Presentacin de PowerPoint

Solucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Universidad Fermn ToroEscuela de IngenieraCabudare-Lara

Saileth Prada #24936403 Anlisis Numrico TUTOR: Lic. Domingo Mndez.

1. MtodoDeEliminacinGaussiana

Este mtodo consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otroequivalente de forma que ste sea escalonado. La 1 ecuacin siempre se deja igual,(procurando que esta sea la ms sencilla) y a la 2 y 3 ecuacin se debe anular el trmino que lleva la x. O podemos intercambiarlas entre s. Este algoritmo consiste en dos procesos:a) Eliminacin hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular superior: Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuacin por el coeficiente de la primera incgnita aii (coeficiente pivote). A este procedimiento se le conoce como normalizacin. Paso2: Despus se multiplica la ecuacin normalizada por el primer coeficiente de la segunda ecuacin. Paso3: Ntese que el primer termina de la primera ecuacin es idntico al primer termino de la segunda. Por lo tanto, se puede eliminar, la primera incgnita de la segunda ecuacin restando la primera a la segunda. Paso4: Repetir el paso 2 y 3 hasta eliminar la primera incgnita de todas las ecuaciones restantes. Estos 4 pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta convertir el sistema en una matriz triangular superior.

b) Sustitucin hacia atrs: Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema triangular superior este es ms manejable y se puede resolver despejando primero la Xny este valor utilizarlo para obtener despejando la segunda incgnita hasta obtener el resultado completo del sistema.

Escalonamos la matriz del sistema.Ejemplo:Y dividiendo el segundo rengln entre 3 , tenemos la matriz equivalente:El cual nuestro sistema equivalente es:De la ltima ecuacin tenemos x3 = 10 ; sustituimos este valor en la ecuacin de arriba para obtener x2 = -18 ; sustituimos estos valores en la ecuacin de arriba para obtener x1= 7 . Por lo tanto, la solucin del sistema es:

2. Mtodo de Gauss-JordanEste mtodo se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reduccin del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendr una incgnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.Este mtodo, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultneas. Lo que lo diferencia del mtodo Gaussiano es que cuando es eliminada una incgnita, se eliminar de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuacin principal as como de las que la siguen a continuacin. De esta manera el paso de eliminacin forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitucin hacia atrs para conseguir la solucin.

Ejemplo:La matriz es:

Utilizamos el primer elemento diferente de 0 de izquierda a derecha de la segunda fila, 2, como pivote, logrando la matriz:

Luego el primer elemento diferente de cero de la tercera fila, -3, como pivote, para lograr que cada pivote sea el nico elemento diferente de cero de la columna. Dividiendo ahora la segunda fila por 2 y la tercera fila por 3, obtenemos: por lo tanto el sistema de ecuaciones equivalente es: de donde:

Este mtodo se basa enla descomposicin de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U), donde:L: Es la matriz triangular inferior.U: Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.Se caracteriza por:Ser un mtodo directo para resolver sistemas de ecuaciones de la forma [A] {X}={B}Su principal recurso se formula de la manera que solo involucra operaciones con la matriz de coeficientes [A] .Proporciona un medio eficiente para evaluar diversos vectores del lado derechoEn caso de que en una matriz uno de los elementos de la diagonal a factorizar es cero, es necesario pre multiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutacin. Mtodo llamado factorizacin PA=LU con pivote. 3. Descomposicin LU, determinante de una matriz.

Ejemplo:Efectuando la multiplicacin de L y U igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes se obtiene: L 123 U

4. Factorizacin De Cholesky.

5. Factorizacin de QR, Householder. Esta factorizacin se usa ampliamente en los programas de computadora para determinar valores propios de una matriz, para resolver sistemas lineales y para determinar aproximaciones por mnimos cuadrados Ejemplo: Si se considera la descomposicin dePor lo que calculamos{Q}mediante Gram-Schmidt como sigue:Por lo tanto, tenemos:

6. Mtodo de Gauss Seidel Este mtodo emplea valores iniciales y despus itera para obtener estimaciones refinadas de la solucin. Un mtodo iterativo es un mtodo que progresivamente va calculando aproximaciones a la solucin de un problema. Se espera que lo obtenido sea una solucin ms aproximada que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva solucin hasta que el resultado ms reciente satisfaga ciertos requisitos.

Ejemplo:

7. Mtodo de Jacobi Este mtodo transforma una matriz simtrica en una matriz diagonal, el cual se escoge una matriz inicial Q que es diagonal y cuyos elementos diagonales son los mismos que los de la matriz A. En el mtodo de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el mtodo de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitucin.En el mtodo de Gauss-Seidel los clculos de xi dependen de x1, x2, ...,xi-1Ejemplo: Debemos primeramente despejar de la ecuacin la incgnita correspondiente. x = 0.20 + 0.00 x 0.40 y y = 0.00 + 0.25 x + 0.00 y

Aplicamos la segunda iteracin partiendo de x1 = 0.60 y y1 = 0.25:

Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de x2 = 0.10 y y1 = 0.15: Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de x3 = 0.26 y y3 = 0.025:Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de x4 = 0.190 y y4 = 0.065:Aplicamos la siguiente iteracin partiendo de x5 = 0.174 y y5 = 0.0475:FIN...

Llegando a la profundizacin de los mtodos directos, las tcnicas de pivoteo , mtodos iterativos; entre otros, se pudo llevar a cabo el desarrollo de la solucin de sistemas de ecuaciones lineales, permitiendo entender como van siendo afectados y como se llega a su solucin.Espero les halla gustado.