STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená to, že je velmi nepravděpodobné, že by tento výsledek byl způsobený pouhou náhodou. Rozhodování ve statistických testech má vždy povahu pravděpodobnostní – nikdy si nejsme svým rozhodnutím beze zbytku jisti. Pravděpodobnost, že neoprávněně zamítneme nulovou hypotézu, se nazývá hladina významnosti (signifikance). Na druhé straně můžeme neoprávněně přijmout nulovou hypotézu, ačkoliv neplatí. Snižujeme-li riziko první chyby, zvětšuje se riziko druhé chyby a naopak.

DRUHY STATISTICKÝCH TESTŮ VÝZNAMNOSTI:

Z hlediska náročnosti na znalost předpokladů o rozdělení dělíme testy do dvou základních skupin na testy:

PARAMETRICKÉ, které předpokládají naši znalost charakteru rozdělení studovaného statistického znaku (náhodné veličiny, dále v textu NV) a týkají se jednoho nebo více parametrů daného rozdělení (aritmetického průměru, směrodatné odchylky, ..)

NEPARAMETRICKÉ, které jsou univerzálnější, robustnější, nevyžadují splnění žádných podmínek, ale nejsou tak silné.

Parametrické testy vyžadují splnění řady předpokladů, má-li být jejich užití oprávněné (nejčastěji se požaduje, aby rozdělení náhodné veličiny bylo normální). Jedná se o početně náročnější, avšak silné testy. Parametrické testy jsou však méně robustní než neparametrické testy. Robustnost Neparametrických testů můžeme chápat jako univerzálnost: pokud nejsou splněny předpoklady pro použití parametrických testů, musíme použít univerzálnější neparametrický test, který není tak silný, ale nevyžaduje splnění žádných podmínek.

NEPARAMETRICKÉ nevyžadují splnění žádných předpokladů o rozdělení náhodné veličiny. Obvykle se týkají nějaké obecné vlastnosti rozdělení a neparametrické se nazývají proto, že testované hypotézy neobsahují žádná tvrzení o průměrech nebo rozptylech. Můžeme je použít i v případě, že neznáme rozložení náhodné veličiny. Jsou tedy univerzálnější, ale mají menší statistickou účinnost, tj. schopnost rozpoznat malé odchylky od nulové hypotézy. Výpočetně jsou jednodušší a rychlejší. Obvykle vyžadují větší počet pozorování než parametrické.

Podle dalších hledisek dělíme testy na:

TESTY JEDNOSTRANNÉ a OBOUSTRANNÉ Podle toho, jakým způsobem formulujeme alternativní hypotézu, resp. zda nás zajímá změna pouze v jednom nebo obou směrech

TESTY JEDNOVÝBĚROVÉ, DVOUVÝBĚROVÉ a VÍCEVÝBĚROVÉ Podle počtu výběrů se liší testované hypotézy a použité metody. Viz dále.

KVANTITATIVNÍ VELIČINY - JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY POROVNÁNÍ MÍRY POLOHY SOUBORU S NĚJAKOU KONKRÉTNÍ HODNOTOU

JEDNOVÝBĚROVÝ U-TEST (v Excelu označován jako Z-test)

ověřuje, zda střední hodnota (výběrový průměr) se rovná nějaké konstantě, obvykle populačnímu průměru µ .

Je nutný předpoklad normality sledované veličiny se známým populačním rozptylem 2σ a nezávislost měřených hodnot (např. osoby se nesmí v souboru vyskytovat opakovaně). Před provedením testu musíme zvolit hladinu významnosti α a rozhodnout, zda nás zajímá test jednostranný nebo oboustranný. Testovací statistika je:

x

nxUσµ)( −

=

x

nxUσµ)( −

=

Příklad: Pro skupinu dětí zjistěte, zda nepřekračují hodnotu normy cholesterolu v krvi: 4,1 mmol/l, pokud známe populační rozptyl: 0,5.

− Formulujeme H0: střední hodnota cholesterolu u testované skupiny dětí nepřekračuje hodnotu normy cholesterolu.

− budeme porovnávat průměr sledované populace s hodnotou 4,1 mmol/l − zajímá nás pouze překročení hladiny cholesterolu 4,1 mmol/l - proto test jednostranný − hladinu testu (významnosti) volíme α = 0,05

Vypočteme střední hodnotu (aritmetický průměr) ve skupině dětí (výběru). Sledovanou veličinu považujeme za normálně rozloženou, můžeme tedy použít JEDNOVÝBĚROVÝ U-TEST Na základě vypočteného výběrového průměru a známé směrodatné odchylky (ze zadání) vypočteme statistiku U dosazením do vzorce

162,25,0

57)1,4302,4(=

⋅−=U

Vypočtenou statistiku U porovnáme s kritickou hodnotou αu normálního rozdělení: pro zvolenou hladinu významnosti testu α = 0,05 najdeme hledanou statistiku v programu EXCEL pomocí Distribuční funkce Normálního standardizovaného rozdělení zadáním pravděpodobnosti 1-α = 0,95 Funkce v programu EXCEL se nazývá:

=NORM.S.INV(pravděpodobnost), kde za pravděpodobnost dosadíme hladinu spolehlivosti (1-α ) = 0,95.

Funkce NORM.S.INV je inverzní k distribuční funkci, to znamená, že pro zadanou pravděpodobnost vrátí hodnotu příslušného kvantilu Normálního standardizovaného rozdělení:

=NORM.S.INV(0,95) = 1,645 Nyní porovnáváme vypočtenou statistiku U s tabulkovou hodnotou: 2,162 > 1,645 U je větší než kritická hodnota, odchylky od normy proto neumíme na hladině významnosti α vysvětlit pouhou náhodou a zamítáme H0.

Jednodušším řešením je výpočet pravděpodobnosti, tzv. p-hodnoty. Všechny statistické programy včetně statistických funkcí v Excelu umí pro testovaná data vypočítat p-hodnotu, tj. pravděpodobnost, s jakou bychom v daném případě zamítli nulovou hypotézu. Tuto p-hodnotu pak porovnáme s předem stanovenou hladinou významnosti (námi zvolená pravděpodobnost tolerované chyby testu), a rozhodneme o platnosti nebo neplatnosti nulové hypotézy.

V programu Excel, najdeme ve vzorcích statistickou funkci Z.TEST s parametry: pole (matice), testovaná hodnota a známá směrodatná odchylka základního souboru. Výsledkem funkce Z.TEST je p-hodnota. Vysvětlení: pole - zadáme oblast dat (výběrový soubor) testovaná hodnota - zadáme normu cholesterolu dětí v populaci známá směrodatná odchylka - odmocnina z populačního rozptylu

Stejný příklad: Pro skupinu dětí zjistěte, zda nepřekračují hodnotu normy cholesterolu v krvi: 4,1 mmol/l, pokud známe populační rozptyl: 0,5. =Z.TEST(pole;4,1;ODMOCNINA(0,5)) = 0,01532 ∼ 0,015 Výsledná p-hodnota 0,015 znamená, že nulovou hypotézu zamítáme na zvolené hladině významnosti 0,05. Znamená to přijetí alternativní hypotézy, kterou můžeme formulovat např.:

Hodnota cholesterolu ve sledovaném výběru dětí je statisticky významně vyšší než je norma u běžné populace dětí.

Proč se v Excelu jmenuje tato funkce Z-test a ne U-test? Jedná se pouze o jiné označení - oba testy předpokládají normální rozdělení testované veličiny a porovnávají naměřené hodnoty se standardizovaným normálním rozdělením.

Z-test nebo Z-rozdělení se nazývá podle tzv. z-skórů, tj. přepočtu hodnot xi na zi podle vzorce sxxz i

i−

= ,

kde x je střední hodnota a s směrodatná odchylka výběru.

JEDNOVÝBĚROVÝ T-TEST Protože v praxi často neznáme skutečný rozptyl, ale používáme jeho odhad, místo jednovýběrového U-testu použijeme jednovýběrový t-test, který je založen na Studentově t-rozdělení a testovou statistiku vypočteme podle vzorce

xs

nxt

⋅−=

µ , kde je

x výběrový průměr µ známá střední hodnota populace sx výběrová směrodatná odchylka n počet měření

Vypočtenou testovou statistiku t porovnáváme s kritickou hodnotou Studentova rozdělení, kterou zjistíme např. funkcí v programu Excel =T.INV(pravděpodobnost; volnost), kde za pravděpodobnost dosadíme (1-α).

Příklad: Pro skupinu dětí zjistěte, zda nepřekračují hodnotu normy cholesterolu v krvi: 4,1 mmol/l. Populační rozptyl není znám, nahraďte jej odhadem výběrového rozptylu. Musíme použít Studentovo rozdělení, protože odhadujeme jeden parametr (rozptyl) a není splněn předpoklad pro použití U-testu.

Použijeme vzorec: xs

nxt

⋅−=

µ,

po dosazení: 33,2430,0

571,4302,4=

⋅−=t

Vypočtenou testovou statistiku t = 2,33 porovnáme s kritickou hodnotou Studentova t-rozdělení, kterou vypočteme funkcí = T.INV(pravděp.; volnost),

za pravděpodobnost dosadíme 1-α (pro α = 0,05) a za volnost 56 (57 měření-1),

= T.INV(0,95;56) = 1,673

Porovnáním 2,33 > 1,673 zjistíme, že test je statisticky významný, H0 zamítáme.

Použití Z-testu (U-testu) je podmíněno znalostí populačního rozptylu. Pokud jej neznáme, musíme empirickou funkci (rozdělení výběrového souboru) porovnat se Studentovým t-rozdělením.

Pro větší počet měření (např. n > 40) je Studentovo t-rozdělení prakticky shodné s normálním rozdělením.

SHRNUTÍ: Rozdíl mezi Z-testem a t-testem:

− t-test je konzervativnější (zamítnutí nulové hypotézy je o trochu přísnější - zamítáme dřív)

− při použití Z-testu musíme znát populační rozptyl

− oba tyto testy vyžadují normalitu dat, ale pro n > 20 je možno veličinu považovat za přibližně normální, protože „součet většího počtu stejně rozdělených NV je přibližně normální“

KVANTITATIVNÍ VELIČINY - DVĚ SKUPINY POROVNÁNÍ MÍRY POLOHY DVOU VÝBĚRŮ

problém porovnání střední hodnoty dvou skupin: − počet pozorování v obou skupinách se může lišit – síla testu záleží na menším

výběru − skupiny se mohou lišit parametrem polohy – odhadovaným průměrem − skupiny se mohou lišit mírou variability – různé rozptyly − skupiny se mohou lišit oběmi charakteristikami současně

DVOUVÝBĚROVÝ T-TEST

Použijeme za předpokladu, že je rozložení obou veličin normální. Nabídka Analýzy dat v Excelu obsahuje tyto možnosti dvouvýběrových t-testů:

1. Dvouvýběrový párový t-test na střední hodnotu

2. Dvouvýběrový t-test pro stejné rozptyly 3. Dvouvýběrový t-test pro různé rozptyly

Stejné možnosti nabízí Excelová funkce T.TEST s parametry: Matice1, Matice2, Chvosty, Typ (1-spárované výběry, 2-dva výběry se shodným rozptylem, 3-dva výběry s různým rozptylem)

1. Dvouvýběrový párový t-test na střední hodnotu - PÁROVÉ POROVNÁNÍ

se používá v situaci, kdy máme jednu skupinu objektů, ale na této skupině jsme provedli dvě různá měření sledované veličiny, většinou s časovým odstupem nebo/ a po vlivu nějakého zásahu, např. změně režimu stravování, pohybové aktivity, nebo pokud např. objekty přestanou kouřit nebo upraví režim s ohledem na nějaké onemocnění spod. Sledovanou veličinu tedy měříme dvakrát na stejné skupině objektů.

Základní princip tohoto testu u sledované veličiny měřené dvakrát je, že stačí vypočítat rozdíl těchto hodnot a testovat jednovýběrovým testem, zda je tato změna = 0.

Párový test použijeme v okamžiku, kdy sledovanou charakteristiku pozorujeme na stejném objektu opakovaně (nejčastěji dvakrát) a rozdíl mezi sledovanymi subjekty je větší, než rozdíl mezi pozorováními. Snažíme se zjistit efekt času - obvykle během tohoto časového intervalu je provedena nějaká intervence a ptáme se tedy na její efekt.

Např. na skupině školních dětí byla měřena hladina HDL cholesterolu v krvi. Pak došlo ve školní jídelně k změně skladby stravy a po měsíci byla stejným dětem měřena opět hladina HDL cholesterolu. Ptáme se, zda změna jídelníčku snížila hladinu HDL cholesterolu v krvi jednotlivých dětí.

Hodnota, o kterou je možno snížit hladinu HDL cholesterolu změnou části dětské stravy zřejmě nebude velká, naopak rozdíly hladiny HDL cholesterolu mezi jednotlivými dětmi mohou být mnohem větší. Pokud bychom porovnali obě skupiny dvouvýběrovým testem, zůstane efekt našeho zásahu skryt variabilitou mezi jedinci a dvouvýběrový test neprokáže významné rozdíly. Dopustili bychom se chyby tím, že bychom neuvažovali závislost hodnot na měřené osobě. Musíme tedy vyloučit vliv variability mezi osobami. Budeme pracovat s rozdíly obou měření a porovnávat změnu ke které došlo za sledované období.

To je právě princip párového t-testu, který je zaměřený na odhalení změn u vzájemně „spárovaných“ hodnot - počty měření si musí navzájem odpovídat.

Stanovíme nulovou hypotézu: H0: hodnoty HDL-chlesterolu se po třech měsích změny režimu u dětí nezměnily. Počet pozorování je stejný - jednalo se o 39 dětí. Počet stupňů volnosti je n-1, kde n je počet dětí v jednom výběru. Hodnoty 1. a 2. měření jsou spárované. Výsledek testu: Absolutní hodnota t-statistiky pro jednostranný test je větší než kritická hodnota t krit (1): 2,452 > 1,686

resp. p-hodnota je signifikantně nízká (0,009), proto H0 zamítáme na hladině spolehlivosti 95%.

Hladina spolehlivosti 0,95 odpovídá hladině významnosti 0,05.

Na základě p-hodnoty bychom nulovou hypotézu mohli zamítnout i na hladině významnosti 99% (P(T<=t) (1) < 0,01).

Dvouvýběrový párový t-test na střední hodnotu HDL1 HDL2 Stř. hodnota 1,265 1,372 Rozptyl 0,086 0,146 Pozorování 39 39 Pears. korelace 0,702 Rozdíl stř. hodnot 0 počet st. volnosti 38 t stat -2,452 P(T<=t) (1) 0,009 t krit (1) 1,686 P(T<=t) (2) 0,019 t krit (2) 2,024

Použili jsme jednostranný test, protože jsme předpokládali, že hodnota HDL cholesterolu se pomocí režimových opatření zlepší (bude vyšší - jedná se o tzv. „hodný cholesterol“) Další příklady pro řešení PÁROVÝM T-TESTEM jsou:

• výkon sportovců po určité době tréninků • zlepšení výsledků školních dětí v některém předmětu • zlepšení zdravotních parametrů po léčbě • úbytek hmotnosti po dietních opatřeních • zvýšení hmotnosti po úspěšné léčbě anorexie

Vždy se musí jednat o spárované hodnoty stejných jedinců.

2. Dvouvýběrové t-testy na střední hodnotu na různých výběrech

Na rozdíl od párového testování na stejných objektech se úloha otestovat rozdíl středních hodnot u dvou různých výběrů řeší t-testy, které nevyžadují shodný počet objektů ve výběrech, ale naopak požadují, aby měřené objekty patřily vždy výhradně jen do jednoho z výběrů (např. děti z různých škol /tříd, zaměstnanci různých profesí nebo z různých věkových skupin).

K dispozici máme dva základní t-testy • Dvouvýběrový t-test pro stejné rozptyly • Dvouvýběrový t-test pro různé rozptyly Abychom vybrali správný t-test (možnost 2 nebo 3), musíme porovnat rozptyl naměřených hodnot sledované veličiny u obou skupin. Provedeme to za pomocí F-testu, který najdeme v Excelu v analýze dat nebo jako funkci =FTEST(1.soubor, 2.soubor)

F-TEST PRO POROVNÁNÍ ROZPTYLŮ

Příklad: testujeme rozptyl hodnot cholesterolu se mezi dvěmi skupinami zaměstnanců (mladší a starší).

Stanovíme hypotézy H0 - rozptyly obou souborů se statisticky významně neliší, a alternativní hypotézu HA - rozptyly obou souborů se statisticky významně liší. Vidíme, že hodnoty v první tabulce odpovídají hodnotám na obrázku. Ve druhé tabulce je přehozeno pořadí výběrů a hodnoty F-rozdělení musíme odečítat na grafu vlevo (v nižších hodnotách). Testujeme hodnoty F proti F krit (1) modré z 1. tabulky a F krit (1) falové z 2. tabulky

Dvouvýběrový F-test pro rozptyl CHOL_B CHOL_A

Stř. hodnota 4,20 4,33 Rozptyl 0,52 0,34 Pozorování 60 27 Rozdíl 59 26 F 1,54 P(F<=f) (1) 0,11 F krit (1) 1,80

Dvouvýběrový F-test pro rozptyl

CHOL_A CHOL_B Stř. hodnota 4,33 4,20 Rozptyl 0,34 0,52 Pozorování 27 60 Rozdíl 26 59 F 0,65 P(F<=f) (1) 0,11 F krit (1) 0,55

Pokud platí, že F krit (1) < F < F krit (1), H0 nemůžeme zamítnout

Obě vypočtené statistiky F=1,54 i F=0,65 jsou z intervalu ohraničeném kritickými hodnotami 0,55 a 1,80, test je statisticky nevýznamný, H0 nemůžeme zamítnout, k výpočtu použijeme DVOUVÝBĚROVÝ T-TEST PRO STEJNÉ ROZPTYLY

Poznámka: hodnota F-testu (testovací statistika) ve druhém výpočtu (po přehození pořadí výběrů) je inverzní hodnota první statistiky, tj.

pro obě statistiky platí vztah: 2

11F

F =

V tabulkách výše je červeně označena pravděpodobnost P(F<=f) (1) = 0,11, tzv. p-hodnota, s jakou může nastat větší rozdíl rozptylů, než v naší studii. Pokud je tato pravděpodobnost větší než zvolená hladina významnosti α = 0,05, přijímáme nulovou hypotézu H0.

V opačném případě H0 zamítáme a použili bychom t-test pro různé rozptyly.

DVOUVÝBĚROVÝ T-TEST PRO STEJNÉ ROZPTYLY

Příklad: testujeme shodu středních hodnot cholesterolu u mladších a starších zaměstnanců - prokázali jsme, že rozptyl hodnot cholesterolu se mezi těmito dvěmi skupinami statisticky významně neliší.

Dvouvýběrový t-test s rovností rozptylů Dvouvýběrový t-test s rovností rozptylů Zaměstnanci CHOL_A CHOL_B Zaměstnanci CHOL_B CHOL_A

Stř. hodnota 4,33 4,20 Stř. hodnota 4,20 4,33 Rozptyl 0,34 0,52 Rozptyl 0,52 0,34 Pozorování 27 60 Pozorování 60 27 Společný rozptyl 0,46 Společný rozptyl 0,46 Hyp.rozdíl stř.hodn. 0 Hyp.rozdíl stř.hodn. 0 Rozdíl 85 Rozdíl 85 t stat 0,84 t stat -0,84 P(T<=t) (1) 0,20 P(T<=t) (1) 0,20 t krit (1) 1,66 t krit (1) 1,66 P(T<=t) (2) 0,40 P(T<=t) (2) 0,40 t krit (2) 1,99 t krit (2) 1,99

Zeleně je zvýrazněna vypočtená statistika. Pro porovnání s kritickou hodnotou bereme její absolutní hodnotu - v pravé tabulce je zaměněno pořadí výběrů a hodnota statistiky se liší pouze znaménkem.

Modře je probarvena kritická hodnota t-rozdělení - předpokládáme Studentovo rozdělení výběru

Zajímá nás oboustranný test, protože nevíme, která skupina zaměstnanců je „riziková“ a má vyšší hodnoty cholesterolu.

Porovnáním absolutní hodnoty vypočtené statistiky a kritické hodnoty pro oboustranný test: |-0,84| < 1,99 … testovaná statistika nepřekračuje kritickou hodnotu

přijímáme tedy nulovou hypotézu, že mezi hodnotami cholesterolu u obou skupin zaměstnanců není statisticky významný rozdíl.

Na základě p-hodnoty (zobrazena červeně) se rozhodujeme stejně: 0,40 > 0,05 ... p-hodnota je větší než zvolená hladina významnosti testu, tj. hodnota statistiky odpovídající této p-hodnotě nedosáhla kritické hodnoty Počet stupňů volnosti: součet počtu měření obou souborů zmenšený o jedničku: (27-1 + 60-1) = 85

Příklad: testujeme shodu středních hodnot naměřených hodnot cholesterolu u dětí ve škole A a C

Pro výběr t-testu jsme použili nejprve F-test pro porovnání rozptylů. Na hladině významnosti 0,05 jsme zjistili, že se rozptyly obou výběrů významně liší. K testování shody středních hodnot proto musíme použít dvouvýběrový t-test s nerovností rozptylů

Dvouvýběrový F-test pro rozptyl CHOL_A CHOL_C Stř. hodnota 4,408 4,483 Rozptyl 0,333 0,676 Pozorování 35 35 Rozdíl 34 34 F 0,493 P(F<=f) (1) 0,021 F krit (1) 0,564

K vyhodnocení t-testu porovnáme absolutní hodnotu t-stat a t krit(2)

|t stat| < t krit(2) |-0,444| < 2,0

t-test není statisticky významný a hypotézu Ho o shodě středních hodnot nemůžeme zamítnout Hladina významnosti byla stanovena předem jako α = 0,05. Výsledek testu tedy rovněž potvrzuje vysoká p-hodnota P(T<=t) (2) > α 0,658 > 0,05

Počet stupňů volnosti se pro dvouvýběrový t-test s nerovností rozptylů počítá složitějším algoritmem a vliv má především rozptyl výběru (čím je větší rozptyl, tím větší váhu má počet hodnot ve výběru).

Dvouvýběrový t-test s nerovností rozptylů CHOL_A CHOL_C Stř. hodnota 4,408 4,483 Rozptyl 0,333 0,676 Pozorování 35 35 Hyp. rozdíl stř. hodnot 0 Rozdíl - stupně volnosti 61 t stat -0,444 P(T<=t) (1) 0,329 t krit (1) 1,670 P(T<=t) (2) 0,658 t krit (2) 2,000