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"Matematica a mano"Matematica Recreativa

ContenidosArtículos

Matemática recreativa 1Tangram 3Sudoku 5Oso (juego) 10Cram 11Timbiriche (juego) 13

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 14Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 15

Licencias de artículosLicencia 16

Matemática recreativa 1

Matemática recreativaLa matemática recreativa es un área de las matemáticas que se concentra en la obtención de resultados acerca deactividades lúdicas, y también la que se dedica a difundir o divulgar de manera entretenida y divertida losconocimientos o ideas o problemas matemáticos.El concepto de matemática recreativa es tan viejo como lo son los juegos en los que interviene la lógica o el cálculode algún modo.Una de las personas que más ha contribuido a la divulgación de las matemáticas recreativas en nuestro tiempo fueMartin Gardner, con libros como El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos, Nuevospasatiempos matemáticos y otros muchos.

Algunos tópicos relacionados a matemática recreativa• el Sudoku• el cuadrado mágico• el cubo de Rubik• los fractales• el juego de Cram• el Tangram• el origami• 142857• el juego del oso• el timbiriche o juego de los cuadraditos• las poliformas

Personas que han contribuido a las matemáticas recreativasAlgunos divulgadores e inventores de problemas de matemáticas recreativas son:

Escritores y creadores de problemas clásicos• Édouard Lucas, matemático francés inventor en 1883 de las Torres de Hanói y que publicó entre 1882 y 1894 su

serie Récréations mathématiques.• W. W. Rouse Ball, autor del Mathematical Recreations and Essays (en español sería Juegos matemáticos

recreativos y ensayos) publicado por primera vez en 1892 y cuya última edición es de H. S. M. Coxeter.• Sam Loyd, norteamericano creador de numerosos rompecabezas que publicó entre 1891 y 1911, reunidos entre

otros libros en Los acertijos de Sam Loyd y Nuevos acertijos de Sam Loyd.• Henry E. Dudeney, inglés autor de numerosos rompecabezas y colaborador durante un tiempo de Sam Loyd.• Yákov Perelmán, escritor ruso de libros de divulgación.

Matemática recreativa 2

Columnistas y colaboradores de la revista Scientific American

• Martin Gardner, autor entre 1956 y 1981 de la columna Mathematical Games (publicada en español como Juegosmatemáticos) y de numerosos libros donde se recopilan los artículos de la columna.

• Solomon W. Golomb, colaborador de la columna Mathematical Games. En 1953 inventó el término pentominó yen 1957 apareció un artículo sobre los mismos.

• Douglas Hofstadter, escritor entre 1981 y 1983 de la columna Metamagical Themas (Temas metamágicos),anagrama de Mathematical Games.

• Alexander Keewatin Dewdney, autor entre 1984 y 1990 de la columna Computer Recreations (Juegos deordenador).

• Ian Stewart, autor de la columna Mathematical Recreations desde 1990 hasta 2001 y de numerosos libros.

Otros• Brian Bolt• John Horton Conway, autor en 1970 del juego de la vida.• Clifford A. Pickover, autor de numerosos libros de matemáticas recreativas.• Raymond Smullyan, autor norteamericano de numerosos libros de problemas lógicos.• Hugo Steinhaus• Marilyn vos Savant• Malba Tahan, seudónimo de Júlio César de Mello e Souza, autor de El hombre que calculaba.

Autores en español• Miguel de Guzmán, matemático español autor entre otros de Aventuras matemáticas.• Adrián Paenza, matemático argentino autor de Matemática... ¿Estás ahí?.

Enlaces externos• Matemáticas recreativas [1] - Acertijos matemáticos, lógica e ingenio.• Acertijos matemáticos [2] - Muchos acertijos con solución• CARROLLIA, boletín de matemáticas recreativas. [3]

• AuladeMate, juegos de matemáticas. [4]

• Zumo de neuronas, acertijos y juegos matemáticos. [5]

• Matemática recreativa y algo más [6]

Referencias[1] http:/ / www. eduardoochoa. com[2] http:/ / www. parapensar. com/ acertijos. html[3] http:/ / www. mensa. es/ carrollia[4] http:/ / www. aulademate. com/ contentid-190. html[5] http:/ / www. juegosdelogica. com/[6] http:/ / www. crucired. com. ar/

Tangram 3

Tangram

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Referencias en TangramEl Tangram (chino: 七巧板, pinyin: qī qiǎo bǎn; "siete tableros de astucia", haciendo referencia a las cualidades queel juego requiere) es un juego chino muy antiguo, consistente en formar siluetas de figuras con las siete piezas dadassin solaparlas. Las 7 piezas, llamadas "Tans", son las siguientes:• 5 triángulos de diferentes tamaños• 1 cuadrado• 1 paralelogramo o romboideNormalmente los "Tans" se guardan formando un cuadrado.

Típica figura a realizar.

Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de lasmás aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablocantonés "tang" que significa chino, con el vocablo latino "gram" quesignifica escrito o gráfico. Otra versión dice que el origen del juego seremonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en Chinala dinastía Tang de donde se derivaría su nombre. El Tangram se originómuy posiblemente a partir del juego de muebles yanjitu durante la dinastíaSong. Según los registros históricos chinos, estos muebles estabanformados originalmente por un juego de 6 mesas rectangulares. Másadelante se agregó una mesa triangular y las personas podían acomodar lasmesas de manera que formaran una gran mesa cuadrada. Hubo otravariación más adelante, durante la dinastía Ming, y un poco más tarde fuecuando se convirtió en un juego.

Hay una leyenda que dice que un sirviente de un emperador Chino llevabaun mosaico de cerámica, muy caro y frágil, y tropezó rompiéndolo enpedazos. Desesperado, el sirviente trato de formar de nuevo el mosaico enforma cuadrada pero no pudo. Sin embargo, se dio cuenta de que podíaformar muchas otras figuras con los pedazos.

Tangram 4

Historia del TangramNo se sabe con certeza quién inventó el juego ni cuándo, pues las primeras publicaciones chinas en las que aparece elsiglo XVIII, y entonces el juego era ya muy conocido en varios países. En China, el Tangram [2] era muy popular yse consideraba juego para mujeres y niños.

Una de las paradojas de Sam Loyd.

A partir del siglo XV, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y sevolvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes ypersonalidades del mundo de las ciencias y las artes; el tangram se habíaconvertido en una diversión universal. Napoleón Bonaparte se convirtió en unverdadero especialista en Tangram desde su exilio en la isla de Santa Helena.

En cuanto a las figuras que pueden realizarse con el Tangram [2], la mayorparte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tansólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formasgeométricas y se tenían aproximadamente 900. Los primeros libros sobre eltangram aparecieron en Europa a principios del siglo XIX y presentaban tantofiguras como soluciones. Se concedía más atención al juego mismo y sus sietecomponentes, de forma que el tangram era producido y vendido como un objeto: tarjetas con las siluetas, piezas demarfil y envoltorios en forma de caja, etc. En los libros aparecían unos cuantos cientos de imágenes, en su mayorparte figurativas, como animales, casas y flores, junto a una escasa representación de formas muy extrañas.

En 1973, los diseñadores holandeses Joost Elffers y Michael Schuyt produjeron una edición rústica con 750 figurasnuevas, alcanzando así un total de más de 1.600. La edición de 1973 ha vendido hasta la fecha más de un millón deejemplares en todo el mundo.Hoy en día, el Tangram [2] se usa como entretenimiento, en psicología, en educación física, en diseño, en filosofía yparticularmente en pedagogía. En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram [2] se emplea para introducirconceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de losniños, pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideasabstractas.

Enlaces externos• El Tangram [2] By The Tangrams• Tangram Online [3]

• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Tangram.Commons

Referencias[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Tangram?action=history[2] http:/ / www. juegotangram. com. ar[3] http:/ / www. lagranepoca. com/ juegos/ tangram

Sudoku 5

SudokuSudoku (en japonés: 数独, sūdoku) es un pasatiempo que se popularizó en Japón en 1986, y se dio a conocer en elámbito internacional en 2005. El objetivo del sudoku es rellenar una cuadrícula de 9 × 9 celdas (81 casillas) divididaen subcuadrículas de 3 × 3 (también llamadas "cajas" o "regiones") con las cifras del 1 al 9 partiendo de algunosnúmeros ya dispuestos en algunas de las celdas. Aunque se podrían usar colores, letras, figuras, se conviene en usarnúmeros para mayor claridad. Lo que importa, en todo caso, es que sean nueve elementos diferenciados. No se deberepetir ninguna cifra en una misma fila, columna o subcuadrícula. Un sudoku está bien planteado si la solución esúnica. La resolución del problema requiere paciencia y ciertas dotes lógicas.

Ejemplo de sudoku.

La solución de un sudoku siempre es uncuadrado latino, aunque el recíproco engeneral no es cierto ya que el sudokuestablece la restricción añadida de que no sepuede repetir un mismo número en unaregión.

Numerosos periódicos han empezado apublicar el sudoku desde 2005 en su secciónde pasatiempos.

Reglas y terminología

El sudoku se presenta normalmente comouna tabla de 9 × 9, compuesta por subtablasde 3 × 3 denominadas "regiones" (tambiénse le llaman "cajas" o "bloques"). Algunasceldas ya contienen números, conocidoscomo "números dados" (o a veces "pistas"):El objetivo es rellenar las celdas vacías, conun número en cada una de ellas, de tal formaque cada columna, fila y región contenga los números 1–9 sólo una vez. Además, cada número de la soluciónaparece sólo una vez en cada una de las tres "direcciones", de ahí el "los números deben estar solos" que evoca elnombre del juego.

Métodos de resolución

La región 3 × 3 de la esquina superior izquierda debe contener un 7.

Sudoku 6

La estrategia para resolver este rompecabezas se puede considerar como la combinación de tres procesos: escaneo,marcado y análisis.

Escaneo

Rastreando a lo largo y ancho los sietes localizados en cualquier lugar de larejilla, el jugador puede eliminar todas las celdas vacías de la esquina superiorizquierda que no pueden contener un 7. Esto deja sólo una celda posible(remarcada en verde).

Marcado

El escaneo viene a interrumpirse cuando no pueden descubrirse nuevosnúmeros. En este punto es necesario centrarse en algún análisis lógico. Lamayoría encuentra útil guiar este análisis mediante el marcado de númeroscandidatos en las celdas vacías. Hay dos notaciones populares: subíndices y puntosEn la notación de subíndice, los números candidatos se escriben en pequeño en las celdas. La desventaja es que lospuzles originales se publican en periódicos que habitualmente no dejan demasiado espacio para acomodar más queunos pocos dígitos. Si se usa esta notación, los resolutores crean, a menudo, una copia más grande del puzzle yemplean un lápiz afilado.La segunda notación es un patrón de puntos con un punto en la esquina superior izquierda representando un 1 y unpunto en la esquina inferior derecha representando un 9. Esta notación tiene como ventaja que puede usarse en elpuzle original. Se requiere destreza para el emplazamiento de los puntos, porque la existencia de puntos desplazadoso marcas inadvertidas lleva, inevitablemente, a confusión y no son fáciles de borrar sin añadir más confusión.

AnálisisHay dos aproximaciones principales:• En eliminación, el progreso se realiza mediante la sucesiva eliminación de números candidatos para una o más

celdas, hasta dejar sólo una elección. Después de lograr cada respuesta, debe realizarse un nuevo escaneo(habitualmente comprobando el efecto del último número). Hay una serie de tácticas de eliminación. Una de lasmás comunes es el "borrado del candidato no coincidente". Las celdas con idéntica configuración de númeroscandidatos se dice que coinciden si la cantidad de números candidatos en cada una es igual al número de celdasque los contienen. Por ejemplo lápiz y una goma. Esta aproximación puede ser desaprobada por puristas lógicospor demasiado ensayo y error pero puede llegar a soluciones claras y rápidamente.

Idealmente, se necesita encontrar una combinación de técnicas que eviten alguno de los inconvenientes de loselementos de arriba. El recuento de regiones, filas y columnas puede resultar aburrido. Escribir números candidatosen celdas vacías puede consumir demasiado tiempo. La aproximación "y-si" puede ser confusa a menos que se seabien organizado. El quid de la cuestión es encontrar una técnica que minimice el recuento y el marcado.

Sudoku 7

Niveles de dificultadLos programas informáticos que resuelven sudokus pueden estimar la dificultad que tiene un humano para encontrarla solución, basándose en la complejidad de las técnicas de resolución necesarias. Esta estimación permite a loseditores adaptar sus sudokus para personas con diferente experiencia resolutoria. Algunas versiones "en línea"(online) también ofrecen varios niveles de dificultad.

ConstrucciónUn Sudoku bien hecho sólo puede tener una solución, que es la correcta, para ser considerado Sudoku. Es decir, unSudoku tiene solución única.La construcción de un sudoku puede ser realizada a mano eficientemente predeterminando las posiciones de losnúmeros dados y asignándoles valores para realizar un proceso deductivo.Tal indefinido dada se puede suponer que no tienen ningún valor particular, mientras se le da un valor diferente antesde que se complete la construcción, el encargado de resolver será capaz de hacer las mismas deducciones derivadasde tales supuestos, como en ese momento, el dado es muy mucho más definido como algo más. Esta técnica da alconstructor un mayor control sobre el flujo de resolución de puzzles, líder en el alvistas solucionador de sudokus porcompuestas íntegramente.Los sudoku Nikoli se construyen a mano, y el nombre del autor aparece en los créditos junto a cada rompecabezas;los números dados siempre se encuentran en forma de un patrón simétrico. Los rompecabezas Number PlaceChallenger de Dell (véase Variantes más abajo) también citan los créditos del autor. Los rompecabezas sudoku queaparecen en la mayoría de los periódicos del Reino Unido aparentemente son generados por ordenador, pero empleanprobables en sudokus generados por ordenador. El desafío para los programadores de sudokus es enseñar a unprograma cómo construir rompecabezas inteligentes, de manera que no se puedan distinguir de aquellos realizadospor humanos; Wayne Gould necesitó retocar su popular programa durante seis años para creer que había alcanzadoese nivel.

VariantesAunque lo más común es que la tabla tenga un tamaño de 9x9 con regiones de 3x3, hay numerosas variantes. Losjuegos de iniciación pueden ser tablas de 4x4 con regiones de 2x2; bajo el nombre de Logi-5, se han publicado tablasde 5x5 con pentominós como regiones; el World Puzzle Championship ha publicado una tabla de 6x6 con regionesde 2x3 y una tabla de 7x7 formada por 6 regiones compuestas por heptominós y una región separada. También sepueden encontrar tablas de mayor tamaño. El diario The Times propone el Dodeka Sudoku, una tabla de 12x12 con12 regiones de 4x3. Dell Magazines publica con frecuencia juegos de 16x16 (la variante de 16x16 utilizanormalmente los símbolos del 1 a la G, en lugar de los símbolos del 0 a la F usados en hexadecimal). El editor depuzzles Nikoli propone el Sudoku Gigante de 25x25.

Sudoku 8

Un Sudoku nonomino, como los del TheSunday Telegraph.

La solución del puzzle anterior son losnúmeros en rojo.

Otra variante frecuente es añadir límites en la colocación de los númerosaparte de mantener los requisitos normales sobre filas, columnas y regiones.Con frecuencia, los límites toman la forma de una “dimensión” extra; lo máscomún es obligar a que los números de la diagonal principal de la tabla seanúnicos. Los ya mencionados juegos Number Place Challenger incluyen estavariante. También forman parte de esta variante los juegos del Daily Mail queutilizan tablas de 6x6.

El periódico americano USA Today publica otra variante denominada “MiniSudoku”, consistente en una tabla de 6x6 con regiones de 3x2. El objetivo esel mismo que en el Sudoku original, pero en esta variante sólo se utilizannúmeros del 1 al 6.

Otra variante es la combinación del Sudoku y el Kakuro en una tabla de 9x9,denominada Sudoku de Sumas Cruzadas, en la que las pistas se dan a travésde sumas cruzadas. También es posible que las pistas se den mediantecriptoaritmos en los que cada letra representa un único dígito del 0 al 9. Unejemplo es: NUMBER+NUMBER=KAKURO cuya única solución es186925+186925=373850. Otro ejemplo es SUDOKU=IS*FUNNY cuyasolución es 426972=34*12558.

Un Sudoku Killer.

El Addoku combina elementos de Sudoku y Kakuro – normalmente no se dannúmeros iniciales, sino que la tabla de 9x9 se divide en regiones, cada una delas cuales contiene la suma de todos los números de la región teniendoademás en cuenta que no hay números repetidos en la misma región. A lahora de completar la tabla se mantienen además las reglas del Sudokuoriginal.

Una de las variantes más populares es el Hypersudoku. Se publica enperiódicos y revistas de todo el mundo y también es conocido por “SudokuNRC Handelsblad”, “Windoku”, “Hiper-Sudoku” y “Sudoku 4 cuadros”. Labase es idéntica a la del Sudoku original, pero incluye áreas interioresadicionales en las que deben aparecer números del 1 al 9. El algoritmo que loresuelve es ligeramente diferente del del Sudoku normal por la influencia de los cuadros solapados. Estesolapamiento da al jugador más información que permite reducir las posibilidades de los restantes cuadros. La formade jugar es similar a la del Sudoku pero es necesario prestar más atención a las cuadros y a las zonas solapadas que alas filas y columnas.

Sudoku 9

Solución del puzzle de arriba.

Un Sudoku de letras.

La solución del anterior está en rojo.

También son comunes los juegos construidos a partir de múltiples tablas deSudoku. En Japón es conocido el Sudoku Gattai 5 (mezcla de 5) compuestopor 5 tablas de 9x9 con solapamiento en las regiones de las esquinas conforma de quincuncio. En diarios como The Times o The Sydney MorningHerald, ésta variante se conoce como Sudoku Samurai. Otros como elBaltimore Sun y el Toronto Star publican esta variante en su edicióndominical con el nombre High Five. Con frecuencia, no se proporcionanpistas en las regiones solapadas. También se publican variantes con tablassecuenciales, en lugar de solapadas, en las que los valores de determinadasposiciones se transfieren de una tabla a otra.

El Sudoku Social es una versión digital multijugador de Sudoku que permitea 2 jugadores jugar al mismo tiempo sobre el mismo tablero. Esta variante fuecreada por Crosswords Ltd. en 2010 y lanzada como aplicación para laplataforma iOS de Apple a través de su Game Center. El Sudoku Social[1]concede puntos a cada jugador a medida que van colocando los númeroscorrectamente, bloqueando el cuadro seleccionado al otro jugador. Lasjugadas incorrectas hacen que el jugador no tenga acceso al tablero durante 10segundos, además de provocar la pérdida de puntos.

También han surgido variantes alfabéticas, llamadas a veces Sudokus deletras (Wordokus): no existe diferencia funcional a menos que las letrasformen palabras. Algunas variantes, como la de TV Guide, incluyen una vezresuelto el juego una palabra en la diagonal principal, en una fila o en unacolumna; determinar la palabra por adelantado puede ser una ayuda para laresolución del juego. Un Wordoku puede contener otras palabras además dela palabra principal. Como en el ejemplo de la izquierda, las palabras “Kari”, “Park” y “Per” podrían formar parte dela solución. Esto debería evitarse sustituyendo, por ejemplo, el carácter “R” por el carácter “Q”.

Con una baraja estándar de 81 cartas del juego Set![2] puede jugarse al Sudoku. La versión tridimensional delSudoku fue inventada por Dion Church y publicada en el Daily Mail Telegraph en mayo de 2005. También existeuna versión del cubo de Rubik denominada el cuboku.

Sudoku 10

Un ejemplo de Sudoku Mayor que.

Hay otras muchas variantes. Algunas presentandiferentes formas en la disposición de lossolapamientos de tablas de 9x9, tales como unamariposa, un molino o una flor.[3] Otras versionesvarían en la lógica de resolución del juego. Una de ellases Sudoku Mayor que. En esta versión, cada región de3x3 contiene 12 símbolos de mayor (>) o menor (<) enla línea común de dos números adyacentes.[4] Otravariante de este tipo es Sudoku Sin pistas en el que secolocan nueve tablas de Sudoku de 9x9 en una matrizde 3x3. La celda central de cada región de 3x3 en cada una de las 9 tablas se deja en blanco, formando un décimoSudoku sin ninguna celda completa; de ahí el nombre "sin pistas".[3]

[1] http:/ / itunes. apple. com/ us/ app/ social-sudoku/ id403590129?mt=8[2] http:/ / www. setgame. com/[3] « www.janko.at (http:/ / www. janko. at/ Raetsel/ Zahlenraetsel. htm)».[4] Pegg, Ed, Jr. (15-09-2005). « Ed Pegg Jr.'s Math Games: Sudoku Variations (http:/ / www. maa. org/ editorial/ mathgames/

mathgames_09_05_05. html)». MAA Online. The Mathematical Association of America. Consultado el 3 de octubre de 2006.

Oso (juego)

Ejemplo de juego del oso.

El juego del oso es un juego de lápiz y papel deestrategia que se juega normalmente con una hoja depapel cuadriculado. Es un juego que requiere pocaconcentración y se juega mucho en los colegios,incluso durante las horas de clase.

Reglas

Por turnos, cada jugador puede escribir una O o una Sen uno de los cuadrados. El objetivo es formar lapalabra OSO: el jugador que forma más veces lapalabra OSO gana.

Cuando un jugador consigue poner la palabra OSOrepite turno colocando otra letra. Al principio se vandistribuyendo alternativamente las letras y es difícilcaer en un error y que el otro se apunte un tanto, pero amedida que se van rellenando los cuadraditos y quedamenos espacio se van reduciendo las opciones de evitar la formación de palabras. Y a menudo se termina con unaavalancha de OSOs consecutivos.

El jugador que comienza tiene una ligera desventaja respecto al segundo, por lo que suele sortearse esta posición alinicio. Y si se echan varias partidas consecutivas se alterna.El juego termina cuando se han rellenado todos los cuadraditos de la cuadrícula. El tamaño de esta cuadrícula esvariable dependiendo del tiempo que se quiera que dure el juego, y puede ser tanto cuadrada como rectangular.Existen dos formas de jugar, puntuando sólo los OSO escritos en horizontal y vertical en la cuadrícula o puntuando también los OSO escritos en diagonal, esta opción es un poco más difícil y requiere un poco más de atención para no

Oso (juego) 11

cometer errores. Ambos jugadores acuerdan la forma de juego antes de comenzar la partida.

Estrategias de juegoHay varias estrategias para ganar:• Poner las letras lo más separadamente posible sobre el recuadro de juego, sobre todo al principio, para que el

oponente no forme palabras.• Poniendo muchas eses o muchas oes juntas se corre menos peligro de cometer errores y se pueden bloquear areas.• Colocando varias eses en línea se forma una cadena de palabras consecutivas si el rival comete un error.• Poniendo letras con una separación de 2 cuadritos tanto en línea como en L de las demás letras no se corre

peligro, pero progresivamente el tablero se va convirtiendo en un campo minado.

Estructura matemáticaA pesar de su aparente sencillez el juego del oso es un juego abstracto de estrategia que tiene una estructuramatemática. Según la teoría de juegos puede clasificarse como un juego simétrico, secuencial, de suma cero y deinformación perfecta.Actualmente existen versiones del juego para ordenador y videojuegos, ya que su estructura matemática lo hacefácilmente programable.

Referencias• Tomás Blanco. (2003). Para jugar como jugábamos. Ed. John Wiley & sons. ISBN 84-87339-44-1• Davis, M.D. (1997). Introducción a la teoría de juegos. Alianza Editorial.

Cram

Este artículo está huérfano, pues pocos o ningún artículo enlazan aquí [1].

Por favor, introduce enlaces hacia esta página desde otros artículos relacionados [2].

Cram es un juego combinatorio imparcial que es similar al juego de domineering. Se conoce por diversos nombres,entre ellos “plugg” por Geoffrey Mott-Smith, y “dots and pairs.” Cram fue popularizado por Martin Gardner enScientific American.

Cram 12

ReglasCram se juega con un tablero cuadriculado de n ×  m casillas. Dos jugadores juegan en turnos alternos poniendo undominó de manera horizontal o vertical sobre dos casillas libres. El ganador es el último jugador que pone undominó en el tablero.

Un ejemplo del juego de cram. Azul es el últimojugador que puede poner un dominó en el tablero,

y entonces gana.

Estrategia

La estrategia ganadora es muy sencilla en tableros de casillas par  × par y par  ×  impar. En el caso de un tablero de par x par el segundojugador gana por jugada simétrico. Es decir que cualquier jugada quehace el primer jugador, el segundo jugador tiene una jugada quecorresponde de manera simétrico al otro lado del eje horizontal y deleje vertical. En otras palabras, el segundo jugador imita las jugadas quehace el primer jugador. Si el segundo jugador dirige esta estrategia, elsegundo jugador siempre va a hacer la última jugada, y entonces ganael juego.

En el caso de un tablero de par  ×  impar, el primer jugador ganatambién por jugada simétrico. El primer jugador pone el primerdominó en las dos casillas centrales del tablero. El segundo jugadorpuede hacer cualquiera jugada que desea, pero el primer jugador puederesponder con una jugada de manera simétrico. Esto asegura la victoriapara el primer jugador.

Juegos con tableros de 3  ×  3, 5  ×  5, y algunos casos de 1  ×  n, donde n es impar, ha sido solucionada, pero en elcaso general para tableros de impar  ×  impar todavía no se ha resuelto.

Referencias• Albert, Michael H.; Nowakowski, Richard J.; Wolfe, David (2007). Lessons in Play: An Introduction to

Combinatorial Game Theory. A K Peters, Ltd.. ISBN 1-56881-277-9.• Berlekamp, Elwyn R.; Conway, John H.; Guy, Richard K. (2003). Winning Ways for Your Mathematical Plays. A

K Peters, Ltd..• Gardner, Martin (1974). «Mathematical Games: Cram, crosscram and quadraphage: new games having elusive

winning strategies». Scientific American 230 (2):  pp. 106-108.

Referencias[1] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ Special%3Awhatlinkshere?target=Cram& namespace=0[2] http:/ / www. google. es/ search?hl=es& as_qdr=all& q=+ site%3Aes. wikipedia. org+ %22Cram%22

Timbiriche (juego) 13

Timbiriche (juego)

Tablero.

Timbiriche es un juego de lápiz y papel (el cual puede sersemimprovisado), donde un poco de azar y estrategia se presentan;puede ser considerado de motricidad semifina, pues se requierecontrolar una pluma o lápiz.

Se juega sobre una hoja de papel, a modo de tablero, por dos o másjugadores; quizás hasta cuatro, dependiendo de las características delpapel ya preparado como una matriz en forma de cuadriculado; o seaque se dibuja un punto por cada esquina de lo que será un cuadro. Lospuntos en forma de cuadrícula deben ser, proporcional a la cantidad departicipantes, suficientes que permita a todos jugar para hacerlodivertido, pues el objetivo es el de completar cuadritos, y así reclamarla mayor cantidad de éstos posibles sobre el papel. Así que en cadajugada, de forma alternada, un jugador unirá dos puntos consecutivoshorizontal o verticalmente; los cuadritos se van formando lado porlado, línea por línea, y las líneas diagonales no son permitidas en el juego.

Cuando un jugador forma con estas líneas un cuadrado, se anota éste, escribiendo una inicial en el centro omarcándola con un color distintivo. Después de formar un cuadrado se está obligado a seguir jugando. El jugadorque se haga con más cuadrados gana la partida.Se puede jugar con cualquier tamaño de tablero, pero el más común y que más se ha estudiado [cita requerida] es el de5 por 5 puntos.Es un juego de estructura matemática. Según la teoría de juegos puede clasificarse como un juego simétrico,secuencial, de suma cero de información perfecta.En Estados Unidos se le conoce como "dots and boxes" (puntos y cuadros), en Argentina y España es conocidocomo "el juego de los cuadraditos" y en Colombia se le conoce como "palo quemado" y es popularmente utilizadopara matar el tiempo en el colegio. Una versión similar se juega en Ecuador y se le denomina "galleta". En Panamáes conocido como "Pollito". En Guatemala se le conoce como "Totito Chino". En Chile es conocido como "lospuntitos". En Uruguay se le conoce como "ceritos". Existe una variacion en Bolivia la cual se juega en un tablero amanera de una cruz andina bastante compleja, dependiendo del número de jugadores y/o tiempo que se quiera jugar.También es llamado el "juego de los cuadraditos locos".

Referencias• Tomás Blanco. PARA JUGAR COMO JUGÁBAMOS. 2003. ISBN 84-87339-44-1 Ed. John Wiley & sons.• Davis, M.D. (1997). Introducción a la teoría de juegos. Alianza Editorial.

Fuentes y contribuyentes del artículo 14

Fuentes y contribuyentes del artículoMatemática recreativa  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41888688  Contribuyentes: Af3, Correogsk, Dianai, Diegusjaimes, Emijrp, Fibonacci, Hlnodovic, Ingenioso Hidalgo,JorgeGG, Juan Mayordomo, Julian Mendez, Kuanto, Magister Mathematicae, Osado, Pytagoraz, Rovnet, Sabbut, Symonblade, Urdangaray, Wikiluisandres, 20 ediciones anónimas

Tangram  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=46398777  Contribuyentes: Aibdescalzo, Airunp, Andrés Cortina, AstroNomo, Barteik, Bruno Tonello, Chico512, Ciberprofe,Destornillador2, Diegusjaimes, Dodo, Elwikipedista, Ensada, Escarlati, Fede Threepwood, Fonsi80, Fremen, Furrykef, GMAMG, Gusgus, Humberto, Hyeox, Immanuel Giel, JMPerez, JorgeGG,Joseaperez, Josemanuel, Kabri, Kepp, Kzman, Manuelt15, Manwë, Markoszarrate, Matdrodes, Matesymas, NeVic, Netito777, Oldguqin, PoLuX124, Richy, RoyFocker, Rubencb28, SUPULSINAC, Savh, Serolillo, Spa karmona, Takashi kurita, TangramLp, Tano4595, Tirithel, Uruk, Urumi, Victorsolis20, WbmasterGG, Wricardoh, Xavigivax, Xica rosa, 171 ediciones anónimas

Sudoku  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45317381  Contribuyentes: .Sergio, Airunp, Albertc, AlbertoDV, Alexan, Alexquendi, Alhen, Alvy, Angus, Aromera, Arthurfx,Beatperminute, Brass hat, Caiser, Cforeroo, CommonsDelinker, Correogsk, Counter, Crom, Cuchopirulo, Dark, David0811, Deleatur, Diegusjaimes, Dodo, Dreitmen, Edub, Ejmeza, Elchevere10,Equi, Er Komandante, Ernesto Graf, Farisori, Fibonacci, Filipvanp, Foroplus, Fredondo, Gaeddal, Gafotas, Gizmo II, Gothmog, Grillitus, Herbythyme, Hispa, Homo logos, J35ux, JMPerez,Javierito92, Jesuja, JoNaLo, JorgeGG, Jorgechp, Julianortega, Kokoo, Kristinw, Lobo, Mahadeva, Makete, Maldoror, Manugimenez, Manwë, Marcus 87, Mardito, Marta dcm, Matdrodes,Matematicolivier, MaxBech1975, Mdiagom, Mmahr, Mortadelo2005, Muro de Aguas, Netito777, Pan con queso, PeiT, Piolinfax, PoLuX124, Ponalgoyya, Poniol60, Pras, Rocastelo, Rosarino,Rsg, Rufflos, Rαge, Sabbut, SimónK, Snow white dntwry, Soulreaper, Super braulio, Superzerocool, Tartaglia, Tomatejc, Unf, Vic Fede, Vin, Wikimaker, Wikinovelmaniaco, Xgrimator,Yagamichega, YoaR, 625 ediciones anónimas

Oso (juego)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45315978  Contribuyentes: Dodo, Farisori, Fremen, Gothmog, Lu1g1-ktupq, Osado, Platonides, Rmorritz2, Sabbut, Taragui, 10ediciones anónimas

Cram  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=45649445  Contribuyentes: Clownfish21, Fremen, Juan Mayordomo, Poco a poco, Wikiluisandres, Yuokt, 1 ediciones anónimas

Timbiriche (juego)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=43674011  Contribuyentes: Akhram, Chelero, David camelo, Farisori, Fremen, Mutari, Osado, Tortillovsky, 19 edicionesanónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 15

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