ruch drgający drgania mechaniczne
DESCRIPTION
Ruch drgający drgania mechaniczne. Na czym polega ruch drgający. Obserwacja ruchów drgających Definicja różnych typów ruchów drgających Co wspólnego mają ze sobą wszystkie te ruchy?. Na czym polega ruch drgający. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Ruch drgający drgania mechaniczne
Na czym polega ruch drgający
Obserwacja ruchów drgających
Definicja różnych typów ruchów drgających
Co wspólnego mają ze sobą wszystkie te ruchy?
Na czym polega ruch drgający
każdy układ ma położenie równowagi, w którym znajduje się, gdy nie drga; drgając, przechodzi przez ten punkt wielokrotnie; rozpędzone ciało nie zatrzymuje się w położeniu równowagi, lecz porusza się dalej,
prędkość w czasie ruchu na przemian rośnie i maleje: w położeniu równowagi jest największa, podczas zbliżania się do położenia równowagi rośnie, a podczas oddalania się od niego maleje,
maksymalne wychylenie w jedną stronę jest równe maksymalnemu wychyleniu w drugą stronę
czas przebywania wahadła po jednej stronie położenia równowagi jest równy czasowi przebywania po drugiej stronie.
Obrazowanie ruchu drgającego
Ruch obrotowy a ruch drgający
Kamień celtycki
Ruch po okręgu z innej perspektywy
Ruch obrotowy a ruch drgający
x
y
R
Układ biegunowy
2;0
constR
Układ kartezjański
)sin(
)cos(
Ry
Rx
Opis matematyczny
Równanie dynamiki dla ruchu obrotowego
Sprężynka i ciężarek
Opis matematyczny
mg
kx
(+) x Xw
Opis matematyczny
wkxmgma
Warunki równowagi – wykonujemy eksperyment bardzo powoli
0kxmg
)(0 txxxw
Opis matematyczny
0)()(
0)()(
)()(
))(())((
2
2
2
2
02
2
020
2
2
2
txm
k
dt
txd
tkxdt
txdm
tkxkxmgdt
txdm
txxkmgdt
txxdm
kxmgdt
xdm w
w
Warunek równowagimg=kx0
Opis matematyczny
m
ktA
m
ktA
tAdt
txd
sprawdzamy
tAtx
txm
k
dt
txd
22
22
2
2
2
0)sin()sin(
)sin()(
)sin()(
0)()(
Opis matematyczny
Analogicznie dla wahadła matematycznegoDla małych kątów prawdziwa jest relacja
tgsin
mg
Fn
Fx
L
x
0
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
xl
g
dt
xd
l
xmg
dt
xdm
mgdt
xdm
tgmgdt
xdm
Opis matematycznyAnalogicznie dla wahadła fizycznego
Dla małych kątów prawdziwa jest relacja
tgsin
02
2
2
2
I
mgd
dt
d
Mdt
dI
d
mg
F
Drgania1.exe Drgania2.exe
Opis matematyczny
)sin(
022
2
tAx
xdt
xdRównanie dynamiki oscylatora harmonicznego
Równanie ruchu oscylatora harmonicznego
)sin(
02
βt
202
2
tAex
xdt
dx
dt
xd Równanie dynamiki tłumionego oscylatora harmonicznego
2201
Opis matematyczny
20
222220
0
0202
2
2sin
)2()(
1
sin2
arctgtm
Fx
tm
Fx
dt
dx
dt
xd
Oscylator harmoniczny tłumiony wymuszony
2201 2
Opis matematyczny
fT
2
2
TTttee
e
e
TtAe
tAe
Ttx
tx
Ttt
Tt
t
Tt
t
)()ln()ln(
ln))(sin(
)sin(ln
)(
)(ln
)(
)()(
Energia ruchu drgającego
pkc EEE
2
2mvEk
2
1
)(x
x
p dxxFE
Dla sprężyny22
2
0
2
0
wxx
ps
xk
xkkxdxE
ww
Dodatkowo
2
22
2
)sin()sin(
)sin(
mk
tAmtkA
kxFdt
xdmmaF
tAx
Energia ruchu drgającego
maxmaxkpsc EEE
2222
)cos()sin(
222maxmax
22maxmax
Am
vmE
Ak
xkE
tAdt
dxvtAx
kw
ps
Dla charakterystycznych punktów ruchu
Energia ruchu drgającego
kpsc EEE
2
))(cos)((sin2
2
)(cos
2
)(sin
)cos()sin(
2
222
2
22222
AkE
ttkA
Ekm
tAm
tAkE
tAdt
dxvtAx
c
c
c
Dla dowolnego położenia
Dobroć układu drgającego
Q=2 energia zgromadzona . energia tracona w czasie jednego okresu
TeQ
21
12
2
1 Q
Tgdy
Nieustanne drgania
Świat dookoła nas znajduję się w nieustannym ruchu
Ogromna część tego ruchu ma charakter oscylacji harmonicznych Przykład: temperatura ciał stałych
(film)
Rezonans mechaniczny
Każdy układ drgający ma określoną częstość drgań własnych
Zjawisko pobudzania do drgań za pomocą impulsów o częstotliwości równej z częstotliwością drgań własnych pobudzanego układu nazywamy rezonansem mechanicznym.
Doświadczenia z siłą pobudzającą
Rezonans mechaniczny
Rezonans dobry i zły Małe latające owady, Jak wypchnąć samochód z dołka Huśtawki
Duże konstrukcje
Rezonans mechaniczny
Bridge.exe
Rezonans mechanicznyCzasami warto unikać rezonansu – fakty
1. Most w pobliżu Manchesteru w Anglii załamał się pod rytmicznymi krokami zaledwie 60 ludzi
2. Batalion piechoty francuskiej, przechodzący równym krokiem przez most w Angers. Most runął grzebiąc pod sobą 280 żołnierzy.
Ważne
Gdzie można znaleźć źródła wykładów
www.mif.pg.gda.pl/homepages/bzyk
Fale w ośrodkach sprężystych
Fale mechaniczne
Potrzebny jest ośrodek drgający
Cecha charakterystyczna to przenoszenie energii poprzez
materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii a nie
dzięki ruchowi postępowemu całej materii.
Fale mechaniczne
Równanie ruchu dla fali mechanicznejmodel drobin
),( txfy
Fale mechaniczne
Model sznura
sin dy/dx
1212 sinsin FFFFFwyp
Fale mechaniczne
dm = dx
212 )(v
)(t
ydx
tdxFFF y
wyp
2
2
2
t
y
Fx
= y/x 2
2
2
2
t
y
Fx
y
Fale mechaniczne
2
2
2
2
t
y
Fx
y
)sin(22
2
txkAt
y
)sin(22
2
txkAkx
y
)sin(),f( txkAtxy
22 F
k
F
kv
Fale mechanicznePodłużne - drgania pręta
xx x+dx
s s+ds
F1 F
p
),( txss dxx
ssdstxstdxxs
),(),(
pAF 1 AdppFp )(
s – przemieszczeniep – naprężenie
Adxm 2
2 ),(t
txsa
pAF 1 AdppFp )(
II zasada dynamiki
dpts
dxdpAts
Adx
AdpppAts
Adxma
2
2
2
2
2
2
)(
xp
ts
2
2
xp
ts
2
2
Korzystamy z prawa Hooke’aEp
ll
EAlF
l
dxxs
sldxlDla naszego przypadku
I mamy skrócenie więc:
xs
Ep
2
2
2
2
2
2
2
2
xsE
ts
xs
Ets
Fale mechaniczne
2
2
22
2
v
1
t
y
x
y
Przenoszenie energii przez fale
P = Fyvy
vy = y/t Fy= Fsin
sint
yFP
Fale mechanicznePrzenoszenie energii przez fale
sint
yFP
sin – y/x
x
y
t
yFP
)sin(),f( txkAtxy
)cos( tkxAt
y
)cos( tkxkAx
y
Fale mechanicznePrzenoszenie energii przez fale
)(cos22 txkkFAP
k = /v, = 2f /v F
)(cosv4 2222 tkxfAP
Moc, czyli szybkość przepływu energii zależy od kwadratuamplitudy i kwadratu częstotliwości - zależność prawdziwa dla wszystkich typów fal.
Interferencja fal
y1 = Asin(kx – t – ) , y2 = Asin(kx – t)
Rozpatrzymy dwie fale
y = y1 + y2
y = 2Acos(/2)sin(kx – t – /2)
Aplikacja
Fale stojące
y1 = Asin(-kx + t) , y2 = Asin(kx + t)
Rozpatrzymy znowu dwie fale
y=y1+y2= 2Asinkxcost
Aplikacja
Dudnienia ‑ modulacja amplitudy
Przez nieruchomy punkt przebiegają dwa zaburzeniao bardzo zbliżonej częstotliwości.
y1 = Acos2v1t y2 = Acos2v2t
y = y1 + y2 = A(cos2v1t + cos2v2t)
tvv
tvv
Ay
2
2cos2
2cos2 2121
Dudnienia ‑ modulacja amplitudy
tvv
tvv
Ay
2
2cos2
2cos2 2121
srednie = (1 + 2)/2 amp = (1 – 2)/2
Aplikacja
Zjawisko Dopplera
Parametry: - długość faliT - okres drgańf0 - częstotliwość zestrojenia źródła dźwiękuc - prędkość dźwiękuv - prędkość źródła dźwięku
c
f 0
vdoppler.exe
Zjawisko Dopplera
vT
cf
vT
c
f
1
cv
ff
1
0
1c
f Gdy źródło zbliża się do odbiornika
Gdy źródło oddala się od odbiornika
vT
cf
vT
c
f
1
cv
ff
1
0
doppler.exe
Zjawisko Dopplerav
vc
f
1
c
vccf
1
c
vff 101
Obserwator zbliża się do źródła
f0
Obserwator oddala się do źródła
vcf
1
c
vccf
1
c
vff 101
Zjawisko Dopplera
cvcv
ffz
o
1
1
01
Ogólna postać równania na częstotliwość odbieraną przezobserwatora poruszającego się z prędkością vo generowanąprzez źródło poruszające się z prędkością vz
Fala uderzeniowa
cvcv
ffz
o
1
1
01
Co się stanie gdy prędkość jakiegokolwiek elementu, układuźródło odbiornik, poruszałby się z prędkością dźwięku.