resume ro

Resume Riset Operasional

Linear ProgrammingLinear programming merupakan teknik matematika dan riset operasi yang digunakan pada bidang perencanaan administrasi dan ekonomi guna memaksimalkan fungsi linear dari beberapa variabel yang ada. Atau dengan kata lain, linear programming adalah metode untuk mencapai luaran yang terbaik (seperti keuntungan maksimum dan pengeluaran minimum).Digunakandalampengalokasiansumberdayaorganisasi(sumberdaya:tenaga,bahanmentah,waktu,dana) PengalokasiansumberdayabertujuanMemaksimumkankeuntunganMeminimumkanbiaya Menggunakanmodelmatematikdenganfungsilinear.Contoh dari Linear Programming:1. Membuat jadwal bus sekolah untuk meminimalkan total jarak tempuh saat antar jemput murid.2. Me-alokasikan unit patroli polisi ke tempat dengan tingkat kriminalitas yang tinggi untuk meminimalkan panggilan 911 ke pihak kepolisian.3. Menjadwalkan teller-teller pada bank tiap-tiap jam agar meminimalkan pengeluaran untuk tenaga kerja.4. Pengambilan material mentah kedalam feed mills untuk menghasilkan kombinasi pakan yang baik untuk meminimalkan pengeluaran.5. Memilih campuran produk dalam pabrik untuk memaksimalkan jam kerja mesin dan buruh sehingga mencapai keuntungan yang maksimal.Persyaratan dari problem Linear Programming1. Harus mencari untuk memaksimalkan dan meminimalkan beberapa nilai (fungsi objektif)2. Keberadaan dari constraint batasan untuk mencapai tujuan yang ingit didapatkan.3. Harus ada tindakan-tindakan alternatif dari yang akan dipilih4. Fungsi harus linear

Contoh formulasi dari Linear Programming

Bentuk Umum Model Pemrograman Linear

Memaksimumkan / Meminimumkan dengan batasan-batasan

Langkah-Langkah Perumusan Model Pemrograman Linear

1. Menentukan variabel-variabel keputusan2. Merumuskan Fungsi Tujuan3. Merumuskan Batasan-Batasan

Contoh. Hi-Tech. Inc., sebuah perusahaan kecil manufaktur, memproduksi dua buah switch microwave, yaitu switch A dan switch B. Laba penjualan satu unit switch A adalah 20 $, sedangkan untuk switch B adalah 30 $. Berdasarkan suatu perjanjian, Hi-Tech harus memproduksi paling sedikit 25 unit switch A setiap minggu, dan berdasarkan permintaan, Hi-Tech dapat menjual semua produknya. Perusahaan menginginkan untuk memaksimumkan laba penjualan setiap minggu dengan berbagai keterbatasan yang dimiliki perusahaan, yaitu :waktu perakitan : tersedia 240 jam setiap minggunyawaktu pengujian : tersedia 140 jam setiap minggunya.Satu unit switch A membutuhkan 4 jam perakitan dan 1 jam pengujian, sedangkan satu unit switch B membutuhkan 3 jam perakitan dan 2 jam pengujian.

1. Menentukan variabel-variabel keputusanMenentukan jumlah switch A dan switch B yang harus diproduksi sedemikian sehingga laba setiap minggunya paling besar atau maksimum. Variabel-variabel keputusannya adalah :

: jumlah switch A yang diproduksi setiap minggu

: jumlah switch B yang diproduksi setiap minggu.

Adalah sesuatu yang mustahil perusahaan memproduksi sejumlah bilangan negatif switch A dan switch B. Jadi haruslah .2. Merumuskan fungsi tujuan

Tujuan perusahaan adalah memaksimumkan laba penjualan switch A dan switch B setiap minggu. Karena laba penjualan satu unit switch A adalah 20 $ dan untuk switch B adalah 30 $, maka laba penjualan buah switch A dan buah switch B setiap minggu adalah , sehingga fungsi tujuannya dapat dituliskan sebagai

Memaksimumkan .3. Merumuskan batasan-batasan

Waktu perakitan yang dibutuhkan untuk memproduksi buah switch A dan buah switch B setiap minggu adalah karena satu unit switch A membutuhkan 4 jam perakitan dan satu unit switch B membutuhkan 3 jam perakitan. Selanjutnya, karena waktu perakitan yang tersedia setiap minggunya adalah 240 jam, maka diperoleh bahwa

.

Waktu pengujian yang dibutuhkan untuk memproduksi buah switch A dan buah switch B setiap minggu adalah karena satu unit switch A membutuhkan 1 jam pengujian dan satu unit switch B membutuhkan 2 jam pengujian. Selanjutnya, karena waktu pengujian yang tersedia setiap minggunya adalah 140 jam, maka diperoleh bahwa

. Hi-Tech harus memproduksi paling sedikit 25 unit switch A setiap minggu. Ini berarti .

Akhirnya kita dapatkan model pemrograman linier untuk masalah seperti pada contoh, yaitu

Memaksimumkan dengan batasan-batasan

.

Bentuk Standar Model Pemrograman Linear

Pada bentuk ini semua tanda atau pada batasan-batasan diubah menjadi tanda = dengan cara tertentu. Sebagai contoh lihat masalah pemrograman linier sebelumya, yaitu


.

Akan kita masukkan variabel-variabel yang tidak negatif pada batasan-batasan untuk mengubah tanda atau menjadi tanda =. Perhatikan batasan pertama yang menggunakan tanda . Agar tandanya berubah menjadi = maka ruas kiri harus kita tambahkan dengan variabel lain yang tidak negatif, misalkan . Akibatnya, batasan pertama menjadi

.

Batasan kedua juga mempunyai tanda sehingga kita perlu menambahkan variabel lain yang non negatif, misalkan . Jadi batasan kedua menjadi

.

Variabel dan dinamakan variabel slack yang merupakan kekurangan dari ruas kiri untuk menyamakan dengan ruas kanan pada batasan pertama dan kedua. Selanjutnya, lihat batasan ketiga yang menggunakan tanda . Agar tandanya berubah menjadi = maka ruas kiri perlu kita kurangi dengan variabel lain yang tidak negatif, misalkan . Akibatnya, kita peroleh

.

Variabel disebut sebagai variabel surplus yang merupakan kelebihan dari ruas kiri untuk menyamakan dengan ruas kanan pada batasan ketiga. Akhirnya, diperoleh bentuk standar dari masalah pemrograman linier kita, yaitu


Bentuk Matriks Model Pemrograman Linera

Kita sudah memperoleh bentuk standar dari masalah pemrograman linier kita, yaitu


Bentuk matriks dari masalah pemrograman linier kita didasarkan pada bentuk standarnya, yaitu

Memaksimumkan dengan batasan

dengan

, , , dan .

Penyelesaian Model Pemrograman Linear dengan Menggunakan Metode Simpleks

Contoh. Dengan menggunakan metode simpleks, carilah solusi optimal dari masalah pemrograman linier berikut :


Langkah-Langkah Penyelesaian Masalah Pemrograman Linier dengan Menggunakan Metode Simpleks :1. Mengubah masalah menjadi bentuk standar. Bentuk standar masalah pada contoh adalah


2. Membuat bentuk matriks dari masalah. Bentuk matriks masalah :


Dalam bentuk matriks tersebut

, , , dan 3. Membuat tabel berikut.

Fungsi tujuan serupa dengan atau atau

. (1)Barisan angka pada ruas kiri, yaitu 1,-1,-2,0,0 dan angka 0 pada ruas kanan di persamaan (1) akan mengisi baris ke-1 pada tabel I.

Batasan dapat dituliskan sebagai

(2)Barisan angka pada ruas kiri, yaitu 0,1,1,1,0 dan angka 4 pada ruas kanan di persamaan (2) akan mengisi baris ke-2 pada tabel I.

Batasan dapat dituliskan sebagai

(3)Barisan angka pada ruas kiri, yaitu 0,1,3,0,1 dan angka 6 pada ruas kanan di persamaan (3) akan mengisi baris ke-3 pada tabel I.Kemudian perhatikan matriks

.

Kita akan menentukan variabel dasar pada tabel I dengan cara : pertama, pilih kolom-kolom pada pada matriks yang membentuk matiks identitas, yaitu kolom ke-3 dan ke-4. Akibatnya, yang menjadi variabel dasar pada tabel I adalah dan , yang akan diletakkan pada samping kiri tabel I. Jadi kita dapatkan tabel I :

Tabel I

R.K.

1-1-2000

001113100146

4. Perhatikan baris ke-1 pada tabel I. Jika semua angka pada baris ke-1 adalah positif maka proses pencarian solusi optimal selesai. Jika ada angka-angka pada baris ke-1 yang bernilai negatif maka proses pencarian solusi optimal belum selesai. Selanjutnya lakukan langkah berikutnya.5.

Diantara angka-angka negatif pada baris ke-1 tersebut pilih yang paling negatif. Kita dapatkan angka -2 sebagai angka yang paling negatif dan angka ini terletak pada kolom . Variabel kita sebut sebagai variabel masuk yang akan menggantikan salah satu variabel dasar pada tabel I atau yang akan menjadi variabel dasar pada tabel berikutnya. 6.

Perhatikan kolom variabel masuk, dalam kasus contoh ini adalah kolom . Jika angka-angka pada kolom variabel masuk selain pada baris pertama bernilai negatif semua, maka prose pencarian solusi optimal dihentikan, karena hal itu berarti fungsi tujuan tidak terbatas atau tidak memiliki nilai maksimum. Jika terdapat angka-angka yang positif pada kolom variabel masuk selain pada baris pertama maka kita akan pilih salah satu di antara mereka untuk dijadikan sebagai elemen pivot. Sekarang perhatikan tabel I. Lihat kolom (sebagai variabel masuk) selain pada baris pertama. Kita dapatkan 1 dan 3 sebagai angka yang positif. Kemudian lihat bahwa angka 4 pada kolom R.K. (Ruas Kanan) mempunyai baris yang sama dengan angka 1, dan jika kita bandingkan diperoleh 4/1=4. Kemudian angka 6 pada kolom R.K. mempunyai baris yang sama dengan angka 3, dan jika kita bandingkan diperoleh 6/3=2. Selanjutnya kita pilih angka yang minimum diantara 2 dan 4, yaitu 2. Angka 2 ini berkaitan dengan angka 3 pada kolom (sebagai variabel masuk). Angka 3 ini kita jadikan sebagai elemen pivot. Angka 3 ini terletak pada baris . Variabel kita sebut sebagai variabel keluar atau variabel yang akan digantikan oleh variabel masuk sebagai variabel dasar pada tabel berikutnya. Jadi akan digantikan . Jadi pada tabel berikutnya yang menjadi variabel dasar adalah dan .

7.Di tabel berikutnya, pada kolom (sebagai variabel masuk), elemen pivot yaitu 3 dijadikan 1 dan -2 serta 1 dijadikan 0. Agar 3 (terletak pada baris ke-3 (b3) sebagai baris patokan) menjadi 1 maka 3 harus dikalikan dengan 1/3. Jadi operasi baris elementer yang berlaku pada baris ke-3 yang memuat 3 sebagai elemen pivot adalah 1/3 b3. Selanjutnya, agar -2 (terletak pada baris ke-1 (b1)) menjadi 0, maka -2 harus ditambahkan dengan 2/3 dari 3 (yang merupakan elemen pivot). Jadi operasi baris elementer yang berlaku pada baris ke-1 yang memuat -2 adalah b1+2/3 b3. Kemudian, agar 1 (terletak pada baris ke-2 (b2)) menjadi 0, maka 1 harus ditambahkan dengan -1/3 dari 3 (yang merupakan elemen pivot). Jadi operasi baris elementer yang berlaku pada baris ke-2 yang memuat 1 adalah b2+(-1/3) b3. Dengan menggunakan operasi baris elementer pada masing-masing baris kita peroleh tabel II, yaituTabel II

R.K.

1-1/3002/34

0

0

2/31/30110-1/31/322

8.Lihat baris pertama pada tabel II, masih terdapat angka negatif yaitu -1/3 yang terletak pada kolom . Dengan cara yang sama dengan langkah sebelumnya, kita peroleh sebagai variabel masuk dan sebagai variabel keluar. Yang menjadi elemen pivot adalah 2/3 yang terletak pada kolom dan baris . Operasi baris elementer pada baris ke-2 sebagai baris patokan adalah 3/2b2. Operasi baris elementer pada baris ke-1 adalah b1+1/2 b2. Operasi baris elementer pada baris ke-3 adalah b3+(-1/2)b2. Dengan menggunakan operasi baris elementer tersebut, kita dapatkan tabel III, yaituTabel III

R.K.

1001/21/25

0

010003/2-1/2-1/21/231

9.Lihat Tabel III, pada baris pertama tidak terdapat angka yang negatif. Ini berarti proses pencarian solusi optimal selesai. Perhatikan lagi baris pertama, kolom-kolom variabel dasar bernilai nol, sedangkan pada kolom lainnya bernilai positif. Ini berarti solusi optimalnya adalah tunggal atau hanya satu, yaitu . Namun, seandainya pada baris pertama, selain pada kolom variabel dasar, terdapat kolom yang bernilai nol, maka masalah tersebut memiliki solusi yang banyak.

resume ro

Documents