sesion 1.2 límites,continuidad,asíntotas rac

8/19/2019 Sesion 1.2 Límites,Continuidad,Asíntotas Rac

1/28

CÁLCULO 1 EPE INGENIERÍA

LÍMITE , CONTINUIDAD y ASÍNTOTAS

DE UNA FUNCIÓN

1

CÁLCULO I

ESTUDIOS PROFESIONALES PARA

EJE UTIVOS


2/28


Al término de la sesión !", el al#mno a$li%a los %on%e$tosy $ro$iedades de l&mites y %ontin#idad en el $lanteamiento

y sol#%ión de sit#a%iones matem'ti%as (in%#lados al

desarrollo de s# %arrera, mostrando dis$osi%ión al tra)a*oindi(id#al y en e+#i$o!

Loro de la sesión

2


3/28


Con%e$to de l&mite de #na -#n%ión en #n $#nto!Formas indeterminadas!Contin#idad!L&mites al in-inito!

As&ntotas .ori/ontales!L&mites in-initos!As&ntotas 0erti%ales!

Contenido

3


4/28

CÁLCULO 1 EPE INGENIERÍA 4

LÍMITES


5/28


E*em$lo 1

Sea la -#n%ión1

2+#é o%#rre %on el (alor de f 3 x 4 %#ando x → 56

x f(x)

2.7

2.8

2.9

2.99

2.99999

2.999999

3.7

3.8

3.9

3.99

3.99999

3.999999

x f(x)

3.3

3.2

3.1

3.01

3.0001

3.00001

4.7

4.8

4.9

4.99

4.99999

4.999999

Con%e$to de l&mite

5

>

<

=

578

5743 x x

x x x f

9!atiendede(alore l

i/+#ierdala$or5tiende

%#ando+#eO)ser(a

f

x

:!atiendede(alorel

dere%;ala$or5tiende

%#ando+#eO)ser(a

f

x


6/28


De-ini%ión!< Si f 3 x 4 se a%er%a m's y m's al n=mero L %#ando x

se a$ro>ima %ada (e/ m's a a, $or am)os lados, enton%es L esel l&mite f 3 x 4 %#ando x tiende a a! Este %om$ortamiento see>$resa sim)óli%amente %omo1

Este l&mite e>iste si

En el e*em$lo anterior1

De-ini%ión de l&mite

6

L x f a x

=

→

l&m

L x f x f a x a x

=

→

l&ml&m

9!atiendede(alorel

i/+#ierdala$or5tiendeC#ando

f

x

:!atiendede(alore l

dere%;ala$or5tiendeC#ando

f

x

943l&m5=

→ x f x

:43l&m5

=

→

x f x


7/28CÁLCULO 1 EPE INGENIERÍA

E*em$lo

De la r'-i%a de la -#n%ión f , determine, en %aso e>ista, ell&mite de f 3 x 4 %#ando x tiende a1 ?9, ? ", @, " y 9!

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

−1−2−3−4−5−6

−1

−2

−3

−4

y

f

De-ini%ión de l&mite

7



ro$iedades

LÍMITES DE FUNCIONES BSICAS

8

k k a a x =

→

l&m4 a x b a x =

→l&m4 nna x a x c =→

l&m4

enton%es43l&my43l&mSi M x g L x f a x a x

=

→

[ ]

M L x g x f x g x f aa x a x a x

±

→

43l&m43l&m4343l&m4

[ ] M L x g x f x g x f ba x a x a x

⋅

→

43l&m43l&m4343l&m4

@,43l&m

43l&m

43

43l&m4 ≠

→

→

→

M M

L

x g

x f

x g

x f c

a x

a x

a x



En m#%;as o%asiones se $resenta el %'l%#lo de l&mites de %o%ientes,

di-eren%ias y $rod#%tos de -#n%iones en los +#e al reem$la/ar la (aria)le$or el (alor al %#al tiende se eneran indetermina%iones del ti$o

El res#ltado de estos l&mites no $#ede anti%i$arse y el mismo $#ede ser

%ero, #n n=mero -inito di-erente de %ero, o )ien $#ede no e>istir! araresol(erlos, se reali/an $ro%edimientos ale)rai%os ade%#ados +#e$ermitan sal(ar la indetermina%ión!

Formas Indeterminadas

∞

∞

=

∞ "l&m

"

"

x

x x

x

∞

∞

∞

77@

@

@

@

@

l&m

@

@==

→

!

x

! x

x

∞

∞

x x x

"l&m


10/28


Caso I1 Si f 3 x 4 y g 3 x 4 son $olinomios de rado n y "

res$e%ti(amente y

enton%es la indetermina%ión se $odr&a +#itar -a%tori/ando eln#merador f 3 x 4 yo el denominador g 3 x 4 de modo +#e el)inomio se sim$li-i+#e as&1

E*em$lo 1 Cal%#le el si#iente l&mite, en %aso e>ista

1#

Forma Indeterminada @@

→

"lim

"

→ x

x x

x


11/28


Caso II1 Si f 3 x 4 yo g 3 x 4 son radi%ales y

enton%es la indetermina%ión se e(ita ra%ionali/ando en eln#merador yo denominador!

E*em$lo 1 Cal%#le el si#iente l&mite, si e>iste

11

Forma Indeterminada @@

lim

→ x

x

x


12/28


CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN


13/28


Una -#n%ión f es %ontin#a en a si1

Si f no es %ontin#a en a, se di%e +#e e>iste #na dis%ontin#idaden a!

a4 f 3a4 est' de-inida

)4 e>iste

%4

Contin#idad

13

x f a x →

l&m

a f x f a x

=

→

l&m


14/28


Contin#idad

E*em$lo1 Anali%e la %ontin#idad en %ada %aso en x ".

"

14


15/28


a4 Anali%e la %ontin#idad de f en x "!

)4 Determine A y $ $ara +#e f sea %ontin#a en x

Contin#idad

15

E*em$los1

<

≥

=

":"

"543

x x

x x x f

>

=

<

=

7"

7

7"

43

"

x A x

x $

x x A

x f


16/28


LÍMITES AL INFINITO

Si n es #n n=mero $ar $ositi(o Si n es #n n=mero im$ar $ositi(o

16

@l&m >

∞

n x n

x

∞

∞

n

x x l&m ∞

∞

n

x x l&m ∞

∞

n

x x l&m ∞

∞

n

x x l&m

=

∞

Fl&m x x

=

∞

@

l&m x x

=

∞

:l&m x x

=

∞

"

l&m x x


17/28


L&mites al in-inito

Si n es #n n=mero $ar $ositi(o Si n es #n n=mero im$ar $ositi(o

17

@

l&m >∞

n x n x

=

∞

l&m x x

=

∞

@

l&m

x x

=

∞

:

l&m x x

=

∞

"

l&m

x x

@,@

l&m >∞

n x

n x


18/28


ara -#n%iones ra%ionales1

di(ida el n#merador y denominador entre el x ele(ado al

mayor rado del denominador y %al%#le el l&mite de la n#e(ae>$resión!

18

L&mites al in-inito

E*em$lo1 Cal%#le los si#ientes l&mites

@

@

!!!

!!!43

b x b x b x b

a x a x a x a x f

n

n

n

n

nn

nn

=

∞ 5"5G

":9l&m4

"5

x x

x x x a

x

∞ ::@Hl&m4 5

"

x x x x b

x


19/28


% f 3 x 4 %

% L

% M M

L

x

Si el l&mite de f es #n n=mero N %#ando x tiende ;a%ia


20/28


% f 3 x 4 %

%


21/28


Determine la e%#a%ión de la as&ntota ;ori/ontal de la si#iente-#n%ión1

As&ntota ;ori/ontal

21

E*em$lo1

8

43

5

5

=

x

x x f


22/28


Los (alores de f 3 x 4 $#eden ;a%erse tan randes %omo se

+#iera $ara todos los x lo s#-i%ientemente %er%a de a, $erodistintos de a!

LÍMITES INFINITOS

E*em$lo1 Cal%#le los si#ientes l&mites

±∞∞

→

43l&m43l&m x f x f a x a x

=

=

→

→

x b

x a

x

x

l&m4

l&m4

@

@


23/28


Cal%#le los si#ientes l&mitesE*em$los 1

L&mites in-initos

=

=

9

l&m4

9

l&m4

9

9

x b

x a

x

x

=

=

→

→

"5

"5

5

l&m4

5

l&m4

x (

x c

x

x


24/28


E*em$lo1 Cal%#le y anali%e los si#ientes l&mites

L&mites in-initos

→

":

:l&ma4

": x

x

x

→

":

Gl&m)4

": x

x

x


25/28


C#ando #no ó am)os l&mites laterales de f 3 x 4 es ó


26/28


Determine la e%#a%ión de la as&ntota (erti%al de lasi#iente -#n%ión1

26

ASÍNTOTAS 0EJTICALES

E*em$lo1

8

43

5

5

=

x

x x f


27/28


JESUMEN

L&mitesCon%e$to de l&mite

Formas Indeterminadas

Contin#idadContin#idad de #na-#n%ión en #n $#nto

L&mites al in-inito y As&ntotas ;ori/ontales

L&mites in-initos y As&ntotas (erti%ales

27


28/28

sesion 1.2 límites,continuidad,asíntotas rac

Documents