maturitné úlohy z matematiky pre gymnáziumw3.revucky.sk/texty/zbierkavo.pdf · tých značiek a...

Jozef Vozár

Maturitné úlohy

Z

Matematiky

Pre gymnázium

I.

(Úlohy s výberom odpovede)

2

OBSAH ÚVOD K ÚVODU ...................................................................................................................... 4

ÚVOD ....................................................................................................................................... 4

1. ZÁKLADY MATEMATIKY .................................................................................................... 6

1.1 Logika a množiny...................................................................................................................... 6

Požiadavky na vedomosti a zručnosti ............................................................................................ 6

1.2 Čísla, premenné a výrazy ....................................................................................................... 12

Požiadavky na vedomosti a zručnosti .......................................................................................... 13

1.3 Teória čísel .............................................................................................................................. 20


1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy .......................................................................................... 21


Žiak vie ....................................................................................................................................... 21

2. FUNKCIE ............................................................................................................................ 31

2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti .................................................................................... 31


2.2 Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť .................................................... 36


2.3 Mnohočleny a mocninové funkcie, lineárna lomená funkcia .............................................. 52


2.4 Logaritmické a exponenciálne funkcie, geometrická postupnosť ...................................... 67


2.5 Goniometrické funkcie ........................................................................................................... 77


2.6 Limita a derivácia, geometrický rad ...................................................................................... 93


2.7 Integrálny počet ...................................................................................................................... 94


3. PLANIMETRIA ................................................................................................................... 96

3. 1 Základné rovinné útvary........................................................................................................ 96


3.2 Analytická geometria v rovine ............................................................................................. 101

3

Požiadavky na vedomosti a zručnosti ........................................................................................ 102

3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie ......................................... 117


3.4 Zhodné a podobné zobrazenia ............................................................................................ 122


3.5 Konštrukčné úlohy ............................................................................................................... 124


4. STEREOMETRIA ............................................................................................................. 126

4.1 Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny ........................................................ 126


4.2 Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda ......................................... 126


4.3 Lineárne útvary v priestore - polohové úlohy .................................................................... 129


4.4 Lineárne útvary v priestore - metrické úlohy ...................................................................... 132


4.5 Telesá .................................................................................................................................... 139


5. KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA .......................................... 143

5.1 Kombinatorika a pravdepodobnosť .................................................................................... 143


5.2 Štatistika ............................................................................................................................... 159


ÚVOD K ÚVODU

Táto zbierka vznikla ako pomôcka pre učiteľa matematiky strednej školy s maturitou ako pomôc-

ka pre prípravvu študentov maturitného ročníka na externú časť maturitnej skúšky. Spracovaná je na

úroveň vedomostí, ktoré by mal mať maturant gymnázia v úrovni A. Ako základ boli zobraté cieľové

poţiadavky na maturitnú skúšku z matematiky zverejnené ŠPÚ, ktoré v nezmenenej podobe uvádzam

na začiatku kaţdej kapitoly.

Ku kaţdej časti uvedených cieľových poţiadaviek je uvedených niekoľko úloh s voľbou odpove-

de, kde sú pouţité úlohy z predchádzajúcich Monitorov, predchádzajúcich ročníkov maturitných skúšok

a samozrejme mnoţstvo úloh, ktoré sú vytvorené autorom a jeho kolegami. K niektorým kapitolám je

ich viac, v niektorých je menej, to podľa toho s akou frekvenciou sa v externých častiach maturitnej

skúšky vyskytovali. Niektoré oblasti sa v externej časti nevyskytujú vôbec, sú však v zbierke uvedené,

lebo môţu slúţiť aj na cvičenie. V niektorých kapitolách by zaradenie takýchto úloh bolo príliš násilné

i keď moţné. Tam však, kde cieľom kapitoly je naučiť niektorým zručnostiam „nepočítavého „ charak-

teru – napr. rysovanie by som ani úlohy s výberom odpovede ani nezaraďoval.

ÚVOD

Cieľové poţiadavky z matematiky, rozdelené vo väčšine kapitol na časti Obsah, Poţiadavky na

vedomosti a zručnosti a Príklady.

Text v jednotlivých častiach, ktorý nie je vytlačený tučne, je určený pre základnú úroveň. Pre

vyššiu úroveň je určený celý text, vrátane častí vytlačených tučne (teda rozdiel medzi základnou a vyš-

šou úrovňou predstavujú práve tučne vytlačené časti). Obyčajnou kurzívou sú vytlačené odvolávky,

vysvetlivky a komentáre.

V kaţdej kapitole sú v odseku Obsah (rozdelenom spravidla na 2 menšie časti s názvami Pojmy

a Vlastnosti a vzťahy) vymenované termíny a vzťahy (vzorce, postupy, tvrdenia), ktoré má ţiak ovládať.

Toto ovládanie v prípade pojmov znamená, ţe ţiak

- rozumie zadaniam úloh, v ktorých sa tieto pojmy vyskytujú,

- vie ich správne pouţiť pri formuláciách svojich odpovedí,

- vie ich stručne opísať (definovať).

-

V prípade vlastností a vzťahov ovládaním rozumieme ţiakovu schopnosť vybaviť si tieto vzťa-

hy v mysli (bez toho, aby mu bolo potrebné pripomínať konkrétnu podobu uvedeného vzťahu, postupu

či tvrdenia) a pouţiť ich pri riešení danej úlohy (pričom spôsob tohto pouţitia špecifikuje časť Poţia-

davky na vedomosti a zručnosti, o ktorej hovoríme niţšie). Kvôli prehľadnosti neuvádzame úplné zne-

nie jednotlivých vzťahov so všetkými predpokladmi a podmienkami, ale len takú ich podobu, z ktorej

je jasné, aké tvrdenie máme na mysli.

5

Pokiaľ sa v zadaniach úloh alebo otázok, ktoré má ţiak riešiť alebo zodpovedať, vyskytnú po-

jmy, ktoré nie sú uvedené v časti Obsah, bude potrebné ich v texte zadania vysvetliť. Rovnako tak v

prípade, ţe zadanie vyţaduje pouţitie postupu alebo vzťahu, ktorý nie je zahrnutý do časti Obsah, musí

byť ţiakovi k dispozícii opis poţadovaného postupu alebo vzťahu (tento opis však nemusí byť súčasťou

zadania, môţe byť napríklad uvedený vo „vzorčekovníku“, ktorý bude priloţený k celému súboru zada-

ní). Výnimku z tohto pravidla predstavuje situácia, keď riešením úlohy má byť objavenie alebo odvo-

denie takého vzťahu, ktorý nebol uvedený v odseku Vlastnosti a vzťahy.

Časť Poţiadavky na vedomosti a zručnosti opisuje v kaţdej kapitole činnosti, ktoré má byť ţiak

schopný správne realizovať. V texte pouţívanú formuláciu „ţiak vie...” pritom chápeme v zmysle „ţiak

má vedieť...”; podobne formulácia “... pokiaľ (ak) ţiak vie...” znamená “... ak je v týchto cieľových

poţiadavkách uvedené, ţe ţiak má vedieť...”. Teda napríklad text „ţiak vie nájsť všetky riešenia nerov-

nice axf )( , pokiaľ vie riešiť rovnicu axf )( a súčasne vie načrtnúť graf funkcie f“ (ktorý čitateľ

nájde v kapitole 1.4) treba chápať tak, ţe na inom mieste týchto cieľových poţiadaviek je špecifikova-

né, grafy ktorých funkcií f má ţiak vedieť načrtnúť a pre ktoré funkcie f má ţiak vedieť riešiť rovnicu

axf )( . Podobnú úlohu plní odvolávka „pozri...”; napríklad v texte „ţiak vie nájsť definičný obor

danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy)” táto odvolávka upozorňuje, ţe stupeň ná-

ročnosti, na ktorom má ţiak zvládnuť určovanie definičného oboru funkcie, je daný náročnosťou rovníc

a nerovníc, ktoré pri tom musí vyriešiť, pričom táto náročnosť je opísaná v časti 1.4. Odvolávka „pozri

tieţ...” upozorňuje čitateľa, ţe uvedený pojem alebo činnosť sa vyskytuje aj na inom mieste tohto textu.

Ţiak by mal byť schopný riešiť úlohy komplexného charakteru, teda úlohy, ktorých riešenie vy-

ţaduje spojenie neveľkého počtu činností opísaných v týchto cieľových poţiadavkách (pritom nevylu-

čujeme spájanie činností opísaných v rôznych kapitolách); napr. pri riešení „klasickej“ slovnej úlohy by

mal ţiak zvládnuť formuláciu príslušného problému v reči matematiky, jeho vyriešenie prístupnými

matematickými prostriedkami a formuláciu odpovede opäť v reči pôvodného slovného zadania. Jednot-

livé činnosti uvedené v časti Poţiadavky na vedomosti a zručnosti predstavujú teda len akési „tehličky”

či „základné stavebné kamene”, pričom riešenie jedného konkrétneho zadania môţe vyţadovať i pouţi-

tie a spojenie viacerých takýchto „tehličiek”.

V snahe o ucelenosť jednotlivých kapitol uvádzame tie pojmy a zručnosti, ktoré súvisia

s viacerými kapitolami, v kaţdej z nich. Z toho istého dôvodu sú do textu zaradené i niektoré pojmy,

vzťahy a činnosti, ktoré sú obsahom učiva základnej školy.

1. ZÁKLADY MATEMATIKY

1.1 Logika a množiny

Obsah

Pojmy:

výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia,

konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné, kvantifikátor (existenč-

ný, všeobecný, aspoň, najviac, práve), priamy a nepriamy dôkaz, dôkaz sporom, matematická induk-

cia, mnoţina, prvky mnoţiny, podmnoţina, nadmnoţina, prienik, zjednotenie a rozdiel mnoţín, Ven-

nove diagramy, disjunktné mnoţiny, prázdna mnoţina, doplnok mnoţiny, konečná a nekonečná mnoţi-

na.

Vlastnosti a vzťahy:

Implikácia (výrok) BA je ekvivalentná s implikáciou (výrokom) AB (výrok z A vyplýva B

platí práve vtedy, keď platí výrok, z negácie B vyplýva negácia A),

výroky A, B sú ekvivalentné, ak platia obe implikácie ABBA , ,

negácia konjunkcie (disjunkcie) je disjunkcia (konjunkcia) negácií,

implikácia ba je nepravdivá práve vtedy, keď je pravdivý výrok a a nepravdivý výrok b,

pravdivosť zloţených výrokov a negácie („tabuľka pravdivostných hodnôt“),

negácia výroku Mx platí V(x) je ,Mx pre ktoré neplatí V(x),

negácia výroku Mx , pre ktoré platí V(x) je Mx neplatí V(x),

A = B práve vtedy, keď súčasne platí ABBA , ,

pre počty prvkov zjednotenia dvoch mnoţín platí BABABA ,

operácie zjednotenie a prienik sú asociatívne a komutatívne,

BABA )( , BABA )( .

Požiadavky na vedomosti a zručnosti

Ţiak vie

rozlíšiť pouţívanie logických spojok a kvantifikátorov vo vyjadrovaní sa v beţnom ţivote na jednej

strane a v rovine zákonov, nariadení, zmlúv, návodov, matematiky na strane druhej,

zapisovať zložené a kvantifikované výroky, relácie a operácie s množinami pomocou dohodnu-

tých značiek a jednotlivých výrokov, resp. množín,

zistiť pravdivostnú hodnotu zloţeného výroku (vytvoreného pomocou negácie, konjunkcie, disjun-

kcie, implikácie, ekvivalencie) z pravdivostných hodnôt jednotlivých zloţiek (teda napísať pre da-

nú situáciu príslušný riadok „tabuľky pravdivostných hodnôt“),

v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či je výrok negáciou daného výroku, vytvoriť negáciu zloţe-

ného výroku (nie len pomocou „nie je pravda, ţe …“),

v jednoduchých prípadoch zapísať a určiť mnoţinu vymenovaním jej prvkov, charakteristickou

vlastnosťou alebo množinovými operáciami,

v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o konečnosti či nekonečnosti danej mnoţiny,

opísať základné druhy dôkazov (priamy, nepriamy, sporom, matematickou indukciou)

a dokumentovať ich príkladmi,

7

použiť základné druhy dôkazov pri dokazovaní jednoduchých tvrdení o celých číslach (pozri 1.3

Teória čísel),

určiť zjednotenie, prienik a rozdiel mnoţín i doplnok mnoţiny A (ak A je podmnoţinou B) vzhľa-

dom na mnoţinu B (intervaly pozri v 1.2 Čísla, premenné a výrazy),

pouţiť vzorec pre počet prvkov zjednotenia 2 mnoţín pri hľadaní počtu prvkov týchto mnoţín,

resp. ich prieniku alebo zjednotenia,

pri riešení úloh o mnoţinách pouţiť ako pomôcku Vennove diagramy (pre 2 – 4 mnoţiny).

Príklady:

1. Nedôverčiví novinári

Majiteľ istej firmy sa chválil: „O kaţdom svojom zamestnancovi môţem zodpovedne vyhlásiť, ţe

ak u nás pracuje viac ako štyri roky, má plat aspoň 15000 korún.“ Novinári mu neverili a vybrali sa

medzi zamestnancov.

Prvý novinár našiel pracovníka, ktorý vo firme pracuje tri roky a má plat 16000 korún.

Druhý novinár našiel pracovníka, ktorý vo firme pracuje dva roky a má plat 12000 korún.

Tretí novinár našiel pracovníka, ktorý vo firme pracuje päť rokov a má plat 14500 korún.

Ktorý z novinárov môţe na základe uvedeného zistenia tvrdiť, ţe majiteľ firmy nehovoril pravdu?

a) ani jeden b) iba prvý c) iba druhý a tretí d) iba tretí e) všetci traja

2. Slová

Označme T mnoţinu trojslabičných slov, S mnoţinu šesťpísmenových slov a A mnoţinu slov obsa-

hujúcich písmeno „A“. Ktoré z uvedených slov patrí do mnoţiny ( AST ) ?

a) JAMKA b) VIETOR c) MONITOR d) BUNKA e) KLAVÍR

3. Vývoj nezamestnanosti

Na základe grafu na obrázku urobil redaktor v televíznej besede tri závery:

1. V roku 1996 bola nezamestnanosť dvakrát vyššia ako v roku 1995.

2. Medziročný nárast nezamestnanosti má od roku 1995 neustále klesajúcu tendenciu.

3. Počet nezamestnaných prvýkrát prekročil magickú hranicu 1 milión obyvateľov v roku 1998.

Ktorý z týchto záverov bol správny?

a) iba druhý

b) iba prvý a druhý

c) iba prvý a tretí

d) iba druhý a tretí

e) všetky tri

8

4. Konečné a nekonečné množiny

Nech K1, K2 sú ľubovoľné dve konečné mnoţiny a M nech je ľubovoľná nekonečná mnoţina. Ktoré

z uvedených tvrdení je potom nepravdivé?

a) K1 K2 je konečná mnoţina. b) K1 K2 je konečná mnoţina.

c) M K1 je nekonečná mnoţina. d) M K1 je nekonečná mnoţina.

e) M - K1 je nekonečná mnoţina.

5. Brigádnik

Istý študent sa obhajoval: „Nie je pravda, ţe som sa na brigáde zúčastnil najviac trikrát.“ Zo študen-

tových slov vyplýva, ţe sa na brigáde

a) zúčastnil vţdy. b) zúčastnil aspoň štyrikrát. c) zúčastnil aspoň trikrát.

d) najviac trikrát nezúčastnil. e) nezúčastnil nikdy.

6. Koláče

Mama sa chystá piecť koláče. Ostatní členovia rodiny vyslovili tieto ţelania:

Otec: „Upeč makovník alebo orechovník.“

Syn: „Ak upečieš orechovník, tak upeč aj makovník alebo buchty.“

Dcéra: „Ak upečieš buchty aj makovník, tak nepeč orechovník.“

Mama napokon upiekla len orechovník. Komu splnila ţelanie?

a) Len otcovi a dcére. b) Len otcovi a synovi.

c) Len synovi a dcére. d) Otcovi, synovi aj dcére.

e) Ani otcovi, ani synovi, ani dcére.

7. Novinová správa

V tlači sa objavila správa: „Vlani kaţdý študent maturoval aspoň z jedného cudzieho jazyka.“ Na

druhý deň v novinách priznali, ţe došlo k omylu a správa nebola pravdivá. Z toho moţno usúdiť, ţe

vlani

a) kaţdý študent maturoval z viacerých cudzích jazykov.

b) niektorí študenti maturovali práve z jedného cudzieho jazyka.

c) niektorí študenti maturovali z viac ako dvoch cudzích jazykov.

d) niektorí študenti nematurovali z cudzieho jazyka.

e) ţiadny študent nematuroval z cudzieho jazyka.

8.

Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou:

rqp )(

je pravdivý práve vtedy keď:

p,q, sú pravdivé a r je nepravdivý

p,r sú pravdivé a q je nepravdivý

q,r sú pravdivé a p je nepravdivý

q,r sú nepravdivé a p je pravdivý

p,r sú nepravdivé a q je pravdivý

9

9. Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou:

rqp )(

je nepravdivý práve vtedy keď:

p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý

p,r pravdivé a q nepravdivý

q,r pravdivé a p nepravdivý

p,q nepravdivé a r pravdivý

všetky tri výroky sú nepravdivé

10. Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou:

rqp

je nepravdivý

p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý

p pravdivé a q,r nepravdivý

q,r pravdivé a p nepravdivý

p,q nepravdivé a r pravdivý

všetky tri výroky sú pravdivé

11. Negáciou výroku : „Prišli práve traja návštevníci“, je výrok

a. Prišli práve traja návštevníci

b. Prišli aspoň štyria návštevníci

c. Prišli najviac traja návštevníci, alebo aspoň štyria

d. Prišli najviac traja návštevníci.

e. Tento výrok sa nedá negovať

12. Nech K1, K2 sú ľubovoľné dve konečné mnoţiny a M nech je ľubovoľná nekonečná mnoţina. Ktoré


a. K1 K2 je konečná mnoţina.

b. K1 K2 je konečná mnoţina.

c. M K1 je nekonečná mnoţina.

d. M K1 je nekonečná mnoţina.

e. M - K1 je nekonečná mnoţina.

13. Označme T mnoţinu dvojslabičných slov, S mnoţinu šesťpísmenových slov a A mnoţinu slov ob-

sahujúcich písmeno „O“. Ktoré z uvedených slov patrí do mnoţiny ( AST ) ?

a. JAMKA

b. VIETOR

c. MONITOR

d. BUNKA

e. KLAVÍR

14. Pomocou Vennového diagramu zjednodušte zápis mnoţiny

NNM )(

10

a. M

b. prázdna mnoţina

c. základná mnoţina

d. N

e. ţiadna z ostatných moţností nie je správna

15. Dané sú výrokové formy A(x): x

2 < 30, B(x): 2x > 5,, kde x sú prirodzené čísla

Oborom pravdivosti výrokovej formy A(x) B(x) je :

A. {3,4,5}

B. prázdna mnoţina

C. {1,2,3,4,5}

D. N

E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna

16.

Dané sú výrokové formy A(x): x2 < 30, B(x): 2x > 5,, kde x sú prirodzené čísla


a. x > 3

b. prázdna mnoţina

c. {1,2 }

d. N\{1,2 }

e. ţiadna z ostatných moţností nie je správna

17. Negáciou výroku „Nikto nepodal protest“ je výrok

f. Kaţdý podal protest

g. Aspoň jeden nepodal protest

h. Niekto podal protest

i. Najviac jeden podal protest

j. ţiadna z ostatných moţností nie je správna

18. Mama sa chystá piecť koláče. Ostatní členovia rodiny vyslovili tieto ţelania:

Otec: „Upeč makovník alebo orechovník.“

Syn: „Ak upečieš orechovník, tak upeč aj makovník alebo buchty.“

Dcéra: „Ak upečieš buchty aj makovník, tak nepeč orechovník.“

Mama napokon upiekla len orechovník. Komu splnila ţelanie?

A. Len otcovi a dcére.

B. Len otcovi a synovi.

C. Len synovi a dcére.

D. Otcovi, synovi aj dcére.

E. Ani otcovi, ani synovi, ani dcére.

19.


rqp )(

je pravdivý práve vtedy keď:

A. p,q, sú pravdivé a r je nepravdivý

11

B. p,r sú pravdivé a q je nepravdivý

C. q,r sú pravdivé a p je nepravdivý

D. q,r sú nepravdivé a p je pravdivý

E. p,r sú nepravdivé a q je pravdivý

20.


rqp )(

je nepravdivý práve vtedy keď:

A. p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý

B. p,r pravdivé a q nepravdivý

C. q,r pravdivé a p nepravdivý

D. p,q nepravdivé a r pravdivý

E. všetky tri výroky sú nepravdivé

21.


rqp

je nepravdivý

A. p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý

B. p pravdivé a q,r nepravdivý

C. q,r pravdivé a p nepravdivý

D. p,q nepravdivé a r pravdivý

E. všetky tri výroky sú pravdivé

22.

Negáciou výroku : „Prišli práve traja návštevníci“, je výrok

A. Prišli práve traja návštevníci

B. Prišli aspoň štyria návštevníci

C. Prišli najviac traja návštevníci, alebo aspoň štyria

D. Prišli najviac traja návštevníci.

E. Tento výrok sa nedá negovať

23.

Nech K1, K2 sú ľubovoľné dve konečné mnoţiny a M nech je ľubovoľná nekonečná mnoţina. Ktoré


A. K1 K2 je konečná mnoţina.

B. K1 K2 je konečná mnoţina.

C. M K1 je nekonečná mnoţina.

D. M K1 je nekonečná mnoţina.

E. M - K1 je nekonečná mnoţina.

24.

Označme T mnoţinu dvojslabičných slov, S mnoţinu šesťpísmenových slov a A mnoţinu slov ob-

sahujúcich písmeno „O“. Ktoré z uvedených slov patrí do mnoţiny ( AST ) ?

A. JAMKA

B. VIETOR

C. MONITOR

D. BUNKA

12

E. KLAVÍR

25.

Pomocou Vennového diagramu zjednodušte zápis mnoţiny

NNM )(

A. M


C. základná mnoţina

D. N


26.



A. {3,4,5}


C. {1,2,3,4,5}

D. N


27.



A. x > 3


C. {1,2 }

D. N\{1,2 }


28.

Negáciou výroku „Nikto nepodal protest“ je výrok

A. Kaţdý podal protest

B. Aspoň jeden nepodal protest

C. Niekto podal protest

D. Najviac jeden podal protest


1.2 Čísla, premenné a výrazy

Obsah

Pojmy: konštanta, premenná, výraz, obor definície výrazu, rovnosť výrazov, hodnota výrazu, mnoho-

člen, stupeň mnohočlena, doplnenie do štvorca (pre kvadratický mnohočlen), člen mnohočlena, vyní-

manie pred zátvorku, úprava na súčin, krátenie výrazu, prirodzené (N), celé (Z), nezápor-né ,0N zá-

porné ( Z ), racionálne (Q), iracionálne (I), reálne (R) čísla, n–ciferné číslo, zlomky (čitateľ, menova-

13

teľ, spoločný menovateľ, základný tvar zlomku, zloţený zlomok, hlavná zlomková čiara), desatinný

rozvoj (konečný, nekonečný a periodický), číslo e, číslo , nekonečno, číselná os, znázorňovanie čísel,

komutatívny, asociatívny a distributívny zákon, odmocnina (druhá), n-tá odmocnina, mocnina (s priro-

dzeným, celočíselným, racionálnym exponentom), exponent a základ mocniny, základ logaritmu, abso-

lútna hodnota čísla, úmera (priama a nepriama), pomer, percento, promile, základ (pre počítanie

s percentami), faktoriál, kombinačné číslo, desiatková a dvojková sústava, dekadický a dvojkový zápis,

interval (uzavretý, otvorený, ohraničený, neohraničený).


)yx).(yx(yx 22 , 222 2 yxyxyx , )).(( 21

2 xxxxacbxax , kde 21, xx sú

korene rovnice 02 cbxax ( 0a ),

,. yxyx aaa ,)( xyyx aa x

x

aa

1, xxx baab)( , 10c , ,0,ba 0c , Zyx, , resp.

Qyx, ,

nmm n xx , n mm

n xx , ,. nnn xyyx pre 0y,x , Nn,m ,

aa 2 ,

ax je vzdialenosť obrazov čísel x a a na číselnej osi,

1cossin 22 , sin2

cos , cos2

sin , sin)sin( , cos)cos( ,

sin)sin( , cos)cos( , cos.sin22sin , ,sincos2cos 22

cos

sintan ,

bxba a

x log , xaxalog

pre 0,1,0 xaa ;

)(logloglog xyyx aaa , y

xyx aaa logloglog pre 0,,1,0 yxaa ;

xyx a

y

a log)(log pre 0,1,0 xaa ;

r

ss

a

a

rlog

loglog pre 0,, rsa , 1, ar ,

n!=1.2.3. ... .n, pre prirodzené čísla n, 0!=1,

)!kn(!k

!n

k

n pre prirodzené čísla n a nezáporné celé čísla k nie väčšie ako n,

práve racionálne čísla majú desatinný periodický rozvoj,

IQR , {}IQ , }0{ZNZ , RQZN .


Ţiak vie:

(čísla)

zaokrúhľovať čísla,

upraviť reálne číslo na tvar na 10. , kde n je celé číslo a a číslo z intervalu 10,1 ,

vypočítať absolútnu hodnotu reálneho čísla,

zapísať vzdialenosť na číselnej osi pomocou absolútnej hodnoty,

znázorňovať čísla na číselnú os, porovnávať čísla na číselnej osi, odčítať čísla z číselnej osi,

14

pre konkrétne n všeobecne zapísať n–ciferné číslo,

na pribliţný výpočet číselných výrazov a hodnôt funkcií (vrátane log a ) pouţívať kalkulačku, pri-

čom vie

- upravovať číselné výrazy na tvar vhodný pre výpočet na kalkulačke,

- zvoliť vhodný postup, aby mu vyšiel čo najpresnejší výsledok (napr. pri pribliţnom výpočte

!10!10

!20),

pomocou kalkulačky zistiť ostrý uhol, ktorý má danú goniometrickú hodnotu,

porovnať dve reálne čísla na úrovni presnosti kalkulačky,

vyjadriť zjednotenie, prienik a rozdiel konečného počtu intervalov pomocou najmenšieho počtu

navzájom disjunktných intervalov, jednoprvkových mnoţín a prázdnej mnoţiny,

(výrazy)

určiť hodnotu výrazu (dosadiť) „ručne“ alebo pomocou kalkulačky,

určiť obor definície výrazu (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

odstrániť absolútnu hodnotu rozlišovaním vhodných prípadov (t.j. )()( xVxV pre x, pre ktoré

0)(xV a )()( xVxV pre x, pre ktoré 0)(xV ),

doplniť kvadratický trojčlen do štvorca (pozri tieţ 2.2 Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická

postupnosť),

upravovať mnohočlen na súčin vynímaním pred zátvorku a pouţitím vzťahov pre rozklady výrazov 22 yx , 22 2 yxyx , cbxax 2 ,

pouţiť pri úpravách výrazov (číselných alebo výrazov s premennými) rovnosti uvedené v časti

Vlastnosti a vzťahy, roznásobovanie, vynímanie pred zátvorku, krátenie, úpravu zloţeného zlomku

na jednoduchý,

(práca s premennou)

pouţívať percentá a úmeru,

nahradiť premennú vo výraze novým výrazom (substitúcia, pozri tieţ 1.4 Rovnice, nerovnice a ich

sústavy),

pri priamo závislých veličinách vie vyjadriť jednu pomocou druhej (pozri tieţ 2.1 Funkcia a jej

vlastnosti, postupnosti),

vyjadriť neznámu zo vzorca (pozri 2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti),

zapísať slovný text algebraicky (matematizácia),

- zapísať vzťahy (v jednoduchom texte) pomocou premenných, čísel, rovností a nerovností

- zapísať, vyjadriť beţné závislosti v geometrii,

- v jednoduchých prípadoch odvodiť zo známych vzťahov niektoré nové vzťahy,

riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovniciam a nerovniciam (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a

ich sústavy) a hľadaniu extrémov funkcií (pozri 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad) a inter-

pretovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania.

Príklady:

1. Priemerná mzda

Štátny podnik MONITOREX má dva úseky. V úseku výroby pracuje 100 zamestnancov a ich prie-

merná mzda je 9600 Sk. V úseku odbytu pracuje dvakrát toľko ľudí ako v úseku výroby a ich prie-

merná mzda je 12000 Sk. Aká je priemerná mzda všetkých pracovníkov MONITOREXu?

15

a) 10 400 b) 10 800 c) 11 200 d) 11 400 e) 11 600

2. Nepriamo úmerné veličiny

O dvoch premenných veličinách a, b sa meraniami zistilo, ţe jedna je nepriamo úmerná druhej.

Ktorý z nasledujúcich vzťahov môţe vyjadrovať ich závislosť?

a) a

b= - 0,6 b) a = 13b c) a = b d) a = b - 3 e) a.b = 1,8

3. Cestovné lístky

Silvia sa venuje d dní v mesiaci tréningu gymnastiky. Z domu na tréning aj z tréningu domov cestu-

je vţdy autobusom. Lístok na jednu cestu stojí 12 korún, mesačný cestovný lístok stojí m korún.

V akom vzťahu musia byť hodnoty m a d, aby bolo pre Silviu výhodnejšie kúpiť si mesačný lístok

neţ pouţívať jednorazové cestovné lístky?

a) m>24d b) m>d

24 c) m<12d d) m<24d e) m<

24

d

4. Fajčiari

20% všetkých predčasných úmrtí majú na svedomí srdcovo-cievne choroby. 40% obetí týchto cho-

rôb tvoria nefajčiari. Koľko percent predčasných úmrtí tvoria fajčiari, ktorí zomreli na srdcovo-

cievne choroby?

a) 8% b) 12% c) 20% d) 40% e) 60%

5. Teploty

V Európe sa teplota vzduchu udáva v stupňoch Celzia, v USA v stupňoch Fahrenheita. Keď Euró-

pan pricestuje do USA a chce rozumieť predpovedi počasia, musí pouţiť na prevod teplôt vzorec

c = 9

23.5 f, kde c je teplota v C a f je teplota v F . Aký vzorec na prevod teplôt by mali pou-

ţívať Američania, keď pricestujú do Európy?

a) f =5

9c - 32 b) f =

5

32.9 c c) f =

5

32.9 c d) f =

5

160.9 c e) f =

5

.9 c+ 160

6. Hmotnosť častice

Elementárna častica A má hmotnosť 4.10-28

g. Častica B je 200 – krát ťaţšia. Jej hmotnosť je teda

a) 8.10-26

g. b) 8.10-30

g. c) 4.10-26

g. d) 2.10-26

g. e) 2.10-30

g.

16

7. Kruhová rýchlosť

Pre veľkosť kruhovej rýchlosti v, ktorou sa pohybuje umelá druţica okolo Zeme, platí vzťah v =

h

M

6378

.. Z neho pre výšku h nad povrchom Zeme platí

a) h = 2

2 ..6378

v

Mv. b) h = κ.M – 6378.v

2. c) h =

2

2.6378.

v

vM.

d) h = 2

6378.

v

M. e) h =

2

2

.6378. vM

v.

8. Test

Test na prijímacích skúškach obsahuje u úloh. Pätina z nich sa hodnotí jedným bodom, t úloh je

trojbodových, zvyšné úlohy sú dvojbodové. Aký maximálny počet bodov sa dá získať z testu?

a) tutu .2.3.5

1 b) tutu

5

4.2.3.

5

1

c) tutu .5

4.2.3.

5

1 d) tutuu .

5

4.2.3.

5

1

e) tutu .5

3.2.

5

1.3.

5

1

9. Prospech študentov

Na kruhovom diagrame je znázornené, koľko percent študentov školy prospelo na konci školského

roka s vyznamenaním, koľko prospelo veľmi dobre, koľko prospelo a koľko neprospelo. Pribliţne

koľko percent ţiakov prospelo s vyznamenaním?

a) 40 %

b) 33 %

c) 25 %

d) 12 %

e) 6 %

10. Väčšie číslo

Koľkokrát je číslo 1,8.10a+1

väčšie ako číslo 7,2.10a-2

?

a) 250 – krát b) 250.10a – krát c)

4

1.10

a-1 – krát d)

40

1 - krát e)

250

1 - krát

11. Odmena zamestnancov

Graf znázorňuje, ako boli v istom podniku so 120

zamestnancami rozdelené odmeny. Koľko zamest-

nancov malo odmenu niţšiu ako bola priemerná

odmena v podniku?

17

a) 28 b) 29 c) 37

d) 57 e) 91

12. Nepriama úmernosť

Ak sú dve veličiny nepriamo úmerné, potom musí byť konštantný

a) ich súčet. b) ich súčin. c) ich rozdiel. d) ich podiel. e) súčin ich algoritmov.

13. Vyjadrenie funkcie

Ak predpis funkcie f: y = xtg

xtg2

2

1

1, pričom x

2;

2, vyjadríme pomocou t = cos x, dostaneme

y =

a) 2

2

1

1

t

t. b)

2

2

2 t

t. c)

12

12t

. d) 1 – 2t2. e) 2t

2 – 1.

14. Vzťah

V prvej sýpke bolo uskladnených x ton obilia, v druhej sýpke trikrát menej. Z prvej sýpky sa denne

expedovalo 8 ton obilia, z druhej sýpky štyrikrát menej. Za d dní bolo v obidvoch sýpkach rovnaké

mnoţstvo obilia. Aký je vzťah medzi x a d?

a) x = 8d b) x = 9d c) x = 12d d) x = d

9 e) x =

12

d

15. Rozpočet

Na schválenie rozpočtu nadácie sú podľa jej stanov potrebné hlasy aspoň troch pätín členov správ-

nej rady. Na zasadnutie správnej rady sa však dostavili iba štyri pätiny jej členov. Najmenej aká

časť prítomných členov správnej rady musí návrh rozpočtu posporiť, aby bol schválený v súlade so

stanovami nadácie?

a) 5

4 b)

4

3 c)

10

7 d)

5

3 e)

25

12

16. Študenti

Stĺpcový aj kruhový diagram na obrázku znázorňujú počty študentov istej strednej školy, prijatých

na jednotlivé druhy vysokých škôl. Ktorá časť kruhového diagramu zodpovedá počtu študentov pri-

jatých na techniku?

a) časť A

b) časť B

c) časť C

d) časť D

e) časť E

18

17. Prváci

Na istú fakultu sa vlani prihlásilo p dievčat a štyrikrát toľko chlapcov. Po prijímacích skúškach sa

na fakultu dostala štvrtina z dievčat a polovica z chlapcov. Koľko študentov prijali do 1. ročníka

tejto fakulty?

a) 4

9p b)

2

3p c)

4

5p d)

4

3p e)

8

5p

18. Kapacita kondenzátorov

Pre veľkosť výslednej kapacity C dvoch sériovo zapojených kondenzátorov s kapacitami C1, C2 pla-

tí vzťah 21

111

CCC. Potom pre kapacitu C1 platí

a) C1 = CC

CC

.2

2 . b) C1 = CC

CC

.2

2 . c) C1 = CC

CC

2

2 ..

d) C1 = CC

CC

2

2 .. e) C1 =

2

2 .

CC

CC.

19. Priama úmernosť

Veličina V je priamo úmerná veličine t. Pre t = 7 je V = 98. Potom V moţno vyjadriť pomocou t

vzťahom

a)V = 2t2. b)V = 14t. c)V =

14

1t. d)V = 7t

+ 49. e)V=

7

t + 97.

20. 2?

100110001000 222 =

a) 2501

b) 21000

c) 21001

d) 21002

e) 2

3001

2

21. Kopírovací stroj

Náš kopírovací stroj zväčšuje najviac 2 - krát. Ak chceme napríklad zväčšiť obrázok s rozmermi

15 cm x 15 cm na veľkosť 30 cm x 30 cm, musíme to urobiť na dvakrát: v prvom kroku získame

obrázok s rozmermi 15. 2 cm x 15. 2 cm a ten sa v druhom kroku zväčší na poţadovanú veľ-

kosť 30 cm x 30 cm. Najmenej koľkokrát musíme pouţiť kopírovací stroj, ak chceme obrázok

s rozmermi 5 cm x 5 cm zväčšiť na 40 cm x 40 cm?

a) 4-krát b) 5-krát c) 6-krát d) 7-krát e) 8-krát

19

22. Prieskum

Istá agentúra uskutočnila prieskum o počte detí na vzorke 1000

rodín. Graf znázorňuje zistené relatívne početnosti rodín

s jednotlivými počtami detí. Aký bol priemerný počet detí

v tejto vzorke 1000 rodín?

a) 1 b) 1,84 c) 1,94 d) 2 e) 2,25

23. Mol

Ak 1 mol látky obsahuje pribliţne 6,023.1023

častíc, potom 100 molov látky obsahuje pribliţne

a) 6,023.1025

častíc. b) 6,023.10023

častíc. c) 6,023.10123

častíc.

d) 6,023.100023

častíc. e) 6,023.102300

častíc.

24. Cena vizitiek

Firma VIZIT, s.r.o. stanovuje cenu za výrobu sady vizitiek podľa vzťahu C = 60 + 4p, kde C je cena

v korunách, 60 (Sk) je základný poplatok a p je objednaný počet kusov vizitiek. Od budúceho me-

siaca plánuje firma zvýšiť základný poplatok o pätinu a cenu za kaţdý zhotovený kus o pätinu zní-

ţiť. Podľa akého vzťahu bude firma po úprave stanovovať cenu?

a) C = 48 + 4,8p b) C = 65 + 3,5p c) C = 72 + 0,8p

d) C = 72 + 3,5p e) C = 72 + 3,2p

25. Úprava výrazu

Výraz

x

x1

1

11

moţno pre všetky čísla x 1;0R upraviť na tvar

a) – x – 1 b) x + 1 c) x – 1 d) – x + 1 e) – 1

26. Stužková slávnosť

Keby sa na stuţkovej slávnosti zúčastnilo všetkých z ţiakov triedy, musel by kaţdý z nich na prená-

jom miestnosti prispieť sumou k korún. Štyria ţiaci sa však na stuţkovej nebudú môcť zúčastniť,

pretoţe odišli študovať do zahraničia. Akou sumou musí kaţdý zo zvyšných ţiakov triedy prispieť

na prenájom miestnosti?

a) k

z 4 b)

kz

z

.

4 c)

4

.

z

kz d)

z

kz .4 e)

4z

k

20

1.3 Teória čísel

Obsah

Pojmy: deliteľ, násobok, deliteľnosť, najväčší spoločný deliteľ (NSD), najmenší spoločný násobok

(NSN), Euklidov algoritmus, prvočíslo, zloţené číslo, nesúdeliteľné čísla, zvyšok, prvočíselný rozklad,

prvočiniteľ.


Znaky deliteľnosti:

- posledná cifra: 2, 5, 10,

- posledné dve cifry: 4, 25, 50,

- posledné tri cifry: 8,

- súčet všetkých cifier: 3, 9.

Ak sú čísla s, t deliteľné číslom M, tak aj číslo ts je deliteľné číslom M.

Ak je číslo s deliteľné prvočíslom M aj prvočíslom K, tak je deliteľné aj číslom MK .

Výpočet NSD pomocou delenia so zvyškom (Euklidov algoritmus).

Jednoznačnosť prvočíselného rozkladu.

Prvočísel je nekonečne veľa.


Ţiak vie

zistiť bez delenia, či je dané číslo deliteľné niektorým z čísel uvedených v znakoch deliteľnosti,

sformulovať a použiť kritériá deliteľnosti niektorými zloženými číslami, ktoré sú súčinom nesú-

deliteľných čísel uvedených v znakoch deliteľnosti (napr. 6, 12, 15),

nájsť NSN, NSD daných čísel,

použiť Euklidov algoritmus,

v jednoduchých prípadoch zistiť, či je číslo (buď konkrétne alebo určené pomocou najviac 1 pa-

rametra) prvočíslo,

nájsť celočíselné riešenia úloh, v ktorých moţno jednoduchou úvahou určiť vhodnú konečnú mno-

ţinu, ktorá hľadané riešenia musí obsahovať (riešenia úlohy potom nájde preverením jednotlivých

prvkov získanej konečnej mnoţiny),

pri riešení jednoduchých úloh vyuţiť pravidelnosť rozloţenia násobkov celých čísel na číselnej osi,

použiť základné druhy dôkazov pri dokazovaní jednoduchých tvrdení o celých číslach..

Príklady:

1. Vhodné číslice

Keď nahradíme hviezdičku v čísle 5 * 7000000000004 vhodnou číslicou, dostaneme číslo deliteľné

troma. Existuje niekoľko číslic. Aký je ich súčet?

a) 15 b) 13 c) 10 d) 7 e) 2

2. Vhodná číslica

Existuje jediná číslica, ktorej doplnením na miesta dvoch hviezdičiek v čísle 234567*765432*

vznikne číslo, ktoré je deliteľné 36 – timi. Ktorá z uvedených mnoţín obsahuje túto číslicu?

21

a) 1,0 b) 3,2 c) 5,4 d) 7,6 e) 9,8

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy

Obsah

Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový

činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin, substitúcia, kontrola (skúška) riešenia,

(ekvivalentné a neekvivalentné) úpravy rovnice a nerovnice, lineárny, kvadratický člen, koeficient pri

lineárnom (kvadratickom) člene.


diskriminant kvadratickej rovnice 02 cbxax D = acb 42 ,

riešením kvadratickej rovnice 02 cbxax sú a

Dbx

22,1 ,

vzťah medzi diskriminantom a počtom (navzájom rôznych) koreňov kvadratickej rovnice,

)).(( 21

2 xxxxacbxax , kde 21, xx sú korene rovnice 02 cbxax ( 0a ),

ak 21 , xx sú korene kvadratickej rovnice 02

cbxx , tak bxxcxx 2121 ,. ,

vzťah medzi znamienkom súčinu dvoch výrazov a znamienkom jednotlivých činiteľov.


Ţiak vie (rovnice)

nájsť všetky riešenia lineárnej rovnice 0bax a kvadratickej rovnice 02 cbxax , pričom

pozná vzťah medzi koreňmi kvadratickej rovnice, jej koeficientmi a koreňovými činiteľmi, počtom

riešení,

nájsť všetky riešenia, resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale I (ak sa nedá presne, tak pri-

bliţne s pomocou kalkulačky), rovnice Axf )( , kde RA a f je funkcia

- ax , xb , xblog ( Qa , b je kladné číslo rôzne od 1),

- ax ,

- xsin , xcos , tgx ,

a vie určiť, koľko riešení má uvedená rovnica (v závislosti od čísla A, čísel a, b, c, resp. intervalu I,

pouţitím danej substitúcie )(xy upraviť rovnicu zapísanú v tvare Axf ))(( na tvar

Ayf )( , špeciálne vie nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale) rov-

níc

- Abaxf )( , kde f je funkcia ax , xb , xblog , xsin , xcos ,

- Acbxaxf )( 2, kde f je funkcia ax , xb , xblog , x ,

- 0)()(2

cxbfxaf , kde f lineárna, kvadratická funkcia alebo funkcia xsin , xcos ,

nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale) rovníc zapísaných v tvare

0)()( xgxf , kde pokiaľ vie riešiť rovnice f(x)=0, g(x)=0,

nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale) rovníc, ktorých riešenie moţ-

no upraviť na niektorý z predchádzajúcich tvarov

- pouţitím úprav jednotlivých strán rovnice, vyuţívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti

funkcií (pozri 1.2 Čísla, premenné a výrazy, 2 Funkcie),

- pripočítaním (špeciálne odpočítaním) a vynásobením (špeciálne vydelením) obidvoch strán rov-

nice výrazom, umocnením (špeciálne odmocnením) obidvoch strán rovnice,

22

- odstránením absolútnej hodnoty v prípade rovníc s jednou absolútnou hodnotou (rozlišovaním

dvoch vhodných prípadov), resp. jednoduchých rovníc s dvoma absolútnymi hodnotami (rozli-

šovaním 3 – 4 vhodných prípadov),

pričom vie rozhodnúť

- či pouţitá úprava zachová alebo či môţe zmeniť mnoţinu riešení danej rovnice,

- ktoré z koreňov rovnice, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj koreňmi pôvodnej rovnice,

resp. - pri pouţití postupov, ktoré mohli mnoţinu potenciálnych koreňov zmenšiť - o ktorých

číslach ešte treba zistiť, či sú koreňmi pôvodnej rovnice,

na základe vlastností funkcie f (monotónnosť, periodičnosť, súmernosti grafu) - určiť vzťah

medzi číslami x a y, pre ktoré platí )()( yfxf , kde f je funkcia ax , xb , xblog , ax , xsin ,

xcos (na základe toho vie riešenie rovnice v tvare ))(())(( xhfxgf nahradiť riešením rovnice

(alebo rovníc) zapísaných uţ len pomocou funkcií g a h),

riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku pô-

vodného zadania,

(sústavy rovníc)

opísať a geometricky interpretovať mnoţinu všetkých riešení jednej a dvoch lineárnych rovníc s 2

alebo 3 neznámymi (pozri 3.2 Analytická geometria v rovine, 4.2 Súradnicová sústava v priestore,

vektory, analytická metóda),

nájsť mnoţinu všetkých riešení sústavy 1 – 3 lineárnych rovníc s 1 – 2, resp. 1 – 3 neznámymi, a to

aj v prípadoch, keď táto sústava má nekonečne veľa riešení (a tieto riešenia aj zapísať) alebo nemá

riešenia,

nájsť všetky riešenia sústavy 2 rovníc s 2 neznámymi, ktorú moţno jednoducho upraviť na tvar

)(xfy 0),( yxg (resp. )(yfx 0),( yxg ), pokiaľ vie riešiť rovnicu 0))(,( xfxg

(resp. 0)),(( yyfg ),

upravovať sústavy rovníc pouţitím

- úprav jednotlivých strán rovnice, vyuţívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti elemen-

tárnych funkcií (pozri 1.2 Čísla, premenné a výrazy, 2 Funkcie),

- pripočítania (špeciálne odpočítania) a vynásobenia (špeciálne vydelenia) obidvoch strán rovnice

výrazom,

pričom vie rozhodnúť,

- či pouţitá úprava zachová alebo či môţe zmeniť mnoţinu riešení danej sústavy,

- ktoré z riešení sústavy, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj riešeniami pôvodnej sústavy,

resp. - pri pouţití postupov, ktoré mohli mnoţinu potenciálnych riešení zmenšiť - o ktorých čís-

lach ešte treba zistiť, či sú riešeniami pôvodnej sústavy,

nahradiť riešenie sústav typu 00 )y,x(g)y,x(h).y,x(f riešením dvojice sústav

0),(0),( yxgyxf , 0),(0),( yxgyxh ,

správne použiť nahradenie jednej rovnice sústavy súčtom vhodných násobkov jednotlivých rov-

níc tejto sústavy, a to aj v prípade nelineárnych sústav,

(nerovnice a ich sústavy)

nájsť mnoţinu všetkých riešení nerovnice

- Lxf )( , kde L je reálne číslo, je jeden zo znakov nerovnosti ,,, a f je niektorá

z funkcií )( bax , xb , xblog , ax , resp. mnoţinu všetkých riešení tejto nerovnice leţia-

cich v danom intervale,

- Lxf )( , kde f je niektorá z funkcií xsin , xcos , tg x a x je prvkom daného ohraničeného in-

tervalu,

23

- 0)(

)(

xg

xf a 0)()( xgxf , pokiaľ vie riešiť nerovnice 0)(,0)( xgxf , kde je znak nerov-

nosti ,

pri riešení a úpravách nerovníc správne pouţiť

- vynásobenie obidvoch strán nerovnice kladným alebo záporným číslom,

- pripočítanie výrazu k obidvom stranám nerovnice,

- vynásobenie nerovnice výrazom bax , cbxax2 , ax ,

nájsť všetky riešenia nerovníc, ktorých riešenie moţno uvedenými postupmi nahradiť riešením ne-

rovníc uvedených v predchádzajúcej odráţke,

na základe poznatkov o monotónnosti exponenciálnych a logaritmických funkcií nahradiť rieše-

nie nerovnice ))(())(( xhfxgf , kde je znak nerovnosti a f je logaritmická alebo exponen-

ciálna funkcia, riešením nerovnice )()( xhxg ,

riešiť sústavu nerovníc s jednou neznámou v prípadoch, keď vie vyriešiť samostatne kaţdú z da-

ných nerovníc ( pozri tieţ prieniky a zjednotenia intervalov v 1.2 Čísla, premenné a výrazy),

vyznačiť na x–ovej osi riešenie nerovnice )x(g)x(f , pokiaľ vie načrtnúť grafy funkcií

y = f(x), y = g(x),

v rovine opísať a geometricky interpretovať mnoţinu všetkých riešení jednej nerovnice s dvoma

neznámymi x, y, ktorú moţno zapísať v tvare

- )(xfy alebo )(yfx (kde je znak nerovnosti) v tých prípadoch, kedy vie načrtnúť graf

funkcie )(xfy , resp. )(yfx ,

- 0cbyax ,

- 022

mdyaybxax ,

- ,)y,x(f 0 ak vie načrtnúť krivku 0)y,x(f

( pozri tieţ 3.3 Mnoţiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie),

riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k nerovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku

pôvodného zadania.

Príklady:

1. Navzájom „opačné“ nerovnice

Učiteľ riešil na tabuľu nerovnicu x3+2>x

2. Správne mu vyšlo, ţe mnoţinou všetkých jej riešení

v obore reálnych čísel je interval ;1 . Vzápätí vyvolal Katku a dal jej nájsť všetky reálne rieše-

nia „opačnej“ nerovnice x3 + 2 x

2. Bez toho, aby nerovnicu riešila, Katka ľahko zistila, ţe mno-

ţinou všetkých jej riešení je interval

a) 1; b) 1; c) 1; d) 1; e) 1;1

2. Filmy a fotografie

Za vyvolanie dvoch filmov a 45 fotografií sme zaplatili 230 korún. Za vyvolanie troch filmov a 70

fotografií sme zaplatili 355 korún. Koľko zaplatíme za vyvolanie štyroch filmov a 100 fotografií?

a) 500 korún b) 510 korún c) 525 korún d) 540 korún e) 550 korún

3. Nerovnica

Nech M je mnoţina všetkých riešení nerovnice x2<x v obore reálnych čísel. Potom

24

a)M=Ө b)M= 1; c)M= 1;0 d)M= 1;1 e)M= ;10;

4. Súčet koreňov

Súčet všetkých koreňov rovnice (x + 1).(2x + 1).(1 – x) = 0 je

a)-2

3 b)-

2

1 c)0 d)

2

1 e)

2

3

5. Absolútna hodnota

Koľko riešení má v obore reálnych čísel rovnica 9.1 xx = 15,8 ? (Návod: skúste si načrtnúť

graf funkcie y = 9.1 xx .)

a) Ani jedno. b) Jedno. c) Dve. d) Tri. e) Štyri.

6. Prienik intervalov

Istej nerovnici vyhovujú všetky čísla, ktoré sú z intervalu 7;4 a súčastne nie sú z intervalu

12;1 . Riešením tejto nerovnice sú teda všetky čísla z mnoţiny

a) 12;7 . b) 7;1 . c) 1;4 . d) 1;4 . e) 12;71;4 .

7. Nerovnica

Nech P je mnoţina všetkých riešení nerovnice x2 5x + 6 v mnoţine reálnych čísel. Potom

a) P = ;61; . b) P = 1;6 . c) P = 2;3 . d) P = 3;2 . e) P = 6;1 .

8. Súčet

Pre tri reálne čísla x, y, z platí: 2x + y + z = 23

2x + 3z = 2

x + 2z = 3. Akú hodnotu má súčet x + y + z?

a) 28 b) 20 c) 18 d) -20 e) -28

9. Korene rovnice

Koľko koreňov má rovnica cos2x = 1 + 5sin

2x v intervale

2

5;0 ?

a) Ani jeden. b) Jeden. c) Dva. d) Tri. e) Štyri.

25

10. Grafické riešenie sústavy nerovníc

Na ktorom z obrázkov môţe vyšrafovaná oblasť predstavovať tú časť roviny, ktorá je grafickým

riešením sústavy nerovníc y - 2 ≤ 0

x + 1 ≥ 0

y – x + 2 ≤ 0 ?

11.

Daná je nerovnica v mnoţine R

2x2 – 3x + 4 < 0

Počet celých koreňov nerovnice je:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

12.

Daná je nerovnica v R

x2 +2x – 2 > 0

Súčet celých koreňov nerovnice je :

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) -2

13.


6x2 – 7x + 2>= 0


26

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) -2

14.


5x2 – 8x – 4 < 0

Súčet celých koreňov nerovnice je:

a) 45 b) 50 c) -12 d) 5 e) 0

15.


x2

-5x + 4 < 0

Súčet celých koreňov nerovnice je:

a) 5 b) -5 c) 7 d) 0 e) 2

16.


x2 – 8x + 15 >= 0

Ktoré celé číslo nie je koreňom nerovnice:

a) 4 b) 1 c) 3 d) -1 d) 0

17.

Daná je rovnica v R

2x = 3 4x

Ktoré prirodzené číslo je koreňom rovnice:

a) 5 b) 1 c) 0 d) -3 d) 4

18.


53x <= 2x + 10

27

Koľko celých čísel je koreňmi nerovnice:

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) ţiadne

19.


x + x2 >= 4

Koľko celých čísel nie je koreňom nerovnice:

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

20.


x5 - 3x = 2(x + 1)

Koľko koreňov má rovnica:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

21.


6x - 2x >= 3

Koľko kladných celých čísel je koreňom nerovnice:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

22.


x21 + x32 < 11

Koľko kladných celých čísel je koreňom nerovnice:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

23


28

5 1x - 3 2x > 5

Koľko kladných celých čísel nie je koreňom nerovnice:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

24.


log2

x + 3log x – 4 = 0

Počet prirodzených koreňov rovnice je:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

25.


Log3 (x + 1) + log3 (x + 3) = 1

Počet celých koreňov rovnice je :

a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

26.


log3 ( 3x – 8) = 7

log7

(2 – x)

Počet koreňov rovnice je:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

27.


(x + 1)log(x + 1)

= 100(x + 1)

Súčet koreňov rovnice je:…………..

a) 98,1 b) 3 c) 54,2 d) 6 e) 81,8

28.


29

1 + log2 (x – 1) = log(x – 1) 4

Počet celých koreňov rovnice je:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

29.


73x - 1x = 2

Súčet koreňov rovnice je:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

30.


xx 32 - 4 = 0

Súčet koreňov rovnice je:………..

a) -3 b) 3 c) -5 d) 6 e) 8

31.

Daná je rovnica v R s neznámou x a reálnym parametrom m

(m – 2)x2 + 2(m – 2)x + 2 = 0

Pre koľko celých parametrov m nemá rovnica reálne korene:

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

32.


log2 x – log x

4 + 3 = 0

Súčet koreňov rovnice je: ………………

a) 1010 b) 1003 c) 1005 d) 6 e) 8

30

33.


27x – 13.9

x 13.3

x+1 – 27 = 0


a) 3 b) 1 c) 5 d) 6 e) 8

34.


64.9x – 84.12

x + 27.16

x = 0


a) 3 b) 1 c) 5 d) 6 e) 8

35.


24 x <= x


a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

36.


x2 > x

Počet nezáporných koreňov nerovnice je:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

37.


31

9x – 2.3

x < 3

Počet nezáporných koreňov nerovnice je:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

38.


4-x+1/2

– 7.2-x

– 4 < 0

Počet záporných celých koreňov nerovnice je:

a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

39.


log1/2 (x2 – x – 12) > log1/2 (x +3)


a) 0 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

40.


log2 (1 + log1/9 x – log9 x ) <1

Počet celých koreňov nerovnice je: …………

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 82

2. FUNKCIE

2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti

Obsah

32

Pojmy: premenná (veličina), „daná premenná je funkciou inej premennej“, funkcia, postupnosť, argu-

ment, funkčná hodnota, (n-tý) člen postupnosti, definičný obor a obor hodnôt funkcie, graf funkcie,

rastúca, klesajúca, monotónna funkcia (postupnosť), maximum (minimum) funkcie (postupnosti), lo-

kálne maximum a minimum funkcie, zhora (zdola) ohraničená funkcia (postupnosť), ohraničená funk-

cia (postupnosť), horné (dolné) ohraničenie; konštantná, prostá, inverzná, zloţená, periodická funkcia;

rekurentý vzťah, postupnosť daná rekurentne.


rastúca (klesajúca) funkcia je prostá,

k prostej funkcii existuje inverzná funkcia,

graf inverznej funkcie 1f je súmerný s grafom funkcie f podľa priamky xy ,

x)x(ff1 .


Ţiak vie

v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či niektorá z dvoch daných premenných veličín je funkciou

druhej z nich, a túto závislosť vyjadriť, ak je to moţné urobiť pomocou predpisov funkcií, ktoré po-

zná,

z daného grafu funkcie

- určiť pribliţne

- jej extrémy,

- intervaly, na ktorých rastie (klesá),

- zistiť, či je zdola (zhora) ohraničená,

nájsť definičný obor danej funkcie, resp. rozhodnúť, či dané číslo patrí do definičného oboru danej

funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

rozhodnúť, či dané číslo patrí do oboru hodnôt danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice a nerovnice),

nájsť funkčnú hodnotu funkcie v danom bode, určiť jej priesečníky so súradnicovými osami, nájsť

priesečníky grafov dvoch funkcií (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

v prípade konštantnej funkcie a funkcií bax , cbxax2 , dcx

bax, ax , xa , xalog , xsin , xcos ,

tg x

- určiť na danom intervale ich obor hodnôt,

- určiť intervaly, na ktorých sú tieto funkcie rastúce, resp. klesajúce,

- načrtnúť ich grafy,

- nájsť ich najväčšie, resp. najmenšie hodnoty na danom intervale ,, ba

- rozhodnúť, ktoré z nich sú na danom intervale I

- prosté,

- zhora (zdola) ohraničené,

určiť na danom intervale obor hodnôt funkcií tvaru )( baxf , kde f je niektorá z funkcií ax ,

xa , xalog , xsin , xcos , tg x,

načrtnúť grafy funkcií

- bax , dcxbax ,

- ,|)(|),(),(),( xfxfxafxfa ak pozná graf funkcie f , a opísať, ako vznikne uvedený graf

z grafu funkcie f ,

načrtnúť graf inverznej funkcie 1f , ak pozná graf prostej funkcie f,

33

nájsť inverzné funkcie k funkciám

- bax , dcx

bax, ax , xa , xalog ,

- cbxax2 na vhodnom intervale,

- dbaxfc )( , kde f je niektorá z funkcií ax , xa , xloga ,

v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o existencii riešenia rovnice 0)(xf (resp. axf )( ), po-

kiaľ vie načrtnúť graf funkcie f,

graficky znázorniť na číselnej osi mnoţinu riešení nerovnice a)x(f , kde * je jeden zo symbolov

,,, , pokiaľ vie načrtnúť graf funkcie f,

nájsť všetky riešenia nerovnice axf )( , pokiaľ vie riešiť rovnicu axf )( a súčasne vie načrtnúť

graf funkcie f,

použiť dané (alebo žiakom objavené) rekurentné vzťahy pri riešení jednoduchých úloh (pozri 5.1

Kombinatorika a pravdepodobnosť),

vypočítať hodnotu daného člena postupnosti danej jednoduchým rekurentným vzťahom,

v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či dve postupnosti, z ktorých jedna je daná rekurentne a

druhá explicitne, sú rovnaké,

v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o raste, resp. klesaní postupnosti.

Príklady:

1. Periodická funkcia

Tabuľka zachytáva funkčné hodnoty istej funkcie f pre niektoré hodnoty premennej x. O funkcii f

vieme, ţe je periodická s periódou 12. Bez toho, aby ste zisťovali, o akú funkciu ide, určite jej

hodnotu v čísle x = 29.

X -1 ..... 5 6 ..... 20 ..... 29

F(x) 12 ..... 16 10 ..... 5 ..... ?

a) -1 b) 9 c) 10 d) 13 e) 16

2. Vlastnosti postupnosti

Postupnosť a n1n je definovaná vzťahom an = 8n – 11 pre kaţdé n N. Ktoré z uvedených tvr-

dení o tejto postupnosti je pravdivé?

a) Niektoré členy postupnosti sú párne čísla. b) a100= 811

c) Postupnosť a n1n

je klesajúca. d) an = 8.an-1 – 11 pre kaţdé n 2.

e) Postupnosť a n1n je zdola ohraničená.

3. Pravda – nepravda

Na obrázku je graf funkcie g: y = x - 1. Ktoré

z tvrdení o funkcii g je nepravdivé?

a) Funkcia g je párna.

34

b) Funkcia g nie je ohraničená.

c) Funkcia g je prostá.

d) Definičným oborom funkcie g sú všetky reálne čísla.

e) V obore x = 0 nadobúda funkcia g minimum.

4. Definičný obor

Nech D je definičný obor funkcie y = 2

42

x

x. Potom

a) D = ;22; . b) D = ;2 . c) D = ;0 .

d) D = ;2 . e) D = R - 2 .

5. Rekurentná postupnosť

Postupnosť a n1n

spĺňa rekurentný vzťah an+1 = an – 2n + 5. Ak a6 = 9, tak a4 =

a) 25. b) 21. c) 19. d) 17. e) 1.

6. Inverzné funkcie

Na ktorom z obrázkov sú znázornené grafy dvoch navzájom inverzných funkcií f a g ?

7. Zložená funkcia

Zloţením vonkajšej funkcie f: y = 3x2 – 2x + 7 a vnútornej funkcie h: y = x – 1 vznikne funkcia

a) y = 3x3 – 5x

2 + 7. b) y = 3x

2 – 8x + 12.

c) y = 3x2 – 8x + 8. d) y = 3x

2 – 2x + 6.

e) y = 3x2 – x + 6.

8. ?

Na ktorom z obrázkov je znázornený graf funkcie s definičným oborom 8;5 a s oborom hod-

nôt 4;6 ?

35

9. Riešenie nerovnice

Nech M je mnoţina všetkých riešení nerovnice 04

92

2

x

x v obore reálnych čísel. Potom

a) M = (-2;2). b) M = 2;2 . c) M = ;22; .

d) M = .;22; e) M = Ө.

10. Nerovnica

Nech P je mnoţina všetkých riešení nerovnice 03

2

x

x v mnoţine reálnych čísel. Potom

a) P = .;3 b) P = .3R c) P = R. d) P = .;3 e) P = .;03;

11. Obor hodnôt

Nech H je obor hodnôt funkcie f: y = - 3.cos 2x – 1. Potom

a) H = 2;3 . b) H = 3;2 . c) H = 2;4 . d) H = 4;2 . e) H = 0;2 .

12. Inverzná funkcia

Ku ktorej z uvedených funkcií neexistuje inverzná funkcia?

a) f1: y = 2x – 1; x R b) f2: y = 0;1

Rxx

x c) f3: y = 3x

3 + 1; Rx

d) f4: y = log2(x + 4);x ;0 e) f5: y = 2x2 – 2; x R

13. Kladné hodnoty funkcie

Nech P je mnoţina všetkých reálnych čísel x, pre ktoré nadobúda funkcia y = 3

122

x

xx kladné

hodnoty. Potom

36

a) P = 3;1R . b) P = ;3 . c) P = ;3 .

d) P = ;31; . e) P = 3;1 .

2.2 Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť Obsah

Pojmy: lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť, smernica priamky, diferencia aritmetic-

kej postupnosti, dotyčnica paraboly, vrchol paraboly.


grafom lineárnej (kvadratickej) funkcie je priamka (parabola),

lineárna (kvadratická) funkcia je jednoznačne určená funkčnými hodnotami v 2 (3) bodoch,

vzťah medzi koeficientom pri lineárnom člene a rastom, resp. klesaním lineárnej funkcie,

vzťah medzi diferenciou aritmetickej postupnosti a jej rastom, resp. klesaním,

kvadratická funkcia má na R jediný globálny extrém, minimum v prípade kladného koeficientu pri

kvadratickom člene, maximum v opačnom prípade,

parabola (t.j. graf kvadratickej funkcie) je súmerný podľa rovnobeţky s osou y, prechádzajúcej vr-

cholom paraboly.


Ţiak vie (pozri tieţ 2.1 Funkcia a jej vlastnosti)

riešiť lineárne a kvadratické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), špe-

ciálne vie nájsť priesečníky grafov 2 lineárnych (resp. 2 kvadratických) funkcií alebo lineárnej a

kvadratickej funkcie,

nájsť predpis lineárnej (alebo konštantnej) funkcie, ak pozná

- hodnoty v 2 bodoch,

- hodnotu v 1 bode a smernicu grafu tejto funkcie,

nájsť predpis kvadratickej funkcie, ak pozná

- jej hodnoty v 3 vhodne zvolených bodoch,

- vrchol jej grafu a hodnotu v ďalšom bode,

nájsť intervaly, na ktorých je daná lineárna alebo kvadratická funkcia rastúca, resp. klesajúca,

nájsť - pokiaľ existuje - najväčšiu a najmenšiu hodnotu kvadratickej a lineárnej funkcie na danom

intervale, špeciálne vie nájsť vrchol grafu kvadratickej funkcie, ak pozná jej predpis,

upraviť (napríklad rozlišovaním prípadov pri odstraňovaní absolútnej hodnoty) predpis funkcie

tvaru srxbaxxf )( , resp. srxcbxaxxf2

)( na predpisy dvoch lineárnych,

resp. kvadratických funkcií na vhodných intervaloch,

nájsť dotyčnicu kvadratickej funkcie v danom bode jej grafu (pozri 2.6 Limita a derivácia, geo-

metrický rad),

určiť hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti, ak pozná

- jeden jej člen a diferenciu,

- dva rôzne členy,

pre aritmetickú postupnosť (danú explicitne) napísať zodpovedajúci rekurentný vzťah,

nájsť súčet n (pre konkrétne aj všeobecné n) za sebou nasledujúcich členov danej aritmetickej po-

stupnosti.

Príklady:

37

1. Vrchol paraboly

Aké súradnice má vrchol V paraboly y = x2 + 4x + 1?

a) V 3;2 b) V 2;3 c) V 13;2 d) V 3;2 e) V 3;2

2. Obrázok

Časť grafu znázornená na obrázku patrí funkcii

a) y = -2x + 2. b) y = -2

1x - 2. c) y = -2x - 2.

d) y = 2x - 2. e) y = 2x + 2.

3. Parabola

Grafom ktorej z uvedených funkcií je parabola s vrcholom v bode 7;2 ?

a) y = x2 - 4x + 7 b) y = x

2 - 4x + 11 c) y = x

2 - 2x + 7

d) y = x2 + 4x – 5 e) y = x

2 + 4x + 7

4. Štadión

V rohu štadióna tvoria počty sedadiel v jednotlivých radoch aritmetickú postupnosť. Vo štvrtom ra-

de je 10 sedadiel, v dvanástom rade je 26 sedadiel. Koľko sedadiel je v dvadsiatom štvrtom rade?

a) 36 b) 40 c) 50 d) 52 e) 58

5. Ktorá z nasledujúcich postupností je aritmetická:

a) 10, 8, 6, 4, 2, ...

b) 2, -2, 2, -2, 2, ...

c) 0,1,2,0,1,2,...

d) 1,1,2,3,5,8 ...

e) 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...

6. Ak viete, ţe v aritmetickej postupnosti prvý člen je tri

a desiaty je 39, určte jej diferenciu:

a) 3 b) 3,6 c) 4

7. 5 + 10 + 15 + 20 + ... + 150 =

a) 2 325 b) 2 350 c) 2 315

8. 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n =

a)(2n+1

- 1)/2 b) 2n + 1

- 1 c) 2n+1

9. Z troch postupností, definovaných na mnoţine všetkých

38

prirodzených čísel a určených svojím n-tým členom, vyberte

tú, ktorá je ohraničená:

a) 3n + 5 b) 2 - 3n c) 1/(2 - 3n)

10. K tomu, aby bola postupnosť konvergentná (aby mala limi-

tu), stačí, aby bola

a) rastúca b) rastúca a ohraničená c) ohraničená

11. Vypočítajte

a) 1 b) 2 c) 0

12. Ktorý z nasledujúcich nekonečných radov nemá súčet (nie

je konvergentný)?

a)1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

b)100 + 10 +1 +0,1 + 0,01 + ...

c)1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

13. Súradnice vrcholu

Aké súradnice má vrchol paraboly y = x2 + 8x + 19?

a) 3;4 b) 19;0 c) 19;4 d) 19;8 e) 3;4

14. Priesečník

V tabuľke sú uvedené dve hodnoty lineárnej funkcie f. V ktorom z bodov pretína graf tejto funkcie

os y?

a) 55;0 b) 0;55 c) 44;0 d) 0;44 e) 50;0

15. Rozmnožovanie baktérií

Štyria vedci skúmali rozmnoţovanie rôznych druhov baktérií. Kaţdé ráno o 8.00 hod. zisťovali

počty baktérií v skúmavkách. Tu sú ich výpovede o tom, čo pozorovali:

Vedec 1: „Počet baktérií A v skúmavke kaţdý deň klesne o 5 % oproti počtu z posledného merania.

Vedec 2: „Počet baktérií B v skúmavke sa kaţdý deň zväčší o 10 000.“

Vedec 3: „Počet baktérií C v skúmavke sa kaţdý deň zväčší na jeden a pol násobok.“

Vedec 4: „Počet baktérií D v skúmavke sa kaţdý deň zmenší o tretinu oproti počtu z posledného

merania.“

Ak by všetci štyria vedci kaţdé ráno zapisovali počty jednotlivých typov baktérií v skúmavkách,

koľkí z nich by tak dostali aritmetickú postupnosť?

a) Štyria. b) Traja. c) Dvaja. d) Jeden. e) Ani jeden.

16. Priamka AC

Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC

má rovnicu:

x -4 12

f(x) 60 40

39

a) y = - 2x – 8

b) y = 2x – 8

c) y = 2x + 8

d) y = - 2x + 8

e) y = - x - 4

17. Rovnica priamky

Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC

má rovnicu:

a) y = - 4x – 8

b) y = 4x – 8

c) y = 4x + 8

d) y = - 4x + 8

e) y = - x – 4

18.

Graf kvadratickej funkcie f: y = - x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC

má rovnicu:

a) y = - 2x – 6

b) y = 2x – 6

c) y = 2x + 6

d) y = - 2x + 6

e) y = - x – 3

19. Rovnica AC

Graf kvadratickej funkcie f: y = - x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC

má rovnicu:

A

BC

2x2

-8

A

BC

x2

-8

4

A

B C

x22

-6

40

a) y = - 7x – 28

b) y = 7x – 28

c) y = 7x + 28

d) y = - 7x + 28

e) y = - x – 4

20. Obsah trojuholníka

Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² -

8x + 7 s osou x.

a) 27 b) – 27 c) 15 d) 12 e) 18

21. Trojuholník


6x – 7 s osou x.

a) 64 b) 128 c) 15 d) 55 e) 18

22. Obsah


9 s osou x.

a) 27 b) 54 c) – 27 d) 55 e) 18


Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² +

6x + 5 s osou x.

a) 8 b) 4 c) – 8 d) 5 e) 18

24. Zase trojuholník?


8x +12 s osou x.

a) 8 b) 4 c) – 8 d) 5 e) 18

25. Trojuholník


8x + 12 s osou x.

A

B C

x24

-28

41

a) 8 b) 4 c) – 8 d) 5 e) 18

26. Obsah


6x + 5 s osou x.

a) 8 b) 4 c) – 8 d) 5 e) 18



8x s osou x.

a) 64 b) 128 c) – 64 d) 58 e) 18

28. Trojuholník


6x s osou x.

a) 27 b) 54 c) - 27 d) 52 e) 18


Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² + 2x

- 3 s osou x.

a) 8 b) 4 c) - 8 d) 52 e) 18

22.

42

Na obrázku je graf funkcie:

a) f: y = x2 – 6x + 5

b) f: y = x2 – 6x - 5

c) f: y = x2 + 6x + 5

d) f: y =-x2 – 6x + 5

e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna

23.


a) f: y =│ x2 – 6x + 5│

b) f: y = │x2 – 6x - 5│

c) f: y = │x2 + 6x + 5│

d) f: y = │x2 – 6x + 5│


24.

43


a) f: y = -x2 – 6x + 5

b) f: y = -x2 – 6x - 5

c) f: y = -x2 + 6x + 5

d) f: y = x2 – 6x + 5


25.


a) f: y = │x - 1│ - 2

b) f: y = │x – 1│ + 2

c) f: y = │x - 1│ - 1

d) f: y = x - 1


44

26.


a) f: y = -x2 + 5x - 4

b) f: y = - x2 – 5x - 4

c) f: y = -x2 + 5x + 4

d) f: y = x2 – 5x + 4


27.


a) f: y = -x2 + 5x

b) f: y = - x2 – 5x

c) f: y = -x2 + 5x + 4

45

d) f: y = x2 – 5x + 4


28.


a) f: y = x2 + 5x

b) f: y = x2 – 5x

c) f: y = x2 + 5x + 4

d) f: y = x2 – 5x + 4


29.


a) f: y = │x2 + 5x│

b) f: y = │ x2 – 5x │

c) f: y = x2 + 5x + 4

d) f: y = x2 – 5x + 4


46

30.


a) f: y = │x + 1│

b) f: y = │ x – 1 │

c) f: y = x + 1

d) f: y = x - 1


47

31.

Graf kvadratickej funkcie f: y = - x7 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má

rovnicu:

A: y = - 7x - 28

B: y = 7x - 28

C: y = 7x + 28

D: y = - 7x + 28

E: y = - x - 4

32.


a) f: y = - │x - 1│ + 2

b) f: y = - │x – 1│ - 2

c) f: y = -│x - 1│ - 1

d) f: y = x - 1

e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je

správna

33.

Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechá- dza

bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu:

A: y = - 2x + 10

B: y = 2x + 10

C: y = 2x - 10

A

B C

x24

-28

A

B C

10

2 x2

48

D: y = - 2x – 10

E: y = - x + 5

34.

Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má

rovnicu:

A: y = - 2x + 12

B: y = 2x + 12

C: y = 2x - 12

D: y = - 2x – 12

E: y = - x + 6

35.


rovnicu:

A: y = - 2x - 8

B: y = 2x - 8

C: y = 2x + 8

D: y = - 2x + 8

E: y = - x - 4

36.

Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechádza

bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu:

A: y = - 2x - 8

B: y = 2x - 8

C: y = 2x + 8

D: y = - 2x + 8

E: y = - x - 4

A

B C

2 x2

8

A

BC

2x2

-8

A

BC

2x2

-8

49

37.


rovnicu:

A: y = - 4x - 8

B: y = 4x - 8

C: y = 4x + 8

D: y = - 4x + 8

E: y = - x - 4

38.

Graf kvadratickej funkcie f: y = - x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má

rovnicu:

A: y = - 2x - 6

B: y = 2x - 6

C: y = 2x + 6

D: y = - 2x + 6

E: y = - x - 3

39.

Graf kvadratickej funkcie f: y = - x7 + bx + c, prechádza bodmi

A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu:

A: y = - 7x - 28

B: y = 7x - 28

A

BC

x2

-8

4

A

B C

x22

-6

A

B C

x24

-28

50

C: y = 7x + 28

D: y = - 7x + 28

E: y = - x - 4

40.

Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie

f: y = x²+ (-8,00)x + (7,00) s osou x.

A: 27 B: - 27 C: 15 D: 12 E: 18

41.


f: y = x²+ (-6,00)x + (-7,00) s osou x.

A: 64 B: 128 C: 15 D: 55 E: 18

42.


f: y = x²+ (0,00)x + (-9,00) s osou x.

A: 27 B: 54 C: -27 D: 55 E: 18

51

43.


f: y = x²+ (6,00)x + (5,00) s osou x.

A: 8 B: 4 C: -8 D: 5 E: 18

44.


f: y = x²+ (8,00)x + (12,00) s osou x.

A: 8 B: 4 C: -8 D: 5 E: 18

45.


f: y = x²+ (-8,00)x + (12,00) s osou x.

A: 8 B: 4 C: -8 D: 5 E: 18

46.


f: y = x²+ (-6,00)x + (5,00) s osou x.

A: 8 B: 4 C: -8 D: 5 E: 18

52

47.


f: y = x²+ (-8,00)x + (0,00) s osou x.

A: 64 B: 128 C: -64 D: 58 E: 18

48.


f: y = x²+ (6,00)x + (0,00) s osou x.

A: 27 B: 54 C: -27 D: 52 E: 18

49.


f: y = x²+ (2,00)x + (-3,00) s osou x.

A: 8 B: 4 C: -8 D: 52 E: 18

2.3 Mnohočleny a mocninové funkcie, lineárna lomená funkcia

Obsah

Pojmy: mocnina, n-tá odmocnina, mocnina s prirodzeným, celočíselným, racionálnym exponentom,

polynóm, mnohočlen, mocninová funkcia, koeficient pri n-tej mocnine (v polynomickej funkcii), expo-

nent, lineárna lomená funkcia, asymptoty grafu lineárnej lomenej funkcie.


polynóm stupňa n má najviac n rôznych reálnych koreňov,

srsr xxx , rssr xx , r

rx

x

1,

rrr yxxy)( , Zsr, , resp. Qsr, ,

nmm n xx , n mm

n xx , nnn xyyx. , pre 0y,x , Nn,m ,

53

polynóm nepárneho stupňa má aspoň 1 reálny koreň.



pouţiť rovnosti z časti Vlastnosti a vzťahy pri úpravách výrazov (pozri 1.2 Čísla, premenné, výra-

zy),

riešiť rovnice a nerovnice s polynomickými, mocninovými a lineárnymi lomenými funkciami (pozri

1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

schematicky načrtnúť a porovnať grafy funkcií nxy pre rôzne hodnoty Zn na intervaloch

1, , 0,1 , 1,0 , ,1 ,

vypočítať deriváciu a integrál polynomickej funkcie a mocniny s reálnym exponentom (pozri 2.6

Limita a derivácia, geometrický rad, 2.7 Integrálny počet),

na základe výpočtu derivácie načrtnúť graf polynomickej funkcie, zistiť, kde je rastúca, resp.

klesajúca (ak vie vyriešiť nerovnice 0)(xf , pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), a na

základe znamienok funkčných hodnôt v bodoch lokálnych extrémov zistiť počet priesečníkov

tohto grafu s osou x,

nájsť rovnice asymptot grafu lineárnej lomenej funkcie,

nájsť intervaly, na ktorých je lineárna lomená funkcia rastúca, resp. klesajúca a nájsť k nej inverznú

funkciu,

opísať vlastnosti

- funkcií nxxf )( , kde Zn , polynomických funkcií a lineárnej lomenej funkcie pre hod-

noty x zväčšujúce sa do alebo do ,

- funkcií nxxf )( , kde Zn , pre hodnoty x blízke 0,

- lineárnej lomenej funkcie dcx

baxxf )( pre hodnoty x blízke číslu

c

d

(pozri tieţ 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad).

Príklady:

1. Rovnica

Rovnica 014

49x

x v mnoţine reálnych čísel

a) nemá ţiadne korene.

b) má jediný koreň, pričom tento koreň je kladný.

c) má jediný koreň, pričom tento koreň je záporný.

d) má práve dva rôzne korene, pričom obidva sú kladné.

e) má práve dva korene, z ktorých jeden je kladný a jeden je záporný.

2. Obsah kruhu

Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy

a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = │(x - 1)³ - 1│so súradnicovými osami.

a) 4,43 b) 4 c) – 8 d) 8,86 e) 18

54

3. Graf

Na ktorom z obrázkov je časť grafu funkcie y = 2

3 x ?

4. Obsah


a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 2)³ - 2│so súradnicovými osami.

a) 8,85 b) 4 c) - 8 d) 17,7 e) 18

5. Kruh


a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 1)³ + 1│so súradnicovými osami.

a) 4,43 b) 4 c) - 8 d) 8,86 e) 1,8

6. Obsah kruhu?



a) 8,85 b) 17,6 c) - 8 d) 8,86 e) 1,8

7. Obsah



a) 22,14 b) 17,28 c) - 8,82 d) 8,86 e) 1,84

8. Kruh



55

a) 17,71 b) 35 c) - 8,82 d) 8,86 e) 8,7

9. Kruhový obsah



a) 13,28 b) 26,56 c) - 8,82 d) 12,84 e) 8,72

10. Obsah kruhu



a) 13,28 b) 26,56 c) - 8,82 d) 12,84 e) 8,72

11. Kruh



a) 17,71 b) 35,2 c) - 35,2 d) 12,84 e) 8,72

12. Obsah



a) 22,14 b) 35,2 c) - 35,2 d) 44,28 e) 8,72


Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 4)4 - 16│je

a) 32 b) 64 c) - 32 d) 58 e) 20

14. Obsah cez extrémy


a) 16 b) 32 c) - 32 d) 5 e) 20

15. Extrémy a obsah

Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x + 1)4 - 1│je

a) 1 b) 2 d)- 32 d) 5 e) 20

16. Obsah a extrémy


a) 3 b) 5 c) - 32 d) 5 e) 20

56

17. Extrémy + obsah


a) 243 b) 486 c) - 32 d) 5 e) 20

18. Obsah + extrémy


a) 32 b) 64 c) - 32 d) 5 e) 20



a) 1 b) 2 c) - 32 d) 5 e) 20

20. Extrémy

Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 4)³ - 1│je

a) 1 b) 2 c) - 32 d) 5 e) 20

21. Obsah


a) 243 b) 486 c) - 32 d) 5 e) 20



a) 32 b) 64 c) - 32 d) 5 e) 20

23. Obsah trojuholníka cez extrémy


a) 243 b) 486 c) – 32 d) 5 e) 20

24. Obsah kruhu

Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi

grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x - 3)5 - 3│ je

a) 13,28 b) 26,56 c) 17 d) 34 e) 20

25. Kruh


grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x - 1)5 - 1│je:

a) 4,43 b) 26,56 c) 17 d) 34 e) 20

26. Kruhový obsah

57



a) 8,85 b) 26,56 c) 17 d) 34 e) 20

27. Obsah



a) 8,85 b) 26,56 c) 17 d) 34 e) 20

28. Kruh



a) 22,14 b) 44,28 c) 17 d) 34 e) 20

29. Obsah kruhu?


grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 1)³ + 1)│je:

a) 4,43 b)8,86 c) 17 d) 34 e) 20

30. Kruhový obsah?


grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 2)5 + 2│je:

a) 8,85 b) 17,7 c) 17 d) 34 e) 20

31. Obsah


grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 3)5 + 3│je:

a) 13,28 b) 26,56 c) 17 d) 34 e) 20

32. Kruh


grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 4)³ + 4│je:

a) 17,71 b) 35,41 c) 17 d) 34 e) 20

33. Obsah


grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 5)³ + 5,│je:

a) 22,14 b)44,28 c) 17 d) 34 e) 20

34.

58


a spoločnými bodmi grafu funkcie

f: y = │(x - 1,00)³ - 1,00│

so súradnicovými osami

A: 4,43 B: 4 C: -8 D: 8,86 E: 18

35.



f: y = │(x - 2,00)³ - 2,00│ so súradnicovými osami

A: 8,85 B: 4 C: -8 D: 17,7 E: 18

36.



f: y = │(x - (-1,00))³ - (-1,00)│ so súradnicovými osami

A: 4,43 B: 4 C: -8D: 8,86 E: 1,8

37.




A: 8,85 B: 17,6 C: -8 D: 8,86 E: 1,8

38.

59




A: 22,14 B: 17,644,28 C: -8,82 D: 8,86 E: 1,84

39.




A: 17,71 B: 35 C: -8,82 D: 8,86 E: 8,7

40.




A: 13,28 B: 26,56 C: -8,82 D: 12.84 E: 8,72

41.



f: y = │(x - (3,00))³ - (3,00)│ so súradnicovými osami

A: 13,28 B: 26,56 C: -8,82 D: 12.84 E: 8,72

60

42.




A: 17,71 B: 35,2 C: -35,2 D: 12.84 E: 8,72

43.




A: 22,14 B: 35,2 C: -35,2 D: 44,28 E: 8,72

44.

Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie

f: y = │(x - (4,00))4 - (16,00)│

A: 32 B: 64 C: -32 D: 58 E: 20

45.


f: y = │(x - (2,00))4 - (1,00)│

A: 16 B: 32 C: -32 D: 5 E: 20

46.

61


f: y = │(x - (-1,00))4 - (1,00)│

A: 1 B: 2 C: -32 D: 5 E: 20

47.


f: y = │(x - (2,00))4 - (16,00)│

A: 32 B: 2 C: -32 D: 5 E: 20

48.


f: y = │(x - (2,00))4 - (81,00)│

A: 243 B: 486 C: -32 D: 5 E: 20

49.


f: y = │(x - (1,00))4 - (16,00)│

A: 32 B: 64 C: -32 D: 5 E: 20

50.


f: y = │(x - (1,00))4 - (1,00)│

A: 1 B: 2 C: -32 D: 5 E: 20

62

51.


f: y = │(x - (4,00))³ - (1,00)│ A: 1 B: 2 C: -32 D: 5 E: 20

52.


f: y = │(x - (4,00))4 - (81,00)│

A: 243 B: 486 C: -32 D: 5 E: 20

53.


f: y = │(x - (3,00))4 - (16,00)│

A: 32

B: 64

C: -32

D: 5

E: 20

54.


f: y = │(x - (3,00))4 - (81,00)│

A: 243

B: 486

63

C: -32

D: 5

E: 20

55.

Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy

a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami

f: y = │(x - (3,00))5 - (3,00)│ je

A: 13,28

B: 26,56

C: 17

D: 34

E: 20

56.



f: y = │(x - 1,00)5 - 1,00│

je:

A: 4,43

B: 26,56

C: 17

D: 34

E: 20

64

57.



f: y = │(x - 2,00)5 - 2,00│

je:

A: 8,85

B: 26,56

C: 17

D: 34

E: 20

58.



f: y = │(x - 4,00)5 - 4,00│

je:

A: 8,85

B: 26,56

C: 17

D: 34

E: 20

59.



65

f: y = │(x - 5,00)5 - 5,00│

je:

A: 22,14

B: 44,28

C: 17

D: 34

E: 20

60.



f: y = │(x - (-1,00))³ - (-1,00)│ je:

A: 4,43

B: 8,86

C: 17

D: 34

E: 20

61.



f: y = │(x - (-2,00))5 - (-2,00)│

je:

A: 8,85

66

B: 17,7

C: 17

D: 34

E: 20

62.



f: y = │(x - (-3,00))5 - (-3,00)│

je:

A: 13,28

B: 26,56

C: 17

D: 34

E: 20

63.



f: y = │(x - (-4,00))³ - (-4,00)│ je:

A: 17,71

B: 35,41

C: 17

D: 34

67

E: 20

64.



f: y = │(x - (-5,00))³ - (-5,00)│ je:

A: 22,14

B: 44,28

C: 17

D: 34

E: 20

2.4 Logaritmické a exponenciálne funkcie, geometrická postupnosť

Obsah

Pojmy: exponenciálna a logaritmická funkcia, základ exponenciálnej a logaritmickej funkcie, číslo e,

logaritmus, prirodzený logaritmus, geometrická postupnosť, kvocient geometrickej postupnosti.


,. srsr aaa rssr aa )( pre Rsraa ,,1,0 ,

x

x

aa

1,

bxba a

x log pre Rxbaa ,0,1,0 ,

)(logloglog rssr aaa , s

rsr aaa logloglog pre 0,,1,0 sraa ,

rsr a

s

a log)(log pre Rsraa ,0,1,0 ,

r

ss

a

a

rlog

loglog pre 0,, rsa , 1, ra ,

xaxalog

pre 0,1,0 xaa .



(exponenciálna funkcia)

68

pouţiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úprave výrazov (pozri 1.2 Čísla, premenné,

výrazy),

riešiť exponenciálne rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

rozhodnúť o raste, resp. klesaní funkcie xa v závislosti od čísla a a vie načrtnúť graf tejto funkcie

s vyznačením jeho „význačných“ bodov (t.j. (0,1), (1,a)),

rozhodnúť o ohraničenosti zhora, resp. zdola funkcie xa na danom intervale,

vyjadriť n–tý člen geometrickej postupnosti (pre konkrétne aj všeobecné n) pomocou jej prvého

(alebo iného neţ n–tého) člena a kvocientu q,

nájsť súčet n za sebou nasledujúcich členov geometrickej postupnosti (pre konkrétne aj všeobecné

n),

rozhodnúť o raste, resp. klesaní geometrickej postupnosti v závislosti od jej prvého člena a kvocien-

tu,

opísať správanie sa funkcií xaxf )( , kde 1a , pre hodnoty x zväčšujúce sa do alebo

(pozri tieţ 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad),

(logaritmická funkcia)

pouţiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úpravách výrazov (pozri 1.2 Čísla, premen-

né, výrazy),

riešiť logaritmické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

rozhodnúť o raste, resp. klesaní funkcie xalog v závislosti od čísla a a vie načrtnúť graf tejto funk-

cie s vyznačením jeho „význačných“ bodov (t.j. 1,,0,1 a ),

rozhodnúť o ohraničenosti zhora, resp. zdola logaritmickej funkcie na danom intervale,

vyriešiť jednoduché príklady na výpočet úrokov,

opísať správanie sa funkcií xxf alog)( , kde 1a , pre hodnoty x zväčšujúce sa do alebo

blížiace sa k 0 (pozri tieţ 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad).

Príklady:

1. Exponenciálna rovnica

Rovnica 4x = 8 má jediné reálne riešenie. V ktorom z uvedených intervalov sa nachádza?

a) 1 ; 2,1 b) 2,1 ; 4,1 c) 6,1;4,1 d) 8,1;6,1 e) 2;8,1

2. Logaritmus

Ak platí 2a = log b, potom

a) b = 2.10a. b) a = (2b)

10. c) b = (2a)

10. d) a = 100

b. e) b = 100

a.

3. Logaritmy

Ak a = log 2, b = log 7, c = log 2 49, potom

a) c = a

b2. b) c =

b

a

2. c) c =

a

bb.. d) c = 2b – a. e) c = b

2 – a.

69

4. Geometrická postupnosť

O geometrickej postupnosti kladných reálnych čísel b n1n vieme, ţe b1+b2= 320, b9 =

16

1.b7.

Čomu sa rovná b8?

a) 256

1 b)

64

1 c)

192

5 d) 0 e) 256

5. Krivka

Krivka na obrázku môţe predstavovať časť grafu funkcie

a) y = 6x + 1. b) y =

6

1 x + 1. c) y = log6 x + 1.

d) y = log6

1x + 1. e) y = log6(x + 1).

6. Riešenie nerovnice

Nech P je mnoţina všetkých riešení nerovnice 3 + log0,5 x > 0 v obore reálnych čísel. Potom

a)P = 8

1;0 . b)P = 8;0 . c)P = 8;

8

1. d)P = ;8 . e)P= ;

8

1.

7. Kladné riešenia

Mnoţinou všetkých kladných riešení nerovnice x20

> 3900

.x5 je interval

a) (3885

;∞). b) (3225

;∞). c) (360

;∞). d) (0;360

). e) (0;3225

).

8. Kladné funkčné hodnoty

Ak M je mnoţina všetkých x R, pre ktoré nadobúda logaritmická funkcia f: y = log 0,2(4x – 1)

kladné funkčné hodnoty, tak M =

a) (0;0,5). b) (0,25;0,5). c) (0,25;∞). d) (0,3;∞). e) (0,5;∞).

9. Dekadický logaritmus

Dekadický logaritmus čísla núl26

01...000,0 sa rovná

a) 27. b) 26

1. c) -

27

1. d) – 26. e) – 27.

10. Polčas rozpadu

Nuklid uhlíka C14 má polčas rozpadu 5560 rokov. Za tento čas sa rozpadne polovica daného mnoţ-

stva uhlíka C14 , za ďalších 5560 rokov sa rozpadne polovica zvyšného mnoţstva atď. Aká časť pô-

vodného mnoţstva uhlíka C14 zostane po 33 360 rokoch?

a) 64

1 b)

32

1 c)

16

1 d)

8

1 e)

4

1

70

11. Koreň

Rovnica 92x-3

= 81

1 má v mnoţine reálnych čísel jediný koreň, ktorý leţí v intervale

a) .1;2 b) .0;1 c) .1;0 d) .2;1 e) .3;2

12. Logaritmus

Ak platí log T = log p + 2.log r, tak

a) T = p + 2q – r b) T = r

pq2 c) T = pq

2 – r d) T = p + q

2 – r e) T =

r

pq2

13. Postupnosť

V istej geometrickej postupnosti je 10. člen 9 – krát väčší ako 8. člen. Koľkokrát je v tejto postup-

nosti 8. člen väčší ako 4. člen?

a) 18 – krát b) 27 – krát c) 36 – krát d) 54 – krát e) 81 – krát

14. Množina M

Nech M je mnoţina všetkých reálnych čísel x, pre ktoré platí log(x + 3) = log x + log 3. Potom

a) M = .;3 b) M je jednoprvková mnoţina. c) M = .;0 d) M je

prázdna mnoţina. e) M = .;3

15. Súčet členov postupnosti

Rozdiel medzi štvrtým a prvým členom istej geometrickej postupnosti je 52. Súčet prvých troch

členov postupnosti je 26. Potom súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti je

a) 242 b) 486 c) 728 d) 960

e) 1212

16.

71


a) f: y = 2x-1

- 2

b) f: y = 2x-1

+ 2

c) f: y = 2x+1

- 2

d) f: y = 2x-1

- 1


17.


a) f: y = │2x-1

- 2│

b) f: y = │2x-1

+ 2│

72

c) f: y = │2x+1

- 2│

d) f: y = │2x-1

- 1│


18.


a) f: y = │1/2x-1

- 2│

b) f: y = │1/2x-1

+ 2│

c) f: y = │1/2x+1

- 2│

d) f: y = │1/2x-1

- 1│


19.


a) f: y = log(x – 1) - 2

b) f: y = log(x – 1) + 2

c) f: y = log(x + 1) - 2

d) f: y = log(x + 1) + 2

73


20.


a) f: y = log(x – 1) - 2

b) f: y = log(x – 1) + 2

74

c) f: y = log(x + 1) - 2

d) f: y = log(x + 1) + 2


21.


a) f: y = - (log(x – 1) – 2)

b) f: y = -( log(x – 1) + 2)

c) f: y = -( log(x + 1) – 2)

d) f: y = -(log(x + 1) + 2)


22.

75


a) f: y =log0,5(x – 1) – 2

b) f: y = log0,5(x + 1) – 2

c) f: y = log0,5(x + 1) + 2

d) f: y = log0,5(x – 1) + 2


23.

76


a) f: y = - (log0,5(x – 1) – 2)

b) f: y = - (log0,5(x + 1) – 2)

c) f: y = - (log0,5(x + 1) + 2)

d) f: y = - (log0,5(x – 1) + 2)


24.


a) f: y = │(log0,5(x – 1)) │

b) f: y =│ (log0,5(x + 1)) │

c) f: y = │ (log0,5(x + 1) + 2) │

d) f: y = │ (log0,5(x – 1) + 2) │


77

25.


a) f: y = -│(log0,5(x – 1)) │

b) f: y = -│ (log0,5(x + 1)) │

c) f: y = -│ (log0,5(x + 1) + 2) │

d) f: y = - │ (log0,5(x – 1) + 2) │


2.5 Goniometrické funkcie

Obsah

Pojmy: π, goniometrická funkcia, sínus, kosínus, tangens, (najmenšia) perióda.


hodnoty goniometrických funkcií pre uhly 0, 2,3,4,6

,

vzorce pre sínus a kosínus dvojnásobného uhla,

tgcos

sin, 1cossin 22 , sin

2cos , cos

2sin , sin)sin( ,

cos)cos( , xx sin)sin( , xx cos)cos( , tg(–x) = –tg(x), cossin22sin , 22 sincos2cos ,

graf funkcie kosínus vznikne posunutím grafu funkcie sínus,

periodickosť a najmenšie periódy jednotlivých goniometrických funkcií,

osi a stredy súmerností grafov goniometrických funkcií.

78



pouţiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úprave goniometrických výrazov (pozri 1.2

Čísla, premenné, výrazy),

nájsť pomocou kalkulačky riešenie rovnice axf )( , kde f je goniometrická funkcia, a to aj

v prípade, ţe na kalkulačne niektoré goniometrické alebo inverzné goniometrické funkcie nie sú

(pozri tieţ 1.2 Čísla, premenné, výrazy),

riešiť goniometrické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

vyjadriť hodnoty goniometrických funkcií pre uhly 2,0 ako pomery strán pravouhlého troj-

uholníka,

pouţiť goniometrické funkcie pri výpočte prvkov pravouhlého trojuholníka (pozri tieţ 3.1 Základné

rovinné útvary),

vyjadriť (na základe znalosti súmerností a periodičnosti grafov goniometrických funkcií)

,cos,sin tg α pre R ako sínus, kosínus alebo tangens vhodného uhla 2,0 ,

nájsť hodnoty všetkých goniometrických funkcií pre daný argument, ak pre tento argument pozná

hodnotu aspoň jednej z nich,

načrtnúť grafy funkcií sin, cos, tg, určiť hodnoty v bodoch 0, 2,3,4,6

, určiť najmenšie periódy

týchto grafov a ich osi a stredy súmernosti,

určiť podintervaly daného ohraničeného intervalu, na ktorých sú funkcie sin, cos, tg rastúce, resp.

klesajúce,

rozhodnúť o ohraničenosti funkcie tg x na danom intervale,

načrtnúť grafy funkcií )(),()),(( baxfkxfxfk , kde Rbak ,, a f je niektorá

z goniometrických funkcií, určiť priesečníky týchto funkcií s x–ovou osou a ich periódu a

v prípade xxf sin)( alebo xxf cos)( aj najmenšie a najväčšie hodnoty.

Príklady:

1. Graf funkcie

Na obrázku je časť grafu funkcie

a) y = 2.sin4

2x + 2 b) y = 2.sin4

2x + 2

c) y = 2.cos x2 + 2 d) y = 2.cos 22x

e) y = 2.cos2

x + 2

2. Sínus

Na ktorom z nasledujúcich obrázkov je časť grafu funkcie y = sin x, pre x2

3; ?

79

3. Obsah obdĺžníka

Na obrázku je časť grafu funkcie y = 3. cos 2

x. Aký obsah má vyfarbe-

ný obdĺţnik?

a) 3 π b) 6 π c) 12 π d) 18 π e) 24 π

4. Kosínus


a) y = - 2sin x + 2. b) y = cos x + 2. c) y = 2cos x + 1.

d) y = 3cos x. e)y = - 3sin x.

5. Graf


a) y = 2 + sin x. b) y = 2 + cos x c) y = 3 + sin x

d) y = 3 + cos x e) y = 3.cos x

6. Graf funkcie kosínus

Na ktorom z obrázkov by mohla byť časť grafu funkcie y = cos x?

80

7. Riešenie rovnice

Rovnica sin x - 3 cos x = 0 má v intervale (0;π) jediné riešenie. Ktorá z uvedených mnoţín obsa-

huje toto riešenie?

a) 3

4;

6

1;

3

7 b)

3

1;

4

3;

3

7 c)

2

1;

6

7;

3

5 d)

3

4;

2

5;

6

11 e)

3

2;

4

5;

6

5

8. Rovnica

Rovnica sin x + 3 cos x = 0 má v intervale 4;3 jediné riešenie. Ktorá z uvedených mnoţín

obsahuje toto riešenie?

a)3

10;

6

17;

3

8 b)

3

11;

4

7;

6

15 c)

3

13;

6

23;

3

7 d)

3

7;

2

7;

6

11 e)

3

14;

4

15;

6

5

9.

81


a) f: y = sin( x – π/4) – 1/2

b) f: y = sin( x + π/4) – 1/2

c) f: y = sin( x – π/4) + 1/2

d) f: y = sin( x + π/4) + 1/2


10.

82


a) f: y = -( sin( x – π/4) – ´)

b) f: y = -(sin( x + π/4) – 1/2)

c) f: y = -(sin( x – π/4) + 1/2)

d) f: y = -(sin( x + π/4) + ´)


11.


a) f: y = │( sin( x – π/4) – ´)│

b) f: y = │(sin( x + π/4) – 1/2) │

c) f: y =│ (sin( x – π/4) + 1/2) │

d) f: y = │ (sin( x + π/4) + ´)│


83

12.


a) f: y = -│( sin( x – π/4) – ´)│

b) f: y = -│(sin( x + π/4) – 1/2) │

c) f: y = -│(sin( x – π/4) + 1/2) │

d) f: y = -│ (sin( x + π/4) + ´)│


13.

84


a) f: y = -│(cos( x – π/4) – ´)│

b) f: y = -│(cos( x + π/4) – 1/2) │

c) f: y = -│(cos( x – π/4) + 1/2) │

d) f: y = -│ (cos( x + π/4) + ´)│


14.

85


a) f: y =│(cos( x – π/4) – ´)│

b) f: y =│(cos( x + π/4) – 1/2) │

c) f: y =│ (cos( x – π/4) + 1/2) │

d) f: y = │ (cos( x + π/4) + ´)│


15.


a) f: y = (cos( x – π/4) – ´)

b) f: y =(cos( x + π/4) – 1/2)

c) f: y = (cos( x – π/4) + 1/2)

d) f: y = (cos( x + π/4) + ´)


86

16.


a) f: y = - (cos( x – π/4) – ´)

b) f: y = - (cos( x + π/4) – 1/2)

c) f: y = - (cos( x – π/4) + 1/2)

d) f: y = - (cos( x + π/4) + ´)


17.

87


a) f: y = tg( x – π/4)

b) f: y = tg( x + π/4)

c) f: y = tg( x – π/2)

d) f: y = tg( x + π/2)


18.

88


a) f: y = - tg( x – π/4)

b) f: y = - tg( x + π/4)

c) f: y = - tg( x – π/2)

d) f: y = - tg( x + π/2)


19.


a) f: y = │ tg( x – π/4) │

b) f: y = │ tg( x + π/4) │

c) f: y = │ tg( x – π/2) │

d) f: y = │ tg( x + π/2) │


89

20.


a) f: y = -│ tg( x – π/4) │

b) f: y = -│ tg( x + π/4) │

c) f: y = -│ tg( x – π/2) │

d) f: y = -│ tg( x + π/2) │


21.

90


a) f: y = -│cotg( x – π/4) │

b) f: y = -│ cotg( x + π/4) │

c) f: y = -│ cotg( x – π/2) │

d) f: y = -│ cotg( x + π/2) │


22.

91


a) f: y = │cotg( x – π/4) │

b) f: y = │ cotg( x + π/4) │

c) f: y = │ cotg( x – π/2) │

d) f: y = │ cotg( x + π/2) │


23.

92


a) f: y = cotg( x – π/4)

b) f: y = cotg( x + π/4)

c) f: y = cotg( x – π/2)

d) f: y = cotg( x + π/2)


24.


a) f: y = -cotg( x – π/4)

b) f: y = -cotg( x + π/4)

c) f: y = -cotg( x – π/2)

d) f: y = -cotg( x + π/2)


93

2.6 Limita a derivácia, geometrický rad

Obsah

Pojmy: limita postupnosti a funkcie, nevlastná limita, spojitá funkcia, derivácia funkcie, dotyčnica

ku grafu funkcie v danom bode, stacionárny bod funkcie, druhá derivácia funkcie, geometrický rad,

kvocient geometrického radu, konvergentný a divergentný geometrický rad.


01

limn

n , 0limn

n q pre 1q ,

q

aaq

n

n

10

pre 1q ,

geometrický rad 0n

naq (kde 0a ) diverguje pre 1q ,

derivácia funkcie f v bode a je smernicou dotyčnice ku grafu funkcie f v bode )(, afa ,

ak má funkcia f v každom bode intervalu I kladnú deriváciu, tak je na I rastúca,

vzťah medzi existenciou maxima (minima) funkcie a nulovosťou jej derivácie.


Ţiak vie

opísať jednoduché limitné procesy (napr. výpočet plochy pod grafom funkcie 2)( xxf na inter-

vale 10, na základe explicitného vyjadrenia pre súčet 222 21 n , výpočet smernice dotyčni-

ce ku grafu funkcie )x(fy v danom bode tohto grafu),

vypočítať deriváciu polynomickej funkcie a mocninových funkcií a nájsť v danom bode rovnicu

dotyčnice k týmto funkciám,

na základe výpočtu derivácie nájsť intervaly, na ktorých polynomická funkcia rastie, resp. klesá

a načrtnúť jej graf (pokiaľ vie riešiť nerovnice 0)(xf , pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sús-

tavy), na základe znamienok funkčných hodnôt v bodoch lokálnych extrémov zistiť počet prie-

sečníkov tohto grafu s osou x,

v prípade jednoduchých slovných úloh na extrémy nájsť predpis funkcie, ktorej extrém treba

nájsť,

použitím derivácií nájsť v jednoduchých prípadoch extrémy funkcií na uzavretom ohraničenom

intervale,

opísať správanie sa

- polynómov pre x a x ,

- lineárnej lomenej funkcie dcx

baxy pre x a x ,

c

dx ,

- funkcií n

xy , kde Nn , xy alog pre hodnoty x blížiace sa k 0,

- funkcie xy tan pre hodnoty x blížiace sa k 2

,

rozhodnúť, či je daný geometrický rad konvergentný,

nájsť súčet konvergentného geometrického radu.

Príklady:

94

1. Internet

Analytici skúmali, ako sa vyvíja počet počítačov pripojených na Internet. Zistili, ţe v Slovutánii ich

počet z roka na rok rastie ako geometrická postupnosť. Tabuľka obsahuje údaje z rokov 1997, 1998

a 1999. Ak sa trend nezmení, pribliţne aký počet počítačov bude v Slovutánii pripojených na Inter-

net v roku 2000?

1997 1998 1999 2000

40 000 60 000 90 000 ?

a) 130 000 b) 135 000 c) 140 000 d) 145 000 e) 150 000

2. Prvá derivácia

Na obrázku je časť grafu funkcie y = f(x). Prvá derivácia

funkcie f je

a) v bode x = -1 nulová, v bode x = 3 kladná, v bode x = 5 kladná

b) v bode x = -1 nulová, v bode x = 3 kladná, v bode x = 5 zá-

porná

c) v bode x = -1 kladná, v bode x = 3 kladná, v bode x = 5 zápor-

ná

d) v bode x = -1 nulová, v bode x = 3 záporná, v bode x = 5

kladná

e) v bode x = -1 záporná, v bode x = 3 nulová, v bode x = 5

kladná

3. Dotyčnica

V ktorom z uvedených bodov má graf funkcie f: y = 3x2 + 2x + 1 dotyčnicu rovnobeţnú s priamkou

y = 2 – 4x?

a) 2;1 b) 6;1 c) 10;2 d) 9;2 e) 1;0

2.7 Integrálny počet

Obsah

Pojmy: neurčitý integrál, integračná premenná, integračná konštanta, plocha ohraničená grafmi

funkcií, (Riemannov) určitý integrál, Newtonov-Leibnizov vzorec.


95

Newtonov-Leibnizov vzorec pre výpočet určitého integrálu (tj. vzťah medzi primitívnou funkciou

k funkcii f a integrálom b

adxxf )( ), špeciálne vzťah medzi veľkosťou plochy ohraničenej gra-

fom nezápornej funkcie f a primitívnou funkciou k tejto funkcii,

ak )()( xfxF aj )()( xfxG , tak F a G sa líšia o konštantu (integračná konštanta)


Ţiak vie

na základe znalostí derivácií funkcií nájsť dxxf )( , ak f je polynóm alebo niektorá z funkcií

rbax )( a pre tieto funkcie vie použitím Newtonovho–Leibnizovho vzorca vypočítať

b

adxxf )( ,

v jednoduchých prípadoch pomocou integrálu vyjadriť veľkosť plochy

)()(],[,,2

xgyxfbaxRyx ,

resp. plochy ohraničenej grafmi dvoch spojitých funkcií (ak vie nájsť priesečníky týchto dvoch

funkcií, pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

opísať limitné procesy používané pri výpočte veľkosti plôch (napr. vypĺňanie, ohraničovanie zho-

ra a zdola).

Príklady:

1. Obsah útvaru

Aký obsah má vyšrafovaný útvar na obrázku, ohraničený osou x,

priamkou x =4

a grafom funkcie f : y = cos x?

a)2

22 b)

2

1 c)

3

1

d)2

2 e)2 - 2

2. Obsah obrazca

Pre obsah S vyšrafovaného obrazca ohraničeného parabolami y = x2 a y = - x

2

+ 4x platí

a) S = 4

0.4xdx b) S =

2

0.4xdx c) S =

4

0

2 .24 dxxx

d) S = 2

0

2 .24 dxxx e) S = 2

0

2 .42 dxxx

3. PLANIMETRIA

3. 1 Základné rovinné útvary

Obsah

Pojmy:

a) Lineárne útvary.

Bod, priamka, polpriamka, úsečka, stred úsečky, deliaci pomer, polrovina, rovnobeţné a rôznobeţné

priamky, uhol (ostrý, pravý, tupý, konvexný, priamy a nekonvexný uhol), susedné, vrcholové, súhlasné

a striedavé uhly, os úsečky, os uhla, uhol dvoch priamok, kolmé priamky, kolmica, vzdialenosť (dvoch

bodov, bodu od priamky, rovnobeţných priamok).

b) Kruţnica a kruh.

Stred, polomer (ako číslo i ako úsečka), priemer, tetiva, kruţnicový oblúk, dotyčnica, sečnica

a nesečnica, stredový a obvodový uhol, obvod kruhu a dĺţka kruţnicového oblúka, kruhový výsek

a odsek, medzikruţie, obsah kruhu a kruhového výseku, spoločné (vonkajšie, vnútorné) dotyčnice

dvoch kružníc.

c) Trojuholník.

Trojuholník (ostrouhlý, pravouhlý, tupouhlý, rovnoramenný a rovnostranný trojuholník), vrchol, strana

(ako vzdialenosť, ako úsečka), výška (ako vzdialenosť, ako úsečka i ako priamka), uhol, ťaţnica, ťaţi-

sko, stredná priečka, kruţnica trojuholníku opísaná, kruţnica do trojuholníka vpísaná, obvod a plošný

obsah trojuholníka, trojuholníková nerovnosť, Pytagorova veta, Euklidove vety, sínusová a kosínusová

veta.

d) Štvoruholníky a mnohouholníky.

Vrchol, strana (ako vzdialenosť, ako úsečka), uhlopriečka, uhol, konvexný štvoruholník, rovnobeţník,

kosoštvorec, obdĺţnik, štvorec, lichobeţník, rovnoramenný lichobeţník, základňa a rameno lichobeţní-

ka, výška rovnobeţníka a lichobeţníka, plošný obsah rovnobeţníka a lichobeţníka, konvex-

né, nekonvexné a pravidelné mnohouholníky, obsah mnohouholníka.


a) Lineárne útvary

Súhlasné uhly pri dvoch rovnobeţkách sú rovnaké,

striedavé uhly pri dvoch rovnobeţkách sú rovnaké,

súčet susedných uhlov je 180 ,

vrcholové uhly sú rovnaké.

b) Trojuholník

Trojuholníková nerovnosť,

súčet uhlov trojuholníka,

oproti väčšej (rovnakej) strane leţí väčší (rovnaký) uhol, oproti rovnakým stranám leţia rovnaké

uhly,

delenie ťaţníc ťaţiskom,

priesečník osí strán je stred opísanej kruţnice, priesečník osí uhlov je stred vpísanej kruţnice,

vyjadrenie obsahu trojuholníka pomocou

- dĺţky strany a k nej príslušnej výšky,

- dvoch strán a sínusu uhla týmito stranami zovretého,

Pytagorova veta, goniometria pravouhlého trojuholníka (pozri 2.5. Goniometrické funkcie),

vyjadrenie kosínusov uhlov trojuholníka pomocou dĺţok strán (kosínusová veta),

97

sinsinsin

cba =2r, kde r je polomer opísanej kružnice (sínusová veta),

vyjadrenie polomeru vpísanej kružnice pomocou jeho obsahu a obvodu,

zhodné a podobné trojuholníky, vety o zhodnosti (sss, sus, usu, Ssu) a podobnosti (sss, sus, uu)

trojuholníkov, Euklidove vety,

vzťah medzi pomerom podobnosti dvoch trojuholníkov a

- dĺţkami odpovedajúcich si úsečiek,

- veľkosťami odpovedajúcich si uhlov,

- ich plošnými obsahmi.

c) Kruţnica a kruh

Kruţnica je jednoznačne určená stredom a polomerom, resp. tromi svojimi bodmi,

ţiadne tri body kruţnice neleţia na priamke,

kolmosť dotyčnice k príslušnému polomeru kruţnice,

Talesova veta, vzťah medzi stredovým uhlom a obvodovými uhlami príslušnými k danej tetive,

závislosť vzájomnej polohy kruţnice a priamky na polomere kruţnice a vzdialenosti jej stredu

od priamky,

dotykový bod dvoch kruţníc leţí na spojnici stredov kruţníc, závislosť vzájomnej polohy dvoch

kruţníc od vzdialenosti stredov kruţníc a ich polomerov,

vzťahy pre výpočet obvodu a obsahu kruhu, dĺţku kruţnicového oblúka a obsahu kruhového vý-

seku.

d) Štvoruholníky a mnohouholníky

Rovnobeţnosť a rovnaká veľkosť protiľahlých strán rovnobeţníka,

rozpoľovanie uhlopriečok v rovnobeţníku,

rovnosť protiľahlých vnútorných uhlov v rovnobeţníku,

súčet susedných uhlov rovnobeţníka,

súčet vnútorných uhlov lichobeţníka priľahlých k jeho ramenu,

uhlopriečky kosoštvorca sú na seba kolmé a rozpoľujú vnútorné uhly,

zhodnosť uhlopriečok obdĺţnika a štvorca,

súčet vnútorných uhlov konvexného n-uholníka,

rovnobeţník je stredovo súmerný,

obdĺţnik a štvorec sú súmerné podľa osí strán,

kosoštvorec je súmerný podľa uhlopriečok,

rovnoramenný lichobeţník je súmerný podľa osi základní,

pravidelnému n-uholníku sa dá vpísať a opísať kruţnica,

v rovnoramennom lichobeţníku sú rovnaké uhlopriečky a rovnaké uhly pri základni,

obsah rovnobeţníka vyjadrený pomocou strany a príslušnej výšky, resp. pomocou susedných

strán a uhla medzi nimi,

obsah lichobeţníka vyjadrený pomocou výšky a veľkosti základní.


Ţiak vie

pribliţne vypočítať obvod a obsah narysovaných trojuholníkov, n-uholníkov, kruhov a ich častí,

vypočítať v trojuholníku, jednoznačne určenom jeho stranami, resp. stranami a uhlami, zvyšné stra-

ny a uhly, dĺţky ťaţníc, výšok, polomer vpísanej a opísanej kružnice, obvod a obsah,

rozhodnúť, či sú dva trojuholníky zhodné alebo podobné,

vlastnosti zhodnosti a podobnosti pouţiť vo výpočtoch a dôvodeniach,

vypočítať obvod a obsah kruhu a kruhového výseku,

98

rozhodnúť o vzájomnej polohe

- priamky a kruţnice,

- dvoch kruţníc, ak pozná ich polomery a vzdialenosť stredov,

vypočítať plošný obsah rovnobeţníka, lichobeţníka, resp. rozkladom na trojuholníky aj obsah iných

mnohouholníkov,

vypočítať uhol medzi uhlopriečkami, resp. medzi uhlopriečkou a stranou, v pravidelnom mno-

houholníku.

Príklady:

1. Prútkari

Dvaja prútkari hľadali na lúke pred chatou vodu. Prvý vyrazil od chaty sme-

rom na východ a po 400 metroch zahol na sever. Po ďalších 500 metroch

mu prútik ukázal, ţe sa nachádza nad bohatým zdrojom vodu. Druhý prútkar

vyrazil z chaty na západ a po 100 metroch zahol na juh. Ktorá z uvedených

hodnôt je najbliţšie ku vzdušnej vzdialenosti miest, na ktorých prútkari našli

vodu?

a) 1250 b) 1275 c) 1300 d) 1325 e)1350

2. Súčiastka

Z kusa plechu tvaru polkruhu sa vyrába súčiastka vyrezaním menšieho

polkruhu s obsahom 2 dm2. Vyrezaný polkruh má dvakrát menšie roz-

mery ako pôvodný plechový polkruh. Koľko dm2 plechu tvorí finálnu

súčiastku? (Súčiastka je na obrázku tmavá.)

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

3. Lichobežník

Na obrázku je trojuholník ABC so strednou priečkou EF. Ak obsah li-

chobeţníka ABFE je 24 cm2, potom obsah trojuholníka EFC je

a) 5 cm2 b) 6 cm

2 c) 7 cm

2 d) 8 cm

2 e) 12 cm

2

4. Stúpanie

Cesta z údolného parkoviska ku chate v priesmyku je dlhá 10 km, je priama a rovnomerne stúpa

pod uhlom 7 . Výškový rozdiel v medzi chatou a parkoviskom moţno vypočítať zo vzťahu

a) v = 10.sin 7 b) v = 10.cos 7 c) v = 10.tg7 d) v = 7sin

10 e) v =

7cos

10

5. Maľovanie

Miestnosť s rozmermi 5m x 4m, výškou 2,4 m, s jedným oknom s rozmermi 1m x 1,2 m

a s jednými dverami s rozmermi 1m x 2m treba vymaľovať. Koľko by stálo vymaľovanie stien

a stropu, ak jeden meter štvorcový maľovky stojí 20 korún?

a)800 korún b)864 korún c)1200 korún d)1264 korún e)1600 korún

99

6. Opísaná kružnica

Na obrázku je rovnostranný trojuholník ABC. Vrcholy A, B

leţia na osi x a vrchol C má súradnice 3;0 . Akú rovnicu

má kruţnica opísaná tomuto trojuholníku?

a) x2 + (y – 1)

2 = 4 b) x

2 + (y + 1)

2 = 4

c) (x – 1)2 + y

2 = 4 d) (x + 1)

2 + y

2 = 4

e) x2 + (y + 1)

2 = 2

7. Uhly

Akú veľkosť má uhol φ ma obrázku?

a) 30˚ b) 35˚ c) 40˚ d) 45˚ e) 50˚

8. Trojuholník

Trojuholník ABC má dĺţky strán AB = 6 cm, BC = 7 cm a CA = 8 cm. Potom kosínus najväčšie-

ho uhla v tomto trojuholníku má hodnotu

a) -4

1 b)

4

1 c)

32

17 d) -

32

17 e)

112

77

9. Stúpanie schodištia

Pod akým uhlom (zaokrúhlenom na desatiny stupňa) stúpa scho-

dište, ktorého schody sú 28 cm široké a 15 cm vysoké?

a) 61,8˚ b) 57,6˚ c) 43,5˚ d) 32,4˚ e) 28,2˚

10. Polomer opísanej kružnice

Trojuholník ABC má strany s dĺţkami AB = 11 cm, BC = 7 cm a AC = 8 cm, D je päta výšky

na stranu AB. Aký polomer má kruţnica opísaná trojuholníku DBC?

a) 8 cm b) 7 cm c) 5,5 cm d) 4 cm e) 3,5 cm

11. Desaťuholník

Daný je pravidelný desaťuholník so stranou s = 2 cm. Ktoré z uvedených čísel najpresnejšie udáva

jeho obsah?

a) 32,90 cm2 b) 31,84 cm

2 c) 30,78 cm

2 d) 20 cm

2 e) 9,51 cm

2

100

12. Obsah medzikružia

Rovnostrannému trojuholníku sme vpísali aj opísali kruţnicu. Ak r je polomer vpísanej kruţnice,

potom pre obsah S medzikruţia platí

a) S = 3πr2. b) S =

2

5r2. c) S = 2πr

2. d) S =

2

3r2. e) S = πr

2.

13. Uhol dotyčníc

Bod V je vzdialený 25 cm od stredy kruţnice k, ktorá má polomer 10 cm. Bodom V môţeme viesť

dve dotyčnice ku kruţnici k. Akú veľkosť (s presnosťou na stotiny stupňa) má uhol α, ktorý zviera-

jú tieto dotyčnice?

a) α = 132,84˚ b) α = 66,42˚ c) α = 47,16˚ d) α = 43,60˚ e) α = 23,58˚

14. Koryto rieky

Na obrázku je prierez regulovaným korytom rieky. Na jednom brehu je ukazovateľ výšky hladiny

rieky. Ako ďaleko od seba sú nakreslené rysky označujúce výšku hladiny 2 m a 5 m?

a) 6 m b) 3 3 m

c) 2

33 m d) 2 3 m e)

2

3 m

15. Obvod pozemku

Na obrázku je pozemok v tvare štvoruholníka s rozmermi

AB = 40 m, BC = 30 m, CD = 120 m. Aký obvod má

tento pozemok?

a) 220 m b) 230 m c) 310 m d) 320 m e) 370 m

16. Reflektor

V športovej hale tvaru polgule s priemerom 200 m bol na strope vo výške 60 m nad podlahou upev-

nený reflektor. Reflektor bol zle upevnený a spadol. Ako ďaleko od stredu haly dopadol?

a) 40 m b) 60 m c) 65 m d) 80 m e) 85m

17. Let lietadla

Lietadlo, ktoré malo pôvodne letieť priamočiaro z Bratislavy do Paríţa vzdialeného 800 km, sa pri

štarte muselo kvôli zlému počasiu odchýliť od priameho kurzu o 60˚. Aţ po 300 km mohol pilot

lietadlo nasmerovať priamo na Paríţ. O koľko kilometrov sa takto predĺţila dráha letu?

a) O 61 km. b) O 173 km. c) O 200 km. d) O 242 km. e) O 570 km.

18. Najväčší uhol

Označme γ veľkosť najväčšieho uhla trojuholníka ABC, ktorého strany majú dĺţky a = 4 cm, b = 5

cm a c = 7 cm. Potom platí

a) 180;135 . b) 135;90 . c) 90;60 . d) 60;30 . e) 30;0 .

101

19. Stred kružnice

Do uhla veľkosti 60˚ chceme vpísať kruţnicu s polomerom 5 cm. Ako ďaleko od vrcholu uhla musí

byť stred kruţnice?

a) 10 3 cm b) 10 cm c) 33

10 cm d) 3

3

5 cm e) 5 cm

20. Uhly

Na obrázku sú dve rovnobeţné priamky p, q a priamka r, ktorá je s nimi rôznobeţná, ale nie je na ne

kolmá. Pre uhly α, β na obrázku platí

a) sin α = sin β a súčasne cos α = - cos β.

b) sin α = sin β a súčasne cos α = cos β.

c) cos α = cos β a súčasne sin α = - sin β.

d) tg α = tg β a súčasne sin α = - sin β.

e) tg α = tg β a súčasne cos α = - cos β.

21. Všeobecný trojuholník

Na obrázku je všeobecný trojuholník ABC. Body P, Q, R sú

stredy jeho strán. Potom pre dĺţky úsečiek AS, ST a TR platí

TRSTAS :: =

a) 3 : 1 : 2 b) 4 : 1 : 2 c) 4 : 1 : 3

d) 5 : 1 : 3 e) 5 : 2 : 3

22. Stredový uhol

Do kruţnice k so stredom S sú vpísané dva trojuholníky (pozri obr.).

Aká je veľkosť uhla α?

a) 30˚ b) 40˚ c) 45˚

d) 50˚ e) 60˚

3.2 Analytická geometria v rovine

Obsah

Pojmy: (karteziánska) súradnicová sústava na priamke (číselná os) a v rovine, súradnice bodu, všeobec-

ná rovnica priamky, smernica priamky, smernicový tvar rovnice priamky, rovnica kruţnice; vektor,

umiestenie vektora, súradnice vektora, vektor opačný k danému vektoru, nulový vektor, súčet a roz-

diel dvoch vektorov, násobok vektora číslom, dĺžka vektora, skalárny súčin vektorov, parametrické

rovnice priamky, smerový a normálový vektor priamky.


vyjadrenie vzdialenosti dvoch bodov pomocou ich súradníc,

vzťah medzi smernicami dvoch rovnobeţných, resp. kolmých priamok,

102

vzťah medzi koeficientmi všeobecných rovníc dvoch rovnobeţných, resp. kolmých priamok,

aspoň jeden vzťah alebo postup pre výpočet

- uhla dvoch priamok (napr. pomocou skalárneho súčinu, kosínusovej vety alebo smerníc),

- vzdialenosti bodu od priamky,

geometrická interpretácia súčtu dvoch vektorov a násobku vektora reálnym číslom a ich vyjadre-

nie pomocou súradníc daných vektorov,

body A, B a C ležia na jednej priamke, ak jeden z vektorov B – A a C – A je násobkom druhého

vzťah medzi smerovými vektormi dvoch rovnobežných priamok ,

vzdialenosť dvoch bodov ako dĺžka vektora,

kolmosť dvoch priamok a jej vzťah so skalárnym súčinom ich smerových vektorov,

vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou dĺžok vektorov a kosínusu ich uhla (resp. vyjad-

renie kosínusu uhla dvoch vektorov pomocou ich skalárneho súčinu a ich dĺžok), vyjadrenie ska-

lárneho súčinu vektorov pomocou ich súradníc,

vzťah medzi koeficientmi všeobecnej rovnice priamky a normálovým vektorom priamky.


Ţiak vie

zostrojiť (v danej súradnicovej sústave) obrazy bodov, ak pozná ich súradnice, a určiť súrad-

nice daných bodov,

vypočítať súradnice stredu úsečky, resp. bodu, ktorý úsečku rozdeľuje v danom pomere,

napísať analytické vyjadrenie priamky (pozri tieţ 3.3 Množiny bodov daných vlastností a

ich analytické vyjadrenie a 3.4 Zhodné a podobné zobrazenia)

- prechádzajúcej dvoma danými bodmi,

- daným bodom rovnobeţne s danou priamkou,

- prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku,

určiť vzájomnú polohu dvoch priamok (ak sú dané ich rovnice) a nájsť súradnice ich prípad-

ného priesečníka,

vypočítať

- vzdialenosť 2 bodov,

- vzdialenosť bodu od priamky,

- vzdialenosť dvoch rovnobeţných priamok,

- obsah trojuholníka určeného jeho vrcholmi,

- uhol dvoch priamok,

napísať rovnicu kruţnice (pozri tiež 3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjad-

renie a 3.4 Zhodné a podobné zobrazenia)

- ak pozná jej stred a polomer,

- v tvare 022 cbyyaxx , ak pozná tri body, ktorými kruţnica prechádza,

určiť z rovnice kruţnice jej stred a polomer,

opísať v súradnicovej sústave pomocou rovníc a nerovníc úsečku, kružnicu a jej časti, polrovinu

a kruh,

rozhodnúť o vzájomnej polohe

- priamky a kruţnice,

- dvoch kruţníc,

ak pozná ich rovnice,

napísať rovnicu dotyčníc kružnice z daného bodu, resp. rovnobežných s daným smerom,

pri riešení planimetrických úloh používať analytickú metódu, t.j. vie

- vhodne si zvoliť súradnicovú sústavu a algebraicky spracovať zadanie,

- pomocou vedomostí z algebry a poznatkoch o vektoroch algebraicky vyriešiť úlohu,

103

- algebraický výsledok ”preložiť” do geometrického kontextu úlohy

Príklady:

1. Spoločné body

Označme A, B spoločné body grafu funkcie y = (x – 2)2 so súradnicovými osami. Rovnica

priamky p, ktorá prechádza bodmi A, B je

a)y = -2x + 2 b)y = 2x + 4 c)y = -2x + 4 d)y = 2x – 4 e)y = -2x - 4

2. Uhol

V rovine s pravouhlou súradnicovou sústavou, je daná priamka p, ktorej všeobecná rovnica

je 4x + 3y + 11 = 0. Ak α je ostrý uhol, ktorý táto priamka zviera s osou x, potom tg α =

a) -3

11 b) -

3

4 c) -

4

3 d)

4

3 e)

3

4

3. Mimobežky?

Priamka p má parametrické vyjadrenie x = 1 + t, y = 2t, z = -t, t R, priamka q má paramet-

rické vyjadrenie x = 2r, y = 3 – 4r, z = 1 + 2r, r R. Priamky p, q sú

a) mimobeţné, ale nie kolmé. b) mimobeţné kolmé. c) rôznobeţné, ale nie kolmé.

d) rôznobeţné kolmé. e) rovnobeţné.

4. Číslo p

Ako treba zvoliť číslo p R, aby body A p;4 , B 2;3 , C 14;1 leţali na jednej priamke?

a) p = 10 b) p = 1 c) p = -3

5 d) p = -

3

7 e) p = -5

3. Kružnica

Na ktorom z obrázkov je znázornená kruţnica daná rovnicou x2 + y

2 + 2x = 0?

104

4. Priamka p

Na obrázku sú dve rovnobeţné priamky p, q. Ktorou

z uvedených rovníc je daná priamka p?

a) y = 103

2x b) y = 15

3

2x c) y = 10

2

3x

d) y = 152

3x e) y = 10

2

3x

5. Rovnica kružnice

Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funk-

cie f: y =│(x - 5)³ - 5│so súradnicovými osami je:

a) (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = 50 b) (x - 2,5)² - (x - 2,5)² = 50

c) (x - 2,5)² + (x + 2,5)² = 50 d) (x + 2,5)² + (x - 2,5)² = 50 e) (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = - 50

6. Kružnica



a) (x - 2)² + (x - 2)² = 32 b) (x - 2)² + (x + 2)² = 32 c) (x + 2)² + (x - 2)² = 32 d) (x - 2)² - (x - 2)² = 32 e) (x - 2)² + (x - 2)² = - 32

7. Rovnica



a) (x -1,5)² + (x - 1,5)² = 18 b) (x - 1,5)² + (x - 1,5)² = 25 c) (x - 1,5)² - (x - 1,5)² = 18 d) (x - 1,5)² + (x - 2,5)² = 18 e) (x + 1,5)² + (x - 1,5)² = 18

8. Kružnica?


cie f: y =│(x + 3)³ + 3│so súradnicovými osami je:

a) (x - 1,5)² + (x - 1,5)² = 18 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x + 1,5)² + (x - 1,5)² = 18 d) (x - 1,5)² + (x - 2,5)² = 18 e) (x + 1,5)² - (x - 1,5)² = 18

9. Kružnicová rovnica



a) (x - 2)² + (x - 2)² = 32 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32 d) (x + 2)² + (x - 2)² = 32 e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18

105




a) (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = 50 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32

d) (x - 2,5)² - (x - 2,5)² = 50 e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18

11. Kružnica


cie f: y =│(x + 2)³ + 2)│so súradnicovými osami je:

a) (x - 1)² + (x - 1)² = 8 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32

d) (x - 1)² - (x - 1)² = 8 e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18

12. Rovnica



a) (x - 1)² + (x - 1)² = 8 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32

d) (x - 1)² - (x - 1)² = 8 e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18

13. Kružnica?



a) (x - 0,5)² + (x - 0,5)² = 2 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32

d) (x - 1)² - (x - 1)² = 8 e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18


Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so

súradnicovými osami f: y =│(x +5)³ + 5│je:

a) (x +2,5)² + (x + 2,5))² = 50 b) (x - 2,5)² + (x + 2,5)² = 50 c) (x + 2,5)² - (x - 2,5)² = 50 d) (x +2,5)² + (x + 2,5)² = 250 e) (x + 2,5)² - (x + 2,5)² = 25

15. Rovnica


súradnicovými osami f: y =│(x + 4)³ + 4│je:

a) (x + 2)² + (x + 2)² = 32 b) (x - 2)² + (x + 2)² = 32 c) (x + 2)² + (x - 2)² = 32 d) (x + 2)² - (x + 2)² = 32 e) (x + 2)² + (x + 2)² = 16

16. Kružnica



a) (x + 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18 c) (x + 1,5)² + (x - 1,5)² = 18 d) (x + 1,5)² - (x + 1,5)² = 18 e) (x + 1,5)² + (x + 1,5)² = 9

106

17. Kružnicová rovnica



a) (x + 1)² + (x + 1)² = 8 b) (x - 1)² + (x + 1)² = 8 c) (x + 1)² + (x - 1)² = 8 d) (x + 1)² - (x + 1)² = 8 e) (x + 1)² + (x + 1)² = 16




a) (x + 0,5)² + (x + 0,5)² = 2 b) (x - 0,5)² + (x + 0,5)² = 2 c) (x + 0,5)² + (x - 0,5)² = 2 d) (x + 0,5)² - (x + 0,5)² = 2 e) (x + 0,5)² + (x + 0,5)² = 4

19. Kružnica

Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie

f so súradnicovými osami

f: y = │(x - 5,00)³ - 5,00│ je:

A: (x-2,50)² + (x - 2,50)² = 50

B: (x +2,50)² + (x - 2,50)² = 50

C: (x-2,50)² + (x + 2,50)² = 50

D: (x-2,50)² - (x - 2,50)² = 50

E: (x-2,50)² + (x - 2,50)² = 250

20.

Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie

f: y = │(x - (4,00))³ - (4,00)│ so súradnicovými osami je:

A: (x-2,00)² + (x - 2,00)² = 32

B: (x-2,00)² + (x + 2,00)² = 32

C: (x +2,00)² + (x - 2,00)² = 32

D: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 32

107

E: (x-2,00)² + (x - 2,00)² = -32

21.


f: y = │(x - (3,00))³ - (3,00)│ so súradnicovými osami je:

A: (x-1,50)² + (x - 1,50)² = 18

B: (x-1,50)² + (x - 1,50)² = 25

C: (x-1,50)² - (x - 1,50)² = 18

D: (x-1,50)² + (x - 2,50)² = 18

E: (x+1,50)² + (x - 1,50)² = 18

22.


f: y = │(x - (-3,00))³ - (-3,00)│ so súradnicovými osami je:

A: (x-1,50)² + (x - 1,50)² = 18

B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18

C: (x+1,50)² + (x - 1,50)² = 18

D: (x-1,50)² + (x - 2,50)² = 18

E: (x+1,50)² - (x - 1,50)² = 18

23.


f: y = │(x - (-4,00))³ - (-4,00)│

108

so súradnicovými osami je:

A: (x-2,00)² + (x - 2,00)² = 32

B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18

C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32

D: (x+2,00)² + (x - 2,00)² = 32

E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18

24.



A: (x-2,50)² + (x - 2,50)² = 50

B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18

C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32

D: (x-2,50)² - (x - 2,50)² = 50

E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18

25.



A: (x-1,00)² + (x - 1,00)² = 8

B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18

C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32

D: (x-1,00)² - (x - 1,00)² = 8

109

E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18

26.


f: y = │(x - 2,00)³ - 2,00│ so súradnicovými osami je:

A: (x-1,00)² + (x - 1,00)² = 8

B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18

C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32

D: (x-1,00)² - (x - 1,00)² = 8

E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18

27.


f: y = │(x - 1,00)³ - 1,00│ so súradnicovými osami je:

A: (x-0,50)² + (x - 0,50)² = 2

B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18

C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32

D: (x-1,00)² - (x - 1,00)² = 8

E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18

28.

Dané sú 2 body v trojrozmernom priestore

A[1;2;3]

B[4;8;5]

110

Parametrická rovnica priamky AB je :

a): b)

c)

d)

e)

29.

Dané sú dva body v dvojrozmernom priestore


a) b)

p: x = 2 + 1t

y = 1 + 3t ,tεR

c)

p: x = 2 + 1t

y = 1 + 3t ,tεR

d)

p: x = 2 + 1t

y = 1 + 3t ,tεR

e)

p: x = 2 + 1t

y = 1 + 3t ,tεR

p: x = 1 +4t

y = 2 + 6t

z = 3 + 2t ,tεR

p: x = 1 + 3t

y = 2 + 7t

z = 3 + 2t ,tεR

p: x = 1 + 3t

y = 2 + 6t

z = 3 + 3t ,tεR

p: x = 1 - 3t

y = 2 + 6t

z = 3 + 2t ,tεR

p: x = 1 + 3t

y = 2 + 6t

z = 3 - 2t ,tεR

A[2;1]

B[3;4]

p: x = 2 + 1t

y = 1 + 3t ,tεR

111

30.


A[2;5]

B[3;4]

Všeobecná rovnica priamky AB je:

a) x + y - 7 = 0

b) x - y - 7 = 0

c) x + y + 7 = 0

d) x - y - 7 = 0

e) x + y - 8 = 0

31.

Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore

A[1;4]

B[4;8]

C[8;4]

Obvod trojuholníka ABC má veľkosť:

a) 17,65685 (12+4*√(2) )

b) 15,3

c) 18,25

d) 22

e) taký trojuholník neexistuje

32.


A[2;4]

B[5;8]

C[9;4]

Obsah trojuholníka ABC má veľkosť:

112

a) 14

b) 15

c) 17

d) 13

e) to nie je trojuholník

33.


A[3;5]

B[6;9]

C[10;5]

Veľkosť uhla ACB v stupňoch je :

a) 45°

b) 38°

c) 90°

d) 22,5°

e) 84°

34.


A[-2;5]

B[3;-3]


a)

p: x = -2 + 5t

y = 5 + -8t ,tεR

b)

p: x = -2 + 5t

y = 5 + -8t ,tεR

c)

p: x = -2 + 5t

y = 5 + -8t ,tεR

d)

p: x = -2 + 5t

y = 5 + -8t ,tεR

e)

p: x = -2 + 5t

y = 5 + -8t ,tεR

35.

113


A[-2;5]

B[3;-3]

Všeobecná rovnica priamky AB je:…………………………………

a)

p: 8x + 5y + -9 = 0

b)

p: 8x + 5y + -9 = 0

c)

p: 8x + 5y + -9 = 0

d)

p: 8x + 5y + -9 = 0

e)

p: 8x + 5y + -9 = 0

36.


A[-2;7]

B[1;11]

C[5;7]

Výška na stranu b trojuholníka ABC má dĺţku:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 3

e) 7

37.


A[1;4]

B[4;8]

C[8;4]

Obvod trojuholníka ABC má veľkosť:

a) 17,65685 (12+4*√(2) )

b) 15,3

c) 14,38

d) 17

e) 22,3697

114

38.


A[-1;-3]

B[1;11]

C[5;-7]

Obsah trojuholníka ABC má veľkosť:

a) 14

b) 15

c) 16

d) 13

e) 23

39.


A[-1;7]

B[1;11]

C[5;7]

Veľkosť uhla ACB v stupňoch je

a) 45°

b) 22,5°

c) 82°

d) 90°

e) 12°

40. Označme A, B spoločné body grafu funkcie y = (x – 2)2 so súradnicovými osami.

Rovnica priamky p, ktorá prechádza bodmi A, B je

A: y = -2x + 2

B: y = 2x + 4

C: y = -2x + 4

D: y = 2x – 4

E: y = -2x - 4

41. V rovine s pravouhlou súradnicovou sústavou, je daná priamka p, ktorej všeobec-

ná rovnica je 4x + 3y + 11 = 0. Ak α je ostrý uhol, ktorý táto priamka zviera

s osou x, potom tg α =

115

A: -3

11

B: -3

4

C: -4

3

D: 4

3

E: 3

4

42. Priamka p má parametrické vyjadrenie x = 1 + t, y = 2t, z = -t, t R, priamka q má

parametrické vyjadrenie x = 2r, y = 3 – 4r, z = 1 + 2r, r R. Priamky p, q sú

A: mimobeţné, ale nie kolmé.

B: mimobeţné kolmé.

C: rôznobeţné, ale nie kolmé.

D: rôznobeţné kolmé.

E: rovnobeţné.

43. Dané sú body A[1;7;3], C[6;2;3], F[6;7;8], H[1;2;8]. Pre vektory H-A, F-C platí, ţe ich

skalárny súčin je rovný:

A: 7 B: 0 C: 12 D: -4 F: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna

44. Dané sú body A[1;7;3],E[1;7;8],G[6;2;8],H[1;2;8]. Pre vektory E-A, H-G platí, ţe:

A: sú lineárne závislé

B: sú na seba kolmé

C: sú rovnobeţné

D: majú uhol π/4

E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna

45. Dané sú body B[6;7;3],C[6;2;3],D[1;2;3],E[1;7;8]. Vektory B-C, D-E majú uhol:

A: 0 rad

B: Π rad

C: π/4 rad

D: π/3 rad


46. Dané sú body A[1;7;3],B[6;7;3],C[6;2;3],H[1;2;8] . Priamky AB, HC sú navzájom

A: rovnobeţné

B: totoţné

C: rôznobeţné

116

D: mimobeţné


47. Dané sú body A[1;7;3],B[6;7;3],G[6;2;8],H[2;2;8]. Priamky AB, GH sú navzájom

A: rovnobeţné

B: totoţné

C: rôznobeţné

D: mimobeţné


48. Rovnica roviny, ktorá je rovnobeţná s rovinou x + y + z - 6 = 0 a má od začiatku súrad-

nicpvej sústavy vzdialenosť√3, je:

A: x + y + y + 3 = 0

B: x + y + y - √3 = 0

C: x + y + y - 3 = 0

D: x + y + y + 5 = 0


49. Pre odchýlku rovín 3x - 2y + z - 1 = 0, x + 2y - 3z + 13 = 0 platí,

cos α =:

A: ´

B: 2/7

C: -2/7

D: -1/2


50. Rovnica roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín x - y + 1 = 0, 2x + y + z = 0 a je

kolmá na rovinu 2x + y + z + 3 = 0, je

A: 4x - 7y - z + 6 = 0

B: 4x - y - 7z + 6 = 0

C: 4x - 7y + z + 6 = 0

D: 4x - y - 7z + 6 = 0


51. Vzájomná poloha priamky AB, A[3;0;-1],B[0;2;1] a priamky p: x = t, y = 1 - 2t, z = 3,

tεR je:

A: mimobeţné

B: totoţné

C: rôznobeţné a kolmé

D: rôznobeţné, ale nie kolmé

E: rovnobeţné, rôzne

52. Rovina α: 2x - y - z + 4 = 0 a priamka p: x =3 + t, y = 2 - 2t, z = 2 + t, tεR majú uhol:

A: 30°

B: 60°

C: 45°

D: 0°

E: 90°

117

3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie


Ţiak vie

geometricky opísať, načrtnúť a nájsť (v danej alebo vhodne zvolenej súradnicovej sústave) analy-

tické vyjadrenie mnoţiny bodov s konštantnou vzdialenosťou od

- bodu,

- priamky,

- kruţnice,

geometricky opísať a načrtnúť mnoţiny bodov

- z ktorých vidieť danú úsečku pod daným uhlom,

- ktoré majú rovnakú vzdialenosť od

- dvoch bodov,

- dvoch rovnobeţných priamok,

- dvoch rôznobeţných priamok,

geometricky opísať a načrtnúť mnoţiny bodov, ktoré majú

- od daného bodu vzdialenosť menšiu (väčšiu) ako dané kladné číslo,

- od danej priamky vzdialenosť menšiu (väčšiu) ako dané kladné číslo,

- od jedného bodu väčšiu vzdialenosť ako od druhého bodu,

- od jednej danej priamky väčšiu vzdialenosť ako od druhej danej priamky,

opísať v jednoduchých prípadoch mnoţinu bodov daných vlastností

- pomocou uhlov, častí priamky, kruţnice a kruhu,

- pomocou zhodných a podobných zobrazení,

- vo vhodne zvolenej súradnicovej sústave analyticky pomocou jednoduchých rovníc

a nerovníc,

znázorniť mnoţinu bodov yx, , pre ktoré platí

- y* f(x), kde * je jeden zo znakov ,,, a f je predpis funkcie, ktorej graf vie ţiak znázorniť

(pozri 2.1 Funkcia a jej vlastnosti),

- ax + by + c * 0,

- 022

mdyaybxax ,

- ,)y,x(f 0 ak vie načrtnúť krivku 0)y,x(f

a v jednoduchých prípadoch aj mnoţinu bodov yx, , ktorá je opísaná sústavou dvoch z pred-

chádzajúcich nerovníc (pozri tieţ 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),

tieto mnoţiny bodov pouţiť pri riešení jednoduchých konštrukčných úloh (pozri 3.5 Konštrukčné

úlohy).

118

Príklady:

1. Napíšte rovnicu paraboly, ktorá má vrchol v začiatku

súradnicovej sústavy a ohnisko v bode F= [0;-1].

a) y2 = 4x b) y

2 = - 4x c) x

2 = - 4y d) x

2 = 4y

2. Kaţdá parabola, ktorá má vrchol v bode V = [m,n] a os

rovnobeţnú s osou x, má rovnicu:

a) (x - m)2 = 2p(y -n)

b) (y -n)2 = 2p(x - m)

c) (x - m)2

= 2p(y - n) alebo (x - m)2 = - 2p(y - n)

d) (y - n)2

= 2p(x - m) alebo (y - n)2 = - 2p(x - m)

3. Určte polohu priamky 2x + 2y + 5 = 0 vzhľadom na parabo-

lu y2 = 10x.

Daná priamka je

a) dotyčnica b) sečnica

c) nesečnica d) rovnobeţná s osou paraboly

4. Napíšte rovnicu elipsy so stredom v počiatku súradnico-

vej sústavy a hlavnou osou leţiacou na osi y, keď a = 5,

b = 3.

c) 25 x

2 + 9y

2 = 225 d) 25 x

2 + 9y

2 + 225 = 0

5. Napíšte rovnicu kruţnice, ktorá má stred v začiatku

súradnicovej sústavy a prechádza bodom A = [ -3; 4 ].

a) x2 + y

2 = 25 b) x

2 + y

2 = 16

c) x2 + y

2 = 9 d) x

2 + y

2 = 5

6. Zistite, či rovnica 9x2 + 25y

2 - 54x - 100y - 44 = 0

je rovnicou elipsy.Ak áno, nájdite jej stred, určte polohu

osí a veľkosť polosí:

a)rovnica nie je rovnicou elipsy

b)S = [3;2], a = 5, b = 3, a || x

c)S = [2;3], a = 5, b = 3, a || x

d)S = [-3;-2], a = 5, b = 3, a || x

7. Ktoré z bodov K = [1;3],L = [3;0],M = [-1;0], N = [1;-3]

leţia na elipse 9x2 - 18x + 4y

2 - 27 = 0? Sú to body:

a) K, L, M b) L, M, N

c) K, L, M, N d) ani jeden z bodov K, L, M, N

8. Určte aR také, aby priamka 3x + 4y + a = 0 bola dotyč-

nicou kruţnice x2 + y

2 = 25.

a) a = 252 b) a = -25 c) a = 25 d) a = ± 25

119

9. Kruţnica x2 + y

2 = 9 a elipsa majú práve

a) dva spoločné body b) tri spoločné body

c) štyri spoločné body d) nula spoločných bodov

10. Priamka y - 2x = 0 je voči hyperbole 9x2 - 16y

2 = 144

a)sečnicou, ktorá má s hyperbolou 2 spoločné body

b)dotyčnicou

c)sečnicou, ktorá má s hyperbolou 1 spoločný bod

d)nesečnicou.

11.



a. (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = 50

b. (x - 2,5)² - (x - 2,5)² = 50

c. (x - 2,5)² + (x + 2,5)² = 50

d. (x + 2,5)² + (x - 2,5)² = 50

e. (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = - 50

12. Daná je všeobecná rovnica elipsy E: x² + 9 y² - 6x - 18y + 9 = 0.

Napíš kanonickú rovnicu hyperboly H, ktorá má hlavné vrcholy v ohniskách elipsy E a ohniská

v hlavných vrcholoch elipsy E.

a. (x -1)²/8 - (y - 6)²/9 = 1

b. (x -1)²/8 + (y - 6)²/9 = 1

c. (x -1)²/8 - (y + 6)²/9 = 1

d. (x -1)²/8 - (y - 6)²/9 = 0

e. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna

13. Daná je všeobecná rovnica hyperboly H.

Napíš kanonickú rovnicu kruţnice K, ktorá má stred v strede hyperboly a prechádza hlavnými

vrcholmi hyperboly.

H: x² - 9 y² - 6x + 18y + 9 = 0

a. (x - 3)² + (y - 1)² = 9

b. (x - 3)² - (y - 1)² = 9

120

c. (x - 3)² + (y - 1)² = 81

d. (x - 3)² + (y + 1)² = 9

e. Ţiadna z ostatných odpovedí nie je správna

14. Daná je všeobecná rovnica hyperboly H.

Napíš kanonickú rovnicu kruţnice K, ktorá má stred v strede hyperboly a prechádza ohniskami

hyperboly.

H: x² - 9 y² - 6x + 18y + 9 = 0

a. (x - 3)² + (y - 1)² = 10

b. (x - 3)² - (y - 1)² = 10

c. (x - 3)² + (y - 1)² = 100

d. (x - 3)² + (y + 1)² = 10

e. Ţiadna z ostatných odpovedí nie je správna

15. Rovnica elipsy, so stredom v začiatku súradnicovej sústavy a osami rovnobeţnými so

súradnicovými osami , ktorá prechádza priesečníkmi grafu funkcie

f: y = (x - 5)³ - 1


A: 25x² + 1y² = 25

B: 25x² - 1y² = 25

C: 5x² + 1y² = 25

D: 5x² - 1y² = 25

E: 5x² + 1y² = 5

16. Rovnica elipsy, so stredom v začiatku súradnicovej sústavy a osami rovnobeţnými so

súradnicovými osami , ktorá má ohniská v priesečníkoch grafu funkcie

f: y = (x - 5)² - 4

121

so súradnicovou osou x a prechádza priesečníkom tejto funkcie s osou y je:

A: 16x² + 41y² = 656

B: 16x² - 41y² = 656

C: 16x² + 41y = 656

D: 16x + 41y² = 656

E: 5x² + 4y² = 20

17. Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu

funkcie

f: y = │(x - 2,00)³ - 2,00│


A: (x-1)² + (x - 1)² = 8

B: (x-1,5)² + (x + 1,5)² = 18

C: (x-2)² + (x - 3)² = 32

D: (x-1)² - (x - 1)² = 8

E: (x-2)² - (x - 2)² = 18

18. Kanonická rovnica paraboly P: y² + 10y - 20x + 50 = 0 je:

A: (y + 4)2 = 16(x - 2)

B: (y + 4)2 = 16(x + 2)

C: (y - 4)2 = 16(x - 2)

D: (y - 4)2 = 16(x + 2)


19. Napíš stredovú rovnicu kruţnice, ktorá má stred vo vrchole danej paraboly a dotýka sa jej ria-

diacej priamky

P: y² - 4y - 8x + 20 = 0

122

A: (x - 2)² + (y - 2)² = 4

B: (x + 2)² + (y - 2)² = 8

C: (x - 2)² + (y + 2)² = 4

D: (x + 2)² + (y + 2)² = 8

F: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna

20. Napíš stredovú rovnicu kruţnice, ktorá má stred v ohnisku danej paraboly a dotýka sa jej riadia-

cej priamky

P: y² - 4y - 12x + 40 = 0

A: (x - 6)² + (y - 2)² = 36

B: (x - 6)² + (y + 2)² = 6

C: (x + 6)² + (y - 2)² = 36

D: (x + 6)² + (y + 2)² = 6

Žiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna

3.4 Zhodné a podobné zobrazenia

Obsah

Pojmy: zhodné zobrazenie, osová súmernosť, os súmernosti, posunutie, stredová súmernosť, stred sú-

mernosti, otočenie, stred otočenia, orientovaný uhol a jeho veľkosti, uhol otočenia, osovo a stredovo

súmerný útvar; rovnoľahlosť, stred a koeficient rovnoľahlosti, samodružný bod, skladanie zobrazení,

inverzné zobrazenie.


stredová súmernosť je jednoznačne určená stredom súmernosti, resp. dvoma odpovedajúcimi si

bodmi,

osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi,

otočenie je jednoznačne určené stredom a uhlom otáčania,

posunutie je jednoznačne určené vektorom posunutia, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi,

vzťah medzi orientovaným uhlom a jeho veľkosťami,

rovnobeţník je stredovo súmerný,

obdĺţnik a štvorec sú súmerné podľa osí strán,

kosoštvorec je súmerný podľa uhlopriečok,

rovnoramenný lichobeţník je súmerný podľa osi základní,

nech A,B sú dva osovo súmerné body podľa priamky p, potom AB je kolmá na p a stred AB leţí na

p,

priamka a jej obraz v posunutí sú rovnobeţné,

rovnoľahlosť je jednoznačne určená stredom a koeficientom rovnoľahlosti, dvoma vhodne zvo-

lenými dvojicami odpovedajúcich bodov

123

dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,

každé dve nerovnaké rovnobežné úsečky sú rovnoľahlé (dvoma spôsobmi),

každé dve kružnice s rôznym polomerom sú si podobné (sú rovnoľahlé),

vonkajšie (vnútorné) spoločné dotyčnice dvoch kružníc sa pretínajú v strede rovnoľahlosti,

vzťah medzi pomerom podobnosti dvoch útvarov a

- dĺţkami zodpovedajúcich si úsečiek,

- veľkosťami zodpovedajúcich si uhlov,

- ich plošnými obsahmi.


Ţiak vie

zobraziť daný útvar v danom zhodnom alebo podobnom zobrazení,

rozhodnúť, či je daný útvar osovo (stredovo) súmerný,

napísať súradnice bodu (rovnicu priamky, úsečky, kružnice alebo jej časti), ktorý je obrazom da-

ného bodu (danej priamky, úsečky, kružnice alebo jej časti),

- v súmernosti podľa začiatku súradnej sústavy, resp. podľa daného stredu,

- v súmernosti podľa niektorej súradnej osi, alebo podľa priamky rovnobežnej so súradnou

osou, alebo podľa priamky y = x (pozri tieţ inverznú funkciu v 2.1 Funkcia a jej vlastnosti, po-

stupnosti),

- v posunutí,

opísať zobrazenie, ktoré vznikne zložením dvoch osových súmerností,

určiť inverzné zobrazenie k danému zhodnému alebo podobnému zobrazeniu,

zostrojiť

- stredy rovnoľahlosti dvoch daných kružníc,

- obraz daného útvaru v danom zhodnom zobrazení alebo v rovnoľahlosti, resp. útvar podobný

s daným útvarom, pri danom pomere podobnosti,

zhodné zobrazenia a rovnoľahlosť (resp. podobnosť) použiť

- v konštrukčných úlohách (pozri 3.5 Konštrukčné úlohy),

- pri zisťovaní množiny bodov daných vlastností (pozri 3.3 Mnoţiny bodov daných vlastností

a ich analytické vyjadrenie).

Príklady:

1. Podobný trojuholník

Na obrázku je rovnoramenný trojuholník ABC so základňou AB = 8 cm

a ramenom BC = 10 cm. Na ramene AC leţí bod D. Trojuholník ABC je po-

dobný s trojuholníkom DAB. Potom AD =

a) 6,4 cm. b) 6 cm. c) 5 cm. d) 3,6 cm. e) 2 cm.

2. Osová súmernosť

Ak zostrojíme obraz grafu funkcie y = 2x+3

v osovej súmernosti podľa osi o: x = 0, dostaneme graf

funkcie

a) y = 2x-3

. b) y = 2-x+3

. c) y = 2-x-3

. d) y = log2(x + 3). e) y = log2 x – 3.

3. Rotácia trojuholníka

124

V ktorom z nasledujúcich prípadov vznikne rotáciou trojuholníka okolo osi o rotačný kuţeľ?

4. Osemuholník

Nech o je počet osí súmernosti osemuholníka a nech s je počet stredov súmernosti zoho isté-

ho osemuholníka. Akú najväčšiu hodnotu môţe nadobudnúť súčet o + s?

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

3.5 Konštrukčné úlohy

Obsah

Pojmy: rozbor, náčrt, konštrukcia, postup konštrukcie.


Ţiak vie

zdôvodniť postup konštrukcie, t. j. urobiť rozbor jednoduchých konštrukčných úloh, pričom vie

pouţiť

- nasledujúce základné konštrukcie (na ktoré sa môţe pri opise postupu zloţitejších kon-

štrukčných úloh odvolávať bez toho, aby ich podrobne rozpisoval):

- rovnobeţku s danou priamkou daným bodom,

- rovnobeţku s danou priamkou v predpísanej vzdialenosti,

- os úsečky, os uhla,

- priamku, ktorá prechádza daným bodom a zviera s danou priamkou daný uhol,

- úsečku dĺţky c

ab (pomocou podobnosti), ab (pomocou Euklidových viet), kde a, b, c sú

dĺţky narysovaných úsečiek,

- rozdeliť úsečku v danom pomere,

- trojuholník určený:

- tromi stranami,

- dvoma stranami a uhlom,

- dvoma uhlami a stranou,

- kruţnicu

- trojuholníku opísanú,

- do trojuholníka vpísanú,

- dotyčnicu kruţnice

125

- v danom bode kruţnice,

- z daného bodu leţiaceho mimo kruţnice,

- rovnobeţnú s danou priamkou,

- stredy rovnoľahlosti dvoch kružníc a spoločné dotyčnice dvoch kružníc,

- obraz daného bodu, úsečky, priamky, kruţnice a jej častí v danom zhodnom zobrazení, resp.

v rovnoľahlosti (pozri 3. 4 Zhodné a podobné zobrazenia),

- mnoţiny bodov daných vlastností,

- vhodné zhodné zobrazenie alebo rovnoľahlosť, resp. podobnosť,

pri kreslení náčrtu pri rozbore úlohy rozlíšiť jednotlivé moţnosti zadania (napr. „výška leţí

v trojuholníku“ a „výška je mimo trojuholníka“),

na základe vykonaného (daného) rozboru napísať postup konštrukcie,

uskutočniť konštrukciu danú popisom,

rozhodnúť (aj na základe pomocných výpočtov) o medzných hodnotách vstupných údajov,

určiť počet riešení v prípade číselne zadaných úloh.

4. STEREOMETRIA

4.1 Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

Obsah

Pojmy: premietanie (voľné rovnobeţné premietanie), priemet priestorového útvaru do roviny.

Vlastnosti a vzťahy : voľné rovnobeţné premietanie zachováva deliaci pomer a rovnobeţnosť.


Ţiak vie pouţiť vlastnosti voľného rovnobeţného premietania pri zobrazovaní kocky, pravidelných hranolov

a pravidelných ihlanov.

4.2 Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda

Obsah

Pojmy: (karteziánska) sústava súradníc v priestore, bod a jeho súradnice, vzdialenosť bodov, vektor,

umiestenie vektora, súradnice vektora, opačný vektor, nulový vektor, súčet a rozdiel dvoch vektorov,

násobok vektora číslom, smerové vektory (priamky a roviny), parametrické rovnice priamky a roviny,

skalárny súčin vektorov, dĺžka vektora, kolmosť a uhol dvoch vektorov, normálový vektor roviny,

všeobecná rovnica roviny.


body A, B a C ležia na jednej priamke, ak jeden z vektorov B – A, C – A je násobkom druhého,

body A, B, C a D ležia v jednej rovine, ak jeden z vektorov B – A, C – A, D – A je lineárnou kom-

bináciou (súčtom násobkov) ostatných,

vyjadrenie vzdialenosti dvoch bodov pomocou ich súradníc,

súradnice a geometrická interpretácia súčtu a rozdielu dvoch vektorov a násobku vektora reál-

nym číslom,

vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou dĺžok vektorov a kosínusu ich uhla (resp. vyjad-

renie kosínusu uhla dvoch vektorov pomocou ich skalárneho súčinu a ich dĺžok), vyjadrenie ska-

lárneho súčinu vektorov pomocou ich súradníc,

vzťah medzi kolmosťou vektorov a ich skalárnym súčinom,

vzťah medzi koeficientmi všeobecnej rovnice roviny a normálovým vektorom roviny.


Ţiak vie

zostrojiť (v danej súradnicovej sústave) obrazy bodov, ak pozná ich súradnice, a určiť súrad-

nice daných bodov (pozri tiež 4.3 Lineárne útvary v priestore – polohové úlohy a 4.4 Lineárne út-

vary v priestore – metrické úlohy),

zostrojiť lineárnu kombináciu (súčet násobkov) daných vektorov a vie nájsť jej súradnice,

určiť súradnice stredu úsečky a súradnice bodu, ktorý delí danú úsečku v danom pomere,

určiť analytické vyjadrenie (pozri tiež 4.3 Lineárne útvary v priestore – polohové úlohy)

127

- priamky určenej dvoma bodmi, bodom a smerovým vektorom,

- roviny určenej troma bodmi, priamkou a bodom, dvoma priamkami, bodom a normálovým

vektorom,

rozložiť vektor na súčet násobkov daných vektorov,

z parametrických rovníc roviny určiť jej všeobecnú rovnicu a naopak,

vhodnou voľbou súradnicovej sústavy algebraizovať geometrický problém, špeciálne vo vhodne

zvolenej súradnicovej sústave opísať vrcholy daného kvádra,

geometricky interpretovať výsledok získaný algebraickými prostriedkami.

Príklady :

1. Vektory

Ktorý z vektorov a, b, c, d, e na obrázku musíme pripočítať

k vektorom v1 a v2, aby súčtom všetkých troch vektorov bol

nulový vektor?

a) vektor a b) vektor b c) vektor c d) vektor d

e) vektor e

2. Najkratšia strana

V rovine sú dané tri body A 5;3 , B 3;3 , C 5;8 . Pribliţne akú dĺţku má najkratšia strana troj-

uholníka ABC?

a) 8 b) 9,4 c) 10 d) 11 e) 13,6

3. Uhlopriečka štvorca

Štvorec KLMN má stred v bode S 0;0 . Vrchol K má súradnice 2;2 . Akú dĺţku má uhlopriečka

štvorca KLMN?

a) 16 b) 8 c) 4 2 d) 4 e) 2 2

4. Krajný bod úsečky

Krajný bod A úsečky AB má súradnice 90;30 , stred úsečky AB má súradnice 70;50 . Potom

súradnice druhého krajného bodu B sú

a) 20;80 . b) 50;10 . c) 50;130 . d) 80;10 . e) 110;110 .

5. Prvý kvadrant

Nech M je mnoţina všetkých takých bodov X yx; prvého kvadrantu, ktorých vzdialenosť od bodu

0;0 sa rovná dvojnásobku ich x-ovej súradnice. Potom M je

a) polpriamka y = .0;3 xx b) polpriamka y = .0;33

xx

c) polpriamka y = .0;0 x d) parabolický oblúk x = 3y2; .0y

e) parabolický oblúk y = 3x2; .0x

128

6. Vektor CA

Označme Y stred strany BC rovnobeţníka ABCD. Potom vek-

tor CA moţno vyjadriť v tvare

a) CA = 2.CY + AB b) CA = AB + 2.YC c) CA =AB – 2.YC

d) CA = 2.YC – AB e) CA = 2.CY - AB

7. Obsah štvorca

Aký obsah má štvorec ABCD, ktorého vrcholy A a C majú súradnice A 7;4 a C 3;2 ?

a) 29 b) 20 c) 13 d) 10 e) 8

8. Dané sú vektory c = [3;4;-5] a d = [-6;y;10]. Určte y

také, aby vektory c, d boli navzájom kolmé.

a) y = -8 b) y = -2 c) y = 8 d) y = 17

9.Rozhodnite, či body A = [4;5;1],B = [2;3;4],C = [6;0;-2]

ležia na jednej priamke

a) ležia b) neležia

10.Určte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A = [6;0;4]

a je kolmá na priamku BC, kde B = [2;5;3], C = [3;1;4].

a) x - 4y +z +10 = 0 b) 5x - 4y +z + 34 = 0

c) x - 4y + z - 10 = 0 d) 5x - 4y +z - 34 = 0

11.Dané sú body A,B a priamka p, A = [3;-1],B = [4;9], p...

...3x - 4y +19 = 0. Zistite polohu bodov A,B vzhľadom

na priamku p.

a) A p, B p b) A polr pB

c) A polr pB d) A p, B p

12.Z nasledujúcich vektorov vyberte ten, ktorého veľkosť

nie je 13:

a) [0;0;13] b) [3;4;12] c) [13;13;13]

13.Analytické vyjadrenie polroviny, ktorej hraničná priamka

prechádza bodmi A = [1;0], B = [0;1] a ktorá obsahuje

počiatok súradnicovej sústavy, je:

a) x + y - 1 0 b) x + y - 1 0 c) x - y - 1 0

14.V rovnici priamky 3x + 4ay - 2 = 0 určte koeficient a

taký, aby táto priamka prechádzala priesečníkom priamok

x -y +1 = 0, 2x + y + 5 = 0.

a) a = 2 b) a = 0 c) a = -2 d) a = 1

15.Dané sú body A = [3;2;7],B = [4;1;6], C = [4;1;7]. Určte

odchýlku vektorov B - A a C - A.

a) cos =

b) cos =

c) cos =

129

d) cos =

16.Dané sú body A = [ 3; 2;-5 ], B = [ 3+ 2;0;-3 ],

K = [3+ 2;0;-5], L = [3+ 2;0;-4]. Určte odchýlku priamok

AB, KL.

a) = 60

b) = 120

c) = 45

d) = 135

17.Určte vzdialenosť m rovnobežných rovín daných rovnicami

11x - 2y - 10z + 15 = 0, 11x - 2y - 10z + 14 = 0.

a) m = 1 b) roviny nie sú rovnobežné

c) m = 1/2 d) m = 1/15

4.3 Lineárne útvary v priestore - polohové úlohy

Obsah

Pojmy: bod, priamka a rovina v priestore, rovnobeţné, rôznobeţné a mimobeţné priamky, rovnobeţ-

nosť a rôznobeţnosť priamky a roviny, rovnobeţné a rôznobeţné roviny, priesečnica dvoch rovín, rez

telesa rovinou, súmernosť podľa bodu.


rovnobeţné (rôznobeţné) priamky leţia v jednej rovine, mimobeţné priamky neleţia v jednej rovi-

ne,

rovnobežné priamky majú rovnaké smerové vektory,

rovnobežné roviny majú rovnaké normálové vektory,

smerový vektor priamky rovnobežnej s rovinou je aj smerovým vektorom roviny,

priesečnice roviny s dvoma rovnobeţnými rovinami sú rovnobeţné,

priamky (roviny) súmerné podľa bodu sú rovnobežné.


Ţiak vie

opísať moţnosti pre vzájomné polohy ľubovolných dvoch lineárnych útvarov,

rozhodnúť o vzájomnej polohe dvoch lineárnych útvarov daných súradnicami bodov, rovnicami

priamok a rovín, alebo pomocou ich obrazu vo volnom rovnobeţnom premietaní,

určiť súradnice spoločného bodu alebo rovnicu spoločnej priamky použitím analytickej metódy

alebo voľného rovnobežného premietania,

súradnicami určiť bod, ktorý je súmerný k danému bodu podľa daného bodu,

parametrickými rovnicami opísať priamku, ktorá je súmerná k danej priamke podľa daného

bodu,

rovnicou opísať rovinu

- prechádzajúcu daným bodom rovnobežne s danou rovinou,

130

- súmernú s danou rovinou podľa daného bodu,

zostrojiť vo voľnom rovnobeţnom priemete jednoduchého telesa (kocky, resp. hranola) priesečník

priamky (určenej 2 bodmi leţiacimi v rovinách stien kocky, resp. hranola) s rovinou steny daného

telesa,

zostrojiť rovinný rez kocky, kvádra, pravidelného hranola a pravidelných ihlanov rovinou urče-

nou tromi bodmi leţiacimi v rovinách stien, z ktorých aspoň dva leţia v tej istej stene daného telesa.

Príklady:

1. Najvzdialenejší bod

Bod K je stredom hrany CD kocky ABCDEFGH, bod L je stredom

jej hrany BF. Ktorý z uvedených bodov má od roviny EKG najväčšiu

vzdialenosť? (Návod: predstavte si kocku pri pohľade zo smeru

kolmého na rovinu BFHD.)

a) A b) H c) L d) D e) F


Daná je kruţnica k: x2 + y

2 + 4x = 0. Akú rovnicu má kruţnica so stredom v bode S 3;1 a s rov-

nakým polomerom ako kruţnica k?

a) (x – 1)2 + (y – 3)

2 = 4 b) (x – 1)

2 + (y + 3)

2 = 4 c) (x – 1)

2 + (y + 3)

2 = 2

d) (x + 1)2 + (y – 3)

2 = 2 e) (x + 1)

2 + (y – 3)

2 = 4

3. Štvorboký ihlan

Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDV. Koľko hrán tohto ihlana le- ţí

na priamkach mimobeţných s priamkou AD?

a) Ani jedna. b) Jedna. c) Dve.

d) Tri. e) Štyri.

4. Mnohosten

Aký mnohosten vznikne odrezaním štvorstenov EBGF a ACHD z kocky

ABCDEFGH?

a) štvorsten b) šesťsten c) osemsten

d) desaťsten e) dvanásťsten

5.

Dané sú body

A [2;7;4]

B [5;7;4]

C [5;3;4]

Pre vektory B-A, B-C platí, ţe ich skalárny súčin je rovný:

A. 7

B. 0

C. 12

D. -4

131

E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna

6.

Dané sú body

A [2;7;4]

B [5;7;4]

C [5;3;4]

V [3,5;5;4]

. Pre vektory C-A, V-B platí, ţe:

A. sú lineárne závislé

B. sú na seba kolmé

C. sú rovnobeţné

D. majú uhol π/4


7.

Dané sú body

A [2;7;4]

B [6;3;4]

C [4;5;4]

D [4;5;4]

Vektory B-A, D-C majú uhol:

A. 0 rad

B. Π rad

C. π/2 rad

D. π/3 rad


8.

Dané sú body

A [2;7;4]

B [6;7;4]

C [6;3;4]

D [4;5;4]

Priamky AB, DC sú navzájom

A. rovnobeţné

B. totoţné

C. rôznobeţné

D. mimobeţné


9.

Dané sú body

A[2;7;4], B[6;7;4],C[6;3;4],D[2;3;4]

Priamky AB, GH sú navzájom

A. rovnobeţné

B. totoţné

C. rôznobeţné

D. mimobeţné

132


10.

Rovnica roviny, ktorá je rovnobeţná s rovinou x + y + z - 6 = 0 a prechádza bodom A[2;3;4] sústavy

vzdialenosť√3, je:

A. 2x + 2y + 2z - 18 = 0

B. 2x + 3y + 4z - √3 = 0

C. 3x + 3y + 3z - 3 = 0

D. 5x + 5y + 5z + 5 = 0


11.

Pre odchýlku rovín x - 2y + 2z - 1 = 0, 2x + 2y + 1z + 13 = 0 platí, cos α =:

A. ´

B. 0

C. -2/7

D. -1/2


12.

Rovnica roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín x - y + 1 = 0, 2x + y + z = 0 a je kolmá na rovinu

2x + y + z + 3 = 0, je

A. 4x + 7y - z + 6 = 0

B. 4x + y - 7z + 6 = 0

C. 4x + 7y + z + 6 = 0

D. 4x + y + 7z + 6 = 0


13.

Vzájomná poloha priamky AB, A[3;-5;3],B[0;2;1] a priamky p: x = t, y = 1 - 2t, z = 3, tεR je:

A. mimobeţné

B. totoţné

C. rôznobeţné a kolmé

D. rôznobeţné, ale nie kolmé

E. rovnobeţné, rôzne

14.

Rovina α: 2x + y + z + 4 = 0 a priamka p: x =3 + t, y = 2 + 2t, z = 2 - t, tεR majú uhol:

A. 30°

B. 60°

C. 45°

D. 0°

E. 90°

4.4 Lineárne útvary v priestore - metrické úlohy

Obsah

Pojmy: uhol dvoch priamok, kolmosť priamok a rovín, priamka kolmá k rovine, uhol dvoch rovín,

kolmý priemet bodu a priamky do roviny, vzdialenosť dvoch lineárnych útvarov (dvoch bodov, bodu od

roviny, bodu od priamky, vzdialenosť rovnobeţných a mimobežných priamok, priamky a roviny s ňou

133

rovnobeţnej, vzdialenosť rovnobeţných rovín), uhol priamky s rovinou, súmernosť bodov podľa

priamky a roviny.


vyjadrenie uhla dvoch priamok pomocou ich smerových vektorov,

vzťah medzi uhlom dvoch rovín a uhlom ich normálových vektorov,

vzorec alebo postup výpočtu vzdialenosti bodu od roviny,

určenie uhla (špeciálne kolmosti) priamky a roviny pomocou smerového vektora priamky

a normálového vektora roviny,

ak je priamka kolmá na dve rôznobežné priamky roviny, tak je kolmá na rovinu.


Ţiak vie

na zobrazených telesách označiť

- úsečky, ktorých skutočná veľkosť predstavuje vzdialenosť daných lineárnych útvarov,

- uhly, ktorých skutočná veľkosť predstavuje uhol daných lineárnych útvarov,

vypočítať, alebo v jednoduchých prípadoch graficky určiť (t.j. narysovať v skutočnej veľkosti)

- uhol (špeciálne pravý),

- vzdialenosť

lineárnych útvarov daných svojimi rovnicami alebo obrazom vo voľnom rovnobežnom premieta-

ní,

súradnicami určiť bod,

- ktorý je kolmým priemetom daného bodu do danej roviny,

- súmerný k danému bodu podľa danej roviny.

Príklady:

1. Priamka kolmá na rovinu

Kocka ABCDEFGH na obrázku má dĺţku hrany 1. Jej tele-

sová uhlopriečka DF je kolmá na rovinu

a) x – y + z = 0 b) x + y – z + 2 = 0 c) x – y – z = 0

d) x + y + z – 2 = 0 e) – x – y + z = 0

2. Najmenšia vzdialenosť

V rovine je daný bod M 8;4 a kruţnica k: (x – 1)2 + (y – 4)

2 = 9. Aká najmenšia môţe byť vzdia-

lenosť medzi bodom M a bodom kruţnice k?

a) 1 b) 2 c) 4 d) 7 e) 10

3. Bod

Ktorý z uvedených bodov leţí na priamke p: x – 2y + 6 = 0 a súčastne je rovnako vzdialený od obi-

dvoch súradnicových osí?

a) A 3;3 b) B 2;2 c) C 4;2 d) D 8;8 e) E 5;4

4. Priamka q

Priamka q kolmá na priamku p: x + 2y + 4 = 0 a prechádzajúca bodom 3;2 má rovnicu

134

a) 2x – y + 1 = 0. b) 2x – y + 7 = 0. c) x – 2y + 8 = 0. d) x – 2y + 1 = 0. e) 2x + y + 1 = 0.

5.


A[5;7;3]

B[1;5;3]

C[6;2;8]

Parametrická rovnica roviny ABC je:…………………………………….

a)

α: x = 5 -4t + 1s

x = 7 + -2t + -5s

x = 3 + 0t + 5s t,sεR

b)

α: x = 5 + 4t + 1s

x = 7 + -2t + -5s

x = 3 + 0t + 5s t,sεR

c)

α: x = 5 + 4t - 1s

x = 7 + -2t + -5s

x = 3 + 0t + 5s t,sεR

d)

α: x = 5 + -4t + 1s

x = 7 -2t -5s

x = 3 + 0t - 5s t,sεR

e)

α: x = 5 + -4t + 1s

x = 7 + 2t + -5s

x = 3 + 0t + 5s t,sεR

6.


A[3;7;3]

B[1;4;3]

C[6;2;5]

Všeobecná rovnica roviny ABC je:…………………………………….

135

A) -6x + 4y + 19z -67 = 0

b) -6x + 4y + 19z -67 = 0

c) 6x + 4y + 19z -67 = 0

d) -6x - 4y + 19z -67 = 0

e) -6x + 4y + 19z + 67 = 0

7.


A[2;3]

B[5;7]

C[9;3]

Výška na stranu b trojuholníka ABC má dĺţku: …………………….

f) 4 b) 6 c) 8 d) 5 e) 4

8.


A[-1;3;5]

B[3;-5;1]

C[4;-8;-4]


a)

p: x = -1 + 4t

y = 3 + -8t

z = 5 + -4t ,tεR

b)

p: x = -1 + 4t

y = 3 + 8t

z = 5 + 4t ,tεR

c)

p: x = -1 + 4t

y = 3 + -8t

z = 5 -4t ,tεR

d)

p: x = -1 + 4t

y = 3 + 8t

z = 5 + -4t ,tεR

e)

p: x = -1 + 4t

136

y = 3 + -8t

z = -5 + -4t ,tεR

9.


A[-3;7;3]

B[1;2;3]

C[-5;2;5]

Parametrická rovnica roviny ABC je:

a)

α: x = -3 + 4t + -2s

x = 7 + -5t + -5s

x = 3 + 0t + 2s t,sεR

b)

α: x = -3 + 4t + -2s

x = 7 + -5t + -5s

x = 3 + 0t + 2s t,sεR

c)

α: x = -3 + 4t + -2s

x = 7 + -5t + -5s

x = 3 + 0t + 2s t,sεR

d)

α: x = -3 + 4t + -2s

x = 7 + -5t + -5s

x = 3 + 0t + 2s t,sεR

e)

α: x = -3 + 4t + -2s

x = 7 + -5t + -5s

x = 3 + 0t + 2s t,sεR

10.


A[-3;7;3]

B[1;2;3]

C[-5;2;5]

Všeobecná rovnica roviny ABC je

a) -5x -4y -15z + 58 = 0

137

b) -5x -4y -15z + 58 = 0

c) -5x + 4y + -15z + 58 = 0

d) 5x -4y + -15z + 58 = 0

e) -5x -4y + -15z - 58 = 0

11.

Dané sú roviny

φ: 2x + 3y + 2z + 5 = 0

ε: 4x + -6y + 5z + 2 = 0

Veľkosť uhla rovín v radiánoch je:

a) 1,57079633 (90°)

b) 0,78537981 (45°)

c) 3,141592 (180°)

d) 0 (0°)

e) nemá zmysel

12.

Dané sú roviny

φ: x + y + 5 = 0

ε: 4x + 2 = 0

Veľkosť uhla rovín v stupňoch je:

a) 45°

b) 90°

c) 135°

d) 0°

e) 27,5°

13.

Dané sú roviny

φ: x + y + z + 5 = 0

ε: 4x + 2y + z + 2 = 0

Veľkosť uhla rovín v stupňoch je:

a) 28,12551°

b) 45°

c) 90°

d) 22,5°

e) 7°

14.

Daná je priamka p a rovina φ

p: x = 2+3t

138

y = 2+2t

z = 2+2t tεR

φ: 2x + 2y + 2z + 5 = 0

Uhol priamky a roviny v stupňoch je:

a) 78,57825°

b) 45°

c) 0°

d) 90°

e) 32,233°

15.


p: x = 1+-3t

y = 2+1t

z = 3+2t tεR

φ: 2x + 2y + 2z + 5 = 0


a) 0°

b) 45°

c) 32,4°

d) 90°

e) 13°

16.


p: x = -3+2t

y = 1+4t

z = 2+6t tεR

φ: 3x + 2y + 4z + 5 = 0


a) 70,55374°

b) 37,34581°

c) 0°

d) 42°

e) 7,35795°

17.

Dané sú priamky p,q v E3

139

p: x = 2+3t

y = 2+2t

z = 2+2t tεR

q: x = 1+3l

y = 2+5l

z = 3+4l lεR

Uhol priamok p,q v stupňoch je:

a) 22,16635°

b) 22,5°

c) 45°

d) 65,23458°

e) 90°

4.5 Telesá

Obsah

Pojmy: teleso, mnohosten, vrchol, hrana, stena, kocka, sieť kocky, hranol, kolmý a pravidelný hranol,

kváder, rovnobeţnosten, ihlan, zrezaný ihlan, štvorsten, pravidelný štvorsten, podstava, výšky

v štvorstene, pravidelné mnohosteny, guľa a jej časti, valec, kuţeľ, objemy a povrchy telies a ich častí.


vzorce pre výpočty objemov a povrchov telies a ich častí.


Ţiak vie

rozhodnúť, či daná sieť je sieťou telesa daného obrazom vo voľnom rovnobeţnom premietaní,

načrtnúť sieť telesa daného obrazom vo voľnom rovnobeţnom premietaní,

riešiť úlohy, ktorých súčasťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádra, pravidelného kolmé-

ho hranola, rovnobežnostena, pravidelného ihlana, (aj zrezaného), gule a jej častí, valca, kuţeľa a

telies zložených z týchto telies a vie pri tom nájsť a aktívne pouţiť vzorce pre výpočet objemov a

povrchov telies potrebné pre vyriešenie úlohy.

Príklady:

1. Hranol

Pravidelný 10-boký hranol má

a) 10 vrcholov a 10 hrán b) 10 vrcholov a 30 hrán c) 20 vrcholov a 10 hrán

d) 20 vrcholov a 20 hrán e) 20 vrcholov a 30 hrán

2. Strecha

Strecha rodinného domu zobrazená na obrázku má tvar pra-

videlného štvorbokého ihlana s výškou 3m. Koľko m2

140

nej krytiny je potrebných na pokrytie strechy?

a) 80 m2 b) 96 m

2 c) 112 m

2 d) 144 m

2 e) 192 m

2

3. Odrezané štvorsteny

Štvorsten ACHF vznikol z kocky ABCDEFGH

s hranou dlhou 6 cm „odrezaním“ štyroch štvorstenov,

zhodných so štvorstenom EAFH. Aký je objem štvor-

stena ACHF?

a) 72 cm3 b) 108 cm

3 c) 135 cm

3

d) 144 cm3 e) 162 cm

3

4. Teleso ABCK

Daná je kocka ABCDEFGH s hranou dĺţky 1. Bod K je vnútorným bodom

hrany EF. Aký objem má teleso ABCK?

a) 6

1 b)

4

1 c)

3

1 d)

2

1

e) Objem telesa ABCK sa z uvedených údajov nedá určiť.

5. Moderná socha

Na obrázku je moderná socha, ktorá vznikla vyrezaním kvádra z kusu kameňa, ktorý mal tvar koc-

ky. Objem kamennej kocky bol 512 dm3. Aký povrch má socha?

a) 320 dm2 b) 336 dm

2 c) 384 dm

2 d) 468 dm

2

e) Bez ďalších údajov nemoţno povrch sochy určiť.

6. Ťažidlo

Duté sklenené ťaţidlo na spisy má tvar pravidelného ihlana so štvorcovou podstavou. Podstava ťa-

ţidla má rozmery 6 cm x 6 cm, výška ťaţidla je 6 cm. Hrúbku skla zanedbávame. Keď ťaţidlo stojí

na svojej štvorcovej podstave, je presne do polovice svojej výšky naplnené farebnou tekutinou.

Koľko cm3 tekutiny obsahuje?

a) 189 cm3 b) 63 cm

3 c) 60 cm

3 d) 54 cm

3 e) 36 cm

3

7. Kolaloka

Nápoj Kolaloka plnia v závode do plechoviek v tvare valca s priemerom podstavy 8 cm a výškou 9

cm. Z prieskumu trhu vyplynulo, ţe lepšie by sa predávali plechovky s polovičným objemom

a priemerom podstavy 6 cm. Akú výšku majú mať nové plechovky?

a) 6,75 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 10,25 cm e) 12 cm

8. Telesová uhlopriečka

Ktorý z uvedených vzťahov správne vyjadruje závislosť povrchu kocky S od dĺţky u telesovej uh-

lopriečky?

141

a) S = 6.u2 b) S =

2

.2 2u c) S = 3.u

2 d) S = 3 .u

2 e) S = 2.u

2

9. Objem

Ak guľa s polomerom r má objem 8 m3, potom guľa s polomerom 2r má objem

a) 16 m3. b) 24 m

3. c) 64 m

3. d) 96 m

3. e) 128 m

3.

10. Hranol

Koľko vrcholov a koľko stien má hranol s 33 hranami?

a) 11 vrcholov a 13 stien b) 11 vrcholov a 33 stien c) 13 vrcholov a 22 stien

d) 22 vrcholov a 22 stien e) 22 vrcholov a 13 stien

Ihlan

11. Urči povrch pravidelného štvorbokého ihlana, keď je daný jeho objem V = 120 a uhol bočnej

steny s rovinou podstavy je α = 42°30´.

a) 200,7 b) c) d) e)

12. Urči objem pravidelného osembokého ihlana, ktorého výška v = 100 a uhol bočnej hrany s rovi-

nou podstavy je α = 60°. (314300)

a) b) c) d) e)

13. Podstava kolmého ihlana je obdĺţnik s obsahom P = 180; súčet obsahov bočných stien je 384 a

objem ihlana V = 720. Urči rozmery telesa. (18; 10)

a) b) c) d) e)

14. Pravidelný štvorboký ihlan ABCDV má dĺţky hrán: AB=10, AV=13. Urči povrch.

a) b) c) d) e)

15. Pravidelný štvorboký ihlan ABCDV má obsah podstavy rovný 16 a objem rovný 16/3. Aká je

dĺţka hrany AV?

a) b) c) d) e)

16. Pravidelný trojbojý ihlan ABCV má dĺţky hrán: AB=6, AV=5. Jeho povrch je…

a) b) c) d) e)

17. Ihlan ABCDV má dĺţky strán: AB=4, AV=7. Aká je jeho výška?

a) b) c) d) e)

Zrezaný ihlan

18. Jama má tvar pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana. Hrany podstáv majú dĺţky a1=14m,

a2=10m. bočné steny majú sklon 45°. Koľko m3 zeminy sa vykopalo? (2; 290,7)

142

)12;5;15;52(

a) b) c) d) e)

19. Pravidelný šesťboký zrezaný ihlan má podstavné hrany a1=65, a2=25 a bočnú hranu b=85. Vy-

počítaj objem telesa. a) 420560 b) c) d) e)

20. Zrezaný pravidelný štvorboký ihlan má objem V = 1281cm3, výšku v = 7cm a obsah dolnej zá-

kladne je o 81 cm2 väčší ako obsah hornej základne. Urči obsah hornej základne.

a) 144 b) c) d) e)

Kuţeľ

21. Urči objem telesa, ktoré vznikne rotáciou trojuholníka okolo strany a, keď je dané: b = 25, α =

78°, γ = 48°.

a) b) c) d) e)

22. Rotačný kuţeľ má výšku v = 6; jeho plášť má číselne toľko m2 , koľko m

3 jeho objem. Urči

uhol φ pri vrchole v osovom reze kuţeľa. ()

a) 60° b) c) d) e)

23. Urči objem šikmého kuţeľa, ktorého podstava má polomer r = 10, najdlhšia strana zviera s ro-

vinou podstavy uhol α = 42°10´, najkratšia strana uhol β = 115°20´. (1327; 3321)

a) b) c) d) e)

24. Kuţeľ má objem 34. Ak polomer podstavy zmenšíme na jeho polovicu a výšku zväčšíme na jej

dvojnásobok, objem nového kuţeľa bude…

a) b) c) d) e)

Zrezaný kuţeľ

25. Povrch zrezaného rotačného kuţeľa so stranou s = 13 cm je S = 510π cm2. Urči polomery pod-

stáv, keď ich rozdiel dĺţok je 10cm. ()

a) 15; 5 b) c) d) e)

26. Rotačný kuţeľ rozdeľ rovinou rovnobeţnou s podstavou na dve časti s rovnakým povrchom.

a) b) c) d) e)

27. Zrezaný rotačný kuţeľ má podstavy s polomermi r1 = 8 cm, r2 = 4 cm a výšku v = 5 cm.Aký je

objem kuţeľa, z ktorého zrezaný kuţeľ vznikol?

a) 670,22 b) c) d) e)

5. KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA

5.1 Kombinatorika a pravdepodobnosť

Obsah

Pojmy: (kombinatorické) pravidlo súčtu, (kombinatorické) pravidlo súčinu, permutácie, variácie a va-

riácie s opakovaním, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník, binomická veta,

pravdepodobnosť, doplnková pravdepodobnosť, „geometrická“ pravdepodobnosť, náhodný jav, nezá-

vislé javy.


n! = 1.2.3. … . n, 0! = 1,

)!(!

!

knk

n

k

n,

k

nnCk )( ,

)!(

!)(

kn

nnVk , !nPn ,

kn

n

k

n,

1

1

1 k

n

k

n

k

n ,

binomická veta,

pre pravdepodobnosť P udalosti A platí 1)(0 AP ,

1)()( APAP , kde A je doplnková udalosť k udalosti A,

pravdepodobnosť istej udalosti je 1,

)()()( BPAPBAP , ak A, B sú nezávislé javy.


Ţiak vie

riešiť jednoduché kombinatorické úlohy

- vypisovaním všetkých moţností, pričom

- vie vytvoriť systém (strom logických moţností) na vypisovanie všetkých moţností (ak sa

v tomto strome vyskytujú niektoré moţnosti viackrát, vie určiť násobnosť ich výskytu),

- dokáţe objaviť podstatu daného systému a pokračovať vo vypisovaní všetkých moţností,

- na základe vytvoreného systému vypisovania všetkých moţností určiť (pri väčšom počte

moţnosti algebraickým spracovaním) počet všetkých moţností,

- pouţítím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu,

- vyuţitím vzorcov pre počet kombinácií, variácií, variácií s opakovaním a permutácií,

- použitím rekurentného prístupu,

pouţiť pri úprave výrazov rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy (pozri 1.4 Čísla, premenné,

výrazy),

pre konkrétne n a k nájsť koeficient pri mocnine knk

ba v mnohočlene n

ba )( ,

rozhodnúť

- o závislosti javov A, B, ak pozná )(),( BPAP a )( BAP ,

- v jednoduchých prípadoch o správnosti pouţitia rovnosti )()()( BPAPBAP ,

riešiť úlohy na pravdepodobnosť, zaloţené na

144

- hľadaní pomeru všetkých priaznivých a všetkých moţností, resp. všetkých nepriaznivých a

všetkých priaznivých moţností, ak vie tieto počty určiť riešením jednoduchých kombinatoric-

kých úloh,

- doplnkovej pravdepodobnosti,

- využití „geometrickej“ pravdepodobnosti

Príklady:

Kombinatorika 1. Koľko 5-miestnych čísel bez opakovania moţno zostaviť z číslic: 0, 1, 3, 4, 7?

a) 96 b) 95 c) 97 d) 128 e) 1

2. Koľko párnych 5-miestnych čísel bez opakovania?

a) 32 b) 33 c) 34 d) 120 e) 256

3. Koľko 6-miestnych čísel bez opakovania moţno zostaviť z číslic: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa čísla majú

začínať číslicou 4

a) 120 b) 240 c) 4 d) 24 e) 40

4. Koľko 6-miestnych čísel bez opakovania moţno zostaviť z číslic: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa čísla majú

začínať číslicou 4 alebo 5?

a) 240 b) 120 c) 4 d) 24 e) 40

5. Koľko jedno- aţ 4-miestnych čísel moţno zostaviť z číslic: 0, 2, 4, 6?

a) 49 b) 50 c) 58 d) 12 e) 24

6. Koľko je všetkých trojciferných prirodzených čísel?

a) 900 b) 500 c) 1200 d) 800 e) 100

7. Koľko prvkov máme daných, keď variácií tretej triedy utvorených z prvkov je 5-krát viac neţ variá-

cií druhej triedy?

a) 7 b) 49 c) 9 d) 34 e) 5

8. Koľko prvkov dá 32 220 variácií druhej triedy?

a) 180 b) 92 c) 128 d) 256 e) 150

9. Keď sa zväčší počet prvkov o 1, zväčší sa počet kombinácií tretej triedy o 21. Koľko je daných prv-

kov?

a) 7 b) 6 c) 8 d) 5 e) 9

145

10. Koľko prvkov treba vziať, aby počet variácií 3.triedy utvorených z týchto prvkov bez opakovania sa

rovnal počtu kombinácií 3.triedy zväčšenému o 5-násobok počtu prvkov?

a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 2

11. Koľko prvkov dá o 441 kombinácií 3.triedy s opakovaním viac neţ bez opakovania?

a) 21 b) 22 c) 19 d) 20 e) 16

12. Koľko rôznych signálov moţno utvoriť z piatich zástaviek rôznych farieb, ak vedľa seba stoja tri

zástavky(trikolóry)

a) 60 b) 54 c) 38 d) 48 e) 18

13. Koľko rôznych signálov moţno utvoriť z piatich zástaviek rôznych farieb, ak vedľa seba stoja 2

zástavky(bikolóry) ?

a) 20 b) 30 c) 18 d) 26 e) 12

13. Koľkými spôsobmi moţno odmeniť 1., 2. a 3. cenou 13 účastníkov športovej súťaţe?

a) 1716 b) 1534 c) 3 d)13 e) 9

14. Koľkými priamkami moţno spojiť 10 bodov, keď tri z nich leţia na jednej priamke?

a) 43 b) 10 c) 100 d) 21 e) 7

15. V koľkých bodoch sa pretína 9 priamok, z ktorých sú 4 navzájom rovnobeţné?

a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38

16. V triede je 18 chlapcov a 14 dievčat. Koľkorakým spôsobom moţno zvoliť do triedneho výboru 3

zástupcov, ak to majú byť samí chlapci

a) 4896 b) 2448 c) 120 d) 18 e) 32


zástupcov, ak to majú byť samé dievčatá

a) 2184 b) 1092 c) 18 d) 120 e) 32

146


zástupcov, ak to majú byť 2 chlapci a jedno dievča?

19. a) 4284 b) 2142 c) 18 d) 120 e) 32

20. Učiteľ má 20 geometrických a 30 aritmetických príkladov. Na úlohu má vybrať 1 geometrický a 2

aritmetické. Koľko má moţností zostaviť rôzne úlohy?

a) 17400 b)8700 c) 3 d) 50 e) 15

21. Na maturitnom večierku je 24chlapcov a 15 dievčat. Koľko rôznych párov môţu vytvoriť?

a) 360 b) 24 c) 15 d) 180 e) 39

22. Koľkými spôsobmi môţeme usadiť za stôl 5 hostí?

a) 120 b) 25 c) 20 d) 240 e) 256

23. V lavici sedí 5 ţiakov, z ktorých dvaja sú kamaráti. Koľkými spôsobmi ich môţeme posadiť,

aby kamaráti sedeli vedľa seba?

a) 48 b) 24 c) 5 d) 7 e) 12

24. V obchode majú 9 druhov pohľadníc. Koľkými spôsobmi moţno kúpiť 14?

a) 319770 b) 14 c) 2500 d) 924 e) 23

25. Na poličke treba zostaviť vedľa seba 3 zelené, 2 červené a 2 ţlté hrnčeky, koľko rôznych spôso-

bov rozostavenia môţe vzniknúť?

a) 210 b) 320 c) 420 d) 7 e) 24

26. Na poličke treba zostaviť vedľa seba 3 zelené, 2 červené a 2 ţlté hrnčeky, koľko rôznych spôso-

bov rozostavenia môţe vzniknúť, ak hrnčeky rovnakej farby stoja vedľa seba?

a) 6 b) 5 c)7 d) 256 e) 128

27. Chcete zasadiť 6 okrasných stromčekov vedľa seba. Máte k dispozícií stromčeky A, B, C, D, E,

F rôzneho druhu. Tri stromčeky musia byť zasadené za pravom okraji poradí A, B, C. urči koľ-

korakým spôsobom to moţno urobiť, keď všetky zasadené stromčeky sú rôzne

a) 6 b) 5 c) 8 d) 256 e) 128

147

28. Zamestnávate 10 pracovníkov. Vytvárate štvorčlenné pracovné skupiny. Štyria pracovníci chcú

pracovať v tej istej skupine. Zistite, koľkými spôsobmi môţete skupiny vytvoriť, ak poţiadavku

4 pracovníkov nerešpektujete.

a) 210 b) 105 c) 240 d) 128 e) 256

29. Zamestnávate 10 pracovníkov. Vytvárate štvorčlenné pracovné skupiny. Štyria pracovníci chcú

pracovať v tej istej skupine. Zistite, koľkými spôsobmi môţete skupiny vytvoriť, ak poţiadavku

4 pracovníkov rešpektujete.

a) 16 b) 14 c) 12 d) 24 e) 128

30. Chcete zasadiť 6 okrasných stromov. Máte k dispozícií 8 rôznych typov stromov. Dva stromy

A,B musia byť zasadené na ľavom okraji. Koľkorakými spôsobmi to môţete urobiť, ak všetky

zasadené stromčeky musia byť rôzne?

a) 120 b) 240 c)16 d) 32 e) 48

31. V aleji chcete zasadiť 4 okrasné stromy rôzneho typu z piatich druhov A, B, C, D, E. Zistite,

koľkorakým spôsobom to môţete urobiť.

a) 120 b) 240 c) 16 d) 32 e) 48

32. V aleji chcete zasadiť 4 okrasné stromy rôzneho typu z piatich druhov A, B, C, D, E. Zistite,

koľkorakým spôsobom to môţete urobiť, ak strom A je na ľavom okraji

a) 24 b) 12 c) 120 d) 240 e) 48

33. Koľko 4-ciferných čísel s rôznymi ciframi moţno zostaviť z cifier 0,1,2,3,4,5,6?

a) 720 b) 360 c) 120 d) 240 e) 48

34. Koľkými spôsobmi môţete zostaviť 5-členné basketbalové druţstvo chlapcov, ak máte k dispo-

zícií 7 chlapcov a 8 dievčat?

a) 21 b) 42 c) 36 d)15 e) 30

35. Koľkými spôsobmi môţete zostaviť 5-členné basketbalové druţstvo dievčat, ak máte k dispozí-

cií 7 chlapcov a 8 dievčat?

a) 56 b) 42 c) 36 d) 15 e) 30

36. Koľkými spôsobmi môţete zostaviť 5-členné basketbalové druţstvo5-členné druţstvo s dvomi

chlapcami a tromi dievčatami, ak máte k dispozícií 7 chlapcov a 8 dievčat?

148

a) 1176 b) 2332 c) 36 d) 15 e) 30

37. Koľko rôznych 5-ciferných čísel moţno napísať z číslic 1,2,3,4,5 tak, aby sa kaţdá číslica vy-

skytovala len raz?

a) 120 b) 240 c) 36 d) 15 e) 30

38. Koľko rôznych 5-ciferných čísel deliteľných štyrmi moţno napísať z číslic 1,2,3,4,5 tak, aby sa

kaţdá číslica vyskytovala len raz?

a) 24 b) 36 c) 5 d) 25 e) 45

39. Koľko rôznych 5-miestnych čísel moţno zostaviť z číslic 3,4,4,4,2?

a) 20 b) 24 c) 5 d) 25 e) 45

40. Koľkými spôsobmi moţno rozdať 32 kariet dvom hráčom tak, aby kaţdý dostal práve dve esá?)

a) 240699600 b) 32 c)64 d) 128 e) 4

41. Koľkými spôsobmi moţno zostaviť druţstvo obsahujúce troch chlapcov a tri dievčatá z triedy, v

ktorej je 15 chlapcov a 10 dievčat?

a) 54600 b) 25 c) 5 d) 128 e) 256

42. V rade sedí 5 dievčat, medzi nimi sú dve sestry. Koľkokrát môţeme dievčatá presadiť, aby ses-

try sedeli vedľa seba?

a) 48 b) 5 c) 7 d) 128 e) 14

43. Súčet kombinácií tretej triedy z "n" prvkov a druhej triedy z "n" prvkov je 15-násobkom čísla

"n-1". Vypočítaj n.

a) 9 b) 8 c) 6 d) 4 e) 7

44. Pomer variácií "k"-tej triedy a kombinácií "k"-tej triedy z "n" prvkov je 120. Vypočítaj "k".

a) 5 b) 4 c) 6 d) 12 e) 120

Nájdi počet všetkých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zostaviť z číslic 1,2,3,4 a pre ktoré

platí súčasne ešte táto podmienka: v kaţdom čísle sa kaţdá číslica vyskytuje najviac raz

a) 24 b) 25 c) 900 d) 128 e) 48

149

45. Nájdi počet všetkých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zostaviť z číslic 1,2,3,4 a

pre ktoré platí súčasne ešte táto podmienka: na mieste "jednotiek" je jedna z číslic 1,3,4, na

mieste "stovák" číslica 4 alebo 2.

a) 10 b) 20 c) 30 d) 50 e) 60

46 .Do školskej rady zvolili sedem ţiakov. Koľkými spôsobmi sa dá z nich vybrať predseda, pod-

predseda, tajomník a pokladník?

a) 840 b) 420 c) 210 d) 128 e) 256

46. Koľko dvojjazyčných slovníkov treba vydať, aby sa zabezpečila moţnosť priameho prekladu

ľubovoľného z piatich jazykov do ktoréhokoľvek iného z nich?

a) 20 b) 5 c) 17 d) 34 e) 40

47. Koľko je takých prirodzených štvorciferných čísel, v ktorých sa kaţdá z cifier 3,4,5,6 vyskytuje

práve raz?

a) 24 b) 12 c) 4 d) 1 e) 48

48. Zisti, koľko je párnych prirodzených čísel, v ktorých zápise sa vyskytujú iba cifry 2, 3, 4, 5, a

pritom kaţdá najviac raz.

a) 32 b) 4 c) 12 d) 1 e) 48

49. Koľko je nepárnych prirodzených čísel, v ktorých sa vyskytujú iba cifry 2, 3, 4, 5, a to kaţdá

najviac raz?

a) 32 b) 4 c) 12 d) 1 e) 48

50. Koľko prirodzených čísel väčších ako 5000 moţno utvoriť z cifier 1, 3, 5, 7, ak naviac poţadu-

jeme, aby sa ani jedna cifra neopakovala?

a) 12 b) 32 c) 4 d) 12 e) 48

51. Zisti, koľko je 8-ciferných prirodzených čísel, ktoré majú všetky cifry navzájom rôzne.

a) 1632960 b) 164 c) 8 d) 256 e) 44235

52. Zisti, koľko rozličných 6-ciferných čísel sa dá zostaviť s cifier 2,3, ak sa má v kaţdom z nich

cifra 2 vyskytovať 4-krát a cifra 3 dvakrát.

a) 15 b) 6 c) 7 d) 2 e) 56

150

53. Osem študentov má pripravené ubytovanie na internáte v troch izbách - dve sú 3-posteľové,

jedna 2-posteľová. Koľko je spôsobov rozdelenia študentov do jednotlivých izieb?

a) 560 b) 8 c) 14 d) 280 e) 1276

54. V rýchlikovej vlakovej súprave sú dva batoţinové vozne, jeden jedálensky vozeň, štyri lôţkové

vozne a tri leţadlové vozne. Koľkými spôsobmi moţno zoradiť vozne súpravy? (12 600)

a) 12600 b) 10 c) 280 d) 126 e) 1276

55. Uchádzač o prijatie na vysokú školu musí urobiť 4 skúšky. Za kaţdú úspešne urobenú skúšku

dostane 2, 3 alebo 4 body; na prijatie stačí dosiahnuť 13 bodov. Koľkými spôsobmi môţe uchá-

dzač urobiť skúšku, aby bol prijatý?

a) 31 b) 13 c) 62 d)26 e) 7

56. V osudí je 35 lístkov označených číslami 1 aţ 35. Postupne z nich vytiahneme päť, ale lístky do

osudia nevraciame späť. pritom záleţí na poradí vytiahnutých čísel. Urči počet všetkých pätíc

čísel, ktoré sa môţu vytiahnuť. (38 955 840)

a)38955840 b) 35 c) 5 d) 100148 e) 256

57. Koľko je takých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zapísať iba pouţitím cifier 2, 4,

6, 8?

a) 64 b) 32 c) 16 d) 128 e) 256

58. Koľko je takých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zapísať iba pouţitím cifier 2, 4,

6, 8 a majú všetky cifry navzájom rôzne?

a) 24 b) 4 c) 12 d) 16 e) 48

59. Koľko je takých šesťciferných čísel, ktoré moţno zostaviť z číslic 0, 1, …, 9?

a) 900000 b) 45 c) 90 d) 128 e) 100000

60. Koľko z týchto čísel má všetky cifry navzájom rôzne?

a) 136080 b) 45 c) 90 d) 128 e) 100000

61. Zo siedmich ţiakov treba vybrať štyroch, ktorí budú na brannom cvičení zastávať funkciu

hliadky. Koľkými spôsobmi ich moţno vybrať?

a) 35 b) 70 c) 11 d) 7 e) 4

151

62. Koľko je 6-ciferných prirodzených čísel , ktoré moţno zostaviť z cifier 1, 3, 6, 9?

a) 4096 b) 2048 c) 6 d)11 e) 28

63. Zisti, koľko „ešpézetiek“ by sa dalo zostaviť za týchto predpokladov: prvú časť tvorí skupina

dvoch alebo troch písmen (k dispozícií máme 28 písmen) a druhú časť tvorí 4-členná skupina

číslic.

a) 227360000 b) 28 c) 16 d) 100256 e) 924

64. Na tanečný večierok príde 12 dievčat a 15 chlapcov. Koľkými spôsobmi z nich moţno vybrať 4

tanečné páry?

a) 16216200 b) 12 c) 15 d) 27 e) 100256

Pravdepodobnosť

1. Parádivá Eva

Eva si vţdy oblieka blúzku so sukňou alebo pulóver s nohavicami. Má štyri bläzky a sedem sukní,

pričom kaţdá sukňa sa jej hodí ku všetkým blúzkam Má tri pulóvre a dvoje nohavice, pričom kaţdé

nohavice sa jej hodia ku všetkým pulóvrom. Koľkými rôznymi spôsobmi sa Eva môţe obliecť?

a) 16 b) 28 c) 34 d) 55 e) 168

2. Miss Matura

Do finále súťaţe Miss Matura postúpilo 6 maturantiek, medzi nimi aj Lucia. Porota určí poradie na

všetkých šiestich miestach, pričom ţiadne dve kandidátky neobsadia rovnaké miesto. Koľko existuje

takých výsledných poradí finalistiek, v ktorých sa Lucia umiestni na niektorom z prvých troch miest?

a) 3! b) 5! c) 5.3! d) 3.5! e)5!.3!

3. Dve družstvá

Desať dievčat a dvaja chlapci sa chcú rozdeliť na dve šesťčlenné volejbalové druţstvá tak, aby

v kaţdom druţstve bol jeden chlapec. Koľkými rôznymi spôsobmi to môţu spraviť?

a) 6

12 b)

5

10 c)

6

12.

6

12 d)

1

2

5

10 e) 2.

1

2

5

10

4. Tri udalosti

Nech m je pravdepodobnosť, ţe keď hodíme 5 korunových mincí, všetky dopadnú znakom nahor.

Nech k je pravdepodobnosť, ţe keď hodíme dve beţné hracie kocky, padne na oboch šestka. Nech

c je pravdepodobnosť, ţe keď náhodne zvolíme dvojciferné číslo, bude mať rôzne číslice. Potom

platí:

a) m>k>c b) m>c>k c) c>k>m d) k>c>m e) k>m>c

152

5. Parlament

S pripomienkami k prerokúvanému zákonu chcú v parlamente okrem poslancov Klima a Lacha vy-

stúpiť ešte ďalší štyria poslanci. Predsedajúci schôdze určil náhodne poradie diskutujúcich. Aká je

pravdepodobnosť, ţe poslanec Klimo vystúpi ihneď po poslancovi Lachovi?

a) 12

1 b)

6

1 c)

4

1 d)

3

1 e)

2

1

6. Cestovné lístky

Koľko rôznych kombinácií môţeme nastaviť na dierkovači cestovných

lístkov, ak dierkovač vydierkuje štyri alebo päť z číslic 1 aţ 9?

a) 126 b) 252 c) 2 880 d) 15 876 e) 18 144

7. Chlapec alebo dievča?

Predpokladajme, ţe pravdepodobnosť narodenia chlapca aj dievčaťa

v rodine je rovnaká. Aká je pravdepodobnosť, ţe v rodine s piatimi deťmi je najmladšie aj najstaršie

dieťa chlapec?

a) 8

1 b)

4

1 c)

5

2 d)

2

1 e)

3

2

8. Baktérie

V skúmavke bolo večer 615

baktérií. Pridaním antibiotík sa do rána ich počet o tretinu zmenšil.

Koľko baktérií zostalo v skúmavke?

a) 615

- 215

b) 615

- 65 c) 4.6

14 d) 6

10 e) 4

15

9. Falošná kocka

Pre istú falošnú kocku platí, ţe číslo 6 na nej padá dvakrát častejšie ako číslo 1 a číslo 1 na nej padá

dvakrát častejšie ako kaţdé zo zvyšných štyroch čísel. Aká je pravdepodobnosť, ţe po hode touto

kockou padne na nej číslo 6?

a) 3

1 b)

4

1 c)

9

4 d)

5

2 e)

3

2

10. Zahraničný zájazd

Na zahraničný zájazd cestuje v autobuse 46 cestujúcich, z toho 26 muţov a 20 ţien. Colníci chcú

podrobiť dôkladnej osobnej prehliadke 5 náhodne vybraných muţov a 5 náhodne vybraných ţien

z autobusu. Koľkými spôsobmi môţu vybrať týchto 10 cestujúcich?

a) !5

!20

!5

!26 b)

!5

!20.

!5

!26 c)

10

46 d)

5

20.

5

26 e)

5

20

5

26

11. Trojciferné čísla

153

Koľko existuje trojciferných prirodzených čísel, vytvorených len z párnych číslic, v ktorých je pro-

stredná číslica väčšia ako obidve krajné?

a) 240 b) 100 c) 38 d) 30 e) 20

12. Maturita

V triede s 30 ţiakmi bude prebiehať maturita 5 dní. Kaţdý deň budú maturovať traja ţiaci doobeda

a traja poobede. Poradie ţiakov sa určí náhodne. Petrovi astrológ vypočítal, ţe najlepší výsledok

dosiahne, ak bude maturovať v stredu poobede. Aká je pravdepodobnosť, ţe Peter bude maturovať

práve vtedy?

a) 4

1 b)

5

1 c)

9

4 d)

10

1 e)

30

1

13. V krabici je 26 ţiaroviek s príkonom 40W, 24 ţiaroviek s príkonom 60W a 30 ţiaroviek s prí-

konom 75W. aká je pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraná ţiarovka má príkon

60W,

Pravdepodobnosť vyjadri v percentách.

a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 57

14. V krabici je 26 ţiaroviek s príkonom 40W, 24 ţiaroviek s príkonom 60W a 30 ţiaroviek s prí-

konom 75W. aká je pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraná ţiarovka má príkon

60W alebo 75W?

a) 67,5 b) 72 c) 45 d) 54 e) 77

15. V zásielke obsahujúcej 80 ţiaroviek sú 4 ţiarovky pokazené. Aká je pravdepodobnosť, ţe ná-

hodne vybraná ţiarovka je pokazená? Pravdepodobnosť vyjadri v percentách.

a) 5 b) 7 c) 9 d) 10 e) 12

16. V klobúku je 20 červených, 16 modrých a 12 ţltých guličiek. Vyjadri v percentách pravdepo-

dobnosť, ţe náhodne vybraná gulička je

ţltá,

a) 25 b) 27 c) 29 d) 32 e)41

17. 17. V klobúku je 20 červených, 16 modrých a 12 ţltých guličiek. Vyjadri v percentách pravde-

podobnosť, ţe náhodne vybraná gulička je

ţltá alebo modrá?

a) 58,3 b) 67 c) 54 d) 38 e) 60

18. Na tácke je 24 kusov koláčov. Z toho 6 má slivkovú náplň, 10 tvarohovú a zbytok ore-

chovú náplň. Vyjadri v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný kus koláča má

slivkovú náplň,

a) 25 b) 26 c) 50 d) 34 e) 22

154

19. 19. Na tácke je 24 kusov koláčov. Z toho 6 má slivkovú náplň, 10 tvarohovú a zbytok

orechovú náplň. Vyjadri v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný kus koláča

má orechovú náplň,

a) 33,3 b) 44,4 c) 55,5 d) 66,6 e) 77,7

20. Na tácke je 24 kusov koláčov. Z toho 6 má slivkovú náplň, 10 tvarohovú a zbytok ore-

chovú náplň. Vyjadri v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný kus koláča má

tvarohovú alebo orechovú náplň.

a) (75 b) 76 c) 74 d)73 e) 77

21. Na šachovom turnaji školy sa zúčastnia: 7.ročník s počtom hráčov 5, 8.ročník s počtom

hráčov 6 a 9 hráčov z 9.ročníka. Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe vylosovaný sú-

per bude z 8.ročníka,

a) 30 b) 35 c)40 d) 45 e) 50

22. Na šachovom turnaji školy sa zúčastnia: 7.ročník s počtom hráčov 5, 8.ročník s počtom

hráčov 6 a 9 hráčov z 9.ročníka. Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe vylosovaný sú-

per nebude zo 7.ročníka.

a) 75 b) 70 c) 65 d) 60 e)55

23. Z 32 ţiakov jednej triedy malo v matematike výborný prospech 6 ţiakov, chválitebný 10

ţiakov, dobrý 12 ţiakov, dostatočný 4 ţiaci a nikto nemal nedostatočnú. Urči v percen-

tách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak tejto triedy bol hodnotený klasifikač-

ným stupňom výborný,

a) 18,75 b) 20 c)22,5 d)2,2 e) 27

24. Z 32 ţiakov jednej triedy malo v matematike výborný prospech 6 ţiakov, chválitebný 10

ţiakov, dobrý 12 ţiakov, dostatočný 4 ţiaci a nikto nemal nedostatočnú. Urči v percen-

tách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak tejto triedy bol hodnotený klasifikač-

ným stupňom chválitebný alebo dobrý

a) 68,75 b) 71 c) 72,25 d) 60 e) 53

25. Z 32 ţiakov jednej triedy malo v matematike výborný prospech 6 ţiakov, chválitebný

10 ţiakov, dobrý 12 ţiakov, dostatočný 4 ţiaci a nikto nemal nedostatočnú. Urči v per-

centách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak tejto triedy bol hodnotený klasifi-

kačným stupňom lepším neţ dobrý.

a) 50 b) 55 c)56 d) 60 e)63,5

26. V triede je 36 ţiakov. Triedna učiteľka zistila, ţe anglický časopis odoberá 12 ţiakov,

nemecký 15 ţiakov a 12 ţiakov neodoberá ani jeden časopis. Urči pravdepodobnosť, ţe

náhodne vybraný ţiak odoberá anglický časopis,

a) 1/4 b)0,3 c) 0,4 d)0,35 e)0,45



náhodne vybraný ţiak odoberá nemecký časopis

a) 1/3 b) 0,4 c)0,42 d) 0,2 e)0,25



náhodne vybraný ţiak odoberá oba časopisy súčasne?

a) 1/12 b) 0,3 c) 0,24 d) 0,8 e)0,1

155

29. Zberový referent oznámil, ţe v rámci zberu liečivých bylín 15 ţiakov triedy zbieralo

podbeľ lekársky. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8 ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţia-

kov. Urči pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbie-

ral len kvet podbeľu

a) 1/3 b) 0,2 c)0,4 d)0,44 e)0,38

30. Zberový referent oznámil, ţe v rámci zberu liečivých bylín 15 ţiakov triedy zbieralo podbeľ le-

kársky. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8 ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţiakov. Urči pravde-

podobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral len kvet

a) 7/15 b) 0.3 c) 0,2 d) 0,9 e)0,1

31. Zberový referent oznámil, ţe v rámci zberu liečivých bylín 15 ţiakov triedy zbieralo podbeľ

lekársky. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8 ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţiakov. Urči pravdepo-

dobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral kvet aj listy podbeľu?

a) 1/5 b) 0,1 c) 0,3 d) 0,4 e)0,5

32. Zo 40 ţiakov jednej triedy zbieralo podbeľ lekársky 15 ţiakov. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8

ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţiakov. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vy-

braný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral len kvet podbeľu

a) 12,5 b) 14 c) 16,5 d) 17 e) 10



braný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral len listy podbeľu

a) 17,5 b) 13 c) 15 d) 24 e) 10



braný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral zbieral kvet aj listy podbeľu?

a) 7,5 b) 8,2 c) 5 d)10 e) 4

35. Z 20 chlapcov hrajúcich futbal alebo hádzanú hraje futbal 16 chlapcov a 9 chlapcov hádzanú.

Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný chlapec hrá len futbal,

a) 55 b) 44 c) 33 d) 48 e) 30


Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný chlapec hraje len hádzanú,

a) 20 b) 25 c) 15 d) 30 e) 47


Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodným výberom chlapec hraje futbal aj hádzanú.

a) 25 b) 20 c) 15 d)30 e)40

38. Kaţdý z 25 pracovníkov jedného pracoviska ovláda aspoň jeden z jazykov: francúzština, anglič-

tina. Pritom francúzsky hovorí 19 pracovníkov a anglicky 13 pracovníkov. Vypočítaj pravdepo-

dobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný pracovník ovláda len francúzštinu,

156

a) 48 b) 45 c) 38 d) 12 e) 35

39. Kaţdý z 25 pracovníkov jedného pracoviska ovláda aspoň jeden z jazykov: francúština, anglič-


dobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný pracovník ovláda len angličtinu

a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40

40. Kaţdý z 25 pracovníkov jedného pracoviska ovláda aspoň jeden z jazykov: francúština, anglič-


dobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný pracovník ovláda obidva jazyky.

a) 25 b) 20 c) 30 d) 35 e) 40

41. Turistický krúţok usporiadal v máji dva výlety. Z 24 ţiakov tohoto krúţku sa zúčastnilo prvého

výletu 21 ţiakov, druhého 20 ţiakov. Jeden ţiak sa nezúčastnil ani na jednom výlete. Urči pravde-

podobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný ţiak sa zúčastnil len prvého výletu,

a) 12,5 b) 7,5 c) 10 d) 35 e) 28


výletu 21 ţiakov, druhého 20 ţiakov. Jeden ţiak sa nezúčastnil ani na jednom výlete. Urči prav-

depodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný ţiak sa zúčastnillen druhého výletu,

a) 8,3 b) 10 c) 35 d) 2 e)7,5


výletu 21 ţiakov, druhého 20 ţiakov. Jeden ţiak sa nezúčastnil ani na jednom výlete. Urči prav-

depodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný ţiak sa zúčastnil oboch výletov.

a) 75 b) 70 c) 55 d) 66 e) 14

44. V osudí sú guličky s číslami od 1 aţ po 25. S akou pravdepodobnosťou vytiahneme jednociferné

číslo,

a) 36 b) 34 c)30 d) 12 e)45

45. V osudí sú guličky s číslami od 1 aţ po 25. S akou pravdepodobnosťou vytiahneme prvočíslo,

a) 36 b) 34 c) 30 d) 12 e) 45

46. V osudí sú guličky s číslami od 1 aţ po 25. S akou pravdepodobnosťou vytiahneme číslo deli-

teľné dvomi alebo tromi,

a) 64 b) 68 c) 72 d) 25 e) 55

47. V osudí sú guličky s číslami od 1 aţ po 25. S akou pravdepodobnosťou vytiahneme číslo deli-

teľné dvomi a zároveň tromi?

a) 16 b) 24 c) 32 d) 55 e)

48. Pri losovaní Matesa sú v osudí čísla od 1 aţ po 35. Zisti pravdepodobnosť, ţe pri ťahaní prvého

čísla bude vylosované číslo 7

a) 1/5 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/6 e)1/12

157


čísla bude vylosované číslo deliteľné 7

a) 1/7 b) 2/7 c) 1/6 d) 1/8 e) 1/12


čísla bude vylosované jednociferné číslo

a) 9/35 b) 7/35 c) 3/35 d) 4/35 e) 6/35

51. Urči pravdepodobnosť, ţe náhodne vybrané číslo zo všetkých dvojciferných prirodzených čísel

je väčšie ako 90

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,33 d) 0,28 e)0,39


je deliteľné 5

a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6


je číslo deliteľné 5 a zároveň 3

a) 1/15 b) 1/16 c) 1/17 d) 1/99 e) 1/90

54. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo 6,

a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/25 e) 2/3

55. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo párne,

a) 1 /2 b) 1/6 c) 2/6 d) 2/3 e) 1/4

56. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo nepárne,

a) 1/2 b) 1/6 c) 1/3 d)2/3 e)1/4

57. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo deliteľné 2 alebo 3.

a) 2/3 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/2 e) 1/4

58. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo väčšie ako 4

a) 1/3 b) 1/6 c) 2/3 d) 1/2 e)1/4

59. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne prvočíslo

a) 1/2 b) 1/6 c) 1/3 d)2/3 e)1/4

60. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne zloţené číslo (1/3)

a) 1/3 b) 1/6 c) 2/3 d) 1/2 e)1/4

61. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybrané číslo z čísel 1 aţ 125 je deliteľné 5,

a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 27

158

62. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybrané číslo z čísel 1 aţ 125 má ciferný súčet

deliteľný 9,

a) 10,4 b) 11,2 c) 12,1 d) 7 e) 9

63. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybrané číslo z čísel 1 aţ 125 je deliteľný 3 a

zároveň 7.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

64. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri hode 2 kockami padne súčet 3

a) 1/18 b) 1/9 c) 1/10 d) 2/7 e) 3/8

65. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri hode 2 kockami padne súčet menší neţ 3

a) 1/36 b) 1/27 c) 1/10 d) 2/7 e) 3/8

66. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri hode 2 kockami padne súčet menší neţ 5?

a) 5/6 b) 1/27 c) 1/12 d) 10/12 e) 3/8

67. Koľkokrát je treba hodiť kockou, aby pravdepodobnosť, ţe aspoň raz padne šestka bola väčšia

ako 0,7?

a) aspoň 7-krát b) najviac 7x c) najviac 2x d) práve 7x

e) aspoň 2x

68. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri hode 6 hracích kociek padnú práve 4 rovnaké čísla?

a) 0,048 b) 0,8 c) 0,48 d) 0,1 e) 0,001

69. V debne s 30 výrobkami sú 3 chybné, urči pravdepodobnosť toho, ţe medzi 5 náhodne vybra-

nými je najviac jeden chybný.

a) 0,936 b) 0,8 c) 0,48 d) 0,1 e) 0,001

70. V prvom klobúku je 5 bielych a 2 čierne guľky. V druhom klobúku sú 3 biele a 7 čiernych. Ná-

hodne zvolíme jeden z klobúkov a vytiahneme z neho guľku. Aká je pravdepodobnosť, ţe bude

biela?

a) 0,507 b) 0,67 c) 0,1 d) 0,001 e) 0,8

71. Desať ľudí sa posadí okolo okrúhleho stola. Aká je pravdepodobnosť, ţe určitá dvojica ľudí bu-

de sedieť vedľa seba?

a) 2/9 b) 1/9 c) 4/9 d) 2/7 e) 3/5

72. Študent dostane test z 10 otázok, ku kaţdej sú moţné 4 odpovede. Aká je pravdepodobnosť, ţe

odpovie správne na polovicu otázok, ak volí odpovede náhodne?

a) 0,05836 b) 0,345 c) 0,2768 d) 0,112 e) 0,7684

73. Za dlhým stolom sedí vedľa seba 6 ţiakov. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri vyvolaní dvoch to

budú susedia?

a) 1/3 b) 2/3 c) 4/9 d) 2/7 e) 3/5

159

5.2 Štatistika

Obsah

Pojmy: diagram – graf (stĺpcový, obrázkový, kruhový, lomený, spojitý, histogram), základný súbor,

výberový súbor, rozdelenie, modus, medián, aritmetický , geometrický, harmonický priemer (aj viac

ako dvoch čísel), stredná hodnota, smerodajná odchýlka, rozptyl, triedenie.


vzťahy medzi aritmetickým a geometrickým priemerom, vrátane toho, kedy nastáva rovnosť,

vzťah pre výpočet rozptylu.


Ţiak vie

vypočítať aritmetický, geometrický a harmonický priemer daných čísel,

získavať informácie z rôznych tabuliek (napr. autobusová tabuľka) a diagramov,

spracovať údaje do vhodných diagramov,

zistiť v danom súbore modus, medián, strednú hodnotu, priemery, rozptyl, smerodajnú odchýlku

a uviesť štatistickú interpretáciu získaných výsledkov,

uviesť príklad súboru s poţadovanými podmienkami na modus, medián, strednú hodnotu, priemery,

rozptyl, smerodajnú odchýlku (pozri príklad 1),

znázorniť a vyhodnotiť namerané hodnoty,

urobiť triedenie a znázorniť ho.

Príklady

1. Pri meraní 63 ţiakov boli zistené tieto údaje o výške v centimetroch a príslušnom počte ţiakov.

Výška počet Výška počet Výška počet Výška počet

159 1 165 2 170 5 175 2

161 1 166 3 171 6 177 1

162 2 167 2 172 7 178 4

163 1 168 4 173 9 179 2

164 2 169 3 174 5 181 1

Urči aritmetický priemer znaku, ktorým je výška uvedených ţiakov.

a) 170,8 b)171,1 c) 172,7 d)175 e) 178



159 1 165 2 170 5 175 2

161 1 166 3 171 6 177 1

162 2 167 2 172 7 178 4

163 1 168 4 173 9 179 2

164 2 169 3 174 5 181 1

Urči modus znaku, ktorým je výška uvedených ţiakov.

a) 173 b) 174 c) 169 d) 171 e) 174

160



159 1 165 2 170 5 175 2

161 1 166 3 171 6 177 1

162 2 167 2 172 7 178 4

163 1 168 4 173 9 179 2

164 2 169 3 174 5 181 1

Urči medián, ktorým je výška uvedených ţiakov.

a) 171 b)172 c)168 d)169 e) 174



159 1 165 2 170 5 175 2

161 1 166 3 171 6 177 1

162 2 167 2 172 7 178 4

163 1 168 4 173 9 179 2

164 2 169 3 174 5 181 1

Urči rozptyl znaku, ktorým je výška uvedených ţiakov.

a) 21,87 b)22,1 c)17,9 d)18,2 e) 13,6



159 1 165 2 170 5 175 2

161 1 166 3 171 6 177 1

162 2 167 2 172 7 178 4

163 1 168 4 173 9 179 2

164 2 169 3 174 5 181 1

Urči smerodajnú odchýlku znaku, ktorým je výška uvedených ţiakov.

a) 4,7 b)3,7 c)5,2 d)2,9 e) 4

6. Vypočítaj aritmetický priemer súboru, x1, x2, . . . , x15, ak sa v ňom číslo 2 vyskytuje 5-krát, číslo 7

sa vyskytuje 8-krát a číslo 10 a12 raz.

a) 5,86 b)6,42 c) 5,12 d) 7,31 e) 2,67

7. Vypočítaj modus súboru, x1, x2, . . . , x15, ak sa v ňom číslo 2 vyskytuje 5-krát, číslo 7 sa vyskytuje

8-krát a číslo 10 a12 raz.

a) 7 b)2 c)8 d) 10 e) 12

8. Vypočítaj medián súboru, x1, x2, . . . , x15, ak sa v ňom číslo 2 vyskytuje 5-krát, číslo 7 sa vyskytuje

8-krát a číslo 10 a12 raz.

a) 7 b)2 c) 8 d)10 e) 12

9. Vypočítaj koeficient korelácie znakov x a y zadaných tabuľkou:

x/y 2 4 6

1 1 3

3 1 2

161

5 3

a) 0,21067 b)0,11954 c)0, 24689 d)0, 29648 e) 0,135642

maturitné úlohy z matematiky pre gymnáziumw3.revucky.sk/texty/zbierkavo.pdf · tých značiek a...

Documents