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Classes préparatoires ICAM
RESISTANCE
DES
MATERIAUX
Christophe MARCHAND
ICAM NANTES
Introduction à la RDM Ch. MARCHAND ICAN NANTES
Introduction à la résistance des matériaux
Rappels de statique
1. Principe fondamental de la statique (P.F.S.)
Si on isole un élément ou un ensemble d’éléments, la somme des forces extérieures et la
somme des moments auxquels il est soumis sont nulles.
0,0
ASFext ce qui donne les équations d’équilibre : 0 SextF et 0
SFextM
2. Exemple
Soit une poutre soumise à un certain nombre de charge, et en appui sur deux points.
d(OA)=2m
d(OB)=3m p : poids propre de la poutre : 100N/m
d(OC)=4m F1 : Charge ponctuelle de 2000N
Après avoir isolé la barre, déterminons les actions aux appuis O et C.
Théorème de la résultante statique sur y : -F1-(p.d(OC))+FO+FC=0
Théorème du moment statique sur z en O : -d(OB).F1-d(OA).(p.d(OC))+d(OC).FC = 0
On en déduit : FC = 1700N
FO = 700N
x y
A B O C
p F1
Torseur des forces de cohésion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Chapitre 1
Torseur des forces de cohésion
1. Existence de sollicitations internes.
Soit un solide S en équilibre sous l’action de n forces et moments, et d’un certain
nombre d’appuis.
Supposons que l’on scie le solide suivant une section droite
S est partagé en deux solides S1 et S2. En général, il n’y a plus équilibre après sciage.
En effet, le sciage fait disparaître des forces internes, dites de cohésion, qui s’exercent
de S1 sur S2 à la coupure .
2. Calcul des éléments de réduction du torseur des forces de cohésions.
Soit A un point de .
Après sciage suivant , le point A devient A1 sur la partie S1, et A2 sur la partie S2.
Déterminons les conditions d’équilibre de chacun des solides S1 et S2
0,0
ASFext
Soit : ASFext 1 La partie de forces extérieures appliquées sur S1
Soit : ASFext 2 La partie de forces extérieures appliquées sur S2
En appliquant le PFS,
ASFext 1 + ASFext 2 = 0,0
ASFext
Equilibre de S1
Une fois le solide S découpé, l’équilibre de S1 implique que S1 soit soumis à un
torseur représentant l’action de S2 sur S1 noté ASS 12
L’application du PFS nous donne : ASS 12 + 0,01
ASFext
On peut donc déduire que : ASS 12 = - ASFext 1
On appelle ASS 12 torseur des forces de cohésion en A sur la section .
S1 S2 S
S1 A1 S2
A2
Torseur des forces de cohésion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Remarques :
o La valeur des éléments de réduction dépend de la position de la section et
du point A.
o La valeur des éléments de réduction au point A2 de S1→S2 est égale à
l’opposée de la valeur des éléments de réduction au point A1 de S2→S1.
(Actions réciproques.)
ASS 12 =- ASS 21
3. Application aux poutres. a. Définition
Les poutres sont des solides dont deux des dimensions sont petites par rapport
à la troisième.
On obtient une poutre en prenant une surface plane et en faisant décrire à son
centre de gravité G une courbe G0G1, le plan de la surface restant normal à
G0G1.
On appelle une section droite de la poutre
On appelle G0G1 la ligne moyenne de la poutre.
b. Poutres droites.
i. Choix d’un système d’axes.
ii. Torseur des forces de cohésion
Les éléments de réduction seront déterminés au centre de gravité d’une
section droite d’une coupure fictive d’abscisse x.
On écrira les actions extérieures appliquées sur la partie gauche de la
section considérée.
G0
G1
x
z
y
Torseur des forces de cohésion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
4. Typologie des sollicitations, TFC associé.
L’écriture générale du TFC est de la forme
GMfzTzMfyTyMtxNx
si x est la direction principale
de la poutre.
a. Sollicitations simples
i. Traction compression simple.
Le TFC est de la forme :
G
Nx
00000
Les sections appuient les unes sur les autres.
ii. Cisaillement simple.
Le TFC est de la forme :
G
Ty
00000
ou bien
GTzTy
0000
si l’effort tranchant
n’est pas sur une direction principale.
Les sections glissent les unes sur les autres.
iii. Torsion simple.
Le TFC est de la forme :
G
Mtx
0000
0
Les sections tournent les unes par rapport aux autres.
iv. Flexion pure.
Le TFC est de la forme :
GMfz
00000
Les sections basculent les unes par rapport aux autres.
v. Flexion plane simple.
Le TFC est de la forme :
GMfz
Ty
0
0
00
Idem + effort tranchant en y.
vi. Flexion plane.
Le TFC est de la forme :
GMfz
TyNx
000
Idem + traction compression.
b. Sollicitations composées.
Toutes ces sollicitations peuvent êtres composées. On peut dissocier les
différentes sollicitations en écrivant qu’un TFC de la forme
GMfzTzMfyTyMtxNx
est une somme de torseurs de sollicitations simples.
Toutes les sollicitations du paragraphe 4.a. sont étudiées en PT, les
autres le seront en cycle ingénieur.
Torseur des forces de cohésion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
5. Relation entre effort tranchant et moment fléchissant. Définition :
o On appelle effort tranchant les actions normales à la direction de la section.
o On appelle moment fléchissant les moments normaux à la direction de la
poutre.
Considérons une poutre chargée et soumise à son propre poids :
Etudions un élément (« tranche ») de poutre.
En G : GTFC =G
G
G
MR
=
G
G
TzMTy
Nx
En I :
I
pdx
00000
soit en G :
G
pdxpdx
2²
0
000
En G1 : - 1GTFC =-
11
1
GG
G
MR
=
11
11
1
G
G
TzMTy
Nx
en G :
G
G
TzzdxTyydxTzMTy
Nx
1
1111
1
Appliquons le PFS en G :
00
0
1
1
1
TzTzpdxTyTy
NxNx
02
²0
0
11
11
1
pdxdxTMM
dxTMMMM
yGzGz
zGyGyGxGx
Or, 1GGG MMMd
ce qui permet de mettre les équations de moment sous la
forme :
02
²0
0
1
1
pdxdxTydM
dxTzdMdM
z
y
x
G
GG
d’où :
2²
0
1
1
pdxdxTydM
dxTzdMdM
z
y
x
G
GG
Si dx très petit, dx² est négligeable, ce qui permet d’écrire :
1
1
Tydx
dMfdx
dM
Tzdx
dMfdx
dM
zz
yy
G
G
Ces relations permettent de vérifier très rapidement la cohérence des calculs de
torseur des forces de cohésion.
x
z
y
A1 A2
F1 F2
G1 G I
p
Torseur des forces de cohésion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Chapitre 2
CONTRAINTE
1. But et hypothèses générales de la RDM
1.1. – but de la RdM :
La RDM est la science qui vise à la détermination rationnelle des pièces de machine ou
d’ouvrage (plus généralement de construction).
La RDM doit assurer d’une part, la sécurité des constructions et d’autre part, permettre de
réaliser des constructions économiques.
Les buts de la RDM seront donc :
de déterminer les sections d’une pièce permettant d’assurer sa résistance en
fonction :
- des actions mécaniques extérieures
- des caractéristiques du matériau (rôle des essais mécaniques)
de déterminer les déformations d’une pièce en tenant compte :
- de sa forme,
- des actions mécaniques extérieures
- des caractéristiques du matériau.
Par exemple : la déformation des ponts est réglementée, et c’est souvent cette condition qui
est prépondérante par rapport à la condition de résistance
1.2. Hypothèses générales de la RDM
Les matériaux sont supposés :
- homogènes (même caractéristiques quelque soit le point de la pièce)
- isotropes (en un point donné mêmes caractéristiques dans toutes les
directions)
Exemple : le bois est homogène mais non isotrope (problème fibrage), ainsi que les
pièces forgées et les matériaux «composite »
Attention :
Pour la RDM l’homogénéité n’est envisagée qu’en terme de caractéristiques
mécaniques, sinon à l’échelle atomique (ou plus) les matériaux ne sont pas
homogènes.
Les forces intérieures sont appliquées progressivement de 0 jusqu’à leur valeurs
finales (pas de variations brusques, ni chocs)
Hypothèse de BARRE de SAINT-VENANT
Les résultats de la RDM ne s’appliquent valablement qu’à une certaine distance de la
région d’application des forces concentrées. (Distance supérieure à 1 fois la plus grande
dimension transversale), de plus l’état des sollicitations ne dépend que du torseur des forces
de cohésion. C’est à dire que l’on pourra remplacer un chargement par un autre chargement
donnant le même TFC.
Torseur des forces de cohésion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Hypothèse de NAVIER-BERNOULLI
Les sections planes normales à la ligne moyenne avant chargement demeurent planes
et normales à la ligne moyenne après chargement.
(S’applique bien à la flexion de poutre élancée, à la traction, à la compression et à la
torsion des poutres de section circulaire. Pour les autres cas, après déformation, la section
devient gauche.)
2.Notion de contrainte
Soit un solide S.
Soit une section plane Σ coupant le solide (S) en deux parties : (S1) à gauche (S2) à
droite.
Soit M un point quelconque de cette surface.
Considérons une petite surface dS de cette section entourant le point M, et n la
normale à Σ en M orientée vers l’extérieur de S1.
Les forces extérieures appliquées sur la surface dS sont dF2→1
On appelle vecteur contrainte en M, relativement à la surface élémentaire dS,
orientée par la normale n le vecteur noté C(M,n) tel que :
dSFdC
dSnM
12
0),( lim
, C(M,n) est exprimée en Pascal (N/m²) ou en MPa (N/mm²)
C(M,n) peut être décomposé en deux vecteurs :
o un vecteur normal à la section noté .n appelé contrainte normale
sur la section ,
o Un vecteur tangent à la section noté .t appelé contrainte
tangentielle sur la section
C(M,n) = .n + .t
Expression des éléments du torseur des forces de cohésion
D’après la définition de la contrainte dF21 = C(M, n).dS
Donc
G
G
G
GG
G
dSnMCGMM
dSnMCR
M
RTFC
),(
),(
S S1 S2
S1
C(M,n) .t
.n
S1
dF2→1
n dS
M
Essai de traction Ch. MARCHAND ICAN NANTES
Chapitre 3
Essai de traction
1. Caractéristiques de l’essai de traction.
On applique un effort de traction de valeur croissante sur une éprouvette de
dimensions normalisées (en général, la section est unitaire).
On mesure l’allongement L de l’éprouvette en fonction de l’action de traction
exercée.
On trace le graphe de l’essai où apparaissent les grandeurs caractéristiques du
matériau.
Dans toute la zone OA, si l’on arrête
d’exercer l’effort de traction, l’éprouvette
reprend sa longueur initiale :
C’est la zone élastique.
Au delà du domaine OA, après relâchement
de l’action de traction, l’éprouvette gardera
une déformation résiduelle :
C’est la zone plastique.
2. Loi de Hooke :
L’élasticité du matériau durant la période OA s’écrit :
Y = a.x ou plutôt : F = k.L.
Si on recherche à exprimer les forces par unité de surface et les allongements par
unité de longueur, il est nécessaire de poser :
S0 : section initiale de l’éprouvette,
L0 : longueur initiale de l’éprouvette.
On peut désormais écrire : 00
'LLk
SF
On note:
k’ = E, Module d’Young du matériau essayé,
(E= 200 000 MPa pour les aciers)
0LL = εx allongement relatif suivant x.
Avec ces notations, la loi de Hoocke s’écrit :
0SF = E. εx
Avec l’allongement de l’éprouvette, on constate une diminution du diamètre.
On peut donc définir εy la variation relative de rayon εy = 00
0
RR
RRR
εx et εy sont liés par la relation : εy = - ν.εx,
ν étant le coefficient de Poisson.
0.1<ν<0.5 et ν =0.3 pour les aciers
Fr Fu
Fe
Zone
élastique Zone
plastique
O
A
l(mm)
F(N)
Essai de traction Ch. MARCHAND ICAN NANTES
3. Valeurs normalisées.
Par cet essai, on quantifie les qualités d’un matériau par :
E : module d’Young
Re=0S
Fe : limite élastique exprimée en MPa (Méga Pascal)
Rr=0S
Fr : limite à la rupture exprimée en MPa (Méga Pascal)
A%=100.0
0
LLLu
Z% : 0
0100S
SS u
4. Exemple d’essai de traction
Traction-Compression Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Chapitre 4
Traction, compression
1. Sollicitation.
Soit une poutre droite d’axe x.
Soit G un point de la ligne moyenne.
Une poutre est sollicitée en traction-compression si le torseur des forces de cohésion
qui s’exerce sur la section droite en G s’écrit :
G
G
NxTFC
00000
2. Hypothèses
Dans toutes les sections droites de la poutre, nous pouvons faire les hypothèses
suivantes :
la contrainte normale σx est uniformément répartie,
les contraintes tangentielles τy et τz sont nulles.
3. Relation contrainte / effort normal.
dSxdSxdSnMCN x
.),(
On peut donc écrire, en norme : SN x ,
ou bien encore : )(
)(
xS
xNx avec :
N(x), l’effort normal à la cote x
S(x) la section normale à la cote x.
4. Relation contrainte / déformation.
L’essai de traction à permis d’établir la loi de Hooke qui s’écrit : 00
.LLEE
SF ,
ΔL étant l’allongement d’une poutre de longueur initiale L0
G
G
C(M,n)
Traction-Compression Ch. MARCHAND ICAM NANTES
a. Effort normal constant : N(x)=constante.
G
G
NTFC
00000
et cela pour tous les points G de la ligne moyenne.
Soit Δx le déplacement d’un point G. La loi de Hooke nous permet d’écrire :
xx
ESN
x
.0
, ce qui devient : Ex
x x ou plutôt : SENx
Exxx
..
b. Effort normal non constant.
Ce cas ne sera étudié que sur un exemple.
Exemple d’une poutre soumise à son propre poids.
En appliquant le PFS, on peut écrire en O : xpLF
0
Soit G, placé sur la ligne neutre à la cote x.
G
G
pxpLTFC
00000
Soit Δx le déplacement du point G d’abscisse x.
Soit une tranche de poutre d’épaisseur dx.
Si lorsque l’on considère x grand, N(x) varie, pour dx petit,
N(x) peut être considéré comme constante.
dxSE
xNdu
)(
En superposant les tranches d’épaisseur
Soit du l’allongement de la tranche d’épaisseur dx.
SExN
dxdu )( ce qui permet d’écrire : dx, on montre que :
x
dux
0
d’où : x xx
dxxLpSE
NdxSE
dxSENx
0 00
)(11
xxppLx
SEx
02²1
Si x=0, Δx=0
Si x=x )2²( xLx
SEp
x
Si x=L SE
pLLL
SE
px
2
²)
2
²²(
G
x
O
G
A
x
L
N(x)
N(x)
dx
Traction-Compression Ch. MARCHAND ICAM NANTES
5. Condition de résistance.
Pour une section donnée à une abscisse définie, on a montré : )(
)(
xS
xNx
L’essai de traction détermine ReSNee
Il y a résistance à la traction si σ < σe=Re
En général, on souhaite σ < PeRsRe , s étant le coefficient de sécurité (avec s>1), et
RPe la résistance pratique à l’extension..
6. Concentration de contrainte.
L’hypothèse de la distribution uniforme des contraintes sur une section droite est une
idéalisation de la réalité. Cette hypothèse est souvent vérifiée pour des sections
ordinaires, mais l’est rarement si la section droite subie des variations géométriques.
Exemples :
Pour garantir la sécurité d’usage, on adopte un coefficient de concentration de
contrainte k tel que : σMax = k.σThéorique, avec σThéorique = SN (S : section à l’endroit de
la singularité).
Le coefficient de concentration de contrainte k est donné pour chaque cas par des
courbes (cf au dos un extrait du « Guide du dessinateur, les concentrations de
contraintes » édité par le CETIM)
Traction-Compression Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Cisaillement Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Chapitre 5
Le cisaillement
1. Sollicitation.
Soit une poutre droite d’axe x.
Soit G un point de la ligne moyenne.
Une poutre est sollicitée en cisaillement si le torseur des forces de cohésion qui
s’exerce sur la section droite en G s’écrit :
G
G TyTFC
00000
ou bien
G
G
TzTyTFC
0000
2. Hypothèses
Dans toutes les sections droites de la poutre, nous pouvons faire les hypothèses
suivantes :
Les déformations restent faibles,
Une section droite avant déformation reste droite après déformation : Les
sections glissent les unes sur les autres (jeu de cartes).
3. Relation contrainte / effort tranchant.
Etudions plus en détail le torseur des forces de cohésions :
dSCMG
dSCTyTFC
nM
nM
G
G),(
),(
00000
avec t.n.C )n,M(
L’écriture de la résultante permet d’écrire :
0.
.
0.
dSz
TydSy
dS
La première équation peut avoir 2 solutions en σ :
σ distribuée symétriquement autour de G, mais Mz est alors non nul,
σ = 0 et la valeur du moment (=0) dans le torseur des forces de cohésion est
vérifiée.
G 0. ds , mais Mz ≠ 0
Cisaillement Ch. MARCHAND ICAM NANTES
En conclusion, on peut écrire : σ = 0 ; τz = 0 ; Ty = dSy.
En prenant pour hypothèse que τy est uniformément répartie sur la section, on peut
écrire : S
Tyy
4. Relation contrainte / déformation. Comme pour l’essai de traction, on peut effectuer un essai de cisaillement faisant
apparaître les déformations suivantes :
ACCCtg 1)(
si γ petit, tg γ ≈ γ
On pourrait observer, comme dans l’essai de traction, une variation linéaire de γ en
fonction de Ty, puis l’apparition de discontinuités.
On peut, à partir de ces constatations décrire la première partie du diagramme par
l’équation d’une droite.
Si la répartition est uniforme, Ty = τydS donc, τy = dS
Ty
Ty = Kγ donc, τy = S
K
Si S est unitaire, K/S = G, qui dépend du matériau, et qui se nomme module
d’élasticité transversal, ou module de coulomb.
Le module de Coulomb G est homogène à une contrainte (ou pression).
Les modules d’élasticité longitudinal (E) et transversal (G) sont reliés par la relation :
)1(2 EG ou est le coefficient de Poisson
On peut remarquer que les lois contraintes/déformation sont semblables :
G pour le cisaillement, et
Ex pour la traction soit :
materiau lent représenta termecontraite de termendéformatio .
5. Condition de résistance.
Il y a résistance au cisaillement si τ < Rg, Rg est la résistance au glissement.
En général, on souhaite τ < s
Rg, s étant le coefficient de sécurité.
A C
C1
γ
Ty Ty
γ CC1
Torsion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Chapitre 6
La torsion
1. Sollicitation.
Soit une poutre droite de section circulaire d’axe x. (On se limitera aux sections
circulaires dans l’étude de la torsion).
Soit G un point de la ligne moyenne.
Une poutre est sollicitée en torsion si, en tout point G de la ligne moyenne, le torseur
des forces de cohésion qui s’exerce sur la section droite en G s’écrit :
G
G
MtTFC
0000
0
2. Hypothèses
Dans toutes les sections droites de la poutre, nous pouvons faire les hypothèses
suivantes :
Les déformations restent faibles,
Les déformations sont caractérisées par des rotations des sections les unes par
rapports aux autres (jeu de cartes).
3. Relation contrainte / moment de torsion.
Pour les mêmes raisons que pour la traction ou le cisaillement, il existe une limite de
glissement à ne pas dépasser pour ne pas obtenir un angle de torsion résiduel.
- Mtx
Mtx
α
α+dα
dx
α
γ
B
B1
G L
Mtx
O A
ρ
Torsion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
A partir de la figure précédente, on peut mettre en place les angles suivant :
Si est petit (hypothèse de petite déformation) :
BB1= ρ, avec ρ : rayon OA,
BB1=L γ, avec γ = τ/G (Cisaillement)
ρ = L.γ = L.τ/G On pose :
L
: angle de déformation unitaire (ramenée à l’unité de longueur).
On peut donc écrire : GGL
τ
avec :
θ : angle de déformation unitaire,
ρ : rayon du point courant,
G : module de Coulomb.
La contrainte τ n’est pas constante sur toute la section : θ et G sont constantes,
mais ρ est variable.
La contrainte est donc nulle au centre
de la poutre, et maximale à sa périphérie.
4. Relation contrainte / moment de torsion.
Dans le cas d’une sollicitation en torsion, le torseur des forces de cohésion est de la
forme : G
G
MtTFC
0000
0,
avec SSS
xdSzdSyzdSGMxMt MMM
111
or, GM d’où dSGMtS
2
avec G et θ deux constantes.
Ce qui permet d’écrire : dSGMtS
2
En posant dSIS
2
0 , on obtient : 0IGMt
I0 est le moment quadratique polaire de la section Σ.
Si on souhaite une relation entre τ et Mt, on remplace θ par
G
θ τ
GIGMt 0τ d’où
0I
Mtτ On en déduit :
vIMt
IMt
00
Max
Maxτ
G
B
B1
A B1
B
γ
O τ
z1
y1
G
M
Torsion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
5. Calcul d’une pièce en torsion.
5.1. Condition de résistance :
Il y a résistance au cisaillement si τ < Rg ,
Rg étant la résistance au cisaillement,
Rpg étant la résistance pratique au cisaillement.
En général, on souhaite τ < s
RgRpg , s étant le coefficient de sécurité.
5.2. Condition de déformation (ou condition de rigidité) :
On souhaite θ < θlimite. (par exemple, θlimite = 0.25°/m pour un arbre de
transmission).
limite0θ
IGMtθ
: Si θ est donné, on obtient un I0, donc un
diamètre.
5.2. Concentration de contrainte.
s
RgRpgKt τ dans le cas de sollicitations statiques
6. Calcul du moment quadratique polaire d’une section.
Soit la section ci-contre : (cas du cylindre creux)
Par définition dSI 20
dS=ρ.dβ.dρ
2
0
Re
Ri
0 ddI
4
ρ42I
Re
Ri
0
DiDe32
RiRe2
0I 4444
Remarque :
Si Ri=0 (arbre plein), 16D
D2
D32v
0I 34
La condition de résistance devient :s
Rg
16D
Mt3
dS
G
Re
Ri β
Flexion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Chapitre 7
La flexion
1. Sollicitation.
Soit une poutre droite d’axe x.
Soit G un point de la ligne moyenne.
Une poutre est sollicitée en :
Flexion pure si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des forces de
cohésion s’écrit :
G
GMfz0
0000
TFC
Flexion plane si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des forces
de cohésion s’écrit :
G
GMfz0
0Ty0Nx
TFC
Flexion plane simple si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des
forces de cohésion s’écrit :
G
GMfz0
0Ty00
TFC
Flexion déviée si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des forces
de cohésion s’écrit :
G
GMfzTzMfyTy
00TFC
Flexion composée si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des
forces de cohésion s’écrit :
G
GMfzTzMfyTyMtxNx
TFC
Seules les poutres sollicitées en flexion plane simple seront étudiées en PT.
Les flexions déviées et composées seront étudiées en cycle ICAM.
Flexion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
2. Hypothèses pour l’étude de la flexion plane simple
Dans toutes les sections droites de la poutre, nous pouvons faire les hypothèses
suivantes :
Les sections droites de la poutre possèdent une symétrie d’axe (O,y)
Les sections normales à la ligne moyenne avant déformation restent normales à
la ligne moyenne après déformation.
Les déformations sont faibles par rapport aux dimensions de la poutre.
La ligne moyenne ne subit aucune variation de longueur. On l’appelle fibre
neutre.
La mise en place de ces hypothèses met en évidence que :
Les couches situées au-dessus de la ligne moyenne s’allongent (Traction)
Les couches situées au-dessous de la ligne moyenne se rétractent
(Compression).
3. Relation contrainte / déformation.
Soit une poutre d’axe (O,x) sur 2 appuis et sollicitée en flexion plane simple.
Soit v(x) la déformée
(Equation de la ligne moyenne déformée)
Soit θ(x) : l’angle de déformation de la ligne moyenne
dx
)x(dv)x(
On peut écrire : _OG = x.x, _GG1 = v(x).y
Soit un point P de la section passant par G tel que _GP = y.y
Avant déformation : Après déformation :
Mfz
θ(x)
G
G1
O
G
P
dx
P1
dθ
θ
P2
Flexion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
La déformation déplace P en P2, et on peut écrire : _PP2 = _PP1 + _P1P2
_PP1 = v(x).y ; et _P1P2 = -y.dθ . x
D’où : _PP2 = v(x).y - -y.dθ . x
La composante suivant y est la déformée (v(x)) et la composante suivant x est due à la
compression (-ydθ).
S’il y a compression, on peut écrire la loi de Hooke : xx εσ E avec llxε
Pour un élément de poutre de longueur dx, dx
ydxε .
D’où dxdyExσ Or,
dx
))x(v(d)x(θ
ce qui permet d’établir:dx
))x(v(dyE
2
2
xσ
4. Relation contrainte / sollicitation.
Soit une section droite d’abscisse x.
Soit G le centre de gravité de cette section.
Dans le cas de la flexion plane simple, le torseur des forces de cohésion est de la
forme :
G
G MfzRTFC
, et la contrainte £peut s’écrire y.x.)x,G(C yx τσ , avec
dx
)d(v(x)yEx
2
2
Etudions les composantes du TFC :
o Etude de la résultante.
dS)y.(dS)x.(dS)y.x.(dSCR
S
y
S
x
S
yx
S
)x,G( τστσ
0dSdx
)d(v(x)yEdS)x.(
S2
2
S
xσ
si G centre de la section.
y.TdS)y.(R y
S
yτ
o Etude du moment.
Soit M, point de la section et centre d’un élément de surface dS. Le point
M est aussi le point d’application de la contrainte unitaire £C(M,n)
Au point G, centre de gravité de la section, on peut écrire :
S
)n,M(
S
dS)y.yx.x()z.zy.y(dSCGMz.Mfz τσ
dS)yz(y.zdS)xz(x.zdS)xy(x.yz.Mfz
SS S
τσσ
SS S
dS..x.y.zdS.y.x.zdS.z.x.yz.Mfz τσσ
G
Flexion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
Or, 0dS.y.x.z
S
σ
et 0dS.x.y.z
S
τ
. En effet, sur la section, pour chaque
élément de surface d’abscisse z, il existe un élément de surface d’abscisse –
z.
Donc, S
dS.z.x.yz.Mfz σ .
Or, dx
d(v(x))y.Ex
2
2
σ d’où dSdx
d(v(x))yEMfz
2
2
S
2
Cependant, dans une section donnée, dx
d(v(x))2
2
a une valeur constante, ce
qui permet d’écrire :
S
22
d(v(x))2dSy
dxEMfz .
On appelle Gz
S
2 IdSy , moment quadratique de la section par rapport à
(G,z).
IGz dépend de la forme de la section, et on écrit :
dx
d(v(x))EIMfz
2
2
Gz
o Remarques
Gz2
2
EIMfz
dx
d(v(x))
GzI
y.Mfzxσ
dSyI
S
2Gz
dSzI
S
2Gy IGz et IGy sont des caractéristiques données par les
constructeurs de profilés.
z -z
y
Flexion Ch. MARCHAND ICAM NANTES
5. Calcul de la déformée.
A partir de l’équation obtenue précédemment, Gz2
2
EIMfz
dx
d(v(x)) et après avoir calculer
Mfz, il suffit, pour connaître l’équation de la déformée, d’intégrer 2 fois sans oublier
les constantes que l’on déterminera grâce aux conditions aux limites.
Exemple de calcul de déformée :
Soit une poutre de longueur x en encastrement, et soumise à une force £F à son
extrémité.
_OA = l.x
Sur le segment [OA[, Mfz = F(x-l)
Or, dx
d(v(x))IE
)lx(FIE
Mfz2
2
GzGz
1x2
GzCxl
2IEF
dx))x(v(d
21
23
GzCxC
2xl
6x
IEF)x(v
En O, liaison encastrement v(0)=0 et v’(0)=0
C1 = C2 = 0
D’où
2xl
6x
IEF)x(v
23
Gz
6. Condition de résistance
Il y a résistance à la flexion si σMax < Re = σe.
En général, on souhaite σMax < s
Re , s étant le coefficient de sécurité.
De plus, il existe une sollicitation en traction/compression qui doit être limitée :
seττ
sReMax , s étant le coefficient de sécurité.
O A
£
F