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Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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1
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour y accéder directement)
Exercice 1 : représentation paramétrique d’une droite connaissant un point et un vecteur directeur
Exercice 2 : représentation paramétrique d’une droite connaissant deux points
Exercice 3 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et parallèle à une droite
Exercice 4 : représentation paramétrique d’une droite passant par un point et orthogonale à un plan
Exercice 5 : utilisation de la représentation paramétrique d’une droite
Exercice 6 : représentation paramétrique d’une droite et projection orthogonale
Exercice 7 : intersection de droites (= position relative de deux droites)
Exercice 8 : intersection de droites suivant un paramètre (= position relative de deux droites)
Exercice 9 : intersection de droite et de plan (= position relative d’une droite et d’un plan)
Exercice 10 : intersection de droite et de sphère
Exercice 11 : droites coplanaires et détermination d’une équation cartésienne de plan
Exercice 12 : représentation paramétrique d’un segment et d’une demi-droite
Exercice 13 : intersection de deux plans et représentation paramétrique de la droite d’intersection
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Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie
Exercices corrigés
Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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On munit l’espace d’un repère ( ). La droite ( ) passe par le point ( ) et admet (
) comme
vecteur directeur. Donner une représentation paramétrique de ( ).
La droite ( ) passe par le point ( ) et admet ( ) comme vecteur directeur.
( ) ( ) et colinéaires ⏟
tel que tel que {
tel que {
tel que {
Une représentation paramétrique de la droite ( ) est {
( ).
Remarque : On pouvait directement appliquer le résultat du cours ci-dessous.
Rappel : Représentation paramétrique d’une droite
On munit l’espace d’un repère ( ). Soit ( ) la droite passant par le point ( ) et admettant
le vecteur (
) pour vecteur directeur. Dire qu’un point ( ) appartient à ( ) équivaut à dire qu’il
existe un réel vérifiant le système d’équations paramétriques de paramètre suivant : {
Exercice 1 (1 question) Niveau : facile
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Représentation paramétrique d’une droite – Géométrie dans l’espace – Exercices corrigés
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On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les
points ( ) et ( ).
Soient les points ( ) et ( ). Alors le vecteur a pour coordonnées (
), c’est-à-dire
(
).
La droite ( ) passe par le point ( ) et admet (
) pour vecteur directeur donc une
représentation paramétrique de la droite ( ) est {
, c’est-à-dire {
( ) où .
Finalement, une représentation paramétrique de la droite ( ) est {
( ).
Remarque importante : Une représentation paramétrique de droite est obtenue à partir du choix d’un point et
d’un vecteur directeur. C’est pourquoi il n’y a pas unicité de la représentation paramétrique d’une droite. En
l’occurrence, {
( ), c’est-à-dire {
( ) est une autre représentation
paramétrique de la droite ( ).
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
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On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une représentation paramétrique de la droite ( ) passant
par le point ( ) et parallèle à la droite passant par les points ( ) et ( ).
Rappel : Parallélisme et colinéarité
On munit l’espace d’un repère ( ). Soient ( ) et ( ) deux droites de vecteurs directeurs respectifs
et . Ces droites sont parallèles (c’est-à-dire strictement parallèles ou confondues) si et seulement si et sont
colinéaires.
Les droites ( ) et ( ) étant parallèles, un vecteur directeur de la droite ( ) est le vecteur . Or, a pour
coordonnées (
), c’est-à-dire (
).
( ) passe par le point ( ) et admet (
) pour vecteur directeur donc une représentation
paramétrique de ( ) est {
( )
( ), c’est-à-dire {
( ).
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile
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On munit l’espace d’un repère ( ). Donner une représentation paramétrique de la droite ( ) passant
par le point ( ) et orthogonale au plan d’équation .
Rappel : Vecteur normal à un plan
Dire qu’un vecteur non nul est normal à un plan signifie que toute droite de vecteur directeur est
orthogonale à ce plan.
L’ensemble des points ( ) de l’espace qui vérifient l’équation cartésienne (où
, , désignent des réels non tous nuls et un réel) est un plan de vecteur normal ( ).
Réciproquement, si un plan a pour vecteur normal ( ), alors ce plan a une équation cartésienne de la forme
(où , , désignent des réels non tous nuls et un réel).
( ) est une droite orthogonale au plan d’équation , donc ( ) admet pour vecteur
directeur un vecteur normal à ce plan.
Or, un vecteur normal au plan d’équation ( ) est le vecteur (
).
( ) passe par le point ( ) et admet (
) pour vecteur directeur donc une représentation
paramétrique de ( ) est {
( )
( ), c’est-à-dire {
( ).
Exercice 4 (1 question) Niveau : facile
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On munit l’espace d’un repère ( ).
Soit la droite ( ) dont une représentation paramétrique est {
( ).
1) Donner les coordonnées de trois points appartenant à ( ).
2) Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour abscisse.
3) Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour ordonnée.
4) Préciser les coordonnées du point de ( ) ayant pour cote.
5) Le point de coordonnées ( ) appartient-il à ( ) ?
6) Donner un vecteur directeur de ( ).
7) Donner le vecteur directeur de ( ) de cote .
Soit la droite ( ) dont une représentation paramétrique est {
( ).
1) Donnons les coordonnées de trois points appartenant à ( ).
Rappel : Représentation paramétrique de droite et critère d’appartenance
Une représentation paramétrique d’une droite ( ) n’est pas un système à résoudre mais un critère
d’appartenance d’un point à ( ). Pour obtenir un point de ( ), il suffit d’affecter une valeur au paramètre de la
représentation paramétrique de ( ).
Pour chaque valeur réelle de , on obtient un point de ( ). Prenons donc arbitrairement 3 valeurs de distinctes.
Si , alors {
, c’est-à-dire {
.
Le point de coordonnées ( ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre .
Si , alors {
, c’est-à-dire {
.
Le point de coordonnées ( ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre .
Exercice 5 (7 questions) Niveau : facile
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Si √ , alors {
√
√
√
, c’est-à-dire {
√
√
√
.
Le point de coordonnées ( √ √ √ ) appartient à ( ). Il s’agit du point de paramètre
√ .
2) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant pour abscisse.
Pour ce faire, cherchons le point de coordonnées ( ). Ce point appartenant à ( ), ses coordonnées
vérifient chacune des équations paramétriques de ( ). Résolvons donc le système {
.
{
{
{
{
(
)
(
)
{
Le point de ( ) ayant pour abscisse a pour coordonnées ( ). Ce point est obtenu lorsque le
paramètre est égal à
.
3) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant pour ordonnée.
Cherchons donc le point de coordonnées ( ). Ce point appartenant à ( ), ses coordonnées vérifient le
système d’équations paramétriques de ( ). Résolvons donc le système {
.
{
{
{
{
Le point de ( ) ayant pour ordonnée a pour coordonnées ( ). Ce point est obtenu lorsque le
paramètre est égal à
.
4) Donnons les coordonnées du point de ( ) ayant pour cote.
Cherchons donc le point de coordonnées ( ). Comme ce point appartient à ( ), ses coordonnées en
vérifient le système d’équations paramétriques. Résolvons donc le système {
.
{
{
{
( )
( ) {
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Le point de ( ) ayant pour cote a pour coordonnées ( ). Ce point est obtenu lorsque le
paramètre est égal à .
5) Soit le point de coordonnées ( ).
1ère
méthode :
Ce point a pour abscisse . Or, lorsque , on a , c’est-à-dire . Calculons les autres
coordonnées du point de ( ) lorsque
Or, si , alors ( ) et ( ) .
Autrement dit, le point de coordonnées ( ) n’appartient pas à ( ).
Remarque : En revanche, le point de coordonnées ( ) appartient à ( ). C’est le point de ( ), de
paramètre .
2e méthode :
Vérifions si le système {
admet une solution réelle unique.
{
{
{
Ce système n’admet pas de solution donc le point de coordonnées ( ) n’appartient pas à ( ).
6) Donnons un vecteur directeur de ( ).
Une représentation paramétrique de ( ) est {
( ), c’est-à-dire {
( )
( ) ( ). Par
conséquent, un vecteur directeur de ( ) est (
).
7) Donnons le vecteur directeur de ( ) de cote .
1ère
méthode :
On cherche le vecteur directeur de ( ), de cote , c’est-à-dire le vecteur (
). Or, d’après la question
précédente, un vecteur directeur de ( ) est (
), vecteur de cote . Ainsi, . Le vecteur
directeur recherché est donc colinéaire à tel que .
Par conséquent, le vecteur directeur de ( ) ayant pour cote est le vecteur de coordonnées (
).
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2ème
méthode :
On cherche le vecteur directeur de ( ), de cote , c’est-à-dire le vecteur (
) colinéaire à (
),
vecteur de cote . Comme et sont colinéaires, leurs coordonnées sont proportionnelles. Ainsi, on a :
. Il vient alors que
( )
et
.
Par conséquent, le vecteur directeur de ( ) ayant pour cote est le vecteur de coordonnées (
).
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On munit l’espace d’un repère ( ). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de ( )
sur la droite ( ) dont une représentation paramétrique est {
( ).
Rappel : Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace
Dire qu’un vecteur (
) et qu’un vecteur (
) sont orthogonaux équivaut à dire que leur produit scalaire
est nul. Dans un repère orthonormal de l’espace, (
) et (
) sont orthogonaux si et seulement si
.
Une représentation paramétrique de ( ) est {
( ) donc ( ) est dirigée par le vecteur (
).
Notons ( ) le projeté orthogonal de sur ( ). Comme est le projeté orthogonal de sur ( ), il
vient que les vecteurs et sont orthogonaux, c’est-à-dire que .
En utilisant la représentation paramétrique de ( ), il existe un réel tel que {
. Dès lors, il vient
que ( ( )
), c’est-à-dire (
).
D’où
( ) ( ) ( )
Le point est donc le point de ( ), de paramètre
. Ainsi, les coordonnées de sont données par
{
(
)
(
)
(
)
.
Finalement, le point , projeté orthogonal de sur ( ), a pour coordonnées (
).
Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen
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On munit l’espace d’un repère ( ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques
respectives {
( ) et {
( ).
1) Démontrer que les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
2) Préciser les coordonnées de leur point d’intersection.
1) Démontrons que les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
Une représentation paramétrique de ( ) est {
( ) donc ( ) est un vecteur directeur de ( ).
Une représentation paramétrique de ( ) est {
( ) donc ( ) est un vecteur directeur de
( ).
Or, comme il n’existe aucun réel non nul tel que , les vecteurs et ne sont pas colinéaires. Il
s’ensuit que les droites ( ) et ( ) sont soit coplanaires et sécantes soit non coplanaires et jamais sécantes.
Remarque importante : Attention ! Dans l'espace, deux droites non parallèles ne sont pas nécessairement
sécantes. Elles peuvent être non coplanaires et ne jamais être sécantes.
( ) ( ) ( ) {
{
{
{
{
( ) {
{
{
{
Le système admet pour solution le couple ( ) ( ) donc les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
2) Précisons les coordonnées du point d’intersection des droites ( ) et ( ).
Les coordonnées du point d’intersection de ( ) et ( ) sont donc obtenues, soit en remplaçant par dans la
représentation paramétrique de ( ), soit en remplaçant par dans la représentation paramétrique de ( ).
Une représentation paramétrique de ( ) est {
( ) donc les coordonnées de l’unique point de
( ), de paramètre , vérifient ce système d’équations paramétriques pour .
Ainsi, le point d’intersection de ( ) et ( ) a pour coordonnées ( ), c’est-à-dire
( ).
Exercice 7 (2 questions) Niveau : facile
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On munit l’espace d’un repère ( ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques
respectives {
( ) et {
( ). Déterminer, suivant les valeurs du paramètre
réel , l’intersection des deux droites.
( ) ( ) ( ) ( ) tels que {
{
( ) tels que {
( ) tels que {
( ) tels que {
( ) tels que {
( ) tels que {
( ) tels que {
( ) tels que {
Posons le discriminant du trinôme du second degré . Alors ( ) .
donc le trinôme admet deux racines réelles et distinctes :
( ) √
( ) √
Par conséquent, 3 cas de figure sont à envisager :
si , alors les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
Leur point d’intersection a pour coordonnées ( ), c’est-à-dire ( ).
On note ( ) ( ) {( )}.
si
, alors les droites ( ) et ( ) sont sécantes.
Leur point d’intersection a pour coordonnées (
), c’est-à-dire (
).
Exercice 8 (1 question) Niveau : moyen
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On note ( ) ( ) {(
)}.
si { }, alors les droites ( ) et ( ) ne sont pas sécantes.
On note ( ) ( ) .
Remarque : Dans ce dernier cas, comme elles ne sont pas sécantes, les droites ( ) et ( ) sont soit coplanaires
et confondues, soit coplanaires et parallèles, soit non coplanaires.
Or, une représentation paramétrique de ( ) est {
( ) donc un vecteur directeur de ( ) est
(
). En outre, une représentation paramétrique de ( ) est {
( ) donc un vecteur
directeur de ( ) est (
). Les cotes de et sont égales mais par leurs ordonnées ; il n’existe donc aucun
réel non nul tel que . Autrement dit, les vecteurs et ne sont pas colinéaires et les droites ( ) et
( ) ne sont ni confondues ni parallèles. Finalement, si { }, alors les droites ( ) et ( ) ne sont pas
coplanaires.
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On munit l’espace d’un repère ( ). Déterminer l’intersection de la droite ( ) dirigée par ( ) et
passant par ( ) :
1) avec le plan ( ) 2) avec le plan ( ) 3) avec le plan ( )
1) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan ( ).
La droite ( ) est dirigée par ( ) et passe par ( ) donc une représentation paramétrique de ( ) est
{
( ).
De plus, une équation du plan ( ) est .
( ) ( ) ( ) {
{
{
{
( ) ( )
{
La droite ( ) et le plan ( ) ont pour intersection le point de coordonnées ( ).
2) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan ( ).
Une équation du plan ( ) est .
( ) ( ) ( ) {
{
{
{
( )
( )
{
La droite ( ) et le plan ( ) ont pour intersection le point de coordonnées ( ).
Exercice 9 (3 questions) Niveau : facile
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3) Déterminons l’intersection de la droite ( ) avec le plan ( ).
Une équation du plan ( ) est .
( ) ( ) ( ) {
{
{
{
(
)
(
)
{
La droite ( ) et le plan ( ) ont pour intersection le point de coordonnées (
).
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L’espace est muni d’un repère ( ) dans lequel on place les points ( ), ( ),
( ) et ( ). Etudier l’intersection de la sphère de diamètre [ ] et de la droite ( ).
1) Dans un premier temps, déterminons une représentation paramétrique de ( ), droite passant par et .
Un vecteur directeur de cette droite est le vecteur (
), c’est-à-dire (
). De plus, ( )
appartient à ( ) donc une représentation paramétrique de ( ) est {
.
2) Dans un second temps, déterminons une équation de la sphère ( ) de diamètre [ ].
( ) ( ) . Or, a pour coordonnées (
) et a pour coordonnées
(
). Donc ( )( ) ( )( ) ( )( )
Une équation cartésienne de la sphère ( ) de diamètre [ ] est donc .
3) Déterminons désormais l’éventuelle intersection de ( ) et ( ).
( ) ( ) ( ) {
{
( ) ( ) ( ) ( )
{
{
Soit le discriminant du trinôme du second degré . Alors ( ) .
donc le trinôme admet 2 racines réelles distinctes :
( ) √
( ) √
Exercice 10 (1 question) Niveau : moyen
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Ainsi, on a :
( ) ( ) ( )
{
{
{
{
{
{
La sphère de diamètre [ ] et la droite ( ) ont deux points d’intersection et de coordonnées :
(
) (
)
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On munit l’espace d’un repère ( ). Soient les droites ( ) et ( ) de représentations paramétriques
respectives {
( ) et {
( ).
1) Montrer que les droites ( ) et ( ) sont coplanaires.
2) Donner une équation cartésienne du plan qu’elles déterminent.
1) Montrons que les droites ( ) et ( ) sont coplanaires.
Une représentation paramétrique de ( ) est {
( ). Par conséquent, ( ) est dirigée par le
vecteur (
).
Une représentation paramétrique de ( ) est {
( ). Par conséquent, ( ) est dirigée par le
vecteur (
).
Or, . Autrement dit, les vecteurs et sont colinéaires. Il s’ensuit que les droites ( ) et ( ) sont
coplanaires.
2) Donnons une équation cartésienne du plan qu’elles déterminent.
Les vecteurs et étant colinéaires, les droites ( ) et ( ) sont soit parallèles soit confondues. Montrons
qu’elles ne sont pas confondues.
D’après la représentation paramétrique de ( ), on déduit que ( ) ( ). Vérifions que ( ).
( ) {
{
{
{
Ce système n’admet pas de solution donc ( ).
Finalement, les droites ( ) et ( ) sont strictement parallèles. Cherchons désormais une équation du plan ( )
qu’elles déterminent.
Exercice 11 (2 questions) Niveau : moyen
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19
D’après la représentation paramétrique de ( ), on déduit que ( ) ( ). Il vient alors (
).
Ainsi, n’étant pas colinéaires, les vecteurs et forment un couple de vecteurs directeurs du plan ( ).
Cherchons désormais un vecteur ( ) normal à ce plan, où , et désignent des réels non tous nuls.
D’une part, ( ) ( ) ( )
D’autre part, ( ) ( ) ( )
Dès lors, ( ) ( ) et ( ) ( ) .
Ainsi, en posant par exemple , on obtient que ( ) est un vecteur normal à ( ).
Finalement, ( ) est le plan passant par ( ) et admettant ( ) comme vecteur normal.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Une équation cartésienne du plan déterminé par les droites ( ) et ( ) est .
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L’espace est muni d’un repère ( ) dans lequel on place les points ( ), ( ),
( ) et ( ).
1) Donner une représentation paramétrique du segment [ ].
2) Donner une représentation paramétrique de la demi-droite [ ).
3) Montrer que [ ] et [ ) sont sécants et préciser les coordonnées de leur point d’intersection.
1) Donnons une représentation paramétrique du segment [ ].
Rappel : Représentation paramétrique d’un segment
On munit l’espace d’un repère ( ). Soient ( ) et ( ) deux points distincts.
Dire qu’un point ( ) appartient à [ ] équivaut à dire qu’il existe un réel [ ] vérifiant le
système d’équations paramétriques de paramètre suivant : {
Le segment [ ] est dirigé par le vecteur . Or, a pour coordonnées (
).
Ainsi, ( ) [ ] {
( [ ]) {
( [ ])
{
( [ ]) est une représentation paramétrique du segment [ ].
2) Donnons une représentation paramétrique de la demi-droite [ ).
Rappel : Représentation paramétrique d’une demi-droite
On munit l’espace d’un repère ( ). Soient ( ) et ( ) deux points distincts.
Dire qu’un point ( ) appartient à [ ) équivaut à dire qu’il existe un réel [ [ vérifiant le
système d’équations paramétriques de paramètre suivant : {
La demi-droite [ ) est dirigée par le vecteur . Or, a pour coordonnées (
).
Exercice 12 (3 questions) Niveau : moyen
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Ainsi, ( ) [ ) {
( [ [) {
( [ [)
{
( [ [) est une représentation paramétrique de la demi-droite [ ).
3) Montrons que [ ] et [ ) sont sécants et précisons les coordonnées de leur point d’intersection.
( ) [ ] [ ) {
( [ ]) {
( [ [)
{
[ ]
[ [
{
[ ]
[ [
{
( )
[ ]
[ [
{
[ ]
[ [
{
[ ]
[ [
{
[ ]
{
[ ]
{
Le système admet pour solution le couple ( ) (
) donc [ ] et [ ) sont sécants.
Le point du segment [ ], de paramètre
, a pour coordonnées
{
{
.
Le point d’intersection de [ ] et [ ) a pour coordonnées (
).
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On munit l’espace d’un repère ( ). On désigne par ( ) et ( ) les plans d’équations cartésiennes
respectives et . Caractériser l’intersection éventuelle de ( ) et ( ).
( ) ( ) ( ) {
{
{ ( )
{
{
{
{
{
(
)
{
{
{
{
( )
Les plans ( ) et ( ) sont sécants suivant la droite dont une représentation paramétrique est
{
( ). Cette droite est dirigée par le vecteur
(
)
et passe par le point de coordonnées
(
).
Exercice 13 (1 question) Niveau : moyen
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