https://rumusbilangan.com/program-linier/

Materi Program Linear – Pengertian, Rumus, Contoh SoalBy Ahmad ArifinPosted on July 15, 2019

Rumusbilangan.com- Di bab ini kita akan membahas mengenai materi pengertian program linear, rumus, contoh soal dan pembahasannya.

Program linear ialah suatu program yang digunakan sebagai metode yang umumnya digunakan untuk memecahkan suatu masalah seperti pengalokasian sumber daya dengan tujuan akhir yaitu menentukan nilai minimum atau maksimum. Lebih lengkapnya yuk kita simak pembahasannya berikut:

program linierDaftar Isi Artikel :

Pengertian Program Linear Model Matematika Program Linear Nilai Optimum Fungsi Objektif

o 1. Menggunakan Garis Selidik o 2. Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan o Contoh Soal 1: o Contoh Soal 2:

Pengertian Program LinearProgram linear merupakan suatu program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear.

Di dalam persoalan linear tersebut terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear adalah merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Perhatikan tabel persoalan maksimum dan minimum dibawah berikut:

Model Matematika Program LinearPersoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam sebuah model matematika.

Model matematika adalah pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai gambaran:

Sebuah produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr. Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan digudang untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Baca Juga :   Pengertian Rumus Integral Substitusi & Integral Parsial

Apabila disimpulkan atau disederhanakan ke dalam bentuk tabel akan menjadi sebagai berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 ialah x dan model 2 ialah y, serta hasil penjualan optimal ialah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan beberapa syarat:

Apabila jumlah maksimal bahan 1 yaitu 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.

Apabila jumlah maksimal bahan 2 yaitu 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000

Masing-masing dari setiap model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapatkan jumlah penjualan yang maksimum yaitu:

Nilai Optimum Fungsi ObjektifFungsi objektif yaitu fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki sebuah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada ialah berupa titik-titik dalam diagram cartesius yang apabila koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear maka dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear bisa ditentukan dengan menggunakan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya, maka kita bisa tentukan letak titik yang menjadi nilai optimum.

Langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut :

Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada pada cartesius.

Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan pada garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut adalah himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki suatu kemungkinaan besar akan membuat fungsi menjadi optimum.

Meneliti nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara, yaitu :o Menggunakan garis selidik, dano Membandingkan nilai fungsi objektif pada tiap titik ekstrim.

1. Menggunakan Garis SelidikGaris selidik dapat diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by yang mana garis selidiknya ialah:

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai.

Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaannya juga dibuat.

Baca Juga :   Penjelasan Angka Romawi 7

Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Lalu kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal.

Berikut adalah pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0), yaitu:

Apabila maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.

Apabila minimum, maka dibuatlah garis yang sejajar garis selidik awal sehingga akan membuat suatu himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut.

Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikan grafik dibawah:

Cara ke- 2 (syarat b > 0), yaitu:

Apabila maksimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik maksimum.

Apabila minimum: maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut ialah titik minimum.

Perhatikanlah grafik dibawah berikut:

Bagi nilai a < 0 dan b < 0 maka berlaku sebuah kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

2. Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik EkstrimMenyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilaksanakan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari suatu garis-garis batas yang ada. Titik-titik potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum pada salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut, maka dapat ditentukan nilai masing-masing fungsinya, yakni kemudian dibandingkan.

Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil adalah merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan PembahasanContoh Soal 1:Tentukanlah sebuah nilai minimum dari: f(x, y) = 9x + y pada daerah yang telah dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Baca Juga :   Bentuk Persamaan Trigonometri dan Cara Menyelesaikannya

Pembahasan 1:

Langkah 1 yaitu menggambar grafiknya terlebih dahulu:

Langkah ke-2 menentukan titik-titik ekstrimnya:

Maka berdasarkan gambar diatas, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang telah diarsir.

Langkah yang ke-3, yaitu menyelidiki nilai optimum:

Berdasarkan grafik diatas dapat diketahui titik A dan B mempunyai nilai y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum.

Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan tersebut,maka bisa disimpulkan bahwa titik A memiliki nilai minimum 18.

Contoh Soal 2:Tentukanlah dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar ialah:

A tidak mungkin maksimum karena titik A paling kiri. B(3, 6) C(8, 2) D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim ialah:

Sehingga dapat diketahui hasilnya bahwa nilai maksimumnya berada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Demikianlah pembahasan kita pada hari ini mengenai Program Linear. Semoga bermanfaat …

http://materikuliah.blogspot.com/2015/02/riset-operasi-program-linear-masalah.html

Riset Operasi - Program Linear Masalah Maksimisasi Program Linear, Riset, Riset OperasiPROGRAM LINEARProgram linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untukmenyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkanfungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaianmasalah dan apa penyebab masalah tersebut.Dua macam fungsi Program Linear:Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusanmasalahFungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaanatas sumber daya tersebut.

Masalah MaksimisasiMaksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.Contoh:PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi keduaproduk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dantenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari,benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiapunit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabelberikut:Jenis bahan baku Kg bahan baku & Jam tenaga kerja Maksimum

dan tenaga kerja Kain sutera Kain wol penyediaanBenang sutera 2 3 60 kgBenang wol - 2 30 kgTenaga kerja 2 1 40 jamKedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kainsutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimanamenentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hariagar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.

Langkah-langkah:1) Tentukan variabelX1=kain suteraX2=kain wol2) Fungsi tujuanZmax= 40X1 + 30X23) Fungsi kendala / batasan1. 2X1 + 3X2 60 (benang sutera)2. 2X2 30 (benang wol)3. 2X1 + X2 40 (tenaga kerja)4) Membuat grafik1. 2X1 + 3 X 2=60X1=0, X2 =60/3 = 20X2=0, X1= 60/2 = 302. 2X2 30X2=153. 2X1 + X2 40X1=0, X2 = 40X2=0, X1= 40/2 = 20

Cara mendapatkan solusi optimal:1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim.Titik AX1=0, X2=0masukkan nilai X1 dan X2 ke ZZ = 40 . 0 + 30 . 0 = 0Titik B

X1=20, X2=0masukkan nilai X1 dan X2 ke ZZ = 40 . 20 + 30 . 0 = 800Titik CMencari titik potong (1) dan (3)2X1 + 3X2 = 602X1 + X2 = 402X2=20 X2=10Masukkan X2 ke kendala (1)2X1 + 3X2 = 602X1 + 3 . 10 = 602X1 + 30 = 602X1 = 30 X1 = 15masukkan nilai X1 dan X2 ke Z40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal)Titik D2X2 = 30X2 = 15masukkan X2 ke kendala (1)2X1 + 3 . 15 = 602X1 + 45 = 602X1 = 15 X1 = 7,5masukkan nilai X1 dan X2 ke ZZ = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750Titik EX2 = 15X1 = 0masukkan nilai X1 dan X2 ke ZZ = 40 . 0 + 30 .15 = 450Kesimpulan :untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengankeuntungan sebesar Rp 900 juta.2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan.Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerahfeasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin.Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala

(1) dan (3).Titik CMencari titik potong (1) dan (3)2X1 + 3X2 = 602X1 + X2 = 402X2=20X2=10Masukkan X2 ke kendala (1)2X1 + 3X2 = 602X1 + 3 . 10 = 602X1 + 30 = 602X1 = 30 X1 = 15masukkan nilai X1 dan X2 ke Z40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900Share to:Share

https://heruzi.wordpress.com/2012/06/25/program-linier/

Program LinierPosted on Juni 25, 2012 by heruzi

Program linier yang diterjemahkan dari linear programming merupakan suatu cara, untuk menyelesaikan persoalan sumber–sumber daya yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik dan mungkin untuk dilakukan. Persoalan pengalokasian ini akan muncul manakala seseorang harus memilih tingkat aktivitas-aktivitas tertentu yang bersaing dalam hal penggunaan sumber daya langka yang dibutuhkan  untuk melaksanakan aktivitas-aktivitas tersebut. Biasanya beberapa permisalan yang seperti uraian diatas antara lain ialah persoalan pengalokasian fasilitas produksi, persoalan pengalokasian sumber daya nasional untuk kebutuhan domestik, penjadwalan produksi, solusi permainan (game), dan pemilihann pola pengiriman (shipping). Satu hal yang menjadi ciri situasi ialah adanya kehausan untuk mengalokasikan sumber terhadap aktivitas (Dimyati, 1994).

Program linier ini menggunakan model matematis untuk menghadapi persoalan yang dihadapinya. Sifat “linier” disini memberi arti  bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi linier, sedangkan kata “programa” merupakan sinonim untuk perencanaan. Program linier adalah perencanaan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai suatu tujuan yang terbaik diantara semua alternatif yang fisibel (Dimyati, 1994).

Pemrogramanan linier (LP) merupakan sebuah teknik matematik yang didesain untuk membantu para manajer operasi dalam merencanakan dan membuat keputusan yang diperlukan untuk mengalokasikan sumber daya. Sumber daya dapat dihasilkan untuk mengahasilkan produk (seperti, mesin, mebel, makanan, atau pakaian) atau jasa (seperti, jadwal penerbangan, kebijakan periklanan atau keputusan investasi) (Render, 2006).

Asumsi-asumsi pada Program Linier

Ada beberapa asumsi pada program linier didalam penggunaannya. Berikut ini asumsi-asumsinya didalam progam linier (Dimyati, 1994):

Asumsi kesebandingan (proportionality)Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah sebanding dengan nilai variabel keputusan.

Kontribusi suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri stiap pembatas juga sebanding dengan nilai variabel keputusan itu.

Asumsi penambahan (additivity)

Kontribusi setiap variabel keputusan terhadp fungsi tujuan bersifat tidak tergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain.

Kontribusi suatu variabel keputusanterhdap ruas kiri dari setiap pembatas bersifat tidak pada variabel keputusan yang lain.

Asumsi pembagian (divisibility)

Persoalan programa linier, variabel keputusan boleh diasumsikan menjadi berupa bilangan pecahan.

Asumsi kepastian (certainty)

Setiap parameter, yaitu koefisien fungsi tujuan, ruas kanan, dan koefisien teknologis, diasumsikan dapat diketahui secara pasti, dalam suatu masalah pemrograman hanya dapat dirumuskan kedalam persoalan programa linier apabila asumsi-asumsi diatas terpenuhi.

Penyelesaian Masalah dengan Metode Grafik

Metode grafik merupakan cara yang mudah ditangkap artinya dan mudah dilihat pembatasnnya secara visual, tetapi penggunaannya hanya terbatas untuk 2 variabel dasar. Lebih dari dua variabel lebih baik dipergunakan metode simpleks. Berikut ini merupakan prosedur metode grafik (Supranto, 2009):

1. Rumuskan persoalan menjadi persoalan linear programming (jelas fungsi objektifnya dan pembatasnya).

2. Gambarkan kurva dari setiap pembatasan yang ada.3. Tentukan titik ekstrem (vertex) dan daerah yang fisibel dengan memberikan tanda arsir.4. Gambarkan kurva fungsi objektif dengan memberikan nilai sembarang (arbitrary), akan

tetapi pilih nilai/ angka yang mudah dibagi oleh nilai koefisien dari setiap variabel yang tercantum dalam fungsi objektif.

5. Tarik garis yang sejajar atau parallel dengan garis atau kurva fungsi objektif, sampai garis tersebut memotong salah satu titik ekstrem yang memberikan nilai Z yang optimum (maksimum atau minimum).

6. Titik ekstrem yang diperoleh, tarik garis sejajar dengan garis χ1 sehingga memotong χ2 dan sejajar dengan garis χ2 sehingga memotong garis yang berada di χ1.

Beberapa Pengertian dalam Linear Programming

Sebelum membicarakan mengenai metode simpleks pada pembahasan selanjutnya terlebih dahulu membahas mengenai beberapa pengertian yang sering dijumpai. Berikut ini pengertian linear programming pada metode grafik (Taha, 1993):

1. Penyelesaian (solution) merupakan jawaban akhir dari suatu maslah yang dibahas.2. Solusi Fisibel (feasible solution) solusi feasible adalah penyelesaian yang tidak

melanggar batasan-batasan yang ada.3. Solusi tanpa daerah fisibel (non fisibel solution) yang berarti bahwa apabila suatu sifat

atau letak batasan-batasan sedemikian rupa sehingga tidak memungkinkan terdapatnya daerah atau alternative-alternative yang fisibel.

Masalah minimasi yaitu tujuan yang ingin dicapai adalah laba (dalam hal ini) semaksimal mungkin. Jika fungsi tujuan bersifat minimasi maka alternatif yang optimal adalah alternatif yang dapat meminimumkan nilai Z. Apabila ditempuh cara menggunakan gambar fungsi Z pada grafik maka untuk mendapatkan titik optimal garis Z harus di geser ke kiri. Apabila ditempuh cara membandingkan nilai Z pada setiap alternative maka alternative yang mempunyainilai Z terendah adalah alternatif yang optimal.

Fungsi batasan bertanda “lebih besar atau sama dengan ” (>) apabila fungsi batasan tidak bertanda <; melainkan bertanda > maka arah daerah fisibel akan berada disebelah

kanan atas garis batas tersebut. Misalkan, Batasan ketiga pada permasalahan (a1X1 + a2X2 < b) diubah tanda ketidaksamaanya sehingga menjadi (a1X1 + a2X2 > b) sedangkan batasan-batasan lain tetap sehingga akan membentuk daerah fisibel.

Fungsi batasan bertanda “sama dengan” (=) apabila fungsi batasan bertanda =; maka daerah fisibel akan terletak pada garis yang memiliki tanda tersebut. Misalkan batasan ketiga pada permasalahan pada sebuah perusahaan diubah tandanya sehingga menjadi (a1X1 + a2X2 = b), sedangkan batasan-batasan yang lain tetap seperti semula, maka daerah fisibel yang baru terletak pada garis (a1X1 + a2 X2 = b)  antara titik A dan B.

Metode Simpleks

Sebagian besar permasalahan pemrograman linear didunia nyata memiliki lebih dari dua variabel dan karenanya menjadi terlalu rumit untuk diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Sebuah prosedur yang disebut sebagai metode simpleks dapat digunakan untuk menemukan solusi yang optimal. Metode simpleks merupakan suatu alogaritma yang digunakan untuk menguji titik sudut dalam suatu cara tertentu sehingga sampai pada solusi terbaik (Render, 2006).

http://rhama-shark4hacking.blogspot.com/2010/03/contoh-soal-dengan-menggunakan-metode.html

KULIAH MANAJEMENMateri-materi kuliah jurusan Manajemen..

Linear Programming : Metode Grafik 

Linear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalain mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan perusahaan.

Tujuan perusahaan pada umumnya adalah memaksimalisasi keuntungan, namun karena terbatasnya sumber daya, maka dapat juga perusahaan meminimalkan biaya.

Linear Programming memiliki empat ciri khusus yang melekat, yaitu :

1. penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi

2. kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan

3. ada beberapa alternatif penyelesaian

4. hubungan matematis bersifat linear

Secara teknis, ada lima syarat tambahan dari permasalahan linear programming yang harus diperhatikan yang merupakan asumsi dasar, yaitu:

1. certainty (kepastian). Maksudnya adalah fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dengan pasti dan tidak berubah selama periode analisa.

2. proportionality (proporsionalitas). Yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fimgsi kendala.

3. additivity (penambahan). Artinya aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu.

4. divisibility Coisa dibagi-bagi). Maksudnya solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat), tetapi bisa juga berupa pecahan.

5. non-negative variable (variabel tidak negatif). Artinya bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negatif.

Dalam menyelesaikan permasalahan dengan menggunakan Linear Programming, ada dua pendekatan yang bisa digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik hanya bisa digunakan lantuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan sama dengan dua. Sedangkan metode simpleks bisa digu-nakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana variabel keputusan dua atau lebih.

Dalam Bab I ini, akan dibahas Linear Programming dengan metode grafik untuk fungsi tujuan baik maksimum maupun minimum. Fungsi tujuan maksimum akan diuraikan pada topik I sedang fungsi tujuan minimum akan diuraikan pada topik II.

Dengan mempelajari modul ini dengan baik dan benar, diharapkan Anda dapat memahami pennasalahan Linear Programming dengan metode grafik.

Setelah mempelajari medul ini diharapkan anda dapat:

1. Mengenal linear programming sebagai alat pengambilan keputusan

2. Merumuskan permasalahan operasi ke dalam bentuk linear programming

3. Menyelesaikar. permasalahan linear programming dengan grafik/ matematik

4. Memahami permasalahan infeasibility, unboundedness, alternative optima, dan redundancy.

 

 

Linier Programming dengan Metode Grafik :

Fungsi Tujuan Maksimisasi

 

A. FORMULASI PERMASALAHAN

 

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variahel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP). Langkah-langkah dalam formulasi pennasalahan adalah :

1. pahamilah secara menyelwuh pennasalahan manajerial yang dihadapi 2. identifikasikan tujuan dan kendalanya

3. definisikan variabel keputusannya

4. gunakan variabel keputusan untuk merumuskan fungsi tujuan dan fungsi kendala secara matematis.

Sebagai contoh dalam memfonnulasikan pennasalahan, berikut ini akan dibahas perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit n:eja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-.

Namun untuk meraih keuntungan tersebut Kr;_sna. Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk peinbuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan ~-mtuk pengecatan 1 unit kursi dibiatuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia ur.tuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja un-,uk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?

Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan darn pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tarnpak sebagai berikut:

TABEL 1.1 Informasi Permasalahan Krisna Furniture

  Jam kerja untuk membuat 1 unit produk Total waktu tersedia per minggu  Meja Kursi  

Pembuatan 4 8 240Pengecatan 2 1 100Profit per

unit7 5  

 

Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan k-ursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2).

Setelah kita mendefinisikan variabel keputusan, maka langkah selanjutnya adalah menuliskan secara matematis fungsi tujuan dan fungsi kendala.

1. Fungsi Tujuan

Tujuan perusshaan adalah maksimisasi keuntungan, sehingga kita dapat menuliskan fungsi tujuan sebagai berikut :

P = ($7 x jamlah meja     +($5 x jumlah kursi

Yang diproduksi)              yang diproduksi)

Atau secara matematis dapat dituliskan : Maksimisasi Z = $7X1 + $5X2

2. Fungsi kendala

Berkaitan dengan sumber daya vang digunakan, perusahaan tidak bisa memperkirakan secara tepat kebutuhan sumber daya yang digunakan untuk mencapai keuntungan tertentu. Biasanya perusahaan menyediakan sumber daya tertentu yang merupakan kebutuhan minimum atau maksimum. Kondisi seperti ini secara matematis diungkapkan dengan pertidaksamaan.

Kendala yang pertama adalah waktu yang tersedia di departemen pembuatan. Total waktu yang diperlukan untuk pembuatan Xl (meja) dimana untuk membuat satu unit meja diperlukan waktu 4 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk membuat satu unit kursi diperlukan waktu 3 jam kerja adalah 240 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :

4 X1 + 3 X2 <_>

Seperti halnya pada kendala yang pertama, maka pada kendala kedua dapat diketahui bahwa total waktu yang diperlukan untuk pengecatan X1 (me)'a) dimana untuk mengecat satu unit meja diperlukan waktu 2 jam kerja dan untuk pembuatan X2 (kursi) dimana untuk mengecat satu unit kursi dibutuhkan waktu 1 jam kerja adalah 100 jam. Kalimat ini bisa dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis menjadi :

2X1 + 1 X2 <>

Salah satu syarat yang harus dipenuhi dalam Linear Programming adalah asumsi nilai X1 dan X2 tidak negatif. Artinya bahwa

X1 > 0 (jumlah meja yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

X2 > 0 (jumlah kursi yang diproduksi adalah lebih besar atau sama dengan nol)

Dari uraian di atas dapat dirumuskan formulasi permasalahan secara lengkap sebagai

berikut :

Fungsi tujuan :

Maksimisasi Z = $7X1 + $SX2. Fungsi kendala :

4 X1 + 3 X2 <>

2X1 + 1 X2 <>_ 0 (kendala non negatif pertama)

X2 >, 0 (Kendala Non Negatif kedua )

 

B. PENYELESAIAN LINEAR PROGRAMMING SECARA GRAFIK

Kasus Krisna Furniture tersebut akan kita selesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu ordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.

Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.

4X1+3X2 = 240

Kend,qla ini akan memotong salah satu atau kedua sumbu.

Sebagaimana halnya yang sudah kita pelajari dalam aljabar, bahwa untuk mengaambarkan fungsi linear yang tidak lain merupakan garis lurus, maka kita akan mencari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X1, pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2, pada saat Xl = 0.

Kendala I: 4 XI + 3 X2 = 240

memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0 4X1+0=240

Xl = 240/4 Xl = 60.

memotong sumbu X2 pada saat X1 = 0 0 + 3 X2 = 240

X2 = 240/3 X2 = 80

Kendala I memotong sumbu Xl pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,80)

 

Kendala II: 2 X1 + 1 X2 = 100

memotong sumbu X1 pada saat X2 = 0

2X1+0=100

Xl = 100/2

XI = 50

memotong sumbu X2 pada saat X1 =0

O+X2=100

X2 = 100

Kendala I memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0,100).

 

Peraga 1.1. Grafik Area Layak

(not available)

 

X2=100-2X1

4 X1 + 3 X2 = 240 4X1+3(100-2X1)=240

4X1+300-6X1      =240

-2X1 =240-300   

-2X1=-60             

X1 = -60/-2 = 30.              

X2=100-2X1       

X2 = 100 - 2 * 30               

X2=100-60          

X2 = 40 

 

Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).

 

Tanda <>

Untuk menentakan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu 1. dengan menggunakan garis profit (iso profit linc) 2. dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalaha penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien Xl) dan 5 (koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X1 + 5 X2. Garis ini akan memotong sumbu Xl pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 7).

Dari Peraga 1. 2 dapat dilihat bahwa iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan X2, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II(karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala 11). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai Xl = 30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari

hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi Xl sebanyak 30 unit, X2 sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.

Peraga 1. 2. Iso profit line

(not available)

 

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dar: titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).

Keuntungan pada titik O(0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.

Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.

Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.

Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350.

Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh ketuitungan optimal sebesar 410.

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan anda mengerjakan latihan berikut ini !

1) Apa yang dimaksud dengan LP?

2) Sebutkan 4 ciri kusus yang melekat pada pennasalahan LP.

3) Sebutkan 5 asumsi dasar yang harus dipenuhi dalam penyelesaian permasalahan dengan menggunakan LP.

4) Sebutkan langkah-langkah dalam formulasi permasalahan LP.

5) Apa syarat permasalahan dapat diselesaikan dengan metode grafik?

6) Apa yang dimaksud dengan area layak (feasible region)?

7) Bagaimana cara menentukan solusi optimal dengan menggianakan isoprofit line?

8) Bagaimana cara menentukan solusi optimal denan cara corner point?

 

Rangkuman:

LP dengan metode grafik hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dengan 2 variabel keputusan. Dalam penyelesaian pennasalahan diawali dengan formulasi permasalahan, kemudian menggambarkan fungsi kendala serta menentukan area layak. Baru kemudian menentukan solusi optimal yang dapat menggunakan 2 pendekatan, yaitu dengan pendekatan garis profit (isoprofit line) atau titik sudut (corner point).

 

Metoda Simpleks Tabel

CONTOH SOAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE SIMPLEKS (TEKNIK M)-->

2. Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut :

Minimasi : Z = 6X1 + 7,5X2

Dengan pembatas :

7X1 + 3X2 ≥ 210

6X1 + 12X2 ≥ 180

4X2 ≥ 120

X1, X2 ≥ 0

Carilah harga X1 dan X2 ?JAWABAN

Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG – M), hal ini dikarenakan pada kasus ini

pertidk samaan pembatasnya menggunakan ≥ (lebih dari sama dengan).

Persamaan Tujuan : Z - 6x1 - 7,5X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 = 0 Baris 0

Persamaan Kendala : 7x1 + 3x2 - S1 +A1 = 210 Baris 1

6x1 + 12x2 - S2 +A2 = 180 Baris 2

4x2 - S3 + A3 = 120 Baris 3

Bagi kendala pertidaksamaan jenis ≤, maka variabel slack ditambahkan untuk menghabiskan sumber

daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan pada kendala pertidaksamaan jenis

≥ dan kendala persamaan (=) persamaan diatas diperoleh karena tanda ≥ harus mengurangi variable

surplus.

Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A 1, A2, dan

A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Z = 6x1 + 7,5X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + MA1 + MA2 + MA3

Table simplex awal dibentuk dengan A1, A2, dan A3 sebagai variable basis, seperti table berikut :

Basi

s

X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

Z 13M-6 19M-7,5 -M -M -M 0 0 0 510M

A1 7 3 -1 0 0 1 0 0 210 210 : 3 = 70

A2 6 12 0 -1 0 0 1 0 180 180 : 12 = 15

A3 0 4 0 0 -1 0 0 1 120 120 : 4 = 30

Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan seluruh NBV masih

mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable

karena x2 memiliki nilai koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable. Dan yang

akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling kecil.

Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :

ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 2

½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15

ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0

Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,5

ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 111/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2= 165

ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 3

-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60

Konversi bentuk standard iterasi Pertama :

Z = 9/4 x1 + 0S1 + 15/24 S2 + 0S3 + MA1 + [ M - 15/24]A2 + MA3 + 112,511/2 x1 + ¼ S2 + A1 - 1/4 A2 = 165

-2x1 + 1/3 S2 - S3 - 1/3 A2 + A3 = 60

½ x1 + x2 - 1/12 S2 +1/12 A2 = 15

Tabel Iterasi Pertama

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK RASIO

Z -13/2M-6 0 0 7/12 - 15/24 -M 0 1/24 - M 0 225M – 112,5 *

A111/2 0 0 1/4 0 1 -1/4 0 165 165 : 5,5 = 30

A3 -2 0 0 1/3 -1 0 -1/3 1 60 *

X2 ½ 1 0 -1/12 0 0 1/12 0 15 15 : 0,5 = 30

Pada fungsi tujuan masih terdapat variable dengan nilai koefisien positif, oleh karena itu lakukan iterasi

kedua.

Langkah-langkah ERO Iterasi Kedua:

ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 1 pada baris 1

x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30

ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 0

Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + MA1 -0,4A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180

ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 2

0.5 A2 = 0

ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x1 berharga 0 pada baris 3

0,39 S2 - S3 +0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120

Konversi bentuk standard iterasi kedua :

Z = 0S1 + 0,725 S2 + 0S3 + [M -0,4]A1 + [ M – 0,725]A2 + MA3 + 180

x1 + 1/22 S2 + 2/11A1 - 1/22 A2 = 30

0.5 A2 = 0

0,39 S2 - S3 + 0,36A1 + 0,21 A2 + A3 = 120

Tabel Iterasi Kedua

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 A3 NK

Z 0 0 0 -0,725 0 -M+0,4 -1/2M+0,725 M -180

x1 1 0 0 1/22 0 2/11 -1/22 0 30

A3 0 0 0 0 0 0 ½ 0 0

X2 0 0 0 0,39 -1 0,36 0,21 1 120

Iterasi kedua adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan x1 =

30, x2 = 120 dan z=-180.

3. PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu

dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah A=200Kg dan

B=360Kg.

Untuk membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat 1 Kg sabun batang

diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1Kg sabun bubuk =

$3 sedangkan setiap 1 Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah sabun bubuk dan sabun batang yang

sebaiknya dibuat ?JAWABAN

Pemodelan matematika :

Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2

Pembatas : 2x1 + 5x2 = 200

6x1 + 3x2 = 360

Persamaan Tujuan : Z - 3x1 - 2x2 = 0 Baris 0

Persamaan Kendala : 2x1 + 5x2 + A1 = 200 Baris 1

6x1 + 3x2 + A2 = 360 Baris 2

Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A 1, A2, dan

A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Z = 3x1 - 2X2 + MA1 + MA2

Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio

Z 8M-3 8M+2 0 0 560M

A1 2 5 1 0 200 200:5=40

A2 6 3 0 1 360 360:3=120

Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan belum seluruhnya

NBV mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable

karena x2 memiliki nilai koefisien negatif, dan A1 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot

adalah baris 1 karena memiliki rasio paling kecil.

Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama :

ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 1

0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40

ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0

Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80

ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 2

4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240

Konversi bentuk standard iterasi pertama :

Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80

0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40

4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240

Basis x1 x2 A1 A2 NK Rasio

Z 4,8M-3,8 0 0,4-0,4M 0 240M+80

X2 0,4 1 0,2 0 40

A2 4,8 0 0,6 1 240

Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya positif, dengan x1 = 40,

x2 = 240 dan z=240M+80.DIPOST ING OLEH  RAMA SAKTR IAWINDARTA  D I  11 .13