sequence and series 01
TRANSCRIPT
![Page 1: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/1.jpg)
บทที ่5 ล าดับและอนุกรม (Sequence & Series)
เร่ืองของล าดับและอนุกรมเป็นเร่ืองที่เกี่ยวข้องกับชุดเลขจ านวน รวมถึงการหาผลบวกของชุดจ านวนเหล่านั้น
5.1 ล าดับ ล าดับ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตจ านวนเต็มบวก หรือสับเซตของจ านวนเต็มบวก และมี
เรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง สัญลักษณ์ใช้แทนล าดับคือ {an} โดยที่ an หมายถึงเทอมที่ n หรือพจน์ที่ n ของล าดับ ดังตัวอย่างเช่น
n
1 =
...,n
1,...,
4
1,
3
1,
2
1,1
{n2} = {1, 4, 9, 16, …, n2, …}
{(–1)n} = {– 1, 1, – 1, 1, …, (– 1) n, …}
1n2
4n3 =
,...
1n2
4n3...,,
7
16,
5
13,
3
10,7
5.1.1 ล าดับลู่เข้าและล าดับลู่ออก (Convergent and Divergent Sequence)
จากล าดับที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้น อาจแบ่งล าดับออกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ๆ ด้วยกันตามลักษณะของการลู่เข้าหรือลู่ออกของล าดับ ซึ่งพิจารณาได้จาก
nnalim
นั่นคือ
ถ้า nn
alim
= k, k R จะกล่าวว่าล าดับ {an} เป็นล าดับลู่เข้าโดยลู่เข้าสู่ค่า k แต่
ถ้า nn
alim
= หาค่าไม่ได้ จะกล่าวว่า {an} เป็นล าดับลู่ออก
ตัวอย่าง 5.1 ล าดับ {an} ต่อไปนี้เป็นล าดับลู่เข้าหรือลู่ออก
1.
n
1 2. {n2}
3. {(–1)n} 4.
1n2
4n3
![Page 2: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/2.jpg)
57
วิธีท า 1. ล าดับ
n
1
พิจารณา nn
alim
= n
1lim
n = 0
ดังนั้น
n
1 เป็นล าดับลู่เข้า และลู่เข้าหาค่า 0
2. ล าดับ {n2} พิจารณา
nnalim
= 2
nnlim
= (หาค่าไม่ได้)
ดังนั้น {n2} เป็นล าดับลู่ออก
3. ล าดับ {(–1)n} พิจารณา
nnalim
= n
n)1(lim
= หาค่าไม่ได้
ดังนั้น {(–1)n} เป็นล าดับลู่ออก
4. ล าดับ
1n2
4n3
พิจารณา nn
alim
= 1n2
4n3lim
n
=
2
3
ดังนั้น
1n2
4n3 เป็นล าดับลู่เข้า และลู่เข้าหาค่า 2
3
5.1.2 ล าดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence)
นิยาม 5.1 ล าดับ {an} = {a1, a2, a3, …} จะเป็นล าดับเลขคณิต ถ้า an+1 – an = d, d R ทุกค่า n ที่เป็นจ านวนนับ ค่า d ของล าดับเลขคณิต เรียกว่าเป็นผลต่างร่วม (Common Difference) ทั้งนี้พจน์ที่ n ของ
ล าดับจะหาได้จาก an = a1 + (n – 1)d ตัวอย่างเช่น {3n – 1} = {2, 5, 8, 11, …, 3n – 1, …} เป็นล าดับเลขคณิตที่มีค่า d = 3
{2n + 1} = {3, 5, 7, 9, …, 2n + 1, …} เป็นล าดับเลขคณิตที่มีค่า d = 2
5.1.3 ล าดับเรขาคณิต (Geometric Sequence)
นิยาม 5.2 ล าดับ {an} = {a1, a2, a3,…} จะเป็นล าดับเรขาคณิต ถ้า n
1n
a
a = r, an 0 และ r R ทุกค่า n
ที่เป็นจ านวนนับ ค่า r ของล าดับเรขาคณิต เรียกว่าอัตราส่วนร่วม (Common Ratio) โดยที่พจน์ที่ n
ของล าดับ จะหาได้จาก an = a1rn - 1
![Page 3: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/3.jpg)
58
ตัวอย่างเช่น {2(3n - 1)} = {2, 6, 18, 54, …, 2(3n - 1),…} เป็นล าดับเรขาคณิตที่มีค่า r = 3
n3
1 =
...,3
1...,,
81
1,
27
1,
9
1,
3
1
n เป็นล าดับเรขาคณิตที่มีค่า r =
3
1
5.2 อนุกรม
อนุกรมเป็นการน าเอาสมาชิกของล าดับ {an} มาบวกกัน สญัลักษณ์ที่ใช้แทนอนุกรมคือ n
na
ดังตัวอย่าง
1n n
1 = 1 + 2
1 + 3
1 + 4
1 + … + n1 + …
1n1n2
1 = 1 + 2
1 + 4
1 + 8
1 + … + n2
1 + …
1n
1n)1( = 1 – 1 + 1 – 1 + … + (–1)n + 1 + …
1n )1n(n
1 = 21
1
+
32
1
+
43
1
+ … +
)1n(n
1
+ …
5.2.1 อนุกรมลู่เข้า และอนุกรมลู่ออก (Convergent and Divergent Series)
ส าหรับอนุกรม
1nn
a ถ้าให้
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3 …
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an
จะเรียกว่า {Sn} เป็นล าดับของผลบวกย่อยของอนุกรม
1nn
a
ถ้า nn
Slim
= k กล่าวได้ว่า {Sn} เป็นล าดับลู่เข้า และนั่นหมายถึง
1nn
a เป็นอนุกรมลู่เข้า
และมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ k
ถ้า nn
Slim
= หาค่าไม่ได้ กล่าวได้ว่า {Sn} เป็นล าดับลู่ออกหรือ
1nn
a เป็นอนุกรมลู่ออก
![Page 4: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/4.jpg)
59
ตัวอย่าง 5.2 ก าหนด
1n )2n)(1n(
1 = 32
1
+
43
1
+
54
1
+… จงพิจารณาว่า อนุกรมดังกล่าวเป็น
อนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
วิธีท า ให้ Sn = 32
1
+
43
1
+
54
1
+ … + )2n)(1n(
1
พิจารณา )2n)(1n(1
= 1n1
– 2n1
ดังนั้น Sn =
3
1
2
1 +
4
1
3
1 +
5
1
4
1 + … +
)2n(
1
)1n(
1
= 2
1 – 2n
1
nnSlim
=
2n
1
2
1lim
n =
2
1
ดังนั้น
1n )2n)(1n(
1 เป็นอนุกรมลู่เข้าที่มีผลบวกเท่ากับ 2
1
ตัวอย่าง 5.3 จงพิจารณาอนุกรม
1n 1n
nln เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
วิธีท า ให้ Sn = 21ln + 3
2ln + 43ln + … + 1n
nln
= (ln 1 – ln 2) + (ln 2 – ln 3) + (ln 3 – ln 4) + … + (ln n – ln (n + 1)) = ln 1 – ln (n + 1) = – ln (n + 1)
nnSlim
= )1nln(lim
n
= – (หาค่าไม่ได้)
ดังนั้น
1n 1n
nln เป็นอนุกรมลู่ออก
5.2.2 อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)
พิจารณาล าดับเรขาคณิต {an} = {a, ar, ar2, ar3, …, arn - 1, …}
ซึ่งจะได้อนุกรมเรขาคณิต
1nna =
1n
1nar
= a + ar + ar2 + ar3 + …
พิจารณา Sn = a + ar + ar2 +ar3 + …+ ar n - 1
rSn = ar + ar2 +ar3 + …+ ar n-1 + ar n
Sn – rSn = a – ar n - 1
![Page 5: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/5.jpg)
60
Sn(1 – r) = a(1 – r n - 1)
Sn = r1
)r1(alim
1n
n
, r 1
nn
Slim
= r1
)r1(alim
1n
n
=
r1
a
เมื่อ | r | < 1
= หาค่าไม่ได้ เมื่อ | r | > 1
ดังนั้น
1n
1nar จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ | r | < 1 โดยมีผลบวกของอนุกรมเท่ากับ r1
a
และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ | r | 1
ตัวอย่าง 5.4 จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
1.
1n
n
3
2 2.
1n
n
2
13
3.
1n
n
3
42
วิธีท า 1.
1n
n
3
2 = 32 +
2
3
2
+ 3
3
2
+ …
เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่พจน์แรก a = 3
2 และ r = 3
2
ดังนั้น
1n
n
3
2 เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ 3
21
3
2
= 2
2.
1n
n
2
13 =
2
13 +
2
2
13
+
3
2
13
+ …
เปน็อนุกรมเรขาคณิตที่พจน์แรก a =
2
13 และ r =
2
1
ดังนั้น
1n
n
2
13 เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกเท่ากับ
2
11
2
13
= -1
3. n
1n 3
42
=
3
42 +
2
3
42
+ 3
3
42
+ …
เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่พจน์แรก a =
3
42 และ r =
3
4
ดังนั้น n
1n 3
42
เป็นอนุกรมลู่ออก
![Page 6: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/6.jpg)
61
5.2.3 การทดสอบความเป็นอนุกรมลู่ออกโดยการใช้พจน์ท่ี n
ก าหนดอนุกรม
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้าโดยมีผลบวกเท่ากับ S ถ้า Sn เป็นผลบวก n เทอมของ
อนุกรมดังกล่าว จะได้ว่า an = Sn – Sn – 1 จะได้ว่า
nnalim
= )SS(lim
1nnn
= nn
Slim
– 1nn
Slim
= S – S = 0
ทฤษฎีบท 5.1 ถ้า
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว
nnalim
= 0
อย่างไรก็ตามการน าทฤษฎีบทดังกล่าวไปใช้นั้น ไม่สามารถน าไปใช้ได้โดยตรง แต่ถ้าพิจารณาถึงข้อความที่สมมูลกับทฤษฎีบทดังกล่าวคือ
ถ้า nn
alim
หาค่าไม่ได้ หรือหาค่าได้แต่ไม่เท่ากับ 0 แล้ว
1nna เป็นอนุกรมลู่ออก
ซึ่งสามารถน าไปใช้ในการทดสอบความเป็นอนุกรมลู่ออกได้ทันที ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่าง 5.5 จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้ว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือลู่ออก
1.
1n n2
4n3 2
1n
2
4n
n
3.
1n
n)1(
วิธีท า 1. พิจารณา
1n n2
4n3
จะเห็นได้ว่า n2
4n3lim
n
=
2
3 0
ดังนั้น
1n n2
4n3 เป็นอนุกรมลู่ออก
2. พิจารณา
1n
2
4n
n
จะเห็นได้ว่า 4n
nlim
2
n = (หาค่าไม่ได้)
ดังนั้น
1n
2
4n
n เป็นอนุกรมลู่ออก
![Page 7: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/7.jpg)
62
3. พิจารณา
1n
n)1(
เน่ืองจาก n
n)1(lim
= หาค่าไม่ได้
ดังนั้น
1n
n)1( เป็นอนุกรมลู่ออก
5.3 การทดสอบอนุกรมว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือลู่ออก
ส าหรับอนุกรม
1nna โดยที่ an 0 และ Sn เป็นผลบวก n เทอมของอนุกรมดังกล่าว ดังนั้น
{Sn} จะเป็นล าดับที่มีค่าไม่ลดลง (Non-Decreasing) ทั้งนี้เพราะ Sn = Sn-1 + an และ an 0 ดังนั้น S1
S2 S3 … Sn Sn + 1 … ดังนั้นถ้า {Sn} ถูกก าหนดขอบเขตจากทางด้านบน ก็จะได้ว่า {Sn} เป็น
ล าดับลู่เข้าและนั่นหมายถึงว่า
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า ด้วยเหตุนี้จึงได้มีการน าเอาแนวความคิดนี้มา
พัฒนาเป็นวิธีการที่จะใช้ในการทดสอบการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรม ซึ่งวิธีทดสอบที่ส าคัญๆ เช่น
1. การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล (Integral Test) 2. การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบ (Comparison Test) 3. การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบลิมิต (Limit Comparison Test) 4. การทดสอบโดยใช้อัตราส่วน (Ratio Test) 5. การทดสอบโดยใช้ราก (Root Test)
5.3.1 การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล
ทฤษฎีบท 5.2 ก าหนด {an} เป็นล าดับที่ a n 0 ถ้า a n = f (n) โดยที่ f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเน่ือง มีค่าเป็นบวก และเป็นฟังก์ชันที่มีค่าลดลง ส าหรับ n N (N เป็นจ านวนเต็มบวก) จะได้ว่า
ถ้า
N
dx)x(f หาค่าได้ จะได้ว่า
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า และ
ถ้า
N
dx)x(f หาค่าไม่ได้ จะได้ว่า
1nna เป็นอนุกรมลู่ออก
ตัวอย่าง 5.6 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้ลู่เข้าหรือลู่ออก
1.
1n2n
1
2.
1n n
1
![Page 8: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/8.jpg)
63
วิธีท า 1.
1n2n
1
ก าหนดให้ f (x) = 2x1
จะเห็นได้ว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเน่ือง มีค่าเป็นบวก และมีค่าลดลงเมื่อ x 1
พิจารณา
1
dx)x(f =
12
dxx
1 =
1x
1
=
x
1lim
x + 1 = 1
ดังนั้น
1n2n
1 เป็นอนุกรมลู่เข้า
2.
1n n
1
ให้ f (x) = x
1
f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง มีค่าเป็นบวกและมีค่าลดลง เมื่อ x 1
พิจารณา
1
dxx
1 =
1
2
1
dxx
=
1
2
1
x2
= x2limx
– 2
= หาค่าไม่ได้
ดังนั้น
1n n
1 เป็นอนุกรมลู่ออก
นิยาม 5.3 อนุกรมพี (P-Series) คืออนุกรมที่อยู่ในรูปของ
1npn
1 , p เป็นจ านวนจริง
ทฤษฎีบท 5.3 ส าหรับอนุกรมพี ใดๆ
ถ้า p > 1
1npn
1 เป็นอนุกรมลู่เข้า
ถ้า p 1
1npn
1 เป็นอนุกรมลู่ออก
อนุกรมพี สามารถพิสูจน์ได้โดย การทดสอบโดยใช้อินทิกรัล
![Page 9: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/9.jpg)
64
ตัวอย่างเช่น
1n nn
1 เป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 2
3 ดังนั้นเป็นอนุกรมลู่เข้า
1n n
1 เป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 1 ดังนั้นเป็นอนุกรมลู่ออก
5.3.2 การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบ
ทฤษฎีบท 5.4 ก าหนด
1nna เป็นอนุกรมโดยที่ an 0 จะได้ว่า
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้าถ้ามีอนุกรมลู่
เข้า
1nnb โดย an bn ทุกค่า n > N เมื่อ N เป็นจ านวนเต็ม และ
1nna เป็นอนุกรมลู่ออก ถ้ามีอนุกรม
ลู่ออก
1nnb โดยที่ bn 0 โดยที่ an bn ทุกค่า n > N เมื่อ N เป็นจ านวนเต็ม
ตัวอย่าง 5.7 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
1.
1n !n
1 2.
1n )1n(n;
1
วิธีท า 1.
1n !n
1 = !1
1 + !2
1 + !3
1 + !4
1 + !5
1 + …
= 1 + 2
1 + 6
1 + 24
1 + 120
1 + …
พิจารณา
1n !n
1 = 1 + 4
1 + 9
1 + 16
1 + 36
1 + …
จะเห็นได้ว่า !n1 < 2n
1 ทุกค่า n, n > 3
เน่ืองจาก
1n2n
1 เป็นอนุกรมลู่เข้า (เป็นอนุกรมพี ที่ p = 2)
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.4 จะได้ว่า
1n !n
1 เป็นอนุกรมลู่เข้า
2.
1n )1nln(
1 = 2ln1 + 3ln
1 + 4ln1 + 5ln
1 + …
พิจารณา
1n n
1 = 1 + 2
1 + 3
1 + 4
1 + …
จะเห็นได้ว่า nln1 > n
1 ทุกค่า n, n > 1
เน่ืองจาก
1n n
1 เป็นอนุกรมลู่ออก (เป็นอนุกรมพี ที่ p = 1)
ดังนัน้จากทฤษฎีบท 5.4 จะได้ว่า
1n )1nln(
1 เป็นอนุกรมลู่ออก
![Page 10: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/10.jpg)
65
5.3.3 การทดสอบโดยใช้การเปรียบเทียบลิมิต
ทฤษฎีบท 5.5 ก าหนด
1nna , an > 0 ทุกค่า n > N ถ้ามีอนุกรม
1nnb , b n > 0 ทุกค่า n > N และ
1. n
n
n b
alim
= c, c > 0 จะได้ว่า
ถ้า
1nnb เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า
ถ้า
1nnb เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว
1nna เป็นอนุกรมลู่ออก
2. n
n
n b
alim
= 0 จะได้ว่า
ถ้า
1nnb เป็นอนุกรมลู่เข้า แล้ว
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า
3. n
n
n b
alim
หาค่าไม่ได้ จะได้ว่า
ถ้า
1nnb เป็นอนุกรมลู่ออก แล้ว
1nna เป็นอนุกรมลู่ออก
ตัวอย่าง 5.8 จงพิจารณาอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
1.
1n2 3n2
1
2.
1n2 4n5
n3
วิธีท า 1.
1n2 3n2
1
จาก
1n2n
1 เป็นอนุกรมลู่เข้า (อนุกรมพี ที่ p = 2)
พิจารณา 2
2
n
n
13n2
1
lim
=
3n2
nlim
2
2
n =
2
1
เน่ืองจาก
1n2n
1 เป็นอนุกรมลู่เข้า
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.5 จะได้ว่า
1n2 3n2
1 เป็นอนุกรมลู่เข้า
![Page 11: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/11.jpg)
66
2.
1n2 4n5
n3
จาก
1n n
1 เป็นอนุกรมลู่ออก (อนุกรมพี ที่ p = 1)
พิจารณา n
14n5
n3
lim2
n
=
4n5
n3lim
2
2
n =
5
3
เน่ืองจาก
1n n
1 เป็นอนุกรมลู่ออก
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.5 จะได้ว่า
1n2 4n5
n3 เป็นอนุกรมลู่ออก
5.3.4 การทดสอบโดยใช้แบบอัตราส่วน
ทฤษฎีบท 5.6 ก าหนด
1nna เป็นอนุกรมที่ a n 0 และ
n
1n
n a
alim
= r
ถ้า r < 1 แล้ว
1nna จะเป็นอนุกรมลู่เข้า
ถ้า r > 1 หรือ r หาค่าไม่ได้ แล้ว
1nna เป็นอนุกรมลู่ออก
ถ้า r = 1 แล้วยังสรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 5.9 จงพิจารณาว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก
1.
1nn
2
2
n 2.
1n
n
!n
3
3.
1n !n!n
)!n2(
วิธีท า 1.
1nn
2
2
n
พิจารณา n
1n
n a
alim
=
n
2
1n
2
n
2
n
2
)1n(
lim
= 2
2
n n2
)1n(lim
=
2
1
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.6 จะได้ว่า
1nn
2
2
n เป็นอนุกรมลู่เข้า
![Page 12: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/12.jpg)
67
2.
1n
n
!n
3
พิจารณา n
1n
n a
alim
=
!n
3
)!1n(
3
limn
1n
n
= 1n
3lim
n = 0
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.6 จะได้ว่า
1n
n
!n
3 เป็นอนุกรมลู่เข้า
3.
1n !n!n
)!n2(
พิจารณา n
1n
n a
alim
=
!n!n
)!n2(
)!1n()!1n(
)!2n2(
limn
= )1n)(1n(
)1n2)(2n2(lim
n
= 4
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.6 จะได้ว่า
1n !n!n
)!n2( เป็นอนุกรมลู่ออก
5.3.5 การทดสอบโดยใช้รากท่ี n
ทฤษฎีบท 5.7 ก าหนด
1nna เป็นอนุกรมโดยที่ a n 0 และ n
nnalim
= r
ถ้า r < 1 แล้ว
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า
ถ้า r > 1 หรือ r = หาค่าไม่ได้ แล้ว
1nna เป็นอนุกรมลู่ออก
ถ้า r = 1 แล้วยังสรุปไม่ได้
ตัวอย่าง 5.10 จงพิจารณาว่า อนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก
1.
1nn
n
)n(ln
4
2.
1nn
n
n
)!n(
![Page 13: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/13.jpg)
68
วิธีท า 1.
1nn
n
)n(ln
4
พิจารณา nnn
alim
= n
n
n
n )n(ln
4lim
=
nln
4lim
n = 0
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.7 จะได้ว่า
1nn
n
)n(ln
4 เป็นอนุกรมลู่เข้า
2.
1nn
n
n
)!n(
พิจารณา nnn
alim
= n
n
n
n n
)!n(lim
= n
!nlim
n
= หาค่าไม่ได้
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.7 จะได้ว่า
1nn
n
n
)!n( เป็นอนุกรมลู่ออก
5.4 อนุกรมสลับ (Alternating Series)
นิยาม 5.4 อนุกรมสลับ คืออนุกรมที่แต่ละเทอมในอนุกรม มีเคร่ืองหมายบวกและลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น
1n
n
n
1)1( = –1 +
2
1 – 3
1 + 4
1 – 5
1 + … + (–1)nn1 + …
1nn
1n
2
1n2)1( =
2
1 –4
3 + 8
5 – 16
7 + 32
9 + … (–1)n + 1n
21n2 + …
ทฤษฎีบท 5.8 ก าหนดอนุกรมสลับ
1n
nn a)1( ถ้า an 0 และ an an + 1 ส าหรับทุกค่า n N โดยที่
N เป็นจ านวนบวก และ nn
alim
= 0 แล้ว
1n
nn a)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า
ตัวอย่าง 5.11 จงพิจารณาว่า อนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก
1.
1n
n
n
1)1( 2.
1n
1n
n3
1n2)1(
วิธีท า 1.
1n
n
n
1)1( เป็นอนุกรมสลับที่มี an = n
1
จะเห็นได้ว่า n1 0 ทุกค่า n
![Page 14: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/14.jpg)
69
และ n1 1n
1
ทุกค่า n 1
และ n
1lim
n = 0
ดังนั้น
1n
n
n
1)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า
2.
1n
1n
n3
1n2)1( เป็นอนุกรมสลับที่มี an = n3
1n2
จะเห็นได้ว่า n31n2 0 ทุกค่า n
จาก
1n
1n
n3
1n2)1( = 1 –
6
5 +9
7 – 12
9 +15
11 + … + … (–1)n + 1n3
1n2 + …
เห็นได้ว่า an an + 1 ทุกค่า n 1
แต่ n3
1n2lim
n
=
3
2
ดังนั้น
1n
1n
n3
1n2)1( เป็นอนุกรมลู่ออก
5.4.1 การลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ หรืออย่างมีเงื่อนไข (Absolute or Conditional Convergence)
นิยาม 5.5 อนุกรม
1nna จะถูกเรียกว่าเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ ถ้าอนุกรม
1nn |a| เป็น
อนุกรมลู่เข้า
นิยาม 5.6 อนุกรม
1nna จะถูกเรียกว่าเป็นอนุกรมที่ลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข ถ้าอนุกรม
1nna เป็น
อนุกรมลู่เข้า แต่อนุกรม
1nn |a| เป็นอนุกรมลู่ออก
ตัวอย่าง 5.12 จงพิจารณาว่าอนกุรมต่อไปนี้เป็นอนกุรมลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ หรืออย่างมีเงื่อนไข หรือเป็นอนุกรมลู่ออก
1.
1n
n
n
1)1( 2.
1n
n1n
3
2)1(
3.
1n
n3)1(
![Page 15: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/15.jpg)
70
วิธีท า 1.
1n
n
n
1)1( เป็นอนุกรมสลับโดยที่ an = n
1
เน่ืองจาก n1 > 0 และ n
1 1n1
ทุกค่า n ที่ n เป็นจ านวนเต็มบวก
และ n
1lim
n = 0 ดังนั้น
1n
n
n
1)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า
พิจารณา
1n
n |n
1)1(| =
1n n
1 ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก (เป็นอนุกรมพี ที่ P = 1)
ดังนั้น
1n
n
n
1)1( เป็นอนุกรมลู่เข้าอย่างมีเงื่อนไข
2.
1n
n1n
3
2)1( เป็นอนุกรมสลับโดยที่ an =
n
3
2
เน่ืองจาก n
3
2
> 0 และ n
3
2
1n
3
2
ทุกค่า n ที่ n เป็นจ านวนเต็มบวก
และ n
n 3
2lim
= 0 ดังนั้น
1n
n1n
3
2)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า
พิจารณา
1n
n1n |
3
2)1(| =
1n
n
3
2 ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า เพราะ
เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r = 3
2
ดังนั้น
1n
n1n
3
2)1( เป็นอนุกรมลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์
3.
1n
n3)1( เป็นอนุกรมสลับโดยที่ an = 3
จะเห็นได้ว่า an = 3 > 0 และ an an + 1 ทุกค่า n เป็นจ านวนนับ
แต่ 033limn
ดังนั้น
1n
n3)1( เป็นอนุกรมลู่ออก
ทฤษฎีบท 5.9 ถ้า
1nn |a| เป็นอนุกรมลู่เข้าแล้ว
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า
ตัวอย่างเช่น
1n
3n
n
1)1(
เมื่อพิจารณา |n
1)1(|
1n3
n
=
1n3n
1 ซึ่งเป็นอนุกรมลู่เข้า (เพราะเป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 3)
ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.9 จะได้ว่า
1n
3n
n
1)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า
![Page 16: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/16.jpg)
71
5.5 อนุกรมก าลัง (Power Series)
นิยาม 5.7 อนุกรมก าลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = 0 เป็นอนุกรมที่เขียนได้ในรูปของ
0n
nnxc = c0 + c1x + c2x
2 + … + cnxn + …
นิยาม 5.8 อนุกรมก าลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = a เป็นอนุกรมที่เขียนได้ในรูปของ
0n
nn )ax(c = c0 + c1(x – a) + c2(x – a)2 + … + cn(x – a)n + …
ตัวอย่างเช่น
0n
n
!n
x เป็นอนุกรมก าลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = 0 โดยที่ Cn = !n1
0n2
n
)1n(
)3x( เป็นอนุกรมก าลังที่มีจุดศูนย์กลางที่ x = 3 โดยที่ Cn = 2)1n(
1
5.5.1 รัศมีการลู่เข้าและช่วงการลู่เข้า (Radius and Interval of Convergence)
ส าหรับอนุกรมก าลัง
0n
nn )ax(c จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่า ถ้า x = a อนุกรมดังกล่าวจะเป็น
อนุกรมลู่เข้า อย่างไรก็ตามเราอาจสนใจค่าจ านวนจริง x ที่มีค่าอ่ืนๆอีก ที่ท าให้อนุกรมก าลังดังกล่าวเป็นอนุกรมลู่เข้า
นิยาม 5.9 ส าหรับอนุกรมก าลัง
0n
nn )ax(c ถ้า R เป็นจ านวนเต็มบวกที่ท าให้
0n
nn )ax(c เป็น
อนกุรมลู่เข้าเมื่อ |x – a| < R และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ |x – a| > R แล้วจะเรียก R ว่าเป็นรัศมีการลู่เข้า
หมายเหต ุ 1. ส าหรับอนุกรมก าลัง
0n
nn )ax(c ที่มีรัศมีการลู่เข้าเท่ากับ R นั้น อนุกรมดังกล่าวอาจจะ
เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้ที่จุด x = a – R และจุด x = a + R 2. ส าหรับอนุกรมก าลังที่ลู่เข้าทุกค่าจ านวนจริง x นั้น สามารถกล่าวได้ว่ารัศมีการลู่เข้ามีค่า
ไม่จ ากัดหรือ R = 3. ส าหรับอนุกรมก าลังที่ลู่เข้าที่ทุกค่าจ านวนจริง x = a เพียงค่าเดียวนั้น สามารถกล่าวได้ว่า
รัศมีการลู่เข้ามีค่าเท่ากับศูนย์หรือ R = 0
นิยาม 5.10 ส าหรับอนุกรมก าลัง
0n
nn )ax(c เซตของจ านวนจริง x ที่ท าให้อนุกรมดังกล่าวเป็น
อนุกรมลู่เข้า เรียกว่าเป็นช่วงการลู่เข้า
![Page 17: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/17.jpg)
72
นั่นคือส าหรับอนุกรมก าลังที่มีรัศมีการลู่เข้าเท่ากับ R จะได้ว่าช่วงการลู่เข้าอาจเป็นช่วง 1. (a – R, a + R) หรือ 2. [a – R, a + R) หรือ 3. (a – R, a + R] หรือ 4. [a – R, a + R] อย่างใดอย่างหนึ่ง ทั้งนี้ขึ้นกับว่า อนุกรมลู่เข้าที่จุด x = a – R, หรือ a + R หรือไม่
ตัวอย่าง 5.13 จงหารัศมีการลู่เข้าและช่วงการลู่เข้าของอนุกรมก าลังต่อไปนี้
1.
1n3
nn
n
)3x()1( 2.
0n
n
!n
x
3.
0n
nn )2x(!n)1( 4.
0nn
nn
4
)1x()1(
วิธีท า 1.
1n3
nn
n
)3x()1(
พิจารณา n
1n
n a
alim
=
3
nn
3
1n1n
n
n
)3x()1(
1n
)3x()1(
lim
= 3
n 1n
n)3x(lim
= | x – 3 |
จากทฤษฎีการทดสอบอนุกรมโดยใช้อัตราส่วนจะได้
0n3
nn
n
)3x()1( เป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้า |
x – 3 | < 1 นั่นคือ รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ 1 จาก | x – 3 | < 1 จะได้ว่า –1 < x – 3 < 1 หรือ 2 < x < 4
พิจารณาอนุกรมก าลังที่ x = 2 จะได ้
0n3
nn
n
)3x()1( =
0n3
nn
n
)32()1(
=
0n3
n2
n
)1(
=
0n3 n
1 ซึ่งเป็นอนุกรมลู่ออก (เป็นอนุกรมพี โดยที่ p = 3
1 )
![Page 18: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/18.jpg)
73
พิจารณาอนุกรมก าลังที่ x = 4 จะได ้
1n3
nn
n
)3x()1( =
0n3
nn
n
)34()1(
=
0n3
n
n
)1(
1n3
n
n
)1( เป็นอนุกรมสลับที่มี an = 3 n1
เน่ืองจาก 3 n1 > 0 และ 3 n
1 3 1n
1
ทุกค่า n ที่เป็นจ านวนนับ
และ 3n n
1lim
= 0 ดังนั้น
1n3
n
n
)1( เป็นอนุกรมลู่เข้า
ดังนั้นช่วงของการลู่เข้าของอนุกรม
1n3
nn
n
)3x()1( คือ (2, 4]
2.
0n
n
!n
x
พิจารณา n
1n
n a
alim
=
!n
x
)!1n(
x
limn
1n
n
= 0 ทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง
ดังนั้นจากทฤษฎีบทการทดสอบอนุกรมโดยใช้อัตราส่วน จะไดว่้า
0n
n
!n
x เป็นอนุกรมลู่
เข้า ส าหรับทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง นั่นคือ รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ และช่วงของการลู่เข้า คือ (– , )
3.
0n
nn )2x(!n)1(
พิจารณา n
1n
n a
alim
=
nn
1n1n
n )2x(!n)1(
))2x()!1n()1(lim
= 2x)1n(limn
=
2xเม่ือ
2xเม่ือ0
ดังนั้นจากทฤษฎีบทการทดสอบอนุกรมโดยใช้อัตราส่วน จะได้ว่า
0n
nn )2x(!n)1( เป็น
อนุกรมลู่เข้าเมื่อ x = 0 ดังนั้น รัศมีการลู่เข้าเท่ากับ 0 และช่วงของการลู่เข้า = {0}
![Page 19: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/19.jpg)
74
4.
0nn
nn
4
)1x()1(
พิจารณา nn
n|a|lim
= n
n
nn
n|
4
)1x()1(|lim
= 4
1xlim
n
= 4
|1x|
จากทฤษฎีบทการทดสอบอนุกรมโดยใช้รากที่ n จะได้ว่า
0nn
nn
4
)1x()1( จะเป็น
อนุกรมลู่เข้า ถ้า 4|1x| < 1 นั่นคือ | x – 1| < 4
ดังนั้น รัศมีการลู่เข้า = 4
จาก | x – 1| < 4 จะได้ว่า – 4 < x – 1 < 4 หรือ – 3 < x < 5 พิจารณาที่ x = – 3
0nn
nn
4
)1x()1( =
0nn
nn
4
)13()1(
=
0nn
nn
4
)4()1(
=
0n
n2)1(
=
0n
1
0n
1 เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะ nn
alim
= 011limn
พิจารณาที่ x = 5
0nn
nn
4
)1x()1( =
0nn
nn
4
)15()1(
=
0n
n
nn
4
4)1(
=
0n
n)1(
0n
n)1( เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะ n
n)1(lim
= หาค่าไม่ได้
ดังนั้น
0nn
nn
4
)1x()1( มีรัศมีการลู่เข้า = 4 และช่วงการลู่เข้า = (– 3, 5)
![Page 20: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/20.jpg)
75
5.5.2 อนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor Series) และอนุกรมแมคลอริน (Maclaurin Series) นิยาม 5.11 ก าหนด f เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับ ส าหรับทุกช่วงที่รวมจุด a จะ
กล่าวว่า
0n
n)n(
)ax(!n
)a(f = f (a) + f (a) (x – a) + 2''
)ax(!2
)a(f + … + n
)n(
)ax(!n
)a(f + …
เป็นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f ที่จุด a และ f (x) =
0n
n)n(
)ax(!n
)a(f
นิยาม 5.12 อนุกรมแมคลอริน ของฟังก์ชัน f คืออนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f ที่จุด 0 นั่นคืออนุกรมแมคลอรินของ f คือ
0n
n)n(
x!n
)0(f = f (0) + f /(0) x + !2
)0(f ''
+ … + n)n(
x!n
)0(f + …
และ f (x) =
0n
n)n(
x!n
)0(f
ตัวอย่าง 5.14 จงหาอนุกรมเทย์เลอร์ของ f (x) = x1 ที่จุด 3
วิธีท า f (x) = x1 , f (3) =
3
1
f (x) = – 2x1
, f (3) = –23
1
f (x) = 3x2 , f (3) =
33
2
f (x) = – 4x6 , f (3) = –
43
6
…
f n(x) = 1n
n
x
!n)1(
, f n (3) =
1nn
3
!n)1(
เพราะฉะนั้นอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน x1 ที่จุด 3 คือ
0n
n)n(
)3x(!n
)a(f =
0n
n1n
n
)3x(3!n
!n)1(
=
0n1n
nn
3
)3x()1(
นั่นคือ x1 =
3
1 – 23
)3x( + 3
2
3
)3x( – ... + 1n
nn
3
)3x()1(
![Page 21: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/21.jpg)
76
ตัวอย่าง 5.15 จงหาอนุกรมแมคลอริน ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1. f (x) = sin x
2. f (x) = ex
วิธีท า 1. f (x) = sin x, f (0) = 0 f (x) = cos x, f(0) = 1 f (x) = – sin x, f (0) = 0 f (x) = –cos x, f (0) = –1
…
และจะได้ว่า f (2n)(x) = (–1) nsin x, f (2n)(0) = 0
f (2n + 1)(x) = (–1) ncos x, f (2n + 1)(0) = (–1) n
ดังนั้นอนุกรมแมคลอรินของ sin x คือ
0n
n)n(
x!n
)0(f = x – !3x3
+ !5x5
– … +)!1n2(
x)1( 1n2n
+ …
หรือ sin x = x – !3x3
+ !5x5
– … –)!1n2(
x)1( 1n2n
– …
2. f (x) = e x
f (x) = e x, f (0) = 1
f (x) = e x, f (0) = 1
f (x) = e x, f (0) = 1 …
f (n)(x) = e x, f (n)(0) = 1
ดังนั้นอนุกรมแมคลอรินของ e x คือ
0n
n)n(
x!n
)0(f =
0n
nx!n
1
= 1 + x + !2
x2+
!3
x3
+… + !n
xn + …
นั่นคือ e x = 1 + x + !2
x2+
!3
x3
+ … + !n
xn + …
![Page 22: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/22.jpg)
77
แบบฝึกหัด 1. จงพิจารณาว่า ล าดับ {an} ต่อไปนี้เป็นล าดับลู่เข้าหรือลู่ออก
1.1
n
n)1( 1.2 {4}
1.3
n3
3n4 1.4
n7
5n2 2
1.5
7n4
n
3
2
1.6
n
3
3
n
1.7
n5
n4 1.8
nnn2
2. จงหาผลบวก n เทอมของอนุกรมต่อไปนี้ แล้วพิจารณาว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออก
2.1 ln3
2 + ln4
3 + ln5
4 + … + ln2n
)1n(
+ …
2.2 53
1
+
75
1
+
97
1
+ … +
)3n2)(1n2(
1
+ …
3. จงพิจารณาว่าอนุกรม
1nna ต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรือออก
3.1
1n n5
2n3 3.2
1n2 4n5
3n4
3.3
1n
2
1n4
7n5 3.4
1n
2
1n4
1n4n
3.5
1nn2
n3 3.6
1n )!1n(
n4
3.7
1n nln
n 3.8
1nn2
nln
4. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ ว่าถูกหรือผิด ถ้าถูกให้พิสูจน์หรือให้เหตุผลประกอบ ถ้าผิดให้ยกตัวอย่างขัดแย้ง
4.1 ถ้าล าดับ {an} เป็นล าดับลู่เข้า แล้วอนุกรม
1nna เป็นอนุกรมลู่เข้า
4.2 ถ้าล าดับ {an} เป็นล าดับลู่ออก แล้วอนุกรม
1nna เป็นอนุกรมลู่ออก
![Page 23: Sequence and series 01](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022052619/5566c25bd8b42aac288b4cdc/html5/thumbnails/23.jpg)
78
5. จงพิจารณาอนุกรมสลับต่อไปนี้ เป็นอนุกรมลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ หรืออย่างมีเงื่อนไข หรือลู่ออก
5.1
1n
7n)1( 5.2
1n 1n
41n)1(
5.3
1n2
2n
n4
7n3)1( 5.4
1n
1n
)!1n(
1)1(
6. จงหารัศมีการลู่เข้า และช่วงของการลู่เข้าของอนุกรมก าลังต่อไปนี้
6.1
1nn4
nx 6.2
1n n
n)3x(
6.3
1n2n
n)1x(n)1( 6.4
1n !n
n)1x(1n)1(
7. จงหาอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน cosx ที่จุด x =
8. จงหาอนุกรมแมคลอรินของฟังก์ชัน cosx