equações algébricas e transcendentes - método da bisseção - @professorenan

Equações Algébricase

Transcendentes

Equações Algébricase

Transcendentes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zero Reais de Funções ReaisZero Reais de Funções Reais


Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0.

O que é uma Equação Algébrica?

Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x) .


Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução não pode ser expressa através de funções elementares.

O que é uma Equação Transcendente?

Zeros de Funções Reais

1. Introdução


Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou

transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:

1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o

menor possível, que contenha a raiz;

2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até

o grau de exatidão requerido pelo problema.

Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da

seguinte maneira:

3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções

disponíveis em algumas calculadoras ou softwares

matemáticos.


1. Introdução



Fase II: Refinamento de Raiz


• Existem vários métodos numéricos de refinamento de raiz.

• A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os métodos.

• Todos eles são iterativos. Isto é segue uma sequência que são executadas “passo a passo”, algumas das quais são repetidas em ciclos.

• Métodos iterativos fornecem uma aproximação para a solução.

• Execução de ciclo recebe nome de iteração.




• Método da Bisseção;

• Método de Newton-Raphson (Tangentes);

• Método da Iteração Linear.

• Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);




• Método da Bisseção


Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.


O princípio fundamental do método da bissecção consiste em

localizar a raiz em um intervalo [x1, x2], onde a função é

estritamente crescente ou estritamente decrescente e considerar

a raiz aproximada como o ponto médio desse intervalo, ou

seja, a raiz será (x1 + x2)/2 ou (a+b)/2.

Para que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições

citadas, devemos ter f(x1). f(x2) < 0.




Nesta consideração o erro cometido será menor ou igual à metade

da amplitude do intervalo [x1, x2].

Isto é: erro = < |x2 - x1| ou < |)|. Veja figura abaixo.




Para tornar o erro menor, pode-se dividir o intervalo em dois

intervalos de amplitude igual à metade da amplitude do intervalo

anterior. Para isso, tomemos x3 = (x1 + x2)/2.

Veja a figura a seguir:




A raiz estará no intervalo [x1, (x1+x2)/2] se f(x1).f((x1+x2)/2)

< 0, caso contrário ela estará no intervalo [(x1+x2)/2, x2].




A repetição do processo fará com que, a cada iteração o ponto

médio do intervalo se aproxime cada vez mais da raiz.

Assim, o processo deverá ser continuado até que se obtenha uma

aproximação com erro inferior ao solicitado.



Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em

reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto

médio do intervalo.

Considerando o intervalo [a,b]:

• Se , o novo intervalo é [a,(a+b)/2]

• Se , o novo intervalo é [(a+b)/2,b]

( ). ( ) 02

a bf a f

( ). ( ) 02

a bf b f





15

xa = a0

f(x)

b = b0

x1 = (a + b)/2

x1

xa = a1

f(x)

x1 = b1

x2 = (a + x1)/2

x2

x

f(x)

x1 = b2

x3 = (x2 + x1)/2

x2 = a2

x3

Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.




• Exemplo 1: Encontrar duas raízes da função , por meio do

método da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,001 e

um numero máximo de iterações de




• Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou tabelando

e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:




• Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou tabelando

e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:

Claramente vemos que existe uma raiz no intervalo [-3,5 ; -

3,0], uma segunda raiz no intervalo [0 ; 0,5] e uma terceira

raiz no intervalo [2,5 ; 3].




• Solução: Agora pela tabulação e análise de sinais para

determinar os intervalos iniciais.

X -3,5

-3 -2,5

-2 -1,5

-1 -0,5

0 0,5

1 1,5

2 2,5

3

f(x)

- + + + + + + + - - - - - +

𝜉1 𝜉2 𝜉3




• Solução:

Vamos adotar o intervalo [0,0 ; 0,5], portanto, para a iteração i=1

temos:

𝑥𝑎=0𝑒𝑥𝑏=0,5

Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o

intervalo ao meio.




• Solução:

𝑥𝑚=0,25

¿ 𝑓 (𝑥¿¿𝑚)∨⇒|𝑓 (0,25 )|=¿ (0,25 )3−9. (0,25 )+3∨¿¿

¿ 𝑓 (0,25 )∨¿0,765625 ¿ 𝜺

Critério de parada! ¿ 𝑓 (𝑥¿¿𝑚)∨¿ ε ¿




• Solução:

Agora temos dois intervalos. O primeiro é [0 ; 0,25] e o segundo é

[0,25 ; 0,5]. Vamos verificar se a raiz se encontra no primeiro

intervalo fazendo:

𝑓 (𝑥¿¿𝑎). 𝑓 (𝑥¿¿𝑚)= 𝑓 (0 ) . 𝑓 (0,25 )=(03−9.0+3 ) .(0,253−9.0,25+3)¿¿

𝑓 (𝑥¿¿𝑎). 𝑓 (𝑥¿¿𝑚)=2,296875⇒>0¿¿




• Solução:

Como o produto foi positivo, o intervalo onde se encontra a raiz

não é [0 ; 0,25] e sim [0,25 ; 0,5].

Devemos continuar já que e que não ultrapassamos o número

máximo de iterações .




• Solução:

Vamos agora adotar o intervalo [0,25 ; 0,5], portanto, para a

iteração i=2, temos:

𝑥𝑎=0,25𝑒𝑥𝑏=0,5

Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o

intervalo ao meio.




• Solução:

Quadro!




• Exemplo 2: Encontrar uma raiz da função , por meio do método

da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,02 e um numero

máximo de iterações de




• Solução:

Quadro!




• Exemplo 3: Encontrar uma raiz da função , por meio do método

da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,01 e um numero




• O método exige pouco esforço computacional.

• A convergência é lenta. Notadamente se o intervalo inicial tiver

um tamanho, b – a, muito maior que uma precisão, ε.

• O método sempre gera uma sequência convergente.




• Raiz(f,a,b,tol)o Enquanto (|a-b|>tol)

• x=(a+b)/2• Se f(x).f(a)<0

o b=x• Senão

o a=xo Resultado=(a+b)/2

Implementação do Método da Bisseção.



Algoritmo

k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a;

xk+1 := (ak + bk)/2;

while critério de convergência não satisfeito and k Lif f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [ak , xk+1] */

ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;

else /* raiz em [xk+1, bk] */

ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;

endifk := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2;

endwhileif k > L

convergência falhouendif




Ideia: Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada iteração.


Exercícios





1) Encontrar duas raízes da função , por meio do método da

Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,005 e um numero


2) Encontrar uma raiz da função , por meio do método da

Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,003 e um numero


Trabalho



• Método da Iteração Linear.

• Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);

Pesquisa em dupla sobre os seguintes

métodos:

A pesquisa deve conter:

• Descrição de cada método;

• Seguir a ABNT quanto à formatação.

• Escolher um desses métodos e mostrar uma aplicação na

Engenharia;

• Comparação entre os métodos;

Data de Entrega: Dia da prova!




Método de Newton-

Raphson (Tangentes)

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