rotačný valec

Rotačný valecRotačný valecRiešené príkladyRiešené príklady

PaedDr. Miroslav TISOŇ, 2009PaedDr. Miroslav TISOŇ, 2009www.rotacneplochy.skwww.rotacneplochy.sk

Príklad – Povrch rotačného valca

Vypočítajte povrch S rotačného valca s polomerom r = 6 cm a výškou v = 2,5 dm.

Zápis:r = 6 cmv = 2,5 dmS = ?

6 cm6 cm

2,5 dm2,5 dm

S = 2r2+2rv

S = 2Sp+Spl

S = 2.3,14.6(6+25)

Do vzťahu dosadíme za polomer a výšku ich číselné hodnoty

S = 2.3,14.6.31

S = 2r(r+v)

S = 1 168,08 cm2

Upravíme na rovnaké jednotky

256

= 25 cm6 Upravíme zátvorku

a vypočítame povrch rotačného

valca

Napíšeme odpoveď. Povrch rotačného valca je 1 168,08 cm2

www.rotacneplochy.sk

Člen 2r vyberieme pred zátvorku

Povrch valca vypočítame tak, že

sčítame obsahy oboch podstáv a

obsah plášťa.

Dosadíme vzťahy na výpočet obsahov podstáv a plášťa

http://www.rotacneplochy.sk/

Dosadíme vzťah na výpočet obsahu

kruhovej podstavy

Príklad – Objem rotačného valca

Vypočítajte objem V rotačného valca s polomerom r = 11 cm a s výškou v = 17 cm.

11cm11cm

17 cm17 cm

Zápis:r = 11 cmv = 17 cmV = ?

V = r2v

V = Sp.vObjem valca

vypočítame ako súčin obsahu

podstavy a výšky valca.

V = 3,14.112.17

Do vzťahu dosadíme za polomer a výšku ich číselné hodnoty

V = 3,14.121.17

V = 6 458,98 cm3

11

Umocníme polomer a vypočítame objem

valca

Napíšeme odpoveď.

Objem rotačného valca je 6458,98 cm3

17



Zadania I:

1. Vypočítajte povrch rotačného valca, ktorého podstava má polomer 2,5 cm a jeho výška je 12 cm. /Riešenie/

2. Vypočítajte objem rotačného valca, ktorého podstava má polomer 2,5 cm a jeho výška je 12 cm. /Riešenie/

3. Koľko cm2 papiera potrebujete na výrobu valca s priemerom 8 cm a výškou 1 dm? /Riešenie/

4. Aký vysoký je valec s polomerom 3 cm, ak jeho povrch je 141,3 cm2? /Riešenie/

5. Akú hmotnosť má 1 000 m bronzového drôtu s priemerom d = 4,5 mm (1 cm3 bronzu má hmotnosť 9g). /Riešenie/



Zadania II:

6. Cestný valec má priemer 1,2 m a šírku 180 cm. Koľko m2 cesty urovná, keď sa otočí 35-krát? /Riešenie/

7. Vypočítajte hmotnosť železnej rúrky 1 m dlhej, keď vonkajší polomer je 2 cm a vnútorný polomer je 1,5 cm (1 cm3 železa má hmotnosť 7,8 g). /Riešenie/

8. Vypočítajte rozdiel objemov valcov, z ktorých jeden je opísaný a druhý vpísaný pravidelnému šesťbokému hranolu s podstavnou hranou dĺžky 6 cm a s bočnou hranou dĺžky 27 cm. /Riešenie/

9. Rovnostranný valec (valec, ktorého výška sa rovná priemeru podstavy) má povrch S = 650 cm2. Vypočítajte jeho polomer, výšku a objem. /Riešenie/

10.Určte hrúbku mosadznej rúrky (1cm3 má hmotnosť 8,5 g), ktorej dĺžka je 60 cm, vonkajší obvod 3,2 cm a hmotnosť 94,956 g. /Riešenie/



Riešenia I:

1.1. Vypočítajte povrch rotačného valca, ktorého podstava má polomer 2,5 cm a jeho výška je 12 cm.

2,5cm2,5cm

12cm12cm

Zápis: r = 2,5 cmv = 12 cmS = ?

S = 2r(r+v)

S = 2.3,14.2,5(2,5+12)

S = 2.3,14.2,5.14,5

S = 227,65 cm2

Povrch rotačného valca je 227,65 cm2.

/späť na Zadania/



Riešenia I:

2.2. Vypočítajte objem rotačného valca, ktorého podstava má polomer 2,5 cm a jeho výška je 12 cm.

2,5 cm2,5 cm

12 cm12 cm

Zápis: r = 2,5 cm v = 12 cmV = ?

V = r2v

V = 3,14.2,52.12

V = 3,14.6,25.12

V = 235,5 cm3

Objem rotačného valca je 235,5 cm3.

/späť na Zadania/



Riešenia I:

3. Koľko cm2 papiera potrebujete na výrobu valca s priemerom 8 cm a výškou 1 dm?

8cm8cm

10cm10cm

Zápis: d = 8 cmv = 1 dm S = ? cm2

S = 2r(r+v)

S = 2.3,14.4(4+10)

S = 2.3,14.4.14

S = 351,68 cm2

Potrebujeme 351,68 cm2 papiera.

r = 4 cm= 10 cm

/späť na Zadania/



Riešenia I:

4.4. Aký vysoký je valec s polomerom 3 cm, ak jeho povrch je 141,3 cm2?

Zápis: r = 3 cmS = 141,3 cm2

v = ?

S = 2r(r+v)S = 2r2 + 2rv

141,3 = 2.3,14.32+2.3,14.3.v141,3 = 56,52+18,84v

141,3 - 56,52 = 18,84v84,78 = 18,84v

84,78:18,84 = v4,5 cm = v

Valec je vysoký 4,5 cm.

3cm3cm

? cm? cm

S=141,3cmS=141,3cm22

/späť na Zadania/

www.rotacneplochy.skwww.rotacneplochy.sk

5.5. Akú hmotnosť má 1 000 m bronzového drôtu s priemerom d = 4,5 mm (1 cm3 bronzu má hmotnosť 9 g).

4,5 mm4,5 mm

1000 m1000 m

Zápis: v = 1000m=100 000 cmd = 4,5 mm r =2,25mm=0,225 cm = 9 g/cm3

m = ?

V = r2v

V = 3,14.0,2252.100 000

V = 3,14.0,050625. 100 000

V = 15 896,25 cm3

Hmotnosť 1000m bronzového drôtu je približne 143

kg.

m = V.

m = 15 896,25 .

m = 143 066,25 g

143 kg

Riešenia I: /späť na Zadania/


Riešenia II:

6.6. Cestný valec má priemer 1,2 m a šírku 180 cm. Koľko m2 cesty urovná, keď sa otočí 35-krát?

Zápis: d = 1,2 mv = 180 cmx = 35S = ? m2

S = x.Spl

S = 35.2rv

S = 35.2.3,14.0,6.1,8

S = 35.6,78

S = 237,3 m2

Cestný valec urovná 237,3 m2 cesty.

1,2 m

1,2 m

180 cm180 cm

r = 0,6 m= 1,8 m

/späť na Zadania/


7.7. Vypočítajte hmotnosť železnej rúrky 1 m dlhej, keď vonkajší polomer je 2 cm a vnútorný polomer je 1,5cm (1 cm3 železa má hmotnosť 7,8 g).

Zápis: v = 1 m = 100 cmr1 = 2 cm /vonkajšír2 = 1,5 cm /vnútorný = 7,8 g/cm3

m = ?

V = V1-V2

V = (r1)2v - (r2)2v

V = v.[(r1)2 - (r2)2]

V = v.[r1+ r2] .[r1- r2]

V =3,14.100.[2+1,5].[2-1,5]

V =3,14.100.3,5.0,5

V = 549,5 cm3

Hmotnosť 1m dlhej železnej rúrky je približne 4,29 kg.

m = V.

m = 549,5 . 7,8

m = 4 286,1 g 4,29 kg

1 m1 m

1,5 cm1,5 cm 2 cm2 cm

Riešenia II: /späť na Zadania/


8.8. Vypočítajte rozdiel objemov valcov, z ktorých jeden je opísaný a druhý vpísaný pravidelnému šesťbokému hranolu s podstavnou hranou dĺžky 6 cm a s bočnou hranou dĺžky 27 cm.

x = V1-V2

x = (r1)2v - (r2)2v

x = v.[(r1)2 - (r2)2]

x = v.[62 - 27]

x =3,14.27.[36 - 27]

x =3,14.27.9

x = 763,02 cm3

Zápis: a = 6 cmv = 27 cm r1 = a = 6 cm r2 = ?V1-V2 = x ?

Rozdiel objemov valcov je 763,02 cm3.

6 cm6 cm

rr11rr22

(r1)2 = (r2)2 + (a/2)2

(r2)2 =(r1)2 - (a/2)2

(r2)2 =(6)2 - (6/2)2

(r2)2 =62 - 32

(r2)2 =36 – 9

(r2)2 =27

3 cm3 cm

rr11=6cm=6cmrr22



9.9. Rovnostranný valec (valec, ktorého výška sa rovná priemeru podstavy) má povrch S = 650 cm2. Vypočítajte jeho polomer, výšku a objem.

Zápis: v = d = 2r S = 650 cm2

r = ?v = ?V = ?

S = 2r (r + v)

650 = 2.3,14.r (r + 2r)

650 = 2.3,14.r.3r

650 = 2.3,14.3r2

650 = 18,84r2

650:18,84 = r2

34,5 = r2

5,87cm = r

Polomer podstavy je r = 5,87 cm

výška v = 11,74 cm a objem V = 1270,2 cm3.

v = 2r

v = 2.5,87

v = 11,74 cm

V = r2.v

V = 3,14.5,872.11,74

V = 1270, 2 cm3S = 650 cm2



10.10. Určte hrúbku mosadznej rúrky (1cm3 má hmotnosť 8,5 g), ktorej dĺžka je 60 cm, vonkajší obvod 3,2 cm a hmotnosť 94,956 g.

Zápis: v = 60 cmo1 = 3,2 cm /vonkajším = 94,956 g = 8,5 g/cm3

x = r1 - r2 = ?

V = V1-V2

V = (r1)2v - (r2)2v

11,17 = 3,14.0,512.60 – 3,14.60.(r2)2

11,17 = 49 – 188,4.(r2)2

188,4.(r2)2 = 49 –11,17

188,4.(r2)2 = 37,83

(r2)2= 37,83:188,4

(r2)2= 0,2

r2= 0,45 cmHrúbka mosadznej rúrky je 0,06 cm.

V = m:V = 94,956:8,5V = 11,17 cm3

o1= 3,2 cm

r1

xr2

o1 = 2r1

3,2 = 2.3,14.r1

3,2:6,28 = r1

0,51 cm = r1

x = r1 - r2

x = 0,51 – 0,45

x = 0,06 cm



rotačný valec

Documents