ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

( )yxfy ,'= � ( )xyf : f función del cociente y/x

( ) ( ) 0,, =+ dyyx�dxyxM : M y N funciones homogéneas del mismo grado cambio de variable: xyv = � ( )dxvFdxvdvxdy =⋅+⋅=

solución general: ( )∫ ∫ =−

+ CvFv

dv

x

dx

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

( ) ( ) ( ) 0' =++ xCyxByxA � ( ) ( )xQyxPy =+' : forma normal HOMOGÉNEAS

( ) 0=xQ � ( ) 0' =+ yxPy solución trivial: 0=y

la ecuación admite separación de variables � solución general: ( )∫⋅=

− dxxPeCy

NO HOMOGÉNEAS / COMPLETAS

( ) 0≠xQ � ( ) ( )xQyxPy =+'

( ) ( ) ( )xyxyxy pc += : solución general

( ) ( )∫⋅=− dxxP

c eCxy : solución general de la ecuación lineal homogénea asociada método de la variación de los parámetros:

( ) ( ) ( )∫⋅=− dxxP

p exVxy : solución particular de la ecuación lineal completa

( ) ( ) ( )dxexQxV

dxxP

∫ ∫⋅=+

método del factor integrante: ( ) ( )∫=+ dxxPexµ (ver ecuaciones diferenciales no exactas)

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

( ) ( ) 0,, =+ dyyx�dxyxM exacta cuando ( )yxuu ,=∃ tal que Mx

u =∂∂

y �y

u =∂∂

( ) ( ) 0,, =+ dyyx�dxyxM exacta �� x

�

y

M

∂∂=

∂∂

solución general: ( ) [ ] CdyMdxy

�Mdxyxu =

∂∂−+= ∫ ∫ ∫,

ECUACIONES DIFERENCIALES NO EXACTAS

( ) ( ) 0,, =+ dyyx�dxyxM tales que x

�

y

M

∂∂≠

∂∂

procedimiento del factor integrante:

( )yx,µµ =∃ tal que ( ) ( ) 0,, =⋅+⋅ dyyx�dxyxM µµ es exacta, casos particulares:

( ) ( )xf�M�

xy =− ''1

función únicamente x: � ( ) ( )∫=+ dxxfexµ

( ) ( )yg�MM

xy =− ''1

función únicamente y: � ( ) ( )∫=− dyygeyµ

ECUACIONES RESOLUBLES MEDIANTE UN CAMBIO DE VARIABLE

( )byaxfy +=' � byaxY += � ( ) aYbf

dYdx

+= separación de variables

++=dycx

byaxfy' �

( )( )

++=

xydc

xybxfy' ecuación diferencial homogénea

++++=qdycx

pbyaxfy' �

+=+=kYy

hXx �

++=dYcX

bYaxXf

dX

dY ver caso anterior

TRAYECTORIAS ORTOGONALES familia F1: ( ) 0,,1 =λyxf � despejamos λ: ( ) ( ) 0,, =+ dyyx�dxyxM : ec. dif. de F1

�

My −=' � ( ) ( ) 0,, =− dyyxMdxyx� : ec. dif. de F2 � solución : ( ) 0,,2 =λyxf ortogonal

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

( ) ( ) nyxQyxPy =+' � ( ) ( )xQyxPyy nn =+ −− 1'

cambio de variable: nyz −= 1 � ( ) ( ) ( ) ( )xQnzxPndx

dz ⋅−=⋅−+ 11 : ecuación lineal

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CLAIRAUT

( )'' yxyy ϕ+= � nueva notación: py =' � ( )pxpy ϕ+= � ( )( ) 0'' =+ pxp ϕ � si 0'=p � Cp = � ( )CxCy ϕ+= : familia uniparamétrica de rectas, solución regular si ( ) 0' =+ px ϕ � ( ) ( )pppy ϕϕ +−= ' : envolvente de la familia de rectas, solución singular ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI

( ) ( ) ( )xRyxQyxPy ++= 2' si conocemos una solución particular: ( )xyy 11 = � cambio de variable: zyy += 1 � ( ) ( )zxQzxPz

~' 2 += : ecuación de Bernoulli

( ) ( ) ( )xQyxPxQ += 12

~

cambio de variable: v

z1= � ( ) ( ) 0

~' =++ xPvxQv : ecuación lineal

si conocemos dos soluciones particulares: ( )xyy 11 = , ( )xyy 22 = �

cambio de variable: 2

1

yy

yyz

−−

= � solución general: ( ) ( )∫⋅=

−− − dxxPyy

eKyy

yy 21

2

1

si conocemos tres soluciones particulares: ( )xyy 11 = , ( )xyy 22 = , ( )xyy 33 = �

cambio de variable: v

yy1

3 += � solución general: Kyy

yy

yy

yy=

−−

−−

12

32

3

1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CASOS PARTICULARES SIMPLES

� ( )pxfdx

dp,= : ecuación de 1º orden ( )','' yxfy = � cambio de variable: py ='

� ( )pyfdy

dpp ,= : ecuación de 1º orden ( )','' yyfy = � cambio de variable: py ='

� ( )yfdy

dpp = : ecuación de 1º orden ( )yfy ='' � cambio de variable: py ='

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 2º ORDEN

( ) ( ) ( ) ( ) 02

2

=+++ xDyxCdx

dyxB

dx

ydxA � ( ) ( ) ( )xRyxQyxPy =++ ''' : forma normal

Wronskiano: ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )xgxf

xgxfxgxfW

'', =

HOMOGÉNEAS

( ) ( ) 0''' =++ yxQyxPy solución general: ( ) ( ) ( )xycxycxy 2211 += método para obtener una solución particular y2, conocida la primera y1: ( )xyy 11 =

( ) ( )xyxvy 12 ⋅= � ( ) ( )∫ ∫⋅=

− dxxPe

y

dxxv

2

1

método para obtener la primer solución particular y1: ( ) pxP = , ( ) qxQ = coeficientes constantes: 0''' =++ qypyy

rxey = tal que 02 =++ qprr � ( ) ( )( )

⋅+=→=−

+=→<−

+=→>−

xr

axax

xrxr

exccyqp

bxecbxecyqp

ececyqp

1

21

21

2

21

2

21

2

04

sincos04

04

NO HOMOGÉNEAS / COMPLETAS

( ) ( ) ( )xRyxQyxPy =++ '''

( ) ( ) ( )xyxyxy pc += : solución general

( ) ( ) ( )xycxycxyc 2211 += : solución general de la ecuación lineal homogénea asociada ( )xy p : solución particular de la ecuación lineal completa

métodos para obtener una solución particular de la ecuación lineal completa: método de los coeficientes indeterminados: ( ) pxP = , ( ) qxQ = coeficientes constantes: ( )xRqypyy =++ '''

( )xR ( )xy p coeficientes

axe axAe A

( )bxcos ( )bxsin

( ) ( )bxBbxA sincos + A, B

nx nn

nn AxAxAxA ++++ −+

1

1

10 L A0, A1, …, An

axnex ( ) ax

nn

nn eAxAxAxA ⋅++++ −+

1

1

10 L A0, A1, …, An

( )bxeax cos ( )bxeax sin

( ) ( )( ) axebxBbxA ⋅+ sincos A, B

método de la variación de los parámetros:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xydxW

Ryxydx

W

Ryxyxvxyxvxy p 2

1

1

2

2211

+

−=+= ∫∫

OSCILADOR ARMÓNICO CON UNA FUERZA EXTERIOR

( )xfyy =+''

solución general: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −++=x

a

dttxtfxcxcxy sinsincos 21

condiciones iniciales: ( ) 00 yxy = , ( ) 10' yxy = �

solución particular: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −++=x

x

dttxtfxyxyxy

0

sinsincos 10

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N

( ) ( ) ( ) ( )xfyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydnnn

n

n

n

=++++ −−

−

11

1

1 L

operador diferencial: ( ) ( ) ( )xadx

dxa

dx

dxa

dx

dL nnn

n

n

n

++++= −−

−

11

1

1 L � ( )[ ] ( )xfxyL =

Wronskiano: [ ])1)1

2

)1

1

''

2

'

1

21

21 ,...,,

−−−

=

n

n

nn

n

n

n

yyy

yyy

yyy

yyyW

L

MMM

L

L

operadores diferenciales lineales: ( ) ( )xfdx

dxfD

k

kk = � ( ) nn

nn aDaDaDDP ++++= −−

1

1

1 L

ecuación diferencial lineal: ( ) ( ) 0=xfDP propiedades: ( ) ( ) rxrx erPeDP = regla del desplazamiento: ( ) ( )( ) ( ) ( )xfrDPexfeDP rxrx += ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA CON COEFICIENTES CONSTANTES

( ) ( ) 0=xyDP factorizar P(q) como producto de factores simples: ( ) ( ) ( ) ( ) mn

m

nnrqrqrqqP −−−= L21

21

( ) ( )

( )( )

( )

=−

=−

=−

→=

0

0

0

02

1

2

1

yrD

yrD

yrD

xyDP

mn

m

n

n

L

raíz real simple: ( ) 0=− ycD � cxkey = raíz real múltiple: ( ) 0=− ycD

k � ( ) cxk

k excxcxccy ⋅++++= −−

1

1

2

210 L

raíces complejas simples:

−=+=ibar

ibar

2

1 � ( )( )

⋅=

⋅=

bxeBy

bxeAy

ax

ax

sin

cos

raíces complejas múltiples:

−=+=ibar

ibar

2

1 L veces �

( ) ( )( ) ( )

⋅++++=

⋅++++=−

−

−−

bxexBxBxBBy

bxexAxAxAAy

axL

L

axL

L

sin

cos

1

1

2

210

1

1

2

210

L

L

solución general: combinación lineal de las funciones calculadas dado f(x), ¿existe un aniquilador tal que: ( ) ( ) 0=xfDA ?

( )xf axe axxe axex 2 axpex ( )bxeax cos ( )bxeax sin

( )bxex axm cos ( )bxex axm sin

( )DA aD − ( )2aD − ( )3aD − ( ) 1+− paD ( ) 22

baD +− ( )[ ]mbaD 22 +−

ECUACIÓN DIFERENCIAL NO HOMOGÉNEA (COMPLETA)

( )[ ] ( )xfxyL =

( ) ( ) ( )xyxyxy pc += : solución general

( ) ( ) ( ) ( )xycxycxycxy nnc +++= L2211 : sol. general de la ec. lin. hom. asociada ( )xy p : solución particular de la ecuación lineal completa

método de la variación de los parámetros: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxvxyxvxyxvxy nnp +++= L2211

( )

=

⋅

−−−xfv

v

v

yyy

yyy

yyy

n

n

n

nn

n

n

MM

L

MMM

L

L

0

0

'

'

'

2

1

)1)1

2

)1

1

''

2

'

1

21

� ( )∫ ⋅= dxxfW

Wv kk

método de los operadores inversos:

( ) ( ) ( )xfxyDP = � ( ) ( ) ( )xfDP

xy1=

propiedades:

( ) ( )∫ ⋅= dxxfxfD

1 , ( ) ( )( )∫ ∫ ⋅⋅= dxdxxfxf

D 2

1 , …

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfDP

cxfDP

cxfcxfcDP

22112211

111 +=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

=

⋅xf

DPDPxf

DPDPxf

DPDP 211221

11111

ley del desplazamiento: ( ) ( )( ) ( ) ( )xfaDP

exfeDP

axax

+= 11

( ) ( ) ( )axax e

aPe

DPaP

110 =→→≠

( )

axn

ax

ne

n

xe

aD !

1 =−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aQe

m

xe

DPaQDQaDDPaP

axmaxm ⋅=→→≠→−=→=

!

100

( ) ( ) ( ) ( )bxbP

bxDP

sin1

sin1

22 −= , ( ) ( ) ( ) ( )bx

bPbx

DPcos

1cos

122 −

=

( ) ( )axa

xax

aDcos

2sin

122

−=+

, ( ) ( )axa

xax

aDsin

2cos

122

−=+

( ) ( ) ( )xPa

D

a

D

a

D

axP

aD

n

n ⋅

−++

+−⋅=+

1111

2

L , P(x) de orden n

TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE

( ) ( )[ ] ( )∫∞

−⋅==0

dtetftfLsF st

( )tf ( )sF

1 s

1

t 2

1

s

nt 1

!+ns

n

kte ks −1

( )wtsin 22 ws

w

+

( )wtcos 22 ws

s

+

( )ktsinh 22 ks

k

−

( )ktcosh 22 ks

s

−

t

1

s

π

( )0tt −θ s

est0−

( )tδ 1

( )tf ( )sF

( ) ( )tfctfc 2211 + ( ) ( )sFcsFc 2211 +

( )tfeat ⋅ ( )asF −

( )ctf

⋅c

sF

c

1

( )tft n ⋅ ( ) ( )sFds

dn

nn ⋅−1

( )tf ' ( ) ( )0fsFs −⋅

( )tf m) ( ) ( )∑−

=

−− ⋅−⋅1

0

)1 0m

k

kkmm fssFs

transformación inversa: ( ) ( )[ ]sFLxf 1−=

utilización de la transformación de Laplace para la resolución de ec. diferenciales lineales: ( ) ( )xfyDP = : ecuación diferencial

( )( )

( )

=

==

−−

1

)1

1

0

0

0'

0

n

n yy

yy

yy

L : condiciones iniciales

solución: ( ) ( )[ ]sYLty 1−= ( ) ( ) ( )sGsTsY ⋅=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]

++++⋅++⋅+=

=

−−−−

0110

2

0110

1

00

1

yayasyayasyasFsG

sPsT

nn

nnLL

PRODUCTO DE CONVOLUCIÓN

( )( ) ( ) ( ) τττ dtgftgf

t

⋅−⋅=∗ ∫0

[ ] [ ]( ) [ ]( )gLfLgfL ⋅=∗

FUCNIÓN θθθθ(t): FUNCIÓN ESCALÓN / HEAVISIDE

( )

≥<

=−ct

ctct

,1

,0θ

( )[ ]s

ettL

st0

0

−

=−θ

FUCNIÓN δδδδh(t) Y DELTA DE DIRAC δδδδ(t)

( ) ( ) ( )[ ]htth

th −−⋅= θθδ 1 � ( ) 1=∫

+∞

∞−

dtthδ

( ) ( )tt h

hδδ0

lim→

= � ( ) ( ) ( )tftft =∗δ � ( )[ ] 1=tL δ

EC. DIFERECIALES Y SERIES DE POTENCIAS

⋅⋅⋅++++=∑∞

=

3

3

2

210

0

xaxaxaaxan

n

n : serie de potencias

n

n

n a

a

R

1lim1 +

∞→= : radio de convergencia

( ) ( ) 0'' =++ yxQyxPy � ( ) ∑∞

==

0n

n

n xaxy con

( )( ) ( )( )∑∞

=−+−+ ++⋅

++−=

0

12 112

1

k

kknkknn aqakpnn

a : relación de recurrencia

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE AIRY

xyy ='' �

( )( )

++=

=

−+

12

0

12

2

nn

aa

a

nn

: relación de recurrencia

solución general: ( ) ( ) ( )xyaxyaxaxyn

n

n 2110

0

+==∑∞

=

�

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] [ ]

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] [ ]

⋅⋅⋅⋅−−⋅++=

⋅⋅⋅⋅−−⋅−+=

∑

∑

∞

=

+

∞

=

1

13

2

1

3

1

343323313

2343331331

n

n

n

n

nnnn

xxxy

nnnn

xxy

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE HERMITE

02'2'' =+− pyxyy , ℜ∈p � ( )

( )( ) nn ann

pna ⋅

++−=+

12

22 : relación de recurrencia

solución general: ( ) ( ) ( )xyaxyaxaxyn

n

n 2110

0

+==∑∞

=

�

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅−⋅−−−⋅+

+=

⋅−⋅−−−⋅+=

∑

∑

∞

=

+

∞

=

1

12

2

1

2

1

1312!12

2

212!2

21

n

nn

n

nn

xpppnn

xxy

xpppnn

xy

L

L

p=0,1,2,3,… � soluciones polinómicas: Pn(x) polinomios de Hermite: ( ) ( )xPcxH nnn ⋅= , con cn tal que el coeficiente de xn sea 2n funciones de Hermite: ( ) ( ) 22x

nn exHx −⋅=ψ �

ortogonales: ( ) ( ) ( ) ( ) 0, =⋅>=< ∫+∞

∞−

dxxxxx mnmn ψψψψ

ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE EULER

0'''2 =++ yxyyx βα , α,β constantes x=0 � punto singular regular

cambio de variable: xz ln= � ( ) 012

2

=+−+ ydz

dy

dz

yd βα ec. lin. con coef. constantes

solución general:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

+=→<−−

+=→=−−

+=→>−−

xcxcxy

xccxy

xcxcy

r

rr

lnsinlncos041

ln041

041

21

22

21

22

21

22

1

21

µµβα

βα

βα

λ

si x<0 � cambio de variable: xt −= � misma solución con |x| ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE ( ) ( ) 01'2''1 2 =++−− yppxyyx , ℜ∈p x=1, x=-1 � puntos singulares regulares

x=0 � punto regular � ( )( )

( )( ) nn ann

npnpa ⋅

++++−−=+12

12 : relación de recurrencia

solución general: ( ) ( ) ( )xyaxyaxaxyn

n

n 2110

0

+==∑∞

=

�

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )( )

+⋅++−−+⋅+−−=

+⋅++−+⋅+−=

L

L

53

2

42

1

4213!5

121

!3

1

312!4

11

!2

11

xppppxppxxy

xppppxppxy

p=0,1,2,3,… � soluciones polinómicas: Pn(x) polinomios de Legendre: se definen como: soluciones polinómicas de la ecuación de Legendre tales que ( ) 11 ==xPn

ortogonales: ( ) ( ) 0

1

1

=⋅⋅∫+

−

dxxPxP mn , n≠m