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La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto aun Plano, y un Teorema de Pitagoras en Tres

Dimensiones

Miguel Bustamantes 1 - Alejandro Necochea2

El proposito de este artculo es mostrar una manera sencilla e intuitiva de

probar la conocida formula con la cual se calcula la distancia desde un punto

a una recta en el contexto de la geometra cartesiana bidimensional. Nues-

tra construccion se basa en consideraciones geometricas elementales, que como

esperamos demostrar, surgen sin necesidad de recurrir a tecnicas que estan

fuera del alcance de nuestros estudiantes de ensenanza media. (por ejemplo el

calculo vectorial, el cual puede usarse para obtener estos resultados). Tembien

obtenemos como consecuencia una deduccion de formula para calcular la dis-

tancia desde un punto a un plano, y a continuacion un teorema de Pitagoras

en el espacio cartesiano de tres dimensiones. El lector puede consultar las

referencias [1], [2], donde estas ideas han sido sugeridas anteriormente.

Otra demostracion elemental de la formula para calcular la distancia desde

un punto a una recta consiste en un tedioso conjunto de manipulaciones al-

gebraicas donde el estudiante corre el serio peligro de cometer errores, cuya

incidencia, como es bien sabido, aumenta al crecer el numero de pasos en el

argumento. El esquema al cual nos referimos es el siguiente: encuentre la

recta perpendicular a la recta dada que pasa por el punto dado. A conti-

nuacion encuentrese la interseccion de ambas rectas resolviendo un sistema de

dos ecuaciones. La distancia buscada sera por consiguiente la medida del seg-

mento en la perpendicular que une el punto dado con el punto de interseccion.

La ventaja de nuestro metodo consiste en que todo fluye de manera transpa-

rente a partir de un sencillo diagrama, desde el cual se razona comparando las

areas de un triangulo calculadas de dos maneras diferentes. La demostracion

de la version tri-dimensional de la formula si bien menos simple que la formula

para la recta tambien se basa en aprovechar la ventaja de comparar dos for-

mulaciones diferentes de una misma cosa, que en este caso es el volumen de

1Estudiante del Doctorado en Fsica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.2Departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile

Revista del Profesor de Matematicas, RPM No. 8 (1999) 59

un tetraedro.

Nuestra primera tarea es probar que la distancia d entre un punto P de

coordenadas (x0, y0) y una recta L de ecuacion Ax + By + C = 0 esta dada

por la formula

(1) d =|Ax0 +Bx0 + C|

A2 +B2.

Supondremos que la recta no es ni vertical ni horizontal, pues en tal caso

la distancia puede encontrarse facilmente a lo largo del eje coordenado respec-

tivo. Por lo tanto y sin perdida de generalidad, supondremos que AB 6= 0. Acontinuacion, construiremos un triangulo rectangulo cuya base esta en la recta,

cuyo vertice opuesto es P y cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados.

Los vertices del triangulo tienen por lo tanto coordenadas (x0, y0), (x0h, y0)y (x0, y0 k). Sea d la longitud de la altura del triangulo perpendicular aL. Se observa entonces que los lados del triangulo miden |h|, |k| y h2 + k2 ,respectivamente.

Se tienen las relaciones

A(x0 h) +By0 + C = 0 y Ax0 +B(y0 k) + C = 0,

las cuales implican la igualdad

Bk = Ah = Ax0 +By0 + C.

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La determinacion de d se hara calculando el area del triangulo de dos

maneras diferentes. En efecto, si denotamos el area del triangulo por , por

una parte se tiene que =1

2|hk| , y por otra = 1

2dh2 + k2 (ver Figura

1)

Comparando ambas expresiones para el area, obtenemos que

d =|hk|h2 + k2

.

Por lo tanto, puesto que k =A

Bh,

d =

ABh2

h2 +A2

B2h2

=

AB |h2|

h2

B2(A2 + B2)

=|Ah|A2 + B2

=|Ax0 + By0 + C|

A2 + B2,

que es la conclusion buscada.

A continuacion demostraremos que si es un plano en el espacio euclidiano

tridimensional con ecuacion cartesiana Ax + By + Cz + D = 0, y Q es un

punto con coordenadas (x0, y0, z0) no contenido en , entonces la distancia

d desde Q hasta esta dada por

d =|Ax0 +By0 + Cz0 +D|

A2 +B2 + C2.

El metodo de la demostracion es similar al calculo de la distancia desde un

punto a una recta. Como antes, y sin perdida de generalidad, podemos suponer

que el plano no es paralelo a ninguno de los tres planos coordenados, puesto

que de serlo el calculo de la distancia puede hacerse de manera trivial a los

largo de un eje coordenado. Por lo tanto, podemos suponer que ABC 6= 0 .Sea E = Ax0 + By0 + Cx0 + D , y supongase que el plano intersecta a las

rectas paralelas a los tres ejes coordenados que convergen en el punto Q enlos puntos N,O y P , cuyas coordenadas son (x0 h, y0, z0), (x0, y0 k, z0) y(x0, y0, z0 l), respectivamente. De la ecuacion del plano se obtiene entoncesque

(2) h =E

A, k =

E

B, l =

E

C.

Se sabe por otra parte que el volumen V de un tetraedro con base de area

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y altura m es dado por V =1

3m . Luego, en la figura 2, el volumen del

tetraedro con vertice N,O, P,Q , considerando a la cara con lados de longitudf , |h| y |l| como base del tetraedro es dado por

(3) V =

13(hl

2

)k

= l6 |hkl|.

Por otro lado, si es el area del triangulo NOP , tenemos

(4) V =1

3 d,

donde d , la distancia buscada, es la altura del tetraedro. Para calcular el

area notese que =(base) (altura)

2=

1

2gu, donde u2 = t2 + l2 y t

es la distancia medida desde el punto Q = (x0, y0, z0) a la recta en el plano

z = z0 de ecuacion Ax+By+Cz0 +D = 0. Usando la formula para calcular la

distancia desde un punto a una recta, e identificando Cz0+D con el coeficiente

C en esa formula, se tiene que

t =|Ax0 +By0 + Cz0 +D|

A2 +B2=

|E|A2 +B2

.

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Luego recordeando que l = EC

, obtenemos que

u2 = E2(

1

C2+

1

A2 +B2

)=

E2

(A2 +B2)C2(A2 +B2 + C2).

Ahora, desde la figura 2 se tiene que que g2 = h2 + k2. Luego, desde las

ecuaciones (2) obtenemos qu

g2 = E2(

1

A2+

1

B2

)=

E2

A2B2(A2 +B2).

Reemplazando estos valores en la formula del area , nos queda

=1

2gu =

1

2

E2

|ABC|A2 +B2 + C2 .

Reemplazando en la ecuacion (4) obtenemos que

(5) V =d

6

E2

|ABC|A2 +B2 + C2 .

Finalmente, desde la ecuacion (3) tenemos que

(6) V =1

6|hkl| = |E|

3

6

1

|ABC| .

Comparando las dos ultimas expresiones para el calculo del volumen, se

obtiene que

d =|E|

A2 +B2 + C2=|Ax0 +By0 + Cz0 +D|

A2 +B2 + C2.

que es la formula que deseabamos demostrar.

Nuestro siguiente resultado no es mas que un corolario de la demostracion

anterior.

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Teorema (El teorema de Pitagoras en dimension 3). Sean 1,2,3las areas de las caras del tetraedro NOPQ que confluyen en el punto Q y sea

el area de la cara NOP (ver figura 2)). Entonces

2 = 21 + 22 +

23 .

Demostracion. De la ecuacion (5) se tiene que

2 =1

4

B4

(ABC)2(A2 +B2 + C2) ,

y ademas se verifica que

1 =1

2hl, 2 =

1

2kl , y 3 =

1

2hk .

Por lo tanto procediendo directamente a partir de las ecuaciones (2), obte-

nemos

21 + 22 +

23 =

1

4(h2l2 + k2l2 + h2k2)

=1

4E4

(1

A2B2+

1

B2C2+

1

A2C2

)

=1

4E4

(A2 +B2 + C2)

(ABC)2= 2 ,

lo que completa la demostracion.

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Referencias

[1] Necochea A., M. Taylor On the distance from a point to

a line. Mathematics Teacher, vol. 35 no. 2, Feb. 1991.

[2] Necochea A., M. Taylor, W. Watkins, On a three-dimensional

Pythagorean theorem and the distance from a point to a plane.

Texas Mathematics Teacher, vol XXVII, no 7, 1992.