ruch bryłyy y

ver-09.10.07

ruch obrotowyruch obrotowy

najpierw punkt materialny:

vd r

Frvdrm

Fdtvdm

rrr

r

r

×⎟⎞⎜⎛ ×

=

( ) vdrvrdvdrvrdr

rrrr

rrr×=×+×=×

( ) Frprdtd

Frdt

rm

rrrr×=×

×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ × ( ) dtrvdtdtrvrdt ×=×+×=×

( )pdt

Jprdef rrr=× moment pędu rJpr ×

MFrdef rrr=×

moment pędu

moment siłyM

dtJd rr

=

układ punktów materialnychukład punktów materialnych

2,111

1 FFdtvdm

rrr

+= 1,2222 FFdtvdm

rrr

+=

( )vdr⎞⎛( )vd

r⎞⎛ ( )2,111111 FFrdt

vdrmrrrr

+×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×( )1,222222 FFrdt

vdrmrrrr

+×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

d rrr( ) ( )[ ] ( ) 22112,1212211 FrFrFrrprprdtd rrrrrrrrrrr ×+×+×−=×+×

∑rr

∑=i

iJJrr ∑=

iiMM0=

r

const0 =→= JMrr

zasada zachowania momentu pędu!

MdtJd rr

=

zasada zachowania momentu pędu! (izotropia przestrzeni)

przykładyprzykłady

d

mvrJprJ

=×=

αsin

rrrd

J⊗

⊗J pr

mvdmvrJ

== αsin

r R

J = mvR

αp

para siłpara sił

MF

⊗r1,2-F FrM

rrr×= 2,1

siły tu odejmują się,momenty sił dodają się!momenty sił dodają się!

moment siłymoment siły

–FM

F

ruch bryły sztywnejruch bryły sztywnej

bryła sztywna → 6 stopni swobody

postępowy(translacja)

0'

(translacja)ruch

obrotowy (rotacja)

0(rotacja)

toczenie bez poślizgu

stopnie swobodystopnie swobody

położenie środka orientacja osi obrót dookołapołożenie środka masy – 3 stopnie

orientacja osi – 2 stopnie

obrót dookoła osi – 1 stopień

prędkość kątowaprędkość kątowa

sdsdsd rottrrrr

+=ω

rvv rrrr ×+= ω0 Rω×r

r

00

chwilowa oś obrotuchwilowa oś obrotu

dϕ'ogólnie: istnieje układ inercjalny, w którym ruch w danej chwili jest rotacją r

dϕ0'rotacją

i / lub translacją ω

ωrr ||trv

0

chwilowa oś obrotu (dϕ = dϕ’)chwilowa oś obrotu (dϕ = dϕ )

ruch środka masy bryłyruch środka masy bryły rr 0∑ wewF

r

iwew

iii FFamrrr

+=Δ 0=∑i

wewiF

∑Δ= imm - masa całkowita∑Δi

imm

∑ ∑=Δ iii Famrr ∑ =Δ cii rmrm

rr

masa całkowita

∑ ∑Δi i

iii Fam ∑Δi

cii rmrm

środek masy

∑=i

ic Famrr

Fam crr

=

środek masy bryły sztywnej porusza się jak punkt materialnyporusza się jak punkt materialny

ruch obrotowy względem stałej osiruch obrotowy względem stałej osi ( )iiiiiii vrmvmrJ

rrrrr×Δ=Δ×=

z iiii RrmJ ωΔ=r

iiiiiii RrmJJ αωα coscos Δ==

R

zii

iiiiiizi

RmRrmJJ

ωαωα

2

coscosΔ=

Δ

∑∑ Δ RJJ 2⊗Ji

Ri vi

ri

ω

αi

2iizi RmJ Δ= ω∑∑ Δ==

iii

iziz RmJJ

2ω

0

riαi

moment bezwładności∑

Δ=i

ii

defRmI 2

bezwładności

nie zależy od 0!

i

zz IJ ω=

( )∑ ×Δ=i

iii vrmJrrr

zz IJ ω

moment pędumoment pędu

całkowity moment pęduobrót dookoła osi symetrii

całkowity moment pędu swobodna oś obrotu

ωrr

IJ =

http://www.usd.edu/phys/courses/phys211/notes/notes11g/rotation.html

http://www.if.pw.edu.pl/~pawlak/wyklady/mechan/hiper/hania.mpg

moment bezwładnościmoment bezwładności

∑Δ=i

ii

defRmI 2 wielkość addytywna

odległość od osi obrotu

∫∫ == dVRdmRI 22 ρ dVdm=ρ gęstość masy

( ) ( )∫ d d dRI 2

dV

( ) ( )∫= dxdydzzyxRzyxI ,,,, 2ρ

momentymomenty

2 2mRI =kula: 5I =

2

kula:

2

2mRI =tarcza:

4

2mRI =tarcza:

walecwalec

S

l 22 22 dRRSSdRRll

== ∫∫ ρρΙ

oś b t

23322

mlSlmlS

dRRSSdRRll

===

== ∫∫−−

ρ

ρρΙ

obrotudR 121212 VSρ

r

twierdzenie Steineratwierdzenie Steinera Δm

2lII ☼

ΔmiR’i

Ri2mlII c +=

ii RlRrrr

+=′

☼☼Ri

l 0c0

równoległe osie

⎪⎧ =Δ∑ i mlml 22

⎪⎩

⎪⎨

=Δ+=Δ+=′Δ=

∑∑∑

cii

iiii

IRmRmlRmI2

2 02rrr

energia ruchu obrotowego

22212

21

, ω iiiiikk RmvmEE Δ=Δ== ∑∑∑2

2122

21 ωω c

iii

iii

IRm =Δ= ∑

2212

21

cck mvIE += ωw przypadku osi nieruchomej:

( ) ( ) dtMdtFrdtrFdtvFdLi

iiii

ii

i

rrrrrrrrrr ωωω =×=×== ∑∑∑

∫= ϕωdML ϕω ddt = ∫= dsFL t

równania ruchurównania ruchur

∑

∑

=

=

MdtJd

Fam cr

r

rr

siły i momenty zewnętrzne ∑dt

∑ = 0Fr

warunki równowagi:∑ = 0M

rwarunki równowagi:

( ) εωω rr

rr

IdtdII

dtd

dtJd ===

przyspieszenie

const0 =→=∑ ωIMr

przyspieszenie kątowe

stała oś obrotustała oś obrotu

1ω2ω

2211 II ωω =

bąkbąk

J FrMrrr

×=

⊗= nmgdMrr αsin

nr - kierunek ⊗

mgα

dtMJdrr

=

⊗n - kierunek ⊗

d mg JJdrr

⊥d

ωImgd=Ωprecesja:

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Flash/ClassMechanics/Precession/Precession.html

precesjaprecesja

dJ

dϕ

J

ϕ

α αα

ααϕ

sinsin

sinsin Jdtmgl

JMdt

JdJd ===

ϕ mglmgldω

ϕI

mglJ

mgldtd ===Ω

nutacje...nutacje...

k ikoniec

zagadnieniazagadnienia• ruch bryły sztywnej ruch bryły sztywnej• ruch środka masy• moment bezwładności• twierdzenie Steinera• twierdzenie Steinera• energia obrotu• giroskop• zasada zachowania momentu pędu• zasada zachowania momentu pędu•

glossaryglossary• rotational motion• rotational motion• motion about an axis• uniform rotation

i i l fi d i

• moment of force, torque, couple• angular momentum• centre of mass

• principal, fixed axis• angular displacement • angular frequency

• law of conservation of • angular momentum• rigid body

• angular velocity• axial vector • period of revolutions

g y• degrees of freedom• instantaneous axis• Steiner’s theorem

• distance of the axis• angular acceleration• angular impulse

Steiner s theorem• precession• nutation• gyro(scope)angular impulse

• moment of a vector about a point • moment of inertia, rotary inertia•

• gyro(scope)•

•