Abstrak

Model resiko individu digunakan untuk menentukan besarnya kerugian yang

ditanggung oleh perusahaan asuransi berdasarkan jumlah besar klaim individu yang terjadi

dalam periode tertentu. Dalam model ini, besar klaim individu dianggap sebagai suatu

variabel acak yang saling bebas karena antara variabel acak klaim yang satu dengan yang

lainnya tidak saling berhubungan. Sehingga dapat ditentukan suatu model variabel acak dari

besar klaim individu dengan menggunakan asumsi bahwa model resiko individu tersebut

berjangka pendek dan bersifat tertutup. Model resiko individu diasumsikan berjangka pendek

karena dalam prakteknya, perusahaan asuransi membayar benefit kematian atau uang

pertanggungan, jika tertanggung meninggal dalam kurun waktu yang telah disepakati, dan

tidak mempunyai manfaat pembayaran apabila tertanggung tetap hidup sampai masa asuransi

berakhir. Dan model resiko individu diasumsikan bersifat tertutup artinya jumlah unit resiko

pemegang asuransi ( tertanggung ) telah diketahui dan ditentukan pada awal periode. Model

variabel acak dari besar klaim individu dapat diperoleh dari konsep asuransi jiwa jangka satu

tahun. Pembentukan model variabel acak dari besar klaim individu ditentukan dari bentuk

fungsi padat peluang variabel acak Bernoulli. Dari model variabel acak klaim individu akan

ditentukan rata-rata dan variansinya. Selain itu , proses konvolusi ( convolution process )

secara iteratif digunakan untuk menentukan distribusi dari model resiko individu.

Kata kunci : model resiko individu , variabel acak klaim individu , proses konvolusi

1

BAB I

PENDAHULUAN

Setiap perusahaan asuransi memiliki resiko terjadinya kerugian. Upaya untuk

mengatasi resiko tersebut, perusahaan dapat melakukan berbagai alternatif, yaitu dengan cara

menanggung sendiri resiko, memperkecil resiko atau mengalihkan resiko melalui asuransi.

Oleh karena itu, perusahaan asuransi memerlukan kebijakan dalam mengelola resiko atas

pertanggungan-pertanggungan yang diterimanya. Pada umumnya, perusahaan asuransi dalam

mengelola resikonya dilakukan dengan cara membagi resiko, yaitu mempertanggungkan

kembali resiko yang tidak mungkin mereka tanggung sendiri kepada perusahaan asuransi lain

sebagai penanggung ulang, yang disebut reasuransi.

Perusahaan asuransi dalam pengelolaan resiko harus memperhatikan dengan sungguh-

sungguh resiko-resiko yang mungkin muncul selama periode asuransi. Karena perusahaan

asuransi sebagai penanggung resiko terjadinya suatu kerugian dari tertanggung (insured )

harus dapat menanggung kemungkinan-kemungkinan terjadinya klaim dari insured kepada

insurer. Penanggung resiko atau insurer harus mengetahui karakter resiko. Karakter resiko

inilah dapat dipelajari dalam suatu model distribusi klaim. Distribusi klaim yang dimaksud

digambarkan dalam suatu distribusi baik sebagai fungsi probabilitas maupun fungsi distribusi

kumulatif. Dari fungsi-fungsi inilah, untuk selanjutnya insurer dapat menetapkan harga

penanggungan resiko dari insured. Harga penanggungan ini dimaksudkan untuk menghindari

insurer dari kerugian (loss). Terjadinya resiko dalam suatu sistem asuransi dari insured dapat

memunculkan klaim. Klaim adalah ganti rugi atas suatu resiko kerugian. Apabila resiko

tersebut terjadi secara individual maka disebut dengan klaim individu. Klaim individu

meliputi dua hal yaitu besar dan jumlah klaim yang terjadi. Model dari besar dan jumlah

klaim individu ini diperoleh dari distribusi masing-masing klaim.

Dalam seminar matematika ini, penulis akan menggunakan salah satu model dari

aplikasi reasuransi yaitu model resiko individual (individual risk models) dengan memberikan

suatu asumsi untuk menentukan model dari variabel acak klaim individu sebagai model dari

besar klaim individu yang diperoleh dari distribusi masing – masing klaim. Sehingga dari

model variabel acak klaim individu akan diperoleh model mean dan varians-nya. Selain itu,

akan ditentukan distribusi dari model resiko individu dengan menggunakan proses konvolusi

(convolution process).

2

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Asuransi

Definisi asuransi menurut Pasal 246 Kitab Undang-undang Hukum Dagang

(KUHD) Republik Indonesia : "Asuransi atau pertanggungan adalah suatu perjanjian,

dengan mana seorang penanggung (insurer) mengikatkan diri pada tertanggung

(insured) dengan menerima suatu premi, untuk memberikan penggantian kepadanya

karena suatu kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang

mungkin akan dideritanya karena suatu peristiwa yang tak tertentu".[5]

2.2 Variabel Acak

Diberikan suatu percobaan acak dengan ruang sampel S. Suatu fungsi X yang

menyatakan untuk setiap elemen S satu dan hanya satu bilangan real yang

disebut variabel acak. Ruang dari variabel random X adalah suatu himpunan bilangan

real A= S}. Variabel acak terdiri dari : (1) variabel acak diskrit adalah

variabel acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan berhingga (2)

variabel acak kontinu adalah variabel acak yang nilainya berupa selang bilangan, tidak

dapat dihitung dan tidak berhingga. [14]

2.3 Fungsi Probabilitas

Definisi 2.3.1 : Himpunan pasangan terurut merupakan suatu fungsi

probabilitas variabel acak diskrit X jika untuk setiap kemungkinan hasil x memenuhi

1.

2.

3. . [14]

Definisi 2.3.2 : Fungsi adalah fungsi probabilitas variabel acak kontinu X, yang

didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila memenuhi

3

1. untuk setiap R

2.

3. . [14]

2.4 Fungsi Distribusi Kumulatif

Definisi 2.4.1 : Distribusi kumulatif suatu variabel acak diskrit X dengan

distribusi probabilitas dinyatakan oleh

. [14]

Definisi 2.4.2 : Distribusi kumulatif suatu variabel acak kontinu X dengan

distribusi peluang dinyatakan oleh .

Jika F(x) merupakan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinu X maka

fungsi densitas dari X dapat ditentukan sebagai bila turunan ini ada. [14]

Definisi 2.4.3 : Sebarang fungsi dengan domain bilangan riil dan kodomain

interval [0,1] dikatakan sebagai fungsi distribusi kumulatif jika memenuhi :

1. dan

2. adalah fungsi tidak turun artinya jika a < b maka

3. kontinu dari kanan artinya .[14]

2.5 Distribusi Bersyarat

4

Distribusi bersyarat yaitu distribusi suatu variabel acak yang bergantung pada

nilai variabel acak yang lain. Peluang bersyarat disebut peluang terjadinya suatu

kejadian bila diketahui bahwa kejadian telah terjadi dan dinyatakan dengan

, bila .[14]

Definisi 2.5.1 : Untuk kasus diskrit, peluang bersyarat dari jika diberikan

adalah .

Untuk kasus kontinu, fungsi probabilitas bersyarat dari jika diberikan ,

adalah . Seperti fungsi probabilitas pada kasus satu variabel dan dua

variabel, fungsi probabilitas bersyarat juga mempunyai sifat yaitu,

1.

2.

Dari persamaan , dapat ditentukan bahwa peluang bersyarat

jika diberikan adalah .

Pendefinisian distribusi bersyarat dari diberikan analog dengan

pendefinisian distribusi bersyarat dari diberikan . Secara umum, dapat

dikatakan bahwa

.[11]

Definisi 2.5.2 : Suatu kejadian dan saling bebas jika dan hanya jika

5

dan . Jika tidak demikian maka dan tak

bebas.[14]

2.6 Ekspektasi

Definisi 2.6.1: Nilai harapan ekspektasi dari variabel acak diskrit atau kontinu X adalah

dan dimana adalah fungsi probabilitas

dari X. Secara umum jika r adalah bilangan bulat positif maka ekspektasi dari X adalah

Beberapa sifat – sifat ekspektasi

sebagai berikut :

1. Jika k konstanta, maka

2. Jika k konstanta dan v suatu fungsi,maka

Bukti : 1. Berdasarkan definisi 2.6.1

.Karena adalah fungsi probabilitas

maka . Sehingga diperoleh .

2. Berdasarkan definisi 2.6.1 . Karena

. Sehingga diperoleh .

6

Definisi 2.6.2 : Misalkan X variabel acak dengan distribusi peluang dan rataan .

Varians X adalah : .

dapat dijabarkan sebagai berikut , karena E

adalah operator linier maka

. Sifat sifat dari

varians sebagai berikut :

1. untuk k adalah suatu konstanta

2. Jika X adalah suatu variabel acak dan k suatu konstanta maka

Bukti : 1. Dengan menggunakan maka

2. Dengan menggunakan maka

[10]

Definisi 2.6.3 : Diberikan suatu distribusi pada ( x, y ) dalam bidang dengan fungsi

probabilitas untuk diskrit atau fungsi probabilitas f untuk kontinu. Misalkan atau

didefinisikan sebagai distribusi marginal untuk x; dan atau

didefinisikan sebagai distribusi bersyarat dari y diberikan x. Maka sebagai mean

dan sebagai varians dari distribusi bersyarat adalah

7

dan

. [2]

Teorema 2.6.4 : Mean suatu distribusi marginal sama dengan nilai mean dari mean

distribusi bersyarat atau

Bukti :

[2]

Teorema 2.6.6 : varians dari distribusi marginal sama dengan mean dari varians

distribusi bersyarat ditambah varians dari means distribusi bersyarat, [2]

atau

Bukti : Dengan menggunakan . Dengan menggunakan

teorema 2.6.4 sehingga diperoleh

[8]

2.7 Hukum Total Peluang

8

Teorema hukum total peluang : Misalkan kejadian merupakan suatu partisi

dari ruang sampel S dengan untuk i = 1,2,…,k maka untuk setiap kejadian A

anggota S , .

Bukti : kejadian A merupakan gabungan dari sejumlah kejadian yang saling terpisah

yaitu . bila A

saling terpisah maka

Berdasarkan definisi peluang bersyarat maka

[6]

2.8 Proses Konvolusi ( Convolution process )

Definisi 2.8.1 : Diberikan X dan Y adalah dua variabel acak kontinu dengan masing –

masing fungsi probabilitas dan . Asumsikan bahwa dan keduanya

terdefinisi pada setiap bilangan real. Maka konvolusi dari dari f dan g adalah

fungsi yang diberikan sebagai berikut

atau . [15]

2.9 Variabel Acak Bernoulli

Suatu variabel acak Bernoulli hanya memiliki nilai 0 atau 1, tidak ada nilai lain

yang mungkin. Jika X adalah variabel acak Bernoulli, X bernilai 1 jika hasil yang

mendasari “ sukses “ atau X bernilai 0 jika hasil yang mendasari “ gagal “. [7]

Sehingga dapat diberikan secara umum sebagai berikut : Jika X adalah suatu

variabel acak Bernoulli maka terdapat kontanta p dan sehingga

.[12]

9

2.10 Rataan dan varians distribusi binomial

Teorema 2.10.1 : Distribusi binomial b ( X;n,p) memunyai rataan dan varians

dan

Bukti ; misalkan hasil pada usaha ke – j dinyatakan oleh variabel acak bernoulli yang

mendapat nilai 0 dan 1, masing – masing ddengan peluang q dan p. variabel acak

Bernoulli dengan dengan nilai ini disebut variabel penunjuk ( indikator ). Jadi

banyaknya sukses dalam suatu percobaan binomial dapat dituliskan sebagai jumlah n

variabel penunjuk bebas, sehingga . Setiap memunyai rataan

. Sehingga diperoleh rataan binomial , dengan p sebanyak

n suku. Varians setiap diberikan oleh

maka

, dengan pq sebanyak n

suku. [14]

10

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Model Resiko Individual ( Individual Risk Model )

Diberikan suatu variabel acak S yang didefinisikan sebagai besar resiko

kerugian yang ditanggung suatu perusahaan asuransi. Jika unit resiko individu ke-i,

dengan i=1,2,... dipandang sebagai unit besar klaim individu ke-i dan dinotasikan

dengan atau . Sehingga model resiko individual ( Individual Risk

Model ) didefinisikan sebagai

(3.1.1)

dengan

merupakan variabel acak yang menyatakan besar klaim individu ke-i

N adalah jumlah unit resiko pemegang asuransi ( tertanggung ).

Asumsikan bahwa :

1. suatu variabel acak klaim individu yang saling bebas ( independent random

variable ) karena antara variabel acak klaim yang satu dengan yang lainnya tidak

saling berhubungan

2. dapat berupa diskrit ataupun kontinu.

3. Model resiko individual yang digunakan bertipe jangka pendek atau disebut model

resiko individual jangka pendek ( Individual Risk Models for a Short Term ) .

Asumsi ini dibuat karena dalam prakteknya, perusahaan asuransi membayar benefit

kematian atau uang pertanggungan jika tertanggung meninggal dalam kurun waktu

yang telah disepakati, dan tidak mempunyai manfaat pembayaran apabila

tertanggung tetap hidup sampai masa asuransi berakhir.

11

4. Model resiko individual yang digunakan bersifat tertutup ( closed models ) artinya

jumlah unit resiko pemegang asuransi ( tertanggung ) telah diketahui dan ditentukan

pada awal periode.

3.2. Model Variabel Acak Klaim Individu ( Models for Individual Claim Random Variables)

Dalam menentukan model umum variabel acak klaim individu, dapat

menggunakan salah satu konsep dasar dari produk asuransi jiwa yaitu asuransi jiwa

jangka satu tahun. Andaikan dalam sebuah asuransi jiwa berjangka satu tahun,

perusahaan asuransi menyetujui untuk membayar sebesar b jika tertanggung meninggal

dalam jangka 1 tahun, dan tidak membayar jika tertanggung tetap hidup pada tahun

tersebut. Peluang selama terjadi klaim selama setahun dinotasikan dengan q. Variabel

acak klaim X memiliki sebuah distribusi yang dinyatakan dengan

Fungsi padat peluang f(x) yaitu

( 3.2.1 )

dan fungsi distribusi kumulatif F(x) yaitu

( 3.2.2 )

Berdasarkan ( 3.2.1 ) dan ( 3.2.2 ) merupakan suatu distribusi binomial sehingga

diperoleh mean dan varians

( 3.2.3 )

( 3.2.4 )

12

Formula ( 3.2.3 ) dan ( 3.2.4 ) juga dapat diperoleh dari penjelasan berikut ini :

Variabel acak klaim X dapat dituliskan ( 3.2.5 )

dimana : b adalah jumlah yang dapat dibayar saat terjadi kematian

I adalah suatu variabel acak binomial atau variable acak Bernoulli sebagai

indikatot saat

Sehingga diperoleh dan , maka mean dan varians dari

variabel acak I, dan . Diperoleh mean dan varians dari

variabel acak klaim individu X,

Berdasarkan formula ( 3.2.5 ), diperoleh secara umum model variabel acak klaim

individu yaitu

( 3.2.6 )

dengan : X = Variabel acak klaim dalam periode tertentu

B = Total jumlah klaim yang dikeluarkan dalam periode tertentu

I = Indikator untuk kejadian yang terjadi kurang dari satu klaim

Model variabel acak klaim individu tersebut dapat diaplikasikan dalam produk asuransi

seperti jaminan kesehatan, jaminan kerusakan mobil, dan lain – lain.

13

Contoh 1: Diberikan sebuah aplikasi asuransi jiwa jangka satu tahun pada kasus

kematian karena kecelakaan, untuk menentukan distribusi dari I dan B dari model

variable acak klaim individu. Jika besarnya santunan ( benefit ) yang diberikan untuk

kasus meninggal karena kecelakaan sebesar $50.000. jika besarnya santunan yang

diberikan untuk kasus meninggal bukan karena kecelakaan sebesar $25.000. Asumsikan

bahwa asuransi ini untuk individu berdasarkan umur,kesehatan dan pekerjaaan. Jika

peluang terjadinya kematian karena kecelakaan dalam tahun tersebut adalah

dan peluang terjadinya kematian bukan karena

kecelakaan adalah . Menjumlahkan kemungkinan

B untuk menentukan peluang I, dan

. Maka distribusi bersyarat dari B,

diberikan , adalah dan

3.3. Mean dan Varians dari Model Variabel Acak Klaim Individu

Dalam menentukan mean dan varians dari variabel acak klaim individu

, dapat menggunakan teorema ekspektasi bersyarat yang pembuktiannya dapat

dilihat di bab 2 subbab 2.6 :

dan ( 3.3.1 )

Substitusikan X untuk W dan I untuk V sehingga formula ( 3.3.1 ) menjadi,

dan

Sekarang tulis, dan

14

Untuk memeroleh mean bersyarat,

Amati bahwa, dan (3.3.2)

Formula (3.3.2),mendefinisikan sebagai fungsi dari I, maka dapat ditulis secara

umum , sehingga

dan (3.3.3)

(3.3.4)

Untuk memeroleh varians bersyarat,

Amati bahwa, dan (3.3.5)

Formula (3.3.5), mendefinisikan sebagai fungsi dari I, maka dapat ditulis

secara umum , sehingga

(3.3.6)

Jadi, berdasarkan formula (3.3.3), (3.3.4) dan (3.3.6) diperoleh mean dan varians dari

model variabel acak klaim individu yaitu

dan

(3.3.7)

Contoh 2 : Sebuah asuransi mobil ( automobile insurance ) memberikan jaminan

asuransi terhadap kerusakan mobil yang diakibatkan oleh tabrakan. Asumsikan: (1)

15

Peluang dari satu klaim dalam periode tertentu maka

. (2) distribusi B memiliki fungsi probabilitas dengan ukuran klaim maximum 2000,

, (3) Besar klaim yang diberikan antara $0 dan $2.000 yang

dapat dimodelkan oleh distribusi kontinu dengan fungsi probabilitas untuk

. Akan ditentukan mean dan varians klaim yang diperoleh individu

pemegang asuransi dari perusahaan asuransi automobile.

Penyelesaian : Diasumsikan bahwa . dicek apakah

fungsi probabilitas tersebut memenuhi definisi fungsi probabilitas : (1) untuk

setiap R maka memenuhi ,

(2) maka

ternyata tidak

memenuhi. Sehingga ada suatu parameter misal k sedemikian hingga fungsi probabilitas

tersebut sama dengan 1. Dengan menggunakan

maka dapat

ditentukan nilai k ,

16

Sehingga B berdistribusi kontinu dengan fungsi probabilitas (p.f) untuk B diberikan

I=1adalah

dengan .

Diperoleh fungsi distribusi kumulatif dari distribusi bersyarat B adalah

Gambar 1. Fungsi Distribusi kumulatif untuk B diberikan I =1

Berdasarkan di atas, bahwa fungsi probabilitas untuk B bertipe kontinu dan diskrit maka

untuk menentukan ekspektasi dari distribusi B yaitu dengan menjumlahkan ekspektasi

untuk tipe kontinu dan diskrit

17

Maka diperoleh mean dan varians dengan menggunakan formula (3.3.7) dimana

3.4. Distribusi dari Model Resiko Individu

Berdasarkan model resiko individu diketahui

bahwa besar resiko kerugian yang ditanggung suatu perusahaan asuransi sama dengan

jumlah beberapa klaim dari individu pemegang asuransi. Selain itu, telah diasumsikan

bahwa klaim dari individu bersifat saling bebas ( independent).

Menentukan distribusi dari jumlah variabel acak klaim individu dapat

menggunakan metode konvolusi. Pertama, menentukan terlebih dahulu distribusi dari

jumlah dua variabel acak klaim individu. Diberikan model resiko individu dengan dua

variabel acak klaim individu: . Berikut ilustrasi grafik dari

18

x

y

Gambar 2. Grafik kejadian

Berdasarkan gambar di atas , terdapat garis X+Y=s dan daerah di bawah garis

yang didefinisikan sebagai kejadian . Sehingga fungsi distribusi kumulatif

dari S adalah (3.4.1)

Untuk menentukan fungsi distribusi kumulatif dari dua variabel acak klaim

individu nonegatif bertipe diskrit, menggunakan hukum total peluang (Law of total

probability), sehingga formula (3.4.1) menjadi

(3.4.2)

bila X dan Y saling bebas maka formula (3.4.2) menjadi

(3.4.3)

yang merupakan fungsi distribusi kumulatif dari dua variabel acak klaim individu

nonegatif bertipe diskrit.

Analogi dengan penyelesaian di atas diperoleh fungsi probabilitas dari dua

variabel acak klaim individu nonegatif bertipe diskrit yaitu

(3.4.4)

bila X dan Y saling bebas maka formula (3.4.4) menjadi

19

(3.4.5)

yang merupakan fungsi probabilitas dari jumlah dua variabel acak klaim individu

nonegatif bertipe diskrit.

Untuk menentukan fungsi distribusi kumulatif dari dua variabel acak klaim

individu nonegatif bertipe kontinu, menggunakan hukum total peluang (Law of total

probability), sehingga formula (3.4.1) menjadi

(3.4.6)

bila X dan Y saling bebas maka formula (3.4.6) menjadi

(3.4.7)

yang merupakan fungsi distribusi kumulatif dari jumlah dua variabel acak klaim

individu nonegatif bertipe kontinu.

Analogi dengan penyelesaian di atas diperoleh fungsi probabilitas dari dua

variabel acak klaim individu nonegatif bertipe kontinu yaitu

(3.4.8)

bila X dan Y saling bebas maka formula (3.4.8) menjadi

(3.4.9)

yang merupakan fungsi densitas dari jumlah dua variabel acak klaim individu nonegatif

bertipe kontinu.

20

Dalam matematika analisis, formula (3.4.3) dan (3.4.7) disebut dengan

konvolusi dari fungsi distribusi dan yang dinotasikan dengan .

Sehingga untuk menentukan fungsi distribusi dari jumlah dua atau lebih variabel acak

klaim individu, dapat menggunakan proses konvolusi secara iteratif.

Berdasarkan model resiko individu

dimana variabel acak yang saling bebas

fungsi distribusi dari

fungsi distribusi dari

Maka diperoleh proses konvolusi secara iteratif sebagai berikut :

F(2) = F2 * F(1)=F2 * F1

F(3) = F3 * F(2)

F(4) = F4 * F(3)

:

Fs = F(n) = Fn * F(n-1) (3.4.10)

Bila suatu variabel acak berdistribusi identik dan saling bebas ( , i=1,2,…) maka

distribusi ini disebut konvolusi n kali lipat dari F dan dinotasikan dengan .

Contoh 3: Jika X dan Y adalah variabel acek saling bebas yang memiliki fungsi

probabilitas sebagai berikut

Tentukan fungsi probabilitas dari penjumlahan dua variabel tersebut , .

21

Penyelesaian : proses konvolusi dari dan untuk menentukan fungsi probabilitas

dari dua variabel acak yang diberikan sebagai berikut

Sehingga

Contoh 4: Diketahui variabel acak diskrit saling bebas. Diberikan suatu

fungsi peluang yang didefinisikan pada kolom (1),(2) dan (3) pada tabel 1 berikut ini:

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

0 0,4 0,5 0,6 0,4 0,20 0,120 0,2 0,120

1 0,3 0,2 0,0 0,7 0,43 0,258 0,23 0,138

2 0,2 0,1 0,1 0,9 0,63 0,398 0,20 0,140

3 0,1 0,1 0,1 1,0 0,79 0,537 0,16 0,139

4 0,0 0,1 0,1 1,0 0,90 0,666 0,11 0,129

5 0,0 0,0 0,1 1,0 0,96 0,781 0,06 0,115

6 0,0 0,0 0,0 1,0 0,99 0,869 0,03 0,088

7 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,928 0,01 0,059

8 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,964 0,00 0,036

9 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,985 0,00 0,021

10 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,995 0,00 0,010

11 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 0,999 0,00 0,004

12 0,0 0,0 0,0 1,0 1,00 1,000 0,00 0,001

Untuk menghitung fungsi distribusi dan fungsi peluang dari

menggunakan proses konvolusi berikut :

1. Kolom (1),(2) dan (3) telah diberikan

22

2. Kolom (4) adalah fungsi distribusi dari kolom (1) dengan menggunakan propertis

fungsi distribusi

3. Kolom (5) diperoleh dari perhitungan menggunakan formula (3.4.3) dan (3.4.10)

maka

4. Kolom (6) dari perhitungan formula (3.4.3) dan (3.4.10)

maka

5. Kolom (7) dari perhitungan formula (3.4.5) dan (3.4.10)

maka

6. Kolom (8) dari perhitungan formula (3.4.5) dan (3.4.10)

maka

BAB IV

PENUTUP

23

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan model resiko individu, diperoleh model dari tiap variabel acak

klaim individu pada persamaan (3.2.5) dan (3.2.6). Dari model variabel acak tersebut

dapat ditentukan mean dan varians dari variabel acak klaim individu yang diperoleh

pada persamaan (3.3.7). Selain itu, dengan menggunakan proses konvolusi diperoleh

distribusi dari model resiko individu seperti pada subbab 3.4.

4.2 Saran

Dalam makalah seminar ini, model variabel acak klaim individu dapat berbeda-

beda, tergantung aplikasi asuransi yang digunakan. Penulis menggunakan contoh

apikasi asuransi jiwa untuk jangka 1 tahun untuk menentukan variabel acak klaim

individu, yang pada dasarnya hal ini jarang sekali diterapkan dalam praktek asuransi

jiwa sekarang ini. Oleh karena itu disarankan untuk ada pengkajian masalah model

variabel acak klaim individu dengan menggunakan aplikasi asuransi jiwa yang lebih

kompleks dan aplikatif.

Daftar Pustaka

24

[1] BOWERS, N L, GERBER, H U, HICKMAN, J C, JONES, D A and NESBrrr, C J

(1986) Actuarial Mathemattcs. Ltasca: Society of Actuaries.

[2] Fraser.D.A.S (1976) Probability and Applications. Belmont,California: Wadsworth

Publishing Company, INC.

[3] Getut Pramesti (2011), Distribusi Rayleigh untuk klaim agregasi [online]. Termuat di:

eprints.undip.ac.id/33676/1/7_artikel5_Getut.pdf [tanggal akses:7 April 2012].

[4] Hogg, V Robert and Allen T,Craig (1978) Introduction to Mathematical Statistics .

United States of America : Macmilian Publising Co,inc.

[5] Yanoear (2010) Pengertian Asuransi. Termuat di:

http://yanoear46.wordpress.com/2010/06/02/pengertian-asuransi/ [tanggal akses: 5 Mei

2012].

[6] Jaimie Kwon (2005), The law of total probability and [online]. Termuat di:

algebra.sci.csueastbay.edu/~jkwon/classes/stat.../3401-w4-mon.pdf [tanggal akses:14

April 2012].

[7] James Thurber, Bernoulli and Binomial Random Variables [online]. Termuat di:

www.stat.purdue.edu/~mdw/399fall2010/ch15.pdf [tanggal akses:6 Mei 2012].

[8] K. Ottegoda,Nathabandu T and Renzo Rosso (1997) Statistics, Probability and

Reliability for Civil and Environmental Engineers. Singapore: McGraw-Hill

Companies.Inc.

[9] K. Syuhada, PhD, MA4081 Pros.Stok [online]. Termuat di:

personal.fmipa.itb.ac.id/khreshna/files/2011/02/bab-2-prosstok.pdf [tanggal akses:5 Mei

2012].

[10] Nar Herrhyanto, Ringkasan pertemuan keenam statistika matematika 1 [online].

Termuat di: file.upi.edu/.../FILE_10_PERTEMUAN_KEENAM_STATMAT_1.pdf

[ tanggal akses: 8 Mei 2012].

[11] Nunung Nurhayati, Teori Peluang (PAM 2231) [online]. Termuat di:

nunung.blog.unsoed.ac.id/.../Slide-190412_Distribusi_Bersyarat.pdf [tanggal akses: 5

Mei 2012].

[12] Notes on Bernoulli and Binomial random variables (2010) [online]. Termuat di:

people.math.gatech.edu/~ecroot/3225/binomial_notes.pdf [tanggal akses: 6 Mei 2012].

[13] Spiegel, Murray.R (1982) Probability and Statistics. Singapore: McGraw-Hill

International.

25

[14] Walpole, R.E. dan Myers, R.H. (1978) Probability and Statistics for Engineers and

Scientists. MacMillan Publishing Co., Inc. New York. Terjemahkan oleh RK Sembiring

(1995) Penerbit ITB, Bandung.

[15] www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books.../Chapter7.pdf [tanggal akses: 8

April 2012].

[16] www.roymech.co.uk/Useful.../Maths_Fourier_convolutions.html [tanggal akses: 8 April

2012].

26

Lampiran 1

DAFTAR ISTILAH

1. Aktuaris : Orang yang secara profesional telah menjalani pelatihan dalam berbagai aspek

teknis asuransi, pensiun dan bidang-bidang terkait lainnya. Aktuaris bertanggung jawab

memperkirakan berapa dana yang diperlukan dalam bentuk premi atau iuran pensiun

untuk pembayaran manfaat jangka panjang. Unit kerja di mana para aktuaris bekerja

disebut aktuaria.

2. Asuransi Jiwa Jangka Pendek (Term Insurance) : Polis asuransi jiwa dengan masa

pertanggungan tertentu (tidak seumur hidup)

3. Klaim : Permintaan atau tuntutan pembayaran manfaat sesuai dengan ketentuan yang

diatur dalam polis.

4. Pemegang Polis : orang atau sekelompok orang yang melakukan perikatan kontrak

asuransi (polis) dengan perusahaan asuransi. Pemegang polis (policy holder) yang juga

disebut pemilik polis (policy owner) adalah pihak yang melakukan pembayaran premi.

5. Penanggung (insurer) : pihak yang berjanji akan membayar sejumlah uang (santunan)

kepada pihak tertanggung, sekaligus atau secara berangsur-angsur apabila terjadi sesuatu

yang mengandung unsur tak tertentu.

6. Polis Asuransi : bukti tertulis atau surat perjanjian antara pihak- pihak yang melakukan

perjanjian asuransi.

7. Polis Individu : Polis asuransi yang memberikan pertanggungan asuransi kepada

perorangan/individu dan, dalam beberapa kasus, anggota keluarganya.

8. Premi Asuransi adalah, kewajiban pihak tertanggung kepada pihak penanggung yang

berupa bayaran uang dalam jumlah tertentu secara periodik.

9. Risiko : Kerugian yang dapat terjadi atau individu yang dipertanggungkan

10. Tertanggung (Insured) : orang atau sekelompok orang yang risikonya dipertanggungkan

dalam kontrak asuransi.

Sumber : http://solusiasuransi.com/daftar-istilah/ [tanggal akses: 6 April 2012].

27

SEMINAR MATEMATIKA

Individual Risk Models

Disusun oleh :

Choirotul Ummah

093214003

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pemgetahuan Alam

Universitas Negeri Surabaya

2012

28