OSCILADOR CUNTICOSus niveles de energa estn igualmente separadosEl oscilador cuntico se describe por la energa potencial en la ecuacin de Schrdinger

De antemano, hay que tener en cuenta que la funcin de onda del estado base debe tener las siguientes caractersticas: debe ser simtrica alrededor del punto medio del pozo de potencial, no debe tener nodos, sino tender a cero para grande

RESOLUCIN DE LA ECUACIN DEL OSCILADOR ARMNICO CUNTICO

Con el fin de simplificarlos clculos

De forma que

De esta manera

Haciendo en cambio de variable introduciendo:

Utilizando la regla de la cadena se puede realizar el siguiente cambio

Esto sustituyendo en la ecuacin anterior

Ecuacin de Schrdinger reducidaAhora se emplea un mtodo conocido como expansin asinttica, para buscar los valores de para grandes valores de ya que como sabemos, la funcin de onda est restringida por el requisito de que cuando , esta tiende a anularse.Como depende de , para cualquier energa finita es despreciable en comparacin a , l ecuacin se reduce a:

Ecuacin cuya solucin es de la forma:

Derivando:

Sustituyendo en la ecuacin y despreciando el segundo trmino entre el parntesis:

Por lo que la solucin de la ecuacin es de la forma

Como la segunda parte de la ecuacin tiende a infinito cuando , por lo que la desechamos y slo nos queda

Ya que A es una constante arbitraria, podemos por conveniencia hacerla igual a 1, con lo que la expansin asinttica para la funcin de onda es

Esta ecuacin nos da el comportamiento asinttico de para valores grandes de . Pero tambin hay que definir para valores pequeos de . Para esto se asocia a esta funcin asinttica, una nueva funcin que deber tener el comportamiento adecuado en la regiones cercanas y regular el comportamiento de en las zonas alejadas.As, se prueba tentativamente como solucin general:

Derivando esta ecuacin obtenemos:

Sustituyendo esto en la ecuacin de Schrdinger reducida:

Simplificando

Esta ecuacin es la Ecuacin diferencial de Hermite y su resolucin consiste en un desarrollo en serie de potencias Sea

Reemplazando

Entonces debe cumplirse:

Despejando:

Para

Para

Para

Para

Estos coeficientes depende de y de , y deben ser determinados a partir de las condiciones iniciales.Si estos coeficientes son positivos la serie divergir para grandes valores de. Se puede comprobar que estos coeficientes van a ser positivos si cumple la siguiente condicin:

Para que la serie se vuelva divergente es necesario que la terminemos a una cierta potencia mxima dada por:

De aqu, lo valores caractersticos de la energa total quedan dados por:

Este espectro de valores de energa es discreto, y distinto del espectro continuo permitido por la mecnica clsica. La diferencia entre estos niveles de energa es .Para darnos cuenta de esta diferencia, imaginmonos en el caso clsico, una aparato mecnico que se encuentre vibrando, su frecuencia debe ser de alrededor 1000 y 10000 Hz y la energa del sistema vibrante puede ser de varios julios. La separacin entre los niveles de energa sigue siendo , y ya que es de alrededor de , la separacin entre niveles est en el rango de , que comparada con la total implicada es tan pequea que puede tomarse como cero, de manera que el espectro de valores permitidos parece ser continuo.Pero sin embargo, para las dimensiones atmicas y nucleares, la frecuencias pueden exceder fcilmente los , y la energa estara en el orden de o menor. En este caso la separacin entre niveles de energa (), se vuelve muy pronunciada y el espectro de los niveles permitidos de energa es notablemente discretoUn dato interesante el oscilador armnico cuntico es que no puede tener una energa igual a cero. La ecuacin que se calcul fija la energa del punto cero igual a La relacin de recurrencia anteriormente determinada, nos permite hallar los polinomios de Hermite. Adems, cortamos la serie utilizando la condicin:

Y haciendo , tenemos:

Donde debe cumplirse que . En este caso, debe viene siendo el coeficiente de la potencia ms alta del polinomio. Como la constante de normalizacin del polinomio de la funcin de onda an no se ha determinado, resulta conveniente expresarlo en la forma:

Sustituyendo esta ecuacin en la funcin de recurrencia y prosiguiendo de forma iterativa, tenemos:

Y sustituyendo estas ecuaciones en la ecuacin de la funcin de Hermite, tenemos:

A este polinomio hay que agregarle si es impar y si n es par. Si dejamos que tome valores de , se obtienen los Polinomios de Hermite

Donde

Lista de valores caractersticos de de la energa y de las funciones caractersticas correspondientes para diferentes valores de NVALORES CARACTERSTICOS DE LA ENERGA, FUNCIONES CARACTERSTICAS NORMALIZADAS,

0

1

2

n

Donde , y

Es interesante recalcar la separacin uniforme de los niveles, ampliamente reconocida como el sello caracterstico del espectro del oscilador armnico. La diferencia de energa entre los niveles adyacentes es justamente . En estos resultados se encuentra la justificacin cuntica de la revolucionaria hiptesis de Planck sobre los osciladores de una cavidad. Recordemos que al deducir su frmula de radiacin de un cuerpo negro, Planck supuso que estos osciladores, que constituan las paredes de la cavidad, slo podan poseer aquellas energas que fuesen mltiplos de . Aunque Planck no hubiese podido prever la energa de punto cero , no hubiera habido diferencia: sus osciladores seguiran emitiendo u absorbiendo energa en cuantos de forma que se reproduce el espectro del cuerpo negro.