Rovnice a ich riešenia

Rišová III.F

Rovnica

Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi

Rovnica prvého stupňa Rovnica s jednou neznámou možno po

príslušných úpravách napísať v tvare ax=b , kde a aj b sú dané čísla alebo výrazy obsahujúce známe veličiny.

Riešenie (koreň) má tvar x =b/a, ak a≠0.

Rovnica druhého stupňa (kvadratická rovnica) Každá rovnica , ktorá má všeobecný tvar ax2 +bx +c =0 sa

nazýva kvadratická rovnica. Kde a, b , c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice. ax2 je kvadratický člen, b lineárny člen a c absolútny člen.

Kvadratická rovnica má najviac 2 riešenia v množine reálnych čísel.

Môže byť: 1. bez absolútneho člena ax2 +bx =0 (c=0) 2. rýdzo kvadratická ax2 + c=0 (b=0) 3. Normovaná kvadratická rovnica x2 + p*x + q

= 0 – všeobecná rovnica sa vydelila a za členy, ktoré nám vzniknú dosadíme parameter p a q

Graficky sa kvadratická rovnica zobrazí ako parabola pričom v hodnotách koreňov sa parabola pretína s osou x.

Riešenia kvadratických rovníc

Riešenie cez diskriminant: -diskriminant má tvar D= b2 -4ac

- pre korene kvadratickej rovnice x1 ;x 2 platí vzťah kde ak D<0 neexistuje √D potom K=0

ak D=0, √0=0 potom K= (b/(2*a))

ak D>0 K= (x1 ;x 2 )

Riešenie s pomocou vietových vzťahov pre korene kvadratickej rovnice

v všeobecnom tvare platia vzťahy x1+ x 2 = -b/a

x1* x 2 = c/a vzťahy platia iba pre a≠0 a pre a ,b, c, x € R

Riešenie rozkladom na súčin dá sa použiť iba ak kvadratická rovnica má

tvar ax2 + c. Potom podľa vzorca ax2 - (-c ) = a

a(x+√(c÷a))(x-√(c÷a)). Z upraveného tvaru sú hodnoty koreňov jednoznačné

Riešenie substitúciou(nahradením): Nahradzujeme jednu neznámu ďalšou. Pri

riešení však nemôžme zabudnúť, ktorá neznáma je pôvodná a ktorá iba odvodená.

Riešenia sústavy rovníc

Sústavou m-lineárnych rovníc o n-neznámych sa nazýva sústava tvaru

využívame 3 metódy: dosadzovaciu (substitučnú) metódu; sčítaciu (adičnú) metódu; porovnávaciu (komparačnú) metódu. matice determinanty

,...

.............................................

...

...

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

Sčítacia metóda

každú rovnicu po úprave na základný tvar vhodne násobíme tak, aby sa po sčítaní oboch rovníc jedna neznáma odčítala.

Dosadzovacia metóda Z jednej rovnice vyjadríme jednu neznámu a

v ostatných rovniciach tú istú neznámu vyjadrením nahradíme.

Porovnávacia metóda

Táto metóda spočíva v tom, že z oboch rovníc si vyjadríme tú istú neznámu.

Získané výrazy porovnáme a tak dostaneme rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Následne dosadením vypočítame i druhú neznámu.

Matice

sústavu rovníc možno zapísať do matice „i“ je číslo riadku a „j“ je číslo stĺpca, ktoré sú

usporiadané do „m“ riadkov a „n“ stĺpcov.

Typy matíc

štvorcová matica (m=n) diagonálna matica (je matica, ktorá má na

všetkých miestach okrem hlavnej diagonály nuly)

jednotková matica (je matica, ktorá má vo svojej diagonále samé jednotky a ostatné čísla sú nulové. Jednotkovú maticu štandardne označujeme E)

nulová matica (matica, ktorá má všetky prvky nulové)

Determinanty

Každej matici možno priradiť číslo zvané determinant |A|. Daná je všeobecné rovnice sústavy rovníc :

ax + by + cz = d

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2 Sústavu rovníc možno zapísať do determinantu

tretieho stupňa , skrátene označený

Je to isté ako výraz a b1 c2 + bc1a2 + ca1b2 – cb1a2 – ac1b2 – ba1c2 . Tento výraz možno dostať zo schematického označenia tabuľky

a b c

a1 b1 c1

a2 b2 c2

Ostatné typy rovníc

Diofantické rovnice- 1 rovnicu s viacerými neznámymi riešime v Z v N

Kubická rovnica- rovnica 3 stupňa ax3 + bx2 + cx + d=0 Rovnice vyšších stupňov- možno znižovať:

-rozkladom na súčin

-Substitúciou-Delenie polynómov – treba poznať aspoň 1

koreň

Ďakujem za pozornosť