Univerzitet u Istonom Sarajevu

Seminarski rad iz Fizike Adnan Bali

Univerzitet u Istonom SarajevuSAOBRAAJNI FAKULTET

DOBOJ

Seminarski rad iz Fizike

Matematiko i Fiziko klatno

Amortizovane oscilacije

Prinudne oscilacije i rezonancicija

Profesor: Mr Zoran urguz Student: Bali Adnan 442/12

Smjer: Drumski i gradski saobraaj

Sadrzaj1. Uvod........................................................................................................................32. Matematiko klatno.............................................................................................. 42.1. Period oscilovanja...............................................................................................4

3. Fiziko klatno.........................................................................................................63.1.Diferencijalna jednaina oscilovanja...............................................................6

3.2.Period oscilovanja...............................................................................................63.3.Redukovana duina fizikog klatna..................................................................84. Amortizovane oscilacije........................................................................................95. Prinudne oscilacije..............................................................................................106. Rezonancija..........................................................................................................11

6.1. Pojava rezonancije............................................................................................11 6.2. Mehaniki rezonantni sustav..........................................................................12

6.3. Rezonantni sustav utega i opregu...................................................................12

6.4. Rezonantni susutav klatna..............................................................................13

7. Zakljuak..............................................................................................158. Literatura.............................................................................................161.UVOD

Klatnom nazivamo svako tijelo koje se nalazi u stabilnoj ravnotezi i koje se moze klatiti oko osovine izvan svoga tezista.

Obicno se uzima da je osovina oko koje se klatno klati postavljena horizontalno.

Osnovne zakone o klatnu mozemo izvesti koristeci pojam matematickog klatna.Matematiko klatno je tijelo znaajne mase i zanemarljivih dimenzija objeeno na lahak neistegljiv konac, koje osciluje u vertikalnoj ravni pod dejstvom gravitacije.

Fiziko klatnoje sistem koji obrazuje vrsto telo koje moe da osciluje pod uticajem Zemljine tee oko horizontalne ose koja ne prolazi kroz centar masetog tela.

Veoma specicna vrsta kretanja se desava kada na telo deluje sila propor-

cionalna otklonu tela od ravnoteznog polozaja. Ukoliko je ta sila uvek us-

merena ka ravnoteznom polozaju, uspostavlja se "napred-nazad" kretanje

oko tog polozaja. Takvo kretanje se naziva periodicno kretanje, harmoni-

jsko kretanje, osilovanje ili vibriranje.

Primeri takve vrste kretanja su: ljuljanje na ljuljaski, kretanje klatna sata, vibriranje zica zicanih muzickih instrumenata. Osim ovih primera iz svakodnevnog zivota, postoji niz drugih primera sistema koji se krecu periodicno. Na primer, molekuli u telu koje je u cvrstom agregatnom stanju osciluju oko cvora kristalne resetke (svog ravnoteznog stanja), elektromagnetni talasi (svetlost, radio talasi,u svima postoje oscilacije elektricnog i magnetnog polja), kolo naizmenicne struje (jacina struje i napon variraju sa vremenom na periodican nacin)

Vecina materijala ove glave ce biti posvecena prostom harmonijskom kre-

tanju, odnosno kretanju u kome je polozaj tela sinusna funkcija vremena,

sto je slucaj kada se telo krece bez gubitka mehanicke energije.2. Matematiko klatnoMatematiko klatno je tijelo znaajne mase i zanemarljivih dimenzija objeeno na lahak neistegljiv konac, koje osciluje u vertikalnoj ravni pod dejstvom gravitacije. Gravitaciona sila moe da se razloi u dvije komponente, od kojih jedna samo zatee konac , a druga, ubrzava tijelo. Aktivna komponenta ubrzava tijelo ka ravnotenom poloaju i predstavlja povratnu silu.Oscilovanje matematikog klatna moe se smatrati harmonijskim samo u sluaju malih amplituda(ugao otklona ne sme biti vei od pet stepeni). Tada se udaljenje od ravnotenog poloaja i povratna sila skoro sasvim poklapaju po pravcu, suprotnog su smjera i povratna sila je srazmjerna udaljenju.

2.1 Period oscilovanja

Prekotrigonometrijskihodnosa i uz pomo razlaganjasila, drugih matematikih veza, kao i prekozakona odranja energijemoe se izvesti obrazac zaperiod oscilovanjamatematikog klatna pri malim uglovimaamplitudnogotklona.Prvi nain izvoenja:Na slici je prikazano klatno otklonjeno od ravnotenog poloaja i na njoj su obeleene osnovne veliine koje opisuju kretanje klatna. Veza izmeu ovih fizikih veliina je opisanadiferencijalnom jednainom:

Daljim sreivanjem:

Za maleuglovevai sledeaaproksimacija:

odakle se daljim raunom i pojednostavljenjem dobija:

Ovaj izraz opisuje da je period oscilacije matematikog klatna srazmeran kvadratnom korenu duine klatna. Iz ovog izraza sledi da se poznavanjem duine klatna i perioda oscilovanja moe odrediti koliko iznosiubrzanje zemljine tee.

Drugi nain:Ovo je neto jednostavniji nain izvoenja prethodne formule.Silu mg moemorazloitina dve komponente:i. Da bi sistem harmonijski oscilovao potrebno je dejstvopovratne sileoblika -kx. Izjednaavanjem nalazimo:. Poto je za male uglove:

Sledi:

Odatle dobijamo da je:

Uporeivanjem sa formulom za period oscilovanja harmonijskogoscilatoradobijamo obrazac:

3. Fiziko klatno

Fiziko klatnoje sistem koji obrazuje vrsto telo koje moe da osciluje pod uticajem Zemljine tee oko horizontalne ose koja ne prolazi kroz centar masetog tela.

3.1 Diferencijalna jednaina oscilovanjaUkoliko se zanemariotpor otpor sredinemoe se pisati:.

Ukoliko se u prethodnu jednakost zameni , dobija se:

Iz dobijenog obrasca se vidi direktnaanalogijaizmeu oscilovanjamatematikog klatnai fizikog klatna preko veliinekoja se nazivaredukovana duina fizikog klatna.

3.2 Period oscilovanja

Pojednostavljen metod odreivanja pribline formule za period oscilovanja fizikog klatna se sastoji u primeni analogije saharmonijskim oscilovanjemi njenom daljem korienju uzakonima odranja.Neto sloeniji princip zasniva se na primeni prethodno datediferencijalnejednaine oscilovanja.

Najpre levu stranu treba pomnoiti sa, a desnu sa. Tako se dobija:

.Integralisanjem:

gde jekonstanta. Vrednost iste se nalazi iz:.Odakle se daljim sreivanjem dobija:

.Izdvajanjem promenljivih i integralisanjem:.Zamenomdobija se:.Zaperiod oscilovanjapronalazi se formula:.Ova formula se moe dalje pojednostaviti uz korienje izvesnih aposkrimacija na sledeu:3.3 Redukovana duina fizikog klatna

Zbog svoenja opte formule zaperiod oscilovanjakod fizikog klatna na formulu za odreivanje istog kodmatematikog klatnauvodi se veliina koja se nazivaredukovana duina fizikog klatna.

Definie se kao duina niti koju ima ono matematiko klatno koje ima isti period oscilovanja kao i datofiziko klatno.

U vidu formule se to pie u obliku, gde jepomenuta veliina, m-masa, l- rastojanjecentra maseod ose oscilovanja, I-moment inercijedatog tela za obrtnu osu.

Ovaj obrazac se dobija direktnim uporeivanjem formula za period oscilovanja fizikog i matematikog klatna.

4. Amortizovane ocilacije

Oscilacije su priguene, amortizovane, ako njene amplitude opadaju sa vremenom. Uzrok priguenja su sile otpora koje troe energiju sistema. Priroda priguenja je komplikovana, a najjednostavnije za sprovoenje analize kretanja je pretpostavka viskoznog otpora, otpor proporcionalan brzini kretanja. Kao i kod slobodnih nepriguenih oscilacija frekvencija zavisi od fizikih karakteristika sistema (masa i krutost), samo sada treba uzeti u obzir i priguenje, a amplituda i fazni ugao zavise od poetnih uslova. Amortizacioni lan amlitude je etDinamika ravnotea: Diferencijalna jednaina:

Relativno priguenje (damping ratio) Definisan je odnosom koeficijenta priguenja i krunom

frekvencijom slobodnih nepriguenih oscilacija. Bezdimenzionalna veliina koja je mera priguenja i predstavlja karakteristiku dinamikog sistema.

Vrednosti relativnog priguenja zavise od vrste konstrukcije i nivoa optereenja.

Kritino priguenje (critical damping) Priguenje koje je jednako krunoj frekvenciji slobodnih nepriguenih oscilacija.

5. Prinudne ocilacije

Kada spoljanja sila deluje na sistem za vreme oscilatornog kretanja, takve oscilacije nazivaju seprinudne oscilacije (forced vibrations). Pri prinudnim oscilacijama sistem tei da osciluje svojom sopstvenom frekvencijom, isto kao to tei da prati frekvenciju prinudne sile. U prisustvu priguenja (trenja), deo kretanja sa sopstvenom frekvencijom e nestati pod dejstvom sinusnog optereenja.Kao rezultat, sistem e oscilovati frekvencijom prinudne sile, bez obzira na poetne uslove i sopstvenu frekvenciju sistema. Tako dobijeno kretanje naziva se ustaljenim oscilacijama ili odgovor sistema.

Dinamika ravnotea:Diferencijalna jednaina:

Partikularno reenje se usvaja tako da bude sinhrono poremeajnoj sili, a pomou faznog ugla odreuje se kanjenje odgovora sistema na dejstvo poremeajne sile. Deo kretanja opisan optim integralom homogene diferencijalne jednaine brzo se amortizuje ve posle nekoliko ciklusa oscilacija, pa tako preostaje samo ustaljeno harmonijsko kretanje definisano partikularnim reenjem.

Dinamiki faktor (magnification factor) Odnos dinamikog i statikog ugiba usled dinamike poremeajne sile. 6. RezonancijaRezonancaje ufizicipojava koja nastaje kod sistema koji prisilnooscilujekada se pri odreenojfrekvencijipobude postie maksimalnuamplituduoscilovanja. Izraenost rezonance zavisi od priguenja, tj. omjeruenergijegubitaka i ukupne energije u sistemu.Pojave rezonance se uoavaju u mnogim podrujima fizike:mehanici,akustici,elektrotehnici,atomskojinuklearnoj fizici.Npr. u mehanici se rezonanca uoava kodvibriranjatijela oko njegove vlastite frekvencije vibracija. Mala i ponavljana pokretnasilaproizvodi vibracije veih amplituda. Kretanjeklatnaprimjer je pravilnog izmjenjivanja kretanja nazvanogoscilacija. Bilo da se klatno klati brzo ili sporo, prema i od, svaka puna oscijalcije treba isto vrijeme. Frekvencija klaenja zavisi samo odduineueta ili ice koja nosimasukoja se klati na klatnu.

6.1 Pojava rezonancijePojam rezonancije povezan je s porastom intenziteta titraja kada se uestalost vanjske sile koja uzrokuje titraje podudara s uestalou rezonantne frekvencije sustava. Tijekom tog procesa dolazi najee do naizmjenine pretvorbe jednog oblika energije u drugi, kao na primjerkinetikeupotencijalnuili energijeelektrinog poljau energijumagnetskog polja. Pojave vezane za rezonanciju mogu se, meutim, uoiti i u drugim fizikalnim sustavima

Prepoznatljiva je karakteristika rezonantnih sustava da, jednom pobueni, mogu samostalno titrati jo neko vrijeme koje ovisi o priguenju titrajnog sustava. U zamiljenom idealnom rezonantnom sustavu gdje nema priguenja, rezonantni sustav bi nastavio titrati zauvijek. 6.2 Mehaniki rezonantni sustaviZa razliku od elektrinih rezonantnih sustava koji se temelje na elektrinim veliinama, mehaniki rezonantni sustavi temelje se na mehanikim veliinama kao to su, na primjer,silaimasa. Premda se mogu razmatrati fizikalno razliiti mehaniki rezonantni sustavi, najpoznatiji predstavnici ovakvih sustava su sustav utega i opruge te sustav njihala.6.3 Rezonantni sustav utega i opruge

Ovjesimo li uteg o prikladno uvrenu oprugu, pomaknemo li zatim uteg iz ravnotenog poloaja i otpustimo ga, uteg e otpoeti periodiko gibanje tijekom kojeg e se naizmjence kinetika energija gibanja utega pretvarati u unutranju potencijalnu energiju opruge i obratno. Razmatanjem sila u rezonantnom sustavu utega i opruge dolazimo do slijedee jednadbe:

gdje jemmasa utega,kkonstanta opruge, axpomak utega. Rjeenje ove diferencijalne jednadbe u stacionarnom stanju je periodika funkcija oblika

koja se pojavljuje nakon probude, gdje je A amplituda titranja, a

kruna frekvencija. Titrajni krug e, dakle, neprigueno periodiki zatitrati krunom frekvencijom koja je odreena veliinom mase utega i konstantom opruge. U stvarnosti valja uraunati odreena priguenja koja se javljaju u obliku trenja zraka i energetskih gubitaka uslijed promjene oblika opruge te e stvarna rezonantna frekvencija biti neto nia, a titranje e biti eksponencijalno prigueno i ovisno o rezultantnom otporu trenja koji prouzrokuje energetske gubitke.

Ovakav rezonantni sustav u frekvencijskom podruju rezonancije ima i neke dodatne osobine. Pod utjecajem vanjske mehanike sile dolazi do odziva sustava u obliku gibanja, gdje je brzina gibanja utega mjera tog odziva. U stvarnosti je takva brzina ograniena rezultantnim energetskim gubicima u mehanikom titrajnom sustavu. Meutim, uz dovoljno male gubitke u titrajnom krugu brzina gibanja moe i uz malu veliinu sile poprimiti velike vrijednosti (slabo priguen titrajni sustav) to se vidi iz jednakosti

gdje suviFbrzina gibanja, odnosno mehanika sila kao funkcije krune frekvencije,Rmrezultantno mehaniko trenja i ostalih gubici,mmasa utaga ikkonstanta opruge.6.4 Rezonantni sustav klatnaOvjesimo li neku masu o nerastezljivu nit, pomaknemo li zatim masu iz ravnotenog poloaja i otpustimo je, ona e otpoeti periodiko gibanje tijekom kojeg e se naizmjence kinetika energija gibanja utega pretvarati u potencijalnu gravitacijsku energiju utega i obratno. Razmatanjem sila u rezonantnom sustavu njihala, a za male pomake mase u odnosu na duljinu niti, dolazimo do slijedee jednadbe:

gdje jemovjeena masa ,ggravitacijsko ubrzanje,lduljina niti, axpomak mase iz ravnotenog poloaja. Rjeenje ove diferencijalne jednadbe u stacionarnom stanju je periodika funkcija oblika

koja se pojavljuje nakon probude, gdje je A amplituda titranja, a

kruna frekvencija. Njihalo e, dakle, neprigueno periodiki zatitrati krunom frekvencijom koja je ovisna o gravitacijskom ubrzanju i duljini niti. U stvarnosti valja uraunati utjecaj trenja zraka te e stvarna rezonantna frekvencija biti neto nia, a titranje e biti eksponencijalno prigueno i ovisno o trenju do kojeg dolazi prilikom gibanja mase i niti kroz zrak.

7.ZAKLJUAK

Rezonancija se javlja kod prinudnih oscilacija to je efekat koji ispoljava sistem koji osciluje, kada je frekvencija prinudne sile gotovo jednaka sopstvenoj frekvenciji sistema koji osciluje. Sistem tada osciluje velikom amplitudom.Svako telo ili sistem tela koji moe da osciluje zove seoscilator.Ako se telo koje osciluje kree samo pod dejstvom restitucione sile i nema nikakvih drugih spoljnih uticaja, kae se da je oscilacija slobodna. Svaki oscilator imasopstvenu frekvencijukojom osciluje ako nije izloen dejstvu spoljnih sila. Bez stalnog dovoenja energije amplituda oscilovanja e biti sve manja i manja dok na kraju oscilovanje ne prestane, a amplituda smanjila do nule.Kada spoljanja sila deluje na sistem za vreme oscilatornog kretanja, takve oscilacije nazivaju se prinudne oscilacije . Pri prinudnim oscilacijama sistem tei da osciluje svojom sopstvenom frekvencijom, isto kao to tei da prati frekvenciju prinudne sileOscilacije su priguene, amortizovane, ako njene amplitude opadaju sa vremenom. Uzrok priguenja su sile otpora koje troe energiju sistema.

Matematiko klatno je tijelo znaajne mase i zanemarljivih dimenzija objeeno na lahak neistegljiv konac, koje osciluje u vertikalnoj ravni pod dejstvom gravitacije. Gravitaciona sila moe da se razloi u dvije komponente, od kojih jedna samo zatee konac , a druga, ubrzava tijelo.8.LITERATURA1. Fizika za III razred Gimnazije dr. Gojko V. Savanovi2. Fizika za III Esad Jakupovi i Midhat Kerenovi

3. http://www.grf.bg.ac.rs4. fizikabyseha.blogger.baPAGE 3