resposta estrutural de um tirante a um esforço axial...
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1
Resposta Estrutural de um Tirante a um Esforço Axial Aplicado
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.01 0.3 0.1 0.5
AII
αρ
(a)AI
0.30
ρ [%]0.2
0.5 1 1.42
1/15
1/30
7.14
(α=7.0)
Comportamento Global do Tirante Relação de rigidezes
Estado I/Estado II
2
Resposta Estrutural de um Tirante a uma Deformação Axial Aplicada
Abertura da 2ªFenda
Abertura da 1ªFenda
K(aço+betão)
K(aço+betão) K(aço+betão)K(aço)
K(aço+betão)K(aço)K(aço+betão)
K(aço) K(aço+betão)
Simulação da perda de rigidez do tirante com a abertura de cada nova fenda
Comportamento Global do Tirante
3
Princípio de Dimensionamento da Armadura Mínima
Critério de não plastificação da armadura
I
II
ε imp
I
II
ε imp
a) ρ ρmin,y
˜ 0,10
b) ρmin,w = ρmin (wadm) > ρmin,y
σs2
Patamar de cedência
σs2
fy
fy
Fendilhação estabilizadaFormação de fendas
σsr,n
σsr,1σsr,1
w w
w1
wn wn = 1,20 w1
σsr,n = 1,30 a 1,35 σsr,1
21 ssccIII AANNN σσ ×≈×⇒==
srsefctc AfA σ×≈×⇒ ,
y
efct
C
S
f
f
A
A ,min =≥= ρρ
4
Armadura para o Controlo dos Efeitos das Deformações Impostas de Acordo com o EC2
s
ctctcs
fAkkA
σ
×××=min,
kc , considera a distribuição de tensões na secção imediatamente antes da abertura da primeira fenda, englobando não só a tracção, mas também a flexão simples e composta;
k , considera o efeito não uniforme das tensões auto-equilibradas na diminuição de fct,ef;
Act a área de betão traccionada, antes da abertura da primeira fenda.
Tensão no
aço Máximo diâmetro do varão Máximo espaçamento entre varões*
[MPa] wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm wk=0,40 mm wk=0,30 mm wk=0,20 mm
160 40 32 25 300 300 200
200 32 25 16 300 250 150
240 20 16 12 250 200 100
280 16 12 8 200 150 50
320 12 10 6 150 100 -
360 10 8 5 100 50 -
400 8 6 4 50 - -
450 6 5 - - - -
* Condição alternativa para a acção de cargas verticais, mas não deformações impostas
1. Armadura mínima - σs = tensão de cedência do aço
2. Controlo indirecto da abertura de fendas pelo valor da tensão dada no quadro seguinte
5
Efeito da Flexão Composta – Valor de Kc
0,1*)./.(
0,140,01
≤
−×=
ct
cc fhhk
kσ
Estimativa do coeficiente kc
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
-7500 -6000 -4500 -3000 -1500 0 1500 3000 4500
Tensão média [kN/m2]
Caso 1 - 1,50x0,50
Caso 2 - 1,00x0,40
Caso 3 - 0,20x1,00
6
Comportamento à Flexão Simples
Mcr
1/r
M
Fase de fissuração estabilizada
Fase de formação de fissuras
Fase elástica
Fase de plastificação da armadura
Ruptura
Mcr,n
MuEstado I
Estado II
1
0
2
3
4 0-1
1-2
2-3
3-4
dEI
M
rcmsm
mm
εε −==
1
IIIm rrr
11)1(
1ζζ +−=
2
.1
−=
M
M crβζ 0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.001 0.03 0.01 0.1
III
αρ1
(b)II
0.60
ρ1 [%]0.050.05
(α=7.0)
0.71 2.85
0.5
d/h=0.90
ρ1/ρ2=0.25
1.420.140.05
7
Resposta Estrutural a DeformaDeformaçções Impostasões Impostas Sobrepostas a Cargas com Efeitos de Flexão
1/R
Msup(-)
State I
m
State II
∆M
∆M
∆M
1
2
3
Msup1
Msup2
Msup3
id
id
id
Msup
p
id∆M
elastidid MM ξ=∆
Deformação Imposta com Efeito de Flexão
1<ξ
ξξξξ ϕ = 0 ϕ = 2.5
r r ρflexion
≤≤≤≤ 1 1.5 2 ≤≤≤≤ 1 1.5 2
0.3 1 0.35 0.2 0.35 0.25 0.15 0.6 1 0.5 0.35 0.35 0.3 0.25 1.2 1 0.7 0.5 0.4 0.35 0.3
bd
Asflexion =ρ
cr
idqqg
M
MMMr
+×+=
2ψ
8
βMcrA= βMcrB
1/R
M
MyBEstado I
Estado IIA
MyA
m
∆MA
∆MB
Estado IIB
MP,Loads ˜ MyA
K
∆MA = MyA-MP,Loads
MP,Loads ˜ MyB
K
∆MB = MyB-MP,Loads
A
B
Msup,LoadsA
Msup,LoadsB
idloadsy MMMM <−=∆
Reserva em Relação à Não Cedência das Armaduras em Situação de Flexão
9
Deformações Impostas Sobrepostas aos Efeitos de Cargas Verticais
Axial Effect Axial Effectl l
Restrições na extremidade Restrições laterais
Caso de um piso elevado restringido, a deformadeformaçções axiais livresões axiais livres, por paredes isoladas ou de acessos verticais
Caso de um piso enterrado (garagem) com restrição às deformadeformaçções axiais ões axiais
livreslivres, pelas paredes de contenção laterais, principalmente as da maior direcção em planta
10
Resposta Estrutural a DeformaDeformaçções Impostasões Impostas Axiais Isoladas com Armadura Superior à Mínima
Deformação Imposta Externa (Variação de temperatura)
No caso das Deformações Impostas Internas, o esforço axial de fendilhação tem tendência a diminuir
devido às tensões autoequilibradas geradas no betão
l
N
x εe x l
s rm
Medium extension
ε m [‰]
I
II
Ncr
εfffct/Ec
N[kN]
a)
N[kN]
I
Es.As
Ncr
εfffct/Ec
1
∆N
b)
Medium extension
ε m [‰]
l
εiN
x
s rm
Deformação Imposta Interna (Retracção do Betão)
11
Resposta Estrutural a DeformaDeformaçções Impostas Axiaisões Impostas AxiaisSobrepostas a Efeitos de Cargas
Msup
p
idN
idN
N[kN]
Extensão média
ε m [‰]
I I
I
II
I
II
Es.As
Isolated Axial Action
Indirect Action Superposed with vertical loads
Ncr
N[kN]
N[kN]
N[kN]
Ncr
Ncr Ncr
Extensão média
ε m [‰]
Extensão média
ε m [‰]
Extensão média
ε m [‰]
1<ξcrid NN ξ=
12
Análises Não Lineares com Diferentes Percentagens de Armaduras
Pormenorização de Armaduras
As,case i Built in end axially free - Loads and imposed DeformationBuilt-in-end - Shrinkage
Built-in-end
l ∆l
only imposed deformation
0,0911,0411φ12 (12,44 cm2)4
0,1110,859φ12 (10,18 cm2)3
0,1430,667φ12 (7,92 cm2)2
0,1250,528φ10 (6,28 cm2)1
C25/30:Ec=30.5 MPafct=2.5 MPa
S500:Es=200 MPafyk=500 MPa
Medium spacing
Reinforcement percentage[%]
As, adopted/2Different
Cases
11.8810.258.627.22Level 2 –quasi permanent
5.945.134.313.61Level 1 – 0.50 x quasi-permanent
Case 4 kN/mCase 3 kN/m
Case 2 kN/m
Case 1kN/m
Níveis de Cargas verticais associados às diferentes quantidades de armadura
1.00m
h=0.24m
As2
As2
13
Resultados das Análises Não Lineares para Deformações Impostas Exteriores
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
εεεεm [‰]
N
[kN]
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
εεεεm [‰]
N
[kN]
0
200
400
600
800
1000
1200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
εεεεm [‰]
N
[kN]
0
200
400
600
800
1000
1200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
εεεεm [‰]
N
[kN]
ρρρρ=1.04%ρρρρ=0.85%
ρρρρ=0.66%
0.50 x Mcqp
1.0 x Mcqp
ρρρρ=0.52%
Para valores correntes de εεεεid=0.30‰‰‰‰ a 0.50‰‰‰‰ a redução do esforço axial é significativa em relação
ao caso sem sobreposição de efeitos de carga
Ncr⇒⇒⇒⇒
Ncr⇒⇒⇒⇒
Ncr⇒⇒⇒⇒
Ncr⇒⇒⇒⇒
14
Resultados das Análises Não Lineares para Deformações Impostas Interiores
0
100
200
300
400
500
600
700
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
εεεεm [‰]
N
[kN]
0
100
200
300
400
500
600
700
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
εεεεm [‰]
N
[kN]
0
100
200
300
400
500
600
700
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
εεεεm [‰]
N
[kN]
0
100
200
300
400
500
600
700
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
εεεεm [‰]
N
[kN]
ρρρρ=0.52% ρρρρ=0.66%
ρρρρ=0.85% ρρρρ=1.04%
0.50 x Mcqp
1.0 x Mcqp
As reduções de esforço axial são ainda mais significativas (Nidbastante mais pequeno que Ncr)
Ncr
Ncr
Ncr
Ncr
15
Tensões (σs) e Abertura de fendas (w) – Deformações Impostas Externas
0
100
200
300
400
500
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
εεεεm [‰]
σσσσs [MN/m2]
0,120
0,336
0,552
0,791
1,031
0
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0005
0,0006w [m]
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90εεεεm [‰]
σσσσs [MN/m2]
1,031
2,325
3,021
3,332
3,668
3,908
4,219
0,00000
0,00005
0,00010
0,00015
0,00020
0,00025
0,00030
0,00035
0,00040
Armadura Superior Armadura Inferior
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 1 2 3 4 5 6 7
0
50
100
150
200
250
300
350
0 1 2 3 4 5 6 7
ε ε ε ε ≈ 0.50‰‰‰‰
σσσσs = 350 MPaσσσσs = 300 MPa
w = 0.40 mmw = 0.35 mm
σσσσs = 350 MPa
σσσσs = 300 MPa
A
only imposed deformation • Caso de Carga 2 (ρ = 0.66%)
• Distribuição não uniforme de tensões ao longo do vão
• Valores máximos de σs e w com valores razoáveis
Armadura Inferior
Armadura Inferior
Resultados dos Casos da Sobreposição de Efeitos
16
Resultados dos Casos da Sobreposição de Efeitos
-100
-50
0
50
100
150
200
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80
εεεεm [‰]
σσσσs [MN/m2]
2,349
2,661
3,141
3,620
5,346
0
0,00005
0,0001
0,00015
0,0002
0,00025
0,0003
0,00035
0,0004w [m]
0
0,00005
0,0001
0,00015
0,0002
0,00025
0,0003
0,00035
0,0004
0,00045
0,0005
-50
0
50
100
150
200
250
300
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80εεεεm [‰]
σσσσs [MN/m2]
0,120
0,312
0,552
0,791
1,055
Armadura superior Armadura InferiorArmadura InferiorArmadura InferiorArmadura Inferior
ε ε ε ε ≈ 0.50‰‰‰‰
σσσσs = 260 MPa
w = 0.40 mm w = 0.35 mm
σσσσs = 170 MPa
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6 7
σσσσs = 260 MPa
σσσσs = 170 MPa
Tensões (σs) e Abertura de fendas (w) – Deformações Impostas Internas
A
only imposed deformation
Armadura superior
Armadura inferiorArmadura inferiorArmadura inferiorArmadura inferior
0.50 0.50
• Caso de Carga 2 (ρ = 0.66%)
• Distribuição não uniforme de tensões ao longo do vão
• Menores tensões σs mas valores semelhantes de w
17
� Considerando uma deformação imposta isolada:
Critério de Dimensionamento Proposto
crTT NN ×= ∆∆ ξ
0.800.600.351.00 %
0.700.550.350.80 %
0.650.550.350.50 %
0.50‰0.30‰0.10‰∆ε∆ε∆ε∆ε∆∆∆∆T
ρρρρ
crcscs NN ×= ξ
0.400.350.251.00 %
0.450.400.250.80 %
0.500.450.300.50 %
0.50‰0.30‰0.10‰∆ε∆ε∆ε∆εcs
ρρρρ
� Considerando sobreposição de efeitos:
N = Ncr ≤ As x σs
Indicações do EC2
N = ξ x Ncr
Cálculo da tensão do aço
N
N M
σs =fsyk Critério de não cedência
σs < fsyk Controlo indirecto
φφφφ ≤≤≤≤ φφφφcode da abertura de fendas
σs função directa de Ncr
18
Abertura de fendas
Escorregamento
Fissura
c
c
φ
Estado I
εc1=εs1
Tensão de aderência
τbm
τb
σc1=fct
N=Nf
hef Ac,ef
l 0
ef
efc
bm
ctAf
ρ
φκ
φ
τ πφ..
4
1
4..
4
.
,0 2
==l
Comprimento de transição
Abertura de Fendas de acordo com o Eurocódigo 2
( )cmsmrsw εε −= .max,ef
máxrm kkcsρ
φ×××+= 21, 425,040,3
)1( efefs
ctt
s
scmsmsrm n
E
fk
Eρ
ρ
σεεε ×+−=−=
K1 = 0.8 a 1.6 (aderência)
K2 = 0.5 a 1.0 (flexão/tracção)
Kt = 0.4 a 0.6 (curta/longa duração)
19
Deformação Imposta Externa (Variação de temperatura)
Deformação Imposta Interna (retração do betão)
wm = srm . εsrm = srm . τ
εload+cs
s2 ; εload+ cs
s2 =
σs2 (Mg+ψ2q, ξ∆T Ncr)
Es
Deformações Impostas (Externa e Interna)
wm = srm . εsrm = srm . τ
εload+cs
s2 + |εcs| ; εload+cs
s2 =
σs2 (Mg+ψ2q, ξcs Ncr)
Es
De uma forma simplificada (Estado II puro 0.35 l0 para cada lado da fenda):
srm . τ ≅ 0.7 l0 (Favre, et al)
Avaliação da Abertura de Fendas
wm = srm . εsrm = srm . τ
εload+∆T+cs
s2 + |εcs| ; εload+∆T+cs
s2 =
σs2 (Mg+ψ2q, ξ∆T+cs Ncr)
Es
ξ∆T+cs = k ξ∆T + (1 – k) εcs
20
� No caso A, verifica-se um bom comportamento estrutural em
flexão composta;
8φ10
7.00 m ∆l
11φ10
8φ10 - Caso A3φ10 - Caso B
p.p.= 6.00 kN/mr.c.p.= 1.50 kN/mSc= 4.0 kN/m
pcqp=8.30 kN/m
11φ10
1.75 m
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
εεεεm [‰]
Es
forç
o N
orm
al [k
N]
� No caso B, com menos armadura na face superior (meio vão),
apresenta um mau comportamento estrutural submetido à acção
indirecta isolada.
� Numa situação de sobreposição de efeitos, o comportamento até
um nível de extensão de 0.50‰, é idêntico ao caso anterior, ficando
comprometido, após o aparecimento de tracções na fibra superior;
� A distribuição das quantidades de armadura deve obedecer ao
andamento do diagrama de momentos flectores, de acordo com uma
análise de tensões.
Distribuição Assimétrica de Armadura
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
εεεεm [‰]
Esfo
rço
No
rma
l [k
N]
Caso A
Caso B
21
0
100
200
300
400
500
600
700
0.0
7.5
15.0
22.5
30.0
37.5
45.0
52.5
60.0
67.5
75.0
82.5
90.0
97.5
105.
0
� Avaliação dos Esforços axiais gerados, devido às restrições exteriores ao elemento em análise, tendo em conta o módulo de elasticidade ajustado;
� Dimensionamento Corrente aos E.L. Últimos, sem consideração das deformações impostas;
� Avaliação do nível das tensões nas armaduras, para o par de esforços (N,M), em secção fissurada;
� Análise em Serviço da Combinação das Cargas Verticais (comb. quase-permanente), com o nível de esforço axial reduzido N (r,e(‰));
� Eventual reforço das quantidades definidas em 1, segundo o critério definido para a armadura (não cedência da armadura ou controlo da abertura de fendas)
0
100
200
300
400
500
600
700
0.0
7.5
15.0
22.5
30.0
37.5
45.0
52.5
60.0
67.5
75.0
82.5
90.0
97.5
105.
0
0
100
200
300
400
500
600
700
0.0
7.5
15.0
22.5
30.0
37.5
45.0
52.5
60.0
67.5
75.0
82.5
90.0
97.5
105.
0
kN/m
ξ X Ncr
Ncr
Nelastico
ξ X Nelastico
Metodologia Proposta
22
A
B
C D
[kN/m]
C25 /30 ; S500
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0,0 7,5 15,0 22,5 30,0 37,5 45,0
[m]
Esfo
rço
Ax
ial [k
N/m
]
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0,0 7,5 15,0 22,5 30,0 37,5 45,0 52,5 60,0 67,5 75,0 82,5 90,0 97,5 105,0
[m]
Esfo
rço
Axia
l [k
N/m
]
Nelastic
Ncr
Caso Prático – Situação de um Piso Enterrado com planta de 105.0mx45.0m e Espessuras 0.20m com Capiteis 0.35m
Distribuição de armadura para os estados limites últimos e “armadura mínima de tracção”
Esforços axiais para uma retracção de 0.3‰ e Ec,adj = Ec,28/3
23
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0,0 7,5 15,0 22,5 30,0 37,5 45,0
[m]
Es
forç
o A
xia
l [k
N/m
]
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0,0 7,5 15,0 22,5 30,0 37,5 45,0 52,5 60,0 67,5 75,0 82,5 90,0 97,5 105,0
[m]
Esfo
rço
Axia
l [k
N/m
]
cridcrcrid NNifNNN >×=×= 6.0ξ
crididcrid NNifNNN <×=×= 6.0ξ
Nelast
Ncr
min(ξ Nelast.; ξ Ncr)
ξ Avaliado para ρ = 0.80% e considerandouma deformação imposta exterior
• Para o critério de não cedência de armadura, a pormenorização definidaanteriormente é suficiente
• Para a limitação da abertura de fendas aproximadamente a 0.30mm, as armaduras na maior direcção e na menor junto às paredes:
Inferior φ10/0.15 ⇒ φ10/0.10
Superior φ12/0.20 ⇒ φ12/0.20 + φ10/0.20
Sobre os pilares sem modificação
Aplicação dos Critérios de Controlo dos Efeitos das Deformações Impostas