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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Centro de Ciências Físicas e Matemáticas - CFM PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA - PPGF
Fax: +55 (48) 3721-9068 Fone: (48) 3721-9758 CEP 88040-900 - Florianópolis - SC Cx. Postal 476
[email protected] www.pgfsc.ufsc.br
Gabarito processo seletivo 2012/2
1A – Uma partícula de massa m parte do repouso em x0 ( > 0) sob a ação de um campo de
força atrativo da forma F = – k/x3, onde k é uma constante positiva. Calcule quanto tempo a
partícula levará para atingir a origem (x = 0) e assinale a alternativa correta.
(X) mx04 /k
(b) mx04 /k
(c) mx02 /k
(d) mx02 /k
(e) Nenhuma das alternativas anteriores
Solução
A equação de movimento é
m dvdt
kx 3
usando a transformação de variável dvdt
dxdt
dvdx
v dvdx
,
obtemos
mv dv kx 3 dx,
integrando nos limites correspondentes e resolvendo para v(x), temos
v(x) dxdt
k
mx02
x02 x 2
x.
O sinal negativo foi escolhido pois estamos considerando o movimento na direção negativa de x, de forma que v(x) ≤ 0. Integrando em função do tempo t, temos
x dxx0
2 x2x0
x( t )
k
mx02 dt.
0
t
E obtemos a trajetória da partícula
x(t) x0 1 kmx0
4 t 2 , que se anula para t0 mx04 /k .
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1B – Uma barra uniforme rígida e fina de massa M está suportada por dois rolos idênticos que
giram rapidamente e cujos eixos estão separados por uma distância fixa a. A barra é
inicialmente colocada em repouso numa posição assimétrica, como mostra a figura abaixo.
Assuma que os rolos giram em sentidos opostos como mostrado na figura. O coeficiente de
atrito cinético entre a barra e os rolos é . Determine a equação de movimento da barra,
resolvendo-a para x(t), onde x é a distância do rolo 1 ao centro C da barra, x(0) x0 e
Ý x (0) 0. Assinale a resposta correta justificando com os cálculos.
(a) x(t) x0 cos2g
at
a2
(b) x(t) x0 cos 2ga t a2
(X) x(t) x0 a2
cos
2ga
t
a2
(d) x(t) x0 a2
cos 2ga t a
2
(e) Nenhuma das alternativas anteriores
Solução
Assumindo que a coordenada x é positiva para a direita. As equações para as forças e torques em relação ao centro de massa C da barra são: N1 N2 Mg; N1x N2(a x); M Ý Ý x f1 f2 (1) onde N1 e N2 são as forças normal e f1 e f2 são forças de atrito no primeiro e segundo rolos, respectivamente f1 N1; f2 N2 Das duas primeiras relações obtemos: N1 Mg(1 x /a); N2 Mg(x /a)
Combinando em (1), temos: Ý Ý x 2x g 0, onde 2 2g
a. A solução desta equação é
x Acos(t ) a2
, onde é uma constante de fase arbitrária. Tomando em conta as
condições iniciais x(0) x0 e Ý x (0) 0 temos a solução final
1 2
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x(t) x0 a2
cos
2ga
t
a2 , que corresponde a um movimento harmônico simples.
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2A – Um satélite de massa m move-se em uma órbita circular de raio R com velocidade v ao
redor da Terra. Abruptamente ele absorve uma pequena quantidade de massa m que estava
em repouso antes da colisão. Calcule a variação de energia total do satélite e o raio R da nova
órbita (considerando-a circular). Assinale a resposta correta.
(a) E 12
m2v 2
m m; R
m mm
2
R
(b) E 12
m2v 2
m m; R
m mm
R
(c) E m2 v2m
2(m m); R
m mm
R
(X) E mv2m
2(m m); R
m mm
2
R
(e) Nenhuma das alternativas anteriores
Solução
Antes da absorção da pequena quantidade de massa, o satélite move-se em uma órbita circular onde mv2
R
GMmR2 Rv2 GM , onde M é a massa da Terra. Sua energia total é
E 12
mv 2 GMm
R
12
mv 2 .
Após a absorção da quantidade de matéria, a velocidade do satélite muda para
v mv
m m e a energia total será E
12
m2v 2
m m. Logo a energia perdida pelo satélite
devido à colisão será E E E 12
mv 2 mm m
.
O raio da nova órbita (circular) será dado por R v 2 GM Rv
R m m
m
2
R
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2B – Um asteróide de dimensão desprezível e massa m está movendo-se na direção de um
planeta de massa M e raio R, desde uma longa distância, com velocidade inicial v0 e parâmetro
de impacto d (ver figura abaixo). Determine o valor mínimo de v0 para que o asteróide não
atinja o planeta. Assinale a alternativa correta justificando com os cálculos.
(a) v0 GMR
d2 R2
(X) v0 2GMRd2 R2
(c) v0 2GMRd 2 R2
(d) v0 GMR
d 2 R2
(e) Nenhuma das alternativas anteriores
Solução
O momento angular inicial do asteróide em torno do centro do planeta é L=mv0d. Para o asteróide não colidir com o planeta ele deve passar rente à superfície do mesmo. Neste ponto v será perpendicular à direção radial do planeta, e o momento angular será L’ = mvR. Por conservação de momento angular L = L’ e temos
mvR mv0d v v0dR
Por conservação de energia temos 12
mv02
12
mv GMmR
v 2 v02
2GMR
e portanto
v0 2GMRd2 R2
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3A – No arranjo mostrado na figura abaixo, o raio da polia é r, seu momento de inércia sobre
o eixo de rotação é I e k é a constante da mola. Assuma que não há atrito entre o fio e a polia e
que as massas do fio e da mola são desprezíveis. Neste caso, a frequência angular de pequenas
oscilações deste sistema será dada por uma das alternativas abaixo. Assinale a alternativa
correta e justifique com os cálculos.
(a) kx 2
mr2 I
(b) mr2 I
kr2
(c) kr2
mr2 I
(X) kr2
mr2 I
(e) Nenhuma das alternativas anteriores
Solução
A energia cinética total do sistema é K 12
mÝ x 2 12
I Ý 2.
Substituindo x por r e Ý x por r Ý , temos
K 12
mr2 Ý 2 12
I Ý 2 12
(mr2 I) Ý 2
A energia potencial da mola é U 12
kx 2 12
kr2 2.
Energia total: E K U 12
(mr2 I) Ý 2 12
kr 2 2 constante
Derivando em função do tempo: dEdt
(mr2 I) Ý Ý Ý kr2 Ý 0
Que dá uma equação para um movimento harmônico simples: Ý Ý kr2
mr2 I 0 , com frequência
angular
kr2
mr2 I
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3B – Uma massa m1, com velocidade inicial v0, colide com um sistema massa-mola com
massa m2, inicialmente em repouso. A mola tem massa desprezível e constante k. Não há
atrito. Calcule a máxima compressão que a mola sofrerá e assinale a alternativa correta.
(a) v0 m1m2
k (m1 m2)
(b) m1 m2
k m1m2
v0
(X) m1m2
(m1 m2)kv0
(d) v0(m1 m2)
k m1m2
(e) Nenhuma das alternativas anteriores
Solução
A máxima compressão ocorre quando as duas massas m1 e m2 possuem a mesma velocidade.
m1v0 (m1 m2)v12
m1v02
12
(m1 m2)v 2 12
kA2
onde A é a máxima compressão da mola. Resolvendo a primeira equação para v, temos
v m1
m1 m2
v0
Substituindo na segunda, encontramos A:
A m1m2
(m1 m2)kv0
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d
i
a
b
4A- Uma espira condutora retangular com dois lados paralelos de comprimentos a e b é
colocada próxima a um fio que conduz uma corrente constante i, como representado no
desenho. O lado mais próximo está a uma distância d do fio. Assinale a resposta que indique o
fluxo magnético através da bobina. Justifique a resposta com os cálculos.
A ( )
aadib
ln2
0
B ( )
dabid
ln2
0
C ( )
badib
ln4
0
D ( )
bbdia
ln4
0
E (X) nenhuma das respostas anteriores. Resolução:
0ildB
, 00cos iBdl , 02 irB
ri
rB2
)( 0 , dadbri
d2
0 ,
dadbidr
rdri bad
d
ln22
0
0
´´0
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4B- Fluxo magnético Um condutor cilíndrico longo de raio R é percorrido por uma corrente i distribuída
uniformemente em sua seção reta. Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento
do fio através da superfície definida no interior do fio, como representado no desenho.
Assinale a alternativa correta justificando a resposta com os cálculos.
A (X) 4
iL
o
B ( ) Ri
Lo
4
C ( )
4
2iRL
o
D ( )
2
2 RiL
o
E ( ) Nenhuma das respostas anteriores Solução Usando a lei de Ampère sem o termo de correntes de deslocamento
ildB 0
, 2
2
0)(RridlrB , 2
2
02)(RrirrB , i
Rr
rB 20
2)(
0
L R
r
idrRrdbadB
0 02
0
2
,
R
r
rdrRiL
02
0
2
,
40iL
i
L
R i
L
R
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5A- Uma barra condutora de comprimento l se desloca com velocidade v ao lado de um fio
por onde circula uma corrente de intensidade i, como representado no desenho. Calcule a
tensão induzida na extremidade da barra e assinale a resposta correta.
a ( X ) riLv
2
0
b ( ) Lirv
2
0
c ( ) rilv
2
0
d ( ) riLv
2
02
e ( ) nenhuma das respostas anteriores Solução Força de Lorentz.
BvqEqF
, No equilíbrio F=0, BvE
vri
vrBE2
)( 0
riLvdlv
rildE
L
22
0
0
0
, caminho de integração ao longo da haste metálica.
i
r
vL
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5B- Determine a expressão do módulo do campo magnético entre as placas de um capacitor de
placas paralelas circulares de raio R no vácuo, em um ponto a uma distância r da linha que liga
os centros das placas, para um valor de corrente i, que entra na placa positiva. Assinale a
alternativa correta justificando com os cálculos.
A ( X ) iRr
rB 20
2)(
B ( ) idRrrB
2)(
20
C ( ) iR
rrB 2
04)(
D ( ) idR
rrB 2
00
4)(
E ( ) Nenhuma das respostas anteriores Solução: Lei de Ampère generalizada:
dt
dildB E000
No interior do capacitor, onde a linha da integração está definida, não há corrente.
dt
dldB E00
dtErdrB
2
002 , o campo elétrico para um capacitor de placas paralelas
0
E
dt
drB 000 /
2
, dtdQ
Rr
B 20
2
iRr
B 20
2
i rR
d
i rR
d
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6A- Em 1832 Faraday propôs um aparato que poderia ser usado para medir a vazão de um rio
e atualmente o conceito é usado em diversas aplicações práticas. Duas placas metálicas
retangulares de lados a e b são colocadas nas margens de um rio, separadas por uma distância
d e conectadas em série com um amperímento e uma resistência R, como mostrado na figura.
O campo geomagnético local tem componente perpendicular B , em relação à velocidade de
escoamento v e o vetor d
, ambos horizontais. A resistividade da água do rio é .
Qual a expressão da corrente medida no amperímetro em termos dos parâmetros geométricos
das placas, da velocidade de escoamento v e da resistividade ? Assinale a resposta correta,
justificando com os cálculos.
A) (*)
dRbaabvBi
B) ( )
dR
vBi
C) ( )
baRdabvBi
D) ( ) RdabvB
i
E) ( ) dR
dvBi
/
Solução Admitindo força de Lorentz resultante nula:
0 BvqEqFL
O campo elétrico resultante entre as placas devido ao acúmulo de portadores de carga da água
é vBBvE
. Este campo elétrico gera uma diferença de potencial entre as placas
a
bv
AR
Bda
bvv
AAR
Bd
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definida por EdldE
ou dE / . A diferença de potencial em termos da
velocidade e do campo magnético: dvB .
A corrente é definida por 1RR
i
, onde
badR 1
Logo
dRbaabvB
badR
dvBi
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6B- Uma placa semicondutora de largura w, comprimento L e espessura t é conectada
eletricamente e colocada numa região com campo magnético uniforme como representada na
figura. A direção do campo magnético é perpendicular ao plano da placa. Entre os dois
contatos longitudinais é mantida uma corrente constante i. Nos contatos transversais à corrente
é conectado um voltímetro.
Entre as afirmações abaixo assinale as verdadeiras justificando a escolha.
1) A tensão estabelecida entre os terminais transversais permite caracterizar o tipo e a
densidade dos portadores de carga majoritários do semicondutor (lacunas ou elétrons).
2) O campo elétrico transversal surge devido à força magnética que desloca as cargas
para a lateral do dispositivo. Entretanto este campo fica tão intenso pelo acúmulo de
cargas que destrói o dispositivo num processo de ruptura de dielétrico e avalanche.
3) Nestas condições não aparece tensão alguma entre os terminais transversais. Só
aparece tensão nos terminais transversais enquanto houver variação da corrente.
4) O dispositivo pode ser usado como um sensor de campo magnético.
5) Se o semicondutor fosse substituído por um metal a tensão transversal resultante seria
muito maior.
A ) ( ) 1, 3 e 5 são afirmativas corretas. B ) ( ) 2 e 3 são afirmativas corretas. C ) ( ) 1 , 3 e 4 são afirmativas corretas D) (X) 2, 3 e 5 são afirmativas falsas E) ( ) 4 e 5 são corretas. Solução A força de Lorentz atuando sobre os portadores de carga:
BvqEqFL
Na condição de regime estacionário a força elétrica compensa a magnética e FL=0.
t
i
V
w
z
yx
Bz
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BvE
, zxy BvE é a componente do campo elétrico entre os contatos transversais. A
diferença de potencial associada ao campo elétrico, wBvwEV zxyH
A velocidade vx dos portadores de carga ( elétrons ou lacunas ) esta associada a densidade de corrente J e da densidade de portadores n com carga e:
xenvJ , logo a partir da tensão Hall estabelecida entre os terminais transversais,
wBenJV zH , pode-se encontrar a densidade de portadores em função do potencial medido,
uma vez que wti
AiJ
zH
BteV
in
Logo a afirmativa A é verdadeira, uma vez que a tensão Hall estabelecida entre os terminais é dependente da densidade de portadores e de sua carga. O sinal da tensão detectada depende da carga do portador elétrons (-) ou lacunas (+). A afirmativa B é falsa. O campo não aumenta indefinidamente pois a força elétrica gerada pelo acúmulo de cargas opõe-se a força magnética e atinge-se uma condição de equilíbrio, o que estabelece um campo elétrico estável e finito entre as placas. A afirmativa C esta errada. O efeito hall aparece tanto para corrente constante quanto para corrente alternada. A afirmativa D esta correta. O efeito Hall produz uma tensão que depende linearmente do campo magnético se os parâmetros do semicondutor usado forem estáveis com o campo ou temperatura. A afirmativa E esta errada. Se o número de portadores de carga aumenta a tensão hall diminui. Num metal a densidade de elétrons é da ordem de ~1022 eletrons/cm^3 e num semicondutor típico n~1014 /cm^3.
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7A- Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Você deve escrever uma
justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão desconsiderados.)
a) ( F ) Uma partícula livre com energia cinética E e comprimento de onda de Broglie entra em uma região com energia potencial V. Nesse caso, seu novo comprimento de onda será VE /1 .
Em uma região com potencial V, a energia da partícula seria Vm
pE 2
2
, como
ph
, teremos 21
1´
EV .
b) ( F ) Uma máquina com eficiência de 100% violaria a primeira lei da termodinâmica.
Viola a segunda lei, não a primeira.
c) ( F ) Um buraco negro é um objeto cujo campo gravitacional é tão forte que nem mesmo a luz consegue escapar. Se a Terra tivesse um raio de aproximadamente 30 cm, ela se tornaria um buraco negro. (dica: por simplicidade, considere o movimento de partículas de massas diferentes de zero).
Considerando a velocidade de escape igual à velocidade da luz, temos
rGmMmc 2
21 , o que fornece um raio da ordem de 1 cm.
d) (V) Um próton se move na direção z após ser acelerado a partir do repouso por uma
diferença de potencial V. O próton passa através de uma região com campo elétrico E na direção x e campo magnético B na direção y , mas sua trajetória não é afetada. Se a experiência fosse repetida, agora com uma diferença de potencial 2V, o desvio seria na direção x .
Efetuando o cálculo da força de Lorentz com os campos dados verifica-se que o desvio será na direção x .
e) ( F ) O muon decai com tempo característico de 610 segundos, em um elétron, neutrino de muon e anti-neutrino de elétron. O decaimento de um muon em um elétron e um só neutrino é proibido pela conservação da energia e do momento. A reação não ocorre devida à conservação do número leptônico.
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7B- Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Você deve escrever uma
justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão desconsiderados.)
a) ( F ) O comutador zyx LLL , vale 22
yx LLi . Calculando o comutador, teremos 22
yx LLi .
b) ( F ) Na expansão adiabática de um gás ideal, de um estado inicial i até um estado final f, a
variação de sua energia interna é dada por f
iPdV .
Nesse caso a variação da energia interna é negativa, - f
iPdV
.
c) ( V ) Quando partículas são direcionadas a átomos em uma folha de metal fina, algumas fazem colisões muito próximas dos núcleos e são espalhadas a ângulos grandes. Se uma partícula de energia cinética de 5 MeV for espalhada a um ângulo de o180 , sua distância de maior aproximação com o núcleo será aproximadamente 14109,2 m. (suponha que a folha é feita de prata, com Z=50). Nesse caso, quando tivemos a energia cinética igual à energia potencial elétrica:
rqqE 21
041
teremos 141098,2 r .
d) (F) Pelo príncipio de Mach, se não houvesse matéria no Universo, um corpo esférico, de massa m e raio R apresentaria maior inércia que um corpo de mesma forma e massa m/2 nesse Universo. Pelo princípio de Mach, se não existe massa, não existe inércia. e) ( F ) A energia de ligação do U238 é aproximadamente 7.6 MeV por nucleon. Se o núcleo se fissionar em dois fragmentos iguais, cada um terá energia cinética de aproximadamente 100 MeV. Desse modo, pode se concluir que núcleos com A = 120 devem ter energia de ligação próxima de 6.7 MeV/nucleon. Calculando teremos -8,37 MeV/nucleon.
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8A- O elétron no átomo de hidrogênio ocupa o estado de posição e spin dado por
21
11
21
0121 3
231 YYR
onde mlY são os harmônicos esféricos e
21
as autofunções da projeção do momento angular
de spin zS . Os valores esperados de 2L e zJ são respectivamente:
e) Nenhuma das anteriores
Calculando
222 2 LL
e
65
zzz SLJ .
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Centro de Ciências Físicas e Matemáticas - CFM PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA - PPGF
Fax: +55 (48) 3721-9068 Fone: (48) 3721-9758 CEP 88040-900 - Florianópolis - SC Cx. Postal 476
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8B- Uma partícula sujeita a um poço quadrado infinito é representada pela função de onda
xaAxx 0, , com ax 0 ,
onde a e A são constantes. Os valores de x e H são respectivamente:
e) Nenhuma das anteriores A normalização é dada por:
5
2
0
301a
Adxa
.
Temos então:
a adxxx0
*
2
e
H2
25ma
.
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9A- Determine o valor esperado da energia de uma partícula de massa m com hamiltoniana
eExxmm
pH 222
21
2
onde e, E e são constantes, sabendo que a partícula é descrita pela função de onda
xxx 31 3
231
,
onde n são as autofunções dessa hamiltoniana.
e) Nenhuma das anteriores Podemos reescrever a hamiltoniana como
102
222
22
2
221
2HH
mwEe
mweExmw
mpH
onde 0H ainda é uma hamiltoniana de oscilador harmônico (fornecendo os autovalores usuais) e 1H , uma constante. Desse modo,
2
22
21
21
mwEenwEn
,
2
22
21
617
mwEewE .
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9B- Considere o estado de spin 1/2 representado pelo espinor
12
51 . Qual é a
probabilidade de uma medida de 5/43 yx SS resultar em 2/ ?
a) 26%
O operador possui autovalores 2
e autovetores dados por
543
1
22 i .
Assim 250652
.
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10A- Considere um nêutron em uma caixa esférica
0
00)(
rrrr
rV
onde 140 10r m. Efetue o desenvolvimento da equação em coordenadas esféricas. Nesse
caso, a energia do estado fundamental (considere l = 0) será: (dica: na equação radial utilize rrRru nlmnlm . Depois resolva a equação para runlm )
a) 2 MeV
A equação radial para l = 0 possui a mesma forma que a equação de Schrödinger em uma dimensão. Para a partícula na caixa, os níveis de energia terão a mesma forma. Calculando obtemos b).
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10B- Um cone tem ângulo de abertura α e área de superfície lateral S em seu referencial
próprio. Determine a área de superfície lateral em um sistema que se move com velocidade
v=(4/5)c com relação ao sistema de repouso do cone na direção do seu eixo. (área da
superfície lateral = πrL, r = raio da base, L = geratriz do cone).
c) 2cos25161S
Temos v=(4/5)c, assim =5/3. Haverá contração de comprimento na direção de movimento (eixo do cone), sua altura será reduzida para
senSh
2cos53´ . Calculando a área com essa altura vem a resposta c.