resolución de triángulos esféricos rectángulos tema 4
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Resolución de Triángulos Resolución de Triángulos esféricos rectángulosesféricos rectángulos
Tema 4Tema 4
4.1. Caso 1: Se conoce la hipotenusa a y un cateto b .
Cálculo de c :
Por medio de Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c)
→ cos a = cos b cos c.
b
ac
cos
coscos
Cálculo de B :
Por medio de Neper : cos (90º - b) = sin a sin B
→ sin b = sin a sin B.
a
bB
a
bB
sin
sinarcsin
sin
sinsin
c < 90º si cos a/cos b =(+) ; c > 90º si ( X) =(-)
B está en el mismo cuadrante que b (pues según la propiedad 2 ángulo y lado opuesto son de la misma especie).
Cálculo de C :
Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b)
a
bC
a
bC
tan
tanarccos
tan
tancos
Ejemplo:
Resolver el triángulo esférico rectángulo:
b = 158º 22’ 04”
a = 122º 36’ 07”
Solución:
57961.092956.0
53879.0
cos
coscos
43759.084243.0
36864.0
sin
sinsin
25363.056353.1
3957.0
tan
tancos
b
ac
a
bB
a
bC → C = 75º 18’ 25”
→ B = 154º 02’ 59”
→ c = 54º 34’ 59”
Forma de operar con la calculadora:
Partiendo de 0.25363 →
→ 75.30712 Nos resulta: 75º
Ahora hacemos: 0.30712 x 60
→ 18.4272 Resulta: 18 ‘
Finalmente hacemos: 0.4272 x 60
→ 25.632 Resulta: 25.6”
Resultado: 75º 18’ 25.6”
acos
4.2. Caso 2: Se conoce los dos catetos b y c.
Cálculo de a :
Neper : cos a = sin(90º - b) sin(90 – c)
→ cos a = cos b cos c.
Cálculo de B :
Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b)
c
bBbBc
sin
tantantancotsin
Para la especie se analizarán los signos (+.-, etc).
Cálculo de C :
cos (90º - c) = ctg C ctg (90º - c) → sin b = ctg C tg c
b
cC
sin
tantan
Ejemplo:
Resolver el triángulo esférico rectángulo:
c = 40º 44’ 06”
b = 64º 48’ 03”
Solución:
95176.090483.0
86119.0
sin
tantan
43759.065256.0
12518.2
sin
tantan
32261.042576.0*75773.0cos.coscos
b
cC
c
bB
bca → a = 71º 10’ 45”
→ B = 72º 55’ 49”
→ C= 43º 35’ 04”
4.3. Caso 3: Se conoce la hipotenusa a y un ángulo B.
Cálculo de b :
Neper : cos (90º - b) = sin a sin B
→ sin b = sin a sin B.
Cálculo de c :
Neper : cos B = ctg a ctg (90º - c) → cos B = ctg a tg c
→ tg c = cos B tg a [La especie : regla de los signos]
El lado b es de la misma especie que B.
Cálculo de C :
cos a = ctg B ctg C 1
tancos tan
Ca B
C es de la misma especie que c.
Ejemplo:
Resolver el triángulo esférico rectángulo:
c = 152º 24’ 04”
b = 68º 38’ 02”
Solución: sin sin .sin 0.93127 * 0.46327 0.43142
1 1tan 0.44144
cos tan ( 0.88621)*2.55614
tan cos tan 0.36432.*( 0.52276) 0.19045
b B a
Ca B
c B a
→ b = 25º 32’ 30”
→ C = 156º 10’ 52”
→ c= 169º 13’ 01”
4.4. Caso 4: Se conoce los dos ángulos B y C (*).
Cálculo de a (hipotenusa) :
Neper : cos a = ctg B ctg C
Cálculo de b :
Neper : cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b
La especie de a: : por la regla de los signos.por la regla de los signos.
Cálculo de c :
cos C = sin B sin (90º - c) cos
cossin
Cc
B
.
1cos
tan tana
B C
coscos
sin
Bb
C
La especie de b y c es la misma que la de sus ángulos opuestos.
Ejemplo:
Resolver el triángulo esférico rectángulo:
C = 67º 38’ 08”
B = 155º 12’ 06”
Solución:
→ a = 152º 56’ 25”
→ b = 168º 59’ 49”
→ c= 24º 52’ 53”
1 1
cos 0.89053tan tan ( 0.46202)* 2.43046
cos 0.90778cos 0.98161
sin 0.92478cos 0.38049
cos 0.90718sin 0.41942
aB C
Bb
CC
cB
4.5. Caso 5: Se conoce un cateto, b, y el ángulo opuesto al otro, C .
Cálculo de a (hipotenusa) :
Neper : cos C = ctg a ctg (90º - b)
Cálculo de c :
Neper : cos (90º - b) = ctg C ctg (90º - c) → sin B = ctg C tg c
→ tg c = sin b tg C
La especie de a: : por la regla de los signos.por la regla de los signos.
Cálculo de B :
cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b
.
tantan
cos
ba
C
c se halla en el mismo cuadrante que C; B en el mismo que b .
Ejemplo:
Resolver el triángulo esférico rectángulo:
b = 121º 42’ 05”
C = 154º 08’ 06”
Solución:
→ B = 103º 15’ 09”
→ a = 60º 56’ 09”
→ c = 157º 35’ 05”
cos sin *cos 0.43625 ( 0.52549) 0.22924
tan 1.61905tan 1.79930
cos 0.89982tan sin * tan 0.85079*( 0.48481) 0.41247
B C b
ba
Cc b C
4.6. Caso 6: Se conoce un cateto, b, y su ángulo opuesto, B .
Cálculo de a (hipotenusa) :
Neper : cos (90º - b) = sin a sin B
Cálculo de c :
Neper : cos (90º - c) = ctg B ctg (90º - b)
→ sin c = ctg B tg b
Cálculo de C :
cos B = sin C sin (90º - b) → cos B = sin C cos b
.
sinsin
sin
ba
B
Como b, B son de la misma especie (+/+ = +, -/- = +) → sin a, sin c y sin C = (+), sin embargo los ángulos pueden ser <90º ó >90º .
tansin
tan
bc
B
cossin
cos
BC
b
4.7. Discusión del caso 6.
I) b<90º, B>90º
sinsin 1
sinsin
sin 1sinsin
sin 1sin
bb B a
Bb
b B aBb
b B aB
No tiene solución
Una “solución” a = 90º
Dos soluciones 1
2
90º
90º
a
a
II) b = 90º → Triángulo birrectángulo (se estudia más adelante)
III) b > 90º y B > 90º
sinsin 1
sinsin
sin 1sinsin
sin 1sin
bb B a
Bb
b B aBb
b B aB
No tiene solución
Una “solución” a = 90º
Dos soluciones
Cuando hay dos soluciones, debe tenerse en cuenta:
* Lado y ángulo opuesto son de la misma especie.
* La hipotenusa es aguda si los catetos son de la misma especie, obtusa en caso contrario.
1
2
90º
90º
a
a
Ejemplo:
Resolver el triángulo esférico rectángulo:
b = 46º 46’ 04”
B = 57º 28’ 03”
Solución:
b < 90º y b < B → sin
sin 1sin
ba
a → dos soluciones.
sin 0.72858sin 0.86418
sin 0.84308
ba
B
a1 = 59º 47’ 25”
a2 = 120º 12’ 35” [180º - a1]
67847.056777.1
06369.1
tan
tansin
B
bc c1 = 42º 43’ 28”
c2 = 137º 16’ 32” [180º - c1]
]78512.068495.0
53777.0
cos
cossin
b
BC C1 = 51º 43’ 55”
C2 = 128º 16’ 05” [180º - C1]
Las dos soluciones son:
a1 = 59º 47’ 25” (hipotenusa aguda) c1 = 42º 43’ 28”C1 = 51º 43’ 55”
Y la otra:
a2 = 120º 12’ 35” (hipotenusa obtusa)
c2 = 137º 16’ 32”
C2 = 128º 16’ 05”
Recordar: b = 46º 46’ 04” (< 90º)
B = 57º 28’ 03”
Triángulos rectilaterosTriángulos rectilateros
Propiedades y resoluciónPropiedades y resolución
4.8 Resolución de triángulos esféricos rectiláteros. ( a = 90º)
El pentágono de Neper pasa a ser:
Las reglas son las mismas
Ejemplo:
Resolver el triángulo esférico rectilatero:
c = 60º 34’ 09”
B = 122º 18’ 08”
Solución:
cos c = ctg(180º – A) ctg(90º – B) →
cos b = sin c cos B = 0.87095 * (-0.53438) = -0.46542 → b = 117º 44’ 14”
tan C = tan c sin B = 1.77248 * 0.84524 = 1.49817 → C = 56º 16’ 40”
21896.3cos
tantan
c
BA → A = 72º 44’ 31”
Propiedades de los triángulos rectiláteros
Sea ABC un triángulo rectilatero (a = 90º) → su polar A’B’C’ es triáng. rectángulo:, además se verifica:
A’ = 180º - 90º a’ = 180º - A
B’ = 180º - b b’ = 180º - B
C’ = 180º - c c’ = 180º - C
1) Ningún ángulo puede ser cuadrantal (90º)
a’ ≠ 90º → 180º - A ≠ 90º → A ≠ 90º
b ≠ 90º → 180º - B ≠ 90º → B ≠ 90º
c’ ≠ 90º → 180º - C ≠ 90º → C ≠ 90º
2) Lado y ángulo opuesto son de la misma especie (ambos menores o mayores que 90º)
B’ < 90º y b’<90º → 180º - B < 90º y 180º - b < 90º
→ B > 90º y b > 90º
Análogamente B’>90º y b’>90º → B < 90º y b < 90º
3) O los tres ángulos son mayores de 90º, o sólo uno de ellos es mayor de 90º (los otros dos menores)
De la fórmula: cos A = - cos B . cos C
- = - (-) . (-) → A, B, C >90º
- = - (+) . (+) → A>90º
+ = - (+) . (-) → C>90º
+ = - (-) . (-) → B>90º
4) Si los ángulos B y C son de la misma especie → A obtuso
Si “ “ “ B y C “ “ distinta “ → A agudo
Según la propiedad 3:
A > 90º →
5) Un ángulo B es menor que su lado opuesto b si ambos B, b < 90º
“ “ B es mayor “ “ “ “ b si B, b > 90º
º90º90
º90º90
CB
CB y
y
A < 90º 90º 90º
90º 90º
B C
B C
6) El ángulo A está comprendido entre cada uno de los ángulos y sus suplementarios respectivos
7) La suma de los dos lados b y c está comprendida entre 90º y 270º, y la diferencia es menor que 90º.
Si B en el cuadrante I: B < A < 180º - B
Si B en cuadrante II: 180 - B < A < B
Demostración: sin B = sin b sin A →
sin B < sin AA
Bb
sin
sinsin
90º < B’ + C’ < 270º → 90º < 180º - b + 180º - c < 270º →
90º < 360º - b - c < 270º →
-270º < - b - c < -90º →
90º < b + c < 270
Ejemplo: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero:
c = 69º 15’ 02”
C = 56º 45’ 04”
Solución:
A: cos(90º - C) = sin(180º - A) sin c
c, C < 90º y c > C → sin c > sen C →
c
CA
sin
sinsin
º90
º901
sin
sinsin
2
1
A
A
c
CA
89430.093513.0
83629.0
sin
sinsin
c
CA
"51'34º116
"08'25º63
2
1
A
A
b: cos c = sin b sin (90º - C) = sin c cos C
"45'44º139
"14'15º4064617.0
cos
cossin
2
1
b
b
C
cb
B: cos (90º - B) = ctg c ctg (90º - C)
1
2
35º 18' 3"tansin 0.57787
144º 41' 56"tan
BCB
Bc
Solución 1: A1, B2, b2 .
Solución 2: A2, B1, b1.
Ejemplo 2º: Discutir y resolver el triángulo esférico rectilatero:
A = 51º 25’ 42”
B = 47º 33’ 12”
Solución:
B < 90º → b < 90º ; y A < 90º →
Ángulos menores de 90º → C > 90º → c > 90º
c: cos c = ctg(180º - A) ctg(90º - B) →
c = 150º 41’ 02”
87193.093513.0
83629.0
tan
tancos
A
Bc
b: cos (90º - B) = sin b sin(180º - A) →
C: cos(180º - A) = sin(90º - B) sin(90º - C) → - cos A = cos B cos C
"46'17º108
"14'42º7087193.0
sin
sinsin
2
1
b
b
A
Bb
→ no valida
"31'29º15792382.0cos
coscos C
B
AC