การด าเนนการของเซต

เซต สามารถน ามาเขยนความสมพนธระหวางเซตโดยเชอมโยงดวยแผนภาพและแสดงการด าเนนการของเซตซงมหลกการเกยวกบการเขยนความสมพนธของเซต

ยเนยนของเซต (Union of Sets)พจารณาความเกยวของของเซต A, B และ Uก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 3, 5, 7}B = {5, 6, 7, 8, 9}

เขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอร แสดงเซต A, B และ U ไดดงน

ในทนใชค าวา “หรอ” ในความหมายทางคณตศาสตร หมายถง x อาจเปนสมาชกของเซต A หรอเซต B หรอทงเซต A และเซต B

บทนยาม ยเนยนของเซต A และเซต B คอเซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A หรอของเซต B หรอของทงสองเซต ยเนยนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A Bสญลกษณยเนยนของเซต A และเซต B คอA B = {x | x A หรอ x B}

จากภาพประกอบ 1A = {1, 3, 5, 7}B = {5, 6, 7, 8, 9}

ดงนน A B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9}

ตวอยางท 3 ก าหนด U = {1, 2, 3, ..., 20}A = {x | x หารดวย 3 ลงตว}B = {x | x หารดวย 2 ลงตว}

จงหา A B

วธท า A = {x | x หารดวย 3 ลงตว}= {3, 6, 9, 12, 15, 18}

B = {x | x หารดวย 2 ลงตว}= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

ดงนน A B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20}

เขยนเปนแผนภาพไดดงน

ทบทวนความเขาใจ

1) ก าหนด U = {1, 2, 3, . . . , 30}A = {x | x เปนจ านวนท 8 หารลงตว }B = {x | x เปนจ านวนท 7 หารลงตว }จงหา A B และ B A และเขยนแผนภาพประกอบ

วธท า A = ……………………………..B = ……………………………..

A B = …………………………….B A = …………………………….

ทบทวนความเขาใจ

1) ก าหนด U = {1, 2, 3, . . . , 30}A = {x | x เปนจ านวนท 8 หารลงตว }B = {x | x เปนจ านวนท 7 หารลงตว }จงหา A B และ B A และเขยนแผนภาพประกอบ

วธท า A = ……………………………..B = ……………………………..

A B = …………………………….B A = …………………………….

2) ก าหนด U = {x | x เปนจ านวนนบ }A = {x | x เปนจ านวนคบวกทนอยกวา 7}B = {x | x เปนจ านวนเฉพาะทนอยกวา 10}จงหา A B และ B A

3) ก าหนด U = {x | x เปนจ านวนคบวกทนอยกวา 20}A = {x | x เปนจ านวนคบวกทอยระหวาง 4 และ 16}B = {x | x2 = 16} จงหา A B และ B A

4) ก าหนด U = {1, 2, 3, . . . , 10}A = {1, 2, 8} , B = {2, 4, 8, 10}จงหา A B และ B A

อนเตอรเซกชนของเซต (Intersection of Sets)พจารณาความเกยวของของเซต A, B และ Uก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 3, 5, 7}B = {5, 6, 7, 8, 9}

จากภาพประกอบ เซต A และเซต B มสมาชก 5 และ 7 ทเปนสมาชกของทงเซต A และเซต B

A = {1, 3, 5, 7}B = {5, 6, 7, 8, 9}

ดงนน A B ={5, 7}

บทนยามอนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอเซตทประกอบดวยสมาชกทอยท งในเซต A และเซต B อนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B เขยนแทนดวย A Bสญลกษณอนเตอรเซกชนของเซต A และเซต B คอ

A B = {x | x A และ x B}

ตวอยางท 1 ก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 30}A = {x | x หารดวย 3 แลวเหลอเศษ 1}B = {x | x หารดวย 4 ลงตว}

จงหา A Bวธท า จาก A = {x | x หารดวย 3 แลวเหลอเศษ 1}

= {4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28}B = {x | x หารดวย 4 ลงตว}

= {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}ดงนน A B = {4, 16, 28}

คอมพลเมนต (Complement)พจารณาตวอยาง U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {3, 5, 7, 10}เขยนแผนภาพแสดงเซต A และสวนเตมเตมของเซต A ไดดงภาพประกอบ 1

ภาพประกอบท 1จากภาพประกอบท 1 สวนทแรเงาคอสวนเตมเตมของเซต A

บทนยาม สวนเตมเตมของเซต A คอ เซตของทกสมาชกในเอกภพสมพทธ U ทไมอยใน Aเขยนแทนสวนเตมเตมของเซต A ดวย A/

สญลกษณสวนเตมเตมของเซต A คอA/ ={x | x U และ x A}

จากภาพประกอบ 1U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {3, 5, 7, 10}

และ A/ = {1, 2, 4, 6, 8, 9}

ตวอยางท 1 ก าหนด U = {1, 2, 3, 4, ..., 20}A = {x | x หารดวย 3 หรอ 5 ไดลงตว}

จงหา A/

วธท า เนองจาก A = {x | x หารดวย 3 หรอ 5 ไดลงตว}= {3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20}

ดงนน A/ = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19}

A/

3 5 6 910 12 1518 20

A1 2 4 7 8

11 13 14 16 17 19

u

ใหนกเรยนหาคอมพลเมนตของเซตตอไปนพรอมทงเขยนแผนภาพ

ผลตางของเซต (Set Difference)พจารณาตวอยางก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 5, 9}B = {2, 4, 5, 8}

เขยนแผนภาพแสดงสมาชกของเซต A ทไมเปนสมาชกของเซต B ไดดงสวนทแรเงา

ภาพประกอบท 1 เราเรยกเซตทประกอบดวยสมาชกของเซต A ทไมเปนสมาชกของเซต B วาผลตางของเซต A และเซต B

บทนยาม ผลตางของเซต A และเซต B คอ เซตของทกสมาชกของเซต A ทไมเปนสมาชกของเซต B เขยนแทนผลตางของเซต A และเซต B ดวย A - Bสญลกษณผลตางของเซต A และเซต B คอA - B = {x | x A และ x B}

ตวอยางท 1 ก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {1, 2, 4, 6}B = {3, 4, 5, 6, 7}

จงหา 1) A - B และ B - A2) U - (AB)

วธท ำ เขยนแผนภาพแสดงความเกยวของของ A, B และ U ไดดงน

12

46

357

8 9 10

A B

A – B = {1, 2}

12

46

357

8 9 10

A B

B - A = {3, 5, 7}

12

46

357

8 9 10

A B

AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}ดงนน U - (AB) = {8, 9, 10}

A B = {4, 6}ดงนน (A B) - B = {4, 6} - {3, 4, 5, 6, 7}

= { }

ตวอยาง ก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {1, 2, 4, 6}B = {3, 4, 5, 6, 7}

จงหา 1) (A B) - B2) A/ - (AB)

ดงนน A/ = {3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

ตวอยาง ก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {1, 2, 4, 6}B = {3, 4, 5, 6, 7}

2) A/ - (AB)

A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A/ - (AB) = {8, 9, 10}

A - C = {1, 2, 4}

ตวอยาง ก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {1, 2, 4, 6}B = {3, 4, 5, 6, 7}C = {6, 7, 8, 9}

จงหา 1) (A - C) B/

2) (AC)/ - (A-B)

B/ = {1, 2, 8, 9, 10}

(A - C) B/ = {1, 2}

A C = {6}

ตวอยาง ก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {1, 2, 4, 6}B = {3, 4, 5, 6, 7}C = {6, 7, 8, 9}

จงหา 1) (A - C) B/

2) (AC)/ - (A-B)

(AC)/ = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}

(A - B) = {1, 2}

(AC)/ - (A-B) = {3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}

แบบฝกหด ก าหนด U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {1, 2, 3, 4, 6, 8}B = {3, 4, 5, 6, 7}C = {5, 6, 7, 8, 9}

จงหา 1) (A - B) C/

2) (A-C) (A-B)3) (AB) (A C)4) (C-B) A/

5) (B C) – (A C)

จ านวนสมาชกของเซตจ ากด

จ านวนสมาชกของเซตจ ากด A ใด ๆ จะเขยนแทนดวยสญลกษณ n(A) ซงสามารถแยกโจทยปญหาเกยวกบจ านวนสมาชกของเซตจ ากดและแผนภาพเวนน-ออยเลอรสามารถใชแสดงการด าเนนการของเซตได และในการแกปญหาทเกยวกบเซต มกใชแผนภาพเวนน-ออยเลอรเพอชวยอธบายความเกยวของตางๆ ซงชวยใหการคดค านวณ ท าไดงายขนไดดงน

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C)

+ n(A B C)

แบบฝกหดก าหนด n(U) = 90 , n(A) = 60, n(B) = 55 และ n(A B)=30 จงหาจ านวนสมาชกของเซตในแตละขอ

1. A B2. A-B3. B-A4. A/

5. B/

6. A B/

7. A/ B/

นกเรยนชน ม. 5 โรงเรยนแหงหนง จ านวน 100 คน ไดรบรางวลเรยนด 20 คนไดรบรางวลมารยาทด 30 คน ในจ านวนนไดรบรางวลทงสองประเภท 10 คน

จงหา 1. จ านวนนกเรยนทงหมดทไดรบรางวล2. จ านวนนกเรยนทไมไดรบรางวล

วธท า ให A แทน เซตของนกเรยนทไดรบรางวลเรยนดB แทน เซตของนกเรยนทไดรบรางวลมารยาทด

จากโจทยจะได n(A) = 20 , n(B) = 30 , n(A B) = 10จาก n(A B) = n(A) + n(B) + n(A B)

แทนคา n(A B) = 20 + 30 – 10 = 40

จ านวนนกเรยนทไมไดรบรางวล = 100 – 40 = 60จ านวนนกเรยนทงหมดทไดรบรางวล = 40

ตวอยาง นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 จ านวน 100 คนลงทะเบยนเรยนวชาภาษาจน 43 คนลงทะเบยนเรยนวชาภาษาฝรงเศส 76 คนไมไดลงทะเบยนเรยนทงภาษาจนและภาษาฝรงเศส 10 คนมนกเรยนทเรยนทงภาษาจนและภาษาฝรงเศสกคน

วธท า ใหเรยนทงภาษาจนและภาษาฝรงเศส x คนดงนน เรยนภาษาจนอยางเดยว 43-x คน

เรยนภาษาฝรงเศสอยางเดยว 76-x คนไมเรยนทงภาษาจนและภาษาฝรงเศส 10 คนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทงหมด 100 คน

น าขอมลจากขอ มาเขยนสมการ และหาคา x จะได x+(43-x)+(76-x)+10 = 100

x = 29

นกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 จ านวน 100 คนลงทะเบยนเรยนวชาภาษาจน 43 คนลงทะเบยนเรยนวชาภาษาฝรงเศส 76 คนไมไดลงทะเบยนเรยนทงภาษาจนและภาษาฝรงเศส 10 คนมนกเรยนทเรยนทงภาษาจนและภาษาฝรงเศสกคน

วธท า ใหเรยนทงภาษาจนและภาษาฝรงเศส x คนดงนน เรยนภาษาจนอยางเดยว 43-x คน

เรยนภาษาฝรงเศสอยางเดยว 76-x คนไมเรยนทงภาษาจนและภาษาฝรงเศส 10 คนนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ทงหมด 100 คน