※ RLC 一階與二階暫態響應 1. 在下圖電路中，電阻值= 5 Ω, 電感值為 1 H, Vs=10 (V), 若在 t = 0－ 時為直流穩態，試求 t > 0 時之 v(t)?

Ans: 從 s2 + (R/L)s+1/(LC)=0, 得 s2+5s+6=0, s=-2, -3, 故 I(t)=Aexp(-2t)+Bexp(-3t) 又 i(0-)=10/5=2 (A) ….等式 1, v(0)=Vs-5i(0-)-di(0-)/dt=0, di(0-)/dt=0, 代入 I(t)得等式 2, 聯立解得 A=6, B=-4, 故 v(t)=Vs-5i(t)-di(t)/dt=10 -18exp(-2t)+8exp(-3t), 2. 一個 RLC 串聯電路，電阻值= 2 Ω, 電感值為 0.5 H, 電容值為 0.5 F, 電源為 Vs= 10*e -t (V)，試求 t > 0 時電流之零態響應? Ans: 從 s2 + (R/L)s+1/(LC)=0, 得 s2+4s+4=0, s=-2,重根, 齊次解 I(t)=A exp(-2t) + B t exp(-2t), 又由 I''+I'R/L+I/LC=Vs/L, 特解=20exp(-t), 完全解 I(t)=A exp(-2t) + B t exp(-2t)+ 20exp(-t), 因是零態, I(0)=0, 解 A= -20, 且零態表示 Vc(0)= Vs(0)-R*I(0)- di(t)/dt=0, 將 di(t)/dt 以 t=0 帶入得, B=0, so I(t)=20 exp(-t) - 20 exp(-2t)

3. 下圖電路中求 i(0+), v(0+), di(0+)/dt 及 dv(0+)/dt , 設 i(0-)= v(0-)= 0

4. 將左下圖有驅動之 RC 電路, 其中電源=30 (V), 初始條件 v(0－)= 15(V)，X=2，試求 t > 0 之 v(t)?

Ans:依分壓定律 v(∞)=30*8/(8+4)=20 V, 又時間常數為=RC=(8//4*C)=(8/3)*(1/3)=8/9 故 v(t)= v(∞)+ [v(0)- v(∞)]exp(-t/τ)= 20 – 5 exp(-9t/8), (V)

5. 在下圖電路中， 已知 i(0－) = 2A，求 t > 0 之 i(t)。

6. 重看上題電路，回答何者為真(a)若開關合上前電路已達穩態, 則 i(0－)≠0 A (b)開關合上的 t=0 時, 最右邊電阻有最大電流 (c)故依歐姆定律，開關合上的 t=0 時,電感有最大電流流過 (d) t ∞時, 電感呈現短路現象, 最右邊電阻的大小不影響最後 i(t)值

Ans: (b)(d)

7. 如圖之電路，開關閉合在a已經一段很長時間，而在時間t = 0時瞬間移動到b。

a.求出以下的電流初值：iL(0)。

b.求出iL(t)之微分方程。

c.求出 iL(t)之時域解。

答：a. iL(0)=1A ; b. 010 =+′ iiL ; c. iL(t)=e

-10t

8. 如下圖，求 t≥ 0 時的 )(tvc

答： )(tvc =tt ee −− − 2436 3/2

9. 如下圖，電路內的開關於 t=0 時閉合，求開關閉合後的電壓 v(t)

答：v(t)=2t-32te

10. 如下圖所示含有電容、電感及電阻之直流電路，已知電感 L 為 1 H、電容 C 為 3 F，則到達穩

態時，流經 2Ω電阻之電流大小為多少安培？

答：4.6A

11. 如圖所示，穩態時之電感電流 iL 為多少安培？

答：5A

※ 交流阻抗

1. 在右上圖電路中, 若 Vs 為頻率 f 的交流電源, 則 f 為多少時電路有純電阻效應? (10%) Ans: f=[2π√(LC]]-1 =3559 Hz 2. 若 v1(t) = 20 sin(8t + 10°), 而 v2(t) 分別是 (a)-5 sin(8t - 25°), (b) 5 cos(8t – 20°), 求 v1(t)領先或落後 v2(t)多少角度 ? (10%) Ans: (a) V1 落後 145 度, (b) V1 落後 60 度 3 R=10 Ω, 與 C=20 μF 串聯接於 110V, 60Hz 之正弦電壓, 求(a)電容之容抗 Xc= ?, (b)電阻上的.電壓大小(即絕對值)? (5, 5%) Ans: (a)Xc= 1/(ωC)=1/[2* π *60*20 μ]=132.63 Ω, (b)=110*10/√[10*10+132.63*132.63]=8.27 V 4. 若串聯 RLC 電路, R=10 Ω, C=1/9 μF, L= 2 mH, 當電源 V(t)=110cos(10000*t)時, (a)求總阻抗

值, (b)電流 I(t)=? (10,15%) Ans: (a)=R+jωL+1/(jωC), 將 RLC 值帶入, 其中ω=10000, 最後解=10-j880 Ω 5. 計算下列問題: (a)已知相量 C = 10 ∠30 o , 且 C =A + j B, 試求直角坐標式之實部 A=?, 虛部 B=? (5%) Ans: A=5√3, B=5 (b) 將 6 ∠-60 o , 換算成直角坐標? (5%), Ans: = 3-j3√3

(c)試利用尤勒公式: ejθ =cosθ + j sinθ, 化簡 e3+jπ/2 = ? (5%)

Ans: je3 (d) 若一電壓相量 V1 = 10∠45o , 且頻率 f =100Hz, 求交流正弦電壓 V1(t)=? (V), (5%) Ans: 5√2cos(628.32t+45 o)或 5√2sin(628.32t+45 o) 6. 一個 RL 串聯電路，若電源 Vs(t)=100sin3t (V), L= 2 H, R= 8 Ω, 請用相量法求穩態電流i(t) ?

7. 在下圖中，求從電源看入的功率因數，並說明其為領先或是落後。

8. 求圖 (a) 中 a-b 端左邊相量電路之戴維寧等效電路，並求相量電流。

解

9. 某電源 Vs =120 V，驅動負載為 ZL 而得到電流 Is = 1∠- 45o , (a)求負載所消耗的實功率為多少, (b) 負載 ZL=? ，(c)若想將功率因素提升為 0.9 (落後) ，則應在負載端並聯多大電容(設頻率 60Hz)? Ans: (a)P=VIcosθ =120*1*1/√2=120/√2 W 或 84.85 瓦 (b) ZL=V/I=120∠45o 或=120/√2 +j120/√2 Ω或=84.85+j84.85 Ω (c)原無功功率 Q= VIsinθ =120*1*1/√2=120/√2 VAR 或 84.85 乏 功率因素為 0.9 時無功功率 Q’=84.85 瓦*tan(cos-10.9)=41.09 VAR 差異為 41.09-84.85= -43.76 VAR = -ωCV2=2π*60*C*1202, C=8.06 μF 10. 如圖所示之電路，若 R=100Ω，C=10μF，L=5mH， ii=0.1sin4000t 安培，下列何者為其總阻抗？

答：Z=50-j50Ω

11. 如下圖 RLC 電路，其中 R=90 Ω 、L=10mH 和 C=1mF。用相量法求穩態電流 i

答：i(t)=7.86cos(100t+ o45 )

12. 如圖所示之交流電路，其輸入阻抗 Zin為多少 Ω？

答：10+j10

13. 電路如圖之交流穩態，當電流 I 為最小時，其電容 C 與電阻 R、電感 L 及電源角頻率 ω 的關

係為：

答： 22 )( LRLcω+

=

※磁耦合電路 1. 有兩線圈它們的自感分別為 L1＝100mH 及 L2＝1mH，兩者間的耦合係數為 k＝0.5。若 i1＝

10cos(4000πt)及 i2＝0 時，v1(t)及 v2(t)為多少？ Ans: 因 L1＝100mH，L2＝1mH，及 k＝0.5，故互感為： 由此可知

2. 求下面偶合電路等效電感值 Ans: 因為是串聯，所以 v(t)＝v1(t)＋v2(t) [V] 及 i(t)＝i1(t)＝i2(t) [A] 將上兩式相加，可得 其等效電感為： Leq＝L1＋L2－2M [H] 3. : 如下圖所示為一線圈耦合對之並聯連接的兩種方式，試求此種接法的等效電感。

解:

][511005.0 mHM =×=

])[4000sin(6.12)]4000cos(01.0[100.0)(1 Vttdtdtv ππ −=×=

])[4000sin(628.0)]4000cos(01.0[005.0)(2 Vttdtdtv ππ −=×=

][)()()()()( 12111 VdttdiML

dttdiM

dttdiLtv −=−=

][)()()()()( 22212 VdttdiML

dttdiL

dttdiMtv −=+−=

][)()2()( 21 VdttdiMLLtv −+=

4. 上題耦合線圈所儲存的能量公式 何者為是? w(t)= (a) (L1*i12)/2 + (L2*i22)/2, (b) (L1*i12)/2 + (L2*i22)/2 + 2*M*i1*i2, (c) (L1*i12)/2 + (L2*i22)/2 + M*i1*i2/2, (d) (M*i12)/2 + (M*i22)/2 + L1*i1*i2+ L2*i1*i2 Ans: (b) 5. 試利用理想變壓器的反射特性, 求下圖於 a-b 端點的戴維寧等效電路。

解

6. 試求左下圖的 V2(t)與 1 Ω電阻所消耗的功率，

[解]：設流過 1Ω電阻的電流為 I3，因為是開路所以 I2＝0，而

101III o1S3 −∠=−= 對耦合線圈左側應用 KVL 可得： I3＝jI1－jI2 因此 21

o jIjI)101( −=−∠ I1(1＋j)－jI2＝1∠0o

]A[452

1j1

1I o1 −∠=+=

]A[452

1452

11I oo3 ∠=−∠−=

I3 的有效值為：

]A[21I )rms(3 =

1Ω電阻所消耗的功率 P 為：

]W[411)

21(P 2 =×=

]V[1352

1jII2jV o122 −∠=−=

]V)[135tsin(22)t(v o2 −=

7. 如下圖所示之電路，其互感 M 之大小為 2 亨利(H)， 求該電路之總電感量為多少亨利？

答：6H

8. 某電路如圖所示，當電流到達穩定後，則兩線圈共計儲存之能量為多少焦耳？

答：150 焦耳

9. 如圖所示之兩電感器並聯電路，其互感大小 M = 1 亨利，試計算總電感量 Lab

為多少亨利？

答：1.4H

10. 如圖所示之電路為理想變壓器，當V2 之峰值電壓為20，則下列何者為初級圈之峰值電流？

答：7.5A

11. 如下圖，若 i1=3e-20t A，i2=18e-20t A，試求： (a) v1(t) (b) v2(t) (c) vs (t)

答：(a) -228e-20t (b) -540e-20t (c) -78e-20t