risovi prostori i primena u ekonomiji

Univerzitet u Ni²u

Prirodno - matemati£ki fakultet

Departman za matematiku

RISOVI PROSTORI I PRIMENA UEKONOMIJI

Master rad

Mentor:

Prof. dr Dragan S. D- or�evi¢

Student:

Aleksandar Dim£i¢

br. indeksa 172

Ni², 2017.

2

Zahvaljujem se £lanovima komisije profesorki MiljaniJovanovi¢ i profesorki Mariji Milo²evi¢, a posebno mentoru profesoru

Draganu Ðor�evi¢u na stru£nim i dobronamernim savetima pri izradi ovogmaster rada.

Ovom prilikom tako�e ºelim da se zahvalim porodici,posebno sestri i devojci na podr²ci,

razumevanju i strpljenju tokom studiranja.

Sadrºaj

1 Osobine Risovih prostora 5

1.1 Ortogonalni (razdvojeni) vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Solidni podskupovi Risovih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Ideali, trake i Risovi potprostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Razdvojeni komplementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5 Linearni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6 Kompletnost i projekcione osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Spektralna teorema 32

3 Ograni£eni operatori 39

4 Dualni Risovi prostori 46

5 Primena u ekonomiji 51

5.1 Preference i funkcije korisnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2 Ekonomija razmene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Literatura 54

3

Uvod

Teorija Risovih prostora nastala je oko 1935. godine i njen nastanak se vezuje zaimena, F. Riesz, H. Freudenthal i L.V. Kantorovitch. Risovi prostori imaju veoma²iroku primenu u oblasti ekonomije i menadzmenta.

U ovom radu ramatra¢emo vektorski prostor sa uredjenjem i to Risov prostor.Razmatra¢e se tipovi konvergencije, kao i razdvojeni komplamenti potprostora. Is-pitiva¢emo linearne operatore na vektorskim prostorima sa uredjenjem kao i dualneprostore prostora sa uredjenjem.

Struktura ovog rada sastoji se od pet celina.Najpre osvrnu¢emo se na osnovne pojmove Risovih prostora. De�nisa¢emo Risov

prostor, kao i ideale, trake i Risove potprostore. De�nisa¢emo Birkofov identitet,rezultat koji pretstavlja osnovu Teoriju Risovih prostora. Pri£u ¢emo pro²iriti nalinearne operatore na Risovim prostorima i projekcione osobine.

U tre¢oj glavi posmatra¢emo komponente vektora i navesti nekoliko bitnih re-zultata koji ¢e nam pomo¢i u dokazu same Spektralne teoreme.

Kao krajnji rezultat ovog rada razmotri¢emo osobine dualnih prostora.Rad zavr²avamo de�nisanjem preference, funkcije korisnosti kao i Risove ekono-

mije.

4

Glava 1

Osobine Risovih prostora

U matemati£kim modelima ekonomije koriste se realni parcijalno uredjeni vektor-ski prostori. Uredjeni realni vektorski prostori, sa odredjenim dodatnim osobinama,jesu Risovi1 prostori. Imamo u vidu samo realne vektorske prostore, te ovu £injenicune¢emo posebno nagla²avati.

De�nicija 1. Neka je E vektorski prostor, i neka je 6 parcijalno uredjenje na E.Uredjenje 6 je kompatabilno sa algebarskom stukturom prostora E, ako vaºe sledecasvojstva:

(1) (∀u, v, w ∈ E)(u ≥ v ⇒ u+ w ≥ v + w);

(2) (∀u, v ∈ E)(∀λ ∈ R, λ > 0)( u ≥ v ⇒ λu ≥ λv).

Tada je (E,≥) uredjen vektorski prostor.

Ako je u, v ∈ E i u ≤ v, onda je ravnopravna oznaka u ≥ v. Ako je u ≤ v iu 6= v, onda je u < v, ili, ekvivalentno, v > u. Element u ∈ E je pozitivan, ako jeu ≥ 0. Skup svih pozitivnih elemenata u (E,≤) ozna£en je sa E+.Ako je u ≥ 0,onda je u + (−u) ≥ −u, odnosno 0 ≥ −u. Sli£no ako je u ≤ v, ondaje −u ≥ −v.

De�nicija 2. Neka je E vektorski prostor, i neka je K ⊂ E. Skup K je konveksankonus, ako vaºi:

(1) K +K ⊂ K

(2) ( ∀λ ∈ R, λ ≥ 0)(λK ⊂ K);

(3) K ∩ (−K) = 0.

Jednostavno je dokazati slede¢e rezultate.Neka je (E,≤) uredjen vekotrski prostor, i neka je A ⊂ E. Elemenat m ∈ E je

gornja granica skupa A, ako za svako a ∈ A vaºi a ≤ m.Element u ∈ A je supremumskupa A, ako je u najmanja gornja granica skupa A, odnosno ako vaºi sledece:

1Frigyes Riesz(1880-1956.)-madjarski matemati£ar

5

Osobine Risovih prostora 6

u je gornja granica skupa A, i ako je b gornja granica skupa A tada je u ≤ b.Analogno, n ∈ A je donja granica skupa A, ako za svako a ∈ A vaºi n ≤ a. Elemenatv ∈ E je in�mum skupa A, kada je v najve¢a donja granica skupa A, odnosno akovaºi:v je donja granica skupa A, i ako je c donja granica skupa A onda je c ≤ v.Supremum skupa A ozna£imo sa supA, a in�mum skupa A ozna£imo sa inf A.Ako je A proizvoljan skup uredjenog vektorskog prostora (E,≤), onda ne morajupostojati donje ili gornje granice skupa A, ne sledi da obavezno postoje inf A ilisupA.

De�nicija 3. Neka je (L,≤) uredjen vektorski prostor. Ako za svaki kona£an pod-skup A skupa L postoji supA ∈ L, tada je L Risov prostor, ili vektorska re²etka.

Teorema 1. Neka je (L,≤) uredjen vektorski prostor. L je Risov prostor, ako isamo ako za svaka dva elementa u, v ∈ L postoji sup{u, v} ∈ L.

Koriste se jednostavnije oznake za supremum i in�mum skupova u Risovim pro-storima. Neka su u, v, u1, ..., un ∈ L i neka je C ⊂ L. Tada je:

u ∨ v = sup{u, v}n∨i=1

ui = sup{u1, ..., un},

u ∧ v = inf{u, v}n∧i=1

ui = inf{u1, ..., un}.

Ako postoji supremum skupa C u L, onda jesupC =

∨u∈C

u ∈ L.

Analogno, ako postoji in�mum skupa C u L, onda jeinf C =

∧u∈C

u ∈ L.

U skladu sa oznakama moºe se fomulisati slede¢i rezultat.

Lema 2. Ako je L Risov prostor, tada za svako u, v ∈ L vaºiu ∧ v = −((−u) ∨ (−v)) i u ∨ v = −((−u) ∧ (−v)).

De�nicija 4. Neka je L Risov prostor, i neka je u ∈ L. Tada:

1) pozitivan deo elementa u jeste u+ = u ∨ 0;

2) negativan deo elementa u jeste u− = (−u) ∨ 0

3) apsolutna vrednost elementa u jeste |u| = u ∨ (−u)

Smatra se da su operacije ∧ i ∨ vi²eg prioriteta od operacija + i - u Risovimprostorima. Dakle, u+v∧w = u+(v∧w), u−v∨w = u−(v∨w), za svako u, v, w ∈ L.


Operacije ∧ i ∨ su ravnopravne sa operacijom mnoºnja vektora skalarom, zapisujese precizno (λu) ∧ v i u ∨ (λv), za svako u, v ∈ L i λ ∈ R.Dokazuje se slede¢a teorema koja sadrºi vi²e indentiteta u Risovim prostorima.

Teorema 3. (Fundamentalni identiteti) Neka je L Risov prostor, i neka su u, v, w ∈L, λ ∈ R. Tada:

1) u+ v ∨ w = (u+ v) ∨ (u+ w) u+ v ∧ w = (u+ v) ∧ (u+ w);

2) u− v ∨ w = (u− v) ∨ (u− w) u− v ∧ w = (u− v) ∧ (u− w);

3) u ∨ v = (u− v)+ + v = (v − u)+ + u;

4) λ(u ∨ v) = (λu) ∨ (λv) λ(u ∧ v) = (λu) ∧ (λv)

5) |λu| = |λ||u|;

6) u ∨ v =1

2(u+ v + |u− v|) u ∧ v =

1

2(u+ v − |u− v|);

7) u+ v = u ∨ v + u ∧ v;

8) u = u+ − u−, u+ ∧ u− = 0;

9) |u| = u+ + u−;

10) |u| = 0 ako i samo ako je u = 0;

11) |u+ v| = u ∨ v − u ∧ v;

12) |u+ v| ∨ |u− v| = |u|+ |v|;

13) |u| ∨ |v| = 1

2(|u+ v|+ |u− v|);

14) |u| ∧ |v| = 1

2(|u+ v| − |u− v|).

Dokaz.

1) Neka je t = v∨w. Tada je v ≤ t i w ≤ t, te je u+v ≤ u+t i u+v ≤ u+t. Sledida je u+ t gornja granica za u+ t i u+w. Pretpostavimo da je s proizvoljnagornja granica za u + v i u + w, odnosno neka je u + v ≤ s i u + w ≤ s.Tada je v ≤ s − u i w ≤ s − u. Imamo da je t = v ∨ w ≤ s − u, odnosnou+ t ≤ s. Dakle, u+ t je najmanja gornja granica za u+ v i u+ w, odnosnou+ t = (u+ v) ∨ (u+ w). Drugi deo ovog tvrdjenja dokazuje se analogno.

2) Na isti na£in kao 1).

3) Na osnovu de�nicije pozitivnog dela nekog elementa, sledi da vaºi:

(u− v)+ + v = (u− v) ∨ 0 + v = (u− v + v) ∨ (0 + v) = u ∨ v.

Drugi deo tvrdjenja sledi na isti na£in.


4) Ako je λ = 0, onda je ovo tvrdjenje trivijalno. Pretpostavimo da je λ ≥ 0. Naosnovu u ≤ u∨ v i v ≤ u∨ v, sledi da je λu ≤ λ(u∨ v) i λv ≤ λ(u∨ v). Dakle,λ(u ∨ v) je gornja granica za λu i λv, te je (λu) ∨ (λv) ≤ λ(u ∨ v). Sada neka

je t gornja granica λu i λv, odnosno λu ≤ t i λv ≤ t. Tada je u ≤ 1

λt i v ≤ 1

λt,

odakle sledi u∨ v ≤ 1

λt, kao i λ(u∨ v) ≤ t. Proizilazi da je λ(u∨ v) najmanja

gornja granica za λu i λv, te je (λu) ∨ (λv) = (λu) ∨ (λv).Drugi deo ovog tvrdjenja sledi analogno.

5) Pretpostavimo da je λ ≥ 0. Tada, po de�niciji apsolutne vrednosti vektora,kao i prema upravo dokazanom trvdjenju 4), vaºi:

|λu| = (λu) ∨ (−λu) = λ(u ∨ (−u)) = |λ||u|.

Neka je sada λ > 0. Tada je −λ = |λ|, i vaºi:

|λu| = (λu) ∨ (−λu) = −λ((−u) ∨ u) = |λ||u|.

6) Koristimo de�nicuju apsolutne vrednosti nekog elementa, kao i tvrdjenje 4):

1

2(u+ v + |u− v|) =

1

2(u+ v + (u− v) ∨ (v − u)) =

1

2((2u) ∨ (2v)) = u ∨ v.

Sli£no, koristimo tvrdjenje 2):

1

2(u+ v − |u− v|) =

1

2(u+ v − (u− v) ∨ (v − u)) =

1

2((2u) ∨ (2v)) = u ∧ v.

7) Ovo tvrdjenje sledi sabiranjem jednakosti dobijenih u tvrdjenju 6).

8) Neka je v = 0 u 7), a zatim iskoristimo odnos supremuma i in�muma:

u = u ∨ 0 + u ∧ 0 = u ∨ 0− ((−u) ∨ 0) = u+ − u−.

Takodje:

u+ ∧ u− = (u+ − u− + u−) ∧ u− = (u+ − u−) ∧ 0 + u− = u ∧ 0 + u−

= −((−u) ∨ 0) + u− = −u− + u− = 0.

9) Na osnovu de�nicije apsolutne vrednosti, kao i osobine 4) i 8), proizilazi davaºi:

|u| = u ∨ (−u) = ((2u) ∨ 0)− u = 2(u ∨ 0)− (u+ − u−)

= 2u+ − (u+ − u−) = u+ + u−.

10) Ako je u = 0, onda je |u| = u ∨ 0 = 0. Ako je |u| = 0, onda je u+ + u− = 0.Kako je u+, u− ∈ L+ i L+ je konveksan konus, iz u+ = −u− sledi u+ = u− = 0,te je i u = u+ − u− = 0.


11) Koriste¢i dokazana tvrdjenja, proizilazi da vaºi:

|u− v| == ((u− v) ∨ (v − u)) + u+ v − (u+ v)

= (2u) ∨ (2v)− (u ∨ v + u ∧ v)

= 2(u ∨ v)− (u ∨ v + u ∧ v)

= (u ∨ v)− (u ∧ v).

12) Na osnovu dokazanih tvrdjenja, sledi:

|u+ v| ∨ |u− v| == ((u+ v) ∨ (−u− v)) ∨ ((u− v) ∨ (v − u))

= ((u+ v) ∨ (u− v)) ∨ ((−u− v) ∨ (v − u))

= u+ (v ∨ (v)) ∨ (−u+ ((−v) ∨ v))

= (u+ |v|) ∨ (−u+ |v|)= (u ∨ (−u)) + |v|= |u|+ |v|.

13) Koristimo tvrdjenje 6):

1

2((u+ v + |u− v|) ∨ (−u− v + |u− v|)) =

=1

2((u+ v) ∨ (−u− v) + |u− v|)

= u ∨ v ∨ (−u) ∨ (−v)

= |u| ∨ |v|.

14) Za dokaz ovog trdjenja koristimo slede¢a tvrdjenja redom: 11),7),12) i 7):

||u+ v| − |u− v|| == |u+ v| ∨ |u− v| − |u+ v| ∧ |u− v|= |u+ v| ∨ |u− v| − (|u+ v|+ |u− v| − |u+ v| ∨ |u− v|)= 2(|u+ v| ∨ |u− v|)− (|u+ v|+ |u− v|)= 2(|u|+ |v|)− 2(|u| ∨ |v|) = 2(|u| ∧ |v|).

Slede¢e rezultate moºemo lako dokazati.

Lema 4. Neka je L Risov Prostor, A ⊂ L i u ∈ L. Ako postoji supA, onda postojii sup(u+ A), pri £emu vaºi jednakost:

u+ supA = sup(u+ A).

Ako postoji inf A, onda postoji i inf(u+ A), pri £emu vaºi:

u+ infA = inf(u+ A).


Ako postoje supA i inf A, onda vaºe slede¢e formule:

u− supA(u− A), u− inf A = sup(u− A),

λ supA = sup(λA), λ inf A = inf(λA), ako je λ ≥ 0.

Koriste¢i dobijene rezultate, dokazujemo uzajamnu distributivnos supremuma iin�muma.

Lema 5. Neka je L Risov prostor, A ⊂ L i u ∈ L. Ako postoji supA, onda postojii sup{u ∧ a : a ∈ A}, pri £emu vaºi

u ∧ supA = sup{u ∧ a : a ∈ A}.

Ako postoji inf A, onda postoji i inf{u ∨ a : a ∈ A}, pri £emu vaºi:

u ∨ inf A = inf{u ∨ a : a ∈ A}.

Specijalno, ako je A = {a1, ..., an}, onda vaºe formule:

u ∧

(n∨i=1

ai

)=

n∨i=1

(u ∧ ai), u ∨

(n∧i=1

ai

)=

n∧i=1

(u ∨ ai).

Dokaz. Neka je u ∈ L i s = supA. Tada je za svako a ∈ A ispunjeno u ∧ a ≤u, u ∧ a ≤ a ≤ s. Dakle, u ∧ a ≤ u ∧ s za svako a ∈ A, odnosno u ∧ s je gornjagranica skupa {u ∧ a : a ∈ A}. Neka je t ∈ L proizvoljna gornja granica skupa{u ∧ a : a ∈ A}. Tada je u ∧ a ≤ t za svako a ∈ A. Iskoristimo dokazanu jednakostu + a − u ∨ a = u ∧ a. Dakle, u + a − u ∨ a ≤ t za svako a ∈ A. Sledi da jea ≤ t+u∨a−u ≤ t+u∨ s−u za svako a ∈ A. Sledi da je t+u∨ s−u. Jo² jednomiskoristimo formulu u∧s = u+s−u∨s, odakle sledi u∧s ≤ t. Proizilazi da je u∧snajmanja gornja granica skupa {u∧a : a ∈ A}, odnosno {u∧a : a ∈ A} = u∧supA.

Sledi dokaz vaºne teoreme o osobinama Risovih prostora.

Teorema 6. (Birkofov2 indentitet)Neka je L Risov prostor, i neka su u, v, w ∈ L.Tada vaºi:

|u ∨ w − v ∨ w|+ |u ∧ w − v ∧ w| = |u− v|.

Dokaz. Koristimo redom slede¢e nejednakosti iz teoreme 11), distributivnost, 7) i11):

|u ∨ w − v ∨ w|+ |u ∧ w − v ∧ w| == ((u ∨ w) ∨ (v ∨ w)− (u ∨ w) ∧ (v ∨ w))

+((u ∧ w) ∨ (v ∧ w)− (u ∧ w) ∧ (v ∧ w))

= (w ∨ (u ∨ v)− w ∨ (u ∧ v)) + (w ∧ (u ∨ v)− w ∧ (u ∧ v))

= (w ∨ (u ∨ v) + w ∧ (u ∨ v))− (w ∨ (u ∧ v)− w ∧ (u ∧ v))

= (w + u ∨ v)− w + u ∧ v)

= u ∨ v − u ∧ v = |u− v|.2Garrett Birkho�(1911-1996), ameri£ki matemati£ar


Na osnovu prethodnog, mogu se formulisati i dokazati vaºne nejednakosti u Ri-sovim prostorima.

Teorema 7. Neka je L Risov prostor, i neka je u, v, w, u1, ..., un ∈ L. Tada vaºi:

1) u ≤ v ⇒ (u+ ≤ v+ i v− ≤ u−)

2) ||u| − |v|| ≤ |u+ v| ≤ |u|+ |v| (nejednakost trouglova)

3) |u ∨ w − v ∨ w| ≤ |u− v| i |u ∧ w − v ∧ w| ≤ |u− v| (Birkofove nejednakosti)

4) u, u1, ..., un ∈ L+ ⇒ u ∧ (u1 + ... + un) ≤ u ∧ u1 + ... + un.Ako za svako i 6= jvaºi u ∧ui ∧ uj = 0, onda prethodna nejednakost postaje jednakost.

5) n(u+1 ∧ ... ∧ u+

n ) = n(u1 ∧ ... ∧ un)+ ≤ (u1 + ...+ un)+.

Dokaz.

1) Neka je u ≤ v. Tada je u ≤ v ≤ v ∨ 0 = v+. Kako je i 0 ≤ v+, sledi da jeu+ = u ∨ 0 ≤ v+. Iz −v ≤ −u sledi, analogno, v+ ≤ u+.

2) O£iglendo vaºi u+ v ≤ |u|+ |v|, kao i −(u+ v) = −u− v ≤ |u|+ |v|. Stoga je|u + v| = (u + v) ∨ (−(u + v)) ≤ |u| + |v|. Da bi dokazali drugu nejednakost,primetimo da vaºi |u| = |(u+v)−v| ≤ |u+v|+|v|, odakle sledi |u|−|v| ≤ |u+v|.Analogno, dokazuje se |v| − |u| ≤ |u+ v|, te je

||u| − |v|| = (|u| − |v|) ∨ (|v| − |u|) ≤ |u+ v|.

3) Neposredno sledi iz Birkofovog identiteta.

4) Neka je u, u1, u2 ∈ L+. Jednostavnosti radi, neka je v = u ∧ (u1 + u2). Tadaje v ≤ u1 + u2, odakle sledi v − u1 ≤ u2. Takodje je v − u1 ≤ v ≤ u, teje v − u1 ≤ u ∧ u2. Sledi da je v − u ∧ u2 ≤ u1. Koriste¢i nejednakostv − u ∧ u2 ≤ v ≤ u, dobijamo v − u ∧ u2 ≤ u ∧ u1 i v ≤ u ∧ u1 + u ∧ u2.Ako je u ∧ u1 ∧ u2 = (u ∧ u1) ∧ (u ∧ u2) = 0, onda na osnovu

u ∧ (u1 + u2) 6 u ∧ u1 + u ∧ u2 =

= (u ∧ u1) ∨ (u ∧ u2) + (u ∧ u1 ∧ u2)

= (u ∧ u1) ∨ (u ∧ u2)

= u ∧ (u1 ∨ u2) 6 u ∧ (u1 + u2)

sledi da vaºi u ∧ (u1 ∨ u2) = u ∧ u1 + u ∧ u2. Primetimo da smo iskoristili£injenicu u1 + u2 = u1 ∨ u2 + u1 ∧ u2 ako je u1 ≥ 0 i u2 ≥ 0. Opsti slu£ajdokazuje se indukcijom po n.

5) Na osnovu nejednakosti n(u1 ∧ ... ∧ un) ≤ u1 + ... + un sledi jednostavnon(u1 ∧ ... ∧ un) ≤ (u1 + ...+ un)+. Primetimo da vaºi

n(u+1 ∧ ... ∧ u+

n ) = n{(u1 ∨ 0) ∧ ... ∧ (un ∨ 0)}= n{(u1 ∧ u2 ∧ ... ∧ un) ∨ 0}= n(u1 ∧ u2 ∧ ... ∧ un)+.


Ovim je dokaz zavr²en.�

1.1 Ortogonalni (razdvojeni) vektori

Pojmu ortogonalnosti vektora u Risovim prostorima odgovara razdvojenost vek-tora.

De�nicija 5. Neka je L Risov prostor, i neka su u, v ∈ L. Vektori u i v su uzajemnorazdvojeni ili ortogonalni, u oznaci u ⊥ v, ako je |u| ∧ |v| = 0.

Ako su A,B ⊂ L, onda su A i B uzajemno razdvojeni, u oznaci A ⊥ B, ako zasvako a ∈ A i svako b ∈ B vaºi a ⊥ b.Vektor u ∈ L je razdvojen u odnosu na D ⊂ L, u oznaci u ⊥ D, ako za svako v ∈ Dvaºi u ⊥ v.

Teorema 8. Neka je L Risov prostor, u, v, w ∈ L, λ, µ ∈ R i A ⊂ L. Vaºe slede¢atvrdjenja:

1) Ako je u ⊥ v i u ⊥ w, onda je u ⊥ (λv + µw);

2) u ⊥ v ako i samo ako |u+ v| = |v − u|;

3) Ako je u ⊥ v onda:

|u+ v| = |u|+ |v| = ||u| − |v|| = |u| ∨ |v|.

4) Ako se skup A sastoji od uzajemno razdvojenih ne-nula vektora, tada je skupaA linearno nezavisan.

Dokaz.

1) Pretpostavimo da je u ⊥ v i u ⊥ w. Tada je

0 ≤ |u| ∧ |λv + µw| ≤ |u| ∧ (|λv|+ |µw|)= |u| ∧ (|λ||v|+ |µ||w|)≤ |u| ∧ (|λ||v|) + |u| ∧ (|µ||w|)≤ (1 + |λ|) |u| ∧ (1 + |λ|) |v| ∧ (1 + |µ|) |u| ∧ (1 + |µ|) |w|= (1 + |λ|) (|u| ∧ |v|) + (1 + |µ|) (|u| ∧ |w|)= (1 + |λ|)0 + (1 + |µ|)0 = 0.

2) Moze se primetiti da na osnovu ranije dokazanog identiteta

|u|∧ |v| = 1

2||u+v|− |u−v|| odmah sledi u ⊥ v ⇔ |u|∧ |v| = 0⇔ |u+v| = |u|

3) Ako je ispunjeno u ⊥ v. Tada je |u+ v| = |u− v|. Primenjuje se isti zaklju£akna vektore u i v:

| |u| − |v| |=| |u|+ |v| |= |u|+ |v| = |u| ∨ |v|+ |u| ∧ |v| = |u| ∨ |v|.


Sada je|u+ v| = |u− v| = |u+ v| ∨ |u− v| = |u|+ |v|.

4) Pretpostavimo da su u1, ..., un ∈ A uzajemno razdvojeni vektori, i neka jeα1u1 + ...+ α1un = 0 za neke skalare α1, ..., αn ∈ R. Koristeci £injenicu da zarazdvojene vektore nejednakost trougla ustvari jeste jednakost, te je

0 = |α1u1 + ...+ αnun| = |α1u1|+ ...+ |αnun| = |α1||u1|+ ...+ |αn||un|.

Odavde sledi da je |αi||ui| = 0 za svako i = 1, ..., n. Kako je |ui| > 0 za svakoi, sledi da je αi = 0 za svako i. Dakle, vekori u1, ..., un su linearno nezavisni.�

U istraºivanjima u vezi Risovih prostora, veoma vaºnu ulogu ima i Risova osobinao dekompoziciji.

Teorema 9. (Risova teorema o dekompoziciji) Neka je L Risov prostor, ako suu, v1, ..., vn ∈ L, tako da je

|u| ≤ |v1 + ...+ vn|.

Tada postoje elementi u1, .., un ∈ L, tako da je |ui| ≤ |vi| za svako i, kao i

u = u1 + ...+ un.

osim toga, ako je u pozitivan vektor, onda se moºe podesiti da su i vekotri u1, ..., untakodje pozitivni.

Dokaz. Dokazuje se tvrdjenje za n = 2, a ostatak sledi indukcijom po n. Nekaje, u, v1, v2 ∈ L i |u| ≤ |v1 + v2|. Neka je u1 = (u ∨ (−|v1|)) ∧ |v1|. Na osnovunejednakosti −|v1| ≤ u ∨ (−|v1|) i −|v1| ≤ |v1| sledi da je −|v1| ≤ u1, odnosnou1 ≤ |v1|. Sa druge strane, iz u1 ≤ |v1| sledi |u1| = (−u1) ∨ u1 ≤ |v1|). (Ako bi sedodalo u ≥ 0, onda bi vaºilo u ∨ (−|v1|) = u, te je u ≥ u1 = u ∧ |v1| ≥ 0.)Neka jeu2 = u− u1. (Ako je u ≥ 0, onda je 0 ≤ u2 ≤ u). Tada je

u2 = u− (u ∨ (−|va|)) ∧ |v1| = (0 ∧ (u+ |v1|)) ∨ (u− |v1|).

Kako je |u| ≤ |v1|+ |v2|, sledi da je −|v1| − |v2| ≤ u ≤ |v1|+ |v2|. Stoga je:

−|v2| = (−|v2|) ∧ 0 ≤ (u+ |v1|) ∧ 0

≤ u2 = (0 ∧ (u+ |v1|)) ∨ (u− |v1|) ≤ 0 ∨ (u− |v1|) ≤ |v2|.

Odavde sledi |u2| ≤ |v2|.�Neka je (Lα)α ∈ Λ proizvoljna familija Risovih prostora. Dekartov proizvod ovihprostora de�nisan je na uobi£ajan na£in:

L =∏α∈Λ

Lα,

pri £emu su algebarske operacije u L de�nisane kordinatno:u + v =

∏α∈Λ

(uα + vα), µu =∏α∈Λ

µuα, za u = (uα)α ∈ L, v = (vα)α ∈ L i µ ∈ R.

Uredjenje u L je takodje de�nisano kordinatno:


u = (uα)α ≤ v = (vα)α ako i samo ako uα ≤ vα za svako α ∈ Λ. Jednostavno jeproveriti da (L,≤) jeste uredjen vektorski prostor. Takodje,

(uα)α ∧ (vα)α = (uα ∧ vα)α, (uα)α ∨ (vα)α = (uα ∨ vα)α.

Nije te²ko proveriti da je (L,≤) jeste Risov prostor.

1.2 Solidni podskupovi Risovih prostora

De�nicija 6. Neka je L Risov prostor i neka je S ⊂ L. Skup S je solidan, ako vaºiimplikacija:

(u ∈ L i v ∈ S i |u| ≤ |v|)⇒ u ∈ S

Skup S je balansiran, ako za svako λ ∈ [0, 1] i svako u ∈ S vaºi λu ∈ S.Ako je S solidan skup u Risovom prostoru L, onda je S o£igledno balansiran skup.Na osnovu o£igledne nejednakosti |u| ≤ |u|, ako je S solidan skup, onda trivijalnovaºi ekvivalencija: u ∈ S ako i samo ako |u| ∈ S.

De�nicija 7. Neka je L Risov prostor i neka je A ∈ L. Solidna obvojnica skupa Au L jeste skup

Sol(A) = {v ∈ L : (∃u ∈ A)|v| ≤ |u|}.

Slede¢e tvrdjenje opisuje najmanji solidan skup koji sadrºi proizvoljan podskupRisovog prostora.

Teorema 10. Neka je L Risov prostor i neka je A ⊂ L. Tada je Sol(A) najmanjisolidan skup koji sadrºi skup A.

Sledi dokaz vaºnog rezultata o konveksnoj obvojnici solidnog skupa.

Teorema 11. (Namioka3) Neka je L Risov prostor i neka je S solidan podskup odL. Tada je konveksna obvojnica od S, odnosno skup Co(S) takodje solidan u L.

Dokaz. Neka je S solidan podskup od L, neka je u ∈ Co(S) i neka je v ∈ L sasvojstvom |u| ≤ |v|. Tada postoje vektori u1, ..., u2 ∈ S i skalari λ1, ..., λn ∈ [0, 1) sa

svojstvomn∑i=1

λi = 1, tako da je u =n∑i=1

λiui. Bez gubljenja op²tosti neka je λi = 0

za svako i. Kako je |v| ≤ |u| = |n∑i=1

λiui|, na osnovu Risove dekompozicije sledi

da postoje vektori v1, ..., vn ∈ L tako da je |vi| ≤ |λiui| = λi|ui| za svako i, kao i

v =n∑i=1

vi. Neka je wi =1

λivi. Na osnovu |wi| ≤ |ui| za svako i, sledi da je wi ∈ S za

svako i. Stoga je v =n∑i=1

vi =n∑i=1

λiwi ∈ Co(S), odnosno Co(S) je solidan skup.�

Razmatra se pojam uredjajene konvergencije mreºa u Risovim prostorima. Neka jeL Risov prostor, i neka je (uα)α∈Λ rastu¢a mreºa. Drugim re£ima, ako je α, β ∈ Λ iα ≤ β, tada je uα ≤ uβ. Pri tome vodi se ra£una da je istim simbolom ≤ ozna£eno

3Isaac Namioka (1928-), japansko-ameri£ki matemati£ar


uredjenje u indeksnom skupu Λ i u Risovom prostoru L. Mreºa (uα)α je opadaju¢a,ako iz α ≤ β sledi uα ≥ uβ. Ako je (uα)α rastu¢a mreºa u Risovom prostoru, i akopostoji u = sup{uα : α ∈ Λ}, onda je oznaka uα ↑ u. Ako je (uα)α opadaju¢a mreºau Risovom prostoru, i ako postoji u = inf{uα : α ∈ Λ}, onda je oznaka uα ↓ u. Moºese de�nisati konvergencija mreºe u odnosu na uredjenje (uredjna konvergencija) uRisovom prostoru.

De�nicija 8. Neka je L Risov prostor, u ∈ L i neka je (uα)α mreºa u L. Mreºa(uα)α konvergira ka u u odnosu na uredjenje (uredjeno konvergira), u oznaci uα

o−→u, ako postoji mreºa (vα)Λ, tako da je vα ↓ 0 i |uα−α| ≤ vα za svako α ∈ Λ. U tomslu£aju u je uredjena granica (uα)α.

Napominje se da u prethodnoj de�niciji se zahteva isti usmeren skup Λ za mreºe(uα)Λ i (vα)Λ .Sledi rezultat koji tvrdi da je uredjena granica mreºe jedinstveno odredjena.

Teorema 12. Neka je L Risov prostor. Ako je mreºa (uα)α uredjajno konvergira,onda postoji ta£no jedna uredjajna granica ove mreºe.

Dokaz. Ako je je uαo−→ u i uα

o−→ v. Tada postoje mreºe (uα) i (vα) sa svojstvima:uα ↓ 0 i vα ↓ 0, kao i |uα− u| ≤ uα i |uα− v| ≤ vα za svako α. Tada za svako α vaºi:

|u− v| ≤ |u− uα|+ |uα − v| ≤ uα + vα.

Kako je (uα + vα) ↓ 0, sledi da je |u− v| = 0, te je u = v.�Mogu se dokazati osnovna svojstva uredjajne konvergencije u Risovim prostorima.

Teorema 13. Neka je L Risov prostor i neka za mreºe (uα)α∈Λ i (vβ)β∈∆ vaºiuα → u i vβ → v vaºe slede¢a tvrdjenja:

1) |uα|o−→ |u|

2) λuα + λvβo−→ λu+ µv;

3) u+α

o−→ u+, u−αo−→ u−;

4) uα ∨ vβo−→ u ∨ v, uα ∧ vβ

o−→ u ∧ v

Napomena: u tvrdjenjima 2) i 3) ove teoreme kao indeksni skup koristi se Λ×∆.Ovaj skup jeste usmeren u odnosu na uredjenje:

(α1, β1) ≤ (α2, β2)⇔ (α1 ⇔≤ α2 i β1 ≤ β2).

Teorema 14. Neka je L Risov prostor i neka je (uα)α mreºa u L. Tada vaºetvrdjenja:

1) Ako uα ↑ 0 ili uα ↓ 0, onda uαo−→ 0;

2) Ako uα ↑ u ili uα ↓ u, onda uαo−→ u;

3) Neka postoji α1 ∈ Λ tako da je za svako α ≥ α1 ispunjeno uα ≤ w.Ako jeuα

o−→ u, onda je u ≤ w;


4) Ako uα ↑ i uα ↓ u, onda uαo−→ u.

Neka je L Risov prostor i neka je S ⊂ L. Skup S je uredjajno zatvoren, ako Ssadrºi uredjajne granice svih svojih uredjajno konvergentnih mreºa. Drugim re£ima,S je uredjano zatvoren, ako za svaku mreºu (uα)α u S sa svojstvom uα

o−→ u, vaºiu ∈ S.Ako je (Λ,≤) ≡ (N,≤), odnosno usmereni skup je skup prirodnih brojeva sa prirod-nim uredjenjem, onda se dobija slabija vrsta uredjenje konvergencije. Neka je (un)nniz u Risovom prostoru L. Niz (un)n uredjajno konvergira ka u ∈ L, ako postoji niz(vn)n tako da je vn ↓ 0 i |un− u| ≤ vn za svako n ∈ N . Oznaka je un

o−→ u. Skup Sje σ-zatvoren u L, ako S sadrºi uredjane granice svih svojih uredjajno konvergent-nih nizova. Drugim re£ima, S je σ-uredjeno zatvoren ako za svaki niz (un)n u S sasvojstvom un

o−→ u, vaºi u ∈ S.Skup N je specijalan usmeren skup. Stoga svaki uredjanjo zatvoren skup mora bitii uredjano σ-zatvoren. Obrtno tvrdjenje u op²tem slu£aju ne vaºi.Jednostavno je opisati uredjajnu zatvorenost solidnih skupova.

Teorema 15. Neka je L Risov prostor i neka je S solidan skup u L. Slede¢a tvrdjenjasu ekvivalentna;

1) S je uredjajno zatvoren;

2) Za svaku mreºu (uα)α u S, ako je 0 ≤ uα ↑ u, onda u ∈ S.

Dokaz. 1) ⇒ 2): Neka je S uredjajno zatvoren. Ako je uα ↑ u, onda je uαo−→ u,

te je u ∈ S.2) ⇒ 1): Neka vaºi svojstvo 2) i neka je (uα)α proizvoljna mreºa u S sa svojstvomuα

o−→ u. Postoji mreºa (vα)α sa svojstvima vα ↓ 0 i |uα − u| ≤ vα za svako α.Moºe se primetiti da je 0 ≤ (|u| − vα)+. Iz vα ↓ 0 sledi (|u| − vα) ↑ |u|, te je i(|u| − vα)+ ↑ |u| . Na osnovu vα ↓ 0 sledi vα ≥ 0, te je |vα| = vα. Sada imamo da je

|u| − |uα| ≤ ||u| − |uα|| ≤ |u− uα| ≤ |vα|,

te je|u| − vα = |u| − |vα| ≤ |uα|.

Sledi da je (|u| − vα)+ ≤ |vα|. Kako je uα ∈ S, i skup S je solidan, sledi da je(|u|)+ ∈ S za svako α. Na osnovu (|uα| − vα) ↑ |u| i osobine 2) sledi da je |u| ∈ S.Jo² jednom sledi da je |u| ∈ S. Jo² jednom, u ≤ |u| i S je solidan skup, te je u ∈ S.Na taj na£in je dokazano da je S uredjajnp zatvoren skup. Analogno se dokazujerezultat u vezi uredjanje σ -zatvorenosti.�

Teorema 16. Neka je L Risov prostor i neka je S solidan skup u L. Slede¢a tvrdjenjasu ekvivalentna:

1) S je uredjano σ-zatvoren,

2) Za svaki niz (un)n u S, ako je 0 ≤ un ↑ u, onda u ∈ S.


1.3 Ideali, trake i Risovi potprostori

Razmatra¢e se specijalni vektorski potprostori Risovih prostora.

De�nicija 9. Neka je L Risov prostor i A vektorski potprostor od L.Ako je A solidan, onda je A ideal u L.Ako je A ideal u L i A uredjajno σ-zatvoren, onda je A σ-ideal u L.Ako je A ideal u L i ako je A uredjajno zatvoren, onda je L traka u L.

Dokazuju se nekoliko jednostavnih tvrdjenja.

Teorema 17. Ako je L Risov prostor i ako su M , N ideali u L, onda je M + Nideal u L.

Dokaz. M i N su vektorski potprostori od L, te je trivijalno M + N vektorskipotprostor od L. Neka je u ∈ L i v ∈M +N , tako da je u ≤ |v|. Tada je v = p+ q,pri £emu je p ∈ M i q ∈ N . Sledi da je u ≤ |p + q|. Na osnovu Risove teoreme odekompoziciji, postoje vektori p1 ∈ M i q1 ∈ N , tako da je u = p1 + q1, |p1| ≤ |p| iq1 ≤ q. SkupoviM iN su solidni, te je p1 ∈M i q1 ∈ N . Dakle, u = p1+q1 ∈M+N .Na osnovu prethodnog proizilazi da jeM +N solidan skup, te jeM +N ideal u L.�

Teorema 18. Neka je M ideal u Risovom prostoru. Tada:

1) M je traka, ako i samo ako: iz 0 ≤ uα ↑ u i uα ∈ M za svako α ∈ Λ, slediu ∈M ;

2) M je σ-ideal, ako i samo ako: iz 0 ≤ un ↑ u i un ∈ M za svako n ∈ N, slediu ∈M .

Dokaz. 1) Neka je M ideal u L. Vaºi slede¢i lanac ekvivalencija: M je traka,ako i samo ako M je uredjajno zatvoren, ako isamo ako M sadrºi supremume svihrastu¢ih mreºa u M .2) Analogno sa 1).�Neka je M potskup Risovog prostora L. Presek svih ideala u L koji sadrºe skup Mjeste:

Ideal(M) =⋂

Aje ideal uL ,M⊂A

A.

Teorema 19. Ideal(M) je najmanji ideal koji sadºi M .

Dokaz. Ideal(M) je o£igledno vektorski potprostor od L, jer je de�nisan kao presekvektorskih prostora. Takodje, Ideal(M) je solidan skup, jer je de�nisan kao preseksolidnih skupova. Sledi da je Ideal(M) ideal u L.�Ideal(M) je ideal generisan skupom M .

Teorema 20. Ako je M ⊂ L, onda je

Ideal(M) = {u ∈ L : (∃u1, ..., un)(∃λ ≥ 0)|u| ≤ λn∑i=1

|ui|}.


Dokaz. Neka je

N = {u ∈ L : (∃u1, ..., un)(∃λ ≥ 0)|u| ≤ λ

n∑i=1

|ui|}.

O£igledno je M ⊂ N (n = 1, u1 = u ∈M).Neka je u, v ∈ N i α, β ∈ R.Tada postoje u1, ..., un ∈ M i λ ≥ 0, tako da je

|u| ≤ λn∑i=1

|ui|. Takodje, postoje v1, ..., vn ∈ M i µ ≥ 0, tako da je |v| ≤ µm∑i=1

|vi|.

Neka je γ = max{λ|α|+ µ|β|}. Tada je

|αu+ βv| ≤ γ(|u1|+ ...+ |un|+ |v1|+ ...+ |vm|).

Time je dokazano da je αu+ βv ∈ N . Dakle, N je vektorski potprostor od L.

Neka je w ∈ L sa svojstvom |w| ≤ u. Tada je trivijalno |w| ≤ λn∑i=1

|ui|, te je w ∈ N .

Ovim je dokazano da je N solidan skup. Time je dokazano da je N ideal koji sadrºiskup M , te je Ideal(M) ⊂ N .U cilju dokazivanja obrnute inkluzije, neka je A proizvoljan ideal u L sa svojstvom

M ⊂ A. Neka je u ∈ N . Kao u prethodnom delu, vaºi |u| ≤ λn∑i=1

|ui|, pri £emu je

u1, ..., un ∈M ⊂ A, λ ≥ 0. Kako je A vektorski prostor, sledi da je λu1, ..., λun ∈ A.A je solidan skup, te je u ∈ A. Dakle, vaºi N ⊂ A. Sledi da je N sadrºan u svakomidealu A sa svojstvom M ⊂ A. Stoga je N ⊂ Ideal(M).�Ako je u ∈ L iM = {u}, onda je Ideal({u}) ≡ Ideal(u) glavni ideal u L. Na osnovuprethodnih rezultata formuli²e se posledica:

Posledica 21. Ako je u ∈ L, onda je

Ideal(u) = {v ∈ L : (∃λ ≥ 0)|v| ≤ λ|u|}.

De�nicija 10. Element e ∈ L je uredjajna jedinica ili storga jedinica, ako je e > 0i Ideal(e) = L. Ekvivalentno, e > 0 je uredjajna jedinica u L, ako za svako u ∈ Lpostoji λ > 0 tako da je |u| ≤ λe(ili takodje ekvivalentno, u ≤ λe).

De�nicija 11. Neka je L Risov prostor i A vektorski potprostor od L. A je Risovpotprostor, ako je A Risov prostor sam za sebe. Ekvivalentno, A je Risov potprostorod L ako i samo ako za svako u, v ∈ A vaºi u ∨ v ∈ A, pri £emu je u ∨ v uzet kaosupremum u L.

Sledi dokaz nekoliko jednostavnih tvrdjenja.

Teorema 22. Neka je A vektorski potprostor Risov prostora L. A je Risov potpro-stor od L ako i samo ako za svako u ∈ A vaºi u+ ∈ A.

Dokaz. Neka je A Risov potprostor od L i neka je u ∈ L. Tada je u+ = u ∨ 0 ∈ L.Obratno, neka za svako w ∈ A vaºi w+ ∈ A i u, v ∈ A. Tada je (Teorema 33))u ∨ v = (u − v)+ + v. Po pretpostavci, (u − v)+ ∈ A. Takodje, A je vektorskiprostor, te je (u − v)+ + v ∈ A. Time je dokazano u ∨ v ∈ A, odakle sledi da je ARisov potprostor.�


Teorema 23. Ako je A ideal u Risovom prostoru L, tada je A Risov potprostor odL.

Dokaz. A je solidan skup, te potse¢amo na ekvivalenciju u ∈ A ako i samo ako|u| ∈ A. Ako je u ∈ A, onda na osnovu 0 ≤ u+ ≤ |u| sledi u+ ∈ A. Na osnovuTeoreme 22 proizilazi da je A Risov potprostor. �Obrnuto tvrdjenje ne vaºi u op²tem slu£aju, ²to pokazuje slede¢i primer.

Primer 1. Neka je R2, pri £emu je uredjenje koordinatno de�nisano. Dakle, (u, v) ≤(x, y) ako i samo ako u ≤ x i v ≤ y. Neka je A = {(u, u) : u ∈ R}. Tada je A Risovpotprostor od R2 ali nije ideal u R2.

Lako se dokazuje slede¢i rezultat.

Teorema 24. Neka je A Risov potprostor Risovog prostora L. Slede¢a tvrdjenja suekvivalentna:

1) A je ideal u L;

2) (∀u, v ∈ L) ((0 ≤ u ≤ v i v ∈ A) =⇒ u ∈ L).

De�nicija 12. Neka je L Risov prosto i neka je A Risov potprostor od L. UtapanjeA ⊂ L £uva proizvoljne supremume i in�mume, ako za svaki podskup M ⊂ A vaºislede¢e:

1) Ako postoji v = supM u A, onda postoji i u = supM u L, pri £emu je u = v;

2) Ako postoji v = inf M u A, onda postoji i u = inf M u L, pri £emu je u = v.

Analogno se de�ni²e utapanje koje £uva supremume i in�mume prebrojivih sku-pova.Iz £injenice da je A Risov potprostor sledi da utapanje A ⊂ L £uva kona£ne supre-mume i in�mume. Stoga prethodna de�nicija ima netrivijalnu promenu samo akoje M beskona£an skup.

De�nicija 13. Neka je A Risov potprostor Risovog prostora L.

1) A je regularan, ako utapanje A ⊂ L £uva proizvoljne supremume i in�mume;

2) A je σ-regularan, ako utapanje A ⊂ L £uva supremume i in�mume prebrojivihskupova;

3) A je majoriraju¢i, ako za svako u ∈ L postoji v ∈ L tako da je u ≤ v.

Teorema 25. Neka je L Risov prostor i neka je A Risov potprostor od L. Slede¢atvrdjenja su ekvivalentna:

1) A je regularan Risov potprostor od L;

2) Ako mreºa (uα)α u A zadovoljava uα ↓ 0 u A, onda uα ↓ 0 vaºi i u L;

3) Ako mreºa (uα)α u A zadovoljava uαo−→ u u A, onda uα

o−→ u u L.


1.4 Razdvojeni komplementi

Podsetimo da se u unitarnom prostoru na osnovu skalarnog proizvoda de�ni²eortogonalnost vektora, a zatim i ortogonalnost komplamenta skupova. U Risovimprostorima umesto ortogonalnosti vektora razmatraju se razdvojeni vektori. Na tajna£in dolazi se do pojma razdvojenih komplemenata.

De�nicija 14. Neka je L Risov prostor i neka M ⊂ L. Razdvojeni komplementskupa M u L jeste skup

Md = {u ∈ L : (∀v ∈M)u⊥v}.

Induktivno, (Md)d = Mdd.

Teorema 26. Neka su M,N podskupovi Risovog prostora L. Tada vaºi:

1) Md je traka u L;

2) M ∩Md = 0,M ⊂Mdd;

3) Ako je M ⊂ N , onda je Nd ⊂Md.

Dokaz.

1) Neka je u, v ∈ Md, α, β ∈ R, i neka je w ∈ M proizvoljan. Ta je w ⊥ u iw ⊥ v, odakle sledi w ⊥ (αu + βv). Stoga je αu + βv ∈ Md, odnosno Md jevektorski potprostor od L.Neka je (uα)α mreºa u Md sa svojstvom uα → u. Za proizvoljno w ∈ M vaºiuα ⊥ w, odnosno |uα| ∧ |w| = 0. Na osnovu osobina uredjajne konvergencije,sledi da je ispunjeno

|uα| ∧ |w|o−→ |u| ∧ |w| = 0.

Proizilazi da je u ∈Md, odnosno M je uredjano zatvoren.Neka je u ∈ Md, z ∈ L,w ∈ M , tako da je |z| ≤ |u|. Tada je 0 ≤ |z| ∧ |w| ≤|u| ∧ |w| = 0. Sledi da je z ∈Md, odnosno Md je solidan skup.Time smo pokazali da je Md traka.

2) Ako je u ∈ M ∩Md. Tada je |u| = |u| ∧ |u| = 0, odakle sledi da je u = 0.Dakle, M ∩Md = 0. Po de�niciji skupova M i Mdd sledi M ⊂Mdd.

3) O£igledno.�

Teorema 27. Neka je L Risov prostor. Tada vaºi:

1) Ako je A ideal u L, tada je A uredjajno gust u Add,

2) Neka je A ideal u L. A je uredjajno gust u L ako i samo ako je Ad = 0.

Dokaz.


1) Neka je A ideal u L. Pretpostavimo da A nije uredjajno gust u Add. Tadapostoji neko u ∈ Add, u > 0, tako da ni za jedno v ∈ A ne vaºi 0 < v ≤ u. Nekaje w ∈ A proizvoljno, odakle sledi i |w| ∈ A. Tada je 0 < |w|∧u ≤ |w|. Kako jeA solidan skup, mora biti |w|∧u ∈ A. Kako ne moºe biti 0 < |w|∧u ≤ u moravaºiti |w| ∧ u = 0, odnosno w ⊥ u. Sledi da je u ∈ Ad. Dakle, u ∈ Ad ∩ Add,te je u = 0.

2) Ako je Ad = 0, onda je Add = L, te je A uredjajno gust u L. Sa druge strane,neka je A uredjajno gust u L. Ako postoji u sa svojstvom 0 ∈ A ∩ Ad, ondapostoji neko v ∈ A tako da je 0 < v ≤ u. Ad je solidan, te je v ∈ A ∩ Ad = 0,²to nije mogu¢e. Sledi Ad = 0. �

Ako su M,N potprostori u L, tako da je M ∩N = 0, tada je M +N = M ⊕N .Ako su pri tom M i N ideali u Risovom prostoru L, M ⊕N je takodje ideal u L.

Teorema 28. Ako je A ideal u Risovom prostoru L, tada je ideal A⊕Ad uredjajnogust u L.

Ako je u ∈ (A ⊕ Ad)d. Tada je u ∈ Ad ∩ Add, te je u = 0. Prema prethodnojteoremi sledi da je A ∩ Ad uredjajno gust u L.

De�nicija 15. Risov prostor L je Arhimedov, ako vaºi slede¢i uslov

(∀u, v ∈ L+)(∀n ∈ N)(nu ≤ v ⇒ u = o).

Napomena 1. Neka je L Arhimedski Risov prostor. Ako je A Risov potrprostorod L, onda je A Arhimedski prostor. Ako je A Arhimedskii Risov prostor, onda jeL× A Arhimedski Risov prostor.

Neka je L Risov prostor, u ∈ L+ i neka je A potprostor od L. De�ni²emo skup

Au = v ∈ A : 0 ≤ v ≤ u.

Na osnovu 0 ∈ Au sledi da je Au neprazan.

Teorema 29. Neka je L Arhimedski Risov prostor i neka je A Risov potprostor odL. Slede¢a tvrdjenja su ekvivalentna:

1) A je uredjajno gust u L;

2) Za svako u ∈ L+ vaºi u = supAu;

3) Za svako u ∈ L+ postoji mreºa (vα)α u A sa svojstvom 0 ≤ vα ↑ u u L.

2)⇔ 3): O£igledno.1) ⇔ 2): Ako vaºi tvrdjenje 1) a ne vaºi tvrdjenje 2). Tada Postoji x ∈ L+, takoda ne vaºi u = supAu. Element u je gornja granica skupa Au u skupu L, ali nijenajmanja gornja granica skupa Au u skupu L. Stoga postoji najmanja granica skupaAu u skupu L. Neka je to element w ∈ L. Tada je w < u. Dakle, ako je v ∈ A i0 ≤ v ≤ u, onda je v ≤ w. Kako je u − w > 0, na osnovu uredjajne gustine skupaA u L sledi da postoji z ∈ A sa svojstvom 0 < z ≤ u − w. Kako je u − w < u,


sledi da mora biti 0 < z < u, te z ∈ Yu, odakle sledi z < w. Proizilazi da je2z < (u−w)+w = u. Odavde sledi opet 2z ≤ w, te je 3z < u−w+w = u i 3z < w.Indukcijom se dolazi do zaklju£ka nz < u. Prostor L je Arhimedov, te mora bitiz = 0. Poslednji zaklju£ak je u kontradikciji sa 0 < z ≤ u − w. Sledi da tvrdjenje2) vaºi.2)⇔ 1) : O£igledno.�

Slede¢i rezultat povezuje Arhimedske Risove prostore i razdvojene komplementetraka u tim prostorima.

Teorema 30. Neka je L Risov prostor. Slede¢a tvrdjenja su ekvivalentna:

1) L je Arhimedov prostor;

2) Ako je (λα)α ograni£ena mreºa u R sa svojstvom λα → 0 u R, tada za svakou ∈ L vaºi λαu→ 0;

3) Ako je (λn)n niz u R sa svojstvom λn → 0 u R, tada za svako u ∈ L vaºiλnu→ 0 u L:

4) Ako je B traka u L, onda je B = Bdd;

5) Ako je ∅ 6= M ⊂ L+ i

N = {u ∈ L : (∀v ∈M)0 ≤ u ≤ v},

tada je inf{v − u : v ∈M,u ∈ N} = 0.

1.5 Linearni operatori

Neka su L i M Risovi prostori. Linearno preslikavanje π : L → M je linearanoperator. Posebno su vaºni operatori koji su saglasni sa uredjenjima na prostorima.Vaºna napomena je da su svi operatori linearni pa se pridev linearan izostavlja.

De�nicija 16. Neka su L i M Risovi prostori i neka je π : L → M operator.Operator π je Risov operator, ako vaºi:

(u, v ∈ L)(u ∧ v = 0⇒ πu ∧ πv = 0).

Risov operator se naziva i homomor�zam vektorskih re²etki.

Sledi dokaz vaºnih karaktaristika Risovih homomor�zama.

Teorema 31. Neka su L i M Risovi prostori i neka je π : L→M operator. Slede¢atvrdjenja su ekvivalentna:

1) π je Risov operator;

2) Za svako u, v ∈ L vaºi π(u ∧ v) = π(u) ∧ π(v);

3) Za svako u, v ∈ L vaºi π(u ∨ v) = π(u) ∨ π(v);


4) Za svako u, v ∈ L, ako je u ∧ v = 0, onda je π(u ∨ v) = π(u) ∨ π(v);

5) Za svako u ∈ L+ vaºi π(u)+ = π(u+);

6) Za svako u ∈ L vaºi π(|u|) = |π(u)|.

Dokaz. 1) ⇒ 2): Neka je u, v ∈ L i w = u ∧ v. Tada je 0 = u ∧ v − w =(u− w) ∧ (v − w), te je prema osobini 1) ispunjeno

0 = π((u− w) ∧ (v − w)) = π(u− w) ∧ π(v − w)

= (π(u)− π(w)) ∧ (π(v)− π(w)) = π(u) ∧ π(w).

Odavde sledi π(u) ∧ π(v) = π(w).2)⇒ 3): Neka je u, v ∈ L. Na osnovu formule u+ v = u∨ v+u∧ v, kao i na osnovuosobine 2), sledi da je ispunjeno

π(u ∨ v) = π(u) + π(v)− π(u) ∧ π(v) = π(u) ∨ π(v).

2)⇒ 3): O£igledno.4)⇒ 5): Neka je u ∈ L+. Tada je u = u+ = u ∨ 0. Kako je u ∧ 0 = u+ ∧ 0 = 0, naosnovu osobine 4) sledi da vaºi:

π(u)+ = π(u) ∨ 0 = π(u ∨ 0) = π(u+)

.5)⇒ 6): Na osnovu osobine 5) vaºi:

π(u−) = π(u+ − u) = π(u+)− π(u) = π(u−).

Stoga jeπ(|u−|) = π(u+ − u−)− π(u+)− π(u)− = |π(u)|.

6)⇒ 1): Iskoristimo formulu u∧ v =1

2(u+ v− |u− v|). Na osnovu osobine 6) sledi:

π(u ∧ v) =1

2(π(u) + π(v)− |π(u)− π(v)|) = π(u) ∧ π(v).�

Teorema 32. Neka su L i M Risovi prostori i neka je π : L → M operator, tadaje π pozitivan operator.

Neka je π Risov homomor�zam, i neka je u ∈ L+. Tada je 0 ≤ π(u)+ = π(u+) =π(u).

Skup svih Risovih operatora iz L u M ozna£ava se sa R(L,M). Ako je π ∈R(L,M), tada je ker(π) = {u ∈ L : π(u) = 0} jezgro operatora π.

Teorema 33. Neka su L i M Risovi prostori i neka je π ∈ R(L,M). Tada jeker(π) ideal u L.


Dokaz. ker(π) je trivijalno potprostor od L. Na osnovu π(|u|) = |π(u)| sledida je u ∈ ker(π) ako i samo ako je |u| ∈ ker(π). Neka je stoga u ∈ ker(π) iw ∈ L sa svojstvom |w| ≤ |u|. Tada je, zbog pozitivnosti operatora π, ispunjeno0 ≤ π(|w|) ≤ π(|u|) = 0. Sledi w ∈ ker(π), te je ker(π) solidan skup, sledi da jeker(π) ideal u L.

De�nicija 17. Neka su L,M Risovi prostori i neka je π ∈ R(L,M), π je normalanRisov operator, ako za svaku mreºu (uα)α u L vaºi implikacija:

uαo−→ u u L =⇒ π(uα)

o−→ π(u) u M.

Skup svih normalnih Risovih operatora iz L u M ozna£en je sa RN (L,M).

Teorema 34. Neka su L, M Risovi prostori i neka je π ∈ R(L,M) preslikavanje"na". Tada su slede¢a tvrdjenja ekvivalentna:

1) π je normalan;

2) ker(π) je traka u L.

Dokaz. 1) ⇒ 2):Na osnovu prethodne teoreme,sledi da je ker(π) ideal u L. Nekaje (uα)α proizvoljna mreºa u ker(π) sa svojstvom 0 ≤ uα ↑ u. Potrebno je dokazatiu ∈ ker(π). Kako je π normalan i uα

o−→ u, sledi da je 0 ≤ π(uα) ↑ π(u). Kako jeπ(uα) = 0 za svako α, mora biti π(u) = 0. Dakle, u ∈ ker(π).2)⇒ 1): Ako je ker(π) traka u L. Da bi se dokazalo da je π normalan Risov operator,dovoljno je razmatrati familije koje opadaju ka 0 u L. Neka je, (uα)α familija u Lsa svojstvom uα ↑ 0. Ako postoji neko v ∈M sa svojstvom 0 ≤ v ≤ π(uα) za svakoα. Neka je wα = (z+ − uα)+. Iz uα ↓ 0 sledi z+ − uα ↑ z+, te je i wα ↑ z+. Takodjeje:

π(wα) = (π(z)+ − π(uα))+ = (v − π(uα))+ = 0.

Sledi wα ∈ ker(π) za svako α. Iz £injenice da je ker(π) traka, kao i wα ↑ z+, sledida je z+ ∈ ker(π). Na kraju, v = π(z) = (π(z))+ = π(z+) = 0, te je v ∈ ker(π).Time je dokazano da je π normalan Risov operator.�

Teorema 35. Neka su L, M Risovi prostori i neka je π ∈ R(L,M) preslikavanje�na�. Ako je S solidan skup u L, tada je π(S) solidan skup u M .

Dokaz. Neka je S solidan skup u L, i neka u, v ∈ L zadovoljavaju uslove u ∈ π(S)i |v| ≤ |u|. Tada postoje p ∈ S i q ∈ L tako da je π(p) = u i π(q) = v. Neka jew = [(−|p|) ∨ q] ∧ |q|. O£igledno vaºi |w| ≤ |p| u L. Skup S je solidan i p ∈ S, te jew ∈ S. Takodje vaºi:

π(w) = [(−|π(p)) ∨ π(q)] ∧ |π(p)| = π(q).

Stoga je π(q) = v ∈ π(S). Time je dokazano da je π(S) solidan skup.�Neka je L Risov prostor i neka je M potprostor od L. Tada je L/M koli£ni£ki

vektorski prostor, £ije elemente ozna£avamo sa [u]M ≡ [u], pri £emu je u ∈ L. Akoje [u], [v] ∈ L/M , α ∈ R, pri £emu je u, v ∈ L, tada su operacije u L/M de�nisanekao

α[u] = [αu], [u] + [v] = [u+ v].


Na taj na£in L/M je vektoriski prostor. Prirodno preslikavanje Q : L −→ L/M ,de�nisano kao Q(u) = [u], jeste operator �na�.

Teorema 36. Ako je L Risov prostor, M ideal u L i neka je Q : L −→ L/Modgovaraju¢i kanonski operator. Tada je Q(L+) konus u L/M .

Dokaz. Neka je [u], [v], [w] ∈ Q(L+), α ∈ R, α ≥ 0 pri £emu je u, v, w ∈ L+.Jednostavno sledi [u] + [v] = [u + v] = Q(u + v) ∈ Q(L+). Takodje, αu ∈ L+, sledida je α[u] = [αu] = Q(αu) ∈ Q(L+). Ako je [u] ∈ Q(L+) ∩ (−Q(L+)), tada je[v] = Q(p) = Q(w), p ∈ L+ i w ∈ −L+. Sledi 0 = Q(p−w) i p−w ∈M . Na osnovup,−w ∈ L+ sledi 0 ≤ −w ≤ p − w ∈ M . Kako je M ideal, sledi da je M solidanskup, te je −w ∈ M . Iz p− w ∈ M sada sledi u ∈ M . Dakle, [u] = [v] = 0 u L/M .Time smo dokazali da je Q(L+) konus u L/M .�

Ako je L Risov prostor iM traka u L vaºi¢e nadalje da je L/M uredjen vektorskiprostor, pri £emu je uredjenje de�nisano u odnosu na konus Q(L+):

[u] ≤ [v] u L/M ⇐⇒ [v]− [u] ∈ Q(L+)

⇐⇒ (∃u1, v1 ∈ L)([u] = [u1], [v] = [v1], u ≤ v uL).

Teorema 37. Ako je L Risov prostor i M ideal u L, tada je L/M Risov prostor.Osim toga, kanonski operator Q : L =⇒ L/M je Risov operator �na�.

Dokaz. U cilju dokazivanja da je L/M Risov prostor, dovoljno je dokazati da zasvako [u] ∈ L/M postoji [u]+ ∈ L/M . Neka je u ∈ L. Tada je u ≤ u+ i 0 ≤ u+.Na osnovu Teoreme 36 sledi [u] ≤ [u+] i 0 ≤ [u+] u L/M . Ako je v ∈ L proizvoljanelement sa svojstvom [u] ≤ [v] i 0 ≤ [v] u L/M , tada postoje u1 ∈ [u] i v1, v2 ∈ [v]sa svojstvima u1 ≤ v1 i 0 ≤ v2.Primetimo da je (v1 − v2)+ = (v1 − v2) ∨ 0 = (v1 − v2) ∨ 0 + v2 − v2 = v1 ∨ v2 − v2,te je v1 ∨ v2 = v2 = v2 + (v1 − v2)+. Sada je

u = u1 + (u− u1) ≤ v1 ∨ v2 + (u− u1)+ = v2 + (v1 − v2)+ + (u− u1)+

Zbog [u] = [u1] i [v − 1] = [v2] = [v] sledi da je v1 − v2 ∈ M i u − u1 ∈ M. M jeideal, te je (v1 − v2)+ ∈M i (u− u1)+ ∈M . Prema tome,

u ∈ v2 +M.

Takodje jev2 + (v1 − v2)+ + (u− u1)+ ≥ 0.

Sledi da jeu+ ≤ v2 + (v1 − v2)+ + (u− u1)+,

te je[u+] ≤ [v2 + (v1 − v2)+ + (u− u1)+] = [v2] = [v].

Prema tome, [u+] je najmanji pozitivan vektor u L/M za koji vaºi implikacija:

[u] ≤ [v] i 0 ≤ [v] =⇒ [u+] ≤ [v].


Sledi da je [u+] ≤ [u]+.Iz £injenice da za proizvoljan element [u] ∈ L/M sledi da postoji [u]+ u L/M ondavaºi da je L/M Risov prostor. Na osnovu Q(u+) = [u+] = [u]+ = Q(u)+ sledi daje Q Risov prostor. Na osnovu Q(u+) = [u+] = [u]+ = Q(u)+ sledi da je Q Risovoperator.O£igledno, Q je preslikavanje �na�.�

Na osnovu prethodnog rezultata sledi posledica.

Posledica 38. Ako je L Risov prostor, M ideal u L i neka je Q : L =⇒M kanonskioperator. Operator Q je normalan, ako i samo ako je M traka u L.

1.6 Kompletnost i projekcione osobine

Neka je L proizvoljan Risov prostor.Za proizvoljne elemente u, v ∈ L sa svojstvomu 6 v, interval [u, v] je podskup od L de�nisan sa [u, v] = {w ∈ L : u ≤ w ≤ v}.Podskup A od L je ograni£en odozgo ako postoji neki element u ∈ L koji zadovoljavaa ≤ u za svako a ∈ A.Ograni£en odozdo se de�ni²e analogno.A ⊂ L je ograni£en ako je ograni£en odozgo i odozdo ili ekvivalentno ako je Apodskup nekog drugog intervala.

De�nicija 18. Risov prostor je:

1) Dedekind kompletan ako svaki neprazan podskup od L koji ograni£en odozgoima supremum;

2) Dedekind σ-kompletan ako je svaki broj podgrupa koji je ograni£en odozgo imasupremum;

3) Skoro Dedekind σ-kompletan ako je L Risov izomor�zam izmedju gustog Riso-vog podprostora i Dedekind σ-kompletnog Risovog prostora.

Svaki Dedekind σ-kompletan Risov prostor L je Arhimedov (Ako 0 ≤ nu ≤ vvaºi za svako n, kako postoji supremum m = sup{nu : n = 1, 2, ...} u L iz relacijenu = (n+ 1)u− u 6 m− u onda je m 6 m− u. Dakle, u 6 0 i samim tim u = 0).Sve klase Risovog prostora su Arhimedove.

Lema 39. Risov prostor L je Dedekind kompletan ako i samo ako za svaki niz uαu L koji zadovoljava 0 ≤ uα ↑≤ v u L imamo uα ↑ u za neko u.Sli£no tome, Risov prostor L je Dedekind σ-kompletan ako i samo ako za svaki nizun u L koji zadovoljava 0 ≤ un ↑≤ v vaºi un ↑ u za neko u.

Dokaz. Slede¢a tvrdjenja se mogu lako dokazati:

1) Ako je D neprazan podskup u uredjenom vektorskom prostoru, onda je Dgornja granica svih supremuma od D koji imaju istu gornju granicu.

2) Ako je D rastu¢i podskup u uredjenom vektorkom prostoru i u ∈ D �ksiranielement. Tada supD postoji ako i samo ako rastu¢i podskup D1 = {v − u :v ∈ D i v ≥ 0} u L+ ima supremum - u tom slu£aju imamo supD1 =supD − u.�


Slede¢i rezultat igra¢e klju£nu ulogu u ovoj pri£i.

Teorema 40. Neka je K naro£ito gust Risov podprostor Arhimedovog Risovog pro-stora L. Ako je K Dedekind kompletan, onda je K ideal od L.

Dokaz. Ako je 0 ≤ u ≤ v gde je v ∈ K i u ∈ L. Kako je L Arhimedov i K je gustu L, postoji niz uα od K koji zadovoljava 0 ≤ uα ↑ u u L. Posto je K Dedekindkompletan, 0 ≤ uα ↑ w vaºi u K za neko w ∈ K. Na osnovu Teoreme 29 K jeregularan Risov podprostor od L i vaºi uα ↑ w u L. Sledi da je u = w ∈ K, dakleK je ideal u L.�

Teorema 41. (Nakano-Judin) Neka je L Arimedov Risov prostor. Onda postojiDedekind kompletan Risov prostor Lδ tako da Lδ sadrºi naro£ito gust Risov podpro-stor. To je Risov izomor�zam koji identi�kujemo sa L. L identi�kujemo sa Risovimpodprostorom od Lδ i za svaki u ∈ Lδ imamo

u = sup{u ∈ L : v ≤ u} = inf{∈ L : w ≥ u}.

Jedinstveni Dedekind kompletan Risov prostor Lδ ima posebno ime.

De�nicija 19. (Dedekind kompletan) Ako je L Arhimedov Risov prostor, tada je-dinstveni Dedekind kompletan Risov prostor Lδ koji zadovoljava svojstva Teoreme41 zove se Dedekind zavr²etak od L.

Dedekind σ zavr²etak Arhimedovog Risovog prostora L je de�ni²an kao: Lσ jepresek kolekcije svih Risovih prostora izmedju L i Lσ koji su Dedekind δ−kompletni.Ova kolekcija je neprazna zato sto je Lδ jedan od njih. O£igledno, Lσ je Dedekindσ-kompletan Risov prostor izmedju L i Lδ tj. L ⊆ Lσ ⊆ Lδ .Dedekind kompletnost i Dedekind σ kompletnost Arhimedovog Risovog prostora Lkarakteri²e slede¢a osobina jedinstvenosti: Postoji Risov izomor�zam π iz L u Lδ

takav da daje bilo koji normalan Risov homomor�zam φ iz L u bilo koji Dedekindkompletan Risov prostor M , postoji jedinstven normalan Risov homomor�zam ψ izLσ u M koji zadovoljava φ = ψ ◦ π. Detaljnjije pogledati [4].Ako je Risov prostor L skoro Dedekind σ kompletan onda za svako u ∈ Lσ postojedva niza {un} i {vn} u L takva da un ↑ u i vn ↑ v u Lσ. Detaljnije pogledati [5].

De�nicija 20. Risov prostor ima prebrojivu supremum osobinu ako za svaki podskupS od L za koji supremum postoji u L onda postoji najvi²e prebrojiv podskup od Skoji ima supremum kao S u L.

Risov prostor ima prebrojivu supremum osobinu ako i samo ako za svaki niz{uα} u L takav da uα ↓ 0 postoji rastu¢i niz indeksa {αn}, takav da uαn ↓ 0.Dedekind kompletan Risov prostor sa prebrojivom supremum osobinom se nazivasuper Dedekind kompletan Risov prostor.Dokaz slede¢eg rezultata je jednostavan.

Lema 42. Svaki Arhimedov Risov prostor sa prebrojivom supremum osobinom senaziva super uredjeno gust u L

δ.


Konkretno, svaki Arhimedov Risov prostor sa prebrojivom supremum osobinomje skoro Dedekind σ-kompletan i njegov Dedekind zavr²etak je super Dedekind za-vr²etak.

Teorema 43. Neka je T : L −→ M skoro pozitivan operator izmedju dva Risovaprostora. Ako je M Arhimedov sa prebrojivom supremum osobinom, onda je Ltakodje Arhimedov sa prebrojivom supremum osobinom.

Dokaz. Ako je 0 ≤ nv ≤ u za svako n ∈ N , onda 0 ≤ nT (v) ≤ T (u) takodjevaºi za svako n ∈ N . Kako je M Arhimedov, vaºi T (v) = 0. Dakle, operator T jestrogo pozitivan ²to povla£i v = 0 i stoga je L Arhimedov Risov prostor. Kako jeM super Dedekind kompletan, moºe se zameniti M sa M δ. Ako je potrebno moºese pretpostaviti bez gubitka op²tosti da je M super Dedekind kompletan.Da bi se to dokazalo, neka L ima prebrojivu supremum osobinu i neka uα ↓ 0 uL. Onda T (uα) ↓ u∗ ≥ 0 vaºi u M za neko u∗. Izaberimo niz {uαn} ⊆ {uα} sasvojstvom uαn ↓ u L i uαn ↓ u∗ u M . Za zavr²etak dokaza dovoljno je pokazati dauαn ↓ 0 vaºi u L . Na kraju pretpostavimo suprotno da postoji neko u ∈ L kojezadovoljava 0 ≤ u ≤ uαn za svako n i neko u ∈ L+. Kako za uα ↓ 0 postoji nekiindeks β sa svojstvom u ∧ uβ < u i

uαn − uβ ∧ uαn = (uαn − uβ)+ ≥ (u− uβ)+ = u− u ∧ uβ = w > 0.

Tako uαn ≥ w + uβ ∧ uαn i vaºi

T (uαn) ≥ T (w) + T (uβ ∧ uαn) ≥ T (w) + u∗

za svako n. Sledi u∗ ≥ T (w)+u∗ ili T (w) ≤ 0. Medjutim, ovo drugo nije mogu¢e zatosto je w > 0 i stroga pozitivnost operatora T daje T (w) > 0. Ovom kontradikcijomje dokaz zarvr²en.�

Podsetimo se da je traka ideja zatvorenog ideala. Svaki neprazan podskup DRisovog prostora uklju£en je u najmanju traku, koju nazivamo traka generisanaskupom D i ozna£ava¢e se sa BD.Trake generisane skupom D i elementom u ozna£ava¢emo sa:

BD = {v ∈ L : ∃{vα} ⊆ LD ∴ 0 ≤ vα ↑ |v|},Bu = {v ∈ L : |v| ∧ n|u| ↑ |v|},

gde LD ozna£ava ideal generisan skupom D u L. Traka B Risovog prostora L jeprojekciona traka ako B⊕Bd = L. Svaka projekciona traka Risovog prostora L dajeprirodnu projekciju PB na L sa opsegom B de�nisanu sa:

PB = u1

gde je u = u1 + u2 ∈ B ⊕ Bd = L pri £emu je u1 ∈ b i u2 ∈ Bd. Svaka takvaprojekcija naziva¢e se projekcija trake ili projekcija uredjenja. Nije te²ko uo£iti daje svaka projekciona traka PB normalni Risov homomor�zam.Da bismo ovo pokazali, prvo trebamo napomenuti da ako je u = u1+u2 ∈ B⊕Bd = Londa |u| = |u1 + u2| = |u1| + |u2| ∈ B ⊕ Bd i tako PB(|u|) = |u1| = |PB(u)|. Ovo


pokazuje da je PB Risov homomor�zam a naro£ito da je PB pozitivan operator. Nijete²ko videti da za svako u ∈ L+ imamo 0 ≤ PB(u) ≤ u a iz toga lako sledi da je PBneprekidan.Element u u Risovom prostoru se naziva projekcioni element ako je glavna trakaBu koju generi²e je projekciona traka. Projekcija odredjena glavnom projekcionomtrakom Bu ozna£ava¢e se sa Pu.Element e > 0 u Risovom prostoru L se naziva slaba jedinica ako je Be = L. Naosnovu Teoreme 30 treba biti jasno da je element e > 0 u Arhimedovom Risovomprostoru slaba jedinica ako i samo ako u ⊥ e sledi u = 0.Naredni rezultat karakteri²e trake koje su projekcione trake.

Teorema 44. Za Risov prostor L vaºi slede¢e:

1) Traka B iz L je projekciona traka ako i samo ako za svako u ∈ L+ supremumsup{v ∈ B : 0 ≤ v ≤ u} postoji u L. �tavi²e, ako je B projekciona traka,onda za svako u ∈ L+ imamo

PB(u) = sup{v ∈ B : 0 ≤ v ≤ u}.

2) Glavna traka Bu od L je projekciona traka ako i samo ako za svako v ∈ L+

supremum sup{v ∧ n|u| : n ∈ N} postoji u L. �tavi²e, ako je Bu projekcionatraka, onda za svako v ∈ L+ imamo:

PB(v) = sup{v ∧ n|u| : n ∈ N}.

Dokaz.

1) Neka je B projekciona traka Risovog prostora L i neka je u ∈ L+. Ukolikovektor v ∈ B zadovoljava 0 ≤ v ≤ u tada se podrazumeva pozitivnost PB,0 ≤ v = PB(v) ≤ PB(u) ∈ B. Ovo garantuje da sup{v ∈ B : 0 ≤ v ≤ u}postoji u Risovom prostoru L i imamo sup{v ∈ B : 0 ≤ v ≤ u} = max{v ∈B : 0 ≤ v ≤ u} = PB(u).Obratno, neka za svaki pozitivan vektor u u Risovom prostoru L supremumsup{v ∈ B : 0 ≤ v ≤ u} postoji u L. Fiksirajmo neko u ∈ L+ i neka jeu1 = sup{v ∈ B : 0 ≤ v ≤ u}. Po²to je skup {v ∈ B : 0 ≤ v ≤ u}direktno usmeren navi²e prema podskupu opsega B. Sledi u1 ∈ B. Uzmimou2 = u − u1 ≥ 0. Da bi se dokazalo da je B projekciona traka, dovoljno jepokazati da je u2 ∈ Bd. Neka je 0 ≤ w ∈ B i uzmimo w1 = w ∧ u2 ≥ 0. Ondaje u1 + w1 ∈ B i jasno u1 + w1 ≤ u1 + u2 = u povla£i da je u1 + w1 ≤ u1.Dakle, w1 ≤ 0 i w1 = w ∧ u2 = 0, tako da je u2 ∈ Bd.

2) Fiksirajmo v ∈ L+ i neka je w = sup{x ∈ Bu : 0 ≤ x ≤ v}. Jasno je da zasvako n ∈ N vaºi v ∧ n|u| ∈ Bu i v ∧ n|u| ≤ v tako da je v ∧ n|u| ≤ w vaºiza svako n. Element w je gornja granica niza {v ∧ n|u|} tj. tvrdimo da jew = sup{v ∧ n|u| : n ∈ N}. Da bi se ovo dokazalo, pretpostavimo da nekoy ∈ B zadovoljava v ∧ n|u| ≤ y za svako n ∈ N. Neka je x ∈ B tako da0 ≤ x ≤ v. Sledi da postoji niz xα ⊆ Lu takav da vaºi 0 ≤ xα ↑ x. Jasno je daza svaki indeks α postoji neko n ∈ N takvo da je xα ≤ n|u| i xα ≤ v∧n|u| ≤ y.


Ovo podrazumeva x ≤ y i w ≤ y. Dakle, w je najmanja gornja granica niza{v ∧ n|u|}.�

Slede nekoliko osbina Risovih prostora.

De�nicija 21. Risov prostor L ima:

1) projekcionu osobinu, ako je svaka traka u L projekciona traka;

2) glavnu projekcionu osobinu, ako je svaka glavna traka u L projekciona traka;

3) dovoljno mnogo projekcija ako svaka neprazna traka u L uklju£uje nepraznu pro-jekcionu traku.

Teorema 45. (Luxemburg- Zaanen) Svaki Risov prostor sa dovoljno mnogo projek-cija je Arhimedov.

Dokaz. Neka je L Risov prostor sa dovoljno mnogo projekcija i neka za svaka dvaelementa u, v ∈ L+ vazi 0 ≤ nu ≤ v za svako n ∈ N. Pretpostavimo suprotnotj. da je u > 0 glavna traka Bu neprazna. Na osnovu hipoteze postoji nepraznaprojekciona traka B ⊆ Bu. Konkretno, ako uzmemo S = {w ∈ B : 0 ≤ w ≤ v}onda supremum od S postoji u L i pripada B. Neka je s = supS ∈ B.Tvrdimo da je B+ = S. Da bismo pokazali ovo neka je 0 < x ∈ B. Kako je x ∈ Bu,sledi da je x∧nu ↑ x u L. �tavi²e, iz x∧nu ≤ nu ≤ v za svako n ∈ N, zaklju£ujemoda je x ≤ v odnosno x ∈ S. Konkretno imamo 0 < s ∈ B. Kako je 0 < 2s ∈ B,dobijamo 2s ≤ s i s ≤ 0 ²to je nemogu¢e. Ova kontradikcija pokazuje da je u = 0 iL je Arhimedov Risov prostor.�

Nastavlja se rasprava na temu Dedekindovog zavr²etka odredjenih ArhimedovihRisovih prostora. Za svaki Risov podprostor L Risovog prostora M postoji (bar)jedan ideal J od M koji je maksimalan u odnosu na svojstvo L ∩ J = 0.Drugim re£ima postoji ideal J od M sa svojstvom J ∩L = 0 tako da kad god drugiideal I zadovoljava J ⊂ I i L ∩ I = 0 onda je J = I. Razmotrimo kolekciju Csvih ideala J , C je neprazna jer 0 ∈ C. Koristimo Zorn lemu kako bismo dobilimaksimalan element J∗ i primetimo da je J∗ maksimalan element u odnosu nasvojstvo L ∩ J∗ = 0.Neka je L Arhimedov Risov podprostor Risovog prostora M i J maksimalni ideal uM u odnosu na svojstvo L ∩ J = 0.Tvrdimo da je kanoni£ka projekcija Q : M −→M/J ograni£ena na L tj. operator. Q : M −→ M/J je Risov izomor�zam, a ako Lidenti�kujemo sa Q(L), ideal I generisan sa L u M/J je Arhimedov Risov prostorkoji uklju£uje L kao uredjeno gust Risov podprostor. Zaista, ako je Q : M −→M/J”1− 1” preslikavanje moze se primetiti da ako jedan od u ∈ L zadovoljava u = 0 uM/J onda u ∈ L∩ J = 0 tako da je u = 0. Da bi se pokazalo da je L uredjeno gustu M/J neka je 0 < u ∈ M/J . Sledi da je u /∈ J , J je maksimalan ideal u M kojizadovoljava osobinu L∩J = 0 i ideal J+Lu sadrºi J , zaklju£ujemo (J+Lu)∩L 6= 0.Izaberimo 0 < w ∈ (J +Lu)∩L pri £emu je w = w1 +w2 gde je w1 ∈ J i |w2| ≤ λ|u|za neko λ > 0. Vidi se da je 0 < w = w2 ≤ λu. Stoga element

1

λw ∈ L zadovoljava

0 <1

λw ≤ u i imamo da je L gust u M/J . Dokaºimo da je I Arhimedov. Neka je

0 ≤ nx ≤ y za svako n ∈ N gde je y ∈ L. Ako je x > 0 izaberimo neko z ∈ L takoda je 0 < z ≤ x. Primetimo da 0 < nz ≤ y vaºi za svako n ∈ N, ²to je suprotno


Arhimedovom svojstvu L.Ako je sada M Dedekind kompletan Risov prostor, onda se pretpostavlja da je idealI Dedekind zavr²etak od L. Ovaj rezultat se prepisuje W.Maxey-u [6, Teorema 1.3].

Glava 2

Spektralna teorema

U ovom delu ramatra¢e se elementi povezni sa pozitivnim vektorom u koji ¢ebiti nazvani komponente od u. Glavni cilj je pokazati da se komponente moguposmatrati kao "gradjevinski blokovi"u Arhimedovom Risovom prostoru sa glavnomprojekcionom osobinom.Razmatranje zapo£injemo de�nicijom komponente.

De�nicija 22. Komponenta pozitivnog vektora u u Risovom prostoru L je bilo kojipozitivan element v ∈ L koji zadovoljava v∧ (u− v) = 0. Kolekcija svih komponentipozitivnog vektora u bi¢e ozna£ena sa Cu to je

Cu = {v ∈ L+ : v ∧ (u− v) = 0}.

Cu je delimi£no uredjen skup koji ima najamanji element nulti vektor 0 a nave¢ielement vektor u.Osnovne osobine delimi£no uredjenog skupa su opisane slede¢om teoremom.

Teorema 46. Za pozitivan element u u Risovom prostoru L vaºi:

1) 0, u ∈ Cu i Cu ⊆ [0, u];

2) Ako je v, w ∈ Cu i v ≤ w onda vaºi w − v ∈ Cu;

3) Ako v1, v2, w1, w2 ∈ Cu zadovoljavaju nejednakost v1 ≤ v2 ≤ w1 ≤ w2 ∈ Cuonda je v2 − v1 ⊥ w2 − w1;

4) Ako je v, w ∈ Cu, onda v ∨ w i v ∧ w pripadaju Cu (Cu je Bulova algebra sanajmanjim elementom 0 i najve¢im elementom u);

5) Ako je L Dedekind kompletan, onda za svaki neprazan podskup C od Cu ele-menti supC i infC pripadaju Cu (u ovom slu£aju Cu je Bulova algebra);

6) Skup komponenata Cu je upravo skup svih ekstremnih ta£aka.

Dokaz.

1) O£igledno.

32

Spektralna teorema 33

2) Iz nejednakosti odmah sledi:

0 6 (w − v) ∧ [u− (w − v)] = (w − v) ∧ [(u− w) + v]

≤ (w − v) ∧ (u− w) + (w − v) ∧ v≤ w ∧ (u− w) + (u− v) ∧ v = 0 + 0 = 0.

3) Dokaz ovog rezultata sledi na osnovu

0 ≤ (v2 − v1) ∧ (w2 − w1) ≤ w1 ∧ (u− w1).

4) Neka je v, w ∈ Cu.Koris¢enjem distributivnog zakona dobijamo:

(v ∨ w) ∧ (u− v ∨ w) =

= (v ∨ w) ∧ [(u− v) ∧ (u− w)]

= [v ∧ (u− v) ∧ (u− w)] ∨ [w ∧ (u− v) ∧ (u− w)]

= 0 ∨ 0 = 0.

(v ∧ w) ∧ (u− v ∧ w) =

= (v ∧ w) ∧ [(u− v) ∨ (u− w)]

= [v ∧ w ∧ (u− v)] ∨ [v ∧ w ∧ (u− w)]

= 0 ∨ 0 = 0.

5) Neka je L Dedekind kompletan i neka je C neprazan skup komponenata odu. Uzmimo s = supC i t = infC. Koriste¢i beskona£no distributivne zakoneimamo:

0 6 s ∧ (u− s) =

=

[∨c∈C

c

]∧ (u− s)

=∨c∈C

[c ∧ (u− s)]

≤∨c∈C

[c ∧ (u− c)] = 0.


Sli£no tome, imamo

0 ≤ t ∧ (u− t) =

= t ∧

[∨c∈C

(u− c)

]=∨c∈C

[t ∧ (u− c)]

≤∨c∈C

[c ∧ (u− c)].

6) Neka je element v ∈ [0, u] ekstremna ta£ka na [0.u]. Uzmimo da je w =v ∧ (u − v) ≥ 0. Treba pokazati da je w = 0. Jasno je da je 0 ≤ v − w ≤ v i

0 ≤ v +w ≤ u a iz konveksne kombinacije v =1

2(v −w) +

1

2(v +w) dobija se

v − w = v. Dakle, dobili smo da je w = 0.Za obrat, pretpostavimo da je v ∈ Cu i neka je v = λx + (1 − λ)y gde jex, y ∈ [0, u] i 0 < λ < 1.Iz v ∧ (u − v) = 0 sledi da je x ∧ (u − v) = 0 i naosnovu osobine 4) Teoreme 7 imamo:

x = x ∧ u = x ∧ v + x ∧ (u− v) = x ∧ v ≤ v.

Sli£no, ako je y ≤ v. Ukoliko vaºi x < v i y < v onda je:

v = λx+ (1− λ)y < λv + (1− λ)v = v

takodje ta£no, ²to je nemogu¢e.Shodno tome vaºi x = y = v i v je ekstremna ta£ka na intervalu [0, u]. Ovimzavr²avamo dokaz. �

Teorema 47. (Kutty-Quinn)Za Arhimedov Risov prostor slede¢a tvrdjenja su ekvi-valentna:

1) L ima svojstvo projekcije;

2) Komponente elemenata L+ u Lδ leºe u L. To zna£i, ako u ∈ L+ i v ∈ Lδ

zadovoljavaju v ∧ (u− v) = 0 onda je v ∈ L.

Dokaz. 1) ⇒ 2) Pretpostavimo da v ∈ Lδ zadovoljava v ∧ (u − v) = 0 za nekou ∈ L. Neka Bv ozna£ava opseg generisan sa v u Lδ. Tada je B = Bv ∩ L opseg uL a samim tim i projekciona traka od L. Neka je u = u1 + u2 gde je u1 ∈ B ⊆ Bv iu2 ∈ Bd. Po²to je L gust u Lδ, dobijamo u2 ∧ v = 0. Iz ovoga jednostavno sledi daje v = u1 ∈ L.2) ⇒ 1): Neka je B proizvoljan opseg u L i �ksirajmo neko u ∈ L+. Uzmimo daje u∗ = sup{v ∈ B : 0 ≤ v ≤ u} u Lδ. Ako je u∗ ∧ (u − u∗) > 0 onda postojineko w ∈ L takvo da je 0 < w 6 u∗ ∧ (u − u∗). Konkretno, sledi da je w ∈ B (za0 ≤ w ≤ u∗ i B je opseg) i w + u∗ ≤ u. Medjutim,

w + u∗ = sup{w + v : v ∈ B i 0 ≤ v ≤ u} = u∗


je kontradikcija. Ovim smo pokazali da je u∗ ∧ (u − u∗) = 0 a iz hipoteze u∗ ∈ L.Teorema 44 pokazuje da je B projekciona traka od L.�

Niz {xn} u Risovom prostoru L se naziva u−uniformno Ko²ijev, pri £emu jeu ∈ L+. Neka je {εn} gde je εn → 0 niz pozitivnih realnih brojeva koji zadovoljava|xn+p − xn| ≤ εnu za svako n, p = 1, 2, .... Niz xn u L je u-uniformno konvergentanza neko x ∈ L ako postoji niz {εn} pozitivnih realnih brojeva takav da εn → 0 i vaºi|xn − x| ≤ εnu za svako n ∈ N.Element x se naziva uniformna granica niza {xn}.Uniformno konvergentan niz {xn} ozna£avamo sa xn

u−→ x. Ako postoji neko u ∈ L+

tada je niz {xn} u−uniformno konvergentan.Ako je xn

u−→ x i ynv−→ y onda za svako λ, µ ∈ R vaºi λxn + µyn

v−→ λx + µy.U Arhimedovom Risovom prostoru uniformno konvergentan niz je i konvergentanporedak a samim tim njegove granice su jedinstveno odredjene.Ako u Arhimedovom Risovom prostoru vaºi |xn − x| ≤ εnu za svako n ∈ N i nekaje niz {≤n} ⊆ R+ gde εn → 0, onda je δn = sup{εk : k ≥ n} tako da je δ ↘ 0 u R.Ovo podrazumeva da δu↘ 0, na osnovu |xn − x| ≤ δnu za svako n ∈ N.Risov prostor se naziva uniformno kompletan ako svaki u-uniformno Ko²ijev niz imau-uniformnu granicu.

Lema 48. Risov prostor L je uniformno kompletan ako i samo ako svaki rastu¢iu− uniformno Ko²ijev niz u L+ ima u-uniformnu granicu.

Dokaz. Pretpostavimo da u Risovom prostoru svaki rastu¢i u-uniformni niz u L+

u-uniformno konvergentan. Neka je {xn} u-uniformno Ko²ijev niz. Prelaskom na

podniz moºe se pretpostaviti bez gubitka op²tosti da je |xn+1 − xn| ≤1

2nu vaºi za

svako n ∈ N.Neka su nizovi {vn} i {wn} u L+ de�nisani sa

vn =n∑i=1

(xi+1 − xi)+ i wn =n∑i=1

(xi+1 − xi)−.

Jednostavna provera pokazuje da su oba niza {vn} i {wn} u−uniformno Ko²ijeva irastu¢a. Prema po£etnoj hipotezi oba niza su ravnomerno konvergentna, vn u−→ v i

wnv−→ w. Moºe se uo£iti da za svako n ∈ N vaºi vn−wn =

n∑i=1

(xi+1−xi) = xn+1−x1,

iz ovoga se sledi da xnu−→ v − w + x1. Dobija se da je L uniformno kompletan.�

Lema 49. Svaki Dedekind σ-kompletan prostor je uniformno kompletan.

Dokaz. Neka je rastu¢i niz {un} pozitivnih vektor u Dedekind σ-kompletan Risovprosor L u-uniformno Ko²ijev. Izaberimo niz {εn} pozitivnih realnih brojeva, gdeεn → 0 takav da vaºi |un+p − un| ≤ εnu za svako n, p ∈ N.Sledi da je 0 ≤ un ≤ u1 + ε1 za svako n ∈ N. Kako je L Dedekind σ- kompletansledi da vaºi 0 ≤ un ↗ v u L.Iz svega ovog sledi da je |un+p − un| −→

p→∞|v − un|, tako da |v − un| ≤ εnu vaºi za

svako n ∈ N.Dakle, niz {un} u-uniformno konvergira ka v. Lema 48 garantuje da jeL uniformno kompletan.�

Neka je L Risov prostor i neka je 0 < u ∈ L. Funkcija u-koraka je bilo koji


element s ∈ L koji zadovoljava

s =n∑i=1

αixi, (2.1)

gde su x1, ..., xn disjunktne komponente od u tako da je u = x1 + ...+ xn.Izraz s u 2.1 se naziva reprezentacija u-kora£ne funkcije. Jasno je da svaka kompo-nenta od u je u-kora£na funkcija. Takodje, svaka u-kora£na funkcija pripada idealugenerisanom sa u. Ako su s i t u-kora£ne funkcije sa reprezentacijom

s =n∑i=1

αixi i t =m∑i=1

βiyi,

onda, koriste¢i

xi = xi ∧ u =

= xi ∧ (y1 + ...+ un)

= xi ∧ y1 + ...+ xi ∧ ym

i sli£no yj =n∑i=1

xi ∧ yj. Moºe se zapisati:

s =n∑i=1

m∑j=1

αi(xi ∧ yj) i t =n∑i=1

m∑j=1

βi(xi ∧ yj).

Ovo su reprezentacije funkcija s i t. Iz ovih formula moºe se zaklju£iti da je:

s+ t =n∑i=1

m∑j=1

(αi + βj)(xi ∧ yj)

λs =n∑i=1

λαixi

|s| =n∑i=1

|αi|xi

s ∨ t =n∑i=1

m∑j=1

max{αi, βj}(xi ∧ yj)

s ∨ t =n∑i=1

m∑j=1

min{αi, βj}(xi ∧ yj).

Navedeni identiteti pokazuju da je kolekcija Su sastavljena od u-kora£nih funkcijapodprostor od L.

Lema 50. Kolekcija Su svih u-kora£nih funkcija je Risov podprostor od Lu. �tavi²e,za svako s ∈ Su postoje disjunktni skalari i neprazne disjunktne komponente x1, ..., xn


od u tako da je u = x1 + ...+ xn tada je:

s =n∑i=1

αixi.�

Jedinstvena reprezentacija kora£ne funkcije opisane u Lemi 50 naziva se stan-dardna reprezentacija kora£ne funkcije s. Standardna reprezentacija kora£ne funk-cije s = 0 je 0 = ou. Kada L ima glavnu projekciono osobinu, sledi da je Risovpodprostor Su svih u-kora£nih funkcija "uniformno gust"u glavnom idealu Lu. Ovoje osnovni rezultat u teoriji Risovih prostora i poznat je kao Freudenthal-ova Spek-tralna Teorema.[10]

Teorema 51. (Freudenthal-ova Spektralna Teorema) Ako je L Risov prostor saglavnom projekcionom osobinom i u ∈ L+, onda za svaki pozitivan element x ∈ Lupostoji niz {Su} u-kora£nih funkcija tako da je:

1) 0 ≤ x− Su ≤1

nu;

2) 0 ≤ Su ↑ x.Konkretno, Su je ravnomerno gust u Lu.

Dokaz. Bez gubitka op²tosti moºe se pretpostaviti da je 0 < x ≤ u. Za neko0 ≤ α ≤ 1 ozna£imo sa Pα projekcionu traku Risovog prostora L na glavnu trakugenerisanu sa (x− αu)+. Familija {Pα : 0 ≤ α ≤ 1} projekcionih traka zadovoljavaslede¢a svojstva:

i) P0 = Px i P1 = 0;

ii) Ako vaºi 0 ≤ α ≤ β ≤ 1, onda

a) 0 ≤ Pβ ≤ Pα ≤ I, gde je I identi£an operator na L;

b) α (Pα − Pβ) (u) ≤ (Pα − Pβ) (x) ≤ β (Pα − Pβ) (u).

iii) Ako vaºi 0 ≤ α ≤ β ≤ α1 ≤ β1 ≤ 1, onda (Pα − Pβ) (u) i (Pα1 − Pβ1) (u) sudve disjunktne komponente od u.

Dokaºimo ove osobine.Osobina i) je o£igledna.Za dokaz ii) i iii) pretpostavimo da je 0 ≤ α ≤ β ≤ α1 ≤ β1 ≤ 1. Nejednakost0 ≤ Pβ ≤ Pα ≤ I je jasna. Ostale nejednakosti se dokazuju na slede¢i na£in:

(Pα − Pβ) (x)− α (Pα − Pβ) (u) = Pα(x− αu)− Pβ(x− αu)

≥ (x− αu)+ − Pβ(x− αu)+ ≥ 0.

Tada je α (Pα − Pβ) (u) ≤ (Pα − Pβ) (x). Takodje, iz

(Pα − Pβ) (x)− β (Pα − Pβ) (u) = Pα(x− βu)− Pβ(x− βu)

= Pα(x− βu)− (x− βu)+

≤ Pα(x− βu)+ − (x− βu)+ ≤ 0,


sledi da je (Pα − Pβ) (x) ≤ β (Pα − Pβ) (u). Ovim je dokazana ii) osobina. Dokazosobine iii) sledi iz 3) Teoreme 37.Neka je ε > 0. Kako je kolekcija Su svih u-kora£nih funkcija Risov podprostor.Dovoljno je pokazati postojanje neke u-kora£ne funkcije s koja zadovoljava 0 ≤x−s ≤ εu. Neka je 0 = α0 < α1 < ... < αn = 1 particija od [0, 1] sa mreºom manjomod ε. Neka je xi =

(Pαi−1

− Pαi)

(u) za svako i = 1, 2, ..., n, i neka x1+x2+...+xn ≤ ui xi ∧ xj = 0 vaºi za i 6= j. Sa druge stane koriste¢i ii) lako se uo£ava da u-kora£na

funkcija s =n∑i=1

αi−1xi zadovoljava:

s =n∑i=1

αi−1xi

≤n∑i=1

(Pαi−1

− Pαi)

(x)P0(x)− P1(x) = P0(x) = x

≤n∑i=1

αixi ≤n∑i=1

(αi−1 + ε)xi ≤ s+ εu,

onda vaºi, 0 ≤ x− s ≤ εu.�

Teorema 52. Za Risov prostor L slede¢a tvrdjenja su ekvivalentna:

a) L je Dedekind kompletan;

b) L ima osobinu projekcije i uniformno je kompletan.

Dokaz. a)⇒ b): Ako je Risov prostor Dedekind kompletan, onda ima projekcionasvojstva i prema Lemi 40 uniformno je kompletan.b)⇒ a): Neka je L uniformno kompletan Risov prostor sa projekcionom osobinom.Sledi da je L Arhimedov i postoji Dedekind zavr²etak Lδ. Cilj je pokazati da jeL = Lδ. Neka je 0 ≤ u∗ ∈ Lδ. Izaberimo neko u ∈ L+ tako da vaºi 0 ≤ u∗ ≤ u.Prema Teoremi 42 postoji niz {Sn} u- kora£nih funkicija u Lδ koje konvergiraju u-uniformno ka u∗ u Lδ. Kako L ima projekcione osobine na osnovu Teoreme 38 sledida je Su niz u-kora£nih funkcija u L. Moºe se lako zalju£iti da je {Su} u-uniformanniz u L, na osnovu uniformne kompletnosti u L sledi da niz {Su} u-uniformnokonvergira ka neko v ∈ L. Kako niz {Su} u-uniformno konvergira ka neko v ∈ Lδ,na osnovu jedinstvenosti granica konvergencije u Arhimedovom Risovom prostoru,sledi da je u∗ = v ∈ L. �tavi²e, L = Lδ i L je Dedekind kompletan.�

Glava 3

Ograni£eni operatori

Ova glava je posv¢ena operatoru ograni£enog reda. Razmatra¢e se njegoveosnovne osobine. Diskusiju po£injemo de�nicijom operatora ograni£enog reda.

De�nicija 23. Operator T : L −→ M izmedju dva Risova prostora je ograni£enako T slika ograni£en podskup od L u ograni£en podskup od M . Operator T (A) jeograni£en operator podprostora M kad god je A ograni£en podprostor od L.Skup svih ograni£enih operatora iz L u M ozna£ava se sa Lb(L,M). U daljem tekstuozna£ava¢e se Lb(L) umesto Lb(L,L).

Lb(L,M) pod uobi£ajenim algebarskim operacijama vektorski prostor. OperatorT : L −→M je pozitivan (u oznaci T ≥ 0 ili 0 ≤ T ) ako T (u) ≥ 0 vaºi u M kad godu ≥ 0 vaºi u L. O£igledno je da je svaki pozitivan operator ograni£enog reda. Moºese uo£iti da relacija T1 ≥ T2 kad god je T1 − T2 ≥ 0 de�ni²e relaciju na Lb(L,M).

Napomena 2. Ako su L i M Risovi prostori, onda je Lb(L,M) vektorski prostor£iji se pozitivni konus sastoji od svih pozitivnih operatora.

Slede rezultati koji se odnose na pro²irenje pozitivnih operatora.

Lema 53. Neka su L iM dva Risova prostora iM je Arhimedov. Ako je T : L+ −→M aditivno preslikavanje, tj. ako vaºi T (u + v) = T (u) + T (v) za svako u, v ∈ L+,onda T ima jedinstveni produºetak pozitivnog operatora iz L u M . �tavi²e, vaºi daje

T (u) = T (u+)− T (u−)

za svako u ∈ L.

Dokaz. Neka je T : L+ −→ M aditivno preslikavanje. Posmatrajmo preslikavanjeS : L −→ M de�nisano sa S(u) = T (u+) − T (u−). Jasno je da S(u) = T (u) zasvako u ∈ L+. Preslikavanje S pro²iruje T na ceo prostor L. Kako je u = u+ − u−sledi da je S jedino mogu¢e linearno pro²irenje od T na ceo prostor L. Za potpunostdokaza potrebno je pokazati da je S linearan, tj. da je S aditivan i homogen.Za dokaz aditivnosti preslikavanje S razmotriti da li za bilo koji vektor u ∈ Lzapisan kao razlika dva pozitivna vektora u = v1 − v2, gde su v1, v2 ∈ L+ vaºiS(u) = T (v1)−T (v2). Neka je u ∈ L �ksirano i pretpostavimo da je u = u+−u− =

39

Ograni£eni operatori 40

v1 − v2, gde su v1, v2 ∈ L+. Sledi da u+ + v2 = v1 + u− i tako aditivnost T na L+

daje:T (u+)− T (v2) = T (u+ + v2) = T (v1 + u−) = T (v1) + T (u−)

ili S(u) = T (u+) − T (u−) = T (v1) − T (v2). Iz prethodnog se moºe lako zaklju£itida je S aditivan.Ako je u,w ∈ L, onda vaºi:

S(u+ w) = S(u+ + w+ − (u− + w−))

= T (u+ + w+)− T (u− + w−)

= T (u+) + T (w+)− T (u−) + T (w−)

=[T (u+)− T (u−)

]+[T (w+) + T (w−)

]= S(u) + S(w).

Konkretno, aditivnost preslikavanje S povla£i da je S(ru) = rS(u) za svako u ∈ L isve racionalne brojeve r.Ostalo je pokazati da je S homogen. Za dokaz homogenosti se mora najpre dokazatimonotonost. To zna£i da za u ≥ v u L sledi S(u) ≥ S(v) u M . Zaista, ako je u ≥ vonda je u− v ∈ L+, sledi da se na osnovu aditivnosti S dobija

S(u) = S((u− v) + v) = S(u− v) + S(v) = T (u− v) + S(v) ≥ S(v).

Neka je u ∈ L+ �ksirano i neka je λ ∈ R. Izaberimo dva niza racionalnih brojeva{rn} i {tn} takva da je rn ↑ λ i tn ↓ λ. Na osnovu rnu ≤ λu ≤ tnu i monotonosti naS dobija se rnS(u) = S(rnu) ≤ S(λu) ≤ S(tnu) = tnS(u) za svako n ∈ N. Koriste¢ida jeM Arhimedov dobija se λS(u) = S(λu). Kona£no, ako je λ ∈ R i u ∈ L dobijase

S(λu) = S(λu+ + (−u)u−) = S(λu+) + S((−λ)u−)

= λS(u+)− λS(u−) = λ[T (u+)− T (u−)

]= λS(u).

Dakle, S je homogen i ovim je dokaz zarvr²en. �Prethodna Lema ne vaºi ako M nije Arhimedov.Ostatak ove oblasti je posve¢en primeni Leme 53.

Teorema 54. Neka su L M dva Risova prostora gde je M Dedekind kompletan, Aideal u L i neka je T : L −→M operator koji ima produºenje na ogran£en operatoriz L u M . De�ni²e se preslikavanje TA : L+ −→M+ na slede¢i na£in:

TA(u) = sup{T (v) : v ∈ A i 0 ≤ v ≤ u},

u ∈ L+. Vaºe slede¢e osobine:

1) Preslikavanje TA : L+ −→ M+ je aditivno- postoji jedinstveno pro²irenje iz Lu M .

2) Ako je u ∈ Ad onda TA(u) = 0.

3) Ako je S ∈ Lb(L,M) pozitivni operator, onda dominacija T na A (to zna£i daT (u) ≤ SA(u) vaºi za svako u ∈ A+),vaºi TA(u) ≤ SA(u) za svako u ∈ L+.


4) Ako je operator T : A −→ M pozitivan, onda je TA pozitivno linearno pro-duºenje od T i minimalno produºenje od T ukoliko je S : L −→ M bilo kojipozitivan operator koji je produºenje T : A −→M , onda je TA ≤ S.

Dokaz. Ako je R ∈ Lb(L,M) produºenje operatora T : A −→ M i vaºi {T (v) :v ∈ A i 0 ≤ v ≤ u} ⊆ R([0, u]) i tako je skup {T (v) : v ∈ A i 0 ≤ v ≤ u} ⊆R([0, u]) ograni£en u M+. Iz prethodnog sledi da je TA dobro de�nisan formulom iTA slika zaista L+ u M+. Da bi se dokazalo da je TA aditivan, uzmimo u,w ∈ L+.Ako dva proizvoljna elementa v1, v2 ∈ A zadovoljavaju 0 ≤ v1 ≤ u i 0 ≤ v2 ≤ w,onda imamo 0 ≤ v1 + v2 ≤ u+ w i T (v1 + T (v2)) ≤ T (v1 + v2) ≤ TA(u+ w) . Sledida je TA(u) + TA(w) ≤ TA(u + w). Da bi se dokazala obratna nejednakost, nekavektor v ∈ A zadovoljava 0 ≤ v ≤ u+w. Na osnovu Risove dekompozicije, moºe sezapisati v = v1 + v2 gde je 0 ≤ v1 ≤ u i 0 ≤ v2 ≤ w. Kako je A ideal, sledi da jev1, v2 ∈ A i

T (v) = T (v1 + v2) ≤ TA(u) + TA(w).

Shodno tome TA(u+ w) = TA(u) + TA(w) tako da je TA ideal.2) Neka je 0 ≤ u ∈ Ad. Onda vaºi {v ∈ A : 0 ≤ v ≤ u} = {0}. Na osnovu ovog sledida je TA(U) = 0.3) Neka pozitivan operator S ∈ Lb(L,M) zadovoljava T (v) ≤ S(v) za svako v ∈ A+.Ako je 0 ≤ v ≤ u gde je v ∈ A, onda vaºi T (v) ≤ S(v) ≤ SA(u). Iz prethodnog sledida je TA(u) ≤ SA(u) za svako u ∈ L+.4) Neka je T : A −→ M pozitivan operator. Jasno je da TA(u) = T (u) za svakou ∈ A+. Dakle, TA je pozitivno linearno produºenje na T . �injenica da je TA mini-malno produºenje od T direktno sledi iz prethodnog dela. �Slede¢a teorema £iji su tvorci F.Riesz [7] i L.V.Kantorovich [8] pokazuje ako je MDedekind kompletan onda je uredjen vektorski prostor Lb(L,M) Dedekind komple-tan Risov prostor.

Teorema 55. (Riesz- Kantorovich) Ako su L i M dva Risova prostora takva daje M Dedekind kompletan, onda je uredjeni vektorski prstor Lb(L,M) je Dedekindkompletan Risov prostor. Njene operacije re²etke za svako T ∈ Lb(L,M) i svakou ∈ L+ su date:

1) T+(u) = sup{T (v) : 0 ≤ v ≤ u};

2) T−(u) = sup{−T (v) : 0 ≤ v ≤ u};

3) |T+|(u) = sup{|T (v)| : |v| ≤ u};

Konkretno, za svaki par S, T ∈ Lb(L,M) i svako u ∈ L+ vaºi:

[S ∨ T ] (u) = sup{S(v) + T (w) : v, w ∈ L+, v + w = u}

[S ∧ T ] (u) = sup{S(v) + T (w) : v, w ∈ L+, v + w = u}.

�tavi²e, vaºi slede¢e:

1) |T (u)| ≤ |T |(|u|) za svako T ∈ Lb(L,M) i svako u ∈ L.


2) Rastu¢i {Tα} ⊆ Lb(L,M) zadovoljava Tα ↑ T u Lb(L,M) ako i samo akoTα(u) ↑ T (u) vaºi u M za svako u ∈ L+.

3) Ako Tα0−→ T sledi Tα

0

(u)−→T (u) u M za svako u ∈ L.

Dokaz. Neka je T ∈ Lb(L,M). Ako je A = L, onda operator TA de�nisan uTeorema 54 je supremum od T i 0 u Lb(L,M), tj. T+ = TA pa sledi ºeljena formula.Ovo pokazuje da je Lb(L,M) Risov prostor. Formule 2) i 3) slede iz osobina mreºaT− = | − T |+ i |T | = T+ − T−.Da bi se pokazalo da je Lb(L,M) Dedekind kompletan, neka je 0 ≤ Tα ↑≤ S uLb(L,M). Neka za svako u ∈ L+ vaºi T (u) = supα T (u) u M , moºe se primetitida je T : L+ −→ M+ aditivan i moºe se pro²iriti na osnovu Lema 44. na ceoL. Jasno je da Tα ↑ T vaºi u Lb(L,M) i Tα(u) ↑ T (u) u M za svako u ∈ L+.Na osnovu prethodnog zaklju£ak o valjanosti tvrdjenja o ograni£enju naredbe sledijednostavno. Formula supremuma sledi iz identiteta re²etke S ∨ T = (S − T )+ + Ti S ∧ T = − [(−S) ∨ (−T )]. �Operator |T | = T ∨ (−T ) je poznat kao moduo operatora T . Formule 1), 2) i 3)navedene u Teoremi 55 nazivaju se Riesz-Kantorovich formule.

Teorema 56. (Abramovich) Ako L ima glavnu projekcionu osobinu iM je Dedekindkompletan Risov prostor, onda za svaki par S, T ∈ Lb(L,M) i u ∈ L+ vaºi:

[S ∨ T ] (u) = sup{S(v) + T (w) : v ∧ w = 0 i v + w = u},

[S ∧ T ] (u) = inf{S(v) + T (w) : v ∧ w = 0 i v + w = u}.

Dokaz. Vaºno je napomenuti da prva formula sledi iz druge koriste¢i identitetS ∨T = − [(−S) ∧ (−T )]. Takodje, ako je druga formula istinita za S ∧T = 0 ondavaºi i uop²tem slu£aju. Ovaj zaklju£ak lako sledi iz identiteta (S − S ∧ T ) ∧ (T −S ∧ T ) = 0. Za kraj dokaza, neka je S ∧ T = 0 u Lb(L,M). Neka je u ∈ L+ i

x = inf{S(y) + T (u− y) : y ∧ (u− y) = 0}.

Cilj je pokazati da je x = 0. Izaberimo bilo koje 0 ≤ v ∈ L+ koje zadovoljava0 ≤ v ≤ u. Neka je sa P ozna£en opseg projekcije na L generisan sa (2v−u)+ i nekaje w = P (u). Na osnovu nejednakosti u ≤ 2v+ (u−2v)+ i (u−2v)+∧ (2v−u)+ = 0sledi P (u) ≤ 2P (v) + P ((u− 2v)+) = 2P (v) ≤ 2v. Dakle,

w ≤ 2v (3.1)

Takodje, iz nejednakosti (2v − u)+ ≤ (2u− u)+ sledi da je

2v − u ≤ (2v − u)+ = P ((2v − u)+) ≤ P (u) = w,

odnosnou− w ≤ 2(u− v) (3.2)

Koriste¢i 3.1 i 3.2 imamo

0 ≤ x ≤ S(w) + T (u− w) ≤ 2 [S(v) + T (u− v)] (3.3)


za svaki element v ∈ L+ takav da 0 ≤ v ≤ u. Na osnovu Teoreme 55 sledi

inf{S(v) + T (u− v) : 0 ≤ v ≤ u} = 0,

zatim na osnovu 3.3 vaºi da je x = 0 i ovim se zavr²ava dokaz. �Preslikavanje p : X −→ Y iz vektorskog prostora u uredjen vektorski prostor senaziva sublinearno ako vaºi p(u+v) ≤ p(u)+p(v) i p(λu) = λp(u) za svako u, v ∈ Xi svako λ ≥ 0.Slede¢i rezultat je generalizacija klasi£ne Hahn-Banch teoreme i njen dokaz je sli£an.

Teorema 57. (Hanh-Banch-Kantorovich) Neka je p : L → M sublinearno pre-slikavanje izmedju dva Risova prostora gde je M Dedekind kompletan. Ako je Xvektorski podprostor od L i T : X −→ M operator koji zadovoljava T (u) ≤ p(u) zasvako u ∈ X. Tada se T moºe pro²iriti na operator T ∗ : L → M koji zadovoljavaT ∗(u) 6 p(u) za svako u ∈ L.

Teorema 58. (Namioka-Luxemburg-Zaanen) Neka su L i M dva Risova prostoragde je M Dedekind kompletan. Onda za svaki operator 0 ≤ T ∈ Lb(L,M) i svakou, v ∈ L vaºe slede¢i rezultati:

1) T (u+) = max{S(u) : 0 ≤ S ≤ T};

2) T (u−) = max{−S(u) : 0 ≤ S ≤ T};

3) T (u ∨ v) = max{S(u) +R(v) : S,R ≥ 0 i S +R = T};

4) T (u ∧ v) = min{S(u) +R(v) : S,R ≥ 0 i S +R = T}.

Dokaz. Kako svi rezultati slede iz prvog, dovoljno je dokazati samo prvi rezultat.Neka je T : L −→ M pozitivan operator i u ∈ L. De�ni²emo preslikavanje p : L →M sa p(v) = T (v+). O£igledno je da je p sublinearno preslikavanje koje zadovoljavaT (v) ≤ p(v) za svako v ∈ L. Neka je vektorski potprostor X = {λu : λ ∈ R} ineka je S : X −→ M operator de�nisan sa S(λu) = λp(u) = λT (u+). O£igledno jeda S(λu) ≤ p(v) vaºi za svako λ ∈ R. Na osnovu Teoreme 57 postoji produºenjeS∗ : L → M od S koje zadovoljava S∗(v) ≤ p(v) za svako v ∈ L. Posebno sledi daje 0 ≤ S∗ ≤ T . Na osnovu S∗(u) = S(u) = T (u+) i

sup{S(u) : S ∈ Lb(L,M), 0 ≤ S ≤ T} ≤ T (u+)

lako se dobija zeljeni identitet. �

De�nicija 24. Operator T : L −→ M izmedju dva Risova prostora je neprekidan,ako iz uα

o−→ 0 u L sledi T (uα)o−→ 0 u M .Sli£no, operator T : L −→ M izmedju

dva Risova prostora naziva se σ-neprekidan, ako iz uαo−→ 0 u L sledi T (uα)

o−→ 0u M .

Vaºno je napomenuti pozitivan operator T : L −→ M je neprekidan ako i samoako uα ↓ 0 u L sledi T (uα) ↓ 0 u M . Sli£no vaºi za σ-neprekidan pozitivan operator.

Lema 59. Svaki neprekidan operator je ograni£en.


Dokaz. Neka je T : L −→ M neprekidan operator izmedju dva Risova prostora ineka je 0 ≤ u ∈ L. Neka

D = [0, u] ∪ {λu : −1 < λ < 0},

zadovoljava D ↓ −u u L. Ako se D zapi²e kao niz {wα}α∈A onda iz wα ↓ −u ineprekidnosti operatora T vaºi da {vα}α ∈ A u M zadovoljava |T (wα) + T (u)| ≤ vαza svako α ∈ A. Konkretno, ako α0 ∈ A zadovoljava wα0 = u onda vaºi vα ≤ vα0 zasvako α ∈ A. Na osnovu prethodnog sledi da vaºi |T (wα)| ≤ |T (u)| + vα0 za svakoα. To podrazumeva |T (x)| ≤ |T (u)| + vα0 za svako x ∈ [0, u] iz ovog sledi da je Tograni£en.�Skup svih neprekidnih operatora u Lb(L,M) bi¢e ozna£en sa Ln(L,M) a skup svihσ-neprekidnih operatora u Lb(L,M) ozna£ava¢e se sa Lc(L,M). Skupovi Ln(L,M)i Lc(L,M) su vektorski potprostori od Lb(L,M).

Teorema 60. (Ogasawara). Neka su L i M dva Risova prostora gde je M Dedekindkompletan. Onda su Ln(L,M) i Lc(L,M) povezani u Lb(L,M).

Kao jo² jedna primena Lema dobija se vaºna posledica za Arhimedove Risoveprostore.

De�nicija 25. Kompletni disjunktni sistem {ei : i ∈ I} u Risovom prostoru L jemaksimalno uparena kolekcija nula pozitivnih elemenata i, tj. ako vaºi ei > 0 zasvako i, ei ∧ ej = 0 gde je i 6= j i ako je u ∧ ei = 0 za svako i ∈ I, onda u = 0.

Osnovna svojstva kompletnog disjunktnog sistema opisana su nadalje.

Teorema 61. Neka je {ei : i ∈ I} kompletan disjunktni sistem u Risovom prostoruL sastavljen od projekcionih elemenata. Onda za svako u ∈ L+ vaºi:

u = sup{Pei : i ∈ I}.

Dokaz. Neka je u ∈ L+ i neka w ∈ L+ zadovoljava Pei(u) ≤ u− w za svako i ∈ I.Sledi da 0 ≤ w ≤ u− Pei ∈ Bd

eiza svako i ∈ I, tj. w ∧ ei = 0 za svako i ∈ I. Dakle,

vaºi w = 0 i u = sup{Pei(u) : i ∈ I}. �Neka je {eα : α ∈ A} kompletan disjunktni sistem projekcionih elemenata Arhi-medovog Risovog prostora L. Neka Bα ozna£ava povezan skup generisan sa eα i Li neka je K Dekartov proizvod

∏Bα. Lako se moºe zaklju£iti ja je preslikavanje

π : L+ −→ K+ de�nisano sa π(u) = (Pei)α∈A aditivno. Na osnovu Leme 53 sledida je preslikavanje π : L −→ K de�nisano sa π(u) = π(u+) − π(u−) = (Pei)α∈A jejedinstveno linearno produºenje na π. Na osnovu Teoreme 61 sledi da je π Risovizomor�zam. Medjutim, kako je π(α) uredjenje u K sledi da je ovaj vektor slabajedinica u K.Primenjuju¢i navedene tehnike na Lδ (uzimaju¢i u razmatranje da je svaki Dede-kind Risov prostor kompletan disjunktan sistem), sledi da se svaki Arhimedov Risovprostor moºe biti posmatran kao uredjenje Risovog potprostora u Dedekindovomkompletnom Risovom prostoru sa slabom jedinicom uredjenja. Naredni rezultat todokazuje.


Teorema 62. Ako je {ei : α ∈ A} kompletan disjunktan sistem projekcionih ele-menata u Arhimedovom Risovom prostoru L, onda je operator π : L −→

∏Bα

de�nisan sa π(u) = (Peα)α∈A je Risov izomor�zam i P (α) je uredjenje Risovog pot-prostora od

∏Bα.

Uop²teno, svaki Arhimedov Risov prostor moºe se posmatrati kao uredjen Risovpotprostor u Dedekind kompletnom Risovom prostoru sa slabom jedinicom uredje-nja. Naredna primena Leme 53 odnosi se na karakteristike diskretnog ArhimedovogRisovog prostora.Diskretan element Risovog prostora L je element u > 0, £iji se ideal Lu generisanelementom u poklapa sa vektorom potprostora generisanim sa u u L, sledi da jelu = {λu : λ ∈ R}.Ako je u diskretan element sledi da je svaki vektor v koji zadovoljava 0 ≤ v ≤ udiskretni element. U Arhimedovom Risovom prostoru diskretni elementi imaju adi-tivnu osobinu.

Teorema 63. Ako je u diskretni element u Arhimedovom Risovom prostoru L, ondaje glavni ideal Lu projekciona grupa. Odnosno, svaki diskretni element je projekcionielement.

Dokaz. Neka je u > 0 diskretni element. Da bi se pokazalo da je Lu grupa, nekavaºi 0 ≤ vα ↑ v u L gde je {vα} ⊆ Lu. Za svaki indeks α uzima se neki λα ∈ R takoda vaºi vα = λαu i 0 ≤ λα u R. Kako je L Arhimedov i zadovoljava 0 ≤ λαu ≤ v zasvako α, sledi da postoji 0 ≤ λ ∈ R takav da je λα ↑ λ. Na osnovu Teoreme 30 vaºivα = λαu ↑ λu sledi da je v = λu ∈ Lu. Na osnovu prethodnog sledi da je Lu grupa.Da bi se pokazalo da je Lu projekciona grupa neka je w ∈ L+. Kako vaºi w∧nu ∈ Lnza svako n ∈ N , sledi da postoji neko µn ∈ R tako da je w ∧ nu = µnu. O£iglednovaºi 0 ≤ µn ↑ µ za neko µ ∈ R. Lako se uo£ava da je µu = sup{w∧nu : n ∈ N}, takona osnovu Teoreme sledi da je Lu projekciona grupa. Diskretan Risov prostor je onajprostor L £iji se kompletan disjunktni sistem sastoji od diskretnih elemenata. Akoje L diskretan Risov prostor onda postoji kompletan disjunktni sistem {ei : i ∈ I}sastavljen od diskretnih elemenata, tako da ako vaºi u > sledi da u∧ei > vaºi za barjedno i i u ∧ ei je diskretan element koji zadovoljava 0 < u ∧ ei ≤ u. Obratno, nekaje uslov zadovoljen. Koriste¢i (Zorn-Lemmu) moºe se odabrati maksimalna familija{ei : i ∈ I} od parova disjunktnih diskretnih elemenata. Ako u ≥ zadovoljavau ∧ ei = za svako i, onda je u = 0. U suprotnom, postojao bi diskretan element vkoji zadovoljava 0 < v ≤ u, tako da vaºi v ∧ ei = 0 za svako i suprotno odabirufamilije {ei : i ∈ I}. Diskretni Arhimedovi Risovi prostori karakteri²u se na slede¢ina£in.

Teorema 64. Za Arhimedov Risov prostor slede¢a tvrdjenja su ekvivalentna:

1) L je diskretan Risov prostor;

2) L je Risov izomor�zam uredjenog Risovog poptrostora nekog Risovog prostoraoblika Rx.

Treba napomenuti da nije svaki Risov potprostor Arhimedovog diskretnog Riso-vog prostora diskretan. Na primer, pretpostavljaju¢i da je diskretan Risov prostorR[0, 1] i Risov potprostor C[0, 1] (Risov prostor svih neprekidnih realnih funkcija na[0, 1]). Moºe se uo£iti da C[0, 1] nije diskretan.

Glava 4

Dualni Risovi prostori

U nastavku se razmatra nekoliko osnovnih osobina dualnog reda Risovih prostora.Po£inje se sa uvodjenjem dualnog reda Risovog prostora.

De�nicija 26. Za Risov prostor L, Dedekind kompletan Risov prostor Lb(L,R) jedualni prostor prostora L i ozna£ava se sa Lv tj. Lv = Lb(L,R).Sli£no tome, ako je L Risov prostor, onda je njegovo uredjenje neprekidnog dualade�nisano sa Lvn = Lb(L,R) i σ-neprekidan dual je de�nisan sa

Lvc = Lb(L,R).

Dvostruki poredak Risovg prostora L je red duplog Lv i ozna£ava se sa Lvv tj.Lvv = (Lv)v. Za Risov prostor L i svaki φ ∈ Lv null ideal od φ de�nisan je sa

Nφ = {u ∈ L : |φ|(|u|) = 0}.

Vaºno je naglasiti da je Nφ ideal u L i ako je φ neprekidno (tj. φ ∈ Lvn ) onda jeNφ traka u L. Nosilac Cφ za bilo koji φ ∈ Lv je disjunktni komplement od Nφ tj.Cφ = Nd

φ . O£igledno, za svako φ ∈ Lv vaºi Nφ ∩ cφ = {0}.Linearni funkcionel |φ| je uvek strogo pozitivan na Cφ. Slede korisni rezultati.

Lema 65. Ako je L Risov prostor, onda za svako φ ∈ Lv njegov nosilac Cφ imabrojnu sup osobinu.

Nastavlja se sa osnovnim svojstvom reda neprekidnih linearnih funkcionela.

Teorema 66. Neka je L Arhimedov Risov prostor, φ ∈ Lvn i ψ ∈ Lv. Slede¢atvrdjenja su ekvivalentna:

1) φ ⊥ ψ u Lv tj. |φ| ∧ |ψ| = 0;

2) Cψ ⊆ Nφ;

3) Cφ ⊥ Cψ tj |u| ∧ |v| = 0 za svako u ∈ Cφ i v ∈ Cψ.

Dokaz. 1)⇒ 2) Neka je |u| ∧ |v| = 0 vaºi u dualnom prostoru Lv. Neka je 0 < u ∈Cψ = Nd

ψ i ε > 0 �ksirano. Izaberimo niz {vn} ⊆ L+ koji zadovoljava 0 ≤ vn ≤ u i|ψ|(vn)+ |φ|(u−vn) ≤ 2−nε za svako n. Neka je wn = inf{vi : 1 ≤ i ≤ n} i wn ↘ 0 u

46

Dualni Risovi prostori 47

L. Zaista, ako vaºi 0 ≤ w ≤ wn za svako n, onda vaºi 0 ≤ |ψ|(w) ≤ |ψ|(wn) ≤ 2−nεza svako n tako da je |ψ|(w) = 0. Iz prethodnog sledi da je w ∈ Nψ ∩ Cψ = {0}.Sledi da vaºi w = 0 i wn ↘ 0 u L. Kako je |φ| ∈ Lvn vaºi |φ|(u− wn) ↑ |φ|(u) i od

0 ≤ |φ|(u− wn) = |φ|

(n∨i=1

(u− vi)

)≤

n∑i=1

|φ|(u− vi) ≤ ε,

sledi da vaºi 0 ≤ |φ|(u) ≤ ε za svako ε > 0. Sledi da je |φ|(u) = 0 i Cψ ⊆ Nφ.2) ⇒ 3) Neka je u ∈ Cφ i v ∈ Cψ. Vaºi u ∧ v ∈ Cψ ⊆ Nφ tako da je |u| ∧ |v| ∈Cφ ∩Nφ = {0}. Na osnovu prethodnog sledi Cφ ⊥ Cψ.3) ⇒ 1) Ako vaºi Cφ ⊥ Cψ onda sledi Cψ ⊆ Cd

φ = Nddφ = Nφ, gde poslednja

jednakost vaºi na osnovu Arhimedovog svojstva L i £injenice da je φ ∈ Lvn . Ako je0 ≤ u = u1 + u2, gde je u1 ∈ Nψ i u2 ∈ Cψ onda je

0 ≤ [|φ| ∧ |ψ|] (u) = [|φ| ∧ |ψ|] (u1) + [|φ| ∧ |ψ|] (u2) ≤ |ψ|(u1) + |φ|(u2) = 0,

sledi |φ|+ |ψ| = 0 po poretku ideala Nφ⊕Cψ. Na osnovu Teoreme 46 i |φ|∧|ψ| ∈ Lvndobija se |φ| ∧ |ψ| = 0 u Lv.�Posledica prethodnog rezultata je slede¢a teorema koju je prvo dokazao H.Nakano.[9]

Teorema 67. (Nakano-Luxemburg-Zaanen)Ako je L Arhimedov Risov prostor iφ, ψ ∈ Lvn , onda vaºe slede¢e osobine su ekvivalentne:

1) φ ⊥ ψ;

2) Cφ ⊆ Nψ;

3) Cψ ⊆ Nφ;

4) Cφ ⊥ Cψ.

Ako su L i M Risovi prostori gde je M Dedekind kompletan i za svaki operatorT ∈ Lb(L,M) njegov null ideal je de�nisan sa

NT = {u ∈ L : |T |(|u|) = 0},

i njegov nosilac CT = NdT . Jasno je da je operator strogo pozitivan ako i samo ako

je NT = {0}. Generalizacija Teoreme 67 da Ln(L,M) nije mogu¢a a to pokazujeslede¢i primer. Neka je L = M = L1[0, 1] (Risov prostor klase ekvivalencije svihLebegovih integrabilnih funkcija na [0,1]) i neka su L iM super Dedekind kompletniRisovi prostori1. Neka su S i T pozitivni operatori od L i M

S(u) = u i T (u) =

[∫ 1

0

u(x)dx

]1,

1Lebegov integral φ : L1[0, 1] −→ R, de�nisan sa φ(u) =1∫0

u(x)dx, je pozitivan linearan fun-

kional na osnovu Teoreme 1.45 (Luxemburg-Zaanen) [1] Risov prostor L1[0, 1] ima prebrojivusupremum osobinu.


gde je 1 konstantna funkcija na [0, 1] tj.1(x) = 1 za svako x ∈ [0, 1]. Kako jeS, T ∈ Ln(L,M) i NT = NS = {0}, prema tome, CT = CS = L. Za svaki element uu Risovm prostoru L je de�nisan rastu¢i linearni funkcional

vu : Lv −→ R formulom

vf = f(u), f ∈ Lv.

Da bi se dokazalo da je red neprekidan za svako u ≥ 0 treba napomenuti da ako

vaºi fα ↓ 0 u Lv, ondavf = f(u), f ∈ Lv ↓ 0.

Ako je I proizvoljan ideal u Lv, onda se svakovu se moºe smatrati ograni£enim na I

i postoji prirodno mapiranje u 7→ vu iz L na Ivn koje se naziva prirodno ugradjivanje

L u Ivn .Osobine ove prirodne ugradnje u 7→ v

u su uklju£ene u naredni rezultat koji je poznatkao Teorema H.Nakano.

Teorema 68. Neka je L Risov prostor, I ideal u Lv i u 7→ vu prirodna ugradnja L

u Ivn . Vaºi:

1) Prirodna ugradnja u 7→ vu je Risov homomor�zam. Naro£ito, njegov opseg je

Risov potprostor od Ivn .

2) Prirodna ugradnja u 7→ vu je Risov izomor�zam. Ako i samo ako I razdvaja

ta£ke u L.

3) Ako je L Arhimedov i I ⊆ Lvn , onda je prirodna ugradnja u 7→ vu normalan

Risov homomor�zam £iji je raspon gust u Ivn .

Dokaz. 1) Neka je 0 ≤ φ ∈ I i u ∈ L. Na osnovu Teoreme 58, Teoreme 55 i£injenice da je I ideal u Lv, sledi

v

u+ = φ(u+)

= max{ψ(u) : ψ ∈ Lv i 0 ≤ ψ ≤ φ}= max{vu(ψ) : ψ ∈ Lv i 0 ≤ ψ ≤ φ}= max{vu(ψ) : ψ ∈ I i 0 ≤ ψ ≤ φ}= (

vu)+(φ),

ondav

u+ = (vu)+ vaºi u Ivn . Ovo pokazuje da je u 7→ v

u Risov homomor�zam.2) Neka je u 7→ v

u Risov izomor�zam i u 6= 0. Sledi da jevu a samim tim postoji i

neko φ ∈ I takvo da vaºi φ(u) =vu(φ) = 0. Na osnovu prethodnog sledi da I odvaja

ta£ke u L.Obratno, neka I razdvaja ta£ke u L i neka je

vu = 0. Odatle sledi da je φ(u) =

vu(φ) = 0 da za svako φ ∈ I, a na osnovu toga se zaklju£uje da je u = 0. Dakle,u 7→ v

u je Risov izomor�zam.3) Dokaºimo da je u 7→ v

u normalan Risov homomor�zam. Neka uα ↘ 0 u L moºese uo£iti da je

vuα(φ) = φ(uα)↘ 0 za svako 0 ≤ φ ∈ I. Na osnovu Teoreme 55 sledi

da vaºi uα ↘ 0 u Ivn . Dakle, ostaje pokazati da je opseg u L gust u Ivn . Neka je0 ≤ φ ∈ Ivn . Bez gubitka op²tosti, moºe se pretpostaviti da postoji neko u ∈ L tako


da vaºi φ ≤ vu. Treba se napomenuti da je Cφ = {0}. Zaista, ako je Cφ = Ndφ = {0},

onda je Nφ = Nddφ = L. Sledi da je φ = 0 ²to je kontradikcija.

Neka je 0 < f ∈ Cφ i 0 < u ∈ Cf . Ako je Cf = {0}, onda je f = 0 ²to jenemogu¢e. Ako je

vu ∧ φ = 0, na osnovu Teoreme 58 sledi

vu(Cφ) = {0} tako da je

vu(f) = f(u) = 0 ²to je suprotno izboru u i f . Zamenimo sada φ sa φ ∧ vu. Neka je0 < λ < 1, onda je ψ = (φ − λvu)+ > 0. Obratiti paºnju, ako je (φ − λvu)+ = 0 zasvako 0 < λ < 1, onda 0 < φ ≤ λ

vu vaºi za svako 0 < λ < 1. �to je suprotno sa

Arhimedovo svojstvo na Lv. Neka je 0 < g ∈ Cψ, 0 < v ∈ Cg i w = v ∧λu. Moºe seuo£iti da je 0 ≤ v

w ≤ vv i vw ≤ λvu. Ostalo je dokazati da je 0 <

vw 6 φ. Da bi dokazali

da jevw > 0, pretpostavi¢emo suprotno da je

vw = 0. Tada je

vv ∧ vu = 0 (0 ≤ ψ ≤ vu)i

vaºivv ∧ ψ = 0. Na osnovu Teoreme 58 podrazumeva se da

vv(Cψ) = {0} tako da je

vv(g) = g(v) = 0, ²to je suprotno sa 0 < v ∈ Cg.Da bi dokazali da je

vw ≤ φ, pretpostavi¢emo suprotno da je

vw � φ. Tada je

φ1 = (vw − φ)+ > 0. Neka je 0 < h ∈ Cφ, treba napomenuti da je (0 ≤ φ1 ≤

(λvu − φ)+ = (φ − λvu)−) onda je φ1 ⊥ ψ. Na osnovu Teoreme 58 sledi Cφ1 = Cψ.

Otuda je h ⊥ g i kori£enjem Teoreme 58 sledi h(Cg) = {0}. Konkretno vaºi h(v) = 0.Moºe se uo£iti

0 < φ1(h) = (vw − φ)+(h) ≤ v

w(h) ≤ vv(h) = h(v) = 0,

²to je nemogu¢e. Dokaz se zavr²ava ovom kontradikcijom.�Ako je L Arhimedov Risov prostor, M Dedekind kompletan Risov prostor i 0 ≤ T ∈Ln(L,M), de�ni²emo T δ : Lδ −→M sa

T δ(u∗) = inf{T (v) : v ∈ L i v ≤v

u∗}

za svakovu∗ ∈ Lδ, Dedekind zav²etak u L. Tranzitivnost naredbe T podrazumeva

da je

T δ(u∗) = inf{T (w) : w ∈ L iv

u∗ ≤ w}.

Ovo pokazuje da je T δ : Lδ −→M pozitivan operator koji zadovoljava T δ(u) = T (u)za svako u ∈ L. Takodje, ako u∗α ↓ 0 u Lδ, onda postoji niz {vλ} u L gde je vλ ↓ 0 uL i takav da za svako λ postoji indekst α takav da je vλ ≥ u∗α. Kako je T neprekidanvaºi T δ(u∗α) ↓ 0 u M tj. Tδ ∈ Ln(Lδ,M). Time je odredjeno preslikavanje T 7→ T δ,iz |Ln(L,M)|+ u |Ln(Lδ,M)|+ koje je ”1− 1” i ”na” preslikavanje.Osim toga aditivan je na |Ln(L,M)|+ na osnovu Leme 53 pro²iruje se linearnimoperatorom sa L(L,M) na L(Lδ,M) preko formule T δ = (T+)δ − (T−)δ.Ako je S ∧ T = 0 u Ln(L,M) onda za svako 0 ≤ u ∈ L vaºi:

0 ≤[Sδ ∧ T δ

](u)

= inf{Sδ(v∗) + T δ(w∗) : 0 ≤ v∗, w∗ ∈ Lδ, v∗ + w∗ = 0}≤ inf{S(v) + T (w) : v, w ∈ L+, v + w = u}= [S ∧ T ] (u) = 0.

Dakle,[Sδ ∧ T δ

](u) = 0 za svako u ∈ L [budu¢i da je L gust u Lδ i Sδ ∧ T δ ∈


Ln(Lδ,M)] stoga vaºi[Sδ ∧ T δ

](u∗) = 0 za svako u∗ ∈ Lδ tj.

[Sδ ∧ T δ

](u) = 0 u

Ln(L,M).

Teorema 69. Ako je L Arhimedov Risov prostor i M Dedekind kompletan Ri-sov prostor, onda je preslikavanje T 7→ T δ Risov izomor�zam izmedju Ln(L,M) iLn(Lδ,M).Konkretno, za svaki Arhimedov Risov prostor L, Risovi prostori Lvn i (Lδ)vn su Risoviizomor�zmi preko φ 7→ φδ.

Kona£ni rezultat ovog dela otkriva odnos izmedju Risovih homomor�zma Risovogprostora i diskretnih elemenata njegovog dualnog reda.

Teorema 70. Za Risov prostor L i neko 0 < φ ∈ Lv slede¢a tvrdjenja su ekviva-lentna:

1) φ je Risov homomor�zam (iz L u R);

2) φ je diskretan element od Lv tj. Lvφ = {λφ : λ ∈ R}.

Dokaz. 1) ⇒ 2) Neka je φ Risov homomor�zam i neka je ψ ∈ Lv za 0 ≤ ψ ≤ φ.Ako u ∈ Kerφ onda je

|ψ(u)| ≤ ψ(|u|) ≤ φ(|u|) = |φ(u)| = 0,

sledi da je ψ(u) = 0 tako da je Kerφ ⊆ Kerψ. Poslednja inkluzija je ekvivalentnasvojstvu da je ψ = λφ za neko λ ∈ R.2) ⇒ 1) Neka je φ diskretan element. Moºe se zapaziti da |ψ| ≤ φ podrazumevaψ = λφ. Za neko |λ| ≤ 1, vaºi

|ψ(u)| = |λφ(u)| = |λ||φ(u)| ≤ |φ(u)|,

za svako u ∈ L. Na osnovu Teoreme 58 sledi da za svako u ∈ L vaºi

ψ(u) = max{|ψ(u)| : ψ ∈ Lv i |ψ| ≤ φ} ≤ |φ(u)|,

odatle (kako uvek vaºi |φ(u)| ≤ φ(|u|)) se dobija da vaºi φ(|u|) = |φ(u)| za svakou ∈ L. Dakle, φ je Risov homomor�zam, ovim se zavr²ava dokaz teoreme.�

Glava 5

Primena u ekonomiji

5.1 Preference i funkcije korisnosti

U ovoj glavi se uvodi matemati£ko opisivanje osnovnih pojmova trºi²ne eko-nomije. Podrazumeva¢e se da potro²ac ili neko ko u njegovo ime odlu£uje, morana£initi izbor po nekom kriterijumu. Skup svih alternativa koje su na raspolaganjepotro²a£u, naziva se skup izbora, ili skup mogu¢nosti. Ovaj skup ozna£ava se slo-vima X,Y ,... Kriterijum po kome potro²ac vr²i izbor, jeste preferenca. Preferencajeste kompletno pre-uredjenje na skupu svih izbora.Diskusiju po£injemo de�nicijom preference.

De�nicija 27. Preferenca � na nepraznom skupu X jeste binarna relacija, koja je,re�eksivna, tranzitivna i kompletna. Drugim re£ima:

1) (∀x ∈ X)x � x;

2) (∀x, y, z ∈ X)x � y ∧ y � z =⇒ x � z;

3) (∀x, y ∈ X)x � y ∨ y � x.

Napomena 3. Preferenca iz prethodne de�nicije naziva se i racionalna preferenca.

Terminologija koja se koristi je slede¢a, za x, y ∈ X:x � y: x nije lo²ije od y, ili y nije bolje od x; ekvivalentno, y 4 x;x � y i y < x; x i y su uzajemno indiferentni, u oznaci x ∼ y;x � y: x � y i nije y � x; x je strogo bolje od y; ekvivalentno, y ≺ x.Za x ∈ X de�ni²u se slede¢i skupovi:

Bs(x) = {y ∈ X : y � x}, Bl(x) = {y ∈ X : y � x}

Ws(x) = {y ∈ X : x � y}, Wl(x) = {y ∈ X : x � y}.

U skupu Bs(x) su svi elementi koji su bolji od x, a u skupu Bl(x) su svi elementikoji nisu lo²iji od x.U skupu Ws(x) su svi elementi koji su lo²iji od x a u skupu Wl(x) su svi elemetnikoji nisu bolji od x. Iz de�nicije preference proizilazi naredni rezultat.

51

Primena u ekonomiji 52

Teorema 71. Neka je � preferenca na X. Tada za svako x ∈ X vaºi

(Bs(x))c = Wl(x), (Ws(x))c = Bl(x).

U daljim razmatranjima neophodno je da skupX ima odredjenu topolo²ku struk-turu. Neka je τ topologija na X (familija otvorenih skupova na X), i neka je ϕodgovaraju¢a familija zatvorenih skupova na X.

De�nicija 28. Neka je � preferenca na topolo²kom prostoru X. Preferenca � je :

1) odozgo poluneprekidna, ako je za svako x ∈ X skup Bl(x) zatvoren;

2) odozdo poluneprekidna, ako je za svako x ∈ X skup Wl(x) zatvoren;

3) neprekidna, ako je odozgo i odozdo poluneprekidna.

Nadalje neka jeX realni vektoriski prostor. Ako jeX topolo²ki vektorski prostor,onda je topologija τ na vektorskom prostoru X, takva da su operacije sabiranjavektora, kao i mnoºenja vektora skalarom, neprekidne funkcije (iz X ×X u X, i izX × R u X).Moºemo de�nisati konveksnost i monotonost preference.

De�nicija 29. Neka je K konveksan podskup vektorskog prostora X, i neka je �preferenca na K. Tada:

1) � je konveksna na K, ako je skup Bl(x) konveksan za svako x ∈ K;

2) � je strogo konveksna na K, ako je skup Bl(x) strogo konveksan za svakox ∈ K.

De�nicija 30. Neka je (X,≥) uredjen vektorski prostor, i neka je � preferenca naX. Tada je:

1) � je monotona u odnosu na ≥, ako za svako x, y ∈ X, iz x ≥ y sledi x � y;

2) � je strogo monotona u odnosu na ≥, ako za svako x, y ∈ X, iz x > y sledix � y.

De�nicija 31. Neka je � preferenca na nepraznom skupu X. Realna funkcija u :X −→ R je funkcija korisnosti za preferencu �, ako vaºi ekvivalencija:

(∀x, y ∈ X)u(x) ≥ u(y)⇔ x � y.

Tada funkcija u reprezentuje preferencu � na skupu X.

Primer 2. Neka je u : X −→ R proizvoljna realna funkcija na nepraznom skupuX. De�ni²emo realaciju � na X na slede¢i na£in:

x � y ⇔ u(x) ≥ u(y), x, y ∈ X.

Tada je, trivijalno, � preferenca odredjena funkcijom u, i takodje je u funkicjakorisnotsti za preferencu �.


5.2 Ekonomija razmene

Jedan od osnovnih ekonomskih razloga povezanih sa bilo kojim trºistem je dual-nost robne cene. G. Debreu je prvi izrazio u smislu dvojnog para 〈X,X ′〉. Vektorskiprostor X je prostor robe i njegovi vektori su poznati kao robni vektori (ili, jedno-stavno kao roba), dok je X

′prostor cena i njegovi vektori se nazivaju cenama. Par

〈x, x′〉 se tuma£i kao vrednost robe x po ceni x′. Naj£e²e se vektori cene ozna£avaju

slovima p, q, ... Uredjen par 〈x, p〉 pretstavlja¢e vrednost robe x po ceni p, ta vred-nost ozna£ava¢e se sa x · p.Sledi formalna de�nica ekonomije razmene.

De�nicija 32. Ekonomija razmene je uredjen par

ε =(〈X,X ′〉, (X1,�1, w1), ..., (Xm,�m, wm)

)gde je:

1) Dvojnost robne cene je opisana dvostrukim parom 〈X,X ′〉, gde je X robniprostor a X

′prostor cena;

2) Ekonomija ima m potro²a£a. Svaki potro²a£ i ima potro²a£ki skup Xi ⊂ X ipo£etni kapital wi ∈ Xi;

3) Ukus svakog potro²a£a i opisan je preferencom �i na potro²a£kom skupu Xi.

Vektor w =m∑i=1

wi je poznat kao ukupna vrednost. De�ni²u se Risovi parovi i

parovi re²etka.

De�nicija 33. Risov par 〈L,L′〉 je dualni par gde je L Risov prostor i L′je ideal u

uredjen dualni prostor L∼.Sli£no, par re²etaka 〈L,L′〉 je dualni par gde je L Risov prostor i L

′Risov potprostor

uredjenog dualnog prostora L∼.

Konkretno, ako L∼ odvaja ta£ke u Risov prostoru L, onda je L,L∼ automatskiRisov par.

De�nicija 34. Risov par 〈L,L′〉 je simetri£an ako je L ideal u (L′)∼, ili, ekviva-

lentno, ako je 〈L′ , L〉 Risov par.

Ako je 〈L,L′〉 par re²etke, onda je proizvoljan element x ∈ L+ strogo pozitivan,u oznaci x � 0, ako je 〈x, x′〉 > 0 za svako 0 < x

′ ∈ L′ . Ako je L = Rl, onda jepozitivan vektor strogo pozitivan ako i samo ako je svaka komponenta od x strogopozitivna. Konkretno, vektor 0 < x

′ ∈ L′je strogo pozitivan ako 0 < x ∈ L+

podrazumeva 〈x, x′〉 > 0.Na osnovu prethodnog moºemo klasi�kovati ekonomiju prema prostoru robe i cena.

De�nicija 35. Ekonomija razmene se naziva:

• Risova ekonomija, ako je njena robna-cenovna dualnost opisana Risovim pa-rom 〈L,L′〉 i potro²a£ki skup je L+;


• Ekonomija re²etke, ako je njena robna-cenovna dualnost opisana parom re²etka〈L,L′〉 i potro²a£ki skup je L+;

• Risova robna ekonomija, ako je prostor robe Risov prostor;

• Risova ekonomija cene, ako je prostor cene Risov prostor;

• Konveksna ekonomija, ako su preference i potro²a£ki skupovi konveksni;

• Kona£no dimenzionalna ekonomija, ako je to konveksna Risova ekonomija saRisovim parom (Rl,Rl) i ukupna vrednost je strogo pozitivna.

55

Literatura

[1] C. D. Aliprantis, O. Burkinshaw, Locally solid Riesz spaces with applications,American Mathematical Society, Providence Ri, 2003.

[2] W. A. J. Luxemburg, A.C. Zaanen Riesz Spaces I, North-Holland, Amsterdam,1971.

[3] Dragan S. Djordjevi¢ Funkcionalna analiza u ekonomiji, autorizovana predava-nja, Univerzitet u Ni²u, Prirodno-matemati£ki fakultet, Ni² 2016.

[4] C.D. Aliprantis, E. Langford Order completion of Archimedean Riesz spaces andl-groups, Algebra Universalis, 1984.

[5] J.Quinn, Intermediate Riesz spaces, Paci�c J. Math. 1975.

[6] W.Maxey, The Dedekind completion of C(X) and its second dual, Ph.D. Disser-tation, Purdue University, West Lafayette, Indiana, 1973.

[7] F. Riesz, Sur quelques notions fondamentals dans la theorie generale des opera-tions lineaires, Ann. of Math. 1940. (This work was published �rst in 1937 inHungarian.)

[8] L. V. Kantorovich, Concerning the general theory of operations in partially or-dered spaces, DAN SSSR, 1936.

[9] H. Nakano,Modulared Semi-Ordered Linear Spaces, Maruzen Co., Tokyo, 1950.

[10] C. D. Aliprantis and K. C. Border,In�nite Dimensional Analysis, A HitchhikersGuide, 2nd Edition, Springer-Verlag, Heidelberg and New York, 1999.

Biogra�ja

Aleksandar Dim£i¢ je ro�en 09.08.1992. godine u Leskovcu.Osnovnu ²kolu � Svetozar Markovi¢� u Leskovcu upisao je 1999. godine i zavr²io kaonosilac diplome �Vuk Karadzi¢�. Trgovinsko-ugostiteljsku ²kolu u Leskovcu, smerturisti£ki tehni£ar, upisao je 2007. godine i zavr²io 2011. godine.

2011. godine upisao je osnovne akademske studije matematike, na Departmanuza matematiku, Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, koje je zavr²io 2015. go-dine. Iste godine upisao je master akademske studije takodje na Departmanu zamatematiku, Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, studijski program: verovat-no¢a, statistika i �nansijska matematika, koje je zavr²io 2017. godine.

56

Прилог 5/1

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: монографска Тип записа, ТЗ: текстуални / графички Врста рада, ВР: Мастер рад Аутор, АУ: Александар Димчић Ментор, МН: Драган Ђорђевић Наслов рада, НР:

РИСОВИ ПРОСТОРИ И ПРИМЕНА У ЕКОНОМИЈИ

Језик публикације, ЈП: српски Језик извода, ЈИ: енглески Земља публиковања, ЗП: Р. Србија Уже географско подручје, УГП: Р. Србија Година, ГО: 2017. Издавач, ИЗ: ауторски репринт Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33. Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога) 56 стр. Научна област, НО: Математика Научна дисциплина, НД: Рисови простори Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Идеали, траке, дуални простори, економија

УДК 517.98 330.1

Чува се, ЧУ: библиотека

Важна напомена, ВН:

Извод, ИЗ: У овом раду разматрани су векторски простори са уређењем и то Рисови простори, типови конвергениције, као и раздвојени компламенти потпростора. Испитивани су линеарни оператори на векторским просторима са уређењем као и дуални простори простора са уређењем.

Датум прихватања теме, ДП:

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије, КО: Председник: Др Миљана Јовановић Члан: Др Марија Милошевић Члан, ментор: Др Драган Ђорђевић Образац Q4.09.13 - Издање 1

Прилог 5/2

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO: Identification number, INO: Document type, DT: monograph Type of record, TR: textual / graphic Contents code, CC: Master thesis Author, AU: Aleksandar Dimčić Mentor, MN: Dragan Đorđević Title, TI:

RIESZ SPACES WITH APPLICATIONS TO ECONOMICS

Language of text, LT: Serbian Language of abstract, LA: English Country of publication, CP: Republic of Serbia Locality of publication, LP: Serbia Publication year, PY: 2017 Publisher, PB: author’s reprint Publication place, PP: Niš, Višegradska 33. Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes) 56 p.

Scientific field, SF: Mathematics Scientific discipline, SD: Riesz spaces Subject/Key words, S/KW: Ideals, bands, dual of a Riesz spaces, economy

UC 517.98 330.1

Holding data, HD: library

Note, N:

Abstract, AB: In this assignment vector spaces with arrangement are considered such as Risez spaces tipes of convergence and separated complementary subspaces. Linear operators on vector spaces with arrangement were verified as well as dual spaces of spaces with arrangement.

Accepted by the Scientific Board on, ASB: Defended on, DE: Defended Board, DB: President: Dr Miljana Jovanović Member: Dr Marija Milošević Member, Mentor: Dr Dragan Đorđević

Образац Q4.09.13 - Издање 1

risovi prostori i primena u ekonomiji

Documents