sequence and series 03

แคลคูลัส 2

บทท่ี 8 ลําดบัและอนุกรม หนา 165

บทที่ 8

ลําดับและอนุกรม

1. ลําดับ (Sequence)

1.1 ความหมายของลําดับ บทนิยาม 8.1.1 ลําดับ (Sequence) คือ ฟงกชันท่ีมีโดเมนเปนสับเซตของจํานวนเตม็บวก และ มีเรนจเปนเซตของจํานวนจริง โดย

ถาโดเมนเทากับ {1, 2, 3, …, n} จะเรียกลําดับนัน้วา ลําดับจํากัด

ถาโดเมนเทากับ {1, 2, 3, …} จะเรียกลําดับนัน้วา ลําดับอนันต ถา f เปนลําดบั จะเรียก ( )f n วา พจนท่ี n ของลําดับ และนิยมเขียนแทนลําดับ f ดวยรูปแบบอยางใดอยางหนึ่งตอไปนี ้รูปแบบท่ี 1 เขียนแทนลําดบั f เปน (1), (2), (3), ..., ( ), ...f f f f n

รูปแบบท่ี 2 เขียนแทนลําดบั f เปน 1 2 3, , , ..., , ...na a a a โดยท่ี 1 2(1), (2), ..., ( )na f a f a f n

รูปแบบท่ี 3 เขียนแทนลําดบั f เปน { }na ซึ่ง na คือพจนท่ี n หรือพจนท่ัวไปของลําดับ { }na

ตัวอยาง 8.1.1 จงหาพจนท่ี n ของลําดับตอไปนี ้

1. 1, 4, 9, 16 2. 3, 5, 7, 9, … 3. 1 1 1 1

, , , , ...3 4 5 6

วิธีทํา 1. จากลําดับ 1, 4, 9, 16, …

เขียนไดเปน 2 2 3 21 , 2 , 3 , 4 , ...

ดังนั้น พจนท่ี n คือ 2n

2. จากลําดับ 3, 5, 7, 9, …

เขียนไดเปน 2(1) 1, 2(2) 1, 2(3) 1, 2(4) 1, ...

ดังนั้น พจนท่ี n คือ 2 1n

3. จากลําดับ 1 1 1 1, , , , ...

3 4 5 6

เขียนไดเปน 1 1 1 1, , , , ...

1 2 2 2 3 2 4 2

ดังนั้น พจนท่ี n คือ 1

2n



ตัวอยาง 8.1.2 จงเขียน 4 พจนแรกของลําดับตอไปนี ้

1. 22 n 2. 1

1

n

n

3. 11

n n

n

วิธีทํา 1. จาก 22 n จะไดวา พจนท่ี 1 = 2

2 1 = 3 พจนท่ี 2 = 22 2 = 6

พจนท่ี 3 = 22 3 = 11 พจนท่ี 4 = 2

2 4 = 18

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับ 22 n คือ 3, 6, 11, 18

2. จาก 1

1

n

n

จะไดวา

พจนท่ี 1 = 1 1

1 1

= 0 พจนท่ี 2 = 1 2

2 1

= 1

3

พจนท่ี 3 = 1 3

3 1

= 1

2 พจนท่ี 4 =

1 4

4 1

= 3

5

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับ 1

1

n

n

คือ 1 1 30, , ,

3 2 5

3. จาก 11

n n

n

จะไดวา

พจนท่ี 1 = 1 11

1 1

= 1

2 พจนท่ี 2 = 2 2

12 1

=

2

3

พจนท่ี 3 = 3 31

3 1

= 3

4 พจนท่ี 4 = 4 4

14 1

=

4

5

ดังนั้น 4 พจนแรกของลําดับ 11

n n

n

คือ 1 2 3 4

, , ,2 3 4 5

1.2 ลําดับเลขคณิต บทนิยาม 8.1.2 ลําดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลาํดับท่ีมีผลตางของพจนสอง พจนท่ีอยูติดกัน มีคาเทากันเสมอ ผลตางท่ีเทากันเสมอนี้เรียกวา ผลตางรวม (common different) 1 2 3 1, , , ..., , , ...n na a a a a เปนลาํดับเลขคณิต ก็ตอเมื่อ มีคาคงตวั d โดยท่ี 1n nd a a สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n จะไดวา 1n na a d

และ 1 ( 1)na a n d



ตัวอยาง 8.1.3 จงหาพจนท่ี 50 ของลําดับ 19, 12, 5, 2, 9, ...

วิธีทํา จะเห็นไดวา ลําดับนี้เปนลาํดับเลขคณิต มีผลตางรวมเทากับ 9 2 7

และมพีจนแรกของลําดับเปน 1 19a

จากสูตร na = 1 ( 1)a n d

นั่นคือ 50a = 1 49a d = 19 49(7) = 324

ดังนั้น พจนท่ี 50 ของลําดับดังกลาวคือ 324

ตัวอยาง 8.1.4 จงหาพจนท่ัวไปของลําดับ 15, 12, 9, 6, …

วิธีทํา จะเห็นไดวา ลําดับนี้เปนลาํดับเลขคณิต มีผลตางรวมเทากับ 12 15 3

และมพีจนแรกของลําดับเปน 1 15a

จากสูตร na = 1 ( 1)a n d

นั่นคือ na = 15 ( 1)( 3)n = 18 3n = 3(6 )n

ดังนั้น พจนท่ัวไปของลําดับดังกลาว คือ 18 3n หรือ 3 6 n

1.3 ลําดับเรขาคณิต บทนิยาม 8.1.3 ลําดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) คือ ลําดับท่ีมีอัตราสวนของพจนสอง พจนท่ีอยูติดกัน มีคาเทากันเสมอ อัตราสวนท่ีเทากันเสมอนี้เรียกวา อัตราสวนรวม (common ratio)

1 2 3 1, , , ..., , , ...n na a a a a เปนลาํดับเรขาคณิต ก็ตอเมื่อ มีคาคงตวั r โดยท่ี 1n

n

ar

a สาํหรับ

ทุกจํานวนเตม็บวก n จะไดวา 1n na a r

และ 1

1n

na a r

ตัวอยาง 8.1.5 จงหาพจนท่ี 7 ของลําดับ 1 2 4, , , ...

3 9 27

วิธีทํา จะเห็นไดวา ลําดับนี้เปนลาํดับเรขาคณิต ม ีr = 2

3 และ 1

1

3a

จากสูตร na = 11

na r

นั่นคือ 7a = 61a r =

61 2

3 3

= 64

2187

ตัวอยาง 8.1.6 จงหาพจนท่ัวไปของลําดับ 27, 9, 3, 1, ...

วิธีทํา จะเห็นไดวา ลําดับนี้เปนลาํดับเลขคณิต มี r = 1

3 และ 1 27a

จากสูตร na = 11

na r

นั่นคือ na = 1

1( 27)

3

n

= 1

813

n

ดังนั้น พจนท่ัวไปของลําดับดังกลาว คือ 1

813

n

บทท่ี 8

1.4

ใเพิ่มข้ึนเ ืn

ตัวอยาง

วิธีทํา

ตัวอยาง วิธีทํา

ลําดบัและอน

ลิมิตของลาํในหัวขอนี้จะเรื่อยๆ อยางไ ดังตัวอยางต

8.1.7 กําห

ในข ถาเขี

1,

เมื่อ na

8.1.8 กําห ในข ถาเขี 1,

เมื่อ na

นุกรม

าดับ ะกลาวถึงลิมติไมมีท่ีสดุ หรืตอไปนี ้

หนดลาํดับ na

ณะท่ี n มีคาขียนลําดับนี้

3, 2 , 2, ,

2

ลงพิกัดของคูซึ่งเปนจํานว


ณะท่ี n มีคาขียนลําดับนี้ 2 , 2, 8 ,

ลงพิกัดของคูซึ่งเปนจํานว

ตของลําดับอนรออาจกลาวว

11n n

จง

เพิ่มข้ึนอยางใหอยูในรูปเซ

4, 3, , 4,

3

คูอันดับบนระวนจริงบวกจะ

2 12 nn

จงเพิ่มข้ึนอยางใหอยูในรูปเซ 3, 32 , 4,

คูอันดับบนระวนจริงบวกจะ

นนัตโดยการา n มีคาเขา

งเขียนกราฟข

งไมมีท่ีสิน้สดุซตของคูอันดั

5, , ..., ,4

n

ะนาบพิกัดฉาะมีคาลดลงเข

เขียนกราฟขงไมมีท่ีสิน้สดุซตของคูอันดั

128 , ..., ,n

ะนาบพิกัดฉาะมีคาเพิ่มข้ึนอ

พิจารณาพจนสูอนันต และ

ของลําดับนี ้พ

ดับ ( , )nn a 1

1 , ...n

ก จะพบวาในขาใกล 1 นั่นคื

ของลําดับนี ้พ

ดับ ( , )nn a 2 1, 2 , ...n

ก จะพบวาในอยางไมมีท่ีสิ้

นท่ี n ของลําะเขียนแทนคา

พรอมท้ังพิจา

จะเขียนไดดัง

นขณะท่ี n มคีคือ lim nn

a

พรอมท้ังพิจา

จะเขียนไดดัง

นขณะท่ี n มคีสน้สดุ นั่นคือ

แค

ห

าดับ เมือ่ n มีา n เขาสูอนนั

ารณาลักษณะ

งนี ้

คามากข้ึน ค1

รณาลักษณะ

งนี ้

คามากข้ึน ค lim nn

a

คลคูลัส 2

หนา 168

มคีานัตดวย

ะของ na

คาของ

ของ na

คาของ

บทท่ี 8

ตัวอยาง วิธีทํา

2 12 n

บทนิ

ไมลูเขา

บทนิ

x

จากตัวอ

ลําดับ

ลําดบัและอน

8.1.9 กําห na ถาเขี 1,

เมื่อ na

จากตัวอยาง

ลิมิตมคีาอนั

ยาม 8.1.4

ถาลําดับท่ีไม

ยาม 8.1.5

คา L เปนคาเราสามารถแ

อยางท่ี 8.1.7

cos n เ

นุกรม


ในขณะท่ี n

ขียนลําดับนี้ 1 , 2,1 ,

ลงพิกัดของคูจะสลับระหว

ท่ี 8.1.7 ถึงต

นนัต และลาํดั

ลําดับ na เlim nn

a L

n N แลว

มเปนลําดับลูเ

ลําดับ na เก็ตอเมื่อทุกไดวา na

ลําดับ na เปก็ตอเมื่อทุกไดวา na

าลิมิตของลําดแสดงไดวา li

n

ถึงตัวอยางที

เปนลาํดับลูอ

cos( )n n

มีคาเพิ่มข้ึนอใหอยูในรูปเซ , 3, 1 , 4

คูอันดับบนระวาง -1 กับ 1

ตัวอยางท่ี 8.

ดับ cos n

เปนลาํดับลูเข ก็ตอเมื่อสําว na a

เขา เราจะกล

เปนลาํดับลูอๆ จํานวน M

M

ปนลาํดับลูออๆ จํานวน M

M

ดบั จากนิยามim ( ) lim

xf n

ท่ี 8.1.9 จะได

อก

จงเขียนกรอยางไมมีท่ีสิน้ซตของคูอันดั ,1 , , c..., n

ะนาบพิกัดฉา นั่นคือ lim

n

1.9 จะเห็นว

หาคาลมิิ

ขา (converg

หรับจํานวนจ

ลาววาเปนลําด

อกสู (div

0M จะมีจํ

อกสู (di

0M จะมีจํ

มจะเห็นวาเปm ( )f x

เมือ่

ดวา ลําดบั

าฟของลําดบันสุด

ดับ ( , )nn a cos( ) , ...n

ก จะพบวาในm na

หาคาไม

า ลาํดับ 1

มติไมได

gent sequenc

จริง 0 ใ

ดับลูออก (di

verge to )

ํานวนเต็มบว

verge to

ํานวนเต็มบว

ปนเชนเดียวกั x เปนจํานว

11

n

เปน

บนี ้พรอมท้ังพ

จะเขียนไดดัง.

นขณะท่ี n มคีมได

1

n หาลมิิ

ce) มีคาเขาสูดๆ จะมีจําน

ivergent seq

) เขียนแทนดวก N ซึ่งเมื่อ

) เขียนแทนวก N ซึ่งเมื่อ

กับคาลิมิตขอนจริง และ n

นลาํดับลูเขา

แค

ห

พิจารณาลักษ

งนี ้

คามากข้ึน ค

มติได สวนลํา

สู L เขียนแทวนเต็ม N ซึง่

quence) หรอื

ดวย lim nna

n M แล

นดวย lim nna

n M แล

งฟงกชัน (f

n เปนจํานวน

ลาํดับ 22 n

คลคูลัส 2

หนา 169

ษณะของ

คาของ

ดับ

ทนดวย งเมื่อ

อลําดับ

ลวจะ

ลวจะ

( )x เมื่อ นเตม็บวก

1 และ



ทฤษฎีบทตางๆ ท่ีเก่ียวกับลิมิตของฟงกชันของจํานวนจริงก็ยังคงเปนจริงสําหรับลมิิตของลําดับ

ทฤษฎีบท 8.1.1 ถา na และ nb เปนลําดับลูเขา จะได 1. lim limn n

n nk a k a

2. lim lim limn n n nn n na b a b

3. lim lim limn n n nn n na b a b

4. lim

limlim

nn n

nn nn

aa

b b

เมื่อ lim 0n

nb

การหาลิมติของลําดับมวีิธกีารเชนเดียวกับการหาลิมติของฟงกชัน

ตัวอยาง 8.1.10 ลําดับ 3 9 12, 2, , , ...

2 4 5 เปนลาํดับลูเขาหรือไม

วิธีทํา จากลําดับ 3 9 12, 2, , , ...

2 4 5 เขียนใหอยูในรูปพจนท่ัวไปได 3

1n

na

n

เพราะวา 3 3 3lim lim 3

11 1 01n n

n

nn

นั่นคือ ลําดับลูเขาหา 3

ทฤษฎีบท 8.1.2 ลําดับเรขาคณิต 2, , , ..., , ...na ar ar ar

1. ถา 1r ลําดับจะลูเขา 0

2. ถา 1r ลําดับเปนลาํดับคงท่ี (ลูเขา) 3. ถา 1r ลําดับจะลูออกสู

4. ถา 1r ลําดับจะลูออก ตัวอยาง 8.1.11 จงตรวจสอบวาลําดับตอไปนี้เปนลาํดับลูเขาหรือไม ถาเปนลาํดับลูเขา จงหาลิมิต

1. 21

5

n

n

2. ln n

n

3. 1 2 3 4

, , , , ...2 3 4 5

4. 1 1 1 1

1, , , , , ...2 4 8 16

5. 5 8 11 14

, , , , ...2 3 4 5

6. 5 2 7 4 9 8 11 16

, , , , ...1 2 3 4

7. 1

2 nn 8. 3 2

3

n

n

วิธีทํา 1. จากลําดับ 21

5n

na

n

จะไดวา

2 2

2

111

lim lim lim1 55nn n n

n nan

n n

ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูออก



2. จากลําดับ lnn

na

n จะไดวา ln

lim limnn n

na

n อยูในรูป

ใชกฎของโลปตาล

จะได 1

ln 1lim lim lim 0

1n n n

n nn n

ดังนั้น ลาํดับดังกลาวเปนลําดบัลูเขา 0

3. จากลําดับ 1 2 3 4, , , , ...

2 3 4 5 เขียนในรูปพจนท่ัวไปได

1n

na

n

จะได 1 1lim lim lim 1

11 1 01n

n n n

na

nn

ดังนั้น ลําดับดังกลาวเปนลําดับลูเขา 1

4. จากลําดับ 1 1 1 11, , , , , ...

2 4 8 16 เขียนในรูปพจนท่ัวไปได

11

2

n

na

ซึ่งเปนลําดับเรขาคณิตท่ีมี 1 11

2 2r


5. จากลําดับ 5 8 11 14, , , , ...

2 3 4 5 เขียนในรูปพจนท่ัวไปได 3 1

1n

na

n

จะได 1

33 1 3 0lim lim lim 3

11 1 01n

n n n

n nan

n


6. จากลําดับ 5 2 7 4 9 8 11 16, , , , ...

1 2 3 4

จะได 2(4 6 )

( 1)nn

n na

n

นั่นคือ 2(4 6 )

lim lim( 1) limnn

n n n

n na

n

แต lim( 1)n

n หาคาไมได

ดังนั้น ลาํดับดังกลาวเปนลําดับลูออก

7. จากลําดับ 1

2 nna n จะไดวา

1

lim lim 2 nnn n

a n

อยูในรูป 0

ใชกฎของโลปตาล จะไดวา 1

11 lim ln(2 ) lim 01lim 2 1n n

nnnn

nn e e e

ดังนั้น ลาํดับดังกลาวเปนลําดับลูเขา 1

8. จากลําดับ 3 2

3n

na

n

จะไดวา

23

3 2lim lim lim

3 31

nn n n

nn nan

n

ดังนั้น ลาํดับดังกลาวเปนลําดับลูออกสู



แบบฝกหดั 8.1

1. ลําดับเลขคณิตมีพจนแรกเปน 1 กําหนด 7 11 17, ,a a a เปน 3 พจนแรกของลําดับเรขาคณิต จงหาวาผลบวกของ 3 พจนแรกในลําดับเรขาคณิตนี้เทากับเทาไร

2. จํานวนท่ี 9 หารลงตัว ซึ่งมคีาอยูระหวาง 500 และ 800 มีก่ีจํานวน

3. ถา 1 2, ,u a u a b n เปนจํานวนเต็มท่ีมากกวา 2 และ 1 22n n nu u u แลว จงหาวา 2

2 1n nu au เทากับเทาใด

4. ถาพจนท่ี 1 ของลําดับเรขาคณิตคือ 8 มีอัตราสวนรวมเทากับ 3

2 ถามวา 729

8 เปนพจนท่ีเทาไร

5. ลําดับเรขาคณิตมี n พจน สามพจนสุดทายรวมกันได 1,024 เทาของสามพจนแรกรวมกัน ถาพจนท่ี 5 เทากับ 20 พจนสุดทายเทากับเทาไร

6. จํานวน 5 จํานวนเรียงกันเปนลําดับเรขาคณิต ผลบวกของพจนท่ี 1, 3 และ 5 เทากับ 273 ผลคูณของพจนท่ี 2 และ 4 เทากับ 256 ผลบวกของ 5 พจนแรกเทากับเทาใด (มีมากกวา 1 คําตอบ)

7. กําหนดลาํดับเรขาคณิต 2, 6, 18, … จงหาพจนท่ีเล็กท่ีสุดและมีคามากกวา 1,000

8. ให 1 2 3 4, , ,a a a a เปนพจน 4 พจนเรียงกันในลําดับเรขาคณิต โดยม ี 1a เปนพจนแรก ถา 2 3 6a a และ 3 4 12a a คาสัมบูรณของพจนท่ี 5 ของลําดับนี้มีคาเทาไร

9. ให a, b, c เปนลําดับเรขาคณิตซึ่งมีผลคณูเทากับ 27 และ , 3, 2a b c เปนลําดับเลขคณิต

จงหา a b c

10. ให x, y, z เปนลําดับเลขคณิตซึ่งผลบวกท้ังสามพจนมคีาเทากับ 12 ถานํา 1, 4, 11 มาบวกกับแตละพจนตามลาํดับ ปรากฏวาไดเปนลาํดับเรขาคณิต จงหาคาของ xyz

11. ถา na เปนพจนท่ี n ของลําดับลูเขา และ 1

1 1

2 5n na a จงหาลิมิตของลําดับ na นี ้

12. จงตรวจสอบวาลําดับตอไปนี้เปนลาํดับลูเขาหรือไม ถาเปนลาํดับลูเขา จงหาลิมิต

1) 2 1

n

n

2) 3

2 1

n

n

3) 2

3 1

n

n

4) 2

3 1n

n

5) 2

2

1

1

n

n

6) 2

2

1( 1)

1n n

n

7) 2

3

1( 1)

1n n

n

8) 1 ( 1)n

9) 1

2

1)n

n

10) n

n

e

11) 1

lnn

12)

2n

n

13) sinn

14) cos

2n

15)

4

n

n

16) 2

n

17) cos2

n

18) 2 nn e 19) 2 3n n n 20) 2n n

21) 2

3 ( 1)n

n

22) 2

2

ln( )n

n

23) 1 2tan

2 1

n

n

24)

1 2 3...

n

n n n n



2. อนุกรม (Series)

บทนิยาม 8.2.1 ถา 1 2 3, , ,..., na a a a เปนลาํดบัจํากัดท่ีมี n พจน แลว 1 2 3 ... na a a a

เปนอนุกรมจํากัด เขียนแทนดวย 1

n

ii

a หรือ nS

ถา 1 2 3, , ,..., ,...na a a a เปนลาํดบัอนันต แลว 1 2 3 ... ...na a a a เปน

อนุกรมอนันต เขียนแทนดวย 1

ii

a

2.1 สัญลักษณแทนการบวก จะใชอักษรกรีก (capital sigma) เปนสญัลักษณแทนการบวก ซึ่งมีสมบัตดิังนี ้

1. 1

n

i

c cn

เมื่อ c เปนคาคงตวั

2. 1 1

n n

i ii i

ca c a

เมื่อ c เปนคาคงตวั

3. 1 1 1

n n n

i i i ii i i

a b a b

4. 1

( 1)1 2 3 ...

2

n

i

n ni n

5. 2 2 2 2 2

1

( 1)(2 1)1 2 3 ...

6

n

i

n ni n

6. 2

3 3 3 3 3

1

( 1)1 2 3 ...

2

n

i

n ni n

ตัวอยาง 8.2.1 คาของ 1 3 3 5 5 7 ... 21 23 เทากับเทาใด

วิธีทํา 1 3 3 5 5 7 ... 21 23 = 11

1

(2 1)(2 1)i

i i

= 11

2

1

(4 1)i

i

= 11 11

2

1 1

4 1i i

i

= (11 1)(22 1)

4 1(11)6

= 2013 ตัวอยาง 8.2.2 คาของ 2 2 2 21 2 2 3 3 4 ... 19 20 เทากับเทาใด

วิธีทํา 2 2 2 21 2 2 3 3 4 ... 19 20 = 19

2

1

( 1)i

i i

= 19

3 2

1

( 2 )i

i i i

= 19 19 19

3 2

1 1 1

2i i i

i i i

= 2

19(19 1) (2 1)(2 2 1) 19(19 1)2

2 6 2

= 36,100 + 4,940 + 190 = 41,230



2.2 อนุกรมเลขคณิต

บทนิยาม 8.2.2 ถา 1 2 3, , ,..., na a a a เปนลาํดบัเลขคณิต ท่ีมีผลตางรวมเทากับ d แลวจะไดวา

12n n

nS a a

หรือ 12 12n

nS a n d

ตัวอยาง 8.2.3 คาของ 1 6 11 16 ... 101 เทากับเทาใด

วิธีทํา 1 6 11 16 ... 101 เปนอนุกรมเลขคณิตท่ีมี 1 1a , 5d และ 101na

หาจํานวนพจนในอนุกรม จากสูตร 1 ( 1)na a n d

แทนคา จะได 101 = 1 + (n – 1)(5)

n = 21 นั่นคือ อนุกรมนี้มี 21 พจน

จากสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต 12n n

nS a a

จะได 1 6 11 16 ... 101 = 211 101

2 = 1071

2.3 อนุกรมเรขาคณิต

บทนิยาม 8.2.3 ถา 1 2 3, , ,..., na a a a เปนลาํดบัเรขาคณิต ท่ีมีอัตราสวนรวมเทากับ 1r

แลวจะไดวา 1 , 11

nn

a a rS r

r

หรือ 1(1 ), 1

1

n

n

a rS r

r

ตัวอยาง 8.2.4 คาของ 2 4 8 16 ... 2048 เทากับเทาใด

วิธีทํา 2 4 8 16 ... 2048 เปนอนุกรมเรขาคณิตท่ีมี 1 2a , 2r และ 2048na

หาจํานวนพจนในอนุกรม จากสูตร 11

nna a r

แทนคา จะได 2048 = 1(2)(2)n

2048 = 2n n = 11 นั่นคือ อนุกรมนี้มี 11 พจน

จากสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต 1 ; 11

nn

a a rS r

r

จะได 2 4 8 16 ... 2048 = 2 (2048)(2)

1 2

= 4094

แบบฝกหดั 8.2 -



3. การทดสอบการลูเขาหรือลูออกของอนุกรม 3.1 การทดสอบอนุกรมทั่วไป อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต

บทนิยาม 8.3.1 กําหนดลาํดับของจํานวนจริง 1 2 3, , ,...a a a เรียก 1 2 3 ...n nS a a a a วาผลบวกยอย (partial sum) n พจนแรกของอนุกรม และเรียกลําดับ 1 2 3, , , ...S S S วาลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม

ทฤษฎีบท 8.3.1 ถาลําดับ nS เปนลําดับลูเขา และ lim n

nS S

แลวอนกุรมอนันตเปนอนุกรม

ลูเขา (convergent series) และเรียก S วาผลบวกของอนุกรม บางครั้งแทนดวยสัญลักษณ S

ถาลําดับ nS เปนลําดับลูออก นั่นคือ lim nn

S

ไมมคีา แลวอนุกรมอนันตเปนอนุกรมลูออก (divergent series)

จากบทนิยามเก่ียวกับอนุกรมลูเขาและอนกุรมลูออก จะไดวา 1. อนุกรมเลขคณิตเมื่อเปนอนุกรมอนันต : ถาพจนท่ัวไปของลําดับเลขคณิตอยูในรูป 1 ( 1)na a n d จะไดวาอนุกรมนี้เปนอนุกรมลูออกเสมอ ยกเวน 1 0a d

2. อนุกรมเรขาคณิตเมื่อเปนอนุกรมอนันต : ถาพจนท่ัวไปของอนุกรมเรขาคณิตอยูในรูป 1

1n

na a r จะไดวา - อนุกรมเรขาคณิตเปนอนกุรมลูออก เมื่อ 1r

- อนุกรมเรขาคณิตเปนอนกุรมลูเขา เมือ่ 1r และหาผลบวกไดจากสูตร 1

1

aS

r

สมบัติท่ีสาํคัญเก่ียวกับอนุกรมลูเขาและอนกุรมลูออก เปนดังนี ้

1. ถาอนุกรม 1

nn

a

เปนอนุกรมลูเขา แลว lim 0n

na

แตถา lim 0n

na

แลวไมสามารถสรุป

ไดวา 1

nn

a

เปนอนุกรมลูเขา

2. ถา lim 0nn

a

แลว 1

nn

a

เปนอนุกรมลูออก

3. ถา 1

nn

a

และ

1n

n

b

เปนอนุกรมลูเขา แลว

1n n

n

a b


4. ถา 1

nn

a

เปนอนุกรมลูเขา แต

1n

n

b

เปนอนุกรมลูออก แลว

1n n

n

a b


5. ถา 1

nn

a

และ

1n

n

b

เปนอนุกรมลูออก แลว

1n n

n

a b

อาจจะเปนอนุกรมลูเขาหรือ

อนุกรมลูออกก็ได



ตัวอยาง 8.3.1 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาลูเขา จงหาผลบวก

1. 1

1

n n

2.

1 1n

n

n

3. 1

1

2

3

n

n

4. 1

1

53

4

n

n

5. 2 2 2 2

...1 3 9 27 6. 1 5 25 125 ...

วิธีทํา 1. จากอนุกรม 1

1

n n

ให 1

nSn

จะไดวา 1lim lim 0nn n

Sn

ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ 0

2. จากอนุกรม 1 1n

n

n

ให 1n

nS

n

จะไดวา 1

lim lim lim 111 1

nn n n

nS

nn


3. จากอนุกรม 1

1

2

3

n

n

จะไดวา เปนอนุกรมเรขาคณิตอนนัตท่ีมี 1 1a และม ี

2 2

13 3

r

นั่นคือ ผลบวกของอนุกรมเทากับ 1 1 13

2 11 13 3

aS

r


4. จากอนุกรม 1

1

53

4

n

n

จะไดวา เปนอนุกรมเรขาคณิตอนนัตท่ีมี 1 3a และม ี

5 5

14 4

r

ดังนั้น อนกุรมดังกลาวเปนอนุกรมลูออก

5. จากอนุกรม 2 2 2 2...

1 3 9 27 เขียนในรูปสัญลักษณแทนการบวกได

1

1

12

3

n

n

จะไดวา เปนอนุกรมเรขาคณิตอนนัตท่ีมี 1 2a และมี 1 11

3 3r

นั่นคือ ผลบวกของอนุกรมเทากับ 1 2 23

1 21 13 3

aS

r


6. จากอนุกรม 1 5 25 125 ... เขียนในรูปสัญลักษณแทนการบวกได 1

1

5n

n

จะไดวา เปนอนุกรมเรขาคณิตอนนัตท่ีมี 1 1a และมี 5 5 1r

ดังนั้น อนกุรมดังกลาวเปนอนุกรมลูออก



3.2 การทดสอบอนุกรมพี (P-series)

บทนิยาม 8.3.2 อนุกรมพี (P-series) คืออนุกรม 1

1 1 1 1...

1 2 3p p p pn n

เมื่อ p เปน

จํานวนจริงใดๆ ในกรณี 1p จะเรียกวาอนุกรมฮารโมนคิ (harmonic series)

เชน 1 1 1 11 ... ...

2 3 4 n เปนอนุกรมพ ีซึ่ง 1

2p

1 1 1 11 ... ...

2 3 4 n เปนอนุกรมพ ีซึ่ง 1p

2 2 2 2

1 1 1 11 ... ...

2 3 4 n เปนอนุกรมพ ีซึ่ง 2p

2 2 2 21 2 3 4 ... ...n เปนอนุกรมพ ีซึ่ง 2p

ทฤษฎีบท 8.3.2 กําหนดให 1

1p

n n

เปนอนุกรมพ ี

ถา 1p แลว 1

1p

n n


ถา 1p แลว 1

1p

n n


ตัวอยาง 8.3.2 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก

1. 1 1 1

1 ...2 3 4

2. 2 2 2

1 1 11 ...

2 3 4

3. 1 1 1

1 ...2 2 3 3 4 4

วิธีทํา 1. จากอนุกรม 1 1 11 ...

2 3 4 จะไดวาเปนอนุกรมพี ซึง่ 1

12

p

ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูออก

2. จากอนุกรม 2 2 2

1 1 11 ...

2 3 4 จะไดวาเปนอนุกรมพี ซึง่ 2 1p

ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูเขา

3. จากอนุกรม 1 1 11 ...

2 2 3 3 4 4 จะไดวาเปนอนุกรมพี ซึง่ 3

12

p

ดังนั้น อนุกรมดังกลาวเปนอนุกรมลูเขา



3.3 การทดสอบแบบเปรียบเทียบ (Comparison Test)

ทฤษฎีบท 8.3.3 กําหนดอนุกรม 1

nn

a

และ

1n

n

b

โดยท่ี 0na และ 0nb สําหรับทุก

1, 2, 3, ...n จะไดวา

1. ถา 1

nn

b

เปนอนุกรมลูเขา และ n na b สําหรับทุก n แลว

1n

n

a

จะเปน

อนุกรมลูเขา

2. ถา 1

nn

b

เปนอนุกรมลูออก และ n na b สําหรับทุก n แลว

1n

n

a

จะเปน

อนุกรมลูออก ตัวอยาง 8.3.3 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก

1. 1

1

1n n

2.

2

21

sin

1n

n

n

3.

5

2

31

1

n

n

n

4. 1 1 1 1

...1 3 2 5 3 7 4 9

5. 1 lnn

n

n

6.

1 1 11 ...

2! 3! 4!

วิธีทํา 1. เนื่องจาก 1 1

1n n

สําหรับทุก 2, 3, ...n

และอนุกรม 1

1

n n

เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง 1

2p

ดังนั้น อนกุรม 1

1

1n n

เปนอนกุรมลูออก

2. เนื่องจาก 1 sin 1n สําหรับทุก 1, 2, 3, ...n

ดังนั้น 20 sin 1n คณูดวย 2 1n ตลอด จะได 2

2 2

sin 10

1 1

n

n n

…(1)

เนื่องจาก 2 2

1 1

1n n

สําหรับทุก 1, 2, 3, ...n …(2)

จาก (1) และ (2) จะได 2

2 2 2

sin 1 1

1 1

n

n n n

สําหรับทุก 1, 2, 3, ...n


1

1

n n

เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนุกรมพ ีซึ่ง 2p

ดังนั้น 2

21

sin

1n

n

n




3. เนื่องจาก 55

32

3 3 3 3

1 1 1 1 1n n

n n n nn n



1

n n

เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง 1

2p


2

31

1

n

n

n


4. จาก 1 1 1 1...

1 3 2 5 3 7 4 9

จะเขียนในรูป ไดวา

1

1

(2 1)n n n

เนื่องจาก 2 2

1 1 1 1

(2 1) 2 2n n n n n



1

1

n n

เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนุกรมพ ีซึ่ง 2p

ดังนั้น 1 1 1 1...

1 3 2 5 3 7 4 9


5. เนื่องจาก ln n n สําหรับทุก 1, 2, 3, ...n

ดังนั้น 1 1

ln n n

1

ln

n n

n n n


1

n n

เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมพี ซึ่ง 1p

ดังนั้น อนกุรม 1 lnn

n

n


6. จาก 1 1 11 ...

2! 3! 4! จะเขียนในรูป ไดวา

1

1

!n n

เนื่องจาก 1

1 1 1 1

! 1 2 3 ... 1 2 2 ... 2 2nn n



1

1

2nn

เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนุกรมเรขาคณิต ซึ่ง 1

2r

ดังนั้น 1 1 11 ...

2! 3! 4! เปนอนุกรมลูเขา



3.4 การทดสอบแบบเปรียบเทียบลิมิต (Limit comparison Test)

ทฤษฎีบท 8.3.4 กําหนดอนุกรม 1

nn

a

และ

1n

n

b

โดยท่ี 0na และ 0nb สําหรับทุก

1, 2, 3, ...n จะไดวา

1. ถา lim 0n

nn

aL

b แลวอนุกรมท้ังสองจะเปนอนุกรมลูเขาท้ังคูหรือลูออกท้ังคู

2. ถา lim 0n

nn

a

b และ

1n

n

b

เปนอนุกรมลูเขาแลว

1n

n

a

จะเปนอนุกรมลูเขา

3. ถา lim n

nn

a

b และ

1n

n

b

เปนอนุกรมลูออกแลว

1n

n

a

จะเปนอนุกรมลูออก

ตัวอยาง 8.3.4 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก

1. 3

51

2 5

4 1n

n

n

2.

2

31

4 5

2n

n n

n n

3. 2

1 1

n

nn

e

e

4. 1

3

1

n

nn e

5. 2

1

sin2 1n n

6. 2

1

1

lnn n n

วิธีทํา 1. ให 3

5

2 5

4 1n

na

n

และ

2

1nb

n

จะไดวา

3

5 25

5

2

2 52 5 14 1lim lim lim 0

1 4 1 2n

n n nn

na n nnb n

n

และ 2

1

1

n n

เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนกุรมพีซึ่ง 2 1p

ดังนั้น อนุกรม 3

51

2 5

4 1n

n

n

เปนอนุกรมลูเขาดวย

2. ให 2

3

4 5

2n

n na

n n

และ 1

nbn

จะไดวา

2

3 23

3

4 54 52lim lim lim 1 0

1 2n

n n nn

n na n n nn nb n n

n

และ 1

1

n n

เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมฮารโมนคิ


31

4 5

2n

n n

n n




3. ให 21

n

n n

ea

e

และ 1

n nb

e


21lim lim lim 1 0

1 1

n

nnn

nn n nn

n

ea eeb e

e

และ 1

1n

n e

เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนกุรมเรขาคณิตท่ีมี 1

1re


1 1

n

nn

e

e


4. ให 3

1

n

n na

e

และ 3n

n nb

e


1lim lim lim 1 03 1

n

nnn

n nn n nn

n

a eeb e

e

และ 1

3n

nn e

เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมเรขาคณิตท่ีมี 3

1re


3

1

n

nn e

เปนอนุกรมลูออกดวย

5. ให 2

sin2 1na

n

และ

22 1nbn


2

sin2 1lim lim 1 0

2 1

n

n nn

a nb

n

เพราะวา 2 2

1 1

1

2 1n nn n

ซึ่ง

21

1

n n

เปนอนกุรมพีลูเขา ( 2 1p )

โดยการเปรียบเทียบจะไดวา 2

1 2 1n n

เปนอนกุรมลูเขา


sin2 1n n


6. ให 2

1

lnnan n

และ 2

1nb

n


2

11lnlim lim lim 0

1 lnn

n n nn

a n nb n

n

และ 2

1

1

n n

เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนกุรมพี ซึ่ง 2 1p


1

lnn n n




3.5 การทดสอบโดยการหาปริพันธ (Integral Test)

ทฤษฎีบท 8.3.5 กําหนดให 1

nn

a

เปนอนุกรมท่ี 0na ทุกๆ คา n ถามีฟงกชัน f ซึ่งเปน

ฟงกชันลด และมีความตอเนื่องบน ,a โดยท่ี ( ) 0f x ทุกๆ คา x a และ ( ) nf n a ทุกๆ คา n แลวจะไดวา

1. 1

nn

a

จะเปนอนกุรมลูเขาก็ตอเมื่อ ( )

a

f x dx∫ หาคาได

2. 1

nn

a

จะเปนอนกุรมลูออกก็ตอเมื่อ ( )

a

f x dx∫ หาคาไมได

ตัวอยาง 8.3.5 จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้วาเปนอนุกรมลูเขาหรืออนกุรมลูออก

1. 2

1

1

n n

2.

1

1

n n

3. 2

21

1 1sech

n n n

วิธีทํา 1. กําหนดให 2

1na

n และ

2

1( )f x

x


11 1

1 1 1( ) lim ( ) lim lim 1 1

b

b b b

bf x dx dx

x x b∫ ∫


( )

f x dx∫ หาคาได ดังนั้น 2

1

1

n n


2. กําหนดให 1na

n และ 1

( )f xx


1 1

1( ) lim ( ) lim 2 lim 2 2

b

b b b

bf x dx dx x b

x∫ ∫


( )

f x dx∫ หาคาไมได ดังนั้น 1

1

n n


3. กําหนดให 22

1 1sechna

n n และ 2

2

1 1( ) sechf x

x x

จะไดวา 2 22

1 1 1

1 1 1 1( ) lim ( sech ) lim (sech ) ( )

b b

b bf x dx dx d

x x x x∫ ∫ ∫

1

1 1lim tanh lim tanh tanh1 tanh1

b

b bx b


( )

f x dx∫ หาคาได ดังนั้น 22

1

1 1sech

n n n




3.6 การทดสอบแบบอัตราสวน (Ratio Test)

ทฤษฎีบท 8.3.6 ถา 1

nn

a

เปนอนุกรมท่ี 0na และ 1lim n

nn

a

a

แลว

1. ถา 1 แลว 1

nn

a


2. ถา 1 แลว 1

nn

a


3. ถา 1 แลว จะสรุปไมได


1. 1

( 1) 2

!

n

n

n

n

2. 1

( 3)!

3 !nn

n

n

3. 2 3

3 5 71 ...

5 5 5 4.

1 1 3 1 3 5 1 3 5 7...

5 5 6 5 6 7 5 6 7 8

5. 3 3 5 3 5 7 3 5 7 9

...2 2 7 2 7 12 2 7 12 17

วิธีทํา 1. ให ( 1) 2

!

n

n

na

n

จะได

( 1)

1

( 1 1) 2 ( 2) 2 2

( 1)! ( 1) !

n n

n

n na

n n n

นั่นคือ 1 ( 2) 2 2nn

n

a n

a

( 1) !n n !n

( 1) 2nn 2

2 4

2 1

n

n n


12

2

2 42 4 0 0

lim lim lim 0 12 12 1 1 0 01

n

n n nn

a n n na n n

n n


( 1) 2

!

n

n

n

n


2. ให ( 3)!

3 !n n

na

n

จะได 1 ( 1)

( 1 3)! ( 4)! ( 4)( 3)!

3 ( 1)! 3 3 ( 1)! 3 3 ( 1) !n n n n

n n n na

n n n n

นั่นคือ 1( 4) ( 3)!

n

n

n na

a

3 3n ( 1) !n n

3 !n n

( 3)!n 4 4

3( 1) 3 3

n n

n n


41

4 1 0 1lim lim lim 1

33 3 3 0 33

n

n n nn

a n na n

n


( 3)!

3 !nn

n

n




3. ให 1 1

2 1 2 1

5 5 5n n n

n na

จะได 1 ( 1) 1 1 1

2( 1) 1 2 2 1 2 1

5 5 5n n n n

n n na

นั่นคือ 1 2 1

5n

nn

a n

a

5n

15 1 2 1

2 1 5 2 1

n

n n


121 2 1 1 1 2 0 1

lim lim lim 115 2 1 5 5 2 0 52

n

n n nn

a n na n

n

ดังนั้น 2 3

3 5 71 ...

5 5 5 เปนอนุกรมลูเขา

4. ให 1 3 5 ... (2 1)

5 6 7 ... ( 4)n

na

n

จะได 1

1 3 5 ... (2 1)(2 1)

5 6 7 ... ( 4)( 5)n

n na

n n

นั่นคือ 1(2 1)

n

n

na

a

(2 1)

( 4)

n

n

( 4)

( 5)

n

n

(2 1)n 2 1

5

n

n


122 1 2 0

lim lim lim 2 155 1 01

n

n n nn

a n na n

n

ดังนั้น 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7...

5 5 6 5 6 7 5 6 7 8


5. ให 3 5 7 ... (2 1)

2 7 12 ... (5 3)n

na

n

จะได 1

3 5 7 ... (2 1)(2 3)

2 7 12 ... (5 3)(5 2)n

n na

n n

นั่นคือ 1(2 1)

n

n

na

a

(2 3)

(5 3)

n

n

(5 3)

(5 3)

n

n

(2 1)n 2 3

5 3

n

n


322 3 2 0 2

lim lim lim 135 3 5 0 55

n

n n nn

a n na n

n

ดังนั้น 3 3 5 3 5 7 3 5 7 9...

2 2 7 2 7 12 2 7 12 17




3.7 การทดสอบโดยรากท่ี n (nth-Root Test)

ทฤษฎีบท 8.3.7 ถา 1

nn

a

เปนอนุกรมท่ี 0na และ lim n

nn

a R

แลว

1. ถา 1R แลว 1

nn

a


2. ถา 1R แลว 1

nn

a


3. ถา 1R แลว จะสรุปไมได


1. 1

2n

n n

2. 1

6 3

3 5

n

n

n

n

3. 1

1

ln( 2)n

n n

วิธีทํา 1. ให 2n

nan

จะได 2 2n

n nna

n n

นั่นคือ 2lim lim 0 1n

nn nR a

n


2n

n n


2. ให 6 3

3 5

n

n

na

n

จะได 6 3 6 3

3 5 3 5

n

n nn

n na

n n

นั่นคือ 6 3 6lim lim 2 1

3 5 3n

nn n

nR a

n


6 3

3 5

n

n

n

n


3. ให

1

ln( 2)n na

n

จะได

1 1

ln( 2)ln( 2)n

nn nann

นั่นคือ 1lim lim 0 1

ln( 2)n

nn n

R an


1

ln( 2)n

n n




3.8 การทดสอบอนุกรมสลบั (Alternating Series Test)

บทนิยาม 8.3.3 อนุกรมท่ีมีพจนเปนจํานวนบวกและจํานวนลบสลับกัน เราเรียกวา อนุกรมสลับ

(Alternating Series) เขียนไดในรูป

11 2 3 4

1

( 1) ...nn

n

a a a a a

เมื่อ 0, 1,2,3,...ia i

ทฤษฎีบท 8.3.8 ถาอนุกรมสลบั 11 2 3 4

1

( 1) ...nn

n

a a a a a

เมื่อ 0na สอดคลอง

กับเง่ือนไข 2 ขอตอไปนี ้ 1. 1n na a สําหรับทุก n

2. lim 0nn

a

แลวอนุกรมนีเ้ปนอนุกรมลูเขา


1. 1 2 3 4

...3 7 11 15 2. 1

21

2( 1)

4n

n

n

n

วิธีทํา 1. ให 4 1n

na

n

จะพบวา (1) 1

1

4 3 4 1n n

n na a

n n

สําหรับทุก n

(2) 1 1 1

lim lim lim 014 1 4 0 44

nn n n

na

nn

ดังนั้น 1 2 3 4...

3 7 11 15 เปนอนุกรมลูออก

2. ให 2

2

4n

na

n

จะพบวา (1) 1 2 2

3 2

2 5 4n n

n na a

n n n

สําหรับทุก n

(2) 2

2

2

1 22 0 0

lim lim lim 044 1 01

nn n n

n n nan

n


1

2( 1)

4n

n

n

n




3.9 การทดสอบการลูเขาแบบสัมบูรณ และแบบมีเงื่อนไข

(Absolutely Convergent & Conditionally Convergent)

บทนิยาม 8.3.4 อนุกรม 1

nn

a

จะลูเขาแบบสัมบรูณ ถาอนุกรม

1n

n

a

เปนอนุกรมลูเขา และ

อนุกรม 1

nn

a

จะลูเขาแบบมีเง่ือนไข ถาอนุกรม

1n

n

a

เปนอนุกรมลูเขา แต

อนุกรม 1

nn

a


ตัวอยาง 8.3.9 จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาลูเขาแบบสมับูรณ หรือลูเขาแบบมีเง่ือนไข

1. 13

1

1( 1)

(2 1)n

n n

2. 1

21

5( 1)n

n n n

วิธีทํา 1. ให 3

1

(2 1)nan

จะพบวา (1) 1 3 3

1 1

(2 3) (2 1)n na an n

(2) 3

1lim lim 0

(2 1)nn n

an

นั่นคือ 3

1 1

1

(2 1)nn n

an

เปนอนุกรมลูเขา และจะได

31 1

1

(2 1)nn n

an

โดยอาศัยการเปรียบเทียบ จะไดวา 3 3 3

1 1 1

(2 3) (2 ) 8n n n

ทุกคา n


1

1

(2 )n n

เปนอนุกรมลูเขา เพราะเปนอนุกรมพี ซึง่ 3p

นั่นคือ อนกุรม 1

nn

a

เปนอนกุรมลูเขา


1 1

1( 1)

(2 3)n

nn n

an

เปนอนกุรมลูเขาแบบสัมบูรณ

2. ให 2

5na

n n

จะพบวา (1) 1 2 2

5 5

3 2n na a

n n n n

(2) 2

5lim lim 0nn n

an n


1 1

5n

n n

an n

เปนอนุกรมลูเขา และจะได 2

1 1

5n

n n

an n

โดยอาศัยการเปรียบเทียบจะไดวา 2 2

5 5 5

nn n n

ทุกคา n


5

n n

เปนอนุกรมลูออก เพราะเปนอนุกรมฮารโมนิค ซึ่ง 1p

นั่นคือ อนกุรม 1

nn

a



21 1

5( 1)n

nn n

an n

เปนอนกุรมลูเขาแบบมีเง่ือนไข



กระบวนการทดสอบการลูเขา สามารถสรุปเปนข้ันตอนดังนี ้ ข้ันท่ี 1

การทดสอบพจนท่ี n

ข้ันท่ี 2

การทดสอบอนุกรมเรขาคณิต


การทดสอบอนุกรมพ ี


การทดสอบพจนท่ีเปนบวก

และ/หรือลูเขาแบบสัมบูรณ ข้ันท่ี 5

ทดสอบอนุกรมสลับ

lim 0nn

a

หรือไม ลูออก ไม

1n

n

a

เปนอนุกรม

เรขาคณิตหรือไม

1r ลูเขาไปยัง 1

1

a

r

1r ลูออก

ใชหรือาจจะ

ใช

1n

n

a

เปนอนุกรมพี

หรือไม

ไม

1p ลูเขา 1p ลูออก

ใช

1n

n

a

ลูเขาหรือไม (โดยใชการ

เปรียบเทียบ, ปริพันธ, อัตราสวน,

รากที่ n ทดสอบ 1

nn

a

)

ไม

อนุกรมเดิม (1

nn

a

)

จะลูเขา

ใช

1n

n

a

เปนอนุกรมสลับหรือไม

ไมหรืออาจจะ

1n na a หรือไม

ใช

หาผลรวม nS โดยตรง ถา 0na ลูเขา ถา na 0 ลูออก

ใช ไม ไม




1. จงหาผลบวกยอย 1 2 3, ,S S S และ 4S ของอนุกรมในขอตอไปนี ้

1) 1

1

5

5nn

2)

11

5

2nn

3)

1

1

2

4

n

n

4) 1 1n

n

n

5) 1

1

( 1)( 2)n n n

6) 1

1

2

3

n

n

2. จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาเปนอนุกรมลูเขา จงหาผลบวกของอนุกรม

1) 1

1

5nn

2)

1

1

3

4

n

n

3) 2

1

2

3

n

n

4) 1

1

32

4

n

n

5) 1

53

n

n

e

6) 2

1

1n

n e

7) 11

1

7( 1)

6n

nn

8) 1

1

3

2

n

n

9) 2

11

4

7

n

nn

10) 1

1

3 8n n

n

11) 2

13 1

1

3( 1)

2

nn

nn

12) 1 3 4n

n n

n n

13) 1

1

( 2)( 3)n n n

14) 2

1

1

9 3 2n n n

15) 1

1

1 1

2 2n nn

16) 1 2n

n

n

17) 2

1 2 1n

n

n

18) 2

21

1

2 1n

n n

n

19) 1

sin( )n

n

20)

1

cos( )n

n

21)

1

tan( )n

n

22) 1

ln ( )n

n

23)

1

1ln

n n

24) 1

ln1n

en

n

25) 1

n

n

e

26)

1

1

n

n

e

27)

1

n

n

e

n

28) 1

1

4n n

29) 1

1

2 10n n

30) 1

5

4n n

31) 1

1

10n n

32)

1

1

2 ( 1)n n n

33) 1

10

3 ( 1)n n n

3. จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก โดยใชการทดสอบดวยปริพันธ

1) 1

n

n

ne

2)

21 1n

n

n

3) 1

1

lnn n n

4)

1

1

2 1n n

5) 3

1

1

2 1n n

6)

1

1sin

n n n

7)

4

51 9n

n

n

8) 2

3 31 10n

n

n

9) 1

ln

n

n

n

10)

2 31 ( 1)n

n

n



4. จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก โดยใชการทดสอบแบบเปรียบเทียบ (ระบุดวยวาใชอนุกรมใดเปรียบเทียบ)

1) 1

1

4nn n

2) 2

1

1

1n n

3) 1

1

( 2)n n n

4) 3

1

1

n

n

n

5) 2

1

1n

n e

6)

3 21

1

n n n

7) 1

1 5

4

n

nn

8) 2 1n

n

n

9) 3

1

1

1n

n

n

10)

1

3 sin

3nn

n

11) 5

1 1n

n

n

12)

1

2

1 3

n

nn

13) 1

1 2

1 3

n

nn

14)

2

41

1

1n

n

n

15)

1

1

1n n

16)

2

1

sin

n

n

n n

5. จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก โดยใชการทดสอบแบบลิมิตเปรียบเทียบ (ระบุดวยวาใชอนุกรมใดเปรียบเทียบ)

1) 1

1

1n n

2)

2

41

1

1n

n

n

3)

3 2

4 21

4 3

1n

n n

n n

4) 1

1

2nn

n

n

5)

2

21

2 7

3 (3 4 )nn

n n

n n

6)

21

5

2 5n

n

n

6. จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้ใชการทดสอบดวยอัตราสวนหรือการทดสอบโดยรากที่ n ไดหรือไม ถาไดจงใชวิธีการทดสอบดวยอัตราสวนหรือการทดสอบโดยรากที่ n ทดสอบวาอนุกรมท่ีกําหนดใหเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก

1) 1

3 1

2nn

n

2) 1

(1 )n n

n

e

3) 1

1

5

(3 )

n

nn n

4)

1

7

!

n

n n

5) 1

100

!

n

n n

6)

2

1 5nn

n

7)

1

!n

n

n

e

8) 50

1

n

n

n e

9) 3

1

2n

n n e

10) 1

2

3

n

n

n

11) 2

1

3

4

n

n n

12) 2

1

lnn n n

13) 3

1

!

n

n

n

14)

1

4

7 1

n

n n

15) 2

1

4n

n n

16)

2

1

( !)

(2 )!n

n

n

17) 1

3 2

2 1

n

n

n

n

18) 1

lnn

n

n

e

19)

1 5nn

n

20)

1

( 1)!

4! !4nn

n

n

21) 1 2 1 2 3 1 2 3 4

1 ...1 3 1 3 5 1 3 5 7

22)

2! 3! 4! 5!...

1 1 4 1 4 7 1 4 7 10

7. จงทดสอบวาอนุกรมสลับตอไปนี้เปนอนกุรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก

1) 1

2( 1)

3n

n n

2) 1

1

( 1)1

n

n

n

n

3)

1

1( 1)n

nn e

4) 12

1

1( 1)n

n n

5) 1

( 1)

3

n

n n

6) 1

1

( 1)5 1

n

n

n

n

7) 1

1

1( 1)

lnn

n n n

8) 2

1

( 1)1

n

n

n

n

9) 2

21

( 1)1

n

n

n

n

10)

1

( 1)2

nn

n

n

11) 1

( 1)ln

n

n

n

n

12) 1

1

ln( 1)n

n

n

n



13) 1

1

1( 1)

3 1n

n

n

n

14) 3

1 4

cos

n

n

n

15)

1

( 1) sinn

n n

16) 1

( 1) cosn

n n

17) 1

32

( 1)

ln

n

n n

18) 2

1

( 1)n

n

n

e

n

19) 1

3

5

n

n

20) 2

1

( 1)nn

n

n

e

8. จงทดสอบวาอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมลูเขาแบบสมับูรณ หรือเปนอนุกรมลูเขาแบบมีเง่ือนไข หรือเปนอนุกรมลูออก

1) 1

1

1( 1)n

n n n

2) 1

31

1( 1)n

n n

3) 1

2( 1)

1n

n

n

n

4) 12

1

( 1)1

n

n

n

n

5)

31 1n

n

n

6) 1

2

3 4n

n

n

7) 1

2( 1)

3 4n

n

n

n

8) 1

1

1( 1)

(2 )!n

n n

9) 3

1

( 3)n

n n

10) 1

1( 1)

(2 1)!n

n n

11) 2

1 3

1( 1)

( 1)

n

n n

12) 31 2

1( 1)

( 1)

n

n n

13) 1

( 1)n n

n

e

14) 1

( 1)n n

n

e

15) 1

1

1( 1)

!n

n n n

16) 1

( 1)ln

n

n

n

n

17) 1

ln( 1)n

n

n

n

18) 3

1

sin 2

n

n

n

19) 2

1

1cos

6n

n

n

20)

1

cos

n

n

n



4. อนุกรมกําลัง (Power Series)

บทนิยาม 8.4.1 อนุกรมกําลังรอบ 0x คืออนุกรมท่ีอยูในรูปของ

20 1 2

0

... ...n nn n

n

a x a a x a x a x

อนุกรมกําลังรอบ x h คืออนุกรมท่ีอยูในรูปของ

20 1 2

0

( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n nn n

n

a x h a a x h a x h a x h

เรียก h วาศูนยกลาง (Center) โดยท่ี 0 1 2, , ,..., ,...na a a a เปนคาคงท่ี

ตอไปนี้เปนตวัอยางของอนุกรมกําลังรอบ 0x

0

n

n

nx

ซึ่ง na n ทุกๆ คา 0n

1

n

n

x

n

ซึ่ง 1

nan

ทุกๆ คา 1n

2

0 (2 )!

n

n

x

n

ซึ่ง 1

(2 )!nan

ทุกๆ คา 0n

ตอไปนี้เปนตวัอยางของอนุกรมกําลังรอบ x h

0

( 2)n

n

x

ซึ่ง 1na ทุกๆ คา 0n และ 2h

1

( 2)

!

n

n

x

n

ซึ่ง 1na

n ทุกๆ คา 1n และ 2h

บทนิยาม 8.4.2 เซตของจุดบนชวงจํากัดชวงหนึ่งท่ีทําใหอนุกรมกําลังเปนอนุกรมลูเขา เรียกชวง

จํากัดนี้วา ชวงของการลูเขา (Interval of Converge)

ชวงจํากัดอาจจะเปนชวงเปด ชวงปด ชวงคร่ึงเปด ( , )a b , [ , ]a b , ( , ]a b หรือ [ , )a b ก็ได

บทนิยาม 8.4.3 ถา R เปนจํานวนท่ีทําใหอนุกรมยกกําลงัเปนอนุกรมลูเขาแบบสมับูรณทุกๆ x

ถา x a R และ a R เปนขอบเขตบนที่นอยท่ีสุด เราจะเรียก R วารัศมีของการลูเขา (Radius of Converge)

ถาอนุกรมกําลังลูเขาแบบสมับูรณทุกๆ คาของ x เราจะกลาววา ชวงแหงการลูเขาไมจํากัด ( R )

ถาอนุกรมกําลังลูเขาเฉพาะท่ี x a เทานั้น เราจะกลาววา ชวงแหงการลูเขาคือ 0



ทฤษฎีบท 8.4.1 ถาอนุกรมกําลัง 20 1 2

0

... ...n nn n

n

a x a a x a x a x

เปนอนุกรมท่ีลูเขา

เมื่อ x c ( 0c ) แลว อนุกรมนี้จะลูเขาแบบสัมบรูณ สําหรับ x c

ทฤษฎีบท 8.4.2 ถาอนุกรมกําลัง 20 1 2

0

... ...n nn n

n

a x a a x a x a x

เปนอนุกรมท่ีลูออก

เมื่อ x d แลว อนกุรมนี้จะลูออก สําหรับ x d

ข้ันตอนการทดสอบการลูเขามีดังนี ้ข้ันท่ี 1 ใชการทดสอบแบบอัตราสวน หรือการทดสอบโดยรากที่ n ในการหาชวงของการลูเขา เพื่อจะดูวาอนุกรมกําลังลูเขาแบบสมับูรณในชวงใด โดยปกติจะเปนชวงเปด x a R หรือ a R x a R

ข้ันท่ี 2 ถาชวงแหงการลูเขาแบบสัมบูรณเปนชวงท่ีจํากัด ใหทดสอบการลูเขา ณ จุดท่ีอยูปลายชวงดวย ซึ่งจะตองใชการทดสอบวิธอ่ืีน เชน ใชการเปรียบเทียบ ใชปริพันธ หรือใชลิมิตเปรียบเทียบ เปนตน

ตัวอยาง 8.4.1 จงหาชวงแหงการลูเขาของอนุกรม 2 3 4

...2 3 4

x x xx

วิธีทํา กําหนดให n

n

xa

n โดยการทดสอบแบบอัตราสวน


1 1 1

n n

n

x x xa

n n

นั่นคือ 1lim limn

n

n nn

a x x

a

1 n

n

n x

lim

11

n

xx

n

ให 1x จะได 1 1x

ให 1x จะได 1x

เมื่อ 1x จะไดอนุกรม 1

( 1) 1 1 11 ...

2 3 4

n

n n

ซึ่งเปนอนุกรมลูเขา

เมื่อ 1x จะไดอนุกรม 1

1 1 1 11 ...

2 3 4

n

n n

ซึ่งเปนอนุกรมลูออก

(ทดสอบจากอนุกรมพี ซึ่ง 1p ) ดังนั้น ชวงแหงการลูเขาคอื 1 1x



ตัวอยาง 8.4.2 จงหาชวงแหงการลูเขาของอนุกรม 3 5 7

...3 5 7

x x xx

วิธีทํา กําหนดให 2 1 1 2

2 1 2 1

n n

n

x x xa

n n

โดยการทดสอบแบบอัตราสวน

จะไดวา 2 1 2

1 2 1 2 1

n n

n

x x xa

n n


1lim limn

n

n nn

a x x

a

1 2

2 1

2 1 n

n

n x x

2 2 22 1

lim2 1n

nx x x

n

ให 2 1x จะได 1 1x

ให 2 1x จะได 1x

เมื่อ 1x จะไดอนุกรม 2 1

1

( 1) 1 1 11 ...

2 1 3 5 7

n

n n


เมื่อ 1x จะไดอนุกรม 2 1

1

1 1 1 11 ...

2 1 3 5 7

n

n n

ซึ่งเปนอนุกรมลูออก

(ทดสอบจากอนุกรมพี ซึ่ง 1p ) ดังนั้น ชวงแหงการลูเขาคอื 1 1x

ตัวอยาง 8.4.3 จงหาชวงแหงการลูเขาของอนุกรม 1

( 1) 3 ( 2)n n n

n

x

n

วิธีทํา กําหนดให ( 1) 3 ( 2)n n n

n

xa

n

โดยการทดสอบแบบอัตราสวน

จะไดวา 1 1 1

1

( 1) 3 ( 2)

1

n n n

n

xa

n

และ 1( 1) ( 1) 1n n

นั่นคือ 1 1

1 3 ( 2)lim lim 3lim ( 2) 3 2

1 3 ( 2) 1

n nn

n nn n nn

a x n nx x

a n x n

ให 3 2 1x จะได 5 7

3 3x

ให 3 2 1x จะได 5 7,

3 3x x

เมื่อ 5

3x จะไดอนุกรม

2

1 1

1( 1) 3

( 1) 1 1 131 ...

2 3 4

nn n

n

n nn n


เมื่อ 7

3x จะไดอนุกรม

1 1

1( 1) 3

( 1) (1) 1 1 131 ...

2 3 4

nn n

n n

n nn n


ดังนั้น ชวงแหงการลูเขาคอื 5 7

3 3x




จงหาศูนยกลางลูเขา รศัมลีูเขา และชวงแหงการลูเขาของอนุกรมกําลังท่ีกําหนดให

1. 0 4

n

n

x

n

2. 2

0 2

n

nn

x n

3. 1

1

( 1)n

n

n

x

n

4. 2

2 1

n

n

n x

n

5. 3

2

lnn

n

x n

n

6.

0 1

n

n

x

n

7. 0

( 1)

!

n n

n

x

n

8. 2

1

5n n

n

x

n

9. 1 ( 1)

n

n

x

n n

10. 2 1

0

( 1)(2 1)!

nn

n

x

n

11. 0

3

!

n n

n

x

n

12.

20 1

n

n

x

n

13. 0

n

n

nx

14.

0 !

n

n

x

n

15. 1

( 1)

2

n n

nn

x

n

16.

20

3

( 1)

n n

n

x

n

17. 2 ln

n

n

x

n

18.

0

! n

n

n x

19. 1 3

n

nn

x

n

20.

1

0

( 1)

2 1

n n

n

x

n

21. 1

1

( 1)( 1)

nn

n

x

n

22.

0

3( 5)

4

nn

n

x

23. 2 1

21

( 1)( 1)

4

nn

n

x

n

24. 2

0

( 1)

(2 1)!

n n

n

x

n

25. 0

1( 4)

10n

nn

nx

26.

2

0

3( 2)

1

nn

n

xn

27. 2

30

( 4)2

nn

n

nx

28. 1

ln( )n

nn

nx e

e

29. 1

( 6)2

nn

n

nx

30. 3

1

(2 1)n

n

x

n



5. อนุกรมเทยเลอรและอนุกรมแมคคลอริน (Taylor and Maclaurin Series)

Brook Taylor (1685-1731) Colin Maclaurin (1698-1746)

บทนิยาม 8.5.1 กําหนดให f เปนฟงกชัน ซึ่งหาอนุพันธไดทุกอันดับ ณ ท่ีจุด 0x เรียกอนุกรมท่ีอยูในรูปของ

( ) ( )

2

0

(0) (0) (0) (0)(0) ... ...

! 1! 2! !

n nn n

n

f f f fx f x x x

n n

วา อนุกรมแมคคลอริน (Maclaurin Series)

บทนิยาม 8.5.2 กําหนดให f เปนฟงกชัน ซึ่งหาอนุพันธไดทุกอันดับ ณ ท่ีจุด x a เรียก

อนุกรมท่ีอยูในรูปของ ( ) ( )

2

0

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

! 1! 2! !

n nn n

n

f a f a f a f ax a f a x a x a x a

n n

วา อนุกรมเทยเลอร (Taylor Series)

ตัวอยาง 8.5.1 จงหาอนุกรมแมคคลอรินของ 2( ) xf x e พรอมท้ังหาชวงแหงการลูเขาของอนุกรม

ของอนุกรมแมคคลอรินดังกลาว

วิธีทํา อนุกรมแมคคลอรินมีรูปเปน ( )

2(0) (0) (0)(0) ... ...

1! 2! !

nnf f f

f x x xn

0( ) (0) 1xf x e f e

0( ) (0) 1xf x e f e

0( ) (0) 1xf x e f e

( ) ( ) 0( ) (0) 1n x nf x e f e

จะไดอนุกรมแมคคลอรินเปน 2 3

0

1 ...2! 3! ! !

n n

n

x x x xx

n n

หาชวงแหงการลูเขาโดยอาศัยการทดสอบแบบอัตราสวน

จาก !

n

n

xa

n จะได

1

1 ( 1)!

n

n

xa

n


1 ! 1lim lim lim 0 1

( 1)! 1

nn

nn n nn

a x nx

a n x n

ดังนั้น ชวงแหงการลูเขาคอื x



ตัวอยาง 8.5.2 จงหาอนุกรมแมคคลอรินของ ( ) sinf x x

วิธีทํา อนุกรมแมคคลอรินมีรูปเปน ( )

2(0) (0) (0)(0) ... ...

1! 2! !

nnf f f

f x x xn

( ) sin (0) sin 0 0f x x f

( ) cos (0) cos 0 1f x f

( ) sin (0) sin 0 0f x x f

( ) cos (0) cos 0 1f x x f

(2 ) (2 )( ) ( 1) sin (0) ( 1) sin 0 0n n n nf x x f

(2 1) (2 1)( ) ( 1) cos (0) ( 1) cos0 ( 1)n n n n nf x x f

จะไดอนุกรมแมคคลอรินเปน 3 5 7 2 1( 1)

... ...3! 5! 7! (2 1)!

n nx x x xx

n

ตัวอยาง 8.5.3 จงหาอนุกรมเทยเลอรของ 2( )x

f x e รอบจุด 2a

วิธีทํา อนุกรมเทยเลอรมีรูปเปน ( )

2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

1! 2! !

nnf a f a f a

f a x a x a x an

2

2 2( ) (2)x

f x e f e e

2

2 21 1 1

( ) (2)2 2 2

x

f x e f e e

2

2 21 1 1

( ) (2)4 4 4

x

f x e f e e

( ) ( )21 1

( ) (2)2 2

n nxn nf x e f e

จะไดอนุกรมเทยเลอรเปน 21 1 1( 2) ( 2) ... ( 2) ...

2 4 2! 2 !n

ne e x e x e x

n

ตัวอยาง 8.5.4 จงหาอนุกรมเทยเลอรของ ( ) lnf x x รอบจุด 2a

วิธีทํา อนุกรมเทยเลอรมีรูปเปน ( )

2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ... ( ) ...

1! 2! !

nnf a f a f a

f a x a x a x an

( ) ln (2) ln 2f x x f

1 1( ) (2)

2f x f

x

2

1 1( ) (2)

4f x f

x

1 1

( ) ( )( 1) ( 1)( ) (2)

2

n nn n

n nf x f

x

จะไดอนุกรมเทยเลอรเปน 1

21 1 ( 1)ln 2 ( 2) ( 2) ... ( 2) ...

2 4 2! 2 !

nn

nx x x

n




1. จงเขียนอนุกรมแมคคลอรนิ จากฟงกชันท่ีกําหนดให 1) ( )f x xe 2) ( )f x sin3x

3) ( )f x cos( )x 4) ( )f x cosh2

x xe ex

5) ( )f x 2

1 cos2

xx 6) ( )f x 2xe

7) ( )f x ln(3 2 )x 8) ( )f x sinxe x

9) ( )f x 2 1 cos 2sin

2

xx

10) ( )f x 2x

11) ( )f x 3 8 x 12) ( )f x cos ln(1 )x x

13) ( )f x 1

cosh1

xx

14) ( )f x 2sec sinx x x

2. จงเขียนอนุกรมเทยเลอร ณ ท่ี x a จากฟงกชันท่ีกําหนดให

1) ( ) ln , 1f x x a 2) 1

( ) , 2f x ax

3) ( ) sin ,4

f x x a

4) ( ) , 4f x x a

5) ( ) , 1f x e a 6) 1( ) tan , 1f x x a

7) 2( ) 4 2 1, 1f x x x a 8) ( ) ln , 2f x x a 9) ( ) ln ,f x x a e 10) ( ) tan ,f x x a



แบบฝกหดัทบทวนทายบทที่ 8

1. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมตอไปนี้ และหาผลบวกของอนุกรมนั้นดวย เมื่ออนุกรมลูเขา

1) 1 2 3

ln ln ln ... ln ...2 3 4 1

n

n

2) 1

1

1 1 1 11 ... ( 1) ...

2 4 8 2n

n

3) 1

2 2 2 22 ... ...

3 9 27 3n 4) 5 5 5 5

... ...1 2 2 3 3 4 ( 1)n n

2. จงพิจารณาอนุกรมเรขาคณิตตอไปนี้วาลูเขาหรือไม ถาลูเขา ใหหาผลบวกของอนุกรมนั้นดวย

1) 1 1 1

1 ... ...3 9 3

n

2) 2 3

1 1 1... ...

7 7 7

n

3) 1

1

1 1 1 ( 1)1 ... ...

2 4 8 2

n

n

4)

5 6 73 3 3 3

... ...4 4 4 4

n

5) 1

1

2n

n

6)

1

17

3

n

n

3. จงพิจารณาอนุกรมพีตอไปนี้วาลูเขาหรือไม

1) 3

1

1

n n

2)

1

1

n n

3) 1

1n

n

4)

2

3

1n

n

5) 4

3

1n

n

6)

41

1

n n

7) 3 5

1

1

n n

8)

1

1

n n

9) 1 1 1

1 ...2 2 3 3 4 4

10) 1 1 1

1 ...4 2 9 3 16 4

4. จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาลูเขาหรือไมโดยใชปริพันธ

1) 1

ln

n

n

n

2)

21

1

1n n

3) 2

1

1

1n n n

4)

1

1

2 1n n

5) 1

1

lnn n n

6)

21 1n

n

n

5. จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาลูเขาหรือไมโดยใชการทดสอบแบบเปรียบเทียบ

1) 1

2

2 1n n

2) 1

2

3 1nn

3) 1

1

3 5nn

4) 1

2 1

3 2

n

nn n

5) 1

9

1n n

6)

2

1

sin

2nn

n



6. จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาลูเขาหรือไมโดยใชการทดสอบแบบเปรียบเทียบลิมิต

1) 3

1

2 3

n

n

n

2) 3 2

4 31

2 3 4

5 2 1n

n n

n n

3) 1

1

( 1)( 2)n n n

4) 2

1

3 2

2 5n

n

n

5) 1

3 4

2nn

n

n

6)

11

5n

n

n

n

7. จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาลูเขาหรือไมโดยใชการทดสอบโดยอัตราสวน

1) 1

2

3

n

n

n

2) 1 (2 2)!n

n

n

3) 3

1 !n

n

n

4)

1 2nn

n

5) 1

n

n

ne

6)

3

21

2

3

n

nn

7) 2

2

1

( 1)

3

n

nn

n

8) 2

1 2

n

nn

n

9) 1

!(2 1)!

(2 3)!n

n n

n

10)

1

1 4 7 ... (3 2)

3 5 7 ... (2 1)n

n

n

8. จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาลูเขาหรือไมโดยใชการทดสอบโดยรากท่ี n

1) 1 5

n

n

n

2) 2

1

1

3

n

n

n

n

3) 1

1

ln

n

n n

4) 1 5n

n

n

5) 1 (ln )n

n

n

n

6)

21

( !)

( )

n

nn

n

n

9. จงทดสอบอนุกรมสลับตอไปนี้วาลูเขาหรือไม

1) 12

1

1( 1)n

n n

2) 1

1( 1)

lnn

n n n

3) 1

1

1( 1)n

n

n

n

4)

21

21

( 1)5 2

n

n

n

n

5) 1

1

1( 1)

2 1n

n n

6) 1

1

1( 1)

3 1n

n

n

n

10. จงทดสอบอนุกรมตอไปนี้วาลูเขาแบบสมับูรณ ลูเขาแบบมีเง่ือนไข หรือลูออก

1) 1

1

( 1) (0.1)n n

n

2) 1

1

1( 1)n

n n

3) 13

1

( 1)1

n

n

n

n

4)

1

!

2nn

n



5) 1

1( 1)

3n

n n

6)

21

sin( 1)n

n

n

n

7) 1

1

3( 1)

5n

n

n

n

8) 13

1

1( 1)

lnn

n n

9) 12

1

1( 1)n

n

n

n

10)

1

1

( 2)

5

n

nn n

11) 2

1

2

3

n

n

n

12) 1

1

( 1) ( 10)n n

n

13) 1

21

tan( 1)

1n

n

n

n

14) 1

1

1( 1)

lnn

n n n

15) 1

1 1

2n n n

16) 1

1

(0.1)( 1)

nn

n n

11. จงหาชวงแหงการลูเขาของอนุกรมกําลังตอไปนี ้

1) 0

( 5)n

n

x

2) 0

( 2)n

n

x

n

3) 0

(2 )n

n

x

4)

0

( 1) ( 2)n n

n

x

n

5) 0

( 1)n

n

x

n

6) 0

3

!

n n

n

x

n

12. จงกระจายฟงกชันตอไปนี้เปนอนุกรมกําลังโดยใชแบบอนุกรมแมคคลอริน

1) ( ) xf x e 2) ( ) cosf x x

3) ( ) (1 )mf x x 4) ( ) sinhf x x 5) ( ) coshf x x 6) ( ) tanf x x

7) sin( ) xf x e 8) ( ) ln(cos )f x x

13. จงกระจายฟงกชันตอไปนี้เปนอนุกรมกําลังโดยใชแบบอนุกรมเทยเลอร 1) 3( )f x x เปนอนุกรมกําลังของ 2x

2) 4 2( ) 3f x x x เปนอนุกรมกําลังของ 1x 3) ( ) lnf x x เปนอนุกรมกําลังของ 1x

4) ( ) xf x e เปนอนุกรมกําลังของ 3x



เฉลยแบบฝกหัดท่ี 8.1

1. 19 2. 33 จํานวน 3. 2 2( 1)n b 4. พจนท่ี 7

5. 5120 6. 341 และ 205 7. 1458 8. 48

9. 13 10. 60 และ -420 11. 2

5

12. 1) ลูเขา: 1

2 2) ลูเขา: 3

2 3) ลูออก 4) ลูเขา: 0 5) ลูเขา: 1 6) ลูออก

7) ลูเขา: 0 8) ลูออก 9) ลูเขา: 0 10) ลูเขา: 0 11) ลูออก 12) ลูเขา: 0

13) ลูเขา: 0 14) ลูเขา: 1 15) ลูเขา: 0 16) ลูออก 17) ลูออก 18) ลูเขา: 0

19) ลูเขา: 3

2 20) ลูเขา: 0 21) ลูเขา: 0 22) ลูเขา: 0 23) ลูเขา:

4

24) ลูออก

เฉลยแบบฝกหัด 8.3

1. 1) 1 2 3 4

24 124 6244, , ,

5 25 125S S S S 2) 1 2 3 4

5 15 35 75, , ,

4 8 16 32S S S S

3) 1 2 3 4

1 3 7 15, , ,

4 4 4 4S S S S 4) 1 2 3 4

1 7 23 163, , ,

2 6 12 60S S S S

5) 1 2 3 4

1 1 3 1, , ,

6 4 10 3S S S S 6) 1 2 3 4

1 7 131, , ,

3 9 27S S S S

2. 1) ลูเขา: 1

4 2) ลูเขา: 4

7 3) ลูเขา: 8

9 4) ลูเขา: 8 5) ลูเขา: 5

3

e

e 6) ลูเขา:

2

1

1e

7) ลูเขา: 6 8) ลูออก 9) ลูเขา: 448

3 10) ลูออก 11) ลูออก 12) ลูเขา: 1

4

13) ลูเขา: 1

3 14) ลูเขา: 1

6 15) ลูออก 16) ลูออก 17) ลูออก 18) ลูเขา: 0

19) ลูออก 20) ลูเขา: 0 21) ลูออก 22) ลูออก 23) ลูออก 24) ลูออก 25) ลูออก 26) ลูออก 27) ลูออก 28) ลูออก 29) ลูออก 30) ลูออก 31) ลูออก 32) ลูเขา: 1

2 33) ลูเขา:10

3

3. 1) ลูเขา 2) ลูออก 3) ลูออก 4) ลูออก 5) ลูเขา 6) ลูเขา 7) ลูออก 8) ลูออก 9) ลูออก 10) ลูเขา

4. 1) ลูเขา เทียบกับ 1

1

4nn

2) ลูเขา เทียบกับ

21

1

n n


21

1

n n

4) ลูเขา เทียบกับ 2

1

2

n n


1

1n

n e


32

1

n n

7) ลูออก เทียบกับ 1

5

4

n

n

8) ลูออก เทียบกับ 2

1

n n


21

1

n n


1

2

3nn


3/21

1

n n


1

2

3

n

n


22

3

n

n


1

2

n n

15) ลูออก เทียบกับ

1

1

2n n


1

n n n



5. 1) ลูออก เทียบกับ 1

1

n n


21

1

n n


1

1

n n


1

2nn


1

1

3nn


1

1

n n

6. 1) ลูเขา 2) ไมสามารถทดสอบได 3) ลูออก 4) ลูเขา 5) ลูเขา 6) ลูเขา 7) ลูออก 8) ลูเขา 9) ลูเขา 10) ลูเขา 11) ลูออก 12) ไมสามารถทดสอบได 13) ลูออก 14) ลูเขา 15) ลูออก 16) ลูเขา 17) ลูออก 18) ลูเขา 19) ลูเขา 20) ลูเขา 21) ลูเขา 22) ลูเขา

7. 1) ลูเขา 2) ลูออก 3) ลูเขา 4) ลูเขา 5) ลูเขา 6) ลูออก 7) ลูเขา 8) ลูเขา 9) ลูออก 10) ลูเขา 11) ลูออก 12) ลูเขา 13) ลูออก 14) ลูเขา 15) ลูเขา 16) ลูออก 17) ลูเขา 18) ลูออก 19) ลูเขา 20) ลูเขา 8. 1) ลูเขาสมับูรณ 2) ลูเขาสมับูรณ 3) ลูออก 4) ลูเขาสมับูรณ 5) ลูเขาสมับูรณ 6) ลูออก 7) ลูเขาสมับูรณ 8) ลูเขาสมับูรณ 9) ลูเขาสมับูรณ 10) ลูเขาสมับรูณ 11) ลูเขาสมับรูณ 12) ลูเขาสมับรูณ 13) ลูออก 14) ลูเขาสมับรูณ 15) ลูเขาสมับรูณ 16) ลูออก 17) ลูเขาสมับรูณ 18) ลูออก 19) ลูเขาสมับรูณ 20) ลูออก เฉลยแบบฝกหัด 8.4

ขอ ศูนยกลางลูเขา รัศมีลูเขา ชวงลูเขา ขอ ศูนยกลางลูเขา รัศมีลูเขา ชวงลูเขา 1. 0 1 [ 1,1) 2. 0 2 ( 2, 2)3. 0 1 ( 1,1] 4. 0 1 [ 1,1)5. 0 1 [ 1,1] 6. 0 1 [ 1,1)

7. 0 R 8. 0 1

5

1 1,

5 5

9. 0 1 [ 1,1] 10. 0 R 11. 0 R 12. 0 1 [ 1,1]13. 0 1 ( 1,1) 14. 0 R

15. 0 2 ( 2, 2] 16. 0 1

3

1 1,

3 3

17. 0 1 [ 1,1) 18. 0 0 {0} 19. 0 3 [ 3,3) 20. 0 1 ( 1,1]

21. -1 1 ( 2,0] 22. -5 4

3

19 11,

3 3

23. -1 1 [ 2,0] 24. 1 R

25. 4 10 ( 6,14) 26. 2 1

9

17 19,

9 9

27. -4 8 ( 12, 4) 28. e e (0, 2 )e

29. -6 0 {-6} 30. 1

2

1

2 [0,1]



เฉลยแบบฝกหัด 8.5

1. 1) 2 3

1 ...2! 3!

x xx 2)

3 5 7(3 ) (3 ) (3 )3 ...

3! 5! 7!

x x xx 3)

2 4 6

1 ...2! 4! 6!

x x x

4) 2 4 6

1 ...2! 4! 6!

x x x 5)

4 6 8 10

...4! 6! 8! 10!

x x x x 6) 2 3 44 2

1 2 2 ...3 3

x x x x

7) 2 32 2 8ln3 ...

3 9 81x x x 8)

3 52 ...

3 30

x xx x 9)

2 3 4 5 6 7 82 2 2 2...

2! 4! 6! 8!

x x x x

10) 0

(ln 2)

!

n n

n

x

n

11)

3 10

1( 1) 3

2

nn

nn

x

n

12) 2 3 53

...2 6 40

x x xx

13) 2 3 43 3 37

1 ...2 3 24

x x xx 14)

3 5612 ...

6 120

x xx

2. 1) 2 31 1( 1) ( 1) ( 1) ...

2 3x x x 2) 2 31 1 1 1

( 2) ( 2) ( 2) ...2 4 8 16

x x x

3) 22 2 2( ) ( ) ...

2 2 4 4 4x x

4) 2 31 1 1

2 ( 4) ( 4) ( 4) ...4 64 512

x x x

5) 2 3( 1) ( 1) ( 1) ...2! 3!

e ee e x x x 6) 2 31 1 1

( 1) ( 1) ( 1) ...4 2 4 12

x x x

7) 243 26( 3) 4( 3) ...x x 8) 1

1

( 1) ( 2)ln 2

2

n n

nn

x

n

9) 2 3

2 3

( ) ( )1 ...

2 3

x e x e x e

e e e

10) 31

( ) ( ) ...3

x x

เฉลยแบบฝกหัดทบทวนทายบทท่ี 8

1. 1) ln( 1)nS n , ไมลูเขา 2) 2 1 2

1 , lim3 2 3

n

n nnS S

3)

13 1 , lim 3

3

n

n nnS S

4)

55 , lim 5

1n nnS S

n

2. 1) ลูเขา: 3

2 2) ลูเขา: 1

42 3) ลูเขา: 4

3

4) ลูเขา: 4 5) ลูออก 6) ลูเขา: 7

2

3. 1) ลูเขา 2) ลูออก 3) ลูออก 4) ลูออก 5) ลูเขา 6) ลูออก 7) ลูเขา 8) ลูเขา 9) ลูเขา 10) ลูเขา

4. 1) ลูออก 2) ลูเขา 3) ลูเขา 4) ลูออก 5) ลูออก 6) ลูออก 5. 1) ลูออก 2) ลูเขา 3) ลูเขา 4) ลูเขา 5) ลูออก 6) ลูเขา 6. 1) ลูเขา 2) ลูออก 3) ลูเขา 4) ลูเขา 5) ลูเขา 6) ลูเขา 7. 1) ลูเขา 2) ลูเขา 3) ลูเขา 4) ลูเขา 5) ลูเขา 6) ลูเขา 7) ลูเขา 8) ลูเขา 9) ลูออก 10) ลูออก

8. 1) ลูออก 2) ลูเขา 3) ลูเขา 4) ลูเขา 5) ลูเขา 6) ลูออก



9. 1) ลูเขา 2) ลูเขา 3) ลูออก 4) ลูเขา 5) ลูเขา 6) ลูออก 10. 1) ลูเขาแบบสัมบูรณ 2) ลูเขาแบบมีเง่ือนไข 3) ลูเขาแบบสัมบูรณ 4) ลูออก 5) ลูเขาแบบมีเง่ือนไข 6) ลูเขาแบบสัมบูรณ 7) ลูออก 8) ลูเขาแบบมีเง่ือนไข 9) ลูเขาแบบมีเง่ือนไข 10) ลูเขาแบบสัมบูรณ 11) ลูเขาแบบสัมบูรณ 12) ลูออก 13) ลูเขาแบบสัมบูรณ 14) ลูเขาแบบมีเง่ือนไข 15) ลูออก 16) ลูเขาแบบสัมบูรณ

11. 1) 6 4x 2) 1 3x 3) 1 1

2 2x

4) 3 1x 5) 0 2x 6) x

12. 1) 2 3 4

1 ...2! 3! 4!

x x xx 2)

2 4 6

1 ...2! 4! 6!

x x x

3) 2 3( 1) ( 1)( 2)1 ...

2! 3!

m m m m mmx x x

4)

3 5 7

...3! 5! 7!

x x xx

5) 2 4 6

1 ...2! 4! 6!

x x x 6)

3 52...

3 15

x xx

7) 2

1 ...2

xx 8)

2 4 6

...2 12 45

x x x

13. 1) 2 38 12( 2) 6( 2) ( 2)x x x 2) 2 31 6( 1) 7( 1) 4( 1) ...x x x

3) 2 3( 1) ( 1)

( 1) ...2 3

x xx

4)

2 33 ( 3) ( 3)

1 ( 3) ...2! 3!

x xe x

sequence and series 03

Documents