rezolvari algebra 1
TRANSCRIPT
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
1/29
afv
True/False
Indicate whether the sentence or statement is true or false.
____ 1.Fie G un grup. Exista o submultime stricta H a lui G (adica H sa fie strict inclusa in G) astfel incat() a H si b G sa rezulte ab H ?
____ 2.Orice subgrup al unui grup abelian este normal ?
____ 3.Fie A un inel cu proprietatea ca x3
= x, () x A. Atunci inelul este comutativ ?
____ 4.Orice grup G de ordin p2, cu p numar prim, este comutativ ?
____ 5.Fie { }2H n n= , atunci H este submonoid al monoidului ( ), ,0+ .
____ 6.Dac { }2 1H n n= + , atunci H este submonoid al monoidului ( ), ,1 .
____ 7.Fie ( )2 , ,0
a bT a b c
c
=
mulimea matricelor superior triunghiulare din ( )2M . Atunc
( )2T nu este submonoid al monoidului ( )( )2 2, ,I
____ 8.Aplicaia ( )2:f M , ( ) AAf = este morfism de la monoidul ( )( )2 2, ,I la monoidul
( ), ,1 .
____ 9.Fie*
n i ( ), ,1n monoidul multiplicativ al claselor de resturi modulo n . Aplicaia
: nf , ( ) aaf = este morfism de la monoidul ( ), ,1 la monoidul ( ), ,1n .
____ 10. Fie ( )eG ,, un grup. Pentru orice Ga , aplicaiile GGa : , axxa = )( i GGa : ,xaxa = )( nu sunt bijective.
____ 11. 1. Fie ( ){ }nnSH n == , atunci H nu este subgrup al lui nS .
____ 12.Fie ( )eG ,, un grup finit i H un subgrup al lui G . Atunci
[ ]HGHG := .
____ 13. Dac a este element de ordin finit, atunci numrul natural notat cu ( )aord ,
( ) eaNkaord k == *min
se numete ordinul lui a .
____ 14. Dac G este grup finit, atunci orice element Ga are ordinul finit i ( )ordGaord .
____ 15. Fie ( )eG ,, un grup finit i Gn = . Atunci ea n = , Ga .
F
A
A
A
A
A
F
A
A
F
F
A
A
A
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
2/29
____ 16. Dat nS , 2n , notm cu ( )Inv numrul perechilor ( )ji, cu ji < astfel nct ( ) ( )ji > .Vom spune c ( )Inv este numrul inversiunilor permutrii .
____ 17. O permutare nS este par daca ( ) 1= .
____ 18. O permutare nS este impar daca ( ) 1= .
____ 19. Fie nS , 1>n i m= ...21 o reprezentare a lui ca produs de transpoziii. Atunci
numerele m i ( )Inv au aceeai paritate i deci ( ) ( )m1= .
____ 20. Dac 1>n , atunci ( ){ }1== nn SA nu este un subgrup de ordin2
!nal lui nS .
____ 21. Fie ( )eG ,, un grup. Un subgrup N al grupului G se numete subgrup normal al lui G dac
Ga , Nx Naxa 1 .
____ 22. ( ) ( )2 2SL GL , unde ( ) ( )
{ }2 2 1SL X M X = = .
____ 23. Dac ( )eG ,, este un grup atunci subgrupul unitate { }e=1 i G sunt subgrupuri normale ale luiG .
____ 24. Dac ( )eG ,, este grup abelian atunci orice subgrup H al lui G nu este subgrup normal.
____ 25. Un grup ( )eG ,, se numete simplu dac are cel puin dou elemente i nu are subgrupuri normalediferite de { }e=1 i G .
____ 26. Orice grup G de ordin p , p numr prim, nu este simplu.
____ 27. Dac 5n , atunci grupul alternn
A este simplu.
____ 28.
Dac 3n , grupul altern nA este generat de ciclurile de ordin 3.
____ 29. Fie ( )eG ,, i ( )eG , dou grupuri. O aplicaie GGf : se numete morfism de la grupul Gla grupul G dac )()()( yfxfxyf = oricare ar fi Gyx , .
____ 30. Un inel comutativ R cu 01 i cu divizori ai lui zero se numete domeniu de integritate sau inelintegru
____ 31. Inelul ( ), ,+ al numerelor ntregi nu este domeniu de integritate.
____ 32. Dac ( )+,,R este un inel, atunci Rx avem 000 == xx .
____ 33. Dac ( )+,,R este un inel, atunci dac 1>R , atunci 01 .
____ 34. Dac ( )+,,R este un inel, atunci ( ) ( ) xyyxyx == i ( )( ) xyyx = oricare ar fi Ryx , .
____ 35. Dac ( )+,,R este un inel, atunci ( ) xzxyzyx = i ( ) zxyxxzy = oricare ar fi Rzyx ,, .
A
F
F
A
F
A
A
A
F
A
F
A
A
A
F
F
A
A
A
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
3/29
____ 36. Dac ( )+,,R este un inel, atunci dac R nu are divizori ai lui zero, iar zy = sau xx = cu0x , atunci z= .
____ 37. ( )2
M nu este subinel al inelului ( )2M .
____ 38. Dac R este un inel. Atunci
( )
= Rcba
c
baRT ,,
02
nu este subinel al inelului ( )R2M ,
____ 39. Mulimea S a irurilor Cauchy de numere reale este subinel al inelului al irurilor de numere
reale.
____ 40. Dac n i { }I n nq q= = , atunci I este ideal al lui .
____ 41. Dac I , atunci I este subgrup al grupului ( ), ,0+ .
____ 42.
Dac n iar , , ,na nb
I a b c d nc nd
=
, atunci I nu este ideal bilateral al lui R .
____ 43. Aplicaia : nf , aaf )( = este morfism surjectiv de la inelul ( ), ,+ la inelul ( ), ,n + .
____ 44. Aplicaia ( ) ( )2 2: nf M M , AAf )( = , unde pentru ( )2a b
Ac d
=
M ,
=
db
caA
nu este morfism surjectiv de inele.
____ 45. Fie RRf : un morfism de inele, atunci )(fKer este ideal bilateral al lui R , iar )Im(f estesubinel al lui R .
____ 46. Dac RRf : este un morfism de inele, atunci)(
~)Im(fKer
Rf .
____ 47. Fie ( )2 nM mulimea matricelor ptrate cu coeficieni n n . Dac ( ) ( )2 2: nf M M estemorfismul cu aciunea
=
dc
ba
dc
baf
,
avem ( )2( )Ker f n= M i ( )2Im( ) nf = M .
____ 48. ( )2 nM nu este ideal bilateral al lui ( )2M .
____ 49. Dac*,m n sunt prime ntre ele, atunci inelul mn nu este izomorf cu produsul direct al
inelului m cu inelul n .
A
F
F
A
A
A
F
A
F
A
A
A
F
F
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
4/29
____ 50. Fie K i K dou corpuri. O aplicaie KKf : se numete morfism (izomorfism) de corpuridac este morfism (izomorfism) de la K la K considerate ca inele.
____ 51. Un domeniu de integritate finit este corp. Inelul ( ), ,p + este corp dac i numai dac p estenumr prim.
____ 52. Dac R este un domeniu de integritate exist un corp comutativ K, numit corpul fraciilor lui R
astfel nct R este subinel al lui K i pentru orice Kx exist Rba , , 0b astfel nct1= abx .
____ 53.
( ) ( )2 2, ,0
x yT x y z
z
=
M este o subalgebr a algebrei ( )2M .
____ 54. Dac R este un domeniu de integritate, atunci [ ]XR este domeniu de integritate i( ) ( ) ( )ggradfgradfggrad +=
oricare ar fi [ ]XRgf , , 0f , 0g .
____ 55. ,a b
K a bb a
=
este corp n raport cu adunarea i nmulirea matricelor i ~K .
____ 56. Dac MMf : este un morfism bijectiv de monoizi iar 1f este inversa aplicaiei f, atunci1f este morfism bijectiv de la monoidul ( )eM ,, la monoidul ( )eM ,, .
____ 57. Pentru monoidul ( ), ,1n mulimea elementelor inversabile din n este( ) ( ){ } , 1n nU a a n= = , unde s-a notat cu ( )na, cel mai mare divizor comun al numerelor
ntregi a i n .
____ 58. Orice grup ( )eG ,, de ordin 3 este izomorf cu grupul aditiv ( )3 , ,0+ al claselor de resturi modulo3.
____ 59. Dac ( )eG ,, este un grup, Ga , aplicaia GG : ( ) 1= axax este bijectiv .
____ 60. Aplicaia * *:f + ,22)( bazzzzf +=== dac ibaz += , este morfism de la grupul
( )*, ,1 la grupul ( )* , ,1+ .
____ 61. Dac ( )eG ,, i ( )eG ,, sunt dou grupuri, aplicaia GGf : , exf =)( este morfism degrupuri .
____ 62. Fie ( )eG ,, i ( )eG ,, dou grupuri i GGf : un morfism de grupuri. Atunci
eef =)( i ( ) ( ) 11 )( = xfxf , oricare ar fi Gx .
____ 63. Grupurile ( ), ,0+ i ( ), ,0+ sunt izomorfe
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
F
F
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
5/29
____ 64. Grupurile ( )*, ,1 i ( )*, ,1 nu sunt izomorfe
____ 65. Grupurile ( ), ,0+ i ( )* , ,1+ nu sunt izomorfe
Multiple ChoiceIdentify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question.
____ 66. Fie funcia :f A B cu proprietatea: (x1,x2)AA, x1x2f(x1)f(x2). Care din urmtoarele afirmaiieste adevrat?
a. feste surjectivb. feste injectiv
c. feste bijectiv
____ 67. Fie :f ,f(x)=2x+1. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?
a. feste bijectivb. feste surjectivc. feste injectiv
____ 68. Fie :f , f(x)=2x+1. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?
a. feste bijectiv
b. fnu este bijectiv
____ 69. Fie :f A B , i :f B C dou funcii injective. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?
a. f este injectiv
b. f nu este injectiv
____ 70. Fie A={0,1,2,3,4}. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?
a. xZ, aA astfel nct xa(mod 5)b. xZ astfel nct aA, xa(mod 5)
____ 71. Constanta aReste astfel nct legea de compoziie * definit prin(x,y)R2: x*y = xy+ax+ay
este asociativ. Care din afirmaiile urmtoare este adevrat?
a. a{2,5}b. a{0,1}
c. a=3 ____ 72. Fie grupul simetric (S3,). Atunci numrul subgrupurilor lui S3 este:
a. 6 b. 4
____ 73. Fie grupul simetric (S3,). Atunci numrul subgrupurilor normale ale lui S3 este:
a. 1
A
A
B
C
A
A
A
B
A
B
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
6/29
b. 3
____ 74. Fie permutarea S6,
=
462513
654321
Atunci numrul inversiunilor permutrii este:
a. 7 b. 5
c. 3
____ 75. 1. Fie permutarea S6,
=
561423
654321
Atunci ordinul lui n S6 este:
a. 3
b. 5
c. 6
____ 76. Fie*:f ,
n
ki
n
kkf
2sin
2cos)( += , unde nN*. Atunci (h,k)Z2:
a. f(h+k)=f(h)+f(k)b. f(h+k)=f(h)f(k)
c. f(hk)=f(h)f(k)
____ 77. Fie morfismul de grupuri*:f ,
5
2sin
5
2cos)(
ki
kkf += . Atunci:
a. 1 + i Im(f) b. card(Im(f))=6c. Ker(f)=5Z={5q|qZ}
____ 78. Fie Q( 2 )={a+b 2 |a,bQ}. Atunci (Q( 2 ),+,) este:
a. corp comutativb. inel comutativ cu divizori ai lui zero
____ 79. Fie K un subcorp al corpuluiR. Atunci:
a. QK i Q Kb. Q K=Zc. Q K
____ 80. Fie X23 f += Z4[X]. Atunci:
a. g(X) Z4[X],f(X)g(X)1b. g(X) Z4[X],g(X)0 astfel nctf(X)g(X)= 0 c. g(X) Z4[X] astfel nctf(X)g(X)=1
C
A
C
C
A
C
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
7/29
____ 81. FieA,B M2(R), A=
n
2cos
n
2sin
n
2sin
n
2cos
, B=
10
01, nN*. Atunci:
a. AB = BAb. AB = BA -1
c. A-1
= I2
____ 82. Una din afirmaiile urmtoare este adevrat:
a. ba , Z5, ( ) 55
5
baba +=+ b.
ba , Z5 astfel nct ( ) 555
baba ++ c. f(X),g(X) Z5[X] astfel nct ( ) (X)(X)(X)(X) 55
5gfgf ++
____ 83. Fie G=
3cba
100
c10
ba1
Z,,|
. Atunci A G:
a. A3=A
b. A3=I3
____ 84. Fie Sn, n=3, cu proprietatea Sn: = . Atunci:
a. = (1 2) b. = e=permutarea identic
____ 85. Fie G un grup cu proprietateaxG: x2 = e. Atunci grupul G este:
a. izomorf cu (Z6,+) b. Comutativ
____ 86. Fie K=
3ba
ab
baZ,|
. Atunci (K,+,) este:
a. corp comutativ cu 9 elementeb. inel cu divizori ai lui zero
____ 87.
Functia ( ) ( ) ( )
2 2
: 0, 2,2 , 1
x
f f x x
= + este
a. injectiv si nu este surjectiv
b. surjectiv si nu este injectiv
c. bijectiv
C
A
A
A
B
A
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
8/29
____ 88.
Cte morfisme de monoizi exist de la ( )*,Z la ( ),N + ?
a. niciunul
b. unul
c. o infinitate ____ 89.
Pe R se defineste legea de compozitie astfel * , ,x y ax by c x y R= + + unde , ,a b c R
Calculati suma2 2 2S a b c= + + stiind c acest lege de compozitie admite elementul
neutru 3e =
a. 21S= b. 11S= c. 1S=
____ 90.
Se consider inelul ( ),*,Z unde * 22 2 2
x y x y
x y xy x y
= + +
= + + +
,x y Z . Fie T numrul divizorilor lui zero ai acestui inel. Atunci
a. T = 5b. T = 0c. T = 7d. T = 9
____ 91.
Grupul
( )20,Z Z + este
a. finit generat, dar nu este ciclicb. infinit generatc. ciclic
____ 92. Fie permutarea 6123456
,512436
S
=
. Atunci ordinul permutrii 2 este
a. 6 b. 12
c. 2d. 3
____ 93. Fie G un grup cu 6 elemente. Care din urmtoarele afirmatii este adevrat ?a. G este ntotdeauna izomorf cu grupul ( )6 ,Z + b. G este ntotdeauna izomorf cu grupul ( )3 ,S c. G este izomorf sau cu grupul ( )3,S sau cu grupul ( )6 ,Z +
____ 94.
A
B
B
C
B
C
D
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
9/29
Fie ( )3 ,S grupul permutarilor de ordin 3 siHun subgrup cu 3 elemente al acestui
grup. Cte elemente are grupul factor 3 /S H ?
a. 3
b. 2
c. 4d. 1
____ 95.
Fie multimea { }5 1U z C z = = . Cte elemente are aceast multime ?
a. 1 b. 3
c. 5d. 7
____ 96.
Functia ( )2007 2005
: , 4 2f R R f x x x = + este
a. injectiv si nu este surjectivb. surjectiv si nu este injectivc. bijectiv
____ 97.
Cte morfisme de monoizi exist de la ( ),Q + la ( ),Q + ?
a. niciunul b. unul
c. o infinitate
____ 98.
Se consider inelul ( ),*,Z unde* 3
3 3 12
x y x y
x y xy x y
= +
= +
,x y Z . Fie [ ]P Z X polinomul care are drept rdcini elementele inversabile aleinelului si coeficientul dominant egal cu unu. Notm cu S suma ptratelor elementelor
inversabile. Atunci
a. S=1
b. S=10c. S=5d. S=20
____ 99. Grupul ( )15,Z + estea. finit generat, dar nu este ciclicb. infinit generatc. ciclic
C
B
A
C
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
10/29
____ 100. Fie permutarea 6123456
,512436
S
=
. Atunci ordinul permutrii 1
este
a. 6 b. 4c. 2
d. 3____ 101.
. Fie G un grup cu 4 elemente. Care din urmtoarele afirmatii este adevrat ?
a. G este ntotdeauna izomorf cu grupul ( )4 ,Z + b. G este ntotdeauna izomorf cu grupul ( ),Z Z + c. G este izomorf sau cu grupul ( )4 ,Z + sau cu grupul ( ),Z Z +
____ 102.
Fie grupul ( )6 ,Z + siHun subgrup cu 2 elemente al acestui grup. Cte elemente are grupul
factor 6 /Z H ?
a. 3
b. 2c. 6d. 4
____ 103.
Fie multimea { }7 1U z C z = = . Cte elemente are aceast multime ?
a. 1 b. 3
c. 5d. 7
____ 104.
Considerm multimea numerelor reale si relatia binar definit pe aceast multime astfel:
( ){ }, , , 3x y x y R x y x y = = + = Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?
a. relatia este reflexiv si nu este tranzitivb. relatia este de echivalentc. relatia este reflexiv si un este simetric
____ 105. Fie 2 3, 0: , ( )7 , 0
x xf R R f xx x
=>
. Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?
a. f este surjectivb. f este injectivc. f este bijectiv
____ 106.
D
C
A
D
B
C
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
11/29
Fie : , ( )2
xf Z Z f x
= , unde prin [ ]q se ntelege partea ntreag a numrului q. Care
din urmatoarele afirmatii este adevarat?
a. f este surjectiv
b. f este injectivc. f este bijectiv
____ 107.
Fie :f A B si :B C dou functii surjective. Care din urmatoarele afirmatii esteadevarat?
a. f este surjectiv
b. f nu este surjectiv
c. f este surjectiv doar pentru anumite functii
____ 108.
Fie M o multime cu 3 elemente. Cte legi de compozitie se pot defini pe M ?
a. 1 b. 3
c. 63 d. 93
____ 109. Fie un grup G si x un element de ordin finit din G. Daca m, n sunt doi intregi pozitivi cu proprietatile
, atunci
a. c.
b. d.
____ 110. Fie permutarea are descompunerea
a. c.
b. d.
____ 111. Fie permutarea are descompunerea
a. c.
b. d.
____ 112. Fie .Care din relatiile urmatoare, valabile face ca sa fie un grup abelian
a. c.
b. d.
____ 113. Fie .Care din relatiile urmatoare, valabile face ca sa fie un grup abelian
a. c.
A
D
A
A
B
A
B
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
12/29
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
13/29
____ 123. In multimea Q+
se defineste operatia x*y astfel incat () x,y,z,t Q+ sa avem (x*y)(z*t)=(xz)*(yt);x*x=1 si x*1=x. Atunci 27*43 este egal cu :
a. c.
b. d. 43
____ 124. Cate legi de compozitie comutative se pot defini pe o multime cu 5 elemente :a. 525
c. 510
b. 515 d. 5
5
____ 125. Daca f si g sunt doua functii monotone, de monotonii diferite, atunci gof (i.e. g compus cu f):
a. este descrescatoare c. nu este monotona
b. este crescatoare
____ 126. Daca A este o multime finita cu n elemente si B o multime finita cu m elemente, atunci numarul
functiilor injective f :AB (definite pe A cu valori in B) este :
a. mn
(m la puterea n) c. m.n (m inmultit cu n)
b. nmC (combinari de m luate cate n)
____ 127. Daca A si B sunt multimi care verifica proprietatile : AB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}; B-A={4,5,6,7,8};{3,9}B= ; AB={1}, atunci multimile A si B sunt :
a. A={1,2,9}; B={1,3,4,5,6,7,8} c. A={1,2,3,9}; B={1,4,5,6,7,8}b. A={1,2,3,9}; B={1,3,4,5,6,7,8,9}
____ 128. Se considera multimea G={ 2ba + | a,bQ, a2
+ b
2
0}, care impreuna cu operatia de inmultireformeaza un grup abelian. Inversul lui 276 + este:
a.2
7
1
6
1+
c.2
7
1
6
1
b.2
62
7
31
3+
d.2
62
7
31
3
____ 129. Daca G e grup si H1, H2 subgrupuri ale sale, atunci H1H2 :
a.este subgrup intotdeauna
c.nu poate fi subgrup al lui G
b. este subgrup doar daca H1 H2 sauH2 H1
____ 130. Daca definim aZ + bZ ={x+y | x aZ, y bZ}, unde prin Z am notat multimea numerelor intregi,atunci 25Z + 20Z este egal cu :
A
A
C
A
C
B
B
D
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
14/29
a. 45Z c. 20Z
b. 25Z d. 5Z
____ 131. Se considera elementul )
5
7sin()
5
7cos( iz += apartinand grupului multiplicativ al numerelor
complexe (C*,.,1). Atunci ordinul lui z este :
a. 5 c. 7 b. 10 d. infinit
____ 132. Se considera elementul )7sin()7cos( iz += apartinand grupului multiplicativ al numerelorcomplexe (C
*,.,1). Atunci ordinul lui z este :
a. 7 c. 7
b. 49 d. infinit
____ 133. Daca (C
*
,
.
,1) este grupul multiplicativ al numerelor complexe, atunci cate subgrupuri de ordin 10ale acestui grup exista ?
a. 1 subgrup c. o infinitate
b. 10 subgrupuri
____ 134. Se considera permutarea S10 ,
=
96281074153
10987654321 . Ordinul
permutarii este :
a. infinit c. 12b. 10 d. 4
____ 135. Se considera permutarile , S5,
=
51243
54321 ,
=
31452
54321 . Permutarea x
S3 cu proprietatea ca x o = este :
a.
=
51243
54321x
c.
=
35241
54321x
b.
=
13452
54321x
d.
=
54321
54321x
____ 136. Se considera permutarile , S4, . Sa se rezolve ecuatia
B
C
A
C
C
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
15/29
a. c.
b. d.
____ 137. Se considera permutarea S5,
=
51243
54321 . Atunci
120este egala cu:
a. c. b. permutarea identica d.
-1
____ 138. Ce morfism(morfisme) de la (Q,+) (Q fiind multimea numerelor rationale) la (Z,+) (Z fiind multimea
numerelor intregi) putem defini ?
a. morfismul nul c. orice morfism de tipul ax, cu a numar
rational mai mare decat 1
b. orice morfism de tipul kx, cu k Z
____ 139. Cu cine este izomorf grupul multiplicativ ( + ,*
R ) (unde prin*
+R am notat multimea numerelor reale
strict pozitive)?
a. cu (R,+) (grupul aditiv al numerelor
reale)
c. cu niciunul dintre grupurile de mai sus
b. cu (R*,+) (grupul aditiv al numerelorreale nenule)
____ 140. Care sunt automorfismele grupului (Z,+) (Z fiind multimea numerelor intregi) ?
a. morfismul nul c. morfismul x si morfismul x
b. morfismele de tipul ax
, cu a numar
intreg mai mare ca 1
____ 141. Se considera multimea M = {1,2,3,4}. Cate submultimi cu doua elemente exista?
a. 1 c. 3
b. 2 d. 6
____ 142. Functia f : R R, definita prin f(x) = sin(x) +cos(x) :
a. este monoton crescatoare c. nu este monotona
b. este monoton descrescatoare
____ 143. Fie A un inel unitar cu proprietatea ca x12
= x, () x A. Atunci, oricare ar fi x A :
a. x2
= 1 ; b. x2
= x
C
B
A
C
D
C
B
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
16/29
____ 144. Fie A un inel unitar inclus in corpul C al numerelor complexe si care include intervalul (0,1).
Operatiile inelului sunt cele induse de operatiile din C. Atunci :
a. A=R , unde R este multimea
numerelor reale
c. A=R sau A=C, R si C avand
semnificatia de mai sus
b. A=C, unde C este multimea numerelor
complexe
____ 145. Solutiile ecuatiei 3x2
4x + 1 =0 in Z5 sunt :
a. x1 = 1 , x2 = 3 c. x1 = 1 , x2 = 2
b. x1 = 2 , x2 = 3
____ 146. Solutiile ecuatiei 3x2
4x + 1 =0 in Z11 sunt :
a. x1 = 1 , x2 = 4 c. x1 = 1 , x2 = 2 b. x1 = 2 , x2 = 3
____ 147. Solutiile ecuatiei x2 x + 5 =0 in Z7 sunt :
a. x1 = 1 , x2 = 3 c. x1 = 3 , x2 = 2
b. x1 = 2 , x2 = 6
____ 148. Solutiile ecuatiei x2
x + 5 =0 in Z17 sunt :
a. x1 = 4 , x2 = 3 c. x1 = 4 , x2 = 41
b. x1 = 2 , x2 = 41
____ 149. Care este polinomul g Z8[X] astfel incat 1)32( =+ gX
a. g(X) = 3642 ++ XX c. g(X) = 344 2 ++ XX
b. g(X) = 3662 ++ XX
____ 150. Solutiile ecuatiei 3x2
4x + 1 =0 in Z17 sunt :
a. x1 = 1 , x2 = 4 c. x1 = 1 , x2 = 6
b. x1 = 2 , x2 = 3
____ 151. Solutiile ecuatiei 3x2
4x + 1 =0 in Z19 sunt :
a. x1 = 1 , x2 = 31 c. x1 = 1 , x2 = 2
B
C
A
B
C
A
C
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
17/29
b. x1 = 2 , x2 = 31
____ 152. Solutiile ecuatiei x2
x + 5 =0 in Z19 sunt :
a. x1 = 4 , x2 = 3 c. x1 = 4 , x2 = 41
b. x1 = 01 , x2 = 01
____ 153. Care din relatiile de mai jos are loca. c.
b. d.
____ 154. Fie cu coeficienti in , atunci avem
a. c.
b. d.
____ 155. Stabiliti daca .... in
a. c.
b.
____ 156. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci
a. c.
b.
____ 157. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci element
neutru va fia. c.
b.
____ 158. Stiind ca legea de compozitie admite element sa se determine acest
a. c. b. d.
____ 159. Stiind ca legea de compozitie admite element neutru sa se determine ace
a. c. b. d.
____ 160. Pe multimea se considera legea de compozitie . Determinati
grupul astfel incat functia , data de relatia sa fie un izomorfism al
celor doua grupuria. c.
b.
____ 161. Pe multimea se considera legea de compozitie atunci
a. c.
b.
B
A
A
A
A
A
A
C
A
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
18/29
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
19/29
____ 173. In multimea se considera multimea atunci
a. b.
____ 174. In multimea se considera multimea atunci
a. b.
____ 175. In multimea se considera multimea atunci
a. b.
____ 176. In multimea se considera multimea si atunci
a. b.
____ 177. In multimea se considera multimea gasiti doua matriceP,Q
astfel incat atunci
a. c.
b.
____ 178. In multimea se considera multimea sa se arate ca daca est
matrice inversabila atuncia. c.
b.
____ 179. In multimea se considera multimea sa se determine numarul de
elemente din Ga. 8 c. 10
b. 9
____ 180. Determinati numarul de elemente din multimea
A
B
A
B
A
A
A
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
20/29
a. 16 c. 14 b. 13
____ 181. In restul impartirii polinomului la polinomul
a. c.
b. d.
____ 182. Cate elemente inversabile sunt in inelul
a. 3 c. 4
b. 5 d. 2
____ 183. Sa se determine polinoamele astfel incat
a. c.
b. d.
____ 184. Sa se calculeze elementul in
a. c.
b. d.
____ 185. Sa se calculeze elementul ina. c.
b. d.
____ 186. Fie grupul simetric ( )3 ,S . Atunci numrul subgrupurilor lui 3S estea. 1 b. 2c. 4d. 6
____ 187. Fie grupul simetric ( )3 ,S . Atunci numrul subgrupurilorv normale ale lui 3S estea. 1
b. 2c. 3
d. 4
____ 188.
Fie ( )*2 2
: , cos sink k
f Z C f k in n
= + , unde *n N . Atunc
( ),h k Z Z avem:
a. ( ) ( ) ( )f h k f h f k + = + b. ( ) ( ) ( )f h k f h f k + =
c. ( ) ( ) ( )f hk f h f k = ____ 189.
Fie grupul ( ),Z + si multimea { }5 5Z m m Z = . Care din urmatoarele afirmatii esteadevarat?
a. 5Z este subgrup al grupului ( ),Z + , dar nu este normal
D
D
A
A
B
D
C
B
B
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
21/29
b. 5Z este subgrup normal al grupului ( ),Z + c. 5Z nu este subgrup al grupului ( ),Z +
____ 190.
. Fie multimea { }1U z C z = = . Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?
a. U este subgrup al grupului ( )* ,C , dar nu este normalb. Ueste subgrup normal al grupului ( )* ,C c. Unu este subgrup al grupului ( )* ,C
____ 191. Fie ( )2 R multimea matricilor cu dou linii, dou coloane si elemente din multimea numerelor
reale. Multimea0 0
,I a b Ra b
=
este
a.
ideal la stnga al inelului ( )( )2 , ,M R + , dar nu este ideal la dreaptaal acestui inelb. ideal la dreapta al inelului ( )( )2 , ,M R + , dar nu este ideal la stnga
al acestui inelc. ideal bilateral al inelului ( )( )2 , ,M R +
____ 192. Fie ( ) { }2 2 ,Q a b a b Q= + . Atunci ( )( )2 , ,Q + estea. inel comutativ fr divizori ai lui zerob. inel comutativ cu divizori ai lui zeroc. corp comutativ
d. corp necomutativ____ 193. Fie [ ]42 2f X Z X = + . Atunci
a. ( ) [ ] ( ) ( )4 , 0g X Z X f X g X b. ( ) [ ] ( ) ( )4 , 0g X Z X g X f X c. ( ) [ ]4g X Z X astfel nct ( ) ( ) 0f X g X =
____ 194. FieA un inel siI, J, L ideale bilaterale nA astfel nct I J A+ = si I JL . Atuncia. I J b. I J c. I J
____ 195.
Fie Ugrupul multiplicativ al al numerelor complexe de modul 1,*C grupul
multiplicativ al numerelor complexe si *R+ grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive si
nenule. . Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?a. * */C R+ este izomorf cu U
b. * */C R+ nu este izomorf cu U
B
B
C
C
C
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
22/29
c. * /C U nu este izomorf cu*R+
____ 196.
Care din urmatoarele afirmatii este adevarat?
a. ( ),Z + si ( ),Q + nu sunt izomorfeb. ( ),R + si ( ),Q + sunt izomorfec. ( ),Z + si ( ),C + sunt izomorfe
____ 197. Fie G un grup finit si ,a b G dou elemente oarecare astfel nct ab ba= . Dac
( ) , ( )ord a m ord b n= = si ( ), 1m n = atuncia. ( )ord ab m n= + b. ( )ord ab mn= c. ( ) nord ab m= d. nici una din variantele de mai sus
____ 198.
Fie permutarea 9123456789
,469732185
S
=
. Descompunerea acestei permutri n produs de
ciclii disjuncti este
a. (1,4,7)(2,6,)(3,9,5)(8)b. (1,5,4)(3,6,9,2)(7,8)c. (2,6,7)(1,4,9,3)(5,8)d. nici una din variantele de mai sus
____ 199. Fie functiile , :f g R R date de ( )f x ax b= + cu , , 0a b R a , respectiv ( ) 3 5g x x= + . S se
determine a si b astfel nct f g g f = .a. 1, 0a b= = b. 2, 3a b= = c. 4, 5a b= = d. nici una din variantele de mai sus
____ 200. Fie :f R R o functie cu proprietatea ( ) ( ) 2 1f f x x x= + pentru oricare x R . Atuncia. ( )1 2f = b. ( )1 5f = c. ( )1 1f = d. nici una din variantele de mai sus
____ 201. . Pe R se defineste legea de compozitie * 2 2 6x y xy x y= + pentru oricare ,x y R . Atuncsuma elementelor dinR care coincid cu simetricele lor fat de aceast lege este
a. 3 b. 4c. 5
d. 6
A
B
A
A
C
B
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
23/29
____ 202. Care din polinoamele urmtoare este ireductibil ?a. [ ]3 21X X Z X + + b. [ ]5 31X Z X + c. [ ]4 71X Z X
d. nici unul din polinoamele de mai sus
____ 203. Fie functia ( ) ( )2
2
5 1 2 3: 1,0 , ,
11 2 5 6
xf f x
x
+ = + . Care din urmatoarele afirmatii este adevrat?
a. functia este injectiv, dar nu este surjectivb. functia este surjectiv, dar nu este injectivc. functia este bijectiv
____ 204. Pe R se defineste legea de compozitie *y x y mxy= + + , unde m R , cu proprietatea cmultimea [ 1, ) este parte stabil a lui R n raport cu aceast operatie algebric. Dac e esteelementul neutru al acestei legi de compozitie, atunci
a. 1e = b. 2e = c. 1e = d. 0e =
____ 205. . Se consider corpurile ( ), ,R + si ( ), ,*R , unde, , 2, * 2 2 6x y R x y x y x y xy x y = + = +
Dac ( ): ,f R R f x ax b = + este izomorfism de corpuri de la ( ), ,R + la ( ), ,*R , atunci
a. 1, 2a b= = b. 1, 2a b= = c. 1, 2a b= = d. nici unul din raspunsurile de mai sus
____ 206. Pentru orice ,x y R se defineste legea de compozitie ( )* ln x yx y e e= + . Multimea solutiilor
ecuatiei ( )* * 0x x x = estea. ln3x = b. ln3x = c. 1
ln 3x =
d. nici unul din variantele de mai sus
____ 207. PeZdefinim legea de compozitie * 6 6 42x y xy x y= + . Suma elementelor simetrizabile n raportcu aceast lege este
a. 1b. c. 0d. 12
B
C
D
A
B
B
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
24/29
____ 208. . PeR este definit[ legea de compozitie * 3 3x y xy x y m= + + + . Egalitatea ( )2*3 *4 175= are locpentru
a. 5m = b. 2m = c. 3m =
____ 209.
Fie grupul ( )10 ,Z + . Cte subgrupuri are acest grup ?
a. 1 b. 2c. 4d. 8
____ 210. Fie grupul ( )12 ,Z + . Cte grupuri factor are acest grup ?a. 2
b. 4c. 6
d. 8
____ 211.
Care din urmtoarele afirmatii este adevrat ?
a.[ ]:
GG H
H=
b.[ ]:
HG H
G=
c. [ ]:G H G H = ____ 212.
Cte grupuri neizomorfe cu 4 elemente exist ?
a. 0 b. 1c. 2d. o infinitate
____ 213. Cte grupuri neizomorfe cu 6 elemente exist ?a. 0 b. 1
c. 2d. o infinitate
____ 214.
Cte grupuri neizomorfe cu 8 elemente exist ?
a. 1 b. 2c. 4
B
B
A
A
C
C
D
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
25/29
d. 5
____ 215. Cte grupuri neizomorfe cu 10 elemente exist ?a. 1 b. 2
c. 4d. 6
____ 216.
Cte grupuri neizomorfe cu 9 elemente exist ?
a. 0 b. 1c. 2
d. o infinitate
____ 217. Cte grupuri neizomorfe cu 12 elemente exist ?a. 0 b. 1c. 2
d. 5____ 218. Pe orice multime nevid exist o structur de inel unitar ?
a. da, ntotdeauna b. nuc. da, dar numai n anumite cazuri
____ 219. Formeaz divizorii lui zero un ideal ntr-un inel oarecare ?a. da, ntotdeauna b. nuc. da, dar numai n anumite cazuri
____ 220.
.Fie G un grup finit astfel nct orice element din G, diferit de elementul unitate, are ordinul
2. Care din urmtoarele afirmatii este adevrat ?
a. G este comutativ ntotdeaunab. G nu este comutativc. G este comutativ doar n anumite cazuri
____ 221. Cte subgrupuri are grupul Z Z ?a. 0 b. 1
c. 2d. o infinitate
____ 222.
Cte morfisme exist de la grupul ( ),Q + la grupul ( ),Z + ?
a. 0
b. 1c. 2d. o infinitate
____ 223.
B
C
D
B
B
A
D
B
C
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
26/29
Cte structuri de inel neizomorfe se pot defini pe o multime cup elemente,p fiind numrprim ?
a. 0 b. 1
c. 2d. o infinitate
____ 224. Cte structuri de inel neizomorfe se pot defini pe o multime cu 4 elemente ?a. 1 b. 7c. 11d. 15
____ 225.
. Cte legi de compunere se pot defini peZcare mpreun cu adunarea obisnuit formeaz un
inel ?
a. 0
b. 1c. 2d. o infinitate
____ 226.
Fie MsiNdou multimi finite avnd m, respectiv n elemente. Cte functii definite pe Mcu
valori nNexist ?
a. nm b. mn c. mnd. m+n
____ 227.Fie MsiNdou multimi finite avnd m, respectiv m elemente. Cte functii bijective definite
pe Mcu valori nNexist ?
a. m+nb. nm c. mn d. m!
____ 228.
Fie MsiNdou multimi finite avnd m, respectiv n elemente, m n . Cte functii injectivedefinite pe Mcu valori nNexist ?
a. nm b. mn c. m
nA
d. mn
____ 229.
Pe multimea numerelor naturale considerm operatia algebric nm n m = . Atunci
A
D
B
B
C
C
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
27/29
a. operatia este asociativ si nu este comutativb. operatia nu este asociativ si este comutativc. operatia nu este asociativ si nu este comutativ
____ 230. Fie *z , iz= , atunci
a. c. b. d.
____ 231. Dac *m im
im
z
+
=2
sin2
cos , atunci
a. c. -1 b. d.
____ 232. 1. Dac*1z i= + , atunci
a. c.
b. d.
____ 233. 1. Fie grupul ( )4 , ,0+ i 43 , atunci
a. c.
b. d.
____ 234. Dac Ryx , , 0x , 0y , avem ..., spunem c R este inel fr divizori ai lui zero.
a. 0xy c. b. d.
____ 235. Elementul zero al inelului 8 estea. ( )0,0 c. b. d.
____ 236.
Elementul unitate al inelului 8 este
a. ( )1,1 c. b. d.( )0,0
____ 237.
Astfel n inelul 8 , produsul direct al inelului ( )8 , ,+ cu inelul ( ), ,+ avem ( ) ( )5,3 3, 7+ =
a. c.
b. d.
____ 238.
A
B
A
A
A
A
A
A
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
28/29
Astfel n inelul 8 , produsul direct al inelului ( )8 , ,+ cu inelul ( ), ,+
avem( ) ( )5,3 3, 7 =
a. c.
b. d.
____ 239. Fie ( )2R = M i0
,0
aI a b
b
=
, atunci
a. I este ideal la stanga al lui R i nueste ideal la dreapta
c. I nu este ideal la stanga al luiR si esteideal la dreapta al lui R
b. I este ideal la stanga al luiR si la dreaptaal lui R
d. I nu este ideal la stanga al luiR si ladreapta al lui R
____ 240. Fie ( )2R = M i0 0
,J a b
a b
=
atunci
a. Jeste ideal la stanga al lui R i nueste ideal la dreapta
c. Jeste ideal la stanga al luiR si este idealla dreapta al lui R
b. Jideal la dreapta al lui R i nu esteideal la stnga.
d. Jnu este ideal la stanga al luiR si ladreapta al lui R
____ 241. Fie RRf : un morfism de inele,atunci f este injectiv dac i numai daca. c.
b. 0)( =fKer d.
____ 242. Fie [ ]4 3 22 2 15 10 3f X X X X X = + + . S se calculeze ( )3f .
a. c.
b. d.
____ 243. Fie [ ]4 3 22 2 15 10 3f X X X X X = + + . S se determine catul impartirii luifla
a. c.
b. d.
____ 244. Dac ( )2a b
Ac d
=
M Z i ( ) bcadXdaXf ++= 2 din [ ]X , atunci
a. c.
b. d.
____ 245. Fie R un inel astfel incat xx =6 , Rx . Stabilti ca
A
B
B
A
A
A
A
-
8/14/2019 Rezolvari Algebra 1
29/29
a. 011 =+ c. b. d.
____ 246. Fie R un inel astfel incat xx =6 , Rx . Stabilti ca
a. xx =2 , Rx . c.
b. d.
A