resetke statika
TRANSCRIPT
REŠETKASTE KONSTRUKCIJE
Pretpostavke o konstrukciji: (1) sustav je sklopljen iz pravocrtnih štapova (2) štapovi sustava su prizmatični, konstantnog presjeka (3) međusobno su vezani u čvorove idealnim zglobovima (bez trenja) (4) opterećenja su zadana u smjeru osi štapa i u čvorovima sustava (5) materijal je idealno elastičan (6) vrijedi hipoteza malih pomaka i malih deformacija (7) ravnoteža se uspostavlja na idealnom (polaznom) stanju
Kinematička stabilnost i statička određenost Nužan uvjet kinematičke stabilnosti osnovni geometrijski nepromjenljiv lik sastavljen od štapova - trokut
7
6
9
5
6
7
4
1
2
3
2
3
1
4
5
8
10
11
formiranje rešetkastog diska Broj štapova nš koji je dovoljan da rešetkasti disk s brojem čvorova nč bude geometrijski nepromjenljiv:
3n22)3n(3n ččš −=⋅−+= Da bi rešetkasti disk postao nosač:
čš n2n =
Ispitivanje dovoljnog uvjeta kinematičke stabilnosti: - kinematičkim metodama (preko načina vezivanja: na elementaran način ili temeljem
baznog nepromjenljivog lika) - statičkim metodama
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 58
Primjer: Ispitivanje geometrijske nepromjenljivosti metodom nultog opterećenja
A B
1
2 3
4
5 6
1 2
3
4 5
6
78 9
A B
1
2 3
4
S1 S2
S7
S2S1
S7
S5S4
S4 S5
S6
S6
S3
S3
S8
S8S9
S9
Sistem je neopterećen → 0B ,0A == pretpostavka: 0S7 ≠
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 59
Vrste rešetki
Naziv rešetke: - prema načinu vezivanja: konzolna, gredna, gredna s prepustima, trozglobna, lučna,
rešetkasti stup, itd. - ovisno o geometriji unutrašnjih štapova (ispune): V, N, K rešetka
štapovi gornjeg ruba - gornji pojas štapovi donjeg ruba - donji pojas
pojasevi: poligonalni i ravni (spec.) paralelni ako je štap ispune uspravan - uspravnica ili vertikala; ako je štap pod kutem - kosnik ili dijagonala
Konzolne N rešetke
V rešetka
K rešetka
Gerberova rešetka
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 60
METODE PRORAČUNA
• metoda čvorova • metode presjeka: metoda momentnih točaka (Ritterova metoda) i metoda projekcija • metoda zamjene štapova - analitički i grafički postupci. Izbor metode ovisi o cilju proračuna. Elementarna pravila koja vrijede općenito za rešetkaste nosače:
1. 2.
S1 = S = 0 2
S2S1
S1= − PS2
S1
P
S = 02
3. 4.
S3S1
S = 03
S2
S3S1
S2P
.
5.
S3S4
S = S1 3
S2S1
S = S2 4
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 61
Metode čvorova
a) Metoda čvor po čvor - grafička primjena
V2
1
2
3 5
4
6
7
8
9
10
12
11
V3V1
H1
H2
1
2
3
4
5
6
čvor 1
V1
H1
S1
S2
čvor 2
H2
S1S3
S4
čvor 3
V2S5
S2
S3
S6
čvor 4
S7
S4
S5
S8
čvor 5
V3
S10
S9
S6
S7
čvor 6
S8
S9
S11
S12 -- Maxwell-Cremonin plan sila
V2
a
c
d
e
f
g
h
i
b j
l
k
V3V1
H1
H2
1
2
3
4
5
6
plan silaMaxwell / Cremona
a
c
f
g
b
j
d
e
h
i
k
l
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 62
b) Metoda čvor po čvor - analitička primjena Primjer: Konzolna N rešetka
V2 V3
1
2 6 10
3 7 115 9
4 8 12
V1
H1
H2
1
2 4 6
3 5
α α α
S1
S2
S1 S5 S9
S4 S8 S12
S3 S7 S11
S2 S6 S10
S3 S7 S11S5 S9
S6 S10
S4 S8 S12 Jednadžbe ravnoteže:
α−=→=
−α−=→=
α−=→=
−α−=→=
α−=→=
−=→=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
sinSS0Y
VsinSS0Y
sinSS0Y
VsinSS0Y
sinSS0Y
VS0Y
9116č
i
3795č
i
574č
i
2353č
i
132č
i
111č
i
α−=→=
α+=→=
α−=→=
α+=→=
−α−=→=
−=→=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
cosSSS0X
cosSSS0X
cosSSS0X
cosSSS0X
HcosSS0X
HS0X
118126č
i
76105č
i
7484č
i
3263č
i
2342č
i
121č
i
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 63
Primjer: Gredna V rešetka
V1 V2BAy
α α α1
2 4 6
3 5S4
S8S4
S8
7
1
2 6 10
3 7
115 94 8
S2
S1S5 S9
S3S7
S11
S6 S10
S1
S2
S3
S5
S6
S7
S9
S10
S11
Prethodno se moraju odrediti reakcije.
Jednadžbe ravnoteže:
aiskorišten već0Y
SS0Y
sinVSS0Y
SS0Y
sinVSS0Y
SS0Y
sinAS0Y
7či
9116č
i
2895č
i
584č
i
1453č
i
142č
i
y11č
i
→=
−=→=
α+−=→=
−=→=
α+−=→=
−=→=
α−=→=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
aiskorišten već0X
aiskorišten već0X
cos)SS(SS0X
cos)SS(SS0X
cos)SS(SS0X
cos)SS(S0X
cosSS0X
7či
6či
986105č
i
85374č
i
54263č
i
4132č
i
121č
i
→=
→=
α−+=→=
α−+=→=
α−+=→=
α−=→=
α−=→=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 64
c) Metoda ravnoteže svih čvorova odjednom
V2
1
2
3 5
4
6
7
8
9
10
12
11
V3V1
H1
H2
1
2
3
4
5
6 Sustav jednadžbi ravnoteže čvorova:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
−
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
α
α−
α
α−−α
α−
α
α−−α
α
0
0
V
0
0
0
V
0
0
H
V
H
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
010sin
100000000
1cos0010000000
00010sin000000
00100cos100000
0000010sin
10000
00001cos001000
000000010sin00
000000100cos10
00000000010sin
1
000000001cos00
000000000001
000000000010
3
2
2
1
1
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
U matričnom obliku: fDsfsD ⋅=→=⋅ −1
D - matrica koeficijenata koji su funkcije geometrijskog položaja štapova rešetke s - vektor nepoznatih sila u štapovima f - vektor opterećenja u čvorovima
Nužan i dovoljan uvjet kinematičke i statičke stabilnosti: 0det ≠D
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 65
Metode presjeka
a) Metoda presjeka - grafička primjena (Culmannova metoda) Primjer: Gredna poligonalna rešetka
AB
F2
Rd
R
RlF1G
t
t
K
D
c
F2
F1
RA
B
RlGcK
D
poligon sila
mjerilo sila1cm :: 1kN
ravnoteža čitave rešetke: 0BAFF 21 =+++
ravnoteža lijevog dijela: 0DKGFAc
1 =++++ 321
Primjer: 'K' rešetka
AB
F2
Rd
R
Rl
F1
Gt
tD
c
F2
F1
RA
B
Rl
Gc
K
D
poligon sila
mjerilo sila1cm :: 1kN
K1
K2
K1
K2
21 KKK += ravnoteža lijevog dijela: 0DKGFA 1 =++++
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 66
b) Metoda presjeka - analitička primjena (Ritterova metoda) Primjer: Gredna poligonalna rešetka
AB
F2
Rd
R
RlF1
G
t
t
K
D
F2
F1
RA
B
Rl
poligon sila
mjerilo sila1cm :: 1kN
RKrk RG
RD
rg
rd
dg
k
Uvjeti ravnoteže lijevog dijela rešetke:
0MGgRrGgM
0MKkRrKkM
0MDdRrDdM
0RgR
0RkR
0RdR
GG
KK
DD
=−⋅−=⋅−⋅−=
=−⋅=⋅−⋅=
=−⋅=⋅−⋅=
∑
∑
∑
l
l
l
Vrijednosti sila u presjeku t-t:
g
MR
gr
G
k
MR
kr
K
d
MR
dr
D
0Rg
0Rk
0Rd
G
K
D
−=⋅−=
=⋅=
=⋅=
l
l
l
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 67
Analitička metoda presjeka u slučaju paralelnih pojaseva
G
D
K
t
t
α
V V V V V V V 3.5 V3.5 V
RG
RD
g d
Sustav jednadžbi:
d
MD0M
0R
RD
D=→=∑
α=→=
−−∑ sin
TK0Ytt
tti -- uvjet ravnoteže projekcije sila u smjer
okomito na pojasne štapove
g
MG0M
0R
RG
G=→=∑
Metoda zamjene štapova - Hennebergova metoda
Primjer:
A B
1
2 3
4
1 2
3
4 5
6
78 9
A B
P
1
2 3
4
1 2
3
4 5
6
z
8 9
A B
P
X1
X1
zadani nosač zamjenjujući nosač
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 68
A B
1
2 3
z10
S 40
S50
S60
S 30
S80 S90
A B
4
P
z
1 2
3
4 5
6
8 9
P
B
A
A B
1
2 3
4
z1
1 2
3
4 5
6
8 9
1
1
A = B = 0
z11S 41
S51
S61
S 31
S81
S 91S11
S21
S81
S91
1
Sila u i-tom štapu zamjenjujuće rešetke:
11i)0(
ii XSSS +=
)0(iS - sila u štapu i izazvana vanjskim opterećenjem
1iS - sila u štapu i izazvana djelovanjem jedinične sile 1X1 =
Sila u zamjenskom štapu:
11
)0(1
11
111)0(
11
ZZ
X0Z
XZZZ
−=→=
+=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 69
Rešetkasti nosači s paralelnim pojasevima
Primjer:
G3
λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ7 λ8
α1 α2
P1A
0
RG3
RD3
h
B0
P2 P3 P4 P5 P6 P7
G3g1 g2 g4 g5 g6 g7 g8
D3 D3
d1 d2 d4 d5 d6 d7 d8
K3K3
k1 k2 k4 k5 k6 k7 k8
V4
V4
v1 v2 v3 v5 v6 v7 v8 v9
1h M0
d1 d2 d3 d4
d5
d6 d7 d8
−g2 −g3 −g4 −g5 −g6 −g7
T0
V4 −K3
−
+
Sile u pojasnim štapovima:
0ii M
h1D ⋅+= ; 0
ii Mh1G ⋅−=
Sile u dijagonalnim štapovima: 0ii T
sin1K ⋅α
±=
Sile u štapovima vertikala: 0
1ii TV −±=
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 70
Rešetkasti nosači sa K - ispunom
G3
β
A0
RG3
RD3
B0
G3
g1
g2
g4
g5
g6
D3 D3d1 d2 d4 d5 d6
K3g
k1g
k2g
k4g
k5gk6g
v
v1g
V
v5g
I
I IIIII
IV
A B
rg3
k1dk2d
K3g
K3d
K3d
k4d k5d k6drd3
v1d
v2g
v2d
V
V
V3g
3d
3d
3g
v4g
v4d v5d
v6g
v6d
Rk3
KigV
Kid
ig
Vid
RKi
αig
αidi
Vig
Vid
αig
αid
Gi
Vig
β
β
p
Gi 1−
Ki 1− g
αi−1−β( )
igid
Di
Pid
Pig
Di 1−
VidKig
Kid
i
Ki 1− dα(i−1) d
rk3
Sile u štapovima donjeg i gornjeg pojasa za vertikalno opterećenje:
0i
dii M
r1D ⋅= ; 0
igi
i Mr1G ⋅−=
Sile u dijagonalnim štapovima
Ravnoteža čvora i: Kiidig RKK =+
idig
idigididigigiX K
coscos
K0cosKcosK:0S ⋅αα
−=⇒=α+α=∑ idiig KfK ⋅−=→
Rezultanta sila u dijagonalama istog polja:
)sinf(sinKR idiigiKi α+α= ; iiKiidig sinK2R α=⇒α=α
0i
kiKi M
r1R ⋅−=
Sile u štapovima vertikala
Ravnoteža čvora ig: igg)1i(g)1i(
igip PKcos
)(sinV:0S −⋅
β
β−α−== −
−∑
Ravnoteža čvora id : idd)1i(d)1i(idiY PsinKV:0S +α⋅== −−∑ Nosač s paralelnim pojasevima, α=αi : 0
iii Mh1GD ⋅=−= ; ; iidig KKK =−=
0ii T
sin21K ⋅α
−= ; ig0
1iig PT21V −= − ; id
01iid PT
21V +−= −
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 71
Rešetkasti nosači sa sekundarnom ispunom
P3P2P1A0
B0P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11
− osnovna rešetka
− sekundarne rešetke Sile u štapovima
− proračun sila u štapovima sekundarnih rešetki
− proračun sila u štapovima osnovne rešetke
P3P2P1
R1d
sekundarni nosač 1.
P7P6P5
R2d
sekundarni nosač 2.
P11P10P9
sekundarni nosač 3.
R2l R3l
l
l
3d28II
2d14I
RRPP
RRPP
++=
++=
A0B0
PI PII
Konačne veličine sila u štapovima: II
iIii SSS +=
IiS − sila u štapu i u osnovnom nosaču IIiS − sila u štapu i u sekundarnom nosaču
Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 72