sannsynlighetsregning - arbeidsplan kapittel 6 losningsforslag.pdf · 6.2 sannsynlighet 3 6.3 sum...

Sannsynlighetsregning

6.1 Læreplan

6.1 Forsøk og simuleringer 1

6.2 Sannsynlighet 3

6.3 Sum av sannsynligheter 5

6.4 Multiplikasjonsprinsippet 9

6.5 Uavhengige hendinger 10

6.6 Avhengige hendinger 15

6.1 Symboler, formler og eksempler 18

Læreplanmål for 2P-Y og 1P

lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendinger og gjøre rede for begrepet sannsynlighet

beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen i praktiske sammenhenger

Læreplanmål for 1T

formulere, eksperimentere med og drøfte uniforme og ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller

beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen

© Geir Granberg MAI2017 1

6.1 Forsøk og simuleringer

Oppgave 6.10

I perioden fra 1950 til 2012 ble det født 3 686 330 barn i Norge.

Det ble født 1 791 358 jenter og 1 894 972 gutter.

a) Hva er etter dette sannsynligheten for at et barn som blir født er ei jente?

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟 𝑓ø𝑑𝑡

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑏𝑎𝑟𝑛 𝑓ø𝑑𝑡=

1 791 358

3 686 330≈ 0,486

𝑃(𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟) ≈ 𝟎, 𝟒𝟖𝟔

b) Hva er sannsynligheten for at det er en gutt?

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟 𝑓ø𝑑𝑡

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑏𝑎𝑟𝑛 𝑓ø𝑑𝑡=

1 894 972

3 686 330≈ 0,514

𝑃(𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟) ≈ 𝟎, 𝟓𝟏𝟒

Oppgave 6.12

a) Simuler 6 000 terningkast digitalt.

Åpne CAS i GeoGebra, skriv inn uttrykket og trykk enter:

Sum[Dersom[TilfeldigMellom[1,6]=6,1,0],x,1,6000] =6 - antall 6-er 6000 - antall kast

b) Hvor mange seksere fikk du?

Jeg utførte forsøket 10 ganger og fikk:

1 032, 985, 1 053, 1 051, 1 022, 1 014, 952, 1 000, 1 024, 1 031. I gjennomsnitt blir det: 1 016

Hvis alt var perfekt skulle vi fått 1 000 hver gang da: 6 000

6= 1 000

c) Hvor stor andel av kastene gav sekser?

1 016

6 000≈ 0,169 𝑃(𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒) ≈ 𝟎, 𝟏𝟔𝟗


Oppgave 6.13

a) Finn ut hvordan du kan simulere myntkast digitalt.

Her er en ferdiglaget simulering av myntkast i GeoGebra: http://tube.geogebra.org/m/qkQI6g2U

Legg merke til at når simuleringen utføres mange ganger nærmer vi oss like mange krone som mynt.

I virkeligheten er nok dette ikke riktig da mynten har ulike volum på de to sidene (myntpreget er

kraftigere på den ene siden).

Sum[Dersom[TilfeldigMellom[1,2]=1,1,0],x,1,2000]

=1 Vi ønsker svaret i antall 1-er (La oss her si at "1" er krone) 2000 - antall myntkast som utføreres

b) Simuler 2 000 myntkast og finn ut hvor mange av kastene som gav krone.

Åpne CAS i GeoGebra, skriv inn uttrykket fra oppgave a) og trykk enter:

Jeg utførte forsøket 10 ganger og fikk: 1 043, 973, 968, 1 001, 988, 987, 987, 1 042, 994, 972

I gjennomsnitt blir det: 996

Hvis alt var perfekt skulle vi fått 1000 hver gang da: 2 000

2= 1 000

c) Hvor stor andel av kastene gav krone?

996

2 000≈ 0,498

𝑃(𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒) ≈ 𝟎, 𝟒𝟗𝟖

http://tube.geogebra.org/m/qkQI6g2U


6.2 Sannsynlighet

Oppgave 6.20

Vi kaster en terning.

a) Hvor mange mulige utfall er det?

Seks mulige utfall : ener, toer, treer, firer, femer eller sekser.

b) Finn sannsynligheten for å få en treer.

𝑃(𝑒𝑡 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙) =1

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙𝑒𝑡 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙 𝑃(𝑡𝑟𝑒𝑒𝑟) =

𝟏

𝟔

Oppgave 6.21

I klassen til Mia er det i alt 15 elever. Læreren trekker tilfeldig ut en elev som hun vil høre i leksa.


Det er 15 elever og bare en blir trukket ut. 15 mulige utfall.

b) Hvor stor sannsynlighet er det for at Mia blir hørt?

𝑃(𝑀𝑖𝑎 𝑏𝑙𝑖𝑟 ℎø𝑟𝑡) =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑀𝑖𝑎′𝑟

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑒𝑟=

𝟏

𝟏𝟓

Oppgave 6.22

I en kartong med 12 egg er det ett egg som er råttent. Vi velger tilfeldig ett av eggene.

a) Hvor mange mulige utfall har vi?

12 egg gir 12 mulige utfall.

b) Finn sannsynligheten for at vi trekker det råtne egget.

𝑃(𝑟å𝑡𝑒𝑛𝑡 𝑒𝑔𝑔) =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑟å𝑡𝑛𝑒 𝑒𝑔𝑔

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑒𝑔𝑔=

𝟏

𝟏𝟐


Oppgave 6.23

I et lotteri er det igjen 50 lodd og 7 gevinster.

a) Finn sannsynligheten for å vinne når du kjøper ett lodd.

Gunstige utfall som gir gevinst : 7

𝑃(𝑔𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡) =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙=

𝟕

𝟓𝟎

b) Finn sannsynligheten for ikke å vinne.

Gunstige utfall som ikke gir gevinst : 50 − 7 = 43

𝑃(𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑔𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡) =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙


𝟒𝟑

𝟓𝟎 eller (𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑔𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡) = 1 − 𝑃(𝑔𝑒𝑣𝑖𝑛𝑡) = 1 −

7

50=

𝟒𝟑

𝟓𝟎

Oppgave 6.24

I klassen til Mia er det 15 elever. Av dem er det 10 jenter.

Læreren trekker tilfeldig en elev som hun vil høre i lekse.

Finn sannsynligheten for at det blir ei jente.

𝑃(𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙


10

15=

𝟐

𝟑

Oppgave 6.25

Vi trekker et kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort som er godt blandet.

a) Hvor mange ruter er det stokken?

Det er 13 ruter () i kortstokken.

b) Finn sannsynligheten for at vi trekker en ruter.

𝑃(𝑟𝑢𝑡𝑒𝑟) =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙


13

52=

𝟏

𝟒

c) Hvor mange honnørkort er det i stokken?

(Et honnørkort er ess, konge, dame eller knekt.)

Vi har fire ulike farger () og fire ulike typer honnørkort : 4 ∙ 4 = 𝟏𝟔 𝒉𝒐𝒏𝒏ø𝒓𝒌𝒐𝒓𝒕

d) Finn sannsynligheten for at vi trekker et honnørkort.

𝑃(𝐻𝑜𝑛𝑛ø𝑟𝑘𝑜𝑟𝑡) =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙


16

52=

𝟒

𝟏𝟑


6.3 Sum av sannsynligheter

Oppgave 6.30

I et lotteri med 10 000 lodd er det to typer gevinster. 1

40 av loddene gir gevinst A, og

1

100 av loddene gir gevinst B.

𝐴 Gevinst A

𝐵 Gevinst B

𝑉 Vinne en gevinst

𝑉 Ikke vinne en gevinst

∪ "union" (DEN ELLER DEN)

a) Finn sannsynligheten for å vinne en av gevinstene når vi kjøper ett lodd.

𝑃(𝑉) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =1

40+

1

100=

5

200+

2

200=

𝟕

𝟐𝟎𝟎


𝑃(𝑉 ∪ 𝑉) = 1 𝑃(𝑉) = 1 − 𝑃(𝑉) = 1 −7

200=

𝟏𝟗𝟑

𝟐𝟎𝟎

V

VALLE LODD = 1


0,27

K M

K M

0,73

Oppgave 6.31

I et lotteri med 2 000 lodd er det tre typer gevinster.

1

20 av loddene gir gevinst A,

1

50 gir gevinst B, og

1

100 av loddene gir gevinst C.

𝐴 Gevinst A

𝐵 Gevinst B

𝐶 Gevinst C

𝑉 Vinne en gevinst

𝑉 Ikke vinne en gevinst


a) Finn sannsynligheten for å vinne en av gevinstene når vi kjøper ett lodd.

𝑃(𝑉) = 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) =1

20+

1

50+

1

100=

5

100+

2

100+

1

100=

8

100=

𝟐

𝟐𝟓


𝑃(𝑉 ∪ 𝑉) = 1 𝑃(𝑉) = 1 − 𝑃(𝑉) = 1 −2

25=

𝟐𝟑

𝟐𝟓

Oppgave 6.32

Sannsynligheten for at ei tilfeldig valgt jente har hatt kyssesyke, er 0,20.

Sannsynligheten for at hun har hatt sykdommen mykoplasma, er 0,15.

Sannsynligheten for at hun har hatt begge sykdommene, er 0,08.

a) Finn sannsynligheten for at hun har hatt minst én av sykdommene.

𝐾 Kyssesyke (infeksjon som forårsakes av Epstein-Barr viruset)

𝑀 Mykoplasma (bakterier uten stiv cellevegg som forårsaker lungebetennelse)

𝐾𝑀 Både kyssesyke og mykoplasma

𝑃(𝐾 ∩ 𝑀) Har hatt begge sykdommene

∩ "snitt" (DEN OG DEN)


𝑃(𝐾 ∪ 𝑀) = 𝑃(𝐾) + 𝑃(𝑀) − 𝑃(𝐾 ∩ 𝑀) = 0,20 + 0,15 − 0,08 = 𝟎, 𝟐𝟕

b) Finn sannsynligheten for at hun ikke har hatt noen av dem.

𝑃(𝐾 ∪ 𝑀) = 1 − 𝑃(𝐾 ∪ 𝑀) = 1 − 0,27 = 𝟎, 𝟕𝟑

0,080,20 0,15


Oppgave 6.33

På skolen til Nina er det 450 elever. Det er 50 elever som er skiløpere, og 80 elever

som er fotballspillere. Det er 30 elever som både går på ski og spiller fotball.

a) Lag en krysstabell som viser situasjonen.

Skiløpere IKKE skiløper Sum

Fotballspillere 30 50 80

IKKE fotballspiller 20 350 370

Sum 50 400 450

De grønne fete tallene er hentet fra oppgaveteksten.

Legg merke til at alle rader er summert til høyre og alle kolonner er summert nedover.

b) Hvor mange elever er det som går på ski eller spiller fotball?

∩ : "snitt" (DEN OG DEN)

Venndiagrammet over viser at det er 80 som spiller fotball minus 30 som også går på ski (= 50)

og at det er 50 som går på ski minus 30 som også spiller fotball (= 20).

Det er 𝟓𝟎 + 𝟑𝟎 + 𝟐𝟎 = 𝟏𝟎𝟎 𝒆𝒍𝒆𝒗𝒆𝒓 som går på ski eller spiller fotball (eller begge deler).

c) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev går på ski eller spiller fotball.

𝑃(𝑡𝑖𝑙𝑓𝑒𝑙𝑑𝑖𝑔 𝑣𝑎𝑙𝑔𝑡 𝑒𝑙𝑒𝑣 𝑔å𝑟 𝑝å 𝑠𝑘𝑖 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑠𝑝𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑓𝑜𝑡𝑏𝑎𝑙𝑙) =100

450=

𝟐

𝟗

Oppgave 6.34

I en klasse er det 30 elever. En dag fikk de tilbake prøver i norsk og matematikk. 6 elever fikk karakteren

5 i matematikk, og 7 fikk karakteren 5 i norsk. Av disse fikk 3 elever 5 i begge fagene.

a) Lag et venndiagram som viser fordelingen av karakteren 5 på de to fagene.

∩ : "snitt" (DEN OG DEN)

A BA B 30Ski Fotball 3050 80

A BA B 3Matematikk Norsk 33 4


b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fikk 5 i minst ett av fagene.

Venndiagrammet over viser at det er 6 som fikk karakteren 5 i matematikk

minus 3 som også fikk karakteren 5 i norsk (= 3) og at det er 7 som fikk

karakteren 5 i norsk minus 3 som også fikk karakteren 5 i matematikk (= 4).

Det er 𝟑 + 𝟑 + 𝟒 = 𝟏𝟎 𝒆𝒍𝒆𝒗𝒆𝒓 som fikk karakteren 5 i matematikk eller norsk (eller begge fag).

𝑃(𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑡 𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑣 𝑓𝑖𝑘𝑘 5 𝑖 𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝑎𝑣 𝑓𝑎𝑔𝑒𝑛𝑒) =10

30=

𝟏

𝟑

c) Finn sannsynligheten for at elevene ikke fikk 5 i noen av fagene.

𝑃(𝑘𝑎𝑟𝑎𝑘𝑡𝑒𝑟𝑒𝑛 5) = 1 − 𝑃(𝑘𝑎𝑟𝑎𝑘𝑡𝑒𝑟𝑒𝑛 5) = 1 −1

3=

𝟐

𝟑

Oppgave 6.35

På slappfisken videregående skole er det innført leksehøring i alle fag.

Hver dag blir noen elever trukket ut for høring.

Anne har funnet ut at sannsynligheten for å bli hørt i engelsk en tilfeldig valgt dag er 0,3.

Sannsynligheten for å bli hørt i naturfag er 0,2.

Sannsynligheten for å bli hørt i begge fagene er 0,05.

Anne innfører disse hendingene:

𝐴 : Jeg blir hørt i engelsk

𝐵 : Jeg blir hørt i naturfag

∩ : "snitt" (DEN OG DEN) ∪ : "union" (DEN ELLER DEN)

a) Hva er 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵) og 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)?

𝑃(𝐴) = 0,3 𝑃(𝐵) = 0,2 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,05

b) Finn 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) . Forklar med ord hva du nå har funnet.

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,3 + 0,2 − 0,05 = 𝟎, 𝟒𝟓

Sannsynligheten for å blir hørt i enten engelsk eller naturfag er 0,45.

A BA B 0,05Engelsk Naturfag 0,050,3 0,2


6.4 Multiplikasjonsprinsippet

Oppgave 6.40

På et spørreskjema er det to spørsmål. Til det første spørsmålet er det satt opp tre svaralternativer,

og til det andre spørsmålet er det satt opp fem svaralternativer.

Hvor mange svaralternativer fins det?

3 ∙ 5 = 𝟏𝟓 𝒔𝒗𝒂𝒓𝒂𝒍𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂𝒕𝒊𝒗𝒆𝒓

Oppgave 6.41

Menyen på Ronnys kafé forteller at vi kan velge mellom fire forretter, seks hovedretter

og fem desserter. Kari skal spise en forrett, en hovedrett og en dessert.

Hvor mange forskjellige kombinasjoner har hun å velge mellom?

4 ∙ 6 ∙ 5 = 𝟏𝟐𝟎 𝒖𝒍𝒊𝒌𝒆 𝒌𝒐𝒎𝒃𝒊𝒏𝒂𝒔𝒋𝒐𝒏𝒆𝒓

Oppgave 6.42

I denne oppgaven regner vi at jente og gutt er like sannsynlig utfall ved en fødsel.

a) Hvor mange kombinasjoner av gutt og jente er det når vi får to barn?

Husk at det her er spørsmål om rekkefølgen.

22 = 4 𝑢𝑙𝑖𝑘𝑒 𝑘𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑒𝑟

"𝑔𝑢𝑡𝑡 − 𝑔𝑢𝑡𝑡" "𝑔𝑢𝑡𝑡 − 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒" "𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑔𝑢𝑡𝑡" "𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒"

b) Finn sannsynligheten for å få to jenter.

"𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒"

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑘𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑒𝑟=

1

4 1 = 𝐷𝑒𝑡 𝑒𝑟 𝑘𝑢𝑛 é𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡 𝑡𝑖𝑙 å 𝑓å 𝑡𝑜 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟

c) Hvor mange kombinasjoner av gutt og jente er det når vi får tre barn?

23 = 8 𝑢𝑙𝑖𝑘𝑒 𝑘𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑒𝑟 2 = 𝑔𝑢𝑡𝑡 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 3 = 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑏𝑎𝑟𝑛

d) Finn sannsynligheten for å få tre jenter.

𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒 − 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑘𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑠𝑗𝑜𝑛𝑒𝑟=

𝟏

𝟖 1 = 𝐷𝑒𝑡 𝑒𝑟 𝑘𝑢𝑛 é𝑛 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡 𝑡𝑖𝑙 å 𝑓å 𝑡𝑟𝑒 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟


Oppgave 6.43

Vi kaster en terning fire ganger.


64 = 1 296 É𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔 ℎ𝑎𝑟 𝑠𝑒𝑘𝑠 𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟 (6) 𝑜𝑔 𝑑𝑒𝑛𝑛𝑒 𝑏𝑙𝑖𝑟 𝑘𝑎𝑠𝑡𝑒𝑡 (4) 𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟

b) Finn sannsynligheten for å få sekser alle de fire gangene.

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒


1

1 296

Oppgave 6.44

Vi kaster en mynt fem ganger.

Finn sannsynligheten for at vi får krone alle fem gangene.

𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙 ∶ 25 = 32 𝑆𝑎𝑛𝑛𝑠𝑦𝑛𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑡𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟 å 𝑓å 𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒 𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑓𝑒𝑚 𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑒 ∶ 𝟏

𝟑𝟐

6.5 Uavhengige hendinger

Oppgave 6.50

Vi kaster en tikrone to ganger og vil finne sannsynligheten for kombinasjoner av mynt og krone.

a) Lag et valgtre som viser kombinasjonene.

b) Finn sannsynligheten for å få krone begge gangene.

𝑃(𝑘𝑟𝑜𝑛𝑒 𝑏𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑒) = 𝑃(𝐾 ∩ 𝐾) =1

2∙

1

2=

𝟏

𝟒 Vi følger den ubrutte blå linjen og

multipliserer verdiene langs denne linja.

12

MK MK

12

12

12

12

12

K M


c) Finn sannsynligheten for å få mynt begge gangene.

𝑃(𝑚𝑦𝑛𝑡 𝑏𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑔𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑒) = 𝑃(𝑀 ∩ 𝑀) =1

2∙

1

2=

𝟏

𝟒 Vi følger den hele rød linjen og


d) Finn sannsynligheten for å få én krone og én mynt.

𝑃(𝐾 ∩ 𝑀) ∪ (𝐾 ∩ 𝑀) = (1

2∙

1

2) + (

1

2∙

1

2) =

1

4+

1

4=

2

4=

𝟏

𝟐

Vi legger sammen de to multiplikasjonene

langs linjene for krone og mynt.

Oppgave 6.51

Vi kaster en terning to ganger og vil finne sannsynligheten for seksere.

a) Lag et valgtre med mulighetene.

b) Finn sannsynligheten for å få to seksere.

𝑃( 𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒) =1

6∙

1

6=

𝟏

𝟑𝟔 Vi følger den ubrutte oransje linjen og


c) Finn sannsynligheten for å ikke få noen seksere.

𝑃( 𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒) =5

6∙

5

6=

𝟐𝟓

𝟑𝟔 Vi følger den ubrutte lyse blå linjen og

multipliserer verdiene langs linja.

d) Finn sannsynligheten for én sekser.

𝑃( é𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒) = (1

6∙

5

6) + (

1

6∙

5

6) =

5

36+

5

36=

10

36=

𝟓

𝟏𝟖

16

66 66

56

16

56

16

56

6 6

10

10

10

10


Oppgave 6.52

I et lotteri er sannsynligheten 1

20 for å vinne på et tilfeldig valgt lodd. Vi kjøper to lodd.

a) Finn sannsynligheten for å vinne på begge loddene.

𝑃(𝑣𝑖𝑛𝑛𝑒 𝑝å 𝑏𝑒𝑔𝑔𝑒 𝑙𝑜𝑑𝑑) = 𝑃(𝑉 ∩ 𝑉) =1

20∙

1

20=

𝟏

𝟒𝟎𝟎 Vi følger den ubrutte grønne linjen og


b) Finn sannsynligheten for å ikke vinne på noen av loddene.

𝑃(𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑣𝑖𝑛𝑛𝑒) = 𝑃(𝑉 ∩ 𝑉) =19

20∙

19

20=

𝟑𝟔𝟏

𝟒𝟎𝟎 Vi følger den ubrutte røde linjen og


c) Finn sannsynligheten for å få én gevinst. Én gevinst og bare én gevinst!

𝑃(é𝑛 𝑔𝑒𝑣𝑖𝑛𝑠𝑡) = ((𝑉 ∩ 𝑉) ∪ (𝑉 ∩ 𝑉)) = (1

20∙

19

20) + (

1

20∙

19

20) =

19

400+

19

400=

38

400=

𝟏𝟗

𝟐𝟎𝟎

Oppgave 6.53

Vi kaster tre terninger. Vi går ut ifra at terningene har seks sider.

a) Finn sannsynligheten for at alle terningene viser partall.

𝑃(𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑙𝑙) =3

6∙

3

6∙

3

6=

27

216=

𝟏

𝟖

b) Finn sannsynligheten for at det blir ingen seksere.

𝑃(𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒) =5

6∙

5

6∙

5

6=

𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟏𝟔

120

VV VV

1920

120

1920

120

1920

V V


c) Finn sannsynligheten for å få minst én sekser.

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 é𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟) = 1 − 𝑃(𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑘𝑠𝑒𝑟𝑒) = 1 −125

216=

𝟗𝟏

𝟐𝟏𝟔

Oppgave 6.54

Et ektepar har tre barn. I denne oppgaven er sannsynligheten 0,514 for å få en gutt.

a) Lag et valgtre som viser alternativene.

b) Finn sannsynligheten for at alle tre er gutter.

𝑃(𝑡𝑟𝑒 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟) = (𝐺 ∩ 𝐺 ∩ 𝐺) = 0,514 ∙ 0,514 ∙ 0,514 = 0,5143 ≈ 0,1358 ≈ 𝟎, 𝟏𝟑𝟔

c) Finn sannsynligheten for at de har to gutter og ei jente.

𝑃(𝑡𝑟𝑒 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟) = (𝐺 ∩ 𝐺 ∩ 𝐽) ∪ (𝐺 ∩ 𝐽 ∩ 𝐺) ∪ (𝐽 ∩ 𝐺 ∩ 𝐺) =

(0,514 ∙ 0,514 ∙ 0,486) + (0,514 ∙ 0,486 ∙ 0,514) + (0,486 ∙ 0,514 ∙ 0,514) ≈ 3 ∙ 0,1284 ≈ 0,3852 ≈ 𝟎, 𝟑𝟖𝟓

d) Finn sannsynligheten for at de har minst ei jente.

𝑃((𝐺 ∩ 𝐺 ∩ 𝐽) ∪ (𝐺 ∩ 𝐽 ∩ 𝐺) ∪ (𝐺 ∩ 𝐽 ∩ 𝐽) ∪ (𝐽 ∩ 𝐺 ∩ 𝐺) ∪ (𝐽 ∩ 𝐺 ∩ 𝐽) ∪ (𝐽 ∩ 𝐽 ∩ 𝐺) ∪ (𝐽 ∩ 𝐽 ∩ 𝐽)) =

(0,514 ∙ 0,514 ∙ 0,486) + (0,514 ∙ 0,486 ∙ 0,514) + (0,514 ∙ 0,486 ∙ 0,486) + (0,486 ∙ 0,514 ∙ 0,514) +

(0,486 ∙ 0,514 ∙ 0,486) + (0,486 ∙ 0,486 ∙ 0,514) + (0,486 ∙ 0,486 ∙ 0,486) ≈ 0,8642 ≈ 𝟎, 𝟖𝟔𝟒

eller . . .

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑖 𝑗𝑒𝑛𝑡𝑒) = 1 − 𝑃(𝑡𝑟𝑒 𝑔𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟) = 1 − 0,136 = 𝟎, 𝟖𝟔𝟒

J

G

0,514 0,486

G J G J G J G J

G J

J

G

0,51

4

0,5

140

,486

0,486

0,51

4

0,486

0,4

86

0,4

86

0,4

86 0

,514

0,5

14

0,5

14

2. Barn

3. Barn

1. Barn


Oppgave 6.55

I et lotteri er sannsynligheten for å vinne på et tilfeldig valgt lodd lik 0,2. Vi kjøper tre tilfeldige valgte

lodd.

a) Lag et valgtre.

b) Finn sannsynligheten for at vi vinner på alle loddene.

𝑃(𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) = 0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,23 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖

c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på nøyaktig ett lodd.

𝑃 ((𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) ∪ (𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) ∪ (𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉)) = (0,2 ∙ 0,8 ∙ 0,8) + (0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,8) + (0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2) = 3 ∙ 0,128

= 𝟎, 𝟑𝟖𝟒

d) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner.

𝑃(𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,83 = 𝟎, 𝟓𝟏𝟐

e) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd.

𝑃 ((𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) ∪ (𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) ∪ (𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) ∪ (𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) ∪ (𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) ∪ (𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉) ∪ (𝑉 ∩ 𝑉 ∩ 𝑉)) =

(0,2 ∙ 0,8 ∙ 0,8) + (0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,8) + (0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2) + (0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2) + (0,2 ∙ 0,8 ∙ 0,2) + (0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,8) + (0,2 ∙ 0,2 ∙ 0,2) =

0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,032 + 0,032 + 0,032 + 0,008 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟖

eller . . .

𝑃(𝑣𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑝å 𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝑙𝑜𝑑𝑑) = 1 − 𝑃(𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑣𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟) = 1 − 0,512 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟖

V

0,2 0,8

V V V V

V V

0,2

0,2

0,8

0,8

0,2

0,8

0,8

0,8

0,8 0

,2

0,2

0,2

2. Lodd

3. Lodd

1. Lodd

V

V

V

V

V V V


6.6 Avhengige hendinger

Oppgave 6.60

I et lotteri er det tjue lodd igjen. Det er gevinst på fire av disse loddene. Vi kjøper to lodd.

a) Finn sannsynligheten for at vi vinner på begge loddene.

4

20∙

3

19=

12

380=

𝟑

𝟗𝟓 Først er det 4 vinnerlodd og 20 lodd totalt.

Så er det igjen 19 lodd der 3 er vinnerlodd.

Vi multipliserer disse sannsynlighetene og forkorter svaret.

b) Finn sannsynligheten for at vi ikke vinner på noen lodd.

16

20∙

15

19=

240

380=

𝟏𝟐

𝟏𝟗 Først er det 16 lodd uten gevinst av 20 lodd totalt.

Så er det igjen 19 lodd hvorav 15 uten gevinst.

Vi multipliserer disse sannsynlighetene og forkorter svaret.

c) Finn sannsynligheten for at vi vinner på minst ett lodd.

𝑃(𝑣𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑝å 𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑒𝑡𝑡 𝑙𝑜𝑑𝑑) = 1 − (𝐼𝑘𝑘𝑒 𝑣𝑖𝑛𝑛𝑒𝑟) = 1 −12

19=

𝟕

𝟏𝟗

Oppgave 6.61

I en klasse er det tolv jenter og atten gutter. Vi trekker tilfeldig to elever.

a) Finn sannsynligheten for at vi trekker to jenter.

12

30∙

11

29=

132

870=

𝟐𝟐

𝟏𝟒𝟓 Det er totalt 30 elever, 12 jenter og 18 gutter. Når vi har trukket

1 jente er det 11 igjen og elevtallet synker med en til 29.

b) Finn sannsynligheten for at vi trekker to gutter.

18

30∙

17

29=

306

870=

𝟓𝟏

𝟏𝟒𝟓 Det er totalt 30 elever, 18 gutter og 12 jenter. Når vi har trukket

1 gutt er det 17 igjen og elevtallet synker med en til 29.

c) Finn sannsynligheten for at vi trekker minst ei jente.

1 −51

145=

𝟗𝟒

𝟏𝟒𝟓

d) Finn sannsynligheten for at vi trekker ei jente og en gutt.

Sannsynligheten(P) for (Gutt og Jente) eller (Jente og Gutt)

𝑃((𝐺 ∩ 𝐽) ∪ (𝐽 ∩ 𝐺)) = (18

30∙

12

29) + (

12

30∙

18

29) =

216

870+

216

870=

432

870=

𝟕𝟐

𝟏𝟒𝟓 Gutt først og så jente

eller jente først så gutt


Oppgave 6.62

I ei skål ligger det 10 sjokolader som er pakket inn i nøytralt papir. Det er fire sjokolader som Anne og

Per liker, og seks som ingen av dem liker. De trekker tilfeldig hver sin sjokolade. Anne trekker først.

a) Lag et valgtre der du skriver på alle de aktuelle sannsynlighetene.

b) Finn sannsynligheten for at begge trekker en sjokolade som de liker.

P(trekker en sjokolade som begge liker) =4

10∙

3

9=

12

90=

𝟐

𝟏𝟓 Vi følger den heltrukne blå linjen

c) Finn sannsynligheten for at ingen av dem trekker en sjokolade som de liker.

P(ingen trekker en sjokolade som de liker) =6

10∙

5

9=

30

90=

𝟏

𝟑 Vi følger den heltrukne rød linjen

d) Finn sannsynligheten for at nøyaktig én av dem trekker en sjokolade som de liker.

P ((𝐿 ∩ 𝐿) ∪ (𝐿 ∩ 𝐿)) =4

10∙

6

9+

6

10∙

4

9=

24

90+

24

90=

48

90=

𝟖

𝟏𝟓 Hvis Anne liker, så liker ikke Per

og omvendt.

e) Finn sannsynligheten for at Per trekker en sjokolade som han liker.

𝑃 ((𝐿 ∩ 𝐿) ∪ (𝐿 ∩ 𝐿)) = (4

10∙

3

9) + (

6

10∙

4

9) =

12

90+

24

90=

36

90=

𝟐

𝟓 Følger linjene som ender i

L for Per.

Oppgave 6.63

Vi tar for oss en farlig sykdom som er vanskelig å oppdage i tide. Sannsynligheten for å oppdage den i

tide er 0,60. Hvis sykdommen blir oppdaget i tide, får pasienten medisin. Sannsynligheten for å overleve

er da 0,80. Hvis sykdommen ikke blir oppdaget i tide, er sannsynligheten for å overleve 0,20.

a) Lag et valgtre som gir oversikt over situasjonen.

𝑂 = Oppdage 𝑂 = Ikke oppdage

𝐿 = Overleve 𝐿 = Ikke overleve

410

LL LL

610

39

69

49

59

L L

ANNE

PER

LL LL

O O

0,60 0,40

0,80 0,20 0,800,20


b) Finn sannsynligheten for at en person som har fått denne sykdommen, overlever.

𝑃(𝑜𝑣𝑒𝑟𝑙𝑒𝑣𝑒𝑟) = (𝑃(𝑂) ∩ 𝑃(𝐿|𝑂)) ∪ (𝑃(𝑂) ∩ 𝑃(𝐿|𝑂))

𝑃(𝑜𝑣𝑒𝑟𝑙𝑒𝑣𝑒𝑟) = (0,60 ∙ 0,80) + (0,40 ∙ 0,20) = 0,48 + 0,08 = 𝟎, 𝟓𝟔

Oppgave 6.64

I en familie med tre barn er det ingen tvillinger. Vi ser bort fra skuddår og regner med at alle de 365

dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager.

a) Finn sannsynligheten for at de tre barna har fødselsdag på hver sin dag.

365

365∙

364

365∙

363

365≈ 𝟎, 𝟗𝟗𝟏𝟖 Først er det ingen fødselsdager som er opptatt, dermed er 365 av 365

dager ledige. Så er den ene dagen opptatt og det er bare 364 igjen av de

365 dagene i året osv . . .

b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag.

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑡𝑜 𝑎𝑣 𝑑𝑒𝑚 ℎ𝑎𝑟 𝑓ø𝑑𝑠𝑒𝑙𝑠𝑑𝑎𝑔 𝑝å 𝑠𝑎𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑎𝑔) = 1 − 𝑃(ℎ𝑣𝑒𝑟 sin 𝑑𝑎𝑔) = 1 − 0,992 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖

Oppgave 6.65

I en klasse er det 30 elever, og ingen er tvillinger. Vi ser bort fra skuddår og regner videre med at

alle de 365 dagene i året er like sannsynlige som fødselsdager.

a) Finn sannsynligheten for at alle elevene har fødselsdag på hver sin dag.

𝑃(𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑒𝑟 ℎ𝑎𝑟 𝑓ø𝑑𝑠𝑒𝑙𝑠𝑑𝑎𝑔 𝑝å ℎ𝑣𝑒𝑟 sin 𝑑𝑎𝑔) =

365

365∙

364

365∙

363

365∙

362

365∙

361

365∙

360

365∙

359

365∙

358

365∙

357

365∙

356

365∙

355

365∙

354

365∙

353

365∙

352

365∙

351

365∙

350

365∙

349

365∙

348

365∙

347

365∙

346

365∙

345

365∙

344

365∙

343

365∙

342

365∙

341

365∙

340

365∙

339

365∙

338

365∙

337

365∙

336

365=

(365 ∙ … ∙ 336)

36530 ≈ 0,293683 ≈ 𝟎, 𝟐𝟗𝟒

b) Finn sannsynligheten for at minst to av dem har fødselsdag på samme dag.

𝑃(𝑚𝑖𝑛𝑠𝑡 𝑡𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑒𝑟 ℎ𝑎𝑟 𝑓ø𝑑𝑠𝑒𝑙𝑠𝑑𝑎𝑔 𝑝å 𝑠𝑎𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑎𝑔) = 1 − 𝑃(ℎ𝑣𝑒𝑟 sin 𝑑𝑎𝑔) = 1 − 0,294 = 𝟎, 𝟕𝟎𝟔


Symboler, formler og eksempler i sannsynlighet

P Sannsynlighet (eng: probability) 𝑃( )

∪ Union «Den eller den» + (𝐴 ∪ 𝐵)

∩ Snitt «Den og den» ∙ (𝐴 ∩ 𝐵)

| Gitt En forutsetning (𝐴|𝐵)

Ikke Det omvendte 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴)

∅ Den tomme mengde

! Fakultet Eksempel: 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120

Sannsynlighet kan presenteres som:

Brøk (1

7) Desimalbrøk (0,143) Prosent (14,3%)

Utfall / Utfallsrom:

På en terning med seks sider har vi seks utfall og utfallsrommet er = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Formler:

Uniform sannsynlighet: Addisjonssetningen:

𝑃(𝐴) =𝐴𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 ℎ𝑒𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑟

𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 ℎ𝑒𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑟 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Produktsetningen: FOR UAVHENGIGE STØRRELSER Produktsetningen: FOR AVHENGIGE STØRRELSER

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴)

Betinget sannsynlighet: Hendingen 𝐴 :

𝑃(𝐵 | 𝐴) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐴)

𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴)


Binomialkoeffisienten:

(𝑛𝑘

) Uttales «𝑛 𝑜𝑣𝑒𝑟 𝑘».

Brukes når rekkefølgen vi velger i ikke har betydning, ett uordnet utvalg.

𝑛 er antall gjenstander og 𝑘 er det antall som skal velges.

Eksempel:

Finn hvor mange måter det er å velge epler på når

vi har 7 epler og skal velge 3 av dem.

(73

) =7∙6∙5

3∙2∙1=

210

6= 35

(𝑛𝑘

) =𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)! (

73

) =7!

3!(7−3)!=

5040

6 ∙ 24= 35 ! uttales «𝑓𝑎𝑘𝑢𝑙𝑡𝑒𝑡»

Bionomisk modell:

(𝑛𝑘

) ∙ 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 1 − 𝑝 = 𝑃(𝐴)

Eksempel:

Vi kaster en mynt der den ene siden er MYNT og den andre siden er KRON.

Vi kaster mynten fem ganger på rad og skal finne sannsynligheten for KRON nøyaktig to ganger.

De fem kastene er da uavhengige.

(𝑛𝑘

) = (52

) =5 ∙ 4

2 ∙ 1=

20

2= 10 Det er 10 muligheter for å få KRON nøyaktig to ganger.

(𝑛𝑘

) ∙ 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (52

) ∙ 𝑝2(1 − 𝑝)5−2 = 10 ∙ 𝑝2(1 − 𝑝)5−2

La oss si at vi gjennom uendelig mange forsøk har funnet ut at sannsynligheten for å få KRON

når vi kaster mynten er er 0,50.

Da blir: 𝑝 = 0,50

(𝑛𝑘

) ∙ 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 = (52

) ∙ 0,502(1 − 0,50)5−2 = 10 ∙ 0,502(1 − 0,50)5−2 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟐𝟓

Sannsynligheten for å få KRON nøyaktig to ganger når vi kaster mynten fem ganger er 0,3125.


Eksempel: På en skole med 450 elever er det 80 som spiller fotball og 50 som går på ski.

30 av elevene går både på ski og spiller fotball.

Krysstabell:

Ski (S) IKKE ski Sum

Fotball (F) 30 50 80

IKKE fotball 20 350 370

Sum 50 400 450

Enkelt Venndiagram av krysstabellen:

Utvidet Venndiagram av krysstabellen:

Valgtre med verdier av krysstabellen på to ulike måter:

S FS F 30Ski Fotball 3020 50

Alle (Sum / Sum)

S F

S FS F

350

3020 50

450

Går på ski (S)

Spiller fotball (F)

JA

NE

I

JA

NE

I

Alle (Sum / Sum)

S F S F S F S F

JA

NE

I

450

400 50

350 50 20 30

Spiller fotball (F)

Går på ski (S)

JA

NE

I

JA

NE

I

Alle (Sum / Sum)

F S F S F S F S

JA

NE

I

450

370 80

350 20 50 30


Valgtre:

Dette valgtreet viser muligheten for å få krone

eller mynt. BLÅ er krone og RØD er mynt.

For å få krone to ganger etter hverandre følger

vi den BLÅ ubrutte linjen og multipliserer

sannsynlighetene: 1

2∙

1

2=

𝟏

𝟒

. . . for å få krone to ganger på rad.

Valgtre med verdier:

I en klasse på 30 elever er det 10 som spiser fisk. 5 spiser kjøtt hvorav 2 spiser både fisk og kjøtt.

Vi kan da sette opp ett valgtre som vist i figuren over.

Legg merke til at tallene horisontalt bli 30 når de summeres

og at summen av sannsynlighetene på hver av grenene er 1.

𝐹 ∩ 𝐾 Leses som "ikke F og ikke K"

𝐹 ∩ 𝐾 Leses som "ikke F og K"

𝐹 ∩ 𝐾 Leses som "F og ikke K"

𝐹 ∩ 𝐾 Leses som "F og K"

Sannsynligheten (𝑃) for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk (𝐹):

𝑃(𝐹) =20

30= 0,66

Sannsynligheten (𝑃) for at en tilfeldig elev spiser fisk (𝐹):

𝑃(𝐹) =10

30= 0,33 eller slik 𝑃(𝐹) = 1 − 𝑃(𝐹) = 1 −

20

30= 0,33

30

20 10

8 217 3

Spiser fisk (F)

Spiser kjøtt (K)

KF KF KF KF

JANEI

JA

JA

NE

I

NE

I

0,330,

67

0,8

5

0,1

5

0,2

00,8

0

Antall elever i klassen

12

MK MK

12

12

12

12

12

K M


Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk og ikke spiser kjøtt:

𝑃(𝐹 ∩ 𝐾) = 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃(𝐾|𝐹) = 0,67 ∙ 0,85 = 0,57 𝐾|𝐹 betyr at 𝐾 er gitt av at 𝐹 gjelder.

Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk men spiser kjøtt:


Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser fisk men ikke spiser kjøtt:


Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser kjøtt og spiser fisk:


30

20 10

8 217 3

Spiser fisk (F)

Spiser kjøtt (K)

KF KF KF KF

JANEI

JA

JA

NE

I

NE

I

0,330,

670,8

5

0,1

5

0,2

00,8

0

Antall elever i klassen

sannsynlighetsregning - arbeidsplan kapittel 6 losningsforslag.pdf · 6.2 sannsynlighet 3 6.3 sum...

Documents