revisiting floorplan representation

Revisiting Floorplan Representations

Revisiting Floorplan

RepresentationsBo Yao, Hongyu Chen

Chung-Kuan Cheng, Ronald Graham

04/14/2023TCS 講究 1

Department of Computer Science and Engineering,

University of California, San Diego

アルゴリズム研究室修士一年井上　祐馬

ISPD 2001(International Symposium on Physical Design)


フロアプラン• 矩形を n 個の部屋 ( 矩形 ) に分割し、 k 個のブ

ロックを割り当てる問題o 今回扱うモザイク or スライシングフロアプランは

n=k

• VLSI の設計などへの応用があるo 面積最小化など主要問題は NP 完全

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( 一般 ) フロアプラン

モザイクフロアプランスライシングフロアプラン


論文の成果• モザイクフロアプランとスライシングフロアプ

ランのそれぞれについて、o ブロック数のとき、フロアプランの数を表す式を示し

たo 新たなフロアプランの表現法 ( 符号化法 ) を提案したo 既存の表現法との対応関係や効率の比較について考察

した　

o 今回は時間の都合上、既存手法やそれらとの関係性などは省略する

04/14/2023TCS 講究 3


なんでフロアプランを符号化するの？？？

• VLSI などの問題を解く主流は焼き鈍し法やバネモデルなどの近似 ( ヒューリスティックス ) 解法

• おおまかな形 (= フロアプラン ) がわかっていると対応する面積は多項式時間で計算できる

04/14/2023TCS 講究 4

フロアプラン

SA 等の最適化アルゴリズ

ム

面積厳密計算入力

面積

修正実は

めんどい


なんでフロアプランを符号化するの？？？

• VLSI などの問題を解く主流は焼き鈍し法やバネモデルなどの近似 ( ヒューリスティックス ) 解法

• おおまかな形 (= フロアプラン ) がわかっていると対応する面積は多項式時間で計算できる

04/14/2023TCS 講究 5

フロアプラン

SA 等の最適化アルゴリズ

ム

面積厳密計算入力

面積修正

FP 表現

復号

符号

結構楽


内容• モザイクフロアプランの数え上げと新表現方法

の提案• スライシングフロアプランの数え上げと新表現

方法の提案• 既存の表現との比較

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04/14/2023TCS 講究 7


モザイクフロアプラン[Hong et al. 00]

• 以下の定義を満たすフロアプランo ブロックが割り当てられない矩形がない (n=k)o 四隅以外は分割線の交差が T 字路のみo T 字路をスライドしたものも等価なフロアプランと見

なす

04/14/2023TCS 講究 8


Corner Block Insertion[Hong et al. 00]

• モザイクフロアプランは、右上部へのブロック挿入操作によって再現できる

• 挿入o 上に入れる : 上側の右からいくつかを押しのけて挿

入o 右に入れる : 右側の上からいくつかを押しのけて挿

入

04/14/2023TCS 講究 9

C

A B

DC

A BA BA


モザイクフロアプランの数• ブロック数のモザイクフロアプランの数を• = , とかける• ただしは、

o 上辺の T 字路が個、右辺の T 字路が個であるブロックのモザイクフロアプランの数

o ならば、

04/14/2023TCS 講究 10


• 上に挿入する場合の例 ( 右に挿入する場合も同様 )

漸化式の意味

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n ブロック

i k

j n ブロック

i+1

1 ブロック

j+1

･････････

･･･

･･･

∈ ∈


バックスター数 [Chug et al. 78]

• バックスター数要素のバックスター順列の数•

o ならば、

• なんか 2 ページくらい前に見た気がする･･････

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バックスター数 [Chug et al. 78]

• バックスター数要素のバックスター順列の数

• =

• ∴ = B

04/14/2023TCS 講究 13

同じだ！！！


バックスター順列 [Baxter 64]

• バックスター数要素のバックスター順列の数• 順列がバックスター順列：

o すべてのについてo o

• が証明済 [Chung et al. 78]• 実は [Shen et al. 03]

o Factorial ではなく Exponential ！！！

04/14/2023TCS 講究 14


モザイクフロアプランの提案表現

• モザイクフロアプランの数とバックスター順列の数が同じ

　→バックスター順列の表現法が使えそう

• Twin Binary Treeo 2 つの二分木の組o ただし、 o は 2 進数のビット反転o バックスター順列と一対一対応 [Dulucq et al. 98]

04/14/2023TCS 講究 15


Twin Binary Tree(TBT)• Twin Binary Tree

o を満たす二分木の組o ラベルの付け方は in-order( 通りがけ順 ) に見ていき、

左の子がなければ 0 を追加、右の子がなければ 1 を追加

o 最初の 0 と最後の 1 は自明なので省略

04/14/2023TCS 講究 16

1 0

0 0 0

0

0

1 1 1

1

1100101 011010

1

1

0 0


モザイクフロアプラン→ TBT

• 各ブロックに対応する頂点を用意する• ブロック X の右上の T 字路に注目する

o 右のブロック Y と T 字路を作るなら、 Y の左の子を Xに

o 上のブロック Y と T 字路を作るなら、 Y の右の子を Xに

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AC

EF

D

B

C

B

A

E

D

F1

0 1

1

0


モザイクフロアプラン→ TBT

• 各ブロックに対応する頂点を用意する• ブロック X の右上の T 字路に注目する

o 右のブロック Y と T 字路を作るなら、 Y の左の子を Xに

o 上のブロック Y と T 字路を作るなら、 Y の右の子を Xに

• ブロック X の左下の T 字路に注目するo 左のブロック Y と T 字路を作るなら、 Y の右の子を X

にo 下のブロック Y と T 字路を作るなら、 Y の左の子を X

に

• で変換可能04/14/2023TCS 講究 18





04/14/2023TCS 講究 19


スライシングフロアプラン• スライシングフロアプランは再帰的に矩形を分

割して得られるフロアプランo いま矩形 R を分割するo 縦 or 横に分割し、 2 つのとを得るo それぞれを同様に分割する

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スライシングフロアプランの提案表現• Slicing Ordered Tree

o 根付き順序木o 各葉は別々のラベルを持っているo 各節点は’ V’ or ‘H’ で、少なくとも 2 つ以上の子を持

つo 同じ節点ラベルが親子関係になることはない• V の子が V であることはない

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A EB

C

G

F

D

CBA F

D

E

G

V

H H


スライシングフロアプランの数

• Slicing Ordered Tree は文字の文字列に括弧 ()を挿入することでも表現できる

• この数は Schröder number(or Super-Catalan Number) として知られている[Etherington 40]o = = 1o =

• 一般項は、 =

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CBA F

D

E

G

V

H H

((ABC)D(EF)G)





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表現の評価表現冗長性変換効率

Corner Block List フロアプランに対応しない表現がある O(n)

Twin Binary Tree 一対一対応 O(n)

Sequence Pair 同じフロアプランを表す表現が複数ある O(nloglogn)

Ordered Tree 同じフロアプランを表す表現が複数ある O(n)

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表現冗長性変換効率Binary Tree 同じフロアプランを表す表現が複数ある O(n)

Slicing Ordered Tree

一対一対応 O(n)

・モザイクフロアプランの場合

・スライシングフロアプランの場合


まとめ• フロアプランの数を求めた

o モザイクフロアプランはバックスター数o スライシングフロアプランはシュロダー数

• フロアプランの新たな表現法を提案したo モザイクフロアプランは Twin Binary Treeo スライシングフロアプランは Slicing Ordered Tree

• 性能を評価したo 一対一対応しているため冗長性がない

• 既存の表現の関係性について考察した ( 割愛 )

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