révision de math pour eco 2012. typiquement un élément de x sera de la forme (x 1,…..x n ) ou...
TRANSCRIPT
Révision de mathpour ECO 2012
Typiquement un élément de X sera de la forme (x1,…..xn) ou’
tous les xi sont des nombres réels et y aussi sera un nombre réel.
On se concentre pour le moment sur fonctions à une Variable, c-à-d XR (X a un seul élément)
ou:
exemple:
0xx
0x,x)x(f
Fonction continue:
1x1x
1x,x)x(f
Fonction non continue:
La taux d’accroissement entre deux points A et B est égal à
Cela mesure l’accroissement relatif de f(x) quand x varie de xA à xB
et il est égal à la pente du segment AB
AB XX
AB )x(f)x(f
x
y
X
f(x)
xA xA
A
B
f(xA)
f(xB)
La dérivé de la fonction f(x) au point A est la limite du taux d’accroissement entre A et B quand B se rapproche arbitrairement près de A
Si la dérivé existe elle est aussi égal à la pente de la tangente de la courbe au point A
dx
dy)x(f)x(flim)x('f
AB
AB
XX
ABxxA
X
f(x)
xA xA
A
B
f(xA)
f(xB)
Règles de dérivation
Une fonction composite des fonctions f(x) et g(y) est définie à partir des deux fonctions f et g.
On écrit que h(x)=f(g(x)
Il s’agit tout d’abord de calculer y=g(x) et ensuite de calculer z=f(y)
Exemple:f(x)=x2 et g(x)=x+4
On a que f(g(x)=(x+4)2
Similairement:g(f(x)=x2+4
Dérivé de la fonction composite z=f(g(x)):
Il s’agit de trouver la limite du taux d’accroissement z/x;
dz/dx=f’(y)g’(x)
ou’ y=g(x)
Exemple: f(x)=x12x2
12
2
21
211
21
xx
)x,x(f
xx2x
)x,x(f
Différentiel total
Soit f(x1,…xn) une fonction à plusieurs variables. Le différentiel
total de f(x) est :
Le différentiel donne le changement de la valeur de la fonction f quand la
variable x1 change de dx1, x2 de dx2…. xn de xn. Les variations dx1…dxn
sont supposées être petites.
nn
22
11
dxx
)x(f.....dx
x
)x(fdx
x
)x(f)x(df
Exemple: La fonction suivante est une fonction de profit:
f(x1,x2)=10x1+20x2-x22
La variable x1 est le niveau de production de la firme et x2 le niveau de publicité. Initialement la firme produit 11 unités de produit et 11 unités de publicité. De combienest-ce que le profit augment il si la firme augmente le produit de 0.1 et réduit lapublicité de 0.05?
f(4,11)=123 e -> f(4.1, 10.95)=123.2875 le profit change de 0.2875
On peut calculer une approximation de cette variation utilisant le différentiel:
3.01.02.0
)5.0()11220(1.0)4210(
)5.0()x220(1.0)x210()x(df 21
Maximisation/Minimisation d’une fonction à une variable sans contraintes
Condition nécessaire pour un maximum local (et global) au point x*:
f’(x*)=0
Cependant quand f’(x*)=0 il peut s’agir d’un maximum ou d’un minimumlocal et pas global ou seulement d’un point d’inflexion.
Nous sommes intéressés au maximum/minimum global:
Maximisation/Minimisation d’une
fonction à plusieurs variables sans contraintes
