alunos procederam ao tratamento de apenas nove inequações ou condições de
inequações, consoante os casos. O tratamento inclui os últimos três passos utilizados na
resolução de situações problemáticas envolvendo inequações, ou seja, a resolução da(s)
desigualdade(s), a determinação do respetivo conjunto-solução e a indicação da solução
da situação problemática.
Em relação à resolução da(s) inequação(ões), apenas em quatro situações
problemáticas ocorreram erros neste passo, sendo duas delas as últimas situações
problemáticas propostas – Exercício 14 e Exercício 24, ambos da Ficha de Trabalho n.º
6 (Anexo 16), o que não é de estranhar já que ambas incluem uma conjunção de
158
inequações. O erro mais frequentemente observado consiste em lapsos de números, e
cada um dos outros erros identificados foram cometidos apenas por um aluno e referem-
se: à aplicação incorreta do 2.º princípio de equivalência, à redução incorreta de termos,
à aplicação incorreta da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e
à redução incorreta ao mesmo denominador.
O único erro detetado nos intervalos, corresponde ao conjunto-solução da última
situação problemática proposta, resultando este da interseção de dois conjuntos, ambos
incorretamente construídos (Figura 49). Este é apontado por Ponte, Branco e Matos
(2009) como um dos erros mais comuns cometidos por alunos na resolução de
inequações.
O último passo foi o que suscitou mais dificuldades, principalmente no que diz
respeito à interpretação da solução entretanto obtida (Figura 49). Consequentemente, em
quatro situações problemáticas, identificaram-se erros, sendo o mais frequente a
interpretação do sinal de desigualdade, por exemplo se x < 3, então 3 não é o maior
número inteiro, solução da inequação como referido por alguns alunos. O outro erro
identificado refere-se à não verificação por parte dos alunos do facto de uma medida
não poder tomar um número negativo.
Para completar este estudo, no que diz respeito ao tratamento, foram também
propostos nas aulas cinco exercícios onde as inequações já eram dadas e portanto os
alunos tinham apenas que realizar o tratamento de várias desigualdades. Os principais
erros detetados na resolução dos referidos exercícios na turma, por ordem decrescente
de frequência, foram: aplicação incorreta do 2.º princípio de equivalência; lapsos em
números ou no seu sinal; aplicação incorreta da propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição; uso incorreto dos sinais de desigualdade; aplicação
incorreta do 1.º princípio de equivalência; e redução incorreta de termos. Assim, o 2.º
princípio de equivalência constituiu o principal problema dos alunos, estando em acordo
com Ponte, Branco e Matos (2009), quando referem que um dos erros mais comuns
cometidos pelos alunos na resolução de inequação é “ (..) aplicar indevidamente as
regras de resolução das inequações, multiplicando ambos os membros de uma
inequação por um número negativo sem inverter o sentido da desigualdade” (Ponte,
Branco & Matos, 2009, p. 167).
Em relação aos intervalos, os respetivos erros identificados por ordem
decrescente de frequência, foram: construção de um intervalo ilimitado inferiormente
quando deveria ter-se um intervalo ilimitado superiormente, e vice-versa; lapsos em
159
números ou no seu sinal; determinação de um intervalo aberto quando deveria ter-se um
intervalo fechado, e vice-versa; lapsos na escrita de simbologia matemática, como seja
na representação do símbolo de infinito; posição incorreta do símbolo de infinito no
intervalo, ou seja, o símbolo de mais (menos) infinito no lado esquerdo (direito) do
intervalo; uso incorreto do parêntese reto com concavidade voltada para dentro nos
símbolos de infinito, +∞ e -∞; e representação incorreta do conjunto vazio.
Considerando as dezasseis inequações resolvidas pelos alunos no âmbito da
realização destes exercícios, constatei que o José e o Luís cometeram erros em duas e
três inequações, respetivamente. Assim, o José errou no sinal de desigualdade de uma
inequação; e o mesmo aluno aplicou incorretamente o 2.º princípio de equivalência e
usou o sinal de desigualdade incorreto em outra inequação. O Luís aplicou, de forma
incorreta, o 2.º princípio de equivalência em três inequações.
Quanto aos intervalos, o José não cometeu qualquer erro, mas o Luís determinou
incorretamente três intervalos, mais precisamente trocou o sinal de um número num
intervalo; e cometeu erros no tipo de intervalo utilizado nos outros dois. No geral, em
relação ao tratamento, pode verificar-se que a análise dos resultados obtidos pelos dois
alunos selecionados, o José e o Luís, encontra-se de acordo com as conclusões inferidas
para toda a turma. Sendo estes alunos dois dos alunos da turma que habitualmente
apresentam melhor desempenho a Matemática, pode inferir-se que se deve dar
continuação ao trabalho em torno deste tópico.
Em suma, os principais erros e dificuldades que os alunos revelam no tratamento
de representações de situações problemáticas que envolvem inequações do 1.º grau são:
aplicação incorreta do 2.º princípio de equivalência e lapsos em números ou no seu sinal
na resolução da inequação ou disjunção/conjunção de inequações; e indicação da
resposta à respetiva situação problemática, mais precisamente na interpretação do sinal
de desigualdade. Assim, as conclusões obtidas no que diz respeito ao tratamento vão ao
encontro das dificuldades mais comuns de um aluno na resolução de inequações
apontadas por Ponte, Branco & Matos (2009): “(i) não compreender o que é uma
inequação e qual a natureza do seu conjunto-solução; (ii) aplicar indevidamente as
regras de resolução das inequações, multiplicando ambos os membros de uma
inequação por um número negativo sem inverter o sentido da desigualdade; e (iii)
estabelecer incorretamente a intersecção e reunião de conjuntos-solução em situações de
conjunção e disjunção de condições” (p. 167).
160
Por fim, importa referir, considerando os resultados da conversão e do
tratamento, que embora a maioria dos alunos revele dificuldades na conversão da
linguagem natural para a linguagem algébrica, estes realizam de forma imediata o
tratamento dentro da linguagem algébrica, particularmente na resolução de inequações.
Esta observação vai ao encontro da ideia de que as aprendizagens fundamentais
relativas ao raciocínio requerem a diversificação dos registos semióticos de
representação e a coordenação entre esses registos (Duval, 2004). De fato, dentro de um
mesmo registo de representação, o aluno facilmente efetua as transformações
necessárias, mas não consegue realizar a conversão da linguagem natural para a
algébrica, o que limita os seus processos de raciocínio e o seu desempenho nestas
tarefas.
6.2. Reflexão Final
Considero o balanço deste trabalho bastante positivo. Na sua globalidade, a
concretização desta investigação contribuiu muito significativamente para o meu
desenvolvimento enquanto professora e enquanto investigadora.
Este relatório permitiu-me refletir sobre o ensino da Álgebra e as dificuldades de
aprendizagem inerentes, que de outra forma nunca teria tido oportunidade de o fazer. A
revisão da literatura, realizada antes da lecionação, possibilitou-me um olhar sobre as
estratégias e dificuldades que outros investigaram, permitindo-me desta forma adaptar e
melhorar as tarefas e, simultaneamente, estar preparada para eventuais erros e
dificuldades dos alunos no seu trabalho com inequações do 1.º grau.
Nas aulas lecionadas, os alunos mostraram-se participativos, entusiasmados,
empenhados e acima de tudo manifestaram vontade em aprender. As tarefas propostas
ajudaram os alunos a construir o seu próprio conhecimento e penso que desta forma
houve aprendizagem significativa.
As reflexões após as aulas foram extremamente importantes e decisivas no
ajustamento das planificações das aulas seguintes. A reflexão e a opinião das
professoras revelaram ser uma prática crucial para compreender melhor o modo como
decorreram as aulas e simultaneamente aperfeiçoar a minha performance de ensinar e de
estar na sala de aula.
161
Aprendi com este trabalho que a aprendizagem na sala de aula tem maior
eficácia se o professor der uma maior importância aos raciocínios dos alunos. A aula
deve ser orientada, pela atividade que os alunos desenvolvem, não prevalecendo a
lógica do professor. Deste modo, as aprendizagens realizadas pelos alunos serão
essenciais para os tornar capazes de enfrentar novos problemas, que vão certamente
encontrar futuramente.
Constatei, no entanto, que é difícil elaborar tarefas para os alunos que promovam
um maior conhecimento comparativamente às abordagens tradicionais, evitando uma
divisão entre os diferentes registos de representação por parte destes, por outras
palavras, que os façam compreender o assunto alvo do estudo.
A frequência das disciplinas curriculares do Mestrado constituíram uma mais
valia para este estudo na medida em que me permitiram compreender não só a
importância da investigação em Educação Matemática, como também desenvolver
competências para a realização de investigações nesta área.
De todo o processo envolvido nesta investigação, a análise de dados foi o que
me despertou maior interesse, tanto pela sua complexidade, como pela reflexão que lhe
está inerente. Com a análise de dados, aprendi que cada aluno em parte tem a sua
própria maneira de pensar e tem de se dar valor aos raciocínios de cada um, sem ignorar
as resoluções menos comuns que, por vezes, são as mais importantes. As produções de
cada aluno podem fornecer informação importante sobre o modo de pensar de cada
aluno, as dificuldades que manifesta e como poderia ser ajudado para as ultrapassar.
No entanto, o processo da análise de dados não foi tão fácil de organizar, devido
à quantidade de informação de que dispunha. Para superar estas dificuldades analisei o
trabalho da turma para cada tarefa e no final da cada análise, tentei responder às
questões do estudo. Na reflexão final sobre os resultados obtidos, senti dificuldade em
dar resposta a cada questão do estudo em separado, uma vez que estão interligadas.
Outra fase que me interessou particularmente foi a elaboração da revisão da
literatura. Esta fase, que acompanhou toda a investigação, deu-me a conhecer uma
enorme variedade de trabalhos, tanto sobre as representações matemáticas, como
sobre outros aspetos da educação matemática, dado que me “perdi” muitas vezes na
leitura de outros artigos que me foram interessando.
Apesar de este estudo ter exigido um grande empenho e muitas horas de
trabalho, penso que foi uma experiência gratificante a nível pessoal, uma vez que senti
dificuldades ao longo do processo, mas orgulho-me de as ter ultrapassado. Durante a
162
realização deste estudo, a principal dificuldade que senti recaiu sobre o tempo limitado
que tive à disposição para o realizar.
Ainda que os resultados desta investigação, pela sua natureza assumidamente
exploratória, não possam ser generalizados, espero que este estudo possa também
contribuir, tanto para professores como para investigadores, para um conhecimento
mais aprofundado do estudo das representações matemáticas na resolução de
situações problemáticas envolvendo inequações.
Enquanto investigadora, fica a necessidade de compreender se os alunos
podem obter maior conhecimento recorrendo a outros tipos de representações,
nomeadamente às representações gráficas. Esta questão poderá no futuro constituir
um ponto de partida para futuros trabalhos de investigação.
O facto de ser simultaneamente professora e investigadora traduziu-se num
momento importante de reflexão e de aprendizagem, pois planifiquei e ensinei, mas
também analisei e refleti sobre as minhas aulas. Deste modo, ao longo desta
experiência não foram somente os alunos que tiveram oportunidade de aprender. As
aprendizagens que eu alcancei são inestimáveis para o meu percurso profissional e
para a minha realização pessoal.
163
Referências Bibliográficas
Agre, G. P. (1982). The concept of problem. Educational Studies in Mathematics, 13(2),
121-142.
Ainsworth, S. (2006). DeFT: A conceptual framework for considering learning with
multiple representations. Learning and Instruction, 16(3), 183-198.
Bianchini, B.L, & Puga, L. Z. (2006). Função: Diagnosticando Registos de
Representação Semiótica. In: REFREMAT (pp. 5-16), Revista Eletrónica de
Republicação em Educação Matemática, UFSC.
Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied mathematical problem solving, modelling,
applications, and links to other subjects: State, trends and issues in mathematics
instruction. Educational Studies in Mathematics, 22, 37-68.
Boavida, A. M. (1992). Resolução de problemas: que rumos para a educação
matemática? In: Educação Matemática. J.P. Pontes (org.) (pp.115-122). Instituto de
Inovação Educacional.
Bogdan, R., & Biklen, S. (1994). Investigação qualitativa em educação. Uma
introdução à teoria e aos métodos. Porto: Porto Editora.
Brendefur, J., & Frykholm, J. (2000). Promoting mathematical communication in the
classroom: Two ppreservice teachers' conceptions and pratices. Journal of Mathematics
Teacher Educations, 3, 125-153.
Brown, S. A., & Mehilos, M. (2010). Using tables to Bridge Arithmetic and Algebra.
Mathematics Teaching in the Middle School, 15 (9), 532-538.
Bruner, J. S. (1966). Towards a theory of instruction. New-York, NY: Norton.
164
Cai, J. (2000). Understanding and representing the arithmetic averaging algorithm: An
analysis and comparison of US and Chinese students’ responses. International Journal
of Mathematical Education in Science & Technology, 31(6), 839-855.
Charles, R., & Lester, F. (1984). Teaching problem solving. London: Edward Arnold
Pty.
Conceição Júnior, F. (2011). Uma abordagem funcional para o ensino de inequações no
Ensino Médio. Dissertação de Mestrado, Pontifica Universidade Católica, São Paulo.
Cox, R. (1999). Representation construction, externalised cognition and individual
differences. Learning and Instruction, 9(4), 343-363.
DGIDC (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: DGIDC - ME.
Dufour-Janvier, B., Bednarz, N., & Belanger, M. (1987). Pedagogical considerations
concerning the problem of representation. In C. Janvier (Ed.), Problems of
representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 109-122). Hills-dale,
NJ: Lawrence Erlbaum.
Dumas-Carré, A., Caillot, M., Torregrossa, J. M., & Gil, D. (1989). Deux approaches
pour modifier les activités de résolution de problèmes en physique dans l’enseigment
secondaire: Une tentative de syntheses. Aster, 8, 135-160.
Duval, R. (1988a). Écarts sémantiques et cohérence mathématique: introduction aux
problèmes de congruence. Strasbourg: IREM.
Duval, R. (1988b). Graphiques et équations: l’articulation de deux registres. Annales
de didactique et de sciences cognitives. Strasbourg: IREM.
Duval, R. (1993). Registres de representation sémiotique et fonctionnement cognitif de
la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. Strasbourg: IREM.
165
Duval, R. (1999). Representation, vision and visualization: Cognitive functions in
mathematical thinking. Basic issues for learning. In F. Hitt & M. Santos (Eds.),
Proceedings of 21st Annual Meeting of the North American Chapter of the Inter-
national Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 3-26).
Columbus, OH: ERIC.
Duval, R. (2003). Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da
compreensão em matemática. In A. Franchi, B. A. da Silva, J. L. M. de Freitas, L. C.
Pais, M. C. S de A. Maranhão, R. F. Damm et al. (Eds.), Aprendizagem em matemática:
registros de representação semiótica (pp. 11-33). Campinas, SP: Papirus.
Duval, R. (2004). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes
intelectuales (2.ª ed.). Santiago de Cali: Universidad del Valle, Instituto de Educación y
Pedagogía.
Duval, R. (2006). A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of
mathematics. Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131.
Duval, R. (2009). Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens
intelectuais (L. F Levy & M. R. A. da Silveira). São Paulo: Livraria da Física (Obra
original publicada, 1995).
Elia, I., Panaoura, A., Eracleous A., & Gagatsis, A. (2007), Relations between
secondary pupils’ conceptions about functions and problem solving in different
representations. International Journal of Science and Mathematics Education, 5, 533-
556.
Ernest, P. (1992). Problem solving: Its assimilation to the teacher’s perspectives. In J. P.
Ponte, J. F. Matos, J. M. Matos & D. Fernandes (Eds.), Mathematical problem solving
and new information technologies (pp. 287-300). Berlin: Springer- Verlag.
Evans, J. (1987). Investigations - the state of the art. Mathematics in School, 16(1), 27-
30
166
Even, R. (1998). Factors involved in linking representations of functions. Journal of
Mathematical Behavior, 17(1), 105-121.
Fernandes, D. (1989). Aspectos metacognitivos na resolução de problemas em
Matemática. Educação e Matemática, 8, 3-6.
Fernandes, D. (1992). Resolução de problemas: Investigação, ensino, avaliação e
formação de professores. In M. Brown, D. Fernandes, J. F. Matos & J. P. Ponte (Eds.),
Educação matemática: Temas de investigação (pp.45-103). Lisboa: IIE.
Friendland, A., & Tabach, M., (2001). Promoting multiple representation in algebra. In
Cuoco (Ed), The roles of representation in school mathematics (pp. 173-185). Reston,
VA: NCTM.
Gagatsis, A., & Shiakalli, M. (2004). Ability to translate from one representation of the
concept of function to another and mathematical problem solving. Educational
Psychology, 24(5), 645-657.
Giusti, V. H. (2008). O uso de vários registos na resolução de inequações: Uma
abordagem funcional gráfica. Dissertação de Doutoramento, Pontifica Universidade
Católica, São Paulo.
Goldin, G. A. (1998). Representational systems, learning and problem solving in
mathematics. Journal of Mathematical Behavior, 17(2), 137-165.
Goldin, G. A. (2002). Representation in mathematical learning and problem solving. In
L. D. English (Ed.), Handbook of international research in mathematics education
(pp.197-218). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Goldin, G. A. (2008). Perspectives on representation in mathematical learning and
problem solving. In L. D. English, M. B. Bussi, G. A. Jones, R. A. Lesh, B. Sriraman &
D. Tirosh (Eds.), Handbook of international research in mathematics education (2nd
ed., pp.176-201). New-York, NY: Routledge.
167
Goldin, G. A., & Kaput J. J. (1996). A joint perspective on the idea of representations in
learning and doing mathematics. In S. P., Leslie & N. Pearla (Eds.), Theories of
mathematical learning (pp. 397-432). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Goldin, G., & Shteingold, N. (2001). Systems of representations and the development of
mathematical concepts. In A.A. Cuoco & F. R. Curcio (Eds.), The roles of
representation in school mathematics (pp. 1-23). Reston, VA: NCTM.
Greeno, J. G., & Hall, R. P. (1997). Practicing representation: Learning with and about
representational forms. Phi Delta Kappan, 78(5), 361-367.
Henriques, A. C. (2010). O pensamento matemático avançado e a aprendizagem da
análise numérica num contexto de actividades de investigação. Dissertação de
Doutoramento, Universidade de Lisboa.
Hiebert, J., & Carpenter, T. (1992). Learning and teaching with understanding. In D. A.
Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, (pp. 65-
97). Reston, VA: NCTM.
Hitt, F. (1998a). Difficulties in the articulation of different representations linked to the
concept of function. Journal of Mathematical Behavior, 17(1), 123-134.
Hitt, F. (1998b). Representations and mathematics visualization. In S. Berenson, K.
Dawkins, M. Blanton, W. Coulombe, J. Kolb, K. Norwood & L. Stiff (Eds.),
Proceedings of the 20th Annual Meeting of the North American Chapter of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 94-99).
Columbus, OH: ERIC.
Janvier, C. (1987). Translation processes in mathematics education. In C. Janvier (Ed.),
Problems of representation in the teaching and learning of mathematics (pp. 27-32).
Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
Kantowski, M. G. (1977). Processes involved in mathematical problem solving. Journal
for Research in Mathematics Education, 8, 163-180.
168
Kertil, & Aydin (2009). Investigating representational fluency in modelling process:
The experience of pre-service teachers with a cassette problem. In M. Tzekaki, M.
Kaldrimidou & H. Sakonidis (Eds.), Proceedings of the 33rd Conference of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 305-
312). Thessaloniki, Greece: PME.
Kieran, C. (1996). The changing face of school algebra. In C. Alsina, J. M. Alvares, B.
Hodgson, C. Laborde & A. Pérez (Eds.), International Congress on Mathematical
Education 8: Selected lectures (pp. 271-290). Seville: SAEM Thales.
Kieran, C. (2007). Developing Algebraic reasoning: the role of sequenced tasks and
teacher questions from the primary to the early secondary school levels. Quadrante,
16(1) 5-26.
Knuth, E. J. (2000). Student understanding of connections between equations and
graphs. Mathematics Teacher, 93(1), 48-53.
Leal, L.C. (1992). Avaliação da aprendizagem num contexto de inovação curricular.
Dissertação de Mestrado. Lisboa: APM.
Lessard-Hébert, M., Goyette, G., & Boutin, G. (1994). Investigação Qualitativa:
Fundamentos e Práticas. Lisboa: Instituto Piaget.
Lester. F. K. (1980). Research on mathematical problem Solving. In R. J. Shumway
(Ed.), Research in Mathematics Educations (pp. 286-323). Reston, VA: NCTM.
Lester, F. (1985). Methodological considerations in research on mathematical problem
solving instruction. In E. A. Silver (Ed.), Teaching and learning problem solving:
Multiple research perspectives (pp.41-69). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Magro, F. C., Fidalgo, F., Louçano, P. (2012). PI 9 Matemática 9.º Ano. Edições ASA
II, S.A., LeYa.
169
Marques, M., & Ferreira, P. (2012). Projeto Desafios de Matemática 9.º Ano. Edições
Educativas da Santillana-Constância.
NCTM (1991). Normas para o currículo e avaliação da Matemática escolar. Lisboa:
APM e IIE.
NCTM (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: NCTM.
NCTM (2007). Princípios e normas para a Matemática escolar. Lisboa: APM.
Niemi, D. (1996). Assessing conceptual understanding in mathematics: Representations,
problem solutions, justifications, and explanations. The Journal of Educational
Research, 89(6), 351-363.
Nunes, G. (2012). Resolução de problemas envolvendo funções quadráticas por alunos
do ensino secundário. Relatório da Prática de Ensino Supervisionada, Universidade de
Lisboa.
Nunokawa, K. (2005). Mathematical problem solving and learning mathematics: what
we expect students to obtain. Journal of Mathematical Behavior, 24, 325-340.
Patton, M. (1980). Un nouveau paradigme de recherche en évaluation. In C. Paquette,
G.
Pehkonen, E. (1991). Developments in the undersatanding of problem solving. ZDM, 2,
46-50.
Pólya, G. (1945). How to solve it. Princeton. NJ: Princeton University Press.
Pólya, G. (1975). A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência.
Pólya, G. (1980). On solving mathematical problems in high school. In S. Krulik & R.
E. Reys (Eds.), Problem solving in school mathematics (pp. 1-2). Reston, VA: NCTM.
170
Pólya, G. (1981). Mathematical discovery: On understanding, learning and teaching
problem solving (combined ed.). New-York, NY: Wiley.
Ponte, J. P. (1991). Resolução de problemas: da Matemática às aplicações. In I. Martins,
A. I. Andrade, A. Moreira, M. H. Araújo e Sá, N. Costa & A. Paredes (Eds.), Actas do
2.º Encontro Nacional de Didácticas e Metodologias de Ensino (pp. 287-296). Aveiro:
Universidade de Aveiro.
Ponte, J. P. (1992). Problemas de Matemática e situações da vida real. Revista de Edu-
cação, 2, 95-108.
Ponte, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.), O professor e o
desenvolvimento curricular (pp. 11-34). Lisboa: APM.
Ponte, J., Branco, N., & Matos, A. (2009). Álgebra no Ensino Básico. Lisboa: DGIDC-
ME.
Preston, R., & Garner, A. (2003). Representation as a vehicle for solving and
communication. Mathematics Teaching in the Middle School, 9, 38-43.
Schoenfeld, A. H. (1980). Heuristics in the Classroom. In S. Krulik & R. E. Reys (Eds.),
Problem solving in school mathematics (pp. 9-22). Reston, VA: NCTM.
Schoenfeld, A. H. (1985a). Mathematical problem solving. London: Academic Press.
Schoenfeld, A. H. (1985b). Metacognitive and epistemological issues in mathematical
understanding. In E. Silver (Ed.), Teaching and learning mathematical problem solving:
Multiple research perspectives (pp. 361-379). Hillsdale, NJ: Erlbaum
Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving,
metacognition, and sense making in mathematics. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of
research on mathematics teaching and learning (pp. 334-370). New-York, NY:
MacMillan.
171
Schoenfeld, A. (2008). Early algebra as mathematical sense making. In J. Kaput, D.
Carraher, & M. Blanton (Eds.), Algebra in the Early Grades (pp. 479-510). New York:
Lawrence Erlbaum Associates.
Sfard, A., & Linchevski, L. (1994). The gains and the pitfalls of reification: The case of
algebra. Educational Studies in Mathematics, 26, 191-228.
Silva, L. M. (2007). Estratégias de Utilização de Registros de Representação Semiótica
na Resolução de Problemas Matemáticos. Dissertação de Mestrado, UNICAMP-
Faculdade de Educação, Campinas.
Silver, E. A. (1985). Research on teaching mathematical problem solving: some under-
represented themes and needed directions. In E. A. Silver (Ed.), Teaching and learning
mathematical problem solving: Multiple research perspectives (pp. 247-266). Hillsdale,
NJ: Erlbaum.
Tom, L., & Russell, K. (2001). Relationship between visual and nonvisual solution
methods and difficulty in elementary mathematics. The Journal of Educational
Research, 94(4), 248-255.
Traldi Júnior, A. (2002). Sistemas de Inequações do 1º grau: Uma abordagem do
processo ensino aprendizagem usando os registros de representações. Dissertação de
Mestrado, Pontifica Universidade Católica, São Paulo.
Tripathi, P. N. (2008). Developing mathematical understanding through multiple
representations. Mathematics Teaching in the Middle School, 13(8), 438-445.
Tsamir, P., Almog, N. & Tirosh, D. (1998). Students’ solutions of inequalities. In A.
Olivier & K. Newstead (Eds.), Proceedings of the 22th Conference of the International
Group for the Psychology of Mathematics Education (vol. 4, pp. 129-136).
Stellenbosch: Universidade de Stellenbosch.
172
Vale, I. (1993). Concepções e práticas de jovens professores perante a resolução de
problemas de Matemática: Um estudo longitudinal de dois casos. Dissertação de
Mestrado, Universidade de Lisboa.
Velez, I., & Ponte, J. P. (2012). Representações e Raciocínio de Alunos do 3.º Ano de
Escolaridade na Resolução de Problemas. ATAS XXIII – SIEM.
Vergnaud, G. (1998). A comprehensive theory of representation for mathematics
education. Journal of Mathematical Behavior, 17(2), 167-181.
Zhang, J. J. (1997). The nature of external representations in problem solving. Cognitive
Science, 21(2), 179-217.
173
Anexos
174
175
Anexo 1: Autorização da Direção da Escola
Ex.mo(a) Senhor(a)
Director(a) da
Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
Elisabete Barata Fernandes, aluna do Curso de Mestrado em Ensino da
Matemática, da Universidade de Lisboa, vem por este meio solicitar a sua autorização
para observar e leccionar no 9.º ano de escolaridade da turma B, a unidade de
Inequações do 1.º Grau, no âmbito de uma investigação individual que culminará com o
relatório do referido Mestrado.
O relatório intitulado “Representações em situações problemáticas que
envolvem inequações do 1.º grau a uma incógnita: Um estudo com alunos do 9.º ano de
escolaridade” visa investigar se os alunos compreendem e sabem usar os diferentes
tipos de representações na resolução de situações problemáticas usando inequações.
Fico à inteira disposição de V. Exa. para complementar toda a informação que
julgue oportuna.
Agradecendo desde já a sua colaboração, subscrevo-me com os melhores
cumprimentos,
Atenciosamente
_____________________________
(Elisabete Fernandes)
176
177
Anexo 2: Autorização dos Encarregados de Educação
Ex.mo(a) Senhor(a)
Encarregado(a) de Educação
No âmbito do Curso de Mestrado em Ensino da Matemática, da Universidade de
Lisboa, estou a conduzir um estudo que visa investigar se os alunos compreendem e
sabem usar os diferentes tipos de representações na resolução de situações
problemáticas usando inequações.
Para este efeito, preciso de recolher dados sobre o tipo de ensino exercido, que
consiste na observação e lecionação das aulas em que é abordada a unidade didática das
Inequações, recorrendo à gravação áudio de algumas aulas lecionadas.
Com esta finalidade, solicito a sua autorização para proceder à recolha de dados
atrás mencionada, comprometendo-me desde já a garantir o anonimato e a
confidencialidade dos dados obtidos, que apenas serão usados no âmbito da
investigação.
Agradeço, desde já, a colaboração prestada por V. Exa., e solicito que assine a
declaração em baixo, devendo depois destacá-la e devolvê-la ao professor de
Matemática.
Com os melhores cumprimentos,
(Elisabete Fernandes)
Lisboa, 25 de Fevereiro de 2013
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Declaro que autorizo o(a) meu(inha) educando(a) __________________________
_________N.º ______da Turma B do 9.º ano, a participar na recolha de dados
conduzido pela Dra. Elisabete Fernandes no âmbito da dissertação de Mestrado.
Lisboa, _____ / _____ / __________
Assinatura
_____________________________________
178
179
Anexo 3: Plano de Aula n.º 1
Disciplina: Matemática 9.º Ano, Turma B
3.º Período – 2012/2013
Tema Matemático: Álgebra
Tópico: Inequações
Subtópico: Inequações do 1º grau a uma incógnita
Aulas n.º 120 e 121
Data: 15 de Abril de 2013, segunda-feira
Duração: 100 minutos (1 bloco)
Sumário:
Definição de inequação, solução de uma inequação e conjunto-solução de uma
inequação. Identificação de inequações equivalentes. Resolução de situações
problemáticas e exercícios.
Conceitos/Conteúdos:
Inequação do 1.º grau a uma incógnita.
Solução de uma inequação.
Conjunto-solução de uma inequação.
Inequações equivalentes.
Objetivos específicos:
Compreender a noção de inequação do 1.º grau a uma incógnita, e a sua
terminologia, nomeadamente o significado de termo, membro e incógnita de
uma inequação.
Traduzir por meio de uma inequação uma situação problemática apresentada em
linguagem natural.
Compreender a noção de solução de uma inequação. Verificar se um dado
número é solução de uma inequação.
Compreender a noção de conjunto-solução de uma inequação. Constatar que
uma inequação pode ter várias soluções.
Representar o conjunto-solução de uma inequação de várias formas, ou seja,
graficamente, na forma de um intervalo de números reais e em compreensão.
180
Resolver inequações simples ou situações problemáticas envolvendo inequações
sem utilizar as regras de resolução.
Compreender a noção de inequações equivalentes.
Conhecimentos prévios dos alunos:
Definir os números reais.
Aplicar as regras associadas às relações de ordem em |R.
Representar e interpretar intervalos de números reais.
Materiais/Recursos:
Manual PI 9
Ficha de Trabalho n.º 1 (em anexo) com as tarefas e os exercícios propostos
nesta aula e respetivos espaços para a sua resolução.
Calculadora
Metodologia de trabalho:
Resolução da atividade proposta:
o Os alunos realizam, de forma autónoma e aos pares, a atividade.
o O trabalho deverá ser interrompido se se verificarem muitas dificuldades
na realização das questões, e os possíveis esclarecimentos serão feitos
coletivamente em turma.
o O professor circula pela sala e recolhe os dados para a avaliação (tais
como a participação e o envolvimento do aluno no trabalho) e para
posteriormente discuti-los em turma.
Exposição no quadro da resolução da atividade proposta pelo(s) aluno(s) ou
professor-alunos:
o O(s) aluno(s), selecionado(s) pelo professor, expõe(m) no quadro a(s)
sua(s) resolução(ões). Esta estratégia é utilizada na resolução do
Exercício 2 (Manual PI 9, pág. 116), pois pretende-se que os alunos
consolidem os acontecimentos anteriormente obtidos. Os critérios de
seleção serão um dos três consoante os casos:
181
Incentivar a participação de todos os alunos: O aluno ainda não
realizou nenhum exercício no quadro durante a aula.
Reforçar positivamente o interesse do aluno: O aluno manifestou
interesse na exposição da sua resolução.
Explorar várias estratégias de resolução: O aluno utilizou uma
estratégia de resolução que seria interessante explorar.
o O professor expõe no quadro a resolução da atividade proposta com
participação dos alunos. Esta estratégia é utilizada na resolução da Tarefa
1 e da alínea b) da Tarefa 2 (ambas apresentadas mais à frente), pois os
conteúdos desta aula (referidos acima) serão abordados pela primeira vez
na turma durante esse momento.
Discussão em grande grupo com toda a turma:
o Os alunos terão um papel explorador.
o O professor terá um papel de orientador e um discurso interrogativo com
o objectivo de analisar várias estratégias de resolução.
Desenvolvimento da aula
1.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Organização
Iniciar a aula cumprimentando a turma e apresentando o sumário.
Distribuir a Ficha de Trabalho n.º 1.
Explicar a metodologia de trabalho para a aula (resolução de tarefas e posterior
discussão das mesmas em turma; realização das atividades na ficha de trabalho
para posterior análise no âmbito de um estudo de cariz investigativo).
2.º Momento [Tempo (12 minutos)] – Resolução da Tarefa 1 (apresentada a seguir)
Anunciar o tempo disponível (de 12 minutos) para a realização da Tarefa 1.
Pedir para os alunos realizarem a Tarefa 1 na ficha de trabalho.
Os alunos resolvem, aos pares, a Tarefa 1.
182
Tarefa 1
A Rita e o Rui foram comprar gomas. Na loja existe uma balança com pesos e cada
um dos dois amigos pesou o seu saco de gomas.
A balança ficou em equilíbrio quando a Rita colocou o seu saco de gomas juntamente
com um peso de 20g num dos pratos da balança, e um peso de 100g no outro prato,
como podes ver na Figura 1.
O Rui procedeu como a Rita, mas a balança não ficou em equilíbrio como mostra a
Figura 2.
Figura 1: Pesagem do saco de gomas da Rita.
Figura 2: Pesagem do saco de gomas do Rui.
(Adaptado de Fernandes, 2011)
a) Explica porque razão a balança da Figura 2 está em desequilíbrio ao contrário da
balança da Figura 1.
b) Quanto pesa o saco de gomas da Rita?
c) Traduz a situação da balança da Figura 1 por meio de uma equação.
d) Indica um valor possível para o peso do saco de gomas do Rui. Existirá apenas
uma possibilidade para esse valor?
e) Utiliza a letra x para representar o peso do saco de gomas do Rui. Escreve uma
expressão que traduza a situação representada na balança da Figura 2.
Objetivos de aprendizagem:
Compreender a noção de inequação. Diferenciar o conceito de equilíbrio na
balança/equação da noção de desequilíbrio na balança/inequação [com a alínea a)].
Rever e determinar o conjunto-solução de uma equação [com a alínea b)].
Relembrar e traduzir por uma equação uma situação problemática com uma balança
[com a alínea c)].
Investigar se um dado número é solução de uma inequação sem utilizar as regras de
resolução. Constatar que uma inequação pode ter várias soluções [com a alínea d)].
Traduzir por meio de uma inequação uma situação problemática com uma balança
[com a alínea e)].
183
3.º Momento [Tempo (23 minutos)] – Exposição e Discussão da Tarefa 1
Expor no quadro a Tarefa 1 com a participação dos alunos. Utiliza-se esta
estratégia de trabalho, pois será abordado pela primeira vez a noção de
inequação e a sua terminologia.
a)
Colocar a questão:
Porque a balança 1 está em equilíbrio e a balança 2 está em desequilíbrio?
Resolução da alínea a):
Para que a balança da Figura 2 estivesse em equilíbrio os pratos da balança teriam que
se encontrar à mesma distância do chão, como acontece com a balança da Figura 1.
b)
Resolução da alínea b):
O saco de gomas da Rita pesa 80 gramas.
Nota:
Na resolução da alínea b), provavelmente os alunos determinarão o peso do saco de
gomas da Rita apenas observando a Figura 1, mas alguns poderão eventualmente
formular e resolver a equação subjacente à situação descrita. Se tal acontecer, esses
alunos serão questionados sobre o raciocínio que utilizaram.
c)
Colocar a questão:
O que é uma equação?
Relembrar:
Uma equação é uma igualdade entre duas expressões onde figura, numa das
expressões ou em ambas, pelo menos uma letra (x).
Uma expressão matemática onde, além de números e operações, aparecem letras,
designa-se por expressão algébrica. Por exemplo: x + 1 (não é uma equação).
184
Solicitar exemplos de equações. Escrever no quadro:
Exemplos de equações
x = 2
x -1 = 3
Exemplos de não equações
1+1 = 2 (não tem variável)
x -1 < 3 (não é uma igualdade)
x +1 (é uma expressão algébrica)
Resposta da alínea c):
A equação é dada por: x + 20 = 100.
Colocar a questão:
O que representa o x?
Relembrar:
A letra x designa-se de incógnita ou variável, e representa um valor desconhecido.
Colocar a questão:
O que representa x na equação x + 20 = 100?
Resposta: x representa o peso do saco de gomas da Rita.
Nota:
Verificar se os alunos sabem que uma letra pode ter vários significados e representar
quantidades diferentes.
Colocar a questão:
Se resolvêssemos a equação x + 20 = 100, qual seria o valor de x que obteríamos?
Resposta: x = 80.
Relembrar:
O valor da incógnita que transforma a equação numa igualdade verdadeira diz-se
solução ou raiz da equação.
185
d)
Resolução da alínea d):
Por exemplo, 79 gramas.
Não, o peso do saco de gomas do Rui pode ser igual a qualquer valor inferior a 80
gramas.
Salientar:
O peso do saco de gomas da Rita tem 80 gramas, mas o peso do saco de gomas do Rui
pode ser igual a qualquer número inferior a 80 gramas.
Nota:
Na resolução da alínea d), espera-se que os alunos determinem (por tentativas) vários
valores possíveis para o peso do saco de gomas do Rui observando a balança da Figura
2, e constatem então que existem muitas soluções.
e)
Recordar:
Uma desigualdade é uma condição em que aparece um dos símbolos: <, >, ≤ ou ≥,
sendo estes denominados de símbolos ou sinais de desigualdade.
Condição ou expressão proposicional é uma expressão com variáveis que se
transforma numa proposição quando as variáveis são substituídas por constantes.
Proposição é uma expressão a respeito da qual faz sentido dizer-se se é verdadeira ou
falsa.
Nota: Os alunos já usaram os símbolos de desigualdade para expressar relações
numéricas de desigualdade simples, e agora estes são usados para representar relações
de desigualdade entre condições.
Escrever num canto do quadro e não apagar durante a aula:
Símbolos de desigualdade Significado
> Maior
< Menor
≥ Maior ou igual
≤ Menor ou igual
186
Resolução da alínea e):
A expressão é x + 20 < 100. Esta desigualdade é uma inequação.
Colocar a questão:
Qual a diferença entre uma equação do 1.º grau e uma inequação do 1.º grau?
Salientar:
Como se sabe, uma equação é uma igualdade entre dois membros e por isso usa-se o
sinal de igualdade entre eles. Para termos uma inequação, basta termos, em vez de um
sinal de igual, um dos sinais de desigualdade.
Escrever no quadro:
Inequação é uma desigualdade entre duas expressões onde aparece, numa das
expressões ou em ambas, uma ou mais variáveis (x).
Solicitar exemplos de inequações. Escrever no quadro:
Exemplos de inequações
x < 2
-4 -8 > 3 - x
2(x - 2 ) ≥ 5
Exemplos de não inequações
4x – 2 = 8 e 4x – 1 = 9x+3 (não são desigualdades)
9 – 1 > 6+1 e π – 3 ≤ 8 (não têm variáveis) (são
proposições, enquanto inequações são condições
ou expressões proposicionais)
Salientar:
Voltando à resolução da Tarefa 1, a expressão que traduz a situação representada na
balança (equilibrada) da Figura 1 é como verificámos na alínea c):
x + 20 = 100 (equação)
Colocar a questão:
Então, qual é a expressão que traduz a situação representada na balança
(desequilibrada) da Figura 2? Verifica que ambas as balanças têm os pesos de 20g e
100g.
187
Relembrar:
Uma equação tem sempre duas partes separadas pelo sinal de igual (=). Cada uma
dessas partes diz-se membro da equação: a que fica à esquerda do sinal é o 1.º
membro e a que fica à direita é o 2.º membro. Por exemplo na equação x + 20 = 100,
tem-se o 1.º Membro: x+20 e o 2.º membro: 100. Cada membro é composto por termos.
Salientar:
A terminologia usada nas equações mantém-se para as inequações, nomeadamente as
noções de membro, termo e incógnita.
Assim, uma inequação tem sempre duas partes separadas por um dos sinais de
desigualdade. O 1.º membro está à esquerda do sinal de desigualdade e o 2.º membro
está à direita.
Escrever no quadro:
Terminologia de uma inequação
Na inequação encontrada temos:
1.º membro da inequação: x + 20;
2.º membro da inequação: 100;
Termos do 1.º membro: x e 20 (dois termos);
Termos do 2.º membro: 100 (um termo);
Incógnita: x;
Termos com incógnita: x;
Termos independentes: 20 e 100.
4.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Resolução do Exercício 2 (Manual PI 9, pág. 116)
Anunciar o tempo disponível (5 minutos) para a realização do Exercício 2.
Pedir para os alunos realizarem o Exercício 2 na ficha de trabalho.
Os alunos resolvem, aos pares, o Exercício 2.
188
Exercício 2
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 116)
Objetivo de aprendizagem:
Escrever uma inequação (linguagem algébrica) que traduza uma situação
problemática apresentada em linguagem natural.
5.º Momento [Tempo (12 minutos)] – Exposição e Discussão do Exercício 2 (Manual
PI 9, pág. 116)
Os alunos expõem no quadro, com discussão coletiva em turma, a resolução do
Exercício 2. Utiliza-se esta estratégia, pois espera-se que os alunos apliquem os
conhecimentos adquiridos no estudo das equações (no 7.º e 8.º anos letivos) e na
resolução da Tarefa 1, nomeadamente a tradução de uma equação/inequação a
partir de uma situação problemática apresentada em linguagem natural.
Resolução do Exercício 2:
2.1. z < 17 2.2. x + 3x ≥ 18
2.3. 15 – 2x ≤ 30 2.4. x × 6 ≤ 400
2.5. 185
k
Discussão do Exercício 2:
Colocar as questões? (na discussão da alínea 2.2.)
O que é o triplo de um número? Então, o que é o triplo de x?
Resposta: O triplo de um número é o produto desse número por3. O triplo de x
é 3x.
189
O que significa “x é pelo menos 18”? Traduz a afirmação por uma inequação.
Resposta: x ≥ 18.
O que significa “x é no mínimo 18”? Traduz a afirmação por uma inequação.
Resposta: x ≥ 18.
Colocar as questões? (na discussão da alínea 2.3.)
O que significa “x não é maior do que 30”? Traduz a afirmação por uma
inequação.
Resposta: x ≤ 30.
O que significa “x não é menor do que 30”? Traduz a afirmação por uma
inequação.
Resposta: x ≥ 30.
Colocar as questões? (na discussão da alínea 2.4.)
O que significa “x é no máximo 400”? Traduz a afirmação por uma inequação.
Resposta: x ≤ 400.
O que significa “x é no mínimo 400”? Traduz a afirmação por uma inequação.
Resposta: x ≥ 400.
Nota:
Uma das principais dificuldades dos alunos consiste na interpretação de uma situação
problemática apresentada na linguagem natural e na sua tradução para uma expressão
algébrica. Assim, como este exercício pretende-se ultrapassar possíveis dificuldades.
6.º Momento [Tempo (17 minutos)] – Resolução da Tarefa 2 (apresentada a seguir)
Anunciar o tempo disponível (de 17 minutos) para a realização da Tarefa 2.
Pedir para os alunos realizarem a Tarefa 2 na ficha de trabalho.
Os alunos resolvem, aos pares, a Tarefa 2.
190
Tarefa 2
O retângulo da figura abaixo tem dois lados que medem 7 cm, mas a medida dos outros
dois lados é desconhecida:
a) Qual deverá ser a medida desconhecida de dois dos lados do retângulo, de modo
que o perímetro seja igual a 32 cm?
b) Qual deverá a medida desconhecida de dois dos lados do retângulo, de modo que o
perímetro seja inferior a 32cm?
(Adaptado do Manual Projeto Desafios, 2012, pág. 86)
Objetivos de aprendizagem:
Relembrar a tradução de uma situação problemática por uma equação e a sua
resolução usando as regras [com a alínea a)].
Interpretar e traduzir por uma inequação uma situação problemática apresentada em
linguagem natural [com a alínea b)].
Compreender os conceitos de solução de uma inequação e de conjunto-solução de
uma inequação. Compreender que o conjunto-conjunto solução de uma inequação
pode ser um conjunto infinito [com a alínea b)].
Resolver uma inequação simples antes de estudarem as regras para a sua resolução
com base num contexto [com a alínea b)].
Representar o conjunto-solução de uma inequação graficamente, sob a forma de um
intervalo de números reais e em compreensão [com a alínea b)].
Distinguir o conjunto-solução de uma equação do conjunto-solução de uma
inequação [com a alínea a)].
Verificar se a solução da equação/inequação é adequada ao contexto [com a alínea
a)/ alínea b)].
7.º Momento [Tempo (23 minutos)] – Exposição e Discussão da Tarefa 2
Os alunos expõem no quadro, com discussão coletiva em turma, a resolução da
alínea a) da Tarefa 2. Utiliza-se esta estratégia, pois espera-se que os alunos
191
apliquem na alínea a) os conhecimentos já adquiridos, nomeadamente a tradução
por meio de uma equação (linguagem algébrica) de uma situação problemática
apresentada em linguagem natural; e a resolução de uma equação do 1.º grau
utilizando as regras de resolução.
Corrigir no quadro, com participação dos alunos, a alínea b) da Tarefa 2. Com
esta estratégia pretende-se abordar pela primeira vez a solução de uma
inequação e de conjunto-solução de uma inequação na resolução da alínea b).
a)
Resolução da alínea a): O problema sugere a equação:
918232214 xxx .
O conjunto-solução dessa equação é representado por: C.S. = {9}.
Discussão da alínea a) da Tarefa 2:
Colocar as questões:
O que representa x na equação 14 + 2x = 32?
Resposta: x representa a medida desconhecida de dois dos lados do retângulo.
Qual foi o método utilizado para resolver a equação?
Resposta: Os dois Princípios de Equivalência.
O que é a solução de uma equação? (Já relembrado na discussão da Tarefa 1)
Resposta: Diz-se que um número é solução de uma equação quando, ao substituir a
variável (ou a incógnita) por esse número, se obtém uma igualdade verdadeira.
Sem resolveres a equação, comprova que 9 é solução da equação.
Resposta: 2×9 +14 = 32 18 + 24 = 32 32 = 32.
Como 32 = 32 é uma proposição verdadeira, 9 é solução da equação.
O que é o conjunto-solução de uma equação?
192
Resposta: É o conjunto constituído por todas as soluções da equação.
Pode-se ter:
Uma equação possível (i.e, só tem uma solução);
Uma equação impossível (i.e., não tem solução);
Uma equação indeterminada (i.e, tem muitas soluções).
b)
Resolução da alínea b): Como o perímetro tem que ser menor que 32, escreve-se a
seguinte inequação:
2x + 14 <32.
Colocar a questão:
Poderá o valor 9 ser solução da inequação 2x + 14 < 32?
Escrever no quadro:
Substituindo a incógnita, x, por 9, obtém-se:
2×9 +14 < 32 18 + 24 < 32 32 < 32
Como 32 < 32 é uma proposição falsa, 9 não é solução da inequação.
Observar:
A verificação da solução de uma inequação faz-se por um método semelhante ao
utilizado nas equações.
Colocar a questão:
O número 8 será solução da inequação 2x + 14 < 32?
Escrever no quadro:
Substituindo a incógnita, x, por 8, obtém-se:
2×8 +14 > 32 16 + 14 > 32 30 < 32
Como 30 < 32 é uma proposição verdadeira, 8 é solução da inequação.
Diz-se que um número é solução de uma inequação quando, ao substituir a variável
193
(ou a incógnita) por esse número, se obtém uma proposição verdadeira.
Uma inequação pode ter uma única solução, muitas soluções ou nenhuma solução,
sendo neste último caso o conjunto-solução igual ao conjunto vazio {} (por exemplo:
x2+1 < 0).
Colocar a questão:
Será 8 a única solução da inequação 2x + 14 < 32?
Observar:
Analisando a resolução da alínea a), verificamos que o perímetro do retângulo é
exatamente 32 cm se a medida desconhecida de um dos lados do retângulo é 9 cm.
Assim, se o perímetro do retângulo fosse inferior a 32 cm, conclui-se que a medida
desconhecida de um dos lados do retângulo teria que ser inferior a 9 cm, ou seja,
qualquer valor inferior a 9 cm é solução da inequação (isto é, 2x + 14 < 32 x < 9).
Relembrar:
Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes.
Escrever no quadro:
Duas inequações dizem-se equivalentes quando têm o mesmo conjunto-solução.
Solicitar exemplos de inequações equivalentes. Escrever no quadro:
Exemplos de inequações equivalentes
x < 1 +1 e x < 2 são inequações equivalentes, sendo o conjunto-solução de ambas
C.S. = ]-∞; 2[
Escrever no quadro:
O conjunto de todas as soluções de uma inequação denomina-se conjunto-solução
(C.S.). Resolver uma inequação consiste em determinar o seu conjunto-solução.
194
O conjunto-solução da inequação 2x + 14 < 32, fora do contexto do problema, pode ser
representado de três formas (como acontece com qualquer conjunto de números reais):
Representação por uma condição (ou em compreensão): C.S. = {x|R: x < 9}.
Representação geométrica ou gráfica (ou na reta real):
-∞ +∞
Representação na forma de um intervalo de números reais: C.S. = ]-∞, 9[.
Nota:
Os alunos devem saber representar intervalos de números reais (já estudados no tópico
dos Números Reais). É portanto fundamental que os alunos compreendam os intervalos
como subconjuntos de |R, representem e interpretem intervalos de números reais (Ponte
et al., 2009).
Observar:
Após representarmos o conjunto-solução na reta real e sob a forma de intervalo,
chamamos à atenção para o fato deste intervalo ser ilimitado à esquerda (ou seja
ilimitado inferiormente).
Verifica que nem todas as soluções de uma inequação são solução do problema, é
necessário termos conta as características da situação. Por exemplo, no contexto da
situação apresentada, para ser solução, a medida desconhecida de dois dos lados do
retângulo teria que tomar um valor menor do que 9 cm, mas maior do que 0. Assim, o
conjunto solução do problema seria: C.S. = {x|R: 0 < x < 9}, isto é, ]0, 9[, mas o
conjunto-solução da inequação era igual a
C.S. = ]-∞, 9[.
8.º Momento [Tempo (3 minutos)]
Recolher as fichas de trabalho de todos os alunos para posterior análise no
âmbito do estudo de cariz investigativo.
195
Avaliação:
Apreciação do desempenho e dúvidas dos alunos aquando dos momentos de
trabalho e discussão colectiva.
Análise das produções escritas dos alunos.
Colaboração com o professor e com os colegas na resolução/discussão das
atividades propostas.
Interesse/participação demonstrado durante a aula.
Comportamento na sala de aula.
196
197
Anexo 4: Plano de Aula n.º 2
Disciplina: Matemática 9.º Ano, Turma B
3.º Período – 2012/2013
Tema Matemático: Álgebra
Tópico: Inequações
Subtópico: Inequações do 1º grau a uma incógnita
Aulas n.º 122 e 123
Data: 16 de Abril de 2013, terça-feira
Duração: 100 minutos (1 bloco)
Sumário:
Resolução de inequações: Princípios de Equivalência e Regras práticas para
resolver inequações. Resolução de exercícios.
Conceitos/Conteúdos:
Princípios de equivalência e regras de resolução de inequação do 1.º grau a uma
incógnita.
Objetivos Específicos:
Resolver inequações do 1.º grau a uma incógnita utilizando os princípios de
equivalência e as regras de resolução.
Verificar em que casos, as regras para a resolução de inequações não mudam em
relação às regras utilizadas para resolver as equações e em que casos são
diferentes.
Representar o conjunto-solução de uma inequação graficamente e na forma de
intervalo de números reais.
Salientar a necessidade de escolher soluções de uma inequação tendo em conta o
contexto da situação.
Conhecimentos prévios dos alunos:
Efetuar operações com polinómios, adição algébrica e multiplicação.
Compreender e utilizar os casos notáveis da multiplicação de binómios.
Conhecer os princípios de equivalência e as regras da resolução de equações.
198
Resolver equações do 1.º grau a uma incógnita utilizando as regras de resolução.
Compreender as noções de inequações, solução de uma inequação, conjunto-
solução de uma inequação e inequações equivalentes.
Materiais/Recursos:
Manual PI 9
Ficha de Trabalho n.º 2 (em anexo) com as tarefas e os exercícios propostos
nesta aula e respetivos espaços para a sua resolução.
Folha com os princípios de equivalência e as regras práticas utilizadas para
resolver inequações (em anexo)
Calculadora
Metodologia de trabalho:
Resolução da atividade proposta:
o Os alunos realizam, de forma autónoma e aos pares, a atividade.
o O trabalho deverá ser interrompido se se verificarem muitas dificuldades
na realização das questões, e os possíveis esclarecimentos serão feitos
coletivamente em turma.
o O professor circula pela sala e recolhe os dados para a avaliação (tais
como a participação e o envolvimento do aluno no trabalho) e para
posteriormente discuti-los em turma.
Exposição no quadro da resolução da atividade proposta pelo(s) aluno(s) ou
professor-alunos:
o O(s) aluno(s), selecionado(s) pelo professor, expõe(m) no quadro a(s)
sua(s) resolução(ões). Esta estratégia é utilizada na resolução da Tarefa 1
e do Exercício 1 (Manual PI 9, pág. 116), pois pretende-se que os alunos
consolidem os acontecimentos anteriormente obtidos. Os critérios de
seleção serão um dos três consoante os casos:
Incentivar a participação de todos os alunos: O aluno ainda não
realizou nenhum exercício no quadro durante a aula.
Reforçar positivamente o interesse do aluno: O aluno manifestou
interesse na exposição da sua resolução.
199
Explorar várias estratégias de resolução: O aluno utilizou uma
estratégia de resolução que seria interessante explorar.
Discussão em grande grupo com toda a turma:
o Os alunos terão um papel explorador.
o O professor terá um papel de orientador e um discurso interrogativo com
o objetivo de analisar várias estratégias de resolução.
Desenvolvimento da aula
1.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Organização
Iniciar a aula cumprimentando a turma e apresentando o sumário.
Entregar as fichas de trabalho recolhidas na aula anterior.
Distribuir a ficha de trabalho com a tarefa e exercícios que serão propostos nesta
aula.
Explicar a metodologia de trabalho para a aula (resolução de tarefas e posterior
discussão das mesmas em turma; e realização das atividades na ficha de trabalho
para posterior análise no âmbito de um estudo de cariz investigativo).
2.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Exposição de Temas
Introduzir os seguintes temas: inequações equivalentes, temos semelhantes e
terminologia de uma inequação.
Relembrar:
Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes.
Escrever no quadro:
Duas inequações dizem-se equivalentes quando têm o mesmo conjunto-solução.
Solicitar exemplos de inequações equivalentes. Escrever no quadro:
Exemplos de inequações equivalentes
x < 1 +1 e x < 2 são inequações equivalentes, sendo o conjunto-solução de ambas
C.S. = ]-∞; 2[
200
Observar:
Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte literal (termos com incógnita
ou termos independentes).
Tal como já acontecia com as equações, para simplificar os membros de uma
inequação, podemos adicionar os termos semelhantes. Por exemplo, a inequação
2x > 11 + 7 tem termos semelhantes (11 e 7), então temos 2x > 11 + 7 2x > 18.
Solicitar exemplos de inequações com termos semelhantes. Escrever no quadro:
Exemplos de inequações com termos semelhantes
10x + 4 < 5x - 1 10x – 5x < –1 – 4 5x < -5 x < -1
C.S. = ]-∞; -1[
8 - 2x < x - 1 8 + 1 < x + 2x 9 < 3x 3
9< x 3 < x x > 3
C.S. = ]3; +∞[
Relembrar:
Uma equação tem sempre duas partes separadas pelo sinal de igual (=). Cada uma
dessas partes diz-se membro da equação: a que fica à esquerda do sinal é o 1.º
membro e a que fica à direita é o 2.º membro. Por exemplo na equação x + 20 = 100,
tem-se o 1.º Membro: x+20 e o 2.º membro: 100. Cada membro é composto por termos.
Salientar:
A terminologia usada nas equações mantém-se para as inequações, nomeadamente as
noções de membro, termo e incógnita.
Assim, uma inequação tem sempre duas partes separadas por um dos sinais de
desigualdade. O 1.º membro está à esquerda do sinal de desigualdade e o 2.º membro
está à direita.
Escrever no quadro:
Terminologia de uma inequação
Na inequação encontrada temos:
201
1.º membro da inequação: x + 20;
2.º membro da inequação: 100;
Termos do 1.º membro: x e 20 (dois termos);
Termos do 2.º membro: 100 (um termo);
Incógnita: x;
Termos com incógnita: x;
Termos independentes: 20 e 100.
3.º Momento [Tempo (15 minutos)] – Introdução dos Princípios de Equivalência
Distribuir a ficha onde são indicados os princípios de equivalência e as regras
práticas usadas para resolver inequações do 1.º grau. Esta ficha será utilizada
durante a resolução da Tarefa 1.
Ler em conjunto a referida ficha de forma a introduzir os princípios de
equivalência para posterior aplicação na resolução da Tarefa 1.
Apresentar exemplos de aplicação desses princípios de equivalência para
facilitar a compreensão dos mesmos.
Colocar a questão:
Como resolver a inequação x – 2 < 5?
Referir:
Tal como nas equações, queremos isolar o x.
Recordar a Regra da Adição em desigualdades numéricas (estudada no subtópico de
Operações e Relações de Ordem em |R):
Se adicionarmos ou subtrairmos a mesma quantidade a ambos os membros de uma
desigualdade, então o sentido da desigualdade mantém-se. Exemplo, 6<8 6+3<8 +3.
a < b a + c < b + c (com a, b, c |R)
Nota: Esta propriedade é válida para todos os tipos de desigualdades (<, ≤, > e ≥).
202
Leitura do 1º Princípio de Equivalência (na folha dada aos alunos):
1º Princípio de Equivalência
Quando somamos ou subtraímos o mesmo número a ambos os membros de uma
inequação obtemos uma inequação equivalente à primeira.
Deste princípio de equivalência surge a seguinte regra prática:
Numa inequação podemos mudar um termo de um membro para o outro, trocando-lhe
o sinal, sendo a inequação obtida equivalente à primeira.
Referir:
Então, para resolvermos a inequação x – 2 <5, adicionámos 2 a cada um dos membros
da inequação.
Escrever no quadro:
x – 2 < 5 x – 2 + 2 < 5 + 2 x < 7
C.S. = ]-∞; 7[
Colocar a questão:
Como resolver a inequação 3x < 6?
Referir:
Queremos isolar o x.
Recordar as Regras da Multiplicação em desigualdades numéricas:
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma desigualdade por um
número positivo, o sentido da desigualdade mantém-se. Exemplo,
2 < 10 2 × 2 <10 × 2 4 < 20.
a < b a × c < b × c (com a, b|R e c > 0)
Se multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma desigualdade por um
número negativo, o sentido da desigualdade inverte-se. Exemplo,
2 < 10 2 × (-2) > 10 × (-2) -4 > -20.
a < b a × c > b × c (com a, b|R e c < 0)
203
Salientar:
Dividindo por 2, obtém-se: 2 < 10 2
10
2
2 1 < 5
Dividindo por -2, obtém-se: 2 < 10 2
10
2
2
-1 > - 5
Repara que dividir por 2 é o mesmo que multiplicar por 2
1 e dividir por -2 é o
mesmo que multiplicar por 2
1 .
Leitura do 2º Princípio de Equivalência (na folha dada aos alunos):
2º Princípio de Equivalência
Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma inequação pelo mesmo
número diferente de zero, obtemos uma inequação equivalente, mantendo-se o sentido
da desigualdade se o número for positivo e invertendo o sentido da desigualdade se o
número for negativo.
Deste princípio de equivalência surge a seguinte regra prática:
Numa inequação,
- se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma inequação por um
número negativo inverte-se o sentido da desigualdade,
- se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros da inequação por um número
positivo mantém-se o sentido da desigualdade.
Salientar:
Existem duas regras para a resolução de inequações que não mudam em relação às
regras conhecidas para as equações (que correspondem à transposição de termos e
multiplicação de ambos os membros por um mesmo número positivo), mas existe uma
regra que é diferente (que diz respeito à multiplicação de ambos os membros por um
mesmo número negativo). (Ponte et al., 2009, pág.156)
Referir:
Para isolarmos a incógnita, x, na inequação 3x <6, dividimos ambos os membros da
inequação pelo coeficiente de x, neste caso, 3 (coeficiente positivo).
204
Escrever no quadro:
3x < 6 3
3x<
3
6 x < 2
C.S. = ]-∞; 2[
Colocar a questão:
Como resolver a inequação -3x < 6?
Referir:
Como o coeficiente de x é negativo (-3), ao dividirmos ambos os membros da
inequação por -3, invertemos o sentido da desigualdade.
Escrever no quadro:
-3x < 6 3
3
x>
3
6
x > -2
C.S. = ]-2; +∞ [
ou
-3x < 6 -3x×(-1) > 6×(-1)
3x > -6 3
3x>
3
6
x > -2
C.S. = ]-2; +∞ [
4.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Resolução da Tarefa 1 (apresentada a seguir)
Anunciar o tempo disponível (de 10 minutos) para a realização da Tarefa 1.
Pedir para os alunos realizarem a Tarefa 1 na ficha de trabalho.
Os alunos resolvem, aos pares, a Tarefa 1.
Tarefa 1
A seguir, apresentam-se as resoluções de várias inequações. Completa-as.
a) x – 4 < 10 x – 4 + __ < 10 + __
x < __
C.S. = ] __ , __ [
b) x + 2 ≥ 1
x + 2 – __ ≥ 1 – __
x ≥ __
C.S. = [ __ , __ [
205
c) 2x < 10 _
2x <
_
10
x < __
C.S. = ] __ , __ [
d) -8x < 24 __× (-8x) > __× 24
_
8x >
_
24
x > __
C.S. = ] __ , __ [
e) 2x – 7 > 11 2x > 11 +__
2x > __
_
2x >
_
18
x > __
C.S. = ] __ , __ [
f) –4x – 2 ≥ –x –4x ≥ –x + __
__
__
x ≤ __
C.S. = ] __ , __ ]
(Adaptado da Tarefa 4 do Manual PI 9, 2012)
Objetivos de aprendizagem:
f) Recordar a regra da adição e as regras da multiplicação já estudadas em
desigualdades numéricas no âmbito do tópico dos Números Reais [com todas as
alíneas].
g) Conhecer os princípios de equivalência e as regras práticas usadas para resolver
inequações do 1.º grau [com todas as alíneas].
h) Verificar que as regras de resolução de inequações não mudam em relação às regras
das equações na transposição de termos [com as alíneas a) e b)] e na multiplicação
de ambos os membros por um mesmo número positivo [com as alíneas c) e e)]; e
são diferentes na multiplicação de ambos os membros por um mesmo número
negativo [com as alíneas d) e f)].
i) Resolver inequações simples do 1.º grau recorrendo às regras de resolução [com
todas as alíneas].
5.º Momento [Tempo (20 minutos)] – Exposição e Discussão da Tarefa 1
Expor no quadro a Tarefa 1 com a participação dos alunos. Utiliza-se esta
estratégia de trabalho, pois serão aplicados pela primeira vez os princípios de
equivalência na resolução de inequações do 1.º grau com termos semelhantes.
206
Colocar a questão:
Como resolver a equação x – 4 = 10?
Relembrar:
x – 4 = 10 x – 4 + 4 = 10 + 4 x = 14
Colocar a questão:
Como resolver a inequação x – 4 < 10?
Referir:
Tal como nas equações, também na resolução de uma inequação queremos isolar a
incógnita num dos membros.
Então, para resolvermos a inequação x – 4 <10, adicionámos 4 a cada um dos membros
da inequação (isto é, aplicamos o 1.º princípio de equivalência para resolver
inequações).
Escrever no quadro:
x – 4 = 10 x – 4 + 4 = 10 + 4 x = 14
C.S. = {14}
Resolução da alínea a):
x – 4 < 10 x – 4 + 4 < 10 + 4 x < 14
Escrever no quadro:
Conjunto-solução da inequação
Representação gráfica:
Representação na forma de um intervalo de
números reais:
C.S. = ]-∞; 14[
b)
Colocar a questão:
Como resolver a equação x + 2 = 1?
207
Relembrar:
x + 2 = 1 x + 2 - 2 = 1 -2 x = -1
Colocar a questão:
Como resolver a inequação x + 2 ≥ 1?
Referir:
Subtraímos o número 2 a ambos os membros da inequação, (isto é, aplicamos o 1.º
princípio de equivalência para resolver inequações).
Escrever no quadro:
x + 2 = 1 x + 2 - 2 = 1 -2 x = -1
C.S. = {-1}
Resolução da alínea b):
x + 2 ≥ 1 x + 2 - 2 ≥ 1 -2 x ≥ -1
Escrever no quadro:
Conjunto-solução da inequação
Representação gráfica:
Representação na forma de um intervalo de
números reais:
C.S. = [-1; +∞[
c)
Colocar a questão:
Como resolver a inequação 2x < 10?
Então, para isolarmos a incógnita, x, na inequação 2x < 10, dividimos ambos os
membros da inequação pelo coeficiente de x, neste caso, 2 (coeficiente positivo) (isto
é, aplicamos o 2.º princípio de equivalência para resolver inequações).
208
Escrever no quadro:
2x = 10 2
2x=
2
10 x = 5
C.S. = {5}
Resolução da alínea c):
2x < 10 2
2x<
2
10 x < 5
C.S. = ]-∞; 5[
d)
Colocar a questão:
Como resolver a inequação -8x < 24?
Referir:
Como o coeficiente de x é negativo (-8), ao dividirmos ambos os membros da
inequação por -8, invertemos o sentido da desigualdade (isto é, aplicamos o 2.º
princípio de equivalência para resolver inequações).
Escrever no quadro:
-8x=248
8
x=
8
24
x =-3
C.S. = {-3}
-8x < 24 8
8
x>
8
24
x > -3
C.S. = ]-3; +∞[
Referir:
Alternativamente, podemos multiplicar ambos os membros da inequação, -8x < 24, por
-1, e a seguir, resolvemos da mesma forma que anteriormente.
Escrever no quadro:
-8x =24 (-1)×(-8x) = (-1)× 24
8x=-248
8x=
8
24 x = -3
C.S. = {-3}
Resolução da alínea d):
-8x < 24 (-1) × (-8x) > (-1) × 24
8x > -24 8
8x>
8
24 x > -3
C.S. = ]-3; +∞[
209
Salientar:
Nas mudanças de membro os sinais dos coeficientes da variável mantêm-se tal como
nas equações. O que muda é o < para > e o > para <, e muda apenas quando o número
que passa a multiplicar ou a dividir é negativo.
Na prática, numa inequação, se o coeficiente da incógnita:
- estiver a multiplicar, passamo-lo para o outro membro a dividir;
- estiver a dividir, passamo-lo para o outro membro a multiplicar.
e)
Resolução da alínea e):
;9..
18
2
18
2
2
182
71121172
SC
x
x
x
xx
f)
Resolução da alínea f):
3
2;..
3
2
23
24
2424
SC
x
x
xx
xxxx
6.º Momento [Tempo (25 minutos)] – Resolução de algumas alíneas do Exercício 1
(alíneas 1.1., 1.3., 1.4. e 1.6., Manual PI 9, pág. 116)
Anunciar o tempo disponível (30 minutos) para a realização das alíneas do
Exercício 1.
Pedir para os alunos realizarem o Exercício 1 na ficha de trabalho.
210
Os alunos resolvem, aos pares, algumas alíneas do Exercício 1.
Exercício 1
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 116)
Objetivos de aprendizagem:
j) Resolver inequações do 1.º grau a uma incógnita utilizando as regras de resolução
[com todas as alíneas].
k) Representar o conjunto-solução de uma inequação na forma de um intervalo de
números reais [com todas as alíneas].
7.º Momento [Tempo (15 minutos)] – Exposição e Discussão do Exercício 1 (alíneas
1.1., 1.3., 1.4. e 1.6., Manual PI 9, pág. 116)
Os alunos expõem no quadro, com discussão coletiva em turma, a resolução do
Exercício 1. Espera-se que os alunos apliquem os conhecimentos já adquiridos,
nomeadamente as regras de resolução de inequações do 1.º grau introduzidas
nesta aula.
Resolução do Exercício 1:
1.1.
,3..
358
585585
SC
xx
xx
1.3.
,14..
14
14113311
SC
j
jjj
211
1.4.
8
5,..
8
55885
35949543
SC
bbb
bbbb
1.6.
4
3,..
4
334
4781278412
SC
ff
ffff
Discussão do Exercício 1:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução das alíneas 1.1., 1.3., 1.4. e
1.6. do Exercício 1 exposto no quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
Perguntar se foi utilizado algum dos dois princípios de equivalência.
Perguntar se algum aluno adotou outra estratégia para resolver a inequação.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Se não, salientar que podemos utilizar outras estratégias de resolução. Por
exemplo, alternativamente, temos
1414311311 jjjj (alínea 1.3.)
8
5589453 bbbb (alínea 1.4.)
4
334
431287478412
ff
fffff
(alínea 1.6.)
8.º Momento [Tempo (5 minutos)]
Indicar o trabalho de casa: Exercício 1 (alíneas 1.5. e 1.7.) da página 116 do
manual.
Recolher as fichas de trabalho de todos os alunos para posterior análise no
âmbito do estudo de cariz investigativo.
Avaliação:
Apreciação do desempenho e dúvidas dos alunos aquando dos momentos de
trabalho e discussão coletiva.
212
Análise das produções escritas dos alunos.
Colaboração com o professor e com os colegas na resolução/discussão dos
exercícios.
Interesse/participação demonstrado durante a aula.
Comportamento na sala de aula.
213
Anexo 5: Plano de Aula n.º 3
Disciplina: Matemática 9.º Ano, Turma B
3.º Período – 2012/2013
Tema Matemático: Álgebra
Tópico: Inequações
Subtópico: Inequações do 1º grau a uma incógnita
Aulas n.º 124
Data: 18 de Abril de 2013, quinta-feira
Duração: 50 minutos (1/2 bloco)
Sumário:
Correção do trabalho de casa. Inequações do 1.º grau com parênteses e
denominadores. Resolução de exercícios. Entrega dos testes intermédios e
respetiva correção.
Conceitos/Conteúdos:
Inequações do 1.º grau com parênteses e denominadores.
Objetivos específicos:
Resolver inequações do 1.º grau com parênteses e denominadores utilizando as
regras de resolução.
Verificar em que casos as regras de resolução de inequações com parênteses e
denominadores não mudam em relação às regras utilizadas para resolver as
equações com parênteses e denominadores e em que casos são diferentes.
Representar o conjunto-solução de uma inequação com parênteses e
denominadores, graficamente e na forma de intervalo de números reais.
Salientar a necessidade de escolher soluções de uma inequação tendo em conta o
contexto da situação.
Conhecimentos prévios dos alunos:
Efetuar operações com polinómios, adição algébrica e multiplicação.
Compreender e utilizar os casos notáveis da multiplicação de binómios.
Conhecer os princípios de equivalência e as regras da resolução de equações.
214
Resolver equações do 1.º grau utilizando as regras de resolução.
Materiais/Recursos:
Manual PI 9
Fichas de Trabalho n.º 2 e 3 (em anexo) com os exercícios propostos nesta aula e
respetivos espaços para a sua resolução.
Calculadora
Metodologia de trabalho:
Resolução da atividade proposta:
o Os alunos realizam, de forma autónoma e aos pares, a atividade.
o O trabalho deverá ser interrompido se se verificarem muitas dificuldades
na realização das questões, e os possíveis esclarecimentos serão feitos
coletivamente em turma.
o O professor circula pela sala e recolhe dados para a avaliação (como a
participação no trabalho e o envolvimento no mesmo) e para o posterior
momento da discussão.
Exposição no quadro da resolução da atividade proposta pelo aluno:
o O(s) aluno(s), selecionado(s) pelo professor, expõe(m) no quadro a(s)
sua(s) resolução(ões). Esta estratégia é utilizada na resolução do
Exercício 1 da Ficha de Trabalho n.º 2, pois pretende-se que os alunos
consolidem os acontecimentos anteriormente obtidos. Os critérios de
seleção serão um dos três consoante os casos:
Incentivar a participação de todos os alunos: O aluno ainda não
realizou nenhum exercício no quadro durante a aula.
Reforçar positivamente o interesse do aluno: O aluno manifestou
interesse na exposição da sua resolução.
Explorar várias estratégias de resolução: O aluno utilizou uma
estratégia de resolução que seria interessante explorar.
Discussão em grande grupo com toda a turma:
o O aluno terá um papel explorador.
215
o O professor terá um papel de orientador e um discurso interrogativo com
o objetivo de analisar várias estratégias de resolução.
Desenvolvimento da aula
1.º Momento [Tempo (2 minutos)] – Organização
Iniciar a aula cumprimentando a turma e apresentando o sumário.
Entregar a Ficha de Trabalho n.º 2 recolhida na aula anterior.
Explicar a metodologia de trabalho para a aula (resolução de tarefas e posterior
discussão das mesmas em turma; e realização das atividades na ficha de trabalho
para posterior análise no âmbito de um estudo de cariz investigativo).
2.º Momento [Tempo (15 minutos)] – Resolução de algumas alíneas do Exercício 1
(alíneas 1.1., 1.3., 1.4. e 1.6., Manual PI 9, pág. 116)
Anunciar o tempo disponível (15 minutos) para a realização das alíneas do
Exercício 1.
Pedir para os alunos realizarem o Exercício 1 na Ficha de Trabalho n.º 2.
Os alunos resolvem, aos pares, algumas alíneas do Exercício 1.
Exercício 1
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 116)
Objetivos de aprendizagem:
Resolver inequações do 1.º grau a uma incógnita utilizando as regras de resolução
[com todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma inequação na forma de um intervalo de
números reais [com todas as alíneas].
3.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Exposição e Discussão do Exercício 1 (alíneas
1.1., 1.3., 1.4. e 1.6., Manual PI 9, pág. 116)
216
Os alunos expõem no quadro, com discussão coletiva em turma, a resolução do
Exercício 1. Espera-se que os alunos apliquem os conhecimentos já adquiridos,
nomeadamente as regras de resolução de inequações do 1.º grau introduzidas
nesta aula.
Resolução do Exercício 1:
1.1.
,3..
358
585585
SC
xx
xx
1.3.
,14..
14
14113311
SC
j
jjj
1.4.
8
5,..
8
55885
35949543
SC
bbb
bbbb
1.6.
4
3,..
4
334
4781278412
SC
ff
ffff
Discussão do Exercício 1:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução das alíneas 1.1., 1.3., 1.4. e
1.6. do Exercício 1 exposto no quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
Perguntar se foi utilizado algum dos dois princípios de equivalência.
Perguntar se algum aluno adotou outra estratégia para resolver a inequação.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Se não, salientar que podemos utilizar outras estratégias de resolução. Por
exemplo, alternativamente, temos
1414311311 jjjj (alínea 1.3.)
217
8
5589453 bbbb (alínea 1.4.)
4
334
431287478412
ff
fffff
(alínea 1.6.)
Na alínea 1.1., salientar que na aplicação do 1.º Princípio de Equivalência, adicionamos
a 5 o seu simétrico para obtermos o zero (elemento neutro da adição), e assim isolarmos
o x no primeiro membro da inequação: 585585 xx .
4.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Exposição e Discussão do Trabalho de Casa:
Exercício 1 (alíneas 1.5. e 1.7.) da página 116 do manual
Dois alunos, que tenham realizado o trabalho de casa, expõem no quadro a
resolução das alíneas 1.5. e 1.7. do Exercício 1, respetivamente. A seguir, é
realizada a discussão coletiva em turma. Utiliza-se esta estratégia de trabalho,
pois espera-se que os alunos apliquem os conhecimentos já adquiridos,
nomeadamente as regras de resolução de inequações do 1.º grau introduzidas na
aula anterior.
Resolução do Exercício 1:
1.5.
2,..
22
25353
SC
gg
ggg
1.7.
3
4,..
3
4
9
12129
12636312
SC
aaa
aaaa
Discussão do Exercício 1:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução das alíneas 1.5. e 1.7. do
Exercício 1 exposta no quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
218
Perguntar se foi utilizado algum dos dois princípios de equivalência.
Perguntar se algum aluno adotou outra estratégia para resolver a inequação.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Se não, salientar que podemos utilizar outras estratégias de resolução. Por
exemplo, alternativamente, temos
23553 ggg (alínea 1.5.)
3
4
9
12129
91236126312
aaa
aaaaa
(alínea 1.7.)
5.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Exposição do Tema da Aula
Introduzir o tema da aula: Passos a seguir na resolução de inequações com
parênteses e denominadores.
Referir:
Se uma inequação tiver parênteses e denominadores, procedemos como para as
equações com parênteses e denominadores.
Escrever no quadro:
Passos a seguir na resolução de inequações (com parênteses e denominadores)
1.º Passo: Desembaraçar de parênteses.
2 – x5
7 ≥
2
3(x – 3) 2 – x
5
7 ≥
2
3x –
2
9
2.º Passo: Reduzir ao mesmo denominador.
101
2
–
x
25
7
≥
52
3
x –
52
9
10
20 – x
10
14 ≥
10
15x –
10
45
3.º Passo: Desembaraçar de denominadores multiplicando ambos os membros da
inequação por 10.
20 – 14x ≥ 15x – 45
4.º Passo: Agrupar os termos semelhantes.
– 14x – 15x ≥ –45 – 20
5.º Passo: Reduzir os termos semelhantes.
219
– 29x ≥ –65
6.º Passo: Usar as regras de multiplicação.
29x ≤ 65 x ≤ 29
65 (Multiplicou-se por -1 e inverteu-se o sinal da desigualdade.)
7.º Passo: Apresentar o conjunto-solução.
C.S. =
29
65;
Manter no quadro os seguintes passos:
Passos a seguir na resolução de inequações (com parênteses e denominadores)
1.º Passo: Desembaraçar de parênteses.
2.º Passo: Reduzir ao mesmo denominador.
3.º Passo: Desembaraçar de denominadores.
4.º Passo: Agrupar os termos semelhantes.
5.º Passo: Reduzir os termos semelhantes.
6.º Passo: Usar as regras de multiplicação.
7.º Passo: Apresentar o conjunto-solução.
Nota: Não deves seguir esta ordem em todos os casos, deves escolher por ti próprio o
caminho mais conveniente, conforme o caso.
Referir:
Quando resolvemos uma inequação, podemos isolar as incógnitas no membro em que
fiquem com coeficientes positivos. Assim, não nos enganamos nos sinais. Por exemplo,
na inequação anterior poderíamos utilizar outra estratégia de resolução alternativa.
Escrever no quadro:
Outra resolução alternativa:
20 – 14x ≥ 15x – 45 20 + 45 ≥ 15x + 14x 65 ≥ 29x 29
65 ≥ x x ≤
29
65
Relembra o seguinte: 1 ≤ x x ≥ 1.
6.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Resolução de algumas alíneas do Exercício 4
(alíneas 4.1. e 4.2., Manual PI 9, pág. 117)
220
Distribuir a Ficha de Trabalho n.º 3.
Anunciar o tempo disponível (de 10 minutos) para a realização das alíneas do
Exercício 4.
Pedir para os alunos realizarem essas alíneas do Exercício 4 na ficha de trabalho.
Os alunos resolvem, aos pares, as referidas alíneas do Exercício 4.
Exercício 4
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 117)
Objetivos de aprendizagem:
Resolver inequações do 1.º grau a uma incógnita, com parênteses e denominadores,
utilizando as regras de resolução [com todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma inequação com parênteses e denominadores
na forma de intervalo de números reais [com todas as alíneas].
7.º Momento [Tempo (2 minutos)]
Indicar para trabalho de casa exercícios do manual: Exercício 6 (alíneas 6.2 e
6.3) da página 117 e o Exercício 8 da página 123 (apresentados a seguir).
Recolher as fichas de trabalho de todos os alunos para posterior análise no
âmbito do estudo de cariz investigativo.
Exercício 6
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 117)
221
Objetivos de aprendizagem:
Investigar se um dado número é solução de uma inequação sem utilizar as regras de
resolução [com todas as alíneas].
Exercício 8
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Objetivos de aprendizagem:
Investigar os erros cometidos na resolução de uma inequação usando as regras de
resolução [com a alínea 8.1.].
Corrigir a resolução de uma inequação [com a alínea 8.2.].
Avaliação:
Apreciação do desempenho e dúvidas dos alunos aquando dos momentos de
trabalho e discussão coletiva.
Análise das produções escritas dos alunos.
Colaboração com o professor e com os colegas na resolução/discussão dos
exercícios.
Interesse/participação demonstrado durante a aula.
Comportamento na sala de aula.
222
223
Anexo 6: Plano de Aula n.º 4
Disciplina: Matemática 9.º Ano, Turma B
3.º Período – 2012/2013
Tema Matemático: Álgebra
Tópico: Inequações
Subtópico: Inequações do 1º grau a uma incógnita
Aulas n.º 125 e 126
Data: 22 de Abril de 2013, segunda-feira
Duração: 100 minutos (1 bloco)
Sumário:
Correção do trabalho de casa. Continuação da resolução de inequações.
Resolução de situações problemáticas usando inequações.
Conceitos/Conteúdos:
Passos para a resolver situações problemáticas usando inequações do 1.º grau.
Objetivos específicos:
Consolidar as aprendizagens realizadas nas tarefas anteriores, nomeadamente a
resolução de inequações do 1.º grau envolvendo situações problemáticas.
Interpretar e traduzir uma situação problemática (em linguagem natural) por
meio de uma inequação.
Formular uma situação problemática usando uma inequação.
Estabelecer conexão entre temas do Programa de Matemática em vigor, mais
precisamente a Álgebra.
Conhecimentos prévios dos alunos:
Conhecer o conjunto dos números reais.
Representar de várias formas subconjuntos de números reais.
Compreender as noções de inequação do 1.º grau, solução de uma inequação e
conjunto-solução de uma inequação.
Conhecer as regras de resolução de inequações do 1.º grau.
224
Resolver inequações do 1.º grau utilizando as regras de resolução.
Salientar a necessidade de escolher soluções de uma inequação tendo em conta o
contexto da situação.
Materiais/Recursos:
Manual PI 9
Ficha de Trabalho n.º 3 (em anexo) com um exercício do manual e espaço para a
sua resolução
Ficha de Trabalho n.º 4 (em anexo) com uma tarefa e exercícios do manual, e
respetivos espaços para a sua resolução
Calculadora
Metodologia de trabalho:
Resolução da atividade proposta:
o Os alunos realizam, de forma autónoma e aos pares, a atividade.
o O trabalho deverá ser interrompido se se verificarem muitas dificuldades
na realização das questões, e os possíveis esclarecimentos serão feitos
coletivamente em turma.
o O professor circula pela sala e recolhe dados para a avaliação (como a
participação no trabalho e o envolvimento no mesmo) e para o posterior
momento da discussão.
Exposição no quadro da resolução da atividade proposta pelo aluno:
o O(s) aluno(s), selecionado(s) pelo professor, expõe(m) no quadro a(s)
sua(s) resolução(ões). Esta estratégia é utilizada na resolução de todos os
exercícios da ficha de trabalho, pois pretende-se que os alunos
consolidem os acontecimentos anteriormente obtidos. Os critérios de
seleção serão um dos três consoante os casos:
Incentivar a participação de todos os alunos, nomeadamente
daqueles que ainda não realizaram nenhum exercício no quadro
durante a aula.
Reforçar positivamente o interesse manifestado pelos alunos
relativamente à exposição das suas resoluções no quadro.
225
Explorar várias estratégias de resolução utilizadas pelos alunos.
Discussão em grande grupo com toda a turma:
o O aluno terá um papel explorador.
o O professor terá um papel de orientador e um discurso interrogativo com
o objetivo de analisar várias estratégias de resolução.
Desenvolvimento da aula
1.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Organização
Iniciar a aula cumprimentando a turma e apresentando o sumário.
Entregar a todos os alunos a Ficha de Trabalho n.º 2 (em anexo) recolhida na
aula anterior.
Explicar a metodologia de trabalho para a aula:
o Correção do trabalho de casa.
o Resolução de tarefas e posterior discussão das mesmas em turma.
o Realização das atividades na respetiva ficha de trabalho para posterior
análise no âmbito de um estudo de cariz investigativo.
2.º Momento [Tempo (13 minutos)] – Exposição e Discussão do Trabalho de Casa:
Exercício 1 (alíneas 1.5. e 1.7.) da página 116, Exercício 6 (alíneas 6.2. e 6.3.) da página
117 e Exercício 8 da página 123, todos do manual
Cinco alunos que tenham realizado o trabalho de casa, expõe no quadro a
resolução dos Exercícios 1.5., 1.7., 6.2., 6.3. e 8, respetivamente. A seguir, é
realizada a discussão coletiva em turma. Utiliza-se esta estratégia de trabalho,
pois espera-se que os alunos apliquem os conhecimentos já adquiridos, mais
precisamente resolvam inequações do 1.º grau usando os dois princípios de
equivalência e determinem se um determinado número é solução de uma
inequação sem a resolver.
226
Exercício 1
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 116)
Objetivos de aprendizagem:
Resolver inequações do 1.º grau a uma incógnita utilizando as regras de resolução
[com todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma inequação na forma de um intervalo de
números reais [com todas as alíneas].
Resolução do Exercício 1:
1.5.
2,..
2
3553
SC
g
gg
1.7.
3
4,..
3
4
9
12129
12636312
SC
aaa
aaaa
Discussão do Exercício 1:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução das alíneas 1.5. e 1.7. do
Exercício 1 exposta no quadro.
Perguntar se algum aluno adotou outra estratégia para resolver cada inequação.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Se não, salientar que podemos utilizar outras estratégias de resolução.
Assim, se a resolução de cada inequação, exposta no quadro por alunos,
corresponder à apresentada anteriormente, acrescenta-se a respetiva
resolução alternativa indicada a seguir e vice-versa.
227
Escrever no quadro:
Resoluções alternativas:
1.5.
2,..
2
)2()1()()1(
ou
1
2
1
22
5353
SC
g
g
g
gg
gg
1.7.
3
4,..
3
4
9
12
)12()1()9()1(
ou
9
12
9
9
129912
36126312
SC
aa
a
a
aa
aaaa
Equivalências:
1 ≤ x x ≥ 1
2 ≥ x x ≤ 2
2 > x x < 2
22 gg (resolução alternativa da alínea 1.5.)
129912 aa (resolução alternativa da alínea 1.7.)
Representação de símbolos:
correta: +∞ / incorreta: ∞+
correta: -∞ / incorreta: ∞-
Representação de intervalos de números reais:
correta: ]-∞, 2] / incorreta: ]-∞, 2[ ou {-∞, 2} (alínea 1.5.)
Salientar:
Não é correto dizer-se que g ≤ 2 é solução da inequação (alínea 1.5.).
228
Nota:
Com as indicações anteriores, pretende-se que os alunos ultrapassem algumas das
dificuldades que revelaram nas aulas anteriores.
Exercício 6
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 117)
Objetivos de aprendizagem:
Investigar se um dado número é solução de uma inequação sem utilizar as regras de
resolução [com todas as alíneas].
Resolução do Exercício 6:
6.2.
2
48 +10 < 8
–2 +10 < 8
8 < 8 Proposição falsa
Resposta: O número 8 não é solução da
inequação.
6.3.
2
43
26
+10 < 3
26
2
3
12
3
26
+10 < 3
26
2
3
14
+10 < 3
26
6
14 +10 <
3
26
6
14 +
6
60 <
6
52
46 < 52 Proposição verdadeira
Resposta: O número 26/3 é solução da
inequação.
229
Discussão do Exercício 6:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução das alíneas 6.2. e 6.3.
exposta no quadro.
Se a resolução exposta não estiver correta, pedir a um aluno que tenha encontrado a
solução correta para explicar o seu raciocínio.
Relembrar:
Para verificarmos se um determinado número é solução de uma dada inequação,
sem a resolver, substituímos a incógnita x por esse número e após a realização de
cálculos se obtivermos uma proposição verdadeira, significa que esse número é
solução dessa inequação, caso contrário esse número não é solução da inequação.
Exercício 8
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Objetivos de aprendizagem:
Investigar os erros cometidos na resolução de uma inequação usando as regras de
resolução [com a alínea 8.1.].
Corrigir a resolução de uma inequação [com a alínea 8.2.].
Resolução do Exercício 8:
8.1.
O José resolveu corretamente a inequação.
230
8.2.
O Francisco não trocou o sentido da desigualdade (de < para >) quando dividiu ambos
os membros da inequação por um número negativo (-6).
Discussão do Exercício 8:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução do Exercício 8 exposta no
quadro.
Perguntar se foi utilizado algum dos dois princípios de equivalência.
Perguntar se algum aluno adotou outra estratégia para resolver a inequação.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Se não, salientar que existe outra forma alternativa de resolver a inequação -6b <-36.
A seguir, expor essa resolução no quadro.
Perguntar qual é o conjunto-solução da inequação -6b <-36.
Perguntar como representamos por um intervalo de números reais o conjunto-
solução da inequação.
Salientar que os alunos podem analisar se a resolução de uma inequação está correta
sem a resolver (como foi realizado no Exercício 6), da seguinte forma:
Se a resolução do Francisco estivesse correta, teríamos -6b <-36 b < 6.
Então o 2, por exemplo, seria uma das soluções da inequação.
O número 2 é solução desta inequação?
-6×2 <-36 -12 < -36 Proposição falsa.
Assim, 2 não é solução da inequação. A resolução do Francisco está incorreta.
Então, foi o João que resolveu corretamente a inequação, pois o enunciado do
Exercício 8 refere que uma das resoluções está correta.
Escrever no quadro:
Resolução alternativa:
8.
-6b <-36 (–1)× (–6b) > (–1)× (-36)
6b > 36 b > 6
36 b > 6
C.S. = ]6, +[
231
3.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Relembrar o Tema da Aula Anterior
Escrever no quadro os passos usados para resolver inequações (com parênteses e
denominadores).
Escrever e manter no quadro durante a aula:
Passos a seguir na resolução de inequações (com parênteses e denominadores)
1.º Passo: Desembaraçar de parênteses.
2.º Passo: Reduzir ao mesmo denominador.
3.º Passo: Desembaraçar de denominadores.
4.º Passo: Agrupar os termos semelhantes.
5.º Passo: Reduzir os termos semelhantes.
6.º Passo: Usar as regras de multiplicação.
7.º Passo: Apresentar o conjunto-solução.
Relembrar:
Não deves seguir esta ordem em todos os casos, deves escolher por ti próprio o
caminho mais conveniente, conforme o caso.
4.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Resolução de algumas alíneas do Exercício 4
(alíneas 4.1. e 4.2.) da página 117 do manual
Distribuir a Ficha de Trabalho n.º 3.
Pedir para os alunos realizarem duas alíneas do Exercício 4 na ficha de trabalho.
Anunciar o tempo disponível (de 10 minutos) para a realização do Exercício 4.
Os alunos resolvem, aos pares, o Exercício 4.
Exercício 4
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 117)
232
Objetivos de aprendizagem:
Resolver inequações do 1.º grau a uma incógnita, com parênteses e denominadores,
utilizando as regras de resolução [com todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma inequação com parênteses e denominadores
na forma de um intervalo de números reais [com todas as alíneas].
5.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Exposição e Discussão do Exercício 4 (alíneas
4.1. e 4.2.) da página 117 do manual
Os alunos (que utilizaram estratégias interessantes a explorar) expõem no
quadro, com discussão coletiva em turma, a resolução do Exercício 4. Utiliza-se
esta estratégia, pois espera-se que os alunos consolidem os conhecimentos já
adquiridos, nomeadamente resolvam inequações do 1.º grau com parênteses e
denominadores utilizando as regras de resolução (assunto estudado na aula
anterior).
Resolução do Exercício 4:
4.1.
3
x – 4(x – 6) > –2 Desembaraçar de parênteses.
3
x–
34x +
324
> 3
2 Reduzir ao mesmo
denominador.
3
x –
3
12x +
3
72>
3
6 Desembaraçar de
denominadores.
x – 12x + 72 > – 6 Agrupar os termos
semelhantes.
x – 12x > – 6 – 72 Reduzir os termos
semelhantes.
–11x > –78 Usar as regras da multiplicação.
4.2.
-2
1
3
4x ≤ 5
3
8
3
2
x + 2 ≤ 5
13
2
x+
13
8
+
31
2
≤
31
5
3
2x+
3
8+
3
6≤
3
15
–2x +8 + 6 ≤ 15
–2x ≤ 15 – 8 - 6
–2x ≤ 1
233
)78()1()11()1(
ou
11
78
11
11
x
x
x < 11
78
C.S. =
11
78, Apresentar o conjunto-solução
1)1()2()1(
ou
2
1
2
2
x
x
x ≥ 2
1
C.S. =
,
2
1
Discussão do Exercício 4:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução dos Exercícios 4.1. e 4.2.
exposta no quadro.
Perguntar se algum aluno adotou outra estratégia para resolver cada inequação.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Se não, salientar que existem outras formas alternativas de resolução.
Assim, se a resolução de cada inequação, exposta no quadro por alunos,
corresponder à apresentada anteriormente, acrescenta-se a respetiva
resolução alternativa indicada a seguir e vice-versa.
Salientar:
Quando resolvemos inequações, devemos necessariamente representar o conjunto-
solução de uma inequação graficamente e/ou na forma de um intervalo de números
reais (mesmo que este não seja pedido), pois resolver uma inequação consiste em
determinar esse conjunto.
234
Escrever no quadro:
Resoluções alternativas:
4.1.
3
x – 4(x – 6) > –2 Desembaraçar de parênteses.
3
x – 4x + 24 > –2 Agrupar os termos
semelhantes.
3
x – 4x > –2 – 24 Reduzir os termos
semelhantes.
3
x – 4x > –26
3
x –
34x >
326
Reduzir ao mesmo
denominador.
3
x –
3
12x >
3
78 Desembaraçar de
denominadores.
x – 12x > – 78
–11x > –78 Usar as regras da multiplicação.
)78()1()11()1(
ou
11
78
11
11
x
x
x < 11
78
C.S. =
11
78, Apresentar o conjunto-solução.
4.2.
–2
1
3
4x ≤ 5
3
8
3
2
x + 2 ≤ 5
3
2x ≤ 5 – 2 –
3
8
3
2x ≤ 3 –
3
8
13
2
x ≤
133
8
1
3
3
2x ≤
3
8
3
9
–2x ≤ 9 – 8
–2x ≤ 1
1)1()2()1(
ou
2
1
2
2
x
x
x ≥ 2
1
C.S. =
,
2
1
235
Nota:
Dois dos possíveis erros que os alunos poderão revelar:
Adição (ou subtração) de frações com denominadores diferentes;
Aplicação do 2.º Princípio de Equivalência. Devido a tal fato, são indicadas nas
resoluções apresentadas acima as duas formas alternativas de aplicação deste
principio.
6.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Resolução da Tarefa 1 (apresentada a seguir)
Distribuir a Ficha de Trabalho n.º 4.
Pedir para os alunos realizarem a Tarefa 1 na ficha de trabalho.
Anunciar o tempo disponível (de 10 minutos) para a realização da Tarefa 1.
Os alunos resolvem, aos pares, a Tarefa 1.
Tarefa 1
a) Que valores pode ter k para que k + 5 seja superior a 5?
b) Pensei num número. De seguida subtrai-lhe 10 e depois multipliquei por 5. Obtive
um número menor que 25. Em que número pensei inicialmente?
c) Pensei num número, multipliquei-o por 2 e depois somei-lhe 7. Obtive um número
superior a 35. Escreve uma expressão que traduza esta situação.
d) Inventa um enunciado de um problema que corresponda à seguinte inequação:
b + 7 > 40
e) Considera a seguinte tabela com sete palavras e o respetivo número de letras de
cada palavra:
Palavra Número de letras
Lápis 5
Segundo 7
Sim 3
Calcular 8
Boneca 6
Pé 2
Casa 4
Escolhemos uma palavra da tabela. Utiliza a letra x para representar o número de letras
236
dessa palavra. Determina a palavra escolhida a partir das seguintes informações: o
dobro do número de letras dessa palavra adicionado a um é inferior ao número de letras
da palavra “segundo”. Escreve uma expressão que traduza essa situação. Qual é essa
palavra?
(Adaptado de Traldi Júnior, 2002)
Objetivos de aprendizagem:
Traduzir por meio de uma inequação uma situação problemática apresentada por
uma expressão algébrica [com a alínea a)].
Resolver uma inequação do 1.º grau [com as alíneas a) e b)].
Traduzir uma situação problemática apresentada em linguagem natural por uma
inequação [com a alínea b), c) e e)].
Formular uma situação problemática na linguagem natural descrita por meio de
uma inequação [com a alínea d)].
7.º Momento [Tempo (25 minutos)] – Exposição e Discussão da Tarefa 1
Os alunos (que utilizaram estratégias interessantes a explorar) expõem no
quadro, com discussão coletiva em turma, a resolução da Tarefa 1. Utiliza-se
esta estratégia, pois espera-se que os alunos traduzam uma situação problemática
apresentada na linguagem natural (ou por uma expressão algébrica) por meio de
uma inequação (mesmo no caso de não ser pedido essa tradução na pergunta),
formulem uma situação problemática a partir de uma inequação e resolvam
inequações do 1.º grau.
Resolução da Tarefa 1:
a)
k + 5 > 5 k > 0
C.S. = ]0; +∞[
b)
Identificação da incógnita:
x – representa o número em que pensei.
237
Resolução da inequação:
(x – 10) × 5 < 25 (x – 10) < 5 x < 15
C.S. = ]-∞, 15[
Resposta: Pensei num número menor que 15.
c)
Identificação da incógnita:
x – representa o número em que pensei.
Resposta: 2x + 7 > 35. Esta expressão é uma inequação do 1.º grau.
d)
Pensei num número adicionei-lhe 7 e obtive um número superior a 40.
e)
Identificação da incógnita:
x – representa o número de letras da palavra escolhida da tabela.
Resolução da inequação:
2x + 1 < 7 x < 3
C.S. = ]-∞, 3[
Resposta: A palavra escolhida é Pé.
Discussão da Tarefa 1:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução da Tarefa 1 exposta no
quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
Perguntar se algum aluno utilizou outra estratégia para resolver a Tarefa 1.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Salientar:
Nas situações problemáticas envolvendo inequações é importante que os alunos
saibam traduzir da linguagem natural para a linguagem algébrica expressões como
“mais do que”, “inferior a”, “pelo menos”, etc. Também é importante saber
formular uma situação problemática a partir de uma inequação.
238
Nota:
Nas duas primeiras alíneas pretende-se verificar que estratégias os alunos utilizam
para determinar um número que satisfaça uma dada condição. Provavelmente, os
alunos traduzirão a situação problemática através de uma inequação e resolverão
essa inequação. No caso, de alguns alunos calcularem de outra forma as alíneas a) e
b) (por exemplo, por tentativas) será pedido que exponham também as suas
resoluções no quadro, e expliquem os seus raciocínios.
8.º Momento [Tempo (15 minutos)] – Exposição do Tema da Aula
Introduzir o tema da aula: Passos a seguir para resolver situações problemáticas
envolvendo inequações do 1.º grau.
Escrever no quadro:
Passos a seguir para resolver situações problemáticas envolvendo inequações do 1.º
grau:
1.º Passo: Identificar a incógnita.
2.º Passo: Traduzir cada uma das informações da situação problemática por meio de
uma inequação.
3.º Passo: Resolver a inequação.
4.º Passo: Representar o conjunto-solução da inequação.
5.º Passo: Verificar se todas as soluções da inequação são soluções da situação
problemática.
9.º Momento [Tempo (2 minutos)]
Recolher as Fichas de Trabalho n.º 3 e 4 de todos os alunos para posterior
análise no âmbito do estudo de cariz investigativo.
Avaliação:
Apreciação do desempenho e dúvidas dos alunos aquando dos momentos de
trabalho e discussão coletiva.
Análise das produções escritas dos alunos.
Colaboração com o professor e com os colegas na resolução/discussão dos
exercícios.
Interesse/participação demonstrado durante a aula.
Comportamento na sala de aula.
239
Anexo 7: Plano de Aula n.º 5
Disciplina: Matemática 9.º Ano, Turma B
3.º Período – 2012/2013
Tema Matemático: Álgebra
Tópico: Inequações
Subtópico: Inequações do 1º grau a uma incógnita
Aulas n.º 127 e 128
Data: 23 de Abril de 2013, terça-feira
Duração: 100 minutos (1 bloco)
Sumário:
Continuação da resolução de situações problemáticas. Disjunção e conjunção de
inequações do 1.º grau. Entrega dos testes intermédios e respetiva correção.
Conceitos/Conteúdos:
Disjunção e conjunção de inequações do 1.º grau.
Objetivos específicos:
Consolidar as aprendizagens realizadas nas tarefas anteriores, nomeadamente a
resolução de inequações do 1.º grau envolvendo situações problemáticas.
Interpretar e traduzir uma situação problemática (em linguagem natural) por
meio de uma inequação.
Estabelecer conexão entre temas do Programa de Matemática em vigor, mais
precisamente a Álgebra e as Probabilidades.
Associar a disjunção de condições à reunião de conjuntos-solução.
Associar a conjunção de condições à interseção de conjuntos-solução.
Conhecimentos prévios dos alunos:
Conhecer o conjunto dos números reais.
Representar de várias formas subconjuntos de números reais.
Determinar o conjunto resultante da reunião de conjuntos.
Determinar o conjunto resultante da interseção de conjuntos.
240
Compreender as noções de inequação do 1.º grau, solução de uma inequação e
conjunto-solução de uma inequação.
Conhecer as regras de resolução de inequações do 1.º grau.
Resolver inequações do 1.º grau utilizando as regras de resolução.
Verificar a necessidade de escolher soluções de uma inequação tendo em conta o
contexto da situação.
Materiais/Recursos:
Manual PI 9
Ficha de Trabalho n.º 4 (em anexo) com uma tarefa e exercícios do manual, e
respetivos espaços para a sua resolução
Ficha de Trabalho n.º 5 (em anexo) com exercícios do manual e respetivos
espaços para a sua resolução
Calculadora
Metodologia de trabalho:
Resolução da atividade proposta:
o Os alunos realizam, de forma autónoma e aos pares, a atividade.
o O trabalho deverá ser interrompido se se verificarem muitas dificuldades
na realização das questões, e os possíveis esclarecimentos serão feitos
coletivamente em turma.
o O professor circula pela sala e recolhe dados para a avaliação (como a
participação no trabalho e o envolvimento no mesmo) e para o posterior
momento da discussão.
Exposição no quadro da resolução da atividade proposta pelo aluno:
o O(s) aluno(s), selecionado(s) pelo professor, expõe(m) no quadro a(s)
sua(s) resolução(ões). Esta estratégia é utilizada na resolução de todos os
exercícios das fichas de trabalho, pois pretende-se que os alunos
consolidem os acontecimentos anteriormente obtidos. Os critérios de
seleção serão um dos três consoante os casos:
241
Incentivar a participação de todos os alunos, nomeadamente
daqueles que ainda não realizaram nenhum exercício no quadro
durante a aula.
Reforçar positivamente o interesse manifestado pelos alunos
relativamente à exposição das suas resoluções no quadro.
Explorar várias estratégias de resolução utilizadas pelos alunos.
Discussão em grande grupo com toda a turma:
o O aluno terá um papel explorador.
o O professor terá um papel de orientador e um discurso interrogativo com
o objetivo de analisar várias estratégias de resolução.
Desenvolvimento da aula
1.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Organização
Iniciar a aula cumprimentando a turma e apresentando o sumário.
Entregar a todos os alunos as Fichas de Trabalho n.º 3 e 4 (ambas em anexo)
recolhidas na aula anterior.
Explicar a metodologia de trabalho para a aula:
o Resolução de tarefas e posterior discussão das mesmas em turma.
o Realização das atividades na respetiva ficha de trabalho para posterior
análise no âmbito de um estudo de cariz investigativo.
2.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Continuação da Exposição e Discussão da Tarefa
1
Os alunos (que utilizaram estratégias interessantes a explorar) expõem no
quadro, com discussão coletiva em turma, a resolução da Tarefa 1.
Resolução da Tarefa 1:
b)
Identificação da incógnita:
x – representa o número em que pensei.
242
Resolução da inequação:
(x – 10) × 5 < 25 (x – 10) < 5 x < 15
C.S. = ]-∞, 15[
Resolução alternativa:
(x – 10) × 5 < 25 5x – 50 < 25
5x < 25 +50 x < 75/5 x < 15
C.S. = ]-∞, 15[
Resposta: Pensei num número menor que 15.
c)
Identificação da incógnita:
x – representa o número em que pensei.
Resposta: 2x + 7 > 35. Esta expressão é uma inequação do 1.º grau.
d)
Pensei num número adicionei-lhe 7 e obtive um número superior a 40.
Em que número pensei?
e)
Identificação da incógnita:
x – representa o número de letras da palavra escolhida da tabela.
Resolução da inequação:
2x + 1 < 7 x < 3
C.S. = ]-∞, 3[
Resposta: A palavra escolhida é Pé.
Discussão da Tarefa 1:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução da Tarefa 1 exposta no
quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
243
Perguntar se algum aluno utilizou outra estratégia para resolver a Tarefa 1.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Salientar:
Nas situações problemáticas envolvendo inequações é importante que os alunos
saibam traduzir da linguagem natural para a linguagem algébrica expressões como
“mais do que”, “inferior a”, “pelo menos”, etc. Também é importante saber
formular uma situação problemática a partir de uma inequação.
Nota:
Nas duas primeiras alíneas pretende-se verificar que estratégias os alunos utilizam
para determinar um número que satisfaça uma dada condição. Provavelmente, os
alunos traduzirão a situação problemática através de uma inequação e resolverão
essa inequação. No caso, de alguns alunos calcularem de outra forma as alíneas a) e
b) (por exemplo, por tentativas) será pedido que exponham também as suas
resoluções no quadro, e expliquem os seus raciocínios.
3.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Exposição de um Tema
Introduzir o tema da aula: Passos a seguir para resolver situações problemáticas
envolvendo inequações do 1.º grau.
Escrever no quadro:
Passos a seguir para resolver situações problemáticas envolvendo inequações do 1.º
grau:
1.º Passo: Identificar a incógnita.
2.º Passo: Traduzir cada uma das informações da situação problemática por meio de
uma inequação.
3.º Passo: Resolver a inequação.
4.º Passo: Representar o conjunto-solução da inequação.
5.º Passo: Verificar se todas as soluções da inequação são soluções da situação
problemática.
244
4.º Momento [Tempo (20 minutos)] – Resolução dos Exercícios 13 e 12, ambos da
página 123 do manual e do Exercício 41 da página 127 do manual
Pedir para os alunos realizarem os Exercícios 13, 12 e 41 na Ficha de Trabalho
n.º 4.
Anunciar o tempo disponível (de 20 minutos) para a realização dos Exercícios
13, 12 e 41.
Os alunos resolvem, aos pares, os Exercícios 13, 12 e 41.
Nota: O Exercício 13 será realizado primeiro que o Exercício 12, pois este é mais fácil
de interpretar dado que a descrição da situação problemática engloba uma figura.
Exercício 13
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Objetivos de aprendizagem:
Compreender e aplicar os passos utilizados para resolver uma situação problemática
(apresentada em linguagem natural com recurso a uma balança) usando inequações.
Exercício 12
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Objetivo de aprendizagem:
Compreender e aplicar os passos utilizados para resolver uma situação problemática
(apresentada em linguagem natural) usando inequações.
245
Exercício 41
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 127)
Objetivos de aprendizagem:
Estabelecer conexão entre temas do Programa de Matemática em vigor, mais
precisamente a Álgebra e as Probabilidades.
Resolver uma situação problemática (apresentada em linguagem natural) usando
uma inequação do 1.º grau.
Nota:
O grau de dificuldade deste exercício é elevado como comprova a cor vermelha do
respetivo enunciado.
5.º Momento [Tempo (15 minutos)] – Exposição e Discussão dos Exercícios 13 e 12,
ambos da página 123 do manual e do Exercício 41 da página 127.
Os alunos (que utilizaram estratégias interessantes a explorar) expõem no
quadro, com discussão coletiva em turma, a resolução dos Exercícios 13, 12 e
41.
Resolução do Exercício 13:
Identificação da incógnita:
x – representa o peso (em kg) de cada cubo amarelo.
Tradução da situação problemática por meio de uma inequação:
3x < x + 6
Resolução da inequação:
3x < x + 6 2x < 6 x < 3
C.S. = ]-∞, 3[
Resposta: 2 é o maior número inteiro que x pode representar.
246
Discussão do Exercício 13:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução do Exercício 13 exposta
no quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
Perguntar se algum aluno utilizou outra estratégia para resolver o Exercício 13.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Eventuais questões a colocar (dependendo da explicação do(s) aluno(s) sobre a sua
resolução):
O que representa x nesta situação problemática?
O que representa 3x e x+6 nesta situação problemática?
Porque é que a inequação que traduz a situação problemática é 3x < x + 6?
O conjunto-solução é C.S.=]-∞,3[, então 3 é uma das soluções da situação
problemática?
Qual é o menor inteiro que x pode representar?
Salientar:
A inequação que traduz a situação problemática é 3x < x + 6, pois pretende-se
determinar o peso de cada cubo amarelo, sendo o peso no prato esquerdo da balança
inferior ao peso que está no prato direito da balança.
Nem todas as soluções da inequação são soluções da situação problemática.
Escrever no quadro:
3x – representa o peso (em kg) de três cubos amarelos, ou seja, o peso dos objetos
que estão no prato esquerdo da balança.
x +6 – representa o peso (em kg) de um cubo amarelo e seis cubos azuis, ou seja, o
peso dos objetos no prato direito da balança.
Como o conjunto-solução da inequação é C.S.=]-∞,3[, o menor número inteiro que x
pode representar é 1 kg, pois a incógnita representa o peso de cada cubo amarelo.
247
Resolução do Exercício 12:
Identificação da incógnita:
x – representa o número de alunos que devem ir ao baile, para que a associação de
estudantes tenha lucro com a sua organização.
Tradução da situação problemática por meio de uma inequação:
2x > 370
Resolução da inequação:
2x > 370 x > 185
C.S. = ]185, +∞[
Resposta: No mínimo, devem entrar 186 alunos no baile, para que a associação de
estudantes tenha lucro com a sua organização.
Discussão do Exercício 12:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução do Exercício 12 exposta
no quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
Perguntar se algum aluno utilizou outra estratégia para resolver o Exercício 12.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Eventuais questões a colocar (dependendo da explicação do(s) aluno(s) sobre a sua
resolução):
O que representa x nesta situação problemática?
O que representa 2x nesta situação problemática?
Porque é que a inequação que traduz a situação problemática é 2x > 370 e não 2x ≥
370 ou 2x < 370?
O conjunto-solução é C.S.=]185,+∞[, então 185 é solução da situação problemática?
248
Salientar:
Nem todas as soluções da inequação são soluções da situação problemática. Esta
tem que ser necessariamente um número positivo e inteiro, pois a incógnita
representa um determinado número de pessoas.
Escrever no quadro:
2x – representa o montante (em euros) que será ganho pela associação de estudante
com a organização do baile.
Resolução do Exercício 41:
Identificação da incógnita:
x – representa a nota que a Catarina deve ter na quinta ficha para que esta seja
dispensada da sexta.
Tradução da situação problemática por meio de uma inequação:
705
72789050
x
Resolução da inequação:
60350290
705
72789050
xx
x
C.S. = [60, +∞[
Resposta: No mínimo, a Catarina deve ter 60% na quinta ficha para ser dispensada da
sexta.
Discussão do Exercício 41:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução do Exercício 41 exposto
no quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
249
Perguntar se algum aluno utilizou outra estratégia para resolver o Exercício 41.
Eventuais questões a colocar (dependendo da explicação do(s) aluno(s) sobre a sua
resolução):
O que representa x nesta situação problemática?
O que representa 5
72789050 x nesta situação problemática?
O que é a média de uma amostra?
Considera uma amostra constituída pelos seguintes elementos: 2, 7, 10, 3, 7. Qual é
a média desta amostra?
Porque é 705
72789050
xe não 70
5
72789050
x?
Escrever no quadro:
5
72789050 x – Representa a média (em percentagem) das notas da
Catarina nas cinco primeiras fichas de Matemática.
A média, x , de um conjunto de dados quantitativos obtém-se somando todos os
dados e dividindo o resultado pelo número de dados. Por exemplo, a média da
amostra: 2, 7, 10, 3 é 4
31072 x =5,5.
6.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Exposição do Tema da Aula
Introduzir o tema da aula: Disjunção e conjunção de inequações do 1.º grau.
Escrever no quadro:
Disjunção de condições
A condição x – 2 < 4 2x – 3 ≤ x é uma disjunção de inequações.
250
Resolvemos separadamente cada uma das inequações:
x – 2 < 4 2x – 3 ≤ x x < 6 2x – x ≤ 3 x < 6 x ≤ 3.
Nota: O símbolo significa disjunção e lê-se “ou”.
O conjunto-solução é a reunião dos conjuntos-solução das duas inequações.
C.S. = 6,3,6, .
Nota: À disjunção de condições ( ) corresponde a reunião de conjuntos ( ).
Conjunção de condições
A condição 5x – 1 ≥ 4x x – 3 < 1 é uma conjunção de inequações.
Resolvemos separadamente cada uma das inequações:
5x – 1 ≥ 4x x – 3 < 1 5x – 4x ≥ 1 x < 1 + 3 x ≥ 1 x < 4.
Nota: O símbolo significa conjunção e lê-se “e”.
O conjunto-solução é a interseção dos conjuntos-solução das duas inequações.
C.S. = 4,14,,1
Nota: À conjunção de condições ( ) corresponde a interseção de conjuntos ( ).
7.º Momento [Tempo (5 minutos)]
Indicar o trabalho de casa: Exercício 1 (alíneas 1.2. e 1.4.) e Exercício 2 (alíneas
2.1. e 2.3.), ambos da página 120 do manual (apresentados a seguir).
251
Recolher as fichas de trabalho de todos os alunos para posterior análise no
âmbito do estudo de cariz investigativo.
Exercício 1
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 120)
Exercício 2
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 120)
Avaliação:
Apreciação do desempenho e dúvidas dos alunos aquando dos momentos de
trabalho e discussão coletiva.
Análise das produções escritas dos alunos.
Colaboração com o professor e com os colegas na resolução/discussão dos
exercícios.
Interesse/participação demonstrado durante a aula.
Comportamento na sala de aula.
252
253
Anexo 8: Plano de Aula n.º 6
Disciplina: Matemática 9.º Ano, Turma B
3.º Período – 2012/2013
Tema Matemático: Álgebra
Tópico: Inequações
Subtópico: Inequações do 1º grau a uma incógnita
Aulas n.º 129 e 130
Data: 29 de Abril de 2013, segunda-feira
Duração: 100 minutos (1 bloco)
Sumário:
Conjunção de inequações. Correção do trabalho de casa. Resolução de
exercícios e de situações problemáticas usando a disjunção e a conjunção de
inequações.
Conceitos/Conteúdos:
Disjunção e a conjunção de inequações do 1.º grau.
Passos a seguir para resolver situações problemáticas usando a disjunção ou a
conjunção de inequações do 1.º grau.
Objetivos específicos:
Compreender os conceitos de disjunção e conjunção de inequações do 1.º grau.
Interpretar e traduzir uma situação problemática (em linguagem natural) por
meio de uma disjunção ou de uma conjunção de inequações.
Estabelecer conexão entre os temas do Programa de Matemática em vigor, mais
precisamente a Álgebra e a Geometria.
Resolver a disjunção e a conjunção de inequações do 1.º grau.
Associar a disjunção e a conjunção de condições à reunião e à interseção de
conjuntos-solução, respetivamente.
Verificar a necessidade de escolher soluções de uma disjunção ou de uma
conjunção de inequações tendo em conta o contexto da situação.
254
Conhecimentos prévios dos alunos:
Compreender as noções de inequação do 1.º grau, solução de uma inequação e
conjunto-solução de uma inequação.
Conhecer as regras de resolução de inequações do 1.º grau.
Resolver inequações do 1.º grau utilizando as regras de resolução.
Conhecer o conjunto dos números reais.
Representar de várias formas subconjuntos de números reais.
Determinar o conjunto resultante da reunião de conjuntos.
Determinar o conjunto resultante da interseção de conjuntos.
Materiais/Recursos:
Manual PI 9
Ficha de Trabalho n.º 5 (em anexo) com exercícios do manual e respetivos
espaços para a sua resolução
Ficha de Trabalho n.º 6 (em anexo) com exercícios do manual e respetivos
espaços para a sua resolução
Calculadora
Metodologia de trabalho:
Resolução da atividade proposta:
o Os alunos realizam, de forma autónoma e aos pares, a atividade.
o O trabalho deverá ser interrompido se se verificarem muitas dificuldades
na realização das questões, e os possíveis esclarecimentos serão feitos
coletivamente em turma.
o O professor circula pela sala e recolhe dados para a avaliação (como a
participação no trabalho e o envolvimento no mesmo) e para o posterior
momento da discussão.
Exposição no quadro da resolução da atividade proposta pelo aluno:
o O(s) aluno(s), selecionado(s) pelo professor, expõe(m) no quadro a(s)
sua(s) resolução(ões). Esta estratégia é utilizada na resolução de todos os
exercícios das fichas de trabalho, pois pretende-se que os alunos
255
consolidem os acontecimentos anteriormente obtidos. Os critérios de
seleção serão um dos três consoante os casos:
Incentivar a participação de todos os alunos: O aluno ainda não
realizou nenhum exercício no quadro durante a aula.
Reforçar positivamente o interesse do aluno: O aluno manifestou
interesse na exposição da sua resolução.
Explorar várias estratégias de resolução: O aluno utilizou uma
estratégia de resolução que seria interessante explorar.
Discussão em grande grupo com toda a turma:
o O aluno terá um papel explorador.
o O professor terá um papel de orientador e um discurso interrogativo com
o objetivo de analisar várias estratégias de resolução.
Desenvolvimento da aula
1.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Organização
Iniciar a aula cumprimentando a turma e apresentando o sumário.
Entregar a todos os alunos a Ficha de Trabalho n.º 4 recolhida na aula anterior.
2.º Momento [Tempo (15 minutos)] – Exposição de um Tema
Expor o tema: Conjunção de inequações do 1.º grau.
Escrever no quadro:
Conjunção de condições
A condição 5x – 1 ≥ 4x x – 3 < 1 é uma conjunção de inequações.
Resolvemos separadamente cada uma das inequações:
5x – 1 ≥ 4x x – 3 < 1 5x – 4x ≥ 1 x < 1 + 3 x ≥ 1 x < 4.
Nota: O símbolo significa conjunção e lê-se “e”.
256
O conjunto-solução da conjunção de inequações é a interseção dos conjuntos-solução
das respetivas inequações.
C.S. = 4,14,,1
Nota: À conjunção de condições ( ) corresponde a interseção de conjuntos ( ).
3.º Momento [Tempo (25 minutos)] – Resolução de algumas alíneas do Exercício 1
(alíneas 1.1. e 1.3.) e de algumas alíneas do Exercício 2 (alíneas 2.2. e 2.4.), todos da
página 120 do manual
Distribuir a Ficha de Trabalho n.º 5.
Pedir para os alunos realizarem estes exercícios na Ficha de Trabalho n.º 5.
Anunciar o tempo disponível (de 25 minutos) para a realização dos Exercícios 1
e 2.
Os alunos resolvem, aos pares, os Exercícios 1 e 2.
Exercício 1
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 120)
Objetivos de aprendizagem:
Resolver a disjunção de inequações do 1.º grau [com todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma disjunção de inequações do 1.º grau na
forma de um intervalo de números reais [com todas as alíneas].
257
Exercício 2
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 120)
Objetivos de aprendizagem:
Resolver uma conjunção de inequações do 1.º grau [com todas as alíneas].
Representar o conjunto-solução de uma conjunção de inequações do 1.º grau na
forma de um intervalo de números reais [com todas as alíneas].
4.º Momento [Tempo (25 minutos)] – Exposição e Discussão de algumas alíneas do
Exercício 1 (alíneas 1.1. e 1.3.) e de algumas alíneas do Exercício 2 (alíneas 2.2. e 2.4.),
todos da página 120 do manual. Correção do trabalho de casa (alíneas 1.2. e 1.4. do
mesmo Exercício 1)
Dois alunos (que tenham realizado o trabalho de casa) expõem no quadro a
resolução das alíneas 1.2. e 1.4., respetivamente.
Quatro alunos (que utilizaram estratégias interessantes) expõem no quadro, com
discussão coletiva, a resolução das alíneas 1.1., 1.3., 2.2. e 2.4., respetivamente.
A seguir, é realizada a discussão coletiva em turma. Utiliza-se esta estratégia,
pois espera-se que os alunos consolidem os conhecimentos já adquiridos,
nomeadamente a resolução de inequações.
Resolução do Exercício 1:
1.1.
x ≥ 10 2x ≤ –40
x ≥ 10 x ≤ –2
40
x ≥ 10 x ≤ –20
1.3.
2
105 x> –3 –3(x – 2) ≥ 0
2
105 x> –
2
6 –3x + 6 ≥ 0
5x – 10 > –6 –3x ≥ –6
258
C.S. = ,1020, 5x > 4 x ≤
3
6
x > 5
4 = 0,8 x ≤ 2
C.S. =
,
5
42, = |R
1.2.
3x - 4≤ 0 x ≥0
3x ≤ 4 x ≥0
x ≤ 3
4=1,(3) x ≥0
Á parte
Para representarmos um número racional
na reta numérica, temos em conta:
3
4=
3
13= 1+
3
1
C.S. =
,0
3
4, = |R
1.4.
52
3
x≤ –x 2(x – 4)-x ≥ -3
3x -10 ≤ -2x 2x – 8 – x ≥ -3
3x + 2x ≤ 10 2x – x ≥ -3+8
5x ≤ 10 x ≥ 5
x ≤ 2 x ≥ 5
C.S. = ,52,
Discussão do Exercício 1:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução do Exercício 1 exposta no
quadro.
Perguntar se algum aluno utilizou outra estratégia para resolver o Exercício 1.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Se não, salientar que podemos utilizar outras estratégias de resolução.
Relembrar:
À disjunção de condições ( ) corresponde a reunião de conjuntos ( ).
259
Referir:
Se primeiro representarmos graficamente o conjunto-solução da disjunção de
inequações será mais fácil determinarmos, posteriormente, o respetivo intervalo de
números reais.
Resolução do Exercício 2:
2.2.
3x – 12 ≤ 0 –2x < –16
)16()1()2()1( 12 3x
ou
2
16
2
2 12 3x
x
x
x ≤ 3
12 x >
2
16
x ≤ 4 x > 8
C.S. = ,84, = {}
2.4.
3
102 x ≤ 0
2
63 x > – 4(x – 1)
18183 0 10-2x
ou
442
183 0 10-2x
xx
xx
2x ≤ 10 –3x + 18 > –8x +8
x ≤ 5 –3x + 8x > –18 +8
x ≤ 5 5x > –10
x ≤ 5 x > –2
C.S. = 5,2,25,
Discussão do Exercício 2:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução das alíneas 2.2. e 2.4.
exposta no quadro.
Perguntar se algum aluno utilizou outra estratégia para resolver o Exercício 2.
Se sim, pedir para o(s) aluno(s) explicar(em) como procedeu(ram).
Se não, salientar que podemos utilizar outras estratégias de resolução.
Relembrar:
260
À conjunção de condições ( ) corresponde a interseção de conjuntos ( ).
Referir:
Se primeiro representarmos graficamente o conjunto-solução da conjunção de
inequações será mais fácil determinarmos, posteriormente, o respetivo intervalo de
números reais.
Resolver um sistema de inequações é similar a resolver uma conjunção de
inequações.
Escrever no quadro:
Representação de uma conjunção de inequações por um sistema de inequações:
3x – 12 ≤ 0 –2x < –16
8
4
162
0123
x
x
x
x. (alínea 2.2.)
Representação de uma sequência de desigualdades por uma conjunção de
inequações:
2< x + 2 < 3 x + 2 < 3 x + 2 > 2.
5.º Momento [Tempo (20 minutos)] – Resolução do Exercício 14 da página 123 do
manual
Distribuir a Ficha de Trabalho n.º 6.
Pedir para os alunos realizarem este exercício na Ficha de Trabalho n.º 6.
Anunciar o tempo disponível (de 20 minutos) para a realização do Exercício 14.
Os alunos resolvem, aos pares, o Exercícios 14.
Salientar:
Os passos a seguir para resolver situações problemáticas envolvendo a disjunção ou
a conjunção de inequações são iguais aos utilizados para as inequações.
261
Exercício 14
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Objetivos de aprendizagem:
Estabelecer conexão entre temas do Programa de Matemática em vigor, mais
precisamente a Álgebra e a Geometria.
Resolver situações problemáticas usando a conjunção de inequações do 1.º grau a
uma incógnita.
Verificar se todas as soluções encontradas são soluções da situação problemática.
Nota: O grau de dificuldade deste exercício é reduzido como comprova a cor verde.
6.º Momento [Tempo (7 minutos)]
Recolher as fichas de trabalho de todos os alunos para posterior análise no
âmbito do estudo de cariz investigativo.
Avaliação:
Apreciação do desempenho e dúvidas dos alunos aquando dos momentos de
trabalho e discussão coletiva.
Análise das produções escritas dos alunos.
Colaboração com o professor e com os colegas na resolução/discussão dos
exercícios.
Interesse/participação demonstrado durante a aula.
Comportamento na sala de aula.
262
263
Anexo 9: Plano de Aula n.º 7
Disciplina: Matemática 9.º Ano, Turma B
3.º Período – 2012/2013
Tema Matemático: Álgebra
Tópico: Inequações
Subtópico: Inequações do 1º grau a uma incógnita
Aula n.º 131
Data: 30 de Abril de 2013, terça-feira
Duração: 50 minutos (1/2 bloco)
Sumário:
Resolução de exercícios e de situações problemáticas usando a disjunção e a
conjunção de inequações.
Conceitos/Conteúdos:
Disjunção e a conjunção de inequações do 1.º grau.
Passos a seguir para resolver situações problemáticas usando a disjunção ou a
conjunção de inequações do 1.º grau.
Objetivos específicos:
Compreender os conceitos de disjunção e conjunção de inequações do 1.º grau.
Interpretar e traduzir uma situação problemática (em linguagem natural) por
meio de uma disjunção ou de uma conjunção de inequações.
Estabelecer conexão entre os temas do Programa de Matemática em vigor, mais
precisamente a Álgebra e a Geometria.
Resolver a disjunção e a conjunção de inequações do 1.º grau.
Associar a disjunção e a conjunção de condições à reunião e à interseção de
conjuntos-solução, respetivamente.
Verificar a necessidade de escolher soluções de uma disjunção ou de uma
conjunção de inequações tendo em conta o contexto da situação.
264
Conhecimentos prévios dos alunos:
Compreender as noções de inequação do 1.º grau, solução de uma inequação e
conjunto-solução de uma inequação.
Conhecer as regras de resolução de inequações do 1.º grau.
Resolver inequações do 1.º grau utilizando as regras de resolução.
Conhecer o conjunto dos números reais.
Representar de várias formas subconjuntos de números reais.
Determinar o conjunto resultante da reunião de conjuntos.
Determinar o conjunto resultante da interseção de conjuntos.
Materiais/Recursos:
Manual PI 9
Ficha de Trabalho n.º 6 (em anexo) com exercícios do manual e respetivos
espaços para a sua resolução
Calculadora
Metodologia de trabalho:
Resolução da atividade proposta:
o Os alunos realizam, de forma autónoma e aos pares, a atividade.
o O trabalho deverá ser interrompido se se verificarem muitas dificuldades
na realização das questões, e os possíveis esclarecimentos serão feitos
coletivamente em turma.
o O professor circula pela sala e recolhe dados para a avaliação (como a
participação no trabalho e o envolvimento no mesmo) e para o posterior
momento da discussão.
Exposição no quadro da resolução da atividade proposta pelo aluno:
o O(s) aluno(s), selecionado(s) pelo professor, expõe(m) no quadro a(s)
sua(s) resolução(ões). Esta estratégia é utilizada na resolução de todos os
exercícios das fichas de trabalho, pois pretende-se que os alunos
consolidem os acontecimentos anteriormente obtidos. Os critérios de
seleção serão um dos três consoante os casos:
265
Incentivar a participação de todos os alunos: O aluno ainda não
realizou nenhum exercício no quadro durante a aula.
Reforçar positivamente o interesse do aluno: O aluno manifestou
interesse na exposição da sua resolução.
Explorar várias estratégias de resolução: O aluno utilizou uma
estratégia de resolução que seria interessante explorar.
Discussão em grande grupo com toda a turma:
o O aluno terá um papel explorador.
o O professor terá um papel de orientador e um discurso interrogativo com
o objetivo de analisar várias estratégias de resolução.
Desenvolvimento da aula
1.º Momento [Tempo (5 minutos)] – Organização
Iniciar a aula cumprimentando a turma e apresentando o sumário.
Entregar a todos os alunos a Ficha de Trabalho n.º 6 recolhida na aula anterior.
2.º Momento [Tempo (15 minutos)] – Exposição e Discussão do Exercício 14 da página
123 e do Exercício 24 da página 125, ambos do manual
l) Os alunos (que utilizaram estratégias interessantes a explorar) expõem no quadro,
com discussão coletiva em turma, a resolução dos Exercícios 14 e 24. Espera-se que
os alunos consolidem os conhecimentos já adquiridos, nomeadamente resolvam
situações problemáticas usando a conjunção de inequações do 1.º grau (assunto
abordado na aula anterior).
Exercício 14
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
266
Objetivos de aprendizagem:
Estabelecer conexão entre temas do Programa de Matemática em vigor, mais
precisamente a Álgebra e a Geometria.
Resolver situações problemáticas usando a conjunção de inequações do 1.º grau a
uma incógnita.
Verificar se todas as soluções encontradas são soluções da situação problemática.
Nota: O grau de dificuldade deste exercício é reduzido como comprova a cor verde.
Resolução do Exercício 14:
Identificação da incógnita:
x – representa a medida (em cm) de um dos lados do trapézio.
Tradução da situação problemática por meio de uma conjunção de inequações:
(x – 3) + 3 +(x – 1) + x < 60
32
13
xx ≥ 20
Resolução da conjunção de inequações:
(x – 3) + 3 +(x – 1) + x < 60
32
13
xx ≥ 20
3x – 1 < 60 32
42
x ≥ 20
3x < 61 3(x – 2) ≥ 20
x < 3
61 3x ≥ 20 + 6
x < 3
61 3x ≥ 26
x < 3
61=20,3 x ≥
3
26=8,6
Representação do conjunto-solução:
3
61=
3
160=20+
3
1
267
3
26=
3
224 =8+
3
2
C.S. =
,
3
26
3
61, =
3
61,
3
26.
Resposta:
Então,
3
61,
3
26x .
Discussão do Exercício 14:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução do Exercício 14 exposta
no quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
Perguntar se algum aluno utilizou outra estratégia para resolver o Exercício 14.
Eventuais questões a colocar (dependendo da explicação do(s) aluno(s) sobre a sua
resolução):
O que representa x nesta situação problemática?
Como determinámos o perímetro e a área de um trapézio?
Salientar:
Um trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos a que chamamos bases.
Escrever no quadro:
O perímetro de um trapézio é a soma de todos os lados.
Área de um trapézio:
Atrapézio = Altura2
menor Basemaior Base
.
3.º Momento [Tempo (10 minutos)] – Resolução do Exercício 24 da página 125 do
manual
Pedir para os alunos realizarem este exercício na Ficha de Trabalho n.º 6.
Anunciar o tempo disponível (de 20 minutos) para a realização do Exercício 24.
268
Os alunos resolvem, aos pares, o Exercício 24.
Exercício 24
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 125)
Objetivos de aprendizagem:
Resolver situações problemáticas usando a conjunção de inequações do 1.º grau a
uma incógnita.
Verificar se todas as soluções encontradas são soluções da situação problemática.
Nota: O grau de dificuldade deste exercício é moderado como comprova a cor amarela.
4.º Momento [Tempo (15 minutos)] – Exposição e Discussão do Exercício 24 da página
125 do manual
Os alunos (que utilizaram estratégias interessantes a explorar) expõem no
quadro, com discussão coletiva em turma, a resolução do Exercício 24.
Resolução do Exercício 24:
Identificação da incógnita:
x - representa um de dois números inteiros do código que permite abrir o cofre.
Tradução da situação problemática por meio de uma conjunção de inequações:
–2(x – 4) < –4 2
83 x ≤ 16
Resolução da conjunção de inequações:
–2(x – 4) < –4 2
83 x ≤ 16
–2x + 8 < –4 3x + 8 ≤ 32
–2x < –4-8 3x ≤ 32 - 8
269
–2x < –12 3x ≤ 24
x >2
12
x ≤
3
24
x > 6 x ≤ 8
Representação do conjunto-solução:
C.S. = ]6, +∞[ ]-∞, 8] = 8,6 .
Resposta:
Como o código é composto por números inteiros, então a solução do problema será
}8,7{8,6 . Os números que permitem abrir o cofre são o 7 e o 8.
Discussão dos Exercícios 24:
Perguntar se todos os alunos concordam com a resolução do Exercício 24 exposta
no quadro.
Pedir ao aluno (que está no quadro) para explicar o seu raciocínio.
Perguntar se algum aluno utilizou outra estratégia para resolver o Exercício 24.
Eventuais questões a colocar (dependendo da explicação do(s) aluno(s) sobre a sua
resolução):
O que representa x nesta situação problemática?
Quais são os números inteiros?
Como devíamos proceder se pretendêssemos determinar dois números inteiros que
são solução só de uma ou de ambas das inequações?
Escrever no quadro:
Representação de uma conjunção de inequações por um sistema de inequações:
3x – 12 ≤ 0 –2x < –16
8
4
162
0123
x
x
x
x. (alínea 2.2.)
270
Representação de uma dupla desigualdade por uma conjunção de inequações:
2< x + 2 < 3 x + 2 < 3 x + 2 > 2.
5.º Momento [Tempo (5 minutos)]
Recolher as fichas de trabalho de todos os alunos para posterior análise no
âmbito do estudo de cariz investigativo.
Avaliação:
Apreciação do desempenho e dúvidas dos alunos aquando dos momentos de
trabalho e discussão coletiva.
Análise das produções escritas dos alunos.
Colaboração com o professor e com os colegas na resolução/discussão dos
exercícios.
Interesse/participação demonstrado durante a aula.
Comportamento na sala de aula.
271
Anexo 10: Ficha de Trabalho n.º 1
Agrupamento de Escolas Nuno Gonçalves
Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
9ºANO - Matemática
Nome:_____________________________________N.º___ Turma___ Data: __/__/__
Ficha de Trabalho n.º 1
Tema: Definição de inequação, solução de uma inequação e conjunto-solução de uma
inequação.
Nota Bem:
Esta ficha inclui duas tarefas (Tarefa 1 e Tarefa 2) e o Exercício 2 do manual
(página 116).
Apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar.
Na resolução da ficha, podes mudar a ordem das perguntas.
Escreve, de forma legível, a numeração dos itens, bem como as respetivas
respostas. Todas as respostas devem ser registadas no espaço a seguir ao enunciado
da respetiva tarefa ou exercício.
Não utilizes o corretor. Não apagues se te enganares na resposta a cada item,
coloca entre parênteses o que pretendes que fique sem efeito e escreve mais à
frente.
Escreve a uma cor diferente o que acrescentares ou modificares no momento da
resolução no quadro.
No final da aula, esta ficha será recolhida para posterior análise. A análise da tua
resolução será de carácter sigiloso e usada para um trabalho de cariz investigativo.
9º
A
no
272
Tarefa 1
A Rita e o Rui foram comprar gomas. Na loja existe uma balança com pesos e cada
um dos dois amigos pesou o seu saco de gomas.
A balança ficou em equilíbrio quando a Rita colocou o seu saco de gomas juntamente
com um peso de 20g num dos pratos da balança, e um peso de 100g no outro prato,
como podes ver na Figura 1.
O Rui procedeu como a Rita, mas a balança não ficou em equilíbrio como mostra a
Figura 2.
Figura 1: Pesagem do saco de gomas da
Rita.
Figura 2: Pesagem do saco de gomas do
Rui.
(Adaptado de Fernandes, 2011)
a) Explica porque razão a balança da Figura 2 está em desequilíbrio ao contrário da
balança da Figura 1.
b) Quanto pesa o saco de gomas da Rita?
c) Traduz a situação da balança da Figura 1 por meio de uma equação.
d) Indica um valor possível para o peso do saco de gomas do Rui. Existirá apenas
uma possibilidade para esse valor?
e) Utiliza a letra x para representar o peso do saco de gomas do Rui. Escreve uma
expressão que traduza a situação representada na balança da Figura 2.
273
Resolução da Tarefa 1:
274
Exercício 2
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 116)
Resolução do Exercício 2:
275
Tarefa 2
O retângulo da figura abaixo tem dois lados que medem 7 cm, mas a medida dos outros
dois lados é desconhecida:
a) Qual deverá ser a medida desconhecida de dois dos lados do retângulo, de modo
que o perímetro seja igual a 32 cm?
b) Qual deverá a medida desconhecida de dois dos lados do retângulo, de modo que o
perímetro seja inferior a 32cm?
(Adaptado do Manual Projeto Desafios, 2012, pág. 86)
276
Resolução da Tarefa 2:
277
Anexo 11: Ficha de Trabalho n.º 2
Agrupamento de Escolas Nuno Gonçalves
Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
9ºANO - Matemática
Nome:_____________________________________N.º___ Turma___ Data: __/__/__
Ficha de Trabalho n.º 2
Tema: Princípios de equivalência e regras de resolução de inequação do 1.º grau a uma
incógnita.
Nota Bem:
Esta ficha inclui uma Tarefa 1 e o Exercício 1 (página 116) do manual.
Apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar.
Escreve, de forma legível, a numeração dos itens, bem como as respetivas
respostas. Todas as respostas devem ser registadas no espaço a seguir ao enunciado
da respetiva tarefa ou exercício.
Escreve a uma cor diferente o que acrescentares ou modificares no momento da
resolução no quadro.
No final da aula, esta ficha será recolhida para posterior análise. A análise da tua
resolução será de carácter sigiloso e usada para um trabalho de cariz investigativo.
278
Tarefa1
A seguir, apresentam-se as resoluções de várias inequações. Completa-as.
a) x – 4 < 10 x – 4 + __ < 10 + __
x < __
C.S. = ] __ , __ [
b) x + 2 ≥ 1
x + 2 – __ ≥ 1 – __
x ≥ __
C.S. = [ __ , __ [
c) 2x < 10 _
2x <
_
10
x < __
C.S. = ] __ , __ [
d) -8x < 24 __× (-8x) > __× 24
_
8x >
_
24
x > __
C.S. = ] __ , __ [
e) 2x – 7 > 11 2x > 11 +__
2x > __
_
2x >
_
18
x > __
C.S. = ] __ , __ [
f) –4x – 2 ≥ –x –4x ≥ –x + __
__
__
x ≤ __
C.S. = ] __ , __ ]
(Adaptado da Tarefa 4 do Manual PI 9, 2012)
279
Exercício 1
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 116)
Resolução de algumas alíneas do Exercício 1 (alíneas 1.1., 1.3., 1.4. e 1.6):
280
281
Anexo 12: Ficha com os Princípios de Equivalência
Princípios de Equivalência /Regras práticas para resolver inequações
1º Princípio de Equivalência
Quando somamos ou subtraímos o mesmo número a ambos os membros de uma
inequação obtemos uma inequação equivalente à primeira.
Deste princípio de equivalência surge a seguinte regra prática:
Numa inequação podemos mudar um termo de um membro para o outro, trocando-lhe o
sinal, sendo a inequação obtida equivalente à primeira.
2º Princípio de Equivalência
Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma inequação pelo mesmo
número diferente de zero, obtemos uma inequação equivalente, mantendo-se o sentido
da desigualdade se o número for positivo e invertendo o sentido da desigualdade se o
número for negativo.
Deste princípio de equivalência surge a seguinte regra prática:
Numa inequação se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros de uma inequação
por um número negativo inverte-se o sentido da desigualdade, se multiplicarmos ou
dividirmos ambos os membros da inequação por um número positivo mantém-se o
sentido da desigualdade.
(Adaptado da Proposta de Sequência de Tarefas: Números Reais e Inequações, 2011)
282
283
Anexo 13: Ficha de Trabalho n.º 3
Agrupamento de Escolas Nuno Gonçalves
Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
9ºANO - Matemática
Nome:_____________________________________N.º___ Turma___ Data: __/__/__
Ficha de Trabalho n.º 3
Tema: Inequações do 1.º grau com parênteses e denominadores.
Nota Bem:
Esta ficha inclui o Exercício 4 (página 117) do manual.
Apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar.
Escreve, de forma legível, a numeração dos itens, bem como as respetivas
respostas. Todas as respostas devem ser registadas no espaço a seguir ao enunciado
do Exercício 4.
Escreve a uma cor diferente o que acrescentares ou modificares no momento da
resolução no quadro.
No final da aula, esta ficha será recolhida para posterior análise. A análise da tua
resolução será de carácter sigiloso e usada para um trabalho de cariz investigativo.
284
Exercício 4
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 117)
Resolução de algumas alíneas do Exercício 4 (alíneas 4.1. e 4.2.):
285
Anexo 14: Ficha de Trabalho n.º 4
Agrupamento de Escolas Nuno Gonçalves
Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
9ºANO - Matemática
Nome:_____________________________________N.º___ Turma___ Data: __/__/__
Ficha de Trabalho n.º 4
Tema: Resolução de situações problemáticas usando inequações.
Nota Bem:
Esta ficha inclui uma Tarefa 1, e os Exercício 13 e 12 (ambos da página 123) e o
Exercício 41 (da página 127) do manual
Apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar.
Escreve, de forma legível, a numeração dos itens, bem como as respetivas
respostas. Todas as respostas devem ser registadas no espaço a seguir ao enunciado
da respetiva tarefa ou exercício.
Escreve a uma cor diferente o que acrescentares ou modificares no momento da
resolução no quadro.
No final da aula, esta ficha será recolhida para posterior análise. A análise da tua
resolução será de carácter sigiloso e usada para um trabalho de cariz investigativo.
286
Tarefa 1
a) Que valores pode ter k para que k + 5 seja superior a 5?
b) Pensei num número. De seguida subtrai-lhe 10 e depois multipliquei por 5. Obtive
um número menor que 25. Que número pensei inicialmente?
c) Pensei num número, multipliquei-o por 2 e depois somei-lhe 7. Obtive um número
superior a 35. Escreve uma expressão que traduza esta situação.
d) Inventa um enunciado de um problema que corresponda à seguinte inequação:
7+b > 40
e) Considera a seguinte tabela com 7 palavras e o respetivo número de letras de cada
palavra:
Palavra Número de letras
Lápis 5
Segundo 7
Sim 3
Calcular 8
Boneca 6
Pé 2
Casa 4
Escolhemos uma palavra da tabela. Utiliza a letra x para representar o número de letras dessa
palavra e determina a palavra escolhida a partir das seguintes informações: o dobro do
número de letras dessa palavra adicionado a um é inferior ao número de letras da
palavra “segundo”. Escreve uma expressão que traduza essa situação. Qual é essa
palavra?
(Adaptado de Traldi Júnior, 2002)
287
Resolução da Tarefa 1:
288
Exercício 13
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Resolução do Exercício 13:
289
Exercício 12
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Resolução do Exercício 12:
290
Exercício 41
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 127)
Resolução do Exercício 41:
291
Anexo 15: Ficha de Trabalho n.º 5
Agrupamento de Escolas Nuno Gonçalves
Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
9ºANO - Matemática
Nome:_____________________________________N.º___ Turma___ Data: __/__/__
Ficha de Trabalho n.º 5
Tema: Disjunção e conjunção de inequações do 1.º grau.
Nota Bem:
Esta ficha inclui exercícios do manual: Exercícios 1 e 2 (ambos da página 117),
Exercício 4 (da página 121) e Exercício 22 (da página 125).
Apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar.
Escreve, de forma legível, a numeração dos itens, bem como as respetivas
respostas. Todas as respostas devem ser registadas no espaço a seguir ao enunciado
do respetivo exercício.
Escreve a uma cor diferente o que acrescentares ou modificares no momento da
resolução no quadro.
No final da aula, esta ficha será recolhida para posterior análise. A análise da tua
resolução será de carácter sigiloso e usada para um trabalho de cariz investigativo.
292
Exercício 1
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 120)
Resolução de algumas alíneas do Exercício 1 (alíneas 1.1. e 1.3.):
293
Exercício 2
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 120)
Resolução de algumas alíneas do Exercício 2 (alíneas 2.2. e 2.4.):
294
295
Anexo 16: Ficha de Trabalho n.º 6
Agrupamento de Escolas Nuno Gonçalves
Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
9ºANO - Matemática
Nome:_____________________________________N.º___ Turma___ Data: __/__/__
Ficha de Trabalho n.º 6
Tema: Resolução de situações problemáticas usando a disjunção e a conjunção de
inequações.
Nota Bem:
Esta ficha inclui exercícios do manual: Exercício 14 (página 123), Exercício 24
(página 125) e Exercício 10 (página 121).
Apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar.
Escreve, de forma legível, a numeração dos itens, bem como as respetivas
respostas. Todas as respostas devem ser registadas no espaço a seguir ao enunciado
do respetivo exercício.
Escreve a uma cor diferente o que acrescentares ou modificares no momento da
resolução no quadro.
No final da aula, esta ficha será recolhida para posterior análise. A análise da tua
resolução será de carácter sigiloso e usada para um trabalho de cariz investigativo.
296
Exercício 14
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 123)
Resolução do Exercício 14:
297
Exercício 24
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 125)
Resolução do Exercício 24:
298
Exercício 10
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 121)
Resolução do Exercício 10:
299
Anexo 17: Guião da Entrevista
Registo da data e da hora do início da gravação.
Questões iniciais:
Que idade tens?
Como foi o teu percurso escolar?
Já repetiste algum ano? Qual?
Como foi o teu percurso em relação à Matemática?
Como te vês como aluno?
Como te sentes este ano, nesta disciplina?
Tarefa 1
Questão possíveis
A expressão -4(s - 4) - 3 é uma inequação?
O que é uma inequação?
Em que consiste resolver uma inequação?
O que é o conjunto-solução de uma inequação?
Qual é o conjunto dos números inteiros?
O intervalo dado: ]3, +∞[ é constituído por quantos elementos?
Como traduziste a inequação? Porquê utilizaste o sinal “>” e não “<”?
Como resolveste a inequação? Aplicaste algum dos dois princípios de
equivalência?
Qual é o conjunto-solução da inequação? Representa-o graficamente, por um
intervalo de números reais e em compreensão.
Qual é a solução da situação problemática?
300
Tarefa 2
Questão possíveis
Que significado atribuis à letra utilizada nesta tarefa?
Que significado tem, para ti, cada uma das expressões algébricas?
Como resolveste a inequação? Aplicaste algum dos dois princípios de
equivalência?
Qual é o conjunto-solução da inequação? Representa-o graficamente, por um
intervalo de números reais e em compreensão.
Qual é a solução da situação problemática?
O número 9 é solução da inequação? Verifica se 9 é solução da inequação
deduzida por ti?
Questões finais:
O que pensas sobre as tarefas que realizaste nesta entrevista?
Que dificuldades sentiste?
Em que aspetos te sentiste mais à vontade?
Registo da hora do final da gravação.
301
Anexo 18: Ficha de Trabalho Complementar
Agrupamento de Escolas Nuno Gonçalves
Escola Secundária de Dona Luísa de Gusmão
9ºANO - Matemática
Nome:______________________________________Nº___ Turma___ Data: __/__/__
Ficha de Trabalho Complementar
Tema: Resolução de situações problemáticas usando inequações.
Nota Bem:
Esta ficha inclui três tarefas.
Apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar.
Escreve, de forma legível, a numeração dos itens, bem como as respetivas
respostas. Todas as respostas devem ser registadas no espaço a seguir ao enunciado
do respetivo exercício.
No final da sua resolução, esta ficha será recolhida e a seguir será realizada uma
discussão entre o professor e o aluno. A análise da tua resolução e discussão será
de carácter sigiloso e usada para um trabalho de cariz investigativo.
9º
A
no
302
Tarefa 1
Qual é o maior valor inteiro que s pode assumir, de modo que a expressão -4(s-4)-3
represente um número do intervalo ]-3, +∞[?
(Retirado do Manual PI 9, 2012, pág. 127)
Resolução da Tarefa 1:
303
Tarefa 2
Hélio recebeu 60 euros dos avós no seu aniversário. Ele ganha 16 euros por semana a
distribuir propaganda comercial. Desde o seu aniversário ele já recebeu mais do que os
180 euros necessários para fazer uma viagem a Paris. Há quantas semanas foi o seu
aniversário?
(Retirado de Ponte, Branco & Matos, 2009, pág. 181)
Resolução da Tarefa 2:
304
305
Anexo 19: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 1
Nome do
Aluno
Tarefa 1 Exercício 2, pág. 116 do manual Tarefa 2
Ana A. Representou uma ineq. de duas
formas em 2.4, sendo a 2.ª
incorreta: x×6≤400 ou 6x≥400
Resolveu numericamente a), de forma incorreta: erro na
adição de n.ºs de sinais contrários
Resolveu em linguagem natural, de forma incorreta, b):
erro no fato de uma medida poder tomar um n.º negativo
Ana C. Representou a ineq. correta de duas
formas em e): x+20<100 ou 100>x+20
Deduziu uma ineq. incorreta em
2.5: 5/k >18 em vez de k/5>18
(erro no significado de quociente
entre 2 n.ºs)
Deduziu e resolveu a eq. em a)
Não indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Não representou o C.S. da ineq. em b)
Não indicou a solução do probl. em b)
André D. Deduziu uma ineq. incorreta em
2.5: 5/k >18 em vez k/5>18 (erro
no significado de quociente entre
2 n.ºs)
Deduziu e resolveu bem a eq. em a)
Indicou o C.S. correto da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Não representou o C.S. da ineq. em b)
Não indicou a solução do probl. em b)
Bráulio P. Indicou, corretamente, que o peso do saco
de gomas tem que tomar um n.º positivo,
ao contrário de todos os colegas, em d)
Deduziu uma ineq. incorreta em
2.3: 15-2x>30 em vez de 15-
2x≤30 (erro no sinal de
desigualdade)
Resolveu numericamente, de forma correta, a)
Resolveu em linguagem natural, de forma incorreta, b):
erro no fato de uma medida poder tomar um n.º negativo
Cheikh G. Resolveu numericamente a), de forma incorreta: erro na
adição de n.ºs de sinais contrários
Resolveu em linguagem natural, de forma incorreta, b):
erro no fato de uma medida poder tomar um n.º negativo
Débora R. Deduziu uma ineq. incorreta em
2.3: 15-2x<30 em vez de 15-
2x≤30 (erro no sinal de
desigualdade)
Deduziu e resolveu a eq. em a)
Representou o C.S. correto da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
306
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo,
compreensão e graficamente)
Verificou se um dado n.º é solução da ineq. em b)
Indicou a solução do probl. em b)
Francisco
C.
Deduziu e resolveu a eq. em a)
Não indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo e
compreensão)
Não indicou a solução do probl. em b)
Francisco
L.
Deduziu e resolveu a eq. em a)
Não indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo,
compreensão e graficamente)
Não indicou a solução do probl. em b)
Gonçalo M. Deduziu e resolveu a eq. em a)
Não indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo e
compreensão)
Não indicou a solução do probl. em b)
Inês O. Deduziu e resolveu a eq. em a)
Indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo,
compreensão e graficamente)
Indicou a solução do probl. em b)
João C. Representou a ineq. correta de
uma forma diferente da maioria
em 2.2: x+(x×3) 18 em vez
x+3x 18
Deduziu uma ineq. incorreta em
Deduziu e resolveu a eq. em a)
Indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Resolveu a ineq. em b) (não pedido)
Não representou o C.S. da ineq. em b)
307
2.5: 5/k >18 em vez k/5>18 (erro
no significado de quociente entre
2 n.ºs)
Não indicou a solução do probl. em b)
Mariana C. Deduziu e resolveu a eq. em a)
Indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Resolveu a ineq. em b) (não pedido)
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo e
graficamente)
Não indicou a solução do probl. em b)
Mariana S. Resolveu a eq. em a)
Indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo,
compreensão e graficamente)
Não indicou a solução do probl. em b)
Mário M. Deduziu e resolveu bem a eq. em a)
Não indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo e
compreensão)
Indicou uma solução incorreta do probl. em b) (intervalo)
Pedro A. Não realizou o Ex. 2 Deduziu e resolveu a eq. em a)
Não indicou o C.S. da eq. em a)
Não resolveu b)
Pedro R. Deduziu e resolveu a eq. em a)
Não indicou o C.S. da eq. em a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo)
Não indicou a solução do probl. em b)
Ricardo C. Não resolveu a)
Não resolveu b)
308
Samuel S. Deduziu uma ineq. incorreta em
2.3: 15-2x <30 em vez de 15-
2x≤30 (erro no sinal de
desigualdade)
Resolveu numericamente a), de forma incorreta: erro na
adição de n.ºs positivos
Resolveu numericamente, de forma incorreta, b): erro em
considerar apenas uma das soluções do probl.
Telma M. Representou a ineq. correta de
uma forma diferente da maioria
em 2.5: k:5>18 em vez k/5 >18
Resolveu numericamente, de forma correta, a)
Traduziu bem a ineq. em b)
Representou o C.S. correto da ineq. em b) (intervalo,
compreensão e graficamente)
Indicou a solução incorretta do probl. em b)
Tiago P. Não resolveu a)
Não resolveu b)
Nuno C. Representou a ineq. correta de
uma forma diferente da maioria
em 2.5: k:5>18 em vez k/5>18
Resolveu numericamente, de forma correta, a)
Resolveu em linguagem natural, de forma incorreta, b):
erro no fato de uma medida poder tomar um n.º negativo
Total de alunos da turma: 21
Total de Fichas de Trabalho n.º 1 entregues: 21
Total de alunos que realizaram a Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 1: 21
Total de alunos que realizaram o Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 1: 20
Total de alunos que realizaram a Tarefa 2 da Ficha de Trabalho n.º 1: 19 (tendo 18 realizado as duas alíneas)
309
Anexo 20: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 2
Nome do
aluno
Tarefa 1
Exercício 1, pág. 116 do manual (alíneas 1.1, 1.3, 1.4 e 1.6)
TPC (alíneas 1.5 e 1.7)
Ana A. Aplicou incorretamente o 2.º PE em f) Não realizou o Ex. 1
Ana C. Indicou um intervalo incorreto em b): fechado em +∞ e
erro na posição deste símbolo, ou seja, [+∞, -1[ em vez de
[-1, +∞[
Não indicou qualquer intervalo
Realizou 1.2 (não proposto)
Não realizou o TPC na ficha
André D. Trocou o sinal “≥ “ pelo sinal “>” em f) Realizou corretamente todas as alíneas
Bráulio P. Aplicou incorretamente o 2.º PE em d) e f)
Indicou um intervalo incorreto em a), c) e d):
erro na localização do símbolo -∞ no intervalo em a) e c),
ou seja, ]14, -∞[ e ]5, -∞[ em vez de ]-∞, 14[ e de ]-∞, 5[,
respetivamente; e
erro no sinal positivo de um n.º em d), ou seja., ]3, +∞[
em vez de ]-3, +∞[
Aplicou incorretamente o 2.º PE em 1.3
Indicou um intervalo incorreto em 1.4: fechado em vez de aberto, ou
seja,]-∞, 5/8] em vez de ]-∞, 5/8[
Realizou 1.2, 1.8 e 1.9 (não proposto)
Não realizou o TPC na ficha
Cheikh G. Não realizou a Tarefa 1 Não realizou 1.4 e 1.6
Não indicou o intervalo em 1.3
Realizou 1.2 (não proposto)
Não indicou o intervalo em 1.2
Débora R. Aplicou incorretamente o 2.º PE em f) Não realizou o Ex. 1
Francisco C. Não realizou d) e f)
Aplicou incorretamente o 1.º PE em 1.1 e 1.3
Não indicou o intervalo em 1.1 e 1.3
310
Não realizou 1.4, 1.6 e 1.7
Realizou 1.2 (não proposto)
Francisco L. Indicou um intervalo incorreto em a), d) e e):
erro num número em a) e d), ou seja, ]-∞, 7[ e ]-6, +∞[ em
vez de ]-∞, 14[ e ]-3,+∞[, respetivamente; e
erro no intervalo ilimitado inferiormente em vez de
ilimitado superiormente em e), ou seja,] -∞, 9[ em vez de
]9,+∞[
Realizou 1.2 (não proposto)
Gonçalo M. Indicou um intervalo incorreto em a), b), c), d) e f): erro
na representação do símbolo de infinito em todos os
intervalos; e
erro no sinal positivo de um n.º no intervalo f)
Aplicou incorretamente o 2.º PE em 1.6
Indicou um intervalo incorreto em 1.1: ilimitado inferiormente e fechado
em infinito em 1.1, ou seja, [-∞, 3] em vez de [3, +∞[; e
Indicou um intervalo incorreto em 1.4 e 1.6: fechado em infinito, ou
seja, [-∞, 5/8[ e [-∞, 3/4] em vez de ]-∞, 5/8] e ]-∞, 3/4], respetivamente
Realizou 1.2, 1.8 e 1.9 (não proposto)
Inês O. Indicou um intervalo incorreto em f):
erro no sinal positivo de um n.º no intervalo f), ou seja,
]-∞, 2/3] em vez de ]-∞, -2/3]
Aplicou incorretamente o 2.º PE em 1.6
Indicou um intervalo incorreto em 1.1 e 1.4: fechado em infinito, ou
seja, [3, +∞] e [-∞, 5/8] em vez de [3, +∞[ e ]-∞, 5/8], respetivamente; e
Indicou um intervalo incorreto em 1.3: fechado em infinito e na sua
posição, ou seja, [14, -∞] em vez de [14, +∞[
Realizou 1.2., 1.8 e 1.9 (não proposto)
João C. Aplicou incorretamente o 2.º PE em f) Aplicou incorretamente o 2.º PE em 1.3
Realizou 1.2 (não proposto)
Não realizou o TPC na ficha
Mariana C. Não entregou a Ficha de Trabalho n.º 2
Mariana S. Aplicou incorretamente o 2.º PE em f) Aplicou incorretamente o 2.º PE em 1.3
Não resolveu 1.6
Não realizou o TPC na ficha
Mário M. Resolveu corretamente a Tarefa 1 Aplicou incorretamente o 2.º PE em 1.3
311
Indicou um intervalo incorreto em 1.3: erro no sinal negativo de um n.º,
ou seja, [-14, +∞[ em vez de [14, +∞[
Realizou 1.2 (não proposto)
Pedro A. Não entregou a Ficha de Trabalho n.º 2
Pedro R.
Não realizou f) Aplicou incorretamente o 2.º PE em 1.3
Indicou um intervalo incorreto em 1.3: aberto em vez de fechado, ou
seja, ]14, +∞[ em vez de [14, +∞[
Não realizou o TPC na ficha
Ricardo C. Aplicou incorretamente o 2.º PE em f) Aplicou incorretamente o 2.º PE em 1.3
Não realizou o TPC na ficha
Samuel S. Não entregou a Ficha de Trabalho n.º 2
Telma M. Aplicou incorretamente o 2.º PE em f) Não realizou o Ex. 1
Tiago P. Não indicou o intervalo em d) e e) Não realizou o Ex. 1
Nuno C. Não entregou a Ficha de Trabalho n.º 2
Total de alunos da turma: 21
Total de Fichas de Trabalho n.º 2 entregues: 17
Total de alunos que realizaram a Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 2: 16
Total de alunos que realizaram o Exercício 1 da Ficha de Trabalho n.º 2: 13
312
313
Anexo 21: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 3
Nome do
aluno
Exercício 4, pág. 117 do manual (alíneas 4.1 e 4.2)
Ana A. Não indicou o intervalo em 4.1 e 4.2
Ana C. Resolveu, de forma incompleta, a ineq. em 4.2
Não indicou o intervalo em 4.2
André D. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.2
Trocou o sinal “≥ “ pelo sinal “>” em 4.2
Indicou os intervalos corretos para a resolução realizada em 4.1 e 4.2
Bráulio P. Erro no sinal de um n.º na ineq. em 4.1
Indicou os intervalos corretos para a resolução realizada em 4.1 e 4.2
Cheikh G. Não realizou 4.2
Não indicou o intervalo em 4.1
Débora R. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
Indicou os intervalos corretos para a resolução realizada em 4.1 e 4.2
Francisco C. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
Não indicou o intervalo em 4.1 e 4.2
Francisco L. Erro no sinal negativo de um n.º na ineq. em 4.1
Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.2
Indicou os intervalos pretendidos em 4.1 e 4.2, apesar da resolução incorreta das respetivas
inequações (contra censo)
Realizou 4.3. (não proposto)
Gonçalo M. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
314
Erro na representação do símbolo de infinito no intervalo em 4.1, ou seja, ]-∞, 78/11[ em vez de ]-∞,
78/11
Indicou o intervalo correto para a resolução realizada em 4.2
Inês O. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
Indicou os intervalos corretos para a resolução realizada em 4.1 e 4.2
João C. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
Indicou os intervalos pretendidos em 4.1 e 4.2, apesar da resolução incorreta das respetivas
inequações (contra censo)
Mariana C. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
Indicou o intervalo correto para a resolução realizada em 4.1
Erro no sinal de um n.º no intervalo em 4.2, ou seja, [1/2, +∞[ em vez de [-1/2, +∞[
Mariana S. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
Indicou os intervalos pretendidos em 4.1 e 4.2, apesar da resolução incorreta das respetivas
inequações (contra censo)
Mário M. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
Indicou os intervalos pretendidos em 4.1 e 4.2, apesar da resolução incorreta das respetivas
inequações (contra censo)
Pedro A. Não realizou o Ex. 4
Pedro R. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
Indicou os intervalos pretendidos em 4.1 e 4.2, apesar da resolução incorreta das respetivas
inequações (contra censo)
Ricardo C. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1 e 4.2
Indicou os intervalos pretendidos em 4.1 e 4.2, apesar da resolução incorreta das respetivas
inequações (contra censo)
Samuel S. Aplicou incorretamente o 2.º PE em 4.1
Aplicou incorretamente a propriedade distributiva em 4.2
Não indicou o intervalo em 4.1 e 4.2
Telma M. Não indicou o intervalo em 4.1
315
Tiago P. Não realizou o Ex. 4
Nuno C. Realizou corretamente o Ex. 4
Total de alunos da turma: 21
Total de Fichas de Trabalho n.º 3 entregues: 19
Total de alunos que realizaram o Exercício 4 da Ficha de Trabalho n.º 3: 19 (mas só 18 realizaram a alínea 4.2)
316
317
Anexo 22: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 4
Nome do
aluno
Tarefa 1
Exercício 13, pág. 123 do manual
Exercício 12, pág. 123 do manual
Exercício 41, pág. 127 do manual
Ana A. Indicou apenas o intervalo
correto em a)
Indicou apenas um intervalo
incorreto em b)
Não realizou c), d) e e)
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da
ineq.
Não indicou a solução do probl.
Ana C. Indicou apenas um intervalo
incorreto em a)
Não definiu a variável em b)
Traduziu mal a ineq. em b)
Resolveu bem a ineq. em b)
Não representou o C.S. da ineq.
em b)
Traduziu bem a ineq. em c)
Inventou bem o enunciado, mas
não colocou uma questão em d)
Não definiu a variável em e)
Traduziu e resolveu bem a ineq.
em e)
Não representou o C.S. da ineq.
em e)
Indicou uma solução incorreta
do probl. em e)
Não definiu a variável
Traduziu mal a ineq.: não deduziu
uma desigualdade
Não resolveu uma ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou um C.S. correto da
ineq.
Indicou uma solução incorreta do
probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu mal a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
318
André D. Resolveu, de forma correta, em
linguagem natural a)
Não definiu a variável em b)
Traduziu mal a ineq. em b)
Resolveu bem a ineq. incorreta
em b)
Indicou o C.S. da ineq. em b)
Traduziu bem a ineq. em c)
Inventou mal o enunciado e não
colocou uma questão em d)
(usou “inferior” em vez de
“superior”)
Traduziu e resolveu bem a
ineq. em e)
Não representou o C.S. da ineq.
em e)
Indicou a solução correta
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou uma solução incorreta do
probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Bráulio
P.
Resolveu, de forma incorreta,
em linguagem natural a)
(indicou apenas infinitos)
Indicou apenas um n.º em b)
Não indicou a expressão pedida
em c)
Indicou apenas um n.º em c)
(não pedido)
Inventou bem o enunciado e
colocou uma questão em d)
Não definiu a variável em e)
Traduziu mal a ineq. em e)
(x <7)
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu mal a ineq.: desigualdade
incorreta
Resolveu bem a ineq. incorreta
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq. (e tentou
resolver numericamente)
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
319
Não representou o C.S. da ineq.
em e)
Não indicou a solução do probl.
em e)
Cheikh
G.
Não entregou a ficha
Débora
R.
Indicou apenas o intervalo
correto em a)
Não definiu a variável em b)
Traduziu mal a ineq. em b)
Não resolveu a ineq. em b)
Não representou o C.S. da ineq.
em b)
Não realizou c), d) e e)
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq
Representou o C.S. correto da ineq.
Indicou a solução incorreta do
probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da
ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Francisco
C.
Indicou apenas o intervalo
correto em a)
Indicou apenas um intervalo
incorreto um b)
Não indicou a expressão pedida
em c)
Indicou apenas um intervalo em
c) (não pedido)
Inventou bem o enunciado e
colocou uma questão em d)
Não definiu a variável em e)
Traduziu e resolveu bem a
ineq. em e)
Não representou o C.S. da ineq.
em e)
Indicou a solução incorreta do
probl. em e)
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu mal a ineq.: “≥” em vez de
“>”
Resolveu bem a ineq. incorreta
Representou o C.S. correto da ineq.
incorreta
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu mal a ineq.: “>” em vez
de “≥”
Resolveu bem a ineq. incorreta
Representou o C.S. correto da
ineq. incorreta
Não indicou a solução do probl.
320
Francisco
L.
Indicou apenas um intervalo
incorreto em a)
Indicou apenas um intervalo
incorreto em b)
Traduziu bem a ineq. em c)
Inventou bem o enunciado, mas
não colocou qualquer questão
em d)
Não traduziu a ineq. em e)
Utilizou uma expressão
numérica para resolver o probl.
em e)
Indicou mal a solução do probl.
em e)
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq. (e tentou
resolver também numericamente)
Representou o C.S. correto da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq. (e tentou
resolver numericamente)
Representou o C.S. correto da
ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Gonçalo
M.
Não definiu a variável em a)
Traduziu mal a ineq. em a)
Não resolveu a ineq. em a)
Não representou o C.S. da ineq.
em a)
Indicou uma solução incorreta
do probl. em a)
Não definiu a variável em b)
Traduziu mal a ineq. em b)
(utilizou o sinal ≤ em vez do
sinal <)
Resolveu bem a ineq. incorreta
em b)
Representou o C.S. correto da
ineq. incorreta em b)
Traduziu mal a ineq. em c)
(utilizou o sinal ≥ em vez do
sinal >)
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu mal a ineq.: “≥” em vez de
“>”
Resolveu bem a ineq. incorreta
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou uma solução incorreta do
probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
321
Resolveu bem a ineq. incorreta
em c) (não pedido)
Representou bem o C.S.
incorreto da ineq. em c) (não
pedido)
Inventou bem o enunciado, mas
não colocou qualquer questão
em d)
Não definiu a variável em e)
Traduziu bem a ineq. em e)
Resolveu bem a ineq. em e)
Não representou o C.S. da ineq.
em e)
Indicou uma solução incorreta
do probl. em e) (esqueceu-se de
verificar que se x<3, 3 já não é
solução)
Inês O. Não definiu a variável em a)
Traduziu mal a ineq. em a)
Não resolveu a ineq. em a)
Não indicou o C.S. em a)
Não indicou a solução do probl.
em a)
Não definiu a variável em b)
Traduziu mal a ineq. em b)
(utilizou o sinal ≤ em vez do
sinal <)
Resolveu bem a ineq. incorreta
em b)
Representou o C.S. correto da
ineq. incorreta em b)
Traduziu mal a ineq. em c)
(utilizou o sinal ≥ em vez do
sinal >)
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu mal a ineq.: “≥” em vez de
“>”
Resolveu bem a ineq. incorreta
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou uma solução incorreta do
probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
322
Resolveu bem a ineq. incorreta
em c) (não pedido)
Representou um C.S. incorreto
da ineq. em c) (não pedido)
Inventou bem o enunciado, mas
não colocou qualquer questão
em d)
Não definiu a variável em e)
Traduziu bem a ineq. em e)
Resolveu bem a ineq. em e)
Não representou o C.S. da ineq.
em e)
Indicou a solução correta do
probl. em e)
João C. Resolveu, de forma correta, em
linguagem natural a)
Indicou apenas um intervalo
incorreto em b)
Traduzir mal a ineq. em c)
Indicou uma expressão e não
uma ineq. em c)
Não realizou d)
Não definiu a variável em e)
Traduziu bem a ineq. em e)
Resolveu bem a ineq. em e)
Não representou o C.S. da ineq.
em e)
Indicou a solução correta do
probl. em e)
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou uma solução incorreta do
probl.
Não definiu a variável
Resolveu incorretamente em
linguagem natural a ineq.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da
ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Mariana
C.
Não entregou a ficha
323
Mariana
S.
Indicou apenas o intervalo
correto em a)
Indicou apenas um intervalo
incorreto em b)
Traduziu bem a ineq. em c)
Inventou bem o enunciado, mas
não colocou qualquer questão
em d)
Não definiu a variável em e)
Traduziu bem a ineq. em e)
Resolveu bem a ineq. em e)
Não indicou o C.S. em e)
Indicou a solução correta do
probl. em e)
Definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da
ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Mário M. Resolveu, de forma correta, em
linguagem natural a)
Não definiu a variável em b)
Traduziu mal a ineq. em b)
Resolveu mal a ineq. incorreta
em b)
Não representou o C.S. da ineq.
em b)
Traduziu bem a ineq. em c)
Inventou bem o enunciado, mas
não colocou qualquer questão
em d)
Traduziu e resolveu bem a
ineq. em e)
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou a solução correta do
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Resolveu numericamente e
algebricamente, de forma correta, o
probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da
ineq.
Indicou a solução correta do probl.
324
probl. em e)
Pedro A. Não entregou a ficha
Pedro R. Indicou apenas o intervalo
correto em a)
Indicou apenas um intervalo
incorreto em b)
Traduziu bem a ineq. em c)
Inventou bem o enunciado, e
colocou uma questão em d)
Não definiu a variável em e)
Traduziu bem a ineq. em e)
Resolveu bem a ineq. em e)
Não representou o C.S. da ineq.
em e)
Indicou a solução correta do
probl. em e)
Definiu bem a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq. (não usou )
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Definiu a variável
Traduziu bem a ineq. (e resolveu
numericamente)
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Ricardo
C.
Indicou apenas o intervalo
correto em a)
Não definiu a variável em b)
Traduziu bem a ineq. em b)
Resolveu bem a ineq. em b)
Não representou o C.S. da ineq.
em b)
Não realizou c), d) e e)
Não realizou o Ex.13 Não realizou o Ex.12 Não realizou o Ex.41
Samuel
S.
Indicou apenas o intervalo
correto em a)
Não definiu a variável em b)
Traduziu mal a ineq. em b)
Resolveu mal a ineq. incorreta
em b)
Não indicou o C.S. em b)
Não definiu a variável
Traduziu mal a ineq., erro no termo,
ou seja, 3 em vez de 3x
Não resolveu a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Representou o C.S. correto da ineq.
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
325
Traduziu mal a ineq. em c)
Resolveu bem a ineq. incorreta
em c) (não pedido)
Não realizou d) e e)
Telma
M.
Indicou apenas um intervalo
incorreto em a)
Indicou apenas um n.º em b)
Traduziu bem a ineq. em c)
Inventou bem o enunciado, mas
não colocou qualquer questão
em d)
Não definiu a variável em e)
Traduziu bem a ineq. em e)
Resolveu bem a ineq. em e)
Não representou o C.S. da ineq.
em e)
Indicou a solução correta do
probl. em e)
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Indicou uma solução incorreta do
probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a ineq.
Resolveu bem a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
Tiago P. Resolveu, de forma incorreta,
em linguagem natural a)
(indicou apenas infinitos)
Indicou apenas um n.º em b)
Não realizou c)
Inventou bem o enunciado, mas
não colocou qualquer questão
em d)
Não realizou e)
Não realizou o Ex. 13 Não realizou o Ex. 12
Não definiu a variável
Traduziu bem uma ineq.
Resolveu mal a ineq.
Não representou o C.S. da ineq.
Não indicou a solução do probl.
326
Nuno C. Indicou apenas um intervalo
incorreto em a)
Indicou apenas um n.º em b)
Não traduziu a ineq. em c)
Indicou apenas um dos números
que é solução em c) (não
pedido)
Inventou bem o enunciado, mas
não colocou qualquer questão
em d)
Não realizou e)
Não realizou o Ex. 13 Não realizou o Ex. 12 Não realizou o Ex. 41
Total de alunos da turma: 21
Total de Fichas de Trabalho n.º 4 entregues: 18
Total de alunos que realizaram a Tarefa 1 da Ficha de Trabalho n.º 4: 18
Total de alunos que realizaram o Exercício 13 da Ficha de Trabalho n.º 4: 15
Total de alunos que realizaram o Exercício 12 da Ficha de Trabalho n.º 4: 15
Total de alunos que realizaram o Exercício 41 da Ficha de Trabalho n.º 4: 16
327
Anexo 23: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 5
Nome do
aluno
Ex. 1, pág. 120 do manual (alíneas 1.1 e 1.3)
Ex. 2, pág. 120 do manual (alíneas 2.2 e 2.4)
Ana A. Resolveu corretamente o Ex. 1 Indicou o intervalo correto em 2.2, mas não verificou que era o conjunto
vazio (intervalo e gráfico)
Ana C. Representou apenas cada um dos 2 intervalos em 1.1
Indicou o intervalo correto em 1.3 (gráfico)
Indicou o intervalo correto em 2.2 e 2.4 (intervalo e gráfico)
André D. Indicou o intervalo correto em 1.1
Indicou o intervalo correto em 1.3 (gráfico)
Indicou o intervalo correto em 2.2 intervalo)
Indicou o intervalo correto em 2.4 (intervalo e gráfico)
Bráulio P. Indicou o intervalo correto em 1.1 (gráfico)
Indicou o intervalo correto em 1.3 (gráfico)
Não realizou o Ex. 2
Cheikh G. Indicou o intervalo correto em 1.1 (gráfico)
Indicou o intervalo correto em 1.3
Não realizou o Ex. 2
Débora R. Não realizou 1.3
Indicou o intervalo incorreto em 1.1: aberto em vez de fechado
Aplicou incorretamente o 2.º PE na 2.ª ineq. em 2.2 e 2.4
Aplicou incorretamente a propriedade distributiva em 2.4
Troca do sinal de um número em 2.4
Indicou o intervalo correto para a resolução realizada em 2.2 e 2.4
Francisco C. Indicou o intervalo incorreto em 1.1: aberto em vez de fechado
Indicou o intervalo incorreto em 1.3: ilimitado superiormente
em vez de ilimitado inferiormente
Representou apenas cada um dos 2 intervalos em 2.2 e 2.4
Francisco L. Representou apenas cada um dos 2 intervalos em 1.1
Indicou o intervalo correto em 1.3
Indicou o intervalo incorreto em 2.2: representou mal o conjunto vazio
Gonçalo M. Indicou o intervalo correto em 1.1 (gráfico)
Indicou o intervalo correto em 1.3 (gráfico)
Não terminou a resolução da conjunção em 2.4
Indicou o intervalo correto em 2.2 (mas não verificou que era o conjunto
vazio)
Não indicou o C.S. em 2.4
Inês O. Indicou o intervalo correto em 1.1 (gráfico)
Indicou o intervalo correto em 1.3 (gráfico)
Indicou o intervalo incorreto em 2.4: erro num n.º (intervalo e gráfico)
João C. Não entregou
328
Mariana C. Trocou o sinal de um n.º na 1.ª ineq. em 1.3
Aplicou incorretamente o 2.º PE na 2.ª ineq. em 1.3
Indicou o intervalo correto para a resolução realizada em 1.3
Não realizou o Ex. 2
Mariana S. Resolveu, incorretamente, em conjunto as 2 inequações em 1.3
Aplicou incorretamente o 2.º PE na 2.ª ineq. em 1.3
Representou apenas cada um dos 2 intervalos em 1.1
Indicou o intervalo correto para a resolução realizada em 1.3
(gráfico)
Aplicou incorretamente o 2.º PE na 2.ª ineq. em 2.4
Adicionou incorretamente termos semelhantes em 2.4
Indicou o intervalo correto para a resolução realizada em 2.4
Mário M. Indicou o intervalo correto em 1.1
Indicou o intervalo correto em 1.3
Indicou o intervalo correto em 2.2 (intervalo)
Indicou o intervalo correto em 2.4 (intervalo)
Pedro A. Não entregou
Pedro R. Resolveu, incorretamente, em conjunto as 2 inequações em 1.3
Aplicou incorretamente o 2.º PE na 2.ª ineq. em 1.3
Representou apenas cada um dos 2 intervalos em 1.1
Indicou o intervalo correto para a resolução realizada em 1.3
Aplicou incorretamente o 2.º PE na 2.ª ineq. em 2.2
Indicou o intervalo correto para a resolução realizada em 2.2
Não indicou o C.S. em 2.4
Ricardo C. Indicou o intervalo correto em 1.1
Indicou o intervalo correto para a resolução realizada em 1.3
Não realizou o Ex. 2
Samuel S. Indicou o intervalo correto em 1.1
Indicou o intervalo incorreto em 1.3: ilimitado inferiormente
em vez de ilimitado superiormente
Aplicou incorretamente o 2.º PE na 2.ª ineq. em 2.2 e 2.4
Aplicou incorretamente a propriedade distributiva em 2.4
Troca do sinal de números em 2.4
Indicou um intervalo incorreto em 2.2: aberto em vez de fechado, ilimitado
inferiormente em vez de ilimitado superiormente, e representação do símbolo
de infinito
Indicou um intervalo incorreto em 2.4: ilimitado superiormente em vez de
ilimitado inferiormente, troca de um n.º e representação do símbolo de
infinito
Telma M. Não entregou
Tiago P. Não realizou 1.3
Não indicou o intervalo em 1.1
Não realizou o Ex. 2
Nuno C. Representou apenas cada um dos 2 intervalos em 1.1
Indicou um intervalo correto em 1.3
Indicou o intervalo correto em 2.2, mas não verificou que era igual o conjunto
vazio (intervalo e gráfico)
329
Total de alunos da turma: 21
Total de Fichas de Trabalho n.º 5 entregues: 18
Total de alunos que realizaram o Exercício 1 da Ficha de Trabalho n.º 5: 18
Total de alunos que realizaram o Exercício 2 da Ficha de Trabalho n.º 5: 13
330
331
Anexo 24: Análise das Resoluções da Ficha de Trabalho n.º 6
Nome
Exercício 14, pág. 123 do manual
Exercício 24, pág. 125 do manual
Ana A. Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Não terminou de resolver a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo e gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
Ana C. Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Não terminou de resolver a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não realizou o Ex. 24
André D. Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Não terminou de resolver a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo e gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
Bráulio P. Definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da
conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo e
gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
Definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
332
Cheikh G. Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Não resolveu a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não realizou o Ex. 24
Débora R. Não realizou o Ex. 14 Não realizou o Ex. 24
Francisco C. Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
(intervalo)
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Francisco L. Definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da
conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo)
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu mal a 1.ª ineq. (aplicou mal o 2.º PE), mas resolveu bem a 2.ª ineq.
da conjunção de ineq.´s
Representou um C.S. incorreto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
(intervalo) (fechado em vez de aberto e aberto em vez de fechado)
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Gonçalo M. Não definiu a variável
Traduziu bem a 1.ª ineq., mas traduziu mal a 2.ª ineq. da
conjunção (erro na fórmula da área do trapézio)
Resolveu bem a 1.ª ineq., e resolveu bem a 2.ª ineq. incorreta
da conjunção
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou bem o C.S. da conjunção de ineq.´s (intervalo e gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
Inês O. Não definiu a variável
Traduziu bem a 1.ª ineq., mas traduziu mal a 2.ª ineq. da
conjunção (erro na fórmula da área do trapézio)
Não terminou de resolver a conjunção de ineq.´s
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
333
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo e gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
João C. Definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo)
Não indicou a solução do probl.
Mariana C. Definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo e gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
Mariana S. Não realizou o Ex. 14 Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo e gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
Mário M. Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da
conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo)
Indicou a solução correta do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu mal a 1.ª ineq. (aplicou mal o 2.º PE), mas resolveu bem a 2.ª ineq.
da conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo)
Não indicou a solução do probl.
Pedro A. Definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou um C.S. correto da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da
conjunção (intervalo)
Não realizou o Ex. 24
334
Representou um C.S. correto da conjunção de ineq.´s
(intervalo)
Não indicou a solução do probl.
Pedro R. Não definiu a variável
Traduziu bem a 1.ª ineq., mas não traduziu a 2.ª ineq. da
conjunção
Resolveu mal a 1.ª ineq. (erro no sinal de um n.º) e não
resolveu a 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo e gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
Ricardo C. Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
(intervalo)
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo)
Não indicou a solução do probl.
Samuel S. Definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou bem C.S. da conjunção de ineq.´s (intervalo)
Não indicou a solução do probl.
Telma M. Não definiu a variável
Traduziu bem a 1.ª ineq. da conjunção, mas traduziu mal a 2.ª
ineq. da conjunção (erro na fórmula da área do trapézio)
Não resolveu a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Indicou a solução correta do probl.
Tiago P. Definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
335
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
(intervalo)
Representou o C.S. correto da conjunção de ineq.´s (intervalo e
gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Não representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. a conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Nuno C. Definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Não representou o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção
Não representou o C.S. da conjunção de ineq.´s
Não indicou a solução do probl.
Não definiu a variável
Traduziu bem a conjunção de ineq.´s
Resolveu bem a conjunção de ineq.´s
Representou bem o C.S. da 1.ª ineq. e da 2.ª ineq. da conjunção (intervalo)
Representou bem C.S. da conjunção de ineq.´s (intervalo e gráfico)
Indicou a solução correta do probl.
Total de alunos da turma: 21
Total de Fichas de Trabalho n.º 6 entregues: 21
Total de alunos que realizaram o Exercício 14 da Ficha de Trabalho n.º 6: 19
Total de alunos que realizaram o Exercício 24 da Ficha de Trabalho n.º 6: 17