roboticai cinematica directa

ROBTICA ICinemtica Directa

M. C. Jorge Luis Barahona Avalos 13 de abril de 2011 Universidad Tecnolgica de la Mixteca Instituto de Electrnica y Mecatrnica

ROBTICA I

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ndice General

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Cinemtica Directa Cadena Cinemtica Abierta Convencin de Denavit-Hartenberg Cinemtica de estructuras tpicas de manipuladores

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Cinemtica Directa

Introduccin

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Un manipulador consiste de una serie de cuerpos rgidos (eslabones links) conectados por medio de pares cinemticos o articulaciones (joints). Las articulaciones pueden ser esencialmente de dos tipos: giratorias o prismticas. La estructura completa forma una cadena cinemtica. Un extremo de la cadena est restringido a una base. Un efectornal (pinza, herramienta, etc.) est conectado al otro extremo permitiendo la manipulacin de objetos en el espacio.

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Cinemtica Directa

Tipos de articulaciones

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Cinemtica Directa

Cinemtica Directa1

Desde un punto de vista topolgico, la cadena cinemtica se denomina abierta, cuando slo existe una secuencia de eslabones conectando los extremos de la cadena. Por el contrario, una manipulador contiene una cadena cinemtica cerrada cuando una secuencia de eslabones forman una trayectoria cerrada. La estructura mecnica de un manipulador se caracteriza por un nmero de grados de libertad (GDL) o en ingls DOF (Degree Of Freedom), los cuales determinan en forma nica su postura.

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Observacin: El trmino posture de una cadena cinemtica, denota la pose de todos los cuerpos rgidos que componen la cadena. Siempre que la cadena cinemtica se reduzca a un slo cuerpo rgido, entonces la posture coincide con la pose del cuerpo.ROBTICA I 5 / 34

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Posicin y orientacin del efector nal

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Cinemtica Directa

Cinemtica Directa1

Cada GDL se asocia tpicamente a una articulacin, constituyndose as en una variable articular. El objetivo de la CINEMTICA DIRECTA, es calcular la pose del efector nal como una funcin de las variables articulares. Se mostr previamente, que la pose de un cuerpo rgido respecto a un sistema coordenado de referencia se describe mediante el vector de posicin del origen y de los vectores unitarios del sistema de referencia asignados al cuerpo. As, respecto al sistema de referencia Ob xb yb zb la matriz de transformacin homognea est dada por: Tb (q) = eb b ne (q) sb (q) ae (q) pb (q) e e 0 0 0 1

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Cinemtica Directadonde q Rn , es el vector de variables articulares, y ne , se y ae , son los vectores unitarios del sistema de referencia asignado al efector nal, y pe es el vector de posicin de dicho sistema de referencia respecto al origen de Ob xb yb zb . Obsrvese que ne , se , ae y pe son funciones de q. El sistema Ob xb yb zb se denomina sistema de referencia base. El sistema de referencia asignado al efecgtor nal, se denomina sistema de referencia del efector nal. El sistema de referencia del efector nal se elige de acuerdo a la geometra de la tarea particular..

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Cinemtica Directa

Cinemtica Directa1

Si el efector nal es una pinza, por ejemplo, el origen del sistema de referencia del efector nal se localiza en el centro de la pinza, ae se elije en la direccin aproximada del objeto, se se elije normal a ae en el plano de deslizamiento de las mordazas y ne se elije normal a los otros dos de modo tal que el sistema de referencia (ne , se , ae ) se rige por la regla de la mano derecha. Una primera aproximacin para calcular la cinemtica directa, la ofrece un anlisis geomtrico de la estructura del manipulador

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Ejemplo 1:Coinsidrese el robot planar de 2 GDL de dos eslabones de la siguiente gura.

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Ejemplo 1: Robot planar de 2 eslabones

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Cinemtica Directa

Cinemtica Directa

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Por geometra simple, por la eleccin de las variables articulares, por la eleccin del sistema de referencia base y por la eleccin del sistema de referencia del efector nal, se obtiene: Tb (q) = e 0 0 = 1 0 b b ne (q) sb (q) ae (q) pb (q) e e 0 0 0 1

S12 C12 0 0

C12 S12 0 0

a1 C1 + a2 C12 a1 S1 + a2 S12 0 1

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Cinemtica Directa

Cinemtica directa

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No es difcil inferir que la efectividad de la aproximacin geomtrica al problema cinemtico directo est basado, primero, en una seleccin conveniente de las cantidades relevantes y luego en la capacidad e intuicin geomtrica de quien resuelve el problema. Siempre que la estructura del manipulador es compleja y el nmero de articulaciones se incrementa, es preferible adoptar una solucin menos directa que est basada en un procedimiento sistemtico general.

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Cadena Cinemtica Abierta

Cadena Abierta1

Considrese un manipulador de cadena abierta constituido por n + 1 eslabones conectados por n articulaciones, donde el eslabn 0 est convencionalmente jado a tierra. Se supone que cada articulacin proporciona la estructura mecnica con un slo GDL correspondiente a la variable articular. La construccin de un procedimiento operativo para el clculo de la cinemtica directa se deriva naturalmente de la tpica cadena cinemtica abierta de la estructura del manipulador. De hecho, ya que cada articulacin conecta dos eslabones consecutivos, es razonable considerar primeramente la descripcin de la relacin cinemtica entre eslabones consecutivos y entonces obtener la descripcin total de la cinemtica del manipulador en una forma recursiva.ROBTICA I 13 / 34

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Transformaciones de coordenadas: Cadena cinemtica abierta

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Cadena Abierta1

Para este propsito, vale la pena denir un sistema coordenado asignado a cada eslabn, desde el eslabn 0 hasta el eslabn n. Entonces, la transformacin de coordenadas que describe la posicin y la orientacin del sistema coordenado n con respecto al sistema coordenado 0 est dada por: T0 (q) = A0 (q1 )A1 (q2 ) . . . An1 (qn ) n 1 2 n

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Entonces, como ya se dijo, el clculo de la funcin cinemtica directa es recursiva y se obtiene en una forma sistemtica por productos simples de las matrices de transformacin homognea Ai1 (qi ), i = i 1, 2, . . . , n, cada una de las cuales es funcin de una sola variable articular.

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Cadena Abierta

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Con respecto a la cinemtica directa del dispositivo del ejemplo anterior, la transformacin de coordenadas real, que describe la posicin y la orientacin del efector nal con respecto al sistema base, se puede obtener como: Tb (q) = Tb T0 (q)Tn e 0 n e donde Tb y Tn son dos transformaciones homogneas constantes 0 e que describen la posicin y orientacin del sistema 0 con respecto a la base y del efector nal respecto al sistema n, respectivamente.

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Convencin de Denavit-Hartenberg

Convencin de Denavit-Hartenberg1

Para calcular la ecuacin de cinemtica directa de un manipulador de cadena abierta de acuerdo a la expresin recursiva vista con anterioridad, se tiene un mtodo sistemtico general para denir la posicin y orientacin relativa de dos eslabones consecutivos. El problema es aqul de determinar dos sistemas coordenados asignados a los dos eslabones y calcular las transformaciones de coordenadas entre ellos. En general, los sistemas coordenados pueden elegirse arbitrariamente siempre y cuando estn asignados al eslabn al cual son referidos. Con referencia a la gura de la siguiente pgina, sea el eje i el eje de la articulacin que conecta a los eslabones i 1 e i; se adpta la as llamada Convencin de Denavit-Hartenberg (DH) para denir el sistema de referencia i.ROBTICA I 17 / 34

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Parmetros cinemticos DH

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Convencin DHEljase el eje zi a lo largo del eje de la articulacin i + 1 Localizar el origen Oi en la interseccin del eje zi con la normal comn a los ejes zi1 y zi . Tambin localizar Oi en la interseccin de la normal comn con el eje zi1

Nota:La normal comn entre dos lneas es la lnea que contiene el segmento de distancia mnima entre las dos lneas Seleccionar el eje xi a lo largo de la normal comn a los ejes zi1 y zi con direccin de la articulacin i a la aticulacin i + 1. Elegir el eje yi de modo tal que se complete un sistema coordenado regido por la regla de la mano derecha.

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Convencin DHLa convencin DH proporciona una denicin no-nica del sistema de referencia del eslabn en los siguientes casos:Para el sistema 0, slo se especica la direccin del eje z0 . Entonces O0 y x0 se pueden elegir arbitrariamente. Para el sistema n, ya que no existe una articulacin n + 1, zn no est denido en forma nica mientras que xn tiene que ser normal al eje zn1 . Tpicamente, la articulacin n es giratoria, y as zn est alineada con la direccin de zn1 . Cuando dos ejes consecutivos son paralelos, la normal comn entre ellos no est denida de manera nica. Cuando dos ejes consecutivos se intersectan, la direccin del eje xi es arbitraria. Cuando la articulacin i es prismtica, la direccin de zi1 es arbitraria.ROBTICA I 20 / 34


Convencin DH1

En los casos anteriores, se puede explotar la indeterminacin para simplicar el procedimiento; por ejemplo, los ejes de sistemas consecutivos pueden hacerse paralelos. Una vez que los sistemas de referencia de los eslabones se han establecido, la posicin y orientacin del Sistema i respecto al sistema i 1 est completamente denida por los siguientes parmetros:ai , la distancia entre Oi y Oi di , la coordenada de Oi a lo largo de zi1 i , el ngulo entre los ejes zi1 y zi alrededor del eje xi , positivo cuando la rotacin es CCW. i entre los ejes xi1 y xi alrededor del eje zi1 , positivo cuando la rotacin es CCW.

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Convencin DHDos de los cuatro parmetros (ai y i ) son siempre constantes y dependen nicamente de la geometra de la conexin entre articulaciones consecutivas establecidas por el eslabn i. De los dos restantes parmetros, slo uno es variable dependiendo del tipo de articualacin que conecta a los eslabones i 1 e i. En particular:Si la articulacin i es giratoria la variable es i . Si la articulacin i es prismtica, entonces la variables es di .3

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En ste punto, es posible expresar la transformacin de coordenadas entre el sistema i y el sistema i 1 de acuerdo a los siguientes pasos:

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Convencin DHElegir un sistema coordenado alineado con el sistema i 1. Trasladar el sistema seleccionado por di a lo largo del eje zi1 y rotarlo por i alrededor del eje zi1 ; esta secuencia alinea el sistema actual con el sistema i y es descrito por la matriz de transformacin homognea siguiente: Ci Si 0 0 S Ci 0 0 Ai1 (q) = i i 0 0 1 di 0 0 0 1 Trasladar el sistema alineado con el sistema i por ai a lo largo del eje xi y rotarlo por i alrededor del eje xi ; esta secuencia alinea el sistema actual con el sistema i y es descrito por la matriz de transformacin homognea de la siguiente diapositiva.ROBTICA I 23 / 34


Convencin DHLa matriz de transformacin correspondiente est dada por: 1 0 0 0 Ci Si Ai (q) = i 0 Si Ci 0 0 0 a lo comentado antes ai 0 0 1

La transformacin de coordenadas resultante se obtiene mediante posmultiplicacin de las transformaciones sencillas como sigue: Ci Si Ci Si Si ai Ci S Ci Ci Ci Si ai Si Ai1 (qi ) = Ai1 Ai i i 0 i i S i Ci di 0 0 0 1ROBTICA I

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Convencin DH1

Obsrvese que la matriz de transformacin del sistema i al sistema i 1 es una funcin nicamente de la variable articular qi , la cual es i para una articulacin giratoria o di para el caso de una articulacin prismtica. En resumen, la convencin DenavitHartenberg permite la construccin de la cinemtica directa mediante la composicin de transformaciones individuales de coordenadas como las de la diapositiva 24, en una transformacin de homognea dada en la diapositiva 15. El procedimiento de puede aplicar a cualquier cadena cinemtica abierta y puede ser reescrita en una forma operativamente fcil como sigue.

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Convencin DHPaso 1: Encontrar y numerar consecutivamente los ejes articulares; establecer las direcciones de los ejes z0 , . . . , zn1 . Paso 2: Elegir el sistema 0 localizando el origen en el eje z0 ; los ejes x0 y y0 de modo tal que se obtenga un sistema dado por la regla de la mano derecha. De ser posible, vale la pena elegir el sistema 0 para que coincida con el sistema base. Nota: Ejecutar los pasos 3 al 5 para i = 1, . . . , n 1:

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Convencin DHPaso 3: Localizar el origen Oi en la interseccin de zi con la normal comn a los ejes zi1 y zi . Si los ejes zi1 y zi son paralelos y la articulacin i es giratoria, entonces localizar Oi de modo tal que di = 0; si la articulacin i es prismtica, localizar Oi en una posicin de referencia para el rango de la articulacin, por ejemplo, un lmite mecnico. Paso 4: Elegir el eje xi a lo largo de la normal comn a los ejes zi1 y zi con direccin de la articulacin i a la articulacin i + 1. Paso 5: Elegir el eje yi de modo tal que se obtenga un sistema regido por la regla de la mano derecha.ROBTICA I 27 / 34


Convencin DHNota: Para terminar: Paso 6: Elegir el sistema n; si la articulacin es giratoria, entonces alinear zn con zn1 , si es prismtica, entonces elegir zn en forma arbitraria. El eje xn se establece de acuerdo al paso 4. Paso 7: Para i = 1, . . . , n, construya la tabla de parmetros ai , di , i , i . Paso 8: Con base a los parmetros obtenidos en el paso 7, calcule las matrices de transformacin homogneas Ai1 (qi ), para i i = 1, . . . , n. ROBTICA I

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Convencin DHPaso 9: Calcular la transformacin homognea T0 (q) = n 0 (q )A1 (q ) . . . An1 (q ), la cual produce la posicin y A1 1 2 2 n n orientacin del sistema n con respecto al sistema 0. Paso 10: Dadas Tb y Tn , calcular la funcin de cinemtica directa como e 0 Tb (q) = Tb T0 Tn , la cual produce la posicin y orientacin del e 0 n e sistema de referencia del sistema del efector nal con respecto al sistema de referencia del sistema base.

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Cinemtica de estructuras tpicas de manipuladores

Cinemtica de estructuras tpicas de manipuladores1

Esta seccin contiene varios ejemplos del clculo de la funcin de cinemtica directa para estructuras tpicas de manipuladores que son encontradas con frecuencia en robots industriales. Con referencia a la representacin esquemtica de la cadena cinemtica , los manipuladores son ilustrados generalmente, en postures donde las variables articulares, denidas de acuerdo a la convencin DH, son diferentes de cero; tales valores pueden diferir de las referencias nulas empleadas para la programacin de robots manipuladores. Por lo anterior, ser necesario sumar contribuciones constantes (oset) a los valores de las variables articulares medidas por el sistema de sensores del robot, a n de coincidir con las referencias.

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Robot planar de 3 eslabonesEjemplo 1: Robot planar de 3 eslabones

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Robot planar de 3 eslabones1

Como todos los ejes giratorios son paralelos, la seleccin ms simple se hace para todos los ejes xi a lo largo de la direccin de los eslabones relativos (la direccin de x0 es arbitraria) y todo yaciendo en el plano (x0 , y0 ). De esta manera, todos los parmetros di son nulos y los ngulos entre los ejes xi proporcionan directamente las variables articulares. En la siguiente tabla se muestran los parmetros DH correspondientes.

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Parmetros DH para el robot planar de tres eslabonesEslabn 1 2 3 ai a1 a2 a3 i 0 0 0 di 0 0 0 i 1 2 3ROBTICA I 32 / 34


Continuacin del ejemplo 1

Ya que todas las articulaciones son giratorias, la matriz de transformacin denida en la diapositiva 24, tiene la misma estructura para cada articulacin, es decir: Ci Si 0 ai Ci S Ci 0 ai Si Ai1 (i ) = i i 0 0 1 0 0 0 0 1 donde i = 1, 2, 3

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Continuacin del ejemplo 1

El clculo de la funcin de cinemtica directa como aquella dada en la diapositiva 15, est dada por: C123 S123 0 a1 C1 + a2 C12 + a3 C123 S C123 0 a1 S1 + a2 S12 + a3 S123 T0 (q) = A0 A1 A2 123 3 1 2 3 0 0 1 0 0 0 0 1

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