resumen líneas de espera. ing procesos

TEORIA DE LINEAS DE ESPERA

INTRODUCCION ROP

El tener que esperar en una cola es una experiencia considerada como desagradable, especialmente si se tiene que esperar de pie. Los periodos largos de espera irritan a las personas y las invitan a desertar, e irse a otra parte e incluso a no regresar. Esta situación que afecta los beneficios potenciales puede y debe gestionarse en forma eficiente utilizando la teoría de líneas de espera. El tiempo de espera es tal vez uno de los componentes del ciclo de servicio peor gestionados, y debe ser incluido dentro del concepto de la calidad del servicio.En el área de producción las líneas de espera tienen gran aplicación en los estudios de cuello de botella de los procesos de producción, los cuales afectan los incrementos de inventario en proceso y los retardos en los tiempos de entrega al cliente; igualmente las líneas de espera tienen gran aplicación en sistemas de mantenimiento a aviones, carros, trenes, equipos de computo, maquinaria, y en general a equipo productivo.

Ofrecer un “servicio” rápido no solo es cuestión de calidad, costos y beneficios están involucrados, los cuales son argumentos competitivos para una compañía.

Ejemplos de sistemas de colas

Servicio Llegadas Cola Servidor

Supermercados Clientes Clientes en Cajas CajerosBancos Clientes Clientes en Caja CajerosAeropuerto Aviones Aviones Pista Call center Llamadas Llamadas Operadores Carga Camiones camiones Montacargas Crucero Autos Autos Semáforo Fábrica componentes componentes Operadores Hospital Pacientes Pacientes Médicos

PROCESO BASICO DE COLAS

Clientes provenientes de una fuente o población potencial, llegan a un sistema a solicitar un servicio, generalmente hacen cola, una vez que son servidos se van. La siguiente figura ilustra el sistema de colas:

Población Canal de servicio

Cola

Sistema

Población. Fuente potencial generadora de nuevos clientes al sistema de colas.Características:

Tamaño: La población puede ser infinita o finita. Tiempo entre llegadas: Aleatorio, constante Tasa de llegadas: Es el número promedio de llegadas de nuevos clientes al

sistema, por unidad o intervalo de tiempo t Llegadas: Individuales, en lotes Actitud de los Clientes: Pacientes, impacientes

Cola. Se refiere a las unidades que esperan por el servicio, no incluye a la unidad que está siendo atendida. No necesariamente están físicamente frente al canal de servicio, como por ejemplo los clientes que llaman por teléfono y quedan en lista de esperaCaracterísticas:

Tamaño: Infinita, finita ( existe una cota superior para el número de máximo de clientes admitidas en ella)

Canal de servicio: Es la persona, máquina, instalación o proceso que presta el servicio.

Características: Tiempo de servicio: Tiempo transcurrido desde que comienza el servicio hasta que

termina. Puede ser aleatorio o constante. El cliente que esta siendo atendido no pertenece a la cola.

Tasa de servicio: Conocido el tiempo medio de servicio, es posible determinar la tasa de servicio. Se refiere al número promedio de clientes atendidos por unidad o intervalo de tiempo t

Disciplina de Servicio: La establece el canal, se refiere a la disciplina de cómo atenderá a los clientes que llegan. Se tienen PEPS, UEPS, ALEATORIO, PRIORIDADES (Absolutas y relativas)

Número de canales: Un solo canal o varios canales Disposición de los canales: En paralelo, en Serie

De acuerdo al número y disposición de los canales de servicio, los sistemas de colas se pueden clasificar en los siguientes sistemas básicos:

Unicanal

Multicanal o paralelo

Serie

Mixto

Sistema: El sistema esta conformado por la cola y el o los canales de servicio.

Flujos: Un estudio de líneas de espera, debe partir del estudio de los flujos o llegadas de los nuevos clientes al sistema de colas, en diversos momentos del tiempo. Es necesario identificar el ciclo o variación del flujo en el tiempo, porque las acciones de gestión dependerán de la identificación de los periodos de máxima demanda o pico, que exceden la capacidad física del sistema de prestación del servicio, y de otros períodos donde la demanda es menor que dicha capacidad.El estudio de la variación de la demanda en el tiempo se debe apoyar en un estudio estadístico, sin embargo otros enfoques indican que la capacidad del sistema se puede ajustar acorde al funcionamiento y experiencias acumuladas.

Capacidad del sistema: Determinada por la cantidad de clientes que se pueden atender por unidad de tiempo (por todos los canales ). También se puede referir a ella como el número de clientes que puede físicamente alojar o manejar el sistema en un momento dado. La capacidad del sistema determina el nivel de servicio que se ofrece al cliente.

La siguiente figura ilustra como, para una capacidad del sistema, según los flujos de clientes en el tiempo, existen periodos de baja y periodos pico en los cuales se excede la capacidad instalada.

Demanda

Picos

Capacidad del Sistema

Tiempo

Según la gráfica existen dos situaciones que se deben gestionar:

Picos de la demanda. Demanda que no puede ser satisfecha en un periodo de tiempo dado, conlleva a altos tiempos de espera, por tanto deserciones y pérdida de beneficios, por otro lado acumulación de grandes volúmenes de inventario, incrementos en los tiempos de entrega al cliente. Las acciones necesarias para manejar esta situación apuntan a descabezar dichos picos.

Demanda menor que la capacidad. A pesar de que la demanda es menor que la capacidad del sistema, se forma cola, en este caso se trata de diseñar el sistema de tal forma que permita un servicio rápido al cliente, optimizando los tiempos de espera o el tamaño de la cola. Es acá donde la teoría de líneas de espera juega un papel importante, como técnica que permite gestionar la atención rápida al cliente. Porqué si la demanda es menor que la capacidad, se forma una línea de espera?. La razón por la cual se forma una cola se debe a la aleatoriedad existente entre los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio.

La teoría de líneas de espera permite al usuario describir el sistema de colas bajo estudio, es decir le permite calcular estadísticas de congestión, pero no optimiza el funcionamiento del mismo; es el usuario quien debe optimizar el sistema bajo estudio.

COSTOS ASOCIADOS

El costo de un sistema de colas tiene dos componentes: costo del servicio y costo asociado con la espera, el objetivo es diseñar el sistema de tal forma que se produzca el menor costo total. En la siguiente figura se puede observar la relación de dichos costos con el nivel de servicio y su incidencia en el costo total.

Para bajos niveles de servicio se experimentan largas colas y por tanto costos de espera altos. Conforme se incrementa el nivel de servicio se incrementan los costos del mismo, pero disminuyen los costos de espera. El costo total del sistema disminuye, pero a partir de cierto nivel los ahorros en el costo de espera no compensan los incrementos del costo del servicio.El costo del servicio es tangible, y aparece en la contabilidad, sin embargo el costo de la espera es un intangible y se refiere a un beneficio perdido por los clientes que no vuelven, por los que se retiran, causan sobre costos de entrega o, incrementos en los inventarios por los cuellos de botella que se generan.En general la función de costos total (CT) esta dada por:

CT/ periodo de tiempo = $ C1 * K + $ C2 * L

Donde $ C1 son los costos del servicio, por servidor o canal por unidad de tiempo, y $ C 2

son los costos asociados con la espera, evaluados por cliente y unidad de tiempo.

CRITERIO GERENCIAL

Muy aplicado por organizaciones de servicio, las cuales por criterio establecen según condiciones competitivas, un tiempo máximo de espera para un cliente en la cola, o un número máximo de clientes en espera, lo cual permite calcular el nivel óptimo de servicio.

CARACTERISTICAS DE CONGESTION DE INTERES Y NOTACIÓN

Entre las características de interés en un sistema de líneas de espera se tienen: Notación

Número esperado de unidades en el sistema. LNúmero esperado de unidades en la cola LqTiempo medio esperado en el sistema WTiempo medio esperado en la cola WqUtilización del sistema Porcentaje de veces que el canal esta ocioso PoProbabilidad de que haya n unidades en el sistema PnNúmero esperado de estaciones desocupadas E(g)Probabilidad de tener que esperar Pk

NOTACION KENDALL

Notación ampliamente utilizada para clasificar los diferentes modelos de líneas de espera. El formato es el siguiente: a/b/c/d/e/f, donde a: Representa la distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas. Si es exponencial se denota por M, si es determinista se denota por D, si es cualquier distribución general se denota por G.b: representa la distribución de probabilidad del tiempo de servicio. Igual que caso anterior.c: Representa el número de canales. Puede ser uno o varios canales (varios K ó S)d: Representa la disciplina de servicio. Puede ser peps, ueps, aleatorio (siro), con base a prioridades e: Representa el máximo número de clientes que se pueden alojar en el sistema en un instante dado del tiempo. ( se nota N)f: Representa el tamaño de la población potencial de clientes, cuando esta es finita ( se nota m )Cuando la disciplina es peps, capacidad ilimitada y población infinita, se puede omitir su notación.

Ejemplos: M/M/1 M/M/4 M/M/1/8 M/M/2/8 M/M/1/ / 15 M/M/3/ / 15 M/G/1 M/D/1

En general los modelos M se refieren a procesos carentes de memoria o Markovianos; Una distribución muy utilizada en colas y que tienen esta característica es la Exponencial Siempre que se hable de M se refiere a tiempos entre llegadas o de servicio exponenciales.

CONDICION DE ESTADO ESTACIONARIO

En el análisis de líneas de espera se debe identificar las condiciones iniciales o transitorias de las condiciones de largo plazo, estado estable o estado estacionario.Todas las estadísticas de congestión que se deducen para los diferentes modelos de colas, se suponen valores medios o de estado estable, independientes del tiempo transcurrido y de las condiciones iniciales.Estado estable o estacionario, se refiere a la condición del sistema de colas como independiente del estado inicial y del tiempo t transcurrido.

RELACIONES FUNCIONALES ENTRE LAS CARACTERISITICAS DE OPERACION

L = *W Lq = *Wq W = Wq + 1/

En estas relaciones, cuando no es una constante para todo n, entonces se usa

La cual se puede calcular de la siguiente forma: = nPn para toda n

REPASO DE LAS DISTRIBUCIONES POISSON Y EXPONENCIAL NEGATIVA

Distribución de Poisson:

f ( x ) = P ( X = x ) = e - * x Para x = 0,1,2,3,4, ……… x!

F ( x) = e - * x x!

Distribución Exponencial negativa

f( x ) = * e-x Para x > 0

F ( x ) = 1 - e-x

HIPOTESIS A CONSIDERAR EN LOS MODELOS DE COLAS

1. Si N(t) = n es el número de unidades en el sistema en el instante t, las llegadas de nuevos clientes se consideran con distribución Poisson con parámetro n

2. Si N(t) = n es el número de unidades en el sistema en el instante t, los servicios se consideran con distribución exponencial con parámetro 1/n

3. Para un pequeño intervalo de tiempo t la probabilidad de dos o más ocurrencias es cero (una llegada y una salida, o dos llegadas, o dos salidas, o más de dos ocurrencias combinadas)4. En el largo plazo el número esperado de llegadas es igual al número esperado de salidas. Esto es lo que se llama la ecuación de balance del sistema.MODELO M/M/1

Características:

Población infinita Un solo canal No hay rechazo No hay abandonoDisciplina de Servicio pepsLlegadas según distribución Poisson con tasa n = para n > o = a ceroServicios exponenciales con tasa de servicio n = para n > 0Utilizando las hipótesis anteriormente enunciadas, es decir aplicando el proceso de nacimiento y muerte se pueden obtener ecuaciones para este modelo, a partir del siguiente diagrama de estados, donde se resumen las hipótesis del modelo. Luego de sacar las ecuaciones de balance, las cuales lo haremos en tablero, se obtienen las diversas ecuaciones de congestión. Se cumple que <

Diagrama de Estados

Ecuación de Balance

Estado

0 P0 = P1 despejando P1 = P0

1 P0 + P2 = P1 + P1 despejando P2 = P0

2 P1 + P3 = P2 + P2 despejando P3 = P0

En general si se continua determinando la ecuación de balance hasta elestado n-1, se obtendrá para el estado n la siguiente ecuación general, donde = /

Pn = P0 la cual se puede expresar como: Pn = * P0

Para el modelo M/M/1, = / representa el factor de utilización, y significa el porcentaje de

veces que el sistema está ocupado. El sistema está ocupado cuando al menos hay un cliente en

el sistema, por tanto el servidor está ocupado.

En esta ecuación P0 es una incógnita, pero se puede hallar a partir de:

= 1 entonces Po* = 1 se obtiene que Po = 1-

0 1 2 3 4 5 n

este resultado sale de = si es decir <

El número esperado de clientes en el sistema

E(n) = L = = = =

= = = =

El número esperado de clientes en la cola

E(n-1) = Lq = = - = E(n) – (1-Po) = L -

En los modelos donde no es una constante para todo n , entonces se

utiliza =

E(n) = L = =

E(n-1) = Lq = =

W = Wq =

Ejemplo 1. La empresa aérea ABC mantiene un empleado para atender las reservaciones y para suministrar información acerca de los horarios de la salida y llegada de los vuelos. Todas las llamadas que se hacen a la empresa entran por un conmutador. Si quien llama solicita información o reservaciones, la recepcionista pasa la llamada al empleado encargado; pero si está ocupado se le solicita que espere en la línea. Cuando el empleado queda libre, se le comunica con la persona que más ha esperado. Suponga que las llamadas y los servicios siguen una distribución de Poisson. Las llamadas llegan a una tasa de 10 por hora y el empleado atiende una llamada en 4 minutos en promedio. a) ¿Cuál es el promedio de llamadas que esperan comunicación con el despacho de reservaciones?b) ¿Cuál es el tiempo promedio que debe esperar una llamada antes de comunicarse con el despacho de reservas?c) ¿Cuál es el tiempo promedio para que una llamada quede satisfecha?

Se presenta a continuación la salida del software QSB

Queuing Performance for Ejemplo1

M/M/1

With lamda = 10 customers per hora and µ = 15 customers per hora

Overall system effective arrival rate = 10.0000 per hora

Overall system effective service rate = 10.0000 per hora

Overall system effective utilization factor = 0.666667

Average number of customers in the system (L) = 2.00

Average number of customers in the queue (Lq) = 1.33

Average time a customer in the system (W) = 0.200 hora

Average time a customer in the queue (Wq) = 0.133 hora

The probability that all servers are idle (Po)= 0.33

The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.67

Ejemplo 2.

El tiempo entre llegadas a un sistema de inspección visual es de 2 minutos por pieza, con distribución exponencial. El tiempo que gasta el inspector se distribuye exponencialmente con media de 1.5 minutos por pieza.a) Cuál es el tiempo promedio de espera de una pieza antes de inspección?b) En promedio cuantas piezas están en espera de ser inspeccionadas?


M/M/1











Ejemplo 3.

Consideremos un controlador de 4 líneas de entrada de 4800bps c/u y una salida de

9600bps. El tamaño promedio de los mensajes es de 1000 bits por mensaje y el tráfico es

de 2 mensajes por segundo. Calculemos entonces el retardo promedio de los mensajes

y la cantidad de mensajes en espera que habrá en el sistema como para poder diseñar el

buffer necesario.

Si la velocidad de salida del controlador es de 9600bps y el tamaño de mensaje de 1000

bits, entonces =9,6 mensajes/segundo y = 8 mensajes/segundo =4 líneas*2 (tener en

cuenta que hay 4 entradas). Con estos datos tenemos:

MODELO M/M/K

Características:

Población infinita K canales de servicio en paraleloUna sola cola frente a los canales, donde el cliente que espera en la cola es atendido por el primer canal que queda desocupado.No hay rechazo, no hay abandonoDisciplina de servicio pepsLlegadas según distribución Poisson con parámetro n = para n ≥ o Servicios exponenciales con parámetro n = n para n < K

= k para n

Donde n es la tasa global del sistema, es decir de todos los servidores ocupados. Se supone que cada servidor tiene la misma tasa , porque de lo contrario sería un modelo especial de colas.Utilizando las hipótesis anteriormente enunciadas, es decir aplicando el proceso de nacimiento y muerte se pueden obtener las ecuaciones de estado estable si se cumple que < k , las cuales se presentan en la tabla de formulas, la cual no incluye la siguiente : Numero esperado de canales desocupados = k -

Diagrama de Estados

2 3 4 5 (k-1) k

Ecuación de Balance

Estado

0 P0 = P1 despejando P1 = P0

1 P0 + 2P2 = P1 + P1 despejando P2 = P0

2 P1 + 3P3 = P2 + 2P2 despejando P3 = P0

..

..

..

k-1 P(k-2) + kPK = PK-1 + (k-1)Pk-1 despejando PK = *P0 K

0 1 2 3 4 5

..

..

..

n-1 P(n-2) + kPn=Pn-1 + KPn-1 despejando se tiene que:

Pn =

De este sistema de ecuaciones se obtiene:

Se sabe que

= 1 a partir de esta ecuación se puede determinar Po, se obtiene

Ejemplo 3. En ejemplo 1, suponga que se considera colocar un nuevo empleado de tal manera que las llamadas sean recibidas indistintamente por cualquiera de los dos que esté libre.

Pn = *P0 n< k

n k

Po = [ + (1- ]-1

a) ¿Cuál sería el número promedio de llamadas esperando comunicarse con el despacho de reservas?b) ¿Cuál sería entonces el tiempo esperado antes de que una llamada tuviera comunicación con el despacho de reservas?c) Supóngase que el costo de funcionamiento de un despacho adicional es de US $ 8 diarios y el costo del good will de la espera de cada cliente US $ 0.20 por minuto de espera (antes de la comunicación) ¿debería emplearse un segundo dependiente?d) ¿Cuál sería el costo de indiferencia del good will para conseguir o no un segundo empleado? e) ¿Cuáles son las hipótesis acerca del número esperado de llamadas para cada hora del día? Queuing Performance for Ejemplo3

M/M/2











Ejemplo 4. Suponga que en el taller "Rueda Libre" los mecánicos llegan a un puesto de préstamo de herramientas a una tasa de 20 por hora. El empleado requiere 2,5 minutos para localizar la herramienta y hacer el vale y verificarlo. Los mecánicos reciben un salario de $ 950,oo por hora y los almacenistas $ 780,oo incluyendo prestaciones extralegales. ¿Cuántos empleados en el puesto de préstamo de herramientas deben ser contratados si suponen llegadas y servicios Poissonianos?


M/M/2 With lamda = 20 customers per hora and µ = 24 customers per hora Overall system effective utilization factor = 0.416667 Average number of customers in the system (L) = 1.008403


M/M/3

With lamda = 20 customers per hora and µ = 24 customers per hora Overall system effective utilization factor = 0.277778 Average number of customers in the system (L) = 0.855529 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.022196

M/M/4

With lamda = 20 customers per hora and µ = 24 customers per hora Overall system effective utilization factor = 0.208333 Average number of customers in the system (L) = 0.836234 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.002901

Ejemplo 5. Una compañía de seguros tiene tres empleados para atender los reclamos de los clientes. Estos llegan según una ley de Poisson a una tasa de 20 por día de 8 horas. El tiempo que cada empleado le dedica a un cliente se distribuye en forma exponencial con un promedio de servicio de 40 minutos con disciplina peps en la cola. a) ¿Cuántas horas a la semana se espera que un empleado gaste con los clientes? b) ¿Cuánto tiempo gasta en promedio un cliente haciendo un reclamo?c) ¿ Cuánto tiempo gasta en promedio un cliente esperando par hacer un reclamo?


M/M/3 With lamda = 2.5 customers per hora and µ = 1.5 customers per hora Overall system effective arrival rate = 2.500000 per hora Overall system effective service rate = 2.500000 per hora Overall system effective utilization factor = 0.555556 Average number of customers in the system (L) = 2.041367 Average number of customers in the queue (Lq) = 0.374700 Average time a customer in the system (W) = 0.816547 hora Average time a customer in the queue (Wq) = 0.149880 hora The probability that all servers are idle (Po)= 0.172662 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.299760

Probability of n Customers in the System

P(0) = 0.17266 P(1) = 0.28777 P(2) = 0.23981 P(3) = 0.13323 P(4) = 0.07401 P(5) = 0.04112 P(6) = 0.02284 P(7) = 0.01269 P(8) = 0.00705 P(9) = 0.00392 P(10) = 0.00218

MODELO M/M/1/N

Características :Población infinitaUn solo canalSe presenta rechazo, pero no hay abandono.Disciplina de Servicio pepsLlegadas según distribución Poisson con tasa n = para 0 n < N

= 0 para n = N Servicios exponenciales con tasa de servicio n = para n > 0

Este modelo supone que la capacidad del sistema es limitada, ya sea porque no se puede albergar a todas las unidades que llegan, o porque la actitud del cliente es de impaciencia, o porque el canal de servicio lo establece así.Acá se tienen tres tasas: una de llegadas, una de rechazo y una efectiva de entrada al sistema.La tasa de llegadas es _La tasa efectiva de entrada al sistema = ( 1 – PN )La tasa de rechazo = * PN

Al igual que en los dos modelos anteriores, considerando las hipótesis anteriormente enunciadas, se pueden obtener ecuaciones para este modelo, no se requiere que < ; las cuales se presentan en la tabla de formulas.

Diagrama de Estados = 0

Ejemplo 6. Una estación de servicio con un solo surtidor, tiene espacio para ocho autos (incluyendo al que se está sirviendo). Los carros llegan a una tasa de dos cada 10 minutos. El servicio se distribuye exponencial con media 4 minutos. a) ¿Cuál será el numero esperado de autos que esperan servicio de tanqueo?b) ¿En promedio cuanto tiempo espera un auto para ser atendido?c) ¿Cual será la probabilidad de que un auto que llegue tenga que esperar.d) ¿Cuál es la probabilidad de que un auto que llegue pueda entrar?e) ¿Si la utilidad promedio que obtiene la estación por auto es de $ 400, Cual será la

utilidad perdida por hora, día, semana para la estación por los autos que no pueden entrar y entonces se retiran?

0 1 2 3 4 5 N


M/M/1/8

With lamda = 12 customers per hora and µ = 15 customers per hora Overall system effective arrival rate = 11.5349 per hora Overall system effective service rate = 11.5349 per hora Overall system effective utilization factor = 0.768995 Average number of customers in the system (L) = 2.604777 Average number of customers in the queue (Lq) = 1.835782 Average time a customer in the system (W) = 0.225817 hora Average time a customer in the queue (Wq) = 0.159150 hora The probability that all servers are idle (Po)= 0.231005 The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.768995


P(0) = 0.23100 P(1) = 0.18480 P(2) = 0.14784 P(3) = 0.11827 P(4) = 0.09462 P(5) = 0.07570 P(6) = 0.06056 P(7) = 0.04845 P(8) = 0.03876 P(9) = 0.00000 P(10) = 0.00000

Ejemplo7. Es necesario determinar cuánto espacio de almacén para material en proceso conviene asignar a un centro de trabajo en una nueva fábrica. Los trabajos llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 3 por hora, y el tiempo requerido para realizar el proceso necesario tiene una distribución exponencial con media de 0,25 horas. Cuando los trabajos que esperan requieren más espacio de almacén del asignado, el exceso va a un almacén temporal en un lugar menos conveniente. Si cada trabajo requiere un pie cuadrado de suelo en el almacén del centro de trabajo, ¿Cuánto espacio se debe proporcionar para acomodar todos los trabajos el 90% del tiempo?

Este problema aparentemente es un modelo de capacidad limitada, pero al leerlo con detenimiento se puede observar que los trabajos que no pueden ser almacenados en el lugar de trabajo no son rechazados, se almacenan en lugar menos conveniente manteniendo el orden de llegada, es decir siguen entrando a la cola.


M/M/1With lamda = 3 customers per hora and µ = 4 customers per horaOverall system effective arrival rate = 3.000000 per horaOverall system effective service rate = 3.000000 per horaOverall system effective utilization factor = 0.750000Average number of customers in the system (L) = 3.000000Average number of customers in the queue (Lq) = 2.250000Average time a customer in the system (W) = 1.000000 horaAverage time a customer in the queue (Wq) = 0.750000 horaThe probability that all servers are idle (Po)= 0.250000The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.750000


P(0) = 0.25000 P(1) = 0.18750 P(2) = 0.14063 P(3) = 0.10547 P(4) = 0.07910 P(5) = 0.05933 P(6) = 0.04449 P(7) = 0.03337 P(8) = 0.02503 P(9) = 0.01877 P(10) = 0.01408 P(11) = 0.01056 P(12) = 0.00792 P(13) = 0.00594 P(14) = 0.00445 P(15) = 0.00334 P(16) = 0.00251 P(17) = 0.00188 P(18) = 0.00141 P(19) = 0.00106 P(20) = 0.00079

= 3/4

P(n<=k) = 0.90P0 + P1+ P2+ P3 +.......Pk = 0.90

Pn =

P0 + P0 1 + P0 2

+ P0 3 +....... + P0 k = 0.90

P0 ( 1+ 1+ 2 + 3 + .........+ k = 0.90

= = 0.90 donde = 3/4

Ejercicios complementarios del taller

1. El teléfono de empresas públicas, situado a la entrada del bloque 18 de la U Eafit, recibe clientes que llegan según distribución Poisson con una tasa promedio de 6 clientes por hora. Las llamadas tienen una duración exponencial con media de 3 minutos.

a) Si EEPP decide que colocará otro teléfono si un cliente tiene que esperar en promedio más de 3 minutos para que desocupen el teléfono, cuál debería ser la tasa de llegadas para que suceda esto? b) Si EEPP decide que colocará otro teléfono si la probabilidad de que un cliente tenga que esperar exceda de 0.5, ¿cuál debería ser la tasa de llegadas para que esto suceda?

c) Si un cliente que va a llamar encuentra que el teléfono está ocupado, entonces decide no llamar, ¿ cuál es la tasa efectiva de entrada en este caso?, ¿ cuál sería el tiempo promedio de espera de un cliente que llama?

2. En Colombia se tiene un sistema de control del peso de las tractomulas que circulan por ciertas arterias, con el fin de prevenir el deterioro de las vías y sobre todo proteger los puentes, dado que si un camión tiene un peso mayor al indicado por la capacidad del puente, este si no se cae inmediatamente, queda con su estructura disminuida, lo cual

es un factor de alto riesgo para los demás conductores. En cierto lugar de una autopista se tiene una rampa de entrada a una báscula, sobre la cuál se hace parar el camión. Suponga que los camiones llegan a dicho punto según distribución Poisson con tasa media de 40 camiones por hora. El tiempo de pesado de un camión se distribuye en forma exponencial con media de 1.2 minutos. Si la rampa tiene capacidad para albergar 8 camiones en espera sin interferir con la autopista, hay ocasiones en que la cola llega a la autopista, ¿ cuál es la probabilidad de que esto suceda?

3. Un centro de reparación de micros, recibe trabajos que se asignan en forma rotatoria a uno de sus cuatro técnicos para que haga la reparación. Ningún técnico ayuda a otro y tampoco recibe ayuda de los demás. Si el número de micros que llegan al centro de reparación se distribuye Poisson con tasa media de 2 por día, y cada técnico repara micros con tiempo distribuido en forma exponencial con tiempo medio de 1 día por micro,

a) En promedio cuánto tiempo espera un micro al técnico? b) En promedio cuántos micros estarán esperando a cada técnico para que les dé servicio?

4. Un administrador de un restaurante trata de determinar cuantas colas se deben trabajar durante las horas pico en un restaurante , si llegan en promedio 100 clientes por hora al restaurante y en cada cola se pueden manejar en promedio 40 clientes por hora. El costo de espera de un cliente en la cola es de $ 4.000 por hora. Un servidor cuesta $ 2.200 la hora. ¿Cuál es el número de colas que minimiza el costo total por hora?

MODELO M / M / 1 / / m

Modelo muy utilizado en el análisis de los paros de producción causados por la reparación o mantenimiento de maquinaria y equipo.

Características:

Población finita de tamaño mUn solo canalNo hay rechazoNo hay abandonoDisciplina de Servicio pepsLlegadas según distribución Poisson con tasa n = ( m – n ) para n > o = a cero

= 0 para n = m

En este caso la tasa de llegada de nuevos clientes al sistema depende de cuantos hay en el.Se considera que es la tasa de llegadas individual de cada cliente nuevo al sistema, y que todos tienen la misma tasa individual.Servicios exponenciales con tasa de servicio n = para n > 0Si se cumple que < , entonces es posible lograr un estado estable. Las formulas para este modelo se presentan en la tabla de formulas.

Diagrama de Estadosm (m-1) (m-2) (m-3) (m-4) (m-5) 0

Ejemplo 8. Un operario está encargado de la preparación, carga, ajuste y descarga de 4 máquinas. El tiempo de operación, entre la terminación del trabajo del operador y el momento en que la máquina vuelve a necesitar atención, tiene una distribución exponencial con media de 15 minutos para cada máquina. El operador atiende sus propias máquinas, no ayuda ni recibe ayuda de otros operadores, y se gasta en promedio 4 minutos con cada máquina, tiempo distribuido en formaexponencial. Para que el departamento logre la tasa de producción, las máquinas deben operar por lo menos en promedio 80% del tiempo.a) Determine si el departamento logra la tasa de producción.b) Cuál es la fracción esperada de tiempo que el operador está ocupado en la atención de las máquinas?, ¿ A Cuántas horas equivalen si el trabaja 48 horas a la semana?

Queuing Performance for Operario que atiende 4 máquinas.With lamda = 4 customers per hour and µ = 15 customers per hour

Overall system effective arrival rate = 10.7100 per hourOverall system effective service rate = 10.7100 per hourOverall system effective utilization factor = 0.713998Average number of customers in the system (L) = 1.322509Average number of customers in the queue (Lq) = 0.608512Average time a customer in the system (W) = 0.123484 hourAverage time a customer in the queue (Wq) = 0.056817 hourThe probability that all servers are idle (Po)= 0.286002The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.713998

Probability of n Customers in the SystemP(0) = 0.28600 P(1) = 0.30507 P(2) = 0.24406 P(3) = 0.13016 P(4) = 0.03471

Ejercicio. Se ha asignado a un mecánico la responsabilidad de dar mantenimiento a cinco máquinas herramientas idénticas. Para cada máquina, la distribución de probabilidad del tiempo de operación antes de descompostura es exponencial con media de 10 horas. El tiempo de reparación también tiene una distribución exponencial con media de dos horas.a) ¿ Cuál es la probabilidad de que no haya maquina alguna funcionando?b) ¿ En promedio cuanto tiempo pasa una maquina esperando al mecánico para

ser reparada? c) ¿ Cuál será el número esperado de máquinas que están en operación en un

momento dado?

0 1 2 3 4 5 m

d) ¿ Cuál es la fracción esperada de tiempo que el operador está ocupado en la atención de las máquinas?, ¿ A Cuántas horas equivalen si el trabaja 48 horas a la semana?

e) ¿ Cuál es la fracción esperada de tiempo que el operador está ocioso? ¿ A Cuántas horas equivalen si él trabaja 48 horas a la semana?e) ¿ Si cada máquina en promedio atiende 10 trabajos por hora, ¿ Cuál será el

inventario promedio en espera de ser procesado?

MODELO M / M / k / / m

El modelo multicanal se utiliza cuando varios canales de servicio atienden a una población limitada. Al igual que el modelo anterior se utiliza en el análisis de los paros de producción causados por la reparación o mantenimiento de maquinaria y equipo. Es de interés evaluar los costos totales del sistema.

Características :Población finita de tamaño mk canales de servicio en paraleloUna sola cola frente a los canales de servicio, donde el cliente en espera es atendido por el primer canal que queda desocupadoNo hay rechazoNo hay abandonoDisciplina de Servicio pepsLlegadas según distribución Poisson con tasa n = ( m – n ) para n > o = a cero

= 0 para n = mEn este caso la tasa de llegada de nuevos clientes al sistema depende de cuantos hay en el.Se considera que es la tasa de llegadas individual de cada cliente nuevo al sistema, y que todos tienen la misma tasa individual.Servicios exponenciales con parámetro n = n para n < K

= k para n Si se cumple que < k. , entonces es posible lograr un estado estable. Las formulas para este modelo se presentan en la tabla de formulas.

Diagrama de Estados

m (m-1) (m-2) (m-3) (m-4) (m-5) (m-k+1)

2 3 4 5 (k-1) k

Ejemplo 9. Se ha asignado a dos mecánicos la responsabilidad de dar mantenimiento a quince máquinas. Para cada máquina, la distribución de probabilidad del tiempo de operación antes de

0 1 2 3 4 5

descompostura es exponencial con media de 10 horas. El tiempo de reparación también tiene una distribución exponencial con media de dos horas. a) Especifique claramente el modelo. b) Para que el departamento logre la tasa de producción, las máquinas deben operar por lo menos en promedio 80% del tiempo. Determine si el depto de producción logra dicha tasa. c) Cuál es la fracción esperada de tiempo que los mecánicos están ocupados en la atención de las máquinas?

With lamda = .1 customers per hour and µ = .5 customers per hourOverall system effective arrival rate = 0.953531 per hour Overall system effective service rate = 0.953531 per hourOverall system effective utilization factor = 0.953531 Average number of customers in the system (L) = 5.464692Average number of customers in the queue (Lq) = 3.557630 Average time a customer in the system (W) = 5.731008 hourAverage time a customer in the queue (Wq) = 3.731007 hour The probability that all servers are idle (Po)= 0.018588The probability an arriving customer waits(Pw)= 0.925649


P(0) = 0.01859 P(1) = 0.05576 P(2) = 0.07807 P(3) = 0.10149 P(4) = 0.12179 P(5) = 0.13397 P(6) = 0.13397 P(7) = 0.12057 P(8) = 0.09645 P(9) = 0.06752 P(10) = 0.04051 P(11) = 0.02026 P(12) = 0.00810 P(13) = 0.00243 P(14) = 0.00049 P(15) = 0.00005

Ejercicio. En un taller hay 20 tornos y se ha observado que cada uno de ellos falla a intervalos con variabilidad exponencial con tiempo promedio de un día por torno. El taller tiene 5 mecánicos que trabajan con tasas iguales según distribución Poisson con tasa media de un torno por día. El costo fijo diario de cada mecánico es de $ 900 y el costo de espera de cada torno fuera de servicio es $ 9.000. a) ¿Cual es el numero de mecánicos que hacen que el costo total diario sea mínimo?a) ¿Cual es el numero esperado de tornos que funcionan diariamente?b) ¿En promedio cuanto tiempo pasa un torno en espera y en servicio?

MODELO M/G/1.

Características:

Población infinita, capacidad infinita, disciplina de servicio PEPS.

Tiempo entre llegadas exponencial. Tasa de llegadas n = para n 0

Tiempo de servicio sigue una distribución general, con tiempo medio 1/ y Varianza 2

Dados >0 y >0 sea = /. Si 1 no existe estado estable.

Si <1 el sistema es estable

Si 2 = varianza de la distribución de tiempos de servicio, entonces:

(Pollaczek-Khinchin)

,

, y

Probabilidad de servidor desocupado: P0 = 1-

MODELO M/D/1

Características:

Población infinita, capacidad infinita, disciplina de servicio PEPS.

Tiempo entre llegadas exponencial. Tasa de llegadas n = para n 0

Tiempo de servicio se considera constante por tanto tiene Varianza 2 = 0

Dados >0 y >0 sea = /. Si 1 no existe estado estable.

Si <1 el sistema es estable

Si 2 = 0, se aplica la misma fórmula del modelo M/G/1, sólo que la varianza es

cero, entonces

,

, y

Probabilidad de servidor desocupado: P0 = 1-

Ejercicios propuestos

1. En una planta de ensamble se reciben trabajos al azar; supóngase que el tiempo promedio entre llegadas tiene distribución exponencial con media de 12 minutos por trabajo. Los tiempos de servicio no siguen la distribución exponencial. A continuación se muestra dos proposiciones para el diseño de la operación de ensamble de la planta:

Diseño Tiempo Medio de Servicio Desviación Estándar (Minutos / Trabajo)A 6.0 3.0B 6.30 0.5

a) ¿Cuál es la tasa promedio de servicio, para cada uno de los diseños?b) ¿Cuál diseño ofrece las mejores características de operación? ¿Porque?

2. En una oficina estatal se reciben reclamos de impuestos al azar; supóngase que el tiempo promedio entre llegadas tiene distribución exponencial con media de 20 minutos por solicitud. Los tiempos de servicio no siguen la distribución exponencial. La siguiente tabla muestra los tiempos de servicio, de dos empleados diferentes, para el estudio de una solicitud

Empleado Tiempo Medio de Servicio Desviación Estándar ( Minutos / Solicitud ) ( Minutos ) A 16.00 8.0 B 16.30 6.5

a) Cuál es la tasa promedio de servicio, para cada uno de los empleados?b) Cuál empleado ofrece las mejores características de operación ? Porque?

3 El gerente de un banco debe tomar una decisión sobre cuál de dos empleados contratar en la concesión de nuevos préstamos. El empleado A en promedio estudia 0,5 solicitudes por hora con una varianza de servicio de 3 horas; el empleado B tiene una de servicio de 0,4 solicitudes por hora con una varianza de 2 horas. El costo de espera de los clientes se estima en $ 3000 por hora. El empleado A cuesta $4000 por hora, mientras que el costo del empleado B es de $3400 por hora. Si la distribución de la llegada de los clientes es Poisson con tasa media de 0,3 solicitudes por hora ¿Cuál empleado debería contratarse?

4. Si una escalera eléctrica en un centro comercial puede aceptar a 30 personas por minuto, ¿cuál es la tasa de llegadas máxima que se permite para mantener el tiempo promedio de espera debajo de 10 segundos?

5. La Colombiana de Recolección, transporta en camiones que normalmente esperan un promedio de 8 minutos en cada viaje antes de descargar. La compañía está considerando establecer un centro de recolección diferente, con un costo extra de $ 8 por viaje por cada camión. El nuevo centro puede operar a una tasa constante de 30 camiones por hora. Las llegadas al nuevo centro serán Poisson con tasa promedio de 24 camiones por hora. El sistema es de canal único y longitud de cola ilimitada. Si el tiempo de espera de los camiones es valorado en $ 100 por hora,

6. Un banco trata de escoger entre dos máquinas para comprobar cheques. La máquina 1 se alquila a 10.000 dólares por año y siempre procesa 900 cheques por hora. La tarifa de la máquina dos es de 15.000 dólares por año y procesa siempre 1300 cheques por hora. Suponga que las máquinas trabajan 8 horas diarias, 5 dias por semana y 50 semanas por año. El banco procesa en promedio 850 cheques por hora. Por cada hora que tarda un cheque en esperar y procesarse le cuesta al banco 0.02 dólares por hora en intereses perdidos. Suponga que los tiempos entre llegadas tienen distribución exponencial. ¿Cuál máquina se debe rentar?

resumen líneas de espera. ing procesos

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