Scoprire la fisica con il pendolo.

Proposta di un progetto didattico per reti di scuole

Francesco Marchi

22 maggio 2013

Sommario

Questo articolo e proposto come elaborato ai fini della verifica finale del corso di Preparazione diesperienze didattiche, per la classe di concorso A049 - TFA dell’Universita di Pisa, A.A. 2011/12.Nelle prime due sezioni del lavoro vengono delineate le linee generali di un progetto per l’insegnamentodella fisica nella scuola secondaria di secondo grado; nelle due sezioni successive vengono descrittedue esperienze svolte nell’ambito del corso che, opportunamente riadattate, potrebbero essere inseriteall’interno del progetto proposto. Infine, un’appendice con alcuni materiali complementari e dedicataall’approfondimento di alcuni aspetti dei temi trattati nell’articolo.I principali punti di partenza della proposta derivano, oltre che dalle attivita del corso svolte in aula enei laboratori didattici, dal mio personale percorso formativo e professionale: cosı facendo, ho cercatodi dare maggiore un maggiore significato e coerenza alle riflessioni qui sviluppate.

Indice

1 Introduzione 21.1 Il contesto e il senso di questo lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Perche studiare la fisica del pendolo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Le scelte fatte e la “filosofia” che ci sta dietro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Motivare gli alunni all’apprendimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Evitare il sovraccarico cognitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Obiettivi e articolazione del progetto 52.1 Obiettivi per gli alunni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Obiettivi disciplinari e interdisciplinari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Obiettivi trasversali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Obiettivi per le scuole e l’universita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Strumenti per il conseguimento degli obiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Articolazione e fasi del progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Organizzazione e figure coordinatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Studio sperimentale dello smorzamento di un pendolo 73.1 Obiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Descrizione dell’apparato sperimentale e del modello teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2.1 Il sistema fisico studiato e gli strumenti di misura utilizzati . . . . . . . . . . . . . 83.2.2 Le approssimazioni fatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2.3 Modelli per la descrizione dello smorzamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Dati raccolti e loro elaborazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3.1 I grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3.2 Valori dei parametri ed incertezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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3.4.1 Commenti sulla quantita dei dati raccolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4.2 Commenti sulla qualita dei dati raccolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Dipendenza del periodo dall’ampiezza di oscillazione 114.1 Obiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Descrizione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2.1 Determinazione dell’ampiezza massima di oscillazione . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2.2 Le altre grandezze: misure dirette e indirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Dati raccolti e loro elaborazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3.1 Determinazione delle grandezze derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3.2 Scelta del tipo di fit da effettuare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3.3 Grafici dei punti sperimentali e risultati del fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

A Alcuni materiali complementari 14A.1 Gnuplot : alcune considerazioni sull’uso del programma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

A.1.1 Alcuni caveat sui risultati ottenuti tramite Gnuplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14A.1.2 Un esempio di codice sorgente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

A.2 Calcolo di incertezze su grandezze derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16A.2.1 La lunghezza del pendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16A.2.2 L’ampiezza massima di oscillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

A.3 Dipendenza del periodo dall’ampiezza: fit con funzione quadratica . . . . . . . . . . . . . 17

Riferimenti bibliografici 18

1 Introduzione

1.1 Il contesto e il senso di questo lavoro

Questo articolo nasce grazie ad alcuni spunti forniti dal corso di Preparazione di esperienze didatticheper il TFA - Classe di Concorso A049. Il corso, oltre all’interesse per i contenuti in se, e stata un’ottimaoccasione personale per riprendere alcune riflessioni riguardanti la didattica della fisica (anche attraversoattivita sperimentali) che avevo gia avuto modo di sviluppare in precedenza, sia nel corso di Laurea Spe-cialistica in Didattica e Storia della Fisica1, sia nel corso della mia attivita di insegnamento nella scuolasecondaria superiore.In particolare, le attivita sperimentali proposte nel corso e svolte all’interno dei laboratori didattici delDipartimento di Fisica “E.Fermi” di Pisa mi hanno richiamato alla mente il lavoro svolto nell’ambitodella mia tesi, in cui, ad una prima parte dedicata a riflessioni di carattere specialistico, ispirate a diversilavori di ricerca in didattica della fisica, seguiva una parte “piu concreta” in cui tali riflessioni venivanotestate su uno specifico concreto banco di prova, facendo riferimento ad un sistema fisico particolarmentesemplice ma interessante, il pendolo ([1], capitolo 4).A distanza di alcuni anni, la rilettura del lavoro di tesi mi ha fatto realizzare, forse con maggiore obietti-vita rispetto al momento in cui e stata scritta e discussa, la sua forte connotazione specialistica: il fattoche sia stata elaborata all’interno di un gruppo di ricerca attivo da anni nell’ambito della didattica dellafisica si riflette in un approccio metodologico che puo risultare sulle prime spiazzante per chi “non e delsettore”. Numerosi sono infatti i riferimenti a teorie didattiche e a riflessioni pedagogiche, sia di caratteregenerale, sia relative allo specifico ambito disciplinare.

Ricollegandomi al titolo e alle finalita di quel lavoro, con il presente articolo voglio compiere un ulteriorepasso in direzione della concreta traduzione didattica delle riflessioni gia sviluppate, “arricchendole” con:

1Corso che ho seguito negli anni accademici 2006/07 e 2007/08 presso l’Universita degli Studi di Bologna.

2

• Gli apprendimenti e i risultati di attivita di laboratorio svolte nell’ambito del corso TFA, per laclasse di concorso A049.

• Idee ed esperienze frutto dell’attivita di insegnamento svolta in questi anni, nella classe di concorsoA049, in diversi Licei Scientifici della mia provincia di residenza.

1.2 Perche studiare la fisica del pendolo?

Il titolo di questo articolo parla della scoperta della fisica con il pendolo; con una sfumatura di significatoleggermente diversa, ma di portata un po’ piu riduttiva, avremmo potuto parlare dello studio della fisicadel pendolo.In questo articolo proporro le linee generali di un progetto per l’insegnamento della fisica, attraversoi cinque anni di corso previsti dall’attuale ordinamento per le classi di Liceo Scientifico. Non voglio,ovviamente, affrontare il problema dell’insegnamento della fisica lungo tutti e cinque gli anni o quellodell’impostazione di tutto il curricolo di fisica. Ma piuttosto, anche nella logica delle nuove Indicazioninazionali per i Licei ([2]), proporre una sorta di percorso didattico che si snoda lungo i cinque anni,intrecciandosi con lo svolgimento del “normale curricolo”, cercando di toccare alcuni tra i principaliconcetti e metodi2 che un percorso di studi in fisica - a livello di scuola secondaria - dovrebbe fornire aglialunni, al fine del raggiungimento delle competenze disciplinari e trasversali proposte nelle Indicazionistesse.Ho scelto, per cercare di promuovere il raggiungimento di tali obiettivi, “il pretesto” di un sistema fisicoparticolare, e molto importante nella storia della fisica: il pendolo. Le motivazioni di questa scelta sonoampiamente discusse in [1]; rimandando a tale lavoro (e alla ricca bibliografia ragionata in esso proposta)per maggiori approfondimenti, qui ci bastera dire che si tratta di un sistema molto semplice da realizzarein un comune laboratorio didattico, che si presta bene alla raccolta di misure con strumenti elementari,ma che al tempo stesso e caratterizzato da una ricchezza di spunti di approfondimento (sperimentali,formali e matematici, storici, filosofici . . . ) veramente notevole.

1.3 Le scelte fatte e la “filosofia” che ci sta dietro

Le principali scelte fatte nell’impostazione e nell’articolazione del progetto, che saranno presentate nellasezione 2, discendono sia da riflessioni di tipo teorico, che dalla personale esperienza di insegnamento.Qui di seguito ne illustro alcune tra quelle che ritengo piu significative.

1.3.1 Motivare gli alunni all’apprendimento

E’ frutto di molti lavori di ricerca, ed e anche mia personale convinzione - maturata soprattutto sulla basedell’esperienza diretta di insegnamento - che troppo spesso le attivita didattiche che vengono proposteagli studenti, specialmente nei primi anni di scuola superiore, non riescano ad intercettare la vivacitaintellettuale e la ricchezza di interessi di ragazzi che, al medesimo tempo, ancora non hanno sviluppatopiene capacita di gestire processi cognitivi troppo complessi.Provero a spiegare meglio quello che voglio dire con un esempio.Molto difficilmente troveremo uno studente del primo anno di scuola superiore interessato (intendo ve-ramente interessato) a conoscere la formula per il calcolo della deviazione standard di un campione dimisure. Certamente si tratta di un aspetto fondamentale per fare qualcosa di veramente sensato; maveramente sensato per chi? Certamente per noi, gia padroni della disciplina e dei suoi fondamenti meto-dologici ed epistemologici, ma non per uno studente di 14-15 anni, i cui orizzonti di senso sono decisamentediversi dai nostri.Un ragazzo di quell’eta sara molto piu coinvolto da quella che e forse la caratteristica piu importante -e senza dubbio una tra le piu sorprendenti - della fisica e della scienza in generale: la capacita di fare

2O anche nuclei fondanti e contenuti imprescindibili nel gergo delle Indicazioni appena citate.

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previsioni3. Molto spesso questo tema, che e cosı importante nella scienza - anche da un punto di vi-sta filosofico, in quanto possibile criterio di demarcazione fra scienze e pseudo-scienze, viene trascuratonell’insegnamento4. I ragazzi si convincono allora che lo scopo e la funzione della scienza sia quello dispiegare la realta. Affermazione che contiene sicuramente una parte di verita; ma su quanta sia questaparte di verita e bene entrare nel merito proprio con gli alunni: mentre una previsione scientifica puoessere confermata o confutata in modo assai netto, spesso uno stesso fenomeno puo essere spiegato inmodi diversi fra loro, anche non considerabili scientifici secondo i canoni moderni, eppure tutti da porresullo stesso piano, se le diverse spiegazioni non soddisfano un criterio di falsificabilita.

Proprio alla luce delle considerazioni fin qui fatte, sono convinto che, per studenti del primo anno discuole superiori, cominciare un corso di fisica con un:

Buongiorno ragazzi. Oggi parleremo degli errori.

sia molto meno efficace di un:

Buongiorno ragazzi. Facciamo un gioco: scegliete un oggetto, abbastanza piccolo, nell’aula.Bene, adesso, ditemi quanto tempo impiega, secondo voi, a raggiungere terra se lanciato daquesta finestra.

Sicuramente ci dovra essere tempo - e ci sara nel percorso che andiamo a presentare - per affrontare tuttii concetti che rendono sensato parlare di “tempo di caduta dell’oggetto”: errore strumentale e statistico,incertezza, livello di confidenza di una misura fatta.Ma, prendendo le mosse da un qualcosa che attiva le risorse intellettuali dei giovani studenti, non liavremo alienati - forse per sempre - dalla curiosita di scoprire qualcosa del mondo che ci circonda, noi eloro.

1.3.2 Evitare il sovraccarico cognitivo

Uno dei principali aspetti di cui tener conto nella progettazione di una qualsiasi attivita didattica e lagestione del carico cognitivo che tale attivita comporta per i discenti. In particolare, nella realizzazionedi un’attivita sperimentale di fisica, sono richieste agli studenti una quantita ed una varieta di conoscenzee competenze decisamente notevoli.Supponiamo di voler proporre ai nostri alunni lo studio della dipendenza del periodo di oscillazione di unpendolo semplice dalla lunghezza del pendolo stesso. Nell’ambito di tale attivita, ci troveremo tipicamentea richiedere agli alunni:

• di prendere delle misure di lunghezze e di tempi;

• di annotare tali misure in opportune tabelle, magari in formato elettronico;

• di introdurre delle stime per le incertezze; eventualmente, per quanto riguarda le incertezze sulperiodo di oscillazione, da calcolare come deviazioni standard;

• di tracciare un grafico che interpoli i punti sperimentali;

• . . .

• alla fine - per chi e sopravvissuto fin qui! - di estrapolare dai dati una legge fenomenologica, o, aseconda di come avremo impostato l’attivita, di verificare una legge gia studiata.

3Cosa evidenziata in modo particolarmente efficace - fra gli altri - dal fisico Eugene Wigner in un noto articolo del 1960([3]).

4Per scienza intendo, al livello “ingenuo” di questa trattazione, la scienza sperimentale moderna, cosı come si e svi-luppata da Galileo in poi; consapevole che forse non esiste una sola scienza ed un solo metodo scientifico. Anche sullacaratterizzazione di cio che puo essere considerato scienza non entro ovviamente nell’ambito di questo breve articolo.

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Se pensiamo di proporre un simile compito a ragazzi del primo biennio di una qualunque scuola secondaria,ci possiamo convincere facilmente che pochissimi tra loro riusciranno a gestire e coordinare la complessitadi una tale varieta di operazioni. Per evitare di creare confusione nella loro mente e per dare comunqueun senso a quello che stanno facendo, dovremo fare delle scelte, quali ad esempio:

• Suddividere fra gruppi interni alla classe il lavoro svolto, eventualmente individuando un gruppo dialunni responsabili dell’intera attivita sperimentale. In questo modo, facendo ruotare i gruppi inesperienze successive, ciascun alunno avra modo di dedicare maggiore attenzione, di volta in volta,ad uno soltanto dei vari aspetti rilevanti nella realizzazione di un’attivita sperimentale di fisica.

• Decidere di procedere per tappe, rinunciando, nelle prime attivita svolte, ad alcuni aspetti del lavorosperimentale, quali ad esempio l’analisi delle incertezze, per poi introdurre solo successivamente talisuccessivi “raffinamenti”.

Proprio per questo, nelle attivita che illustrero piu avanti, cerchero talvolta di “suddividere” attivitacognitivamente complesse in piu gradini: suddividere tra sessioni di lavoro successive, oppure tra diversigruppi di studenti. Niente vieta che l’insegnante sicuro delle potenzialita dei propri alunni possa decideredi riunire tali attivita in un’unica esperienza didattica.

2 Obiettivi e articolazione del progetto

Il progetto che propongo punta al raggiungimento di diversi obiettivi, per diversi ordini di soggetti coinvol-ti: innanzitutto, obiettivi di apprendimento per gli alunni, che sono i primi destinatari della mia proposta;in secondo luogo obiettivi che riguardano, su una scala piu ampia, reti di scuole e universita: queste, comediscuteremo sotto, possono proficuamente interagire nello sviluppo di attivita didattiche, soprattutto serivolte a studenti degli ultimi anni della scuola superiore, anche in vista di un loro orientamento in uscitadalla scuola secondaria.

2.1 Obiettivi per gli alunni

2.1.1 Obiettivi disciplinari e interdisciplinari

Senza scendere nel dettaglio degli obiettivi disciplinari piu specifici, per i quali rimando ad un documentoin progress disponibile sul web ([4]), i principali obiettivi disciplinari e interdisciplinari del progetto sonoi seguenti:

• Sviluppare la consapevolezza che la ricchezza della fisica di un sistema dipende dal sistema, maanche “dagli occhi di chi guarda a quel sistema”.

• Far acquisire familiarita con i principali aspetti della fisica sperimentale (allestimento di sempliciapparati sperimentali; acquisizione di dati; analisi dei dati raccolti).

• Sviluppare la consapevolezza delle relazioni, continue e bidirezionali, fra la fisica sperimentale e lafisica generale.

• Far acquisire un’idea dell’intrecciarsi di riflessioni filosofiche, innovazioni tecniche, esigenze praticheetc. nello svilupparsi della scienza attraverso i secoli.

• Sviluppare la consapevolezza che la fisica, la matematica, l’informatica sono strumenti di pensiero- e anche discipline che forniscono strumenti operativi - che possono interagire fecondamente fra diloro al fine di conseguire una piu profonda comprensione del mondo che ci circonda.

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2.1.2 Obiettivi trasversali

I principali obiettivi trasversali sono i seguenti:

• Promuovere competenze informatiche, principalmente relative all’utilizzo di:

– Fogli di calcolo per “l’archiviazione ordinata” e l’analisi di dati.

– Semplici software (es. Gnuplot) che introducano a linguaggi di programmazione piu sofisticati.

– Sistemi per la condivisione di file via internet (es. Google Drive).

• Sviluppare capacita di condividere i risultati del proprio lavoro:

– In piccoli gruppi di lavoro interni alla classe.

– Con soggetti esterni alla classe, tramite l’utilizzo di tecnologie informatiche (ad esempio tramitedocumenti condivisi).

2.2 Obiettivi per le scuole e l’universita

Per quanto riguarda scuole secondarie ed universita, questi sono gli obiettivi principali:

• Creare reti di scuole che lavorano insieme ad un progetto comune; o, comunque, rendere concretal’azione didattica di reti di scuole ad oggi gia esistenti, almeno “sulla carta”.

• Promuovere l’interazione fra scuole secondarie ed universita, anche ai fini dell’orientamento forma-tivo degli alunni.

2.3 Strumenti per il conseguimento degli obiettivi

Per il raggiungimento dei vari obiettivi suddetti, le principali strategie individuate sono:

• Progettare un percorso di studi che consenta di ritornare, “con un andamento a spirale”, sugliargomenti affrontati, via via con maggiori consapevolezze, o quantomeno con punti di vista diversi5.

• Intrecciare in modo piu forte lo studio e la pratica della fisica sperimentale, della fisica generale,dell’informatica, della matematica.

• Cercare di tener conto, in maniera equilibrata, delle aspettative, degli obiettivi e degli interessi deglistudenti e delle loro reali capacita cognitive, valorizzando anche le diverse specificita individuali.

• Proporre la collaborazione attiva fra classi di scuole diverse: ad esempio gli alunni di una certascuola possono acquisire dati che saranno poi analizzati da una classe di una seconda scuola edinfine presentati da alunni di una terza scuola ai propri compagni di classe6.

• Creare documenti condivisi online, contenenti dati raccolti dagli alunni di diverse scuole o altridocumenti ritenuti utili ai fini del progetto.

• Creare un blog o un sito dedicato alle attivita e al progetto nel suo complesso.

• Svolgere attivita all’interno di laboratori didattici dell’universita, con raccolta di dati tramite unastrumentazione piu sofistica di quella generalmente disponibile all’interno delle scuole superiori.

5Questo “approccio a spirale” e stato ampiamente trattato da un punto di vista teorico, sperimentato nella praticadidattica e proposto in numerosi documenti ministeriali nel corso degli ultimi anni; sia come metodo pedagogico-didatticogenerale, sia nel caso specifico della fisica e delle scienze.

6Chiaramente un simile modo di lavorare, piuttosto articolato, sara proposto soprattutto in classi che abbiano giaacquisito una discreta capacita di gestione di attivita complesse.

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2.4 Articolazione e fasi del progetto

L’articolazione del progetto in piu fasi puo consentire una verifica dei risultati raggiunti al termine diciascuna di esse e fornire utili indicazioni su come procedere (e se - e quando - farlo) alle fasi successive.Una proposta di massima potrebbe essere la seguente:

1. Avvio del progetto in una o piu classi, anche di scuole diverse; non necessariamente le classi devonoessere tutte classi prime: le attivita proposte - che saranno illustrate nella prossima sezione - possonoinserirsi all’interno di una classica progettazione didattica, anche ad anno scolastico in corso.

2. I docenti delle classi coinvolte possono confrontarsi sull’esito della sperimentazione, attraversomailing list o documenti condivisi.

3. Dopo che sono state testate alcune delle attivita proposte e raccolti i primi set di dati sperimentali,necessari per la parte laboratoriale del progetto, si puo cominciare a condividere online tali materialie a far lavorare gli alunni su tali archivi: una bozza e gia stata creata ed e visibile online ([4], Archivio“dati grezzi”).

4. A questo punto e possibile far interagire in modo piu diretto classi di scuole diverse, avviandoattivita in cui i compiti sono suddivisi fra una scuola e l’altra.

5. Creazione di un blog dedicato al progetto. In tale blog le interazioni fra i partecipanti (alunni,classi, docenti, scuole) possono essere piu frequenti (con la pubblicazione di post) e significative(discussione degli esiti di un esperimento, progettazione condivisa di un’attivita sperimentale . . . )rispetto a quelle che si possono generare attorno ad un semplice archivio dati.

2.5 Organizzazione e figure coordinatrici

Alla luce dell’articolazione e delle fasi di lavoro di cui abbiamo appena parlato, non sembra necessariointrodurre particolari figure per il coordinamento delle attivita, almeno in una prima fase di sperimenta-zione del progetto.Puo essere sufficiente anche una sola figura addetta ad inserire nell’archivio online i dati raccolti dai varigruppi di lavoro: questa soluzione sembra la piu pratica ed efficace, in relazione al rischio di cancellazionedati da tale archivio; archivio che rimane comunque aperto, in modalita di sola consultazione, a tutti gliutenti che dispongano di un link per l’accesso. Inoltre, periodicamente, verra fatto un backup dei datiche, come ogni informazione online, sono comunque potenzialmente soggetti ad un rischio di cancellazioneper eventi di vario tipo (da problemi con i server, a rischi blackout e simili).I dati raccolti dai vari gruppi di lavoro possono essere inviati all’indirizzo fra.marchi@yahoo.it.

3 Studio sperimentale dello smorzamento di un pendolo

In questa e nella prossima sezione illustriamo due esempi di attivita didattiche che, opportunamente ria-dattate, possono essere proposte nell’ambito del progetto presentato. Si tratta di due attivita sperimentaliin cui vengono analizzati due aspetti di uno stesso sistema fisico: un pendolo cosiddetto quadrifilare.Nello specifico, in questa sezione vedremo come determinare il tempo caratteristico di smorzamento; nellaprossima come studiare la dipendenza del periodo dall’ampiezza delle oscillazioni compiute dal sistema.Poiche il sistema fisico analizzato e lo stesso nei due casi (cosı come anche i dati raccolti), esso verradescritto solamente in 3.2.

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3.1 Obiettivi

L’obiettivo di questa attivita e determinare sperimentalmente il tempo caratteristico τ delle oscillazionismorzate di un pendolo7; non verra fatto nessun confronto con alcuna previsione teorica per il valore diτ che otterremo alla fine dell’analisi dati.

3.2 Descrizione dell’apparato sperimentale e del modello teorico

3.2.1 Il sistema fisico studiato e gli strumenti di misura utilizzati

In questa esperienza abbiamo studiato le oscillazioni di un pendolo quadrifilare, del tutto analogo a quelloriprodotto nella figura 1. Il termine quadrifilare si riferisce semplicemente alla modalita di sospensionedel pendolo ad un supporto fisso: come si puo vedere nella figura, infatti, il blocchetto di legno oscillantee appeso ad un supporto fisso tramite quattro fili.La massa oscillante del pendolo di cui analizziamo il moto e costituita da un blocco di legno avente laforma - piuttosto regolare - di un parallelepido8. Piu o meno al centro di tale blocco, come si puo vederedall’immagine, e posto un cartoncino che, passando davanti ad una fotocellula, segnala i vari passaggi delpendolo di fronte ad un rivelatore ottico.Il sistema di acquisizione dati utilizza un piccolo dispositivo elettronico interfacciato con un computer;i dati acquisiti vengono poi letti tramite un software dedicato (Plasduino, [5]) e infine salvati in un filedi testo non formattato (.txt). Una volta posto in oscillazione il pendolo ed avviato il software perl’acquisizione dati, il sistema registra tre set di dati, come si vede nel file dei dati raccolti nell’archivio[6]: il tempo progressivo dall’inizio della misura; il periodo di oscillazione (determinato in automaticodal software sulla base delle differenze fra i tempi misurati); il tempo di transito (del traguardo otticodavanti alla fotocellula).

3.2.2 Le approssimazioni fatte

Il sistema studiato e soggetto a smorzamento: l’energia evidentemente non si conserva, essendo dissipatain vari attriti (principalmente dei fili con il punto di sospensione e del blocchetto con l’aria). Tuttavia,anche a seguito di un’analisi a posteriori sui dati raccolti, assumeremo che durante la singola oscillazionel’energia meccanica del sistema si conservi: tale approssimazione e sicuramente ragionevole per i nostriscopi.Assumeremo poi che i fili di sospensione siano inestensibili e di massa trascurabile (e che percio noncontribuiscano all’energia meccanica totale del sistema).Il sistema oscillante e costituito dal blocco (comprensivo di parte metallica sottostante e del cartoncino chefunge da traguardo ottico) e dai fili di sospensione9; l’energia cinetica totale associata al moto puo esserescomposta in una parte legata al moto traslatorio del blocco ed in una legata al moto rotatorio. Tuttavia,come mostriamo qui di seguito, l’energia rotazionale (Erot) puo essere ragionevolmente trascurata rispettoa quella traslazionale (Etrasl).Indichiamo con l la lunghezza del pendolo10; con M il valore della massa del blocco, con v la velocita nelpunto piu basso dell’oscillazione, con ICM il momento di inerzia del rotatore rispetto al centro di massa.

7Tale tempo, come si puo ricavare dall’equazione 2 proposta piu avanti e definito come il tempo necessario affinchel’ampiezza delle oscillazioni si riduca di un fattore e.

8Per la precisione, sotto il blocco di legno e attaccato un altro blocchetto piu piccolo (visibile in figura - in colore grigioscuro), pure quello a forma di parallelepipedo, di piombo. Tuttavia, per l’analisi dati qui proposta, non ci interesseremo deidettagli di tale oggetto: considereremo a tutti i fini la massa oscillante come un punto materiale (dopo aver illustrato chetale approssimazione e adeguata ai nostri scopi), trascurandone la geometria e la distribuzione della massa.

9In effetti, anche una certa massa d’aria posta in prossimita del blocco e in un certo senso soggetta al moto oscillatoriodel blocco stesso; dovremmo percio considerare l’oscillazione di una “massa efficace” in cui compare anche tale massa d’aria.Tuttavia, per il livello di analisi che facciamo qui, trascureremo tale effetto.

10A rigore dovremmo parlare di lunghezza efficace, trattandosi di un pendolo fisico; su questo punto, e sulla determinazionedi tale lunghezza, vedi 4.2.2.

8

Il rapporto tra energia rotazionale e traslazionale e allora:

Erot

Etrasl=

(ICM

(vl

)2)/2

(Mv2)/2(1)

Per una sbarra di sezione a2 e lunghezza b (oggetto cui e assimilabile il nostro blocchetto) si ha:

ICM =1

12Mb2

Sostituiamo tale valore nell’equazione 1 e svolgiamo alcuni semplici calcoli; considerato che nel nostrocaso la lunghezza del filo e di circa 1 metro e che quella del blocchetto e di circa 30 centimetri, avremo:

Erot

Etrasl=

b2

12l2' 7.5 · 10−3

che ci autorizza, con buona approssimazione, a trascurare il contributo del moto di rotazione all’energiacinetica.

3.2.3 Modelli per la descrizione dello smorzamento

Per un oscillatore armonico debolmente smorzato, se assumiamo che l’attrito possa essere descrittocon il modello di attrito viscoso, avremo che l’ampiezza dell’oscillazione decresce nel tempo secondoun andamento esponenziale, del tipo:

A(t) = A0 exp (−t/τ) (2)

Nel nostro caso l’approssimazione di oscillatore armonico vale, ragionevolmente, solo per piccoli angoli;inoltre l’ampiezza di oscillazione non rientra fra le grandezze che noi possiamo misurare direttamente.Possiamo superare questa impasse in almeno due modi.Come prima opzione potremmo differenziare la relazione 2, ottenendo una relazione per le velocita. Apartire dai dati raccolti sul tempo di transito del cartoncino e dalle dimensioni dello stesso, ottenere ivalori delle velocita; da lı, infine, ricavare il valore del coefficiente di smorzamento τ che si presenterain un’equazione formalmente analoga alla 2, visto che nella derivata la funzione esponenziale rimane sestessa.Procederemo, invece, per quest’altra via. Raccoglieremo i dati sul periodo di oscillazione in funzio-ne del tempo e, osservato che anch’essi seguono un andamento approssimativamente esponenziale11,ipotizzeremo una legge del tipo:

T (t) = T0 + (Tin − T0) exp (−t/τ) (3)

avendo indicato con T0 il periodo delle piccole oscillazioni e con Tin il periodo di oscillazione all’iniziodel campionamento dei dati. In tale legge il periodo varia nel tempo perche a variare e l’ampiezza dioscillazione, come mostrato dall’equazione 2; e chiaro che, procedendo per questa via, diventa essenzialela relazione tra periodo di oscillazione ed ampiezza, che percio studieremo nella sezione 4.

3.3 Dati raccolti e loro elaborazione

Abbiamo raccolto dati relativi al periodo di oscillazione in funzione del tempo e li abbiamo riportati nelfile [6]; in particolare abbiamo raccolto dati relativi a due “regimi di oscillazione” del pendolo: piccoli egrandi angoli.Con il software Gnuplot abbiamo analizzato i dati sulla base del modello teorico proposto nella sezioneprecedente: abbiamo eseguito un fit dei dati tramite una funzione come quella proposta nell’equazione 3.Nell’appendice A.1.2 e riportata una copia del codice sorgente per effettuare tale operazione in Gnuplot.

11A rigore l’andamento e esponenziale solo se supponiamo una forza di attrito proporzionale alla velocita; per velocita“grandi” - e quindi per angoli grandi - tale ipotesi non e piu del tutto accettabile. Tuttavia, nella nostra analisi dati,lavoreremo sempre in tale ipotesi; chiaramente questo si riflettera in una peggiore qualita della procedura di fitting dei datiper angoli grandi.

9

3.3.1 I grafici

In figura 2 riportiamo, per il regime di piccole oscillazioni, l’andamento del periodo di oscillazione infunzione del tempo e quello dei residui (calcolati come differenza relativa tra i valori misurati e quelliattesi sulla base della funzione di best fit utilizzata); lo stesso facciamo nella figura 3 per il regime digrandi oscillazioni.Dai grafici e evidente un andamento, almeno qualitativamente, tipico di un decadimento esponenziale.

3.3.2 Valori dei parametri ed incertezze

La procedura di fit dei dati, conduce ai risultati riportati nella tabella 1.Considerando come incertezze sui tempi 100 microsecondi abbiamo ottenuto, soprattutto per il caso digrandi angoli, valori piuttosto bassi per il chi-quadro ridotto; potremmo interpretare questo fatto comeuna conseguenza della sovrastima degli errori strumentali. In effetti, i risultati restituiti in automati-co dal software di acquisizione dati presentano un elevato numero di cifre (fino al microsecondo); percapire quante di queste corrispondano alla sensibilita effettiva dello strumento e necessario entrare inmerito a questioni legati all’elettronica e alla frequenza dei circuiti utilizzati, cosa che va al di la degliscopi di questo lavoro. Ci limitiamo ad osservare che il valore del chi-quadro ottenuto e assai fortementedipendente dal valore assegnato all’incertezza sulla misura dei tempi; abbiamo provato “a forzare unpo’ la mano” assegnando a tale incertezza il valore di 40 microsecondi al fine di ottenere un chi-quadroridotto piu vicino all’unita, anche considerando che, nel caso di grandi oscillazioni - diversamente dallamisura relativa ai piccoli angoli - non ci sono significative deviazioni dall’andamento previsto dovute adesempio ad impulsi spurii dell’elettronica. Proprio per questo, nel codice sorgente che utilizziamo inGnuplot per effettuare il fit dei dati, introduciamo il valore dell’incertezza sui tempi come un parametroche proviamo (parzialmente) ad aggiustare in modo che conduca ad un valore accettabile per il chi-quadro.

Poiche in questa attivita non facciamo riferimento ad alcun modello teorico che ci consente di prevederea priori il tempo di smorzamento in funzione dei parametri fisici del sistema, non possiamo confrontare ivalori ottenuti dalla procedura di best fit con nessuna previsione teorica.

Tabella 1: Smorzamento di un pendolo: valori dedotti dai punti sperimentali per il tempo di smorzamento τ , nei regimidi piccole e grandi oscillazioni. Nelle ultime due colonne sono riportati il valore del chi-quadro ridotto e il numero di gradi

di liberta.

Regime τ ±∆τ [s] χ2red ndof

Piccoli angoli (140± 6) 1.09 127

Grandi angoli (105.0± 0.3) 1.06 96

3.4 Conclusioni

3.4.1 Commenti sulla quantita dei dati raccolti

In questa esperienza abbiamo raccolto due set di misure relative a lanci da diversi angoli iniziali: nel filedei dati gia citato parliamo infatti di piccoli angoli e grandi angoli. Chiaramente, anche all’interno diciascuno dei due set, ogni oscillazione avviene a partire da un angolo iniziale leggermente diverso da quellaprecedente e da quella successiva: il sistema e soggetto a smorzamento e l’energia dissipata si traducein un angolo minore per ogni successiva oscillazione (fatta eccezione per quei punti in cui sono evidenti“errori” nel campionamento dei dati, cui abbiamo accennato). In ogni caso, tutte le oscillazioni del set“piccoli angoli” avvengono ad angoli minori di tutte le oscillazioni del set “grandi angoli” che abbiamo

10

registrato.I dati raccolti - anche per ragioni pratiche di limitato tempo a disposizione al momento in cui abbiamosvolto l’esperienza - si riferiscono ad un range non particolarmente grande rispetto a quello che avremmopotuto esplorare con l’apparato a nostra disposizione: come si puo vedere ad esempio dal grafico in figura4(b), ci siamo concentrati in un intervallo piu o meno compreso fra 0.2 e 0.3 radianti (“piccoli angoli”) edun ulteriore intervallo tra gli 0.5 e gli 0.8 radianti (“grandi angoli”). Certamente una migliorıa possibilerispetto ai dati raccolti e quella di ampliare tali range, in modo da coprire, senza soluzioni di continuita oquasi, tutto l’intervallo dagli 0.1 radianti circa fino al massimo sperimentalmente ottenibile con l’apparato,che piu o meno potrebbe aggirarsi intorno al radiante.

3.4.2 Commenti sulla qualita dei dati raccolti

Le misure di tempi fatte sono decisamente accurate - sicuramente di almeno un ordine di grandezza inpiu rispetto a quanto ottenibile con un comune cronometro digitale; le incertezze sono infatti stimabiliintorno agli 0.1 ms. Andando a graficare i dati raccolti (periodo di oscillazione vs tempo), come fattoin figura 2(a), notiamo che ci sono delle misure che “sballano” piuttosto chiaramente dall’andamentoatteso; si puo avere la conferma della presenza di tali valori andando a ricercarli all’interno delle tabellecon i dati raccolti. Questi dati “sballati” sono quasi certamente dovuti a impulsi spurii dell’elettronicautilizzata; una simile interpretazione e proposta anche dal prof. Fuso, che pure ha lavorato su un apparatosperimentale del tutto analogo, in un file disponibile online [7]. E’ possibile provare a ripetere le misureal fine di ridurre il numero di tali dati - che influenzano anche i risultati del fit - tenendo presente chetipicamente la loro frequenza e maggiore per oscillazioni a piccoli angoli, in cui fra l’altro la dimensionedel cartoncino usato come traguardo ottico diventa comparabile con la lunghezza di arco di circonferenzapercorso dal pendolo.

4 Dipendenza del periodo dall’ampiezza di oscillazione

4.1 Obiettivi

Vogliamo studiare l’andamento del periodo di un pendolo in funzione dell’ampiezza di oscillazione: an-dremo percio oltre l’approssimazione delle piccole oscillazioni. Piu nello specifico, come illustriamo pocopiu avanti, il periodo di oscillazione puo essere espresso come una serie di potenze crescenti dell’ampiezzaangolare massima dell’oscillazione; limitandoci al primo temine non banale di tale sviluppo (quadraticonell’ampiezza dell’angolo), vogliamo confrontare il coefficiente numerico di tale termine previsto dallateoria con quello ricavato tramite un fit dei dati sperimentali raccolti.

4.2 Descrizione del modello

Il sistema fisico studiato e lo stesso descritto nella sezione precedente; faremo qui le stesse assunzioni giafatte (massa dei fili trascurabile, inestensibilita dei medesimi . . . ).In queste ipotesi, in cui consideriamo percio la massa oscillante come puntiforme, e possibile ricavareun’espressione del periodo del pendolo tramite una serie di potenze crescenti nell’ampiezza angolaredell’oscillazione. Noi ci limiteremo ai primi due termini di tale serie, ovverosia alla seguente relazione traperiodo e ampiezza:

T (θ) = T0

(1 +

1

16θ2 + o(θ4)

)(4)

in cui T0 e il valore del periodo per le piccole oscillazioni.Vogliamo studiare la compatibilita dei dati raccolti con tale formula; in particolare, vorremmo eseguireil fit dei dati (θ, T ) con una funzione del tipo:

T (θ) = a(1 + bθ2)

11

Per confronto con il modello teorico, dovremmo percio avere:

a = T0; b =1

16= 0.0625

4.2.1 Determinazione dell’ampiezza massima di oscillazione

Per poter confrontare i dati raccolti con la teoria, quindi, dobbiamo determinare, per ogni singola oscil-lazione, il valore dell’ampiezza massima di tale oscillazione, θ, ed associare a ciascuno di tali valori ilrelativo periodo di oscillazione; ovviamente, considerato l’apparato e la strumentazione a nostra disposi-zione, optiamo per una determinazione indiretta di θ e per farlo ci basiamo sul principio di conservazionedell’energia, che abbiamo assunto valere con approssimazione ragionevole sulla singola oscillazione.L’energia potenziale gravitazionale posseduta dal blocchetto nel punto piu alto di ogni oscillazione e:

U = Mgl(1− cos θ)

Tale energia e uguale all’energia cinetica posseduta dal pendolo nel punto piu basso dell’oscillazione, chepossiamo esprimere, in funzione della lunghezza L del cartoncino e del tempo di transito ttr, tramite laseguente equazione:

T =1

2Mv2 =

1

2M( Lttr

)2in cui ttr indica appunto il tempo di transito del cartoncino davanti al rilevatore ottico.Uguagliando l’energia potenziale con quella cinetica e svolgendo alcuni semplici calcoli, otteniamo:

θ = arccos[1− 1

2gl

( Lttr

)2](5)

4.2.2 Le altre grandezze: misure dirette e indirette

Riguardo alle grandezze che compaiono nella formula appena scritta:

• g: possiamo considerare dei valori tabulati per il luogo in cui stiamo effettuando l’esperimento; unvalore ragionevole per Pisa e g = (9.81± 0.05)ms−2.

• l: potremmo misurarlo direttamente. Tuttavia, vista la configurazione sperimentale non particolar-mente adatta ad una tale misura (rischio di errori di parallasse, di verticalita del metro, difficolta astimare la posizione del centro di massa del blocchetto . . . ), preferiamo stimare in modo indirettotale lunghezza a partire dai valori del periodo per le piccole oscillazioni12.

• L: possiamo misurare direttamente tale valore, ad esempio tramite un calibro.

• ttr: questo valore e fornito automaticamente dal software di acquisizione dati nel file di outputgenerato da Plasduino.

4.3 Dati raccolti e loro elaborazione

4.3.1 Determinazione delle grandezze derivate

Usiamo la 6 per determinare la lunghezza del pendolo.Per quanto riguarda il periodo delle piccole oscillazioni, useremo il valore restituito dal fit eseguito nellasezione precedente: T0 = (2.1172±0.0003) s. L’incertezza relativa su tale valore e decisamente piccola per

12La stima della lunghezza del pendolo a partire dal valore del periodo per le piccole oscillazioni e facile: invertendo laclassica formula per il periodo del pendolo, abbiamo infatti:

l =gT 2

0

4π2(6)

12

il tipo di esperimento che stiamo facendo: riguardo alle incertezze sui parametri restituite dalla proceduradi fit in Gnuplot, si vedano le osservazioni nell’appendice A.1.1.Utilizzando tale valore, otteniamo allora:

l = (1.114± 0.006)m (7)

La semplice formula utilizzata per la determinazione dell’incertezza sulla lunghezza e riportata nell’ap-pendice A.2.1.Tramite tale valore della lunghezza, possiamo ottenere una colonna di dati relativi alle ampiezze angolarimassime di oscillazione, utilizzando la 5; per quanto riguarda l’incertezza su tale angolo, il calcolo eproposto nell’appendice A.2.2.

4.3.2 Scelta del tipo di fit da effettuare

Inserendo le formule ricavate in A.2.2 nel foglio di calcolo in cui abbiamo riportato i dati misurati, notiamoche le incertezze relative sulle ampiezze di oscillazione sono dell’ordine dell’1%: decisamente piu grandidi quelle sui periodi di oscillazione. Questo ci porta ad optare, per la procedura di fit dei dati, per lascelta dell’angolo come variabile dipendente; invertiamo allora la formula 4 (o meglio la sua troncata alsecondo ordine) ed otteniamo:

θ(T ) = 4

√T

T0− 1

che andremo a fittare con una funzione del tipo:

θ = a ∗ (T/b− 1)c

Come parametri iniziali per il fit, sceglieremo allora il seguente set:

a = 4; b = T0 = 2.1172; c = 0.5

Un’ulteriore alternativa, trattandosi di un fit di tipo nonlineare, potrebbe esser quella di linearizzare larelazione utilizzando i logaritmi; otterremmo infatti una relazione del tipo:

log θ = log4√T0

+1

2log(T − T0)

Scegliamo tuttavia il primo metodo; riportiamo, in ogni caso, in appendice A.3, il risultato di un fit conuna funzione quadratica per la formula 4.

4.3.3 Grafici dei punti sperimentali e risultati del fit

Il grafico dei punti sperimentali, in cui e riportata anche la curva di best fit, e proposto in figura 4(a).La procedura di fit dei dati restituisce i seguenti valori per i parametri:

a = (4.63± 0.05); b = (2.11535± 0.00007)s; c = (0.539± 0.002)

Tali valori non risultano compatibili con quelli attesi; a tal proposito notiamo che i valori delle incertezzerestituite dalla procedura di fit sembrano decisamente troppo piccole (si veda al riguardo la prima osser-vazione dell’appendice A.1.1).Il livello di confidenza dei risultati puo essere determinato a partire dalle seguenti informazioni:

numero gradi di liberta : 226; χ2red = 1.68

13

A Alcuni materiali complementari

A.1 Gnuplot : alcune considerazioni sull’uso del programma

A.1.1 Alcuni caveat sui risultati ottenuti tramite Gnuplot

L’utilizzo del programma Gnuplot, che consente di eseguire fit di dati utili ai nostri scopi, richiede alcuneattenzioni. In particolare, incertezze molto piccole sui parametri restituiti dalla procedura di fitting hannomi hanno spinto ad approfondire meglio quanto riportato nei manuali di utilizzo del programma (ad es.[8]); vi si legge, fra l’altro, che le incertezze sono da intendersi come asymptotic standard errors e che:

The asymptotic standard errors are generally over-optimistic and should not be used fordetermining confidence levels, but are useful for qualitative purposes.

Di questo fatto e importante tener conto nella lettura dei risultati proposti in questo articolo.Un altro punto, particolarmente interessante in relazione ai “dati spurii” raccolti sulle piccole oscillazionidel pendolo, e il seguente:

Note that fit, in common with most NLLS implementations, minimizes the weighted sum ofsquared distances (y − f(x)) ∗ ∗2. It does not provide any means to account for “errors” inthe values of x, only in y. Also, any “outliers” (data points outside the normal distributionof the model) will have an exaggerated effect on the solution.

E infine, in relazione all’analisi dell’andamento del periodo in funzione dell’ampiezza di oscillazione,roprtiamo la seguente citazione:

Finally, a nice quote from the manual of another fitting package (fudgit), that kind ofsummarizes all these issues: “Nonlinear fitting is an art!”

A.1.2 Un esempio di codice sorgente

In questa appendice riportiamo il codice sorgente utilizzato per l’analisi dei dati relativi allo smorzamentodel pendolo per piccoli angoli.Nelle altre analisi dati (smorzamento per grandi angoli e dipendenza del periodo dall’ampiezza di oscil-lazione) il codice sorgente e del tutto simile a quello proposto qui sotto.Una volta lanciato Gnuplot, e sufficiente richiamare il file contenente questo codice (con alcuni piccoliaggiustamenti) per far partire l’intera procedura: fit dei dati, plot dei dati e della curva di best fit vi-sualizzati a schermo, produzione di un file con il log, produzione di un file .eps con il grafico del plot deidati.

# In questo script, effettuiamo un fit su dei dati sperimentali, mostriamo

# il risultato a video e diciamo a Gnuplot di preparare un file EPS pronto

# per la stampa e contenente il grafico.

# Inoltre, grafichiamo l’andamento dei residui (differenze relative tra i punti

# sperimentali e quelli ottenuti tramite funzione di best fit

####fit dei dati

#funzione interpolante

f(x)=a+(b-a)*exp(-x/t)

#stime iniziali dei parametri

a=2.12 #periodo piccole oscillazioni

b=2.172 #periodo iniziale

14

t=140 #tempo di smorzamento

#comando di fit

fit f(x) ’piccoliangoli.txt’ using ($1):($3):($4) via a,b,t

####comandi relativi al grafico

#impostazioni assi

#set grid

#set xrange [0:150]

#set yrange [2.121:2.128]

#set xlabel ’Tempo [s]’

#set ylabel ’Periodo di oscillazione [s]’

#titolo del grafico

#set title ’Smorzamento di un pendolo (piccoli angoli)’

#plot f(x) title ’Curva di best fit’, ’piccoliangoli.txt’ using \

#($1):($3):($4) title ’Punti sperimentali’ with \

#yerrorbars

####plot dei residui

set grid

set xrange [0:150]

set yrange [-3:3]

set xlabel ’Tempo [s]’

set ylabel ’Residui’

set title ’Smorzamento di un pendolo (piccoli angoli): andamento dei residui’

plot ’piccoliangoli.txt’ using 1:((f($1)-($3))/(0.0001)):3 title ’residui’

####Impostazioni grafiche varie

# Salviamo il terminale che stiamo usando (Aquaterm) in uno stack

set terminal push

# Impostiamo un terminale postscript

set terminal postscript portrait enhanced mono "Helvetica" 15

# Riduciamo le dimensioni verticali del grafico rispetto ad una pagina A4

set size 1.0, 0.4

# Introduciamo il nome del file che conterra il grafico

set output ’smorzamento-piccoli-angoli.eps’

# Ridisegno

replot;

set output

15

# Ripristino dallo stack del terminale Aquaterm

set terminal pop

# Ripristino della dimensione originale del grafico

set size 1,1

A.2 Calcolo di incertezze su grandezze derivate

Qua di seguito riportiamo alcune delle formule ricavate per poter determinare le incertezze su alcunegrandezze derivate.

A.2.1 La lunghezza del pendolo

Per quanto riguarda la formula 6, relativa alla determinazione indiretta della lunghezza del pendolo,l’incertezza puo essere espressa tramite la formula:

∆l =

√√√√( ∂l∂g

∆g

)2

+

(∂l

∂T0∆T0

)2

=1

4π2

√(T 2

0 ∆g)2 + (2gT0∆T0)2

A.2.2 L’ampiezza massima di oscillazione

La determinazione dell’incertezza sull’ampiezza angolare dell’oscillazione, che abbiamo espresso tramitela formula 5, richiede un calcolo piuttosto laborioso: anche in vista di un suo utilizzo all’interno di unfoglio di calcolo, lo suddivideremo in piu passaggi.L’incertezza sull’angolo, derivante dalle incertezze sulle grandezze da cui esso dipende, e data da:

∆θ =

√√√√(∂θ∂g

∆g

)2

+

(∂θ

∂L∆L

)2

+

(∂θ

∂l∆l

)2

+

(∂θ

∂ttr∆ttr

)2

Applicheremo tale formula anche se, a rigore, le grandezze che in essa compaiono non sono tutte fra loroindipendenti: abbiamo infatti determinato l in funzione di g.Per proseguire nel calcolo e necessario eseguire esplicitamente le derivate parziali rispetto a ciascuna dellevariabili; notiamo che nell’espressione di tutte e quattro le derivate compare il seguente fattore (legatoalla derivazione della funzione arcocoseno):

f(g, L, l, ttr) =

(1−

(1− L2

2glt2tr

)2)− 12

Le derivate parziali (o meglio i loro valori assoluti) possono scriversi allora come:

∂θ

∂g= f(g, L, l, ttr) · L2

2lg2t2tr

∂θ

∂L= f(g, L, l, ttr) · L

glt2tr

∂θ

∂l= f(g, L, l, ttr) · L2

2l2gt2tr

∂θ

∂ttr= f(g, L, l, ttr) · L

2

glt3tr

16

Inserendo queste formule in un foglio di calcolo e possibile ottenere i valori delle incertezze propagatesull’angolo θ in corrispondenza dei punti sperimentali.

A.3 Dipendenza del periodo dall’ampiezza: fit con funzione quadratica

Nella sezione 4.3.2 abbiamo messo in evidenza che, dal momento che le incertezze relative sulle ampiezzeangolari sono decisamente maggiori di quelle sui periodi corrispondenti, e opportuno, nell’eseguire unaprocedura di fit con metodi standard, considerare come variabile dipendente le ampiezze angolari.Tuttavia, per ottenere almeno un’indicazione qualitativa del risultato, possiamo fare ugualmente un fitin cui assumiamo come variabile dipendente il periodo; riportiamo qua di seguito i risultati di una taleprocedura.L’andamento del periodo in funzione dell’ampiezza angolare dell’oscillazione e proposto in figura 4(b). Irisultati della procedura di fit sono i seguenti:

a = (2.11655± 0.00002)s; b = (0.06091± 0.00003)

χ2red = 2.9; num. gradi di liberta : 227

Tali risultati non rientrano, considerate le incertezze sui parametri, nell’intervallo di valori previsto dalmodello teorico assunto; tuttavia, pur con le considerazioni fatte sulla correttezza della procedura di fitadottata, notiamo che i risultati non sono “eccessivamente distanti” da quanto previsto (in particolare,b = 0.0625).

17

Riferimenti bibliografici

[1] Marchi, F.; Il contributo della ricerca in Didattica all’insegnamento della Fisica: criteri perla progettazione di nuovi materiali, http://francescomarchi.files.wordpress.com/2013/03/

tesi-specialistica.pdf

[2] Dal sito dell’INDIRE, Costruire i nuovi Licei. Indicazioni nazionali, http://nuovilicei.indire.it/content/index.php?action=lettura&id_m=7782&id_cnt=10497

[3] Wigner, E., The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Communicationsin Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I (February 1960). New York: John Wiley & Sons,Inc. Una versione di tale articolo e consultabile anche sul web all’URL http://www.dartmouth.edu/

~matc/MathDrama/reading/Wigner.html

[4] Archivio documenti condivisi del progetto: https://docs.google.com/folder/d/

0BxF76OPEZgnnSlZoU3VWT0hra28/edit?usp=sharing

[5] Plasduino, sito web del software, https://bitbucket.org/lbaldini/plasduino/wiki/Home

[6] Oscillazioni di un pendolo quadrifilare, archivio dati raccolti: https://docs.google.com/

spreadsheet/ccc?key=0AhF76OPEZgnndGJnMzJzYkI1aHNmYlM5ajByLTBVVnc&usp=sharing

[7] Fuso, F.; Nota sull’esperienza pratica “pendolo quadrifilare”: http://www.df.unipi.it/~fuso/

dida/nota_pendolo_quadrifilare.pdf

[8] Gnuplot, una guida introduttiva online: http://theochem.ki.ku.dk/on_line_docs/gnuplot/

gnuplot_21.html

18

Figura 1: Immagine dell’apparato sperimentale utilizzato. L’immagine, liberamente disponibile sul web, e presa dal-l’URL http://www.df.unipi.it/~labI-II/Pages/Lab/PendoloQuadrifilare.html. In tale pagina si fa riferimento ad

un’esperienza analoga a quella qui descritta.

19

2.121

2.122

2.123

2.124

2.125

2.126

2.127

2.128

0 20 40 60 80 100 120 140

Pe

rio

do

di o

scill

azio

ne

[s]

Tempo [s]

Smorzamento di un pendolo (piccoli angoli)

Curva di best fitPunti sperimentali

(a) Piccoli angoli: andamento del periodo di oscillazione in funzione del tempo.

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 20 40 60 80 100 120 140

Resid

ui

Tempo [s]

Smorzamento di un pendolo (piccoli angoli): andamento dei residui

residui

(b) Piccoli angoli: andamento dei residui nello smorzamento di un pendolo in funzione del tempo.

Figura 2: Oscillazione di un pendolo in funzione del tempo (regime di piccoli angoli).

20

2.145

2.15

2.155

2.16

2.165

2.17

2.175

2.18

2.185

2.19

2.195

0 20 40 60 80 100

Pe

rio

do

di o

scill

azio

ne

[s]

Tempo [s]

Smorzamento di un pendolo (grandi angoli)

Curva di best fitPunti sperimentali

(a) Grandi angoli: andamento del periodo di oscillazione in funzione del tempo.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 20 40 60 80 100

Resid

ui

Tempo [s]

Smorzamento di un pendolo (grandi angoli): andamento dei residui

residui

(b) Grandi angoli: andamento dei residui nello smorzamento di un pendolo in funzione del tempo.

Figura 3: Oscillazione di un pendolo in funzione del tempo (regime di grandi angoli).

21

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.2

Am

pie

zza

oscill

azio

ne

[ra

d]

Periodo di oscillazione [s]

Oscillazioni anarmoniche di un pendolo

Curva di best fitPunti sperimentali

(a) Relazione tra ampiezza angolare massima e periodo di oscillazione; la curva di best fit e una funzionedi tipo radice.

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.2

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Pe

rio

do

di oscill

azio

ne

[s]

Ampiezza angolare massima della oscillazione [rad]

Dipendenza del periodo dalla ampiezza di oscillazione

Curva di best fitPunti sperimentali

(b) Dipendenza del periodo di oscillazione dall’ampiezza dell’oscillazione; fit con una funzione di tipoquadratico.

Figura 4: Relazione tra periodo e ampiezza dell’oscillazione; i due grafici sono ottenuti a partire dallo stesso set di datisperimentali, semplicemente invertendo le grandezze riportate sui due assi.

22