seminarski rad iz poslovne matematike

UNIVERZITET ZA POSLOVNE STUDIJEFAKULTET ZA POSLOVNE STUDIJE

Banja Luka

MATEMATIČKA LOGIKA, POJAM I VRSTE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA, KUBNA FUNKCIJA, RAST I

OPADANJE FUNKCIJE, METOD PARCIJALNE INTEGRACIJE

- S e m i n a r s k i r a d -

Predmet: Poslovna matematika

Student: Saša Obradović Mentor: prof.

Banja Luka,2007. godine

Seminarski Poslovna matematika Strana 2 od 16

SADRŽAJ

1. UVOD2. MATEMATIČKA LOGIKA3. POJAM I VRSTE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA4. KUBNA FUNKCIJA5. RAST I OPADANJE FUNKCIJE6. METOD PARCIJALNE INTEGRACIJE7. ZAKLJUČAK8. BIBLIOGRAFIJA-LITERATURA


1. UVOD

Matematika je nauka koja je nastala izučavanjem figura i računanjem sa brojevima. Ne postoji opšteprihvaćena definicija matematike. U današnje vrijeme matematika bi mogla da se opiše kao nauka koja proučava strukture koje sama stvara ili koje potiču iz drugih nauka (najčešće fizike, ali iz drugih prirodnih i društvenih nauka) i opisuje osobe tih struktura.

U ovom seminarskom radu obradit će se pet lekcijskih oblasti iz matematike, a to su: Matematička logika Pojam i vrste sistema linearnih jednačina Kubna funkcija Rast i opadanje funkcije Metod parcijalne integracije


2. MATEMATIČKA LOGIKA

Osnovno sredstvo sporazumjevanja mađu ljudima je jezik. Razlikujemo više vrsta jezika sporazumjevanja, kao što su npr. slikarski, muzički, govorni i književni jezik. Matematički jezik je najviši oblik naučnog jezika.

Za razliku od npr. slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomoću kojeg se izražavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorečenosti. Zadatak matematičke logike je proučavanje, istraživanje i stalna dogradnja takvog matematičkog jezika, tj. jezika simbola kao sredstva za razvijanje mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja i komuniciranja u matematici.

Najsličniji matematičkom jeziku su govorni i književni jezik. Osnovu ovih jezika čine glas, slovo, riječ, i rečenica. Nešto slično važi i za matematički jezik u kome osnovu čine matematički izrazi (riječi) ili termini. Najprostiji matematički izrazi su konstante i promjenjive.

Konstante su potpuno određeni matematički objekti, tj. veličine kojima se vrijednost ne mijenja, na primjer: -8, 0, 2, 2/3, 5, ..... itd.

Promjenjive su simboli (znaci i slova) koji mogu predstavljati bilo koji element iz nekog datog skupa. Dati skup se naziva oblast definisanosti (domen) promjenjive. Konstante kojima se zamjenjuju promjenjive nazivaju se vrijednosti promjenjivih.

Primjer: 1) x, z, y, a, b, c, .... su oznake za promjenjive2) 2) n je oznaka z aprirodan broj. Vrijednosti promjenjive n su konstante 1, 2, 3, ....

Složeni matematički izrazi se dobijaju kada se konstante i promjenjive povežu simbolima (oznakama) za računske operacije, kao što su npr: +, -, :, · . Pri formiranju složenih izraza dozvoljena je upotreba zagrada, s tim da izraz ima smisla.

Primjer: 1) Izrazi su: 8+7,3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y i slično2) nisu izrazi: 2+, x(y+), i lsično

Dakle izrazi su riječi ili sklopovi riječi koji ne čine rečenicu. Izrazi se sastoje od jedne promjenjive ili od jednog znaka konstante, ili od više promjenjivih ili znakova konstanti povezanih znacima operacija, uz upotrebu zagrada kao pomoćnih simbola.

Vrijednost matematilkog izraza je konstanta koja se dobije nakon što se u zrazu svi simboli promjenjive zamjene odgovarajućim vrijednostima (konstantama) i izvrše naznačene operacije.Matematičke formule su rečenice koje su ili (1) istinite ili (2) neistinite ili (3) takve da se za njih može nedvosmisleno i jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti. Za prve važe ovi principi:

1) principi isključuju tećeg, što znači da ne postoji izraz koji bi bio ni istinit ni neistinit2) princip kontradikcije, što znači da nema iskaza koji je i istiniti neistinit.

Primjer: 1) Iskazi su formule . 2+3=5, 4>1+2, 4<1+2, 2+3=7, X+X=2X, X+X=3X....i sl.2) Nisu iskazi formuleX+2=5, X+Y=Z i sl.


Matematičke formule koje sadrže promjenjive kojima vrijednost nije defninisana i za koje se zbog toga ne može jednostavno utvrditi vrijednost istinitosti koje su neodređeni izrazi i nazivaju se iskazane formule, iskazane funkcije, ili predikati. Predikati postaju iskazi kada se u njima na mjesto promjenjive uvrste konstante, tj. vrijednost promjenjivih. Za predikate sa jednom, dvije, tri... promjenjive se kaže da su dužine : jedan , dva tri.... itd.

Primjer: 1) Predikatu su ove formule: X+2=5, X>5, X+Y=Z, X+X=3X i slično

Svaki izraz se može obilježiti slovom. Ova slova se nazivaju iskazana slova, npr. p, q, r, s, a, b,...Ako je neki iskaz p tačan ili istinit, onda se vrijednost njegove istinitosti označava ovako: τ p=T ili τ p =1 (tau od p jednako te ili jedan)Ako je p netačan iskaz onda se njegova istinitost vrijednuje sa ili 0, tj piše se ili τ p= ili τ p=0U matematici se tačan izraz naziva stav, a iskaz je prošlost ako sadrži sam jenu informaciju.

Dva ili više prostornih iskaza povezanih znacima logičkih operacija tvre složeni iskaz. Osnovni među njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije koja se odnosi na jedan iskaz. U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih sloenih iskaza.

Konjukcija datih iskza p i q je iskaz u oznaci p^q (p i q), istinit onda i samo onda ako su oba data iskaza istinita. Tablica vrijednosti istinitosti za konjukciju za sve moguće varijante vrijednosti istinitosti iskaza p i q:

Disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pq ( p ili q), istinit onda i samo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su oba data iskaza neistinita. Ovako definisana funkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (uključiva) dsfunkcija, jer je istinita i onda kada su oba data iskaza istinita.Ekskluzivna (isključiva) disjunkcija datih iskaza p i q iskaz u oznaci p q (ili p ili q), istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit.

Tablica vrijednosti istinitosti za disjunkciju:

p q pq pqT T T T T T T T T

Pod izrazom „disjunkcija“ najčešće se podrazumjeva inkluzivna pa je u slučaju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti.Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pq, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz.

pqp^qTTTTT

^ T T T

ili kraće:


pq se može čitati ovako:p implicira q,iz p slijedi qp je dovoljan uslov az aqq je potreban uslov za pp je uzrok za q, a q je posljedica za pp je pretpostavka, a q je tvrdnja.

Tablica istinitosti za implikaiju: p q pqT T TT T T T

Ekvilencija datih iskaza je iskaz u oznaci pq istinit i samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrijednosti istinitosti. pq se može čitati ovako:p je ekvivalentno sa qiz p slijedi q, a iz q slijedi pako p onda q i obrnutop je dovoljan i potreban uslov z aq i obrnuti, itd.

Tablica vrijednosti istinitosti za ekvivalenciju:

p q pqT T TT T T

Ekvivalencija iskaza p i q se može definisati kao koljukcija implikacija pq i pq, tj. važi pq = (pq) ^ (qp)

p q pq qp (pq) ^ (qp) = pqT T T T TT T T T T T T

Negacija datog iskaza p je iskaz p (ne p), koji je neistinit kada je p istinit i obratno. Tablica vrijednosti istinitosti za negaciju:

p pT T

Vezivanjem prostih iskaza, označenih iskaznim slovima p, q, .... pomoću znakova ligičkih operacija dobili smo složene iskaze. Vezujući ove složene iskaze pomoću znakova logičkih operacija dobijamo još složenije. Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logičke formule.


Uobičajeno je da se iskazne formule definišu ovako:1) Iskazna slova su iskazne formule2) Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A^B), (AB),(Ab), (AB), A takođe

iskazane formule3) Iskazane formule mogu se obrazovati samo konačnim brojem primena 1), 2), uz

mogućnost korištenja konvencije o brisanju zagrada.

Vrijednost istinitosti iskazane formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskazanih promjenjivih u njoj.Iskazana formula koje je istinita za svaku moguću varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija. Akoje iskazana formula tautologija piše se: A=T ili A = T ili A-TDvije formule A i B su identički jednake ako i smao ako je formula AB tautologija.

Ako se kvantitativno želi izraziti za koje vrijednosti promjenjivih je istinita iskazana funkcija ili predikat, onda se mogu koristiti tzv. kvantifikatori ili kvantori (količnici).Ako iskaz počinje kvantifikacijom „za svako“ onda se riječ „za svako“ označavaju sa i nazivaju univerzalnim kvantifikator (kvantor).

Formula ( x A) P(x) znači : x iz skupa A predikat P(x) je tačan.

Ako iskaz počinje kvantifikacijom „za neko“ ili „postoji bar jedan“ onda se ove riječi označavaju sa i nazivaju egzistencijalni kvantifikator (kvantor).

Formula: ( x A) P(x) znači: predikat P(x) je tačan za bar jedno x iz skupa A

U vezi s kvantorima, pored ostalih, značajne su ove formule kao zakoni predikatskog (kvantifikatorskog) računa.

( x) P(x) (x) P(x); (x) P(x) ( x) P(x)

Kvantori, zajedno sa riječimai, ili, ako,.... onda, nije, predstavljaju potpun spisak osnovnih riječi pomoću kojih se u matematici polazeći od izvjesnih rečenica, grade nove složene rečenice.

3. POJAM I VRSTE SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA


Formulu F(xi) = G(xi), i=1, 2, ..., n nazivamo jednakost, pri čemu su x, oznake za nepoznate (promjenjive) veličine. Provjeru tačnosti jednakosti vršimo tako što umjesto x zamjenimo konstante, a zatim uporedimo brojne vrijednosti izraza F(xi) i G(xi) istinit a formula za bilo koji skup vrijednosti promjenjljivih xi (a to se može konstatovati i bez neposrednog uvrštavanja konstanti na mjesto promjenjivih), a onda se da F(xi)=G(xi) kaže da je identička ili bezuslovna jednakost, kraće rečeno identičnost (identitet).

Ovakve jednakosti se bez zamjene konstanti umjesto promjenjivih mogu svesti na oblik.

0 = 0 (npr. x - y² = (x – y) (x + y) x² - y² -x² + xy – xy + y² = 0 0 =0)

Ako jednakost F(xi) = G(xi) istinita samo za određene strukture vrijednosti nepoznatih (pa makar ih bilo i beskonačno mnogo) dakle ne za bilo koji odnos vrijednosti nepoznatih, onda za F(xi)=G(xi) odnosno za P(xi)-G(xi)=0 kažemo da je uslovna jednakost ili jenačina. Jednačina se može svesti na oblik 0=0 tek nakon uvrštenja vrijednosti nepoznatih za koje je istina zadovoljena.

Vrijednost promjenjivih za koje je tačna jednakost P(xi)=0 nazivamo riješenje. Ako je svako riješenje jednačine P(xi)=0 ujedno i riješenje jednačine Q(xi)=0, onda se za ove jednačine kaže da su ekvivalentne. Jednačina u kojoj se nepoznate pojavljuju samo u obliku stepena sa eksponentom 1. razdvojene znacima + i - naziva se linearna jednačina. Opšti oblik linearne jednačine sa n nepoznatih je:

A1X1 + A2X2 + ....AnXn + B = 0

A1, A2, ...An su oznake za koeficijete nepoznatih X1, X2, ... Xn; B je oznaka za slobodni član

Opštioblik jednačine sa jednom nepoznatom je:ax + b = 0

Riješenje ove linearne jednačine je: x0 = -b/a

S obzirom na vrijednosti a i b mogući su sledeći slučajevi:1) Ako je A≠0, jednačina ima jedno realno riješenje i to: X0 =0 ako je b=0, a X0=0, ako je

B≠02) Ako je A=0 i B=0 onda je X0=0/0, a to znači da je riješenje jednačine bilo koji realan

broj.3) Ako je A=0 i B≠0, onda je X0 = -B/0, pa zbog nemogućnosti dijeljenja broja koji nije

nula sa nulom zaključujemo da jednačin anema riješenja.

Opšti oblik linearne jednaćine sa dvije nepoznate je:ax + by + c = 0

Riješenje ove jednačine možemo dobiti tako što jednu od nepoznatih izrazimo u funkciju druge:y = (-a/b)x – c/b

x je u ovom slučaju tzv. slobodna promjenjiva kojoj po volji možemo odrediti vrijednost, a vrijednost y zavisi od odabrane vrijednosti za x. Dakle, jednačin ima bezbroj riješenja pa se kaže da je neodređena. Riješenje ovakve jednačine se mogu prikazati uopšteno parametarski preko nove nepoznate (parametara). Za posmatranu jednačinu će biti:

x = t y = (-a/b)t – c/bšto znači da se riješenja jednačine mogu prikazati kao uređei par:

(xi y) = 8t1 (-a/b) t – c/b)


Ako odredimo po volji vrijednost odredili smo i riješenje jednačine, a time bezbroj mogućnosti za to.

Za li nearnu jednačinu sa tri nepoznate:ax + by +cz +d = 0

Riješenja ćemo dobiti u vidu uređenje trojke.(x,y,z) = (t1t2(-a/c) t1 – (b/c) t2 – d/c)

Pa zaključujemo da je jednačina dvostruko neodređena, tj. da po volji određujemo vrijednosti za dvije promjenjive ili nepoznate. Dalje, zaključujemo da je jedna linearna jednačina sa n nepoznatih (n-1)-struko neodređena.

Osim kada se jednačine riješavaju kao funkcije, pri riješavanju jednačina sa više nepoznatih susrećemo se sa skupom (sistemom) jednačina koje sadrže iste nepoznate. Po pravilu je broj jednačina u sistemu jednak broju nepoznatih ali može biti i manji ili vići.

Opšti oblik sistema od m linearnih jednačina sa po n nepoznatih X1, X2, .... Xn može se prikazati ovako:

A11X1 + A12X2 + ... + A1nXn = B1A21X1 + A22X2 + ... + A2nXn = B2...

Am1X1 + Am2X2 -+ ... + AmXn = BmPri čemu su:

A1 oznake za koeficijent nepoznatih x1(i = 1,2, ..., m: j = 1,2, ...,n) B1 ozake za takozvane slobodne članove (kostante)

Ako je bar jedan od Bi različit od nule za sistem S se kaže da je nehomogen, a ako su svi B=0 onda se za sistem S kaže da je homogen. Sistemu S se može pridružiti odgovarajući matrični oblik:

A11 A12 ... A1n X1 B1A21 A22 ... A2n X2 + B2

...Am1 Am2 ... Amn Xn Bm

odnosno skraćeno: Ax = B

pri čemu je A oznaka za matricu sistema (matrica koficijenta sistema), X oznaka za vektor nepoznatihh, a B vektor slobodnih članova.

N-torka (X12, X20 ... Xn0) se naziva riješenje sistema ako se zamjenom članova ove n-torke umjesto xi (i=1,2,.... n) datim redom u date jednačine, svaka jednačina transformiše u identičnost, tj. u oblik u kome je brojna vrijednost lijeve jednaka vrijednosti desne strane jednačine. Riješenje sistema je prema tome presjek skupova riješenja svih njegovih jednačina.Neki sistem S može biti saglasan, tj. da ima riješenja ili nesaglasa, da nema riješenja. Ako je sistem saglasan može da ima jedno riješenje pa se kaže da je sistem određen, amože da ima više riješenja pa se kaže da je sistem neodređen. Ako ima više riješenja onda ih ima beskonačno mnogo.Riješavanje sistema jednačina podrazumjeva postupak određivanja riješenja koja zadovoljavaju sve jednačine sistema. Rezultat postupka u slučaju ne saglasnih sistema je zaključak da sistem nema riješenja.


Postoji više načina da se odredi da li i koliko riješenja ima posmatrani sistem. Za pouzdano utvrđivanje saglasnosti odnosno nesaglasnosti sistema linearnih jednačina možemo se poslužiti poznatim Kroneker-kapelijevim stavom koji u slobodnoj integraciji glasi ovako:

A11 A12 ... A1nA21 A22 ... A2n...Am1 Am2 ... Amn

A11 A12 ... A1n b1A21 A22 ... A2n b2...Am1 Am2 ... Amn bm

Proširenom matricom sistema, onda je sistem sagalsan sako i samo ako je r(A,b)= r(A), a nesaglasan ako je r(A,b)r(A) onda je r(A,b)-r(A)=1.

Poslijedice ovog sastava su:1. Ako je r(A,b)=r(A)=n, onda je sistem određen. Ovo se može desiti u slučajevima m=n i

mn. 2. Ako je r(A,b)=r(A)n, onda je sistem neodređen, bez obzira da li je mn, m=n ili mn.

Ako je n-r=k kaže se da je sistem k-stuko neodređen, tj. vrijednost n nepoznatih se iznalazi tako što se k nepoznatih tretiraju kao tzv. baznih nepoznatih vrijednosti odredjujemo preko vrijednosti slobodnih nepoznatih.

3. Ako je r(A,b)r(A), onda je sistem kontradiktora, bez obzira da li je mn, m=n ili mn, ali uz uslov da je m1

4. Homogen sistem tj. sistemu kome je b=0, nemože biti kontradiktoran, jer je r(A,b)=r(A). Homogeni sistem ima bar jedno riješenje, a to riješenje je n-torka (0,0,...,0). Riječ je o tzv. Trivijalnom riješenju čije postojanje uočavamo jednostavno bez riješavanja sistema. Ako je r(A)=n onda sistem osim trivijalnog,nema drugih riješenja, pa je sistem određen. Ako je r(A)n onda sistem osim trivijalnog ima i bezbroj drugih riješenja pa je sistem neodređen.

4. KUBNA FUNKCIJA

Ako matrica A = Nazovemo matricom sistema, a matricu

A,b=


Za formiranje kompletne predstave o nekoj funkciji potrebno je ispitati mnoge njene karakteristike i po mogućnosti nacrtati grafik ili dijagram.

Kubna funkcija je cijela racionalna funkcija oblika y=ax³ + bx² + cx +d. Razmotrimo specijalni slučaj ove funkcije. Domen ove funkcije je skup svih realnih brojeva, tj D1=R.

A B

Posmatranjem dijagrama ove funkcije i analizom njenog analitičkog oblika doazimo do sledećih zaključaka:

1. da je funkcija neparna, jer je f(-x)= -ax³ = -f(x)2. da je funkcija strogo monotono rastuća u D1 kada je a0, a strogo monotono opadajuća

kada je a03. da prolazi kroz koordinatni početak koje je i prvojna tačka i presječena tačka funkcije sa

objema osama4. da je funkcija neprekidna u cijeloj oblasti definisanosti5. da je u slučaju a0; y0 za x (- , 0) a da je a0; y0 za x =(- , 0) a y0 za

x(0+)

5. RASTENJE I OPADANJE FUNKCIJE

y=ax³a0

y=ax³a 0

X

X X

Y Y


Ako je funkcija y=f(x) derivabilna u intervalu (a,b) tada se prema znaku prvog izvoda može zaključiti da li data funkcija y=f(x) raste ili opada u tom intervalu.

Neka bude f´(x) 0 za svako x(a,b). Uzmimo dvije proizvoljne vrijednosti x1 i x2 iz intervala (a,b) ineka je x2 x1. Prema Lagranžovoj teoremi o srednjoj vrijednosti postoji tačka iz intervala (x1, x2) za koju je ispunjena jednakost.

f(x2) – f(x1) = f´() (x2 - x1)

Pošto je f´() 0, iz (10) slijedi da jef(x2) f(x1)

Funkcija je dakle rastuća u intervalu (x1, x2), odnosno u intervalu (a,b).Prema tome, funkcija monotono raste u intervalu (a,b) ako je f´(x)0, z asvako x iz tog intervala.

Slično se dokazuju i sledeći stavovi:Funkcija strogo monotono raste u intervalu (a,b) ako je f´(x)0, za svako x iz tog intervala.Funkcija monotono opada u intervalu (a,b) ako je f´(x)0, za svaki x iz tog intervala.Funkcija strogo monotono opada u intervalu (a,b) ako je f´(x)0, za svaki x iz tog intervala.

Važi i obrnuto , tj. ako je funkcija monotono rastuća u intervalu (a,b) tada je f´(x)0, za svaki x tog intervala.Ako je funkcija monotono opadajuća u intervalu (a,b) tada je f´(x)0, za svaki x iz tog intervala.

Neka bude funkcija y=f(x) monotono rastuća u intervalu (a,b) i neka su x i x+x dvije proizvoljne tačke iz tog intervala. Tada važi:

f(x+x) f(x), za x 0f(x+x) f(x), za x 0

Iz ovih nejednakosti se dobija da je: f(x+x) - f(x)

xNezavisno od znaka x.

S obzirom na osobinu granične vrijednosti da očuva relaciju slijedi da je

lim f(x+x) - f(x) x 0 x

Slično se dokazuje i druga tvrdja teoreme .Važno je istaći da strogo monotono rastuća funkcija ne mora da ima izvod strogo veći od nule, kao ni strogo monotono opadajuća funkcija ne mora da ima izvod strogo manji od nule. Objašnjenje za to je u činjenici da operacija granične vrijednosti ne očuva relaciju i .Na primjer, funkcija f(x) = x ³ je strogo monotono rastuća funkcija, a njen izvod u tački x = 0 jednak je nuli.

6. METOD PARCIJALNE INTEGRACIJE

0

= f´(x)0


Metod integralne integracije se najčešće primjenjuje kada je podintegralna funkcija u obliku proizvoda. Ovaj metod je posledica pravila diferencijacije proizvoda. Neka su u(x) i v(x) funkcije koje imaju neprekidne izvode onda je:

d(uv) = udv + vduili

udv = d(uv) - vdu

Integracijom pretodne relacije se dobija

∫udv = uv - ∫vdu

Jednačina predstavlja formulu za parcijalnu integraciju. Cilj ovog metoda je da se integral lijeve strane pogodnom podjelom podintegrala izraza na u i dv svede na prostiji za riješavanje.

Primjer:

1. ∫xeª dx u = x dv = eªdx du = dx v = eª ∫eªdx = xeª - ∫eªdx = xeª - ∫eªdx = xeª + C

2. ∫inxdxu = in x dv = dx du = v = x

∫inxdx = x in x - ∫dx = x in x - x + C

3. ∫eªcos xdxu = cos x dv = eªdxdu = - sin xdx v = eª

∫eªcos xdx = eªcos x + ∫eªsin xdx ∫eªsin xdx

u = sin x dv = dx du = cos xdx v = eª

eªsin xdx = eªsin x + ∫eªcos xdx

Zamjenom ralacije (2) u relaciju (1) dobija se

∫eªcos xdx = eªcos x + eªsin x - ∫eªcos xdxOdakle je

∫eªcos xdx ½ ∫eª(cos x + sin x) + COsim ovih metoda postoji niz postupaka za integraciju. Integralni račun svakako je teži od diferencijalnog računa. To važi i za mnoge druge inverzne operacije. Dok su diferencijali

dx x


elementarnih funkcija i sam elementarne funkcije, integral takvih jednostavnih funkcija kao što su:

1 sin x 1 log x x √x³ ∙ 1

Nema riješenja u obliku elementarnih funkcija ili njihovih kombinacija.

7. ZAKLJUČAK

U ovom seminarskom radu obrađeno je pet lekcijskih oblasti iz matematike, a to su:

∙ ∙


Matematička logika čiji je zadatak proučavanje, istraživanje i stalna dogranja matematičkog jezika, tj. jezika simbola kao sredstava za razvijanje mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja i komunikacija u matematici.

Pojam i vrste sistema linearnih jednačina - skup rešenja i njegova struktura. Kroneker-Kapelijeva teorema.

Kubna funkcija – racionalnost funkcije oblika y = ax³ + bx² + cx + d Rast i opadanje funkcije – funkcija sa jednim argumentom Metod parcijalne integracije koji se najčešće upotrebljava kada je podintegralna

funkcija u obliku proizvoda, i on je posledica pravila diferencijacije proizvoda.

8. BIBLIOGRAFIJA-LITERATURA

KOMPEDIUM izvora za predmet „Poslovna matematika“


http://sr.wikipedia.org

seminarski rad iz poslovne matematike

Documents