sayisal ÇÖzÜmleme yÖntemler - wordpress.com · 2019. 10. 4. · sayisal ÇÖzÜmleme yÖntemler...

SAYISAL ÇÖZÜMLEME YÖNTEMLERİ

Ders İçeriği

1- Lineer Cebir İşlemerinin Bilgisyar Destekli Çözümü

A- Matrisler -Determinanat ve PASCAL Programı -Matris Tersi ve PASCAL Programı B-Komplex katsayılı Matrisler -Toplama, Çıkarma ve PASCAL Programı - Matrislerin Çarpımı ve Programı -Matris Tersi ve PASCAL Programı

2- Lineer Olmayan denklemlerin Köklerinin Bulunması

-Adım Küçülterek Köke Yaklaşma -Orta Nokta Yöntemi -Kesen Nokta Yöntemi -Basit İterasyon Yöntemi -Newton-Raphson Yöntemi - Geliştirilmiş NRaphson Yöntemi

3- Lineer Denklem Sistemleri Çözümü A- Doğrudan Yöntemler (Analitik) -Ters Matris Yöntemi -Craer Yöntemi -Gauss-Eliminasyon Yöntemi B- Sayısal (İteratif) Yöntemler -Jakobi Yöntemi - Gauss-Seidel Yöntemi

4- Sayısal Türev ve İntegral A-Sayısal Türev -Türeve Yaklaşım - İleri ,Geri, Merkez Fark Türev Denklemleri -Taylor Serisi ve Uygulmaları -Taylor Serisi Yardımı ile Türev Hesabı A-Sayısal İntegral -Dikdörtgen ve Trapez Yöntemi -Simpson Yöntemi -2 katlı İntegraller

5- Lineer Olayan Denklem Sistemlerinin Çözümü

-Basit İterasyon Yöntemi -Newton Yöntemi

6- Enterpoasyon ve Eğri Uydurma -Lineer Enterpolasyon -Polinomal Enterpolasyon (Lagrange Formülü) -En Küçük Kareler Yöntemi - Doğru Uydurma - Polinom Uydurma - Üstel Davranışlı Fonksiyonlara eğri

uydurma 7- Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal

Çözümü -Analitik Yaklaşım Yöntemi -Ardaşık Diferansiyelleme Yönt. (Taylor) -Euler Yöntemi -İyileştirilmiş Euler Yöntemi -Euler Coushy Yöntemi - Runge-Kutta Yöntemi -Adams Yöntem

Kaynaklar

1- Sayısal Çözümleme, Recep TAPRAMAZ, Literatür Yayınları.

2- Nümerik Analiz, İbrahim UZUN, Beta yayınları,

3- İleri Programlama Uygulamaları, Fahri VATANSEVER, Seçkin yayınları.

4- Yazılım ve Program Uygulamalarıyla Mühendisler için Sayısal Yöntemler, S.C. Chapra, çeviri . Hasan Heperkan , Literatür Yayınları.

Sayısal analizin amacı; matematiksel olarak ifade edilmiş problemlerin çözümüne, belli sayıda ve sıralı aritmatik işlemleri bilgisayar programları ile yaparak, sonuca istenilen hassasiyetle ulaşılmasıdır. Genellikle analitik olarak çözümleri çok zor veya imkansız olan problemleri, belirli hata oranında çözmek için kullanılır.

1- MATRİSLER

Determinant : Bir matrisin gerçek değerine determinant denir.

A aa det A AAA a

A a bc dac det A AAA a d b c

Sarrus Kuralı;

Aa11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11

a3

a2 detA ?

Aa11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33

2

a31 a32

a1a1

a2

a3

a2

- - - + + +

detA AAA a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32a 2 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33aa 3

2. yol : Determinantı hesaplanacak matrisin asal köşegen altında kalan elemanlar, elementer satır işlemleri yapılarak sıfırlanır. Asal köşegen elemanlarının çarpımı determinantı verir.

Bir matrise uygulanabilecek elementer işlemler;

1. Herhangibir satır veya sütun sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir. 2. İki satır veya sütun karşılıklı yer değiştirebilir. 3. Herhangibir satır başka bir satır yada herhangibir sütun başka bir sütunla toplanabilir.

Örnek :

A1 0 11 1 41 2 1

detA ?

A1 0 1 1 01 1 4 1 11 2 1 1 2

Matris Tersi : Bir matrisin tersinin olabilmesi için determinantının sıfırdan farklı olması gerekir.

Ek (adjoint) matris ile matris tersi bulma;

Cofaktör : Kare A matrisinin aij elemanının kofaktörü

Cij = (-1)i+j Mij formülü ile hesaplanır. Burada Mij ‘ye A matrisinin minörü denir ve A matrisinin i satırı ile j sütununun iptal edilmesi ile oluşan matrisin determinantıdır.

A matrisinin tersi;

adj AA cofaktor Ar A T

A 1 adj Aff

detAaad

ddddjjddddjjddddjdddddjejeeettttAtAtt

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

2. yol : A matrisinin yanına aynı boyutlu birim matris yazılır. Elementer satır işlemleri her iki matrisede uygulanarak A matrisi birim matris haline dönüştürülür. Birim matrisin yerinde oluşan matris A matrisinin tersidir.

Örnek :

A3 1 02 4 35 4 2

matrisinin tersini bulunuz.

2. yol ;

A3 1 0 1 0 0

2 4 3 0 1 05 4 2 0 0 1

33

5

Komplex Elemanlı Matrisler

En az bir komplex terim içeren matrise komplex matris denir. Programlama dillerinde komplex terim tanımlanamadığı için, bu terimleri içeren matrisler için bazı yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemlerde sadece reel sayılar kullanılarak komplex matrislerle ilgili işlemler yaptırılabilir.

A

a11 jb11 a12 jb12 a1n jb1n


am1 jbm1 am2 jbm2 amn jbmn

aaaaa

mama

aa Reel AAbb Im AAAAA aa j bbb

Toplama ve çıkarma

CC eee j ff olmak üzere

CCC AAA BB aa ccca j bb ddb eee j ff

Çarpma

CC ee j ff olmak üzere

CCC AAA BB aa j bba cc j ddc aa cc j aa dd j bb cc j 2 bb dd

eee aaa ccccc bbb ddd

fff aaaa dddd bbb ccc

Yazılan programlarda bu iki matris ayrı ayrı hesaplanır.

Örnek :

A 1 j 2 j53 2 j

1 , B 1 j2 j12

C A B ?

Genelleştirilmiş Matris Yöntemi

Herhangibir matrisin genelleştirilmiş formatta yazılması için aşağıdaki form kullanılır.

A



am1 jbm1 am2 jbm2 amn jbmn

aaaaa

mama

a Reel AAbb Im AAAA aa j bbb

aaaabbAAbbAAbb AAAAA

G

aa bbbb aaaabab

Örnek :

A 1 j 2 j3 j

1 AG ?

AAG

aa bbbb aaaabab

, BBG

cc dddd ccccdcd

, CCG

eee fff

fff eee

ee

ff

Olmak üzere;

Toplama ve Çıkarma

CCG

AAG

BBG

aa bbbb aaaabab

cc dddd cccdcd

aa cc bb ddbb dd aa cccabab

ee fff

fff ee

ee

ff

C eee j ff

Çarpma

CCG

AAG

BBG

aa bbbb aaaabab

cc dddd cccdcd

aa cc bb dd aa dd bb ccbbb ccc aa dd bbb ddd aa ccabab

ee fff

fff ee

ee

ff

C ee j ff

Örnek :

A 1 j 2 j53 2 j

1 , B 1 j2 j12

C A B ?

Matris Tersi

AAG

aa bbbb aaaabab

için herhangibir yöntemle AAG

1 bulunur,

AAG

1 ggg hhhhhgghh ggggghggh

AA 1 gg j hh

Örnek :

A 1 j 1 j1 j

1 A 1 ?

2- Lineer Olmayan Denklemlerin Köklerinin Bulunması Sürekli ve reel y= f(x) fonksiyonunun [x1 , x2] aralığında en az bir kökünün olabilmesi için; f(x1)f(x2)<0 şartının sağlanması gerekir.

Kökleri kolaylıkla bulunamayan fonksiyonların köklerini sayısal olarak bulabilmek için sayısal yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemler ikiye ayrılır; Kapalı Yöntemler : Fonksiyonların kökleri civarında işaret değiştirmeleri gerceğinden yararlanan yöntemlerdir. Kökün bulunabilmesi için iki adet başlangıç değerine ihtiyac duyar. Başlangıç veya ilk tahmin değerleri mutlaka kökü kıskaca almalıdır. İlk tahmin değerlerinin arasındaki aralığın küçültülmesi ile köke yaklaşılır. Hesaplamalar (iterasyon) ilerledikçe köke daha fazla yaklaşıldığından bu yöntemler Yakınsak Yöntemlerdir. Açık Yöntemler : Sadece bir başlangıç değerine gerek duyan ve kökü kıskaca almayan iki ek değer kullanabilen formüllere dayanan yöntemlerdir. Bu yöntemlerde, iterasyon ilerledikçe kökten uzaklaşılabilir (Iraksama), ancak yakınsadıklarında kapalı yöntemlere göre çok hızlı sonuca ulaşırlar.

Lineer Olmayan Denklemler:

1- Polinom Denklemleri,

0....... 01

1 axaxa nn

nn

2- Trigonometrik Denklemler,

cbaxSin )( 3- Logaritmik (üstel) Denklemler,

ce bax

4- Karışık Denklemler

eebaxxa dcxnn )sin(

2.1- Adım Küçültme Yöntemi

x1: rasgele seçilmiş başlangıç değeri x2= x1+h= x1+Δx x3= x1+2h= x1+2Δx= x2+h= x2+Δx x4= x3+3h= x3+3Δx= x2+2h= x2+2Δx= x1+h= x1+Δx …. xi+1= xi+h xi-1= xi-h xi+2= xi+2h= xi+1+h xi-2= xi-2h= xi-1-h ….

ALGORİTMA

1- Rasgele bir başlangıç değeri (x1), başlangıç adımı (h) ve hassasiyet (ε) seç 2- Başlangıç değerine başlangıç adımını ekleyerek köke yaklaş. 3- f xf x f x hf x > 0 kök geçilmedi adım (2) ‘ye git. 4- f xf x f x hf x 0 kök geçildi 5- Bir önceki adıma git ve başlangıç adımını belirlediğin kritere (h/a) göre küçült 6- Adım yeterince küçükse (h<ε) adım (8) ‘e git 7- Adım (2) ‘ye git 8- Sonuçları yazdır ve çık.

ÖRNEK 104)( 2 xxxf fonksiyonunun pozitif bir kökünü X1=0,h=1 ve =0.1 alarak bulunuz.

Analitik çözümden; X1=-1.74165738 ve X2=5.74165738 bulunabilir (kontrol amaçlı) h x f(x) f(x)*f(x+h) işlem

SORU_1 3)(10)( 2 xSinxxf fonksiyonunun bir kökünü =0.001 alarak program ile

bulunuz. SORU_2 532)( 345 xxxxxf fonksiyonunun tüm kökleri ni =0.001 alarak program ile

bulunuz.

AKIŞ ŞEMASI

C Program #include <stdio.h> float fx(float x) { float a; a = (x*x) - (4*x) - 10; return(a); } main() { float h, xi, xih, epsilon ; int i; h = 1; xi = 0; epsilon = 0.0001; i = 0; do { i++; if ((fx(xi)*fx(xi+h))> 0) xi = xi+h; else h = h/5; //a=5 printf("iterasyon=%d xi=%5.4f xi+h=%5.4f adim=%6.5f\n", i,xi,xi+h,h); } while (h > epsilon); getch(); }

TURBO PASCAL PROGRAM program adim_kucultme; uses crt; var xi,h,epsilon,xih : real; i : integer ; function fx(x:real):real; begin fx:=(x*x)-(4*x)-10; end; begin h:=1; xi:=0; epsilon:=0.0001; i := 0; gotoxy (2, i+1);writeln('iterasyon'); gotoxy (15, i+1);writeln('xi'); gotoxy (25, i+1);writeln('xi+h'); gotoxy (35, i+1);writeln('fx(xi)'); gotoxy (45, i+1);writeln('fx(xi+h)'); gotoxy (55, i+1);writeln('Adim'); repeat i := i + 1; if (fx(xi)*fx(xi+h))> 0 then xi:=xi+h else h:=h/5; //a=5 gotoxy (6, i+2);writeln(i); gotoxy (15, i+2);writeln(xi:5:4); gotoxy (25, i+2);writeln(xi+h:5:4); gotoxy (35, i+2);writeln(fx(xi):5:4); gotoxy (45, i+2);writeln(fx(xi+h):5:4); gotoxy (55, i+2);writeln(h:6:5); until h<epsilon; readln; end.

2.2- Orta Nokta Yötemi

212 xx

212 xx

Bu yöntemde başlangıç aralığı (x1 ve x2) aralığı iki eşit parçaya bölünerek köke yaklaşılır. Aralığın tam orta noktası belirlenir (x3) ve bu noktanın kökün ilerisindemi gerisindemi sorgusu ile aralığın yarısı atılır.

221

3xxx

ALGORİTMA 1- Kökü içine alan rasgele bir başlangıç aralığı belirlenir. (x1 ve x2 ) 2- Aralığın orta noktasını x3 hesaplanır

2

213

xxx

3- f(x1) ve f(x3) hesaplanır. 4- f x1f x f x3f x > 0 (x1 ve x3) aralığında kök yoktur, kök (x2 ve x3) arasındadır. (x1 ve x3)

aralığı atılır, yeni aralık; x1 x3 ve x2 x2 seçilir, adım 6 ya git,

5- f x1f x f x3f x 0 kök (x1 ve x3) aralığındadır, (x3 ve x2) aralığı atılır, yeni aralık; x1 x1 ve x2 x3 seçilir.

6- ABS(x1 - x2 )> adım 2 ye git 7- Sonuçları yazdır ve çık.

ÖRNEK 104)( 23 xxxf fonksiyonunun pozitif bir kökünü =0.1 alarak bulunuz. Aralık belirleme;

x f(x) f(x) 0 -10 <0 3 -19 <0 3-5 aralığında kök var 5 15 >0

SORU_1 3)(10)( 2 xSinxxf fonksiyonunun bir kökünü =0.001 alarak program ile bulunuz.

SORU_2 532)( 345 xxxxxf fonksiyonunun tüm kökleri ni =0.001 alarak program ile bulunuz.

AKIŞ ŞEMASI

#include <stdio.h> #include <math.h> float fx(float x) { float a; a = (x*x) - (4*x) - 10; return(a); } main() { float x1, x2, x3, epsilon ; int i; x1 = 3; x2 = 6; epsilon = 0.0001; i = 0; do { i++; x3 = (x1+x2)/2; printf("iterasyon=%d x1=%5.4f x2=%5.4f x3=%5.4f\n", i,x1,x2,x3); if ((fx(x1)*fx(x3))> 0) x1 = x3; else x2 = x3; } while (abs(x2-x1) > epsilon); getch(); }

program orta_nokta; uses crt; var x1,x2,x3,epsilon : real; i : integer ; function fx(x:real):real; begin fx:=(x*x)-(4*x)-10; end; begin x1:=3; x2:=6; epsilon:=0.0001; i := 0; gotoxy (2, i+1);writeln('iterasyon'); gotoxy (15, i+1);writeln('x1'); gotoxy (25, i+1);writeln('x2'); gotoxy (35, i+1);writeln('x3'); gotoxy (45, i+1);writeln('fx(x1)'); gotoxy (55, i+1);writeln('fx(x3)'); repeat i := i + 1; x3 := (x1+x2)/2; gotoxy (6, i+2);writeln(i); gotoxy (15, i+2);writeln(x1:5:4); gotoxy (25, i+2);writeln(x2:5:4); gotoxy (35, i+2);writeln(x3:5:4); gotoxy (45, i+2);writeln(fx(x1):5:4); gotoxy (55, i+2);writeln(fx(x3):5:4); if (fx(x1)*fx(x3))> 0 then x1:=x3 else x2 :=x3; until abs(x2-x1)<epsilon; readln; end.

2.3- Kesen Nokta Yötemi( Kiriş -Secant)

x1 ve x2 aralığı daraltılarak köke yaklaşılır. (x1,f(x1)) ve (x2,f(x2)) noktaları arasında bir doğru (kiriş) çizilir. Bu doğrunun x eksenini kestiği noktaya x3 denir. x3 noktasının kökün hangi tarafında olduğuna karar verilir ve kökün olmadığı taraf atılarak yeni aralık belirlenir. Aynı işlemlere tekrar edilerek, aralık yeterince küçük olduğunda işlem sonlandırılır. Burada önemli olan x3’ ün hesabıdır. Diğer işlemler orta nokta yöntemindeki gibidir.

A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)) yani A(x1,y1), B(x2,y2) ise 2 noktası bilinen doğru denklemi;

y y1

y1 y2

yyyyyyy

11

yyyyyyyyyyyyyyy1

yy1

y1

2

1

yy2222

x x1

x1 x2

xxxxxxx

11

xxxxxxxxxxxxxxxxx

11

2

1

x2

1

2222

y f x1

f x1 f x2ffffffffyyyyxyyxyyxyxyxx1111

ffffffffffffffffffff

fffffffxffffxffxffxffxffxxxffxffxxxxxx1111

x11

xxxxxxxxx22x22222222

x x1

x1 x2

xxxxxxx

11

xxxxxxxxxxxxxxxxx

11

2

1

x2

1

2222y

f x1 f x2

x1 x2

ffff xxxx

xxxx

x1

x1

x1

xxx1

x111111

fffxfxfxfxfxfxfxfx22

ffxx2222222222

xxxxxxxxx2x2222 x x1xxxx f x1f x

x x3 y 0 oldugundan;

0f x1

3 yf x2

x1 x2

ffff xxxx

xxxx

x1

x1

x1

xxx1

x111111

fffxfxfxfxfxfxfxfx22

ffxx2222222222

xxxxxxxxx2x2222 x3 x1xxxx f x1f x x3

x1 f x2 x2 f x1

f x2 f x1

xx11

fffffffffffffffffffffffff

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

2

xx22

2

2

2

2

222

2

22

ffffxfxfxfxfxfxfxxxfxf

22xx22222222

x22

xffxffxffxffxfxfxffxf1

fxf1

f1

ff1

xxxxxxxxxxxxxxxxxx1xx111

ALGORİTMA 1- Rasgele bir başlangıç aralığı belirlenir. (x1 ve x2 ) 2- x3 hesaplanır;

)()(

)()(

12

12213 xfxf

xfxxfxx

3- f(x1) ve f(x3) hesaplanır. 4- f x1f x f x3f x > 0 (x1 ve x3) aralığında kök yoktur, kök (x2 ve x3) arasındadır. (x1 ve x3)

aralığı atılır, yeni aralık; x1 x3 ve x2 x2 seçilir, adım 6 ya git,

5- f x1f x f x3f x 0 kök (x1 ve x3) aralığındadır, (x3 ve x2) aralığı atılır, yeni aralık; x1 x1 ve x2 x3 seçilir.

6- ABS(x1 - x2 )> adım 2 ye git 7- Sonuçları yazdır ve çık.

ÖRNEK 104)( 23 xxxf fonksiyonunun pozitif bir kökünü =0.1 alarak bulunuz.

Aralık belirleme; x f(x) f(x)

3 -19 <0 3-5 aralığında kök var 5 15 >0

SORU_1 3)(10)( 2 xSinxxf fonksiyonunun bir kökünü =0.001 alarak program ile bulunuz.


AKIŞ ŞEMASI

program kiris; uses crt; var x1,x2,x3,epsilon : real; i : integer ; function fx(x:real):real; begin fx:=(x*x)-(4*x)-10; end; begin x1:=3; x2:=6; epsilon:=0.0001; i := 0; gotoxy (2, i+1);writeln('iterasyon'); gotoxy (15, i+1);writeln('x1'); gotoxy (25, i+1);writeln('x2'); gotoxy (35, i+1);writeln('x3'); gotoxy (45, i+1);writeln('fx(x1)'); gotoxy (55, i+1);writeln('fx(x3)'); repeat i := i + 1; x3 := (x1*fx(x2)-x2*fx(x1))/(fx(x2)-fx(x1)); gotoxy (6, i+2);writeln(i); gotoxy (15, i+2);writeln(x1:5:4); gotoxy (25, i+2);writeln(x2:5:4); gotoxy (35, i+2);writeln(x3:5:4); gotoxy (45, i+2);writeln(fx(x1):5:4); gotoxy (55, i+2);writeln(fx(x3):5:4); if (fx(x1)*fx(x3))> 0 then x1:=x3 else x2 :=x3; until abs(x2-x1)<epsilon; readln; end.

2.4- Newton Raphson Yöntemi

Bu yöntemde köklere teğetler ile yaklaşılır. Rasgele bir x0 noktası alınır ve bu noktada fonksiyonun teğeti çizilir. Bu teğetin eğimi hesaplanır. Fonksiyonun o noktadaki teğeti aynı zamanda o noktadaki türevine eşittir. Bu iki eşitlik kullanılarak teğetin x eksenini kestiği x1 noktası bulunur. Aynı işlemler x1 noktası için tekrar edilir ve x2 noktası bulunur. İşlemlere devam edilirse sonlu adım sonra köke yaklaşılır.

1.teğetin eğimi

tan 1 ff x1x

f x0 0x0 x1

ffffxx

fxxx

xx

x00

x00

x00

xx00000

xxxxxxxxx1x111

0000000

x1 x0

f x0

f x0

fffffffffffff xxxxxx

xxxxxxxxxx00

xxxx0

x0

x0

x0

0

0

x0000000

2.teğetin eğimi

tan 22 ff x2xf x1 0x1 x2

ffx

ffxxxxx

xx11

x11

xxx111

xxxxxxxxx2x22222

0000000

x2 x1

f x1

f x1

ffffffffffffff xxxx

xxxxxxxxxxxxx11

xx1x1

x1

x1

x1

x111111

Genel Kural (Newton Raphson Fomülü)

)()(

'1i

iii xf

xfxx

)()(

'i

i

xfxfx

xxx ii 1

Not: Fonksiyonun işaret değiştirip değiştirmediğine bakılmadığı için bu yöntem ile katlı kökler de bulunabilir.

ÖRN: 2057)( 23 xxxxf X0 =8 alarak Newton rapson yöntemi ile kök bulunuz. Kökler: (1.8162, -7.3097 , -1.5065)

x f(x) f’(x)

ÖRN: 2057)( 23 xxxxf x f(x) x f(x)

ÖRN: 5)( 3xxf x0=1 (xkök=1.709976) x f(x) x f(x)

ALGORİTMA

8- Rastgele bir başlangıç değeri (x0 ) ve hata sınırı belirle ( ε ),

9- f(x0) ve f’(x0) ‘i hesapla,

10- xi 1 xi

f xi

f xi

ffffffffffffff xxxx

xxxxxxxxxxxxxii

xxxxi

xi

xi

xiiiiii değerini hesapla,

11- abs f xx 1f xf > xi = xi+1 atamasını yap ve adım 2 ‘ye atla,

12- Sonuçları yazdır ve çık.

AKIŞ ŞEMASI c# kodları

x1 x1

f x1

f x1

fffffffffffff xxxx

xxxxxxxxxxxxx11

xx1x1

x1

x1

x1

x111111

namespace nr { class Program { public delegate double Function(double x); static double F1(double x) {return x*x-4*x-10;} static double F1_turev(double x) { return 2*x-4;} public static double NewtonRaphsonMethod(Function f, Function fprime, double x0, double epsilon) { double f0 = f(x0); double x = x0; int i=0; while (Math.Abs(f(x)) > epsilon) { i++; Console.WriteLine("iterasyon: {0}",i + " x:" + x.ToString("0.000000") + " gercek_turev:" + F1_turev(x).ToString("0.000000")); x -= f0 / fprime(x); f0 = f(x); } return x; } static void Main(string[] args) { double epsilon=0.0001, x1=3.0; Console.WriteLine("\n\nTesting Testing Newton-Raphson Method\n"); double x = NewtonRaphsonMethod(F1, F1_turev, x1, epsilon); Console.WriteLine("\n\nNR Sonuc:" + x.ToString()); Console.WriteLine("NR Test:f(x)=" + F1(x).ToString()); Console.ReadLine(); } } }

2.5- Sayısal Türevli Newton Raphson Formülü Newton Raphson formülü içerisinde fonksiyonun 1. Türevine ihtiyaç vardır. Bu türev analitik olarak hesaplanmaktadır. Polinom veya bir çok fonksiyon için 1. türevin bulunması kolay olsada, türevlerinin bulunması zor veya zaman alıcı fonksiyonlar olabilir. Bu durumlarda türevin sayısal hesaplanması gerekir. Sayısal türev hesabı ileriki haftalarda Sayısal türev konusunda ayrıntılı olarak işlenecektir. Burada sadece bir sayısal türev formülüne değinilip geçilecektir.

Genel Kural (Newton Raphson formülü) )(

)('1

i

iii xf

xfxx

?)( 0' xf

Herhangi bir xi noktasında fonksiyonun türevi; ACD üçgeninden

hBC

DCAC

xf i 1tan)('

A noktası hesap edilemediğinden yani AC uzunluğu bilinemediğinden bu üçgen yerine BCD üçgeni kullanılarak yaklaşık olarak türev hesaplanır. BCD üçgeninden

hBC

DCBC

xf i 21 tan)('tan

hxfhxfxf ii

i)()()('

Newton formülü içine yazılırsa;

hxfhxf

xfxxfxfxx

ii

ii

i

iii )()(

)()(')(

1

α2

xi+h x

y

xi

f(xi+h)

f(xi) 1

A

B

C D

ÖRNEK

?)2(',)( 2 fxxf Analitik olarak;

4)2('2)(' fxxf Sayısal Olarak;h=0.1;

hxfhxff )()()2('

1.41.0

21.21.0

)2()1.02()2('22fff

Sayısal Olarak;h=0.01;

01.401.0

)2()01.02()2(' fff

)()()(

1ii

iii xfhxf

hxfxx

ÖDEV 3)(10)( 2 xSinxxf fonksiyonunun bir kökünü =0.001 alarak program ile bulunuz.


ÖRN: 5)( 3xxf x0=1 ve h=0.01 (xkök=1.709976) x f(x) x f(x)

ALGORİTMA


2- f(x0) ve x0 noktasındaki sayısal türevi ‘i hesapla,

3- xi 1 xi

f xi

f xi

ffffffffffffff xxxx

xxxxxxxxxxxxxii

xxxxi

xi

xi

xiiiiii değerini hesapla,

4- abs f xx 1f xf > xi = xi+1 atamasını yap ve adım 2 ‘ye atla,



x1 x1

f x1

f x1

fffffffffffff xxxx

xxxxxxxxxxxxx11

xx1x1

x1

x1

x1

x111111

namespace ConsoleApplication1 { class Program { public delegate double Function(double x); static double F1(double x) {return x * x - 4*x - 10; } static double F1_turev(double x) { return 2*x-4;} static double F1say_tur(double x) //sayısal turev {double h = 0.001; return (F1(x + h) - F1(x)) / h; } public static double NewtonRaphsonMethod(Function f, Function fprime, double x0, double epsilon) { double f0 = f(x0); double x = x0; while (Math.Abs(f(x)) > epsilon) { Console.WriteLine("x:" + x.ToString("0.000000") + " gercek_turev:" + F1say_tur(x).ToString("0.000000") + " sayisal_turev:" + F1say_tur(x).ToString("0.000000")); x -= f0 / fprime(x); f0 = f(x); } return x; } static void Main(string[] args) { double epsilon = 0.0001, x1 = 3.0; Console.WriteLine("\n\nTesting Testing Newton-Raphson Method\n"); double x = NewtonRaphsonMethod(F1, F1say_tur, x1, epsilon); Console.WriteLine("\n\nNR Sonuc:" + x.ToString()); Console.WriteLine("NR Test:f(x)=" + F1(x).ToString()); Console.ReadLine(); } } }

NR Yönteminin zayıflıkları; NR yöntemi çok etkili olmasına rağmen, özellikle katlı kökler ve bazı basit kök aramasında zayıf kalır. 1. Örnek : f xf x x10 1 fonksiyonun x0=0.5 civarındaki kökünü NR yöntemi ile bulmaya çalışalım;

i 0 1 2 3 4 5 . . ∞ xi 0.5 51.65 46.485 41.8365 37.6528 33.8875 . . 1.00 2. Kötü bir ilk tahminden sonra, köke yakınsama çok yavaştır.

İlk tahmin x1 ‘den itibaren itersayon adımları kökten uzaklaşmaktadır.

3.

NR yöntemi için genel bir yakınsama kriteri yoktur. Yakınsama fonksiyonun doğasına ve ilk tahmin değerinin dogruluğuna bağlıdır. Çözüm, köke yeterince yakın ilk başlangıç noktasının seçilmesidir. İyi tahminler, fiziksel problemin bilinmesi veya çözümün davranışı hakkında bilgi ve grafikler ile bulunabilir. 4. Katlı kökler

Çift katlı köklerde; f(x) işaret değiştirmediğinden kapalı yöntemler kullanılamaz ayrıca çift ve üç katlı köklerde, kök civarında f(x) ve f’(x) sıfıra çok yakın olduğundan yuvarlama hataları oluşur.

NR yöntemi, yerel max ve min civarında salınma özelliği gösterir.

Çift katlı kökler ekseni kesmez.

Bu sorunları çözmek için Geliştirilmiş NR yöntemi kullanılır. 2.6- Geliştirilmiş Newton Raphson Yöntemi

f(x)’ in kökünü bulmak için yardımcı bir fonksiyon tanımlanır (G(x)). Bu fonksiyonun kökü f(x) ile aynı olmalıdır.

Yardımcı fonksiyon;

)()()( ' xf

xfxG

f(x) = 0 G(x) = 0 ‘dır. Olarak tanımlanır. G(x)=0 yapacak x=a değeri f(x) ‘in de köküdür.

0)(0)( aGafax Bu yöntemle fonksiyon katlı kökten kurtulmuş olur. Bu sebeple f(x) ‘in yerine G(x)’ in kökü Newton Raphson Formülü ile bulunur.

ÖRN 52)( 23 xxxf

xxxx

xfxfxG

4352

)(')()( 2

23

ÖRN 3)2()( xxf

3

2

( ) ( 2) 1( ) ( 2)'( ) 3 ( 2) 3

f x xG x xf x x

G(x) Fonksiyonuna Newton Raphson Formülünün Uygulanması

G xxf xf xfffffffff xxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx ve xi 1 xi

G xi

G xi

GGGGGGGGGGGGGGGG xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxii

xii

xi

xi

xiiiiii

G xx ddxd

dd

dd

ddddxdxxx

f xf xfffffff xxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

ffffffffffffffffffffffffffffffffff

f x2

f x f x

ff xxf2

ffffffff xxxxxxxxx2222

ff

2

fff

2

ffffffffff

ffffffffffffffffff

x

ff

x

fff

x

fff

xxxxxxx

x2

x2

x2

x2

xx22

xxxx fffffffffffffff xxxxxxxxx

xi 1 xi

f xi

f xi

fffffff xxxxxxixii

f xi

2f xi f xi

ff xixf2

fffffffff xxxxxxxxxxixii

fffffffffffffff

fffffff

x

f

x

ff

x

ff

x

ff

x

ff

xx

ff

xxxx

xxxxxxxx222

x2

i

2

x2

ii

2

ffffffffffffff xxxxxxxxxxixiiffffffffffff xxxxxxxxxxxxxxiiixii

22222222222222

fffffffffffffffffffffffffffff

ff

ff

ffffffff

xx

ffff

xx

ffff

xxxxx

ffffff

xxxx

ffffff

xxx

ffff

xxxxxx

ffff

ii

xxxxxxxxxxxxxxxx

ff

i

xxii

xi

xi

xi

xiiiixiiiiiiii

xxxxxxxxxxxixxxxxiii ffffffffffffffffffffff xxxxxxxxxxxxxxxxxiiii

xi 1 xi

f xi f xi

ff xixf2

ff xix f xif xffffffff xxxxxxx

ff

xx

fffffffffff x22

x22

x2

xx2

xxxxiii

ffffffffffff

f

ff

f

ff

fff

ff

f

ff

f

f

f

f

ffffff

xxxx

x

xxxx

x

xx

x

xx

x

xxxx

x

xx

xx

xx

xxiii

fffffffffffffffffffffff xxxxxxxxx

Not: Burada fonksiyonun ikinci türevinin de hesabı gerekmektedir. Şimdilik fonksiyonun 2. Türevi analitik olarak hesaplanarak kullanılacaktır. Sonraki bölümlerde sayısal türev konusunda 2. Türev hesabı için formüller verildiğinde onlar kullanılacaktır. Algoritma, ve program N-R ile aynıdır.

ÖRN f xf x x 3x x 1x x 1x x3 5x2 7x 3 fonksiyonun x0=0 , x0=4 civarındaki kökünü NR ve GNR hesaplayınız.

Not: Başlangıç değeri kompleks sayı girilirse kompleks kökler de bulunabilir.

ÖRN f xf x x2 x 1

x=i noktası civarındaki kökünü bulunuz. x1,21211221122

3 i22222223222322232223 iiiiix1

2.7- Basit iterasyon Yöntemi Bu yöntemde f(x)=0 denklemi x=F(x) formuna getirilir. Eğer yakınsama koşulunu sağlıyorsa; xi 1 F xix formülü ile iterasyona başlanır.

oluncaya kadar işleme devam et.

Yakınsama koşulu; [a , b] deki bütün x’ ler için ]),[( bax için

)(' xF 1 sağlanmalıdır.

ÖRN: 13)( 2 xxxf denkleminin bir kökünü [0, 1 ] aralığında basit iterasyon yöntemi ile 3 adımda bulunuz.

ÖDEV: 022)( 2 xxxf denkleminin bir kökünü [0, 1 ] aralığında basit iterasyon yöntemi ile 3 adımda bulunuz.

ALGORİTMA


2- F(x1) ‘i hesapla,

3- x1= F(x1) atamasını yap,

4- abs f x1f xf > adım 2 ‘ye atla,



namespace ConsoleApplication1 { class Program { public delegate double Function(double x); //f(x)=x * x - 3 * x + 1 static double F1(double x) { return (x * x + 1) / 3; } static double F(double x) { return x * x - 3 * x + 1; } static void Main(string[] args) { Console.WriteLine("\n\nBasit iterasyon yontemi\n"); double x,x0=0.5, epsilon=0.0001; int i=0; do { i++; x = F1(x0) ; x0 = x; Console.WriteLine("iterasyon:" + i + " x:" + x0.ToString("0.00000000")); } while (Math.Abs(F (x0)) > epsilon); Console.WriteLine("\n\nNR Sonuc:" + x.ToString()); Console.WriteLine("BIY Test:f(x)=" + F(x).ToString()); Console.ReadLine(); } } }

3- Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü

n bilinmeyenli n denklemden oluşan bir sistem;

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1

a21 x1 a22 x2 a2n xn b2

an1 x1 an2 x2 ann xn bn

Matrisel formda ifade edilirse;

a11 a12 a1na21 a22 a2n

an1 an2 ann

a11a2a2

ana

x1x2

xn

x11xx22

xnxn

b1

b2

bn

bb1

bbb2b22

bnbb

Bu denklem sisteminde çözümün olabilmesi için det(A)≠0 olmalıdır.

Lineer denklem sistemlerinin çözüm yöntemleri iki alt başlıkta toplanabilir;

1. Doğrudan Yöntemler (Ters Matris, Cramer, Gauss Eleminasyon, Gauss-Jordan Yöntemleri),

2. Sayısal Yöntemler (Jakobi, Gauss Siedell Yöntemleri)

[A] [X] =[B]

Burada;

A : Katsayılar matrisi,

B : Sabitler matrisi,

X : Bilinmeyenler matrisidir.

3.1. Doğrudan Yöntemler

Ters Matris Yöntemi

AA XX BB AA 1 AA XX AA 1 BB XX AA 1 BB

RRR AAA 1 BBB XXX RRR

Örnek :

5x1 4x2 142x1 3x2 7 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

Cramer Yöntemi

Yukarda verilen denklem sisteminin cramer yöntemi ile çözümü;

|A|

a11 a12 a1na21 a22 a2n

an1 an2 ann

a11a2a2

ana

1

b1 a12 a1n

b2 a22 a2n

bn an2 ann

bb1b1

bb2b2

bnbnb

2

a11 b1 a1n

a21 b2 a2n

an1 bn ann

a1a1

a2a2

ana

n

a11 a12 b1

a21 a22 b2

an1 an2 bn

a1a1

a2a2

ana

Not : Bu iki yöntem denklem sayısı 3 ve 3 ‘ten az olan sistemlere uygundur.

Örnek :

5x1 4x2 142x1 3x2 7 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

Gauss Eleminasyon Yöntemi

Çok eski bir yöntem olmasına rağmen bir çok popüler yazılım paketinde doğrusal denklemlerin çözüm yöntemi olarak kullanılmaktadır.

Yöntemin gerçekleştirilmesi iki aşamadan oluşur;

1. Bilinmeyenlerin elenmesi; Ana köşegen altındaki elemanlar, elementer satır işlemleri ile sıfır yapılır. a11 a12 a13 | b1

a21 a22 a23 | b2

a31 a32 a33 | b3

aa1

aa3

a2

a3

a2

a11 a12 a1n | b1

0 a22 a23 | b2

0 0 a33 | b3

aa1

0000000000

2. Geriye doğru çözüm kümesinin bulunması; a11 a12 a1n

0 a22 a23

0 0 a33

a11

000

x1x2x3

x11

xx3

xxx2

b1

b2

b3

bbbbb3

b2

b3

b2

Örnek :

x1 2x2 x3 82x1 x2 x3 33x1 3x2 2x3 3

denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

#include<stdio.h> int main(void) { void backsubs(float [][10],float [], int); float a[10][10],b[10],tem=0,temp=0,temp1=0,temp2=0,temp4=0,temp5=0; int n=0,m=0,i=0,j=0,p=0,q=0; printf("Kare Matrisin Boyutu :"); scanf("%d",&n); for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n;j++) { printf("A[%d,%d] :",i,j); scanf("%f",&a[i][j]); } } printf("\nEnSabitler Matrisi\n"); for(i=0;i<n;i++) { printf("B[%d] :",i,j); scanf("%f",&b[i]); } for(i=0;i<n;i++) { temp=a[i][i]; if(temp<0) temp=temp*(-1); p=i; for(j=i+1;j<n;j++) { if(a[j][i]<0) tem=a[j][i]*(-1); else tem=a[j][i]; if(temp<0) temp=temp*(-1); if(tem>temp) { p=j; temp=a[j][i]; } } //Satir degisimleri for(j=0;j<n;j++) { temp1=a[i][j]; a[i][j]=a[p][j]; a[p][j]=temp1; } temp2=b[i]; b[i]=b[p]; b[p]=temp2; //Kosegen haric elemanlarin sifirlanmasi temp4=a[i][i]; for(q=i+1;q<n;q++) { temp5=a[q][i]; for(j=0;j<n;j++) { a[q][j]=a[q][j]-((temp5/temp4)*a[i][j]); } b[q]=b[q]-(temp5/temp4*b[i]); } } backsubs(a,b,n); return 0; }

void backsubs(float a[][10],float b[], int n) { int i=0,j=0; for(i=n-1;i>=0;i--) { for(j=n-1;j>i;j--) { b[i]=b[i]-a[i][j]*b[j]; } b[i]=b[i]/a[i][i]; printf("x%d = %f\n",i+1,b[i]); } }

Gauss-Jordan Yöntemi

Gauss yönteminin farklı bir durumudur. Ana köşegen hariç diğer elemanlar, elementer satır işlemleri ile sıfırlanır. Dolayısıyla, çözümü bulmak için geriye doğru çözümün bulunması adımını içermez.

a11 0 00 a22 00 0 a33

aa1

000000

x1x2x3

x11

xx3

xxx2

b1

b2

b3

bb1

bbb3

b2

b3

b2

Ayrıca, bütün satırlar pivot elemanlara bölünerek normalize edilebilir.

Örnek :

x1 2x2 x3 82x1 x2 x3 33x1 3x2 2x3 3

denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

3.2. İteratif Yöntemler

Gauss-Jakobi Yöntemi

n bilinmeyenli denklem sistemi,

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1

a21 x1 a22 x2 a2n xn b2

an1 x1 an2 x2 ann xn bn

Şeklinde verilmiş olsun. Bu sistemş Gauss-Jakobi yöntemi ile çözebilmek için aşağıdaki forma dönüştürülür.

1a11a1

a11

1111

a11 x1 a12 x2 a1n xnaaa 1a11a1

a11

1111

b1

1a22a1

a

1

1a2

1

12

1

122

1

22a21 x1 a22 x2 a2n xnaaa 1

a22

11

a1

a

11

1a2

1

12

12222

b2

1anna1

a1n

1n

1nnnn

an1 x1 an2 x2 ann xnaaa 1anna1

a1n

1n

1nnnn

bn

Dönüştürülen sistemin çözüm kümesine yakınsayabilmesi için, yakınsama koşulunu sağlaması gerekir.

|aii |j 1j i

n

|aij |

İterasyon için;

x1k 1 b1

a11

babab1

b1

1

1

11

a12

a11

1

1

2

1

2

1

2 x2k a1n

a11

aaaaa1

a1

1

1

nn

1

n

1xn

kaaaaaa

1

1

1

1

x2k 1 b2

a22

bababa2

b2

2

2

22

2

22

a21

a22

2

2

2

22

1

2

1

2x1

k a2n

a22

aaaa

2

a2

2

2

2n

22

n

2

n

2xn

kaaaaaaaaa2

a2

2

2

xnk 1 bn

ann

babab

n

bn

n

n

nn

n

nn

an1

ann

n

n

n

nn

1

n

1

nx1

k ann 1

ann

aaan

an

ann

an

an

n

n

nnnnnn

111 xn 1kaa

aaaaaaan

n

n

n

Matrisel formda yazılacak olursa;

x1x2

xn

x11xx22

xnxn

k 1

b1

a11

bab1

b1

1

1

11

b2

a22

baba2

b2

2

2

22

2

22

bn

ann

bbbbn

bbn

n

n

nn

n

nn

bbbbbbaaaaaa

bbbbbbbbbbbbaaaaaaaaa

bbbbbbbbaaaaaabbbbbb

0a12

a11

aaaa

1

1

1

1

2

1

2

1

2 a1n

a11

aaaaa1

a1

1

1

nn

1

n

1

a21

a22

aaa2

a2

2

2

2

22

1

2

1

20

a2n

a22

aaaa

2

a2

2

2

2n

22

n

2

n

222222

an1

ann

aan

n

n

n

n

nn

1

n

1

n

an2

ann

aaaaan

n

n

n

n2

nn

2

n

2

n0

000

aaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

x1x2

xn

xxxx11xxxxxxxxxx22

xxnxxxn

k

[X]k+1 = [B’] - [A’] [X]k

Genel iterasyon formulu;

her satır için köşegen elemanı, diğer elemanların toplamından büyük olmalıdır. Eşit olma durumunda yakınsama çok yavaş olur.

Örnek :

5x1 2x2 x3 4x1 4x2 2x3 3x1 2x2 4x3 17

Denklem sisteminin çözüm kümesini (0,0,0) başlangıç değerlerini kullanarak bulunuz.

Gauss-Seidel Yöntemi

Bu yöntem Jakobi yönteminin geliştirilmiş halidir. Yakınsaması çok daha hızlıdır. Seidel yönteminde, k+1 iterasyonunda bulunan xi

k+1 sonuçları, j=i+1,...n olmak üzere xjk+1

sonuçlarının bulunmasında kullanılır.

x1k 1 b1

a11

babab1

b1

1

1

11

a12

a11

aaaaaaaa

1

1

1

1

2

1

2

1

2 x2k a13

a11

aaaaaaaa

11

1

1

1

3

1

3

1x3

k a1n

a11

aaaaaaaaaa11

aa1

1

1

nn

1

n

1xn

k

x2k 1 b2

a22

baba

1

ba2

1

b2

2

1

2

22

1

2

22

a21

a22

aaaaaaaa

1

aa22

aa2

1

2

2

1

2

22

1

1

2

1

2x1

k 1 a23

a22

aaaaaaaaaa22

aa2

2

2

23

22

3

2

3

2x3

k a2n

a22

aaaaaaaa

22

aa2

2

2

2n

22

n

2

n

2xn

k

xnk 1 bn

ann

babab

n

bn

n

n

nn

n

nn

an1

ann

aaaaaaaaaann

n

n

n

n

nn

1

n

1

nx1

k 1 an2

ann

aaaaaaaaaann

n

n

n

n2

nn

2

n

2

nx2

k 1 ann 1

ann

aaaaaann

aan

ann

an

an

nnnnnn

111 xn 1k 1

Genel iterasyon formulu;

xik 1 bi

aii

babab

i

i

ii

i

i j 1

i 1 aij

aii

aaaa

iji

i

ji

ii

j

ix j

k 1

j i 1

n aij

aii

aaaa

iji

i

iji

ii

jj

iix j

k

İterasyona başlanmadan yakınsama koşuluna dikkat edilmelidir.

#include<stdio.h> int main(void) { float a[10][10],b[10],x[10],y[10]; int n=0,m=0,i=0,j=0; printf("Kare Matrisin Boyutu : "); scanf("%d",&n); for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n;j++) { printf("A[%d,%d] :",i,j); scanf("%f",&a[i][j]); } } printf("\nSabitler Matrisi\n"); for(i=0;i<n;i++) { printf("B[%d] :",i,j); scanf("%f",&b[i]); } printf("Baslangic Degerleri\n"); for(i=0;i<n;i++) { printf("x[%d]_0 :",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\nIterasyon sayisi : " ); scanf("%d",&m);

while(m>0) { for(i=0;i<n;i++) { y[i]=(b[i]/a[i][i]); for(j=0;j<n;j++) { if(j==i) continue; y[i]=y[i]-((a[i][j]/a[i][i])*x[j]); x[i]=y[i]; } printf("x%d = %f ",i+1,y[i]); } printf("\n\n"); m--; } return 0; }

Örnek :

5x1 2x2 x3 4x1 4x2 2x3 3x1 2x2 4x3 17


Örnek :

5x 6y 4z 73x y z 3

5x 3z 8


Ödev :

Yandaki devrede I1 , I2 ve I3 akımlarını genelleştirilmiş matris formatı ile, her iki iterasyon yöntemini kullanarak bulunuz.

4- SAYISAL TÜREV

Türev herhangibir büyüklükteki değişim miktarıdır.

Örneğin, yoldaki değişim miktarı hızı, hızdaki değişim miktarı ivmeyi verir.

x(t) yol, v(t) hız, a(t) ivme fonksiyonu olmak üzere;

v tt x tt

d x tdt

ddd xxdxdxdxddddtddttt

ttttt

a ttdv t

dtdddvddv

dvdvddddtddt

tttttttttttt d2 x t

dt 2

ddd222

ddx

dx

dx

dxttxt 222222

ttttt

Bobin ve kondansatör uç denklemleri;

V L Ld iL

dtdd

dd

ddi

di

dtddiLitL

tL

iC CdV C

dtdd

dd

d

dVd

dVd

dVd

dtddVdtdd

tVt

tV C

tCCCCC

Açısal hızın zamana göre türevi konumdur;

rd r

dtdd

dddd

dddddddtddt

r

tr

Tanım : x0 değerine pozitif veya negatif yönde verilen Δx (h) artımına karşılık f(x) fonksiyonundaki değişim Δy ise ve,

limiti varsa, bu limite f(x) fonksiyonunun x0 noktasındaki türevi denir.

Aynı zamanda f ’(x0), x0 noktasında fonksiyona teğet geçen eğrinin eğimidir.

Sayısal türev hesabında gerçek teğet denklemi yerine, belli noktalardan geçen doğru denklemi (yaklaşık teğet denklemi) kullanılır.

1. İleri (sağ) Farklarla Sayısal Türev

2. Geri (sol) Farklarla Sayısal Türev

3. Merkez Farklarla Sayısal Türev

Örnek :

y x 2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki türevini h=0.1 alarak yaklaşık olarak bulunuz.

Taylor Serileri

Taylor serileri sayısal yöntemlerde fonksiyonları yaklaşık olarak bir polinomla ifade etmek için kullanılır.

Bir fonksiyonun herhangibir noktadaki değerinin, fonksiyonun ve türevlerinin bir başka noktadaki değerleri cinsinden tahmin edilebilmesini sağlar.

Herhangibir f(x) fonksiyonu ve türevi [xi , xi+1] aralığında sürekli ise taylor serisi;

f xi 1f x f xif x

f xi

1!ffff

11x

1xx!x!xx!xxxiii xi 1 xixxxx 1 f xi

2!fffff

22222x

2x!xxx!xxxxxiii xi 1 xixxxx 2 f xi

3!fffff

33333xx!x!xx!xxxxxiii xi 1 xixxxx 3

f n xi

n!ffff nnn

n

n

nnnnnxx!!xx!xxxxxxxxxiii xi 1 xixxxx n Rn

Burada;

xi+1 = xi + h

xi+1 - xi = h

Rn : Kalan

Ayrıca

f(xi)=fi , f(xi+1)=fi+1 , ... olarak gösterilebilir.

f i 1 f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! hf i

2!f2ff2ff222

i

!i

! h2 f i

3!fff3ff333!

i

!i h3 f i

n

n!fnfnfnfn

in

!in

!

n

hn Rn

Taylor Serileri ile Sayısal Türev Hesabı

2 noktalı ileri fark Taylor Serileri ile 1. Türev hesabı

(xi+1 , fi+1) ve (xi+2 , fi+2) değerleri biliniyorsa f’(xi) = ?

f i 1 f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! hf i

2!f2ff2ff222

i

!i

! h2 f i

3!fff3ff333!

i

!i h3 f i

n

n!fnfnfnfn

in

!in

!

n

hn Rn

xi 1 , f i 1x f i 1 f xi 1f x f xi hf x h f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! hf i

2!f2ff2ff222

i

!i

! h2 f i

3!fff3ff333!

i

!i h3 f i

n

n!fnfnfnfn

in

!in

!

n

hn Rn

xi 2 , f i 2x 2 f i 2 f xi 2f x f xi 2hf x h f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! 2h2222f i

2!f2ff2ff222

i

!i

! 2h2222 2 f i

3!fff3ff333!

i

!i 2h2222 3 f i

n

n!fnfnfnfn

in

!in

!

n

2h2222 n Rn

xi noktasındaki 1. Türevin hesaplanması için 2. Türevli terimlere kadar olan kısımların alınmasıyla;

xi 1 , f i 1x f i 1 f i h ff ih2

2h2h2h2

2

2

2

22

ffff i

xi 2 , f i 2x 2 f i 2 f i 2h ff i 2h2 ff i 1. Denklem (-4) ile çarpıp 2. Denklemle toplanırsa;

+___________________

f i 2 4 f i 1 3 f i 2h ff i ff i12h12121h1hhh 3 f i f i 2 4 f i 1

2 noktalı geri fark Taylor Serileri ile 1. Türev hesabı

(xi-1 , fi-1) ve (xi-2 , fi-2) değerleri biliniyorsa f’(xi) = ?

f i 1 f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! hf i

2!f2ff2ff222

i

!i

! h2 f i

3!fff3ff333!

i

!i h3 f i

n

n!fnfnfnfn

in

!in

!

n

hn Rn

xi 1 , f i 1x f i 1 f xi 1f x f xi hf x h f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! hf i

2!f2ff2ff222

i

!i

! h 2

xi 2 , f i 2x 2 f i 2 f xi 2f x f xi 2hf x h f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! 2hf i

2!f2ff2ff222

i

!i

! 2h 2


2h2h2h2

2

2

2

22

ffff i


+___________________

f i 2 4 f i 1 3 f i 2h ff i ff i12h12121h1hhh f i 2 4 f i 1 3 f iffff



2h2h2h2

2

2

2

22

ffff i


+___________________

f i 2 2 f i 1 f i h2 ff i ff i1h21h1h1h21

22 f i 2 2 f i 1 f iffff

2 noktalı geri fark Taylor Serileri ile 2. Türev hesabı


2h2h2h2

2

2

2

22

ffff i


+___________________

f i 2 2 f i 1 f i h2 ff i ff i1h21h1h1h21

22 f i 2 2 f i 1 f iffff

Örnek :

y x 2 fonksiyonunun x=2 noktasındaki, 1. ve 2. türevini h=0.1 alarak, 2 noktalı ileri fark Taylor Serileri yaklaşık olarak bulunuz.


(xi+1 , fi+1) , (xi+2 , fi+2) ve (xi+2 , fi+3) değerleri biliniyorsa f’(xi) = ?

f i 1 f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! hf i

2!f2ff2ff222

i

!i

! h2 f i

3!fff3ff333!

i

!i h3 f i

n

n!fnfnfnfn

in

!in

!

n

hn Rn

xi 1 , f i 1x f i 1 f i

f i

1!f1f1f1f i

!i

! hf i

2!f2ff2ff2ff22

i

!i

! h2 f i 1 f i h ff ih2

2h2h2h2

2

2

2

22

ffff i (1)

xi 2 , f i 2x 2 f i 2 f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! 2h2222f i

2!f2ff2ff222

i

!i

! 2h2222 2 f i 2 f i 2h ff i 2h2 ff i (2)

xi 3 , f i 3x f i 3 f i

f i

1!f1f1f1

i

!i

! 3h3333f i

2!f2ff2ff222

i

!i

! 3h3333 2 f i 3 f i 3h ff i929292 h2 ff i (3)

18 (1) – 9 (2) + 2 (3) işlemi uygulanırsa;

ff i16h16161h1hhh 11 f i 18 f i 1 9 f i 2 2 f i 3

Nokta sayısının artması ile hassasiyet artar dolayısıyla hata azalır.

Ödev :

3 noktalı ileri fark Taylor Serileri ile 2. Türev formülünü bulunuz.

Örnek : f(x) = ex-2 fonksiyonun x=2 noktasındaki 1. ve 2. türevini, h=0.1 alarak yaklaşık olarak tüm yöntemleri kullanarak bulunuz.

%Matlab% clc; h=0.1; a=2; syms x %x degiskenini tanimla f1 = exp(x-2); %fonksiyon tanimlandi f = inline (char(f1)); %f(x) olarak atandi %Basit ileri fark bif = (1/h)*(f(a+h)-f(a)); %Basit geri fark bgf = (1/h)*(f(a)-f(a-h)); %Merkez fark mf = (1/(2*h))*(f(a+h)-f(a-h)); %2 noktalı ileri fark taylor 1.turev t2ileri = (1/(2*h))*(-3*f(a)-f(a+2*h)+4*f(a+h)); %2 noktalı geri fark taylor 1.turev t2geri = (1/(2*h))*(3*f(a)+f(a-2*h)-4*f(a-h)); %3 noktalı ileri fark taylor 1.turev t3ileri = (1/(6*h))*(-11*f(a)+18*f(a+h)-9*f(a+2*h)+2*f(a+3*h)); %2 noktalı ileri fark taylor 2.turev t2ileri2 = (1/(h*h))*(f(a)-2*f(a+h)+f(a+2*h)); %2 noktalı geri fark taylor 2.turev t2geri2 = (1/(h*h))*(f(a)-2*f(a-h)+f(a-2*h)); fprintf('\n\te^(x-2) fonksiyonun sayisal turevi\n'); fprintf('\tAnalitik 1. ve 2. turev = %.5f \n\n',f(2)); fprintf('basit ileri fark: %.5f hata=%%%.5f\n',bif, 100*abs(1-bif)); fprintf('basit geri fark: %.5f hata=%%%.5f\n',bgf, 100*abs(1-bgf)); fprintf('merkez fark: %.5f hata=%%%.5f\n\n',mf,100*abs(1-mf) ); fprintf('2 noktalı ileri Taylor serisi ile 1.turev: %.5f hata=%%%.5f\n',t2ileri, 100*abs(1-t2ileri)); fprintf('2 noktalı geri Taylor serisi ile 1.turev: %.5f hata=%%%.5f\n\n',t2geri, 100*abs(1-t2geri)); fprintf('3 noktalı ileri Taylor serisi ile 1.turev: %.5f hata=%%%.5f\n\n',t3ileri, 100*abs(1-t3ileri)); fprintf('2 noktalı ileri Taylor serisi ile 2.turev: %.5f hata=%%%.5f\n',t2ileri2, 100*abs(1-t2ileri2)); fprintf('2 noktalı geri Taylor serisi ile 2.turev: %.5f hata=%%%.5f\n',t2geri2, 100*abs(1-t2geri2));

4- SAYISAL İNTEGRAL

c ϵ R olmak üzere F(x) fonksiyonunun türevi f(x) ise ( F’(x) = f(x) );

f xf x dx F xx c eşitliğindeki “F(x)+c” ifadesine, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali

denir.

f(x) fonksiyonu [a,b] R için sürekli ise;

a

b

f xf x dx F xx |ab F bb F aa değerine, f(x) fonksiyonunun [a,b] aralığında belirli

integrali denir.

Geometrik olarak belirli integral, belirtilen aralıkta, fonksiyon eğrisi ile koordinat ekseni arasındaki kalan alandır.

y

xf(x)

a

b

İntegrali kolaylıkla hesaplanabilen eğriler;

İntegral Uygulamaları ;

1. Eğri altında kalan alanı bulmak,

2. İki eğri arasında kalan alanı bulmak,

y

x

f(x)

a b

g(x)

Diktörtgen alanı;

Yamuk alanı (f(x)=x/2);

3. Bir eğrinin x veya y ekseni etrafında 360o döndürülmesi ile oluşan kapalı bölgenin hacmini

bulmak,

Elektrik Mühendisliğinde kullanılan bazı integral uygulamaları;

1. Ortalama değer hesabı;

2. Etkin değer hesabı;

f et2 1

T1T1T1TT

0

T

f 2 xx dx

3. Fourier serilerinin hesabında.

y

x

f(x)

a

b

y

x

f(x)

a b

y

x

fort

T

Yüksek dereceli polinomlarda veya karmaşık fonksiyonların belirli integrallerinin hesabında, eğri ile koordinat ekseni arasında kalan alanın hesabı zordur. Bu alanlar bilinen geometrik şekillerin alanları kullanılarak, yaklaşık olarak hesaplanabilir. Yani eğri ile koordinat ekseni arasında kalan alan daha küçük ve bilinen geometrik şekillere bölünerek elde edilen alanlar toplanarak hesapalanabilir.

Sayısal Yöntemler;

1. Dikdörtgenler yöntemi

İntegrali bulunacak eğri ilgili aralıkta küçük dikdörtgenlere bölünür, bu dikdörtgenlerin alanları toplanarak yaklaşık sonuç bulunur.

1.a) Sol toplamlar

[a,b] aralığı n parçaya bölünür. Adım h b an

bbbnnnn

aaaaaaaa ‘dir. i=0,1,2,..,n-1 için xi+1=xi+h

1.b) Sağ toplamlar


bbbnnnn

aaaaaaaa ‘dir. i=1,2,..,n için xi+1=xi+h

y

x

f(x)

a=x0 x1 x2 b=x3

I1f(x0)f(x1)

f(x2)

I2I3

y

x

f(x)

a=x0 x1 x2 b=x3

I1f(x1)

f(x2)

f(x3)

I2I3

1.c) Orta toplamlar


bbbnnnn

aaaaaaaa ‘dir. i=0,1,..,n-1 için xi+1=xi+h

y

x

f(x)

a=x0 x1 x2 b=x3

I1f(x0 +h/2) I2

I3

x0 +h/2 x1 +h/2 x2 +h/2

f(x1 +h/2)

f(x2 +h/2)

Örnek :

1

7

3 x 2 dx integralini dikdörtgenler yöntemini kullanarak bulunuz. (n=3,5,10)

Analitik Alan I1

7

3 x 2 dx x 3 |17x 73 17 1 342

%sol clc; %integral sinirlari a=1; b=7; n=input ('Parca ='); h=(b-a)/n; fprintf('Adim = %.3f \n', h); toplam=0; x=1; for i=1:n y=3*x^2; fprintf('%d. alan=%.3f\n', i,y); x=a+i*h; toplam=toplam+h*y; end; fprintf('yaklasik integral = %.3f \n', toplam); %sag clc; %integral sinirlari a=1; b=7; n=input ('Parca ='); h=(b-a)/n; fprintf('Adim = %.3f \n', h); x=1; toplam=0; for i=1:n x=a+i*h; y=3*x^2; fprintf('%d. alan=%.3f\n', i,y); toplam=toplam+h*y; end; fprintf('yaklasik integral = %.3f \n', toplam);

%orta clc; %integral sinirlari a=1; b=7; n=input ('Parca ='); h=(b-a)/n; fprintf('Adim = %.3f \n', h); toplam=0; x=1; for i=1:n y=3*(x+(h/2))^2; fprintf('%d. alan=%.3f\n', i,y); x=a+i*h; toplam=toplam+h*y; end;

fprintf('yaklasik integral = %.3f \n', toplam); n=5 sol Adim = 1.200 1. alan=3.000 2. alan=14.520 3. alan=34.680 4. alan=63.480 5. alan=100.920 yaklasik integral = 259.920

sag Adim = 1.200 1. alan=14.520 2. alan=34.680 3. alan=63.480 4. alan=100.920 5. alan=147.000 yaklasik integral = 432.720 orta Adim = 1.200 1. alan=7.680 2. alan=23.520 3. alan=48.000 4. alan=81.120 5. alan=122.880 yaklasik integral = 339.840

2. Yamuk Yöntemi

İntegrali bulunacak eğri ilgili aralıkta küçük yamuklara ayrılır, bu yamukların alanları toplanarak yaklaşık sonuç bulunur.

Ia

b

f xf x dx I1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6

I1h2h2h22 f x 0f x f x1f xffff

I 2h2h2h22 f x1f x f x 2f xffff

I 3h2h2h22 f x 2f x f x 3f xffff




Ia

b

f xf x dx h2hh22hh2222 f x 0f x f x1f x f x1f x f x 2f x f x 2f x f x 3f x f x 3f x f x 4f x f x 4f x f x 5f x f x 5f x f x 6f xffff

Genel hali Ia

b

f xf x dx h2hh22hh2222 f x 0f x f xnf x 2

i 1

n 1

f x if xffff

y

x

f(x)

a=x0 x1 x2 x3 x4 x5 b=x6

f(x0)

f(x1)

f(x2)

f(x3)

f(x4)

f(x5)f(x6)

I1 I2 I3 I4 I5 I6

Algoritma;

[a,b] aralığı n eşit parçaya bölünür.

Yamuklar elde edilir.

Herbir yamuğun alanı hesaplanır.

Alanlar toplaranak yaklaşık integral sonucu bulunur.

Örnek :

1

7

3 x 2 dx integralini yamuk yöntemini kullanarak bulunuz. (n=3,5,10)

n=3 için

n=5 için

Parca =5 Adim = 1.200 x(1.0)-->f(x)=3.000 x(2.2)-->f(x)=14.520 x(3.4)-->f(x)=34.680 x(4.6)-->f(x)=63.480 x(5.8)-->f(x)=100.920 x(7.0)-->f(x)=147.000 yaklasik integral = 346.320 n=10 için Parca =10 Adim = 0.600 x(1.0)-->f(x)=3.000 x(1.6)-->f(x)=7.680 x(2.2)-->f(x)=14.520 x(2.8)-->f(x)=23.520 x(3.4)-->f(x)=34.680 x(4.0)-->f(x)=48.000 x(4.6)-->f(x)=63.480 x(5.2)-->f(x)=81.120 x(5.8)-->f(x)=100.920 x(6.4)-->f(x)=122.880 x(7.0)-->f(x)=147.000 yaklasik integral = 343.080

Örnek :

0

3333333

sin xx dx integralini yamuk yöntemini kullanarak bulunuz. (n=5,10)

n=10 için Parca =10 Adim = 0.10472 x(0.0000)-->f(x)=0.00000 x(0.1047)-->f(x)=0.10453 x(0.2094)-->f(x)=0.20791 x(0.3142)-->f(x)=0.30902 x(0.4189)-->f(x)=0.40674 x(0.5236)-->f(x)=0.50000 x(0.6283)-->f(x)=0.58779 x(0.7330)-->f(x)=0.66913 x(0.8378)-->f(x)=0.74314 x(0.9425)-->f(x)=0.80902 x(1.0472)-->f(x)=0.86603 yaklasik integral = 0.500

3. Simpson (Paraboller) Yöntemi

Belirli integralin bulunması için en yaygın kullanılan yöntemdir. Bu yöntemde, asıl fonksiyon yerine, bu fonksiyona 2.dereceden bir polinom uydurup, bu polinomla x-ekseni arasında kalan alanın hesabı bulunur.

Eğer uydurulan polinom 1. dereceden ise, yöntem yamuk(trapez) yöntemi olur;

Eğer uydurulan polinom 2. dereceden ise, yöntem simpson(polinomlar) yöntemi olur;

Langrange enterpolasyon formulune göre (Enterpolasyon konusu ayrıca incelenecektir)

x0 , x1 , x2 noktalarından geçen parabol denklemi;

P xxx x1 x x2

x0 x1 x0 x2xxxxxxxxxxxxx00

xx000

xxxxxxxxxxxxxxxx

1

1

11

11

1

1

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx00000

xxxxxxxxxxxxx2

x22

x22

x22

2

222222222f x0f x

x x0 x x2

x1 x0 x1 x2xxxxxxxxxxxxxx11

x1

xxxxxxxxxxxxxxxx

0

0

xx

0

0

00

00

0

0

0

0

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx111

xxxxxxxxxxxxxxx

22

x2

x2

2

2

x22

2

222222f x1f x

x x0 x x1

x2 x0 x2 x1xxxxxxxxxxxxx22

xx222

xxxxxxxxxxxxxxxx

0

0

00

00

0

0

0

0

0

0

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2

xx22222

xxxxxxxxxxxx11

xx1

x1

x1

x1111x111111f x2f x

Bu fonksiyonun [x0 , x2] sınırlarına göre belirli integrali ise;

x0

x2

P xx dx h3h3h3h f x0f x 4 f x1f x f x2f xfff

y

x

f(x)

x0 x1

p(x)=ax+b

f(x0)

f(x1)

y

x

f(x)

x0 x1

p(x)=ax2+bx+c

f(x0)

f(x2)

x2

f(x1)

Simpson yönteminde 3 noktadan geçen polinom denklemi kullanılır.

Eğer aralıktaki nokta sayısı artırılırsa, hassasiyet artar, hata azalır.

Ia

b

f xf x dx I1 I 2 I 3

x 0 , x1 , x 2 bölgesi;

I1h3

1

h3

1

h3

1

f x 0f x 4 f x1f x f x 2f x

22

fffff

x 2 , x 3 , x 4 bölgesi;

I 2h3

3

h3

3

h3

3

f x 2f x 4 f x 3f x f x 4f x

44

fffff

x 4 , x 5 , x 6 bölgesi;

I 3h3

5

h3

5

h3

5

f x 4f x 4 f x 5f x f x 6f x

66

fffff

I h3h3h3 f x 0f x f x 6f x 2 f x 2f x f x 4f xff 4 f x1f x f x 3f x f x 5f xffffff

Genel hali Ia

b

f xf x dx h3hh33hh33 f x 0f x f xnf x 4

i 1i:tekiii:

n 1

f x if x 2j 2j:ciftjjj:jjj:

n 1

f x if xffffffffffff

Simpson yöntemi (n ε çift sayılar) için kullanılabilir.

y

x

f(x)

a=x0 x1 x2 x3 x4 x5 b=x6

f(x0)

f(x1)

f(x2)

f(x3)

f(x4)

f(x5)f(x6)

I1 I2 I3

Algoritma;

[a,b] aralığı n eşit parçaya bölünür.

3 noktadan bir 2.dereceden bir eğri geçirilir. Böylece n/2 tane alt bölge oluşur. Herbir bölgenin alanı hesaplanır.

Alanlar toplanarak yaklaşık integral sonucu bulunur.

Örnek :

0

3333333

sin xx dx integralini simpson yöntemini kullanarak bulunuz. (n=4)

Örnek :

0

11

1 x 21111

xxxxxxxx 22222 dx integralini trapez ve simpson yöntemini kullanarak bulunuz. (n=4)

n=4 için

Örnek : Aşağıda, tam dalga kontrollü bir doğrultucunun çıkış dalga geriliminin değişimi verilmiştir. Bu gerilimin ortalama değerini bütün yöntemleri kullanarak bulunuz (n=4).

Vyuk

wt(radyan)

5- LİNEER OLMAYAN DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ

En az bir tanesi doğrusal olmayan n-denklemden oluşmuş sisteme lineer olmayan denklem sistemi denir.

x 2 x y 2 lineer degillil l

x 4 y 5 lineerlliill

1. İki değişkenli lineer olmayan denklem sisteminin Newton Yöntemi ile çözümü

f(x,y) = 0

g(x,y) = 0

olmak üzere, bu denklemler (x0 , y0) noktası için taylor serilerine açılırsa;

f x0 x , y0 yf x y f x0 , y0f x x1!xx!x!xx f x0 , y0

xffffffffff xxxxxxxx0

xx0

x0

x0

x0

xxx,

x,

x, yyyyyyyyy0y0000 y

1!111yy!y!yy f x0 , y0

yffffffffff xxxxxxxx0

yx0

y0

y0

y0

yyy,

y,

y,

yyyyyyyyyy0y0000x

111111x x 2

2!22x2x2x2x!x!

22222 2 f x0 , y0

x 2

22222 ffffff xxxxxxxxxxxxxxxx

0

xxx

00

x02

0222

,,2

, yyyyyyyyy0y0000y

2

2!22y22y2y2y2yy!!!!

222222 f x0 , y0

y2

22222 ffffff xxxyyxyyxyyxyyxxyyxyy0

yxy0

y0

y02

0222

,,2

, yyyyyyyyy0y0000

2

g x0 x , y0 yx y g x0 , y0x x1!xx!x!xx g x0 , y0

xgggggggg xxxxxxxxx0

xxx0

x0

x0

x0

xxx,

x,, yyyyyyyy0y0000 y

1!111yy!y!yy g x0 , y0

ygggggggg xxxxxxxxx0

yx

y0

y0

y0

y0

yyy,

y,, yyyyyyyy0y0000x

111111x x 2

2!2x2x2x2x!x!

22222 2 g x0 , y0

x 2

22222 ggggggg xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

00

x02022022

,,, yyyyyyyyyy00000y

2

2!22y22y2y2y2yy!!!!

222222 g x0 , y0

y2

22222 ggggggg xxyyxyyxyyxyyxyyxyyxyxxyy

0

y0

y02022022

,,, yyyyyyyyyy00000

22

Taylor serisinde ilk 2 terim alınır ve (x1 , y1) noktasında da fonksiyonlar sıfıra eşitse;

0 f x0 , y0f x x1!x!x!xx f x0 , y0

xffffffffff xxxxxxxx0

xx0

x0

x0

x0

xxx,

x,

x, yyyyyyyyy0y0000 y

1!111yy!y!yy f x0 , y0

yffffffffff xxxxxxxx0

yx0

y0

y0

y0

yyy,

y,

y,

yyyyyyyyyy0y0000xx

111111xx

0 g x0 , y0x x1!x!x!xx g x0 , y0

xgggggggg xxxxxxxxx0

xxx0

x0

x0

x0

xxx,

x,, yyyyyyyy0y0000 y

1!111yy!y!yy g x0 , y0

ygggggggg xxxxxxxxx0

yx

y0

y0

y0

y0

yyy,

y,, yyyyyyyy0y0000x

111111x

Δx ve Δy bilinmeyenler olarak seçilip sistem matrisel olarak yazılırsa;

f x0 , y0

xffffff xxxxxxxx0

xx00

x0

x0

x0

xxx,

x,

x, yyyyyyyyy0y00000 f x0 , y0

yffffff xxxxxxxx0

yx00

y0

y0

y0

yyy,

y,

y,

yyyyyyyyyy0y00000

g x0 , y0

xggggg xxxxxxxxx0

xxx0

x0

x0

x0

xxx,

x,, yyyyyyyy0y0000 g x0 , y0

yggggg xxxxxxxxx0

yx

y0

y0

y0

y0

yyy,,

y,, yyyyyyyy0y0000

ff x

y

x

y

f x0 , y0x

g x0 , y0x

ffff

gg

Bu sistem Ax=B olan lineer bir sistemdir. Sistem, (x0 , y0) başlangıç değerleri ile herhangibir yöntem kullanılarak çözülerek ve Δx, Δy ‘in ilk değerleri bulunur. Bu değerler kullanılarak,

Hatırlatma : f(x) fonksiyonun xi noktasındaki taylor serisi;

x1 = x0 + Δx

y1 = y0 + Δy

noktaları bulunur. Bu işleme |Δx|< ε ve |Δy|< ε ‘a kadar devam edilir.

İterasyon için sistem;

f xk , yk

xffffff xxxxxxxxkxkk

xk

xk

xk

xxx,

xx,,

x, yyyyyyyyykkkkk f xk , yk

yffffff xxxxxxxxkxkk

yk

yk

yk

yyy,

yy,,

y, yyyyyyyyykkkkk

g xk , yk

xggggg xxxxxxxxxk

xxk

xk

xk

xk

xxk

xxx,,, yyyyyyyyyykkkkk g xk , yk

yggggg xxxxxxxxxk

yxk

yk

yk

yk

yyk

yyy,,

y, yyyyyyyyyykkkkk

ff x

y

x

y

f xk , ykx

g xk , ykx

ffff

gg

Örnek : Aşağıda verilen denklem sistemini x0 = 0.6 ve y0 = 1.5 başlangıç değerlerini kullanarak çözünüz.

x 2 y 3x y2 5

Örnek : Aşağıda verilen denklem sistemini x0 = 0.5 ve y0 = 3 başlangıç değerlerini kullanarak çözünüz.

x 2 y2 9ex 5 x y 0

2. Üç değişkenli lineer olmayan denklem sisteminin Newton Yöntemi ile çözümü

f(x,y,z) = 0

g(x,y,z) = 0

v(x,y,z) = 0

olmak üzere, bu denklemler (x0 , y0 , z0) noktası için taylor serilerine açılırsa;

f x0 x , y0 y , z0 zf x z f x0 , y0 ,z0f x x

1!xx!x!xx f x0 , y0 ,z0

xffffffffff xxxxxxxx0x0000 ,,

x, yxxyxyxyxyxyxyxyy0y0000 ,,,zzzzzzz0z0000 y

1!111yy!y!yy f x0 , y0 ,z0

yffffffffff xxxxxxxx0x0000 ,,

y, yyyyyyyyyyyyyyyyyy

0y0000 ,,,zzzzzzz0z000 z1!111

zz!z!z f x0 , y0 ,z0

zffffffffff xxxxxxxx00000 ,,, y

zzyzyzyzyzyzyzyy0y0000 ,,,zzzzzzz0z0000x

111111x

g x0 x , y0 y, z0 zx z g x0 , y0 ,z0x x1!x!x!x g x0 , y0 ,z0

xgggggggg xxxxxxxxx0x0000 ,,

x,xxxy

xy

xy

xy

xyy

xyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000 y

1!111yy!y!yy g x0 , y0 ,z0

ygggggggg xxxxxxxxx0x0000 ,,

y,yyyyyyyyyyyyyyyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000 z

1!111zz!z!z g x0 , y0 ,z0

zgggggggg xxxxxxxxx0x0000 ,,,

zzyzyzyzyzyyzyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000xx

111111xx

v x0 x , y0 y, z0 zx z v x0 , y0 ,z0x x1!x!x!x v x0 , y0 ,z0

xvvvvvv xxxxxxxxx0x0000 ,,

x,xxxy

xy

xy

xy

xyy

xyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000 y

1!111yy!y!yy v x0 , y0 ,z0

yvvvvvv xxxxxxxxx0x0000 ,,


1!111zz!z!z v x0 , y0 ,z0

zvvvvvv xxxxxxxxx0x0000 ,,,

zzyzyzyzyzyyzyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000xx

111111xx

Taylor serisinde ilk 2 terim alınır ve (x1 , y1 , z1) noktasında da fonksiyonlar sıfıra eşitse;

0 f x0 , y0 ,z0f x x1!xx!x!x f x0 , y0 ,z0

xffffffffff xxxxxxxx0000 ,,

x, yxxyxyxyxyxyxyxyy0y0000 ,,,zzzzzzz0z000 y

1!111yy!y!yy f x0 , y0 ,z0

yffffffffff xxxxxxxx0x0000 ,,

y, yyyyyyyyyyyyyyyyy0000 ,,,zzzzzzz0z0000 z

1!111zz!z!z f x0 , y0 ,z0

zffffffffff xxxxxxxx0x0000 ,,, y

zzyzyzyzyzyzyzyy00000 ,,,zzzzzzz0z0000x

111111x

0 g x0 , y0 ,z0x x1!x!x!x g x0 , y0 ,z0

xgggggggg xxxxxxxxx0x0000 ,,

x,xxxyxyxyxyxyyxyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000 y

1!111yy!y!yy g x0 , y0 ,z0

ygggggggg xxxxxxxxx0x0000 ,,


1!111zz!z!z g x0 , y0 ,z0

zgggggggg xxxxxxxxx0x0000 ,,,

zzyzyzyzyzyyzyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000x

111111x

0 v x0 , y0 ,z0x x1!x!x!x v x0 , y0 ,z0

xvvvvvv xxxxxxxxx0x0000 ,,

x,xxxyxyxyxyxyyxyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000 y

1!111yy!y!yy v x0 , y0 ,z0

yvvvvvv xxxxxxxxx0x0000 ,,


1!111zz!z!z v x0 , y0 ,z0

zvvvvvv xxxxxxxxx0x0000 ,,,

zzyzyzyzyzyyzyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000x

111111x

Δx, Δy ve Δz bilinmeyenler olarak seçilip sistem matrisel olarak yazılırsa;

f x0 , y0 ,z0

xffffff xxxxxxxx0x0000 ,,

x, yxxyxyxyxyxyxyxyy0y0000 ,,,zzzzzzz0z0000 f x0 , y0 ,z0

yffffff xxxxxxxx0x0000 ,,

y, yyyyyyyyyyyyyyyyyy

0y0000 ,,,zzzzzzz0z0000 f x0 , y0 ,z0

zffffff xxxxxxxx00000 ,,, y

zzyzyzyzyzyzyzyy0y0000 ,,,zzzzzzz0z0000

g x0 , y0 ,z0

xggggg xxxxxxxxx0x0000 ,,

x,xxxy

xy

xy

xy

xyy

xyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000 g x0 , y0 ,z0

yggggg xxxxxxxxx0x0000 ,

y,y

yy,y

y

y

yyy

y

yyy

yyyyy

yyy

yyyyyyyyyyyyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000 g x0 , y0 ,z0

zggggg xxxxxxxxx0x0000 ,,,

zzyzyzyzyzyyzyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000

v x0 , y0 ,z0

xvvvv xxxxxxxxx0x0000 ,,

x,xxxy

xy

xy

xy

xyy

xyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000 v x0 , y0 ,z0

yvvvv xxxxxxxxx0x0000 ,

y,y

y,y

y

y

y

y

yyy

yyy

yyy

yyyyyyyyy0y0000 ,,,zzzzzz0z0000 v x0 , y0 ,z0 ,z0

zvvvv xxxxxxxxx0x0000 ,,, yyyyyyyy0

zyz0

z0

z0

z0

zz,,,zzzzzz0z0000 ,,,zzzzzz0z0000

fx

y

z

xx

y

f x0 , y0 ,z0x

g x0 , y0 ,z0x

v x0 , y0 ,z0x

ffff

gggggg

vv

Bu sistem Ax=B olan lineer bir sistemdir. Sistem, (x0 , y0, z0) başlangıç değerleri ile herhangibir yöntem kullanılarak çözülerek ve Δx, Δy ve Δz ‘nin ilk değerleri bulunur. Bu değerler kullanılarak,

x1 = x0 + Δx

y1 = y0 + Δy

z1 = z0 + Δz

noktaları bulunur. Bu işleme |Δx|< ε ve |Δy|< ε ve |Δz|< ε ‘a kadar devam edilir.

Newton yönteminde yakınsama koşullarını çok iyi olmasına ragmen başlangıç degerleri iyi seçilmezse sonuç alınamaz. Newton yönteminin algoritması basittir .Yöntem teorik olarak kusursuzdur. Pek çok problem için gerçek çözüme yakınsar.

Örnek : Aşağıda verilen denklem sistemini x = 1 , y = 2 ve z=3 başlangıç değerlerini kullanarak çözünüz.

x y 2 z 5x y y2 z 3x 2 y2 2 z3 17

Örnek : Aşağıda verilen denklem sistemini x10 = 0.1 , x2

0 = 0.1 ve x30 = 0.19 başlangıç

değerlerini kullanarak çözünüz.

3x1 cos x2 x3x 1211221122 0

x12 81 x2 0.1x 1

2sin x3x 1.06 0

e x1 x2 20 x3 9.472 0

3. Basit İterasyon Yöntemi

Lineer olmayan bir denklemin kökünü bulmak için kullanılan Basit İterasyon Yöntemi bazı değişikliklerle lineer olmayan denklem sisteminde kullanılır.

f 1 x1 , x2 , , xnx 0f 2 x1 , x2 , , xnxx 0

f n x1 , x2 , , xnx 0

formatında verilen denklem sistemi, alttaki formata dönüştürülür.

x1 g1 x1 , x2 , , xnx 0x2 g2 x1 , x2 , , xn

1

xx 0

xn gn x1 , x2 , , xnx 0

Yeni sistem yakınsama koşulunu sağlıyorsa

Xk+1 = G(Xk) formülü ile itersayona başlanır.

Yakınsama Koşulu : Lineer olmayan bir denklemin yakınsama koşulu ile aynı yapıdadır;

g1

x1

gxgxgxg1

x1

1

1

1ggggggxx

g2

x1

gxgxgxgx

2

1

2

1

2ggggggxx

gn

x1

gxgxgxgn

xn

1

n

1

ggggggxx 1

g1

x2

gxgxgxg1

2

1

2

1

2

ggggggggxxx

g2

x2

gxgxgxgx2

2

2

2

2

2ggggggggxx

gn

x2

gxgxgxgn

x2

n

2

n

2

ggggggggxx 1

g1

xn

gxgxgxgxn

1

n

1

n

ggggggxx

g2

xn

gxgxgxgxn

2

n

2

n

2ggggggxx

gn

xn

gxgxgxgn

xn

n

n

n

n

ggggggxx 1

Örnek : Aşağıda verilen denklem sistemini basit iterasyon yöntemi kullanarak çözünüz.

(x10 = 3.48 , x2

0 = 2.26)

x1 3 log10 x1 x22 0

2 x12 x1 x2 5 x1 1 0

6- ENTERPOLASYON

Belirli bir aralıkta, bilinen değerleri [(x0,y0) ..(xn,yn)] kullanarak, bilinmeyen değerlerin hesaplanmasına enterpolasyon denir. Bu amaçla, bilinen veriler kullanarak uygun fonksiyonlar uydurulur.

En yaygın olarak polinom enterpolasyonu kullanılır.

n. dereceden polinomun genel hali;

f xf x a0 a1 x a2 x2 an xn

(n+1) veri için, bütün noktalardan geçen bir tane n.dereceden polinom bulunur.

2 noktayı 1.dereceden polinom (doğru), 3 noktayı 2. Dereceden polinom (parabol) birleştirir.

y

x

y

x

Doğrusal Enterpolasyon

x 0 , f 0x f 0 a0 a1 x 0

x1 , f 1x

0

f 1 a0 a1 x1

bu denklem sistemi çözülerek katsayılar bulunur.

1 x 0

1 x1

11

1

a0

a1

a

a

f 0

f 1

ff

f

Cramer yöntemi ile;

a0

f 0 x 0

f 1 x1

ff

1 x 0

1 x111

ffffffffffff

1111

ffff

1111

fffff

1111

f 11

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

0

x1

0

x

0

11

0

1 f 0 x1 f 1 x 0

x1 x 0

ffff 000 xxxxxxxxxxxxxxx

1

1

x1

1

1

1

1 fxxfxfxfxfxfxfxf

0

f

00

f

0

11

0

1 xxxxxxxx 00000

a1

1 f 0

1 f 1

111

1 x 0

1 x111

11111111

1111

1111

11111111

ff

x

ff

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

0

f 1

00

1

0

1

0

f 1 f 0

x1 x 0

ffxxfxfx

1

1

1

1

fxfxfxfxfxfxfxfxf

0

f 0

000

00

0

00

f xf x L0 f 0 L1 f 1 şeklinde düzenlenirse;

f xf xf 0 x1 f 1 x0 f 1 x f 0 x

x1 x0

ffff 000 xxxxxxxxx111 fffffffffff 111

xxxxxx

xxxx

xx

xx

1

x

1

x

1

x

1

xx00000

xxxf

xxf

xf

xf

0

fxf

0

f

0

f

0

f

00

ff 111 xxxxxxxxx fffffffffff 00000 xxxxxxxxx x1 xx1 x0

xxxxxxx

1

x1

1

11

xxxxxxxxxxxx

0

xxx

0

x

0000f 0

x x0

x1 x0

xxxxx

11

xxxxxxxxxxxx

0

xxx

0

0

0

x0

0

00

0000f 1

L0

x1 xx1 x0

xxxxxx

1

x1

1

11

xxxxxxxxxxxx

0

xxx

0

x

0000, L1

x x0

x1 x0

xxxxx

11

000x0000xx

0x0xx

0xxxxxxxxx

0

0

0

x0

0

00

0000

y

x

f(x)

x0

f0

f1

x1

(xo,fo) ve (x1,f1) biliniyorsa, bu 2 noktadan geçen doğrunun denkleminin bulunması doğrusal enterpolasyondur.

Bu 2 noktadan geçen doğrunun denklemi;

f(x)=a0 + a1 x

kabul edilerek, katsayıları hesaplanır.

Polinomal Enterpolasyon (Lagrange Enterpolasyonu)

x 0 , f 0x f 0 a0 a1 x 0 a2 x 0

2

x1 , f 1x

0

f 1 a0 a1 x1 a2 x12

x 2 , f 2x f 2 a0 a1 x 2 a2 x 22

bu denklem sistemi çözülerek katsayılar bulunur.

Denklem sistemi çözülüp f xf x L0 f 0 L1 f 1 L2 f 2 katsayıları bulunursa;

L0

x x1 x x2

x0 x1 x0 x2xx

x

x

x

xx

x

0

xx

0

x

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x1

1

x

x1

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

x

x0000

xxxxxx

x

x

x2

x

x

x2

x2

x2

x22

x222222

, L1

x x0 x x2

x1 x0 x1 x2xx

x

x

x

xx

x

x1

xx

1

x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x0

0

00

00

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx111

xxxx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x2

x2

x22

x2

x2

2

22222

, L2

x x0 x x1

x2 x0 x2 x1xx

x

x

x

xx

x

2

xx

2

x

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x0

0

x

x00

00

0

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

x

x2

x

x2222

xxxxx

x

xx

x

x

x1

xx1

x1

x1x111

Bu katsayılara Lagrange polinomları denir. Lagrange katsayıları n dereceli polinom için yazılırsa;

Lk

x x 0 x x1 x xk 1 x xk 1 x xn

xk x 0 xk x1 xk xk 1 xk xk 1 xk xnxxxxxxkkk

xxxxxxxxx

xxxxxxxx 0

x

00

x

0

x

0

x

0

xxxx 000000000000

xxxxxxxxxk

x

k

x

k

x

k

x

k

xxxxx

xxx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

x

1

xx

1

111111

xxx

x

xx

x

xx

x

x

xx

x

xx

k

x

kk

x

kk

xx

x

xx

x

x

x

x

x

x

xk

xxkk

k

kk

kk

k

kkk

11

1

1

11

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

xxxxkkkkk

xxxxxxx

x

xk

xk

xk

xkk

xxk

xxkkkkkk

111

111

xxxxxxxxx

xxxxxxxxxkkkk

x

k

xxxxxxxxnnnnnn

xxxxxxxxxxxxxxnnnnnn j 0j kjjjjjjj

n x x j

x k x j

xxxxxx

kkk

xxxxxxxxxxxxxx

jj

xxjj

j

jj

jj

j

jjj

Fonksiyon ise;

f xf x Pn xxk 0

n

Lk f kk 0

n

j 0j k

n x x j

x k x j

xxxxxx

kkk

xxxxxxxxxxxxxx

jj

xxjj

j

jj

jj

j

jjjjjjjjjjj

f k

n=1 (xo,fo) ve (x1,f1)

y

x

f(x)

x0

f0

f1

x1

f2

x2

(xo,fo) , (x1,f1) ve (x2,f2) biliniyorsa, bu 3 noktadan geçen parabol denkleminin bulunması;

f(x)=a0 + a1 x + a2 x2

kabul edilerek, katsayıları hesaplanır.

n=2 (xo,fo) , (x1,f1) ve (x2,f2) Örnek : x y 0 3 1 4 2 7

Noktalarından geçen polinomu Lagrange Enterpolasyon formülünü kullanarak bulunuz.

Örnek : x y 0 -0.5 1 0 2 0.5 3 1

f(x)=sin(πx) için yandaki noktalarından geçen 3. Dereceden polinomu Lagrange Enterpolasyon formülünü kullanarak bulunuz.

En Küçük Kareler Yöntemi

En küçük kareler yöntemi; herbir nokta için, uydurulan eğri ile gerçek fonksiyon arasındaki farkların karelerinin toplamının minimum yapılmasıdır. Gerçek fonksiyon f(x) ve uydurulan fonksiyon g(x) ise;

i 1

n

g xix f xif xg2

‘nin minimum yapılması ile g(x) fonksiyonunun katsayıları belirlenir.

Hatanın minimum yapılması, fark fonksiyonunun 1.türevinin sıfıra eşitlenmesi ile sağlanır. 1. dereceden polinom uydurulması; Bilinen n tane (xi, yi) noktası için en küçük kareler yöntemi kullanılarak g(x)=a0 + a1 x fonksiyonunun elde edilmesi;

e a0 ,a1ai 1

n

a0 a1 xi f xif xa2

Yukardaki e fonksiyonunun minimum olması için 1. türevi sıfıra eşitlenir;

e a0 ,a1

ai

eeee aaaaaaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

a0

aii

,

i

,,aaaaaaa1a110 , i 0,1

e a0 ,a1

a0

eeee aaaaaa

aaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

0

0

a00

,

00

,,aaaaaaa1a110 ve

e a0 ,a1

a1

eeee aaaaaaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

a1

0

a11

,

1

,,aaaaaaa1a110

e a0 ,a1

a0

eeee aaaaaa

aaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

0

0

a00

,

00

,,aaaaaaa1a112

i 1

n

a0 a1 x i f x if xa 0 n a0 a1i 1

n

x ii 1

n

f x if xx

e a0 ,a1

a1

eeee aaaaaaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

a0

a11

,

1

,,aaaaaaa1a112

i 1

n

a0 a1 x i f x if xa x i 0 a0i 1

n

x i a1i 1

n

x i2

i 1

n

x i f x if x

Matrisel olarak ifade edilirse;

y

x

Deneysel olarak elde edilmiş 8 veri yanda görülmektedir. 7. dereceden bir polinom uydurulursa, bu eğri bütün noktalardan geçer. Ancak verilerdeki değişkenlik nedeniyle, eğri salınımlı olacaktır.

Bu gibi durumlarda, her bir noktadan geçmeyen, verilerin genel eğilimine veya şekline uyan fonksiyon üretilir.

ni 1

n

x i

i 1

n

x ii 1

n

x i2

i

a0

a1

aa

aa

i 1

n

f x if xx

i 1

n

x i f x if xi

Örnek : Aşağıda verilen noktalar için 1. dereceden polinomu (g(x)=a0 + a1 x) en küçük kareler yöntemini kullanarak bulunuz. x y 0 1 1 4 2 7 4 13 7 12 2. dereceden polinom uydurulması; Bilinen n tane (xi, yi) noktası için en küçük kareler yöntemi kullanılarak g(x)=a0 + a1 x +a2 x2 fonksiyonunun elde edilmesi;

e a0 ,a1 ,a2ai 1

n

a0 a1 xi a2 xi2 f xif xa

2

Kısmi türevleri bulunup sıfıra eşitlenerek matrisel

olarak ifade edilirse;

ni 1

n

x ii 1

n

x i2

i 1

n

x ii 1

n

x i2

i 1

n

x i3

i 1

n

x i2

i 1

n

x i3

i 1

n

x i4

i

i

a0

a1

a2

aa

aaa

aa

i 1

n

f x if xx

i 1

n

x i f x if x

i 1

n

x i2 f x if x

i

i

Örnek : Aşağıda verilen noktalar için 2. dereceden polinomu (g(x)=a0 + a1 x +a2 x2 ) en küçük kareler yöntemini kullanarak bulunuz. x y 0 -6 2 0 3 6 5 24 8 66

Herhangibir yöntemle çözülerek a0 ve a1 katsayıları bulunarak;

g(x)=a0 + a1 x elde edilir.

Herhangibir yöntemle çözülerek a0 , a1 ve a2 katsayıları bulunarak;

g(x)=a0 + a1 x +a2 x2 elde edilir.

Üstel fonksiyon uydurulması; Bilinen n tane (xi, yi) noktası için en küçük kareler yöntemi kullanılarak g xx a0 ea1 x fonksiyonunun elde edilmesi için öncelikle bu fonksiyonun doğrusallaştırılması gerekir. Çünkü; ai ‘lere göre kısmi türev alınıp sıfıra eşitlendiğinde lineer denklem sistemi oluşmaz. Her iki tarafın ln ‘i alınırsa; g xx y a0 ea 1 x ln yy ln a0 ea 1 xa ln a0a ln ea 1 xe ln a0a a1 x

e a0 ,a1ai 1

n

ln a0a a1 xi ln yiylnll2

Yukardaki e fonksiyonunun minimum olması için 1. türevi sıfıra eşitlenir;

e a0 ,a1

ai

eeee aaaaaaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

a0

aii

,

i

,,aaaaaaa1a110 , i 0,1

e a0 ,a1

a0

eeee aaaaaa

aaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

0

0

a00

,

00

,,aaaaaaa1a110 ve

e a0 ,a1

a1

eeee aaaaaaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

a1

0

a11

,

1

,,aaaaaaa1a110

e a0 ,a1

a0

eeee aaaaaa

aaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

0

0

a00

,

00

,,aaaaaaa1a112

i 1

n

ln a0a a1 x i ln y iylnll 1a0

1a1a1

000 n ln a0a a1

i 1

n

x ii 1

n

ln yiy

e a0 ,a1

a1

eeee aaaaaaaaa

aaa0

aaa0

a0

a0

a1

0

a11

,

1

,,aaaaaaa1a112

i 1

n

ln a0a a1 x i ln y iylnll xi 0 ln a0ai 1

n

x i a1i 1

n

x i2

i 1

n

x i ln y iy

Matrisel olarak ifade edilirse;

ni 1

n

x i

i 1

n

x ii 1

n

x i2

i

ln a0a

a1

llnlllnlli 1

n

ln y iy

i 1

n

x i ln y iyi

Örnek : Aşağıda verilen noktalar için üstel fonksiyonu ( g xx a0 ea1 x ) en küçük kareler yöntemini kullanarak bulunuz. x y 0 3 1 8.155 2 22.167 3 60.257 5 445.239 8 8942.874

Herhangibir yöntemle çözülerek a0 ve a1 katsayıları bulunarak;

elde edilir.

7- Bayağı Diferansiyal Denklemlerin Sayısal Çözümü Fiziksel problemlerin ifade edilmesinde (modellenmesinde) ve çözülmesinde kullanılır. Yay-kütle sistemi, kondansatör-bobin içeren elektronik devreleri, kimyasal reoksiyonlar, bir kütlenin bir başka cismin etrafındaki hareketi problemleri diferansiyel denklem formundadır. Herhangibir değişkene (veya değişken grubuna) bağlı bilinmeyen bir fonksiyon (yada fonksiyonlar) ile bu fonksiyonun türevleri arasındaki bağıntıya adi diferansiyel denklem (yada sistem) denir. Tek denklem halinde en yüksek mertebeli türev, denklemin mertebesini belirler; denklem sistemi halinde ise en yüksek mertebeli denklemin mertebesi sistemin mertebesi olarak kabul edilir. Adi türevli bir çok diferansiyel denklemin analitik çözümleri olmasına rağmen, bunların çözümleri ya çok zor ya da imkansızdır. Bu yüzden, sayısal yöntemler geliştirilmiştir. Eğer diferansiyel eşitlik n. Mertebeden türeve sahip ise bu durumda bu eşitliğen. Mertebeden diferansiyel eşitlik denir. Diferansiyel denklemler katsayılarına , mertebe ve derecelerine göre sınıflandırıabilir. 1- Katsayılarına Göre Sınıflandırma

)(21 xfyKdxdyK

Formunda bir diferansiyel denklem için;

a- K1 ve K2 katsayıları sabit ise; (K1=15, K2=-4 , f(x)=100 sin( x) ) Sabit Katsayılı Diferansiyel Denklem veya Sabit katsayılı lineer diferansiyel denir.

)(100415 xSinydxdy

b- K1 ve K2 katsayıları x’ in fonksiyonu ise; (K1=5x, K2=-4x , f(x)=100 sin( x) ) Değişken Katsayılı Diferansiyel Denklem veya Değişken katsayılı lineer diferansiyel denir.

)(10045 xSinxydxdyx

c- K1 ve K2 katsayıları y’ in fonksiyonu ise; (K1=(3+5y), K2=-4 , f(x)=100 sin( x) ) Doğrusal olmayan (non-lineer) Diferansiyel Denklem denir.

)(1004)53( xSinydxdyy

2- Mertebe ve Derecelerine Göre Sınıflandırma Bir diferansiyel eşitik içerisinde m,n en büyük olmak kaydı ile ;

n

m

m

dxyd

İfadesinde m eşitliğin mertebesini ve n ise eşitliğin derecsini verir. m.mertebeden ve n.dereceden dif. Eşitlik denir.

Diferansiyel Denklemlerin Çözümü Elektrik devrelerinde, elektrik makinalarının dinamik analizinde ve elektromekanik sistemerin tasarımı, modellenmesi ve analizinde ve diğer tüm elektrik mühendisliği konuları kapamında diferansiyel denklemler kullanılmaktadır. Diferansiyel denklemlerin çözülmesi ile mevcut sistemin davranışı belirlenebilmektedir. Diferansiyel denklemlerin çözümü için 2 yaklaşımı mevcuttur. Bunlardan ilki analitik çözüm, diğeri ise sayısal çözümdür. Analitik çözüm Diferansiyel Denklemler dersinde ayrıntılı olarak işlenmiştir. Burada tekrar edilmeyecektir. Bu ders kapsamında sayısal çözüm yöntemlerine değinilecektir. 2 yaklaşım arasındaki fark öğrenci tarafından kolaylıkla anlaşılabilecektir.

),( yxfdxdy

formunda ki diferansiyel eşitliğe 1. Dereceden tek değişkenli adi diferansiyel denklem denir. En basit formda bir diff. Denklem şekildeki RL devresinden türetilebilir.

)()()( ti

LR

LtV

dttdi

1- EULER YÖNTEMİ Diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için geliştirilen yöntemlerin başında gelir. Basit olmasına

rağmen oldukça başarılı sonuçlar vermektedir. ),( yxfdxdy

olan bir diff. denklem için;

Eğer xi noktasında yi biliniyorsa ; ),( iixx

yxfdxdy

i

hyy

dxdy ii

xx i

1

Olarak yazılabilir.Her iki eşitlik ten ),(1ii

ii yxfh

yy olarak yazılır ve buradan yi+1 çözülür ise ;

),(1 iiii yxfhyy yazılabilir. Böylece (xi,yi) başlangıç noktası kullanılarak (xi+1,yi+1) noktası buluınmuış olur. Bu şekilde nokta nokta çözüm yapılarak diferansiyel eşitlik çözülmüş olur. Çözüme başlamak için muhakkak başlangıç noktası x0,y0 bilinmeli ve h adımı belirlenmelidir. Çözüm sonunda bir tablo oluşturulur. Oluşturulan tablo çizdirilerek çözüm değişimi görülebilir.

Not : Aynı ifade taylor serisi yardımı ile bulunabilir.

Diferansiyel denkleminin çözümü y=y(x) olsun,

x=x0 için y(x0)= y0 verildiğine göre olur, taylor serisinden ilk iki terim kullanılırsa;

x y x0 y0 x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . . . xn yn

Burada sadece x3 için y3 bulmak gerekse bile sırası ile y1 ve y2 öncelikle bulunmalıdır. Dorudan y3 hesaplanamaz.

ÖRN-1: . xdxdy 2 y(0)=1 ise y(2)=? (h=0.5)

ÖRN-2: . xy

dxdy

y(4)=0.75 ise y(7)=? (h=1)

ÖRN -3 : Devreden i(t) akımının değişimini EULER yöntemi ile bulunuz. Analitik yöntem ile karşılaştırınız. t0=0 iken I0=0 ve h= 0.1 olarak alıp kullanınız.

2- Runge-Kutta Yöntemi ),( yxf

dxdy

formunda bir diff. eşitlğin çözümü Euler yöntemine benzer, tüm sayısal yöntenler gibi

bu yöntemde de bir başangıç koşulu ile durum değişkeninin adım adım hesabına dayanır. Her adımda xi değişkeni h kadar artırılıp xi+1 için yi+1 değeri hesaplanır. Runge-Kutta yönteminde yi+1 hesabı için birkaç adım işlem yapılır. Genel denklemi ;

),( yxfdxdy

olan bir diff. Denklem için;

34

23

12

1

43211

,2

,2

2,

2

,

261

),(

kyhxfhk

kyhxfhk

kyhxfhk

yxfhk

kkkkyy

iseyxfdxdy

ii

ii

ii

ii

ii

Burada dikkat edilmesi gereken nokta k1,k2,k3 ve k4 hesabı içinde değişkenlerin birine h’ li terim diğerine ise k’lı terimler eklenmektedir.

34

23

12

1

43211

,2

,2

2,

2

,

261

),(

kyhxfhk

kyhxfhk

kyhxfhk

yxfhk

kkkkyy

iseyxfdxdy

ii

ii

ii

ii

ii

ÖRN 4: . xy

dxdy

y(4)=0.75 ise y(7)=? (h=1)

ÖRN 5: Devreden i(t) akımının değişimini Runge-Kutta yöntemi ile bulunuz. Analitik yöntem ve EULER ile karşılaştırınız. t0=0 iken I0=0 ve h= 0.1 olarak alıp kullanınız.

3- ADAMS Yöntemi

),( yxfdxdy

formunda bir diff. eşitliğin çözümü için birden fazla başlangıç koşuluna gerek vardır.

Kullanılan nokta sayısı ile orantılı olarak 2 adımlı, 3 adımlı, 4 adımlı gibi farklı yapıları mevcuttur. Nokta sayısı arttıkça gerekli başlangıç değeri sayısı da artmaktadır.

),( yxfdxdy

olan bir diff. Denklem için;

2 adımlı

iiii ffhyy 112 32

ii ff ,1 gereklidir. Yani

),(),,( 11 iiii yxfyxf gereklidir.

İlk hesaplanacak değer

0112 32

ffhyy

10, ff

),(),,( 1100 yxfyxf

3 adımlı

iiiii fffhyy 5162312 1223

iii fff ,, 12 gereklidir. Yani ),(),,(),,( 1122 iiiiii yxfyxfyxf

İlk hesaplanacak değer

0112 32

ffhyy

210 ,, fff

),(),,(),,( 221100 yxfyxfyxf

ÖRN-6: . xy

dxdy

y(4)=0.75 ise y(7)=? (h=1)

ÖRN 7: Devreden i(t) akımının ve Vc(t) kondansatör geriliminin değişimini ; a- EULER b- RUNGE-KUTTA c- ADAMS Yöntemleri ile 2 adım bulunuz.

t0=0 iken I0=0 ve h= 0.1 olarak alıp kullanınız. Adams yönteminde 2. Başlangıç değerleri olarak EULER ile bulunan değerleri kullanınız.

ÖDEV : Devreden i(t) akımının değişimini tüm yöntemler ile 3 adım bulunuzRunge-Kutta yöntemi ile bulunuz. Analitik yöntem ile karşılaştırınız. t0=0 iken I0=0 ve h= 0.1 olarak alıp kullanınız. Adams yönteminde 2. Başlangıç değerleri olarak EULER ile bulunan değerleri kullanınız.

sayisal ÇÖzÜmleme yÖntemler - wordpress.com · 2019. 10. 4. · sayisal ÇÖzÜmleme yÖntemler...

Documents