series y transformadas de fourier en tiempo continuo

SERIES y TRANSFORMADAS

DE FOURIER (Tiempo continuo)

Funciones Periódicas

Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente

propiedad para todo valor de t.

f(t)=f(t+T)

A la constante mínima para la cual se cumple lo

anterior se le llama el período de la función

Repitiendo la propiedad se puede obtener:

f(t)=f(t+nT), donde n=0,1, 2, 3,...


Se podría pensar que cualquier suma de funciones periódicas produce una función periódica.

Esto no es así, por ejemplo, al considerar la función

f(t) = g(t+T1) + h(t+T2)

Para que f(t) sea periódica de período T, se requiere encontrar dos enteros m y n tales que

T = n T1 = m T2

De donde

Es decir, la relación w2/ w1 o T1/T2 debe ser un número racional.

1

2

2

1

w

w

n

m

T

T


Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función

Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Pero como se sabe cos(x+2kp)=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que

T/3=2k1p, T/4=2k2p

Es decir,

T = 6k1p = 8k2p

Donde k1 y k2 son enteros,

El valor mínimo de T se obtiene con k1=4, k2=3, es decir,T=24p

)?cos()cos(f(t)4t

3t

)cos()cos(T)f(t4Tt

3Tt )cos()cos(f(t)

4t

3t


Gráfica de la función

0 50 100 150 200 -3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

T

)cos()cos(f(t)4t

3t


Ejemplo: la función cos(3t)+cos(p+3)t no es periódica, ya que no es un número racional.

p

w

w

3

3

2

1

0 5 10 15 20 25 30 -2

-1

0

1

2 f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

t

f(t)

Serie Trigonométrica de Fourier

Algunas funciones periódicas f(t) de período T

pueden expresarse por la siguiente serie, llamada


f(t) = a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+...

+ b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+...

Donde w0=2p/T.

Es decir,

])()cos([)( 00

1

0 tnsenbtnaatf n

n

n

n ww


Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si se observa que el término ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como

Se puede encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en el círculo de radio Cn:

w

w

)tn(sen

ba

b)tncos(

ba

aba 02

n2n

n02

n2n

n2n

2n


Con lo cual la expresión queda

n2n

2n

n

n2n

2n

n

senba

b

cosba

a

an

bn

2

n

2

nn baC

n

)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn ww

)tncos(C n0n w

bn


Si además se define C0=a0 , la serie de Fourier se

puede escribir como

Así,

y

w1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

2

n

2

nn baC

n

n1n

a

btan


Tarea:

Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y

n, de manera que la serie de Fourier se pueda

escribir como

w1n

n0n0 )tn(senCC)t(f

Componentes y armónicas

Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0.

A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+n) se le llama la enésima armónica de f(t).

A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su período es el mismo que el de f(t)

A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.


A la componente de frecuencia cero C0, se le

llama componente de corriente continua o

directa (cd) y corresponde al valor promedio de

f(t) en cada período.

Los coeficientes Cn y los ángulos n son

respectivamente las amplitudes y los ángulos de

fase de las armónicas.


Ejemplo: La función

Como ya se mostró tiene un período T=24p, por lo tanto

su frecuencia fundamental es w0=1/12 rad/seg.

Componente fundamental es de la forma:

0*cos(t/12).

Tercer armónico:

cos(3t/12)=cos(t/4)

Cuarto armónico:

Cos(4t/12)=cos(t/3)

0 50 100 150 200

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

)cos()cos(f(t)4t

3t


Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene

tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su

componente de cd es cero, en cambio

0 50 100 150 200 -3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24p

)cos()cos(1f(t)4t

3t

Tiene tantas partes

arriba como abajo

de 1 por lo tanto,

su componente de

cd es 1.

Ortogonalidad de senos y cosenos

Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son

ortogonales en el intervalo a<t<b si dos

funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho

conjunto cumplen

nmparar

nmpara0dt(t)(t)ff

n

b

anm


Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2<t< T/2.

1,cosw0t, cos2w0t, cos3w0t,...,senw0t,sen2w0t,sen3w0t,...

(para cualquier valor de w0=2p/T).

Para verificar lo anterior se puede probar por pares:

1.- f(t)=1 Vs. cos(mw0t):

Ya que m es un entero.

0m

)(msen2

m

T/2)(msen2

m

t)(msent)dtcos(m

00

0

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

w

p

w

w

w

w w


2.- f(t)=1 Vs. sen(mw0t):

3.- cos(mw0t) Vs. cos(nw0t):

0T/2)]m(cos-T/2)m[cos(m

1

m

t)(mcost)dtsen(m

00

0

2/T

2/T

0

02/T

2/T0

www

w

w w

ww

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)cos(ncos(m

2/T

2/T00


4.- sen(mw0t) Vs. sen(nw0t):

5.- sen(mw0t) Vs. cos(nw0t):

n,mcualquierpara0t)dtt)cos(nsen(m2/T

2/T00 ww

ww

0nmpara2/T

nmpara0t)dtt)sen(nsen(m

2/T

2/T00


Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5, son útiles las siguientes identidades trigonométricas:

cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]

sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)]

sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]

Además:

sen2 = ½ (1-cos2)

cos2 = ½ (1+cos2)

Cálculo de los coeficientes de la Serie

Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?

Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...

Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.

])()cos([)(1

000

n

nn tnsenbtnaatf ww


Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e

integrando de –T/2 a T/2, se obtiene:

Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e

integrando de –T/2 a T/2, se obtiene:

Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, se

obtiene:

,...3,2,1)cos()(

2/

2/

02

ndttntfa

T

T

Tn w

,...3,2,1)()(

2/

2/

02

ndttnsentfb

T

T

Tn w

2/

2/

10 )(

T

T

Tdttfa


El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen.

Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un período completo:

(de t0 a t0+T, con t0 arbitrario)

las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.


Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la

siguiente función de período T:

Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

2T

2T

t0para1

0tpara1)t(f


Coeficientes an: w

2/T

2/T0T

2n dt)tncos()t(fa

w w

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

w

ww

w

0

2/T

0

02/T

0

0

0T2 )tn(sen

n

1)tn(sen

n

1

0npara0


Coeficiente a0:

2/

2/

10 )(

T

T

Tdttfa

2/

0

0

2/

1

T

T

Tdtdt

0

2/

2/

0

1

T

T

Ttt

0


Coeficientes bn: w

2/T

2/T0T

2n dt)tn(sen)t(fb

w w

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tn(sendt)tn(sen

w

ww

w

0

2/T

0

02/T

0

0

0T2 )tncos(

n

1)tncos(

n

1

)1)n(cos())ncos(1(n

1pp

p

0npara))1(1n

2 n p


Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como

En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0=p, es decir, T=2:

...)t5(sen)t3(sen)t(sen4

)t(f 051

031

0 wwwp


-1 -0.5 0 0.5 1 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Componentes de la Serie de Fourier

t

Co

mp

on

en

tes

Suma

fundamental

tercer armónico

quinto armónico

septimo armónico

Funciones Pares e Impares

Una función (periódica o no) se dice función par

(o con simetría par) si su gráfica es simétrica

respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es

par si f(t) = f(-t)

p p

f(t)

t p p


En forma similar, una función f(t) se dice

función impar o con simetría impar, si su gráfica

es simétrica respecto al origen, es decir, si

cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t) (Valor medio nulo)

p p

f(t)

t p p


Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares?

f(t) = t+1/t

g(t) = 1/(t2+1),

Solución:

Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar.

Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.


Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t2) es par o impar?, donde f es una función arbitraria.

Solución:

Sea g(t)= 1+t2, Entonces h(t)=f(g(t))

Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)),

Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),

finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).


Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares:

h(t) = sen (1+t2)

h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)

h(t) = cos (2+t2)+1

h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2

etc...

Ya que todas tienen la forma f(1+t2)


Como la función sen(nw0t) es una función impar para todo n0 y la función cos(nw0t) es una función par para todo n, es de esperar que:

• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n

• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n


Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1


)t(f 051

031

0 wwwp

Simetría de Media Onda

Una función periódica de período T se dice

simétrica de media onda, si cumple la propiedad

Es decir, si en su gráfica las partes negativas son

un reflejo de las positivas pero desplazadas

medio período:

)t(f)Tt(f21

f(t)

t

Simetría de Cuarto de Onda

Si una función tiene simetría de media onda y además es función par o impar, se dice que tiene simetría de cuarto de onda par o impar

Ejemplo: Función con simetría impar de cuarto de onda:

f(t)

t

Simetría de Cuarto de Onda

Ejemplo: Función con simetría par de cuarto de onda:

f(t)

t

Simetrías y Coeficientes de Fourier

Simetría Coeficientes Funciones

en la serie

Ninguna Senos y

cosenos

Par bn=0 únicamente

cosenos

Impar an=0 únicamente

senos

media

onda

Senos y

cosenos

impares

w

2/

0

04 )cos()(

T

Tn dttntfa

w

2/

0

04 )()(

T

Tn dttnsentfb

w

imparndttntf

parn

aT

Tn

2/

0

04 )cos()(

0

w

imparndttnsentf

parn

bT

Tn

2/

0

04 )()(

0

w

2/

2/

02 )cos()(

T

T

Tn dttntfa

w

2/

2/

02 )()(

T

T

Tn dttnsentfb


Simetría Coeficientes Funciones

en la serie

Ninguna Senos y

cosenos

¼ de

onda par

an=0 (n par)

bn=0

Sólo

cosenos

impares

¼ de

onda

impar

an=0

bn=0 (n par) Sólo

senos

impares

w

2/

2/

02 )cos()(

T

T

Tn dttntfa

w

2/

2/

02 )()(

T

T

Tn dttnsentfb

)(

)cos()(

4/

0

08

imparn

dttntfaT

Tn w

)(

)()(

4/

0

08

imparn

dttnsentfbT

Tn w


Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo:

Es una función con simetría de ¼ de onda impar, por ello su serie de Fourier sólo contiene términos seno de frecuencia impar:

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1


)t(f 051

031

0 wwwp

Fenómeno de Gibbs

Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, la sumatoria se aproximará más a f(t).

Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que se agregan armónicos.

Por ejemplo, si se considera el tren de pulsos anterior:

Fenómeno de Gibbs

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 1 armónico

Fenómeno de Gibbs

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 3 armónicos

Fenómeno de Gibbs

-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


Forma Compleja de la Serie de Fourier

Consideremos la serie de Fourier para una

función periódica f(t), con período T=2p/w0.

f(t) = a0 + ∑ an cos(nω0 t) + bn sen(nω0 t)

Es posible obtener una forma alternativa usando

las fórmulas de Euler:

Donde )ee()tn(sen

)ee()tncos(

tjntjn

j21

0

tjntjn

21

0

00

00

ww

ww

w

w

1j


La serie se puede escribir como

O bien,

Es decir,

)ecec(c)t(f1n

tjn

n

tjn

n000

w

w

w

w

1n

tjn

n

1n

tjn

n000 ececc)t(f

w

n

tjn

n0ec)t(f


A la expresión obtenida

Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes

Para n=0, 1, 2, 3, ...

w

T

0

tjn

T1

n dte)t(fc 0

w

n

tjn

n0ec)t(f

tjn

nb

a

nn

b

a

n

n etgcon

dttgtg

dtgtf

c 0)(

)()(

)(

*

*

w


Los coeficientes cn son números complejos, y

también se pueden escribir en forma polar:

Obviamente,

Donde ,

Para todo n0,

Para n=0, c0 es un número real:

nj

nn ecc

nj

n

*

nn eccc

2

n

2

n21

n bac )a

barctan(

n

nn

00 ac


Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:

Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn):

an=0 para todo n

y

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

ntodopara])1(1[b n

n2

n p


Se pueden calcular los coeficientes cn de:

Entonces la Serie Compleja de Fourier queda

])1(1[j]jba[c n

n2

21

nn21

n p

])1(1[jc n

n1

n p

...)eee

eee(...j)t(f

t5j

51t3j

31tj

tjt3j

31t5j

512

000

000

www

www

p


Solución 2. También se pueden calcular los coeficientes cn mediante la integral

w

T

0

tjn

T1

n dte)t(fc 0

)dtedte(

T

2/T

tjn

2/T

0

tjn

T1 00

ww

)ee(2/T

T

tjn

jn1

0

2/T

tjn

jn1

T1 0

o

0

o

w

w

w

w

)]ee()1e[(2/TjnTjn2/Tjn

Tjn1 000

o

www

w


Como w0T=2p y además

Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.

jsencose j

)])1(1()1)1[(c nn

Tjn1

n o

w

])1(1[j n

Tn2

o

w

])1(1[j n

n1 p

Espectros de Frecuencia Discreta

A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular w de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase n de los coeficientes cn contra w, se le llama el espectro de fase de f(t). Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular w=nw0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.


Dada una función periódica f(t), le corresponde

una y sólo una serie de Fourier, es decir, le

corresponde un conjunto único de coeficientes

cn.

Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en

el dominio de la frecuencia de la misma manera

que f(t) especifica la función en el dominio del

tiempo.


Ejemplo. Para la función ya analizada:

Se encontró que

Por lo tanto,

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

])1(1[jc n

n1

n p

])1(1[c n

n1

n p


El espectro de amplitud se muestra a continuación

Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia,

(n=número de armónico = múltiplo de w0).

-30 -20 -10 0 10 20 30 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7 Espectro de Amplitud de f(t)

n

C

n

Frecuencia negativa (?) Frecuencia

Potencia y Teorema de Parseval

El promedio o valor medio de una señal

cualquiera f(t) en un período dado (T) se puede

calcular como la altura de un rectángulo que

tenga la misma área que el área bajo la curva de

f(t)

1 f(t)

t

h=Altura

promedio

T

0

dt)t(fArea

T

Area=Th


De acuerdo a lo anterior, si la función periódica

f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la

potencia promedio entregada a una carga

resistiva de 1 ohm en un período está dada por

Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el

promedio en un período será el promedio en

cualquier otro período.

dttfT

T

T

2/

2/

2)]([1


El teorema de Parseval permite calcular la integral de

[f(t)]2 mediante los coeficientes com-plejos cn de

Fourier de la función periódica f(t):

)(2

1)]([

escoeficient los defunción en bien o

)]([

2

1

22

0

2/

2/

21

22/

2/

21

n

nn

T

T

T

nn

n

n

T

T

T

baadttf

bya

cdttf


Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado: El valor cuadrático medio de una función periódica f(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir, Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente directa o de continua.

1n

2

n2

0

2/T

2/T

2

T1

2

CCdt)]t(f[


Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relación entre los coeficientes complejos cn de la serie

Y los coeficientes reales Cn de la serie

Donde Cn es la amplitud del armónico n-ésimo y C0 es la componente de directa.

w

n

tjn

n0ec)t(f

w1n

n0n0 )tncos(CC)t(f


Por un lado

Mientras que

Entonces, Por lo tanto,

Además, para el armónico Su valor rms es , por lo tanto su valor cuadrático medio es

Para la componente de directa C0, su valor rms es C0, por lo tanto su valor cuadrático medio será C0

2.

,baC 2

n

2

nn

2

n

2

n21

n bac

n21

n Cc 2

n41

2

n Cc

)tncos(C)t(f n0nn w

2/Cn

2/C2

n


Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de

la función f(t):

Solución.

Del teorema de Parseval

y del ejemplo anterior

sustituyendo

1 f(t)

t . . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

n

2

n

2/T

2/T

2

T1 cdt)]t(f[

])1(1[c n

n1

n p

p

...49

1

25

1

9

11

8c

2n

2

n


La serie numérica obtenida converge a

Por lo tanto,

Como era de esperarse.

2337.1...49

1

25

1

9

11

1)2337.1(8

cdt)]t(f[2

n

2

n

2/T

2/T

2

T1

p

De la Serie a la Transformada de Fourier

La serie de Fourier permite obtener una

representación en el dominio de la frecuencia

para funciones periódicas f(t).

¿Es posible extender de alguna manera las series

de Fourier para obtener el dominio de la

frecuencia de funciones no periódicas?

Consideremos la siguiente función periodica de

periodo T


Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y período

T:

1 f(t)

t

. . . -T -T/2 0

T/2

T . . .

p

-p/2 p/2

2T

2

p

2

p

2

p

2

p

2T

t0

t1

t0

)t(f


Los coeficientes de la Serie Compleja de Fourier

en este caso resultan puramente reales:

El espectro de frecuencia correspondiente se

obtiene (en este caso) graficando cn contra

w=nw0.

)n(

)n(sen)(c

2

p

0

2

p

0T

p

nw

w


Espectro del tren de pulsos para p=1, T=2

-60 -40 -20 0 20 40 60-0.2

0

0.2

0.4

0.6

w=nw0

cn


Si el período del tren de pulsos aumenta:

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=2

t

f(t)

t -20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=5

f(t)

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=10

t

f(t)

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=20

t

f(t)


En el límite cuando T, la función deja de ser

periódica:

¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de

Fourier?

-20 -10 0 10 20 0

0.5

1

1.5

p=1, T=

t

f(t)


-50 0 50 -0.1

0

0.1

0.2

0.3

p=1, T=5

-50 0 50 -0.05

0

0.05

0.1

0.15

p=1, T=10

-50 0 50 -0.02

0

0.02

0.04

0.06 p=1, T=20

-50 0 50 -0.2

0

0.2

0.4

0.6 p=1, T=2

w=nw0

cn


Si hace T muy grande (T): El espectro se

vuelve ¡continuo!


El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w. Así, la serie Al cambiar la variable discreta nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

w

n

tjn

n0ec)t(f


Como

La serie queda

O bien,

cuando T, nw0w y w0dw y la sumatoria

se convierte en

w

w

n

tjn

2/T

2/T

tjn

T1 00 edte)t(f)t(f

w

2/T

2/T

tjn

T1

n dte)t(fc 0

w

w

pw

n

tjn

0

2/T

2/T

tjn

21 00 edte)t(f)t(f

w

w

pw

dedte)t(f)t(f tjtj

21


Es decir, Donde Estas expresiones permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

w

pww de)(F)t(f tj

21

ww dte)t(f)(F tj

Identidad

de Fourier

Transformada

De Fourier


Notación: A la función F(w) se le llama

transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir

En forma similar, a la expresión que permite

obtener f(t) a partir de F(w) se le llama

transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

w

p

www de)(F)t(f)](F[ tj

211

F

ww dte)t(f)(F)]t(f[ tjF


Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso

rectangular f(t) siguiente

Solución. La expresión en el dominio del tiempo

de la función es

-p/2 0 p/2

1 f(t)

t

t0

t1

t0

)t(f

2

p

2

p

2

p

2

p


Integrando

Usando la fórmula de Euler

Obsérvese que el resultado es igual al obtenido

para cn cuando T , pero multiplicado por T.

w

w w

2/p

2/p

tjtj dtedte)t(f)(F

2/p

2/p

tj

j1 e

w

w

)ee( 2/pj2/pj

j1 ww

w

2/p

)2/p(senp)(F

w

ww


En forma Gráfica

-50 0 50

0

0.5

1

F(w) con p=1

w

F(w

)

series y transformadas de fourier en tiempo continuo

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