secciones no prismaticas

8/17/2019 Secciones No Prismaticas

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ESTUDIO DE ELEMENTOS NO PRISMÁTICOS JORGE MALAVÉ & SLAWKO BONDARENKO

UNIVERSIDAD DE CARABOBO

FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA CIVÍL

DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS

CÁTEDRA DE ESTRUCTURAS

ESTUDIO DE ELEMENTOS CON SECCIÓN VARIABLE O NO PRISMÁTICA

El uso de elementos estructurales no prismático es muy usual en lasconfiguraciones estructurales reales, esto se debe a que estos elementos permiten

la optimización de los materiales según las solicitaciones que deben soportar,además que en muchos casos las vigas de secciones variables pueden adaptarsemejor a las configuraciones arquitectónicas.

Para realizar un análisis estructural en sistemas hiperestáticos conformados porelementos de este tipo primero es necesario conocer las propiedades de losmismos, entre las cuales están la flexibilidad y rigidez

El proceso para obtener estas propiedades es el descrito a continuación:

Un elemento totalmente deformable sin importar su sección transversal posee enel plano 6 posibles movimientos independientes en sus nodos.

Valencia, 27 de Abril del 2016

Autores: Prof. Ing. Jorge MalavéProf. Ing. Slawko Bondarenko


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Si se restringen los posibles movimientos como cuerpo rígido se obtiene unelemento estáticamente determinado.

Este elemento posee ahora solo 3 posibles movimientos independientes, si seaplica el Principio de Trabajo Virtual para cuerpos elásticos, es posible obtener losdesplazamientos en dirección de cada grado de libertad producto de una fuerza

unitaria, a esto se le conoce como Flexibilidad.

Sistema complementario 1(Diagrama de Momento)

Sistema complementario 2(Diagrama de Momento)

Sistema complementario 3(Diagrama de Sol. Axial)

( )1 1 x

M x L

= − + ( )2 x

M x L

= ( ) 1P x =

Calculando los Coeficientes de Flexibilidad ( ij f ). (Despreciando los esfuerzos

producidos por el corte y torsión)

2

11

0

1

( )

L

x

L f dx EI x

− +

= ∫

2

22

0 ( )

L

x

L f dx EI x

= ∫ 12 210

1

( )

L

x x

L L f f dx EI x

− +

= = ∫ 330

( )

L

dx f A x E

=

∫

Siendo:

E =Modulo Elástico del material del cual está hecho el elemento

Como la sección transversal no es constante el Área y la Inercia del elemento noes un término constante sino que depende de la variable X por lo tanto:


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( ) I x = Ecuación de variación de la Inercia del elemento a lo largo de su eje. = Ecuación de variación del Área del elemento a lo largo de su eje.

L = Longitud total del elemento o segmento del elemento donde ( ) I x e describen a la sección transversal.

Para un elemento de sección transversal variable :

Cambio de Variable:

0

0

( )( ) I x I x I I

α α = ∴ =

0

0

( )( )

A x A x A

A β β = ∴ =

X x L

L

dx d L

ρ ρ

ρ

= ∴ =

=

0 I = Menor Inercia del

elemento.

0 A = Menor área del

elemento.

Sustituyendo el cambio de variable en las ecuaciones de los coeficientes de

flexibilidad .

( )21

11

00

1 L f d

EI

ρ ρ

α

−

= ∫ 1 2

22

00

L f d

EI

ρ ρ

α = ∫

( )1

12 21

00

1 L f f d

EI

ρ ρ ρ

α

−

= = −∫ 1

33

00

d L f

A E

ρ

β = ∫

Sacando las constantes de las integrales.

( )21

11

0 0

1 L f d

EI

ρ ρ

α

−

= ∫ 1 2

22

0 0

L f d

EI

ρ ρ

α = ∫

( )1

12 21

0 0

1 L f f d

EI

ρ ρ ρ

α

−

= = − ∫

1

33

0 0

L d f A E

ρ β

= ∫

Donde se conocen como Funciones de Forma ( iφ ) a las siguientes expresiones:

( )21

2

0

1d

ρ φ ρ

α

−

= ∫ 1 2

1

0

d ρ

φ ρ α

= ∫ ( )1

3

0

1d

ρ ρ φ ρ

α

−

= ∫ 1

4

0

d ρ φ

β = ∫


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Pudiéndose escribir la matriz de Flexibilidad del Elemento en función de lasFunciones de Forma.

[ ]

2 3

0 0

2 3

3 1 3 1

0 0 0

0

4

04

0

0

0

0 0

0 00 0

L L

EI EI

L L L f

EI EI EI I

L A

A E

φ φ

φ φ

φ φ φ φ

φ φ

−

−

= − = −

Al invertir la Matriz de Flexibilidad anterior se obtiene la Matriz de Rigidez delelemento escrita en función de las constantes elásticas.

[ ] [ ]1 0

0

0

0

0

0 0

i

j

a

c c EI

f k c c L

Ac

I

−

= =

Los coeficientes iC , jC , C y aC , se conocen como constantes elásticas delelemento , y son parámetros adimensionales, que dependen principalmente de larigidez del elemento, los cuales determinan como es el comportamiento de ladistribución de solicitaciones, esfuerzos y deformaciones a lo largo del mismo.

De igual forma pueden determinarse las constantes elásticas conociendo losvalores de las funciones de forma utilizando las siguientes expresiones queprovienen del mismo proceso de invertir la matriz de flexibilidad pero de manerasimbólica.

1

2

1 2 3

ic

φ

φ φ φ =

−

22

1 2 3

jc

φ

φ φ φ =

−

32

1 2 3

c φ

φ φ φ =

−

4

1a

cφ

=

Cálculo de momentos de empotramiento perfecto:

Para determinar los momentos de empotramiento perfecto se debe aplicar comoherramienta de análisis el Método de las Deformaciones Coherentes (Método de


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las Fuerzas), que hace uso de un sistema de ecuaciones de compatibilidad dedeformaciones. El cual es el siguiente:

Del elemento doblemente empotrado se liberan las fuerzas redundantes y segenera un sistema llamado Primario:

Estructura Real Estructura Primaria

Si observamos la estructura primaria, esta coincide exactamente con la analizada

anteriormente, por lo tanto el proceso para determinar la matriz de flexibilidad endirección de estas coordenadas es el mismo.

[ ]

2 3

0 0

2 3

3 1 3 1

0 0 0

0

4

04

0

0

0

0 0

0 00 0

L L

EI EI

L L L f

EI EI EI I

L A

A E

φ φ

φ φ

φ φ φ φ

φ φ

−

−

= − = −

Luego al escribir las ecuaciones de compatibilidad solamente considerando losdesplazamientos rotacionales, ya que el desplazamiento axial no influye en losdemás. Esta queda de la siguiente forma:

[ ] [ ] [ ][ ]0 R

q q f Q= +

Siendo:

[ ]

R

q = Vector de Giros Reales en los extremos

[ ]0

q = Vector de Giros en los extremos debido al Problema Primario (Efecto

de cargas sobre el sistema estáticamente determinado)

[ ] f = Matriz de Flexibilidad sin considerar la componente axial

[ ]Q = Vector de Cargas Incógnitas (Reacciones redundantes)


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Desarrollando la expresión de obtiene:0

11 12 1

0

21 22 2

R

i i

R

j j

q q f f Q

q q f f Q

= +

0

2 3 1

0

3 1 20

R

i i

R

j j

q q Q L

q q Q EI

φ φ

φ φ

− = +

−

Donde los valores de rotaciones en los extremos debido al problema primario ( 0iθ y0

jθ ) se obtienen de las sumatorias de trabajo virtual, que resultan en las siguientesexpresiones:

( ) 010

0 0

1 ( )i

M Lq d

EI

ρ ρ ρ

α

−

= − ∫ ( ) 010

0 0

( ) j

M Lq d

EI

ρ ρ ρ

α = ∫

Y 0( ) M ρ es la Ecuación de Momento del problema primario, producto de la cargaexistente en el sistema real, con el cambio de variable. También se conoce que lasrotaciones reales son iguales a cero, debido a que el empotramiento es perfecto ydicho vínculo restringe la rotación. ( 0 Riq = y 0

R

jq = )

Del sistema de ecuaciones, despejamos los valores de las incógnitas1

Q y2

Q

quedando de la siguiente manera.

0 0

1

0 0

2

i i j

i j j

Q q

Q

c cq

cq qc

= +

= +

Para mejor comprensión se puede llamar a las incógnitas 1Q y 2Q como

j

i M y

i

j M , así al reescribir la ecuación, resulta.

0 0

0 0

j

i

i

i i j

i j j j

M q

M

c cq

cq qc

= +

= +

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