Section 4.2

Probability Models機率模式

由實驗看機率• 實驗前先列出所有可能的實驗結果。

– 擲銅板：正面或反面。– 擲骰子： 1~6 點。– 擲骰子兩顆： (1,1),(1,2),(1,3),… 等 36 種。

• 決定每一個可能的實驗結果發生機率。– 實驗後所有的實驗結果整理得到。

• 擲銅板正面的機率為 0.5069 。– 由理論推導計算出來。

• 擲骰子兩顆每種配對組合的機率為 1/36 。

機率模式• 樣本空間 S (sample space) ：所有可能的 ( 實驗 ) 結果，稱為出相 (outcomes) ，所成的集合。

• 事件 (event) ： any outcome or a set of outcomes 所成的集合。事件是樣本空間的部分集合 (subset) 。

• 機率模式 (probability model) ：樣本空間和指派機率給各事件的規則。

指派事件機率的規則 (Probability Rules)

• 事件機率可視為多次重複操作後事件發生的比例。可由實驗整理或理論推導得到。

• 事件記為 A ，事件機率記為 P(A) ，則– 規則 1 ：任意事件 A ， 0 P(A) 1 。– 規則 2 ：樣本空間 S 的事件 ， P(S) = 1 。– 規則 3 ：任意事件 A ，不發生的機率為 1P(A) 。– 規則 4 ：兩不相交 (disjoint) 事件 A 和 B ，沒有共同的實驗結果，因此不會同時發生，則 A 或 B 發生的機率為 P(A 或 B) = P(A) + P(B) 。

例題 4.5 ：指派機率 - 樣本機率• 25~29 女性婚姻狀態研究：

– 樣本空間： Never married, Married, Widowed 及 Divorced 四種婚姻狀態所成的集合。

– 機率模式：調查結果 -- 各種婚姻的比率

– 目前未婚狀態的機率• P(not Married) = 1 P(Married) = 1 0.574=0.426

例題 4.6 ：指定機率 - 理論機率• 擲骰子兩顆的機率模式：

– 樣本空間 S ： 36 種可能的出相 (outcomes) 所成的集合。

• S ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2),---, (6,6)}

• 機率模式：每一出相 (outcome) 機率相同，都是 1/36 。– 兩顆骰子點數和為 5 的事件機率：

P( 點數和為 5) = P({(1,4), (2,3), (3,2),(4,1)})=P((1,4))+P((2,3))+P((3,2))+P((4,1)) = 4/36

有限樣本空間 (Finite Sample Space) 的機率指派

• 每一個可能的出相，都指定一個 0~1 的數字做為機率，且其總和必須是 1 。

• 任何事件的機率，都是構成該事件的所有出相的機率的總和。– 樣本機率

– 理論機率

有限樣本空間的機率指派實例• 擲骰子一顆的機率模式：

– 樣本空間 S ={1, 2, 3, 4, 5, 6} 。– 理論機率模式之一：每一出相機率相同，都是 1/6 。 P({1})=……= P({6})= 1/6 。

• P({1,2}) = 2/6, P({1,2,6,}) = 3/6 。– 理論機率模式之二：每一出相機率與點數成正比。 P(1)=1/21, P(2)=2/21, …, P(6)= 6/21 。

• P({1, 2}) = 3/21, P({4, 5, 6}) = 15/21 。

區間型樣本空間的機率指派• 樣本空間為 0 與 1 之間的實數所成的集合，

[0,1] ， 0 與 1 之間的任何數字即為出相，記為 Y 。– 可指派任何區間事件的機率。

• [0.3, 0.7] 區間事件的機率，如

– 無法可指派單點事件的機率，如 P(Y=0.4) 。• 若每一單點事件的機率為 ，因

0 與 1 之間有無窮多個單點，則所有單點事件的機率總和，必超過 1 ，為無窮大。

經驗法則指派區間事件機率• 繪出 3000 筆 0~1 的資料的直方圖。

面積為 0.4

1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0

300

200

100

0

C1

Frequency

0.208477

0.802357

0.652811

0.865075

0.134307

0.892878

0.853840

0.814501

0.906012

0.119129

經驗法則指派區間事件機率• 以指派區間內觀察值的個數 / 總樣本數，作為該區間事件的機率。– [0.3, 0.7] 區間事件的機率，

1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0

300

200

100

0

C1

Frequency

經驗法則指派區間事件機率• 以指派區間內直方圖區間內長方柱的面積

( 以密度為 y 軸 ) ，作為該區間事件的機率。– [0.3, 0.7] 區間事件的機率，

1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.0

1.0

0.5

0.0

C1

Density

密度曲線法指派區間事件機率• 以密度曲線下區間的面積，指派為該區間事件的機率。– [0.3, 0.7] 區間事件的機率，– [0, 0.5] 或 [0.8, 1] 的機率，

4.0)7.03.0( YP

7.0)8.05.0( YYP 或

高度為

1

0 01 0.5 0.8 10.3 0.7

面積為 0.4

面積為 0.5

面積為 0.2

常態機率分配

• 常態分配也是一種機率模式。– 樣本空間為所有實數，多集中在均值加減 3個標準差之間。

– 區間事件的機率為常態密度曲線下該區間的面積。

常態機率模式應用• 年輕女性高度在 68~70 英吋之間的機率。

– 若年輕女性高度，記為 X ，服從常態機率模式 N(64.5, 2.52) ，運用標準化工具計算得

z=1.4 z=2.2

機率為 0.0669