sỞ giÁo dỤc vÀ ĐÀo tẠo vĨnh phÚc trƯỜng thpt vĨnh … · 2020. 7. 9. · dạy cho...

VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN------------------------------------------------------- 1

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT VĨNH YÊN

--------------------------

BÁO CÁO KẾT QUẢ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CẤP : CƠ SỞ ; TỈNH

Tên sáng kiến kinh nghiệm: VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN

Môn/nhóm môn : TOÁN

Mã môn : 03.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2020

x


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT VĨNH YÊN

--------------------------

BÁO CÁO KẾT QUẢ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CẤP : CƠ SỞ ; TỈNH

Tên sáng kiến kinh nghiệm: VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN

Tác giả sáng kiến : NGUYỄN THỊ THANH HẢI

Môn/nhóm môn : TOÁN

Mã môn : 03.52.02

Vĩnh Phúc, năm 2020

x


MỤC LỤC

PHẦN I. MỞ ĐẦU .................................................................................................. 4

1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 4

2. Mục đích nghiên cứu: .......................................................................................... 7

3. Nhiệm vụ nghiên cứu: ......................................................................................... 7

4. Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu: ........................................................ 7

5. Các phương pháp nghiên cứu:............................................................................. 7

6.Cấu trúc của SKKN: ............................................................................................. 7

PHẦN II : NỘI DUNG............................................................................................ 8

A. Cơ sở lý luận: ..................................................................................................... 8

B. Thực trạng vấn đề: .............................................................................................. 8

C. Giải pháp:............................................................................................................ 8

D. Nội dung: ............................................................................................................ 8

1. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: 3 2 0y ax bx cx d ( a ), ........................... 8

1.1. Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị ......................................... 9

1.2. Bài tập vận dụng :........................................................................................... 10

2.Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương: 4 2 0y ax bx c, a ...... 18

2.1.Một số tính chất của hàm số bậc bốn trùng phương dựa vào đồ thị ............... 18

2.2.Bài tập vận dụng : ............................................................................................ 19

3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất / bậc nhất:ax b

ycx d

............................. 23

3.1. Một số tính chất của hàm số bậc nhất / bậc nhấtax b

ycx d

dựa vào đồ thị .... 23

3.2.Bài tập vận dụng: ............................................................................................. 23

4. Sự tương giao giữa các đồ thị hàm số ( ),y f x=

( )' ,y f x=

( )'' ,y f x= ....... 28

4.1.Lý thuyết cơ sở: ............................................................................................... 28

4.2. Bài tập vận dụng :........................................................................................... 28

5. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên. . 40

5.1. Lý thuyết cơ sở: ................................................................................................ 40

5.2. Bài tập vận dụng: ............................................................................................ 40

6. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.

............................................................................................................................... 50

6.2. Bài tập vận dụng: ............................................................................................ 50

7. Phép biến đổi đồ thị:.......................................................................................... 56

7.1. Lý thuyết cơ sở: .............................................................................................. 56

7.2. Bài tập vận dụng: ............................................................................................ 57

E.BÀI TẬP TỰ LUYỆN: ...................................................................................... 64

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................... 79


PHẦN I. MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông

Quốc gia (THPTQG) từ năm học 2016-2017 cho đến nay. Trong đó môn toán

được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi

đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong

việc dạy và học.

Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề

mới so với hình thức thi tự luận.

Xuất hiện một số dạng toán mới mẻ thuộc cấp độ vận dụng cao ngày

càng gia tăng về số lượng.

Cụ thể:

Trong đề thi TN THPTQG 2017-2018 mã đề thi nào cũng có 2 câu dạng như sau:

Câu 41- Đề 101:

Cho hàm số 3 2 1

2f x ax bx cx và 2 1 , , , ,g x dx ex a b c d e R . Biết rằng đồ

thị của hàm số y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là -

3;-1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích

bằng:

A. 9

2.

B. 8 .

C. 4 .

D. 5 .

Câu 50- Đề 101:

Cho hàm số y f x và y g x . Hai hàm số 'y f x và 'y g x có đồ thị như

hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm 'y g x . Hàm số

3

4 22

h x f x g x

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?


A. 31

5;5

.

B. 9

;34

.

C. 31

;5

.

D. 25

6;4

.

Câu 36- Đề 102:

Cho hàm số 3 2 2f x ax bx cx và 2 2 , , , ,g x dx ex a b c d e R . Biết rằng

đồ thị của hàm số y f x và y g x cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt

là -2;-1;1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện

tích bằng:

A. 37

6.

B. 13

2.

C. 9

2.

D. 37

12.

Câu 47- Đề 102: Cho hàm số y f x và y g x . Hai hàm số 'y f x và

'y g x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của

hàm 'y g x . Hàm số 9

7 22

h x f x g x

đồng biến trên khoảng nào dưới

đây?


A. 16

2;5

.

B. 3

;04

.

C. 16

;5

.

D. 13

3;4

.

Trong đề thi TN THPTQG 2016-2017 mã đề từ 101 đến 124 đều có 01 câu dạng

sau:

Câu 48- Đề 102: Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình

bên. Đặt 2

2 1g x f x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 3 3 1g g g .

B. 3 3 1g g g .

C. 1 3 3g g g .

D. 1 3 3g g g .

Câu 48- Đề 104: Cho hàm số y f x . Đồ thị của hàm số y f x như hình

bên. Đặt 2

2 1g x f x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 1 3 3g g g .

B. 1 3 3g g g .

C. 3 3 1g g g .

D. 3 3 1g g g .

Trước các vấn đề trên tôi thấy cần có một hệ thống lý thuyết, phương pháp và

phân dạng bài tập đối với loại toán này để giúp việc dạy của giáo viên và việc học

của học sinh được dễ dàng hơn, hiệu quả hơn. Với những lý do trên và qua kinh

O 1 3 x

2

4

2

3

y


nghiệm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán ở

trường THPT tôi lựa chọn đề tài:

“VẬN DỤNG ĐỒ THỊ HÀM ẨN”

2. Mục đích nghiên cứu:

Để cho người học thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số

( ) ( ) ( ), ' , ''y f x y f x y f x= = = với các vấn đề của hàm ẩn số ( )y f x= :

o sự tương giao giữa các đồ thị

o tính đồng biến nghịch biến

o vấn đề cực trị

o vấn đề biến đổi đồ thị: tịnh tiến đồ thị, đồ thị hàm chứa dấu trị tuyệt đối

o ứng dụng vào phương trình, bất phương trình.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết. Từ đó mô tả phân tích để tìm ra biện pháp

dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này.

4. Đối tượng bồi dưỡng, phạm vi nghiên cứu:

- Học sinh lớp 12

- Học sinh các đội tuyển lớp 12

- Chương trình môn Toán 12 cơ bản và nâng cao.

5. Các phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo chuyên môn.

- Tổng kết kinh nghiệm.

- Phân tích sản phẩm.

- Quan sát trực tiếp kết quả bài tập, bài kiểm tra của học sinh.

-Qua thực tế chấm bài.

6.Cấu trúc của SKKN:

Đề tài được sắp sếp theo cấu trúc gồm:

A- Lý thuyết cơ sở

B- Vận dụng:

+ Gồm các dạng toán

+ Trong mỗi dạng toán đó đều có các ví dụ tiêu biểu được tác giả phân tích

và trình bày có thể bằng nhiều cách khác nhau. Cũng có thể xây dựng thêm

bài toán tổng quát.

+Sau cùng là một số bài toán giúp người học tự luyện tập.


PHẦN II : NỘI DUNG

A. Cơ sở lý luận:

Chuyên đề về hàm số là chương quan trọng nhất và chiếm tỷ lệ điểm số cao

nhất trong đề thi THPT Quốc Gia môn Toán ,nó có nội dung rất phong phú như

tính đơn điệu, cực trị, min- max, đồ thị, tiệm cận, sự tương giao, tiếp tuyến, sự

biến đổi đồ thị,…. và những bài toán ứng dụng trong thực tiễn và đời sống.

B. Thực trạng vấn đề:

Trong quá trình dạy học phần kiến thức này những bài toán thuộc cấp độ vân

dụng cao khiến học sinh còn mơ hồ khó hiểu vì cảm giác nó trừu tượng, giáo viên

thì đôi khi lúng túng khi dạy học hay trình bày cũng như việc hướng dẫn học sinh

vận dụng giải toán dạng này.

C. Giải pháp:

+ Đề tài tập trung vào dấu hiệu nhận biết cơ bản đặc trưng ở lý thuyết giúp

người học dễ nắm bắt và dễ vận dụng khi giải toán.

+ Được phân chia thành các dạng toán thường gặp gắn liền với các ví dụ tiêu

biểu. Mỗi ví dụ được đưa ra đều có sự giải thích chi tiết, phân tích kỹ các dấu

hiệu từ đó đưa ra cách thức vận dụng bài toán lý thuyết phù hợp.

+ Hơn nữa mỗi ví dụ tác giả còn trình bày cách giải : tự luận hoặc trắc

nghiệm giúp người học có thể tiếp cận bài toán theo nhiều hướng khác nhau, từ

đó tăng khả năng tư duy, kích thích sự sáng tạo của người học.

+ Hầu hết các ví dụ được lựa chọn có tính thiết thực gắn với chương trình

học và năm trong các đề thi THPTGQ.

D. Nội dung:

1. Các dạng đồ thị hàm số bậc 3: 3 2 0y ax bx cx d ( a ),

Dấu của a

Dấu a > 0

a < 0

Pt y’ = 0 có hai

nghiệm phân biệt.

2

-2

O

2

-2


Pt y’ = 0 có

nghiệm kép

2

2

Pt y’ = 0 vô

nghiệm

2

4

2

1.1. Một số tính chất của hàm số bậc ba dựa vào đồ thị

Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi lên là a>0,

Hướng đồ thị khoảng đầu tiên tính từ trái qua phải đi xuống là a<0

Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là d.

Nếu giao điểm này nằm trên Ox thì 0d

Nếu giao điểm này nằm dưới Ox thì 0d

Đồ thị có 2 cực trị nằm về hai phía của trục Oy Đồ thị có 2 cực trị trái

dấu nhau 0ac a,c trái dấu nhau.

Đồ thị có 2 cực trị nằm về cùng 1 phía của trục Oy Đồ thị có 2 cực trị

cùng dấu nhau thì 0ac a,c cùng dấu nhau.

Đối với dạng có 2 điểm cực trị thì điểm uốn luôn là trung điểm của đoạn

thẳng nối hai cực trị. Hoành độ điểm uốn là 3

bx

a

.

Nếu điểm uốn nằm phía bên phải Oy 03

ba,b

a

trái dấu nhau.

Nếu điểm uốn nằm phía bên trái Oy 03

ba,b

a

cùng dấu nhau.

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: 2b 3ac 0 .

Hàm số không có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: 2b 3ac 0 .

Đồ thị đi qua điểm 0 0M x ; y thì ta có phương trình 3 2

0 0 0 0y ax bx cx d

Đồ thị có điểm cực trị 0 0M x ; y thì ta có các phương trình 3 2

0 0 0 0

0 0

23 0

y ax bx cx d

ax 2bx c


1.2. Bài tập vận dụng :

Bài 1: Cho hàm số 3 2 0y ax bx cx d a có đồ thị như hình vẽ bên. Dấu của

a b c d; ; ; là?

Hướng dẫn giải:

Phương pháp Tự luận:

Ta có: 3 2 0y ax bx cx d a ;

2' 3 2y ax bx c .

Gọi 1 2;x x là các điểm cực trị của hàm số.

Theo bài ra ta có:

3 2

1 2

1 2

lim0

0 00

20 0

30

03

xax bx cx d

ay d

bb

x x ca

dcx x

a

Phương pháp Trắc nghiệm:

Đồ thị có nhánh cuối đi xuống nên 0a .

Tổng hoành độ hai điểm cực trị dương nên 0b

a mà 0a nên 0b

Hoành độ hai điểm cực trị trái dấu 0c

a mà 0a nên 0c


a b c d; ; ; là?



Phương pháp Tự luận:

Ta có: 3 2 0y ax bx cx d a ;

2' 3 2

'' 6 2

y ax bx c

y ax b

.


3 2

2

lim0

3 0 0

01 03 00 0

xax bx cx d

ab ac b

b ca d

y d

Phương pháp Trắc nghiệm:

Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên 0a .

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên 0d


a b c d; ; ; là?


Tự luận: Ta có: 3 2 0y ax bx cx d a ;

2' 3 2y ax bx c .

Gọi 1 2;x x là các điểm cực trị của hàm số.



3 2

1 2

1 2

lim0

0 00

20 0

30

03

xax bx cx d

ay d

bb

x x ca

dcx x

a

nên 0

0

b

cd

Trắc nghiệm:

Đồ thị nhận thấy ngay 0a và 0d .

Tổng hoành độ hai điểm cực trị dương nên 0b

a mà 0a nên 0b

Hoành độ hai điểm cực trị trái dấu 0c

a mà 0a nên 0c

Bài 4: Cho hàm số bậc ba 3 2 y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của

a ,b , c , d là ?


Ta thấy nhánh ngoài cùng bên phải của đồ thị hướng xuốn dưới nên 0a .

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên 0d

Ta có 23 2 y ax bx c , 20 3 2 0 y ax bx c

Hàm số có hai điểm cực trị 1 0x , 2 0x

Suy ra 1 2 0 x x 2

03

b

a. Mà 0a nên 0b .

1 2 0x x 03

c

a. Mà 0a nên 0c .

Vậy 0a , 0b , 0c , 0d .

Bài 5: Cho hàm số 3 2y ax bx cx d có đồ thị là đường cong trong hình dưới

đây. Dấu của a ,b , c , d là ?


x

y

O


Dựa vào hình dạng đồ thị: đồ thị hàm bậc ba có hệ số 0a , đồ thị cắt trục tung

tại điểm có tung độ dương nên 0d .

Ta có: 23 2y ax bx c . Đồ thị có hai điểm cực trị cùng nằm bên phải trục tung

nên 0y có 2 nghiệm dương phân biệt.

Suy ra

2

2

20

0

0

03 0

3

0

0

3

3

0

a

a

b

ba

b ac

ac

c

a

b

c

.

Bài 6: Cho hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d= + + + có đồ thị như hình vẽ. Dấu của

a b c d; ; ; là?


Tự luận: Đồ thị hàm số 3 2y ax bx cx d .

+ Đồ thị có nhánh đầu tiên đi xuống nên 0a

+ Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên 0d

+ Hàm số đạt cực trị tại hai điểm có hoành độ dương nên PT

2' 3 2 0y ax bx c có hai nghiệm dương phân biệt 1 2

1 2

0 0

. 0 0

bx x b

ac

x x ca


Bài 7: Cho hàm số 3 2y ax bx cx d 0a có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Dấu của , , , a b c d là?


Ta thấy lim ; lim 0x x

y y a

. Lại có tại (0) 0y d .

Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số có hai điểm cực trị 1 2;x x trái dấu nhau lại có 23 2y ax bx c và 1 2;x x là hai nghiệm phân biệt của phương trình

0y 1 2. 0 03

cx x c

a

Tổng hợp lại ta cần có , 0, 0.a d c

Bài 8: Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị trong hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị

của m để phương trình ( )f x m= có đúng hai nghiệm phân biệt.


Từ đồ thị ( )C của hàm số ( )y f x= ta suy ra đồ thị ( )C¢ của hàm số ( )y f x=

như sau:

- Giữ nguyên phần đồ thị ( )C ở phía trên trục hoành.


- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị ( )C ở phía dưới trục hoành.

Khi đó, đồ thị ( )C¢ là hợp của hai phần trên.

Ta có: ( )f x m= là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C¢ và đường

thẳng ( ):d y m= (song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị ( )C¢ , ta có phương trình ( )f x m= có đúng hai nghiệm phân biệt

khi và chỉ khi 0 1

5

m

m

é < <êê >ë

.

Bài 9: Cho các số thực a , b , c thỏa mãn 1 0

8 4 2 0

a b c

a b c. Số giao điểm của đồ

thị hàm số 3 2 y x ax bx c và trục Ox là bao nhiêu?


Hàm số 3 2 y x ax bx c xác định và liên tục trên . Giao điểm của đồ thị hàm

số 3 2 y x ax bx c và trục Ox là nghiệm của phương trình 3 2 0 x ax bx c

có nhiều nhất ba nghiệm trên 1 .

Ta có 3

2 3lim lim 1

x x

a b cy x

x x x và 1 1 0 y a b c , nên tồn tại

điểm 1 ; 1 x sao cho 1 0y x 2 .

Lại có

1 1 0

2 8 4 2 0

y a b c

y a b c nên 1 . 2 0 y y .

Khi đó tồn tại điểm 2 1;2 x sao cho 2 0y x 3 .

Và 3

2 3lim lim 1

x x

a b cy x

x x x, 2 8 4 2 0 y a b c nên tòn tại điểm

3 2; x sao cho 3 0y x 4 .


Từ 1 , 2 , 3 , 4 suy ra phương trình 3 2 0 x ax bx c có ba nghiệm phân biệt

1 ; 1 x , 2 1;2 x và 3 2; x hay đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba

điểm phân biệt.

Bài 10: Hàm số 3 22 4 2018y x ax bx , ,a b đạt cực trị tại 1x . Khi đó

hiệu a b là


Ta có 23 4 4y x ax b .

Hàm số đạt cực trị tại 1x nên 1 0y 3 4 4 0a b 3

4a b .

Bài 11: Biết điểm 0;4M là điểm cực đại của đồ thị hàm số

3 2 2f x x ax bx a . Tính 3f .


Ta có: 23 2f x x ax b và 6 2f x x a .

0;4M là điểm cực đại của đồ thị hàm số

20 4 42

0 0 00

00 0

f aa

f bb

af

.

3 22 4f x x x . Vậy 3 13f .

Bài 12: Cho hàm số 3 2 33

2f x x x x . Phương trình

12 1

f f x

f x

có bao nhiêu

nghiệm thực phân biệt ?


Phương pháp tự luận:

Xét hàm số 3 2 33

2f x x x x .

Ta có 23 6 1f x x x .

1 12

2 2

3 6 9 8 6

3 180 3 6 1 0

3 6 9 8 6

3 18

x f x

f x x x

x f x

.

Bảng biến thiên


Xét phương trình

1

2 1

f f x

f x

.

Đặt t f x . Khi đó phương trình trở thành

3 2 3 23 5

1 2 1 3 2 1 3 0 *2 1 2 2

f tf t t t t t t t t t

t

.

Nhận xét: phương trình (*) có tối đa 3 nghiệm.

Xét hàm số 3 2 53

2g t t t t liên tục trên ¡ .

+ Ta có 1 29

3 . 4 . 02 2

g g

nên phương trình * có một nghiệm

1 3;4t t .

Khi đó dựa vào bảng biến thiên ở trên thì phương trình 1f x t với

1 1

9 8 63

18t f x

có một nghiệm.

+ Ta có 1 1 11

1 . . 02 2 8

g g


2

1;1

2t t

.


2 2 1

9 8 6 1 9 8 61

18 2 18f x t f x

có ba nghiệm phân biệt.

+ Ta có 4 217 1

. 1 . 05 250 2

g g


3

41;

5t t

.


3 2

4 9 8 6

5 18t f x

có một nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực.

Phương pháp trắc nghiệm:

Đặt t f x . Khi đó phương trình trở thành

3 2 3 23 5

1 2 1 3 2 1 3 0 *2 1 2 2

f tf t t t t t t t t t

t

.


1

2

3

3,05979197

0,8745059057

0,9342978758

t

t

t

.

+ Xét phương trình 3 2

1

33 3.05979197

2x x x t . Bấm máy tính ta được 1

nghiệm.


2

33 0,8745059057


nghiệm.


3

33 0,9342978758


nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thực.

2.Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương: 4 2 0y ax bx c, a

Dấu của a

Dấu a,b a > 0

a < 0

Pt y’ = 0 có 3

nghiệm phân biệt.

(a.b<0)

Pt y’ = 0 có 1

nghiệm (a.b>0)

2.1.Một số tính chất của hàm số bậc bốn trùng phương dựa vào đồ thị

Hướng đồ thị có bề lõm quay lên là a>0

Hướng đồ thị có bề lõm quay xuống là a<0

Hàm số 3 cực trị khi 0a.b a,b trái dấu nhau.

Hàm số 1 cực trị khi 0a.b a,b cùng dấu nhau.


Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là c Đồ thị đi qua điểm 0 0M x ; y thì ta

có phương trình 2

0 0 0

4 ax bx c y

Đồ thị có điểm cực trị 0 0M x ; y thì ta có các phương trình 2

0 0 0

0 0

4

34 0

ax bx c y

ax 2bx c

2.2.Bài tập vận dụng :

Bài 13 : Cho hàm số 4 2 0y ax bx c a có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định

dấu của , ,a b c ?


Tự luận: Ta có: 4 2 0y ax bx c a ;

3' 4 2y ax bx .


4 2

2

lim 0

0 0 0

00

2

xax bx c a

y c b

cbx

a

Trắc nghiệm:

Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên 0a .

Đồ thị có 3 cực trị nên 0ab mà 0a nên 0b

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên 0c

Bài 14: Cho hàm số 4 2 0y ax bx c a có đồ thị như hình vẽ bên. Xác định

dấu của , ,a b c ?



Tự luận: Ta có: 4 2 0y ax bx c a ;

3' 4 2y ax bx .


4 2

2

lim 0

0 0 0

00

2

xax bx c a

y c b

cbx

a

Trắc nghiệm:

Đồ thị có nhánh cuối đi lên xuống nên 0a .

Đồ thị có 3 cực trị nên 0ab mà 0a nên 0b .

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên 0c .

Bài 15: Dấu của a và b như thế nào để hàm số 4 2 0y ax bx c a có đồ thị

dạng như hình bên dưới?

x

y

O


Từ đồ thị hàm số suy ra 0.a

Ta có 3 24 2 2 2y ax bx x ax b . Hàm số có ba cực trị khi phương trình

22ax b có hai nghiệm phân biệt khác 0; điều này xảy ra khi 0.b

Bài 15: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên dưới. Số nghiệm của phương

trình 2 3 0f x là bao nhiêu?


x

y

2- 2

2

-2

0

1


Ta có 3

2 3 02

f x f x . Dựa vào đồ thị, nhận thấy đường thẳng 3

2y

cắt đồ thị hàm số y f x tại 4 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4

nghiệm.

Bài 16 : Cho hàm số 4 24 3f x x x có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hỏi phương trình 4 2

4 2 4 24 3 4 4 3 3 0x x x x có bao nhiêu nghiệm thực

phân biệt ?

x

y

3

- 3

21-1

3

-2 O


Đặt 4 22 3t x x . Khi đó ta có phương trình 4 24 3 0t t (2).

Nghiệm của phương trình (2) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục

hoành

Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình có 4 nghiệm


3

1

1

3

t

t

t

t

4 2

4 2

4 2

4 2

2 3 3

2 3 1

2 3 1

2 3 3

x x

x x

x x

x x

(vô nghiệm).

Bài 17: Cho bảng biến thiên sau:

Cho các hàm số:

1) 4 22 3y x x . 2) 2 2 3y x x . 3) 4 22 3y x x . 4) 2 1 4y x .

Số hàm số có bảng biến thiên trên là

A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1.


Chọn D

Hàm số 2 2 3y x x không có đạo hàm tại 0x vì 0 2y còn 0 2y

Hàm số 2 1 4y x không có đạo hàm tại 1x vì 1

lim 4x

y

còn 1

lim 3x

y

Hàm số 4 22 3y x x có limx

y

Hàm số 4 22 3y x x có limx

y

và 4 1 1y x x x , 0y 0

1

x

x

Nên có bảng biến thiên:

Vậy chỉ có hàm số 4 22 3y x x có bảng biến thiên phù hợp với bảng biến thiên

đã cho.

x 1 0 1

y 0 0 0

y

4

3

4

x 1 0 1

y 0 0 0

y

4

3

4


3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất / bậc nhất:ax b

ycx d

0ad bc 0ad bc

3.1. Một số tính chất của hàm số bậc nhất / bậc nhấtax b

ycx d

dựa vào đồ thị

Đưởng thẳng song song với Oy là đường tiệm cận đứng d

xc

.

Nếu đường thẳng này nằm bên trái trục Oy thì 0d

d,cc

cùng dấu nhau.

Nếu đường thẳng này nằm bên phải trục Oy thì 0d

d,cc

trái dấu nhau.

Đưởng thẳng song song với Ox là đường tiệm cận ngang a

yc

.

Nếu đường thẳng này nằm trên trục Ox thì 0a

a,cc cùng dấu nhau.

Nếu đường thẳng này nằm dưới trục Ox thì 0a

a,cc trái dấu nhau.

Hàm số 1 cực trị khi 0a.b

Hướng đồ thị có bề lõm quay lên là a>0,

Hướng đồ thị có bề lõm quay xuống là a<0

Đồ thị cắt Oy tại điểm có tung độ là c

3.2.Bài tập vận dụng:

Bài 18: Cho hàm số bx c

yx a

( 0a và a , b , c ) có đồ thị như hình bên. Dấu

của a,b và hiệu c ab như thế nào?


O

y

x


Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang 0y b

tiệm cận đứng 0x a .

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định nên 0c ab

Bài 19: Đồ thị hàm số

ax by

cx d có dạng như hình bên dưới. Tích bc mang dấu

gì?


Từ đồ thị hàm số suy ra TCN là 0a

yc

và TCĐ là 0.d

xc

Từ đó suy ra 0, 0ac dc

Đồ thị hàm số đi qua điểm 0;

bM

d với 0

b

d nên 0bd . Vì 0dc và 0bd nên

2. 0 . . 0 . 0dc bd b c d b c .

Bài 20: Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số

ax by

cx d. Tích số a.b mang dấu

gì?



TCN: 0a

yc

suy ra 0 1 .ac

TCĐ 0, d

xc

suy ra 0.dc (2)

Đồ thị hàm số qua 0;

b

d với 0,

b

dsuy ra 0bd . (3).

Từ 1 2 , suy ra 0. 4ad

Từ 3 4 , suy ra 0.ab

Bài 21: Cho hàm sốx b

ycx d

có đồ thị như hình vẽ. Dấu của b,c,d là gì?


TCN: 01

0y cc

(1)

TCĐ: 0, d

xc

mà 0c nên 0.d (2)

x

y

O



b

d với 0,

b

dsuy ra 0bd . (3).

Từ 2 3 , suy ra 0. b

Bài 22: Tìm a, b,c để hàm số2ax

ycx b

có đồ thị như hình bên.


TCN: 2 2 , 1a

y a cc

TCĐ: 2 2 , 2b

x b cc

Từ 1 2 , suy ra 2a b c


2

b với 2

21

bb

suy ra:

1

1

2

a

c

Bài 23 : Hãy xác định các số thực a và b để hàm số2ax

yx b

có đồ thị như hình

vẽ bên.



TCN: 3, 1y a

TCĐ: 1 1, 2x b b

Bài 24: Cho hàm số y f x liên tục trên \ 1 và có bảng biến thiên như sau:.

Đồ thị hàm số 1

2 5y

f x

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?


Dựa vào BBT, phương trình 2 5 0f x 5

2f x có 4 nghiệm phân biệt thuộc

các khoảng ; 2 , 2;1 , 1;2 , 2; nên đồ thị hàm số 1

2 5y

f x

có 4

đường tiệm cận đứng.

Bài 25: Cho hàm số 1

2

axy

bx

có đồ thị như hình vẽ. Tính T a b .



2

2

2

a by

bx

.

Dựa vào đồ thị hàm số hàm số nghịch biến trên tập xác định 2 0a b * .

Đồ thị có hai đường tiệm cận: 2x và 1y .

Khi đó 1

1

2 12

a

ab

b

b

Thỏa mãn * . Vậy 2T .

4. Sự tương giao giữa các đồ thị hàm số ( ),y f x=

( )' ,y f x=

( )'' ,y f x=

4.1.Lý thuyết cơ sở:

Giao điểm của đồ thị hàm số ( )y f x= với trục hoành là nghiệm của phương trình

hoành độ giao điểm ( ) 0.f x =

Chẳng hạn:

Hàm số ( )y f x= có đồ thị như hình bên.

Suy ra phương trình ( ) 0f x = có 3 nghiệm ( ); ;x a x b x c= = =

4.2. Bài tập vận dụng :

Bài 26: Cho hàm số ( )y f x có đồ thị ( )y f x cắt trục Ox tại ba điểm có hoành

độ a b c như hình vẽ.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. ( ) ( ) ( ).f c f a f b B. ( ) ( ) ( ).f c f b f a

C. ( ) ( ) ( ).f a f b f c D. ( ) ( ) ( ).f b f a f c


Đồ thị của hàm số ( )y f x liên tục trên các đoạn ;a b và ;b c , lại có ( )f x là

một nguyên hàm của ( )f x .

Oa b c

y

x


Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )

0

y f x

y

x a

x b

là:

d d1

( ) ( )b b

b

aa a

S f x x f x x f x f a f b .

Vì 1

0S f a f b 1

Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

( )

0

y f x

y

x b

x c

là:

d d2

( ) ( )c c

c

bb b

S f x x f x x f x f c f b .

2

0S f c f b 2 .

Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: 1 2

S S f a f b f c f b f a f c

3 .

Từ (1), (2) và (3) ta chọn đáp án A.

Bài 27: Cho hàm số 2 2 2( ) ( 1)( 4)( 9)y f x x x x x . Hỏi đồ thị hàm số ( )y f x¢=

cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt?


Ta có:

2 2 2

3 4 2

7 5 3

1 4 9

13 36

14 49 36

f x x x x x

x x x x

x x x x

6 4 27 70 147 36f x x x x

Đặt 2 , 0t x t

Xét hàm 3 27 70 147 36g t t t t

Do phương trình 221 140 147 0g t t t có hai nghiệm dương phân biệt và

0 36 0g nên 0g t có 3 nghiệm dương phân biệt

Do đó 0f x có 6 nghiệm phân biệt.


Bài 28: Cho hàm số y f x liên tục trên R.. Biết đồ thị của hàm số 'y f x

trên R. như hình vẽ bên. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào?


Hàm số y f x nghịch biến khi ' 0y f x

quan sát hình vẽ ta thấy ' 0y f x ( phần đồ thị nằm dưới Ox ) ta thấy

' 0, 0;2y f x x

Bài 29: Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

3 2 2018y f x nghịch biến trên khoảng ?


Ta có 1 1 4f x k x x x với 0k

3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 4f x k x x x .

Hàm số 3 2 2018y f x nghịch biến khi 2. 3 2 0y f x


3 2 0f x 3 2 4

1 3 2 1

x

x

1

2

1 2

x

x

.

Vậy hàm số 3 2 2018y f x nghịch biến trên 1; 2 và 1

;2

.

Bài 30 : Cho hàm số 0f x thỏa mãn điều kiện 22 3f x x f x và

1

02

f . Biết rằng tổng 1 2 3 ... 2017 2018a

f f f f fb

với

*,a b và a

b là phân số tối giản. Tính hiệu b a ?


Ta có 22 3f x x f x 2

2 3f x

xf x

d 2 3 df x

x x xf x

213x x C

f x .

Vì 1

0 22

f C .

Vậy

1 1 1

1 2 2 1f x

x x x x

.

Do đó 1 1 1009

1 2 3 ... 2017 20182020 2 2020

f f f f f .

Vậy 1009a ; 2020b . Do đó 3029b a .

Bài 31: Cho hàm số y f x liên tục trên . Biết rằng hàm số y f x có đồ thị

như hình vẽ. Hàm số 2 5y f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

x

y

-2

-4 -1 2O

2

Vũ Văn Bắc

https://www.facebook.com/profile.php?id=100012368536410&fref=gc&dti=665874403588775











Hướng dẫn giải

Xét hàm số 2 5y f x

Ta có 22 . 5y x f x , 2

2

2

0

5 40

5 1

5 2

x

xy

x

x

0

1

2

7

x

x

x

x

.

Bảng xét dấu:

x 7 2 1 0 1 2 7

y 0 0

0 0 0 0 0

Từ bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên khoảng 0;1 .

Bài 32: Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m để phương trình 6sin 8cos 1f x x f m m có nghiệm ?


Nhận thấy hàm số y f x là hàm số đồng biến trên

6sin 8cos 1 6sin 8cos 1f x x f m m x x m m

Đặt 6sin 8cosy x x .

Có : 2 2 26 8 10 10y y

Vậy phương trình có nghiệm 10 1 10m m

2

2

10 0 1 41 1 41

2 210 0

m mm

m m

Vì 3; 1; 1;0;1;2m m .

Vậy có 6 số nguyên thỏa yêu cầu bài toán .


Bài 33: Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm trên và '( ) 0 (0; )f x x . Biết

(1) 2f . Khẳng định nào dưới đây có thể xảy ra?

A. (2017) (2018)f f . B. ( 1) 2f .

C. (2) 1f . D. (2) (3) 4f f .


Chọn B

Ta có ( )f x đồng biến trên (0; ) nên: (2) (3) 2 (1) 4f f f , (2) (1) 2f f ,

(2018) (2017)f f . Khẳng định có thể xảy ra là ( 1) 2f .

Bài 34: Cho hàm số y f x . Biết f x có đạo hàm là f x và hàm số y f x

có đồ thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y f x chỉ có hai điểm cực trị.

B. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 1;3 .

C. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ;2 .

D. Đồ thị của hàm số y f x chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của

trục hoành.


Chọn B

Vì 0y có ba nghiệm phân biệt nên hàm số hàm số y f x có ba điểm cực trị.

Do đó loại hai phương án A và D.

Vì trên ;2 thì f x có thể nhận cả dầu âm và dương nên loại phương án C.

Vì trên 1;3 thì f x chỉ mang dấu dương nên y f x đồng biến trên khoảng

1;3 .

Bài 35: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên đoạn 0;5 và đồ thị

hàm số y f x trên đoạn 0;5 được cho như hình bên.


Tìm mệnh đề đúng

A. 0 5 3f f f . B. 3 0 5f f f .

C. 3 0 5f f f . D. 3 5 0f f f .


Ta có 5

3

5 3 0f x x f f d , do đó 5 3f f .

3

0

3 0 0f x x f f d , do đó 3 0f f

5

0

5 0 0f x x f f d , do đó 5 0f f

Chọn C

Bài 36: Cho hàm số f x xác định trên và có đồ thị hàm số y f x là đường

cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 1;2 .

B. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 0;2 .

C. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 2;1 .

D. Hàm số f x nghịch biến trên khoảng 1;1 .


Từ đồ thị hàm số y f x ta có 0

02

xf x

x

5

3 5

1

xO

y


Ta lập được bảng biến thiên như sau.

2 ∞∞

0

+

+

2

y

y'

x0

0 0 +

∞+∞+

Từ bảng biến thiên ta chọn đáp án B

Bài 37: Cho hàm số f x có đạo hàm 2 3

1 1 2f x x x x . Hàm số f x

đồng biến trên khoảng nào?


Hàm số đã cho xác định trên D .

2 3

1

0 1 1 2 0 1

2

x

f x x x x x

x

.

f x( )

∞∞

0

+21

f' x( )

x1

0 0 +

Vậy hàm số f x đồng biến trên khoảng 1 2;

Bài 38: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm 2( ) ( 1).f x x x Hỏi hàm số ( )f x đồng biến

trên khoảng nào?


Hàm số đã cho xác định trên D .

20

( ) 0 ( 1) 01

xf x x x

x

0

0

0

x

y'

y

1

+

+∞ ∞

Vậy hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng (1; ).

Bài 39: Cho hàm số ( )y f x xác định và đồng biến trên R . Hỏi hàm số nào

được kiệt kê dưới đây cũng có thể đồng biến trên R?


A. ( )y f x B . 2( )y f x C. 1

( )y

f x D. 3y f x


Hàm số ( )y f x xác định và đồng biến trên R suy ra '( ) 0,f x x Rđẳng thức chỉ

xãy ra tại một số hữu hạn điểm

Ta thấy

( ) ' '( ) 0y f x y f x Loại A 2( ) ' 2 ( ) '( )y f x y f x f x chưa kết luận được về dấu 'y Loại B

2

1 '( )' 0

( ) ( )

f xy y

f x f x Loại C

3 2' 3 ' 0y f x y f x f x Chọn D

Bài 40: Cho hàm số ( )y f x xác định và đồng biến trên R. Hỏi hàm số nào được

liệt kê dưới đây nghịch biến trên R?

A. ( )y f x B. 2( )y f x C. 1

( )y

f x D. 3y f x


Hàm số ( )y f x xác định và đồng biến trên R suy ra '( ) 0,f x x Rđẳng thức chỉ

xãy ra tại một số hữu hạn điểm

Ta thấy

( ) ' '( ) 0y f x y f x Chọn A 2( ) ' 2 ( ) '( )y f x y f x f x chưa kết luận được về dấu 'y Loại B

2

1 '( )' 0

( ) ( )

f xy y

f x f x Loại C

(tại những điểm ( ) 0f x hàm số không xác định )

3 2' 3 ' 0y f x y f x f x Loại D

Bài 41: Cho hàm số ( )y f x đồng biến trên khoảng 3;7 ; nghịch biến trên

khoảng 1;2 . Hỏi với 1 2,x x nhận giá trị nào được liệt kê dưới đây để

1 2 1 2( )( ( ) ( )) 0x x f x f x

A. 1 20, 1x x . B. 1 25, 1x x .

C. 1 26, 1x x . D. 1 24, 5x x .


Ta thấy 1 2 1 2 1 2( )( ( ) ( )) 0x x f x f x x x và 1 2( ) ( )f x f x cùng dấu tức là ( )y f x

đồng biến, suy ra 1 2 1 2, 3;7 4, 5x x x x . Chọn D


Bài 42: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên R . Biết rằng đồ thị của

hàm số 'y f x như hình vẽ. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R ?

A. 1.y f x B. 1.y f x

C. .y f x x D. .y f x x


Từ đồ thị hàm số 'y f x ta thấy ' 1, ' 1 0,f x x f x x R R

Chọn đáp án C

Bài 43: Cho hai hàm số y f x và y g x xác định và liên tục trên R . Biết

rằng đồ thị hàm số 'y f x và 'y g x như trong hình vẽ ( đồ thị hàm số

'y f x là đường mảnh hơn màu đỏ, đồ thị hàm số 'y g x là đường nét to hơn

màu xanh). Hàm số h x f x g x nghich biến trong khoảng nào?


Ta có ' ' 'h x f x g x

Hàm số nghịch biến khi ' 0 ' ' 0 ' 'h x f x g x f x g x


Quan sát hình vẽ ta thầy phần đồ thị hàm số 'y f x nằm dưới phần đồ thị hàm

số 'y g x khi 0;4x .

Vậy hàm số h x f x g x đồng biến trên 0;4

Bài 44: Cho hàm số y f x xác định trong khoảng ;a b và có đồ thị như hình

bên dưới. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là sai?

x2 x3x1 baO

y

x

A. Hàm số y f x có đạo hàm trong khoảng ;a b .

B. 1 0f x . C. 2 0f x . D. 3 0f x .


Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại x , 1 2;x x x , đạt cực tiểu tại 3x , và

hàm số đồng biến trên các khoảng ;a x , 3;x b , hàm số nghịch biến trên 3;x x ;

đồ thị hàm số không bị "gãy" trên ;a b .

Vì 2 3;x x x nên 2 0f x .

Do đó mệnh đề C sai.

Bài 45: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Đặt 3h x x f x . Hãy so

sánh 1h , 2h , 3h ?



Dựa vào đồ thị ta có: 1 2 3 2f f f .

3h x x f x 1 3.1 2 1h , 2 3.2 2 4h , 3 3.3 2 7h .

1 2 3h h h .

Bài 46: Cho hàm số y f x có tính chất 0, 0;3f x x và 0f x khi và

chỉ khi 1;2x . Hỏi khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số f x là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng 1;2 .

B. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 0;3 .

C. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 2;3 .

D. Hàm số f x đồng biến trên khoảng 0;1 .


Chọn B

+) 0, 1;2f x x f x là hàm hằng (tức là không đổi) trên khoảng 1;2 .

+) 0, 2;3f x x f x đồng biến trên khoảng 2;3 .

+) 0, 0;1f x x f x đồng biến trên khoảng 0;1 .

+) 0, 0;3f x x và 0, 1;2f x x mà đoạn 1;2 có vô hạn điểm nên

không suy ra được f x đồng biến trên khoảng 0;3 sai.

(Định lí mở rộng trong sách giáo khoa là nếu 0f x với ;x a b và 0f x

chỉ tại hữu hạn điểm trên ;a b thì f x đồng biến trên ;a b ).

Bài 47 : Cho hàm số f x có đạo hàm trên và 0, 0f x x . Biết 1 2f ,

hỏi khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

A. 2 1f . B. 1 2f .

C. 2 3 4f f . D. 2020 2021f f .


Chọn B

Vì 0, 0f x x nên hàm số f x đồng biến trên 0, .

Do đó:

2 1 22 3 4

3 1 2

f ff f

f f

.

2020 2021f f .


5. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến

thiên.

5.1. Lý thuyết cơ sở:

Bảng 1:

Hàm số ( )y f x= đạt cực đại tại điểm 0x x= .

Bảng 2:

Hàm số ( )y f x= đạt cực tiểu tại điểm 0x x= .

5.2. Bài tập vận dụng:

Bài 48: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới. Quan sát đồ thị và hãy chọn

khẳng định sai trong các khẳng định được cho dưới đây.

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng 1.y

B. Hàm số đạt cực tiểu tại 1.x C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 và đồng biến trên khoảng 0; .

D. Phương trình f x m có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 1. m


Chọn B

Vì Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại 0x .

Bài 49: Cho hàm số f x có đạo hàm 4 5 3

1 3f x x x m x . Có bao nhiêu

giá trị nguyên của tham số m trong đoạn 5;5 để số điểm cực trị của hàm

số f x bằng 3 :



Nếu 1m thì hàm số f x có hai điểm cực trị là 1 0x và 3 0x . Khi đó,

hàm số f x chỉ có 1 cực trị. Do đó, 1m không thỏa yêu cầu đề bài.

Nếu 3m thì hàm số f x không có cực trị. Khi đó, hàm số f x chỉ có 1 cực

trị. Do đó, 3m không thỏa yêu cầu đề bài.

Khi 1m và 3m thì hàm số f x có hai điểm cực trị là x m và 3 0x .

Để hàm số f x có 3 điểm cực trị thì hàm số f x phải có hai điểm cực trị trái

dấu 0m .

Vì mZ và 5;5m nên m nhận các giá trị 1, 2 , 3 , 4 , 5 .

Bài 50: Hàm số y f x có đồ thị y f x như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu

điểm cực trị?


Dựa vào đồ thị trên ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt trục hoành tại 0x .

Bảng biến thiên của hàm số y f x .

Dựa vào bảng trên số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1.

Bài 51: Cho hàm số f có đạo hàm là ( ) ( )2 35( ) 1 3f x x x x¢ = - + . Hàm số ( )f x có

bao nhiêu điểm cực trị ?


( ) ( )2 35

0

( ) 1 3 0 1

3

x

f x x x x x

x

é =êê¢ = - + = Û =êê = -ë

Trong đó 0x là nghiệm bội lẻ, 1x là nghiệm kép, 3x là nghiệm bội lẻ.

x 0x

f x – 0

f x


Mà f ' x không đổi dấu khi qua nghiệm kép, nên hàm số ( )f x có 2 điểm cực trị.

Bài 52: Cho hàm số f x có đạo hàm

2 3

1 2 2 3f x x x x . Tìm số điểm cực trị của f x .


2 3

1

1 2 2 3 0 2

3

2

x

f x x x x x

x

2x (bội lẻ), 2

3x (bội lẻ), 1x (bội chẵn)

Mà f ' x không đổi dấu khi qua nghiệm kép, nên hàm số có 2 điểm cực trị là

2x , 2

3x .

Bài 53: Cho hàm số f có đạo hàm là

4 31 3f x x x x . Tìm số điểm cực trị

của f x .


0

0 1

3

x

f x x

x

.

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có hai điểm cực trị.

Bài 54: Cho hàm số y f x có đạo hàm 2 41 2 4f x x x x . Số điểm

cực trị của hàm số y f x là bao nhiêu?



Ta có 2 40 1 2 4 0f x x x x 2

2 21

1 2 2 02

xx x x

x

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra số điểm cực trị của hàm số là 1.

Bài 55: Cho hàm số f x có đạo hàm là 2 4

1 2f x x x x x . Số điểm

cực tiểu của hàm số f x là bao nhiêu?


2 4

0

1 2 0 1

2

x

f x x x x x

x

.

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số f x có 1 điểm cực trị.

Bài 56: Hàm số f x xác định và liên tục trên và có đạo hàm

2

2 1 1f x x x . Khi đó hàm số f x đạt cực đại tại điểm nào?


Ta có 2 1

' 0 2 1 1 01

xf x x x

x

.

Bảng biến thiên của hàm số f x


Suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại 1x .

Bài 57: Cho hàm số f x có đạo hàm 32 22 2f x x x x , x . Số điểm

cực trị của hàm số là bao nhiêu?


Ta có f x có 4 nghiệm phân biệt là 4 2 ; 0 ; 2 .

Tuy nhiên f x chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm 4 2 và 2 nên hàm số f x

có 3 điểm cực trị.

Bài 58: Hàm số ( )y f x= liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số

( )'y f x= trên K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số ( )y f x= trên K .


Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị ( )'y f x= cắt trục Ox tại mấy điểm

mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị ( )'y f x= tiếp xúc với trục Ox . Ta chọn

đáp án B.

Bài 59: Hàm số ( )f x có đạo hàm ( )'f x trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị của

hàm số ( )'f x trên khoảng K . Hỏi hàm số ( )f x có bao nhiêu điểm cực trị?

x

y

1


A. 0.

B.1.

C. 2.

D. 4.


Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại điểm 1x = - nên chọn đáp án B.

Bài 60: Hàm số ( )y f x= liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số

( )'y f x= trên K như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số ( ) ( )1g x f x= + trên K ?


Ta có ( ) ( )' ' 1g x f x= + có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số

( )'y f x= theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số

( ) ( )' ' 1g x f x= + vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm.

Bài 61: Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi

đó trên ,K hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị?



Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 1 điểm nên chọn đáp án A.

Bài 62: Cho hàm số ( )y f x xác định và liên tục trên . Biết đồ thị của hàm số

( )f x như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số ( )y f x trên đoạn [0;3]?


Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 3 điểm, ta thấy f x đổi dấu từ âm sang

dương khi qua 2x = nên chọn đáp án C.

Bài 63: Cho hàm số f x có đồ thị f x của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi

đó trên ,K hàm số 2018y f x có bao nhiêu điểm cực trị?


O x

y


Đồ thị hàm số ( )' 2018f x- là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f x theo

phương trục hoành nên đồ thị hàm số ( )' 2018f x- vẫn cắt trục hoành 1 điểm.

Bài 64: Cho hàm số f x xác định trên và có đồ thị của hàm số f x như

hình vẽ bên. Hàm số 2022f x có mấy điểm cực trị?


Đồ thị hàm số ( )' 2022f x+ là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f x theo

phương trục hoành nên đồ thị hàm số ( )' 2022f x+ vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm.


hình vẽ . Hàm số ( ) ( ) 4y g x f x x= = + có bao nhiêu điểm cực trị?


( ) ( )' ' ' 4y g x f x= = + có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số ( )'f x theo phương

Oy lên trên 4 đơn vị.

Khi đó đồ thị hàm số ( )'g x cắt trục hoành tại 1 điểm.

f xy

xO



hình vẽ . Hàm số ( ) ( ) 3y g x f x x= = - có bao nhiêu điểm cực trị?


( ) ( )' ' ' 3y g x f x= = - có đồ thị là phép tịnh tiến

đồ thị của hàm số f x theo phương Oy xuống

dưới 3 đơn vị.

Khi đó đồ thị hàm số ( )'g x cắt trục hoành tại 3 điểm,

ta chọn đáp án C.

Bài 67: Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên ¡ . Hàm số ( )'y f x= có đồ thị như

hình vẽ. Hàm số ( ) ( )2017 2018

2017

xy g x f x

-= = + có bao nhiêu cực trị?


x

y

2

5

1

x3x2x1


x

y

2

5

1

x3x2x1

Ta có ( ) ( )2018

' ' '2017

y g x f x= = - . Suy ra đồ thị của hàm số ( )'g x là phép tịnh tiến

đồ thị hàm số ( )'y f x= theo phương Oy xuống dưới 2018

2017 đơn vị.

Ta có 2018

1 22017

< < và dựa vào đồ thị của hàm số ( )'y f x= , ta suy ra

đồ thị của hàm số ( )'g x cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.

Bài 68: Cho hàm số ( )y f x= xác định và liên tục trên ¡ , có đồ thị của hàm số

( )'y f x= như hình vẽ sau.

Đặt ( ) ( )g x f x x= + .

Tìm số cực trị của hàm số ( )g x ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.


Ta có ( ) ( )' ' 1g x f x= + .

Đồ thị của hàm số ( )'g x là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số

( )'y f x= theo phương Oy lên trên 1 đơn vị,

khi đó đồ thị hàm số ( )'g x cắt trục hoành tại hai điểm phân

biệt, ta chọn đáp án B.


6. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến

thiên.

6.1. Lý thuyết cơ sở

Bảng 3:

Ta có:

[ ]( )0

;min

a by f x= .

Bảng 4:

Ta có:

[ ]( )0

;max

a by f x= .

Bảng 5:

Ta có:

[ ]( )

[ ]( )

;;

min ;maxa ba b

y f a y f b= = .Ta có: [ ]

( )[ ]

( ); ;

min ;maxa b a b

y f b y f a= = .


Bài 69: Cho hàm số y f x có đồ thị trên đoạn 2; 4 như hình vẽ bên. Tìm giá

2; 4max f x

.


Dựa vào đồ thị ta có:

2; 4

max 2f x

khi 2x


2; 4min 3f x

khi 1x .

Vậy

2; 4

max 3f x

khi 1x .

Bài 70: Hàm số y f x có đồ thị y f x như hình vẽ.

Xét hàm số 3 21 3 32017

3 4 2g x f x x x x

Trong các mệnh đề dưới đây

(I) (0) (1)g g .

(II) 3;1

min ( ) ( 1)x

g x g

.

(III) Hàm số ( )g x nghịch biến trên ( 3; 1) .

(IV)

3;1

max max ( 3), (1)x

g x g g.

Số mệnh đề đúng là

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.


Chọn D

Ta có 2 23 3 3 3' ' ' ( )

2 2 2 2g x f x x x f x x x Căn cứ vào đồ thị ta

có:

'( 1) 2 '( 1) 0

'(1) 1 '(1) 0

'( 3) 3 '( 3) 0

f g

f g

f g

Vẽ Parabol (P): 2 3 3

2 2y x x trên cùng hệ trục với đồ thị của hàm số y f x

Ta có: Trên ( 3; 1) thì 2 3 3

'2 2

f x x x nên ' 0 ( 3; 1)g x x

Trên ( 1;1) thì 2 3 3

'2 2

f x x x nên ' 0 ( 1;1)g x x

O x

y

1

3

-3

-1

1

-2


Khi đó BBT của hàm số g x trên đoạn 3;1 :

Vậy: 3;1

min ( ) ( 1)x

g x g

, (0) (1)g g ,

hàm số ( )g x nghịch biến trên ( 3; 1)

và

3;1

max max ( 3), ( 1)x

g x g g .

Bài 71: Cho hàm số f x có đạo hàm là f x . Đồ thị của hàm số y f x được

cho như hình vẽ bên.

Biết rằng 0 3 2 5f f f f . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

f x trên đoạn 0;5 ?


Từ đồ thị y f x trên đoạn 0;5 , ta có bảng biến thiên của hàm số y f x

Suy ra

0;5

min 2f x f .

Từ giả thiết ta có ( ) ( ) ( ) ( )0 3 2 5f f f f+ = + nên ( ) ( ) ( ) ( )5 2 3 0f f f f+ - =

Hàm số f x đồng biến trên 2;5 nên ( ) ( )3 2f f> hay ( ) ( )2 3 0f f- < , suy ra

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5 2 3 5f f f f f= + - <

Vây

0;5

max 5f x f .


Bài 72: Cho hàm số y f x liên tục trên có đồ thị y f x cho như hình

dưới đây. Đặt 2

2 1g x f x x . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của g x trên đoạn

3;3 .

.


Ta có 2

2 1g x f x x

2 2 2 0 1g x f x x f x x . Quan sát trên đồ thị ta có hoành độ

giao điểm của f x và 1y x trên khoảng 3;3 là 1x .

Vậy ta so sánh các giá trị 3g , 1g , 3g

Xét 1 1

3 3

d 2 1 d 0g x x f x x x

1 3 0 1 3g g g g .

Tương tự xét 3 3

1 1

d 2 1 d 0g x x f x x x 3 1 0 3 1g g g g .

Xét 3 1 3

3 3 1

d 2 1 d 2 1 d 0g x x f x x x f x x x

3 3 0 3 3g g g g . Vậy ta có 1 3 3g g g .

Vậy

3;3

max 1g x g

.


Bài 73: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình bên. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 2;3 . ?


Dựa vào đồ thị ta thấy trên 2;3 ta có giá trị của hàm số nhỏ nhất là -2,

lớn nhất là 3 nên 2;3

min 2f x

và 2;3

max 3.f x

Bài 74: Cho hai hàm số y f x , y g x có đạo hàm là f x , g x . Đồ thị

hàm số y f x và g x được cho như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng 0 6 0 6f f g g . Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

hàm số h x f x g x trên đoạn 0;6 ?


Ta có h x f x g x .

0 2h x x

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:


Và 0 6 0 6f f g g 0 0 6 6f g f g .

Hay 0 6h h .

Vậy

0;6

max 6h x h ;

0;6

min 2h x h .

Bài 75: Biết hàm số y f x liên tục trên có M và m lần lượt là GTLN,

GTNN của hàm số trên đoạn 0;2 . Trong các hàm số sau, hàm số nào cũng có

GTLN và GTNN tương ứng là M và m ?.

A. 2

4

1

xy f

x

. B. 2 siny f x cosx .

C. 3 32 siny f x cos x . D. 22y f x x .


Chọn A

Đặt 2

4

1

xt

x

trên 0;2

Ta có:

2

22

4 4

1x

xt

x

0 1xt x trên 0;2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 0 2t .

Do đó: Hàm số y f x liên tục trên có M và m lần lượt là GTLN, GTNN

của hàm số trên đoạn 0;2 khi và chỉ khi hàm số y f t liên tục trên có M

và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 0;2

Bài 76: Xét hàm số 2f x x ax b , với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn

nhất của hàm số trên 1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính 2a b ?

x 0 2 6

h x 0

h x 0h

2h

6h



Ta có max , 12

A BA B

. Dấu xảy ra khi A B .

Ta có max , 22

A BA B

. Dấu xảy ra khi A B .

Xét hàm số 2g x x ax b , có 02

ag x x

.

Trường hợp 1: 1;32

a 6;2a . Khi đó M max 1 , 9 3a b a b .

Áp dụng bất đẳng thức 1 ta có M 4 2 8a .

Trường hợp 2: 1;32

a 6;2a . Khi đó

2

M max 1 , 9 3 ,4

aa b a b b

.

Áp dụng bất đẳng thức 1 và 2 ta có

2

M max 5 ,4

aa b b

21M 20 4

8a a

21M 16 2

8a .

Suy ra M 2 .

Vậy M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được là M 2 khi

2

2

52

1 9 3

a

aa b b

a b a b

2

1

a

b

.

Do đó 2 4a b .

7. Phép biến đổi đồ thị:

7.1. Lý thuyết cơ sở:

Cho hàm số ( )y f x= có đồ thị (C). Khi đó, với số 0a> ta có:

Hàm số ( )y f x a= + có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên

trên a đơn vị.

Hàm số ( )y f x a= - có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Oy

xuống dưới a đơn vị.

Hàm số ( )y f x a= + có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua

trái a đơn vị.


Hàm số ( )y f x a= - có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua

phải a đơn vị.

Hàm số ( )( )

( )

0

0

f x khi xy f x

f x khi x

ì >ïï= = íï - £ïî

có đồ thị (C’) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên

trái Oy .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy .

Hàm số ( )( ) ( )

( ) ( )

0

0

f x khi f xy f x

f x khi f x

ì >ïï= = íï - £ïî

có đồ thị (C’) bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox .

+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C)

nằm dưới


Bài 77: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình 2

1

xm

x

có đúng hai nghiệm phân biệt ?


*Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2

1

xy f x

x có đồ thị C ta được đồ thị như hình

bên dưới.

*Từ đồ thị C suy ra đồ thị hàm số 2

1

xy f x

x có đồ thị 1C bằng cách:

Phần 1 : Giữ nguyên đồ thị hàm số C phần bên phải trục tung.

Phần 2 : Lấy đối xứng phần 1 qua trục tung.

Ta được đồ thị 1C như hình bên dưới.

O x

y

221

1

2

:1

xC y

x

2

2:

1

xC y

x

1

2:

1

xC y

x

O

x

y

2

1

2 O x

y

222

2


*Từ đồ thị hàm số 1C suy ra đồ thị hàm số 2

1

xy f x

x có đồ thị 2C bằng

cách:

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị 1C nằm trên trục Ox .

Phần 2: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục Ox của đồ thị 1C qua trục Ox .

Ta được đồ thị 2C như hình vẽ bên trên.

Quan sát đồ thị 2C ta được phương trình2

1

xm

xcó đúng hai nghiệm phân biệt

khi và chỉ khi 0

1 2

m

m.

Bài 77: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ.

Tìm số nghiệm của phương trình 1 2f x


Từ bảng biến thiên của hàm số đã cho ta suy ra bảng biến thiên của hàm số

1y f x như sau :

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình 1 2f x có 5 nghiệm.

Bài 78:Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số 2 22 2 y x x tại 6 điểm phân biệt.


Xét hàm số 2 2 4 22 2 2 4 y g x x x x x

Ta có 3 20

8 8 8 1 01

xg x x x x x

x .

Ta có đồ thị hàm số 4 22 4 g x x x , từ đó suy ra đồ thị hàm số 2 22 2 y x x


Bài 79: (câu 49-đề 101-TNTHPTQG 2017-2018) Cho hàm số ( )y f x .

Đồ thị của hàm số ( )y f x như hình bên.

Đặt 2( ) 2 ( )h x f x x .

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. (4) ( 2) (2)h h h .

B. (4) ( 2) (2)h h h .

C. (2) (4) ( 2)h h h .

D. (2) ( 2) (4)h h h .

Hướng dẫn:

Ta có '( ) 2 '( ) 2 2 'h x f x x f x x . Ta vẽ đường thẳng y x= .


( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2

2

2

2 2 '

2 ' 0

2 2 .

h h h x dx

f x x dx

h h

-

-

- - =

é ù= - >ë û

Þ > -

ò

ò

Hoặc

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

4

2

2

2

4 2 '

2 ' 0

4 2 .

h h h x dx

f x x dx

h h

-

- =

é ù= - <ë û

Þ <

ò

ò

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

4 4 2 4

2 2 2 2

1 2

4 2 ' 2 ' 2 ' 2 '

2 2 0 4 2 .

h h h x dx f x x dx f x x dx f x x dx

S S h h

- - -

é ù é ù é ù- - = = - = - + -ë û ë û ë û

= - > Þ > -

ò ò ò ò

Như vậy ta có: ( ) ( ) ( )2 4 2 .h h h- < < Ta chọn đáp án C.

Bài 80: (câu 48-đề 102-TNTHPTQG 2017-2018) Cho hàm số y f x .

Đồ thị của hàm số y f x như hình bên.

Đặt 2

2 1g x f x x .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 3 3 1g g g .

B. 3 3 1g g g .

C. 1 3 3g g g .

D. 1 3 3g g g .

Hướng dẫn:

Ta có:

' 2 ' 2 1

2 ' 1

g x f x x

f x x

Ta vẽ đường thẳng 1y x= + .

O 1 3 x

2

4

2

3

y


Ta có:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

3

1

3

1 3 g'

2 ' 1 0 1 3 .

g g x dx

f x x dx g g

-

-

- - =

é ù= - + > Þ > -ë û

ò

ò

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3

1

3

1

3 1 g'

2 ' 1 0 3 1 .

g g x dx

f x x dx g g

- =

é ù= - + < Þ <ë û

ò

ò

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

3

3

3

1 3

3 1

1 2

3 3 g'

2 ' 1

2 ' 1 2 ' 1

2 2 0

3 3 .

g g x dx

f x x dx

f x x dx f x x dx

S S

g g

-

-

-

- - =

é ù= - +ë û

é ù é ù= - + + - +ë û ë û

= - >

Þ > -

ò

ò

ò ò

Như vậy ta có: 1 3 3g g g

Ta chọn đáp án D.


Bài 81: (câu 46-đề 103-TNTHPTQG 2017-2018)Cho hàm số y f x . Đồ thị

của hàm số y f x như hình vẽ. Đặt 22g x f x x . Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A. 3 3 1g g g . B. 1 3 3g g g .

C. 1 3 3g g g . D. 3 3 1g g g .

Hướng dẫn:

Ta có: ' 2 ' 2 2 ' ' 2 'g x f x x f x x g x x f x Ta vẽ đường thẳng y x= - .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

3 3

3 1 ' 2 ' 0 3 1 .g g g x dx x f x dx g g- -

é ù- - = - = - - > Þ - >ë ûò ò

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3

1 1

1 3 ' 2 ' 0 3 1 .g g g x dx x f x dx g gé ù- = - = - - < Þ >ë ûò ò

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 1 3

1 2

3 3 1

3 3 g' 2 ' 2 ' 2 2 0

3 3 .

g g x dx x f x dx x f x dx S S

g g

- -

é ù é ù- - = - = - - + - - = - >ë û ë û

Þ - >

ò ò ò

Như vậy ta có: 1 3 3g g g Ta chọn đáp án B.


Bài 82:(câu 47-đề 104-TNTHPTQG 2017-2018)Cho hàm số ( )y f x .

Đồ thị của hàm số , ( )y f x như hình bên.

Đặt 2( ) 2 ( ) ( 1)g x f x x .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. (1) (3) ( 3)g g g .

B. (1) ( 3) (3)g g g .

C. (3) ( 3) (1)g g g .

D. (3) ( 3) (1)g g g .

Hướng dẫn:

Ta có:

' 2 ' 2 1 2 ' 1 ' 2 1 'g x f x x f x x g x x f x Ta vẽ đường thẳng ( )1y x= - + .

S1

S2

1 1

3 3

3 1 ' 2 1 ' 0 3 1 .g g g x dx x f x dx g g

3 3

1 1

1 3 ' 2 1 ' 0 3 1 .g g g x dx x f x dx g g

3 1 3

1 2

3 3 1

3 3 ' 2 1 ' 2 1 ' 2 2 0

3 3

g g g x dx x f x dx x f x dx S S

g g

Như vậy ta có: (1) (3) ( 3)g g g Ta chọn đáp án A.


E.BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Câu 1. Cho hàm số bậc 3: 3 2y f x ax bx cx d .

x

y

1

-2

2

O

-1

x

y

-1

O

2

-2

1

(I) (II)

x

y

O

1

x

y

-1 O

2

1

1

(III) (IV)

Hãy chọn đáp án đúng?

A. Đồ thị (IV) xảy ra khi 0a và 0f x có nghiệm kép.

B. Đồ thị (II) xảy ra khi 0a và 0f x có hai nghiệm phân biệt.

C. Đồ thị (I) xảy ra khi 0a và 0f x có hai nghiệm phân biệt.

D. Đồ thị (III) xảy ra khi 0a và 0f x vô nghiệm.

Câu 2. Cho hàm số 3 2y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ sau.

Tính S a b .

A. 1S . B. 2S . C. 1S D. 0S .

Câu 3. Cho hàm số 3 2 0y ax bx cx d a có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Khẳng định nào sau đây về dấu của a , b , c , d là đúng nhất?


A. 0a , 0d . B. 0a , 0c b .

C. a , b , c , 0d . D. 0a , 0d , 0c .

Câu 4. Cho hàm số 3 2y ax bx cx d . Hỏi hàm số luôn đồng biến trên ¡ khi

nào?

A. 2

0, 0

0; 3 0

a b c

a b ac

. B.

2

0, 0

0; 3 0

a b c

a b ac

.

C. 2

0, 0

0; 3 0

a b c

a b ac

.

D. 2

0

0; 3 0

a b c

a b ac

.

Câu 5. Giá trị của a, b, c để hàm số 3y ax bx c có đồ thị như hình dưới đây

là.

A. a 1,b 3,c 0 B. a 1,b 3,c 0

C. a 1,b 3,c 0 D. a 1,b 3,c 0

Câu 6. Đường cong hình bên là đồ thị hàm số 3 2y ax bx cx d .

Xét các mệnh đề sau:

(I) 1a (II) 0ad

(III) 1d (IV) 1a c b Tìm số mệnh đề sai.

A. 2.

B. 1.

C. 4

D. 3.

Câu 7.Cho hàm số 3 2y ax bx cx d 0a có đồ thị như hình vẽ dưới

đây. Khẳng định nào sau đây về dấu của , , , a b c d là đúng nhất ?

y

x 1

1

2

-1 O


x

y

0

A. , 0.a d

B. 0, 0 .a c b

C. , , , 0.a b c d

D. , 0, 0.a d c

Câu 8.Cho hàm số 3 2y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

A. 0, 0, 0, 0a b c d . B. 0, 0, 0, 0a b c d .

C. 0, 0, 0, 0a b c d . D. 0, 0, 0, 0a b c d .

Câu 9. Cho hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của

a b c d; ; ; là:

A. 0 0 0 0a b c d< < < <; ; ; . B. 0 0 0 0a b c d< < > <; ; ; .

C. 0 0 0 0a b c d< > < <; ; ; . D. 0 0 0 0a b c d> > > <; ; ; .

Câu 10.Cho hàm số 3 2y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào

dưới đây đúng?

A. 0, 0, 0, 0.a b c d

B. 0, 0, 0, 0.a b c d

C. 0, 0, 0, 0.a b c d

D. 0, 0, 0, 0.a b c d

Câu 11.Cho hàm số 3 2y ax bx cx d có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau

đây đúng?


A. 0, 0, 0, 0a b c d B. 0, 0, 0, 0a b c d

C. 0, 0, 0, 0a b c d D. 0, 0, 0, 0a b c d

Câu 12.Cho hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a có đồ thị sau. Khi đó, khẳng định

nào sau đây là đúng?

A. 0, 0, 0, 0.a b c d B. 0, 0, 0, 0.a b c d

C.

0, 0, 0, 0.a b c d D. 0, 0, 0, 0.a b c d

Câu 13.Cho hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ. Dấu của

a,b, c, d là

A. 0; 0; 0; 0.a b c d B. 0; 0; 0; 0.a b c d

C. 0; 0; 0; 0.a b c d D. 0; 0; 0; 0.a b c d

Câu 14.Cho hàm số 3 2y ax bx cx d có dạng đồ thị như hình vẽ. Chọn khẳng

định đúng trong các khẳng định sau.


A. 0, 0, 0.ab bc cd B. 0, 0, 0.ab bc cd

C. 0, 0, 0.ab bc cd D. 0, 0, 0.ab bc cd

Câu 15.Cho hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d có đồ thị như hình vẽ.Khẳng định

nào dưới đây đúng?

A. 0, 0, 0, 0.a b c d B. 0, 0, 0, 0.a b c d

C. 0, 0, 0, 0.a b c d D. 0, 0, 0, 0.a b c d

Câu 16.Cho đồ thị hàm số 3 2y ax bx cx d có đồ thị (như hình vẽ).Khẳng

định nào dưới đây đúng?

A. 0, 0, 0, 0.a b c d B. 0, 0, 0, 0.a b c d

C. 0, 0, 0, 0.a b c d D. 0, 0, 0, 0.a b c d

Câu 17:Giả sử hàm số 4 2y ax bx c có đồ thị là hình bên dưới. Khẳng định nào

sau đây là khẳng định đúng?


-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

A. 0a , 0b , 1c . B. 0a , 0b , 1c .

C. 0a , 0b , 1c . D. 0a , 0b , 0c .

Câu 18: Giả sử hàm số 4 2y ax bx c có đồ thị như hình vẽ. Khi đó:

A. 0a , 0b , 0c . B. 0a , 0b , 0c .

C. 0a , 0b , 0c . D. 0a , 0b , 0c .

Câu 19:Cho hàm số 4 2y ax bx c có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A. 0a , 0b , 0c . B. 0a , 0b , 0c .

C. 0a , 0b , 0c . D. 0a , 0b , 0c .

(I) (II)

Câu 20: Hỏi a và b thỏa mãn điều kiện nào để hàm số 4 2 0y ax bx c a có

đồ thị dạng như hình bên?

O

y

x -2 2

-2


x

y

O

A. 0a và 0.b B. 0a và 0.b

C. a và 0.b D. 0a và 0.b

Câu 21: Cho hàm số 4 2y ax bx c có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào

sau đây đúng ?

A. a 0,b 0,c 0 B. a 0,b 0,c 0

C. a 0,b 0,c 0 D. a 0,b 0,c 0


sau đây đúng ?

A. a b,b 0,c 0 B. a b,b 0,c 0

C. Đáp án khác D. a b,b 0,c 0


sau đây đúng ?


A. a 0,b 0,c 0 B. a 0,b 0,c 0

C. a<0; b<0; c <0 D. a 0,b 0,c 0


sau đây đúng ?

A. a 0,b 0,c 0 B. a 0,b 0,c 0

C. a<0; b<0; c >0 D. a 0,b 0,c 0

Câu 25: Cho hàm số 4 2y ax bx c có đồ thị như hình vẽ bên cắt trục hoành tại

4 điểm phân biệt A, B, C, D. Biết AB=BC=CD, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 20; 0; 0;100 9a b c b ac B. 20; 0; 0;9 100a b c b ac

C. 20; 0; 0;9 100a b c b ac D. 20; 0; 0;100 9a b c b ac

Câu 26: Hàm số 4 2 , ( 0)y ax bx c a có đồ thị như hình vẽ. Xác định dấu của a,

b, c.


A. 0, 0, 0a b c B. 0, 0, 0a b c

C. 0, 0, 0a b c D. 0, 0, 0a b c

Câu 27: Cho đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương 4 2y ax bx c có đồ thị như hình

bên dưới. Dấu của các hệ số a, b, c là:

A. 0, 0, 0.a b c B. 0, 0, 0.a b c

C. 0, 0, 0.a b c D. 0, 0, 0.a b c

Câu 28: Cho hàm số 4 2y ax bx c có đồ thị như hình vẽ. Xác định các hệ số a, b

và c.

A. 1; 2; 0a b c B. 1 2

; ; 13 3

a b c

C. 1; 2; 1a b c D. 1 2

; ; 03 3

a b c

Câu 29: Cho hàm số 4 2( )y f x ax bx c có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp các giá

trị thực của m để đường thẳng : 2d y m cắt đồ thị hàm số ( )f f x tại 4 điểm ?


A. ( 1;2). B. (0;2). C. ( 2;2). D. (1;2).

Câu 30: Cho hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Trong

các kết luận sau, đâu là kết luận đúng?

A. 0, 0, 0.a b c B. 0, 0, 0.a b c

C. 0, 0, 0.a b c D. 0, 0, 0.a b c

Câu 31: Cho hàm số ( ).y f x Biết ( )f x có đạo hàm là '( )f x và hàm số '( )f x có đồ

thị như hình vẽ . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số ( )y f x chỉ có hai điểm cực trị.

B. Hàm số ( )y f x đồng biến trên khoảng (1;3).

C. Hàm số ( )y f x nghịch biến trên khoảng ;2 .

D. Đồ thị của hàm số ( )y f x chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía

của trục hoành.

Câu 32: Cho đồ thị của ba hàm số ( ), '( ), ''( )y f x y f x y f x được mô tả bằng

hình vẽ. Hỏi đồ thị của các hàm số ( )y f x , '( )y f x và ''( )y f x theo thứ tự, lần

lượt tương ứng với đường cong nào?

A. 3 2 1( );( );( ).C C C B. 2 1 3( );( );( ).C C C

C. 2 3 1( );( );( ).C C C D. 1 3 2( );( );( ).C C C


Câu 33: Cho hàm số ( )y f x có đồ thị '( )y f x cắt trục Ox tại ba điểm có hoành

độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. ( ( ) ( ))( ( ) ( )) 0f b f a f b f c B. ( ) ( ) ( ).f c f b f a

C. ( ) ( ) 2 ( ) 0.f c f a f b D. ( ) ( ) ( ).f a f b f c

Câu 34: Hàm số ( )y f x có đồ thị '( )y f x cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ

a b c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. ( ) ( ) ( )f c f a f b B. ( ) ( ) ( )f b f a f c

C. ( ) ( ) ( )f a f b f c D. ( ) ( ) ( )f c f b f a

Câu 35: Cho hàm số ( )y f x liên tục và có đạo hàm cấp hai trên .Đồ thị của

các hàm số ( ), '( ), ''( )y f x y f x y f x lần lượt là các đường cong nào trong hình

bên?

A. 3 1 2( ),( ),( ).C C C B. 1 2 3( ),( ),( ).C C C


C. 3 2 1( ),( ),( ).C C C D. 1 3 2( ),( ),( ).C C C

Câu 36: Cho hàm số ( )ax b

y f xcx d

có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị

của m để phương trình ( )f x m có hai nghiệm phân biệt.

A. 2m và 1.m B.0 1.m

C. 2m và 1.m D. 0 1m và 1.m

Câu 37: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như trong hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các

giá trị thực của m để đồ thị hàm số ( )y f x m có 5 điểm cực trị.

A. (1; ) B. ( ;1) C. ( ; 1) D. ( 1; )

Câu 38: Biết hàm số ( )f x có đạo hàm '( )f x liên tục trên K và '( )f x có đồ thị là

đường cong như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số ( )f x .


A. 2 B. 4 C. 3 D. 1

Câu 39: Cho hàm số ( )f f x có đồ thị '( )f x của nó trên khoảng K như hình

vẽ.Khi đó trên K, hàm số ( )f x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1 B. 4. C. 2. D. 3.

Câu 40: Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm liên tục trên ( ; )a b và đồ thị hàm

số '( )y f x được cho như hình bên. Hỏi hàm số ( )y f x có bao nhiêu điểm cực trị

trên ( ; )a b ?

A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Câu 41: Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm '( )f x liên tục trên và đồ thị của hàm

số '( )y f x trên đoạn 2;6 như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các

khẳng định sau.

A.

2;6( ) (6).

xmax f x f

B. 2;6

( ) (2).xmax f x f

C. 2;6

( ) ( 1).xmax f x f

D. 2;6

( ) ( 2).xmax f x f


Câu 42: Cho hàm số ( )y f x xác định và liên tục trên đoạn 2;2 , có đồ thị hàm

số '( )y f x như hình vẽ. Tìm giá trị 0x để hàm số ( )y f x đạt giá trị lớn nhất trên

đoạn 2;2 .

A. 0 1x B. 0 1x C. 0 2x D. 0 2x

Câu 43: Hình vẽ bên là đồ thị hàm số '( )y f x trên đoạn 0;4 , với ( )f x là hàm số

liên tục trên đoạn 0;4 , có đạo hàm trên khoảng (0;4) .Hỏi mệnh đề nào sau đây

đúng?

A. (4) (2) (0).f f f B. (0) (4) (2).f f f

C. (0) (4) (2).f f f D. (4) (0) (2).f f f

Câu 44: Đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số nào?


A.1

ln .yx

B. lny x C. lny x D. lny x

Câu 45: Cho hàm số ( )y f x có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm

số ( 1)y f x

A. 7 B. 5 C. 3 D. 9


PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng, kỳ thi

chọn học sinh giỏi đã xuất hiện thường xuyên dạng toán đồ thị hàm số ẩn . Tôi hy

vọng thông qua đề tài này góp chút kinh nghiệm của mình giúp người học có

thêm sự say mê, hứng thú, yêu thích bộ môn Toán nói chung và chuyên đề về

hàm ẩn.

Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành tới các đồng nghiệp là giáo viên tổ Toán –

Tin- CN và các em học sinh lớp 12A1,3,7 của trường, đã tham gia đóng góp

những ý kiến quý báu, giúp đỡ tôi trong khi thực hiện đề tài này.


KẾT THÚC SÁNG KIẾN

Với việc tập trung phân chia dạng toán một cách chi tiết khoa học và đơn

giản đề tài này đã giúp cho học sinh và giáo viên có được sự tự tin và hứng thú

khi học phần đọc đồ thị từ hàm ẩn.

Đề tài này còn là cuốn tài liệu tham khảo bổ ích và thiết thực cho giáo viên

dạy chuyên đề lớp 12 và ôn thi THPT Quốc gia lớp 12 .

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Vĩnh Yên, ngày 2 tháng 3 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết. Không sao chép nội dung

của người khác.

Người thực hiện

Nguyễn Thị Thanh Hải


NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG THẨM ĐỊNH

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

..............................................................................................................................

sỞ giÁo dỤc vÀ ĐÀo tẠo vĨnh phÚc trƯỜng thpt vĨnh … · 2020. 7. 9. · dạy cho...

Documents