rukopis - ikar · peter lenčéš: Školská matematika v riešených úlohách 3 1.2 množinové...

Peter Lenčéš: Školská matematika v riešených úlohách

1

1. Množina

Ø Množina je súbor navzájom rozlíšiteľných objektov.

• objekty patriace do množiny nazývame prvky danej množiny

• množiny označujeme veľkými tlačenými písmenami, napr. A, B, C, ..., X, Y, ...

Na obrázku sú množiny A, B a C.

- množina A obsahuje prvok ♣, čo môžeme zapísať: A = {♣},

- množina B obsahuje prvky x, y, čo môžeme zapísať: B = {x, y},

- množina C obsahuje prvky 1, 2, 3, čo môžeme zapísať: C = {1, 2, 3}

A B C

x 1

♣ y 2

3

- fakt, že prvok ♣ patrí do množiny A, zapisujeme: ♣∈ A,

- fakt, že prvky x, y patria do množiny B, zapisujeme: x∈B, y∈B,

- fakt, že prvky 1, 2, 3 patria do množiny C, zapisujeme: 1∈C, 2∈C, 3∈C,

- fakt, že napr. prvok ♣ nepatrí do množiny B, zapisujeme: ♣∉B

Poznámka: Množinu, ktorá neobsahuje žiaden prvok, nazývame prázdna množina

a označujeme ju symbolom Ø.

1.1 Podmnožina množiny

Ø Vezmime do úvahy množinu { }cbaA ,,= . Podmnožinami množiny A sú množiny

{ }a , { }b , { }c , { }ba, , { }ca, , { }cb, , čo zapisujeme:

{ } Aa ⊂ , { } Ab ⊂ , { } Ac ⊂ , { } Aba ⊂, , { } Aca ⊂, , { } Acb ⊂, .

• platí, že každá množina je svojou podmnožinou a tiež, že prázdna množina je

podmnožinou každej množiny, preto podmnožinou množiny { }cbaA ,,= je aj

samotná množina { }cbaA ,,= a prázdna množina Ø


2

Na obrázku je množina A = {a, b, c} a všetky jej podmnožiny:

a a b c

b c

a b a c b c a b c

Príklad 1:

Vypíšte všetky podmnožiny množín:

a) A = {♣},

b) B = {x, y},

c) C = {1, 2, 3},

d) D = {4, z, ♠}.

Riešenie:

a) Podmnožinami množiny A={♣} sú množiny: Ø a A={♣}.

b) Podmnožinami množiny { }yxB ,= sú množiny: Ø, { }x , { }y a { }yxB ,= .

c) Podmnožinami množiny { }3 ,2 ,1=C sú množiny:

Ø, { }1 , { }2 , { }3 , { }2 ;1 , { }3 ;1 , { }3 ;2 a { }3 ;2 ;1=C .

d) Podmnožinami množiny D={4, z, ♠} sú množiny:

Ø, {4}, {z}, {♠}, {4, z}, {4, ♠}, {z, ♠} a D={4, z, ♠}.

Príklad 2:

Daná je množina { }YaX , ,0= . Vypíšte všetky jej

a) jednoprvkové podmnožiny,

b) dvojprvkové podmnožiny.

Riešenie:

a) Jednoprvkovými podmnožinami množiny { }YaX , ,0= sú množiny: { }0 ,{ }a a{ }Y .

b) Dvojprvkovými podmnožinami množiny { }YaX , ,0= sú množiny:

{ }a ,0 , { }Y ,0 a { }Ya , .


3

1.2 Množinové operácie

Ø Základnými množinovými operáciami sú operácie zjednotenia množín, prieniku

množín a rozdielu množín.

Ø Vezmime do úvahy ľubovoľné množiny A a B.

• zjednotením množín A a B je množina obsahujúca práve tie prvky, ktoré patria

do množiny A alebo do množiny B (zjednotenie množín A a B označujeme BA ∪ )

A B

- ak napr. { }edcbaA , , , ,= a { }gfedB , , ,= , potom { }gfedcbaBA , , , , , ,=∪

• prienikom množín A a B je množina obsahujúca práve tie prvky, ktoré patria

do množiny A a zároveň do množiny B (prienik množín A a B označujeme BA ∩ )

A B

- ak napr. { }edcbaA , , , ,= a { }gfedB , , ,= , potom { }edBA ,=∩

• rozdielom množín A a B je množina obsahujúca práve tie prvky, ktoré patria

do množiny A a nepatria do množiny B (rozdiel množín A a B označujeme BA − )

A B

- ak napr. { }edcbaA , , , ,= a { }gfedB , , ,= , potom { }cbaBA , ,=−

Príklad 3:

Dané sú množiny { }5 ;4 ;3 ;2 ;1=X , { }9 ;7 ;5 ;3=Y a { }8 ;6 ;4=Z . Určte:

a) YX − ,

b) XY − ,

c) ZY ∩ ,

d) YX ∩ ,

e) ZYX ∪∪ .


4

Riešenie:

a) YX − = { }4 ;2 ;1 ,

b) XY − ={ }9 ;7 ,

c) =∩ ZY Ø,

d) =∩ YX { }5 ;3 ,

e) =∪∪ ZYX { }9 ;8 7; ;6 ;5 ;4 ;3 ;2 ;1 .

Príklad 4:

V dvadsaťčlennej skupine zamestnancov firmy sa dohovorí nemecky trinásť

zamestnancov a anglicky sedemnásť zamestnancov. Traja zamestnanci, ktorí sa

dohovoria nemecky a piati zamestnanci, ktorí sa dohovoria anglicky, sa dohovoria aj

rusky. Každý zo zamestnancov sa dohovorí najviac dvomi cudzími jazykmi.

a) Koľko zamestnancov sa dohovorí rusky?

b) Koľko zamestnancov sa dohovorí dvomi cudzími jazykmi?

c) Koľko zamestnancov sa dohovorí iba nemecky?

Riešenie:

a) Rusky sa dohovorí 3 + 5, t.j. osem zamestnancov.

b) V dvadsaťčlennej skupine zamestnancov firmy sa nemecky dohovorí trinásť

zamestnancov a anglicky sedemnásť zamestnancov.

- z toho vyplýva, že desať zamestnancov sa dohovorí aj nemecky, aj anglicky

Traja zamestnanci, ktorí sa dohovoria nemecky a piati zamestnanci, ktorí sa

dohovoria anglicky, sa dohovoria aj rusky.

- z toho vyplýva, že osem zamestnancov sa dohovorí aj nemecky, aj rusky alebo

aj anglicky, aj rusky

Každý zo zamestnancov sa dohovorí najviac dvomi cudzími jazykmi.

- z toho vyplýva, že z desiatich zamestnancov, ktorí sa dohovoria aj nemecky,

aj anglicky, nie je žiaden, ktorý by sa dohovoril aj rusky

Dvomi cudzími jazykmi sa dohovorí 10 + 8, t.j. osemnásť zamestnancov.

c) Nemecky sa dohovorí trinásť zamestnancov, nemecky aj anglicky desať

zamestnancov, nemecky aj rusky traja zamestnanci. Každý zo zamestnancov sa

dohovorí najviac dvomi cudzími jazykmi. Z toho vyplýva, že iba nemecky sa

nedohovorí ani jeden zamestnanec.


5

2. Čísla

2.1 Prirodzené, celé, racionálne, iracionálne a reálne čísla

Ø prirodzené čísla

• sú čísla, ktorými je možné vyjadriť počet objektov

• ide o čísla: 1, 2, 3, 4, ...

• množinu všetkých prirodzených čísel označujeme N

Poznámka: V niektorých učebniciach sa medzi prirodzené čísla zaraďuje aj číslo 0.

Ø celé čísla

• sú prirodzené čísla, čísla opačné k prirodzeným číslam a nula

• ide o čísla: ..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

• množinu všetkých celých čísel označujeme Z

Poznámka: Čísla opačné k prirodzeným číslam sú: –1, –2, –3, –4, ...

Ø racionálne čísla

• sú čísla, ktoré je možné vyjadriť v tvare zlomku (ktorého čitateľ je celé číslo a

menovateľ prirodzené číslo)

• racionálnymi číslami sú všetky celé čísla (teda aj prirodzené) a mnohé desatinné čísla

- napr. čísla –7; 0; 0,7; 7 sú racionálne, keďže sa dajú napísať v tvare zlomku

(ktorého čitateľ je celé číslo a menovateľ prirodzené číslo)

177 −

=− 100 =

1077,0 =

177 =

• množinu všetkých racionálnych čísel označujeme Q

Ø iracionálne čísla

• sú čísla, ktoré nie možné vyjadriť v tvare zlomku (ktorého čitateľ je celé číslo

a menovateľ prirodzené číslo)

• iracionálnym číslom je napr. Ludolfovo číslo (π) alebo hodnoty niektorých odmocnín

(napr. 2 , 3 )

• množinu všetkých iracionálnych čísel označujeme I


6

Ø reálne čísla

• sú všetky racionálne a iracionálne čísla

• množinu všetkých reálnych čísel označujeme R

Poznámka: Množina prirodzených čísel, množina celých čísel, množina racionálnych čísel,

množina iracionálnych čísel a množina reálnych čísel sú číselné množiny.

Medzi číselnými množinami N, Z, Q, I, R platia vzťahy, ktoré môžeme znázorniť diagramom:

N Z Q R

I

Z diagramu vyplýva:

• množina prirodzených čísel je súčasťou množiny celých čísel, množiny racionálnych

čísel a množiny reálnych čísel,

• množina celých čísel je súčasťou množiny racionálnych čísel a množiny reálnych

čísel,

• množina racionálnych čísel je súčasťou množiny reálnych čísel,

• množina iracionálnych čísel je súčasťou množiny reálnych čísel,

• množina racionálnych čísel a množina iracionálnych čísel tvoria množinu reálnych

čísel.

Poznámka: Pre zápis čísel sa používajú číslice (cifry): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9.

- napr. číslo 3 210 je tvorené: číslicou 0 (nachádza sa na mieste jednotiek),

číslicou 1 (nachádza sa na mieste desiatok),

číslicou 2 (nachádza sa na mieste stoviek),

číslicou 3 (nachádza sa na mieste tisícok)


7

2.2 Deliteľnosť prirodzených čísel

Ø Vysvetlíme, čo znamená, že nejaké prirodzené číslo (napr. 15) je, prípadne nie je

deliteľné iným prirodzeným číslom.

• číslo 15 je deliteľné napr. číslom 5, pretože po delení čísla 15 číslom 5 zostane zvyšok

rovný 0 ( 35:15 = , zvyšok 0),

• avšak číslo 15 nie je deliteľné napr. číslom 6, pretože po delení čísla 15 číslom 6

zostane zvyšok rôzny od 0 ( 26:15 = , zvyšok 3).

Poznámka: Každé prirodzené číslo je deliteľné číslom 1 a samým sebou.

- napr. aj číslo 10 je deliteľné číslom 1 a samým sebou, t.j. číslom 10 (deliteľné

je však aj číslami 2 a 5)

Pripomíname:

• výsledkom operácie delenia je podiel; delenec : deliteľ = podiel

• výsledkom operácie násobenia je súčin; činiteľ . činiteľ = súčin

• výsledkom operácie odčítania je rozdiel; menšenec – menšiteľ = rozdiel

• výsledkom operácie sčítania je súčet; sčítanec + sčítanec = súčet

Príklad 5:

Nájdite číslo, ktoré po vydelení číslom 8 dáva podiel 15 a zvyšok

a) 7,

b) 0.

Riešenie:

Najskôr si všimnime, že napr. 32:7 = a zvyšok je 1.

Ak by sme teda hľadali číslo, ktoré po vydelení číslom 2 dáva podiel 3 a zvyšok 1, hľadaným

číslom by bolo 7. Vypočítali by sme ho tak, že k súčinu 62.3 = by sme pripočítali zvyšok 1.

Podobne vyriešime i pôvodnú úlohu.

a) 1208.15 = 1277120 =+

Hľadaným číslom je číslo 127.

b) 1208.15 = 1200120 =+

Hľadaným číslom je číslo 120.


8

2.2.1 Znaky deliteľnosti prirodzených čísel

Ø deliteľnosť dvomi

• všetky prirodzené čísla, ktoré majú na mieste jednotiek niektorú z číslic 0, 2, 4, 6

alebo 8, sú deliteľné dvomi

- napr. číslo 246 je deliteľné dvomi, keďže na mieste jednotiek má číslicu 6

Poznámka: Čísla deliteľné dvomi nazývame párne. Čísla, ktoré nie sú deliteľné dvomi, sú

nepárne.

Ø deliteľnosť tromi

• všetky prirodzené čísla, ktorých ciferný súčet je deliteľný tromi, sú deliteľné tromi

- napr. číslo 246 je deliteľné tromi, keďže jeho ciferný súčet (t.j. 12642 =++ )

je deliteľný tromi

Ø deliteľnosť štyrmi

• všetky prirodzené čísla, ktorých posledné dvojčíslie je deliteľné štyrmi, sú deliteľné

štyrmi

- napr. číslo 256 je deliteľné štyrmi, keďže jeho posledné dvojčíslie (t.j. 56) je

deliteľné štyrmi

Ø deliteľnosť piatimi

• všetky prirodzené čísla, ktoré majú na mieste jednotiek niektorú z číslic 0 alebo 5, sú

deliteľné piatimi

- napr. číslo 265 je deliteľné piatimi, keďže na mieste jednotiek má číslicu 5

Ø deliteľnosť šiestimi

• všetky prirodzené čísla, ktoré sú deliteľné súčasne dvomi i tromi, sú deliteľné šiestimi

- napr. číslo 246 je deliteľné šiestimi, keďže je deliteľné súčasne dvomi i tromi

Ø deliteľnosť ôsmimi

• všetky prirodzené čísla, ktorých posledné trojčíslie je deliteľné ôsmimi, sú deliteľné

ôsmimi

- napr. číslo 1 256 je deliteľné ôsmimi, keďže jeho posledné trojčíslie (t.j. 256)

je deliteľné ôsmimi


9

Ø deliteľnosť deviatimi

• všetky prirodzené čísla, ktorých ciferný súčet je deliteľný deviatimi, sú deliteľné

deviatimi

- napr. číslo 279 je deliteľné deviatimi, keďže jeho ciferný súčet

(t.j. 18972 =++ ) je deliteľný deviatimi

Príklad 6:

V zápise 4 58* nahraďte hviezdičku takou číslicou, aby vzniknuté číslo bolo deliteľné

a) tromi,

b) štyrmi,

c) deviatimi,

d) súčasne dvomi a piatimi.

Riešenie:

a) 4 581 alebo 4 584 alebo 4 587

b) 4 580 alebo 4 584 alebo 4 588

c) 4 581

d) 4 580

2.2.2 Deliteľ a násobok prirodzeného čísla

Ø Deliteľom prirodzeného čísla je každé číslo, ktorým je dané prirodzené číslo

deliteľné.

Poznámka: Budeme brať do úvahy len kladné delitele prirodzeného čísla.

- napr. číslo 56 má tieto delitele: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

- napr. číslo 13 má iba tieto delitele: 1, 13 (t.j. číslo 1 a samo seba)

Poznámka: Každé prirodzené číslo má aspoň dva delitele – číslo 1 a samo seba.

Ø Prirodzené čísla, ktoré majú iba dva delitele (1 a samo seba), nazývame prvočísla.

Prirodzené čísla, ktoré majú viac ako dva delitele, nazývame zložené čísla.


10

Poznámka: Číslo 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo. Najmenšie prvočíslo je číslo 2.

Príklad 7:

Koľko (kladných) deliteľov má číslo 30?

Riešenie:

Delitele čísla 30 sú: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Ich počet je 8.

Príklad 8:

Koľko prvočísel je menších ako 20?

Riešenie:

Prvočísla menšie ako 20 sú: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Ich počet je 8.

Ø Každé zložené číslo je možné rozložiť na súčin prvočísel.

- napr. číslo 12 je možné rozložiť na súčin prvočísel nasledovne:

3.2.26.212 ==

Príklad 9:

Čísla 48, 57 a 100 rozložte na súčin prvočísel.

Riešenie:

48 = 2 . 24 = 2 . 2 . 12 = 2 . 2 . 2 . 6 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3

57 = 3 . 19

100 = 2 . 50 = 2 . 2 . 25 = 2 . 2 . 5 . 5

Ø Násobkom prirodzeného čísla je každé číslo, ktoré je daným prirodzeným číslom

deliteľné.

- napr. číslo 2 má tieto násobky: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...

- napr. číslo 13 má tieto násobky: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, ...

- napr. číslo 1 má tieto násobky: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

Poznámka: Každé prirodzené číslo má nekonečne veľa násobkov.


11

Príklad 10:

Zistite, či sú nasledujúce tvrdenia pravdivé:

a) číslo 15 je deliteľom čísla 45,

b) číslo 45 je deliteľné číslom 15,

c) číslo 45 je násobkom čísla 15.

Riešenie:

Všetky tri tvrdenia sú pravdivé.

Príklad 11:

Koľko násobkov čísla 5 je menších ako 20?

Riešenie:

Násobky čísla 5 menšie ako 20 sú: 5, 10, 15. Ich počet je 3.

2.2.3 Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok prirodzených čísel

Ø Vezmime do úvahy napr. čísla 8 a 12. Nájdeme najväčší spoločný deliteľ (NSD)

a najmenší spoločný násobok (NSN) týchto čísel.

- delitele čísla 8: 1, 2, 4, 8

- delitele čísla 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

• vidíme, že NSD čísel 8 a 12 je číslo 4, čo môžeme zapísať takto: NSD (8, 12) = 4

- násobky čísla 8: 8, 16, 24, 32, 40, ...

- násobky čísla 12: 12, 24, 36, 48, ...

• vidíme, že NSN čísel 8 a 12 je číslo 24, čo môžeme zapísať takto: NSN (8, 12) = 24

Poznámka: Čísla, ktorých najväčší spoločný deliteľ je číslo 1, sa nazývajú nesúdeliteľné.

- nesúdeliteľnými číslami sú napr. dvojice 5 a 9 alebo 2 a 17

V prípade, ak hľadáme NSD alebo NSN príliš veľkých prirodzených čísel, je postup, ktorý

sme uviedli, nepraktický.

Ø NSD a NSN prirodzených čísel je možné nájsť aj využitím rozkladu týchto čísel

na súčin prvočísel. Príslušnú metódu objasníme v rámci príkladu 12 a príkladu 13.


12

Príklad 12:

Nájdite najväčší spoločný deliteľ čísel

a) 48 a 60,

b) 15 a 38,

c) 18, 57 a 99.

Riešenie:

a) 48 = 2 . 24 = 2 . 2 . 12 = 2 . 2 . 2 . 6 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3

60 = 2 . 30 = 2 . 2 . 15 = 2 . 2 . 3 . 5

NSD (48, 60) = 2 . 2 . 3 = 12

b) 15 = 3 . 5

38 = 2 . 19

NSD (15, 38) = 1, t.j. čísla 15 a 38 sú nesúdeliteľné

c) 18 = 2 . 9 = 2 . 3 . 3

57 = 3 . 19

99 = 3 . 33 = 3 . 3 . 11

NSD (18, 57, 99) = 3

Príklad 13:

Nájdite najmenší spoločný násobok čísel

a) 48 a 60,

b) 15 a 38,

c) 18, 57 a 99.

Riešenie:

a) 48 = 2 . 24 = 2 . 2 . 12 = 2 . 2 . 2 . 6 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3

60 = 2 . 30 = 2 . 2 . 15 = 2 . 2 . 3 . 5

NSN (48, 60) = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 240

b) 15 = 3 . 5

38 = 2 . 19

NSN (15, 38) = 2 . 3 . 5 . 19 = 570

c) 18 = 2 . 9 = 2 . 3 . 3

57 = 3 . 19

99 = 3 . 33 = 3 . 3 . 11

NSN (18, 57, 99) = 2 . 3 . 3 . 11 . 19 = 3 762


13

2.3 Zlomky

Ø Zlomok je číslo zapísané ako podiel dvoch čísel a a b ( 0≠b ) v tvare ba .

• a je čitateľ a b menovateľ zlomku ba (oddelené sú od seba zlomkovou čiarou)

Ø Zamerajme sa na zlomky 83 a

38 .

• zlomok 83 predstavuje tri z osem rovnakých dielov (pričom týchto osem rovnakých

dielov tvorí jeden celok):

• zlomok 38 predstavuje dva rovnaké celky (každý z nich je tvorený tromi rovnakými

dielmi) spolu s dvomi z troch rovnakých dielov takého istého celku:

Ø Hovoríme, že zlomok je v základnom tvare, ak jeho čitateľ a menovateľ sú

nesúdeliteľné celé čísla.

- napr. zlomky 216 a

150350 nie sú v základnom tvare; prevedieme ich doň tzv.

krátením (pri ktorom čitateľ i menovateľ zlomku delíme tým istým nenulovým

číslom):

72

3:213:6

216

== 37

5:155:35

1535

10:15010:350

===


14

Príklad 14:

Vyjadrite zlomkom (v základnom tvare) časť, ktorá je na obrázku znázornená žltou

farbou.

Riešenie:

==2:162:10

1610

85

2.3.1 Operácie so zlomkami

Ø sčítanie a odčítanie zlomkov

• ak chceme vypočítať súčet alebo rozdiel zlomkov, je potrebné ich najskôr podrobiť

úprave na spoločný (rovnaký) menovateľ

- spoločný menovateľ dvoch alebo viacerých zlomkov je spoločný násobok

(najlepšie najmenší) ich menovateľov

Počítajme:

2023

20158

203.52.4

43

52

=+

=+

=+ 67

6815

64.25.3

34

25

=−

=−

=−

• ak chceme vypočítať súčet alebo rozdiel zlomku a celého čísla, celé číslo je potrebné

najskôr napísať ako zlomok (s menovateľom rovným 1) a potom oba zlomky podrobiť

úprave na spoločný menovateľ

Počítajme:

5

175152

53.52.1

13

523

52

=+

=+

=+=+ 23

225

21.25.1

11

251

25

=−

=−

=−=−


15

Ø násobenie zlomkov

• zlomok násobíme zlomkom tak, že čitateľ jedného zlomku násobíme čitateľom

druhého zlomku a menovateľ jedného zlomku násobíme menovateľom druhého

zlomku

Počítajme:

103

2:202:6

206

4.53.2

43

52

====⋅

• zlomok násobíme celým číslom tak, že čitateľ zlomku násobíme daným celým číslom

a menovateľ ponecháme bez zmeny

Počítajme:

56

53.23

52

==⋅

Ø delenie zlomkov

• zlomok alebo celé číslo delíme zlomkom tak, že ho násobíme prevráteným zlomkom

k zlomku, ktorým delíme

- prevrátený zlomok k zlomku napr. 52 je

25

Počítajme:

158

34

52

43:

52

=⋅= 2

15253

52:3 =⋅=

• zlomok delíme celým číslom tak, že ho násobíme prevrátenou hodnotou k danému

celému číslu

- prevrátená hodnota k číslu napr. 2 je 21

Počítajme:

152

31

523:

52

=⋅=

Príklad 15:

Usporiadajte čísla 471

35

21 , , , vzostupne (t.j. od najmenšieho po najväčšie).


16

Riešenie:

Dané čísla najskôr upravíme na zlomky so spoločným menovateľom (bude ním najmenší

spoločný násobok menovateľov 2, 3 a 4, t.j. číslo 12):

126

121.6

21

== 1220

125.4

35

== 12121 =

1221

127.3

47

==

Získané zlomky usporiadame vzostupne a to podľa veľkosti ich čitateľa:

47

1221 ,

35

1220 ,1

1212 ,

21

126

====

Príklad 16:

Vypočítajte:

a) € 300 z 52 ,

b) cm 180 zo 92 .

Riešenie:

Úlohu riešime tak, že predložku „z“, resp. „zo“ nahradíme znamienkom „·“ a násobíme.

a) ====⋅= €1

120€5:5

5:600€5

600€ 30052€ 300 z

52 € 120

b) ====⋅= cm 140cm

9:99:360cm

9360cm 180

92cm 180 zo

92 cm 40

Príklad 17:

Nájdite zlomok, ktorý je

a) o 5 väčší ako zlomok 32 ,

b) −5 krát väčší ako zlomok 32 ,

c) o 32 menší ako číslo 5,

d) −32 krát menší ako číslo 5.

Riešenie:

a) =+

=+

=+=+3152

35.32.1

15

325

32

317


17

b) =⋅ 532

310

c) =−

=−

=−=−3

2153

2.15.332

15

325

313

d) =⋅=235

32:5

215

Pripomíname:

Písmená a, b považujme za ľubovoľné čísla rôzne od nuly. Potom platí:

a + (–b) = a – b a – (–b) = a + b

(–a) · (–b) = + (a · b) (–a) : (–b) = + (a : b)

(–a) · (+b) = – (a · b) (–a) : (+b) = – (a : b)

(+a) · (–b) = – (a · b) (+a) : (–b) = – (a : b)

(+a) · (+b) = + (a · b) (+a) : (+b) = + (a : b)

Príklad 18:

Ktorý z číselných výrazov 21 a VV má väčšiu hodnotu?

( )

−−⋅−=

31331V

−−= 4

41

41

2V

Riešenie:

( ) =

−−⋅−=

31331V

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−

⋅−=−−

⋅−=−−

⋅−=

−

−⋅−=

−−⋅−=

3103

3193

31.13.33

31

133

31

133

101

103:33:30

330

====

=

−−= 4

41

41

2V

( )=

+=

−−=

−−=

−−=

−−=

−−=

4151

4151

415

41

4161

41

44.41.1

41

14

41

41

414

4:44:16

416

====

Väčšiu hodnotu má číselný výraz V1.


18

2.3.2 Zložené zlomky a zmiešané čísla

Ø Zložený zlomok je zlomok, ktorý má v čitateli alebo menovateli alebo aj v čitateli, aj

v menovateli zlomok.

• každý zložený zlomok je možné vyjadriť v jednoduchom tvare tak, že vynásobíme

vonkajšie zložky zloženého zlomku (dostaneme čitateľ zlomku v jednoduchom tvare) a

vnútorné zložky zloženého zlomku (dostaneme menovateľ zlomku v jednoduchom

tvare)

Počítajme:

157

5.37.1

7531

== 151

5.31.1

1531

531

=== 521

5.17.3

7513

753

===

Ø Zmiešané číslo je tvorené celou časťou a zlomkovou časťou.

- príkladom zmiešaného čísla je číslo 412 (čítame: „dve celé jedna štvrtina“);

predstavuje 2 rovnaké celky a jednu štvrtinu z toho istého celku:

Ø Každé zmiešané číslo je možné previesť do tvaru zlomku a to podľa vzoru:

313

313.4

314 =

+=

57

525.1

521 =

+=

Ø Každý zlomok, v ktorom je čitateľ väčší ako menovateľ, je možné napísať

ako zmiešané číslo a to podľa vzoru:

314

313

=

- 4 celé sme dostali ako podiel čitateľa 13 a menovateľa 3 ( 43:13 = ),

- 1 v čitateli zlomku 31 je zvyšok po delení čísel 13 a 3 ( 43:13 = , zvyšok 1),

- menovateľ zlomku 31 je rovnaký ako menovateľ pôvodného zlomku

313


19

2.3.3 Vzťah medzi zlomkom a desatinným číslom

Ø Desatinné číslo je tvorené celou časťou a desatinnou časťou navzájom oddelenými

desatinnou čiarkou.

- desatinná časť napr. čísla 123,4567 je tvorená:

číslicou 4 (nachádza sa na mieste desatín),

číslicou 5 (nachádza sa na mieste stotín),

číslicou 6 (nachádza sa na mieste tisícin),

číslicou 7 (nachádza sa na mieste desaťtisícin)

Príklad 19:

O koľko vyššia bola najvyššia denná teplota v porovnaní s najnižšou nočnou teplotou,

ak najnižšia nočná teplota klesla na –11,4 °C a najvyššia denná teplota dosiahla –2,7 °C?

Riešenie:

( ) C 7,8C 4,11C 7,2C 4,11C 7,2 °=°+°−=°−−°−

Najvyššia denná teplota bola v porovnaní s najnižšou nočnou teplotou o 8,7 °C vyššia.

Ø Každé (racionálne) desatinné číslo je možné napísať ako zlomok (ktorého čitateľ je

celé číslo a menovateľ prirodzené číslo) a to podľa vzoru:

41

25:10025:25

1002525,0 ===

Ø Každý zlomok (ktorého čitateľ nie je deliteľný menovateľom) je možné napísať ako

desatinné číslo a to podľa vzoru:

5,32:727

==

Poznámka: Pri prevode zlomku na desatinné číslo alebo desatinného čísla na zlomok

zohľadňujeme skutočnosť, že zlomková čiara reprezentuje operáciu delenia.

Príklad 20:

Napíšte desatinné čísla 0,4 a 1,25 ako zlomky v základnom tvare.

Riešenie:


20

===2:102:4

1044,0

52

=====5:205:25

2025

5:1005:125

10012525,1

45

Pripomíname:

V číselných výrazoch (napr. 1 . 2 – 3 : 4 + 5) sa operácie vykonávajú zľava doprava. Delenie

a násobenie však majú prednosť pred odčítaním a sčítaním. Pokiaľ sa v číselnom výraze

vyskytujú operácie v zátvorkách, vykonajú sa najskôr tieto.

Príklad 21:

Vypočítajte hodnotu číselného výrazu 05,0:101

545,2 −⋅

a vyjadrite ju v tvare zlomku.

Riešenie:

=−=⋅−=−⋅=−⋅50

10050

1005

100101

50100

1005:

101

54

102505,0:

101

545,2 0

Príklad 22:

Na číselnej osi sú zobrazené čísla A a B.

a) Určte hodnotu čísla A a čísla B.

b) Vypočítajte súčet čísel A a B.

c) Zistite vzdialenosť čísel A a B na číselnej osi.

d) Zistite, o koľko je číslo A na číselnej osi vzdialené od nuly.

e) Nájdite čísla, ktoré sú na číselnej osi vzdialené od čísla A o 0,4.

f) Nájdite číslo, ktorého vzdialenosť na číselnej osi od čísla A je rovnaká ako

vzdialenosť na číselnej osi od čísla B.

Riešenie:

a) Hodnota čísla A je –1,2 a hodnota čísla B je 1,8.

b) Pre súčet čísel A a B platí: A + B = –1,2 + 1,8 = 0,6.

c) Vzdialenosť čísel A a B na číselnej osi je daná rozdielom väčšieho čísla (t.j. čísla B)

a menšieho čísla (t.j. čísla A). Počítajme:


21

B – A = 1,8 – (–1,2) = 1,8 + 1,2 = 3

Vzdialenosť čísel A a B na číselnej osi je 3.

d) Číslo A je na číselnej osi vzdialené od nuly o 0 – A = 0 – (–1,2) = 0 + 1,2 = 1,2.

e) Pre čísla, ktoré sú na číselnej osi vzdialené od čísla A o 0,4, platí:

A – 0,4 = –1,2 – 0,4 = –1,6 A + 0,4 = –1,2 + 0,4 = –0,8

Čísla, ktoré sú na číselnej osi vzdialené od čísla A o 0,4, sú: –1,6 a –0,8.

f) Hľadané číslo označme C.

Vzdialenosť čísel A a C a tiež vzdialenosť čísel B a C je na číselnej osi rovnaká ako

polovica zo vzdialenosti čísel A a B, t.j. ( )AB − z 21 .

Počítajme: ( ) ( )[ ] [ ] ==⋅=+⋅=−−⋅=−233

212,18,1

212,18,1

21 z

21 AB 1,5.

Pre hľadané číslo C platí:

C = A + 1,5 = –1,2 + 1,5 = 0,3 alebo C = B – 1,5 = 1,8 – 1,5 = 0,3

Číslo, ktorého vzdialenosť na číselnej osi od čísla A je rovnaká ako vzdialenosť

na číselnej osi od čísla B, je 0,3.

2.4 Zaokrúhľovanie čísel

Ø Pri zaokrúhľovaní čísla rozhoduje číslica (rozhodujúca číslica), ktorá sa v ňom

nachádza bezprostredne za miestom, na ktoré zaokrúhľujeme (zaokrúhľované miesto).

• ak je rozhodujúca číslica menšia alebo rovná štyri, potom číslica

na zaokrúhľovanom mieste sa nemení (hovoríme o zaokrúhľovaní nadol),

• ak je rozhodujúca číslica väčšia alebo rovná päť, potom číslica na zaokrúhľovanom

mieste bude o 1 väčšia (hovoríme o zaokrúhľovaní nahor),


22

• v zaokrúhlenom čísle sú všetky číslice za zaokrúhľovaným miestom rovné nule

Ø Vezmime do úvahy čísla 99 904 a 90 985. Zaokrúhlime ich na:

• desiatky

99 904 =& 99 900 90 985 =& 90 990

• stovky

99 904 =& 99 900 90 985 =& 91 000

• tisícky

99 904 =& 100 000 90 985 =& 91 000

• desaťtisícky

99 904 =& 100 000 90 985 =& 90 000

Ø Vezmime do úvahy čísla 1,057 9 a 99,997 7. Zaokrúhlime ich na:

• jednotky

1,057 9 =& 1,000 0 = 1

99,997 7 =& 100,000 0 = 100

• desatiny (jedno desatinné miesto)

1,057 9 =& 1,100 0 = 1,1

99,997 7 =& 100,000 0 = 100

• stotiny (dve desatinné miesta)

1,057 9 =& 1,060 0 = 1,06

99,997 7 =& 100,000 0 = 100

• tisíciny (tri desatinné miesta)

1,057 9 =& 1,058 0 = 1,058

99,997 7 =& 99,998 0 = 99,998

2.5 Mocniny s kladným celočíselným exponentom

Ø Príkladom mocniny je zápis 53 .

• číslo 3 v danom zápise nazývame základ mocniny (mocnenec),

• číslo 5 v danom zápise nazývame exponent (mocniteľ) mocniny

Ø Každá mocnina, ktorej exponent je prirodzené číslo väčšie ako 1, vyjadruje súčin.


23

- napr.: 3333335 ....= , pričom hodnota mocniny 53 je 243

alebo 55553 ..= , pričom hodnota mocniny 35 je 125

Ø Písmeno a považujme za ľubovoľné číslo. Platí:

aa =1 , teda napr. ( ) 22 1 −=− , 001 = , 111 = , 551 = .

Pre ľubovoľné číslo a rôzne od nuly je definované:

10 =a , teda napr. ( ) 12 0 =− , 110 = , 150 = .

Poznámka: Výraz 00 nie je jednoznačne definovaný.

Príklad 23:

Vypočítajte:

a) =+++ 3210 4321

b) =+++ 3210 1111

c) =+++ 10010001 1010

d) =+ 10 100100

e) =++++ 01234 54321

Riešenie:

a) =+++=+++ 649214321 3210 76

b) =+++=+++ 11111111 3210 4

c) =+++=+++ 10101010 10010001 2

d) =+=+ 1001100100 10 101

e) =++++=++++ 1498154321 01234 23

Ø Vezmime do úvahy mocninu so záporným základom.

• ak je exponent danej mocniny párne prirodzené číslo, potom jej hodnota je kladné

číslo; napr. (–2)4 = (–2).(–2).(–2).(–2) = +16,

• ak je exponent danej mocniny nepárne prirodzené číslo, potom jej hodnota je

záporné číslo; napr. (–2)5 = (–2).(–2).(–2).(–2).(–2) = –32.


24

Príklad 24:

Vypočítajte:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−+−+− 3210 1111

b) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−+−+− 979899100 1111

c) ( )[ ] =−231

d) ( )[ ] =−321

Riešenie:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−=−++−+=−+−+−+− 111111111111 3210 0

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+−=−++−+=−+−+−+− 111111111111 979899100 0

c) ( )[ ] [ ] =−=− 223 11 1

d) ( )[ ] [ ] ==− 332 11 1

Príklad 25:

Vypočítajte:

a) ( ) =− 23 d) ( ) =− 32

b) =− 23 e) =− 32

c) ( ) =−− 23 f) ( ) =−− 32

Riešenie:

a) ( ) ( ) ( ) =−−=− 3 . 33 2 9 d) ( ) ( ) ( ) ( ) =−−−=− 2 . 2 . 22 3 8−

b) ( ) =−=− 3.3 32 9− e) ( ) =−=− 2.2.2 23 8−

c) ( ) ( ) ( )[ ] =−−−=−− 3 . 3 3 2 9− f) ( ) ( )( )( )[ ] [ ] =−−=−−−−=−− 82.2.2 2 3 8

Príklad 26:

Vypočítajte:

a) rozdiel najväčšieho trojciferného čísla a druhej mocniny najmenšieho

dvojciferného čísla,

b) druhú mocninu rozdielu najväčšieho dvojciferného čísla a najmenšieho

trojciferného čísla.


25

Riešenie:

a) Najväčšie trojciferné číslo je 999 a najmenšie dvojciferné číslo je 10.

Pre rozdiel čísla 999 a druhej mocniny čísla 10 platí:

=−=− 10099910999 2 899 .

b) Najväčšie dvojciferné číslo je 99 a najmenšie trojciferné číslo je 100.

Pre druhú mocninu rozdielu čísla 99 a čísla 100 platí:

( ) ( ) =−=− 22 110099 1.

Príklad 27:

Vypočítajte:

a) ( ) ( ) =−+− 32 109.876:5

b) ( ) ( ) =−−− 23 56:789.10

c) ( ) ( ) =−−− 8:97.6105 22

d) ( ) =−−+− 87.695:10 2

Riešenie:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=−+=−+=−+−=−+− 85851.81:51.81:5109.876:5 3232 –3

b) ( ) ( ) =−=−=−=−−− 7101:71.101:71.1056:789.10 2323 3

c) ( ) ( ) ( ) ( ) =−=−=−=−−−=−−− 3258:24258:4.6258:2.658:97.6105 2222 22

d) ( ) ( ) =−=−−=−−=−−+−=−−+− 878424984278429287.695:10 222 –1

Príklad 28:

Vypočítajte:

a) =210.005,0

b) =310.006,0

c) =410.007,0

Riešenie:

a) == 100 . 005,010 . 005,0 2 0,5

b) == 000 1. 006,010. 006,0 3 6

c) == 000 10. 007,010. 007,0 4 70


26

Ø Zlomky umocňujeme podľa vzoru n

nn

ba

ba

=

, t.j. umocňujeme čitateľ i menovateľ

daného zlomku.

- v príkladoch je potrebné postrehnúť zlomky, v ktorých umocňujeme len ich

čitateľ alebo len ich menovateľ

Počítajme:

3625

65

65

2

22

==

625

652

= 365

652 =

Príklad 29:

Vypočítajte:

a) =− 2

3

43

21

b) =

−

23

43

21

c) =

−

3

43

21

Riešenie:

a) 165

1638

163.11.8

163

21

43

21

2

3=

−=

−=−=−

b) 167

167

1692

169.11.2

169

81

43

21

43

21

2

2

3

323

−=−

=−

=−

=−=−=

−

c) ( )641

641

41

41

432

43.11.2

43

21

3

33333

−=−

=−

=

−

=

−

=

−

=

−

Príklad 30:

Vypočítajte: =+

0

0

1001

1001

Riešenie:

=+=+=+

11

111

1001

1001

0

0

2


27

Ø Je vhodné vedieť naspamäť:

02 = 0

12 = 1 62 = 36 112 = 121

22 = 4 72 = 49 122 = 144

32 = 9 82 = 64 132 = 169

42 = 16 92 = 81 142 = 196

52 = 25 102 = 100 152 = 225

2.6 Druhá odmocnina, tretia odmocnina

Ø Vezmime do úvahy také kladné čísla a a b, pre ktoré platí: ab =2 , t.j. číslo a je

druhou mocninou čísla b.

Číslo b je potom druhou odmocninou z čísla a, čo zapisujeme: ba = .

• číslo a v zápise a nazývame základ odmocniny (odmocnenec)

Platí: 0 = 0, pretože 02 = 0 64 = 8, pretože 82 = 64

1 = 1, pretože 12 = 1 81 = 9, pretože 92 = 81

4 = 2, pretože 22 = 4 100 = 10, pretože 102 = 100

9 = 3, pretože 32 = 9 121 = 11, pretože 112 = 121

16 = 4, pretože 42 = 16 144 = 12, pretože 122 = 144

25 = 5, pretože 52 = 25 169 = 13, pretože 132 = 169

36 = 6, pretože 62 = 36 196 = 14, pretože 142 = 196

49 = 7, pretože 72 = 49 225 = 15, pretože 152 = 225

Poznámka: Druhá odmocnina zo záporného čísla neexistuje.

Príklad 31:

Vypočítajte:

a) =−++ 9410


28

b) =+ 9.41.0

c) =+ 641

Riešenie:

a) =−++=−++ 32109410 0

b) ==+=+ 363609.41.0 6

c) ==+=+ 981641 3

Ø Vezmime do úvahy také čísla a a b, pre ktoré platí: ab =3 , t.j. číslo a je treťou

mocninou čísla b.

Číslo b je potom treťou odmocninou z čísla a, čo zapisujeme: ba =3 .

• číslo a v zápise 3 a nazývame základ odmocniny (odmocnenec)

Platí: 3 0 = 0, pretože 03 = 0

3 1 = 1, pretože 13 = 1 3 1− = –1, pretože (–1)3 = –1

3 8 = 2, pretože 23 = 8 3 8− = –2, pretože (–2)3 = –8

3 27 = 3, pretože 33 = 27 3 27− = –3, pretože (–3)3 = –27 3 64 = 4, pretože 43 = 64 3 64− = –4, pretože (–4)3 = –64

3 125 = 5, pretože 53 = 125 3 125− = –5, pretože (–5)3 = –125

Poznámka: Tretia odmocnina zo záporného čísla existuje a je ňou záporné číslo.

Príklad 32:

Vypočítajte:

a) =−++ 3333 27810

b) =−+−−−− 3333 27810

c) ( ) =+−3 22 3.23

d) =−3 3 1627

Riešenie:


29

a) =−++=−++ 321027810 3333 0

b) ( ) ( ) ( ) =−++=−+−−−−=−+−−−− 3210321027810 3333 0

c) ( ) ==+=+=+− 3333 22 271899.293.23 3

d) =−=−=− 333 3 1431627 –1

Ø Zlomky odmocňujeme podľa vzoru ba

ba

= , resp. 3

33

ba

ba

= , t.j. odmocňujeme

čitateľ i menovateľ daného zlomku.

- v príkladoch je potrebné postrehnúť zlomky, v ktorých odmocňujeme len ich

čitateľ alebo len ich menovateľ a tiež odlíšiť druhú odmocninu od tretej

odmocniny

Príklad 33:

Vypočítajte:

a) =− 36427

169

b) =−3 3

23

4

31627

Riešenie:

a) =−=−43

43

6427

169

3 0

b) =−=−=−43

43

649

43

4

31627

33 3

23 0

Príklad 34:

Vypočítajte: =− 33 6464

Riešenie:

=−=−=− 22486464 333 0


30

3. Výrazy s premennou

Ø Vezmime do úvahy vzťah pre výpočet dráhy s, ktorú prejde teleso za čas t, ak

rýchlosť jeho rovnomerného pohybu je v. Platí:

s = v . t

Tabuľka obsahuje hodnoty dráhy s určené hodnotami rýchlosti v a času t:

v

hkm 15 15 20 20 25 25 30 30

t [ ]h 1 2 2 3 3 4 4 5

s [ ]km 15 30 40 60 75 100 120 150

• v tabuľke si všimnime, že každé z písmen v, t a s zastupuje určité čísla

• písmenám v, t a s hovoríme premenné

Ø Výrazy s premennou sú napr.: a – b 3 + x y – 6 3,8z

• premennou vo výrazoch a – b; 3 + x; y – 6; 3,8z sú písmená a, b, x, y, z

• platí, že každá premenná zastupuje nejaké čísla

Poznámka: V súčine čísla a premennej alebo v súčine dvoch či viacerých premenných sa

znamienko „·“ nezvykne uvádzať.

- teda namiesto napr. 3,8.z píšeme 3,8z alebo namiesto napr. x.y.z píšeme xyz

Ø V súčine čísla a premennej hovoríme príslušnému číslu číselný koeficient.

- vo výraze napr. 2x–3y je číselným koeficientom premennej x číslo 2 a číselným

koeficientom premennej y číslo –3

- vo výraze napr. x–y môžeme za číselný koeficient premennej x považovať číslo

1 (platí totiž: xx =.1 ) a za číselný koeficient premennej y číslo –1 (platí totiž:

yy −=− .1 ); teda namiesto x–y by sme mohli písať 1x–1y, čo sa však obvykle

nerobí


31

Ø Výraz s premennou je tvorený jedným alebo viacerými členmi, ktorými môžu byť:

• číslo,

• premenná,

• súčin alebo podiel čísla a premennej,

• súčin alebo podiel premenných.

- napr. výraz 23

5 −+− xyyx je tvorený štyrmi členmi: 5x, 3y

− , xy a –2

3.1 Hodnota výrazov s premennou

Príklad 35:

Vypočítajte hodnotu výrazov

a) x+10 ,

b) x−10 ,

c) x10−

pre 2−=x .

Riešenie:

Riešenie úlohy spočíva v tom, že v príslušnom výraze dosadíme za premennú x číslo –2.

a) 10 + x = 10 + (–2) = 10 – 2 = 8

b) 10 – x = 10 – (–2) = 10 + 2 = 12

c) –10x = –10 . (–2) = 20

Príklad 36:

Pre 1 ,1 =−= ba vypočítajte hodnotu výrazov

a) abba

− ,

b) ab

abba

+−− ,

c) baba

ab−−

−,

d) bbabaa +

−+

− .


32

Riešenie:

a) ( ) ( ) =+−=−−−=−−−

=− 11111.111ab

ba 0

b) ( ) ( ) =−−=−−

=−++

−=

−+

−−−−

=+−− 111

221

112

11

1111

ab

abba –2

c) ( ) =−+−−

=−−−−−

−=−−

−11

2111

111.1ba

baab

21

d) =+−−=+−

−−=+−−+−

−−=+−+

− 10112

01111111b

babaa 0

Pripomíname:

Písmená a, b, c považujme za ľubovoľné čísla alebo premenné. Potom platí:

a + (b + c) = a + b + c a – (b + c) = a – b – c

a + (b – c) = a + b – c a – (b – c) = a – b + c

a + (–b + c) = a – b + c a – (–b + c) = a + b – c

a + (–b – c) = a – b – c a – (–b – c) = a + b + c

Inými slovami:

• „ak je pred zátvorkou znamienko +, po odstránení zátvorky znamienka jednotlivých

členov v nej vystupujúcich nemeníme“,

• „ak je pred zátvorkou znamienko –, po odstránení zátvorky znamienka jednotlivých

členov v nej vystupujúcich meníme na opačné“.

3.2 Operácie s výrazmi s premennou

Ø sčítanie a odčítanie výrazov s premennou

• Vezmime do úvahy výrazy napr. 5x + 2y – 3 a y – x + 2.

Pre súčet daných výrazov platí:

(5x + 2y – 3) + (y – x + 2) =

= 5x + 2y – 3 + y – x + 2 = 5x + 2y – 3 + 1y – 1x + 2 = 4x + 3y – 1.

Pre rozdiel daných výrazov platí:

(5x + 2y – 3) – (y – x + 2) =

= 5x + 2y – 3 – y + x – 2 = 5x + 2y – 3 – 1y + 1x – 2 = 6x + 1y – 5 = 6x + y – 5.


33

Príklad 37:

Zjednodušte výrazy

a) ( ) , 106107 −++ xx

b) ( ) , 106107 −−+ xx

c) ( ) ( ) , 107106 −−+− xx

d) ( ) . 107106 −−−− xx

Riešenie:

a) ( ) =−++=−++ 106107106107 xxxx x13

b) ( ) =+=+−+=−−+ 201106107106107 xxxxx 20+x

c) ( ) ( ) =−−=−−−=−−+− 201107106107106 xxxxx 20−− x

d) ( ) =++−=−−−− 107106107106 xxxx x13

Príklad 38:


a) ( )[ ] , 5555 abaa −−−

b) ( )[ ] , 5555 baaa −−−−+−

c) ( ) , baba −−−

d) ( ) , baba +−−+−

e) ( )[ ] ( )[ ] . aabbbbaa +−+−−−−

Riešenie:

a) ( )[ ] [ ] [ ] =+−=−−=+−−=−−− baabaaabaaabaa 5105510555555555 ba 55 +−

b) ( )[ ] [ ] =++−+−=−−−−+− baaabaaa 55555555 ba 55 +−

c) ( ) =+−−=−−− babababa 0

d) ( ) =−++−=+−−+− babababa 0

e) ( )[ ] ( )[ ] [ ] [ ] =−=+−+−−+−=+−+−−−− baabbbbaaaabbbbaa 20 –2b

Príklad 39:

Pre výrazy 21 ,VV a 3V platí: 321 VVV += . Určte

a) 1V , ak 102 −= aV a aV −= 53 ,


34

b) 2V , ak 101 −= aV a aV −= 53 .

Riešenie:

a) Ak 321 VVV += , pričom 102 −= aV a aV −= 53 , potom

( ) ( ) =−+−=−+−= aaaaV 5105101 –5.

b) Ak 321 VVV += , pričom 101 −= aV a aV −= 53 , potom

( ) ( ) =+−−=−−−=−= aaaaVVV 510510312 2a – 15.

Príklad 40:

V bunkách tabuľky sú výrazy A, B, C, D, E, F, G, H a I, pričom platí:

CAB += , HFG += , FAD += , HCE += a GEDBI +++= .

Určte výrazy C, D, E, H a I, ak 22 −= xA , 1−= xB , 33 −= xF a 1+−= xG .

Riešenie:

• ak CAB += , pričom 22 −= xA a 1−= xB , potom

( ) ( ) =+−−=−−−=−= 221221 xxxxABC –x + 1

• ak HFG += , pričom 33 −= xF a 1+−= xG , potom

( ) ( ) =+−+−=−−+−=−= 331331 xxxxFGH –4x + 4

• ak FAD += , pričom 22 −= xA a 33 −= xF , potom

( ) ( ) =−+−=−+−= 33223322 xxxxD 5x – 5

• ak HCE += , pričom 1+−= xC a 44 +−= xH , potom

( ) ( ) =+−+−=+−++−= 441441 xxxxE –5x + 5

• ak GEDBI +++= , pričom 1−= xB , 55 −= xD , 55 +−= xE a 1+−= xG ,

potom ( ) ( ) ( ) ( ) =+−+−−+−=+−++−+−+−= 155551155551 xxxxxxxxI 0

Poznámka: Odčítať výraz V2 od výrazu V1 znamená pripočítať k výrazu V1 opačný výraz

k výrazu V2 (t.j. výraz –V2).

- opačný výraz k výrazu napr. x + y – 2 je výraz – (x + y – 2) = – x – y + 2

22 −= xA 1−= xB C

D I E

33 −= xF 1+−= xG H


35

Príklad 41:

Napíšte opačný výraz k výrazom

a) 32 −+− yx ,

b) xy−1 .

Riešenie:

a) – (– x + 2y – 3) = x – 2y + 3

b) – (1 – xy) = – 1 + xy

Príklad 42:

Určte rozdiel výrazu x21 − a k nemu opačného výrazu.

Riešenie:

Opačný výraz k výrazu x21− je výraz ( ) xx 2121 +−=−− .

Pre rozdiel výrazu x21− a výrazu x21+− platí:

( ) ( ) xxxxx 4221212121 −=−+−=+−−− .

Ø násobenie a delenie výrazov s premennou číslom

• Vezmime do úvahy výraz 2x – 10y + 6.

Násobením daného výrazu napr. číslom –2 máme:

(2x – 10y + 6) . (–2) = – 4x + 20y – 12.

Delením daného výrazu napr. číslom –2 máme:

(2x – 10y + 6) : (–2) = – x + 5y – 3.

Príklad 43:


a) ( ) ( ) , .66:66 yxyx −−−

b) ( ) ( ) , 6:666. yxyx −−−

c) ( ) ( ) ( ) . 6:3636.6 −+−−+−− yxyx

Riešenie:

a) ( ) ( ) ( ) =+−−=−−−=−−− yxyxyxyxyxyx 6666.66:66 yx 55 +−

b) ( ) ( ) ( ) =+−−=−−−=−−− yxyxyxyxyxyx 66666:666. yx 55 −

c) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 66666666 6:3636.6 =+−−=−−−=−+−−+−− yxyxyxyxyxyx


36

Príklad 44:


a) , 43342

1 baab−+

−⋅

b) , 32

123

1

−⋅+

−⋅

abba

Riešenie:

a) 24

34 24

6843436843342

1 babaabbaabbaab −=

−+−=−+−=−+

−⋅

b) 62

632

6263321

231 baabbaabbaabba +

=−+−

=−+−=

−⋅+

−⋅

Ø násobenie výrazu s premennou výrazom s premennou

Poznámka: Súčin x . x (x je premenná) sa dá napísať ako mocnina x2.

• Vezmime do úvahy výrazy napr. 5x + 2y – 3 a y – x + 2.

Pre súčin daných výrazov platí:

(5x + 2y – 3) · (y – x + 2) =

= 5x·y + 5x·(–x) + 5x·2 + 2y·y + 2y·(–x) + 2y·2 + (–3)·y + (–3)·(–x) + (–3)·2 =

= 5xy – 5x2 + 10x + 2y2 – 2xy + 4y – 3y + 3x – 6 =

= – 5x2 + 2y2 + 3xy + 13x + y – 6

Príklad 45:

Určte súčin výrazov

a) x2 a 4−x ,

b) 43 −x a x43 +− ,

c) 1−− x a 1+x .

Riešenie:

a) ( ) xxxx 824.2 2 −=−

b) ( )( ) 1294161212943.43 222 +−−=−++−=+−− xxxxxxx

c) ( )( ) 12 11.1 22 −−−=−−−−=+−− xxxxxxx


37

Príklad 46: Určte súčin výrazu x+1 a k nemu opačného výrazu.

Riešenie:

Opačný výraz k výrazu x+1 je výraz ( ) xx −−=+− 11 .

Pre súčin výrazu x+1 a výrazu x−−1 platí:

( )( ) . 12 11.1 22 −−−=−−−−=−−+ xxxxxxx

Príklad 47:

Dané sú výrazy 5+−= xA a 15 −= xB . Vypočítajte

a) A.A – B,

b) B.B – A,

c) A – A.A,

d) B – B.B.

Riešenie:

a) ( )( ) ( ) 2615 152555155.5. 22 +−=+−+−−=−−+−+−=− xxxxxxxxxBAA

b) ( )( ) ( ) 4925 515525515.15. 22 −−=−++−−=+−−−−=− xxxxxxxxxABB

c) ( ) ( )( ) ( )=+−−−+−=+−+−−+−=− 255555.55. 2 xxxxxxxAAA

( ) 209 2510525105 222 −+−=−+−+−=+−−+−= xxxxxxxx

d) ( ) ( )( ) ( )=+−−−−=−−−−=− 155251515.1515. 2 xxxxxxxBBB

( ) 21525 11025151102515 222 −+−=−+−−=+−−−= xxxxxxxx

Príklad 48:

Určte súčet výrazov ( )13. −xx a ( )24.2 −xx a vypočítajte jeho hodnotu pre 1−=x .

Riešenie:

Pre súčet výrazov ( )13. −xx a ( )24.2 −xx platí:

( ) ( ) ( ) xxxxxxxxxxxxxx 511 48348324.213. 22222 −=−+−=−+−=−+− .

Pre hodnotu výrazu xx 511 2 − pre 1−=x platí:

( ) ( ) =+=+=−−−=− 51151.111.51.11511 22 xx 16.


38

4. Lineárne rovnice a nerovnice

4.1 Rovnica, koreň rovnice

Ø Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvomi výrazmi, pričom aspoň v jednom z nich

vystupuje premenná (nazývaná neznáma).

• každá rovnica má dve strany – ľavú stranu (označ. ĽS) a pravú stranu (označ. PS)

- príkladom rovnice je zápis: 4

2 73 xx +−=+

ľavá strana pravá strana

Ø Riešiť rovnicu znamená nájsť všetky jej korene (riešenia), t.j. nájsť všetky také čísla,

ktoré keď dosadíme za neznámu danej rovnice, dostaneme pravdivý výrok.

- napr. číslo 3 nie je koreňom rovnice 72 =−x , keďže po dosadení tohto čísla

za neznámu x nedostaneme pravdivý výrok ( 723 =− nie je pravdivý výrok),

- koreňom rovnice x – 2 = 7 je číslo 9, keďže po dosadení tohto čísla za neznámu

x dostaneme pravdivý výrok ( 729 =− je pravdivý výrok)

Poznámka: Korene rovnice hľadáme (t.j. rovnicu riešime) – ak v zadaní konkrétnej úlohy

nie je stanovené inak – v celej množine reálnych čísel (R).

- ak by sme napr. rovnicu 34 =+x riešili iba v množine prirodzených čísel,

nenašli by sme v tejto množine žiaden koreň (danej rovnici totiž vyhovuje číslo

–1, no toto číslo nie je prirodzené)

Poznámka: Hovoríme, že rovnica nemá riešenie v danej množine čísel, ak žiaden prvok

danej množiny čísel nie je jej koreňom.

4.2 Lineárne rovnice

Ø Lineárna rovnica je každá rovnica, ktorá má (po úprave) tvar ax + b = 0, kde a, b

sú reálne čísla (číslo a je rôzne od nuly) a x je neznáma.


39

Ø Lineárne rovnice riešime využitím tzv. ekvivalentných úprav. Týmito úpravami vieme

pôvodnú rovnicu upraviť na tvar x = c, kde c je jej koreň.

Ekvivalentnými úpravami sú:

• výmena ľavej a pravej strany rovnice

5 = x + 3

x + 3 = 5

• pripočítanie toho istého čísla k obidvom stranám rovnice

x – 2 = 7 + 2x /+2

x – 2 + 2 = 7 + 2x + 2

x = 9 + 2x

• odčítanie toho istého čísla od obidvoch strán rovnice

x + 2 = 7 + 2x /–2

x + 2 – 2 = 7 + 2x – 2

x = 5 + 2x

• pripočítanie toho istého výrazu s premennou k obidvom stranám rovnice

x – 2 = 7 – 2x /+2x

x – 2 + 2x = 7 – 2x + 2x

3x – 2 = 7

• odčítanie toho istého výrazu s premennou od obidvoch strán rovnice

x – 2 = 7 + 2x /–2x

x – 2 – 2x = 7 + 2x – 2x

–x – 2 = 7

• vynásobenie obidvoch strán rovnice tým istým nenulovým číslom

–x = 7 /.(–1)

(–x) . (–1) = 7 . (–1)

x = –7

• vydelenie obidvoch strán rovnice tým istým nenulovým číslom

3x = 6 /:3

(3x) : 3 = 6 : 3

x = 2


40

Poznámka: Niektoré rovnice (nie však lineárne) nadobudnú aplikáciou ekvivalentných

úprav jeden z týchto dvoch tvarov:

• 0 = 0

- v tomto prípade sú všetky čísla z množiny, v ktorej príslušnú rovnicu riešime,

jej koreňmi (viď ilustračný príklad 2)

• d = e, pričom d a e sú dve rôzne reálne čísla

- v tomto prípade príslušná rovnica nemá žiaden koreň (viď ilustračný príklad 3)

Ilustračný príklad 1:

V množine reálnych čísel riešte rovnicu 111111 =+x .

Riešenie:

11x + 111 = 1 /–111

11x + 111 – 111 = 1 – 111

11x = –110 /:11

(11x) : 11 = –110 : 11

x = –10

- rovnica 111111 =+x má v množine reálnych čísel práve jedno riešenie; jej

koreňom je číslo –10

- ak by bola v zadaní príkladu požiadavka riešiť rovnicu 111111 =+x iba

v množine napr. prirodzených čísel, konštatovali by sme, že v danej množine

koreň nemá (resp. v danej množine nemá riešenie), pretože číslo –10 nie je

prirodzené číslo


V množine reálnych čísel riešte rovnicu ( )3.113311 +=+ xx .

Riešenie:

11x + 33 = 11.(x + 3)

11x + 33 = 11x + 33 /–11x

11x + 33 – 11x = 11x + 33 – 11x

33 = 33 /–33

33 – 33 = 33 – 33

0 = 0


41

- keďže sme úpravou pôvodnej rovnice dospeli k pravdivému výroku

„ 00 = “, konštatujeme, že všetky čísla z množiny reálnych čísel (v ktorej

sme danú rovnicu riešili) sú koreňmi rovnice ( )3.113311 +=+ xx


V množine reálnych čísel riešte rovnicu ( )3.113011 +=+ xx .

11x + 30 = 11.(x + 3)

11x + 30 = 11x + 33 /–11x

11x + 30 – 11x = 11x + 33 – 11x

30 = 33 /–30

30 – 30 = 33 – 30

0 = 3

- keďže sme úpravou pôvodnej rovnice dospeli k nepravdivému výroku

„ 30 = “, konštatujeme, že rovnica ( )3.113011 +=+ xx nemá žiaden koreň

Príklad 49:

V množine reálnych čísel riešte rovnicu 332 −=+ xx a vykonajte skúšku správnosti.

Riešenie:

2x + 3 = x – 3 /–x

x + 3 = –3 /–3

x = –6

Skúška správnosti:

ĽS = 2.(–6) + 3 = –12 + 3 = –9

PS = –6 – 3 = –9

ĽS = PS

Príklad 50:

V množine reálnych čísel riešte rovnicu 3332 −=+ xx a vykonajte skúšku správnosti.

Riešenie:

2x + 3 = 3x – 3 /–3x

–x + 3 = –3 /–3

–x = –6 /.(–1)


42

x = 6


ĽS = 2.6 + 3 = 12 + 3 = 15

PS = 3.6 – 3 = 18 – 3 = 15

ĽS = PS

Príklad 51:

V množine reálnych čísel riešte rovnicu ( ) ( )2.33.2 −−=+− xx a vykonajte skúšku

správnosti.

Riešenie:

2.(–x + 3) = –3.(x – 2)

–2x + 6 = –3x + 6 /+3x

x + 6 = 6 /–6

x = 0


ĽS = 2.(–0 + 3) = 2.3 = 6

PS = –3.(0 – 2) = –3.(–2) = 6

ĽS = PS

Príklad 52:

V množine reálnych čísel riešte rovnicu ( ) ( ) ( )xxx +−+−−=+−− 2.22.21 a vykonajte

skúšku správnosti.

Riešenie:

–(–x + 1) = –2.(x – 2) + 2.(–2 + x)

x – 1 = –2x + 4 – 4 + 2x

x – 1 = 0 /+1

x = 1


ĽS = –(–1 + 1) = –0 = 0

PS = –2.(1 – 2) + 2.(–2 + 1) = –2.(–1) + 2.(–1) = 2 – 2 = 0

ĽS = PS


43

Príklad 53:

V množine reálnych čísel riešte rovnicu ( ) ( ) ( )xxxx +−−−−=−−+− 2.34.5432 a

vykonajte skúšku správnosti.

Riešenie:

–2x + (–3x – 4) = –5.(x – 4) – 3.(–2 + x)

–2x – 3x – 4 = –5x + 20 + 6 – 3x

–5x – 4 = –8x + 26 /+8x

3x – 4 = 26 /+4

3x = 30 /:3

x = 10


ĽS = –2.10 + (–3.10 – 4) = –20 + (–30 – 4) = –20 + (–34) = –20 – 34 = –54

PS = –5.(10 – 4) – 3.(–2 + 10) = –5.6 – 3.8 = –30 – 24 = –54

ĽS = PS

Príklad 54:

V množine reálnych čísel riešte rovnicu ( ) ( ) ( )yyyy +−−−−=−+−− 2.323.42432

a vykonajte skúšku správnosti.

Riešenie:

2y – (–3y + 4) – 2 = –4.(3 – 2y) – 3.(–2 + y)

2y + 3y – 4 – 2 = –12 + 8y + 6 – 3y

5y – 6 = –6 + 5y /–5y

–6 = –6 /+6

0 = 0

Všetky čísla z množiny reálnych čísel sú koreňmi danej rovnice.

Skúšku správnosti môžeme vykonať pre ľubovoľné reálne číslo. Rozhodli sme sa, že skúšku

správnosti vykonáme pre 1=y a potom pre 1−=y .

Skúška správnosti pre 1=y :

ĽS = 2.1 – (–3.1 + 4) – 2 = 2 – (–3 + 4) – 2 = 2 – 1 – 2 = –1

PS = –4.(3 – 2.1) – 3.(–2 + 1) = –4.(3 – 2) – 3.(–1) = –4.1 + 3 = –4 + 3 = –1

ĽS = PS


44

Skúška správnosti pre 1−=y :

ĽS = 2.(–1) – [–3.(–1) + 4] – 2 = –2 – [3 + 4] – 2 = –2 – 7 – 2 = –11

PS = –4.[3 – 2.(–1)] – 3.[–2 + (–1)] = –4.[3 + 2] – 3.[–2 – 1] =

= –4.5 – 3.(–3) = –20 + 9 = –11

ĽS = PS

Ø V rovnici sa môžu vyskytovať i zlomky. Odstránime ich tak, že obidve strany

príslušnej rovnice vynásobíme spoločným násobkom (najlepšie najmenším)

menovateľov daných zlomkov.

Príklad 55:

V množine reálnych čísel riešte rovnicu 2331

25

+−=+ xx a vykonajte skúšku

správnosti.

Riešenie:

x+25 = 23

31

+− x /.6

3.5 + 6x = 2.1 – 6.3x + 6.2

15 + 6x = 2 – 18x + 12

15 + 6x = 14 – 18x /+18x

15 + 24x = 14 /–15

24x = –1 /:24

x = 241

−


ĽS = 2459

24160

241.15.12

241

25

241

25

=−

=−

=−=

−+

PS = 2459

244838

242.243.11.8

12

243

312

2413

31

=++

=++

=++=+

−⋅−

ĽS = PS

Príklad 56:

V množine reálnych čísel riešte rovnicu yy−=

−−

231 a vykonajte skúšku správnosti.


45

Riešenie:

231 −

−y = y− /.2

2.1 – 1.(y – 3) = –2y

2 – y + 3 = –2y

5 – y = –2y /+2y

5 + y = 0 /–5

y = –5


ĽS = ( ) 54141281

2351 =+=−−=

−−=

−−−

PS = –(–5) = 5

ĽS = PS

4.3 Slovné úlohy

Príklad 57:

Brigádnici Michal a Igor prijali za prácu peňažnú odmenu, ktorú si mali rozdeliť. Igor

pracoval dlhšie, preto si vzal dve tretiny z odmeny. Michalovi tak zostalo 20 eur.

Koľko eur predstavuje Igorova čiastka zo spoločnej odmeny?

Riešenie:

spoločná odmena ... x €

Igorova čiastka ... € 3

2€ 32€ z

32 xxx =⋅=

Michalova čiastka ... 20 €________________

Súčet Igorovej a Michalovej čiastky je hodnotou ich spoločnej odmeny, t.j. platí:

203

2+

x = x /.3

2x + 60 = 3x /–3x

–x + 60 = 0 /–60

–x = –60 /.(–1)

x = 60 €


46

Vypočítame, koľko eur predstavuje Igorova čiastka zo spoločnej odmeny 60 €. Platí:

€ 40€3

120€360.2€

32

===x

Igorova čiastka zo spoločnej odmeny predstavuje 40 €.

Príklad 58:

Nájdite číslo, ktorého šestina zmenšená o 2 je rovná sedmine tohto hľadaného čísla.

Riešenie:

hľadané číslo ... x

šestina hľadaného čísla ... 66

1 z 61 xxx =⋅=

šestina hľadaného čísla zmenšená o 2 ... 26

−x

sedmina hľadaného čísla ... 77

1 z 71 xxx =⋅=

Šestina čísla x zmenšená o 2 je rovná sedmine čísla x, t.j. platí:

26

−x =

7x /.42

7x – 84 = 6x /–6x

x – 84 = 0 /+84

x = 84

Hľadaným číslom je 84.

Príklad 59:

Súčet troch neznámych čísel je –20. Druhé číslo je dvojnásobkom prvého a tretie číslo je

o 5 menšie ako druhé. Ktoré sú to čísla?

Riešenie:

prvé číslo ... x

druhé číslo ... 2x

tretie číslo ... 2x – 5

Súčet prvého, druhého a tretieho čísla je –20, t.j. platí:

x + 2x + (2x – 5) = –20

x + 2x + 2x – 5 = –20


47

5x – 5 = –20 /+5

5x = –15 /:5

x = –3

Riešením rovnice sme zistili prvé číslo (x = –3). Vypočítame druhé a tretie číslo:

druhé číslo ... 2x = 2.(–3) = –6

tretie číslo ... 2x – 5 = 2.(–3) – 5 = –6 – 5 = –11

Neznámymi číslami sú –3, –6 a –11.

Príklad 60:

Dvojnásobok rozdielu neznámeho čísla a čísla 5 je rovnako veľký ako tretina toho istého

neznámeho čísla. Určte neznáme číslo.

Riešenie:

neznáme číslo ... x

rozdiel neznámeho čísla a čísla 5 ... 5−x

dvojnásobok rozdielu neznámeho čísla a čísla 5 ... ( )5.2 −x

tretina neznámeho čísla ... 3x

Dvojnásobok rozdielu čísla x a čísla 5 je rovný tretine čísla x, t.j. platí:

2.(x – 5) = 3x /.3

3.2.(x – 5) = x

6.(x – 5) = x

6x – 30 = x /–x

5x – 30 = 0 /+30

5x = 30 /:5

x = 6

Neznámym číslom je 6.

Príklad 61:

Na predajný pult bolo vyložených 64 balení múky. V priebehu troch dní sa predali

všetky balenia.

Koľko balení múky sa predalo v prvý a koľko v druhý deň, ak sa počas druhého dňa

predala tretina zo zvyšných balení a počas tretieho dňa sa predalo posledných 18 balení?


48

Riešenie:

počet balení múky predaných v prvý deň ... x

počet balení múky predaných v druhý deň ... ( ) ( )3

64643164 zo

31 xxx −

=−⋅=−

počet balení múky predaných v tretí deň ... 18__________________________

Súčet počtov balení múky predaných v jednotlivých dňoch je celkový počet balení

vyložených na predajný pult, t.j. platí:

183

64+

−+

xx = 64 /.3

54643 +−+ xx = 192

2x + 118 = 192 /–118

2x = 74 /:2

x = 37

Riešením rovnice sme zistili počet balení múky predaných v prvý deň. Vypočítame počet

balení múky predaných v druhý deň:

93

273

37643

64==

−=

− x

V prvý deň sa predalo 37 balení múky a v druhý deň sa predalo 9 balení múky.

Príklad 62:

Otec je štyrikrát starší ako jeho syn. Ak by mal syn o 27 rokov viac, mal by rovnaký vek

ako otec. Koľko rokov má syn?

Riešenie:

vek syna ... x

vek otca ... 4x

Ak by mal syn s vekom x rokov o 27 rokov viac, mal by rovnaký vek ako otec, ktorý je

od neho štyrikrát starší, t.j. platí:

x + 27 = 4x /–4x

–3x + 27 = 0 /–27

–3x = –27 /:(–3)

x = 9

Syn má 9 rokov.


49

4.4 Lineárne nerovnice

Ø Lineárna nerovnica je každá nerovnica, ktorá má (po úprave) tvar ax + b > 0 alebo

ax + b < 0 alebo ax + b ≥ 0 alebo ax + b ≤ 0, kde a, b sú reálne čísla (číslo a

je rôzne od nuly) a x je neznáma.

Ø Lineárne nerovnice riešime podobne ako lineárne rovnice využitím tzv.

ekvivalentných úprav.

Pri aplikácii nasledujúcich ekvivalentných úprav na lineárne nerovnice je nutné splniť

určité požiadavky:

• po výmene ľavej a pravej strany nerovnice je nutné zmeniť znak nerovnosti

na obrátený

5 < x + 3

x + 3 > 5

• po vynásobení alebo vydelení obidvoch strán nerovnice tým istým záporným číslom je

nutné zmeniť znak nerovnosti na obrátený

–x ≤ 7 /.(–1) –3x ≥ 6 /:(–3)

x ≥ –7 x ≤ –2

Príklad 63:

Ktoré kladné celé čísla sú koreňmi nerovníc

a) a ≤ 4,

b) b < 4?

Riešenie:

a) Koreňmi nerovnice a ≤ 4 sú kladné celé čísla 4, 3, 2, 1.

b) Koreňmi nerovnice b < 4 sú kladné celé čísla 3, 2, 1.

Príklad 64:

Ktoré záporné celé čísla sú koreňmi nerovníc

a) –2a ≤ 4,

b) –2b < 4?


50

Riešenie:

a) –2a ≤ 4 /:(–2)

a ≥ –2

Koreňmi nerovnice –2a ≤ 4 sú záporné celé čísla –2, –1.

b) –2b < 4 /:(–2)

b > –2

Koreňom nerovnice –2b < 4 je iba jedno záporné celé číslo a to –1.

Príklad 65:

Zistite, či číslo 0 vyhovuje nerovnici 4

42

23

−−≥

−+

xxx .

Riešenie:

Číslo 0 dosadíme v nerovnici za neznámu x. Ak týmto dospejeme k pravdivému výroku,

skonštatujeme, že dané číslo nerovnici vyhovuje. Ak dospejeme k nepravdivému výroku,

skonštatujeme, že jej nevyhovuje.

2

23

−+

xx ≥ 4

4−− x

2

2030 −

+ ≥ 4

40 −−

220 −

+ ≥ 44−

0 + (–1) ≥ –1

–1 ≥ –1

- keďže sme po dosadení čísla 0 za neznámu x v nerovnici dospeli k pravdivému

výroku „ 11 −≥− “, konštatujeme, že číslo 0 danej nerovnici vyhovuje

Príklad 66:

V množine reálnych čísel riešte nerovnicu ( ) 9920141002015 −≤+− x .

Riešenie:

2015 – (100x + 2014) ≤ –99

2015 – 100x – 2014 ≤ –99

1 – 100x ≤ –99 /–1

–100x ≤ –100 /:(–100)


51

x ≥ 1

Koreňmi nerovnice ( ) 9920141002015 −≤+− x sú všetky reálne čísla väčšie alebo rovné 1.

Príklad 67:

Nájdite najmenšie celé číslo, ktoré vyhovuje nerovnici 2015x – (100 + 2014x) > –99x.

Riešenie:

2015x – (100 + 2014x) > –99x

2015x – 100 – 2014x > –99x

x – 100 > –99x /+99x

100x – 100 > 0 /+100

100x > 100 /:100

x > 1

Najmenšie celé číslo, ktoré vyhovuje nerovnici 2015x – (100 + 2014x) > –99x, je 2.

Poznámka: Existujú i tieto prípady:

• všetky čísla z množiny, v ktorej nerovnicu riešime, sú koreňmi danej nerovnice,

• v množine, v ktorej nerovnicu riešime, nemá daná nerovnica žiaden koreň,

• neexistuje množina, v ktorej nerovnica (nie však lineárna) má koreň, t.j. danej

nerovnici nevyhovuje žiadne číslo.

Príklad 68:

V množine reálnych čísel riešte nerovnicu ( ) ( )xx 565652 +−≤+− .

Riešenie:

2 – (5x + 6) ≤ 5 – (6 + 5x)

2 – 5x – 6 ≤ 5 – 6 – 5x

–4 – 5x ≤ –1 – 5x /+5x

–4 ≤ –1 /+4

0 ≤ 3

- keďže sme úpravou pôvodnej nerovnice dospeli k pravdivému výroku „ 30 ≤ “,

konštatujeme, že všetky čísla z množiny, v ktorej sme ju riešili, sú jej koreňmi,

t.j. všetky reálne čísla sú koreňmi danej nerovnice

Vykonáme skúšku správnosti a to napr. pre 1=x :


52

ĽS = ( ) ( ) 911265261.52 −=−=+−=+−

PS = ( ) ( ) 61155651.565 −=−=+−=+−

ĽS ˂ PS

Hodnota ľavej strany pôvodnej nerovnice je pre 1=x menšia ako hodnota jej pravej

strany pre 1=x (–9 ˂ –6), čo vyhovuje zápisu ( ) ( )xx 565652 +−≤+− .

Príklad 69:

V množine prirodzených čísel riešte nerovnicu –x ˂ 1.

Riešenie:

–x ˂ 1 /.(–1)

x > –1

- nerovnici –x ˂ 1 vyhovujú všetky čísla väčšie než –1, t.j. všetky prirodzené

čísla sú koreňmi danej nerovnice

Príklad 70:

V množine prirodzených čísel riešte nerovnicu –1001x + 999 > –x – 1.

Riešenie:

–1001x + 999 > –x – 1 /+x

–1000x + 999 > –1 /–999

–1000x > –1000 /:(–1000)

x ˂ 1

- nerovnici 9991001 +− x > 1−− x vyhovujú len čísla menšie než 1, t.j.

v množine prirodzených čísel daná nerovnica nemá žiaden koreň

Príklad 71:

V množine reálnych čísel riešte nerovnicu 1100100 −−≤− xx .

Riešenie:

–100x ≤ –100x – 1 /+100x

0 ≤ –1

- keďže sme úpravou nerovnice 1100100 −−≤− xx dospeli k nepravdivému

výroku „ 10 −≤ “, konštatujeme, že daná nerovnica nemá žiaden koreň, resp.

danej nerovnici nevyhovuje žiadne číslo


53

5. Pomer

5.1 Pomer, hodnota pomeru, základný tvar pomeru

Ø Podstatu pomeru objasníme nasledovne:

• Všimnime si súrodencov Michala a Igora, zberateľov modelov áut. Michalova zbierka

pozostáva z 10 modelov a Igorova zbierka z 5 modelov áut.

Michalova zbierka: Igorova zbierka:

• Porovnajme Michalovu zbierku s Igorovou zbierkou a zistime, koľkokrát viac

modelov áut má Michal než Igor.

Počítajme: 10 : 5 = 2. Teda Michal má dvakrát viac modelov áut než Igor.

• Zámer porovnať Michalovu zbierku s Igorovou zbierkou viedol k podielu 10 : 5.

- daný podiel je pomerom počtu modelov áut v Michalovej zbierke k počtu

modelov áut v Igorovej zbierke (čítame: „desať ku päť“), pričom číslo 10 je

prvý člen a číslo 5 druhý člen tohto pomeru

Poznámka: Pomer niekedy zapisujeme ako zlomok.

- napr. namiesto 5:10 môžeme písať 5

10

Ø Vezmime do úvahy pomery napr. 18 : 12, 9 : 6 a 3 : 2.

Všimnime si, že hodnota týchto pomerov je 1,5. Platí totiž:

18 : 12 = 1,5 9 : 6 = 1,5 3 : 2 = 1,5

• ukážeme, že hodnota pomeru sa nezmení vynásobením alebo vydelením členov

daného pomeru tým istým nenulovým číslom


54

9 : 6 = 1,5 9 : 6 = 1,5

9.2 : 6.2 9:3 : 6:3

18 : 12 = 1,5 3 : 2 = 1,5

Ø Objasníme význam skutočnosti, že pomery 12:18 , 6:9 a 2:3 majú rovnakú

hodnotu. Využijeme pri tom jeden a ten istý obdĺžnik, ktorý predstavuje jeden celok.

- pomerom 18 : 12 porovnávame 18 dielikov celku s 12 dielikmi tohto celku

(celok – obdĺžnik – je tvorený 18 + 12 = 30 rovnakými dielikmi)

- pomerom 9 : 6 porovnávame 9 dielikov celku so 6 dielikmi tohto celku


- pomerom 3 : 2 porovnávame 3 dieliky celku s 2 dielikmi tohto celku


• Všimnime si, že či je ten istý obdĺžnik rozdelený na 18 hnedých a 12 zelených

rovnakých dielikov alebo na 9 hnedých a 6 zelených rovnakých dielikov alebo na 3

hnedé a 2 zelené rovnaké dieliky, hnedá časť a zelená časť daného obdĺžnika vždy

predstavujú rovnako veľkú plochu.

- inak povedané, všetky tri pomery 12:18 , 6:9 a 2:3 (s ich hodnotou 1,5)

vyjadrujú, že hnedá plocha obdĺžnika je 1,5-krát väčšia ako zelená plocha

(v tomto zmysle sa pomery 12:18 , 6:9 a 2:3 rovnajú)

Príklad 72:

Uveďte aspoň tri pomery, ktoré majú rovnakú hodnotu ako pomer 3 : 1.


55

Riešenie:

Vynásobme členy pomeru 3 : 1 číslami napr. 2, 3 a 4. Dostaneme pomery 6 : 2, 9 : 3 a 12 : 4.

Ø Hovoríme, že pomer je v základnom tvare, ak jeho členy sú nesúdeliteľné celé čísla.

• pomer upravujeme na základný tvar vynásobením alebo vydelením jeho členov tým

istým nenulovým číslom

- napr. pomer 5:10 nie je v základnom tvare; prevedieme ho naň vydelením

jeho členov číslom 5

10 : 5 : 5 : 5

2 : 1

Príklad 73:

Upravte pomery na základný tvar:

a) 250:200 ,

b) 4,1:8,2:04,0 ,

c) 9:23 .

Riešenie:

a) 200 : 250

200 : 50 : 250 : 50

4 : 5

b) 0,04 : 2,8 : 1,4

0,04 . 100 : 2,8 . 100 : 1,4 . 100

4 : 280 : 140

4 : 4 : 280 : 4 : 140 : 4

1 : 70 : 35

c) 23 : 9

2⋅23 : 9 . 2

3 : 18

3 : 3 : 18 : 3

1 : 6


56

5.2 Slovné úlohy

Príklad 74:

Rozdeľte hotovosť 150 eur v pomere

a) 2:1 ,

b) 5:3:2 .

Riešenie:

a) Rozdeliť hotovosť 150 eur v pomere 1 : 2 znamená rozdeliť túto sumu peňazí na dve

časti tak, že prvá časť bude tvorená 1 dielikom a druhá časť 2 dielikmi, pričom

na každý z 3 dielikov (1+2 = 3) bude pripadať rovnaká čiastka (v eur) a spolu budú

tvoriť sumu 150 eur.

- vypočítame, koľko zo 150 eur pripadá na jeden dielik:

1 dielik ... 150 eur : 3 = 50 eur

- prvá časť (tvorená 1 dielikom) zo sumy 150 eur predstavuje 50 eur

- keďže na 1 dielik pripadá 50 eur, tak na 2 dieliky – ktorými je tvorená druhá

časť – pripadá 2 . 50 eur = 100 eur a teda druhá časť zo sumy 150 eur

predstavuje 100 eur

b) Rozdeliť hotovosť 150 eur v pomere 2 : 3 : 5 znamená rozdeliť túto sumu peňazí

na tri časti tak, že prvá časť bude tvorená 2 dielikmi, druhá časť 3 dielikmi a tretia

časť 5 dielikmi, pričom na každý z 10 dielikov (2+3+5 = 10) bude pripadať rovnaká

čiastka (v eur) a spolu budú tvoriť sumu 150 eur.

- vypočítame, koľko zo 150 eur pripadá na jeden dielik:

1 dielik ... 150 eur : 10 = 15 eur

- zistíme, koľko eur pripadá na 2 dieliky, 3 dieliky a 5 dielikov:

2 dieliky ... 2 . 15 eur = 30 eur

3 dieliky ... 3 . 15 eur = 45 eur

5 dielikov ... 5 . 15 eur = 75 eur

- prvá časť (tvorená 2 dielikmi) zo sumy 150 eur predstavuje 30 eur

- druhá časť (tvorená 3 dielikmi) zo sumy 150 eur predstavuje 45 eur

- tretia časť (tvorená 5 dielikmi) zo sumy 150 eur predstavuje 75 eur

Príklad 75:

Rozdeľte číslo 200 na sčítance v pomere 1 : 2 : 7.


57

Riešenie:

Prvý sčítanec bude tvorený 1 dielikom, druhý sčítanec 2 dielikmi a tretí sčítanec 7 dielikmi,

pričom každý z 10 dielikov bude mať rovnakú hodnotu a ich súčet bude 200.

- vypočítame hodnotu jedného dielika:

1 dielik ... 200 : 10 = 20

- zistíme hodnotu 2 dielikov a 7 dielikov:

2 dieliky ... 2 . 20 = 40

7 dielikov ... 7 . 20 = 140

Prvý sčítanec (tvorený 1 dielikom) je 20, druhý sčítanec (tvorený 2 dielikmi) je 40 a tretí

sčítanec (tvorený 7 dielikmi) je 140.

Príklad 76:

Súrodenci Miška a Ferko si rozdelili sklené guľôčky tak, že Miška má 36 guľôčok a

Ferko 24. Určte pomer (v základnom tvare), v akom si Miška a Ferko rozdelili guľôčky.

Riešenie:

Počet Miškiných guľôčok porovnáme s počtom Ferkových guľôčok:

36 : 24

Získali sme pomer 36 : 24, v ktorom si Miška a Ferko rozdelili guľôčky. Je potrebné upraviť

ho na základný tvar: 36:12 : 24:12

3 : 2

Miška a Ferko si rozdelili guľôčky v pomere 3 : 2.

Príklad 77:

Dĺžky strán a, b, c trojuholníka ABC sú v pomere 4:3:2 . Strana a má dĺžku

6 centimetrov. Akú dĺžku (v centimetroch) má strana b a strana c?

Riešenie:

Strana a je tvorená 2 dielikmi, pričom na tieto 2 dieliky pripadá 6 cm. Strana b je tvorená

3 dielikmi a strana c 4 dielikmi. Na každý z 9 dielikov pripadá rovnaká dĺžka (v cm).

- ak na 2 dieliky pripadá 6 cm, potom na 1 dielik pripadá: 6 cm : 2 = 3 cm

Zistíme, koľko cm pripadá na 3 dieliky (tvoriace stranu b) a na 4 dieliky (tvoriace stranu c):

3 dieliky ... 3 . 3 cm = 9 cm

4 dieliky ... 4 . 3 cm = 12 cm

Strana b má dĺžku 9 cm a strana c má dĺžku 12 cm.


58

Príklad 78:

Zrážkové úhrny, ktoré boli zaznamenané v priebehu pondelka, utorka a stredy, sú

v pomere 8:2:5 . Počas pondelka a utorka spadlo spolu 14 milimetrov zrážok.

Koľko milimetrov zrážok spadlo v stredu?

Riešenie:

Zrážkový úhrn 14 mm zaznamenaný za pondelok a utorok je tvorený 7 dielikmi (5 dielikov

tvorí zrážkový úhrn zaznamenaný v pondelok a 2 dieliky zrážkový úhrn zaznamenaný

v utorok). Zrážkový úhrn zaznamenaný v priebehu stredy je tvorený 8 dielikmi. Na každý

z 15 dielikov pripadá rovnaké množstvo zrážok (v mm).

- ak na 7 dielikov pripadá 14 mm zrážok, potom na 1 dielik pripadá:

14 mm : 7 = 2 mm zrážok

Zistíme, koľko mm zrážok pripadá na 8 dielikov (tvoriacich zrážkový úhrn zaznamenaný

v priebehu stredy):

8 dielikov ... 8 . 2 mm = 16 mm

V stredu spadlo 16 mm zrážok.

Príklad 79:

Vek troch členov rodiny je v pomere 7:4:3 . Najstarší z príbuzných má 28 rokov.

Koľko rokov má najmladší z príbuzných?

Riešenie:

Vek 28 rokov najstaršieho z príbuzných je tvorený 7 dielikmi. Vek najmladšieho z príbuzných

je tvorený 3 dielikmi a vek tretieho z príbuzných 4 dielikmi. Na každý zo 14 dielikov pripadá

rovnaký počet rokov veku.

- ak na 7 dielikov pripadá 28 rokov, potom na 1 dielik pripadajú:

28 rokov : 7 = 4 roky

Zistíme, koľko rokov pripadá na 3 dieliky (tvoriace vek najmladšieho z príbuzných):

3 dieliky ... 3 . 4 roky = 12 rokov

Najmladší z príbuzných má 12 rokov.

Príklad 80:

Aké množstvo sirupu (v litroch) je potrebné na zarobenie 48 litrov malinovky, ak sa

sirup riedi s vodou v pomere 23:1 ?

Riešenie:


59

Malinovka obsahuje sirup a vodu v pomere 1 : 23. Množstvo sirupu v 48 litroch malinovky je

tvorené 1 dielikom a množstvo vody 23 dielikmi. Na každý z 24 dielikov pripadá rovnaké

množstvo (v litroch).

- vypočítame, aké množstvo zo 48 litrov pripadá na jeden dielik:

1 dielik ... 48 litrov : 24 = 2 litre

- množstvo sirupu (tvorené 1 dielikom) v 48 litroch malinovky je 2 litre

Na zarobenie 48 litrov malinovky sú potrebné 2 litre sirupu.

Príklad 81:

Traja učitelia opravovali testy k prijímacím skúškam z matematiky. Jeden venoval

oprave testov 25 minút, druhý 40 minút a tretí 1 hodinu.

Navrhnite, ako učiteľom rozdeliť peňažnú sumu 45 eur ako odmenu tak, aby toto

rozdelenie bolo spravodlivé a zohľadňovalo len čas venovaný oprave testov.

Riešenie:

Porovnáme časy, ktoré učitelia venovali oprave testov, t.j. 25 minút, 40 minút a 1 hodinu

(čo je 60 min). Získame pomer 25 : 40 : 60.

Členy pomeru 25 : 40 : 60 vydelíme číslom 5, čím ho upravíme na základný tvar. Dostaneme

5 : 8 : 12.

V pomere 5 : 8 : 12 rozdelíme sumu 45 eur, t.j. rozdelíme ju na tri časti tak, že prvá časť bude

tvorená 5 dielikmi, druhá časť 8 dielikmi a tretia časť 12 dielikmi, pričom na každý z 25

dielikov bude pripadať rovnaká čiastka (v eur) a spolu budú tvoriť sumu 45 eur.

- vypočítame hodnotu jedného dielika:

1 dielik ... 45 eur : 25 = 1,80 eur

- zistíme hodnotu 5 dielikov, 8 dielikov a 12 dielikov:

5 dielikov ... 5 . 1,80 eur = 9 eur

8 dielikov ... 8 . 1,80 eur = 14,40 eur

12 dielikov ... 12 . 1,80 eur = 21,60 eur

Peňažnú sumu 45 eur navrhujeme rozdeliť takto:

učiteľ, ktorý venoval oprave testov 25 minút, dostane 9 eur,

učiteľ, ktorý venoval oprave testov 40 minút, dostane 14,40 eur,

učiteľ, ktorý venoval oprave testov 1 hodinu, dostane 21,60 eur.


60

Príklad 82:

Zmeňte číslo 12 v pomere

a) 2 : 3,

b) 3 : 2.

Riešenie:

a) Zmeniť číslo 12 v pomere 2 : 3 znamená nájsť nové číslo x také, že číslo x a číslo 12

budú v pomere 2 : 3.

• číslo x tak bude tvorené dvomi dielikmi a číslo 12 tromi dielikmi (na každý z 5

dielikov pripadá rovnaké číslo)

- ak na 3 dieliky pripadá číslo 12, potom na 1 dielik pripadá číslo:

12 : 3 = 4

Nájdeme číslo x, ktoré pripadá na 2 dieliky:

2 dieliky ... 2 . 4 = 8 = x

Zmenou čísla 12 v pomere 2 : 3 získame číslo 8.

b) Zmeniť číslo 12 v pomere 3 : 2 znamená nájsť nové číslo x také, že číslo x a číslo 12

budú v pomere 3 : 2.

• číslo x tak bude tvorené tromi dielikmi a číslo 12 dvomi dielikmi (na každý z 5

dielikov pripadá rovnaké číslo)

- ak na 2 dieliky pripadá číslo 12, potom na 1 dielik pripadá číslo:

12 : 2 = 6

Nájdeme číslo x, ktoré pripadá na 3 dieliky:

3 dieliky ... 3 . 6 = 18 = x

Zmenou čísla 12 v pomere 3 : 2 získame číslo 18.

5.3 Úmera

Ø Úmera je rovnosť dvoch pomerov.

- napr. zápis 2 : 5 = 6 : 15 je úmera, keďže pomery 2 : 5 a 6 : 15 sa rovnajú,

resp. majú rovnakú hodnotu

- napr. zápis 2 : 6 = 4 : 14 nie je úmera, keďže pomery 2 : 6 a 4 : 14 sa

nerovnajú, resp. nemajú rovnakú hodnotu


61

V rámci príkladu 83 objasníme spôsob, ktorým je možné zistiť, či zápis je alebo nie je úmerou

a to bez toho, že by sme pomery v ňom vystupujúce upravili na základný tvar. Využijeme

pri tom skutočnosť, že pre každú úmeru platí:

• súčin vonkajších členov úmery je rovný súčinu jej vnútorných členov

- vonkajšími členmi úmery napr. 15:65:2 = sú čísla 2 a 15 a jej vnútornými

členmi sú čísla 5 a 6 (vidíme, že 3015.2 = a 306.5 = )

Príklad 83:

Zistite, či sú nasledujúce zápisy úmerou:

a) 2:6,15:4 = ,

b) 20:5,107:5,3 = .

Riešenie:

a) Zistíme, či je zápis 4 : 5 = 1,6 : 2 úmerou.

- stačí overiť, či je súčin vonkajších členov 4 a 2 rovný súčinu vnútorných

členov 5 a 1,6 príslušného zápisu

4 . 2 = 8

5 . 1,6 = 8

Keďže súčin 4 . 2 je rovný súčinu 5 . 1,6, konštatujeme, že zápis 2:6,15:4 = je úmera.

b) Zistíme, či je zápis 3,5 : 7 = 10,5 : 20 úmerou.

- stačí overiť, či je súčin vonkajších členov 3,5 a 20 rovný súčinu vnútorných

členov 7 a 10,5 príslušného zápisu

3,5 . 20 = 70

7 . 10,5 = 73,5

Keďže súčin 3,5 . 20 nie je rovný súčinu 7 . 10,5, konštatujeme, že zápis 20:5,107:5,3 =

nie je úmera.


62

6. Priama a nepriama úmernosť

6.1 Priama a nepriama úmernosť ako vzťah medzi dvomi veličinami

Ø Pojem úmernosť vyjadruje vzťah medzi určitými veličinami. Rozlišujeme:

• priamu úmernosť,

• nepriamu úmernosť.

Ø Priama úmernosť je vzťah medzi dvomi veličinami, v ktorom platí:

• koľkokrát sa zväčší hodnota jednej veličiny, toľkokrát sa zväčší hodnota druhej

veličiny,

• koľkokrát sa zmenší hodnota jednej veličiny, toľkokrát sa zmenší hodnota druhej

veličiny.

- priamou úmernosťou je napr. vzťah medzi spotrebou vody a platbou za jej

spotrebu (koľkokrát sa zväčší spotreba vody, toľkokrát sa zväčší platba za jej

spotrebu, resp. koľkokrát sa zmenší spotreba vody, toľkokrát sa zmenší platba

za jej spotrebu)

Ø Nepriama úmernosť je vzťah medzi dvomi veličinami, v ktorom platí:

• koľkokrát sa zväčší hodnota jednej veličiny, toľkokrát sa zmenší hodnota druhej

veličiny,

• koľkokrát sa zmenší hodnota jednej veličiny, toľkokrát sa zväčší hodnota druhej

veličiny.

- nepriamou úmernosťou je napr. vzťah medzi počtom pracovníkov a časom,

za ktorý vykonajú určitú prácu (koľkokrát sa zväčší počet pracovníkov,

toľkokrát sa zmenší čas, za ktorý vykonajú určitú prácu, resp. koľkokrát sa

zmenší počet pracovníkov, toľkokrát sa zväčší čas, za ktorý vykonajú určitú

prácu)

Príklad 84:

Rozhodnite, či v nasledujúcich vzťahoch ide o priamu alebo nepriamu úmernosť:

a) množstvo predaného tovaru a tržby za predaný tovar,

b) rýchlosť pripojenia k internetu a čas sťahovania dát.


63

Riešenie:

a) Platí, že koľkokrát je množstvo predaného tovaru väčšie (resp. menšie), toľkokrát sú

tržby za tento predaný tovar väčšie (resp. menšie). Ide teda o priamu úmernosť.

b) Platí, že koľkokrát je rýchlosť pripojenia k internetu vyššia (resp. nižšia), toľkokrát je

čas sťahovania dát kratší (resp. dlhší). Ide teda o nepriamu úmernosť.

Príklad 85:

Doplňte tabuľku, ak je dané, že medzi veličinami x a y je

a) priama úmernosť,

b) nepriama úmernosť.

x 2 6 y 9

Riešenie:

a) Ak je medzi veličinami x a y priama úmernosť, potom musí platiť:

koľkokrát sa zväčší (resp. zmenší) hodnota veličiny x, toľkokrát sa zväčší

(resp. zmenší) hodnota veličiny y.

Hodnota veličiny x sa zväčší (ako je vidieť v tabuľke) 3-krát ( 32:6 = ), preto sa musí aj

hodnota veličiny y zväčšiť 3-krát, t.j. z hodnoty 9 na hodnotu 9 . 3 = 27.

x 2 6 y 9 27

b) Ak je medzi veličinami x a y nepriama úmernosť, potom musí platiť:

koľkokrát sa zväčší (resp. zmenší) hodnota veličiny x, toľkokrát sa zmenší

(resp. zväčší) hodnota veličiny y.

Hodnota veličiny x sa zväčší (ako je vidieť v tabuľke) 3-krát ( 32:6 = ), preto sa musí

hodnota veličiny y 3-krát zmenšiť, t.j. z hodnoty 9 na hodnotu 9 : 3 = 3.

x 2 6 y 9 3

6.2 Slovné úlohy

Ø Slovné úlohy na priamu a nepriamu úmernosť zodpovedajú tzv. trojčlenke, v ktorej:

• kladieme proti sebe dve veličiny, medzi ktorými je priama alebo nepriama úmernosť,


64

• sú známe dve hodnoty jednej veličiny a jedna hodnota druhej veličiny, pričom úlohou

je vypočítať druhú (nepoznanú) hodnotu druhej veličiny

- pri riešení trojčlenky využívame úmeru – zostavujeme ju podľa toho, či ide

o úlohu na priamu alebo nepriamu úmernosť

Príklad 86:

Šiesti brigádnici vytvorili za jedno popoludnie 84 plagátov. Koľko plagátov by

za rovnaký čas a pri rovnakom pracovnom tempe vytvorili ôsmi brigádnici?

Riešenie:

Platí, že koľkokrát väčší (resp. menší) bude počet brigádnikov, toľkokrát viac (resp. menej)

plagátov vytvoria, t.j. ide o priamu úmernosť.

• zostavíme zápis, v ktorom šípky s rovnakým smerom signalizujú, že ide o úlohu

na priamu úmernosť:

6 brigádnici ... 84 plagátov

8 brigádnici ... x plagátov

- v stĺpcoch zápisu vystupujú hodnoty tej istej veličiny, teda v prvom stĺpci

hodnoty veličiny počet brigádnikov (t.j. hodnoty 6 a 8) a v druhom stĺpci

hodnoty veličiny počet plagátov (t.j. hodnoty 84 a x)

• zostavíme úmeru:

- šípky (smerujúce v prípade oboch veličín od menšej hodnoty k väčšej hodnote)

vedú k pomerom 6 : 8 a 84 : x, medzi ktorými platí vzťah rovnosti:

6 : 8 = 84 : x

- keďže zápis 6 : 8 = 84 : x je úmera, musí sa súčin vonkajších členov 6 a x

rovnať súčinu vnútorných členov 8 a 84; máme:

6 . x = 8 . 84

Počítajme:

6x = 672 /:6

x = 112 plagátov

Ôsmi brigádnici by za rovnaký čas a pri rovnakom pracovnom tempe vytvorili 112 plagátov.

Príklad 87:

Šiestim brigádnikom trvalo vykonávanie stavebných úprav 84 hodín. Za koľko hodín by

pri rovnakom pracovnom tempe a výkone vykonali stavebné úpravy ôsmi brigádnici?


65

Riešenie:

Platí, že koľkokrát väčší (resp. menší) bude počet brigádnikov, toľkokrát menej (resp. viac)

hodín strávia pri vykonávaní stavebných úprav v budove, t.j. ide o nepriamu úmernosť.

• zostavíme zápis, v ktorom šípky s opačným smerom signalizujú, že ide o úlohu

na nepriamu úmernosť:

6 brigádnici ... 84 hodín

8 brigádnici ... x hodín

- v stĺpcoch zápisu vystupujú hodnoty tej istej veličiny, teda v prvom stĺpci

hodnoty veličiny počet brigádnikov (t.j. hodnoty 6 a 8) a v druhom stĺpci

hodnoty veličiny počet hodín (t.j. hodnoty 84 a x)

• zostavíme úmeru:

- šípky (smerujúce v prípade oboch veličín od menšej hodnoty k väčšej hodnote)

vedú k pomerom 6 : 8 a x : 84, medzi ktorými platí vzťah rovnosti:

6 : 8 = x : 84

- keďže zápis 6 : 8 = x : 84 je úmera, musí sa súčin vonkajších členov 6 a 84

rovnať súčinu vnútorných členov 8 a x; máme:

6 . 84 = 8 . x

Počítajme:

504 = 8x

8x = 504 /:8

x = 63 hodín

Ôsmi brigádnici by pri rovnakom pracovnom tempe a výkone vykonali stavebné úpravy

v budove za 63 hodín.

Príklad 88:

Štyrom kanárikom vystačí jedno balenie krmiva na 15 dní. Koľkým kanárikom vystačí

toto balenie krmiva na 10 dní?

Riešenie:

Platí, že koľkokrát väčší (resp. menší) bude počet chovaných kanárikov, toľkokrát menej

(resp. viac) dní vydrží jedno balenie krmiva, t.j. ide o nepriamu úmernosť.

4 kanáriky ... 15 dní

x kanárikov ... 10 dní


66

4 : x = 10 : 15

x . 10 = 4 . 15

10x = 60 /:10

x = 6 kanárikov

Jedno balenie krmiva vystačí na 10 dní 6 kanárikom.

Príklad 89:

Priemerná spotreba auta je 5,8 litra benzínu na 100 kilometrov. Na koľko kilometrov

vystačí vodičovi 14,5 litra benzínu v nádrži auta?

Riešenie:

Platí, že koľkokrát viac (resp. menej) litrov benzínu bude v nádrži auta, na toľkokrát viac

(resp. menej) kilometrov vodičovi vystačí, t.j. ide o priamu úmernosť.

5,8 litra ... 100 kilometrov

14,5 litra ... x kilometrov

5,8 : 14,5 = 100 : x

5,8 . x = 14,5 . 100

5,8x = 1 450 /:5,8

x = 250 kilometrov

14,5 litra benzínu v nádrži auta vystačí vodičovi na 250 kilometrov.

Ø Niektoré slovné úlohy zodpovedajú zloženej trojčlenke.

• v zloženej trojčlenke kladieme proti sebe tri veličiny – známe sú dve hodnoty jednej

a dve hodnoty druhej veličiny a jedna hodnota tretej veličiny, pričom úlohou je

vypočítať druhú (nepoznanú) hodnotu tretej veličiny

- spôsob riešenia zloženej trojčlenky objasníme v rámci príkladu 90

Príklad 90:

Štyri rovnako výkonné čerpadlá prečerpajú za 35 minút 70 hektolitrov vody. Koľko

čerpadiel s takým istým výkonom prečerpá za jednu hodinu 210 hektolitrov vody?

Riešenie:

• zostavíme zápis:

4 čerpadlá ... 35 minút ... 70 hektolitrov

x čerpadiel ... 60 minút ... 210 hektolitrov


67

• pôvodný zápis upravíme tak, aby v ňom pre veličinu počet minút vystupovala iba

hodnota 35 (t.j. hodnota práve z toho riadku, v ktorom sú všetky hodnoty známe):

4 čerpadlá ... 35 minút ... 70 hektolitrov


- veličina počet minút po danej úprave nemá vplyv na hodnotu x a preto ju

(zatiaľ) nebudeme brať do úvahy, t.j. máme:

4 čerpadlá ... 70 hektolitrov

x čerpadiel ... 210 hektolitrov

- prečerpanie väčšieho množstva vody za rovnaký čas (35 minút) si vyžaduje

využitie väčšieho počtu čerpadiel, čo znamená priamu úmernosť (preto sme

zvolili šípky s rovnakým smerom)

4 : x = 70 : 210

x . 70 = 4 . 210

70x = 840 /:70

x = 12 čerpadiel

- vypočítali sme, že za 35 minút prečerpá 210 hektolitrov vody 12 čerpadiel

• v pôvodnom zápise nahradíme prvý riadok riadkom obsahujúcim zistený poznatok, že

za 35 minút prečerpá 210 hektolitrov vody 12 čerpadiel:

12 čerpadiel ... 35 minút ... 210 hektolitrov


- pre veličinu počet hektolitrov vystupuje iba hodnota 210, teda táto veličina

nemá vplyv na hodnotu x a preto ju nebudeme brať do úvahy, t.j. máme:

12 čerpadiel ... 35 minút

x čerpadiel ... 60 minút

- prečerpanie rovnakého množstva vody (210 hektolitrov) za dlhší čas znamená

využitie menšieho počtu čerpadiel, čo znamená nepriamu úmernosť (preto

sme zvolili šípky s opačným smerom)

x : 12 = 35 : 60

x . 60 = 12 . 35

60x = 420 /:60

x = 7 čerpadiel

Za jednu hodinu prečerpá 210 hektolitrov vody 7 čerpadiel.


68

7. Percentá a promile

7.1 Percento

Ø Percento je jedna stotina celku. Celok predstavuje 100 percent.

• Rozdeľme štvorec (celok) na 100 rovnakých dielikov. Plocha jedného dielika

(t.j. jedna stotina plochy štvorca) predstavuje jedno percento plochy daného štvorca.

Poznámka: Pre označenie percent sa používa symbol %.

Príklad 91:

Vypočítajte 1 % z

a) 1 500 eur,

b) 2 000 metrov.

Riešenie:

a) 1 % z 1 500 eur ... 1500 z 100

1 eur ... 1500100

1⋅ eur = 15 eur

b) 1 % z 2 000 metrov ... 2000 z 100

1 metrov ... 2000100

1⋅ metrov = 20 metrov

Ø Ako by sme vypočítali napr. 5 % z 1 500 eur?

Vieme, že 1 % z 1 500 eur je 15 eur. Potom 5 % z 1 500 eur je 5 . 15 eur = 75 eur.

• 1 500 eur je celok, hovoríme mu základ,

• 75 eur je časť základu, hovoríme jej percentová časť,

• 5 % je počet percent


69

7.2 Výpočet percentovej časti

Ø Postup pre výpočet percentovej časti (základ a počet percent sú známe):

• vypočítame 1 % zo základu (hodnotu základu vydelíme číslom 100),

• hodnotu 1 % zo základu vynásobíme počtom percent.

Príklad 92:

Vypočítajte:

a) 60 % z 0,06,

b) 6 % z 0,6,

c) 0,6 % zo 6,

d) 0,06 % zo 60.

Riešenie:

a) 1 % z 0,06 ... 0,06 : 100 = 0,0006

60 % z 0,06 ... 0,0006 . 60 = 0,036

b) 1 % z 0,6 ... 0,6 : 100 = 0,006

6 % z 0,6 ... 0,006 . 6 = 0,036

c) 1 % zo 6 ... 6 : 100 = 0,06

0,6 % zo 6 ... 0,06 . 0,6 = 0,036

d) 1 % zo 60 ... 60 : 100 = 0,6

0,06 % zo 60 ... 0,6 . 0,06 = 0,036

Príklad 93:

Po víchrici zostalo v zmiešanom lese vyvrátených 260 stromov, z toho 25 % tvorili

listnáče a zvyšok ihličnany. Koľko ihličnanov bolo vyvrátených?

Riešenie:

počet vyvrátených stromov ... 260

počet percent vyvrátených listnáčov ... 25 % z počtu vyvrátených stromov

počet vyvrátených ihličnanov ... x___________________________

- vypočítame počet vyvrátených listnáčov:

1 % z 260 ... 260 : 100 = 2,6 vyvrátených listnáčov

25 % z 260 ... 2,6 . 25 = 65 vyvrátených listnáčov


70

- vypočítame počet vyvrátených ihličnanov:

x = 260 – 65 = 195 vyvrátených ihličnanov

Vyvrátených bolo 195 ihličnanov.

Príklad 94:

Pôvodná cena pečiva bola 0,60 eur. Aká je cena pečiva po zlacnení o 25 %?

Riešenie:

pôvodná cena pečiva ... 0,60 eur

zlacnenie ... o 25 %

cena pečiva po zlacnení o 25 % ... x eur___

- vypočítame 25 % z 0,60 eur:

1 % z 0,60 eur ... 0,60 eur : 100 = 0,0060 eur

25 % z 0,60 eur ... 0,0060 eur . 25 = 0,15 eur

- vypočítame cenu pečiva po zlacnení o 25 %:

x = 0,60 eur – 0,15 eur = 0,45 eur (čo je 45 centov)

Cena pečiva po zlacnení o 25 % je 0,45 eur.

Poznámka: Úlohu na výpočet percentovej časti je možné previesť na úlohu zodpovedajúcu

trojčlenke, pričom ide o priamu úmernosť.

- napr. 25 % z 0,60 eur (príklad 94) sme mohli vypočítať nasledovne:

100 % ... 0,60 eur

25 % ... x eur___

25 : 100 = x : 0,60

100 . x = 25 . 0,60

100x = 15 /:100

x = 0,15 eur

7.3 Výpočet základu

Ø Postup pre výpočet základu (počet percent a percentová časť sú známe):

• vypočítame 1 % zo základu (hodnotu percentovej časti vydelíme počtom percent),


71

• hodnotu 1 % zo základu vynásobíme číslom 100.

Príklad 95:

Vypočítajte základ, z ktorého

a) 60 % je 0,06,

b) 6 % je 0,6,

c) 0,6 % je 6,

d) 0,06 % je 60.

Riešenie:

a) 1 % zo základu ... 0,06 : 60 = 0,001

100 % (základ) ... 0,001 . 100 = 0,1

b) 1 % zo základu ... 0,6 : 6 = 0,1

100 % (základ) ... 0,1 . 100 = 10

c) 1 % zo základu ... 6 : 0,6 = 10

100 % (základ) ... 10 . 100 = 1 000

d) 1 % zo základu ... 60 : 0,06 = 1 000

100 % (základ) ... 1 000 . 100 = 100 000

Príklad 96:

Školu navštevuje 228 dievčat, čo predstavuje 60 % všetkých žiakov danej školy. Koľko

chlapcov navštevuje školu?

Riešenie:

počet dievčat navštevujúcich školu ... 228

počet percent dievčat navštevujúcich školu ... 60 % z počtu všetkých žiakov školy

počet chlapcov navštevujúcich školu ... x____________________________

- vypočítame, koľko žiakov tvorí 1 % zo všetkých žiakov školy:

228 : 60 = 3,8 žiakov

- vypočítame počet všetkých žiakov školy:

3,8 . 100 = 380 žiakov

- vypočítame počet chlapcov navštevujúcich školu:

x = 380 – 228 = 152 chlapcov

Počet chlapcov, ktorí navštevujú školu, je 152.


72

Poznámka: Úlohu na výpočet základu je možné previesť na úlohu zodpovedajúcu


- napr. hodnotu základu, z ktorého 60 % je 228 žiakov (príklad 96), sme mohli

vypočítať nasledovne:

60 % ... 228 žiakov

100 % ... x žiakov___

60 : 100 = 228 : x

60 . x = 100 . 228

60x = 22 800 /:60

x = 380 žiakov

Príklad 97:

Cena pečiva sa po zdražení o 25 % zvýšila na 0,60 eur. Aká bola pôvodná cena pečiva?

Riešenie:

zdraženie ... o 25 %

cena pečiva po zdražení o 25 % ... 0,60 eur

pôvodná cena pečiva ... x eur___

Pôvodná cena pečiva predstavuje 100 %. Cena pečiva po zdražení o 25 % predstavuje

100 % + 25 % = 125 %.

125 % ... 0,60 eur

100 % ... x eur___

100 : 125 = x : 0,60

125 . x = 100 . 0,60

125x = 60 /:125

x = 0,48 eur

Pôvodná cena pečiva bola 0,48 eur.

Príklad 98:

Cena pečiva sa po zlacnení o 25 % znížila na 0,60 eur. Aká bola pôvodná cena pečiva?

Riešenie:

zlacnenie ... o 25 %

cena pečiva po zlacnení o 25 % ... 0,60 eur


73

pôvodná cena pečiva ... x eur___

Pôvodná cena pečiva predstavuje 100 %. Cena pečiva po zlacnení o 25 % predstavuje

100 % – 25 % = 75 %.

75 % ... 0,60 eur

100 % ... x eur___

75 : 100 = 0,60 : x

75 . x = 100 . 0,60

75x = 60 /:75

x = 0,80 eur

Pôvodná cena pečiva bola 0,80 eur.

7.4 Výpočet počtu percent

Ø Postup pre výpočet počtu percent (základ a percentová časť sú známe):

• vypočítame 1 % zo základu (hodnotu základu vydelíme číslom 100),

• hodnotu percentovej časti vydelíme hodnotou 1 % zo základu.

Príklad 99:

Vypočítajte, koľko percent je

a) 0,6 zo 6,

b) 0,06 zo 60.

Riešenie:

a) 1 % zo základu ... 6 : 100 = 0,06

počet percent ... 0,6 : 0,06 = 10 %

b) 1 % zo základu ... 60 : 100 = 0,6

počet percent ... 0,06 : 0,6 = 0,1 %

Príklad 100:

Z 25 žiakov triedy malo 8 vysvedčenie s čistými jednotky. Koľko percent žiakov triedy

malo vysvedčenie s čistými jednotkami?

Riešenie:


74

počet žiakov triedy ... 25

počet žiakov s čistými jednotkami ... 8

počet percent žiakov s čistými jednotkami ... x %

- vypočítame, koľko žiakov tvorí 1 % zo všetkých žiakov triedy:

25 : 100 = 0,25 žiakov

- vypočítame počet percent žiakov s čistými jednotkami:

x = 8 : 0,25 = 32 %

Vysvedčenie s čistými jednotkami malo 32 % žiakov triedy.

Poznámka: Úlohu na výpočet počtu percent je možné previesť na úlohu zodpovedajúcu


- napr. počet percent, ktorý predstavuje 8 z 25 žiakov (príklad 100), sme mohli

vypočítať nasledovne:

100 % ... 25 žiakov

x % ... 8 žiakov_

x : 100 = 8 : 25

x . 25 = 100 . 8

25x = 800 /:25

x = 32 %

Príklad 101:

Priemerná mzda zamestnancov firmy Alfa sa z dôvodu úsporných opatrení znížila

z 1 030 eur na 927 eur. O koľko percent sa znížila priemerná mzda zamestnancov firmy

Alfa?

Riešenie:

pôvodná priemerná mzda ... 1 030 eur

znížená priemerná mzda ... 927 eur

počet percent, o ktoré sa znížila priemerná mzda ... x %_____

- vypočítame, o koľko eur sa znížila priemerná mzda:

1 030 eur – 927 eur = 103 eur, t.j. priemerná mzda sa znížila o 103 eur

- vypočítame, koľko percent predstavuje 103 eur z 1 030 eur (zistíme tak,

o koľko percent sa znížila priemerná mzda):


75

100 % ... 1 030 eur

x % ... 103 eur__

x : 100 = 103 : 1 030

x . 1 030 = 100 . 103

1 030x = 10 300 /:1 030

x = 10 %

Priemerná mzda zamestnancov firmy Alfa sa znížila o 10 %.

Príklad 102:

V januári r. 2002 bolo v Nitre zaznamenaných 25 dní s mrazom, v januári r. 2003 ich

bolo 28. O koľko percent vzrástol počet dní s mrazom v Nitre v januári r. 2003

v porovnaní s januárom r. 2002?

Riešenie:

počet dní s mrazom v januári r. 2002 ... 25

počet dní s mrazom v januári r. 2003 ... 28

počet percent, o ktorý vzrástol počet dní s mrazom ... x %

- vypočítame, o koľko dní vzrástol počet dní s mrazom:

28 dní – 25 dní = 3 dni, t.j. počet dní s mrazom vzrástol o 3 dni

- vypočítame, koľko percent predstavujú 3 dni z 25 dní (zistíme tak, o koľko

percent vzrástol počet dní s mrazom):

100 % ... 25 dní

x % ... 3 dni

x : 100 = 3 : 25

x . 25 = 100 . 3

25x = 300 /:25

x = 12 %

Počet dní s mrazom v Nitre v januári r. 2003 vzrástol v porovnaní s januárom r. 2002 o 12 %.

7.5 Promile

Ø Promile je jedna tisícina celku. Celok predstavuje 1 000 promile.


76

Poznámka: Pre označenie promile sa používa symbol ‰.

Príklad 103:

Vypočítajte 1 ‰ z

a) 1 500 eur,

b) 2 000 metrov.

Riešenie:

a) 1 ‰ z 1 500 eur ... 1500 z 1000

1 eur ... 15001000

1⋅ eur = 1,5 eur

b) 1 ‰ z 2 000 metrov ... 2000 z 1000

1 metrov ... 20001000

1⋅ metrov = 2 metre

Ø Platí: 1 % = 10 ‰.

Poznámka: Pri počítaní s promile platia rovnaké princípy ako pri počítaní s percentami.

Príklad 104:

V tabuľke určte promilovú časť A, základ B a počet promile C:

základ 120 B 120

promilová časť A 120 6

počet promile 6 6 C

Riešenie:

1 ‰ zo 120 ... 120 : 1 000 = 0,12

6 ‰ zo 120 ... 0,12 . 6 = 0,72 = A

1 ‰ zo základu ... 120 : 6 = 20

1 000 ‰ (základ) ... 20 . 1 000 = 20 000 = B

1 ‰ zo základu ... 120 : 1 000 = 0,12

počet promile ... 6 : 0,12 = 50 ‰ = C


77

8. Elementárna finančná matematika

8.1 Vklad, pôžička, úrok, úroková miera

Ø Základnými pojmami elementárnej finančnej matematiky sú:

• vklad, t.j. suma peňazí vložená na bankový účet,

- klienti vkladajú peniaze na bankové účty za účelom ich dočasného uloženia

a zhodnotenia

• pôžička, t.j. požičaná suma peňazí,

- banky požičiavajú klientom peniaze formou rôznych úverov (poskytujú napr.

spotrebné úvery, ktorými sa financuje kúpa spotrebného tovaru alebo

hypotekárne úvery, ktorými sa financuje kúpa bytu alebo domu); splácajú sa

buď jednorazovo (jednou splátkou) alebo viacerými splátkami

• úrok, t.j. percentová časť z vkladu alebo pôžičky určená úrokovou mierou,

- banky pripisujú klientom úroky z vkladov, čím sa vklady zhodnocujú (bankami

pripísaný úrok predstavuje odmenu pre klienta za možnosť dočasne používať

jeho peniaze)

- klienti platia bankám úroky z poskytnutých pôžičiek (bankám platený úrok

predstavuje odmenu pre banku za možnosť dočasne používať jej peniaze)

• úroková miera, t.j. počet percent, ktorý predstavuje úrok z vkladu alebo pôžičky.

Poznámka: V rámci elementárnej finančnej matematiky budeme brať do úvahy ročnú

úrokovú mieru, pri ktorej sa úroky z vkladu alebo pôžičky počítajú raz ročne.

8.2 Slovné úlohy

Príklad 105:

Klient uskutočnil termínovaný vklad vo výške 1 200 eur s dobou viazanosti 1 rok. Vklad

je úročený 2,5-percentnou ročnou úrokovou mierou. Aký úrok bude o rok pripísaný

ku vkladu 1 200 eur?

Riešenie:


78

vklad ... 1 200 eur

ročná úroková miera ... 2,5 %

úrok ... x eur____

100 % ... 1 200 eur

2,5 % ... x eur __

2,5 : 100 = x : 1 200

100 . x = 2,5 . 1 200

100x = 3 000 /:100

x = 30 eur

Ku vkladu 1 200 eur bude o rok pripísaný úrok 30 eur.

Príklad 106:

Akú veľkú pôžičku si klient vzal od banky, ak vieme, že zaplatil úrok vo výške 76 eur a

v zmluvných podmienkach bola stanovená 4-percentná ročná úroková miera a

jednorazové splatenie pôžičky po uplynutí jedného roka?

Riešenie:

úrok ... 76 eur

ročná úroková miera ... 4 %

pôžička ... x eur_

4 % ... 76 eur

100 % ... x eur__

4 : 100 = 76 : x

4 . x = 100 . 76

4x = 7 600 /:4

x = 1 900 eur

Klient si vzal od banky pôžičku vo výške 1 900 eur.

Príklad 107:

Vklad 300 eur bol po roku úročenia ročnou úrokovou mierou zhodnotený na 310,50 eur.

Na akú ročnú úrokovú mieru bolo zhodnotenie vkladu viazané?

Riešenie:


79

vklad ... 300 eur

vklad po zhodnotení ... 310,50 eur

ročná úroková miera ... x %_____

- vypočítame úrok:

úrok = hodnota vkladu po zhodnotení – pôvodná hodnota vkladu

úrok = 310,50 eur – 300 eur = 10,50 eur

- vypočítame ročnú úrokovú mieru:

100 % ... 300 eur

x % ... 10,50 eur

x : 100 = 10,50 : 300

x . 300 = 100 . 10,50

300x = 1 050 /:300

x = 3,5 %

Zhodnotenie vkladu bolo viazané na ročnú úrokovú mieru 3,5 %.

Príklad 108:

Manželia splácali spotrebný úver 5 rokov, pričom výška mesačnej splátky činila 35 eur.

Aká bola výška spotrebného úveru, ak úroky spolu predstavovali čiastku 350 eur?

Riešenie:

doba splácania úveru ... 5 rokov

výška mesačnej splátky ... 35 eur

úroky spolu ... 350 eur

výška úveru ... x eur___

- vypočítame súčet mesačných splátok za 5 rokov (rok má 12 mesiacov)

splácania úveru:

35 eur . 12 . 5 = 2 100 eur

- vypočítame výšku úveru (zohľadníme pri tom, že do jednotlivých splátok sú

rozpočítané úroky):

výška úveru = súčet mesačných splátok – úroky spolu

výška úveru = 2 100 eur – 350 eur = 1 750 eur

Výška spotrebného úveru bola 1 750 eur.


80

Príklad 109:

Podnikateľ sa rozhodol vziať si úver na financovanie nového sídla. Zvažuje dve ponuky

od dvoch bánk. Všetky skutočnosti týkajúce sa oboch ponúk zaznamenal do tabuľky:

výška úveru počet rokov splácania úveru

poplatok za spracovanie

úveru

výška mesačnej splátky

ponuka A 150 000 eur 20 0,45 % z požičanej sumy 643,75 eur

ponuka B 170 000 eur 25 0,28 % z požičanej sumy 586,50 eur

Ktorá ponuka je pre podnikateľa výhodnejšia?

Riešenie:

Pri posudzovaní výhodnosti úverového produktu (ponuka A a ponuka B) je potrebné vziať

do úvahy výšku úveru, poplatok za spracovanie úveru a súčet splátok.

Budeme vychádzať z rozdielu:

(poplatok za spracovanie úveru + súčet splátok) – výška úveru.

Výhodnejšia je pre podnikateľa tá ponuka, z ktorej vyplýva menšia hodnota daného rozdielu.

Ponuka A:

- poplatok za spracovanie úveru:

1 % zo 150 000 eur ... 150 000 eur : 100 = 1 500 eur

0,45 % zo 150 000 eur ... 1 500 eur . 0,45 = 675 eur

- súčet mesačných splátok za 20 rokov splácania úveru:

643,75 eur . 12 . 20 = 154 500 eur

- (poplatok za spracovanie úveru + súčet splátok) – výška úveru =

= (675 eur + 154 500 eur) – 150 000 eur = 5 175 eur

Ponuka B:

- poplatok za spracovanie úveru:

1 % zo 170 000 eur ... 170 000 eur : 100 = 1 700 eur

0,28 % zo 150 000 eur ... 1 700 eur . 0,28 = 676 eur

- súčet mesačných splátok za 25 rokov splácania úveru:

586,50 eur . 12 . 25 = 175 950 eur

- (poplatok za spracovanie úveru + súčet splátok) – výška úveru =

= (676 eur + 175 950 eur) – 170 000 eur = 6 626 eur

Menšia hodnota rozdielu (poplatok za spracovanie úveru + súčet splátok) – výška úveru

vyplýva z ponuky A, preto pre podnikateľa je ponuka A výhodnejšia než ponuka B.


81

9. Mierka mapy a plánu

9.1 Mierka mapy a plánu ako pomer

Ø Mierka mapy (resp. plánu) je pomer tvaru 1 : x, v ktorom

• 1 je vzdialenosť dvoch bodov na mape (resp. pláne),

• x je skutočná vzdialenosť týchto bodov,

pričom obe vzdialenosti sú vyjadrené v rovnakých jednotkách dĺžky.

Ø Napr. mierku 1 : 100 000 interpretujeme nasledovne:

„vzdialenosti 1 cm na mape zodpovedá vzdialenosť 100 000 cm v skutočnosti“.

Poznámka: Plány majú mierku 1 : x, kde x je číslo menšie alebo rovné číslu 10 000.

Pripomíname:

Schéma prevodov jednotiek dĺžky:

: 10 : 10 : 10 : 1 000

mm cm dm m km

. 10 . 10 . 10 . 1 000

Medzi jednotkami dĺžky existujú vzťahy:

1 km = 1 000 m 1 m = 10 dm

1 dm = 10 cm

1 cm = 10 mm

9.2 Slovné úlohy

Príklad 110:

Skutočná vzdialenosť 72 kilometrov je na mape znázornená úsečkou dlhou

8 centimetrov. Určte mierku mapy.


82

Riešenie:

skutočná vzdialenosť ... 72 km

vzdialenosť na mape ... 8 cm

mierka mapy ... 1 : x__

Platí: 72 km = 72 000 m = 720 000 dm = 7 200 000 cm. Porovnáme 8 cm a 7 200 000 cm:

8 : 7 200 000

8:8 : 7 200 000:8

1 : 900 000

Mierka mapy je 1 : 900 000.

Príklad 111:

Skutočná vzdialenosť dvoch lokalít je 50 kilometrov. Určte dĺžku (v centimetroch)

úsečky, ktorou je znázornená táto vzdialenosť na mape s mierkou 1 : 500 000.

Riešenie:

skutočná vzdialenosť ... 50 km

mierka mapy ... 1 : 500 000

vzdialenosť na mape ... x cm_____

Mierka 000 500:1 vyjadruje, že vzdialenosti 1 cm na mape zodpovedá vzdialenosť 500 000

cm v skutočnosti. Teda skutočná vzdialenosť 50 km je na mape zmenšená 500 000-krát.

Platí: 50 km = 50 000 m = 500 000 dm = 5 000 000 cm.

- skutočnú vzdialenosť 5 000 000 cm zmenšíme 500 000-krát:

x = 5 000 000 cm : 500 000 = 10 cm

Dĺžka úsečky, ktorou je na mape s mierkou 000 500:1 znázornená vzdialenosť 50 km, je

10 cm.

Príklad 112:

Na mape s mierkou 000 500 1:1 je vzdialenosť dvoch lokalít znázornená úsečkou

s dĺžkou 15 centimetrov. Určte skutočnú vzdialenosť (v kilometroch) daných lokalít.

Riešenie:

vzdialenosť na mape ... 15 cm

mierka mapy ... 1 : 1 500 000

skutočná vzdialenosť ... x km_______


83

Mierka 000 500 1:1 vyjadruje, že vzdialenosti 1 cm na mape zodpovedá vzdialenosť

000 500 1 cm v skutočnosti. Teda skutočná vzdialenosť x km je na mape zmenšená

1 500 000-krát.

- vzdialenosť na mape 15 cm zväčšíme 1 500 000-krát:

x = 15 cm . 1 500 000 = 22 500 000 cm = 225 000 m = 225 km

Skutočná vzdialenosť lokalít je 225 km.

Príklad 113:

Pôdorys detskej izby má na pláne s mierkou 100:1 tvar obdĺžnika s rozmermi

48 milimetrov a 32 milimetrov. Aké sú skutočné rozmery detskej izby (v metroch)?

Riešenie:

rozmery na pláne ... 48 mm, 32 mm

mierka plánu ... 1 : 100

skutočné rozmery ... x m, y m_____

Mierka 100:1 vyjadruje, že dĺžke 1 mm na pláne zodpovedá dĺžka 100 mm v skutočnosti.

- rozmeru 48 mm na pláne zodpovedá skutočný rozmer x = 48 mm . 100

Platí: x = 48 mm . 100 = 4 800 mm = 480 cm = 48 dm = 4,8 m.

- rozmeru 32 mm na pláne zodpovedá skutočný rozmer y = 32 mm . 100

Platí: y = 32 mm . 100 = 3 200 mm = 320 cm = 32 dm = 3,2 m.

Skutočné rozmery detskej izby sú 4,8 m a 3,2 m.

Príklad 114:

Na obrázku je časť z mapy mesta Nitra. Určte

a) vzdušnú vzdialenosť (v metroch) Nitrianskej galérie od Nitrianskeho hradu,

b) mierku danej mapy.


84

Riešenie:

a) Z legendy mapy vyplýva, že vzdialenosti 1 cm na mape zodpovedá vzdialenosť 100 m

v skutočnosti.

Vzdušnú vzdialenosť Nitrianskej galérie od Nitrianskeho hradu reprezentuje úsečka

spájajúca na mape tieto dva objekty. Jej dĺžka je 35 mm = 3,5 cm.

Ak vzdialenosti 1 cm na mape zodpovedá vzdialenosť 100 m v skutočnosti, potom

vzdialenosti 3,5 cm na mape zodpovedá vzdialenosť 3,5.100 m = 350 m v skutočnosti.

Vzdušná vzdialenosť Nitrianskej galérie od Nitrianskeho hradu je 350 m.

b) Vzdialenosti 1 cm na mape zodpovedá vzdialenosť 100 m = 10 000 cm v skutočnosti.

Porovnáme 1 cm a 10 000 cm, čím dospejeme k pomeru 1 : 10 000, čo je mierka danej

mapy.

Mierka mapy je 1 : 10 000.


85

10. Uhol

10.1 Uhol, veľkosť uhla

Ø Uhol je časť roviny určená dvomi polpriamkami so spoločným začiatkom.

Uhol AVB (na obrázku) je určený polpriamkami

VA a VB.

- polpriamky VA a VB sú ramená uhla AVB - začiatok polpriamok VA a VB – bod V – je

vrchol uhla AVB

Ø Uhol môžeme zapísať:

• malými písmenami gréckej abecedy (napr. uhol α),

• tromi bodmi, pričom dva z nich ležia na ramenách daného uhla a jeden (zapísaný

medzi bodmi ležiacimi na ramenách) je vrchol tohto uhla (napr. uhol AVB).

Ø Veľkosť uhla vyjadrujeme v (uhlových) stupňoch (označ.: °) a (uhlových) minútach

(označ.: ´). Niekedy sa používa aj (uhlová) sekunda (označ.: ´´).

• Platí: 1° = 60´

1´ = 60´´

• Uhol môže mať veľkosť od 0° (vrátane) do 360° (vrátane).

Ø Z hľadiska veľkosti rozlišujeme:

• ostrý uhol - má veľkosť viac ako 0° a menej ako 90°


86

• pravý uhol - má veľkosť práve 90°

• tupý uhol - má veľkosť viac ako 90° a menej ako 180°

• priamy uhol - má veľkosť práve 180°

• uhol väčší ako priamy - má veľkosť viac ako 180° a menej ako 360°

• plný uhol - má veľkosť práve 360°

- ramená plného uhla sú totožné (ležia na sebe)


87

• nulový uhol - má veľkosť práve 0°

- ramená nulového uhla sú totožné (ležia na sebe)

10.2 Operácie s uhlami

Príklad 115:

Akú veľkosť má uhol α, ak uhol β = 86° je jeho dvojnásobkom?

Riešenie:

β = 2.α

86° = 2.α

2.α = 86° /:2

α = 43°

Uhol α má veľkosť 43°.

Príklad 116:

Určte veľkosť uhla γ, ak platí: γ = α + β, kde α je pravý uhol a β je uhol s veľkosťou 45°.

Riešenie:

γ = α + β

γ = 90° + 45°

γ = 135°

Uhol γ má veľkosť 135°.

Príklad 117:

Akú veľkosť má uhol ω, ktorý je rozdielom priameho a pravého uhla?

Riešenie:

ω = priamy uhol – pravý uhol = 180° – 90° = 90°

Uhol ω má veľkosť 90°.


88

Príklad 118:

Vypočítajte:

a) 30°5´ + 10°25´ =

b) 40°20´ + 20°40´ =

c) 50°35´ + 30°55´ =

Riešenie:

- hodnoty v stupňoch a hodnoty v minútach sčítame osobitne

a) 30°5´ + 10°25´ = 40°30´

a) 40°20´ + 20°40´ = 60°60´ = 61° (využili sme: 60´ = 1°)

b) 50°35´ + 30°55´ = 80°90´ = 81°30´ (využili sme: 90´ = 60´ + 30´ = 1°30´)

Príklad 119:

Vypočítajte:

a) 120°50´ – 60°30´ =

b) 110°45´ – 50° =

c) 100° – 40°40´ =

d) 90°40´ – 30°50´ =

Riešenie:

a) 120°50´ – 60°30´ = 60°20´

- hodnoty v stupňoch a hodnoty v minútach sme odčítali osobitne

b) 110°45´ – 50° = 60°45´

c) 100° – 40°40´ =

- 100° upravíme na 99°60´ a potom postupujeme tak ako v a)

100° – 40°40´ = 99°60´ – 40°40´ = 59°20´

d) 90°40´ – 30°50´ =

- 90°40´ upravíme na 89°100´ a potom postupujeme tak ako v a)

90°40´ – 30°50´ = 89°100´ – 30°50´ = 59°50´

10.3 Vzťahy medzi uhlami

Skôr, než objasníme vzťahy medzi uhlami, zmienime sa o vzájomnej polohe priamok.


89

Ø Dve priamky môžu byť navzájom:

• rovnobežné totožné - majú spoločné všetky svoje body,

- ležia v spoločnej rovine

• rovnobežné rôzne - nemajú spoločný bod,


• rôznobežné - majú spoločný práve jeden bod

(nazývame ho priesečník daných priamok),


• mimobežné - nemajú spoločný bod,

- neležia v spoločnej rovine

Ø V kocke ABCDEFGH poukážeme na dvojicu rovnobežných rôznych, dvojicu

rôznobežných a dvojicu mimobežných priamok.

- priamka, na ktorej leží hrana EH a priamka,

na ktorej leží hrana BC, sú navzájom rovnobežné

rôzne (ležia v spoločnej rovine určenej bodmi

B, C, H, E)

- priamka, na ktorej leží hrana BC a priamka,

na ktorej leží hrana BF, sú navzájom rôznobežné

(ležia v spoločnej rovine určenej bodmi

B, C, G, F)

- priamka, na ktorej leží hrana BF a priamka,

na ktorej leží hrana EH, sú navzájom mimobežné

(neležia v spoločnej rovine)


90

Ø Z hľadiska vzájomnej polohy môžu byť dva uhly:

• susedné - pre susedné uhly α, β platí: α + β = 180°

- priamky p, q sú rôznobežné

• vrcholové - pre vrcholové uhly α, β platí: α = β

- priamky p, q sú rôznobežné

• súhlasné - pre súhlasné uhly α, β platí: α = β

- priamka r je rôznobežná

s priamkami p, q,

- priamky p, q sú rovnobežné

• striedavé - pre striedavé uhly α, β platí: α = β

- priamka r je rôznobežná

s priamkami p, q,

- priamky p, q sú rovnobežné


91

Príklad 120:

Na obrázku sú rôznobežné priamky p a q, ktoré určujú uhly α, β, γ a δ. Veľkosť uhla δ

je 140°. Zistite veľkosť uhlov α, β a γ.

Riešenie:

- uhly α a δ sú susedné, preto platí: α + δ = 180°

α + 140° = 180° /–140°

α = 40°

- uhly β a δ sú vrcholové, preto platí: β = δ

β = 140°

- uhly α a γ sú vrcholové, preto platí: γ = α

γ = 40°

Príklad 121:

Na obrázku sú rovnobežné priamky p a q a rovnobežné priamky r a s, ktoré určujú uhly

α, β, γ, δ a ε. Veľkosť uhla α je 94°50´. Zistite veľkosť uhlov β, γ, δ a ε.

Riešenie:

- uhly α a β sú súhlasné, preto platí: β = α

β = 94°50´

- uhly β a δ sú striedavé, preto platí: δ = β

δ = 94°50´


92

- uhly γ a δ sú susedné, preto platí: γ + δ = 180°

γ + 94°50´ = 180° /–94°50´

γ = 180° – 94°50´

γ = 179°60´ – 94°50´

γ = 85°10´

- uhly γ a ε sú vrcholové, preto platí: ε = γ

ε = 85°10´

Príklad 122:

Na obrázku sú uhly α, β a γ určené priamkami p, q, r a s, pričom priamky p a q sú

rovnobežné. Vypočítajte veľkosť uhla γ, ak α = 70° a β = 24°.

Riešenie:

Vezmime do úvahy uhol δ, ktorý je susedným uhlom k uhlu α.

- pre uhly α a δ platí:

α + δ = 180°

70° + δ = 180° /–70°

δ = 110°

- uhol, ktorý je súčtom uhlov β a γ, je súhlasný s uhlom δ, preto platí:

β + γ = δ

24° + γ = 110° /–24°

γ = 86°


93

Príklad 123:

Na obrázku sú uhly α a β určené priamkami p, q a r, pričom priamka r je kolmá

na priamku p. Vypočítajte veľkosť uhla β, ak α = 23°.

Riešenie:

Vezmime do úvahy uhol γ, ktorý je vrcholovým uhlom k uhlu β.

- priamka r je kolmá na priamku p, preto platí:

α + γ = 90°

23° + γ = 90° /–23°

γ = 67°

- uhly β a γ sú vrcholové, preto platí: β = γ

β = 67°

Príklad 124:

Súčet veľkostí vrcholových uhlov α a β je 120°. Aká je veľkosť uhla γ, ktorý je k uhlu α

a tiež k uhlu β susedný?

Riešenie:

Uhly α a β sú vrcholové, preto platí: α = β. Ich súčet je 120°. Každý z nich má teda veľkosť

60°.

Uhly α a γ, resp. β a γ sú susedné, preto platí:

α + γ = 180° (pričom α = 60°) a tiež β + γ = 180° (pričom β = 60°). Z uvedeného vyplýva, že

veľkosť uhla γ je 180° – 60°, t.j. 120°.


94

11. Planimetria

11.1 Rovinné geometrické útvary

Ø Základnými geometrickými útvarmi sú:

• bod,

• priamka,

• rovina.

Pomocou nich sa definujú iné geometrické útvary.

Ø Rovinnými geometrickými útvarmi sa zaoberá planimetria.

Ø Zameriame sa na tieto rovinné geometrické útvary:

• trojuholníky,

• štvoruholníky – z nich rovnobežníky a lichobežníky,

• kruhy a kružnice.

11.2 Trojuholníky

Ø Trojuholník je rovinný geometrický útvar s tromi vnútornými uhlami, tromi vrcholmi

a tromi stranami.

A, B, C - vrcholy trojuholníka ABC

a, b, c - strany trojuholníka ABC

α, β, γ - vnútorné uhly trojuholníka ABC

Ø V trojuholníku ABC platí:

• strana a leží oproti vrcholu A, strana b leží oproti vrcholu B, strana c leží oproti

vrcholu C


95

11.2.1 Vlastnosti trojuholníkov

Ø V každom trojuholníku platí:

• súčet veľkostí všetkých troch vnútorných uhlov trojuholníka je 180°,

• tzv. trojuholníková nerovnosť: súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán trojuholníka je

väčší ako dĺžka tretej strany, t.j. ak a, b, c sú strany trojuholníka, potom

a + b > c, b + c > a, a + c > b.

Príklad 125:

Zistite, či uhly s danými veľkosťami môžu byť vnútornými uhlami trojuholníka:

a) 120°, 40°, 20°,

b) 93°, 7°, 70°.

Riešenie:

Budeme vychádzať zo skutočnosti, že v každom trojuholníku je súčet veľkostí jeho

vnútorných uhlov 180°.

a) 120° + 40° + 20° = 180°

- konštatujeme, že uhly s veľkosťami 120°, 40° a 20° môžu byť vnútorným

uhlami trojuholníka

b) 93° + 7° + 70° = 170°

- konštatujeme, že uhly s veľkosťami 93°, 7° a 70° nemôžu byť vnútornými

uhlami trojuholníka

Príklad 126:

Vypočítajte veľkosť tretieho vnútorného uhla v trojuholníku ABC, v ktorom dva majú

veľkosť 45° a 90°.

Riešenie:

V každom trojuholníku je súčet veľkostí jeho vnútorných uhlov 180°. Preto v trojuholníku

ABC platí:

45° + 90° + x = 180°, kde x je veľkosť tretieho vnútorného uhla

135° + x = 180° /–135°

x = 45°

Veľkosť tretieho vnútorného uhla v trojuholníku ABC je 45°.


96

Príklad 127:

Zistite, či úsečky s danými dĺžkami môžu byť stranami trojuholníka:

a) 5 cm, 7 cm, 10 cm,

b) 5 cm, 8 cm, 13 cm,

c) 15 cm, 9 cm, 5 cm.

Riešenie:

Budeme vychádzať zo skutočnosti, že v každom trojuholníku platí tzv. trojuholníková

nerovnosť, t.j. ak a, b, c sú strany trojuholníka, potom a + b > c, b + c > a, a + c > b.

a) Overíme, či úsečky s dĺžkami 5 cm, 7 cm, 10 cm spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť.

Nech a = 5 cm, b = 7cm, c = 10 cm. Potom

a + b = 5 + 7 = 12, pričom 12 > c = 10,

b + c = 7 + 10 = 17, pričom 17 > a = 5,

a + c = 5 + 10 = 15, pričom 15 > b = 7.

Úsečky s dĺžkami 5 cm, 7 cm, 10 cm spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť, a teda môžu

byť stranami trojuholníka.

b) Overíme, či úsečky s dĺžkami 5 cm, 8 cm, 13 cm spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť.

Nech a = 5 cm, b = 8 cm, c = 13 cm. Potom

a + b = 5 + 8 = 13, pričom 13 = c = 13.

Úsečky s dĺžkami 5 cm, 8 cm, 13 cm nespĺňajú trojuholníkovú nerovnosť, a teda

nemôžu byť stranami trojuholníka.

c) Overíme, či úsečky s dĺžkami 15 cm, 9 cm, 5 cm spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť.

Nech a = 15 cm, b = 9 cm, c = 5 cm. Potom

a + b = 15 + 9 = 24, pričom 24 > c = 5,

b + c = 9 + 5 = 14, pričom 14 < a = 15.

Úsečky s dĺžkami 15 cm, 9 cm, 5 cm nespĺňajú trojuholníkovú nerovnosť, a teda

nemôžu byť stranami trojuholníka.

11.2.2 Klasifikácia trojuholníkov

Trojuholníky môžeme rozlíšiť z hľadiska veľkosti vnútorných uhlov a z hľadiska veľkosti

strán.


97

Ø Podľa veľkosti vnútorných uhlov rozlišujeme:

• ostrouhlý trojuholník - všetky jeho tri vnútorné uhly sú ostré

• tupouhlý trojuholník - jeden z jeho vnútorných uhlov je tupý a zvyšné

dva sú ostré

• pravouhlý trojuholník - jeden z jeho vnútorných uhlov je pravý a zvyšné

dva sú ostré

V pravouhlom trojuholníku ABC zvykneme vrchol, pri ktorom je pravý uhol,

označovať C.

- stranu c (obrázok) nazývame prepona (leží oproti pravému uhlu a je najdlhšou

stranou pravouhlého trojuholníka),

- strany a, b (obrázok) nazývame odvesny (zvierajú pravý uhol)

Ø Podľa veľkosti strán rozlišujeme:

• rovnoramenný trojuholník - dve z jeho strán sú zhodné (t.j. majú

rovnakú dĺžku), nazývame ich ramená;

tretiu stranu nazývame základňa

- vnútorné uhly pri základni sú zhodné

(t.j. majú rovnakú veľkosť)


98

• rovnostranný trojuholník - všetky jeho strany sú zhodné

- všetky jeho vnútorné uhly sú zhodné

(každý z nich má veľkosť °=° 603:180 )

• rôznostranný trojuholník - všetky jeho strany sú rôzne (t.j. každá má

inú dĺžku)

- všetky jeho vnútorného uhly sú rôzne

(t.j. každý z nich má inú veľkosť)

Príklad 128:

Vypočítajte veľkosť vnútorných uhlov pri základni rovnoramenného trojuholníka KLM,

ak veľkosť vnútorného uhla oproti základni je 120°.

Riešenie:

Využijeme dve skutočnosti:

- v každom trojuholníku je súčet veľkostí jeho vnútorných uhlov 180°,

- vnútorné uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka sú zhodné, t.j. majú

rovnakú veľkosť.

V trojuholníku KLM platí:

120° + x + x = 180°, kde x je veľkosť vnútorného uhla pri základni

120° + 2x = 180° /–120°

2x = 60° /:2

x = 30°

Veľkosť vnútorných uhlov pri základni rovnoramenného trojuholníka KLM je 30°.

Príklad 129:

Na obrázku je trojuholník ABC a rovnostranný trojuholník BCD so spoločnou stranou

BC ležiacou na priamke r. Strana AB trojuholníka ABC leží na priamke q a strana CD

trojuholníka BCD leží na priamke p, pričom priamky p a q sú rovnobežné.

Vypočítajte veľkosť uhla γ, ak ω = 143°.


99

Riešenie:

Keďže trojuholník BCD je rovnostranný, každý z jeho vnútorných uhlov má veľkosť 60°.

Vezmime do úvahy uhly α, β a φ:

- uhly β a φ = 60° sú striedavé, preto platí:

β = φ

β = 60°

- uhly α a ω = 143° sú susedné, preto platí:

α + ω = 180°

α + 143° = 180° /–143°

α = 37°

V každom trojuholníku je súčet veľkostí jeho vnútorných uhlov 180°, preto platí:

α + β + γ = 180°

37° + 60° + γ = 180°

97° + γ = 180° /–97°

γ = 83°

Veľkosť uhla γ je 83°.

Príklad 130:

Na obrázku je rovnoramenný trojuholník ABC so základňou AB ležiacou na priamke p

a rovnostranný trojuholník PQA. Bod A je spoločný vrchol oboch trojuholníkov a vrchol

P trojuholníka PQA leží na strane AC trojuholníka ABC.

Vypočítajte veľkosť uhla ω, ak γ = 44°.


100

Riešenie:

Vezmime do úvahy uhly α, β a φ:

Keďže trojuholník ABC je rovnoramenný a strana AB je jeho základňa, uhly α a β sú zhodné,

t.j. α = β. Keďže trojuholník PQA je rovnostranný, veľkosť uhla φ je 60°.

- uhly α, β a γ sú vnútornými uhlami trojuholníka, preto platí:

α + β + γ = 180°

x + x + 44° = 180°, kde x je veľkosť uhlov α a β

2x + 44° = 180° /–44°

2x = 136° /:2

x = 68°

- uhly α, φ a ω tvoria priamy uhol (ktorého veľkosť je 180°), preto platí:

α + φ + ω = 180°

68° + 60° + ω = 180°

128° + ω = 180° /–128°

ω = 52°

Veľkosť uhla ω je 52°.


101

11.2.3 Výšky, ťažnice a stredné priečky trojuholníka

Ø Výška trojuholníka je úsečka zostrojená z vrcholu trojuholníka kolmo na priamku,

na ktorej leží protiľahlá strana daného trojuholníka.

• každý trojuholník má tri výšky,

• výšky trojuholníka sa pretínajú v bode, ktorý nazývame priesečník výšok alebo

ortocentrum (označ.: O)

- výšku zostrojenú z vrcholu A na priamku, na ktorej leží strana a, nazývame

výška na stranu a a označujeme va,

- výšku zostrojenú z vrcholu B na priamku, na ktorej leží strana b, nazývame

výška na stranu b a označujeme vb,

- výšku zostrojenú z vrcholu C na priamku, na ktorej leží strana c, nazývame

výška na stranu c a označujeme vc

Ø Ťažnica trojuholníka je úsečka spájajúca vrchol trojuholníka a stred protiľahlej strany

daného trojuholníka.

• každý trojuholník má tri ťažnice,

• ťažnice trojuholníka sa pretínajú v bode, ktorý nazývame priesečník ťažníc alebo

ťažisko (označ.: T)


102

- ťažnicu spájajúcu vrchol A so stredom strany a (Sa) nazývame ťažnica

na stranu a a označujeme ta,

- ťažnicu spájajúcu vrchol B so stredom strany b (Sb) nazývame ťažnica

na stranu b a označujeme tb,

- ťažnicu spájajúcu vrchol C so stredom strany c (Sc) nazývame ťažnica

na stranu c a označujeme tc

Ø Ťažisko T rozdeľuje ťažnice každého trojuholníka na dve časti, ktorých veľkosti sú

v pomere 1 : 2, t.j. veľkosť dlhšej časti je dvojnásobkom veľkosti kratšej časti.

• dlhšia časť ťažnice je medzi vrcholom a ťažiskom, kratšia časť medzi ťažiskom

a stredom strany

Príklad 131:

Na obrázku je trojuholník ABC a jeho ťažnica tc. Bod T je ťažisko trojuholníka ABC.

Vypočítajte dĺžku (v centimetroch) ťažnice tc, ak cm 4=TC .

Riešenie:


103

Ťažisko T rozdeľuje ťažnicu tc na dve časti – TC a TSc. Platí:

2:1: =TCTSc , t.j. cTSTC .2= .

Počítajme:

TC = cTS.2

4 = cTS.2

cTS.2 = 4 /:2

cTS = 2 cm

Platí: =+=+= 24cc TSTCt 6 cm.

Príklad 132:

Na obrázku je trojuholník ABC a jeho ťažnica tc, pričom tc = 63 mm. Bod T je ťažisko

trojuholníka ABC. Vypočítajte veľkosť (v milimetroch) úsečky TC.

Riešenie:

Ťažisko T rozdeľuje ťažnicu tc na dve časti – TC a TSc. Platí:

2:1: =TCTSc .

Úsečka TSc je tvorená jedným dielikom a úsečka TC dvomi dielikmi. Na každý z troch

dielikov pripadá rovnaká dĺžka (v milimetroch) a spolu tvoria ťažnicu tc = 63 mm.

- na 1 dielik pripadá 63 mm : 3 = 21 mm

- na 2 dieliky, ktorými je tvorená úsečka TC, pripadá 2 . 21 mm = 42 mm, t.j.

veľkosť úsečky TC je 42 mm

Ø Stredná priečka trojuholníka je úsečka spájajúca stredy dvoch strán daného

trojuholníka.

• každý trojuholník má tri stredné priečky,

• stredná priečka každého trojuholníka je rovnobežná s jednou z jeho strán,


104

• veľkosť strednej priečky každého trojuholníka je rovná polovici veľkosti tej strany,

s ktorou je rovnobežná,

• stredné priečky rozdeľujú každý trojuholník na štyri zhodné trojuholníky

- stredná priečka SaSb je rovnobežná so stranou c, pričom platí: ba SSc .2= ,

- stredná priečka SaSc je rovnobežná so stranou b, pričom platí: ca SSb .2= ,

- stredná priečka SbSc je rovnobežná so stranou a, pričom platí: cb SSa .2=

Príklad 133:

Na obrázku je trojuholník KLM a stredy Sm, Sk a Sl jeho strán. Strana LM má veľkosť

6 centimetrov a stredná priečka určená stredmi strán KM a LM má veľkosť

4 centimetre. Vypočítajte:

a) veľkosť (v centimetroch) strednej priečky určenej stredmi strán KL a KM,

b) veľkosť (v centimetroch) strany KL.

Riešenie:


105

Využijeme skutočnosť, že veľkosť strednej priečky každého trojuholníka je rovná polovici

veľkosti tej strany, s ktorou je rovnobežná.

a) Stredná priečka určená stredmi strán KL a KM trojuholníka KLM je úsečka SmSl:

- veľkosť strednej priečky SmSl je rovná polovici veľkosti strany LM, t.j.

== 2:cm 6lmSS 3 cm

b) Veľkosť strany KL trojuholníka KLM je dvojnásobkom veľkosti strednej priečky,

s ktorou je táto strana rovnobežná, t.j. strednej priečky SkSl:

- platí: === cm 4 . 2.2 lk SSKL 8 cm

11.2.4 Obvod a obsah trojuholníka

Ø Obvod trojuholníka je súčet dĺžok jeho strán.

• ak a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka, potom pre jeho obvod (o) platí:

cbao ++=

Ø Obsah trojuholníka je polovica zo súčinu dĺžky jeho strany a výšky na túto stranu.

• ak a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka a va, vb, vc sú výšky na dané strany, potom

pre jeho obsah (S) platí:

2.

2.

2. cba vcvbva

S ===


106

Poznámka: Obvod trojuholníka a iných rovinných geometrických útvarov vyjadrujeme

v jednotkách dĺžky.

Obsah trojuholníka a iných rovinných geometrických útvarov vyjadrujeme

v jednotkách plochy.

Pripomíname:

Schéma prevodov jednotiek plochy:

: 100 : 100 : 100 : 1 000 000

mm2 cm2 dm2 m2 km2

. 100 . 100 . 100 . 1 000 000

Medzi jednotkami plochy existujú vzťahy:

1 km2 = 1 000 000 m2 1 m2 = 100 dm2

1 dm2 = 100 cm2

1 cm2 = 100 mm2

Mimo uvedených jednotiek sa používajú aj jednotky ár (označ.: a) a hektár (označ.: ha).

Medzi týmito jednotkami existujú vzťahy:

1 km2 = 100 ha

1 ha = 100 a

1 a = 100 m2

• 1 ár je možné si predstaviť ako plochu v tvare štvorca so stranou dĺžky 10 m,

• 1 ha je možné si predstaviť ako plochu v tvare štvorca so stranou dĺžky 100 m,

• 1 km2 je možné si predstaviť ako plochu v tvare štvorca so stranou dĺžky 1 000 m

Príklad 134:

Premeňte na jednotky uvedené v zátvorke:

a) 250 ha (dm2),

b) 250 m2 (ha).

Riešenie:

a) 250 ha = 25 000 a = 2 500 000 m2 = 250 000 000 dm2

b) 250 m2 = 2,5 a = 0,025 ha


107

Príklad 135:

Obvod rovnostranného trojuholníka PQR je 24 cm. Akú dĺžku (v centimetroch) má

a) každá z jeho strán,

b) každá z jeho stredných priečok?

Riešenie:

o = 24 cm

a) Rovnostranný trojuholník má všetky tri strany zhodné, preto pre obvod trojuholníka

PQR platí:

o = x + x + x, kde x je dĺžka strany trojuholníka PQR

24 = 3x

3x = 24 /:3

x = 8 cm

Každá zo strán trojuholníka PQR má dĺžku 8 cm.

b) Dĺžka strednej priečky každého trojuholníka je rovná polovici dĺžky tej strany,

s ktorou je rovnobežná. Keďže každá zo strán trojuholníka PQR má dĺžku 8 cm,

všetky jeho stredné priečky majú dĺžku 8 cm : 2 = 4 cm.

Príklad 136:

Stredné priečky trojuholníka ABC majú dĺžku 1,5 cm, 2 cm a 2,5 cm. Vypočítajte obvod

(v centimetroch) daného trojuholníka.

Riešenie:

Dĺžka strany každého trojuholníka je dvojnásobkom dĺžky tej strednej priečky, s ktorou je

rovnobežná. Preto dĺžky strán trojuholníka ABC sú:

1,5 cm . 2 = 3 cm, 2 cm . 2 = 4 cm, 2,5 cm . 2 = 5 cm.

Pre obvod (o) trojuholníka ABC platí:

o = 3 + 4 + 5

o = 12 cm

Obvod trojuholníka ABC je 12 cm.

Príklad 137:

Obvod rovnoramenného trojuholníka ABC so základňou cm 9=c je 21 cm. Akú dĺžku

(v centimetroch) majú ramená daného trojuholníka?


108

Riešenie:

c = 9 cm

o = 21 cm

a = x cm, b = x cm

Keďže trojuholník ABC je rovnoramenný a strana c je jeho základňa, tak strany a a b sú

ramená tohto trojuholníka.

- ramená každého rovnoramenného trojuholníka sú zhodné, preto v trojuholníku

ABC platí: a = b (kladieme pri tom a = x cm, b = x cm)


o = a + b + c

21 = x + x + 9

21 = 2x + 9

2x + 9 = 21 /–9

2x = 12 /:2

x = 6 cm

Ramená rovnoramenného trojuholníka ABC majú dĺžku 6 cm.

Príklad 138:

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) trojuholníka ABC, v ktorom dm 4,0=a

a mm. 45=av

Riešenie:

a = 0,4 dm = 4 cm

va = 45 mm = 4,5 cm

S = x cm2_________

Pre obsah (S) trojuholníka ABC platí:

S = 2. ava

S = ==2

182

5,4.4 9 cm2

Obsah trojuholníka ABC je 9 cm2.


109

Príklad 139:

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) pravouhlého trojuholníka KLM

s odvesnami l = 6 cm a m = 8 cm.

Riešenie:

l = 6 cm

m = 8 cm

S = x cm2

Náčrt trojuholníka KLM sme prispôsobili skutočnostiam:

• odvesny každého pravouhlého trojuholníka zvierajú pravý uhol,

• odvesnami pravouhlého trojuholníka KLM sú strana l a strana m, pričom strana l

leží oproti vrcholu L a strana m oproti vrcholu M.

Pri výpočte obsahu (S) trojuholníka KLM využijeme skutočnosť, že odvesna l je výškou

na stranu m (označ.: vm) tohto trojuholníka (je to tak na základe toho, že odvesna l je

na stranu m kolmá). Teda l = vm. Platí:

S = 2. mvm

S = ==248

26.8 24 cm2

Obsah trojuholníka KLM je 24 cm2.

Príklad 140:

Obsah rovnoramenného trojuholníka ABC s výškou dm 3=cv a ramenami dm 5=a a

dm 5=b je 12 dm2. Vypočítajte obvod (v decimetroch) tohto trojuholníka.

Riešenie:

vc = 3 dm

a = 5 dm, b = 5 dm

S = 12 dm2

o = x dm________

Zo vzorca pre výpočet obsahu (S) trojuholníka ABC vypočítame dĺžku strany, ku ktorej

prislúcha výška vc (pôjde o výpočet dĺžky strany c, ktorá je základňou daného trojuholníka,

keďže strany a, b sú jeho ramená):


110

S = 2. cvc

12 = 23.c

/.2

24 = 3c

3c = 24 /:3

c = 8 dm


o = a + b + c

o = 5 + 5 + 8

o = 18 dm

Obvod trojuholníka ABC je 18 dm.

Poznámka: Obsah trojuholníka je možné vypočítať využitím i tzv. Herónovho vzorca:

( ) ( ) ( )csbsassS −−−= . . . ,

kde 2

cbas ++= a a, b, c sú dĺžky strán príslušného trojuholníka.

Príklad 141:

Využitím Herónovho vzorca vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových)

trojuholníka ABC so stranami a = 5 dm, b = 5 dm a c = 8 dm.

Riešenie:

a = 5 dm, b = 5 dm, c = 8 dm

S = x dm_________________

Herónov vzorec pre výpočet obsahu trojuholníka: ( ) ( ) ( )csbsassS −−−= . . . ,

kde 2

cbas ++= a a, b, c sú dĺžky strán príslušného trojuholníka.

- pre trojuholník ABC vypočítame s:

s = 2

cba ++

s = dm 92

182

855==

++

- vypočítame obsah (S) trojuholníka ABC:


111

S = ( ) ( ) ( )csbsass −−− . . .

S = ( ) ( ) ( )89 . 59 . 59 . 9 −−−

S = == 1441 . 4 . 4 . 9 12 dm2

Obsah trojuholníka ABC je 12 dm2.

Príklad 142:

Na obrázku je trojuholník ABC umiestnený v súradnicovom systéme. Jednotlivé dieliky

na osiach súradnicového systému majú dĺžku 1 cm.

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) tohto trojuholníka.

Riešenie:

Z obrázka je možné určiť dĺžku strany c a výšku na stranu c (vc) trojuholníka ABC. Platí:

- bodu A prislúcha na vodorovnej osi hodnota 1 a bodu B hodnota 11, teda

vzdialenosť bodu B od bodu A (t.j. dĺžka strany c) je (11 – 1) cm = 10 cm,

- bodu P prislúcha na zvislej osi hodnota –2 a bodu C hodnota 2, teda

vzdialenosť bodu C od bodu P (t.j. výška vc) je ( )[ ]22 −− cm = 4 cm.


S = 2. cvc

S = ==240

24.10 20 cm2

Obsah trojuholníka ABC je 20 cm2.

Príklad 143:

Na obrázku je trojuholník ABC umiestnený v súradnicovom systéme. Jednotlivé dieliky

na osiach súradnicového systému majú dĺžku 1 cm. Vypočítajte (bez zaokrúhľovania)

obsah (v centimetroch štvorcových) tohto trojuholníka.


112

Riešenie:

Z obrázka je možné určiť dĺžku strany c trojuholníka ABC. Platí:

- bodu A prislúcha na vodorovnej osi hodnota –1 a bodu B hodnota 4, teda

vzdialenosť bodu B od bodu A (t.j. dĺžka strany c) je ( )[ ]14 −− cm = 5 cm.

Vyznačme výšku na stranu c (vc) trojuholníka ABC:

Pre úsečku PC, t.j. výšku vc platí:

- bodu P prislúcha na zvislej osi hodnota –1 a bodu C hodnota 2, teda

vzdialenosť bodu C od bodu P (t.j. výška vc) je ( )[ ]12 −− cm = 3 cm.


S = 2. cvc

S = ==2

1523.5 7,5 cm2

Obsah trojuholníka ABC je 7,5 cm2.

Príklad 144:

Na obrázku je trojuholník MNO umiestnený v súradnicovom systéme. Jednotlivé dieliky

na osiach súradnicového systému majú dĺžku 1 cm. Vypočítajte (bez zaokrúhľovania)

obsah (v centimetroch štvorcových) trojuholníka ABC, ak A je stred strany MN, B je

stred strany NO a C je stred strany MO trojuholníka MNO.


113

Riešenie:

Keďže A, B, C sú stredy strán trojuholníka MNO, strany trojuholníka ABC sú stredné priečky

trojuholníka MNO.

Stredné priečky rozdeľujú každý trojuholník na štyri zhodné trojuholníky. Teda trojuholník

ABC je jedným zo štyroch zhodných trojuholníkov, na ktoré je trojuholník MNO jeho

strednými priečkami AB, BC a AC rozdelený. Obsah trojuholníka ABC je jedna štvrtina

z obsahu trojuholníka MNO.

Pre obsah (S1) trojuholníka MNO platí:

S1 = 2

.vMN , kde v je výška na stranu MN trojuholníka MNO

Pre stranu MN trojuholníka MNO platí:

- bodu M prislúcha na vodorovnej osi hodnota 4 a bodu N hodnota 9, teda

vzdialenosť bodu N od bodu M (t.j. dĺžka strany MN) je ( )49 − cm = 5 cm.

Pre úsečku PO, t.j. výšku v trojuholníka MNO platí:

- bodu P prislúcha na zvislej osi hodnota 2 a bodu O hodnota 5, teda vzdialenosť

bodu O od bodu P (t.j. výška v) je ( )25 − cm = 3 cm.

Počítajme:

S1 = 2

.vMN = ==

215

23.5 7,5 cm2

Pre obsah (S2) trojuholníka ABC platí: 2212 cm 875,1cm 5,7

41 z

41

=⋅== SS .

Obsah trojuholníka ABC je 1,875 cm2.


114

11.3 Štvoruholníky

Ø Štvoruholník je rovinný geometrický útvar so štyrmi vnútornými uhlami, štyrmi

vrcholmi a štyrmi stranami.

A, B, C, D - vrcholy štvoruholníka ABCD

a, b, c, d - strany štvoruholníka ABCD

α, β, γ, δ - vnútorné uhly štvoruholníka ABCD

Ø Podľa veľkosti vnútorných uhlov rozlišujeme:

• konvexný štvoruholník,

• nekonvexný štvoruholník.

V konvexnom štvoruholníku má každý z vnútorných uhlov veľkosť menej ako 180°

(a súčasne viac ako 0°).

V nekonvexnom štvoruholníku má jeden z vnútorných uhlov veľkosť viac ako 180°

(a súčasne menej ako 360°) a zvyšné vnútorné uhly sú ostré.

Ø V každom štvoruholníku (v konvexnom i nekonvexnom) platí:

• súčet veľkostí všetkých štyroch vnútorných uhlov štvoruholníka je 360°.


115

Príklad 145:

Zistite, či uhly s danými veľkosťami môžu byť vnútornými uhlami štvoruholníka:

a) 60°, 80°, 100°, 120°,

b) 35°, 75°, 115°, 155°.

Riešenie:

Budeme vychádzať zo skutočnosti, že v každom štvoruholníku je súčet veľkostí jeho

vnútorných uhlov 360°.

a) 60° + 80° + 100° + 120° = 360°

- konštatujeme, že uhly s veľkosťami 60°, 80°, 100° a 120° môžu byť

vnútornými uhlami štvoruholníka

b) 35° + 75° + 115° + 155° = 380°

- konštatujeme, že uhly s veľkosťami 35°, 75°, 115° a 155° nemôžu byť

vnútornými uhlami štvoruholníka

Ø Špeciálnymi prípadmi štvoruholníkov sú rovnobežníky a lichobežníky.

11.3.1 Rovnobežníky

Ø Rovnobežník je štvoruholník, ktorého každé dve protiľahlé strany ležia

na rovnobežných priamkach.

Ø Rovnobežníkmi sú:

• štvorec,

• obdĺžnik,

• kosoštvorec,

• kosodĺžnik.

Ø V každom rovnobežníku platí:

• každé dve protiľahlé strany sú zhodné,

• každé dva protiľahlé vnútorné uhly sú zhodné.


116

Štvorec

Ø Štvorec je rovnobežník, v ktorom sú

• všetky strany zhodné,

• všetky vnútorné uhly pravé.

Úsečky AC a BD sú uhlopriečky štvorca ABCD.

Platí pre ne:

- sú zhodné,

- sú na seba kolmé,

- navzájom sa rozpoľujú.

Bod S je priesečník uhlopriečok AC a BD.

Ø Obvod štvorca je súčet dĺžok jeho strán.

• ak a je dĺžka strán štvorca, potom pre jeho obvod (o) platí:

aaaaao . 4=+++=

ao . 4=

Ø Obsah štvorca je druhá mocnina dĺžky jeho strany.

• ak a je dĺžka strán štvorca, potom pre jeho obsah (S) platí: 2 . aaaS ==

2aS =

Obdĺžnik

Ø Obdĺžnik je rovnobežník, v ktorom sú:

• každé dve protiľahlé strany zhodné,

• všetky vnútorné uhly pravé.

Úsečky AC a BD sú uhlopriečky

obdĺžnika ABCD. Platí pre ne:

- sú zhodné,

- nie sú na seba kolmé,




117

Poznámka: Stranu a obdĺžnika ABCD nazývame dĺžka a stranu b šírka tohto obdĺžnika.

Dĺžke a šírke obdĺžnika hovoríme rozmery obdĺžnika.

Ø Obvod obdĺžnika je súčet dĺžok jeho strán.

• ak a, b, c, d sú dĺžky strán obdĺžnika, potom pre jeho obvod (o) platí:

dcbao +++=

- keďže a = c a b = d, vzťah dcbao +++= je možné upraviť nasledovne:

( )babababadcbao +=+=+++=+++= .2.2.2

( )bao += .2

Ø Obsah obdĺžnika je súčin jeho dĺžky a šírky.

• ak a je dĺžka a b šírka obdĺžnika, potom pre jeho obsah (S) platí:

baS . =

Príklad 146:

Koľkokrát väčší je obvod obdĺžnika so stranami a = 9 cm a b = 3 cm než obvod štvorca

so stranou a = 3 cm?

Riešenie:

strany obdĺžnika: ... a = 9 cm, b = 3 cm

strana štvorca ... a = 3 cm

obvod obdĺžnika je x-krát väčší než obvod štvorca__________

Pre obvod ( 1o ) obdĺžnika so stranami a = 9 cm a b = 3 cm platí:

1o = 2.(a + b)

1o = 2.(9 + 3)

1o = 2 . 12 = 24 cm

Pre obvod ( 2o ) štvorca so stranou a = 3 cm platí:

2o = 4 . a

2o = 4 . 3 = 12 cm

2cm 12:cm 24: 21 === oox

Obvod obdĺžnika je 2-krát väčší než obvod štvorca.


118

Príklad 147:

Koľkokrát väčší je obsah obdĺžnika so stranami a = 9 cm a b = 3 cm než obsah štvorca

so stranou a = 3 cm?

Riešenie:

strany obdĺžnika ... a = 9 cm, b = 3 cm


obsah obdĺžnika je x-krát väčší než obsah štvorca___________

Pre obsah ( 1S ) obdĺžnika so stranami a = 9 cm a b = 3 cm platí:

1S = a . b

1S = 9 . 3 = 27 cm2

Pre obsah ( 2S ) štvorca so stranou a = 3 cm platí:

2S = a2

2S = 32 = 9 cm2

3cm 9:cm 27: 2221 === SSx

Obsah obdĺžnika je 3-krát väčší než obsah štvorca.

Príklad 148:

Obdĺžnik s dĺžkou 8 cm má rovnaký obsah ako štvorec so stranou dlhou 4 cm.

Vypočítajte šírku (v centimetroch) tohto obdĺžnika.

Riešenie:

dĺžka obdĺžnika: ... a = 8 cm


šírka obdĺžnika ... b = x cm

Obsah obdĺžnika je v tomto prípade rovný obsahu štvorca, preto pre oba obsahy použijeme

jednotné označenie S.

Pre obsah (S) štvorca so stranou a = 4 cm platí:

S = a2 S = 42

S = 16 cm2

Pre obsah (S = 16 cm2) obdĺžnika so stranami a = 8 cm a b = x cm platí:


119

S = a . b 16 = 8 . x

8x = 16 /:8 x = 2 cm

Šírka obdĺžnika je 2 cm.

Príklad 149:

Koľkokrát sa zväčší obsah štvorca, ak jeho stranu zväčšíme dvakrát?

Riešenie:

Úlohu je možné riešiť tak, že ako pôvodnú dĺžku strany štvorca zvolíme ľubovoľné kladné

číslo.

Nech pôvodná dĺžka strany štvorca je napr. 1 j (j je označenie pre zvolenú jednotku dĺžky).

Ak túto stranu zväčšíme dvakrát, potom jej dĺžka bude 2 j.

Pre obsah (S1) štvorca so stranou a = 1 j platí:

S1 = a2 = 12 = 1 j2 (j2 je označenie pre príslušnú jednotku plochy).

Pre obsah (S2) štvorca so stranou a = 2 j platí:

S2 = a2 = 22 = 4 j2 (j2 je označenie pre príslušnú jednotku plochy).

Platí: S2 : S1 = 4 : 1 = 4,

teda ak stranu štvorca zväčšíme dvakrát, jeho obsah sa zväčší štyrikrát.

Príklad 150:

Koľkokrát sa zväčší obvod obdĺžnika, ak jeho rozmery zväčšíme dvakrát?

Riešenie:

Úlohu je možné riešiť tak, že ako pôvodnú dĺžku a šírku (t.j. rozmery) obdĺžnika zvolíme

ľubovoľné kladné čísla.

Nech pôvodná dĺžka obdĺžnika je napr. 2 j a pôvodná šírka 3 j. Ak tieto rozmery zväčšíme

dvakrát, potom dĺžka obdĺžnika bude 4 j a šírka 6 j.

Pre obvod (o1) obdĺžnika s rozmermi a = 2 j a b = 3 j platí:

o1 = 2.(a + b) = 2.(2 + 3) = 2.5 = 10 j.

Pre obvod (o2) obdĺžnika s rozmermi a = 4 j a b = 6 j platí:

o2 = 2.(a + b) = 2.(4 + 6) = 2.10 = 20 j.


120

Platí: o2 : o1 = 20 : 10 = 2,

teda ak rozmery obdĺžnika zväčšíme dvakrát, jeho obvod sa zväčší dvakrát.

Príklad 151:

Na obrázku je obdĺžnik PQRS s dĺžkou 10 cm a šírkou 5 cm a v jeho ploche trojuholník

PQX (vrchol X trojuholníka PQX leží na strane RS obdĺžnika PQRS). Vypočítajte obsah

(v centimetroch štvorcových) tohto trojuholníka.

Riešenie:

dĺžka obdĺžnika ... cm 10=PQ

šírka obdĺžnika ... cm 5=QR

obsah trojuholníka PQX ... S = x cm2___

Pri výpočte obsahu (S) trojuholníka PQX využijeme skutočnosť, že šírka obdĺžnika PQRS je

rovná výške (v) na stranu PQ tohto trojuholníka:

Počítajme: S = 2

.vPQ

S = ==2

502

5.10 25 cm2

Obsah trojuholníka PQX je 25 cm2.

Príklad 152:

Na obrázku je štvorec ABCD. Koľko percent z obsahu štvorca ABCD predstavuje obsah

štvorca MNOP, ak M je stred strany AB, N je stred strany BC, O je stred strany CD a

P je stred strany AD štvorca ABCD?


121

Riešenie:

Keďže body M, N, O a P sú stredy strán AB, BC, CD a AD štvorca ABCD, trojuholníky AMP,

MBN, NCO a POD sú zhodné (a teda ich obsahy sa rovnajú).

- súčet obsahov trojuholníkov AMP, MBN, NCO a POD je rovný obsahu štvorca

MNOP, čo je vidieť na obrázku:

- štvorec MNOP je tvorený štyrmi zhodnými trojuholníkmi

MSP, MSN, NSO a PSO (S je stred štvorca MNOP a ABCD),

pričom sú rovnaké ako trojuholníky AMP, MBN, NCO

a POD

Súčet obsahov trojuholníkov AMP, MBN, NCO a POD je rovný obsahu štvorca MNOP

a spolu tvoria obsah štvorca ABCD. Teda obsah štvorca MNOP predstavuje polovicu,

t.j. 50 %, z obsahu štvorca ABCD.

Príklad 153:

Na obrázku je štvorec 4321 AAAA . Stredy jeho strán ( 4321 , , , BBBB ) sú vrcholmi

štvorca 4321 BBBB . Stredy strán štvorca 4321 BBBB ( 4321 , , , CCCC ) sú vrcholmi

štvorca 4321 CCCC .

Vyjadrite zlomkom, akú časť plochy štvorca 4321 AAAA tvorí červená plocha.


122

Riešenie:

Červená plocha je určená súčtom obsahov trojuholníkov 121 BCC , 232 BCC , 343 BCC a 441 BCC .

Súčet obsahov trojuholníkov 121 BCC , 232 BCC , 343 BCC a 441 BCC je rovný obsahu štvorca

4321 CCCC a spolu tvoria obsah štvorca 4321 BBBB , čo je vidieť na obrázku:

- štvorec 4321 CCCC je tvorený štyrmi zhodnými trojuholníkmi

SCC 21 , SCC 32 , SCC 43 a SCC 41 (S je stred štvorcov

4321 CCCC , 4321 BBBB a 4321 AAAA ), pričom sú rovnaké

ako trojuholníky 121 BCC , 232 BCC , 343 BCC a 441 BCC

Platí: červená plocha predstavuje polovicu plochy štvorca 4321 BBBB .

Súčet obsahov trojuholníkov 411 BBA , 212 BBA , 332 BAB a 344 BAB je rovný obsahu štvorca

4321 BBBB a spolu tvoria obsah štvorca 4321 AAAA , čo je vidieť na obrázku:

- štvorec 4321 BBBB je tvorený štyrmi zhodnými trojuholníkmi

41SBB , 21SBB , 32SBB a 34SBB , pričom sú rovnaké ako

trojuholníky 411 BBA , 212 BBA , 332 BAB a 344 BAB

Platí: plocha štvorca 4321 BBBB predstavuje polovicu plochy štvorca 4321 AAAA .

Keďže červená plocha predstavuje polovicu plochy štvorca 4321 BBBB a súčasne plocha

štvorca 4321 BBBB predstavuje polovicu plochy štvorca 4321 AAAA , tak červená plocha tvorí

41 plochy štvorca 4321 AAAA .

Príklad 154:

Pomer dĺžky a šírky obdĺžnika ABCD s obvodom 20 cm je 2:3 . Vypočítajte obsah

(v centimetroch štvorcových) tohto obdĺžnika.


123

Riešenie:

obvod obdĺžnika ... o = 20 cm

pomer dĺžky a šírky obdĺžnika ... 3 : 2

obsah obdĺžnika ... S = x cm2

Keďže obvod obdĺžnika je 20 cm, t.j. a + b + c + d = 20 cm, pričom a = c a b = d, tak

a + b = 10 cm.

Pomer dĺžky a šírky obdĺžnika, t.j. a : b, je 3 : 2, teda dĺžka a je tvorená 3 dielikmi a šírka b 2

dielikmi, pričom na každý z 5 dielikov pripadá rovnaká dĺžka (v cm) a spolu tvoria 10 cm.

- vypočítame, aká dĺžka (v cm) pripadá na jeden dielik:

1 dielik ... 10 cm : 5 = 2 cm

- vypočítame, aká dĺžka (v cm) pripadá na 3 dieliky (získame dĺžku obdĺžnika) a

aká dĺžka (v cm) pripadá na 2 dieliky (získame šírku obdĺžnika):

3 dieliky ... 3 . 2 cm = 6 cm = a

2 dieliky ... 2 . 2 cm = 4 cm = b

Pre obsah obdĺžnika ABCD platí:

S = a . b

S = 6 . 4 = 24 cm2

Obsah obdĺžnika ABCD je 24 cm2.

Kosoštvorec

Ø Kosoštvorec je rovnobežník, v ktorom sú:

• všetky strany zhodné,

• každé dva protiľahlé vnútorné uhly zhodné (dva protiľahlé vnútorné uhly sú tupé a dva

protiľahlé vnútorné uhly sú ostré).


kosoštvorca ABCD. Platí pre ne:

- nie sú zhodné,

- sú na seba kolmé,




124

Ø Obvod kosoštvorca je súčet dĺžok jeho strán.

• ak a je dĺžka strán kosoštvorca, potom pre jeho obvod (o) platí:

aaaaao . 4=+++=

ao . 4=

Ø Obsah kosoštvorca je súčin dĺžky jeho strany a výšky na túto stranu.

• ak a je dĺžka strany kosoštvorca a va je výška na danú stranu, potom pre jeho obsah (S)

platí:

avaS . =

- výška kosoštvorca je úsečka zostrojená z vrcholu kosoštvorca kolmo

na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana daného kosoštvorca

- v kosoštvorci sú výšky na všetky strany zhodné

Kosodĺžnik

Ø Kosodĺžnik je rovnobežník, v ktorom sú:

• každé dve protiľahlé strany zhodné,

• každé dva protiľahlé vnútorné uhly zhodné (dva protiľahlé vnútorné uhly sú tupé a dva

protiľahlé vnútorné uhly sú ostré).


kosodĺžnika ABCD. Platí pre ne:

- nie sú zhodné,





125

Ø Obvod kosodĺžnika je súčet dĺžok jeho strán.

• ak a, b, c, d sú dĺžky strán kosodĺžnika, potom pre jeho obvod (o) platí:

dcbao +++= - keďže a = c a b = d, vzťah dcbao +++= sa dá upraviť nasledovne:

( )babababadcbao +=+=+++=+++= .2.2.2

( )bao += .2

Ø Obsah kosodĺžnika je súčin dĺžky jeho strany a výšky na túto stranu.

• ak a, b sú dĺžky strán kosodĺžnika a va, vb sú výšky na dané strany, potom

pre jeho obsah (S) platí:

ba vbvaS . . ==

- výška kosodĺžnika je úsečka zostrojená z vrcholu kosodĺžnika kolmo

na priamku, na ktorej leží protiľahlá strana daného kosodĺžnika

Príklad 155:

Na obrázku sú rovnobežníky ABCD a PQRS. Vypočítajte, o koľko centimetrov

štvorcových je obsah rovnobežníka ABCD väčší ako obsah rovnobežníka PQRS, ak

mriežka nákresne je tvorená štvorčekmi so stranou dlhou 1 cm.

Riešenie:

Vypočítame obsah (S1) rovnobežníka ABCD – podľa obrázka ide o kosodĺžnik.

- využijeme vzorec avaS .1 = (a je dĺžka strany AB a va výška na stranu AB

rovnobežníka ABCD)


126

Keďže mriežka nákresne je tvorená

štvorčekmi so stranou dlhou 1 cm, dĺžka

strany AB je 3 cm a výška na stranu AB je

3 cm.

Počítajme: 21 cm 93.3. === avaS .

Vypočítame obsah (S2) rovnobežníka PQRS – podľa obrázka ide o kosodĺžnik.

- využijeme vzorec avaS .2 = (a je dĺžka strany PQ a va výška na stranu PQ

rovnobežníka PQRS)

Keďže mriežka nákresne je tvorená štvorčekmi so stranou dlhou 1 cm, dĺžka

strany PQ je 6 cm a výška na stranu PQ je 1 cm.


Vypočítame, o koľko cm2 je obsah rovnobežníka ABCD väčší ako obsah rovnobežníka PQRS:

S1 – S2 = 9 cm2 – 6 cm2 = 3 cm2.

Obsah rovnobežníka ABCD je o 3 cm2 väčší ako obsah rovnobežníka PQRS.

Príklad 156:

Na obrázku je kosodĺžnik ABCD so stranou AB dlhou 10 cm a v jeho ploche obdĺžnik

PBQD so stranou PB dlhou 8 cm a stranou BQ dlhou 5 cm. Vypočítajte obsah

(v centimetroch štvorcových) zelenej plochy.

Riešenie:

strana kosodĺžnika ... |AB| = 10 cm

strany obdĺžnika ... |PB| = 8 cm, |BQ| = 5 cm

obsah zelenej plochy ... S = x cm2____________


127

Označme obsah kosodĺžnika ABCD S1, obsah obdĺžnika PBQD S2 a obsah zelenej plochy S.

- pre obsah (S) zelenej plochy platí: S = S1 – S2

Vypočítame obsah (S1) kosodĺžnika ABCD.

- využijeme vzorec avaS .1 = , kde a je dĺžka strany AB a va výška na stranu AB

kosodĺžnika ABCD (výška na stranu AB kosodĺžnika ABCD je rovná dĺžke

strany BQ obdĺžnika PBQD)


Vypočítame obsah (S2) obdĺžnika PBQD.

- využijeme vzorec baS . 2 = , kde a je dĺžka strany PB a b je dĺžka strany BQ

obdĺžnika PBQD

Počítajme: 22 cm 405.8 . === baS .

Vypočítame obsah (S) zelenej plochy.

S = S1 – S2 = 50 cm2 – 40 cm2 = 10 cm2

Obsah zelenej plochy je 10 cm2.

Príklad 157:

Obvod kosodĺžnika KLMN je 16 dm. Strana KL má dĺžku 50 cm. Vypočítajte dĺžku

(v decimetroch) strany LM.

Riešenie:

|KL| = 50 cm = 5 dm

o = 16 dm

|LM| = x dm_______

Pre obvod (o) kosodĺžnika KLMN platí vzťah o = 2.(a + b), v ktorom a položíme rovné dĺžke

strany KL a b dĺžke strany LM.

o = 2.(a + b)

16 = 2.(5 + b)

16 = 10 + 2b

10 + 2b = 16 /–10

2b = 6 /:2

b = 3 dm

Dĺžka strany LM kosodĺžnika KLMN je 3 dm.


128

Príklad 158:

Na obrázku je štvorec ABCD a v jeho ploche kosodĺžnik AXYZ (vrcholy Y, Z kosodĺžnika

ležia na strane CD štvorca).

Vyjadrite desatinným číslom, akú časť plochy štvorca ABCD tvorí plocha kosodĺžnika

AXYZ, ak mriežka nákresne je tvorená zhodnými štvorčekmi.

Riešenie:

Rozdeľme kosodĺžnik AXYZ na dva (zhodné) trojuholníky AXZ a XYZ. Premiestnime

trojuholník AXZ do pozície trojuholníka XPY (trojuholníky AXZ a XPY sú zhodné).

Dostaneme tak obdĺžnik XPYZ, ktorého plocha je rovnaká ako plocha kosodĺžnika AXYZ.

Obdĺžnik XPYZ je tvorený 10 štvorčekmi nákresne, štvorec ABCD 25 štvorčekmi nákresne.

Teda plocha obdĺžnika XPYZ (resp. kosodĺžnika AXYZ) je =2510 0,4 plochy štvorca ABCD.

Príklad 159:

Vypočítajte obsah kosoštvorca ABCD s uhlopriečkami cm 8=AC a cm 6=BD .

Riešenie:

Uhlopriečky kosoštvorca sú na seba kolmé. Rozdeľujú kosoštvorec na štyri zhodné

pravouhlé trojuholníky (v našom prípade trojuholníky ASB, BSC, CSD a ASD).


129

Obsah (S) kosoštvorca ABCD je súčtom obsahov trojuholníkov

ASB, BSC, CSD a ASD.

Vypočítajme obsah (S*) napr. trojuholníka BSC. Obsah

ostatných trojuholníkov je rovnaký ako obsah trojuholníka BSC.

Využijeme vzťah 2.* CSBS

S = (CS je výška na stranu BS

v trojuholníku BSC).

- keďže uhlopriečky kosoštvorca sa navzájom rozpoľujú, úsečka BS je polovicou

uhlopriečky BD a úsečka CS je polovicou uhlopriečky AC, t.j. cm 326

2===

BDBS

a cm 428

2===

ACCS

- počítajme: 2* cm 62

1224.3

2.

====CSBS

S

Pre obsah (S) kosoštvorca ABCD platí: *.4 SS = = 4.6 cm2 = 24 cm2.

11.3.2 Lichobežníky

Ø Lichobežník je štvoruholník, ktorého dve protiľahlé strany ležia na rovnobežných

priamkach a zvyšné dve protiľahlé strany ležia na rôznobežných priamkach.

• Úsečky AC a BD sú uhlopriečky lichobežníka ABCD. Platí pre ne:

- nie sú zhodné,


- navzájom sa nerozpoľujú.



130

• Strany a, c sú základne lichobežníka ABCD.

- základne každého lichobežníka ležia na rovnobežných priamkach

• Strany b, d sú ramená lichobežníka ABCD.

- ramená každého lichobežníka ležia na rôznobežných priamkach

Ø Z hľadiska veľkosti vnútorných uhlov je špeciálnym prípadom lichobežníka

pravouhlý lichobežník.

V každom pravouhlom lichobežníku je

jedno z ramien kolmé na základne.

Ø Z hľadiska veľkosti strán je špeciálnym prípadom lichobežníka rovnoramenný

lichobežník.

V každom rovnoramennom lichobežníku

sú:

- ramená zhodné úsečky,

- vnútorné uhly pri základniach

zhodné.

V rovnoramennom lichobežníku ABCD (obrázok) platí: |AD| = |BC|, α = β, γ = δ.

Príklad 160:

Na obrázku je lichobežník ABCD určený priamkami p, q, r a s. Vypočítajte veľkosť jeho

vnútorných uhlov, ak φ = 63° a ω = 45°.

Riešenie:

Vnútorné uhly lichobežníka ABCD označme nasledovne:


131

- uhly α a ω sú súhlasné, preto platí: α = ω

α = 45°

- uhly β a φ sú vrcholové, preto platí: β = φ

β = 63°

- uhly δ a ω sú susedné, preto platí: δ + ω = 180°

δ + 45° = 180° /–45°

δ = 135°

- v každom štvoruholníku je súčet veľkostí jeho vnútorných uhlov 360°, preto

platí: α + β + γ + δ = 360°

45° + 63° + γ + 135° = 360°

243° + γ = 360° /–243°

γ = 117°

Príklad 161:

Na obrázku je rovnoramenný lichobežník PQRS s jeho vnútornými uhlami α a γ. Akú

veľkosť má uhol γ, ak veľkosť uhla α je 45°?

Riešenie:

Vnútorný uhol pri vrchole Q lichobežníka PQRS označme β a vnútorný uhol pri vrchole S

označme δ.

- keďže lichobežník PQRS je rovnoramenný, vnútorné uhly pri jeho základniach

sú zhodné, t.j. α = β a γ = δ; teda, ak α = 45°, potom aj β = 45°


132

- v každom štvoruholníku je súčet veľkostí jeho vnútorných uhlov 360°, preto

pre lichobežník PQRS platí:

α + β + γ + δ = 360°

45° + 45° + γ + δ = 360°

90° + γ + δ = 360° /–90°

γ + δ = 270°

Keďže γ + δ = 270° a súčasne γ = δ, tak γ = 270° : 2 = 135° a tiež δ = 270° : 2 = 135°.

Vnútorný uhol γ lichobežníka PQRS má veľkosť 135°.

Príklad 162:

Na obrázku je pravouhlý lichobežník ABCD s jeho vnútornými uhlami α a δ. Akú

veľkosť má uhol α, ak veľkosť uhla δ je 145°?

Riešenie:

Vnútorné uhly pravouhlého lichobežníka ABCD pri vrchole B a pri vrchole C majú veľkosť

90°.

Keďže v každom štvoruholníku je súčet veľkostí jeho vnútorných uhlov 360°,

pre lichobežník ABCD platí:

α + 90° + 90° + δ = 360°

α + 180° + 145° = 360°

α + 325° = 360° /–325°

α = 35°

Vnútorný uhol α lichobežníka ABCD má veľkosť 35°.

Ø Obvod lichobežníka je súčet dĺžok jeho strán.

• ak a, b, c, d sú dĺžky strán lichobežníka, potom pre jeho obvod (o) platí:

dcbao +++=


133

Ø Obsah lichobežníka je polovica zo súčinu jeho výšky a súčtu dĺžok jeho základní.

• ak a, c sú dĺžky základní lichobežníka a v je jeho výška, potom pre jeho obsah (S)

platí:

( )2

. vcaS +=

- výška lichobežníka je úsečka zostrojená z vrcholu lichobežníka kolmo

na priamku, na ktorej leží protiľahlá základňa daného lichobežníka

Príklad 163:

Určte najmenší počet krokov s dĺžkou 50 cm, ktorými je možné prejsť po obvode

pozemku tvaru rovnoramenného lichobežníka so základňami dlhými 60 m a 20 m a

ramenom dlhým 40 m.

Riešenie:

základne lichobežníka ... a = 60 m

c = 20 m

ramená lichobežníka ... b = 40 m

d = 40 m

dĺžka kroku ... 50 cm = 0,5 m

počet krokov ... x ______

Pre najmenší počet krokov (x), ktorými je možné prejsť po obvode pozemku, platí:

x = obvod pozemku : dĺžka kroku

(obvod pozemku a dĺžka kroku musia byť vyjadrené v rovnakých jednotách dĺžky).

- pre výpočet obvodu (o) pozemku využijeme vzorec o = a + b + c + d

(b = d, keďže pozemok má tvar rovnoramenného lichobežníka)

Počítajme: o = a + b + c + d = 60 + 40 + 20 + 40 = 160 m.

Najmenší počet krokov (x), ktorými je možné prejsť po obvode pozemku, je:

x = obvod pozemku : dĺžka kroku = 160 m : 0,5 m = 320.


134

Príklad 164:

Najviac koľko stromčekov je možné vysadiť na pozemku tvaru pravouhlého

lichobežníka so základňami dlhými 60 m a 20 m a ramenom kolmým na základne

s dĺžkou 40 m, ak pre každý stromček je potrebné vyhradiť plochu 10 m2?

Riešenie:

základne lichobežníka ... a = 60 m

c = 20 m

rameno lichobežníka ... d = 40 m

plocha vyhradená pre každý stromček ... 10 m2

počet stromčekov ... x_______

Pre maximálny počet stromčekov (x), ktoré je možné vysadiť na pozemku, platí:

x = výmera pozemku : plocha vyhradená pre každý stromček

(výmera pozemku a plocha vyhradená pre každý stromček musia byť vyjadrené v rovnakých

jednotkách plochy).

- pre výpočet výmery (S) pozemku využijeme vzorec ( )

2.vcaS +

=

( dv = , keďže v pravouhlom lichobežníku je rameno kolmé na základne

výškou tohto lichobežníka)

Počítajme: ( ) ( ) 2m 16002

3200240.80

240.2060

2.

===+

=+

=vcaS .

Maximálny počet stromčekov (x), ktoré je možné vysadiť na pozemku, je:

x = výmera pozemku : plocha vyhradená pre každý stromček = 1600 m2 : 10 m2 = 160.

Príklad 165:

Na obrázku je lichobežník ABCD so základňou CD dlhou 22 cm a v jeho ploche štvorec

ABPQ. Body P a Q rozdeľujú základňu CD lichobežníka ABCD na úsečky CP, PQ a QD,

ktorých dĺžky sú v pomere 3:5:3 . Určte pomer (v základnom tvare), v akom sú obsah

zelenej plochy a obsah lichobežníka ABCD.


135

Riešenie:

základňa lichobežníka ... |CD| = 22 cm

pomer dĺžok úsečiek CP, PQ a QD ... 3:5:3

obsah zelenej plochy ... S = x cm2___

v Vypočítame dĺžku úsečiek CP, PQ a QD, na ktoré je rozdelená základňa CD

lichobežníka.

• 3:5:3:: =QDPQCP , teda základňa CD (s dĺžkou 22 cm) je tvorená 11 dielikmi

- na 1 dielik pripadá dĺžka 22 cm : 11 = 2 cm

- na 3 dieliky pripadá dĺžka 3 . 2 cm = 6 cm, teda dĺžka úsečiek CP a QD je 6 cm

- na 5 dielikov pripadá dĺžka 5 . 2 cm = 10 cm, teda dĺžka úsečky PQ je 10 cm

Označme obsah zelenej plochy S1 a obsah lichobežníka ABCD S2.

v Vypočítame obsah (S2) lichobežníka ABCD.

• využijeme vzorec ( )

2.

2vcaS +

= , kde a je dĺžka základne AB (základňa AB

lichobežníka ABCD je súčasne strana štvorca ABPQ), c je dĺžka základne CD

lichobežníka ABCD a v je jeho výška (výška lichobežníka ABCD je rovná dĺžke strany

štvorca ABPQ)

- dĺžka strany štvorca ABPQ je 10 cm (vypočítali sme totiž, že |PQ| = 10 cm)

Počítajme: ( ) ( )2

320210.32

210.2210

2.

2 ==+

=+

=vcaS = 160 cm2.

v Vypočítame obsah (S1) zelenej plochy. Platí: 321 SSS −= , kde S3 je obsah štvorca

ABPQ.

• pre výpočet obsahu (S3) štvorca ABPQ využijeme vzorec 23 aS = , kde a je dĺžka

strany štvorca ABPQ

Počítajme: 2223 cm 10010 === aS .

• pre obsah (S1) zelenej plochy platí:

321 SSS −= = 160 cm2 – 100 cm2 = 60 cm2.

v Porovnáme obsah zelenej plochy a obsah lichobežníka ABCD:

• S1 : S2 = 60 : 160 = 3 : 8

Pomer, v akom sú obsah zelenej plochy a obsah lichobežníka ABCD, je 3 : 8.


136

11.4 Mnohouholníky

Ø Mnohouholník, resp. n-uholník (n ≥ 3, n je prirodzené číslo) je rovinný geometrický

útvar s n vnútornými uhlami, n vrcholmi a n stranami.

• pre n = 3 hovoríme o trojuholníku,

• pre n = 4 hovoríme o štvoruholníku,

• pre n = 5 hovoríme o päťuholníku atď.

Ø Z hľadiska veľkosti vnútorných uhlov rozlišujeme mnohouholníky konvexné a

nekonvexné.

• v konvexnom mnohouholníku má každý z vnútorných uhlov veľkosť menej ako 180°

(a súčasne viac ako 0°)

• v nekonvexnom mnohouholníku má aspoň jeden z vnútorných uhlov veľkosť viac ako

180° (a súčasne menej ako 360°)

Poznámka: Každý trojuholník je konvexný.

Každý štvoruholník môže mať najviac jeden vnútorný uhol s veľkosťou viac

ako 180° (a súčasne menej ako 360°).

Ø Z hľadiska veľkosti vnútorných uhlov a dĺžky strán rozlišujeme mnohouholníky

pravidelné a nepravidelné.


137

• v pravidelnom mnohouholníku sú všetky vnútorné uhly a všetky strany zhodné

V školskej matematike sa často stretávame s týmito pravidelnými mnohouholníkmi:

pravidelný trojuholník (t.j. rovnostranný trojuholník)

- nemá ani jednu uhlopriečku

pravidelný štvoruholník (t.j. štvorec)

- má 2 uhlopriečky

- S je stred oboch uhlopriečok

pravidelný päťuholník

- má 5 uhlopriečok

pravidelný šesťuholník

- má 9 uhlopriečok,

- uhlopriečky, ktoré spájajú protiľahlé vrcholy, sa

pretínajú v bode S a rozdeľujú pravidelný šesťuholník

na šesť zhodných rovnostranných trojuholníkov,

- S je stred uhlopriečok, ktoré spájajú protiľahlé vrcholy

pravidelný osemuholník

- má 20 uhlopriečok,

- uhlopriečky, ktoré spájajú protiľahlé vrcholy, sa

pretínajú v bode S a rozdeľujú pravidelný osemuholník

na osem zhodných rovnoramenných trojuholníkov,

- S je stred uhlopriečok, ktoré spájajú protiľahlé vrcholy

• v nepravidelnom mnohouholníku sú vnútorné uhly a strany rôzne


138

Príklad 166:

Na obrázku je pravidelný dvanásťuholník. Určte veľkosť uhlov α, β, γ.

Riešenie:

Pravidelný dvanásťuholník je uhlopriečkami, ktoré spájajú protiľahlé vrcholy,

rozdelený na dvanásť zhodných rovnoramenných trojuholníkov.

• vnútorné uhly (medzi nimi i uhol α) ležiace oproti základni každého z týchto

trojuholníkov tvoria plný uhol, t.j. uhol s veľkosťou 360°:

- pre veľkosť uhla α platí: α = 360° : 12 = 30°

- uhol β je súčtom piatich vnútorných uhlov

s veľkosťou 30°, preto platí: β = 30° . 5 = 150°

• za účelom určenia veľkosti uhla γ vezmeme do úvahy jeden zo zhodných

rovnoramenných trojuholníkov tvoriacich daný dvanásťuholník:

- v každom rovnoramennom trojuholníku sú

vnútorné uhly pri základni zhodné, preto pre uhol

γ platí: γ = (180° – 30°) : 2 = 150 ° : 2 = 75°

Príklad 167:

Aký uhol (v stupňoch) zvierajú veľká a malá ručička hodín, keď ukazujú čas

a) 4:00,

b) 8:30?

Riešenie:

Ciferník hodín môžeme znázorniť ako pravidelný dvanásťuholník, ktorého vrcholy sú

označené číslami od 1 po 12.


139

a) Označme uhol, ktorý zvierajú veľká a malá ručička

hodín, keď ukazujú čas 4:00, α.

Uhol α je tvorený štyrmi uhlami, z ktorých každý

má veľkosť 30° (pozri príklad 166). Teda uhol,

ktorý zvierajú veľká a malá ručička hodín, keď

ukazujú čas 4:00, je α = 30° . 4 = 120°.

b) Označme uhol, ktorý zvierajú veľká a malá ručička

hodín, keď ukazujú čas 8:30, β. Malá ručička sa

nachádza v pozícii, v ktorej na spojnici vrcholov

VIII a IX určuje jej stred.

Uhol β je tvorený tromi uhlami, z ktorých dva

majú veľkosť 30° a jeden 15°. Teda uhol, ktorý

zvierajú veľká a malá ručička hodín, keď ukazujú

čas 8:30, je β = 30° + 30° + 15° = 75°.

Príklad 168:

Na obrázku je pravidelný šesťuholník ABCDEF. Bod S je priesečník uhlopriečok, ktoré

spájajú jeho protiľahlé vrcholy. Určte veľkosť uhlov ABC a ASE.

Riešenie:

Pravidelný šesťuholník je uhlopriečkami, ktoré spájajú protiľahlé vrcholy, rozdelený

na šesť zhodných rovnostranných trojuholníkov (ich vnútorné uhly majú veľkosť 60°).

Uhol ABC je tvorený dvomi uhlami s veľkosťou 60°, preto jeho

veľkosť je 60° . 2 = 120°.

Uhol ASE je tvorený štyrmi uhlami s veľkosťou 60°, preto jeho

veľkosť je 60° . 4 = 240°.


140

Príklad 169:

Na obrázku je pravidelný šesťuholník ABCDEF. Úsečka CF má dĺžku 10 cm.

Vypočítajte obvod (v centimetroch) šesťuholníka ABCDEF.

Riešenie:

Obvod každého mnohouholníka je súčet dĺžok jeho strán.

V pravidelnom šesťuholníku má jeho šesť strán rovnakú dĺžku (označ.: a). Preto

jeho obvod (o) vypočítame podľa vzťahu: o = 6 . a.

Vypočítame dĺžku strany a pravidelného šesťuholníka ABCDEF.

Uhlopriečkami (jednou z nich je úsečka CF), ktoré spájajú protiľahlé vrcholy, je rozdelený

na šesť zhodných rovnostranných trojuholníkov.

Priesečník uhlopriečok S rozdeľuje úsečku CF s dĺžkou 10 cm

na úsečky CS a FS, pričom každá má dĺžku 5 cm.

- úsečka CS s dĺžkou 5 cm je stranou rovnostranného

trojuholníka CSD; teda všetky strany trojuholníka CSD

(vrátane strany CD, ktorá je súčasne stranou

pravidelného šesťuholníka ABCDEF) majú dĺžku 5 cm

Každá zo strán pravidelného šesťuholníka ABCDEF má dĺžku a = 5 cm. Pre jeho obvod (o)

platí: o = 6 . a = 6 . 5 = 30 cm.

Príklad 170:

Na obrázku je pravidelný osemuholník ABCDEFGH. Bod S je priesečník uhlopriečok,

ktoré spájajú jeho protiľahlé vrcholy. Koľko percent (bez zaokrúhľovania) z plochy

osemuholníka ABCDEFGH predstavuje zelená plocha?


141

Riešenie:

Pravidelný osemuholník je uhlopriečkami, ktoré spájajú protiľahlé vrcholy, rozdelený

na osem zhodných rovnoramenných trojuholníkov.

Zelená plocha je tvorená piatimi trojuholníkmi, plocha osemuholníka

ôsmimi trojuholníkmi.

- označme x počet percent, ktoré predstavuje päť trojuholníkov

z ôsmich; platí:

100 % ... 8 trojuholníkov

1% ... 8 : 100 = 0,08 trojuholníkov

x ... 5 : 0,08 = 62,5 %

Zelená plocha predstavuje 62,5 % z plochy osemuholníka ABCDEFGH.

11.5 Kružnice a kruhy

Ø Kružnica je množina bodov roviny, ktoré majú od pevne zvoleného bodu danej roviny

vzdialenosť rovnú číslu r (r > 0, r je reálne číslo).

- „pevne zvoleným bodom“ (danej roviny)

je bod S, ktorý je stredom kružnice

- všetky body (danej roviny), ktoré majú

od pevne zvoleného bodu S vzdialenosť

rovnú číslu r, tvoria kružnicu k

- číslo r ako aj úsečku SC (ktorej dĺžka je r)

nazývame polomer kružnice k

- číslo d ( rd .2= ) ako aj úsečku AB (ktorej

dĺžka je d a bod S je jej stred) nazývame

priemer kružnice k

• kružnicu k so stredom S a polomerom r zapisujeme: ( )rSk ;

Ø Kruh je množina bodov roviny, ktoré majú od pevne zvoleného bodu danej roviny

vzdialenosť menšiu alebo rovnú číslu r (r > 0, r je reálne číslo).


142

- „pevne zvoleným bodom“ (danej roviny)

je bod S, ktorý je stredom kruhu

- všetky body (danej roviny), ktoré majú

od pevne zvoleného bodu S vzdialenosť

menšiu alebo rovnú číslu r, tvoria kruh K

- číslo r ako aj úsečku SC (ktorej dĺžka je r)

nazývame polomer kruhu K

- číslo d ( rd .2= ) ako aj úsečku AB (ktorej

dĺžka je d a bod S je jej stred) nazývame

priemer kruhu K

• kruh K so stredom S a polomerom r zapisujeme: ( )rSK ;

11.5.1 Vzájomná poloha kružníc

Ø V závislosti od polomerov 1r a 2r a vzdialenosti stredov 1S a 2S môžu mať dve

kružnice ( )111 ;rSk a ( )222 ;rSk ležiace v spoločnej rovine tieto polohy:

• kružnice ležia mimo seba

- kružnice k1 a k2 nemajú spoločný bod

• kružnice sa dotýkajú zvonka

- bod T je jediný spoločný bod kružníc

k1 a k2

• kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch

- body T1 a T2 sú spoločné body kružníc

k1 a k2


143

• kružnice sa dotýkajú zvnútra

- bod T je jediný spoločný bod kružníc

k1 a k2

• jedna kružnica leží vo vnútri druhej a nemajú spoločný bod


• kružnice majú spoločný stred ( )21 SSS ==


Ø Kružnice majúce spoločný stred nazývame sústredné kružnice.

• sústredné kružnice s rovnakým polomerom splývajú, resp. sú totožné a majú spoločné

všetky svoje body

Príklad 171:

Na obrázku sú kružnice ( )cm 8 ; 111 =rSk a ( )cm 6 ; 222 =rSk , ktoré sa pretínajú

v bodoch X a Y. Bod A je bodom kružnice k2 a bod B je bodom kružnice k1, pričom oba

tieto body ležia na spojnici stredov daných kružníc. Úsečka AB má dĺžku 2 cm.

Vypočítajte dĺžku (v centimetroch)

a) úsečky S1A,

b) úsečky S2B,

c) úsečky S1S2.


144

Riešenie:

a) Keďže polomer kružnice k1 je r1 = 8 cm, t.j. |S1B| = 8 cm a |AB| = 2 cm, tak pre |S1A|

platí: |S1A| = |S1B| – |AB| = 8 cm – 2 cm = 6 cm.

b) Keďže polomer kružnice k2 je r2 = 6 cm, t.j. |S2A| = 6 cm a |AB| = 2 cm, tak pre |S2B|

platí: |S2B| = |S2A| – |AB| = 6 cm – 2 cm = 4 cm.

c) Keďže |S1A| = 6 cm, |S2B| = 4 cm a |AB| = 2 cm, tak pre |S1S2| platí:

|S1S2| = |S1A| + |AB| + |S2B| = 6 cm + 2 cm + 4 cm = 12 cm.

Príklad 172:

Dané sú kružnice ( )cm 9 ; 111 =rSk a ( )cm 3 ; 222 =rSk , ktoré sa dotýkajú zvnútra.

Vypočítajte vzdialenosť (v centimetroch) stredov týchto kružníc.

Riešenie:

- spoločný bod kružníc k1 a k2 označme X

- priesečník kružnice k2 a spojnice stredov S1 a S2 kružníc

k1 a k2 označme A

Platí, že body S1, A, S2 a X ležia na jednej priamke.

Vzdialenosť stredov S1 a S2 kružníc k1 a k2 je dĺžka úsečky S1S2.

Keďže polomer kružnice k1 je r1 = 9 cm, t.j. |S1X| = 9 cm a polomer kružnice k2 je r2 = 3 cm,

t.j. |S2X| = 3 cm, tak pre vzdialenosť stredov S1 a S2, t.j. |S1S2| platí:

|S1S2| = |S1X| – |S2X| = r1 – r2 = 9 cm – 3 cm = 6 cm.

Príklad 173:

Na obrázku sú sústredné kružnice ( )cm 5 ; 11 =rSk a ( )cm 3 ; 22 =rSk .

Vypočítajte dĺžku (v centimetroch)

a) úsečky AB,

b) úsečky BC,

ak body A, B, C, D a S ležia na jednej priamke.


145

Riešenie:

a) Pre |AB| platí:

|AB| = |SB| – |SA| = r1 – r2 = 5 cm – 3 cm = 2 cm.

b) Pre |BC| platí:

|BC| = |SB| + |SC| = r1 + r2 = 5 cm + 3 cm = 8 cm.

11.5.2 Vzájomná poloha kružnice a priamky

Skôr, než objasníme problematiku vzájomnej polohy kružnice a priamky, zmienime sa

o vzdialenosti dvoch rôznych bodov, vzdialenosti bodu od priamky a vzdialenosti dvoch

rovnobežných rôznych priamok.

• Vezmime do úvahy dva rôzne body A a B.

Zostrojme úsečku AB.

Vzdialenosť bodov A a B je dĺžka úsečky AB.

• Vezmime do úvahy bod A a priamku p, pričom bod A neleží na priamke p.

Zostrojme priamku q, ktorá prechádza bodom A a je kolmá na priamku p.

Priesečník priamok p a q označme P.

Vzdialenosť bodu A od priamky p je dĺžka úsečky AP.

• Vezmime do úvahy dve rovnobežné rôzne priamky p a q.

Zostrojme priamku r, ktorá je kolmá na priamky p a q.

Priesečník priamok p a r označme P a priesečník priamok q a r označme Q.

Vzdialenosť priamok p a q je dĺžka úsečky PQ.


146

Ø Kružnica ( )rSk ; a priamka p ležiace v spoločnej rovine môžu mať tieto polohy:

• priamka p je sečnica kružnice k

Body X a Y sú spoločné body kružnice k a priamky p.

- dĺžka úsečiek SX a SY je rovná polomeru r

kružnice k

Vezmime do úvahy úsečku SA kolmú na priamku p

(bod A nech leží na kružnici k).

- dĺžka úsečky SP (bod P je priesečník priamky p

a úsečky SA) je vzdialenosť stredu S kružnice

k od priamky p

Poznámka: Úsečka, ktorej krajné body ležia na kružnici, je tetiva danej kružnice.

- úsečky AB, CD a EF (obrázok) sú tetivy

kružnice k,

- každá kružnica má nekonečne veľa tetív,

- tetiva, ktorá prechádza stredom kružnice,

je najdlhšia tetiva a jej dĺžka je rovná

priemeru danej kružnice

• priamka p je dotyčnica ku kružnici k

Bod X je jediný spoločný bod kružnice k a priamky p

(nazývame ho bod dotyku dotyčnice ku kružnici).

- dĺžka úsečky SX je rovná polomeru r kružnice k,

- úsečka SX je kolmá na priamku p,

- dĺžka úsečky SX je vzdialenosť stredu S kružnice

k od priamky p


147

• priamka p je nesečnica kružnice k

Kružnica k a priamka p nemajú spoločný bod.

Vezmime do úvahy úsečku SP kolmú na priamku p

(bod P nech leží na priamke p).

- dĺžka úsečky SP je vzdialenosť stredu S kružnice

k od priamky p

Príklad 174:

Daná je kružnica k so stredom S a jej tetiva AB s dĺžkou 8 cm. Vzdialenosť stredu

S kružnice k od tetivy AB je 3 cm.

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) trojuholníka ABS.

Riešenie:

V trojuholníku ABS je známa dĺžka strany AB a výška

(v) na stranu AB.

- strana AB trojuholníka ABS je tetiva kružnice k,

- výška na stranu AB trojuholníka ABS je

vzdialenosť stredu S kružnice k od tetivy AB,

čo je dĺžka úsečky SP

Pre obsah (S) trojuholníka ABS platí:

2

.vABS = = ==

224

23.8 12 cm2.

Obsah trojuholníka ABS je 12 cm2.

Príklad 175:

Daná je kružnica k so stredom S a jej tetivy AB s dĺžkou 4 cm a CD s dĺžkou 2 cm.

Vzdialenosť stredu S kružnice k od tetivy AB je 1 cm a vzdialenosť stredu S kružnice

k od tetivy CD je 2 cm. Tetivy AB a CD sú navzájom rovnobežné.

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) štvoruholníka ABCD.

Riešenie:


148

Štvoruholník ABCD je lichobežník. Známa je v ňom

dĺžka základní AB a CD a výška (v).

- základne AB a CD lichobežníka ABCD sú tetivy

kružnice k,

- výška lichobežníka ABCD je tvorená úsečkou

SP1 (ktorej dĺžka je vzdialenosť stredu S kružnice

k od tetivy AB) a úsečkou SP2 (ktorej dĺžka je

vzdialenosť stredu S kružnice k od tetivy CD), t.j.

21 SPSPv += = 1 cm + 2 cm = 3 cm

Pre obsah (S) štvoruholníka ABCD platí:

( )

2. vCDAB

S+

= = ( )===

+2

1823.6

23.24

9 cm2.

Obsah štvoruholníka ABCD je 9 cm2.

Príklad 176:

Daná je kružnica ( )dm 2 ; =rSk a jej dotyčnice t1 a t2, ktoré sú na seba kolmé.

Vypočítajte obsah (v decimetroch štvorcových) trojuholníka ABS, ak bod A je bod

dotyku dotyčnice t1 ku kružnici k a bod B je bod dotyku dotyčnice t2 ku kružnici k.

Riešenie:

Trojuholník ABS je pravouhlý s pravým uhlom

pri vrchole S. Vyplýva to zo skutočnosti, že všetky

vnútorné uhly štvoruholníka APBS sú pravé. Totiž platí:

- úsečka SA je kolmá na dotyčnicu t1 a úsečka SB je

kolmá na dotyčnicu t2, keďže v každej kružnici

je spojnica stredu kružnice a bodu dotyku jej

dotyčnice kolmá na príslušnú dotyčnicu,

- úsečky AP a BP (P je priesečník dotyčníc t1 a t2)

sú na seba kolmé, keďže dotyčnice t1 a t2 sú

na seba kolmé,

- ak sú vnútorné uhly pri vrcholoch A, P a B

štvoruholníka APBS pravé, potom musí byť pravý

i vnútorný uhol pri vrchole S


149

V trojuholníku ABS je známa dĺžka strany SA a dĺžka strany SB. Obe sú rovné polomeru

r = 2 dm kružnice k. Strana SA je výška na stranu SB trojuholníka ABS.

Pre obsah (S) trojuholníka ABS platí:

2. SASB

S = = ==24

22.2

2 dm2.

Obsah trojuholníka ABS je 2 dm2.

11.5.3 Kružnica opísaná a vpísaná mnohouholníku

Ø Pre niektoré mnohouholníky existuje kružnica, na ktorej ležia všetky ich vrcholy.

Kružnici s touto vlastnosťou hovoríme kružnica opísaná mnohouholníku.

- kružnica k je kružnica opísaná

päťuholníku ABCDE,

- dĺžka úsečiek AS, BS, CS, DS a

ES (bod S je stred kružnice k) je

rovná polomeru kružnice k

• pre každý trojuholník a pravidelný mnohouholník existuje jemu opísaná kružnica

Ø Pre niektoré mnohouholníky existuje kružnica, ktorá má spoločný práve jeden bod

s každou ich stranou. Kružnici s touto vlastnosťou hovoríme kružnica vpísaná

mnohouholníku.

- kružnica k je kružnica vpísaná

štvoruholníku KLMN,

- dĺžka úsečiek T1S, T2S, T3S a T4S

(bod S je stred kružnice k) je rovná

polomeru kružnice k

• pre každý trojuholník a pravidelný mnohouholník existuje jemu vpísaná kružnica


150

Príklad 177:

Polomer kružnice k opísanej štvorcu ABCD je cm 2=r . Vypočítajte obsah

(v centimetroch štvorcových) štvorca ABCD.

Riešenie:

Vo štvorci ABCD je známa dĺžka úsečiek AS, BS, CS a

DS. Je rovná polomeru r = 2 cm kružnice k.

Štvorec ABCD je svojimi uhlopriečkami AC a BD

rozdelený na štyri zhodné pravouhlé trojuholníky

ABS, BCS, CDS a ADS. Jeho obsah vypočítame ako

súčet obsahov týchto trojuholníkov.

Keďže trojuholníky ABS, BCS, CDS a ADS sú zhodné, ich obsah je rovnaký. Označme ho S*.

Pri výpočte S* budeme vychádzať napr. z trojuholníka CDS.

- strana DS je výška na stranu CS trojuholníka CDS

Platí: 2.

*DSCS

S = = ==24

22.2 2 cm2.

Pre obsah (S) štvorca ABCD platí:

S = 4 . S* = 4 . 2 = 8 cm2.

Obsah štvorca ABCD je 8 cm2.

Príklad 178:

Polomer kružnice k vpísanej štvorcu ABCD je cm 2=r . Vypočítajte obsah

(v centimetroch štvorcových) štvorca ABCD.

Riešenie:

Vo štvorci ABCD je známa dĺžka úsečiek S1S, S2S, S3S

a S4S. Je rovná polomeru r = 2 cm kružnice k.

Úsečka S1S3, resp. S2S4 má rovnakú dĺžku ako každá

strana štvorca ABCD.

- platí: =+=+= cm 2cm 23131 SSSSSS cm 4

Pre obsah (S) štvorca ABCD so stranou a = 4 cm platí: S = a2 = 42 = 16 cm2.

Obsah štvorca ABCD je 16 cm2.


151

11.5.4 Tálesova kružnica

Ø Vezmime do úvahy úsečku AB.

Zostrojme stred S úsečky AB.

Zostrojme kružnicu k so stredom S a polomerom AS, resp. BS.

Hovoríme, že nad úsečkou AB sme zostrojili Tálesovu kružnicu k.

V Tálesovej kružnici k zostrojenej nad úsečkou

AB platí:

ak X je ľubovoľný bod (rôzny od bodov A, B)

kružnice k, potom uhol AXB je pravý.

- dĺžka úsečky AB je rovná priemeru

kružnice k

Príklad 179:

Daný je trojuholník ABC a jemu opísaná kružnica k so stredom S. Strana AB

trojuholníka ABC je priemerom kružnice k. Určte veľkosť vnútorného uhla ACB

trojuholníka ABC.

Riešenie:

Vrcholy trojuholníka ABC ležia na kružnici k, pretože

kružnica k je danému trojuholníku opísaná.

Úsečka AB je priemerom kružnice k (stred S kružnice k je

teda stredom úsečky AB). Z toho vyplýva, že kružnica k

je Tálesova kružnica zostrojená nad úsečkou AB.

Keďže kružnica k je Tálesova kružnica zostrojená

nad úsečkou AB, vnútorný uhol ACB (jeho vrcholom je

bod C) trojuholníka ABC má veľkosť 90°.

Príklad 180:

Na obrázku je štvoruholník ABCD a jemu opísaná kružnica k. Úsečka AC je priemerom

kružnice k. Vypočítajte veľkosť vnútorného uhla BAD štvoruholníka ABCD, ak jeho

vnútorný uhol BCD má veľkosť 119°.


152

Riešenie:

Úsečka AC je priemerom kružnice k (stred S kružnice k je teda stredom úsečky AC). Z toho

vyplýva, že kružnica k je Tálesova kružnica zostrojená nad úsečkou AC.

Keďže kružnica k je Tálesova kružnica zostrojená nad úsečkou AC, vnútorný uhol ABC (jeho

vrcholom je bod B) a vnútorný uhol ADC (jeho vrcholom je bod D) štvoruholníka ABCD

majú veľkosť 90°.

V každom štvoruholníku je súčet veľkostí jeho vnútorných uhlov 360°, preto v štvoruholníku

ABCD platí:

BCDADCABCBAD ≤+≤+≤+≤ = 360°

°+°+°+≤ 1199090BAD = 360°

°+≤ 299BAD = 360° /–299°

BAD≤ = 61°

Veľkosť vnútorného uhla BAD štvoruholníka ABCD je 61°.

11.5.5 Dĺžka kružnice, obvod a obsah kruhu

Ø Výpočet obvodu kruhu a dĺžky kružnice spočíva na rovnakom princípe.

V prípade kružnice však nehovoríme o jej obvode, ale uprednostňujeme pojem dĺžka.

• už v staroveku bolo známe, že podiel dĺžky ľubovoľnej kružnice (resp. obvodu

ľubovoľného kruhu) a jej (resp. jeho) priemeru je číslo s približnou hodnotou 3,14

Označme o1 dĺžku kružnice k1 s priemerom d1

a o2 dĺžku kružnice k2 s priemerom d2.

Platí: o1 : d1 =& 3,14,

o2 : d2 =& 3,14.


153

• číslo, ktoré je podielom dĺžky ľubovoľnej kružnice (resp. obvodu ľubovoľného kruhu)

a jej (resp. jeho) priemeru, nazývame Ludolfovo číslo a označujeme π

- číslo π je iracionálne číslo,

- v školskej matematike sa používa približná hodnota 3,14 čísla π

Ø Dĺžka kružnice, resp. obvod kruhu je súčin Ludolfovho čísla a priemeru tejto

kružnice, resp. tohto kruhu.

• ak d je priemer kružnice, resp. kruhu, potom pre jej dĺžku, resp. jeho obvod (o) platí:

. do π= - keďže rd .2= , kde r je polomer kružnice, resp. kruhu, vzťah do . π= sa dá

upraviť nasledovne: rdo . π. 2 . π ==

Ø Obsah kruhu je súčin Ludolfovho čísla a druhej mocniny polomeru tohto kruhu.

• ak r je polomer kruhu, potom pre jeho obsah (S) platí: 2 . π rS =

Poznámka: Kružnica nemá plochu, preto o obsahu kružnice nemá zmysel uvažovať.

Počítať je však možné obsah plochy, ktorú kružnica v rovine, v ktorej leží,

ohraničuje.

plocha ohraničená kružnicou k

Príklad 181:

Vypočítajte obvod (v centimetroch) kruhu K, ak

a) jeho polomer je r = 2 cm,

b) jeho priemer je d = 2 cm.

Pre Ludolfovo číslo π použite približnú hodnotu 3,14. Výsledok uveďte v tvare desatinného

čísla bez zaokrúhľovania.

Riešenie:

a) Pre výpočet obvodu (o) kruhu K s polomerom r = 2 cm využijeme vzorec o = 2.π.r.

Počítajme: o = 2.π.r = 2.3,14.2 = 12,56 cm.

b) Pre výpočet obvodu (o) kruhu K s priemerom d = 2 cm využijeme vzorec o = π.d.

Počítajme: o = π.d = 3,14.2 = 6,28 cm.


154

Príklad 182:

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) kruhu K, ak

a) jeho polomer je r = 2 cm,

b) jeho priemer je d = 2 cm.

Pre Ludolfovo číslo π použite približnú hodnotu 3,14. Výsledok uveďte v tvare desatinného

čísla bez zaokrúhľovania.

Riešenie:

a) Pre výpočet obsahu (S) kruhu K s polomerom r = 2 cm využijeme vzorec S = π.r2.

Počítajme: S = π.r2 = 3,14.22 = 3,14.4 = 12,56 cm2.

b) Pre výpočet obsahu (S) kruhu K s priemerom d = 2 cm využijeme vzorec S = π.r2.

- keďže d = 2 cm, tak r = 1 cm

Počítajme: S = π.r2 = 3,14.12 = 3,14.1 = 3,14 cm2.

Ø Vezmime do úvahy sústredné kružnice ( )11 ;rSk a ( )22 ;rSk , pričom r1 > r2. Spoločnú

rovinu, v ktorej obe kružnice ležia, označme ω.

Množinu bodov roviny ω, ktoré majú od bodu S vzdialenosť väčšiu alebo rovnú číslu

r2 a súčasne menšiu alebo rovnú číslu r1, nazývame medzikružie ohraničené

kružnicami k1 a k2.

ω

medzikružie ohraničené kružnicami k1 a k2

Príklad 183:

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) medzikružia ohraničeného sústrednými

kružnicami, z ktorých jedna má polomer 1 dm a druhá 1 cm.

Pre Ludolfovo číslo π použite približnú hodnotu 3,14. Počítajte s desatinnými číslami

bez zaokrúhľovania a v tvare desatinného čísla bez zaokrúhľovania ponechajte i výsledok.


155

Riešenie:

cm 10dm 11 ==r

cm 12 =r

obsah medzikružia ... x cm2

Obsah medzikružia ohraničeného sústrednými kružnicami vypočítame ako rozdiel

obsahu plochy ohraničenej kružnicou s väčším polomerom a obsahu plochy ohraničenej

kružnicou s menším polomerom, pričom oba obsahy musia byť vyjadrené v rovnakých

jednotkách plochy.

Obsah plochy ohraničenej kružnicou s väčším polomerom cm 101 =r označme S1 a obsah

plochy ohraničenej kružnicou s menším polomerom cm 12 =r označme S2.

Počítajme: S1 ==== 100.14,310.14,3 . π 221r 314 cm2,

S2 ==== 1.14,31.14,3 . π 222r 3,14 cm2.

Obsah medzikružia ohraničeného sústrednými kružnicami s polomerom 1r a 2r označme S.

Platí: S = S1 – S2 = 314 cm2 – 3,14 cm2 = 310,86 cm2.

Obsah medzikružia ohraničeného sústrednými kružnicami, z ktorých jedna má polomer 1 dm

a druhá 1 cm, je 310,86 cm2.

Príklad 184:

Koľkokrát sa otočí koleso s priemerom 1 m na trati dlhej 628 m?


bez zaokrúhľovania.

Riešenie:

priemer kolesa ... d = 1 m

dĺžka trate ... s = 628 m

počet otočení kolesa ... x_______

Pre počet otočení kolesa (x) platí:

x = dĺžka trate (s) : obvod kolesa (o)

(dĺžka trate a obvod kolesa musia byť vyjadrené v rovnakých jednotkách dĺžky).


156

- pre výpočet obvodu (o) kolesa využijeme vzorec o = π.d

Počítajme: o = π.d = 3,14.1 = 3,14 m.

Pre počet otočení kolesa (x) platí:

x = s : o

x = 628 : 3,14

x = 200

Koleso s priemerom 1 m sa na trati dlhej 628 m otočí 200-krát.

11.5.6 Kružnicový oblúk

Ø Vezmime do úvahy kružnicu k so stredom S a polomerom r.

Na kružnici k zvoľme dva rôzne body X a Y.

Body X a Y rozdeľujú kružnicu k na dve časti, ktoré nazývame kružnicové oblúky.

Kratšiemu kružnicovému oblúku prislúcha uhol φ a

dlhšiemu kružnicovému oblúku uhol ω.

- uhly φ a ω sú stredové uhly kružnice k,

- uhly φ a ω tvoria plný uhol, teda φ + ω = 360°,

- dĺžka úsečiek SX a SY je rovná polomeru r

kružnice k

Príklad 185:

Na obrázku je kružnica k so stredom S. Jej body A a B ju rozdeľujú na dva kružnicové

oblúky. Dĺžka dlhšieho z nich je dvojnásobkom dĺžky kratšieho. Určte veľkosť

stredového uhla φ.

Riešenie:

Uhol φ prislúcha dlhšiemu kružnicovému oblúku. Uhol, ktorý prislúcha kratšiemu

kružnicovému oblúku, označme ω. Uhly φ a ω tvoria plný uhol, teda φ + ω = 360°.


157

Keďže dĺžka dlhšieho kružnicového oblúku je dvojnásobkom dĺžky kratšieho kružnicového

oblúku, potom aj veľkosť uhla φ, ktorý prislúcha dlhšiemu kružnicovému oblúku, je

dvojnásobkom veľkosti uhla ω, ktorý prislúcha kratšiemu kružnicovému oblúku.

- teda platí: φ = 2 . ω

Počítajme: φ + ω = 360°

2.ω + ω = 360°

3ω = 360° /:3

ω = 120°

Pre veľkosť stredového uhla φ platí: φ = 2 . ω = 2 . 120° = 240°.

Príklad 186:

Na obrázku je kružnica k so stredom S. Jej body A, B a C ju rozdeľujú na tri kružnicové

oblúky, ktorých dĺžky sú v pomere 1 : 3 : 5. Určte veľkosť stredového uhla φ.

Riešenie:

Uhol φ prislúcha najdlhšiemu kružnicovému oblúku. Uhly, ktoré prislúchajú zvyšným dvom

kružnicovým oblúkom, označme α a β:

Uhly α a β a φ tvoria plný uhol, teda α + β + φ = 360°.

Keďže dĺžky kružnicových oblúkov, ktorým prislúchajú uhly

α, β a φ, sú v pomere 1 : 3 : 5, potom aj veľkosti uhlov α, β a φ

sú v pomere 1 : 3 : 5.

Uhol α je tvorený 1 dielikom, uhol β 3 dielikmi a uhol φ 5 dielikmi, pričom každému z 9

dielikov prislúcha rovnaká veľkosť (v stupňoch) a spolu tvoria uhol s veľkosťou 360°.

- na 1 dielik pripadá: 360° : 9 = 40°, t.j. α = 40°,

- na 3 dieliky pripadá: 3 . 40° = 120°, t.j. β = 120°,

- na 5 dielikov pripadá: 5 . 40° = 200°, t.j. φ = 200°

Veľkosť stredového uhla φ je 200°.


158

Príklad 187:

Na obrázku je pravidelný osemuholník ABCDEFGH a jemu opísaná kružnica k

so stredom S a priemerom cm 8=d . Určte dĺžku (v centimetroch) červeného

kružnicového oblúku.

Pre Ludolfovo číslo π použite približnú hodnotu 3,14. Počítajte

s desatinnými číslami bez zaokrúhľovania a v tvare

desatinného čísla bez zaokrúhľovania ponechajte i výsledok.

Riešenie:

Vrcholy pravidelného osemuholníka rozdeľujú kružnicu k na osem kružnicových oblúkov

s rovnakou dĺžkou.

Dĺžku jedného kružnicového oblúku vypočítame ako podiel dĺžky (o) kružnice k a počtu

kružnicových oblúkov, na ktoré je vrcholmi pravidelného osemuholníka rozdelená.

- pre dĺžku (o) kružnice k platí: o = π . d (d je priemer kružnice k, d = 8 cm)

Počítajme: o = π . d = 3,14 . 8 cm = 25,12 cm.

- dĺžka jedného kružnicového oblúku je o : 8 = 25,12 cm : 8 = 3,14 cm

Červený kružnicový oblúk je tvorený tromi kružnicovými oblúkmi, z ktorých každý má dĺžku

3,14 cm. Teda dĺžka červeného kružnicového oblúku je 3 . 3,14 cm = 9,42 cm.

Príklad 188:

Vrcholy pravidelného 314-uholníka rozdeľujú kružnicu k s priemerom 100 mm, ktorá

mu je opísaná, na kružnicové oblúky. Akú dĺžku (v milimetroch) má každý z nich?

Pre Ludolfovo číslo π použite približnú hodnotu 3,14.

Riešenie:

Vrcholy pravidelného 314-uholníka rozdeľujú kružnicu k na 314 kružnicových oblúkov

s rovnakou dĺžkou. Túto dĺžku vypočítame ako podiel dĺžky (o) kružnice k a počtu

kružnicových oblúkov, na ktoré je kružnica k rozdelená.

- pre dĺžku (o) kružnice k platí: o = π . d (d je priemer kružnice k, d = 100 mm)

Počítajme: o = π . d = 3,14 . 100 mm = 314 mm.

- dĺžka jedného kružnicového oblúku je o : 314 = 314 mm : 314 = 1 mm

Každý z kružnicových oblúkov, na ktoré je kružnica k rozdelená, má dĺžku 1 mm.


159

11.5.7 Kruhový výsek

Ø Vezmime do úvahy kruh K so stredom S a polomerom r.

Na hranici kruhu K zvoľme dva rôzne body X a Y.

Úsečky SX a SY rozdeľujú kruh K na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky.

Menšiemu kruhovému výseku prislúcha uhol φ a

väčšiemu kruhovému výseku uhol ω.

- uhly φ a ω sú stredové uhly kruhu K,

- uhly φ a ω tvoria plný uhol, teda φ + ω = 360°,

- dĺžka úsečiek SX a SY je rovná polomeru r kruhu

K

Príklad 189:

Na obrázku je kruh K so stredom S. Rozdelený je na desať zhodných kruhových

výsekov. Určte veľkosť stredového uhla prislúchajúceho zelenému kruhovému výseku.

Riešenie:

Stredové uhly prislúchajúce desiatim zhodným kruhovým výsekom, na ktoré je rozdelený

kruh K, tvoria plný uhol, t.j. uhol s veľkosťou 360°. Veľkosť každého z nich je 360°:10 = 36°.

Zelený kruhový výsek je tvorený tromi z desiatich zhodných kruhových výsekov, na ktoré je

rozdelený kruh K. Veľkosť stredového uhla, ktorý zelenému kruhovému výseku prislúcha, je

3 . 36° = 108°.

Príklad 190:

Na obrázku je kruh K so stredom S. Rozdelený je na tri kruhové výseky s obsahmi

157 mm2, 471 mm2 a 628 mm2. Určte veľkosť stredového uhla prislúchajúceho

najväčšiemu kruhovému výseku.

Riešenie:


160

Stredové uhly prislúchajúce kruhovým výsekom, na ktoré je

rozdelený kruh K, označme α, β a γ. Uhly α, β a γ tvoria plný

uhol, teda α + β + γ = 360°.

Pomer veľkostí uhlov α, β a γ je rovný pomeru obsahov

kruhových výsekov, ktorým tieto uhly prislúchajú.

Porovnaním obsahov kruhových výsekov dostávame pomer 157 : 471 : 628, resp. po jeho

úprave na základný tvar (vydelením jeho členov číslom 157) 1 : 3 : 4.

Pomer veľkostí uhlov α, β a γ je 1 : 3 : 4.

Uhol α je tvorený 1 dielikom, uhol β 3 dielikmi a uhol γ 4 dielikmi, pričom každému z 8

dielikov prislúcha rovnaká veľkosť (v stupňoch) a spolu tvoria uhol s veľkosťou 360°.

- na 1 dielik pripadá: 360° : 8 = 45°, t.j. α = 45°,

- na 3 dieliky pripadá: 3 . 45° = 135°, t.j. β = 135°,

- na 4 dieliky pripadá: 4 . 45° = 180°, t.j. γ = 180°

Veľkosť stredového uhla prislúchajúceho najväčšiemu kruhovému výseku je 180°.

Príklad 191:

Na obrázku je obdĺžnik ABCD a v jeho ploche polkruh K so stredom S a priemerom AB.

Bod X ležiaci na úsečke CD je spoločný bod obdĺžnika ABCD a polkruhu K. Vypočítajte

obsah (v decimetroch štvorcových) vyšrafovanej plochy, ak dm. 2=AB

Pre Ludolfovo číslo π použite približnú hodnotu 3,14.

Počítajte s desatinnými číslami bez zaokrúhľovania

a v tvare desatinného čísla bez zaokrúhľovania

ponechajte i výsledok.

Riešenie:

Dĺžka obdĺžnika je rovná priemeru d polkruhu. Šírka obdĺžnika je rovná polomeru r polkruhu.

Platí: dm, 2=AB .dm 1=BC

Obsah (S) vyšrafovanej plochy je rozdiel obsahu (S1) obdĺžnika a obsahu (S2) polkruhu.

- pre obsah (S1) obdĺžnika platí: S1 = BCAB . = 2 . 1 = 2 dm2

- pre obsah (S2) polkruhu platí: S2 = 2 . 2rπ = ==

21.14,3

21 . 14,3 2

1,57 dm2

Pre obsah (S) vyšrafovanej plochy platí: S = S1 – S2 = 2 dm2 – 1,57 dm2 = 0,43 dm2.


161

12. Konštrukčné úlohy

Ø Vyriešená konštrukčná úloha štandardne obsahuje zápis, náčrt, rozbor, postup

konštrukcie, konštrukciu a diskusiu. V tomto učebnom texte z praktických dôvodov

nebudeme v konštrukčných úlohách uvádzať zápis a náčrt.

12.1 Stred úsečky

Ø Stred úsečky je bod danej úsečky, ktorý má od oboch jej krajných bodov rovnakú

vzdialenosť.

Pre vzdialenosť stredu S úsečky AB od jej

krajných bodov A a B platí: |SA| = |SB|.

Príklad 192:

Zostrojte stred S úsečky AB s dĺžkou 3 cm.

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku AB s dĺžkou 3 cm. Zostrojíme kružnicu k so stredom A a

kružnicu l so stredom B, pričom obe kružnice budú mať rovnaký polomer r.

• Priesečníkmi kružníc k a l (označíme ich X a Y) budeme viesť priamku p.

- polomer r kružníc k a l musí byť väčší ako polovica úsečky AB (v opačnom

prípade by sa kružnice k a l nepretínali v dvoch rôznych bodoch X a Y)

• Priesečník priamky p a úsečky AB bude stred S úsečky AB.

Postup konštrukcie

1. úsečka AB s dĺžkou 3 cm ... AB; |AB| = 3 cm

2. kružnica k so stredom A a polomerom r ... k; k (A; r)

3. kružnica l so stredom B a polomerom r ... l; l (B; r)

4. priesečník X kružníc k a l ... X; X∈ k ∩ l

priesečník Y kružníc k a l ... Y; Y∈ k ∩ l

5. priamka p prechádzajúca bodmi X a Y ... p; X∈ p, Y∈ p

6. priesečník S priamky p a úsečky AB ... S; S∈ p ∩ AB


162

Konštrukcia

Diskusia

Úloha má práve jedno riešenie, t.j. existuje jediný stred úsečky AB.

12.2 Os úsečky, os uhla

Ø Os úsečky je priamka, ktorej každý bod má rovnakú vzdialenosť od oboch krajných

bodov danej úsečky.

Os o úsečky AB prechádza stredom S tejto

úsečky a je na ňu kolmá.

Pre vzdialenosť bodov X, Y a Z osi o od krajných

bodov A a B úsečky AB platí:

|XA| = |XB|, |YA| = |YB|, |ZA| = |ZB|.

Poznámka: V príklade 192 je osou úsečky AB priamka p.

Ø Os uhla je priamka, ktorej každý bod má rovnakú vzdialenosť od oboch ramien

daného uhla.

Os o uhla AVB rozdeľuje tento uhol na dva

zhodné uhly.

Pre vzdialenosť bodov X a Y osi o od ramien

VA a VB uhla AVB platí:

|X, VA| = |X, VB|, resp. |XPX| = |XQX|,

|Y, VA| = |Y, VB|, resp. |YPY| = |YQY|.


163

Príklad 193:

Zostrojte os o uhla AVB s veľkosťou 60°.

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme uhol AVB s veľkosťou 60°.

• Zostrojíme kružnicu k so stredom V a ľubovoľným polomerom r1.

• Priesečníky (označíme ich X a Y) kružnice k s ramenami uhla AVB budú stredmi dvoch

nových kružníc n a m s rovnakým polomerom r2.

• Jedným z dvoch priesečníkov (označíme ho Z) kružníc n a m a vrcholom V uhla AVB

budeme viesť priamku o. Priamka o bude os uhla AVB.

- polomer r2 kružníc n a m musí byť väčší ako polovica vzdialenosti bodov X a Y

(v opačnom prípade by sa kružnice n a m nepretínali v dvoch rôznych bodoch)

Postup konštrukcie

1. uhol AVB s veľkosťou 60° ... ˂AVB; |˂AVB| = 60°

2. kružnica k so stredom V a polomerom r1 ... k; k (V; r1)

3. priesečník X kružnice k a ramena VA uhla AVB ... X; X∈ k ∩ VA

priesečník Y kružnice k a ramena VB uhla AVB ... Y; Y∈ k ∩ VB

4. kružnica n so stredom X a polomerom r2 ... n; n (X; r2)

5. kružnica m so stredom Y a polomerom r2 ... m; m (Y; r2)

6. priesečník Z kružníc m a n ... Z; Z∈ m ∩ n

7. priamka o prechádzajúca bodmi Z a V ... o; Z∈ o, V∈ o

Konštrukcia

Diskusia

Úloha má práve jedno riešenie, t.j. existuje jediná os uhla AVB.


164

12.3 Tálesova kružnica

Teoretický výklad k Tálesovej kružnici je uvedený v časti 11.5.4.

Príklad 194:

Zostrojte Tálesovu kružnicu kT nad úsečkou MN s dĺžkou 4 cm.

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku MN s dĺžkou 4 cm.

• Zostrojíme stred S úsečky MN.

• Zostrojíme kružnicu kT so stredom S a polomerom SM, resp. SN. Kružnica kT bude

Tálesova kružnica zostrojená nad úsečkou MN.

Postup konštrukcie

1. úsečka MN s dĺžkou 4 cm ... MN; |MN| = 4 cm

2. stred S úsečky MN ... S; S = M ÷ N

3. kružnica kT so stredom S a polomerom SM ... kT; kT (S; |SM|)

Konštrukcia

Diskusia

Úloha má práve jedno riešenie, t.j. nad úsečkou MN je možné zostrojiť jedinú Tálesovu

kružnicu.


165

12.4 Dotyčnica ku kružnici

Teoretický výklad k dotyčnici ku kružnici je uvedený v časti 11.5.2.

Príklad 195:

Daná je kružnica k so stredom S a polomerom 2 cm a bod A ležiaci na kružnici k.

Zostrojte dotyčnicu t ku kružnici k prechádzajúcu bodom A.

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme kružnicu k (S; 2 cm), zvolíme na nej bod A a zostrojíme úsečku SA.

• Bodom A budeme viesť priamku t kolmú na úsečku SA. Priamka t bude dotyčnica

ku kružnici k prechádzajúca bodom A.

Postup konštrukcie

1. kružnica k so stredom S a polomerom 2 cm ... k; k (S; 2 cm)

2. bod A ležiaci na kružnici k ... A; A∈ k

3. úsečka SA ... úsečka SA

4. priamka t prechádzajúca bodom A a kolmá

na úsečku SA ... t; t ⊥ SA, A∈ t

Konštrukcia

Diskusia

Úloha má práve jedno riešenie, t.j. ku kružnici k je možné zostrojiť jedinú dotyčnicu

prechádzajúcu bodom A ležiacim na tejto kružnici.

Príklad 196:

Daná je kružnica k so stredom S a polomerom 2 cm a bod A ležiaci mimo kružnice k tak,

že jeho vzdialenosť od stredu S kružnice k je 5 cm.

Zostrojte všetky dotyčnice ku kružnici k prechádzajúce bodom A.


166

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme kružnicu k (S; 2 cm) a bod A so vzdialenosťou 5 cm od bodu S.

• Zostrojíme úsečku SA a nad ňou Tálesovu kružnicu kT (so stredom ST).

• Tálesova kružnica kT a kružnica k sa pretnú v dvoch rôznych bodoch T1 a T2.

- body T1 a T2 budú bodmi dotyku hľadaných dotyčníc ku kružnici k,

- na polomery ST1 a ST2 kružnice k budú hľadané dotyčnice kolmé

• Bodmi A a T1 budeme viesť dotyčnicu t1 a bodmi A a T2 dotyčnicu t2 ku kružnici k.

Postup konštrukcie

1. kružnica k so stredom S a polomerom 2 cm ... k; k (S; 2 cm)

2. bod A ležiaci mimo kružnice k so vzdialenosťou

5 cm od bodu S ... A; |AS| = 5 cm

3. úsečka SA ... úsečka SA

4. stred ST úsečky SA ... ST; ST = S ÷ A

5. Tálesova kružnica kT nad úsečkou SA ... kT; kT (ST; |STA|)

6. priesečník T1 kružníc kT a k ... T1; T1∈ kT ∩ k

priesečník T2 kružníc kT a k ... T2; T2∈ kT ∩ k

7. priamka t1 prechádzajúca bodmi A a T1 ... t1; A∈ t1, T1∈ t1

priamka t2 prechádzajúca bodmi A a T2 ... t2; A∈ t2, T2∈ t2

Konštrukcia

Diskusia

Úloha má dve rôzne riešenia, t.j. ku kružnici k je možné zostrojiť dve rôzne dotyčnice

prechádzajúce bodom A ležiacim mimo tejto kružnice.


167

12.5 Trojuholník

Konštrukcia trojuholníka, v ktorom je známa dĺžka všetkých troch strán

Príklad 197:

Zostrojte trojuholník ABC, ak cm, 6=AB cm 3=BC a cm. 5=AC

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku AB s dĺžkou 6 cm.

• Zostrojíme kružnicu k so stredom A a polomerom 5 cm (čo má byť dĺžka strany AC)

a kružnicu l so stredom B a polomerom 3 cm (čo má byť dĺžka strany BC).

• Vrcholom C trojuholníka ABC bude priesečník kružníc k a l.

Postup konštrukcie

1. úsečka AB s dĺžkou 6 cm ... AB; |AB| = 6 cm 2. kružnica k so stredom A a polomerom 5 cm ... k; k(A; 5 cm)

3. kružnica l so stredom B a polomerom 3 cm ... l; l(B; 3 cm)

4. priesečník C kružníc k a l ... C; C∈k ∩ l

5. trojuholník ABC ... trojuholník ABC

Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú dva zhodné trojuholníky ABC1 a ABC2.


168

Konštrukcia trojuholníka, v ktorom je známa dĺžka dvoch strán a veľkosť jedného

vnútorného uhla

Príklad 198:

Zostrojte trojuholník KLM, ak cm, 4=LM cm 3=KM a .50°=∠MKL

Riešenie:

Rozbor

• Daný je vnútorný uhol pri vrchole K, preto narysujeme najskôr úsečku KM (s dĺžkou

3 cm) a nie úsečku LM.

• Zostrojíme uhol MKX s veľkosťou 50° (pokiaľ bod L ešte nie je zostrojený, nemožno

hovoriť o uhle MKL).

- polpriamka KX s jej bodom X bude ramenom uhla MKX

• Zostrojíme kružnicu k so stredom M a polomerom 4 cm (čo má byť dĺžka strany LM).

• Vrcholom L trojuholníka KLM bude priesečník kružnice k a ramena KX uhla MKX.

Postup konštrukcie

1. úsečka KM s dĺžkou 3 cm ... KM; |KM| = 3 cm 2. uhol MKX s veľkosťou 50° ... ˂MKX; |˂MKX| = 50°

3. kružnica k so stredom M a polomerom 4 cm ... k; k(M; 4 cm)

4. priesečník L kružnice k a ramena KX uhla MKX ... L; L∈k ∩ KX

5. trojuholník KLM ... trojuholník KLM

Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú dva zhodné trojuholníky KL1M a KL2M.


169

Konštrukcia trojuholníka, v ktorom je známa dĺžka jednej strany a veľkosť dvoch

vnútorných uhlov

Príklad 199:

Zostrojte trojuholník PQR, ak mm, 45 =QR °=∠ 30 PQR a .110°=∠QRP

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku QR s dĺžkou 45 mm.

• Zostrojíme uhol RQX s veľkosťou 30° a uhol QRY s veľkosťou 110°.

- polpriamka QX s jej bodom X bude ramenom uhla RQX a polpriamka RY s jej

bodom Y bude ramenom uhla QRY

• Vrcholom P trojuholníka PQR bude priesečník polpriamok QX a RY.

Postup konštrukcie

1. úsečka QR s dĺžkou 45 mm ... QR; |QR| = 45 mm 2. uhol RQX s veľkosťou 30° ... ˂RQX; |˂RQX| = 30°

3. uhol QRY s veľkosťou 110° ... ˂QRY; |˂QRY| = 110°

4. priesečník P ramena QX uhla RQX

a ramena RY uhla QRY ... P; P∈QX ∩ RY

5. trojuholník PQR ... trojuholník PQR

Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú dva zhodné trojuholníky P1QR a P2QR.


170

Konštrukcia trojuholníka, v ktorom je známa dĺžka dvoch strán a jedna výška

Príklad 200:

Zostrojte trojuholník ABC, v ktorom strana AB má dĺžku 6 cm, strana BC má dĺžku

5 cm a výška na stranu AB je 3 cm.

Riešenie:

Rozbor

• Daná je výška na stranu AB, preto narysujeme najskôr úsečku AB (s dĺžkou 6 cm) a nie

úsečku BC.

• Zostrojíme priamku p rovnobežnú s úsečkou AB tak, že vzdialenosť priamky p

od úsečky AB bude 3 cm (čo má byť výška v na stranu AB trojuholníka ABC).

• Zostrojíme kružnicu k so stredom B a polomerom 5 cm (čo má byť dĺžka strany BC).

• Vrcholom C trojuholníka ABC bude priesečník priamky p a kružnice k.

Postup konštrukcie

1. úsečka AB s dĺžkou 6 cm ... AB; |AB| = 6 cm 2. priamka p rovnobežná s úsečkou AB, pričom

vzdialenosť priamky p od úsečky AB je 3 cm ... p; p || AB, |p, AB| = 3 cm 3. kružnica k so stredom B a polomerom 5 cm ... k; k(B; 5 cm)

4. priesečník C kružnice k a priamky p ... C; C∈k ∩ p


Postup konštrukcie priamky p rovnobežnej s úsečkou AB, pričom vzdialenosť priamky p

od úsečky AB je 3 cm:


2. bod X ľubovoľne zvolený na úsečke AB ... X; X∈AB

3. priamka q prechádzajúca bodom X a

kolmá na úsečku AB ... q; q ⊥ AB, X∈ q

4. kružnica l so stredom X a polomerom 3 cm ... l; l(X; 3 cm)

5. priesečník Y kružnice l a priamky q ... Y; Y∈l ∩ p

6. priamka p prechádzajúca bodom Y a

kolmá na priamku q ... p; p ⊥ q, Y∈ p


171

Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú dve dvojice zhodných trojuholníkov:

dvojica trojuholníkov ABC1 a ABC4 a dvojica trojuholníkov ABC2 a ABC3.

Konštrukcia trojuholníka, v ktorom je známa dĺžka jednej strany, veľkosť jedného

vnútorného uhla a jedna výška

Príklad 201:

Zostrojte trojuholník PRS, v ktorom strana PS má dĺžku 55 mm, vnútorný uhol

pri vrchole S má veľkosť 130° a výška na stranu PS je 45 mm.

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku PS s dĺžkou 55 mm.

• Zostrojíme priamku p rovnobežnú s úsečkou PS tak, že vzdialenosť priamky p

od úsečky PS bude 45 mm (čo má byť výška v na stranu PS trojuholníka PRS).

• Zostrojíme uhol PSZ s veľkosťou 130°.

- polpriamka SZ s jej bodom Z bude ramenom uhla PSZ

• Vrcholom R trojuholníka PRS bude priesečník priamky p a polpriamky SZ.


172

Postup konštrukcie

1. úsečka PS s dĺžkou 55 mm ... PS; |PS| = 55 mm 2. priamka p rovnobežná s úsečkou PS, pričom

vzdialenosť priamky p od úsečky PS je 45 mm ... p; p || PS, |p, PS| = 45 mm

3. uhol PSZ s veľkosťou 130° ... ˂PSZ; |˂PSZ| = 130°

4. priesečník R priamky p a ramena SZ uhla PSZ ... R; R∈p ∩ SZ

5. trojuholník PRS ... trojuholník PRS

Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú dva zhodné trojuholníky PR1S a PR2S.

Konštrukcia trojuholníka, v ktorom je známa dĺžka dvoch strán a jedna ťažnica

Príklad 202:

Zostrojte trojuholník ABC, v ktorom cm. 6 a cm 4 cm, 7 === atba

Riešenie:

Rozbor

• Daná je ťažnica na stranu a, preto narysujeme najskôr úsečku BC s dĺžkou 7 cm

(stranu a trojuholníka ABC) a nie úsečku AC (stranu b trojuholníka ABC).

• Zostrojíme stred Sa úsečky BC, ktorý bude krajným bodom ťažnice ta.

• Zostrojíme kružnicu k so stredom Sa a polomerom 6 cm (čo má byť dĺžka ťažnice ta)

a kružnicu l so stredom C a polomerom 4 cm (čo má byť dĺžka strany b).

• Vrcholom A trojuholníka ABC bude priesečník kružnice k a kružnice l.


173

Postup konštrukcie

1. úsečka BC s dĺžkou 7 cm ... BC; |BC| = 7 cm 2. stred Sa úsečky BC ... Sa; Sa = B ÷ C

3. kružnica k so stredom Sa a polomerom 6 cm ... k; k(Sa; 6 cm)

4. kružnica l so stredom C a polomerom 4 cm ... l; l(C; 4 cm)

5. priesečník A kružníc k a l ... A; A∈k ∩ l


Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú dva zhodné trojuholníky A1BC a A2BC.

Konštrukcia trojuholníka, v ktorom je známa dĺžka jednej strany, jedna výška a jedna

ťažnica

Príklad 203:

Zostrojte trojuholník ABC, v ktorom cm. 7 a cm 5 cm, 5 === bb tvb

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku AC s dĺžkou 5 cm (stranu b trojuholníka ABC).

• Zostrojíme stred Sb úsečky AC, ktorý bude krajným bodom ťažnice tb.

• Zostrojíme kružnicu k so stredom Sb a polomerom 7 cm (čo má byť dĺžka ťažnice tb).

• Zostrojíme priamku p rovnobežnú s úsečkou AC tak, že vzdialenosť priamky p

od úsečky AC bude 5 cm (čo má byť výška vb trojuholníka ABC).

• Vrcholom B trojuholníka ABC bude priesečník kružnice k a priamky p.


174

Postup konštrukcie

1. úsečka AC s dĺžkou 5 cm ... AC; |AC| = 5 cm 2. stred Sb úsečky AC ... Sb; Sb = A ÷ C

3. kružnica k so stredom Sb a polomerom 7 cm ... k; k(Sb; 7 cm)

4. priamka p rovnobežná s úsečkou AC, pričom

vzdialenosť priamky p od úsečky AC je 5 cm ... p; p || AC, |p, AC| = 5 cm

5. priesečník B kružnice k a priamky p ... B; B∈k ∩ p


Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú štyri zhodné trojuholníky AB1C, AB2C, AB3C a AB4C.

Konštrukcia pravouhlého trojuholníka využitím Tálesovej kružnice

Príklad 204:

Zostrojte rovnoramenný trojuholník EFG, v ktorom základňa EF má dĺžku 5 cm

a vnútorný uhol pri vrchole G má veľkosť 90°.

Riešenie:


175

Rozbor

• Narysujeme úsečku EF s dĺžkou 5 cm.

• Nájdeme stred ST úsečky EF a zostrojíme nad ňou Tálesovu kružnicu kT.

• Trojuholník EFG má byť rovnoramenný a strana EF jeho základňou. Potom strany EG

a FG budú jeho ramenami, pričom musia mať rovnakú dĺžku. Preto budeme stredom

ST základne EF viesť priamku p kolmú na túto úsečku.

• Vrcholom G trojuholníka EFG bude priesečník Tálesovej kružnice kT a priamky p.

- Tálesovou kružnicou kT zabezpečíme, že uhol EGF bude mať veľkosť 90°,

- priamkou p kolmou na základňu EF a vedenou jej stredom ST zabezpečíme, že

strany EG a FG budú mať rovnakú dĺžku

Postup konštrukcie

1. úsečka EF s dĺžkou 5 cm ... EF; |EF| = 5 cm

2. stred ST úsečky EF ... ST; ST = E ÷ F

3. Tálesova kružnica kT nad úsečkou EF ... kT; kT (ST; |EST|)

4. priamka p prechádzajúca bodom ST a

kolmá na úsečku EF ... p; p ⊥ EF, ST∈ p

5. priesečník G kružnice kT a priamky p ... G; G∈kT ∩ p

6. trojuholník EFG ... trojuholník EFG

Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú dva zhodné trojuholníky EFG1 a EFG2.


176

12.6 Štvoruholník

Príklad 205:

Zostrojte štvorec ABCD, ktorého uhlopriečky majú dĺžku 65 mm.

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme jednu z uhlopriečok, napr. AC (s dĺžkou 65 mm) a zostrojíme jej stred S.

• Bodom S budeme viesť priamku p kolmú na úsečku AC.

- na priamke p bude ležať uhlopriečka BD (uhlopriečky každého štvorca sú

na seba kolmé, preto priamku p budeme viesť kolmo na uhlopriečku AC)

• Zostrojíme kružnicu k so stredom S a polomerom AS, resp. CS.

• Vrcholmi B a D štvorca ABCD budú priesečníky kružnice k a priamky p.

- uhlopriečky každého štvorca sú zhodné a navzájom sa rozpoľujú, preto ako

polomer kružnice k musíme zvoliť polovicu z uhlopriečky AC

Postup konštrukcie

1. úsečka AC s dĺžkou 65 mm ... AC; |AC| = 65 mm

2. stred S úsečky AC ... S; S = A ÷ C

3. priamka p prechádzajúca bodom S a

kolmá na úsečku AC ... p; p ⊥ AC, S∈ p

4. kružnica k so stredom S a polomerom AS ... k; k(S; |AS|)

5. priesečník B kružnice k a priamky p ... B; B∈k ∩ p

priesečník D kružnice k a priamky p ... D; D∈k ∩ p

6. štvorec ABCD ... štvorec ABCD

Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy je práve jeden štvorec ABCD.


177

Príklad 206:

Zostrojte rovnobežník KLMN, v ktorom strana KL má dĺžku 4 cm, uhlopriečka KM

dĺžku 6 cm a vnútorný uhol pri vrchole L veľkosť 130°.

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku KL s dĺžkou 4 cm.

• Zostrojíme uhol KLX s veľkosťou 130°.

- polpriamka LX s jej bodom X bude ramenom uhla KLX

• Zostrojíme kružnicu k so stredom K a polomerom 6 cm (t.j. dĺžkou uhlopriečky KM).

• Vrcholom M rovnobežníka KLMN bude priesečník kružnice k a polpriamky LX.

• Zostrojíme kružnicu m so stredom M a polomerom KL a kružnicu n so stredom K

a polomerom LM.

• Vrcholom N rovnobežníka KLMN bude priesečník kružnice m a kružnice n.

- zvoleným polomerom kružníc m a n dosiahneme, že dvojice strán MN, KL

a KN, LM budú zhodné (keďže útvar KLMN má byť rovnobežník)

Postup konštrukcie

1. úsečka KL s dĺžkou 4 cm ... KL; |KL| = 4 cm 2. uhol KLX s veľkosťou 130° ... ˂KLX; |˂KLX| = 130°

3. kružnica k so stredom K a polomerom 6 cm ... k; k(K; 6 cm)

4. priesečník M kružnice k a ramena LX uhla KLX ... M; M∈k ∩ LX

5. kružnica m so stredom M a polomerom KL ... m; m(M; |KL|)

6. kružnica n so stredom K a polomerom LM ... n; n(K; |LM|)

7. priesečník N kružníc m a n ... N; N∈m ∩ n

8. rovnobežník KLMN ... rovnobežník KLMN

Konštrukcia


178

Diskusia

Riešením úlohy sú dva zhodné rovnobežníky KLM1N1 a KLM2N2.

Príklad 207:

Zostrojte kosoštvorec EFGH so stranou dlhou 5 cm a výškou 3 cm.

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku EF s dĺžkou 5 cm.

• Zostrojíme priamku p rovnobežnú s úsečkou EF tak, že vzdialenosť priamky p

od úsečky EF bude 3 cm (čo má byť výška v kosoštvorca EFGH).

• Zostrojíme kružnicu k so stredom E a kružnicu l so stredom F, obe s polomerom 5 cm

(čo má byť dĺžka každej strany kosoštvorca EFGH).

• Vrcholom G kosoštvorca EFGH bude priesečník kružnice l a priamky p a vrcholom H

priesečník kružnice k a priamky p.

Postup konštrukcie

1. úsečka EF s dĺžkou 5 cm ... EF; |EF| = 5 cm

2. priamka p rovnobežná s úsečkou EF, pričom

vzdialenosť priamky p od úsečky EF je 3 cm ... p; p || EF, |p, EF| = 3 cm

3. kružnica k so stredom E a polomerom 5 cm ... k; k(E; 5 cm)

4. kružnica l so stredom F a polomerom 5 cm ... l; l(F; 5 cm)

5. priesečník G kružnice l a priamky p ... G; G∈l ∩ p

priesečník H kružnice k a priamky p ... H; H∈k ∩ p

6. kosoštvorec EFGH ... kosoštvorec EFGH

Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú štyri zhodné kosoštvorce EFG1H1, EFG2H2, EFG3H3 a EFG4H4.


179

Príklad 208:

Zostrojte pravouhlý lichobežník ABCD, ak .30 a cm 4 cm, 10 °=∠== ABCCDAB

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku AB s dĺžkou 10 cm.

• Zostrojíme uhol ABX s veľkosťou 30°.

- polpriamka BX s jej bodom X bude ramenom uhla ABX

• Bodom A budeme viesť priamku p kolmú na úsečku AB.

- na priamke p bude ležať strana AD lichobežníka ABCD, pričom táto bude

ramenom kolmým na jeho základne (lichobežník ABCD má byť totiž

pravouhlý, t.j. jedno z ramien musí byť kolmé na základne – rameno BC však

kolmé na základne byť nemôže, keďže uhol pri vrchole B má mať veľkosť 30°)

• Zostrojíme kružnicu k so stredom A a polomerom 4 cm (čo má byť dĺžka strany CD).

• Priesečník kružnice k a úsečky AB označíme Q a budeme ním viesť priamku q kolmú

na úsečku AB.

- na priamke q bude ležať vrchol C lichobežníka ABCD

• Vrcholom C lichobežníka ABCD bude priesečník priamky q a polpriamky BX.

• Bodom C budeme viesť priamku r kolmú na priamku q.

- na priamke r bude ležať strana CD lichobežníka ABCD

• Vrcholom D lichobežníka ABCD bude priesečník priamky r a priamky p.

- zvoleným polomerom kružnice k dosiahneme, že vzdialenosť priamky q

od priamky p bude 4 cm, resp. vzdialenosť bodu C od bodu D, t.j. dĺžka úsečky

CD bude 4 cm


180

Postup konštrukcie


2. uhol ABX s veľkosťou 30° ... ˂ABX; |˂ABX| = 30°

3. priamka p prechádzajúca bodom A a

kolmá na úsečku AB ... p; p ⊥ AB, A∈ p

4. kružnica k so stredom A a polomerom 4 cm ... k; k(A; 4 cm)

5. priesečník Q kružnice k a úsečky AB ... Q; Q∈k ∩ AB

6. priamka q prechádzajúca bodom Q a

kolmá na úsečku AB ... q; q ⊥ AB, Q∈ q

7. priesečník C priamky q a polpriamky BX ... C; C∈q ∩ BX

8. priamka r prechádzajúca bodom C a

kolmá na priamku q ... r; r ⊥ q, C∈ r

9. priesečník D priamky r a priamky p ... D; D∈r ∩ p

10. lichobežník ABCD ... lichobežník ABCD

Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú dva zhodné lichobežníky ABC1D1 a ABC2D2.


181

Poznámka: V niektorých prípadoch (príklad 213) je potrebné pri konštrukcii trojuholníka

využiť konštrukciu rovnobežníka.

Príklad 209:

Zostrojte trojuholník ABC, ak .cm 5,4 a cm 4 cm, 6 === atbc

Riešenie:

Rozbor

• Narysujeme úsečku AB s dĺžkou 6 cm (stranu c trojuholníka ABC).

• Zostrojíme kružnicu k so stredom A a polomerom 9 cm (čo je dvojnásobok dĺžky,

ktorú má mať ťažnica ta trojuholníka ABC) a kružnicu l so stredom B a polomerom

4 cm (čo má byť dĺžka strany b, resp. úsečky AC trojuholníka ABC).

• Priesečník kružníc k a l označíme X.

- k voľbe kružníc k a l s uvedeným stredom a polomerom nás vedie zámer

zostrojiť rovnobežník ABXC, ktorého uhlopriečka AX bude dvojnásobkom

dĺžky ťažnice ta

- stred S uhlopriečky AX rovnobežníka ABXC bude súčasne stredom jeho

druhej uhlopriečky BC (strany a trojuholníka ABC), čo bude v súlade

s tým, že jedným z krajných bodov ťažnice na stranu a (t.j. úsečky AS)

trojuholníka ABC musí byť stred jeho strany a

• Zostrojíme stred S úsečky AX.

• Bodom X budeme viesť priamku p rovnobežnú s úsečkou AB.

• Zostrojíme polpriamku BS so začiatkom v bode B.

• Vrcholom C trojuholníka ABC bude priesečník priamky p a polpriamky BS.


182

Postup konštrukcie


2. kružnica k so stredom A a polomerom 9 cm ... k; k(A; 9 cm)

3. kružnica l so stredom B a polomerom 4 cm ... l; l(B; 4 cm)

4. priesečník X kružníc k a l ... X; X∈k ∩ l

5. stred S úsečky AX ... S; S = A ÷ X

6. priamka p prechádzajúca bodom X a

rovnobežná s úsečkou AB ... p; p || AB, X∈ p

7. polpriamka BS ... polpriamka BS

8. priesečník C priamky p a polpriamky BS ... C; C∈p ∩ BS


Konštrukcia

Diskusia

Riešením úlohy sú dva zhodné trojuholníky ABC1 a ABC2.

12.7 Kružnica opísaná a vpísaná trojuholníku

Ø Stredom kružnice opísanej trojuholníku je priesečník osí jeho strán.

- spoločnými bodmi trojuholníka a jemu opísanej kružnice sú vrcholy daného

trojuholníka


183

Ø Stredom kružnice vpísanej trojuholníku je priesečník osí jeho vnútorných uhlov.

- spoločnými bodmi trojuholníka a jemu vpísanej kružnice sú priesečníky strán

s osami vnútorných uhlov daného trojuholníka

Vezmime do úvahy ľubovoľný trojuholník ABC. Zostrojíme (obrázok) kružnicu opísanú (k1)

a kružnicu vpísanú (k2) tomuto trojuholníku:


184

13. Súmernosti

13.1 Stredová súmernosť

Ø Stredová súmernosť podľa bodu S je predpis, ktorý ľubovoľnému bodu A priradí bod

A´ tak, že bod S je stredom úsečky AA´.

Zapisujeme: A´ = SS(A).

Bodu A hovoríme vzor a bodu A´ obraz v stredovej súmernosti podľa bodu S.

Každému vzoru je v danej stredovej súmernosti priradený práve jeden obraz.

• bod S, ktorým je stredová súmernosť určená, nazývame stred súmernosti (preto

obvykle hovoríme o stredovej súmernosti podľa stredu S)

Ø Vezmime do úvahy dva rôzne body X a S. V stredovej súmernosti podľa stredu

S zostrojme obraz X´ bodu X.

Postup konštrukcie

1. body X a S ... X, S

2. priamka p prechádzajúca bodmi X a S ... p; X∈ p, S∈ p

3. kružnica k so stredom S a polomerom SX ... k; k (S; |SX|)

4. priesečník X´ priamky p a kružnice k ... X´; X´∈p ∩ k

Konštrukcia

Ø V stredovej súmernosti podľa stredu S sa bod S zobrazí sám do seba, resp. obraz S´

splýva so vzorom S.


185

Príklad 210:

Daná je úsečka AB s dĺžkou 4 cm.

Zostrojte obraz úsečky AB v stredovej súmernosti podľa stredu

a) v bode B,

b) v bode X ležiacom vo vnútri úsečky AB,

c) v bode Y neležiacom na úsečke AB.

Riešenie:

a) Postup konštrukcie


2. priamka p prechádzajúca bodmi A a B ... p; A∈ p, B∈ p

3. kružnica k so stredom B a polomerom BA ... k; k (B; |BA|)

4. priesečník A´ priamky p a kružnice k ... A´; A´∈p ∩ k

5. úsečka A´B´ ... úsečka A´B´

Konštrukcia

b) Postup konštrukcie


2. bod X ležiaci vo vnútri úsečky AB ... X; X∈ AB, X ≠ A, X ≠ B

3. priamka p prechádzajúca bodmi A, B a X ... p; A∈ p, B∈ p, X∈ p

4. kružnica k1 so stredom X a polomerom XA ... k1; k1 (X; |XA|)

5. priesečník A´ priamky p a kružnice k1 ... A´; A´∈p ∩ k1

6. kružnica k2 so stredom X a polomerom XB ... k2; k2 (X; |XB|)

7. priesečník B´ priamky p a kružnice k2 ... B´; B´∈p ∩ k2



186

Konštrukcia

c) Postup konštrukcie


2. bod Y neležiaci na úsečke AB ... Y; Y∉ AB

3. priamka p1 prechádzajúca bodmi A a Y ... p1; A∈ p1, Y∈ p1

4. kružnica k1 so stredom Y a polomerom YA ... k1; k1 (Y; |YA|)

5. priesečník A´ priamky p1 a kružnice k1 ... A´; A´∈p1 ∩ k1

6. priamka p2 prechádzajúca bodmi B a Y ... p2; B∈ p2, Y∈ p2

7. kružnica k2 so stredom Y a polomerom YB ... k2; k2 (Y; |YB|)

8. priesečník B´ priamky p2 a kružnice k2 ... B´; B´∈p2 ∩ k2


Konštrukcia

Poznámka: Obrazom úsečky je v danej stredovej súmernosti úsečka s ňou zhodná, t.j.

stredová súmernosť zachováva dĺžku úsečiek.


187

Príklad 211:

Narysujte ľubovoľný trojuholník ABC.

Zostrojte obraz trojuholníka ABC v stredovej súmernosti podľa stredu B.

Riešenie:

Postup konštrukcie


2. obraz A´ bodu A v stredovej súmernosti podľa stredu B ... A´; A´ = SB(A)

3. obraz C´ bodu C v stredovej súmernosti podľa stredu B ... C´; C´ = SB(C)

4. obraz B´ bodu B v stredovej súmernosti podľa stredu B ... B´; B´ = B

5. trojuholník A´B´C´ ... trojuholník A´B´C´

Konštrukcia

Príklad 212:

Narysujte ľubovoľnú kružnicu m so stredom S a polomerom r. Mimo kružnice m zvoľte

bod A. Zostrojte obraz kružnice m v stredovej súmernosti podľa stredu A.

Riešenie:

Postup konštrukcie

1. kružnica m so stredom S a polomerom r ... m; m (S; r)

2. bod A ležiaci mimo kružnice m ... A; |AS| > r

3. bod X ležiaci na kružnici m ... X; X∈ m

4. obraz S´ bodu S v stredovej súmernosti podľa stredu A ... S´; S´ = SA(S)

5. obraz X´ bodu X v stredovej súmernosti podľa stredu A ... X´; X´ = SA(X)

6. kružnica m´ so stredom S´ a polomerom S´X´ ... m´; m ́(S´; |S´X´|)


188

Konštrukcia

Poznámka: Keďže stredová súmernosť zachováva dĺžku úsečiek, trojuholníky ABC

a A´BĆ´ z príkladu 211 sú zhodné a kružnice m a m´ z príkladu 212 majú

rovnaký polomer.

Ø Vezmime do úvahy ľubovoľný štvorec ABCD a priesečník jeho uhlopriečok S.

V stredovej súmernosti podľa stredu S zostrojme obraz A´BĆ´D´ štvorca ABCD.

Vidíme, že ľubovoľnému bodu štvorca ABCD je

v stredovej súmernosti podľa stredu S (S je priesečník

uhlopriečok štvorca ABCD) priradený iný bod tohto

štvorca, t.j. obraz A´BĆ´D´ splýva so vzorom ABCD.

Hovoríme, že štvorec ABCD je stredovo súmerný a

bod S je jeho stredom súmernosti.

Ø Medzi stredovo súmerné rovinné geometrické útvary patria:

• úsečka - stredom súmernosti je jej stred

• priamka - stredom súmernosti je každý jej bod


189

• štvorec, obdĺžnik - stredom súmernosti je priesečník ich uhlopriečok

• kosoštvorec, kosodĺžnik - stredom súmernosti je priesečník ich uhlopriečok

• kružnica, kruh - stredom súmernosti je ich stred

• stredovo súmerný je každý pravidelný mnohouholník s párnym počtom vrcholov,

pričom stredom súmernosti je priesečník uhlopriečok, ktoré spájajú protiľahlé vrcholy

Poznámka: Napr. polpriamka, lichobežník a mnohouholník s nepárnym počtom vrcholov

(t.j. i trojuholník) nie sú stredovo súmerné.


190

13.2 Osová súmernosť

Ø Osová súmernosť podľa priamky o je predpis, ktorý ľubovoľnému bodu

A neležiacemu na priamke o priradí bod A´ tak, že priamka o je osou úsečky AA´.

Zapisujeme: A´ = So(A).

Bodu A hovoríme vzor a bodu A´ obraz v osovej súmernosti podľa priamky o.

Každému vzoru je v danej osovej súmernosti priradený práve jeden obraz.

• priamku o, ktorou je osová súmernosť určená, nazývame os súmernosti (preto obvykle

hovoríme o osovej súmernosti podľa osi o)

Ø Vezmime do úvahy priamku o a bod X neležiaci na priamke o. V osovej súmernosti

podľa osi o zostrojme obraz X´ bodu X.

Postup konštrukcie

1. priamka o ... priamka o

2. bod X neležiaci na priamke o ... X; X∉ o

3. priamka p prechádzajúca bodom X a

kolmá na priamku o ... p; p ⊥ o, X∈ p

4. priesečník S priamok p a o ... S; S∈p ∩ o

5. kružnica k so stredom S a polomerom SX ... k; k (S; |SX|)

6. priesečník X´ priamky p a kružnice k ... X´; X´∈p ∩ k

Konštrukcia

Ø V osovej súmernosti podľa osi o sa každý bod ležiaci na osi o zobrazí sám do seba.


191

Príklad 213:

Daná je úsečka AB s dĺžkou 4 cm.

Zostrojte obraz úsečky AB v osovej súmernosti podľa osi o, ktorá

a) má s úsečkou AB spoločný bod B,

b) nemá s úsečkou AB spoločný žiaden bod.

Riešenie:

a) Postup konštrukcie


2. priamka o prechádzajúca bodom B ... o; B∈ o

3. priamka p prechádzajúca bodom A a

kolmá na priamku o ... p; p ⊥ o, A∈ p

4. priesečník S priamok p a o ... S; S∈p ∩ o

5. kružnica k so stredom S a polomerom SA ... k; k (S; |SA|)

6. priesečník A´ priamky p a kružnice k ... A´; A´∈p ∩ k


Konštrukcia

b) Postup konštrukcie


2. priamka o, ktorá nemá s úsečkou AB

spoločný žiaden bod ... o; o ∩ AB = Ø

3. priamka p1 prechádzajúca bodom A a

kolmá na priamku o ... p1; p1 ⊥ o, A∈ p1

4. priesečník S1 priamok p1 a o ... S1; S1∈p1 ∩ o

5. kružnica k1 so stredom S1 a polomerom S1A ... k1; k1 (S1; |S1 A|)

6. priesečník A´ priamky p1 a kružnice k1 ... A´; A´∈p1 ∩ k1


192

7. priamka p2 prechádzajúca bodom B a

kolmá na priamku o ... p2; p2 ⊥ o, B∈ p2

8. priesečník S2 priamok p2 a o ... S2; S2∈p2 ∩ o

9. kružnica k2 so stredom S2 a polomerom S2B ... k2; k2 (S2; |S2 B|)

10. priesečník B´ priamky p2 a kružnice k2 ... B´; B´∈p2 ∩ k2


Konštrukcia

Poznámka: Obrazom úsečky je v danej osovej súmernosti úsečka s ňou zhodná, t.j. osová

súmernosť zachováva dĺžku úsečiek.

Príklad 214:

Narysujte ľubovoľný trojuholník EFG a priamku o prechádzajúcu vrcholmi F a G

trojuholníka EFG.

Zostrojte obraz trojuholníka EFG v osovej súmernosti podľa osi o.

Riešenie:

Postup konštrukcie

1. trojuholník EFG ... trojuholník EFG

2. priamka o prechádzajúca bodmi F a G ... o; F∈ o, G∈ o

3. obraz E´ bodu E v osovej súmernosti podľa osi o ... E´; E´ = So(E)

4. obraz F´ bodu F v osovej súmernosti podľa osi o ... F´; F´ = F

5. obraz G´ bodu G v osovej súmernosti podľa osi o ... G´; G´ = G

6. trojuholník E´F´G´ ... trojuholník E´F´G´


193

Konštrukcia

Poznámka: Keďže osová súmernosť zachováva dĺžku úsečiek, trojuholníky EFG a E´F´G´

z príkladu 214 sú zhodné.

Ø Vezmime do úvahy ľubovoľný rovnoramenný lichobežník ABCD a priamku

o prechádzajúcu stredmi jeho základní. V osovej súmernosti podľa osi o zostrojme

obraz A´B´C´D´ lichobežníka ABCD.

Vidíme, že ľubovoľnému bodu lichobežníka

ABCD je v osovej súmernosti podľa osi o

prechádzajúcej stredmi jeho základní priradený

iný bod tohto lichobežníka, t.j. obraz A´B´C´D´

splýva so vzorom ABCD.

Hovoríme, že rovnoramenný lichobežník ABCD

je osovo súmerný a priamka o je jeho osou

súmernosti.

Ø Medzi osovo súmerné rovinné geometrické útvary patria:

• úsečka - má jednu os súmernosti

os o prechádza stredom úsečky a je na ňu

kolmá


194

• priamka - má nekonečne veľa osí súmernosti

• uhol - má jednu os súmernosti

os o prechádza vrcholom uhla a rozdeľuje

ho na dva zhodné uhly

• rovnoramenný trojuholník - má jednu os súmernosti

os o je kolmá na základňu a prechádza

protiľahlým vrcholom

• rovnostranný trojuholník - má tri osi súmernosti

každá z osí o1, o2, o3 je kolmá na stranu

a prechádza protiľahlým vrcholom

• štvorec - má štyri osi súmernosti

každá z osí o1, o2 prechádza stredmi

protiľahlých strán a každá z osí o3, o4

prechádza protiľahlými vrcholmi

• obdĺžnik - má dve osi súmernosti

každá z osí o1 a o2 prechádza stredmi

protiľahlých strán


195

• kosoštvorec - má dve osi súmernosti

každá z osí o1, o2 prechádza protiľahlými

vrcholmi

• rovnoramenný lichobežník - má jednu os súmernosti

os o prechádza stredmi základní

• kružnica, kruh - majú nekonečne veľa osí súmernosti

každá z osí prechádza

stredom kružnice, resp.

kruhu

• osovo súmerný je každý pravidelný mnohouholník, pričom počet osí súmernosti

zodpovedá počtu jeho vrcholov

Poznámka: Napr. polpriamka, rôznostranný trojuholník a lichobežník, ktorý nie je

rovnoramenný, nie sú osovo súmerné.


196

14. Stereometria

14.1 Priestorové geometrické útvary

Ø Priestorovými geometrickými útvarmi (t.j. telesami) sa zaoberá stereometria.

Ø Zameriame sa na tieto priestorové geometrické útvary:

• hranoly,

• valce,

• ihlany,

• kužele.

14.2 Hranoly

V hranole ABCDEF (obrázok) platí:

- body A, B, C, D, E, F sú vrcholy,

- úsečky AB, BC, AC, DE, EF, DF, AD, BE, CF sú

hrany, z nich hrany AD, BE a CF sú bočné hrany,

- trojuholníky ABC, DEF a štvoruholníky ABED, BCFE

a ACFD sú steny, pričom stenám ABC a DEF hovoríme

podstavy (dolná a horná) a steny ABED, BCFE a ACFD

nazývame bočné steny (bočné steny tvoria plášť

hranola).

Ø Hranol je priestorový geometrický útvar tvorený

• dvomi podstavami, ktorými sú zhodné konvexné mnohouholníky ležiace v dvoch

navzájom rovnobežných rovinách,

• bočnými stenami, ktorými sú rovnobežníky.

Ø Hranoly, ktorými sa budeme zaoberať, sú tzv. kolmé hranoly. V kolmom hranole sú

bočné hrany kolmé na podstavy.


197

Ø Hranoly sa líšia počtom vrcholov mnohouholníka (n-uholníka; 3≥n , n je prirodzené

číslo), ktorý je ich podstavou. Vo všeobecnosti hovoríme o n-bokých hranoloch.

V školskej matematike sa často stretávame s týmito hranolmi:

• trojboký hranol - jeho podstavou je trojuholník

Každý trojboký hranol má:

- 5 stien (2 podstavy a 3 bočné steny),

- 9 hrán,

- 6 vrcholov.

• štvorboký hranol - jeho podstavou je štvoruholník

Každý štvorboký hranol má:

- 6 stien (2 podstavy a 4 bočné steny),

- 12 hrán,

- 8 vrcholov.

• päťboký hranol - jeho podstavou je päťuholník

Každý päťboký hranol má:

- 7 stien (2 podstavy a 5 bočných stien),

- 15 hrán,

- 10 vrcholov.

• šesťboký hranol - jeho podstavou je šesťuholník

Každý šesťboký hranol má:

- 8 stien (2 podstavy a 6 bočných stien),

- 18 hrán,

- 12 vrcholov.

• n-boký hranol (vo všeobecnosti) má:

n + 2 stien (2 podstavy a n bočných stien), 3.n hrán a 2.n vrcholov

Ø Hranoly, ktorých podstava je pravidelný mnohouholník, sú pravidelné hranoly.

• podstavou pravidelného trojbokého hranola je rovnostranný trojuholník,

• podstavou pravidelného štvorbokého hranola je štvorec,

• podstavou pravidelného päťbokého hranola je pravidelný päťuholník atď.


198

Ø Špeciálnym prípadom štvorbokého hranola je kváder.

Kváder je štvorboký hranol, ktorého podstava je štvorec alebo obdĺžnik.

• v každom kvádri sú dvojice protiľahlých stien zhodné

V kvádri ABCDEFGH (obrázok) zvykneme

- hranu AB označovať a a nazývať dĺžka kvádra,

- hranu BC označovať b a nazývať šírka kvádra,

- hranu BF označovať c a nazývať výška kvádra.

Veľkosti hrán a, b, c, t.j. hrán vychádzajúcich z toho

istého vrcholu, nazývame rozmery kvádra.

Ø Špeciálnym prípadom kvádra je kocka.

Kocka je kváder, ktorého všetky steny sú zhodné štvorce.

V kocke majú všetky hrany rovnakú veľkosť.

Ø Povrch hranola je súčet obsahov jeho podstáv a plášťa.

• ak Sp je obsah podstavy a Spl obsah plášťa hranola, potom pre jeho povrch (S) platí:

plp SSS += .2

- obsah plášťa hranola je súčet obsahov všetkých bočných stien daného hranola

Ø Objem hranola je súčin obsahu jeho podstavy a výšky.

• ak Sp je obsah podstavy a v výška hranola, potom pre jeho objem (V) platí:

vSV p .=

- výška hranola je veľkosť jeho bočnej hrany


199

Ø Vezmime do úvahy kváder s rozmermi a, b, c.

- pre obsah podstavy (Sp) platí: baS p .=

- pre obsah plášťa (Spl) platí: cacbS pl ..2..2 +=

Pre povrch kvádra s rozmermi a, b, c platí:

( )cacbbacacbbaSSS plp ....2..2..2..2.2 ++=++=+= .

Pre objem kvádra s rozmermi a, b, c platí:

cbavSV p ... == .

Ø Vezmime do úvahy kocku s hranou a.

- pre obsah podstavy (Sp) platí: 2. aaaS p ==

- pre obsah plášťa (Spl) platí: 2.4..4 aaaS pl ==

Pre povrch kocky s hranou a platí:

2.6..6..4..2.2 aaaaaaaSSS plp ==+=+= .

Pre objem kocky s hranou a platí:

3... aaaavSV p === .

Poznámka: Povrch hranola ako aj iných telies vyjadrujeme v jednotkách plochy.

Objem hranola ako aj iných telies vyjadrujeme v jednotkách objemu.

Pripomíname:

Schéma prevodov jednotiek objemu:

: 1 000 : 1 000 : 1 000 : 1 000 000 000

mm3 cm3 dm3 m3 km3

. 1 000 . 1 000 . 1 000 . 1 000 000 000


200

Medzi jednotkami objemu existujú vzťahy:

1 km3 = 1 000 000 000 m3 1 m3 = 1 000 dm3

1 dm3 = 1 000 cm3

1 cm3 = 1 000 mm3

Mimo uvedených jednotiek objemu sa používajú aj jednotky mililiter (označ.: ml), centiliter

(označ.: cl), deciliter (označ.: dl), liter (označ.: l) a hektoliter (označ.: hl). Medzi týmito

jednotkami existujú vzťahy:

1 hl = 100 l

1 l = 10 dl

1 dl = 10 cl

1 cl = 10 ml

Platí rovnosť: 1 dm3 = 1 l.

Príklad 215:

Premeňte na jednotky uvedené v zátvorke:

a) 12 m3 (dl) =

b) 12 cl (cm3) =

c) 12 hl (m3) =

Riešenie:

Využijeme rovnosť 1 dm3 = 1 l.

a) 12 m3 = 12 000 dm3 = 12 000 l = 120 000 dl

b) 12 cl = 1,2 dl = 0,12 l = 0,12 dm3 = 120 cm3

c) 12 hl = 1 200 l = 1 200 dm3 = 1,2 m3

Príklad 216:

Veľká kocka s objemom 1 dm3 je zložená z malých kociek, z ktorých každá má objem

1 cm3. Koľko malých kociek tvorí veľkú kocku?

Riešenie:

objem veľkej kocky ... V1 = 1 dm3 = 1 000 cm3

objem malej kocky ... V2 = 1 cm3

počet malých kociek, ktoré tvoria veľkú kocku ... x__________________


201

Pre počet (x) malých kociek, ktoré tvoria veľkú kocku, platí:

x = objem veľkej kocky : objem malej kocky

(oba objemy musia byť vyjadrené v rovnakých jednotkách objemu).

Označme objem veľkej kocky V1 a objem malej kocky V2. Platí:

10001:1000: 21 === VVx .

Veľkú kocku tvorí 1 000 malých kociek.

Príklad 217:

Aký objem (v litroch) má veľká kocka, ktorá je zložená zo 125 malých kociek, z ktorých

každá má objem 8 cm3?

Riešenie:

objem malej kocky ... V1 = 8 cm3

počet malých kociek, ktoré tvoria veľkú kocku ... 125

objem veľkej kocky ... x l ___

Pre objem veľkej kocky (x) zloženej zo 125 malých kociek s objemom V1 = 8 cm3 platí:

x = V1 . 125 = 8 cm3 . 125 = 1 000 cm3 = 1 dm3 = 1 l.

Veľká kocka, ktorá je zložená zo 125 malých kociek s objemom 8 cm3, má objem 1 liter.

Príklad 218:

Aký objem (v litroch) má kocka s hranou

a) a = 1 dm,

b) a = 1 m?

Riešenie:

a) hrana kocky ... a = 1 dm

objem kocky ... V = x l__

Pre objem (V) kocky s hranou a = 1 dm platí:

V = a3

V = 13

V = 1 dm3 = 1 l

Objem kocky s hranou a = 1 dm je 1 liter.


202

b) hrana kocky ... a = 1 m

objem kocky ... V = x l_

Pre objem (V) kocky s hranou a = 1 m platí:

V = a3

V = 13

V = 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 l

Objem kocky s hranou a = 1 m je 1 000 litrov.

Príklad 219:

Vnútorné rozmery akvária tvaru kvádra sú 80 cm, 70 cm a 30 cm. Koľko litrov vody sa

doň zmestí?

Riešenie:

vnútorné rozmery akvária ... a = 80 cm, b = 70 cm, c = 30 cm

množstvo vody, ktoré sa zmestí do akvária ... x l________________________

Množstvo vody (x), ktoré sa zmestí do akvária, zodpovedá jeho objemu (V):

V = a . b . c

V = 80 . 70 . 30

V = 168 000 cm3 = 168 dm3 = 168 l

Do akvária sa zmestí 168 litrov vody.

Príklad 220:

Koľkokrát väčší je povrch kocky s hranou 1 dm než povrch menšej kocky s hranou

1 cm?

Riešenie:

hrana väčšej kocky ... a1 = 1 dm = 10 cm

hrana menšej kocky ... a2 = 1 cm

povrch kocky s hranou 1 dm je x-krát väčší než povrch kocky s hranou 1 cm__

Označme S1 povrch väčšej kocky s hranou a1 a S2 povrch menšej kocky s hranou a2. Platí: 222

11 cm 600100.610.6.6 ==== aS

22222 cm 61.6.6 === aS


203

Vypočítame, koľkokrát väčší je povrch väčšej kocky než povrch menšej kocky (oba povrchy

musia byť vyjadrené v rovnakých jednotkách plochy):

1006:600: 21 === SSx .

Povrch kocky s hranou 1 dm je 100-krát väčší než povrch menšej kocky s hranou 1 cm.

Príklad 221:

Na obrázku je kváder ABCDEFGH s rozmermi a = 8 cm, b = 6 cm, c = 4 cm.

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových)

a) steny ADHE,

b) steny DCGH,

c) steny EFGH.

Riešenie:

a) Strana AD steny (obdĺžnika) ADHE má dĺžku cm 6=b , strana DH má dĺžku

cm 4=c . Pre obsah (S) steny ADHE platí: === 4.6.cbS 24 cm2.

b) Strana DC steny (obdĺžnika) DCGH má dĺžku cm 8=a , strana CG má dĺžku

cm 4=c . Pre obsah (S) steny DCGH platí: === 4.8.caS 32 cm2.

c) Strana EF steny (obdĺžnika) EFGH má dĺžku cm 8=a , strana FG má dĺžku

cm 6=b . Pre obsah (S) steny EFGH platí: === 6.8.baS 48 cm2.

Príklad 222:

Najmenej koľko centimetrov štvorcových papiera spotrebujeme, ak ním oblepíme

všetky steny kvádra s dĺžkou 8 cm, šírkou 6 cm a výškou 4 cm?

Riešenie:

dĺžka kvádra ... a = 8 cm

šírka kvádra ... b = 6 cm

výška kvádra ... c = 4 cm

minimálna spotreba papiera ... x cm2___


204

Minimálna spotreba papiera (x) na oblepenie stien kvádra zodpovedá jeho povrchu (S):

S = 2 . (a.b + b.c + a.c)

S = 2 . (8.6 + 6.4 + 8.4) = 2 . (48 + 24 + 32) = 2 . 104 = 208 cm2

Na oblepenie stien kvádra spotrebujeme najmenej 208 cm2 papiera.

Príklad 223:

Všetky steny nového bazéna tvaru kvádra, vrátane jeho dna, je potrebné obložiť

keramickým obkladom. Najmenej koľko metrov štvorcových keramického obkladu

budeme na obloženie dna a bočných stien bazéna potrebovať, ak bazén má rozmery dna

15 m a 7 m a hĺbku 180 cm?

Riešenie:

rozmery dna bazéna ... a = 15 m, b = 7 m

hĺbka bazéna: c = 180 cm = 1,8 m

minimálna potreba keramického obkladu ... x m2____________

Minimálna potreba keramického obkladu (x) na obloženie dna a bočných stien bazéna

zodpovedá súčtu obsahu dna (S1) a obsahu bočných stien (S2).

- hĺbka bazéna je totožná s hranou c

Počítajme:

S1 = a.b = 15.7 = 105 m2

S2 = 2.a.c + 2.b.c = 2.15.1,8 + 2.7.1,8 = 54 + 25,2 = 79,2 m2

Vypočítame minimálnu potrebu keramického obkladu:

x = S1 + S2 = 105 m2 + 79,2 m2 = 184,2 m2.

Na obloženie dna a bočných stien bazéna budeme potrebovať najmenej 184,2 m2

keramického obkladu.

Príklad 224:

Dané sú dva kvádre – zelený a hnedý. Hnedý kváder má rozmery dvakrát väčšie ako

zelený. Koľkokrát väčší je objem hnedého kvádra než objem zeleného kvádra?


205

Riešenie:

Úlohu je možné riešiť tak, že ako rozmery zeleného kvádra zvolíme ľubovoľné kladné čísla.

• ak rozmery zeleného kvádra sú napr. 5 j, 4 j, 3 j (j je označenie pre zvolenú jednotku

dĺžky), potom dvakrát väčšie rozmery hnedého kvádra sú 2.5 = 10 j, 2.4 = 8 j, 2.3 = 6 j

Označme objem zeleného kvádra V1 a objem hnedého kvádra V2. Pri výpočte V1 a V2

využijeme vzorec V = a.b.c, kde a, b, c sú rozmery kvádra. Počítajme:

V1 = 5.4.3 = 60 j3,

V2 = 10.8.6 = 480 j3, kde j3 je označenie pre príslušnú jednotku objemu

Vypočítame, koľkokrát väčší je objem hnedého kvádra než objem zeleného kvádra:

V2 : V1 = 480 : 60 = 8.

Objem hnedého kvádra je 8-krát väčší než objem zeleného kvádra.

Príklad 225:

Dané sú dve kocky – zelená a hnedá. Hrana hnedej kocky je trikrát kratšia ako hrana

zelenej kocky. Koľkokrát väčší je povrch zelenej kocky než povrch hnedej kocky?

Riešenie:

Úlohu je možné riešiť tak, že ako dĺžku hrany zelenej kocky zvolíme ľubovoľné kladné číslo.

• ak dĺžka hrany zelenej kocky je napr. 3 j, potom trikrát kratšia hrana hnedej kocky má

dĺžku 3:3 = 1 j

Označme povrch zelenej kocky S1 a povrch hnedej kocky S2. Pri výpočte S1 a S2 využijeme

vzorec S = 6.a2, kde a je hrana kocky. Počítajme:

S1 = 6.32 = 6.9 = 54 j2,

S2 = 6.12 = 6.1 = 6 j2, kde j2 je označenie pre príslušnú jednotka plochy

Vypočítame, koľkokrát väčší je povrch zelenej kocky než povrch hnedej kocky:

S1 : S2 = 54 : 6 = 9.

Povrch zelenej kocky je 9-krát väčší než povrch hnedej kocky.

Príklad 226:

V nádobe tvaru kvádra s vnútornými rozmermi dna 3 decimetre a 2 decimetre sú 3 litre

vody. Do akej výšky (v centimetroch) siaha voda v tejto nádobe?

Riešenie:


206

vnútorné rozmery dna nádoby ... a = 3 dm = 30 cm

... b = 2 dm = 20 cm

množstvo vody v nádobe ... 3 l = 3 dm3 = 3 000 cm3

výška, do akej siaha voda v nádobe ... v cm_______________

Voda v nádobe tvorí vodné teleso takého tvaru, akého je vnútro danej nádoby – v našom

prípade tvaru kvádra. Úlohou je vypočítať výšku vodného telesa – označme ju v.

Množstvo vody v nádobe predstavuje objem vodného telesa (v našom prípade 3 000 cm3).

Vnútorné rozmery nádoby sú rozmermi vodného telesa (v našom prípade sú známe rozmery

podstavy a = 30 cm a b = 20 cm a tretím rozmerom je výška v).

Pre objem (V) vodného telesa tvaru kvádra s rozmermi a, b, v platí:

V = a . b . v

3 000 = 30 . 20 . v

3 000 = 600.v

600.v = 3 000 /:600

v = 5 cm

Voda v nádobe siaha do výšky 5 cm.

Príklad 227:

Na obrázku je trojboký hranol ABCDEF s výškou v a podstavou v tvare pravouhlého

trojuholníka s odvesnami a, b.


207

a) Nech cm 6=a , cm 8=b a cm 20=v .

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) steny BCFE hranola ABCDEF.

b) Nech cm 3=a , cm 4=b a cm 10=v .

Vypočítajte objem (v centimetroch kubických) hranola ABCDEF.

c) Nech objem hranola ABCDEF je 1 620 cm3 a obsah jeho podstavy 54 cm2.

Vypočítajte výšku (v centimetroch) hranola ABCDEF.

Riešenie:

a) Stena BCFE má tvar obdĺžnika s rozmermi a = 6 cm, v = 20 cm.

Obsah (S) obdĺžnika počítame podľa vzorca baS .= , kde a, b sú rozmery daného

obdĺžnika. V obdĺžniku BCFE je b = v. Platí:

S = a . v

S = 6 . 20

S = 120 cm2

Obsah steny BCFE hranola ABCDEF je 120 cm2.

b) Objem (V) hranola počítame podľa vzorca vSV p .= , kde Sp je obsah podstavy a

v výška daného hranola.

Najskôr vypočítame obsah podstavy (Sp ) hranola ABCDEF.

- podstavou hranola ABCDEF je pravouhlý trojuholník ABC s odvesnami

cm 3=a a cm 4=b , ktoré sú na seba kolmé (strana b je výškou na stranu a

v tomto trojuholníka)

- platí: 2cm 62

1224.3

2.

====baS p

Pre objem (V) hranola ABCDEF platí:

V = Sp . v

V = 6 . 10

V = 60 cm3

Objem hranola ABCDEF je 60 cm3.

c) Výšku (v) hranola ABCDEF vypočítame zo vzorca vSV p .= , kde V je jeho objem a Sp

obsah jeho podstavy.

Počítajme:


208

V = Sp . v

1 620 = 54 . v

54v = 1 620 /:54

v = 30 cm

Výška hranola ABCDEF je 30 cm.

Príklad 228:

Na obrázku je kocka ABCDEFGH s hranou dĺžky 4 dm. Jej časťou je trojboký hranol

PBQRFS (P je stred hrany AB, Q je stred hrany BC, R je stred hrany EF a S je stred

hrany FG kocky ABCDEFGH).

Vypočítajte objem (v decimetroch kubických) telesa APQCDERSGH, ktoré zostane ako

zvyšok po odňatí trojbokého hranola PBQRFS z kocky ABCDEFGH.

Riešenie:

Objem (V) telesa APQCDERSGH je rozdielom objemu (V1) kocky ABCDEFGH a

objemu (V2) trojbokého hranola PBQRFS.

• pre objem (V1) kocky ABCDEFGH s hranou a = 4 dm platí:

V1 = a3

V1 = 43 = 64 dm3

• pre objem (V2) trojbokého hranola PBQRFS platí:

V2 = Sp.v, kde Sp je obsah podstavy hranola PBQRFS (podstavou je pravouhlý

trojuholník PBQ s pravým uhlom pri vrchole B) a v je výška tohto hranola

(výška hranola PBQRFS je zhodná s hranou kocky ABCDEFGH, t.j.

v = a = 4 dm).

- najskôr vypočítame obsah (Sp) podstavy PBQ hranola PBQRFS:


209

- strany PB a BQ trojuholníka PBQ sú

na seba kolmé, t.j. strana BQ je výškou

na stranu PB tohto trojuholníka,

- keďže kocka ABCDEFGH má hranu dĺžky

4 dm, vo štvorci ABCD (obrázok) je

dm 4== BCAB ,

- bod P je stred strany AB a bod Q je stred

strany BC štvorca ABCD, preto

dm 2dm 24

=== BQPB

Počítajme: 2dm 224

22.2

2.

====BQPB

S p .

Po dosadení do vzorca V2 = Sp.v máme:

V2 = 2 . 4

V2 = 8 dm3

Pre objem (V) telesa APQCDERSGH platí:

V = V1 – V2 = 64 dm3 – 8 dm3 = 56 dm3.

Objem telesa APQCDERSGH je 56 dm3.

Príklad 229:

Na obrázku je pravidelný osemboký hranol s hranou podstavy cm 3=a a výškou

cm 10=v . Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) plášťa tohto hranola.

Riešenie:

Plášť pravidelného osembokého hranola je tvorený ôsmimi zhodnými bočnými stenami

(v našom prípade v tvare obdĺžnika s rozmermi a = 3 cm, v = 10 cm).


210

Obsah plášťa (Spl) daného hranola vypočítame podľa vzťahu Spl = 8.S*, kde S* je obsah

každej z jeho bočných stien.

- pre obsah (S*) bočnej steny hranola platí: S* = a . v = 3 . 10 = 30 cm2

Po dosadení do vzťahu Spl = 8.S* máme: Spl = 8 . 30

Spl = 240 cm2

Obsah plášťa daného hranola je 240 cm2.

Príklad 230:

Vypočítajte obsah (v centimetroch štvorcových) bočnej steny pravidelného štvorbokého

hranola, ktorého povrch je 250 cm2 a obsah dolnej podstavy 25 cm2.

Riešenie:

povrch hranola ... 250 cm2

obsah dolnej podstavy hranola ... 25 cm2

obsah bočnej steny hranola ... x cm2 _

Pri výpočte obsahu bočnej steny daného hranola využijeme dve skutočnosti:

- každý hranol má dve zhodné podstavy (dolnú a hornú),

- pravidelný štvorboký hranol má štyri zhodné bočné steny, ktoré tvoria jeho

plášť.

Budeme vychádzať zo vzorca S = 2.Sp + Spl, kde Sp je obsah podstavy a Spl je obsah plášťa

hranola. Počítajme:

S = 2.Sp + Spl

250 = 2.25 + Spl

250 = 50 + Spl

50 + Spl = 250 /–50

Spl = 200 cm2

Pre obsah (Spl) plášťa daného hranola platí: Spl = 4.S*, kde S* je obsah každej z bočných stien.

Počítajme:

Spl = 4 . S*

200 = 4 . S*

4.S* = 200 /:4

S* = 50 cm2

Obsah bočnej steny pravidelného štvorbokého hranola je 50 cm2.


211

14.3 Valce

V (rotačnom) valci (obrázok) platí:

- úsečka S1S2 spájajúca stredy podstáv je výška (v)

valca,

- podstavami sú zhodné kruhy s polomerom r,

- plášťom je (po rozvinutí) obdĺžnik s dĺžkou o

(o je obvod podstavy valca) a šírkou v (v je výška

valca).

Ø (Rotačný) valec je priestorový geometrický útvar tvorený

• dvomi podstavami, ktorými sú zhodné kruhy ležiace v dvoch navzájom rovnobežných

rovinách,

• plášťom, ktorým je (po jeho rozvinutí) obdĺžnik.

Ø V rotačných valcoch (ktorými sa zaoberáme) je úsečka spájajúca stredy podstáv

kolmá na polomer týchto podstáv.

Ø Povrch valca je súčet obsahov jeho podstáv a plášťa.

• ak Sp je obsah podstavy a Spl obsah plášťa valca, potom pre jeho povrch (S) platí:

plp SSS += .2

- keďže podstavou valca je kruh s polomerom r, pre jej obsah (Sp) platí:2.rS p π=

- keďže plášťom valca je (po jeho rozvinutí) obdĺžnik s rozmermi o (o je obvod

podstavy valca s polomerom r, resp. priemerom rd .2= ) a v (v je výška valca),

pre jeho obsah (Spl) platí:

vdvrvoS pl .....2. π=π==

Ø Objem valca je súčin obsahu jeho podstavy a výšky.

• ak Sp je obsah podstavy a v výška valca, potom pre jeho objem (V) platí:

vSV p .=


212

Príklad 231:

Daný je valec s priemerom podstavy 2 dm a výškou 1 dm. Vypočítajte

a) obsah (v decimetroch štvorcových) podstavy valca,

b) obsah (v decimetroch štvorcových) plášťa valca,

c) povrch (v decimetroch štvorcových) valca,

d) objem (v decimetroch kubických) valca.



Riešenie:

priemer podstavy valca ... d = 2 dm

výška valca ... v = 1 dm

Ak je priemer (d) podstavy valca 2 dm, potom jej polomer (r) je 1 dm.

a) Pre obsah (Sp) podstavy valca platí:

Sp = π.r2 = 3,14.12 = 3,14 dm2.

Obsah podstavy valca je 3,14 dm2.

b) Pre obsah (Spl) plášťa valca platí:

Spl = o.v, kde o je obvod podstavy valca a v jeho výška.

- obvod (o) podstavy valca je o = 2.π.r = 2.3,14.1 = 6,28 dm

Po dosadení do vzorca Spl = o.v máme: Spl = 6,28.1 = 6,28 dm2.

Obsah plášťa valca je 6,28 dm2.

c) Pre povrch (S) valca platí:

S = 2.Sp + Spl.

- v a) sme vypočítali, že Sp = 3,14 dm2 a v b) sme vypočítali, že Spl = 6,28 dm2

Po dosadení do vzorca S = 2.Sp + Spl máme: S = 2.3,14 + 6,28 = 12,56 dm2.

Povrch valca je 12,56 dm2.

d) Pre objem (V) valca platí:

V = Sp.v.

- v a) sme vypočítali, že Sp = 3,14 dm2

Po dosadení do vzorca V = Sp.v máme: V = 3,14.1 = 3,14 dm3.

Objem valca je 3,14 dm3.


213

Príklad 232:

Daná je kocka ABCDEFGH s hranou dm. 2=a Vypočítajte objem (v decimetroch

kubických) valca vpísaného do danej kocky.



Riešenie:

Pre valec vpísaný do kocky platí:

• dolná podstava valca leží v dolnej podstave kocky a horná podstava valca leží v hornej

podstave kocky, teda výška (v) valca je rovná dĺžke hrany (a) kocky,

• podstava valca leží v podstave kocky tak, že priemer (d) podstavy valca je rovný

dĺžke strany (a) podstavy kocky (obrázok).

Z uvedeného vyplýva, že priemer podstavy valca je v našom prípade dm 2=d (jej polomer je

dm 1=r ) a jeho výška je dm. 2=v

Pre výpočet objemu (V) daného valca využijeme vzorec vSV p .= , kde Sp je obsah jeho

podstavy.

- obsah (Sp) podstavy valca je 2.rS p π= = 3,14.12 = 3,14.1 = 3,14 dm2

Po dosadení do vzorca V = Sp.v máme: V = 3,14.2 = 6,28 dm2.

Objem valca vpísaného do kocky ABCDEFGH s hranou dm 2=a je 6,28 dm2.

Príklad 233:

Daný je valec, v ktorom sa obsah podstavy rovná obsahu plášťa. Vypočítajte výšku

(v decimetroch) tohto valca, ak priemer jeho podstavy je dm. 4=d


bez zaokrúhľovania.


214

Riešenie:

priemer podstavy valca ... dm 4=d

výška valca ... v = x dm_

Zo zadania úlohy máme, že pre obsah podstavy (Sp) a obsah plášťa (Spl) valca platí: Sp = Spl.

- obsah podstavy počítame podľa vzorca Sp = π.r2 (r je polomer podstavy),

- obsah plášťa počítame podľa vzorca Spl = o.v, (o = 2.π.r je obvod podstavy a

v je výška valca)

Ak priemer (d) podstavy valca je 4 dm, potom jej polomer (r) je 2 dm.

Počítajme: Sp = Spl

π.r2 = o.v

π.r2 = 2.π.r.v

3,14.22 = 2.3,14.2.v

12,56 = 12,56.v

12,56.v = 12,56 /:12,56

v = 1 dm

Výška daného valca je 1 dm.

14.4 Ihlany

V ihlane ABCD (obrázok) platí:

- body A, B, C, D sú vrcholy, z nich vrchol D je hlavný vrchol,

- úsečky AB, BC, AC, AD, BD, CD sú hrany, z nich hrany AD,

BD a CD sú bočné hrany (spoločný bod bočných hrán je hlavný

vrchol),

- trojuholníky ABC, ABD, BCD, ACD sú steny, pričom stene

ABC hovoríme podstava a steny ABD, BCD, ACD nazývame

bočné steny (bočné steny tvoria plášť ihlana).

Ø Ihlan je priestorový geometrický útvar tvorený

• jednou podstavou, ktorou je konvexný mnohouholník,

• bočnými stenami, ktorými sú trojuholníky.


215

Ø Ihlany sa líšia počtom vrcholov mnohouholníka (n-uholníka; 3≥n , n je prirodzené

číslo), ktorý je ich podstavou. Vo všeobecnosti hovoríme o n-bokých ihlanoch.

V školskej matematike sa často stretávame s týmito ihlanmi:

• trojboký ihlan - jeho podstavou je trojuholník

Každý trojboký ihlan má:

- 4 steny (1 podstava a 3 bočné steny),

- 6 hrán,

- 4 vrcholy.

• štvorboký ihlan - jeho podstavou je štvoruholník

Každý štvorboký ihlan má:

- 5 stien (1 podstava a 4 bočné steny),

- 8 hrán,

- 5 vrcholov.

• päťboký ihlan - jeho podstavou je päťuholník

Každý päťboký ihlan má:

- 6 stien (1 podstava a 5 bočných stien),

- 10 hrán,

- 6 vrcholov.

• šesťboký ihlan - jeho podstavou je šesťuholník

Každý šesťboký ihlan má:

- 7 stien (1 podstava a 6 bočných stien),

- 12 hrán,

- 7 vrcholov.

• n-boký ihlan (vo všeobecnosti) má:

n + 1 stien (1 podstava a n bočných stien), 2.n hrán a n + 1 vrcholov

Ø Pravidelné ihlany spĺňajú dve kritériá:

• podstavou je pravidelný mnohouholník,

• bočné steny sú zhodné trojuholníky.


216

Ø Špeciálnym prípadom trojbokého ihlana (štvorstena) je pravidelný štvorsten.

Pravidelný štvorsten je trojboký ihlan, ktorého všetky steny sú zhodné rovnostranné

trojuholníky.

V pravidelnom štvorstene majú všetky hrany

rovnakú veľkosť.

Ø Povrch ihlana je súčet obsahov jeho podstavy a plášťa.

• ak Sp je obsah podstavy a Spl obsah plášťa ihlana, potom pre jeho povrch (S) platí:

plp SSS +=

- obsah plášťa ihlana je súčet obsahov všetkých bočných stien daného ihlana

Ø Objem ihlana je tretina zo súčinu obsahu jeho podstavy a výšky.

• ak Sp je obsah podstavy a v výška ihlana, potom pre jeho objem (V) platí:

3.vS

V p=

- výška ihlana je úsečka zostrojená z hlavného vrcholu ihlana kolmo na rovinu,

v ktorej leží podstava daného ihlana

Výška ihlana je kolmá na každú priamku ležiacu

v rovine, v ktorej leží jeho podstava.

- výška v ihlana ABCDE (obrázok) je kolmá

napr. na priamky, na ktorých ležia

uhlopriečky AC a BD podstavy ABCD

Príklad 234:

Daná je kocka ABCDEFGH s hranou dĺžky 3 dm a v jej vnútri ihlan ABCDH.

Vypočítajte objem (v decimetroch kubických) ihlana ABCDH.

Riešenie:


217

Pre ihlan ABCDH platí:

- podstavou je štvorec ABCD so stranou a = 3 dm,

- výškou (v) je hrana DH s dĺžkou 3 dm.

Objem (V) ihlana ABCDH vypočítame podľa vzorca

3

.vSV p= , kde Sp je obsah jeho podstavy a v výška.

- obsah podstavy ihlana ABCDH je Sp = a2 = 32 = 9 dm2

Po dosadení do vzorca 3.vS

V p= máme: ===3

2733.9V 9 dm2.

Objem ihlana ABCDH je 9 dm2.

Príklad 235:

Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDE, v ktorom hrana podstavy má rovnakú

dĺžku ako výška každej z bočných stien tvoriacich plášť.

Vypočítajte povrch (v centimetroch štvorcových) ihlana ABCDE, ak obsah jeho plášťa

je o 16 cm2 väčší ako obsah podstavy.

Riešenie:

Podstavou pravidelného štvorbokého ihlana je štvorec.

Jeho plášť je tvorený štyrmi zhodnými trojuholníkmi.

Zo zadania úlohy máme, že obsah plášťa (Spl) ihlana

ABCDE je o 16 cm2 väčší ako obsah (Sp) jeho podstavy,

t.j. Spl = Sp + 16.

Obsah podstavy ihlana ABCDE, ktorá má tvar štvorca so stranou a, vypočítame podľa vzťahu

Sp = a2.

Obsah plášťa ihlana ABCDE vypočítame podľa vzťahu Spl = 4.S*, kde S* je obsah každej

z jeho bočných stien tvaru trojuholníka so stranou a a výškou va na stranu a rovnou dĺžke

tejto strany (t.j. va = a).

- pre obsah (S*) bočnej steny ihlana platí: 22

.2.

*2aaava

S a ===

- po dosadení do vzťahu Spl = 4.S* máme: Spl = 22

24

24 aa

⋅=⋅ = 2.a2


218

Počítajme: Spl = Sp + 16

2a2 = a2 + 16 /–a2

a2 = 16

a = 4 cm, pretože 42 = 16

Pre povrch (S) ihlana ABCDE platí: S = Sp + Spl = a2 + 2a2 = 3a2 = 3.42 = 3.16 = 48 cm2.

Povrch ihlana ABCDE je 48 cm2.

Príklad 236:

Na obrázku je teleso, ktoré vzniklo spojením dvoch zhodných pravidelných štvorstenov

s hranou dĺžky 1 dm.

Určte

a) počet vrcholov telesa,

b) počet takých vrcholov telesa, ktoré sú spoločnými bodmi štyroch jeho hrán,

c) počet stien telesa,

d) súčet dĺžok všetkých hrán telesa.

Riešenie:

a) Počet vrcholov telesa je 5.

b) Počet takých vrcholov telesa, ktoré sú spoločnými bodmi štyroch jeho hrán, je 3.

c) Počet stien telesa je 6.

d) Súčet dĺžok všetkých hrán telesa je 9 dm.

14.5 Kužele

V (rotačnom) kuželi (obrázok) platí:

- úsečka SV spájajúca stred (S) podstavy a vrchol

(V) kužeľa je výška (v) kužeľa,

- úsečka AV je strana (s) kužeľa,

- podstavou je kruh s polomerom r,

- plášťom je (po jeho rozvinutí) kruhový výsek.


219

Ø (Rotačný) kužeľ je priestorový geometrický útvar tvorený

• jednou podstavou, ktorou je kruh,

• plášťom, ktorým je (po jeho rozvinutí) kruhový výsek.

Ø V rotačných kužeľoch (ktorými sa zaoberáme) je úsečka spájajúca stred podstavy

a vrchol kužeľa kolmá na polomer tejto podstavy.

Ø Povrch kužeľa je súčet obsahov jeho podstavy a plášťa.

• ak Sp je obsah podstavy a Spl obsah plášťa kužeľa, potom pre jeho povrch (S) platí:

plp SSS +=

- pre obsah plášťa kužeľa platí vzorec Spl = π.r.s, kde r je polomer podstavy

a s strana kužeľa

Ø Objem kužeľa je tretina zo súčinu obsahu jeho podstavy a výšky.

• ak Sp je obsah podstavy a v výška kužeľa, potom pre jeho objem (V) platí:

3.vS

V p=

Príklad 237:

Daný je kužeľ, ktorého strana, výška a polomer podstavy sú v pomere .3:4:5

Vypočítajte povrch (v centimetroch štvorcových) a objem (v centimetroch kubických)

daného kužeľa, ak obsah jeho podstavy je o 75,36 cm2 menší ako obsah plášťa.



Riešenie:

Strana (s), výška (v) a polomer (r) podstavy daného kužeľa sú v pomere 3:4:5 . Strana je

teda tvorená piatimi dielikmi, výška štyrmi dielikmi a polomer je tvorený tromi dielikmi,

pričom každý z dielikov má dĺžku x cm. Platí: s = 5.x cm, v = 4.x cm a r = 3.x cm.


220

Zo zadania úlohy máme, že obsah (Sp) podstavy kužeľa je o 75,36 cm2 menší ako obsah (Spl)

jeho plášťa, t.j. Sp = Spl – 75,36.

- obsah podstavy, ktorá má tvar kruhu, vypočítame podľa vzťahu 2.rS p π=

(r je polomer podstavy)

Platí: Sp = π.r2 = 3,14.(3.x)2 = 3,14.9.x2 = 28,26x2 cm2.

- obsah plášťa, ktorý má tvar kruhového výseku, vypočítame podľa vzťahu

srS pl ..π= (r je polomer podstavy, s je strana kužeľa)

Platí: Spl = π.r.s = 3,14.(3.x).(5.x) = 3,14.15.x2 = 47,1x2 cm2.

Počítajme: Sp = Spl – 75,36

28,26x2 = 47,1x2 – 75,36

47,1x2 – 75,36 = 28,26x2 /–28,26x2

18,84x2 – 75,36 = 0 /+75,36

18,84x2 = 75,36 /:18,84

x2 = 4

x = 2 cm, pretože 22 = 4

Po dosadení do s = 5.x cm, v = 4.x cm a r = 3.x cm máme:

s = 5.x cm = 5.2 cm = 10 cm,

v = 4.x cm = 4.2 cm = 8 cm,

r = 3.x cm = 3.2 cm = 6 cm.

Pre povrch (S) daného kužeľa platí:

S = Sp + Spl = π.r2 + π.r.s = 3,14.62 + 3,14.6.10 = 3,14.36 + 3,14.60 = 301,44 cm2.

Pre objem (V) daného kužeľa platí:

3..

3. 2 vrvS

V p π== .cm 44,301

332,904

38.36.14,3

38.6.14,3 3

2====

Povrch daného kužeľa je 301,44 cm2 a jeho objem je 301,44 cm3.


221

15. Pytagorova veta

Ø Už v staroveku bolo známe, že pre každý pravouhlý trojuholník platí:

druhá mocnina dĺžky prepony c pravouhlého trojuholníka je rovná súčtu druhej

mocniny dĺžky jeho odvesny a a druhej mocniny dĺžky jeho odvesny b, resp. stručne

c2 = a2 + b2.

• uvedené tvrdenie je známe ako Pytagorova veta

Príklad 238:

Zistite, či trojuholníky s danými dĺžkami strán sú pravouhlé:

a) 6 cm, 8 cm, 10 cm,

b) 8 cm, 10 cm, 12 cm.

Riešenie:

Využijeme skutočnosť, že trojuholník je pravouhlý práve vtedy, keď v ňom platí

Pytagorova veta.

a) Predpokladajme, že trojuholník so stranami dĺžky 6 cm, 8 cm a 10 cm je pravouhlý

(najdlhšiu stranu budeme považovať za preponu, ostatné strany za odvesny). Potom

v ňom musí platiť Pytagorova veta, t.j. musí byť splnená rovnosť 102 = 62 + 82.

Počítajme: 102 = 62 + 82

100 = 36 + 64

100 = 100

Dostali sme pravdivý výrok „100 = 100“, t.j. v trojuholníku so stranami dĺžky 6 cm,

8 cm a 10 cm platí Pytagorova veta, teda trojuholník je pravouhlý.

b) Predpokladajme, že trojuholník so stranami dĺžky 8 cm, 10 cm a 12 cm je pravouhlý

(najdlhšiu stranu budeme považovať za preponu, ostatné strany za odvesny). Potom

v ňom musí platiť Pytagorova veta, t.j. musí byť splnená rovnosť 122 = 82 + 102.

Počítajme: 122 = 82 + 102

144 = 64 + 100

144 = 164


222

Dostali sme nepravdivý výrok „144 = 164“, t.j. v trojuholníku so stranami dĺžky 8 cm,

10 cm a 12 cm neplatí Pytagorova veta, teda trojuholník nie je pravouhlý.

Príklad 239:

Na obrázku sú pravouhlé trojuholníky ABC a KLM, v ktorých poznáme dĺžku dvoch

strán. Vypočítajte dĺžku (v centimetroch) tretej strany oboch trojuholníkov.

Riešenie:

v V trojuholníku ABC poznáme dĺžku odvesien. Oproti pravému uhlu pri vrchole C leží

prepona AB, ktorej dĺžka je neznáma. Označme ju x.

Keďže trojuholník ABC je pravouhlý, platí v ňom Pytagorova veta, t.j. je splnená

rovnosť x2 = 92 + 122.

Počítajme: x2 = 92 + 122

x2 = 81 + 144

x2 = 225

x = 15, pretože 152 = 225

Dĺžka strany AB trojuholníka ABC je 15 cm.

v V trojuholníku KLM poznáme dĺžku odvesny KL a prepony LM ležiacej oproti

pravému uhlu pri vrchole K. Neznáma je dĺžka odvesny KM. Označme ju y.

Keďže trojuholník KLM je pravouhlý, platí v ňom Pytagorova veta, t.j. je splnená

rovnosť 132 = 122 + y2.

Počítajme: 132 = 122 + y2

169 = 144 + y2

144 + y2 = 169 /–144

y2 = 25

y = 5, pretože 52 = 25

Dĺžka strany KM trojuholníka KLM je 5 cm.

Príklad 240:

Daný je obdĺžnik ABCD s rozmermi 3 dm a 4 dm a jemu opísaná kružnica k

so stredom S. Určte priemer (v decimetroch) kružnice k.


223

Riešenie:

Stred S kružnice k opísanej obdĺžniku ABCD je priesečníkom jeho uhlopriečok AC a BD.

Teda uhlopriečky AC a BD obdĺžnika ABCD sú priemerom kružnice k.

Z pravouhlého trojuholníka ABC s pravým uhlom pri vrchole

B vypočítame dĺžku úsečky AC.

Keďže trojuholník ABC je pravouhlý, platí v ňom Pytagorova

veta, t.j. je splnená rovnosť |AC|2 = |AB|2 + |BC|2.

Počítajme: |AC|2 = |AB|2 + |BC|2

|AC|2 = 32 + 42

|AC|2 = 9 + 16

|AC|2 = 25

|AC|2 = 5 dm

Priemer kružnice k je 5 dm.

Príklad 241:

Daná je kružnica k so stredom S a polomerom mm 20=r a jej tetiva AB s dĺžkou

32 mm. Vypočítajte vzdialenosť (v milimetroch) tetivy AB kružnice k od jej stredu S.

Riešenie:

Vzdialenosť tetivy AB kružnice k od jej stredu S je dĺžka úsečky SP.

Dĺžku úsečky SP vypočítame z pravouhlého trojuholníka APS

s pravým uhlom pri vrchole P. Bod P rozpoľuje tetivu AB.

V trojuholníku APS poznáme dĺžku prepony AS (je rovná polomeru r

kružnice k) a dĺžku odvesny AP (je rovná polovici dĺžky tetivy AB).

Keďže trojuholník APS je pravouhlý, platí v ňom Pytagorova veta, t.j. je splnená rovnosť

|AS|2 = |AP|2 + |SP|2.

Počítajme: |AS|2 = |AP|2 + |SP|2

202 = 162 + |SP|2

400 = 256 + |SP|2

256 + |SP|2 = 400 /–256

|SP|2 = 144

|SP| = 12 mm

Vzdialenosť tetivy AB kružnice k od jej stredu S je 12 mm.


224

Poznámka: Uhlopriečka rovinného geometrického útvaru je úsečka spájajúca dva rôzne

vrcholy, ktoré neležia na spoločnej strane.

Uhlopriečka priestorového geometrického útvaru (telesa) je úsečka spájajúca

dva rôzne vrcholy, ktoré neležia na spoločnej hrane. Rozlišujeme stenové

a telesové uhlopriečky telesa.

- stenová uhlopriečka leží v stene telesa,

- telesová uhlopriečka prechádza vnútrom telesa.

Príklad 242:

Daný je kváder ABCDEFGH, ktorého dĺžka je 12 cm, šírka 9 cm a výška 20 cm.

Vypočítajte dĺžku (v centimetroch) jeho telesovej uhlopriečky BH.

Riešenie:

Dĺžku telesovej uhlopriečky BH kvádra ABCDEFGH vypočítame využitím Pytagorovej vety

z pravouhlého trojuholníka BDH s pravým uhlom pri vrchole D.

V trojuholníku BDH poznáme dĺžku odvesny DH ( )cm 20=DH . Dĺžku jeho odvesny BD

môžeme vypočítať využitím Pytagorovej vety z pravouhlého trojuholníka ABD s pravým

uhlom pri vrchole A. V trojuholníku ABD poznáme dĺžku odvesien AB ( )cm 12=AB a AD

( )cm 9=AD .

Keďže trojuholník ABD je pravouhlý, platí v ňom Pytagorova veta, t.j. je splnená rovnosť

|BD|2 = |AB|2 + |AD|2.

Počítajme: |BD|2 = |AB|2 + |AD|2

|BD|2 = 122 + 92

|BD|2 = 144 + 81

|BD|2 = 225

|BD| = 15 cm


225

Keďže trojuholník BDH je pravouhlý, platí v ňom Pytagorova veta, t.j. je splnená rovnosť

|BH|2 = |BD|2 + |DH|2.

Počítajme: |BH|2 = |BD|2 + |DH|2

|BH|2 = 152 + 202

|BH|2 = 225 + 400

|BH|2 = 625

|BH| = 25 cm

Dĺžka telesovej uhlopriečky BH kvádra ABCDEFGH je 25 cm.

Príklad 243:

Daný je pravidelný šesťboký ihlan ABCDEFG s hranou podstavy dlhou 15 mm a bočnou

hranou dlhou 39 mm. Vypočítajte výšku (v milimetroch) tohto ihlana.

Riešenie:

Podstavou pravidelného šesťbokého ihlana je pravidelný

šesťuholník, ktorý je tvorený šiestimi zhodnými

rovnostrannými trojuholníkmi.

Plášť pravidelného šesťbokého ihlana je tvorený šiestimi

zhodnými rovnoramennými trojuholníkmi.

Výšku v (dĺžku úsečky SG) ihlana ABCDEFG vypočítame

využitím Pytagorovej vety z pravouhlého trojuholníka CSG

s pravým uhlom pri vrchole S.

- v trojuholníku CSG poznáme dĺžku prepony CG a dĺžku

odvesny SC

Keďže trojuholník CSG je pravouhlý, platí v ňom Pytagorova veta, t.j. je splnená rovnosť

|CG|2 = |SC|2 + |SG|2.

Počítajme: |CG|2 = |SC|2 + |SG|2

392 = 152 + |SG|2

1 521 = 225 + |SG|2

225 + |SG|2 = 1 521 /–225

|SG|2 = 1 296

|SG| = 36 mm

Výška ihlana ABCDEFG je 36 mm.


226

16. Kombinatorika

Príklad 244:

Koľko rôznych dvojciferných čísel je možné vytvoriť z číslic

a) 1, 3, 5,

b) 0, 1, 3, 5,

ak sa číslice vo vytvorených číslach môžu opakovať?

Riešenie:

Číslice sa vo vytvorených číslach môžu opakovať, t.j. ak tvoríme dvojciferné čísla napr.

z číslic 1 a 3, berieme do úvahy okrem čísel 13 a 31 i čísla 11 a 33.

a) Z číslic 1, 3, 5 je možné vytvoriť tieto dvojciferné čísla (s opakovaním):

11, 13, 15 31, 33, 35 51, 53, 55

Z číslic 1, 3, 5 je možné vytvoriť 9 rôznych dvojciferných čísel (s opakovaním).

b) Z číslic 0, 1, 3, 5 je možné vytvoriť tieto dvojciferné čísla (s opakovaním):

10, 11, 13, 15 30, 31, 33, 35 50, 51, 53, 55

Z číslic 0, 1, 3, 5 je možné vytvoriť 12 rôznych dvojciferných čísel (s opakovaním).

Príklad 245:

Koľko rôznych trojciferných čísel je možné vytvoriť z číslic

a) 1, 3, 5,

b) 0, 1, 3, 5,

ak sa číslice vo vytvorených číslach nemôžu opakovať?

Riešenie:

Číslice sa vo vytvorených číslach nemôžu opakovať, t.j. ak tvoríme trojciferné čísla napr.

z číslic 1, 3 a 5, neberieme do úvahy čísla 113, 131, 311, 115, 151, 511, 331, 313, 133, 335,

353, 533, 551, 515, 155, 553, 535, 355, 111, 333 a 555.

a) Z číslic 1, 3, 5 je možné vytvoriť tieto trojciferné čísla (bez opakovania):

135, 153 315, 351, 513, 531

Z číslic 1, 3, 5 je možné vytvoriť 6 rôznych trojciferných čísel (bez opakovania).

b) Z číslic 0, 1, 3, 5 je možné vytvoriť tieto trojciferné čísla (bez opakovania):


227

103, 105, 130, 135, 150, 153

301, 305, 310, 315, 350, 351

501, 503, 510, 513, 530, 531

Z číslic 0, 1, 3, 5 je možné vytvoriť 18 rôznych trojciferných čísel (bez opakovania).

Príklad 246:

Koľko rôznych dvojciferných čísel deliteľných

a) dvomi,

b) piatimi

je možné vytvoriť z číslic 0, 2, 4, 5, ak sa číslice vo vytvorených číslach nemôžu

opakovať?

Riešenie:

a) Vieme, že deliteľné dvomi sú všetky tie čísla, ktoré majú na mieste jednotiek niektorú

z číslic 0, 2, 4, 6 alebo 8.

Z číslic 0, 2, 4, 5 je možné vytvoriť tieto dvojciferné čísla (bez opakovania) deliteľné

dvomi:

20, 24 40, 42 50, 52, 54

Z číslic 0, 2, 4, 5 je možné vytvoriť 7 dvojciferných čísel (bez opakovania)

deliteľných dvomi.

b) Vieme, že deliteľné piatimi sú všetky tie čísla, ktoré majú na mieste jednotiek niektorú

z číslic 0 alebo 5.

Z číslic 0, 2, 4, 5 je možné vytvoriť tieto dvojciferné čísla (bez opakovania) deliteľné

piatimi:

20, 25 40, 45 50

Z číslic 0, 2, 4, 5 je možné vytvoriť 5 dvojciferných čísel (bez opakovania)

deliteľných piatimi.

Príklad 247:

Koľko rôznych dvojíc môžu medzi sebou vytvoriť škôlkari Maťko, Zuzka, Janko, Ferko

a Olinka?

Riešenie:


228

Je potrebné si uvedomiť, že napr. Maťko – Zuzka a Zuzka – Maťko je jedna a tá istá

dvojica.

Všetky dvojice, ktoré medzi sebou môžu škôlkari Maťko, Zuzka, Janko, Ferko a Olinka

vytvoriť, sú:

Maťko – Zuzka

Maťko – Janko Zuzka – Janko

Maťko – Ferko Zuzka – Ferko Janko – Ferko

Maťko – Olinka Zuzka – Olinka Janko – Olinka Ferko – Olinka

Škôlkari Maťko, Zuzka, Janko, Ferko a Olinka môžu medzi sebou vytvoriť 10 rôznych

dvojíc.

Príklad 248:

Koľkými vzájomnými podaniami rúk sa zvítajú štyria kamaráti, ak si podá ruku každý

s každým?

Riešenie:

Každému z kamarátov priraďme jedno z písmen A, B, C a D.

Vzájomné podania rúk znázorníme úsečkami:

A B

C D

Štyria kamaráti sa zvítajú šiestimi vzájomnými podaniami rúk.

Príklad 249:

Koľko vzájomných zápasov bez odvety sa odohralo na turnaji, na ktorom sa zúčastnilo

šesť mužstiev, ak sa hralo systémom „každý s každým“?

Riešenie:

Každému z mužstiev priraďme jedno z písmen A, B, C, D, E a F.

Zostavme tabuľku s prehľadom vzájomných zápasov. Symbol X predstavuje vzájomný zápas

medzi príslušnými dvomi mužstvami.


229

A B C D E F

A

B X

C X

X

D X

X

X

E X

X

X

X

F X

X

X

X

X

Na turnaji sa odohralo 15 vzájomných zápasov bez odvety.

Príklad 250:

Koľkými spôsobmi sa môžu spolužiaci Lukáš, Tomáš, Miška a Ondrej usadiť

do štvormiestnej lavice tak, aby

a) Lukáš sedel vedľa Mišky,

b) Ondrej sedel na kraji lavice?

Riešenie:

Z praktických dôvodov nebudeme používať celé krstné mená spolužiakov Lukáša, Tomáša,

Mišky a Ondreja, ale len ich začiatočné písmená.

a) Ak má L sedieť vedľa M, existujú tieto spôsoby usadenia sa spolužiakov L, T, M a O

vo štvormiestnej lavici:

L M T O

T L M O

T O L M L M O T O L M T O T L M M L T O T M L O T O M L M L O T O M L T O T M L

Spolužiaci Lukáš, Tomáš, Miška a Ondrej sa môžu – za podmienky, že Lukáš bude

sedieť vedľa Mišky – usadiť do štvormiestnej lavice 12-timi spôsobmi.

b) Ak má O sedieť na kraji lavice, existujú tieto spôsoby usadenia sa spolužiakov L, T,

M a O vo štvormiestnej lavici:

O L T M

L T M O O L M T L M T O O T L M T L M O O T M L T M L O O M L T M L T O O M T L M T L O


230

Spolužiaci Lukáš, Tomáš, Miška a Ondrej sa môžu – za podmienky, že Ondrej bude

sedieť na kraji lavice – usadiť do štvormiestnej lavice 12-timi spôsobmi.

Príklad 251:

Koľkými spôsobmi môžeme zaplatiť za nakúpený tovar 16 eur, ak máme k dispozícii

10 mincí s hodnotou 0,50 eur, 8 mincí s hodnotou 1 euro a 3 mince s hodnotou 2 eurá?

Riešenie:

hodnota mince

0,50 € 1 € 2 €

1. spôsob počet 10 ks 7 ks 2 ks spolu

hodnota v € 5 € 7 € 4 € 16 €


hodnota v € 5 € 5 € 6 € 16 €


hodnota v € 4 € 8 € 4 € 16 €


hodnota v € 4 € 6 € 6 € 16 €


hodnota v € 3 € 7 € 6 € 16 €


hodnota v € 2 € 8 € 6 € 16 €

Za nakúpený tovar môžeme 16 eur zaplatiť 6-timi spôsobmi.

Príklad 252:

Ozdobnú reťaz tvorí 100 papierových článkov troch rôznych farieb. Prvý článok reťaze

je červený, druhý zelený a tretí modrý, pričom v tomto poradí sa farby jednotlivých

článkov striedajú v celej reťazi. Akej farby je posledný, t.j. stý článok reťaze?

Riešenie:

Označme červené články ozdobnej reťaze písmenom Č, zelené články písmenom Z a modré

články písmenom M. Postupnosť jednotlivých článkov v reťazi môžeme znázorniť

nasledovne:

Č – Z – M – Č – Z – M – Č – Z – M – Č – Z – M – Č – Z – M – Č – Z – M – Č – Z – M ...


231

- červeným článkom je možné priradiť poradové čísla 1, 4, 7, 10 atď.,

- zeleným článkom je možné priradiť poradové čísla 2, 5, 8, 11 atď.,

- modrým článkom je možné priradiť poradové čísla 3, 6, 9, 12 atď.

Všimnime si tieto skutočnosti:

- poradové čísla modrých článkov sú násobkom čísla 3, z čoho vyplýva, že

stý článok nie je modrý (keďže číslo 100 nie je násobkom čísla 3),

- poradové čísla zelených článkov sú o 1 menšie než násobky čísla 3, z čoho

vyplýva, že stý článok nie je zelený (keďže číslo 100 je o 1 menšie ako číslo

101, no číslo 101 nie je násobkom čísla 3),

- poradové čísla červených článkov (odhliadnuc od prvého článku) sú o 1

väčšie než násobky čísla 3, z čoho vyplýva, že stý článok je červený (keďže

číslo 100 je o 1 väčšie ako číslo 99, pričom číslo 99 je násobkom čísla 3).

Posledný, t.j. stý článok reťaze je červený.

Príklad 253:

V radovej zástavbe stojí vedľa seba päť rodinných domov. Každému je pridelené

nepárne číslo tak, že čísla idú bezprostredne za sebou. Súčet čísel druhého a piateho

rodinného domu je 232. Určte číslo prvého rodinného domu.

Riešenie:

Číslo prvého rodinného domu označme x.

- každému domu je pridelené nepárne číslo, pričom čísla idú bezprostredne za sebou,

teda číslo druhého domu je o 2 väčšie než číslo prvého domu, t.j. číslo druhého domu

je x + 2,

- číslo tretieho domu je o 2 väčšie než číslo druhého domu, t.j. x + 4,

- analogicky číslo štvrtého domu je x + 6 a číslo piateho domu je x + 8

Platí: súčet čísel druhého a piateho rodinného domu je 232, t.j. (x + 2) + (x + 8) = 232.

Počítajme: (x + 2) + (x + 8) = 232

x + 2 + x + 8 = 232

2x + 10 = 232 /–10

2x = 222 /:2

x = 111

Číslo prvého rodinného domu je 111.


232

17. Pravdepodobnosť

Ø Pravdepodobnosť vyjadruje, do akej miery je možné spoľahnúť sa na to, že nastane

určitá udalosť.

Ø Pravdepodobnosť (označ.: p) udalosti počítame podľa vzorca

nmp = ,

kde m je počet vyhovujúcich elementárnych udalostí a n je počet všetkých

elementárnych udalostí, ktoré môžu nastať.

Ø Vzorec pre výpočet pravdepodobnosti ako aj príslušné pojmy objasníme na príklade.

Vezmime do úvahy hod hracou kockou. Chceme, aby padlo číslo väčšie alebo rovné 4.

Vypočítame pravdepodobnosť, že pri hode hracou kockou padne číslo väčšie alebo

rovné 4.

v padnutie čísla väčšieho alebo rovného 4 je požadovaná udalosť, ktorej

pravdepodobnosť nás zaujíma

• padnutie čísla 4, padnutie čísla 5 a padnutie čísla 6 sú vyhovujúce elementárne

udalosti (t.j. elementárne udalosti, ktoré ak nastanú, budú v súlade s požadovanou

udalosťou)

- počet vyhovujúcich elementárnych udalostí je 3, t.j. m = 3

• padnutie čísla 1, padnutie čísla 2, padnutie čísla 3, padnutie čísla 4, padnutie čísla 5 a

padnutie čísla 6 sú všetky elementárne udalosti, ktoré môžu nastať (t.j. vyhovujúce

aj nevyhovujúce elementárne udalosti)

- počet všetkých elementárnych udalostí, ktoré môžu nastať, je 6, t.j. n = 6

v Pre pravdepodobnosť (p), že pri hode hracou kockou padne číslo väčšie alebo rovné 4,

platí: 5,021

63

====nmp .

Teda pravdepodobnosť, že pri hode hracou kockou padne číslo väčšie alebo rovné 4,

je 21 , resp. 0,5.

V percentách by sme túto pravdepodobnosť vyjadrili nasledovne: 0,5.100 = 50 %.


233

Poznámka: Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti je číslo väčšie alebo rovné 0 a súčasne

menšie alebo rovné 1, resp. pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti môže byť

od 0 % (vrátane) do 100 % (vrátane).

Príklad 254:

Vypočítajte pravdepodobnosť, že pri hode hracou kockou

a) padne číslo 3,

b) padne číslo väčšie alebo rovné 3,

c) padne číslo väčšie ako 3.

Pravdepodobnosť vyjadrite ako zlomok a ako desatinné číslo zaokrúhlené na štyri

desatinné miesta a potom v percentách.

Riešenie:

Všetky elementárne udalosti, ktoré môžu pri hode hracou kockou nastať, sú padnutie čísla 1,

padnutie čísla 2, padnutie čísla 3, padnutie čísla 4, padnutie čísla 5 a padnutie čísla 6.

- počet (n) všetkých elementárnych udalostí, ktoré môžu nastať, je n = 6

a) Vyhovujúcou elementárnou udalosťou je padnutie čísla 3.

- počet (m) vyhovujúcich elementárnych udalostí je m = 1

Pre pravdepodobnosť (p), že pri hode hracou kockou padne číslo 3, platí:

nmp = = 1667,0

61

=& ... 0,1667.100 = 16,67 %.

b) Vyhovujúcimi elementárnymi udalosťami sú padnutie čísla 3, padnutie čísla 4,

padnutie čísla 5 a padnutie čísla 6.


Pre pravdepodobnosť (p), že pri hode hracou kockou padne číslo väčšie alebo rovné 3,

platí:

nmp = = 6667,0

32

64

== & ... 0,6667.100 = 66,67 %.

c) Vyhovujúcimi elementárnymi udalosťami sú padnutie čísla 4, padnutie čísla 5 a

padnutie čísla 6.


Pre pravdepodobnosť (p), že pri hode hracou kockou padne číslo väčšie ako 3, platí:

nmp = = 5,0

21

63

== ... 0,5.100 = 50 %.


234

Príklad 255:

Vypočítajte pravdepodobnosť, že pri náhodnom ťahu jednej guľôčky z vrecúška

s guľôčkami vytiahneme modrú guľôčku, ak sa vo vrecúšku nachádzajú

a) 2 modré a 6 červených guľôčok,

b) 3 modré a 7 červených guľôčok,

c) 4 modré, 8 červených a 8 zelených guľôčok.

Pravdepodobnosť vyjadrite ako zlomok a ako desatinné číslo bez zaokrúhľovania a potom

v percentách.

Riešenie:

Požadovanou udalosťou je vytiahnutie modrej guľôčky (pri náhodnom ťahu jednej guľôčky

z vrecúška).

a) Vo vrecúšku sa nachádzajú dve modré guľôčky – nazvime ich modrá guľôčka A a

modrá guľôčka B.

Vyhovujúcimi elementárnymi udalosťami sú vytiahnutie modrej guľôčky A a

vytiahnutie modrej guľôčky B.


Okrem modrých guľôčok sa vo vrecúšku nachádza aj 6 červených guľôčok – nazvime

ich červená guľôčka C, červená guľôčka D, červená guľôčka E, červená guľôčka F,

červená guľôčka G a červená guľôčka H.

Všetky elementárne udalosti, ktoré môžu nastať, sú vytiahnutie modrej guľôčky A,

vytiahnutie modrej guľôčky B, vytiahnutie červenej guľôčky C, vytiahnutie červenej

guľôčky D, vytiahnutie červenej guľôčky E, vytiahnutie červenej guľôčky F,

vytiahnutie červenej guľôčky G a vytiahnutie červenej guľôčky H.


Pre pravdepodobnosť (p), že z vrecúška s 2 modrými a 6 červenými guľôčkami

vytiahneme (pri náhodnom ťahu jednej guľôčky) modrú guľôčku, platí:

nmp = = 25,0

41

82

== ... 0,25.100 = 25 %.

b) - počet (m) vyhovujúcich elementárnych udalostí je m = 3


Pre pravdepodobnosť (p), že z vrecúška s 3 modrými a 7 červenými guľôčkami

vytiahneme (pri náhodnom ťahu jednej guľôčky) modrú guľôčku, platí:


235

nmp = = 3,0

103

= ... 0,3.100 = 30 %.

c) - počet (m) vyhovujúcich elementárnych udalostí je m = 4


Pre pravdepodobnosť (p), že z vrecúška so 4 modrými, 8 červenými a 8 zelenými

guľôčkami vytiahneme (pri náhodnom ťahu jednej guľôčky) modrú guľôčku, platí:

nmp = = 2,0

204

= ... 0,2.100 = 20 %.

Príklad 256:

Vo vrecúšku bolo 8 bielych a 4 čierne guľôčky. Neskôr sme z vrecúška vytiahli 2 biele

guľôčky. Aká je pravdepodobnosť (v percentách), že z guľôčok, ktoré zostali

vo vrecúšku, vytiahneme pri náhodnom ťahu jednej guľôčky bielu guľôčku?

Riešenie:

Po tom, čo sme z vrecúška s 8 bielymi a 4 čiernymi guľôčkami vytiahli 2 biele guľôčky,

zostalo v ňom 6 bielych a 4 čierne guľôčky.

Požadovanou udalosťou je vytiahnutie bielej guľôčky (pri náhodnom ťahu jednej guľôčky

z vrecúška).



Pre pravdepodobnosť (p), že z vrecúška so 6 bielymi a 4 čiernymi guľôčkami vytiahneme

(pri náhodnom ťahu jednej guľôčky) bielu guľôčku, platí:

nmp = = 6,0

106

= ... 0,6.100 = 60 %.

Príklad 257:

V triede je prítomná Zuzka a jej 19 spolužiakov. Pani učiteľka sa rozhodla ústne

preskúšať jedného, náhodne vybraného žiaka. Aká je pravdepodobnosť (v percentách),

že pani učiteľka ústne preskúša práve Zuzku?

Riešenie:

Vyhovujúcou elementárnou udalosťou je ústne preskúšanie Zuzky.



236

Všetky elementárne udalosti, ktoré môžu nastať, sú ústne preskúšanie Zuzky a ústne

preskúšanie ľubovoľného z jej 19 spolužiakov.


Pre pravdepodobnosť (p), že pani učiteľka ústne preskúša práve Zuzku, platí:

nmp = = 05,0

201

= ... 0,05.100 = 5 %.

Príklad 258:

Aká je pravdepodobnosť (v percentách), že pri hode dvomi mincami padne

a) na oboch minciach averz,

b) aspoň na jednej minci reverz?

Riešenie:

Averz mince je jej lícna strana, reverz jej rubová strana.

Aby sme dané mince odlíšili, nazvime ich minca A a minca B.

Všetky elementárne udalosti, ktoré môžu nastať, sú padnutie averzu na minci A aj minci B,

padnutie reverzu na minci A aj minci B, padnutie averzu na minci A a reverzu na minci B a

padnutie reverzu na minci A a averzu na minci B.


a) Vyhovujúcou elementárnou udalosťou je padnutie averzu na minci A aj minci B.


Pre pravdepodobnosť (p), že pri hode dvomi mincami padne na oboch minciach averz,

platí:

nmp = = 25,0

41

= ... 0,25.100 = 25 %.

b) Vyhovujúcimi elementárnymi udalosťami sú padnutie reverzu na minci A aj minci B,

padnutie averzu na minci A a reverzu na minci B a padnutie reverzu na minci

A a averzu na minci B.


Pre pravdepodobnosť (p), že pri hode dvomi mincami padne aspoň na jednej minci

reverz, platí:

nmp = = 75,0

43

= ... 0,75.100 = 75 %.


237

18. Štatistika

Príklad 259:

V tabuľke sú údaje o Riškových známkach z matematiky, ktoré dostal v prvom polroku.

známka počet známok

1 4

2 6

3 2

4 0

5 4

a) Ktorú známku dostával najčastejšie?

b) Koľko dostal jednotiek?

c) Aký percentuálny podiel na všetkých známkach z matematiky majú päťky?

d) Aký je aritmetický priemer (v tvare desatinného čísla bez zaokrúhľovania)

všetkých známok z matematiky?

Riešenie:

a) Najčastejšie dostával dvojku.

b) Dostal štyri jednotky.

c) Všetkých známok je 16 (keďže 1640264 =++++ ). Pätky sú 4.

Úlohou je vypočítať, koľko percent predstavujú 4 známky (4 päťky) zo 16-tich

známok.

100 % ... 16 známok

1 % ... 16 : 100 = 0,16 známok

4 známky ... 4 : 0,16 = 25 %

Päťky majú 25 %-ný podiel na všetkých známkach z matematiky.

d) Aritmetický priemer všetkých známok vypočítame nasledovne:

(jednotka . počet jednotiek + dvojka . počet dvojok + ... + päťka . počet pätiek) :

: počet všetkých známok =

= (1.4 + 2.6 + 3.2 + 4.0 + 5.4) : 16 = (4 + 12 + 6 + 0 + 20) : 16 = 42 : 16 = 2,625

Aritmetický priemer všetkých známok z matematiky je 2,625.


238

Príklad 260:

V grafe sú znázornené denné úhrny zrážok (namerané v milimetroch), ktoré boli

zaznamenané vo vybranej lokalite v priebehu jedného týždňa.

a) Koľko milimetrov zrážok bolo zaznamenaných v stredu?

b) V ktorom dni spadlo najviac zrážok?

c) Spolu koľko milimetrov zrážok spadlo od pondelka do stredy (vrátane pondelka

a stredy)?

d) V ktorých dňoch bol zaznamenaný rovnaký denný úhrn zrážok?

e) Koľko percent z celotýždňového úhrnu zrážok spadlo v utorok?

Riešenie:

a) V stredu bolo zaznamenaných 10 milimetrov zrážok.

b) Najviac zrážok spadlo vo štvrtok.

c) 12 mm (v pondelok) + 3 mm (v utorok) + 10 mm (v stredu) = 25 mm

Od pondelka do stredy (vrátane pondelka a stredy) spadlo spolu 25 milimetrov zrážok.

d) Rovnaký denný úhrn zrážok bol zaznamenaný v sobotu a v nedeľu.

e) Celotýždňový úhrn zrážok je 50 mm ( 502251610312 =++++++ ). V utorok spadli

3 mm zrážok.

100 % ... 50 mm zrážok

1 % ... 50 : 100 = 0,5 mm zrážok

3 mm zrážok ... 3 : 0,5 = 6 %

V utorok spadlo 6 % z celotýždňového úhrnu zrážok.

12

3

1016

52 2

Denné úhrny zrážok (v mm) pondelok

utorok

streda

štvrtok

piatok

sobota

nedeľa


239

Príklad 261:

V grafe je znázornený počet dní so snehovou pokrývkou s výškou aspoň 1 cm

v jednotlivých rokoch obdobia 1995 až 2004 v lokalite Nitra – Veľké Janíkovce.

a) Koľko dní so snehovou pokrývkou bolo zaznamenaných v roku 2000?

b) V ktorom roku bol zaznamenaný najmenší počet dní so snehovou pokrývkou?

c) V ktorých rokoch bolo zaznamenaných menej ako 30 dní so snehovou

pokrývkou?

d) Koľko celých dní so snehovou pokrývkou ročne bolo v priemere zaznamenaných

od roku 1995 do roku 2000 (vrátane rokov 1995 a 2000)?

e) O koľko viac dní so snehovou pokrývkou bolo zaznamenaných v roku

s najväčším počtom dní so snehovou pokrývkou než v roku s najmenším počtom

dní so snehovou pokrývkou?

f) Medzi ktorými bezprostredne za sebou idúcimi rokmi je najväčší rozdiel v počte

dní so snehovou pokrývkou a akú hodnotu má tento rozdiel?

g) V ktorých rokoch bol zaznamenaný úbytok počtu dní so snehovou pokrývkou

v porovnaní s predošlým rokom?

Riešenie:

a) V roku 2000 bolo zaznamenaných 29 dní so snehovou pokrývkou.

b) Najmenší počet dní so snehovou pokrývkou bol zaznamenaný v roku 1998.

c) Menej ako 30 dní so snehovou pokrývkou bolo zaznamenaných v rokoch 1998, 2000

a 2003.

33

62

44

12

3429

41 37

21

38

0

10

20

30

40

50

60

70

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

Počet dní so súvislou snehovou pokrývkou s výškou aspoň 1 cm v období rokov 1995 – 2004

(Nitra – Veľké Janíkovce, zdroj: SHMÚ)


240

d) ( ) 6,356:2146:293412446233 ==+++++

Od roku 1995 do roku 2000 (vrátane rokov 1995 a 2000) bolo zaznamenaných

ročne v priemere 35 celých dní so snehovou pokrývkou.

e) - rok s najväčším počtom dní so snehovou pokrývkou: 1996

- rok s najmenším počtom dní so snehovou pokrývkou: 1998

- počet dní so snehovou pokrývkou v roku 1996: 62

- počet dní so snehovou pokrývkou v roku 1998: 12

V roku s najväčším počtom dní so snehovou pokrývkou bolo zaznamenaných

o ( )1262 − , t.j. o 50 dní so snehovou pokrývkou viac než v roku s najmenším počtom

dní so snehovou pokrývkou.

f) Najväčší rozdiel v počte dní so snehovou pokrývkou je medzi bezprostredne za sebou

idúcimi rokmi 1997 a 1998 a tento rozdiel má hodnotu ( )1244 − , t.j. 32 dní.

g) V porovnaní s predošlým rokom bol zaznamenaný úbytok počtu dní so snehovou

pokrývkou v rokoch 1997, 1998, 2000, 2002 a 2003.

Príklad 262:

V tabuľke je rozdelenie žiakov (chlapcov a dievčat) vybranej triedy podľa ich telesnej

výšky (v centimetroch).

telesná výška v centimetroch

150 alebo menej

151 až 153 154 až 156 157 až 159 160 alebo viac

počet chlapcov/dievčat podľa telesnej výšky

chlapci 0 2 4 2 1

dievčatá 1 3 6 4 2

a) Koľko chlapcov má telesnú výšku menšiu alebo rovnú 159 centimetrom?

b) Koľko percent žiakov triedy má telesnú výšku menšiu alebo rovnú 156

centimetrom?

Riešenie:

a) 0 + 2 + 4 + 2 = 8 chlapcov

Telesnú výšku menšiu alebo rovnú 159 cm má 8 chlapcov.


241

b) Telesnú výšku menšiu alebo rovnú 156 cm má =+++++ 631420 16 žiakov.

Celkový počet žiakov triedy je ( ) ( ) 252463112420 =+++++++++ .

100 % ... 25 žiakov

1 % ... 25 : 100 = 0,25 žiakov

16 žiakov ... 16 : 0,25 = 64 %

Telesnú výšku menšiu alebo rovnú 156 cm má 64 % žiakov triedy.

Príklad 263:

V grafe je znázornené rozdelenie dennej tržby vo výške 860 eur, ktorá plynula z predaja

tovaru v malej predajni.

a) Koľko eur plynulo z predaja nápojov?

b) O koľko eur a centov viac plynulo z predaja mliečnych výrobkov než z predaja

pečiva?

Riešenie:

a) Tržby z predaja nápojov majú 15 %-ný podiel na dennej tržbe vo výške 860 eur.

100 % ... 860 €

1% ... 860 € : 100 = 8,60 €

15 % ... 8,60 € . 15 = 129 €

Z predaja nápojov plynulo 129 eur.

b) Tržby z predaja mliečnych výrobkov majú 28 %-ný podiel na dennej tržbe vo výške

860 eur.

100 % ... 860 €

1% ... 860 € : 100 = 8,60 €

28 % ... 8,60 € . 28 = 240,80 €

24%

28%15%

33%

Podiel (v %) vybraných druhov tovaru na dennej tržbe 860 eur

pečivo

mliečne výrobky

nápoje

ostatný tovar


242

Tržby z predaja pečiva majú 24 %-ný podiel na dennej tržbe vo výške 860 eur.

100 % ... 860 €

1% ... 860 € : 100 = 8,60 €

24 % ... 8,60 € . 24 = 206,40 €

240,80 € – 206,40 € = 34,40 €

Z predaja mliečnych výrobkov plynulo o 34 eur a 40 centov viac než z predaja pečiva.

Príklad 264:

V tabuľke sú údaje o počte súrodencov žiakov troch tried deviateho ročníka.

počet súrodencov

0 1 2 3 4 5

počet žiakov podľa počtu súrodencov

žiaci 9.A 0 6 8 2 2 0

žiaci 9.B 1 4 7 5 1 0

žiaci 9.C 2 5 11 5 0 1

a) V priemere koľko súrodencov má žiak triedy 9.A?

b) Aký je priemer počtu súrodencov žiakov deviateho ročníka?

c) Koľko žiakov triedy 9.B má menej súrodencov, než je priemer počtu súrodencov

žiakov deviateho ročníka?

Riešenie:

a) (0.0 + 1.6 + 2.8 + 3.2 + 4.2 + 5.0) : (0 + 6 + 8 + 2 + 2 + 0) = 36 : 18 = 2

- 18 je počet žiakov triedy 9.A

Žiak triedy 9.A má v priemere dvoch súrodencov.

b) (0.0 + 1.6 + 2.8 + 3.2 + 4.2 + 5.0 + 0.1 + 1.4 + 2.7 + 3.5 + 4.1 + 5.0 + 0.2 + 1.5 +

+ 2.11 + 3.5 + 4.0 + 5.1) : (18 + 18 + 24) = 120 : 60 = 2

- 60 je celkový počet žiakov deviateho ročníka

Priemer počtu súrodencov žiakov deviateho ročníka je 2.

c) Priemer počtu súrodencov žiakov deviateho ročníka je 2.

Menej súrodencov, než je priemer počtu súrodencov žiakov deviateho ročníka, má

5 žiakov triedy 9.B.


243

Príklad 265:

V tabuľke je päť čísel (medzi nimi i neznáme číslo x), ktorých aritmetický priemer je

5,6. Nájdite neznáme číslo x.

3,2 4,0 5,7 7,0 x

Riešenie:

50,77,50,42,3 x++++ = 5,6

59,19 x+ = 5,6 /.5

19,9 + x = 28

19,9 + x = 28 /–19,9

x = 28 – 19,9

x = 8,1

Neznáme číslo x je 8,1.

Príklad 266:

Účastníci konferencie mali možnosť objednať si jedno z troch druhov obedových menu.

Výsledok objednávky jednotlivých druhov obedových menu je znázornený v grafe.

Určte výšku (v milimetroch) stĺpca prislúchajúceho obedovému menu A, ak výška stĺpca

prislúchajúceho obedovému menu C je 9 milimetrov.

Riešenie:

Obedové menu C si objednalo 12 účastníkov konferencie, čo je znázornené stĺpcom s výškou

9 mm. Z toho vyplýva, že na jednu objednávku pripadá v stĺpci grafu 9 mm : 12 = 0,75 mm.

Obedové menu A si objednalo 32 účastníkov konferencie. Ak na jednu objednávku pripadá

v stĺpci grafu 0,75 mm, tak na 32 objednávok pripadá 0,75 mm . 32 = 24 mm.

Výška stĺpca prislúchajúceho obedovému menu A je 24 milimetrov.

3227

12

menu A menu B menu C

Objednávka obedových menu

rukopis - ikar · peter lenčéš: Školská matematika v riešených úlohách 3 1.2 množinové...

Documents