Rozptyl v kvantovej mechanike

Stacionárne stavy bezspinovej častice rozptýlenej na sfericky symetrickom potenciálnom poli

(B1)

Požiadavky na potenciál V(r)

VEpre

VEpre

VVrVr

0 obvykle )(lim0

spojité spektrum

diskrétne spektrum vždy

vlnová funkcia vlastný stav energie, kvadratumomentu hybnosti a jeho tretej komponenty

a) Sferický symetrický potenciál konečného dosahu

Zaujíma nás iba časť potenciálu, kde V(r) = 0, pre r ≥ a

(B2)

kde a

Rovnica (B2) je prípad rovnice pre sferické Besselove funkcie a riešenie je:

(B3)

(B3)

s nasledujúcou asymptotikou

a

Od normalizačných konštánt A a B prejdeme k novým : C a δl :

Potom pre riešenie Rel :

(B4)

Fázové posunutie δl môžeme získať z podmienky spojitosti logaritmickej deriváciev bode r = a, (t.j. zošívaním s riešením (B1) pre r ≤ a .

hodnotu C dosteneme z normalizácie:

Poznámka: nl(kr) sa tiež nazýva Neumannova funkcia.

Obecne platí, že asymptotické chovanie má aj Rel(r), riešenie (B4) pre V(r), ktoréklesajú rychlešie ako 1/r.

Pre oblasť r ≤ a rovnicu (B1) treba riešiť konkrétny tvar potenciálu.

b) Coulombov potenciál V(r) = γ /r

(B5)

Tato diferenciálna rovnica 2. rádu má dve linárne nezávislé riešenia pre E > 0. Riešenia fl(γ, kr) a gl(γ, kr) sa lišia asymptotikou (podobne ako Besselova a Neumannova funkcia) :

a (B6)

(B6)

kde

σl je tzv. Coulombove fázové posunutie

Pre asymptotiku platia vzťahy:

c) Superpozícia potenciálu konečného dosahu s Coulombovým potenciálom

(B7)

kde pre r > a V(r) = 0. Pre r > a rovnica (B7) prejde na (B5). Podmienka V(r) = 0pre r > a môže byť trochu voľnejšia , dá sa totiž ukázať, že ak V(r) klesá rychlejšieako 1/r predošlé tvrdenie ostane v platnosti.

V asymptote pre r →∞ riešeniš Rel(r) bude kombinácia Neumannových funkcií fl(γ, kr) a gl(γ, kr) viď. (B6)

(B8)

Asymptotika bude daná:

(B9)

normalizačná konštanta C je daná:

Prítomnosť potenciálu V(r) krátkeho dosahu sa prejaví dotatočným fázovým posunutím δl’ , ktoré sa sčíta s Coulombovým fázovým posunutím.

Pružný rozptyl bezspinových častíc

Rozptyl zvykneme charakterizovať účinným prierezom, celkovým a diferenciálnym.Diferenciálny účinný prierez rozptylu je definovaný ako pomer počtu častíc, produkovaných za jednotku času do jednotky priestorového uhla dΩ = sinθ dθ dφ k hustote toku dopadajúcich častíc. Počet častíc cez plošku dS je daný ako |j|r2dΩ.

)(

)(

,)(

)( 2

rj

rj

rj

rrj

d

d

D

R

D

Rel

diferenciálny účinný prierez

vektor hustoty toku rozptylených častíc

vektor hustoty toku dopadajúcich častíc

Hustota toku v kvantovej mechanike je:μ je hmota častice

Schématické znázornenie procesu rozptylu:

V prípade rozptyl na vstupe (v počiatočnom stave) máme rovinnú vlnu a ďaleko odcentra rozptylu máme rozbiehavú sferickú vlnu. Vlnovú funkciu problemu budemehľadať v asymptotickom vare ako súčet rovinnej vlny a rozbiehavej sferickej vlny

kde

(B10)

Vektor hustoty toku dopadajúcej vlny je

Vektor hustoty toku rozptylenej vlny počítame v sferických súradniciach, kde

sin

11

re

re

rer

a

2

2

2

2

2

2

2

)',(')',(2)',(

2

)exp()exp()exp()exp()',(

2

r

kkf

M

k

r

kkf

M

ekik

rkkf

iM

e

r

ikr

r

ikr

r

ikr

r

ikrkkf

iM

ej

rr

rR

Treba si uvedomiť, že v prípade pružného rozptylu:

rekkkk

' a '

Diferenciálny účinný prierez pružného rozptylu bude

22

)',()(

)(kkf

rj

rrj

d

d

D

Rel

(B11)

V prípade centrálneho potenciálu vlnová funkcia ψ(r) nezávisí od uhla φ (azimut) a rozloženie podľa Legendrových polynomov je oprávenené

(B12)

kde uL(r) splňuje Schrödingerovú rovnicu

(B13)

s hraničnou podmienkou v počiatku: uL(0) = 0 (požadujeme, aby uL(r)/r bolopre r = 0 konečné.)

Rovinnú vlnu (pri voľbe súradnej sústavy k = (0, 0, kz) ) môžeme rozložiť:

(B14)

Tento rozklad v asymptote dáva

(B15)

V asymptote prítomnosť člena s potenciálom V(r) sa prejaví vo vlnovej funkciiuL(r→∞) fázovým posuvom δL (podľa výrazu (B4))

(B16)

kde δL je fázový posun L-tej parciálnej vlny, CL je parameter a jeho hodnota sa sá určiť z podmienky, aby pre r→∞ výraz (Ψ(r) - exp(ikz)) reprezentoval iba rozbiehavé vlny. (exp(ikz je dopadajúc a rovinná vlna a Ψ(r) - exp(ikz) by mal obsahovať iba rozbeihajúce vlny, ktoré odpovedajú častici po rozptyle):

Aby predošlý výraz obsahoval iba rozbiehavú vlnu musí platiť

(B17)

Podľa (B10) amplitúda a diferenciálny účinný prierez pružného rozptylu

(B18)

Výpočet výrazu (B18) (Davidov Kvantovaja mechanika p. 509 - 513)

''0',0

2 sinsin)(cos)(cos)1'2)(12( 'LLL

LLL

ii PPeeLLkd

dLL

Integrál cez polárny a azimutálny uhol dáva celkový účinný prierez procesu

dPPeLLk

d

dd

LLLLLL

i

elast

LL

0',0 )4(

'')(2

)4(

)(cos)(cossinsin)1'2)(12( '

'

)4(

' 12

4)(cos)(cos LLLL LdPP

Pre integrál Legendrových polynómov cez celý priestorový uhol platí:

Poznámka Kroneckerova δLL’ a nie fázové posunutie

0

2

0

2 sin)12(4l

LLl

elast Lk

Potom účinný prierez pružného rozptylu bude:

2

22

21)12(

4sin)12(

4LLL SL

kL

k

kde σL je parciálny účinný prierez

).(cos)1()12(2

)(0

LLL

PSLk

if

Maticové elementy SL jednoznačne určia amplitúdu rozptylu. V prípade pružného rozptylu môžu byť vyjadrené cez reálne fázové posuvy

LLLLL iiSiS sin)exp(21 alebo )2exp(

Poznámka:

Ak je otvorených viac kanálov reakcie nie len pružný rozptyl, potom tieto kanálysú viazané interakčným potenciálom a miesto jednej rovnice typu (B13) pre uL(r)máme sústavu rovníc pre niekoľko funkcií uL(r). V tomto prípade S matica je užskutočná matica a jej dimenzia je daná počtom otvorených kanálov reakcie.Príkladom takej interakcie je napríklad tenzorová sila, keď potenciál interakcieje necentrálny a dochádza k zmiešavaniu stavov s rôznymi orbitálnymi momentmi.

Vráťme sa ešte k výrazu pre amplitúdu rozptylu (B17)

Použitím vzťahu (B15) a definície (B20) prepíšeme asymototický tvar vlnovejfunkcie (B17) na tvar

(B21)

Pokiaľ máme otvorený iba jeden kanál (pružný rozptyl), potom tok pravdepodobnostizbiehavej vlny a rozbiehavej vlny musí byť rovnaký, čiže

(B22)

Ak okrem pružného kanálu sú otvorené aj iné, potom časť pravdepodobnosti vnesenádo terčíka zbiehavou vlnou pružného kanálu sa premení na rozbiehavé vlny v ostatnýchotvorených kanaáloch. Z toho dôvodu rozbiehavá vlna v pružnom kanáli bude slabšiaa pri uvažovaní aj iných kanálov (okrem pružného) platí

(B23)

ak si zapíšeme maticový element pružného rozptylu ako

kde fázový posun bude komplexný

potom platnosť (B23) bude automaticky zabezpečená.

Tato skutočnosť súvisí s tým, že keď uvažuje aj iné kanály (pružný + ...)pri určení vlnovej funkcie uL(r) z (B13), bude pre pružný kanál (v rovnici (B13))prítomný komplexný optický potenciál V(r) a jeho imaginárna časť je zodpovednáza „únik“ pravdepodobnosti z pružného kanálu do ostatných kanálov.