6 Trigonometría Analítica

Sección 6.2

Ecuaciones trigonométricas

Introducción • Una ecuación trigonométrica es una

ecuación que contiene expresiones

trigonométricas.

• Si una ecuación trigonométrica no es

una identidad, podemos encontrar

sus soluciones, si existen, por medios

similares a los que usamos para las

ecuaciones algebraicas.

Introducción La diferencia principal es que para las

ecuaciones trigonométricas

o primero se resuelve la ecuación para la

función trigonométrica

• tener la razón trigonmétrica aislada en

un lado de la ecuación.

o luego, resolver para el argumento.

• aislar la variable en un lado de la

ecuación

Ejemplo Hallar todas las soluciones para la

ecuación cos 2θ = 2

2 si θ está en el

intervalo [0, 2π)

Solución: a) Supones que x = 2θ, entonces

b) Si cos x = 2

2 , entonces el ángulo de referencia es

𝜋

4

c) Existen dos soluciones para cos x = 2

2 en [0, 2𝜋) :

y

*A este paso le llamamos resolver para la función

trigonométrica.

x = 𝜋

4 x = 2𝜋 −

𝜋

4=

7𝜋

4

Solución (cont.) Debemos encontrar θ en [0, 2π), tal que:

2θ = 𝜋

4 y 2θ =

7𝜋

4 , si cos 2θ =

2

2

Existen dos soluciones en [0, 𝜋]

θ = 𝜋

8 y θ =

7𝜋

8

Y en [𝜋, 2𝜋]: θ =𝜋

8+ 𝜋 =

9𝜋

8 y

θ =7𝜋

8+ 𝜋 =

15𝜋

8

*A este paso le llamamos resolver para el argumento.

Ejemplo

Como la función cos 2𝜃 tiene periodo de 𝜋,

podemos obtener las soluciones para

cualquier número real sumando múltiplos de

𝜋 a cada solución de la parte a.

θ = 𝜋

8 + 𝜋n y θ =

7𝜋

8 + 𝜋n, donde n= 0,1, 2, …

Hallar todas las soluciones para la ecuación

cos 2θ = 2

2

si θ es cualquier número real .

Solution (cont’d)

y=cos 2x

y = 2

2

𝟕𝜋

8

𝟗𝜋

8

𝟏𝟓𝜋

8

𝟏𝟕𝜋

8

𝟐𝟑𝜋

8

𝟐𝟓𝜋

8

𝟑𝟏𝜋

8

Como alternativa, podemos obtener una solución

gráfica observando la intersección de las gráficas de

y = cos 2x , y = 2

2

Ejemplo • Hallar todas las soluciones para la

ecuación tan 1

2u = –1.

• Solución

• tan x tiene un periodo de π, por lo

tanto tan1

2𝑥 tiene periodo de 2π

• Resolveremos de la siguiente forma: o Resolver para tan x

o Luego, resolver para u.

o Finalmente, sumar múltiplos de 2π a las soluciones hallados en el paso anterior.

Si tan x = -1, entonces el

ángulo de referencia es 𝜋

4.

Como tan x < 0 en los

cuadrantes II y IV,

existen dos soluciones en [0, 2𝜋] para tan x = -1 :

y

*A este paso le llamamos resolver

para la función trigonométrica.

Solución (cont)

x = 3𝜋

4 x = 𝜋 +

3𝜋

4=

7𝜋

4

Solución (cont) • Entonces si

1

2u =

3𝜋

4 y

1

2u =

7𝜋

4

Entonces, en [0, 2𝜋)

u = 6𝜋

4=

3𝜋

2 y u =

14𝜋

4=

7𝜋

2

*A este paso le llamamos resolver para el argumento.

Solución (cont) Como el periodo de tan

1

2u es 2𝜋,

las demás soluciones se pueden

determinar como sigue:

u = 3𝜋

𝟐+ 2𝜋𝑛, n ∈ 𝑍

*Note que 3𝜋

2+ 2𝜋 =

7𝜋

2 . Así que, en este caso, NO

necesitamos otra fórmula para obtener todas las soluciones reales.

Solucion (cont) Podemos obtener una solución gráfica observando la

intersección de las gráficas de y = tan 1

2x , y = -1

𝟑𝜋

2

𝟕𝜋

2

𝟏𝟏𝜋

2

𝟏𝟓𝜋

2

Ejemplo • Resolver la ecuación

sin θ tan θ = sin θ.

• Solución

Nota: Sería incorrecto comenzar el ejercicio dividiendo ambos lados entre sin θ, ya que no hubiéramos obtenido las soluciones a sin θ = 0.

Hemos resuelto para las funciones trigonométricas.

Solución (cont.)

• Las soluciones de la ecuación

sin θ = 0 son

0, ±π, ±2π,…. etc,

Si el sin θ = 0 entonces θ = 𝜋𝑛, para n entero.

Solución (cont) En un periodo de tan x, la ecuación

tan θ = 1

tiene una sola solución, esto es θ = π/4.

Las soluciones a tan θ = 1 para todos los reales están

dadas por

𝜃 =𝜋

4+ 𝜋𝑛, 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜.

En conclusión, las soluciones para la ecuación

sin θ tan θ = sin θ

son

𝜽 = 𝝅𝒏 𝒚 𝜽 =𝝅

𝟒+ 𝝅𝒏, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐

Ejemplo

• Solución

Hemos resuelto para la función trigonométrica. Ahora resolvemos para el argumento

• Resolver la ecuación en

[0, 360o)

2cos2 u = 1 - cos u.

Ejemplo Resolver, gráficamente, en [0, 360o) la

ecuación 2cos2 u = 1 - cos u

• Solución

x=60 x=180 x=300

Ejemplo Resolver en [0, 2𝜋),

tan2 x + sec x - 1 = 0

Hemos resuelto para la función trigonométrica.

Solución

Resolveremos para el argumento, usando las relaciones recíprocas.

Ejemplo Resolver gráficamente, en [0, 2𝜋),

la ecuación tan2 x + sec x - 1 = 0

Solución (cont.)

Graficaremos, y1= tan2 x + sec x y2 = 1

𝛑

𝟒

𝛑

𝟐 𝛑 𝟐𝛑

𝟎 𝟐𝛑

𝟑

𝟒𝛑

𝟑

Example • Hallar las soluciones de

csc4 2u – 4 = 0.

• Solución

Solución (cont.) • La segunda ecuación no tiene solución.

• La primera ecuación es equivalente a

• Como el ángulo de referencia para 2u es π/4, obtenemos la siguiente tabla :

Solución (cont.)

Solución (cont) • Todas las soluciones se pueden

generar con la fórmula.