sesi xiv deret - zacoeb.lecture.ub.ac.idzacoeb.lecture.ub.ac.id/files/2016/11/xiv-deret.pdf ·...
TRANSCRIPT
12/7/2015
1
Sesi XIV
DERET
e-Mail : [email protected]
www.zacoeb.lecture.ub.ac.id
Hp. 081233978339
Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105 Pengampu : Achfas Zacoeb
Pendahuluan
Deret Fourier ditemukan oleh ilmuan Perancis, Jean
Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) yang
menyatakan bahwa semua bentuk fungsi/sinyal
periodik dapat direpresentasikan ke dalam Deret
Fourier yang merupakan deret Sinusoidal (sinus &
cosinus). Perhatikan gambar sinyal berikut :
12/7/2015
2
Pendahuluan (lanjutan)
Gelombang = Getaran = Sinyal = Fungsi (model matematiknya)
mengakibatkan tekanan molekul udara di suatu daerah menjadi
tinggi & daerah lain rendah. Jika tekanan diukur sebagai fungsi
dari t, maka akan diperoleh fungsi periodik f(t).
Catatan :
1. Jika suatu bentuk sinyal/fungsi tertentu akan berulang
dengan bentuk yangg sama dalam setiap periode, maka
sinyal tersebut dikatakan sebagai sinyal periodik.
2. Gelombang suara merupakan gelombang sinus murni dengan
frekwensi tertentu.
Pendahuluan (lanjutan)
3. Frekwensi resultan gelombang suara merupakan sejumlah
nada dengan frekwensi 2, 3, 4, ... kali frekwensi dasar.
4. Frekwensi lebih tinggi berarti periode lebih pendek.
5. Jika 𝐬𝐢𝐧 𝛚𝒕 dan 𝐜𝐨𝐬 𝛚𝒕 = ferkwensi dasar, maka
𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 dan 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝛚𝒕 = nada harmonik yang lebih tinggi.
6. Kombinasi antara frekwensi dasar & harmoniknya
membentuk fungsi periodik dengan periode dasar.
7. Setiap sinyal periodik dapat dinyatakan sebagai penjumlahan
dari sinyal-sinyal harmonik.
8. Penjumlahan sinyal-sinyal harmonik dari suatu sinyal
periodik dinyatakan dalam Deret Fourier.
12/7/2015
3
Fungsi/Sinyal Periodik
Fungsi f(x) dikatakan punya periodik T atau f(x) periodik
dengan periode T, jika untuk setiap x berlaku :
𝒇 𝒙 + 𝐓 = 𝒇 𝒙
T = konstanta positif (T > 0), nilai terkecil T dinamakan periode
terkecil atau disingkat f(x). Grafik suatu sinyal/fungsi dengan
periode T didapat dengan menggambarkan grafik fungsi
dasarnya secara berulang seperti gambar berikut :
Fungsi/Sinyal Periodik (lanjutan)
1. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙
adalah 2
2. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙
adalah 2
3. Periode dari 𝒇 𝒙 = 𝐭𝐠 𝒙
adalah
12/7/2015
4
Deret Fourier (lanjutan)
Andaikan f(x) adalah sebuah fungsi periodik dengan periode T
yang terdefinisikan dalam selang dasar a < x < a + T, yakni f(x)
= f(x + T), maka fungsi f(x) dapat diuraikan dalam deret Fourier
sebagai berikut :
𝒇 𝒙 =𝒂𝟎
𝟐+ 𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬
𝒏𝝅𝒙
𝑳+ 𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧
𝒏𝝅𝒙
𝑳
∞
𝒏=𝟏
Dengan koefisien-koefisien a0, an, dan bn yang disebut sebagai
koefisien-koefisien Fourier, ditentukan oleh fungsi f(x) melalui
hubungan integral sebagai berikut :
Deret Fourier (lanjutan)
𝒂𝟎 =𝟏
𝑳 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒂+𝑻
𝒂
𝒂𝒏 =𝟏
𝑳 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬
𝒏𝝅𝒙
𝑳𝒅𝒙
𝒂+𝑻
𝒂
𝒃𝒏 =𝟏
𝑳 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧
𝒏𝝅𝒙
𝑳𝒅𝒙
𝒂+𝑻
𝒂
dengan T = periode dan L = ½ periode.
12/7/2015
5
Contoh
Diketahui fungsi f(x) sebagai berikut :
𝒇 𝒙 = 𝟏, 𝟎 < 𝒙 < 𝟏𝟎, 𝟏 < 𝒙 < 𝟐
Periodik dengan periode 2, sehingga 𝒇 𝒙 ± 𝟐 = 𝒇(𝒙), uraikan
fungsi tersebut dalam deret Fourier!
Penyelesaian :
Periode T = 2, sehingga L = ½ T = 1, interval dasarnya 0 x 2,
jadi a = 0. Ekspansi f(x) dalam daerah kiri dan kanan sumbu x
dapat dilihat pada gambar berikut :
Contoh (lanjutan)
Koefisien-koefisien Fourier dicari sebagai berikut :
𝒂𝟎 =𝟏
𝑳 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝒂+𝑻
𝒂
=𝟏
𝟏 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝟐
𝟎
= 𝟏 (𝟏)𝒅𝒙𝟏
𝟎+ (𝟎)𝒅𝒙
𝟐
𝟏
= 𝒅𝒙𝟏
𝟎
= 𝒙 𝟏𝟎
= 𝟏
12/7/2015
6
Contoh (lanjutan)
𝒂𝒏 =𝟏
𝑳 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬
𝒏𝝅𝒙
𝑳𝒅𝒙
𝒂+𝑻
𝒂
=𝟏
𝟏 𝒇 𝒙 𝐜𝐨𝐬
𝒏𝝅𝒙
𝑳𝒅𝒙
𝟐
𝟎
= 𝟏 𝟏𝟏
𝟎𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟎
𝟐
𝟏𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙
= 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙𝟏
𝟎
=𝟏
𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝟏
𝟎
=𝟏
𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅 − 𝐬𝐢𝐧 𝟎
= 𝟎
Contoh (lanjutan)
𝒃𝒏 =𝟏
𝑳 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧
𝒏𝝅𝒙
𝑳𝒅𝒙
𝒂+𝑻
𝒂
=𝟏
𝟏 𝒇 𝒙 𝐬𝐢𝐧
𝒏𝝅𝒙
𝟏𝒅𝒙
𝟐
𝟎
= 𝟏 𝟏𝟏
𝟎𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 + 𝟎
𝟐
𝟏𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙
= 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙𝟏
𝟎
= −𝟏
𝒏𝝅𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅𝒙 𝟏
𝟎
= −𝟏
𝒏𝝅𝐜𝐨𝐬 𝒏𝝅 − 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = −
𝟏
𝒏𝝅−𝟏 𝒏 − 𝟏
= 𝟐
𝒏𝝅, 𝒏 ganjil
𝟎, 𝒏 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
12/7/2015
7
Contoh (lanjutan)
Dengan demikian deret Fourier untuk fungsi f(x) adalah :
𝒇 𝒙 =𝒂𝟎
𝟐+
𝟐
𝒏𝝅𝐬𝐢𝐧 𝒏𝝅𝒙
∞
𝒌=𝟏
→ dalam hal ini 𝒏 = 𝟐𝒌 − 𝟏
=𝟏
𝟐+
𝟐
𝝅𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 +
𝟐
𝟑𝝅𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅𝒙 +
𝟐
𝟓𝝅𝐬𝐢𝐧𝟓 𝝅𝒙 + ⋯
=𝟏
𝟐+
𝟐
𝝅𝐬𝐢𝐧 𝝅𝒙 +
𝟏
𝟑𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅𝒙 +
𝟏
𝟓𝐬𝐢𝐧𝟓 𝝅𝒙 + ⋯
Syarat Dirichlet
Persyaratan sebuah fungsi f(x) agar dapat dinyatakan dalam
deret Fourier ditentukan oleh syarat Dirichlet sebagai berikut :
Jika (a) f(x) periodik dengan periode T
(b) bernilai tunggal serta kontinu bagian demi bagian dalam
interval dasarnya : a x a + T, dan
(c) 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙𝒂+𝒕
𝒂 nilainya berhingga,
Maka deret Fourier di ruas kanan konvergen ke nilai :
12/7/2015
8
Syarat Dirichlet (lanjutan)
f(x) di semua titik kekontinuan f(x) dan
½ 𝐥𝐢𝐦 𝒇 𝒙𝟎− + 𝒍𝒊𝒎 𝒇 𝒙𝟎+ di setiap titik ketakkontinuan
x0 (pada daerah lompatan).
Contoh :
Pada contoh sebelumnya (perhatikan gambar), tentukanlah
konvergen ke nilai berapa deret fourier tersebut di titik-titik
kekontinuan 𝑥 =1
2,3
2,3
4, −
5
2 dan di titik-titik ketakkontinuan x =
0, 1, 2, -3.
Syarat Dirichlet (lanjutan)
Penyelesaian :
Menurut syarat Dirichlet, maka :
- Di titik-titik kekontinuan :
𝒙 =𝟏
𝟐 konvergen ke 1 𝒙 =
𝟑
𝟒 konvergen ke 1
𝒙 =𝟑
𝟐 konvergen ke 0 𝒙 = −
𝟓
𝟐 konvergen ke 0
- Di titik-titik ketakkontinuan :
x = 0 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½
x = 1 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½
x = 2 konvergen ke ½ (0 + 1) = ½
x = -3 konvergen ke ½ (1 + 0) = ½
12/7/2015
9
Latihan
Diketahui fungsi f(t) sebagai berikut :
𝒇 𝒕 = 𝟑, −𝟐 < 𝒕 < 𝟎−𝟓, 𝟎 < 𝒕 < 𝟐
Periodik sehingga 𝒇 𝒕 + 𝟒 = 𝒇(𝒕) , uraikan fungsi tersebut
dalam deret Fourier dan gambarkan bentuk gelombangnya!
Lendutan Pelat Segiempat (Rectangular Slabs Deflection)
x
y z
x
y z
Mx Mx
My
My
Persamaan umum pelat klasik :
PDP Tk. 4, linier, non homogen
D
q
yx
w
y
w
x
w
22
4
4
4
4
4
2
Variabel terikat : w (lendutan)
Variabel bebas : x dan y (jarak)
Beban luar : q (data)
Kekakuan lentur : D (data)
2
3
13
2
EhD
12/7/2015
10
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love)
Persamaan umum pelat klasik :
Dalam bentuk operator laplace 2D :
Penyelesaian :
D
q
yx
w
y
w
x
w
22
4
4
4
4
4
.2
qwD 22
),(),(),( yxwyxwyxw ph
dengan :
wh(x,y) = penyelesaian homogen (ruas kanan = 0)
wp(x,y) = penyelesaian khusus/integral parsial (PDP non homogen)
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d
Metode Kirchhoff–Love adalah model matematika yang digunakan
untuk menentukan tegangan dan deformasi pada pelat tipis 2D akibat
gaya dan momen. Metode ini merupakan lanjutan dari teori balok Euler-
Bernoulli yang dikembangkan oleh Love (Inggris) pada tahun 1888
dengan menggunakan asumsi yang diusulkan oleh Kirchhoff seperti
berikut :
• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap lurus setelah
deformasi.
• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap normal pada
pertengahan permukaan setelah deformasi.
• Ketebalan plat tidak berubah selama deformasi.
12/7/2015
11
Contoh :
Pelat segi empat dengan tumpuan sederhana dan beban sinusoidal.
y
b
a
x
R
R R
R
a
b
Persamaan beban :
dengan q0 = intensitas beban di tengah pelat
b
y
a
xqq
sinsin0
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d
Persamaan umum pelat menjadi :
b
y
a
x
D
q
y
w
yx
w
x
w sinsin2 0
4
4
22
4
4
4
Kondisi batas untuk x = 0 dan x = a :
Lendutan,w = 0
Momen ujung, Mx = 0
Kondisi batas untuk y = 0 dan y = b :
Lendutan,w = 0
Momen ujung, My = 0
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d
12/7/2015
12
Persamaan lendutan pelat yang memenuhi kondisi batas :
b
y
a
xcw
sinsin
Konstanta c harus dihitung dengan memperhatikan kondisi batas,
sehingga didapatkan :
2
22
4
0
11
1
ba
D
qc
Sehingga persamaan lendutan pelat menjadi :
b
y
a
x
ba
D
qw
sinsin
11
12
22
4
0
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d
Penyelesaian dengan deret Fourier :
Secara praktis di lapangan, beban sinusoidal tidak ada (yang ada adalah
beban merata, beban terpusat, dan beban segitiga) harus
diekspansikan dulu ke dalam deret Fourier.
q0
beban sinusoidal
beban merata
beban terpusat
beban segitiga
Lendutan Pelat Segiempat (Deret Fourier Sinus)
12/7/2015
13
Penyelesaian dengan deret Fourier ganda dikembangkan oleh Navier
(Prancis) pada tahun 1820.
Persamaan beban :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier)
yxfqz ,
Persamaan beban dalam bentuk deret Fourier ganda (sinus) :
b
yn
a
xmAyxf
m n
mn
sinsin,
1 1
dengan Amn adalah koefisien Fourier yang harus dicari sesuai dengan
bentuk bebannya.
dxdyb
xn
a
xmyxf
abA
a b
mn
sinsin),(
4
0 0
Persamaan lendutan untuk keempat sisi tumpuan berupa sendi :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d
b
yn
a
xm
ba
A
Dyxw
m n
mn
sinsin
11
1,
1 12
22
4
Untuk beban merata f(x,y) = P0 :
beban merata
q0
z
x/y
mn
q
dxdyb
xn
a
xm
ab
q
dxdyb
xn
a
xmq
abA
a b
a b
mn
2
0
0 0
0
0 0
0
16
sinsin4
sinsin4
12/7/2015
14
Selanjutnya persamaan lendutan pelat segiempat dengan keempat
sisi tumpuan berupa sendi menjadi :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d
b
yn
a
xm
bamn
A
D
qyxw
m n
mn
sin.sin
11
16,
1 12
22
6
0
Untuk kondisi pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan
berupa sendi dan akibat beban merata, lendutan maksimum terjadi
di tengah bentang, pada x = a/2 dan y = b/2 :
1 12
22
12
6
0max
11
116
m n
nm
bamn
D
qw
Penyelesaian dengan deret Fourier tunggal dikembangkan oleh Levy
(Prancis) pada tahun 1899.
Bentuk persamaan lendutan :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy)
dengan Ym = f(x,y)
1
sin),(m
ma
xmYyxw
sendi sendi
a
b
y
x
Asumsi tumpuan pada x = 0 dan
x = a adalah sendi yang sejajar
sumbu, sehingga diperlukan
adanya penyesuaian sistim
koordinat.
12/7/2015
15
Persamaan umum lendutan :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
D
q
y
w
yx
w
x
w
2
4
22
4
2
4
2
)(),(
),(
xwyxw
wwyxw
PH
PH
Catatan :
wP adalah lendutan pelat ke arah sumbu x saja dengan asumsi tumpuan
sisi y = b/2 di x, sehingga :
D
q
x
wP
2
4
Proses integrasi 4x dan 4c dengan kondisi batas di x = 0 dan x = a :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
13
3
cxD
q
x
wP
21
2
2
2
2cxcx
D
q
x
wP
32
213
26cxcx
cx
D
q
x
wP
43
22314
2624cxcx
cx
cx
D
qwP
12/7/2015
16
Dengan c1, c2, c3, c4 dihitung untuk kondisi batas pada x = 0 dan x = a :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
)2(24
)(334xaaxx
D
qxwP
Selanjutnya, ekspansikan dalam deret Fourier tunggal :
sehingga :
1
sin)(m
mPa
xmAxw
Dm
qa
dxa
xmxw
aA
a
Pm
55
4
0
4
sin)(2
Maka penyelesaian wP(x) :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
a
xm
mD
qaxw
m
P
sin
14)(
155
4
Penyelesaian wH(x,y) :
024
4
22
4
4
4
y
w
yx
w
x
w HHH
1
sin),(m
mHa
xmYyxw
0sin21
4
44
2
2
2
22
4
4
a
xm
a
ym
y
y
a
m
y
y
m
mmm
12/7/2015
17
Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) orde
4, linier, homogen dengan penyelesaian umum :
dengan : dan
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
024
44
2
2
2
22
4
4
a
ym
y
y
a
m
y
y mmm
a
ym
a
ymD
a
ymC mm
coshsinh
a
ym
a
ymB
a
ymA
D
qayy mmm
sinhcosh)(
4
yyeey
2
1sinh yy
eey
2
1cosh
Penyederhanaan persamaan tersebut
atas dasar garis simetris sumbu z :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
w(x,y) = w(x,-y) dengan w = lendutan
z
y
w(x,y)
w(x,y) = w(x,-y)
mungkin
Untuk fungsi ganjil :
w
b
y z
z y
½ b ½ b
sendi sendi
y
x
*
w(x,y) = -w(x,-y)
tidak mungkin y
z
w(x,y)
* simetri terhadap sumbu z, tumpuan terhadap sumbu x simetris (sendi).
Untuk fungsi genap :
12/7/2015
18
Solusi persamaan homogen :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
a
ym
a
ymD
a
ymC
a
ym
a
ymB
a
ymA
D
qayy mmmmm
coshsinhsinhcosh)(
4
genap genap ganjil ganjil
Evaluasi:
x
y
y = cos x genap x
y
y = sin x ganjil
x
y
y = x ganjil
x
y
y = x2 ganjil
Karena kondisi batas yang digunakan adalah fungsi genap, maka
persamaannya menjadi :
Koefisien Am dan Bm dihitung dengan kondisi batas pada y = b/2,
tumpuan simetris terhadap sumbu x setelah digabung dengan solusi non
homogen, sehingga persamaan lendutan total adalah :
dengan m = 1,3,5
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
a
ym
a
ymB
a
ymA
D
qayy mmm
sinhcosh)(
4
a
xm
a
ym
a
ymB
a
ymA
mD
qayxw mm
m
sinhsinhcosh
4),(
55
4
12/7/2015
19
Hanya berlaku untuk fungsi genap dengan kondisi batas pada +b/2 :
dan
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
0w
Persamaan tersebut diturunkan, kemudian disubstitusikan ke kondisi
batas dan ambil permisalan :
sehingga :
dan
ma
bm
20sinhcosh
455
mmmmm BAm
0sinhcosh)2( mmmmmm BBA
02
2
y
w
m
mmm
mA
cosh
2tanh255
m
mm
B cosh
255
Nilai Am dan Bm disubstitusikan ke persamaan lendutan total :
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d
b
y
mD
qayxw m
m
mm
m
2cosh
cosh2
2tanh1
14,
5,3,155
4
a
xm
b
y
b
y m
m
m
sin
2sinh
2
cosh2
Lendutan maksimum pada x = a/2 dan y = 0 :
m
mm
m
m
mD
qaw
cosh2
2tanh1
)1(4
5,3,15
2
1
5
4
max
Catatan : untuk desain, nilai m yang digunakan hanya sampai suku ke
5, sedangkan suku ke 7 dan setelahnya dapat diabaikan
pengaruhnya/nilainya kecil
12/7/2015
20
Thanks for your kind attention!