sỞ giÁo dỤc ĐÀo tẠo tiỀn giang · web viewcác tính chất của vật chất là như...

VI.PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC1 Dùng tọa độ của véc tơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ

số phải dương , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi

2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi . Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc

3. Bài tập :I/ Phương pháp dùng hình học, đồ thị1/ Giải phương trình:

với a,x,c > 0Đặt OA=a ; OB=x, OC=c sao cho

Áp dụng định lý Cosin, ta có:

Dễ dàng chứng minh

nên cũng theo định lý Cosin ta có:

Do dấu bằng xảy ra nên A, B, C thẳng hàng

1

450

300

A

B

C

O

Vậy tập nghiệm của phương trình là

2/ Bài tập tương tự

3/ Giải phương trình

Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét điểm cố định và điểm biến thiên .

Do , nên điểm M chạy trên đoạn thẳng với M0( và .

Ta có:

Do dấu “=” xảy ra nên M M1

(k )

4) Bài tập tương tự:

5) Giải phương trình:

2

y

x

3

2

2 2 2O

1-cosx

M1

N

M

M0

pt

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm

Dễ dàng chứng minh Tam giác ABC đều

VT= MA + MB + MC OA + OB + OC = 3

Do dấu “=” xảy ra nên M 0 x=0

6) Biện luận theo m nghiệm của phương trình sau:

(1)

Ta biết rằng số nghiệm của pt (1) chính là số giao điểm của 2 đường

và vì ; nên đồ thị của là nửa đường trên (phần nằm trên trục hoành) tâm tại gốc tọa độ, bán

kính bằng 2. Còn y = mx + 2 - m là một họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định A(1;2) với mọi m. Ta nhận thấy có hai tiếp tuyến với đường trên kể từ A: đường thẳng y = 2 song song với trục hoạnh và tiếp tuyến AD. Gọi B (-2 ; 0) và C (2 ; 0) là 2 đầu mút của đường kính BOC. Giả sử m1, m2, m3, m4 tương ứng là hệ số góc các đường thẳng AC, AD, AB, AE thì:

* m1= - tan

* m2= -tan

3

32

32

A

1

M

x

y

x

xB C

O

(vì tan )

* m3=tan

* m4 =0

Từ đó suy ra

1- Phương trình (1) có 2 nghiệm

2- Phương trình (1) có 1 nghiệm

3- Phương trình (1) vô nghiệm

7) Biện luận số nghiệm phương trình theo a

(1)

Đặt

Phương trình (1)

Dễ thấy phương trình (2) biểu diễn trên đường tròn tâm tại gốc tọa độ, bán kính 3, còn phương trình (3) biểu diễn 2 đường thẳng và (nếu a0). Số nghiệm của hệ chính là số giao điểm của 2 đường thẳng với đường tròn. Ta chỉ cần xét khi a > 0 ( vì khi a > 0 ta có kết quả tương tự, còn khi a = 0 thì (3) x = 0 và lúc đó hệ số 2 nghiệm). Ta xét khi và

4

2

E A

1 2-2

BC

D

O

y

x

đường tròn đồng quy. Gọi (x0; y0) là điểm đồng quy thì ta có x02+ y0

2 = 9, x0= và y0= và do a> 0 nên suy ra a =

5

x

1y xa

3

3

x a

a

y

3

O

a/ Phương trình có 4 nghiệm

b/ Phương trình có 3 nghiệm

c/ Phương trình có 2 nghiệm

8/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

Điều kiện : 64 x

6

1y xa

3

3

x a

a

y

x3

O

1y xa

3

0 3

x a

a

y

x3

O

Đặt thì ta có và . Vậy đồ thị của hàm số là nửa đường tròn (phần nằm trên trục hoành) tâm tại điểm 01 (1 ; 0)

và bán kính 5. Còn là Parabal luôn có cực tiểu nằm trên đường x = 1.

Để phương trình có 1 nghiệm duy nhất thì đỉnh của Parabal ở trên đường thẳng: x = 1, phải nằm trùng điểm M(1 ; 5).

II/ Ứng dụng tích vô hướng để giải phương trình vô tỷ

9/

Điều kiện :

Đặt

Khi đó

=

Do đó cộng tuyến

(đk: 0 < x < 3)

7

y

x1

O-2 6

y=x2-2x+m

O1

5 M

=0

* Bài tập tương tự:

10/ =

8

VII. PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHẤT HÀM SỐ

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Xét hàm số Bước 3: Nhận xét:

Với do đó là nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Với do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: thực hiện theo các bướcBước 1: Chuyển phương trình về dạng: Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:Bước 1: Chuyển phương trình về dạng Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệuBước 3: Khi đó

Ví dụ: Giải phương trình :

Giải:

pt

Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có

Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ

Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình :

, Rút gọn ta được phương

trình

Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn

Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :

Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta

được:

9

=Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?

Bài 1. Giải phương trình :

Giải:

Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có

Bài 2. Giải phương trình

Giải . Đặt , ta có hệ :

Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình

Bài 3. Giải phương trình :Bài tập: Giải phương trình: a) b) c) d) e) f)

10

VIII. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP CHUNG- Với các dạng phương trình cơ bản:Dạng 1: Phương trình:

Khi đó bài toán trở thành “ Biện luận phương trình (1) với điều kiện (*)”Lưu ý rằng: Điều kiện (*) được lựa chọn tùy theo độ phức tạp của và , thí vụ với phương trình

Ta lựa chọn phép biến đổi:

Dạng 2: Phương trình:

Lưu ý rằng: Không cần đặt điều kiện Dạng 3: Phương trình :

Lưu ý rằng: Cần điều kiện f(x), g(x), h(x) có nghĩa và không cần h(x) Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình:

GiảiTa có:

(I)

Với m =0Khi đó (2) vô nghiệm (1) vô nghiệmVới m

Khi đó (I) có nghiệm (2) có nghiệm thỏa mãn

Bài toán 1: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Kết luận :

- Với hoặc , phương trình có nghiệm

- Với hoặc , phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: (HVQHQT 98): Giải và biện luận phương trình:Giải

Điều kiện:

Khi đó:

(I)

- Với a = 0- Khi đó (I) có nghiệm x = 0 có nghiệm x = 0

Kết luận:- Với a<0 hoặc 0<a<2, phương trình vô nghiệm- Với a = 0, phương trình có nghiệm x = 0- Với a , phương trình có nghiệm

Chú ý: Bài toán trên có thể giải được bằng phương pháp chuyển về hệ (được trình bày trong phần các bài toán chọn lọc).2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.

Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các phương pháp sau:

Bài toán 2: Giải phương trình chứa căn thức bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

* Sử dụng tam thức bậc hai, thí dụ:

* Sử dụng các bất đẳng thức, thí dụ:

Khi đó:

Vậy điều kiện cho ẩn phụ là - Sử dụng đạo hàm, thí dụ được minh họa trong ví dụ 3 phía dưới.

Ví dụ 3 (Đề 59): Cho phương trình:

a. Giải phương trình với m = 3b. Tìm m để phương trình có nghiệm.

GiảiĐiều kiện:

Đặt . Ta đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ bằng cách:Xét hàm số

* Miền xác định D= * Đạo hàm:

Bảng biến thiên: x - -3 3/2 6 + t’ + 0 - 3/ t 3 3Từ đó: điều kiện của t là

Suy ra :

Khi đó phương trình có dạng:

=0

a. Với m = 3, phương trình (3) có dạng:

Với t = 3, thay vào (2) được:

Vậy, phương trình có nghiệm là x = -3 hoặc x = 5b. Phương trình có nghiệm có ít nhất một nghiệm

Ví dụ 4 (Đề 3): Cho phương trình:

a. Giải phương trình với m = -3b. Tìm m để phương trình có nghiệm.

GiảiĐiều kiện:

Đặt , suy ra

Khi đó phương trình có dạng: a. Với m = -3 , phương trình (2) có dạng:

13

0342

tt

tt

Với

Với

Vậy với m = -3, phương trình có hai nghiệm x = 1- và x = 1-b. Tìm m để phương trình có nghiệm.Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm

Giả sử khi đó (2) có nghiệm là thì

Với Với suy ra

Với suy ra:

Tóm lại: với m 4 phương trình (1) có nghiệm.

3. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊNếu phương trình ban đầu có thể chuyển về dạng: f(x, m) = g(m) ta có

thể lựa chọn phương pháp hàm số để giải . Cụ thể:


Chúng ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Lập luận: số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số

(C ) : y = f(x,m) và đường thẳng (d) : y = g(m).Bước 2: Xét hàm số y = f(x,m)

Tìm miền xác định D.Tính đạo hàm y’, rồi giải phương trình y’ = 0

Bước 3: Kết luận:Phương trình có nghiệm: Phương trình có k nghiệm phân biệt: cắt (C ) tại điểm k phân biệtPhương trình vô nghiệm :

Ví dụ 5: (Đề 142): Tìm m để phương trình : (1)

Có nghiệm:Giải

Xét hàm số y = f(x) = Miền xác định: D1= RĐạo hàm:

Bài toán 3: Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình : f(x, m) = g(m) (1)

(vn)

Mặc khác y’ (0) y’>0 x nên hàm số đồng biến.Giới hạn:

Bảng biến thiên: x - + y’ + y -1 1

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi -1<m<1Chú ý:

1. Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định y & y rất có thể các em học sinh ngộ nhận rằng tập gí trị I của hàm số là R

và dẫn tới kết luận sai lầm rằng phương pháp có nghiệm với mọi m. Điều này khẳng định thêm rằng bước tìm các giới hạn trong bài toán khảo sát hàm số là cần thiết. Các em học sinh có thể tham khảo chi tiết trong cuốn “Các chủ đề luyện tập thi môn Toán – Hàm số và các bài toán liên quan” của Lê Hồng Đức.”

2. Bằng phép đặt ẩn phụ y để chuyển phương trình thành hệ gồm hai ẩn x, y ta có thể giải phương trình bằng phương pháp đồ thị. Ta trình bày dưới dạng bài toán sau:


Ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Đặt y = f(x,m), khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

Bài toán 4: Sử dụng phương pháp đồ thị giải phương trình : f(x, m) = g(m) (1)

Bước 2: Bằng việc xét vị trí tương đối của hai đường (C1) và (C2) ta có được kết luận về nghiệm của phương trình.

Lưu ý: 1. Thông thường nếu (C1) là phương trình đường thẳng thì (C1) có thể

là phương trình đường tròn, Elíp, Hyperbol hoặc Parabol (cũng có trường hợp (C1) và (C2) đều là phương trình đường tròn).

2. Bạn đọc muốn có được kiến thức cơ bản về vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn, Elíp, Hyperbol có thể xem cuốn “Các chủ đề luyện thi môn Toán – Hình học Giải tích trong Mặt phẳng” của Lê Hồng Đức.

3. Kỹ thuật lập luận được minh họa của phương trìnhVí dụ 6: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

GiảiĐặt , điều kiện yKhi đó phương trình được chuyển thành hệ :

Phương trình (2) là phương trình đường tròn đơn vị (C ) có

Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y=0. Ta đi tìm hai vị trí giới hạn cho (d) là:

* A(1,0) (d) & B(-1,0) (d) m=-1* (d) tiếp xúc với nửa trên của đường tròn (C )

Vậy:- Với hoặc m > 1 thì (C ) vô nghiệm- Với hoặc -1< m < 1 thì (C ) có nghiệm duy

nhất.- Với thì (C ) có 2 nghiệm phân biệt.

Chú ý:

1. Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp đường tròn (C ) có tâm I O

2. Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và phương pháp biến đổi tương đương, như sau:* Phương pháp lượng giác hóa

Đặt x = sin với Khi đó phương trình có dạng:

Cost = sint-m sint-cost = m

(4)

Vì , từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có số

nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng ( với

cung tròn AB, do đó:Ví dụ 7: Biện luận theo số nghiệm của phương trình

= (1)

GiảiĐặt , điều kiện Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

(với y )

Phương trình (2) là phương trình Elíp (E) có tâm I góc OPhương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x - y = 0. Ta đi tìm hai vị trì tới hạn cho (d) là:

* A (2,0) (d) & B(-2,0) (d) * (d) tiếp xúc với nửa trên của Elíp (E) nhớ lại A2a2 + B2b2 = C2)

Vậy: - Với m < -4 hoặc m > 2 thì (E) (d) = vô

nghiệm.- Với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (E) (d) = có nghiệm duy

nhất- Với -4 < m -2 thì (E) (d) = có 2 nghiệm phân biệt.

Chú ý:1. Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Elíp (E)

có tâm I .

2. Bài toán trên còn có thể được giải bằng phương pháp lượng giác hóa và phương pháp biến đổi tương đương như sau:Phương pháp lượng giác hóa.

Đặt x = 2sint với Khi đó phương trình có dạng:

cost = 2sint - m 2sint - 2 cost = m (4)

Vì , từ đó dựa vào đường tròn đơn vị, ta có

số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng y = với cung tròn AB, do đó (lập luận tương tự như trong chú ý của ví dụ 6):

- Với m < -4 hoặc m > 2 thì (1) vô nghiệm.- với m = -4 hoặc -2 < m < 2 thì (1) có nghiệm duy nhất.- Với -4 < m thì có 2 nghiệm phân biệt.

Phương pháp biến đổi tương đương

(1)

Bài toán trở thành biện luận theo m số nghiệm thỏa mãn x m của phương trình (5). Đề nghị bạn đọc tự giải.

Ví dụ 8: Biện luận theo m số nghiệp của phương trình (1)

GiảiĐặt , điều kiện y 0 Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

(Với y 0)

Phương trình (2) là phương trình Hyperbol (H) có tâm là gốc O.Phương trình (3) là phương trình đường thẳng (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất x-y = 0 và cũng chính là tiệm cận của (H). Ta đi tìm hai vị trí tới hạn cho (d) là:

A (3,0) (d) m = 3 B (-3,0) (d) m = -3

Vậy:- Với -3 < m hoặc m > 3 thì (H) (d) = vô nghiệm.- Với m -3 hoặc 0 thì (H) (d) = có nghiệm duy nhất

Chú ý: 1. Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho trường hợp Hyperbol

(H) có tâm I O2. Ngoài ra ta cũng sử dụng các tính chất đã biết về hàm số trong chủ

đề 1, cụ thể ta xét ví dụ sau:Ví dụ 9: Giải và biện luận phương trình:

Với x -mGiải

Viết lại phương trình dưới dạng:

Xét hàm số f(t) = t2 + t với t là hàm đồng biếnKhi đó:

(2) Đến đây bạn đọc làm lại như trong ví dụ 1.4. PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ


Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp bài toán tìm điều kiện tham số để.

1. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm duy nhất.2. Phương trình trị tuyệt đối có nghiệm với mọi giá trị của một tham

số.3. Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất

phương trình khác.Khi đó ta thực hiện theo các bước.

Bước 1: Đặt điều kiện để các biểu thức của phương trình có nghĩa. Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên việc đánh giá hoặc tính đối

xứng của hệ.Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ. Trong bước này cần có được một số kỹ

năng cơ bản.

Ví dụ 10: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất: (1)

Giải

Bài toán 5: Giải phương trình trị tuyệt đối chứa tham số bằng phương pháp điều kiện cần và đủ.

Điều kiện cần:Giả sử (1) có nghiệm là x = x0 2- x0 cũng là nghiệm của (1)Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi x0 = 2-x0 = 1Thay x0 = 1 vào (1), ta được: m = 4.

Đó chính là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.Điều kiện đủ

Với m = 4, khi đó (1) có dạng: (2)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki, ta được: &

Do đó:

(2)

x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy với m = 4 phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 11: Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với

Giải

Điều kiện cần:

Giả sử (1) có nghiệm là nghiệm của (1), khi đó:

(1)

Đó chính là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng với

Điều kiện đủ

Với m = 3, khi đó (1) có dạng:

luôn đúng.

Vậy với m = 3 phương trình nghiệm đúng với .

Chú ý: Với bài toàn có nhiều hơn một tham số ra sẽ thấy tầm quan trọng của

việc lựa chọn điểm thuận lợi cùng với việc xác định các giá trị của tham số

được thực hiện tuần tự. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 12: Tìm a, b, để phương trình sau nghiệm đúng với :

(1)

Giải

Điều kiện cầnGiả sử (1) có nghiệm là nghiệm của (1), khi đó:(1) Với a=1(1)

Vậy a = 1 và b = 0 là điều kiện cần để phương trình nghiệm đúng với .Điều kiện đủ:

Với a = 1 và b = 0 0 = 0 luôn đúng.Vậy với a = 1 và b = 0 phương trình nghiệm đúng với

Ví dụ 13: Cho 2 phương trình:

Tìm m để (1) và (2) tương đươngGiải

(2) Điều kiện cần:Giả sử (1) và (2) tương đương x = 1 là nghiệm của (1) khi đó:

Vậy m = 1 là đều kiện cần để (1) và (2) tương đương.Điều kiện đủ

Với m = 1, khi đó (1) có dạng: (3)

Đặt , điều kiện Khi đó:

(3)

Tức là (1) và (2) tương đương.Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương.Chú ý: Chúng ta đã thấy tồn tại những phương trình chứa căn thức mà tập nghiệm của nó là một khoảng, do đó một phương trình chứa căn thức có thể tương đương với một bất phương trình. Chúng ta đi xem xét ví dụ sau:Ví dụ 14: Cho phương trình và bất phương trình:

(1)

Tìm m để (1) và (2) tương đương (2)Điều kiện cần

Giả sử (1) và (2) tương đương x = 3 là nghiệm của (1), khi đó:(1)

Vậy m = 1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương:Điều kiện đủ: Với m = 1, khi đó (1) có dạng:

Tức là (1) và (2) tương đương.Với m = -1 tương tự (hoặc có thể nhận xét về tính đối xứng của m trong phương trình).* Vậy với m = 1 thì (1) và (2) tương đương.

5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC

1) Tìm m để phương trình có nghiệm:

Ta có: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét

và điểm M(x; o)

Ta cóAB = 1Với mọi điểm M thì

Mà

y

A B

x

Do đó phương trình đã cho có nghiệm

2) Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

ĐK: Phương trình đã cho tương đương với.

Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm duy nhất x0, ta có:

Vậy x = 2 – x0 cùng là nghiệm của phương trìnhPhương trình có nghiệm duy nhất thì x0 = 2 - x0 x0 =1Khi đó Điều kiện đủ: với , ta có phương trình

(*)Áp dụng bất đẳng thức: có:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 2 số không âm: 2 + x và 4 – x có

Vậy (1)Do đó để đẳng thức (*) thì dấu “=” trong (1) xảy ra

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 13) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

(*)Điều kiện cần: Giả sử (*) có nghiệm duy nhất là x = x0 Ta có:

cũng là nghiệm của phương trình (*)Vì là nghiệm duy nhất nên Thay vào (*) ta được vào (*) ta được:

(1)Áp dụng bất đẳng thức B.C.S thì:

Dấu “=” xảy ra )

Vậy (1)

Như vậy (1) có nghiệm duy nhất Để (*) có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là Bài tập tương tự:4) Tìm m để phương trình: có nghiệm5) Tìm m để phương trình:

có nghiệm6) Tìm m để phương trình có nghiệm:

có nghiệm duy nhất.II. CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC

GiảiPhương trình:

Phương trình có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn x Tam thức f(x) = luôn có hai nghiệm trái dấu x1<x2.Phương trình (1) vô nghiệm

Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm:

Do đó (1) có nghiệm Nhận xét: Như vậy trong bài toàn trên để tìm tạp Dm ta đã đi xác định tập R\Dm bởi điều kiện cho bài toán ngược được tìm thấy đơn giản hơn.

Giảia. Với a < 0 , phương trình vô nghiệm.b. Với a = 0, phương trình có 2 dạng : c. Với a > 0

Đặt : , suy ra auv 222

Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:

Bài 2: Giải và biện luận phương trình :

IX. NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỈKhi giải các phương trình mà ẩn nằm trong dấu căn thức (phương trình vô tỉ), một

số bạn do chưa nắm vững kiến thức về căn thức và phép biến đổi tương đương nên thường mắc phải một số sai lầm. Phần này nhằm giúp các bạn tránh được những sai lầm đó!VD1: Giải phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là Nhận xét: Rõ ràng không là nghiệm của phương trình

Ghi nhớ:

VD2: Giải phương trình:


Ghi nhớ:

VD3: Giải phương trình:

Vậy tập nghiệm của phương trình là Nhận xét: Các bạn nghĩ sao khi phương trình đã cho thực sự có nghiệm

Ghi nhớ:

Như vậy lời giải trên đã bỏ xót trường hợp nên mất nghiệm VD4: Giải phương trình:


Ghi nhớ:

VD5 Giải phương trình:

Căn thức có nghĩa

Mà ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Nhận xét: Có thể thấy ngay là 1 nghiệm của phương trình. Việc chia 2 vế cho đã làm mất nghiệm của phương trình. Mặt khác cần nhớ

Do đó lời giải phải bổ sung trường hợp và . Với thì phương trình tương đương

Vì nên chia cả 2 vế với ta được

Mà

Do đó không thỏa mãn phương trình nên phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất

XI.TRẮC NGHIỆM1/ Tập nghiệm của phương trình là:

A. C.

B. D.

2/ Tập nghiệm của phương trình là:

A. C.

C. D.

3/ Cho với . Tập nghiệm của phương trình là:

A. C.

B. D.


A. C.

B. D.


A. C.

B. D.

6/ Giá trị của m để phương trình là:A. C. B. D.

7/ Cho . Tập nghiệm của phương trình (trong đó

có lần lấy căn) là:A. C.

B. D.


A. C.

B. D.

9/ Cho phương trình . Với thì

phương trình có:A. một nghiệm duy nhất C. ba nghiệm phân biệtB. hai nghiệm phân biệt D. vô nghiệm10/ Giá trị của a để phương trình có nghiệm duy nhất là:A. C. B. D. 11/ Giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất là:

A. C.

B. D.


A. C.

B. D.


A. C.

B. D.


A. C.

B. D.

15/ Tập nghiệm của phương trình là:A. C.

B. D.


A. C.

B. D.

17/ Tập nghiệm nguyên của phương trình là:A. C.

B. D.


A. C.

B. D. 19/ Tập nghiệm của phương trình là:

A. C.

B. D.

20/ Tập nghiệm của phương trình , với và

là:

A. C. arc abS cosa b

C. D.

XII.CÓ THỂ TA CHƯA BIẾT ?

Leonhard Euler sinh ngày 15 tháng 4 năm 1707, là con của một mục sư tại Basel, Thụy Sĩ. Lúc còn nhỏ, ông đã tỏ ra có tài năng trong môn toán học, nhưng cha ông muốn ông học giáo lý và trở thành một mục sư. Năm 1720 Euler bắt đầu học tại Đại học Basel. Tại đây ông được quen với Daniel và Nikolaus Berloulli, và họ đã nhận thấy tài năng toán học của ông. Cha của ông, Paul Euler, đã tham dự một vài bài thuyết giảng toán học của Jakob Bernoulli và kính trọng gia đình ông. Khi Daniel và Nikolaus xin ông cho con ông học môn toán ông bằng lòng và Euler bắt đầu học toán.

Vào năm 1727 Euler được nữ hoàng Nga Ekaterina I mời đến Sant-Peterburg. Ông trở thành giáo sư vật lý học năm 1730, và cũng dạy toán năm 1733. Euler là người đầu tiên xuất bản một cuốn sách dạy cơ học có phương pháp trong năm 1736: Mechanica sive motus scientia analytice exposita (Chuyển động cơ học được giải thích bởi ngành giải tích). Vì ông quan sát mặt trời nhiều quá, đến năm 1735 mắt phải ông đã bị mù một phần.

Năm 1733 ông kết hôn với Ekaterina (Katharina) Gsell, con gái của giám đốc Viện hàn lâm nghệ thuật. Họ có 13 con, nhưng chỉ có ba người con trai và hai người con gái sống sót. Con cháu của họ giữ những vị trí quan trọng tại Nga trong thế kỷ 19.

Năm 1741 Euler trở thành giám đốc viện toán tại Hàn lâm viện Vương quốc Phổ tại Berlin. Ông viết rất nhiều trong thời gian ở Berlin, nhưng ông không có được địa vị tốt vì nhà vua không xem trọng ông. Vì thế, ông trở về Sant-Peterburg năm 1766, lúc đó dưới triều Ekaterina II, và sống ở đó cho đến khi mất.

Tuy bị mù hoàn toàn, ông vẫn viết được vì ông có trí nhớ siêu thường và có thể dùng óc để tính toán được. Có chuyện kể rằng có khi ông và người phụ tá của ông tính kết quả của một dãy số với 17 con số và nhận biết được là đáp số của ông và của người phụ tá khác nhau trong con số thứ 50. Khi họ tính lại thì thấy rằng ông đã tính đúng!

Người ta ước tính rằng, phải làm việc 8 giờ một ngày trong suốt 50 năm để có thể ghi chép bằng tay tất cả những công trình của ông. Phải đợi đến năm 1910, mới có một bộ sưu tập, tập hợp tất cả các công trình này một cách đầy đủ, và nó được chứa trong 70 tập sách. Theo lời kể của Adrien-Marie Legendre, Euler thường hoàn thành một bài chứng minh trong khoảng thời gian gọi dùng cơm tối của mình.

Euler là một người rất sùng đạo. Có một giai thoại phổ biến nói rằng Euler đã thách đố Denis Diderot tại cung điện của Ekaterina Đại đế, "Thưa ngài, cách suy luận

do đó Thượng đế tồn tại"; tuy nhiên giai thoại này là sai.

Khi Euler mất, nhà toán học và triết học Hầu tước de Condorcet bình luận "... et il cessa de calculer et de vivre" (và ông ấy đã ngừng tính và ngừng sống)

************************************************************************

Isaac Newton sinh ra trong một gia đình nông dân. May mắn cho nhân loại, Newton không làm ruộng giỏi nên được đưa đến Đại học Cambridge để trở thành luật sư. Tại Cambridge, Newton bị ấn tượng mạnh từ Euclid, tuy rằng tư duy của ông cũng bị ảnh hưởng bởi trường phái của Roger Bacon và René Descartes. Một đợt dịch bệnh đã khiến

trường Cambridge đóng cửa và trong thời gian ở nhà, Newton đã có những phát kiến khoa học quan trọng, dù chúng không được công bố ngay.

Những người có ảnh hưởng đến việc công bố các công trình của Newton là Robert Hooke và Edmond Halley. Sau một cuộc tranh luận về chủ đề quỹ đạo của một hạt khi bay từ vũ trụ vào Trái Đất với Hooke, Newton đã bị cuốn hút vào việc sử dụng định luật vạn vật hấp dẫn và cơ học của ông trong tính toán quỹ đạo Johannes Kepler. Những kết quả này hấp dẫn Halley và ông đã thuyết phục được Newton xuất bản chúng. Từ tháng 8 năm 1684 đến mùa xuân năm 1688, Newton hoàn thành tác phẩm, mà sau này trở thành một trong những công trình nền tảng quan trọng nhất cho vật lý của mọi thời đại, cuốn Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học của Triết lý về Tự nhiên).

Trong quyển I của tác phẩm này, Newton giới thiệu các định nghĩa và ba định luật của chuyển động thường được biết với tên gọi sau này là Định luật Newton. Quyển II trình bày các phương pháp luận khoa học mới của Newton thay thế cho triết lý Descartes. Quyển cuối cùng là các ứng dụng của lý thuyết động lực học của ông, trong đó có sự giải thích về thủy triều và lý thuyết về sự chuyển động của Mặt Trăng. Để kiểm chứng lý thuyết về vạn vật hấp dẫn của ông, Newton đã hỏi nhà thiên văn John Flamsteed kiểm tra xem Sao Thổ có chuyển động chậm lại mỗi lần đi gần Sao Mộc không. Flamsteed đã rất sửng sốt nhận ra hiệu ứng này có thật và đo đạc phù hợp với các tính toán của Newton. Các phương trình của Newton được củng cố thêm bằng kết quả quan sát về hình dạng bẹt của Trái Đất tại hai cực, thay vì lồi ra tại hai cực như đã tiên đoán bởi trường phái Descartes. Phương trình của Newton cũng miêu tả được gần đúng chuyển động Mặt Trăng, và tiên đoán chính xác thời điểm quay lại của sao chổi Halley. Trong các tính toán về hình dạng của một vật ít gây lực cản nhất khi nằm trong dòng chảy của chất lỏng hay chất khí, Newton cũng đã viết ra và giải được bài toán giải tích biến phân đầu tiên của thế giới.

Newton sáng tạo ra một phương pháp khoa học rất tổng quát. Ông trình bày phương pháp luận của ông thành bốn quy tắc của lý luận khoa học. Các quy tắc này được phát biểu trong quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica như sau:

1. Các hiện tượng tự nhiên phải được giải thích bằng một hệ tối giản các quy luật đúng, vừa đủ và chặt chẽ.

2. Các hiện tượng tự nhiên giống nhau phải có cùng nguyên nhân như nhau.3. Các tính chất của vật chất là như nhau trong toàn vũ trụ.4. Một nhận định rút ra từ quan sát tự nhiên chỉ được coi là đúng cho đến khi có một

thực nghiệm khác mâu thuẫn với nó.

Bốn quy tắc súc tích và tổng quát cho nghiên cứu khoa học này đã là một cuộc cách mạng về tư duy thực sự vào thời điểm bấy giờ. Thực hiện các quy tắc này, Newton đã hình thành được các định luật tổng quát của tự nhiên và giải thích được gần như tất cả các bài toán khoa học vào thời của ông. Newton còn đi xa hơn việc chỉ đưa ra các quy tắc cho lý luận, ông đã miêu tả cách áp dụng chúng trong việc giải quyết một bài toán cụ thể. Phương pháp giải tích mà ông sáng tạo vượt trội các phương pháp mang tính triết lý hơn

là tính chính xác khoa học của Aristoteles và Thomas Aquinas. Newton đã hoàn thiện phương pháp thực nghiệm của Galileo Galilei, tạo ra phương pháp tổng hợp vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay trong khoa học. Những câu chữ sau đây trong quyển Opticks (Quang học) của ông có thể dễ dàng bị nhầm lẫn với trình bày hiện đại của phương pháp nghiên cứu thời nay, nếu Newton dùng từ "khoa học" thay cho "triết lý về tự nhiên":

Cũng như trong toán học, trong triết lý về tự nhiên, việc nghiên cứu các vấn đề hóc búa cần thực hiện bằng phương pháp phân tích và tổng hợp. Nó bao gồm làm thí nghiệm, quan sát, đưa ra những kết luận tổng quát, từ đó suy diễn. Phương pháp này sẽ giúp ta đi từ các hợp chất phức tạp đến nguyên tố, đi từ chuyển động đến các lực tạo ra nó; và tổng quát là từ các hiện tượng đến nguyên nhân, từ nguyên nhân riêng lẻ đến nguyên nhân tổng quát, cho đến khi lý luận dừng lại ở mức tổng quát nhất. Tổng hợp lại các nguyên nhân chúng ta đã khám phá ra thành các nguyên lý, chúng ta có thể sử dụng chúng để giải thích các hiện tượng hệ quả.

Newton đã xây dựng lý thuyết cơ học và quang học cổ điển và sáng tạo ra giải tích nhiều năm trước Gottfried Leibniz. Tuy nhiên ông đã không công bố công trình về giải tích trước Leibniz. Điều này đã gây nên một cuộc tranh cãi giữa Anh và lục địa châu Âu suốt nhiều thập kỷ về việc ai đã sáng tạo ra giải tích trước. Newton đã phát hiện ra định lý nhị thức đúng cho các tích của phân số, nhưng ông đã để cho John Wallis công bố. Newton đã tìm ra một công thức cho vận tốc âm thanh, nhưng không phù hợp với kết quả thí nghiệm của ông. Lý do cho sự sai lệch này nằm ở sự giãn nở đoạn nhiệt, một khái niệm chưa được biết đến thời bấy giờ. Kết quả của Newton thấp hơn γ½ lần thực tế, với γ là tỷ lệ các nhiệt dung của không khí.

Theo quyển Opticks, mà Newton đã chần chừ trong việc xuất bản mãi cho đến khi Hooke mất, Newton đã quan sát thấy ánh sáng trắng bị chia thành phổ nhiều màu sắc, khi đi qua lăng kính (thuỷ tinh của lăng kính có chiết suất thay đổi tùy màu). Quan điểm hạt về ánh sáng của Newton đã xuất phát từ các thí nghiệm mà ông đã làm với lăng kính ở Cambridge. Ông thấy các ảnh sau lăng kính có hình bầu dục chứ không tròn như lý thuyết ánh sáng thời bấy giờ tiên đoán. Ông cũng đã lần đầu tiên quan sát thấy các vòng giao thoa mà ngày nay gọi là vòng Newton, một bằng chứng của tính chất sóng của ánh sáng mà Newton đã không công nhận. Newton đã cho rằng ánh sáng đi nhanh hơn trong thuỷ tinh, một kết luận trái với lý thuyết sóng ánh sáng của Christiaan Huygens.

Newton cũng xây dựng một hệ thống hoá học trong mục 31 cuối quyển Opticks. Đây cũng là lý thuyết hạt, các "nguyên tố" được coi như các sự sắp xếp khác nhau của những nguyên tử nhỏ và cứng như các quả bi-a. Ông giải thích phản ứng hoá học dựa vào ái lực giữa các thành phần tham gia phản ứng. Cuối đời (sau 1678) ông thực hiện rất nhiều các thí nghiệm hoá học vô cơ mà không ra kết quả gì.

Newton rất nhạy cảm với các phản bác đối với các lý thuyết của ông, thậm chí đến mức không xuất bản các công trình cho đến tận sau khi người hay phản bác ông nhất là Hooke mất. Quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica phải chờ sự thuyết phục của

Halley mới ra đời. Ông tỏ ra ngày càng lập dị vào cuối đời khi thực hiện các phản ứng hoá học và cùng lúc xác định ngày tháng cho các sự kiện trong Kinh Thánh. Sau khi Newton qua đời, người ta tìm thấy một lượng lớn thuỷ ngân trong cơ thể của ông, có thể bị nhiễm trong lúc làm thí nghiệm. Điều này hoàn toàn có thể giải thích sự lập dị của Newton.

Newton đã một mình đóng góp cho khoa học nhiều hơn bất cứ một nhân vật nào trong lịch sử của loài người. Ông đã vượt trên tất cả những bộ óc khoa học lớn của thế giới cổ đại, tạo nên một miêu tả cho vũ trụ không tự mâu thuẫn, đẹp và phù hợp với trực giác hơn mọi lý thuyết có trước. Newton đưa ra cụ thể các nguyên lý của phương pháp khoa học có thể ứng dụng tổng quát vào mọi lĩnh vực của khoa học. Đây là điều tương phản lớn so với các phương pháp riêng biệt cho mỗi lĩnh vực của Aristoteles và Aquinas trước đó.

Tuy các phương pháp của Newton rất lôgic, ông vẫn tin vào sự tồn tại của Chúa. Ông tin là sự đẹp đẽ hoàn hảo theo trật tự của tự nhiên phải là sản phẩm của một Đấng Tạo hoá siêu nhân. Ông cho rằng Chúa tồn tại mọi nơi và mọi lúc. Theo ông, Chúa sẽ thỉnh thoảng nhúng tay vào sự vận hồi của thế gian để giữ gìn trật tự.

Cũng có các nhà triết học trước như Galileo và John Philoponus sử dụng phương pháp thực nghiệm, nhưng Newton là người đầu tiên định nghĩa cụ thể và hệ thống cách sử dụng phương pháp này. Phương pháp của ông cân bằng giữa lý thuyết và thực nghiệm, giữa toán học và cơ học. Ông toán học hoá mọi khoa học về tự nhiên, đơn giản hoá chúng thành các bước chặt chẽ, tổng quát và hợp lý, tạo nên sự bắt đầu của Kỷ nguyên Suy luận. Những nguyên lý mà Newton đưa ra do đó vẫn giữ nguyên giá trị cho đến thời đại ngày nay. Sau khi ông ra đi, những phương pháp của ông đã mang lại những thành tựu khoa học lớn gấp bội những gì mà ông có thể tưởng tượng lúc sinh thời. Các thành quả này là nền tảng cho nền công nghệ mà chúng ta được hưởng ngày nay.

Không ngoa dụ chút nào khi nói rằng Newton là danh nhân quan trọng nhất đóng góp cho sự phát triển của khoa học hiện đại. Như nhà thơ Alexander Pope đã viết:

Nature and Nature's laws lay hid in nightGod said, Let Newton be!and all was light

Tự nhiên im lìm trong bóng tốiChúa bảo rằng Newton ra đời!Và ánh sáng bừng lên khắp lối

sỞ giÁo dỤc ĐÀo tẠo tiỀn giang · web viewcác tính chất của vật chất là như...

Documents