sesion 2_seriesfouriercompleja(calculo4)
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Calculo 4 , serie fourier Compleja , UPN , ingeniería CivilTRANSCRIPT
Departamento de Ciencias
SESIÓN 2: LA SERIE DE FOURIER
COMPLEJA
CÁLCULO 4
2
LA EXPONENCIAL Y LOS COMPLEJOS
¿Se puede extender la definición de la función exponencial a los complejos?
¿Qué relación hay del seno y coseno con la exponencial?
3
LOGRO DE SESIÓN
01/04/2015
Al concluir la sesión, el estudiante resuelve
problemas haciendo uso de la Series de
Fourier Complejas.
Teoría y ejemplos
Series de Fourier. 5
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T=2p/w0.
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
Donde
])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n
0n0n021 ww
)ee()tn(sen
)ee()tncos(
tjntjn
j21
0
tjntjn
21
0
00
00
ww
ww
w
w
1j
Series de Fourier. 6
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Sustituyendo
Y usando el hecho de que 1/j=-j
Y definiendo:
Lo cual es congruente con la fórmula para bn, ya que b-n=-bn, ya que la función seno es impar.
])ee(b)ee(a[a)t(f1n
tjntjn
j21
n
tjntjn
21
n021 0000
wwww
]e)jba(e)jba([a)t(f1n
tjn
nn21tjn
nn21
021 00
ww
)jba(c),jba(c,ac nn21
nnn21
n021
0
Series de Fourier. 7
Forma Compleja de la Serie de Fourier
La serie se puede escribir como
O bien,
Es decir,
)ecec(c)t(f1n
tjn
n
tjn
n000
w
w
w
w
1n
tjn
n
1n
tjn
n000 ececc)t(f
w
n
tjn
n0ec)t(f
Series de Fourier. 8
Forma Compleja de la Serie de Fourier
A la expresión obtenida
Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:
Para n=0, 1, 2, 3, ...
w
T
0
tjn
T1
n dte)t(fc 0
w
n
tjn
n0ec)t(f
Series de Fourier. 9
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:
Obviamente,
Donde ,
Para todo n0,
Para n=0, c0 es un número real:
nj
nn ecc
nj
n
*
nn eccc
2
n
2
n21
n bac )a
barctan(
n
nn
021
0 ac
Series de Fourier. 10
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn):
an=0 para todo n
y
1 f(t)
t . . . -T/2
0
T/2 T .
. .
-1
ntodopara])1(1[b n
n2
n p
Series de Fourier. 11
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Podemos calcular los coeficientes cn de:
Entonces la Serie Compleja de Fourier queda
])1(1[j]jba[c n
n2
21
nn21
n p
])1(1[jc n
n1
n p
...)eee
eee(...j)t(f
t5j
51t3j
31tj
tjt3j
31t5j
512
000
000
www
www
p
Series de Fourier. 12
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral
w
T
0
tjn
T1
n dte)t(fc 0
)dtedte(
T
2/T
tjn
2/T
0
tjn
T1 00
ww
)ee(2/T
T
tjn
jn1
0
2/T
tjn
jn1
T1 0
o
0
o
w
w
w
w
)]ee()1e[(2/TjnTjn2/Tjn
Tjn1 000
o
www
w
Series de Fourier. 13
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Como w0T=2p y además
Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.
jsencose j
)])1(1()1)1[(c nn
Tjn1
n o
w
])1(1[j n
Tn2
o
w
])1(1[j n
n1 p
Series de Fourier. 14
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Tarea: Calcular los coeficientes cn para la siguiente función de periodo 2p. a) A partir de los coeficientes an,bn
b) Directamente de la integral
-6 -4 -2 0 2 4 6 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Senoidal rectificada de media onda
t
f(t)
Series de Fourier. 15
Medidores Digitales
El Fluke 123 scope meter
Series de Fourier. 16
Medidores Digitales
Tektronix THS720P (osciloscopio digital)
Series de Fourier. 17
Medidores Digitales
Analizador de potencia PP-4300 Es un equipo especializado en monitoreo de la calidad de la energía: permite medición de 4 señales simultáneas (para sistemas trifásicos)
Bibliografía