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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL
SILVANA RITA DE CÁSSIA PRÉCOMA
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO:
POSSIBILIDADES PARA A SALA DE AULA.
CURITIBA- PR
2011
SILVANA RITA DE CÁSSIA PRÉCOMA
DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO:
POSSIBILIDADES PARA A SALA DE AULA.
Caderno Pedagógico - Unidade Didática - apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional PDE 2010 da Secretaria Estadual de Educação do Paraná - SEED, realizado na Universidade Federal do Paraná - UFPR.
Orientador: Professor Doutor Emerson Rolkouski
CURITIBA - PR
2011
Que os Mestres evitem sempre ajudar com muita facilidade os alunos na solução dos problemas que lhe são propostos. Ao contrário disso, deverão incentivar os alunos a não desanimar e a procurar com ardor resolver por si mesmos as questões que lhe forem apresentadas.
La salle
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela vida, pela força e pela luz em todos os momentos desta
jornada, principalmente nos mais atribulados.
Em especial ao meu orientador, Professor Doutor Emerson Rolkouski portador de
um vasto conhecimento, pela paciência, disponibilidade e compreensão, mas,
sobretudo, pela forma criativa como me deu novas sugestões exigindo sempre mais.
"Obrigada".
Aos meus pais, porque lhes devo tudo o que sou e a minha família, pelo apoio
indispensável.
À Ederleide Kantor, que nos momentos de aflição, acreditou, deu força e coragem
para continuar, muitas vezes sacrificando seu tempo, ouvindo e sugerindo
alternativas para que pudesse realizar esse trabalho.
Ao brilhante corpo docente e coordenação da UFPR por todo apoio e conhecimento
propiciado.
À SECRETARIA DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PARANÁ, por oferecer o PDE,
dando a oportunidade de avançarmos em nosso conhecimento e em nossa prática
pedagógica.
À Direção, Coordenação e Corpo Docente das escolas que leciono pelo apoio e
carinho.
As amizades que fiz no decorrer desse ano, jamais serão esquecidas.
Agradeço a todos que, direta ou indiretamente, fizeram parte desta caminhada.
IDENTIFICAÇÃO
PROFESSORA PDE: Silvana Rita de Cássia Précoma
NRE: Curitiba
ÁREA DE ESTUDO: Matemática
IES: Universidade Federal do Paraná – UFPR
PROFESSOR ORIENTADOR : Emerson Rolkouski
ESCOLA DE IMPLEMENTAÇÃO: Colégio Estadual Guaíra - EFM
PÚBLICO ALVO DE INTERVENÇÃO: 6ª Série (7º ano) do Ensino
Fundamental
CONTEÚDO: Álgebra
TEMA DE ESTUDO: Desenvolvimento do pensamento algébrico:
possibilidades para sala de aula.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ................................................................................... 8
1 INTRODUÇÃO.................................................................................... 9
1.1 OBJETIVOS ..................................................................................... 10
1.1.1 OBJETIVO GERAL........................................................................ 10
1.2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .......................................................... 10
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA................................................................. 11
2.1 ESTADO DA ARTE............................................................................ 11
2.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA........................................................... 33
3 METODOLOGIA .................................................................................... 38
3.1 SUGESTÃO METODOLÓGICA............................................................ 38
3.2 SUGESTÃO DE ENCAMINHAMENTO................................................. 39
4 SEQUÊNCIA DIDÁTICA ......................................................................... 40
4.1 1º BLOCO............................................................................................. 40
4.1.1 OBJETIVOS ....................................................................................... 40
4.1.2 ATIVIDADES ...................................................................................... 40
4.2 2º BLOCO............................................................................................. 41
4.2.1 OBJETIVOS ....................................................................................... 42
4.2.2 ATIVIDADES ...................................................................................... 42
4.3 3º BLOCO............................................................................................. 45.
4.3.1 OBJETIVOS ...................................................................................... 46
4.3.2 ATIVIDADES ..................................................................................... 46
4.4 4º BLOCO............................................................................................. 51
4.4.1 OBJETIVOS ....................................................................................... 51
4.4.2 ATIVIDADES ....................................................................................... 52
4.5 5º BLOCO.............................................................................................. 57
4.5.1 OBJETIVOS ........................................................................................ 58
4.5.2 ATIVIDADES ....................................................................................... 58
4.6 1º BLOCO.............................................................................................. 74
4.6.1 OBJETIVOS ........................................................................................ 74
4.6.2 ATIVIDADES ....................................................................................... 75
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................... 84
5.1 NOTAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................... 86
8
APRESENTAÇÃO
Esse Caderno Pedagógico-Unidade Didática contém um conjunto de
atividades que tem como meta, abordar o conteúdo de álgebra, especificamente nas
Equações do 1º grau, de forma diferenciada, oportunizando situações de
aprendizagem que propiciem a construção de significados, facilitando a
compreensão do uso da "letra" como uma consequência natural.
O papel do professor neste Caderno Pedagógico é de incentivador da
aprendizagem, respeitando e estimulando a capacidade do aluno para abstrair, fazer
conjecturas, generalizações e deduções simples que contribuirão no
desenvolvimento do pensamento algébrico.
9
1 INTRODUÇÃO
Neste trabalho, pretende-se, por meio de um aprofundamento teórico-
prático, produzir material diferenciado que norteie procedimentos mais adequados
ao ensino-aprendizagem de Equação do 1º Grau. Com isso, espera-se despertar o
interesse nas aulas de Matemática, com situações estimuladoras, experiências
criadoras e descobertas que ensejem a criatividade, como interação entre aluno-
professor.
A aprendizagem algébrica coincide com uma série de transformações em
todos os níveis, devido ocorrer na pré-adolescência. Em geral a apresentação formal
da álgebra, por exemplo, nas equações do 1º grau, gera ansiedade e desinteresse,
sendo considerada difícil e sem sentido.
Muitos professores, entre eles esta pesquisadora, por vezes, têm alguma
dificuldade em diversificar as suas práticas de sala de aula.
Para facilitar a aprendizagem e propiciar um conhecimento de boa
qualidade, não basta conhecer e aplicar fórmulas matemáticas memorizadas. É
necessário, dentre outras possibilidades, trazer cenários da realidade dos alunos
para que ele perceba a aplicação prática desse ensinamento.
É neste sentido que, neste trabalho, pretende-se apresentar estratégias que
possam ser usadas no ensino aprendizagem da Álgebra.
Com isso, espera-se contribuir para o próprio desenvolvimento profissional.
A expectativa é, também, que este estudo possa ser útil e aplicável a outros
professores que se deparam com as mesmas dificuldades e preocupações.
10
1.1 OBJETIVOS
1.1.2 OBJETIVO GERAL
Apresentar um material didático que desenvolva o pensamento algébrico dos
alunos.
1.1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Desenvolver nos alunos o pensamento algébrico por meio de atividades de:
- Investigação de padrões numéricos e geométricos;
- Observação de regularidades e sua descrição em linguagem algébrica;
- Resolução de equações do primeiro grau em situações contextualizadas;
- Discussões dos significados das representações simbólicas.
11
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 ESTADO DA ARTE
A intenção, nesse momento, é descrever alguns estudos que possuam
interligação com este projeto, tendo como objetivos principais fundamentar
teoricamente o referido projeto e buscar atividades diferenciadas e respaldadas
academicamente que possam vir a ser utlizadas na construção do Material Didático.
Algumas pesquisas existentes nesta área são contempadas: Déchen
(2008), "Tarefas Exploratorio-Investigativas para o Ensino de Álgebra na 6ª Série do
ensino Fundamental: Indícios de Formação e desenvolvimento da linguagem e do
pensamento algébricos"; Grecco (2008), "O uso de padrões e sequências: Uma
Proposta de Abordagem Para Introdução à Álgebra Para Alunos de Sétimo Ano do
Ensino Fundamental"; Modanez (2003), "Das sequências de Padrões Geométricos à
Introdução ao Pensamento Algébrico".
- Tatiane Déchen:
Tatiane Déchen, em 2008, defendeu sua dissertação de mestrado na Área
de Concentração Processos de ensino e aprendizagem da Universidade Federal de
São Carlos, Centro de Educação e Ciências Humanas no Programa de Pós-
Graduação em Educação, orientada pela Professora Doutora Carmen Lúcia
Brancaglin Passos, intitulada "Tarefas Exploratorio-Investigativas para o Ensino de
Álgebra na 6ª Série do ensino Fundamental: Indícios de Formação e
desenvolvimento da linguagem e do pensamento algébricos".
A sua pesquisa teve origem com a sua prática docente e nos desafios que
encontrou no ensino da álgebra bem como nos estudos realizados a respeito das
investigações matemáticas como uma metodologia potencialmente motivadora e de
resultados positivos em relação ao desenvolvimento da linguagem e do pensamento
algébricos. Seu objetivo principal era identificar indícios de formação e
desenvolvimento da linguagem e do pensamento algébricos nos alunos que estavam
iniciando a aprendizagem nesse tema. Para isso, ela observou a dinâmica e a
comunicação que ocorria no desenvolvimento de tarefas exploratório-investigativas
em duas turmas de 6ª série do Ensino Fundamental em uma escola particular de
12
Americana - SP. A pesquisa foi realizada em parceria com uma professora que, além
da experiência docente também já havia pesquisado e trabalhado com atividades
exploratório-investigativas.
Partindo dos dados da pesquisa, foi estabelecido um segundo objetivo que
seria: identificar algumas potencialidades e limites da utilização de tarefas
exploratório-investigativas no atual contexto educacional. A pesquisadora teve seu
foco principal na dinâmica da aula, na comunicação proporcionada por tarefas
exploratório-investigativas e no ensino da álgebra, com isso, foi possível aprofundar
a análise da primeira tarefa, em que os alunos eram levados a explorar uma
situação e analisar uma regularidade. Assim foi possível identificar, nas trocas de
idéias entre os alunos, com a professora e nos registros feitos durante a tarefa, os
indícios de formação e desenvolvimento da linguagem e do pensamento algébricos.
Para construir a análise dos objetivos traçados a pesquisadora observou as
comunicações dos alunos e da professora, tanto oral como a escrita, ocorridas
durante a realização da tarefa. Os dados analisados foram agrupados em 3 blocos:
(1) O movimento da aula investigativa e os indícios do pensamento da linguagem
algébricos. (2) Os movimentos da sala de aula que geraram conflitos e dificuldades.
(3) O conflito entre o pensamento e a linguagem.
Durante a análise dos dados, ela notou que as dificuldades dos alunos
tiveram origem na falta de conceitos, principalmente o de variável e na diferente
linguagem usada pela professora, ela também observou que os alunos, ainda com
pensamento aritmético, foram induzidos a usar a linguagem simbólica, usada pela
professora, sem antes desenvolver os conceitos necessários. Ficou claro que é
preciso que os alunos sintam a necessidade de usar a álgebra simbólica para
resolver problemas, ou seja, precisam ser estimulados para que a álgebra tenha
significado.
Dentre as atividades que a autora e a professora elaboraram destaca-se a
Tarefa 1, "A Lanchonetedo Alan Xonete".
Essa primeira tarefa foi adaptada com a intenção de que os alunos tivessem
o primeiro contato com a nova dinâmica da aula, e pudessem explorar, levantar
conjecturas e testá-las, pois a "regra" encontrada pelos grupos não é única, pois
pode ser pensada de maneira diferente. As considerações finais em destaque foram:
- Que a tarefa proposta fez com que os alunos começassem a perceber a
necessidade de fazer generalizações com uma linguagem específica para isso.
13
- Para que ocorra a aprendizagem, é fundamental que os professores dêem
oportunidades para que seus alunos explorem problemas, desenvolvam estratégias,
discutam e argumentem, a fim de que passem a valorizar mais a Matemática.
- Os alunos se sentiram valorizados ao participarem das aulas, ao serem
ouvidos pelos outros alunos e pela professora, e com isso passaram a expor mais as
suas idéias.
- A falta dos conceitos, como campo de variação, incógnita, equação,
generalização e principalmente o significado da variável, que não foram trabalhados
anteriormente, gerou conflitos para que a linguagem algébrica pudesse ser
construída. Por isso os alunos encontraram dificuldades para entender e aceitar as
respostas algébricas e dar significado para as letras.
- A álgebra pode deixar de ser considerada difícil para professores e alunos
a partir do momento em que se passa a motivar e valorizar mais os alunos,
principalmente em relação à comunicação que se estabelece na sala de aula.
A pesquisadora concluiu que as Tarefas exploratorio-investigativas
revelaram-se um potencial para o desenvolvimento do pensamento e também da
linguagem algébrica dos alunos, pois permitiram que eles observassem padrões,
regularidades e pudessem explorá-los. Puderam, também, continuar uma sequência
e prever termos, o que é o primeiro passo para se chegar à generalização.
Concluiu também que o ensino da álgebra poderá ter mais sucesso se,
desde o início da escolarização, os alunos tiverem contato com outras abordagens
para desenvolver a aprendizagem tanto aritmética quanto algébrica e, por isso é
necessário que os professores tenham uma formação melhor, que lhe dê condições
para oferecer tal oportunidade para os alunos.
14
FIGURA 1: A Lanchonete do Alan Xonete
Fonte: DÉCHEN, 2008, p. 164.
15
- Emily Cassiana Santolin Grecco:
Grecco, em 2008, defendeu sua dissertação de Mestrado Profissional em
ensino da Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo -PUC-SP,
orientada pela Professora Doutora Cileda de Queiroz e silva Coutinho , intitulada "O
uso de padrões e sequências: Uma Proposta de Abordagem Para Introdução à
Álgebra Para Alunos de Sétimo Ano do Ensino Fundamental".
Sua pesquisa teve origem a partir de suas experiências profissionais e do
relato de outros professores, que notavam que uma das maiores dificuldades
encontradas no decorrer do processo de ensino aprendizagem era a introdução ao
pensamento algébrico.
Assim, visando uma proposta de trabalho docente capaz de viabilizar e
facilitar o ensino e aprendizagem de noções algébricas básicas no Ensino
Fundamental, por meio da inserção da dimensão da álgebra como Aritmética
generalizada, seu principal questionamento foi: a dimensão da álgebra como
Aritmética generalizada, proposta como introdução à Álgebra, pode facilitar o
processo de ensino-aprendizagem deste conteúdo no Ensino Fundamental?
Partindo desta questão, seu objetivo principal foi apresentar uma proposta
de sequência didática destinada a alunos de 7º ano do Ensino fundamental para a
introdução à álgebra, em particular a dois de seus componentes: a generalização e a
construção de expressões algébricas a partir de padrões e sequências apresentados
sob a forma de problemas.
As ferramentas teóricas utilizadas contaram com a organização do
pensamento algébrico em níveis (FIORENTINI,2004), assim como os níveis de
mobilização de um conhecimento (ROBERT,1998), tanto para a orientação da
organização didática das atividades como para a análise dos dados observados.
A metodologia aplicada pela autora seguiu os pressupostos da Engenharia
Didática, cujo termo é utilizado na didática da matemática tanto na produção de
situações de ensino como para metodologia de pesquisa. Na primeira fase da
pesquisa, a autora apoiou-se em três etapas da Engenharia Didática, sendo uma
delas a análise de uma atividade de sondagem, com o objetivo de identificar as
concepções prévias e dificuldades apresentadas pelos alunos, desse modo, ela
confrontou a análise a priori e a posteriori, para elaborar a sequência didática.
Essa pesquisa foi desenvolvida com uma turma de 6ª série do ensino
16
Fundamental de uma escola da Rede Privada de Ensino da cidade de Guarulhos,
cidade da região metropolitana de São Paulo. Para a realização da atividade de
sondagem os 22 alunos, presentes na aula, foram reunidos em duplas, durante o
horário das aulas regulares.
O objetivo da atividade de sondagem foi proporcionar um primeiro contato
com o pensamento algébrico, de forma que percebessem a generalização de
padrões e propriedades como facilitador na resolução de problemas.
A sequência didática foi dividida em quatro sessões e a pesquisadora contou
com a colaboração de uma professora, e a participação de 14 alunos, que aceitaram
desenvolver as atividades fora do horário das aulas regulares.
Na primeira sessão foram propostas 2 atividades, cujo objetivo foi iniciar o
desenvolvimento do pensamento abstrato nos alunos, para que trabalhassem o
conceito de variável, uma vez que os diferentes valores propostos por eles seguiam
uma mesma sequência de operações previamente definidas ("segredo").
A segunda sessão foi composta de 3 atividades, sendo que a atividade 1
tinha o objetivo de explorar o pensamento algébrico por meio do trabalho com o
conceito de variável, a pesquisadora previa que os alunos percebessem que os dois
números citados poderiam assumir diferentes valores, mantendo a soma 12. Assim
como a segunda e a terceira atividades foram apresentadas apenas oralmente, pois
tinha como objetivo incitar nos alunos a necessidade de uma representação
simbólica de quantidades desconhecidas. Ao realizarem as atividades dessa sessão
seria explorada a construção de expressões com o uso de símbolos (GRECCO,
2008,p.68)
A terceira sessão foi composta pela apresentação de duas atividades, sendo
que a primeira atividade tinha como objetivo desenvolver uma estratégia de
contagem. Nesta sessão, a pesquisadora focou o trabalho em quatro dificuldades
apresentadas anteriormente, sendo elas: desenvolver uma estratégia de contagem
que substituiria a abordagem estritamente aritmética do problema proposto; atribuir
um tratamento genérico a um símbolo qualquer, criado pelos próprios alunos;
construir expressões que associassem duas grandezas e construir expressões com
o uso de símbolos.
A quarta sessão finalizou a sequência didática e foi composta por uma
atividade que explorou as dificuldades observadas durante a análise da atividade de
sondagem, bem como verificou se houve evolução do pensamento algébrico.
17
FIGURA 2: Atividade de Sondagem
Fonte: GRECCO, 2008, p.160.
18
FIGURA 3: Sequência Didática
Fonte: GRECCO, 2008, p.161.
19
FIGURA 4: Sequencia Didática - Continuação
Fonte: GRECCO, 2008, p.162.
20
FIGURA 5: Sequencia Didática – Continuação
Fonte:GRECCO, 2008, p.163.
21
FIGURA 6: Sequencia Didática - Continuação
Fonte: GRECCO, 2008, p.164.
Nas considerações finais a autora analisou o desenvolvimento do trabalho,
desde a aplicação da atividade de sondagem até a construção e aplicação da
sequência didática e constatou que a metodologia usada contribuiu satisfatoriamente
22
para o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos. Sendo que além dos
objetivos apresentados foi possível explorar também outras habilidades entre as
quais a autora destacou o trabalho com a argumentação e conjecturas, desenvolvido
nas atividades executadas em duplas. A presente pesquisa confirmou algumas
hipóteses da autora:
- atividades que exigem a análise de variações e sua representação em
linguagens elaboradas pelo aluno podem diminuir as dificuldades apresentadas e
promover um desenvolvimento cognitivo de abstração, a partir de conhecimentos
prévios inerentes à atividade proposta.
- ao trabalhar com uma aritmética centrada exclusivamente em exercícios e
algoritmos finalizados, com a utilização de exemplos que contemplem apenas o
trabalho com casos particulares, o professor faz com que o aluno deixe de
compreender a natureza da variável.
- uma abordagem que trabalhe a construção do conceito e do pensamento
algébrico a partir de generalizações e formulação de hipóteses pode fazer com que
os alunos desenvolvam problemas de outros níveis de conhecimento e não apenas
o técnico.
Com isso, a autora destacou a importância da elaboração e aplicação de
sequências didáticas no processo de ensino-aprendizagem, para diagnosticar as
principais dificuldades apresentadas e explorá-las com atividades direcionadas
(GRECCO, 2008, p.154).
- Leila Modanez:
Em 2003, Leila Modanez defendeu sua dissertação de Mestrado em
Educação matemática na Universidade Católica de são Paulo, orientada pelo
Professor Doutor Saddo Ag Almouloud, intitulada "Das sequências de Padrões
Geométricos à Introdução ao Pensamento Algébrico". O objetivo de sua pesquisa foi
o estudo da introdução ao pensamento algébrico, por meio de sequências de
padrões geométricos. O problema central de seu trabalho se resume em: Uma
sequência de ensino por meio de padrões geométricos pode proporcionar ao aluno a
introdução ao pensamento algébrico?
Para responder essa questão a pesquisadora fundamentou-se
principalmente nas teorias sobre Mudanças de Quadros (DOUADY,1987), e
23
Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 1993).
A metodologia adotada por ela seguiu os princípios da engenharia didática e
foi realizada com 30 alunos uma turma de 6ª série do Ensino Fundamental, de uma
escola do bairro de Jaçanã, na periferia de são Paulo, que nunca haviam tido
contato com a álgebra.
Para nortear o seu trabalho ela formulou as seguintes hipóteses: "A
introdução ao pensamento algébrico só poderá ser atingida se a sequência de
ensino, a) engajar o aluno em atividades que inter-relacionem diferentes aspectos da
álgebra, como resolução de problemas e não só para encontrar o valor numérico de
uma expressão algébrica ou atividades meramente mecânicas; b) propuser
situações em que o aluno possa investigar padrões, tanto em sucessões numéricas
como em representações geométricas, identificando suas estruturas para que possa
descrevê-los simbolicamente; c) propuser situações que levem o aluno a construir
noções algébricas pela observação de regularidades, e não somente manipulações
mecânicas de expressões algébricas (MODANEZ, 2003, p.32).
Sua proposta é que a "letra" surja primeiro como variável, a fim de fazer
desenvolver o raciocínio do aluno para resolver cada problema apresentado; assim,
quando a "letra" já estiver bem trabalhada e entendida, poderá então, num outro
contexto, ser empregada como incógnita (MODANEZ, 2003, p.32).
Para isso ela elaborou uma sequência didática, nas quais a autora espera
que o aluno busque as ferramentas necessárias para compreender cada atividade,
bem como expresse, sob a forma de expressões algébricas, a regularidade dos
padrões geométricos de cada uma (MODANEZ, 2003, p.37).
A sequência de ensino contém oito atividades experimentais, em que os
alunos trabalharam em duplas, a fim de que desenvolvessem as habilidades de
expressão oral e escrita, bem como, trocassem informações com os outros,
discutissem procedimentos e estratégias para a resolução das atividades,
levantassem conjecturas e hipóteses, fizessem comentários e conclusões comuns,
visando o enriquecimento de cada um (MODANEZ, 2003, p.46).
A autora reformulou a sequência de atividades proposta por Souza e Dinis
(1994), mantendo praticamente os mesmos objetivos, os quais preservaram o
surgimento da "letra" a partir da necessidade do aluno, sem que lhe fosse podada
essa necessidade. A autora também "acredita que se a 'letra' é dada no exercício,
sem que o aluno sinta a necessidade desta, este não compreenderá o seu
24
significado, pois essa 'letra' não terá sentido para o aluno" (MODANEZ, 2003, p.46).
A seguir destaco cada uma das atividades propostas pela autora, as quais
foram divididas em quatro sessões, bem como seus objetivos:
A primeira sessão é composta das atividades 1 e 2, cujo objetivo foi
promover um primeiro contato com sequências geométricas, sem o aparecimento de
letras para representar variáveis (MODANEZ, 2003, p.52).
O objetivo da atividade 1 foi fazer com que o aluno percebesse
generalidades a partir de sequências de figuras geométricas, visando a
familiarização do aluno com sequências repetitivas. Com essa atividade a autora
visava que os alunos fizessem uma associação entre as posições pares e o pirulito
(nome que ela se referiu para o desenho) voltado para baixo e as posições ímpares
e o pirulito voltado para cima (MODANEZ, 2003, p.52).
O objetivo da atividade 2 é que o aluno conclua, por meio da generalidade
da sequência, que todas as posições múltiplas de três são sempre ocupadas pelo
losango (MODANEZ, 2003, p.56).
A segunda sessão é composta das atividades 3, 4 e 5, surgiu a necessidade
do uso de letras como um símbolo para representar uma posição qualquer na
sequência, pois o objetivo dessa sessão era exigir do aluno algo a mais do que ele
já sabia (MODANEZ, 2003, p.56).
O objetivo da atividade 3 é fazer com que o aluno perceba como uma
determinada figura se transforma na seguinte, descobrindo a regra de formação da
sequência, para isso, continuam-se as perguntas, dando saltos (aumentando) em
relação à posição, para que o aluno, caso esteja desenhando, até a posição
desejada, para contar o número de bolinhas existentes na figura em determinada
posição, perceba a dificuldade de responder a questão se continuar com essa
estratégia. Assim, por meio desta atividade o aluno poderá perceber que para
generalizar a sequência e tornar mais simples a regra, é necessária a utilização de
um símbolo novo, seja uma palavra ou uma letra (MODANEZ, 2003, p.60-61).
O objetivo das atividades 4 e 5 ó o mesmo da atividade 3, porém, para
chegar à regra de formação destas sequências, os alunos poderão utilizar vários
raciocínios. Para a autora, se o aluno perceber a importância da posição das figuras
na sequência, ele estará criando ou fazendo evoluir espontaneamente a noção de
variável (MODANEZ, 2003, p.63).
25
FIGURA 7: Atividade 1
Fonte: MODANEZ, 2008, Anexo II, iv.
26
FIGURA 8: Atividade 2
Fonte: MODANEZ, 2008, Anexo III, v.
27
FIGURA 9: Atividade 3
Fonte: MODANEZ, 2008, Anexo IV, vi.
28
FIGURA 10: Atividade 4
Fonte: MODANEZ, 2008, Anexo V, vii.
29
FIGURA 11: Atividade 5
Fonte: MODANEZ, 2008, Anexo VI, viii
A terceira sessão da sequência didática foi composta pelas atividades 6 e 7
e tinham como objetivo permitir ao aluno a construção de diferentes expressões,
bem como manipular essas expressões algebricamente, para verificar a equivalência
entre elas.
30
FIGURA 12: Atividade 6
Fonte: MODANEZ, 2008, Anexo VII, ix.
31
FIGURA 13: Atividade 7
Fonte: MODANEZ, 2008, Anexo VIII, x.
Na quarta e última sessão, a autora deixou livre para que o aluno criasse
uma sequência qualquer de figuras, dando a ele a oportunidade de criar, testar seus
conhecimentos e habilidades, bem como refletir sobre seus erros, acertos e
dificuldades (MODANEZ, 2008,p.51)
32
FIGURA 14: Atividade 8
Fonte: MODANEZ, 2008, Anexo IXI, xi.
Mediante a análise dos resultados, a autora pode constatar a validade das
hipóteses da pesquisa e concluiu que nessas condições uma sequência de ensino
por meio de padrões geométricos pode proporcionar ao aluno a introdução do
pensamento algébrico.
Ela constatou, ainda, que os alunos avançaram em seus conhecimentos em
relação ao desenvolvimento do pensamento algébrico, bem como em suas atitudes
e autonomia de no sentido de observar, levantar hipóteses, tirar conclusões e
justificar duas respostas.
A Modanez (2008, p.88), nas considerações finais, teceu algumas
sugestões, como:
- Certificar-se se os alunos têm um certo conhecimento sobre o conceito de
área e perímetro, que poderão enriquecer o trabalho quanto ao surgimento de
diferentes regras de formação das sequências;
- Que os alunos tenham conhecimento e domínio da propriedade distributiva
da multiplicação, pois assim terão condições de manipular as diferentes expressões
encontradas e verificar a validade de cada uma delas algebricamente;
- Que os alunos apresentem na lousa as diferentes respostas encontradas, a
fim de socializá-las para que possam ser discutidas e corrigidas por toda a classe.
Mondanez reconheceu algumas falhas em relação a algumas atividades:
- A atividade 2 merece alteração quanto as perguntas em que a posição da
figura seja um número "grande" e não múltiplo de três.
33
- Entre a atividade 5 e 6, o grau de dificuldade é muito grande, ela sugere
que haja uma atividade intermediária, que abordasse a idéia de contorno da figura.
2.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Muitas mudanças têm ocorrido na área da Educação. Permanentes
tentativas e mais tentativas tem sido buscadas no sentido de aprimorar os sistemas
e métodos empregados.
Fundamental é centrar esses esforços na pessoa do aluno, preparando-o
para uma sociedade em constante evolução, buscando as praticas pedagógicas que
incentivem os alunos a uma postura critica e reflexiva sobre sua aprendizagem,
levando-os a investigação e exploração de seu conhecimento.
O papel do professor vai além de esboçar planos ou dinamizá-los: implica
numa reflexão sobre as ações realizadas, e segundo as Diretrizes Curriculares da
Educação Básica (DCE) do Estado do Paraná “(...) requer um profissional
interessado em desenvolver-se intelectual e profissionalmente e em refletir sobre
sua prática para tornar-se um educador matemático e um pesquisador em contínua
formação” (PARANÁ, 2008, p.48).
A álgebra, em especial as Equações do 1º Grau, analisada à luz das teorias
dos campos conceituais, segundo vários autores, precisa ser aprendida num período
caracterizado por diversos tipos de dificuldades vivenciadas pela maioria dos
estudantes, tanto no plano conceitual como no operacional.
O conceito de álgebra é muito abrangente e possui uma linguagem permeada por convenções diversas de modo que o conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples manipulação dos conteúdos abordados isoladamente. Defende-se uma abordagem pedagógica que os articule, na qual os conceitos se complementem e tragam significado aos conteúdos abordados (PARANÁ, 2008, p.52).
A álgebra é uma das ferramentas matemáticas mais importantes de que os
alunos dispõem, tanto para a solução de problemas como para o desenvolvimento
de suas estruturas cognitivas. E nesse sentido que as DCE do Paraná orientam que
“(...) a álgebra seja compreendida de forma ampla, para que se analisem e
descrevam relações em vários contextos onde se situam as abordagens
matemáticas, explorando os significados que possam ser produzidos a partir a partir
34
deste conteúdo” (PARANÁ, 2006, p.48).
Além disso, o conteúdo de álgebra está presente em todas as séries da
Educação Básica está diretamente ligado à aritmética, de acordo com as DCE do
PR, "é preciso estabelecer uma relação intrínseca entre pensamento e linguagem,
ou seja, a linguagem algébrica entendida como expressão do pensamento
matemático” (PARANÁ, 2006, p.48).
Sabe-se que, no modelo pedagógico atual ainda se mantém um padrão de
mera aplicação das fórmulas e das regras matemáticas por meio de treinamento:
exercícios modelo e de fixação. A incompreensão dos alunos, no conteúdo, faz com
que questionem: “Para que serve isso?”... “Por que tem de ser assim?”... “Onde
usaremos esses cálculos?”, não dando a oportunidade de o aluno desenvolver um
trabalho intelectual na sala de aula.
Segundo Nasser e Tinoco (2001 apud DÉCHEN, 2008), apesar de ser muito
comum encontrar em documentos oficiais e em planejamento dos professores, como
objetivos das aulas de matemática, "desenvolver o raciocínio lógico", constata-se
que os alunos pouco trabalham com atividades desse tipo.
Segundo Déchen (2008), uma solução apontada por Ponte (2005) para
mudar esse quadro, é adotar uma estratégia de introdução dos símbolos e de seu
uso em contextos significativos, em atividades que mostrem de forma natural o
poder matemático da simbolização e da formalização.
A álgebra, no conteúdo específico de Equação do 1º Grau, é uma área da
matemática em que os alunos apresentam grande dificuldade de aprendizagem. É
preciso fazer com que os alunos desenvolvam o pensamento algébrico
desmistificando a álgebra como apenas uma forma de operar com letras tendo que
decorar regras, “seguir a trajetória do uso das letras, permite seguir a trajetória do
desenvolvimento de um pensamento algébrico" (LINS e GIMENEZ, 2005, p.95).
É necessário oportunizar situações de aprendizagem que propiciem a
construção de significados, bem como estimular a capacidade para abstrair, fazer
conjecturas, generalizações e deduções simples. Também é preciso desenvolver
trabalho matemático que desperte confiança entre o aluno e professor e entre os
próprios alunos, fazendo com que a aprendizagem seja vivenciada como experiência
interessante, progressiva e formativa, apoiada na ação, descoberta e reflexão.
Segundo Santos (2011), “O nosso principal papel como professores, na
promoção de uma aprendizagem significativa1 é desafiar os conceitos já aprendidos,
35
para que eles se reconstruam mais ampliados e consistentes, tornando-se assim
mais inclusivos com relação a novos conceitos."
A educação algébrica precisa considerar que qualquer aspecto técnico se
desenvolve ao modo de produção de significado que o sustenta. Tanto a aritmética
como a álgebra precisa ser pensada em termos de significado e não como até aqui
se observou em termos técnicos conteúdistas. Porque para Lins e Gimenez (2005),
a atividade algébrica consiste no processo de produção de significado para a
álgebra, e naturalmente para os mesmos autores: "A álgebra consiste em um
conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de
números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade ou
desigualdade” (p.137).
Quando se fala em pensamento algébrico tem que se falar da capacidade
de lidar com o cálculo algébrico, com as funções e com outras estruturas
matemáticas, bem como usá-las na interpretação e na resolução de problemas
matemáticos.
Lins e Gimenez (2005, p.152), consideram que a educação algébrica deve
compreender 2 objetivos centrais:
1) permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados para a álgebra;
2) permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente.
Dessa forma, eles afirmam que o "domínio de técnicas manipulativas" será
consequência desses dois objetivos e ainda concluem que para atingir esses
objetivos as atividades referentes a uma determinada situação teria que: "(...)
produzir afirmações tidas como corretas, junto com justificações para sua
enunciação; (...) Situações que envolvem balanças, áreas, máquinas de função,
situações "com histórias" e muitas outras (LINS e GIMENEZ,2005, p.152 e 153).
Segundo Ponte (2005, p.37 apud Déchen, 2008):
(...) no pensamento algébrico dá-se atenção não só aos objetivos, mas também às relações existentes entre eles, representando e raciocinando sobre essas relações de modo geral e abstrato tanto quanto possível. Por isso, uma das vias privilegiadas para promover este pensamento é o estudo de padrões e regularidades.
Partindo do estudo de padrões e regularidades, promovemos um raciocínio
de pensamento algébrico, induzindo os alunos ao cálculo algébrico e resolução de
problemas.
36
Segundo os Principles and Standards for school Mathematics, os estudantes
devem passar por experiências de encontrar padrões, pois constituem a base para a
compreensão do conceito de função e proporcionam os fundamentos para mais
tarde trabalhar com símbolos e expressões algébricas (NCTM, 2000 apud VALE e
PIMENTEL, 2005).
A procura e identificação de padrões utilizam e enfatizam a exploração,
investigação, conjecturas e provas, desafiando os alunos a recorrer às suas
destrezas de pensamento. As tarefas com padrões são úteis na introdução à
álgebra. Nesse sentido, Vale e Pimentel ( 2005, p.16), consideram que as tarefas
que envolvem a procura de padrões permitem:
contribuir para construção de uma imagem mais positiva da matemática por
parte dos alunos;
experienciar o poder e a utilidade da matemática e desenvolver o
conhecimento sobre novos conceitos;
evidenciar como os diferentes conhecimentos matemáticos se relacionam
entre si e com outras áreas do currículo;
promover o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos tornando-
os bons solucionadores de problemas e pensadores abstratos;
melhorar a compreensão do sentido do número, da álgebra e de conceitos
geométricos.
Para isso os alunos devem ter a oportunidade de:
transferir padrões concretos, pictóricos e simbólicos de uma representação
para outra;
averiguar se uma lista de números mostra alguma regularidade;
descobrir o padrão numa sequência; descrever o padrão numa sequência;
descrever o padrão oralmente e por escrito;
continuar uma sequência;
generalizar;
construir uma sequência.
Devido às dificuldades da aprendizagem do conteúdo de álgebra. Vários
pesquisadores têm se aprofundado nos projetos de pesquisa com o intuito de
elaborar material didático e sequências didáticas. Cujo objetivo é diminuir os
fracassos e levar os alunos a desenvolver seus pensamentos algébricos e atingir
37
níveis mais complexos de abstração.
Mondanez (2003, p.30) realizou sua pesquisa com alunos de 6ª série com o
objetivo de "verificar se a introdução ao pensamento algébrico, por meio de
sequências de padrões geométricos, favorece a superação das principais
dificuldades apresentadas pelos alunos que iniciam o estudo em álgebra". A autora
constatou e validou as hipóteses de sua pesquisa, de que, sequências e padrões
geométricos podem proporcionar a introdução ao pensamento algébrico se o ensino:
- engajar o aluno em atividades que inter-relacionem diferentes aspectos da álgebra, como resolução de problemas e não só para encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica ou atividades meramente mecânicas; - propuser situações em que o aluno possa investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em representações geométricas, identificando suas estruturas para que possa descrevê-los simbolicamente; - propuser situações que levem o aluno a construir noções algébricas pela observação de regularidades, e não somente manipulações mecânicas de expressões algébricas (MONDANEZ, 2003, p.86).
Na mesma linha Grecco (2008, p.18), em sua pesquisa cuja proposta foi de:
"verificar se a introdução ao pensamento algébrico a partir do uso de sequência
aritmética e padrões apresentada na forma de problema, pode trazer algum
benefício ao pensamento algébrico, em particular a dois de seus componentes: a
generalização e a construção e utilização de expressões algébricas", destacou, a
importância da elaboração e aplicação de sequências didáticas no processo de
ensino aprendizagem.
38
3 METODOLOGIA
3.1 SUGESTÃO METODOLÓGICA
A sequência didática será aplicada em alunos da 6ªsérie (7º ano) do Ensino
Fundamental. O tempo de aplicação será dividido em tantas aulas quantas forem
necessárias. O professor terá o cuidado de escolher, dentre as que achar mais
interessante, uma ou mais atividade de cada bloco, não descartando nenhum bloco.
As atividades envolvendo padrões e regularidades, como a exploração de
sequências numéricas e geométricas, com apelo visual, abordam diferentes tipos de
resolução, e podem ser resolvidas tanto no contexto pictórico, geométrico, numérico
ou mesmo em linguagem corrente,
As atividades deverão ser realizadas sem a intervenção direta do professor,
os alunos trabalharão em duplas ou no máximo trios, para oportunizar o
desenvolvimento da capacidade de investigação, participação na busca de
resultados e descobertas de diversas formas de resolução para uma mesma
atividade. Segundo Bigode (2000) refere-se à importância das atividades em grupo
na sala de aula para instigar os alunos a pensar do ponto de vista do outro, em
condições mais igualitárias, e exercitar sua argumentação, aprender a trabalhar
cooperativamente, estabelecer relações sociais. Pois no momento que o aluno ouve
a opinião do colega e reflete sobre o que ele diz, tem a oportunidade destacar ou
mudar sua opinião.
Cada grupo apresentará o resultado das atividades utilizando o quadro de
giz para socializar as diversas respostas encontradas para que possam ser
discutidas e corrigidas.
39
3.2 SUGESTÃO DE ENCAMINHAMENTO
PROFESSOR/PROFESSORA ALUNO/ALUNA
Organiza os grupos de 2 ou 3 alunos/as, fornecendo informações de como serão as atividades
Se organizará nos grupos, que serão constituídos de 2 a 3 alunos/as. Argumenta se necessário.
Estabelece as condições de trabalho do grupo para a realização das atividades e fixa prazos. Escolhe de cada bloco, uma ou mais atividades (aquela que achar mais interessante). Reproduz material necessário para realização da tarefa.
Os grupos deverão escolher para a realização das tarefas: - 1 ou 2 redatores – responsáveis pela redação final do registro a ser entregue; - 1 ou 2 relatores – responsáveis pela apresentação dos resultados encontrados pela equipe (apesar da divisão, todos deverão participar das etapas de produção do estudo).
O/a professor/a ao entregar a atividade para os grupos deve ressaltar que: - terão que resolver cada item da atividade na ordem que aparecem. - na resolução, o mais importante, não é a solução final e sim, as hipóteses, as estratégias, as formas de representação, bem com os procedimentos que utilizaram para encontrar a solução. - muitas vezes a resposta encontrada pelos grupos não é única, pois pode ser pensada de maneiras diferentes, ou seja, podem usar diferentes estratégias e escritas.
Terão que ler as atividades, trocar ideias, ouvir o/a colega, fazer as anotações necessárias, elaborar conjecturas, justificar as respostas encontradas e registra-las. Pode consultar o/a professor/a, sempre que as opções do grupo tenham se esgotado.
O/a professor/a será incentivador/a da aprendizagem, estimulando a cooperação entre os/as participantes do grupo. Também fara questionamentos a fim de perceber se os/as alunos/as estão entendendo o significado das respostas dadas. Orientará os/as alunos/as na socialização das respostas dadas pelos grupos no coletivo.
Após a atividade cada grupo colocara no quadro as suas respostas, a fim de socializa-las com os demais.
A avaliação de dará durante a realização das atividades bem como pelo registro escrito entregue pelos grupos.
Entrega dos registros e a apresentação dos relatores.
Fonte: a autora, 2011.
40
4 SEQUÊNCIA DIDÁTICA
A sequência didática foi dividida em seis blocos, com com atividades
envolvendo padrões e regularidades, como a exploração de sequências numéricas e
geométricas, com apelo visual, que abordam diferentes tipos de resolução, visando
o desenvolvimento do pensamento algébrico. No 6º bloco as atividades tratam da
resolução de equação do 1º grau e da "montagem" de equações para resolver
problemas , caminhando assim, para a retomada dos conceitos e propriedades, para
a formalização na resolução de equações do 1º grau.
4.1 1º BLOCO
Este bloco que contem atividades com a finalidade de desenvolver o
pensamento algébrico de modo intuitivo. Este trabalho com sequências pictóricas
finitas e infinitas envolve o aluno à procura de regularidades num esforço de analisar
e descrever padrões, em linguagem natural, que certamente exigirá a capacidade de
observação e abstração.
4.1.1 OBJETIVOS
- Descobrir e registrar regularidades;
- Desenvolver a capacidade de observação.
4.1.2 ATIVIDADES
DESCOBRINDO PADRÕES 2
1. Marta está fazendo uma pulseira e já colocou no fio as peças que você vê na
figura. Continuando o padrão, desenhe ou descreva as três peças seguintes
no fio da pulseira.
Fonte: Clip Art
41
2. Vera tem uma fita com autocolantes pretos e brancos, dispostos segundo um
padrão que se repete. A figura mostra a fita, da qual a Vera já retirou
autocolantes. Desenhe os autocolantes que Vera retirou, no respectivo local.
3. Elisa está montando um colar com contas brancas e contas pretas, seguindo
sempre um esquema inventado por ela. Uma parte do colar está dentro do
baú. Desenhe ou descreva a parte do colar que está dentro do baú.
Fonte: Clip Art
4.2 2º BLOCO
Este bloco de atividades tem a função de promover um primeiro contato com
sequências repetitivas. As atividades propostas não requerem o uso de letras. Elas
tem como objetivo um primeiro contato do aluno com sequências que se repetem e
consequentemente, com a correspondência entre a posição e o elemento na
sequência. Visam também, a retomada dos conceitos de múltiplos e divisores.
42
4.2.1 OBJETIVOS
- Promover o contato com sequencias repetitivas geométricas e numéricas,
bem como a revisão dos conceitos de múltiplos e divisores;
- Observar e descobrir padrões;
- Expressar generalidades na forma oral e escrita;
- Relacionar, a partir "da repetição" das sequências o elemento ou sua
posição na sequência (correspondência);
- Reconhecer a relação entre os múltiplos de um número e a posição que o
elemento ocupa na sequência;
- Registrar em linguagem corrente suas hipóteses, quando solicitado.
4.2.2 ATIVIDADES
SEQUÊNCIAS REPETITIVAS
1. A fita tem uma sequência de padrões. Descubra sua regra e continue
desenhando 3.
a). Qual é o padrão da 13ª faixa da fita?
b). Qual é o padrão da 22ª faixa da fita?
c). Qual é o padrão da 56ª faixa da fita e também da 101ª faixa da fita?
d) Como você descreveria a regra de formação dessa sequência?
43
2. Observe as engrenagens abaixo, umas giram no sentido horário(dos
ponteiros do relógio) e outras no sentido anti-horário. Preste atenção em
como elas giram, e depois responda as perguntas4:
a) Desenhe o sentido em que a última engrenagem da direita vai girar, em
cada caso.
b) O número de engrenagens tem algo a ver com o sentido em que a última
girará? Explique como você pensou para dar sua resposta.
c) Use o que você descobriu no item anterior para determinar o sentido em
que a última engrenagem vai girar, supondo que o conjunto teria:
10 engrenagens:.............................................................................................
15 engrenagens:.............................................................................................
45 engrenagens: ............................................................................................
80 engrenagens: ............................................................................................
44
3. Observe atentamente a sequência de símbolos no quadro a seguir 5:
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
9ª
10ª
. . .
. . .
a) Observando a sequência de símbolos no quadro acima faça um desenho
correspondente à 11ª posição.
b) Explique, escrevendo em seu caderno, como essa sequência de símbolos é
formada.
c) Desenhe o símbolo correspondente à 25ª posição, explique como você fez
para descobrir.
d) Desenhe o símbolo correspondente à 48ª posição, explique como você fez
para descobrir.
e) O que você observa em relação ao hexagono e as posições ocupadas por
ele?
4. Observe e complete a tabela com as potências de 2 6
2 1 2 2 2 3 24 25 26 27 28
a ) O que você observou nos algarismos das unidades de cada potência?
45
b) Conforme o que você observou no item anterior, você pode dizer quais
seriam os números das unidades das três potências seguintes?
c) 212 = 4 09........ - qual é o algarismo da unidade?
d) 216 = 56 53....... - qual é o algarismo da unidade?
e) 225, você sabe qual será o algarismo da unidade da potência?
f) Regina disse que a potência de 213 era 8 394, ela está certa? Justifique
sua resposta
Sugestão de encaminhamento:
Para essa atividade é necessário que os alunos utilizem calculadora, para facilitar os
cálculos e ter mais agilidade nos resultados que serão analisados.
4.3 3º BLOCO
Este bloco de atividades dá a oportunidade ao aluno de: refletir, desenvolver
a agilidade no esforço da descoberta e criar o hábito de se expressar
matematicamente na forma oral e escrita, partindo de suas próprias estratégias. Na
discussão sobre as diferentes formas de resolver as questões, os alunos vão
construindo novos conceitos propiciando um desenvolvimento gradual e significativo
do raciocínio algébrico e matemático. Nessas atividades serão exploradas a
construção de expressões com o uso de símbolos.
46
4.3.1 OBJETIVOS
- Desenvolver habilidades de interpretar dados e explorar a abstração no
campo aritmético;
- Identificar o número desconhecido numa expressão aritmética simples;
- Realizar operações inversas;
- Analisar e registrar as relações numéricas da situação apresentada na
aividade;
- Registrar, mesmo em linguagem corrente, as expressões matemáticas das
atividades, quando solicitado;
- Criar o hábito de registrar em linguagem corrente as suas hipóteses e
justificativas;
- Provocar nos alunos a necessidade de uma representação simbólica de
números desconhecidos.
4.3.2 ATIVIDADES
RELAÇÕES NUMÉRICAS
1. Num passeio por Curitiba Carla e Ana iam observando e anotando as
centenas das placas dos caminhões que passavam por eles, Carlos anota as
placas dos carros pretos e Ana dos carros brancos. 7
Fonte: Clip-art
Ao chegaram em casa foram fazer algumas brincadeiras com os números para
ver quem era melhor em matemática. Ajude Carla e Ana encontrar os números
que elas precisam:
47
a) Descubra 2 números em que a soma é:
320 - .............................................................................................................................
460 - .............................................................................................................................
540 - .............................................................................................................................
b) Encontre, nos números que Carla e Ana anotaram, aquele que adicionado a 140
resulta em:
430 -...............................................................................................................................
210 - ..............................................................................................................................
345 - ..............................................................................................................................
Sugestão de encaminhamento:
Quando os grupos finalizarem as respostas o relator de cada grupo irá ao quadro
colocar uma resposta, caso ela seja diferente do que já foi colocado.
c) Como as respostas já estão socializadas no quadro de giz, expliquem o que vocês
notaram em relação às respostas encontradas no item "a" e "b".
Sugestão de encaminhamento:
Espera-se que os alunos constatem que no item "a" teve várias respostas e no item
"b" só uma resposta.
48
2.
Fonte:Clip-art
a) 880 - = 790 ...........................................
b) 1000 - = 875 ...........................................
c) 900 - = 540 .............................................
Muito bem!!!!
a) Agora tente explicar como você pensou para encontrar as respostas:
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
b) Agora descubra estes números:
a) - 680 = 300 ...........................................
b) - 240 = 580 ...........................................
c) - 455 = 340 ...........................................
c) E essas respostas, como que você pensou? Tente escrever.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
Você é bom investigador? 8
Consegue descobrir o número escondido em baixo do
49
3.
a) Faça o registro matemático da história.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
b) Descubra quanto ele tinha no começo da história.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
c) Registre como você fez para descobrir quanto ele tinha quando saiu de casa.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
d). Faça o registro matemático da história.
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
Estava passeando. Encontrei um amigo que me devia 36 reais. Milagre! ...Ele me pagou. Continuei o passeio e gastei 50 reais. Ao chegar em casa ainda tinha 30 reais. Quanto eu tinha no começo do passeio?
Pensei num número, somei 28 e obtive 62.
50
e) Que número ele pensou?
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
.
f) Registre como você fez para descobrir o número?
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
g) Descubra os números escondidos:
+ 46 = 65 18 + = 32
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
- 25 = 54 - 123 = 32
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
Explique o que você fez para descobrir o resultado.
Explique o que você fez para descobrir o resultado.
51
x 2 = 912 x 5 = 75
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
: 2 = 300 : 6 = 540
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
4.4 4º BLOCO
Esse bloco de atividades tem a pretensão de substituir o porta lugar pela
letra (variável) como uma extensão natural do uso do quadradinho.às expressões
algébricas de maneira mais simples possível, ensinando os alunos que ainda não
tiveram contato com expressões literais a substituírem o porta-lugar (quadradinho),
utilizado por eles na série iniciais para representar números ocultos, por "letras do
alfabeto" .
4.4.1 OBJETIVOS
- Construir significado para expressões algébricas, trocando o porta lugar
(quadradinho) por letras do alfabeto para substituir quantidades desconhecidas.
Explique o que você fez para descobrir o resultado.
Explique o que você fez para descobrir o resultado.
52
- Provocar nos alunos a necessidade de uma representação simbólica de
números desconhecidos.
4.4.2 ATIVIDADES
SUBSTITUINDO O QUADRADINHO9
1. Observe a figura.
Sugestão de encaminhamento:
Essa atividade será conduzida no quadro de giz pelo professor e registrada no
caderno pelos alunos.
De início mostra-se aos alunos um quadro de pontos 5 x 6 do qual só estará
exposta a primeira linha, sendo que as outras "5" linhas ficam ocultas por
meio de uma folha de cartolina
Embaixo da folha tem outra linhas, cada uma com 5 pontos.
● ● ● ● ●
a) Como vocês poderiam escrever o número total de pontos se vocês não
sabem o número exato de linhas?
Sugestão de encaminhamento
Espera alguma resposta.... Em seguida, mostra aos alunos como faria.
Número de pontos = 5 x
"Como não sei o número exato de linhas, vou usar um quadradinho para
indicar o número de linhas".
A seguir deixar os alunos expiarem no desenho que está coberto e pedir que
eles preencham o quadradinho com o número certo.
Ao todo são tem 6 linhas com 5
● em cada uma
53
b) Inventem um problema de pontos como esse, em que 7 x seja o número
total de pontos (façam o desenho).
c) Façamos outro problema, agora tem uma linha com 4 ♥ (corações) e em baixo da
folha tem outras linhas, cada uma com 4 corações.
♥ ♥ ♥ ♥
Sugestão de encaminhamento
- Agora iremos usar uma letra, em vez de um quadradinho, para o número de
linhas;
- cada aluno escolhe uma letra qualquer;
Em seguida, mostra-se como faria.
número de linhas = a Número de corações = 4 x a
A seguir deixar os alunos expiarem no que está coberto. Após olharem,
pergunta-se :
Quantas são as linhas? ....O que sua letra representa?
d) Inventem um problema como esse, "3 x n" será o total de figuras e "n" será o
número de linhas desenhadas (façam o desenho).
embaixo tem mais 5 linhas com
4 ♥ em cada uma
54
e) Agora vocês estão que tem uma linha com 5 lâmpadas e em baixo da folha tem
outras linhas, cada uma com 5 lâmpadas
Sugestão de encaminhamento:
- Usem uma letra qualquer, para o número de linhas;
- Eu usarei "c"
número de linhas = c
Então:
Número de Lâmpadas = 5 x c
A seguir: deixar os alunos expiarem no que está coberto. Após olharem,
pergunta-se :
- Quantas são as linhas? ....O que sua letra representa?
f) Inventem um problema com figuras, em que "9 x b" seja o número total de
figuras e "b" seja o número de linhas desenhadas. (façam o desenho)
g) Agora vocês estão que tem um paralelogramo. Vocês estão vendo uma coluna
com 3 quadrados e em baixo da folha tem outras colunas, cada uma com 3
quadrados.
embaixo tem 5 linhas com 4 ♥
em cada uma
embaixo tem mais 1 linha com 5 lâmpadas em cada uma.
Embaixo tem 4 colunas com 3 quadradinhos em
cada uma.
55
Sugestão de encaminhamento:
- Usem uma letra qualquer, para o número de colunas;
- Eu usarei "m"
número de colunas = m
Então:
Número de colunas = 3 x m
A seguir deixar os alunos expiarem no que está coberto. Após olharem,
pergunta-se :
- Quantas são as colunas? ....O que sua letra representa?
h) O que podemos escrever sobre o perímetro desta figura.
- Sabemos que ela é um polígono.
- Parte dela está encoberta, e não é possivel ver todos os seus lados.
- Sabemos que cada lado mede 5 cm.
fonte: A autora
Sugestão de encaminhamento:
- Usem uma letra qualquer, para o número de lados;
- Eu usarei "z"
número de lados = z
Então:
Número de lados = 5 x z
A seguir deixar os alunos expiarem no que está coberto. Após olharem,
pergunta-se :
- Quantas são as lados? ....O que sua letra representa?
56
i) Inventem um problema com figuras, em que "8 x m" seja o perímetro da figura
e "m" seja o número de lados da figura. (façam o desenho)
2. QUAL É O SEGREDO 10
Encaminhamento: Essa atividade no 1º momento será oral.
1º momento:
O professor explica aos que eles falarão um número e ele fará alguma(s)
operação(ões) . Em seguida ele dirá o resultado e os alunos terão que descobrir o
"segredo", ou seja , qual operação foi realizada com o número que os alunos
falaram.
Segredos aplicados:
Somar 2
O dobro
o dobro e adicionar 1
dividir por 2
Sugestão de encaminhamento:
No segundo momentol os alunos se reunem em duplas
Será entregue uma ficha para cada aluno registrar o segredo.
2º momento:
Nessa atividade um aluno cria um segredo que terá de ser descoberto pelo
colega , e vice-versa, registrando os resultados na ficha que foi entregue pelo
professor para cada aluno.
57
Número número com "segredo"
Segredo:
Sugestão de encaminhamento:
O aluno que terá que descobrir e registrar o "segredo" do outro, começa colocando
um número qualquer na primeira coluna. Entrega a ficha para o colega que tem o
"segredo". Este, por sua vez, escreverá o resultado (número com "segredo") na
segunda coluna. estão propostas até quatro tentativas. Ao descobrir o "segredo"
formulado pelo colega, o aluno deverá escrevê-lo na última linha da tabela.
4.5 5º BLOCO
Neste bloco de atividades as sequências são abordadas em diferentes
contextos. Não são mais figuras que se repetem, mas sim, figuras que vão se
modificando, a cada posição seguindo uma regra padrão. Nestas atividades, a
pretensão é que o aluno perceba como uma figura se transforma na seguinte e
descubra a regra de formação da sequência, dando assim a oportunidade do aluno
pensar em diferentes hipóteses.
A resolução dessas atividades, provoca a mudança do pensamento
aritmético, para o algébrico, preparando o aluno, para a mudança de registro de
representação, do geométrico para o algébrico. Para isso, se faz necessário, que o
aluno sinta a necessidade da utilização de símbolos matemáticos, do que ficar a
todo o momento escrevendo em linguagem corrente a regra de formação das
sequências, Mondanez (2003, p.46) "...se a 'letra' é dada no exercício, sem que o
aluno sinta a necessidade desta, este não compreenderá o significado, pois essa
'letra' não terá sentido para o aluno".
58
Também, as questões das atividades vão gradativamente aumentando as
posições das figuras, para que o aluno, sinta a dificuldade de respondê-las, usando
a estratégia de desenho ou contagem, segundo Mondanez (2003, p.61) "enquanto o
aluno está preso nos desenhos para responder as questões, este se encontra,
ainda, distante de uma generalização da sequência por meio da expressão
algébrica".
4.5.1 OBJETIVOS
- Relacionar a quantidade de objetos de acordo com a posição que ela
ocupa na sequência;
- Descobrir a regra de formação da sequência;
- Registrar, os valores encontrados nos padrões, em forma de tabela
facilitando a validação de suas respostas;
- Escrever a regra de formação da sequência por meio da linguagem
corrente ou por meio de símbolos matemáticos;
- Construir tabelas para facilitar o raciocínio e a generalização
- Identificar regularidades;
- Descobrir e descrever o padrão numa sequência;
- Formular generalizações;
- Transferir padrões concretos, pictóricos e simbólicos de uma representação
para a outra;
- Descrever o padrão oralmente e por escrito;
- Continuar uma sequência.
4.5.2 ATIVIDADES
SEQUÊNCIAS CRESCENTES
59
1. Observe as faixas desenhadas e depois complete a tabela.11
nº de retas
paralelas
2
3
4
5
6
nº de faixas
a) Escreva que conclusão você chegou sobre o número de retas paralelas e o
número de faixas?
b) Silvia riscou 20 retas paralelas, quantas faixas coloridas ela terá que pintar?
c) Tente escrever uma regra para calcular o número de faixas coloridas, para um
número qualquer de retas.
d) Se você quiser pintar 28 faixas coloridas, quantas retas você terá que desenhar?
60
2. Tire suas conclusões: 12
Fonte:Clip-art
Observe uma de suas mãos e responda:
a) Quantos espaços há entre os seus cinco dedos?
b) Se o extraterrestre viveu 7 anos ele teria 7 dedos, quanto seriam os espaços
entre seus dedos, numa das mãos?
c) E se ele tivesse 45 dedos, quantos espaços seriam?
d) O que você fez para concluir o resultado, registre como você pensou?
e) Tente escrever uma regra que possa calcular o número de espaços para qualquer
número de dedos que o extraterrestre tenha.
f) Se o extraterrestre tiver 12 espaços entre os dedos, quantos dedos na mão ele
possui? Quantos anos ele já viveu?
Conta uma lenda, que num planeta distante existe criaturas em que a idade corresponde aos dedos da mão, pois a cada ano de vida
nasce nele um dedo em cada mão.
61
3. Esta máquina troca moedas de 50 centavos por moedas de 10 centavos
( uma de 50 por cinco de 10 centavos, claro!!..)13
a) João colocou na máquina 3 moedas 50 centavos. Quantas moedas de10
centavos ele recebeu?
b) Maria colocou 5 moedas de 50 centavos. Quantas moedas de 10 centavos ela
recebeu?
c) Que operação a máquina realizou para poder trocar as moedas de 50 centavos
que foram colocadas nela?
d) Então se você colocar 20 moedas de 50 centavos, quantas moedas de 10
centavos você receberá?
e) Agora pense um pouco...
Silvinha recebeu 135 moedas de 10 centavos. Quantas moedas de 50 centavos ela
colocou na máquina?
62
4. Carina irá comemorar seu aniversário de 13 anos na pizzaria, preocupada em
acomodar todos os seus amigos ela foi, um dia antes, verificar como seria
arrumado as mesas para que todos os seus amigos ficassem juntos. Primeiro
ela arrumou uma mesa para ver quantos amigos poderiam sentar e depois
arrumou duas mesas (conforme a figura). Mas como ela não tinha certeza do
número exato de amigos que viria, ela ficou estudando quantas mesas iriam
ser necessário. Ajude ela a pensar. 14
a) Se forem 14 amigos, como ficará a disposição das mesas. Faça o desenho
representando a nova quantidade e respeitando a mesma disposição de pessoas à
sua volta.
b) Desenhe a representação de mesas se forem 18 amigos.
c) Se forem colocadas 5, 6, 7, 8, 9... mesas, quantas pessoas podem ser
acomodadas?
d) E se forem colocadas 30 mesas?
e) E se forem colocadas um número desconhecido de mesas? Escreva uma regra e
verifique se dá certo para 24 mesas e 42 mesas.
f) Quantas mesas seriam necessárias para acomodar 106 pessoas? E para
acomodar 54 pessoas?
g) Quantas mesas serão necessárias para acomodar 150 pessoas?
63
5. Empilhando cubos. 15
Sugestão de encaminhamento: Para essa atividade poderá ser dado a cada grupo
5 cubinhos de madeira do Material Dourado.
Imagine que você é a criança da figura, faça igual ela e descreva no balão o
que você observa.
a). Coloque um cubo sobre a mesa e ande em volta dela observando o cubo.
Registre no balão quantas faces do cubo você observa?
Fonte:Clip-art
b). Agora coloque 2 cubos, um sobre o outro (conforme o desenho) e circule
novamente observando os cubos. , Registre no balão quantas faces do cubo você
observa agora.
Fonte:Clip-art
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64
c) Continue empilhando os cubos que você tem, um sobre o outro e registre na
tabela.
nº de
cubos
empilhados
1
2
nº de faces
visíveis
d) Na tabela tem mais espaços em branco, complete com o número de faces
visíveis, imaginando uma pilha de 6, 7, 8, 9 e 10 cubos?
e) Quantas faces você verá se forem empilhados 15 cubos?
f) Tente explicar por escrito a regra que você usou para concluir a resposta anterior.
g) Agora mostre com uma expressão numérica a regra que você acabou de concluir.
h) Imagine se fosse empilhado um número de cubinhos, mas você não sabe qual é.
Então pode chamar este valor desconhecido de (crie nesse espaço um
símbolo para representar esse valor desconhecido).
Após, usando símbolos matemáticos e o símbolo que você criou, escreva uma
expressão que represente o número de faces visíveis se forem empilhados
cubinhos.
i) Teste a regra (expressão) que você escreveu no item anterior, se fosse empilhados
14 cubos e 20 cubos, quantas faces ficariam visíveis?
j) Na mesa do seu amigo você está vendo 49 faces, quantos cubos ele conseguiu
empilhar sobre a mesa?
65
6. Observe a seguinte sequência de figuras, onde estão empilhados azulejos
brancos e cinzas, segundo uma determinada regra. 16
a) Se as pilhas continuassem, quantos seriam os azulejos brancos e cinzas da 5ª e
da 6ª pilha? Faça o desenho para registrar sua resposta.
b) Complete a tabela com o número de azulejos brancos e cinzas de cada pilha e
tente registrar também o número da 7ª e da 8ª pilha.
Azulejos
1ª
pilha
2ª
pilha
3ª
pilha
4ª
pilha
branco
cinza
Total
c) Qual seria o total de azulejos( entre brancos e cinzas) da 10ª pilha? Registre por
escrito a regra que você usou para achar a resposta.
66
d) Se estivesse empilhado 44 azulejos (entre brancos e cinzas), qual seria essa
pilha? Registre por escrito a regra que você usou para achar a resposta.
e) No dia a dia nem sempre é possível responder todos os problemas que nos
apresentam usando a contagem nos dedos ou até mesmo desenhando. Portanto,
tente escrever uma regra matemática para calcular o número de azulejos em um
número desconhecido de pilha?
f) Use a regra que você criou e calcule quantos azulejos teriam na:
40ª pilha:................................................................................................................
56ª pilha:..................................................................................................................
60ª pilha:....................................................................................................................
g)
Fonte: Clip-art
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
Vocês estão bem espertos, pois chegaram até aqui, será que vocês podem dizer em que pilha conterá um total de 452 azulejos?
67
7. Observe a seguinte sequência de figuras. 17
a) Quantos triângulos terá a 4ª e a 5ª figura? Faça o desenho para registrar sua
resposta.
b) Se forem desenhados 8 quadrados, quantos triângulos serão necessários para
completar a figura e em que ordem ela estaria?
c) Desenhe uma tabela que relacione o número de quadrados e triângulos com a
posição da figura.
posição
nº de
quadrados
nº de
triângulos
c) Qual será o número de triângulos se for desenhado 10 quadrados e 15
quadrados? Registre por escrito como você raciocinou para achar a resposta.
d) Você acha que é possível escrever uma regra matemática que calcule o número
de triângulos para qualquer que seja o número de quadrados?
68
e) Observe o que você registrou no item "c" e tente escrever uma regra matemática
para saber o nº de triângulos se for desenhado um número desconhecido de
quadrados.
........................................................................................................................................
f) Verifique a regra que você escreveu e verifique se ela dá certo para calcular o
número de triângulos se for desenhado:
6 quadrados....................................................................................................................
17 quadrados..................................................................................................................
50 quadrados..................................................................................................................
g)
........................................................................................................................................
.............................................................................................................................
Carlinhos agora ficou confuso. Será que você é capaz de ajudá-lo a calcular quantos quadrados foram desenhados numa faixa com 44 triângulos?
69
8. A professora de Carlos mostrou alguns cartões com balõezinhos
desenhados, juntos esse cartões formavam uma sequência de figuras,
observe: 18
a) Mantendo o mesmo padrão, faça o desenho correspondente ao próximo cartão
dessa sequência
........................................................................................................................................
b) Complete a tabela sem fazer desenho.
cartão Nº de balõezinhos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
70
c) Explique como uma figura de um cartão se transforma na seguinte.
........................................................................................................................................
d) Quantos balõezinhos teriam o 20º e a 100º cartão dessa sequência?
........................................................................................................................................
e) Tente escrever uma regra matemática que calcule quantos balõezinhos teriam um
cartão numa posição qualquer.
f)
........................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
Agora Carlos ficou confuso, sua amiga mostrou uma figura, ele contou os balõezinhos e tinha 59 balõezinhos, qual era a ordem desse cartão?
71
9. Sandra gosta de desenhar carinha feliz. Começou a brincar no quadro de giz
fazendo o seguinte desenho, que ela chamou de sequência. Seus colegas
prestando atenção começaram a disputar quem acertava o próximo desenho.
Sandra gostou da brincadeira e desafiou os colegas: 19
a) Façam o próximo desenho dessa sequência
b) Quantas carinhas terá a 7ª figura?
.......................................................................................................................................
c) Nisso, a professora voltou à sala, ficou o maior silêncio, esperando a bronca. Para
surpresa dos alunos, a professora achou muito legal e lançou um novo desafio para
a turma.
_ Quem consegue montar uma tabela até a 10ª posição?
Todos gritaram!!
_ Eu...Eu...Eu...Eu...Eu...
E a professora completou!
_Tem que relacionar a posição com o número de carinhas desenhadas?
Posição 1ª
2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª n
nº de
carinhas
72
d) Quem descobriu o segredo que Sandra usou para desenhar? Ou seja, como uma
figura se transforma na seguinte.
........................................................................................................................................
.......................................................................................................................................
Os alunos continuavam empolgados, alguns desenhavam, outros contavam e alguns
ficavam pensando, tentando adivinhar, então a professora os desafiou novamente:
e) Quantas carinhas teriam a 20ª e a 100ª posição?
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
f) Agora que vocês descobriram o segredo que Sandra usou, escrevam a regra em
linguagem matemática, que calcule quantas carinhas teriam uma figura numa
posição "n" qualquer (posição desconhecida).
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
10. Observe a sequência: 20
a) Desenhe a próxima figura da sequência. Quantas bolinhas ela tem?
........................................................................................................................................
b) Desenhe a 7ª figura da sequência. Quantas bolinhas ela tem?
........................................................................................................................................
73
c) Complete a tabela, relacionando a posição de cada figura com o seu número de
bolinhas.
posição Nº de bolinhas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n
d) A 16ª figura tem quantas bolinhas?
........................................................................................................................................
e) E a 25ª figura?
........................................................................................................................................
f) Escreva a regra usada para calcular a próxima sequência da figura.
........................................................................................................................................
g) Agora escreva a regra em linguagem matemática para calcular o número de
bolinhas numa posição qualquer.
........................................................................................................................................
h) Teste a regra para ver se funciona na 10ª e na 11ª posição.
........................................................................................................................................
74
i) Se alguém dissesse que tem uma figura com quarenta e três bolinhas
desenhadas, qual seria a posição dessa figura? Justifique como você pensou para
dar a resposta.
........................................................................................................................................
4.6 6º BLOCO
Neste bloco de atividades tem por finalidade proporcionar ao aluno a
oportunidade de descobrir as leis de igualdade e a compreensão das propriedades
das operações, bem como, da relação de cada operação com a sua inversa. Os
alunos podem usar estratégias informais de resolução de equações como a
contagem ou tentativa e erro, preparando-os para a abordagem formal.
As atividades com a balança faz com que o aluno descubra os princípios de
equivalência, como regra prática facilitadora do processo de resolução de equações
e consequentemente ele, perceberá de onde vêm essas regras práticas e suas
justificações. Nas atividades de "advinhações" os alunos têm a possibilidade de
realizar as operações "de trás para frente", ou seja, recorrendo, assim, as operações
inversas.
Neste bloco de atividades, também é importante, que os alunos realizem e
discutam com os colegas os resultados obtidos nas atividades, caminhando assim,
para a retomada dos conceitos e propriedades, para a formalização na resolução de
equações do 1º grau.
4.6.1 OBJETIVOS
- Reconhecer uma igualdade como uma equação;
- Reconhecer a importância das propriedades de equivalência;
- Representar as situações em expressões matemáticas usando símbolos;
- Descobrir as leis de igualdade;
- Escrever o procedimento usado na resolução das atividades;
- Verificar se o resultado encontrado;
- Validar o resultado encontrado nas atividades;
75
4.6.2 ATIVIDADES
EQUAÇÕES DO 1º GRAU.
1. Observe as duas figuras:21
balança 1 balança 2
a) Descreva o que sugere as balanças 1 e 2.
........................................................................................................................................
b) Escreva em linguagem matemática a situação de cada balança, (use uma letra
para representar o peso de cada animal).
........................................................................................................................................
c) Discuta com seu grupo o nome que se dá para a situação da balança 2?
........................................................................................................................................
d) Observe as balanças 3 e 4, discuta com seu grupo e escreva o que vocês
concluíram.
balança 3 balança 4
........................................................................................................................................
76
e) Descreva o que aconteceu na situação das balanças 5 e 6.
balança 5 balança 6
........................................................................................................................................
f) Observe agora as balanças 7 e 8 e escreva o que você concluiu.
balança 7
balança 8
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
77
2. Escreva, para cada uma das balanças, uma expressão algébrica que relaciona
o peso do 1º prato com o peso do 2º prato. 22
a)
..............................................................
b)
...............................................................
c)
..........................................................
78
3. Observe as três cenas.23
As balanças estão em equilibrio, significa que o peso dos dois pratos são iguais. A
abóbora pesa 200 g.
Fonte: Clip-art
a) Complete a tabela com o peso de cada brinquedo.
Produto
peso
(g)
200g
b) Escreva como você fez para calcular o peso do sabão, da bolacha e da garrafa.
79
4. A figura mostra uma balança em equilíbrio, em que os dois queijos tem o
mesmo peso:24
Fonte: Clip-art
a) Escreva uma expressão algébrica que relaciona o peso do 1º prato com o peso
do 2º prato.
........................................................................................................................................
b) Descreva o que pode ser feito para determinar o peso de cada queijo.
........................................................................................................................................
c) Qual é o peso de cada queijo?
........................................................................................................................................
5. A figura mostra uma balança em equilíbrio, em que todas as cestas têm o
mesmo peso:25
Fonte:Clip-art
a) Escreva uma expressão algébrica que relaciona o peso do 1º prato com o peso do
2º prato.
........................................................................................................................................
80
b) Descreva o que pode ser feito para determinar o peso de cada uma das cestas.
........................................................................................................................................
c) Qual é o peso de cada cesta?
........................................................................................................................................
6. A figura mostra uma balança em equilíbrio, em que os três potes de doce tem o
mesmo peso: 26
Fonte: Clip-art
a) Escreva uma expressão algébrica que relaciona o peso do 1º prato com o peso do
2º prato.
........................................................................................................................................
b) Descreva o que pode ser feito para determinar o peso de cada um dos potes de
doce.
........................................................................................................................................
c) Qual é o peso de cada pote de doce?
........................................................................................................................................
81
7. Escute o que Carlos falou, e descubra o que ele quer dizer: 27
Fonte: Clip-art
a) Escreva uma expressão algébrica que representa o que Carlos falou ao telefone.
........................................................................................................................................
b) Descreva o que pode ser feito para determinar o número que Carlos pensou.
........................................................................................................................................
c) Qual foi o número que Carlos pensou?
8. Duas amigas Bruna e Marcia estavam estudando. Bruna gosta de desafios:28
Fonte: Clip-art
a) Escreva uma expressão algébrica que representa o que Bruna falou para Marcia.
........................................................................................................................................
Pensei num número, adicionei-lhe 12
e obtive 30. Em que número pensei?
O dobro da quantia de dinheiro que tenho no envelope, mais 15 Reais
que tenho no bolso dá um total de 29 Reais. Que quantia de dinheiro eu
tenho no envelope?
82
b) Descreva o que pode ser feito para determinar a quantia de dinheiro que Bruna
tem no envelope.
........................................................................................................................................
c) Qual a quantia de dinheiro que Bruna tem no envelope?
........................................................................................................................................
9. Célia e Sônia tinham na bolsa o mesmo valor de dinheiro. Foram a uma loja
comprar cadernos escolares iguais. Quando sairam, cada uma tinha na mão o
que a figura apresenta. 29
Fonte: Clip-art
a) Represente a situação acima com uma expressão matemática.
........................................................................................................................................
b) Escreva como você faria para descobrir o preço de um caderno.
........................................................................................................................................
c) Qual é o preço de um caderno?
........................................................................................................................................
83
10. A nova professora da turma do Carlos trouxe os seguintes cartazes: 30
Os Artigos são iguais, mas em quantidades diferentes.
........................................................................................................................................
a) Represente a situação acima com uma expressão matemática.
........................................................................................................................................
b) Escreva como você faria para descobrir o preço de um dos produtos.
........................................................................................................................................
c) Qual é o preço de cada produto?
........................................................................................................................................
84
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.
BIGODE, A. J. L.; RODRIGUES , J. G. Coleção Matemática do Cotidiano & suas
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VALE, I. at all. Padrões no currículo de matemática – presente e futuro.
Disponível em http://dspace.uevora.pt/otic/bitstream . Acesso em fev 2011.
5.1...NOTAS BIBLIOGRÁFICAS
1 Santos se refere a aprendizagem significativa de Ausubel e Aprendizagem Significatica de Ausubel "é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de conhecimento do indivíduo e ocorre quando a nova informação ancora-se em subsunçores relevantes preexistentes na estrutura cognitiva de quem aprende." 2 Sequências repetitivas em Padrões no Currículo de Matemática – presente e futuro. Disponível em: http://dspace.uevora.pt. Acesso em fev 2011. 3 Imenes & Lellis. Matemática. São Paulo: 2009. 6º ano. 4 Reis & trovon. Aplicando a Matemática. São Paulo: 2008. 6º ano. 5 Matemática em Movimento. Curitiba: Positivo, 2004. 6 Imenes & Lellis. Matemática. São Paulo: 2009. 6º ano. 7 Matemática do Cotidiano & suas conexões. São Paulo: 2008. 4º ano 8 Matemática do Cotidiano & suas conexões. São Paulo: 2008. 4º ano. 9 Louise Chalouh e Nicolar Herscovicz. Ensinando Expressões Algébricas de Maneira Significativa.
87
10 Grecco: 2008, p.161. Disponível em: http://www.pucsp.br. Acesso em 2011. 11 Imenes & Lellis. Matemática. São Paulo: 2009. 6º ano. 12 Imenes & Lellis. Matemática. São Paulo: 2009. 6º ano. 13 Imenes & Lellis. Matemática. Coleção Novo caminho da Matemática. São Paulo: 1999. 14 Déchen, 2008. Disponível em: http://www.bdtd.ufscar.br/htdocs/ted. Acesso em fev 2011. 15 Imenes & Lellis. Matemática. São Paulo: 2009. 6º ano. 16 Padrões no Currículo de Matemática – presente e futuro. Disponível em: http://dspace.uevora.pt. Acesso em fev 2011.
17 Padrões no Currículo de Matemática – presente e futuro. Disponível em: http://dspace.uevora.pt. Acesso em fev 2011.
18 Imenes & Lellis. Matemática. São Paulo: 2009. 6º ano.
19 Modanez, 2003. Disponível em: www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao. Acesso em abr 2011. 20 Modanez, 2003. Disponível em: www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao. Acesso em abr 2011. 21 Bigode. Matemática Hoje é Feita Assim . São Paulo: 2000. 6ª série. 22 Bigode. Matemática Hoje é Feita Assim . São Paulo: 2000. 6ª série. 23 Imenes & Lellis. Matemática. São Paulo: 2009. 7º ano.
24 Ponte, Matos e Branco, 2009.
25 Ponte, Matos e Branco, 2009.
26 Ponte, Matos e Branco, 2009.
27 Ponte, Matos e Branco, 2009.
28 Ponte, Matos e Branco, 2009.
29 Ponte, Matos e Branco, 2009.
30 Ponte, Matos e Branco, 2009.