СЕМИНАРСКИ РАД IПредмет: Нумеричка математика

Рјешавање диференцијалне једначине физичког клатна

1

1.0. Увод1.1.Нумеричко рјешавање система диференцијалних једначина

Да би се задана диференцијална једначина физичког клатна ријешила неком од нумеричких метода, потребно је дату једначину свести уз помоћ одговарајућих смјена на систем диференцијалних једначина првог реда.Једначина:

1.1

може се написати као

, 1.2

гдје је .

Почетни услови за дату диф. једначину постају:

и

а вриједности за и су:

,

2

интервал на коме се посматра нумеричко рјешавање једначине је .

Увођењем смјене: , добија се слиједећи систем диференцијалних

једначаина

1.3

,

односно

1.4

Дати систем се може ријешити неком од метода Рунге –Кута. Изабрана је метода Рунге-Кута другог реда.Програмски код за рјешавање система диференцијалних једначина методом Рунге-Кута другог реда у програмском језику QBasic је:

10 REM RJESAVANJE DIFERENCIJALNE JEDNACINE20 DEF FNF (Z) = Z30 DEF FNZ (T, F, Z) = -.1 * Z - .5 * SIN(F)40 PRINT "POCETNA VRIJEDNOST T"50 INPUT T60 PRINT "POCETNA VRIJEDNOST F"70 INPUT F80 PRINT "POCETNA VRIJEDNOST Z"90 INPUT Z100 PRINT " PRIRASTAJ H"110 INPUT H120 PRINT "BROJ TACAKA N"130 INPUT N140 PRINT150 PRINT "METODA RUNGE KUTA"160 PRINT " T", " F", " Z"170 PRINT T, F, Z180 FOR I = 1 TO N190 GOSUB 500200 PRINT T, F, Z210 NEXT I220 STOP500 K1 = H * FNF(Z)510 M1 = H * FNZ(T, Y, Z)520 K2 = H * FNF(Z + M1 / 2)530 M2 = H * FNZ(T + H / 2, F + K1 / 2, Z + M2 / 2)540 F = F + (K1 + K2) / 2550 Z = Z + (M1 + M2) / 2560 T = T + H570 RETURN

3

580 END

На слици 1.1 је приказан изглед екрана са програмским кодом у програмском језику Qbasic.

Слика 1.1. Изглед екрана са програмским кодом у програмском језику Qbasic.

После покретања програма Seminars.bas на екрану се појављује следећи прозор:

4

1.2. Изглед екрана после покретања програма Seminars.basПосле уношења задатих вриједности на екрану се појављује слиједеће:

1.3. Изглед екрана са резултатима5

Односно добијена су рјешења диференцијалне једначине 1.2. за задате почетне услове и за интервал и прираштај . Скуп рјешења је:

T Y Z2.5 3.794859 .6524289 5 5.323989 1.206614 7.5 8.15199 .4993085 10 9.322245 6.647067E-02 12.5 9.478035 8.400343E-02 15 9.674918 .1582733 17.5 10.04587 .3788258 20 10.93374 .8095502 22.5 12.83113 .9109003 25 14.96605 4.159544E-02 27.5 15.06354 -.2721697 30 14.42564 -.6862257 32.5 12.8173 -.9850813 35 10.50852 -.1715241 37.5 10.10651 .262491 40 10.72172 .6745138 42.5 12.30261 .9767091 45 14.59177 .1732554 47.5 14.99784 -.27432 50 14.3549 -.6955776 52.5 12.72464 -.9616346 55 10.47081 -.1369084 57.5 10.14993 .2889273 60 10.82711 .7186779 62.5 12.51151 .9465591 65 14.73001 .1053917 67.5 14.97702 -.298587 70 14.27721 -.733274 72.5 12.55859 -.9367872 75 10.363 -8.811068E-02 77.5 10.15649 .3028678 80 10.86634 .7395495 82.5 12.59966 .9329337 85 14.78622 8.157141E-02 87.5 14.9774 -.3038504 90 14.26525 -.7409002 92.5 12.52877 -.9326161 95 10.34295 -.0806361 97.5 10.15396 .3034438 100 10.86516 .7402231.

Графички приказ рјешења у програмском пакету Mathcad 14 изгледа као на слици 1.4.

6

Слика 1.4. Графички приказ рјешења у Mathcad 14

Ако се задата једначина 1.1. линеаризује сматрајући да је и ако се уведу смјене као у претходно мслучају добија се систем једначина

1.5

,

која се такође рјешава методом Рунге-Кута другог реда. Програмски код у Qbasic-у је:

10 REM RJESAVANJE DIFERENCIJALNE JEDNACINE20 DEF FNF (Z) = Z30 DEF FNZ (T, F, Z) = -.1 * Z - .5 * F40 PRINT "POCETNA VRIJEDNOST T"50 INPUT T60 PRINT "POCETNA VRIJEDNOST F"70 INPUT F80 PRINT "POCETNA VRIJEDNOST Z"90 INPUT Z100 PRINT " PRIRASTAJ H"110 INPUT H120 PRINT "BROJ TACAKA N"130 INPUT N140 PRINT150 PRINT "METODA RUNGE KUTA"160 PRINT " T", " F", " Z"170 PRINT T, F, Z180 FOR I = 1 TO N190 GOSUB 500200 PRINT T, F, Z

7

210 NEXT I220 STOP500 K1 = H * FNF(Z)510 M1 = H * FNZ(T, Y, Z)520 K2 = H * FNF(Z + M1 / 2)530 M2 = H * FNZ(T + H / 2, F + K1 / 2, Z + M2 / 2)540 F = F + (K1 + K2) / 2550 Z = Z + (M1 + M2) / 2560 T = T + H570 RETURN580 END

Слика 1.5. Изглед екрана са програмом Seminar.bas у Qbasic-у

После покретања програма потребно је уњети почетне вриједности за Т, F и Z

POCETNA VRIJEDNOST T? 0POCETNA VRIJEDNOST F

8

? 0POCETNA VRIJEDNOST Z? 1.61914 PRIRASTAJ H? 2.5BROJ TACAKA N? 40

Слика 1.6.Прикаѕ екрана са рјешењима система једначина1.5

Скуп рјешења је:2.5 3.794859 -5.059819E-02 5 3.67627 -2.186788 7.5 -1.449013 -1.961517 10 -6.04632 .9729407 12.5 -3.76599 3.412387

9

15 4.231791 1.926974 17.5 8.748137 -2.57273 20 2.718302 -4.854834 22.5 -8.660214 -1.221763 25 -11.52372 5.072537 27.5 .3650365 6.276112 30 15.07467 -.6539817 32.5 13.5419 -8.633038 35 -6.691777 -7.186307 37.5 -23.53469 4.360983 40 -13.31363 13.24177 42.5 17.72177 6.728975 45 33.49281 -10.67919 47.5 8.463452 -18.5284 50 -34.96248 -3.562632 52.5 -43.3124 20.38167 55 4.457134 23.49595 57.5 59.52577 -4.227706 60 49.61708 -33.97316 62.5 -30.0075 -26.16478 65 -91.33119 19.12712 67.5 -46.50201 51.23161 70 73.57209 23.15084 72.5 127.8319 -43.99641 75 24.71528 -70.48836 77.5 -140.4918 -9.245352 80 -162.1606 81.54229 82.5 28.95414 87.59818 85 234.2624 -22.86487 87.5 180.6728 -133.2603 90 -131.656 -94.59944 92.5 -353.3734 82.49081 95 -160.0356 197.6224 97.5 303.1418 78.16617 100 486.3438 -180.0622

Графички приказ рјешења у програмском пакету Mathcad 14 изгледа као на слици 1.7.

10

Слика 1.7. Графички приказ рјешења система једначина 1.5 у Mathcad-у 14

Слика 1.8 Упоредни графички приказ рјешења система једначина 1.3. и 1.5 у Mathcad-у 14

Слика 1.9. Изглед прозора у у Mathcad-у 14

11